Zusatz	Zusatz Summand + Summand = Summe 1) Um einen unbekannten Term zu finden, müssen Sie den bekannten Term von der Summe subtrahieren.
Subtraktion	Subtraktion Minuend – Subtrahend = Differenz 1) Um den unbekannten Subtrahend zu finden, müssen Sie die Differenz vom Minuenden subtrahieren. 2) Um den unbekannten Minuenden zu finden, müssen Sie den Subtrahend zur Differenz addieren.
Multiplikation	Multiplikation Multiplikator ∙ Multiplikator = Produkt 1) Um einen unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt durch den bekannten Faktor dividieren
Aufteilung Dividende: Divisor = Quotient	Aufteilung Dividende: Divisor = Quotient 1) Um einen unbekannten Dividenden zu finden, müssen Sie den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren. 2) Um einen unbekannten Teiler zu finden, müssen Sie den Dividenden durch den Quotienten dividieren.

Algorithmus zur Lösung einer zusammengesetzten Gleichung:

1.Suchen Sie auf der linken Seite letzte Aktion, Umkreise es.

2. Beschriften Sie die Aktionskomponenten oben.

3.Wählen Sie eine Regel.

4.Lassen Sie die unbekannte Komponente links liegen.

5. Berechnen Sie das Ergebnis der rechten Seite.

6. Haben Sie eine einfache Gleichung erhalten?

Nein - dann zurück zur Sache 1.

In diesem Video analysieren wir das gesamte Set lineare Gleichungen, die mit demselben Algorithmus gelöst werden – deshalb werden sie als die einfachsten bezeichnet.

Definieren wir zunächst: Was ist eine lineare Gleichung und welche wird als die einfachste bezeichnet?

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der es nur eine Variable gibt, und zwar nur im ersten Grad.

Die einfachste Gleichung bedeutet die Konstruktion:

Alle anderen linearen Gleichungen werden mit dem Algorithmus auf die einfachste reduziert:

1. Erweitern Sie ggf. Klammern.
2. Verschieben Sie Begriffe, die eine Variable enthalten, auf eine Seite des Gleichheitszeichens und Begriffe ohne Variable auf die andere.
3. Geben Sie links und rechts vom Gleichheitszeichen ähnliche Begriffe an;
4. Teilen Sie die resultierende Gleichung durch den Koeffizienten der Variablen $x$.

Natürlich hilft dieser Algorithmus nicht immer. Tatsache ist, dass sich nach all diesen Machenschaften manchmal herausstellt, dass der Koeffizient der Variablen $x$ gleich Null ist. In diesem Fall sind zwei Optionen möglich:

1. Die Gleichung hat überhaupt keine Lösungen. Wenn zum Beispiel so etwas wie $0\cdot x=8$ herauskommt, d.h. links ist Null und rechts ist eine Zahl ungleich Null. Im folgenden Video werden wir uns mehrere Gründe ansehen, warum diese Situation möglich ist.
2. Die Lösung sind alle Zahlen. Dies ist nur dann möglich, wenn die Gleichung auf die Konstruktion $0\cdot x=0$ reduziert wurde. Es ist ziemlich logisch, dass, egal welches $x$ wir ersetzen, immer noch herauskommt: „Null ist gleich Null“, d. h. Korrekte numerische Gleichheit.

Sehen wir uns nun anhand von Beispielen aus der Praxis an, wie das alles funktioniert.

Beispiele zum Lösen von Gleichungen

Heute haben wir es mit linearen Gleichungen zu tun, und zwar nur mit den einfachsten. Im Allgemeinen bedeutet eine lineare Gleichung jede Gleichheit, die genau eine Variable enthält und nur bis zum ersten Grad reicht.

Solche Konstruktionen werden ungefähr auf die gleiche Weise gelöst:

1. Zunächst müssen Sie die Klammern erweitern, falls vorhanden (wie in unserem letzten Beispiel);
2. Dann ähnlich kombinieren
3. Isolieren Sie abschließend die Variable, d. h. Bewegen Sie alles, was mit der Variablen zusammenhängt – die Begriffe, in denen sie enthalten ist – auf eine Seite und alles, was ohne sie übrig bleibt, auf die andere Seite.

Dann müssen Sie in der Regel auf jeder Seite der resultierenden Gleichheit ähnliche Werte angeben, und danach müssen Sie nur noch durch den Koeffizienten von „x“ dividieren, und wir erhalten das endgültige Ergebnis.

In der Theorie sieht das schön und einfach aus, aber in der Praxis können sogar erfahrene Oberstufenschüler bei relativ einfachen linearen Gleichungen beleidigende Fehler machen. Typischerweise werden entweder beim Öffnen von Klammern oder bei der Berechnung der „Pluspunkte“ und „Minuspunkte“ Fehler gemacht.

Darüber hinaus kommt es vor, dass eine lineare Gleichung überhaupt keine Lösungen hat oder dass die Lösung der gesamte Zahlenstrahl ist, d. h. irgendeine Nummer. Wir werden uns diese Feinheiten in der heutigen Lektion ansehen. Aber wir beginnen, wie Sie bereits verstanden haben, mit dem Ganzen einfache Aufgaben.

Schema zur Lösung einfacher linearer Gleichungen

Lassen Sie mich zunächst noch einmal das gesamte Schema zur Lösung der einfachsten linearen Gleichungen schreiben:

1. Erweitern Sie ggf. die Klammern.
2. Wir isolieren die Variablen, d.h. Wir verschieben alles, was „X“ enthält, auf eine Seite und alles ohne „X“ auf die andere.
3. Wir präsentieren ähnliche Begriffe.
4. Wir dividieren alles durch den Koeffizienten „x“.

Natürlich funktioniert dieses Schema nicht immer; es enthält gewisse Feinheiten und Tricks, und jetzt werden wir sie kennenlernen.

Lösen realer Beispiele einfacher linearer Gleichungen

Aufgabe Nr. 1

Im ersten Schritt müssen wir die Klammern öffnen. Da sie in diesem Beispiel nicht vorhanden sind, überspringen wir diesen Schritt. Im zweiten Schritt müssen wir die Variablen isolieren. Beachten Sie: wir reden über nur über einzelne Begriffe. Schreiben wir es auf:

Wir präsentieren links und rechts ähnliche Begriffe, dies wurde hier jedoch bereits getan. Daher gehen wir zum vierten Schritt über: Division durch den Koeffizienten:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Also haben wir die Antwort bekommen.

Aufgabe Nr. 2

Wir können die Klammern in diesem Problem sehen, also erweitern wir sie:

Sowohl links als auch rechts sehen wir ungefähr das gleiche Design, aber wir handeln nach dem Algorithmus, d.h. Trennen der Variablen:

Hier sind einige ähnliche:

An welchen Wurzeln funktioniert das? Antwort: für jeden. Daher können wir schreiben, dass $x$ eine beliebige Zahl ist.

Aufgabe Nr. 3

Interessanter ist die dritte lineare Gleichung:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Hier gibt es mehrere Klammern, die jedoch nicht mit irgendetwas multipliziert werden, sondern lediglich unterschiedliche Vorzeichen vorangestellt werden. Lassen Sie uns sie aufschlüsseln:

Wir führen den uns bereits bekannten zweiten Schritt durch:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Lassen Sie uns rechnen:

Wir führen den letzten Schritt aus – dividieren Sie alles durch den Koeffizienten „x“:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Dinge, die Sie beim Lösen linearer Gleichungen beachten sollten

Wenn wir allzu einfache Aufgaben außer Acht lassen, möchte ich Folgendes sagen:

• Wie ich oben sagte, hat nicht jede lineare Gleichung eine Lösung – manchmal gibt es einfach keine Wurzeln;
• Selbst wenn es Wurzeln gibt, kann es sein, dass es null darunter gibt – daran ist nichts auszusetzen.

Null ist die gleiche Zahl wie die anderen; Sie sollten sie in keiner Weise diskriminieren oder davon ausgehen, dass Sie etwas falsch gemacht haben, wenn Sie Null erhalten.

Eine weitere Funktion betrifft das Öffnen von Klammern. Bitte beachten Sie: Wenn davor ein „Minus“ steht, entfernen wir es, aber in Klammern ändern wir die Vorzeichen in Gegenteil. Und dann können wir es mit Standardalgorithmen öffnen: Wir erhalten das, was wir in den obigen Berechnungen gesehen haben.

Das Verständnis dieser einfachen Tatsache wird Ihnen helfen, dumme und verletzende Fehler in der High School zu vermeiden, wenn solche Dinge als selbstverständlich angesehen werden.

Komplexe lineare Gleichungen lösen

Kommen wir zu mehr komplexe Gleichungen. Jetzt werden die Konstruktionen komplexer und bei der Durchführung verschiedener Transformationen erscheint eine quadratische Funktion. Wir sollten jedoch keine Angst davor haben, denn wenn wir nach dem Plan des Autors eine lineare Gleichung lösen, werden sich während des Transformationsprozesses alle Monome, die eine quadratische Funktion enthalten, mit Sicherheit aufheben.

Beispiel Nr. 1

Der erste Schritt besteht natürlich darin, die Klammern zu öffnen. Gehen wir dabei ganz vorsichtig vor:

Werfen wir nun einen Blick auf den Datenschutz:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Hier sind einige ähnliche:

Es ist offensichtlich das gegebene Gleichung Es gibt keine Lösungen, daher schreiben wir Folgendes in die Antwort:

\[\varnothing\]

oder es gibt keine Wurzeln.

Beispiel Nr. 2

Wir führen die gleichen Aktionen aus. Erster Schritt:

Verschieben wir alles mit einer Variablen nach links und ohne sie nach rechts:

Hier sind einige ähnliche:

Offensichtlich hat diese lineare Gleichung keine Lösung, deshalb schreiben wir sie so:

\[\varnothing\],

oder es gibt keine Wurzeln.

Nuancen der Lösung

Beide Gleichungen sind vollständig gelöst. Am Beispiel dieser beiden Ausdrücke waren wir erneut davon überzeugt, dass selbst in den einfachsten linearen Gleichungen möglicherweise nicht alles so einfach ist: Es kann entweder eine oder keine oder unendlich viele Wurzeln geben. In unserem Fall haben wir zwei Gleichungen betrachtet, beide haben einfach keine Wurzeln.

Aber ich möchte Ihre Aufmerksamkeit auf eine andere Tatsache lenken: wie man mit Klammern umgeht und wie man sie öffnet, wenn ein Minuszeichen davor steht. Betrachten Sie diesen Ausdruck:

Vor dem Öffnen müssen Sie alles mit „X“ multiplizieren. Bitte beachten: multipliziert jeder einzelne Begriff. Darin befinden sich zwei Terme – bzw. zwei Terme und multipliziert.

Und erst nachdem diese scheinbar elementaren, aber sehr wichtigen und gefährlichen Transformationen abgeschlossen sind, können Sie die Klammer unter dem Gesichtspunkt öffnen, dass dahinter ein Minuszeichen steht. Ja, ja: Erst jetzt, wenn die Transformationen abgeschlossen sind, erinnern wir uns daran, dass vor den Klammern ein Minuszeichen steht, was bedeutet, dass alles darunter einfach das Vorzeichen wechselt. Gleichzeitig verschwinden die Klammern selbst und vor allem auch das vordere „Minus“.

Das Gleiche machen wir mit der zweiten Gleichung:

Es ist kein Zufall, dass ich auf diese kleinen, scheinbar unbedeutenden Tatsachen achte. Denn das Lösen von Gleichungen ist immer eine Abfolge elementarer Transformationen, bei denen die Unfähigkeit, einfache Handlungen klar und kompetent auszuführen, dazu führt, dass Gymnasiasten zu mir kommen und erneut lernen, solche einfachen Gleichungen zu lösen.

Natürlich wird der Tag kommen, an dem Sie diese Fähigkeiten bis zur Automatisierung verfeinern werden. Sie müssen nicht mehr jedes Mal so viele Transformationen durchführen, sondern schreiben alles in eine Zeile. Aber während Sie gerade erst lernen, müssen Sie jede Aktion separat schreiben.

Lösen noch komplexerer linearer Gleichungen

Was wir jetzt lösen werden, kann kaum als die einfachste Aufgabe bezeichnet werden, aber die Bedeutung bleibt dieselbe.

Aufgabe Nr. 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Lassen Sie uns alle Elemente im ersten Teil multiplizieren:

Lassen Sie uns etwas Privatsphäre schaffen:

Hier sind einige ähnliche:

Lassen Sie uns den letzten Schritt abschließen:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Hier ist unsere endgültige Antwort. Und trotz der Tatsache, dass wir im Lösungsprozess Koeffizienten mit einer quadratischen Funktion hatten, löschten sie sich gegenseitig aus, was die Gleichung linear und nicht quadratisch machte.

Aufgabe Nr. 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Führen wir den ersten Schritt sorgfältig aus: Multiplizieren Sie jedes Element aus der ersten Klammer mit jedem Element aus der zweiten. Nach den Transformationen soll es insgesamt vier neue Begriffe geben:

Lassen Sie uns nun die Multiplikation in jedem Term sorgfältig durchführen:

Verschieben wir die Begriffe mit „X“ nach links und die ohne „X“ nach rechts:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Hier sind ähnliche Begriffe:

Wieder einmal haben wir die endgültige Antwort erhalten.

Nuancen der Lösung

Der wichtigste Hinweis zu diesen beiden Gleichungen ist der folgende: Sobald wir beginnen, Klammern zu multiplizieren, die mehr als einen Term enthalten, geschieht dies nach der folgenden Regel: Wir nehmen den ersten Term aus dem ersten und multiplizieren mit jedem Element aus der Zweite; dann nehmen wir das zweite Element vom ersten und multiplizieren auf ähnliche Weise mit jedem Element vom zweiten. Infolgedessen werden wir vier Amtszeiten haben.

Über die algebraische Summe

Mit diesem letzten Beispiel möchte ich die Schüler daran erinnern, was algebraische Summe. In der klassischen Mathematik meinen wir mit $1-7$ eine einfache Konstruktion: Subtrahiere sieben von eins. In der Algebra meinen wir damit Folgendes: Zur Zahl „eins“ addieren wir eine weitere Zahl, nämlich „minus sieben“. Darin unterscheidet sich eine algebraische Summe von einer gewöhnlichen arithmetischen Summe.

Sobald Sie bei der Durchführung aller Transformationen, jeder Addition und Multiplikation ähnliche Konstruktionen wie die oben beschriebenen sehen, werden Sie bei der Arbeit mit Polynomen und Gleichungen in der Algebra einfach keine Probleme mehr haben.

Schauen wir uns abschließend noch ein paar weitere Beispiele an, die noch komplexer sein werden als die, die wir gerade betrachtet haben. Um sie zu lösen, müssen wir unseren Standardalgorithmus leicht erweitern.

Gleichungen mit Brüchen lösen

Um solche Aufgaben zu lösen, müssen wir unserem Algorithmus einen weiteren Schritt hinzufügen. Aber zunächst möchte ich Sie an unseren Algorithmus erinnern:

1. Öffne die Klammern.
2. Separate Variablen.
3. Bringen Sie ähnliche mit.
4. Teilen Sie durch das Verhältnis.

Leider erweist sich dieser wunderbare Algorithmus trotz seiner Wirksamkeit als nicht ganz geeignet, wenn wir Brüche vor uns haben. Und in dem, was wir weiter unten sehen werden, haben wir in beiden Gleichungen sowohl links als auch rechts einen Bruch.

Wie geht man in diesem Fall vor? Ja, es ist ganz einfach! Dazu müssen Sie dem Algorithmus einen weiteren Schritt hinzufügen, der sowohl vor als auch nach der ersten Aktion durchgeführt werden kann, nämlich das Entfernen von Brüchen. Der Algorithmus sieht also wie folgt aus:

1. Beseitigen Sie Brüche.
2. Öffne die Klammern.
3. Separate Variablen.
4. Bringen Sie ähnliche mit.
5. Teilen Sie durch das Verhältnis.

Was bedeutet es, „Brüche loszuwerden“? Und warum kann dies sowohl nach als auch vor dem ersten Standardschritt erfolgen? Tatsächlich sind in unserem Fall alle Brüche im Nenner numerisch, d.h. Überall ist der Nenner nur eine Zahl. Wenn wir also beide Seiten der Gleichung mit dieser Zahl multiplizieren, werden wir Brüche los.

Beispiel Nr. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Lassen Sie uns die Brüche in dieser Gleichung loswerden:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Bitte beachten Sie: Alles wird einmal mit „vier“ multipliziert, d. h. Nur weil Sie zwei Klammern haben, heißt das nicht, dass Sie jede mit „vier“ multiplizieren müssen. Schreiben wir auf:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Lassen Sie uns nun erweitern:

Wir schließen die Variable ab:

Wir führen die Reduktion ähnlicher Begriffe durch:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Wir haben die endgültige Lösung erhalten, fahren wir mit der zweiten Gleichung fort.

Beispiel Nr. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Hier führen wir alle gleichen Aktionen aus:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Das Problem ist behoben.

Das ist eigentlich alles, was ich Ihnen heute sagen wollte.

Wichtige Punkte

Die wichtigsten Erkenntnisse sind:

• Kennen Sie den Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungen.
• Möglichkeit, Klammern zu öffnen.
• Machen Sie sich keine Sorgen, wenn Sie es sehen quadratische Funktionen Höchstwahrscheinlich werden sie im Zuge weiterer Transformationen abnehmen.
• Es gibt drei Arten von Wurzeln in linearen Gleichungen, selbst in den einfachsten: eine einzelne Wurzel, die gesamte Zahlenlinie ist eine Wurzel und überhaupt keine Wurzeln.

Ich hoffe, dass diese Lektion Ihnen dabei hilft, ein einfaches, aber sehr wichtiges Thema für ein besseres Verständnis der gesamten Mathematik zu meistern. Wenn etwas nicht klar ist, gehen Sie auf die Website und lösen Sie die dort vorgestellten Beispiele. Bleiben Sie dran, es erwarten Sie noch viele weitere interessante Dinge!

Ich bitte um Hilfe beim Lösen einer Gleichung mit einer Unbekannten im Nenner: (y+5)/(y^2-5*y)-(y-5)/(2*y^2-10*y)=( y+25)/ (2y^2-50) ist

Die Gleichung ist im Algrebe-Lehrbuch für die 7. Klasse angegeben. Ich versuchte mich zu entscheiden, geriet aber immer wieder in völlige Verwirrung. Als Referenz: Das Thema mit ähnlichen Gleichungen kommt lange vor der Lösung quadratischer Gleichungen, daher sollte die Gleichung theoretisch gelöst werden, ohne sie auf zu reduzieren quadratische Gleichung. Im Allgemeinen werde ich für den gezeigten Lösungsalgorithmus dankbar sein.

Am Ende des Lehrbuchs wird folgende Antwort gegeben: 15

1) Ist das Zahlenpaar (-3;2) eine Lösung der Gleichung 2x-3y=0?

2) Finden Sie unter den Lösungen der Gleichung 3y-9x=18 eine Lösung, bei der die Werte der Variablen gleich sind.
3) Punkt A wird in den Graphen der Gleichung 4x-5y=10 eingefügt. Finden Sie die Abszisse von Punkt A, wenn seine Koordinate 2 ist.
4) Der Graph der Funktion ax+by=1 verläuft durch die Punkte A(1;-2) und B(-2;7). Was sind die Koeffizienten a und b? 1).a=3, b=1 2).a=1,b=3 3).a=-1,b=5 4).a=3,b=9.
5) Ist das Zahlenpaar (-1;7) eine Lösung der Gleichung 23x+4y=5?
6) Finden Sie unter den Lösungen der Gleichung x-7y=12 eine Lösung, bei der die Werte der Variablen gleich sind.
7) Auf dem Diagramm der Gleichung 12x-5y=23 wird Punkt C genommen. Finden Sie die Koordinate von Punkt C, wenn seine Abszisse gleich -1 ist.

Hilfe zum letzten Mal heute Nr. 1 Welches der Zahlenpaare (-1:1), (Bruch eine Hälfte, Bruch zwei Fünftel), (-4:1) sind die Lösung der Gleichung 2x+5y- 3=0

Nr. 2 Finden Sie die Werte des Koeffizienten b in der Gleichung +5x+by+18=0, wenn bekannt ist, dass das Zahlenpaar (6:-4) eine Lösung der Gleichung ist. Nr. 3 transformiere die lineare Gleichung mit zwei Variablen 6x-3y=3 in die Form lineare Funktion y=rx+m

ALGEBRA-FRAGEN ZUM CREDIT DER 8. KLASSE?

1. Was ist ein gemeinsamer Bruch? Einen gemeinsamen Bruch schreiben. Die Haupteigenschaft eines Bruchs. Nenne Beispiele.
2. Addition und Division gewöhnliche Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Nenne Beispiele.
3. Multiplikation und Subtraktion gewöhnlicher Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Nenne Beispiele.
4. Was ist eine Dezimalzahl? Einen Dezimalbruch schreiben. Nenne Beispiele.
5. Addition und Division Dezimalstellen. Nenne Beispiele.
6. Dezimalzahlen multiplizieren und subtrahieren. Nenne Beispiele.
7. Was ist ein algebraischer Bruch? Nenne Beispiele.
8. Definitionsbereich eines algebraischen Bruchs. Nenne Beispiele.
9. Die Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs. Nenne Beispiele.
10. Addition und Division algebraische Brüche. Nenne Beispiele.
11. Subtraktion und Multiplikation algebraischer Brüche. Nenne Beispiele.
12. Was ist ein Grad mit natürlichem Exponenten? Potenz einer positiven Zahl mit einem beliebigen Exponenten. Grad negative Zahl mit einer geraden Zahl. Potenz einer negativen Zahl mit ungeradem Exponenten. Nenne Beispiele.
13. Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten. Nenne Beispiele.
14. Was ist eine Gleichung? Wurzeln der Gleichung? Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Nenne Beispiele.
15. Algorithmus zum Lösen von Gleichungen. Nenne Beispiele.
16. Lösungsalgorithmus Bruchgleichung. Nenne Beispiele.
17. Quadratwurzel. Arithmetische Quadratwurzel. Nenne Beispiele.
18. Eigenschaften der Arithmetik Quadratwurzel. Nenne Beispiele.
19. Gleichung x2 = a und ihre Wurzeln. Nenne Beispiele.
20. Eigenschaften von Quadratwurzeln. Gib ein Beispiel.

Erhaltene Gleichungssysteme Breite Anwendung im Wirtschaftsbereich mit mathematische Modellierung verschiedene Prozesse. Zum Beispiel bei der Lösung von Problemen des Produktionsmanagements und der Produktionsplanung, Logistikrouten (Transportproblem) oder der Geräteplatzierung.

Gleichungssysteme werden nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Physik, Chemie und Biologie zur Lösung von Problemen zur Bestimmung der Bevölkerungsgröße verwendet.

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei oder mehr Gleichungen mit mehreren Variablen, für die eine gemeinsame Lösung gefunden werden muss. Eine solche Zahlenfolge, bei der alle Gleichungen zu wahren Gleichheiten werden oder beweisen, dass die Folge nicht existiert.

Lineare Gleichung

Gleichungen der Form ax+by=c heißen linear. Die Bezeichnungen x, y sind die Unbekannten, deren Wert gefunden werden muss, b, a sind die Koeffizienten der Variablen, c ist der freie Term der Gleichung.
Wenn Sie eine Gleichung durch Auftragen lösen, sieht sie wie eine gerade Linie aus, deren Punkte alle Lösungen des Polynoms sind.

Arten von linearen Gleichungssystemen

Als einfachste Beispiele gelten Systeme linearer Gleichungen mit zwei Variablen X und Y.

F1(x, y) = 0 und F2(x, y) = 0, wobei F1,2 Funktionen und (x, y) Funktionsvariablen sind.

Gleichungssystem lösen - Dies bedeutet, Werte (x, y) zu finden, bei denen das System zu einer echten Gleichheit wird, oder festzustellen, dass keine geeigneten Werte für x und y existieren.

Ein Wertepaar (x, y), geschrieben als Koordinaten eines Punktes, wird als Lösung eines linearen Gleichungssystems bezeichnet.

Wenn Systeme eine gemeinsame Lösung haben oder keine Lösung existiert, werden sie als äquivalent bezeichnet.

Homogene lineare Gleichungssysteme sind Systeme, deren rechte Seite gleich Null ist. Wenn der rechte Teil nach dem Gleichheitszeichen einen Wert hat oder durch eine Funktion ausgedrückt wird, ist ein solches System heterogen.

Die Anzahl der Variablen kann viel mehr als zwei betragen, dann sollten wir über ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit drei oder mehr Variablen sprechen.

Wenn Schüler mit Systemen konfrontiert werden, gehen sie davon aus, dass die Anzahl der Gleichungen zwangsläufig mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmen muss, was jedoch nicht der Fall ist. Die Anzahl der Gleichungen im System hängt nicht von den Variablen ab, es können beliebig viele davon vorhanden sein.

Einfache und komplexe Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen

Es gibt keine allgemeine analytische Methode zur Lösung solcher Systeme; alle Methoden basieren auf numerische Lösungen. IN Schulkurs Die Mathematik beschreibt ausführlich Methoden wie Permutation, algebraische Addition, Substitution sowie grafische und Matrixmethoden, Lösung nach der Gaußschen Methode.

Die Hauptaufgabe bei der Vermittlung von Lösungsmethoden besteht darin, zu lehren, wie man das System richtig analysiert und für jedes Beispiel den optimalen Lösungsalgorithmus findet. Die Hauptsache besteht nicht darin, sich ein System von Regeln und Aktionen für jede Methode zu merken, sondern die Prinzipien der Verwendung einer bestimmten Methode zu verstehen

Lösen von Beispielen für lineare Gleichungssysteme des Programms der 7. Klasse weiterführende Schule ganz einfach und ausführlich erklärt. In jedem Mathematiklehrbuch wird diesem Abschnitt genügend Aufmerksamkeit geschenkt. Die Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme mit der Gauß- und Cramer-Methode wird in den ersten Studienjahren genauer untersucht.

Lösen von Systemen mit der Substitutionsmethode

Die Aktionen der Substitutionsmethode zielen darauf ab, den Wert einer Variablen durch die zweite auszudrücken. Der Ausdruck wird in die verbleibende Gleichung eingesetzt und dann auf eine Form mit einer Variablen reduziert. Die Aktion wird abhängig von der Anzahl der Unbekannten im System wiederholt

Geben wir eine Lösung für ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems der Klasse 7 mit der Substitutionsmethode:

Wie aus dem Beispiel hervorgeht, wurde die Variable x durch F(X) = 7 + Y ausgedrückt. Der resultierende Ausdruck, der anstelle von X in die zweite Gleichung des Systems eingesetzt wurde, trug dazu bei, eine Variable Y in der zweiten Gleichung zu erhalten . Das Lösen dieses Beispiels ist einfach und ermöglicht es Ihnen, den Y-Wert zu ermitteln. Der letzte Schritt besteht darin, die erhaltenen Werte zu überprüfen.

Es ist nicht immer möglich, ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems durch Substitution zu lösen. Die Gleichungen können komplex sein und die Variable als zweite Unbekannte auszudrücken wäre für weitere Berechnungen zu umständlich. Wenn das System mehr als drei Unbekannte enthält, ist die Lösung durch Substitution ebenfalls ungeeignet.

Lösung eines Beispiels eines Systems linearer inhomogener Gleichungen:

Lösung mit algebraischer Addition

Bei der Suche nach Systemlösungen mit der Additionsmethode werden Gleichungen Term für Term addiert und mit verschiedenen Zahlen multipliziert. Das ultimative Ziel mathematischer Operationen ist eine Gleichung in einer Variablen.

Die Anwendung dieser Methode erfordert Übung und Beobachtung. Es ist nicht einfach, ein lineares Gleichungssystem mit der Additionsmethode zu lösen, wenn drei oder mehr Variablen vorhanden sind. Die algebraische Addition ist praktisch, wenn Gleichungen Brüche und Dezimalzahlen enthalten.

Lösungsalgorithmus:

1. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit einer bestimmten Zahl. Als Ergebnis der arithmetischen Operation sollte einer der Koeffizienten der Variablen gleich 1 werden.
2. Addieren Sie den resultierenden Ausdruck Term für Term und finden Sie eine der Unbekannten.
3. Setzen Sie den resultierenden Wert in die zweite Gleichung des Systems ein, um die verbleibende Variable zu finden.

Lösungsmethode durch Einführung einer neuen Variablen

Eine neue Variable kann eingeführt werden, wenn das System die Suche nach einer Lösung für nicht mehr als zwei Gleichungen erfordert; die Anzahl der Unbekannten sollte ebenfalls nicht mehr als zwei betragen.

Die Methode wird verwendet, um eine der Gleichungen durch Einführung einer neuen Variablen zu vereinfachen. Die neue Gleichung wird nach der eingeführten Unbekannten gelöst und der resultierende Wert wird zur Bestimmung der ursprünglichen Variablen verwendet.

Das Beispiel zeigt, dass es durch die Einführung einer neuen Variablen t möglich war, die 1. Gleichung des Systems auf die Standardgleichung zu reduzieren quadratisches Trinom. Sie können ein Polynom lösen, indem Sie die Diskriminante ermitteln.

Der Wert der Diskriminante muss mithilfe der bekannten Formel D = b2 - 4*a*c ermittelt werden, wobei D die gewünschte Diskriminante und b, a, c die Faktoren des Polynoms sind. Im gegebenen Beispiel ist a=1, b=16, c=39, also D=100. Wenn die Diskriminante größer als Null ist, gibt es zwei Lösungen: t = -b±√D / 2*a, wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, dann gibt es eine Lösung: x = -b / 2*a.

Die Lösung für die resultierenden Systeme wird durch die Additionsmethode gefunden.

Visuelle Methode zur Lösung von Systemen

Geeignet für 3 Gleichungssysteme. Die Methode besteht darin, Diagramme jeder im System enthaltenen Gleichung auf der Koordinatenachse zu erstellen. Die Koordinaten der Schnittpunkte der Kurven und werden sein allgemeine Entscheidung Systeme.

Die grafische Methode weist eine Reihe von Nuancen auf. Schauen wir uns einige Beispiele für die visuelle Lösung linearer Gleichungssysteme an.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, wurden für jede Linie zwei Punkte konstruiert, die Werte der Variablen x wurden willkürlich gewählt: 0 und 3. Basierend auf den Werten von x wurden die Werte für y gefunden: 3 und 0. Punkte mit den Koordinaten (0, 3) und (3, 0) wurden im Diagramm markiert und durch eine Linie verbunden.

Die Schritte müssen für die zweite Gleichung wiederholt werden. Der Schnittpunkt der Geraden ist die Lösung des Systems.

Das folgende Beispiel muss gefunden werden grafische Lösung lineare Gleichungssysteme: 0,5x-y+2=0 und 0,5x-y-1=0.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, hat das System keine Lösung, da die Graphen parallel sind und sich nicht auf ihrer gesamten Länge schneiden.

Die Systeme aus den Beispielen 2 und 3 sind ähnlich, beim Aufbau wird jedoch deutlich, dass ihre Lösungen unterschiedlich sind. Es sollte beachtet werden, dass es nicht immer möglich ist, zu sagen, ob ein System eine Lösung hat oder nicht; es ist immer notwendig, einen Graphen zu erstellen.

Die Matrix und ihre Varianten

Matrizen werden verwendet, um ein System linearer Gleichungen präzise zu schreiben. Eine Matrix ist eine Tabelle spezieller Typ gefüllt mit Zahlen. n*m hat n - Zeilen und m - Spalten.

Eine Matrix ist quadratisch, wenn die Anzahl der Spalten und Zeilen gleich ist. Ein Matrixvektor ist eine Matrix aus einer Spalte mit einer unendlich möglichen Anzahl von Zeilen. Eine Matrix mit Einsen entlang einer der Diagonalen und anderen Nullelementen wird Identität genannt.

Eine inverse Matrix ist eine Matrix, bei deren Multiplikation sich die ursprüngliche in eine Einheitsmatrix verwandelt; eine solche Matrix existiert nur für die ursprüngliche quadratische Matrix.

Regeln zur Umwandlung eines Gleichungssystems in eine Matrix

In Bezug auf Gleichungssysteme werden die Koeffizienten und freien Terme der Gleichungen als Matrixzahlen geschrieben; eine Gleichung ist eine Zeile der Matrix.

Eine Matrixzeile heißt ungleich Null, wenn mindestens ein Element der Zeile ungleich Null ist. Wenn also in einer der Gleichungen die Anzahl der Variablen unterschiedlich ist, muss anstelle der fehlenden Unbekannten eine Null eingegeben werden.

Die Matrixspalten müssen genau den Variablen entsprechen. Das bedeutet, dass die Koeffizienten der Variablen x nur in eine Spalte geschrieben werden können, zum Beispiel die erste, der Koeffizient der Unbekannten y – nur in die zweite.

Bei der Multiplikation einer Matrix werden alle Elemente der Matrix nacheinander mit einer Zahl multipliziert.

Optionen zum Finden der inversen Matrix

Die Formel zum Ermitteln der inversen Matrix ist recht einfach: K -1 = 1 / |K|, wobei K -1 die inverse Matrix und |K| ist ist die Determinante der Matrix. |K| darf nicht gleich Null sein, dann hat das System eine Lösung.

Die Determinante lässt sich für eine Zwei-mal-Zwei-Matrix leicht berechnen; Sie müssen lediglich die Diagonalelemente miteinander multiplizieren. Für die Option „drei mal drei“ gibt es eine Formel |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Sie können die Formel verwenden oder sich merken, dass Sie aus jeder Zeile und jeder Spalte ein Element entnehmen müssen, damit sich die Anzahl der Spalten und Elementreihen in der Arbeit nicht wiederholt.

Beispiele für lineare Gleichungssysteme mit der Matrixmethode lösen

Mit der Matrixlösungsmethode können Sie umständliche Eingaben beim Lösen von Systemen mit einer großen Anzahl von Variablen und Gleichungen reduzieren.

Im Beispiel sind a nm die Koeffizienten der Gleichungen, die Matrix ist ein Vektor, x n sind Variablen und b n sind freie Terme.

Lösen von Systemen mit der Gaußschen Methode

In der höheren Mathematik wird die Gauß-Methode zusammen mit der Cramer-Methode untersucht, und der Prozess der Lösungsfindung für Systeme wird als Gauß-Cramer-Lösungsmethode bezeichnet. Diese Methoden werden verwendet, um Variablen von Systemen mit einer großen Anzahl linearer Gleichungen zu finden.

Die Gauß-Methode ähnelt stark den Lösungen durch Substitution und algebraische Addition, ist jedoch systematischer. Im Schulunterricht wird die Lösung nach der Gaußschen Methode für Systeme mit 3 und 4 Gleichungen verwendet. Der Zweck der Methode besteht darin, das System auf die Form eines umgekehrten Trapezes zu reduzieren. Durch algebraische Transformationen und Substitutionen wird der Wert einer Variablen in einer der Gleichungen des Systems ermittelt. Die zweite Gleichung ist ein Ausdruck mit 2 Unbekannten, während 3 und 4 jeweils mit 3 bzw. 4 Variablen sind.

Nachdem das System in die beschriebene Form gebracht wurde, reduziert sich die weitere Lösung auf die sequentielle Substitution bekannter Variablen in die Gleichungen des Systems.

In Schulbüchern für die 7. Klasse wird ein Beispiel für eine Lösung nach der Gauß-Methode wie folgt beschrieben:

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, wurden in Schritt (3) zwei Gleichungen erhalten: 3x 3 -2x 4 =11 und 3x 3 +2x 4 =7. Wenn Sie eine der Gleichungen lösen, können Sie eine der Variablen x n herausfinden.

Der im Text erwähnte Satz 5 besagt, dass, wenn eine der Gleichungen des Systems durch eine äquivalente ersetzt wird, das resultierende System auch äquivalent zum ursprünglichen ist.

Die Gauß-Methode ist für Studierende schwer zu verstehen weiterführende Schule, ist aber eine der interessantesten Möglichkeiten, den Einfallsreichtum von Kindern zu fördern, die im Rahmen des Programms studieren vertiefendes Studium im Mathematik- und Physikunterricht.

Um die Aufzeichnung zu erleichtern, werden Berechnungen normalerweise wie folgt durchgeführt:

Die Koeffizienten der Gleichungen und freien Terme werden in Form einer Matrix geschrieben, wobei jede Zeile der Matrix einer der Gleichungen des Systems entspricht. trennt die linke Seite der Gleichung von der rechten. Römische Ziffern geben die Nummern der Gleichungen im System an.

Notieren Sie zunächst die Matrix, mit der gearbeitet werden soll, und anschließend alle Aktionen, die mit einer der Zeilen ausgeführt werden. Die resultierende Matrix wird nach dem „Pfeil“-Zeichen geschrieben und führt weiterhin die erforderlichen Schritte aus algebraische Operationen bis das Ergebnis erreicht ist.

Das Ergebnis sollte eine Matrix sein, in der eine der Diagonalen gleich 1 ist und alle anderen Koeffizienten gleich Null sind, das heißt, die Matrix wird auf eine Einheitsform reduziert. Wir dürfen nicht vergessen, Berechnungen mit Zahlen auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.

Diese Aufnahmemethode ist weniger umständlich und ermöglicht es Ihnen, sich nicht durch das Auflisten zahlreicher Unbekannter ablenken zu lassen.

Der freie Einsatz jeder Lösungsmethode erfordert Sorgfalt und etwas Erfahrung. Nicht alle Methoden sind angewandter Natur. Einige Methoden zur Lösungsfindung sind in einem bestimmten Bereich menschlicher Tätigkeit vorzuziehen, während andere für Bildungszwecke existieren.

Algorithmus zum Lösen von Gleichungen: 1. Vereinfachen Sie den Ausdruck, wenn möglich (öffnen Sie die Klammern, geben Sie ähnliche Begriffe an). 2. Übertragen Sie die Terme, die das Unbekannte enthalten, auf eine Seite der Gleichung (normalerweise auf die linke Seite) und die verbleibenden Terme auf die andere Seite der Gleichung, wobei Sie die Vorzeichen in das Gegenteil ändern. 3. Geben Sie ähnliche Begriffe an. 4. Finden Sie die Wurzel der Gleichung.

Folie 27 aus der Präsentation „Gleichungen 6. Klasse“. Die Größe des Archivs mit der Präsentation beträgt 2882 KB.

Mathematik 6. Klasse

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