In diesem Artikel beginnen wir mit der Erkundung Rationale Zahlen. Hier geben wir Definitionen rationaler Zahlen, geben die notwendigen Erklärungen und geben Beispiele rationaler Zahlen. Danach konzentrieren wir uns darauf, wie wir feststellen können, ob eine bestimmte Zahl rational ist oder nicht.

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Definition und Beispiele rationaler Zahlen

In diesem Abschnitt geben wir mehrere Definitionen rationaler Zahlen. Trotz unterschiedlicher Formulierungen haben alle diese Definitionen die gleiche Bedeutung: Rationale Zahlen vereinen ganze Zahlen und Brüche, so wie ganze Zahlen natürliche Zahlen, ihre Gegensätze und die Zahl Null vereinen. Mit anderen Worten: Rationale Zahlen verallgemeinern ganze und gebrochene Zahlen.

Lass uns beginnen mit Definitionen rationaler Zahlen, was am natürlichsten wahrgenommen wird.

Aus der angegebenen Definition folgt, dass eine rationale Zahl ist:

• Jede natürliche Zahl n. Tatsächlich können Sie jede natürliche Zahl als gewöhnlichen Bruch darstellen, zum Beispiel 3=3/1.
• Jede ganze Zahl, insbesondere die Zahl Null. Tatsächlich kann jede ganze Zahl entweder als positiver Bruch, als negativer Bruch oder als Null geschrieben werden. Beispiel: 26=26/1, .
• Jeder gemeinsame Bruch (positiv oder negativ). Dies wird direkt durch die gegebene Definition rationaler Zahlen bestätigt.
• Jede gemischte Zahl. Tatsächlich kann man eine gemischte Zahl immer als unechten Bruch darstellen. Zum Beispiel, und.
• Jeder endliche Dezimalbruch oder unendliche periodische Bruch. Dies liegt daran, dass die angegebenen Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Zum Beispiel , und 0,(3)=1/3.

Es ist auch klar, dass jeder unendliche nichtperiodische Dezimalbruch KEINE rationale Zahl ist, da er nicht als gewöhnlicher Bruch dargestellt werden kann.

Jetzt können wir ganz einfach geben Beispiele für rationale Zahlen. Die Zahlen 4, 903, 100.321 sind rationale Zahlen, weil sie natürliche Zahlen sind. Die ganzen Zahlen 58, −72, 0, −833,333,333 sind ebenfalls Beispiele für rationale Zahlen. Auch die gewöhnlichen Brüche 4/9 und 99/3 sind Beispiele für rationale Zahlen. Auch rationale Zahlen sind Zahlen.

Aus den obigen Beispielen wird deutlich, dass es sowohl positive als auch negative rationale Zahlen gibt und die rationale Zahl Null weder positiv noch negativ ist.

Die obige Definition rationaler Zahlen kann prägnanter formuliert werden.

Definition.

Rationale Zahlen sind Zahlen, die als Bruch z/n geschrieben werden können, wobei z eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist.

Lassen Sie uns beweisen, dass diese Definition rationaler Zahlen der vorherigen Definition entspricht. Wir wissen, dass wir die Gerade eines Bruchs als Teilungszeichen betrachten können. Aus den Eigenschaften der Division ganzer Zahlen und den Regeln zur Division ganzer Zahlen folgt dann die Gültigkeit der folgenden Gleichheiten und. Das ist also der Beweis.

Lassen Sie uns Beispiele für rationale Zahlen geben, die auf basieren diese Definition. Die Zahlen −5, 0, 3 und sind rationale Zahlen, da sie als Brüche mit einem ganzzahligen Zähler und einem natürlichen Nenner der Form bzw. geschrieben werden können.

Die Definition rationaler Zahlen kann in der folgenden Formulierung gegeben werden.

Definition.

Rationale Zahlen sind Zahlen, die als endlicher oder unendlicher periodischer Dezimalbruch geschrieben werden können.

Diese Definition entspricht auch der ersten Definition, da jeder gewöhnliche Bruch einem endlichen oder periodischen Dezimalbruch entspricht und umgekehrt und jede ganze Zahl einem Dezimalbruch mit Nullen nach dem Dezimalpunkt zugeordnet werden kann.

Beispielsweise sind die Zahlen 5, 0, −13 Beispiele für rationale Zahlen, da sie als die folgenden Dezimalbrüche geschrieben werden können: 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 und −7, (18).

Beenden wir die Theorie zu diesem Punkt mit den folgenden Aussagen:

• ganze Zahlen und Brüche (positiv und negativ) bilden die Menge der rationalen Zahlen;
• jede rationale Zahl kann als Bruch mit einem ganzzahligen Zähler und einem natürlichen Nenner dargestellt werden, und jeder dieser Brüche stellt eine bestimmte rationale Zahl dar;
• Jede rationale Zahl kann als endlicher oder unendlicher periodischer Dezimalbruch dargestellt werden, und jeder dieser Brüche stellt eine rationale Zahl dar.

Ist diese Zahl rational?

Im vorherigen Absatz haben wir herausgefunden, dass jede natürliche Zahl, jede ganze Zahl, jeder gewöhnliche Bruch, jede gemischte Zahl, jeder endliche Dezimalbruch sowie jeder periodische Dezimalbruch eine rationale Zahl ist. Dieses Wissen ermöglicht es uns, rationale Zahlen aus einer Menge geschriebener Zahlen zu „erkennen“.

Was aber, wenn die Zahl in der Form some oder as usw. angegeben wird, wie lässt sich dann die Frage beantworten, ob diese Zahl rational ist? In vielen Fällen ist die Antwort sehr schwierig. Lassen Sie uns einige Denkrichtungen aufzeigen.

Wenn eine Zahl als numerischer Ausdruck angegeben wird, der nur rationale Zahlen und Rechenzeichen (+, −, · und:) enthält, dann ist der Wert dieses Ausdrucks eine rationale Zahl. Dies folgt aus der Definition von Operationen mit rationalen Zahlen. Nachdem wir beispielsweise alle Operationen im Ausdruck ausgeführt haben, erhalten wir die rationale Zahl 18.

Manchmal nach der Vereinfachung von Ausdrücken und mehr komplexer Typ wird es möglich zu bestimmen, ob eine gegebene Zahl rational ist.

Gehen wir weiter. Die Zahl 2 ist eine rationale Zahl, da jede natürliche Zahl rational ist. Was ist mit der Nummer? Ist es rational? Es stellt sich heraus, dass es sich nicht um eine rationale Zahl handelt, sondern um eine irrationale Zahl (der Beweis dieser Tatsache durch Widerspruch wird im Algebra-Lehrbuch für die 8. Klasse gegeben, das unten in der Literaturliste aufgeführt ist). Es wurde auch bewiesen, dass die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl nur dann eine rationale Zahl ist, wenn unter der Wurzel eine Zahl liegt, die das perfekte Quadrat einer natürlichen Zahl ist. Zum Beispiel sind und rationale Zahlen, da 81 = 9 2 und 1 024 = 32 2, und die Zahlen und sind nicht rational, da die Zahlen 7 und 199 keine perfekten Quadrate natürlicher Zahlen sind.

Ist die Zahl rational oder nicht? In diesem Fall ist leicht zu erkennen, dass diese Zahl daher rational ist. Ist die Zahl rational? Es wurde bewiesen, dass die k-te Wurzel einer ganzen Zahl nur dann eine rationale Zahl ist, wenn die Zahl unter dem Wurzelzeichen die k-te Potenz einer ganzen Zahl ist. Daher handelt es sich nicht um eine rationale Zahl, da es keine ganze Zahl gibt, deren fünfte Potenz 121 ist.

Mit der Widerspruchsmethode lässt sich beweisen, dass die Logarithmen einiger Zahlen aus irgendeinem Grund keine rationalen Zahlen sind. Lassen Sie uns zum Beispiel beweisen, dass - keine rationale Zahl ist.

Nehmen wir das Gegenteil an, das heißt, es handelt sich um eine rationale Zahl, die als gewöhnlicher Bruch m/n geschrieben werden kann. Dann geben wir die folgenden Gleichheiten an: . Die letzte Gleichheit ist unmöglich, da sie auf der linken Seite vorhanden ist Nicht gerade Zahl 5 n, und auf der rechten Seite ist die gerade Zahl 2 m. Daher ist unsere Annahme falsch und somit keine rationale Zahl.

Abschließend ist besonders hervorzuheben, dass man bei der Bestimmung der Rationalität oder Irrationalität von Zahlen keine plötzlichen Schlussfolgerungen ziehen sollte.

Beispielsweise sollte man nicht sofort behaupten, dass das Produkt der irrationalen Zahlen π und e eine irrationale Zahl sei; das ist „scheinbar offensichtlich“, aber nicht bewiesen. Dies wirft die Frage auf: „Warum sollte ein Produkt eine rationale Zahl sein?“ Und warum nicht, denn Sie können ein Beispiel für irrationale Zahlen nennen, deren Produkt eine rationale Zahl ergibt: .

Es ist auch unbekannt, ob Zahlen und viele andere Zahlen rational sind oder nicht. Beispielsweise gibt es irrationale Zahlen, deren irrationale Potenz eine rationale Zahl ist. Zur Veranschaulichung stellen wir einen Grad der Form dar, die Basis dieses Grades und der Exponent sind keine rationalen Zahlen, sondern , und 3 ist eine rationale Zahl.

Referenzliste.

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• Algebra: Lehrbuch für die 8. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; bearbeitet von S. A. Telyakovsky. - 16. Aufl. - M.: Bildung, 2008. - 271 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für diejenigen, die technische Schulen besuchen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.

Vorlesung: Brüche, Prozentsätze, rationale Zahlen

Rationale Zahlen sind diejenigen, die als gemeinsamer Bruch ausgedrückt werden können.

Was sind Brüche überhaupt?

Fraktion- eine Zahl, die eine bestimmte Anzahl von Anteilen eines Ganzen, also Einheiten, angibt.

Brüche können dezimal oder einfach sein. Als mathematische Operation Fraktion- das ist nichts weiter als Spaltung. Jeder Bruch besteht aus Zähler(teilbar), das oben ist, Nenner(Divisor), der sich darunter befindet, und der Bruchstrich, der direkt die Funktion der Division übernimmt. Der Nenner eines Bruches gibt an, in wie viele gleiche Teile ein Ganzes zerlegt wird. Der Zähler zeigt an, wie viele gleiche Teile vom Ganzen genommen wurden.

Ein Bruch kann gemischt sein, das heißt, er kann sowohl einen gebrochenen als auch einen ganzzahligen Teil haben.

Zum Beispiel, 1; 5,03.

Ein gemeinsamer Bruch kann einen beliebigen Zähler und Nenner haben.

Zum Beispiel, 1/5, 4/7, 7/11 usw.

Ein Dezimalbruch hat im Nenner immer die Zahlen 10, 100, 1000, 10000 usw.

Zum Beispiel, 1/10 = 0,1; 6/100 = 0,06 usw.

Sie können für Brüche die gleichen mathematischen Operationen wie für ganze Zahlen durchführen:

1. Brüche addieren und subtrahieren

Bei diesen Brüchen ist die kleinste Zahl, die durch den einen und den anderen Nenner teilbar ist, 30.

Um beide Brüche auf einen Nenner von 30 zu bringen, müssen Sie einen zusätzlichen Faktor finden. Um den Nenner von 30 im ersten Bruch zu erhalten, muss er mit 6 multipliziert werden. Um den Nenner von 30 im zweiten Bruch zu erhalten, muss er mit 5 multipliziert werden. Um sicherzustellen, dass sich der Wert des Bruchs nicht ändert, multiplizieren wir sowohl der Zähler als auch der Nenner dieser Zahlen. Als Ergebnis erhalten wir:

Um Zahlen mit demselben Nenner zu addieren oder zu subtrahieren, belassen Sie den Nenner bei 30 und addieren Sie die Zähler:

2. Brüche multiplizieren

Wenn Sie zwei Brüche multiplizieren, sollten Sie deren Zähler multiplizieren, dann die Nenner multiplizieren und das Ergebnis schreiben:

3. Division von Brüchen

Wenn Sie zwei Brüche dividieren, müssen Sie den zweiten Bruch umdrehen und die Multiplikationsoperation durchführen:

4. Brüche reduzieren

Wenn Zähler und Nenner Vielfache einer identischen Zahl sind, kann ein solcher Bruch reduziert werden, indem sowohl Zähler als auch Nenner durch die gegebene Zahl dividiert werden.

Im ursprünglichen Bruch sind sowohl der Zähler als auch der Nenner durch die Zahl 3 teilbar, sodass der gesamte Bruch durch diese Zahl reduziert werden kann.

5. Brüche vergleichen

Beim Vergleichen von Brüchen müssen Sie mehrere Regeln anwenden:

- Wenn ein Vergleich zwischen Brüchen durchgeführt wird, die denselben Nenner, aber einen unterschiedlichen Zähler haben, ist der Bruch mit dem größeren Zähler größer. Das heißt, dieser Vergleich läuft auf einen Vergleich der Zähler hinaus.

- Wenn Brüche den gleichen Zähler, aber unterschiedliche Nenner haben, müssen die Nenner verglichen werden. Der Bruch, dessen Nenner kleiner ist, wird größer.

- Wenn Brüche unterschiedliche Zähler und Nenner haben, müssen sie auf einen gemeinsamen Nenner reduziert werden.

Der gemeinsame Nenner ist 42, daher beträgt der Zusatzfaktor für den ersten Bruch 7 und der Zusatzfaktor für den zweiten Bruch 6. Wir erhalten:

Nun kommt es beim Vergleich auf die erste Regel an. Der Bruch mit dem größeren Nenner ist größer:

Interesse

Jede Zahl, die ein Hundertstel eines Ganzen ist, heißt Eins Prozentsatz.

1% = 1/100 = 0,01.

Um einen Bruch in einen Prozentsatz umzuwandeln, muss er in eine Dezimalzahl umgewandelt und dann mit 100 % multipliziert werden.

Zum Beispiel,

Prozentsätze werden in drei Hauptfällen verwendet:

1. Wenn Sie einen bestimmten Prozentsatz einer Zahl ermitteln müssen. Stellen Sie sich vor, Sie erhalten jeden Monat 10 % des Gehalts Ihrer Eltern. Wenn Sie jedoch keine Mathematikkenntnisse haben, können Sie nicht berechnen, wie hoch Ihr monatliches Einkommen sein wird. Das ist also ganz einfach.

Stellen wir uns vor, Ihre Eltern erhalten jeden Monat 100.000 Rubel. Um den Betrag zu ermitteln, den Sie monatlich erhalten sollten, müssen Sie den Gewinn Ihrer Eltern durch 100 teilen und mit 10 % multiplizieren, was Sie erhalten sollten:

100000: 100 * 10 = 10000 (Rubel).

2. Wenn Sie herausfinden müssen, wie viel Ihre Eltern monatlich erhalten, wenn Sie wissen, dass sie Ihnen 6.000 Rubel geben, und dies wiederum 3 %, dann nennt man diese Aktion mit Zinsen die Ermittlung der Zahl anhand ihres Prozentsatzes. Dazu müssen Sie den resultierenden Betrag mit 100 multiplizieren und durch Ihren Prozentsatz dividieren:

6000 * 100: 3 = 200000 (Rubel).

3. Wenn Sie tagsüber 1 Liter Wasser trinken und beispielsweise 2 Liter Wasser trinken müssen, können Sie ganz einfach den Prozentsatz an Wasser ermitteln, den Sie trinken. Dazu müssen Sie 1 Liter durch 2 Liter teilen und mit 100 % multiplizieren.

1: 2 * 100% = 50%.

Ein gemeinsamer Bruch ist eine Zahl in der Form, in der sich der Typ befindet ganze Zahlen, zum Beispiel, Die Zahl heißt Zähler eines Bruchs, - der Nenner. Insbesondere hat der Bruch in diesem Fall vielleicht die Form, aber häufiger wird er einfach geschrieben. Das bedeutet, dass jede natürliche Zahl als gewöhnlicher Bruch mit dem Nenner 1 dargestellt werden kann. Notation – eine andere Version der Notation

Gewöhnliche Brüche werden in echte und unechte Brüche unterteilt

Brüche Ein Bruch heißt eigentlich, wenn sein Zähler kleiner als sein Nenner ist, und unecht, wenn sein Zähler größer oder gleich dem Nenner ist.

Jeder unechte Bruch kann als Summe einer natürlichen Zahl und dargestellt werden richtiger Bruch(oder in Form einer natürlichen Zahl, wenn der Bruch so ist, dass er ein Vielfaches von z. B. ist)

Beispiel. Stellen Sie einen unechten Bruch als Summe einer natürlichen Zahl und eines echten Bruchs dar: a)

Lösung a)

Es ist üblich, die Summe einer natürlichen Zahl und eines echten Bruchs ohne das Additionszeichen zu schreiben, d. h. statt zu schreiben anstatt zu schreiben, wird eine in dieser Form geschriebene Zahl als gemischte Zahl bezeichnet. Es besteht aus zwei Teilen: ganzzahlig und gebrochen. Also, für die Nummer 3 - ganzer Teil ist gleich 3 und der Bruch - Jeder unechte Bruch kann in der Form geschrieben werden gemischte Zahl(oder als natürliche Zahl). Das Umgekehrte gilt auch: Jede gemischte oder natürliche Zahl kann als unechter Bruch geschrieben werden. Zum Beispiel, .

Transkript

2 HAUPTWELLE 2013 ZENTRUM URAL SIBIRIEN OST: Brüche Prozente rationale Zahlen Theorie: Menge rationaler Zahlen 1 1 ~ HOD ge N Z Grundeigenschaft 0 0. Proportion ist die Gleichheit zweier Verhältnisse. Eigenschaft: Konsequenzen Das Schema ist direkt proportionale Abhängigkeit. Grundeigenschaften 1. Ordnung: 0; 0 ; Additionsoperation: ; HOK 3. Operation der Multiplikation und Division: 4. Transitivität der Ordnungsrelation: 5. Kommutativität: 6. Assoziativität: 7. Distributivität: 8. Vorhandensein von Null: Vorhandensein entgegengesetzter Zahlen: Vorhandensein von Eins: Vorhandensein reziproke Zahlen: R R. 12. Zusammenhang der Ordnungsrelation mit der Additionsoperation. Dieselbe rationale Zahl kann auf der linken und rechten Seite einer rationalen Ungleichung hinzugefügt werden. 2 B1

3 13. Zusammenhang der Ordnungsrelation mit der Multiplikationsoperation. Die linke und rechte Seite einer rationalen Ungleichung können mit derselben positiven rationalen Zahl multipliziert werden. Axiom von Archimedes. Unabhängig von der rationalen Zahl können Sie so viele Einheiten nehmen, dass ihre Summe a übersteigt. Nk Rationale Ungleichheiten eines Zeichens können Term für Term hinzugefügt werden. Jeder rationale Bruch kann in seinen entsprechenden Dezimalbruch umgewandelt werden, indem man den Zähler durch den Nenner dividiert. 1 Rest kann gleich Null sein und der Quotient wird als endlicher Dezimalbruch ausgedrückt, zum Beispiel wird 3:4 = Null im Rest nie funktionieren, da die Reste endlos wiederholt werden und der Quotient als ausgedrückt wird ein unendlicher periodischer Dezimalbruch. Zum Beispiel 2:3=0666 =06 7:13= = :15=21333 = ? Interesse. Der Hundertstelteil einer Zahl wird als Prozentsatz bezeichnet. Drei Arten von Problemen mit Prozentsätzen A 100 % 1. Prozentsätze ermitteln angegebene Nummer Ein p% x. x p% 100 % Um p % der Zahl „A“ zu ermitteln, müssen Sie 1 % von „A“ A: 100 % ermitteln und mit p % multiplizieren. 2. Ermitteln einer Zahl aus einer anderen Zahl und ihres Werts als Prozentsatz der gewünschten Zahl. x 100 % 100 % x. p% p% Um eine Zahl für einen gegebenen Wert „a“ zu finden, müssen Sie 1 % der gewünschten Zahl ermitteln, indem Sie den gegebenen Wert „a“ durch p % dividieren und das Ergebnis mit 100 % A 100 % 3 multiplizieren . Den Prozentsatz von Zahlen ermitteln. 100 % x % x % A Sie müssen das Verhältnis der Zahl „a“ zur Zahl „A“ ermitteln und mit 100 % multiplizieren. 3

4 ZENTRUM Option 1;8. Eine Tablette des Arzneimittels wiegt 70 mg und enthält 4 % aktive Substanz. Verschreibt der Arzt einem Kind unter 6 Monaten und einem Gewicht von 8 kg pro Tag 105 mg des Wirkstoffs? Option 2. Eine Tablette des Arzneimittels wiegt 20 mg und enthält 5 % des Wirkstoffs. Verschreibt der Arzt einem Kind unter 6 Monaten 04 mg des Wirkstoffs für jedes Kind im Alter von drei Monaten und einem Gewicht von 5 kg pro Tag? Option 3. Eine Tablette des Arzneimittels wiegt 20 mg und enthält 5 % des Wirkstoffs. Verschreibt der Arzt einem Kind unter 6 Monaten und einem Gewicht von 7 kg pro Tag 1 mg des Wirkstoffs? Option 4;5. Eine Tablette des Arzneimittels wiegt 20 mg und enthält 9 % des Wirkstoffs. Verschreibt der Arzt einem Kind unter 6 Monaten und einem Gewicht von 8 kg pro Tag 135 mg des Wirkstoffs für jedes Kind im Alter von vier Monaten und einem Gewicht von 8 kg? Option 6. Eine Tablette des Arzneimittels wiegt 30 mg und enthält 5 % des Wirkstoffs. Verschreibt der Arzt einem Kind unter 6 Monaten alle 5 Monate und einem Gewicht von 8 kg pro Tag 075 mg des Wirkstoffs? Option 7. Eine Tablette des Arzneimittels wiegt 40 mg und enthält 5 % des Wirkstoffs. Verschreibt der Arzt einem Kind unter 6 Monaten und einem Gewicht von 8 kg pro Tag 125 mg des Wirkstoffs für jedes Kind im Alter von drei Monaten und einem Gewicht von 8 kg? Beachten Sie, dass die acht Optionen aus sechs Aufgaben mit unterschiedlichen numerischen Daten, aber demselben Inhalt bestehen. Notwendige Informationen Für die Berechnung haben sie es in die Tabelle eingetragen: Gewicht eines Prozentgehalts Optionen Rezept mg Gewicht des Kindes kg Tabletten mg Wirkstoff % 1 und und Lösung von Option 1. Idee: Der Prozentsatz des Wirkstoffs in einer Tablette ist bekannt, sodass Sie die entsprechende Menge des Stoffes in mg finden können. Wenn Sie das Gewicht des Kindes und die Dosierung des Wirkstoffs pro 1 kg Körpergewicht kennen, können Sie die tägliche Dosis des Wirkstoffs ermitteln. Dann ist die Anzahl der Tabletten der Quotient aus der täglichen Wirkstoffmenge geteilt durch die Wirkstoffmenge in einer Tablette. Maßnahmen: 1. Bestimmen Sie die Wirkstoffmenge in einer Tablette. Machen wir ein Verhältnis: Nehmen wir das Gewicht einer 70-mg-Tablette als 100 % und 4 % dieses Gewichts ergeben x mg Wirkstoffmenge in einer Tablette. Schreiben wir diesen Anteil schematisch auf. Von hier aus finden wir den unbekannten Begriff des Anteils. Dazu müssen Sie die bekannten Terme einer Diagonale mit x 4 % multiplizieren und durch den bekannten Term der anderen Diagonale dividieren: 70 4 % x 28 mg. 100 % 4

5 2. Bestimmen Sie die vom Arzt verordnete Wirkstoffmenge entsprechend der Verordnung und berücksichtigen Sie dabei das Gewicht des Kindes. Die Dosis der Substanz muss mit dem Gewicht des Kindes multipliziert werden: mg. Das bedeutet, dass das Kind täglich 84 mg Wirkstoff einnehmen muss. Bestimmen Sie die Anzahl der Tabletten mit 84 mg Wirkstoff. 3 Registerkarte. 28 Antwort 3. Andere Optionen werden auf ähnliche Weise gelöst. IN URAL Option 1;5. In der Wohnung, in der Anastasia lebt, ist ein Durchflussmesser installiert kaltes Wasser Schalter. Am 1. September zeigte der Zähler einen Verbrauch von 122 Kubikmetern Wasser an, am 1. Oktober waren es 142 Kubikmeter. Welchen Betrag sollte Anastasia im September für kaltes Wasser bezahlen, wenn der Preis für 1 Kubikmeter kaltes Wasser 9 Rubel 90 Kopeken beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 2. In der Wohnung, in der Maxim wohnt, ist ein Kaltwasserzähler installiert. Am 1. Februar zeigte der Zähler einen Verbrauch von 129 Kubikmetern Wasser an, am 1. März waren es 140 Kubikmeter. Welchen Betrag sollte Maxim im Februar für kaltes Wasser zahlen, wenn der Preis für 1 Kubikmeter kaltes Wasser 10 Rubel, 60 Kopeken beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 3. In der Wohnung, in der Alexey lebt, ist ein Kaltwasserzähler installiert. Am 1. Juni zeigte der Zähler einen Verbrauch von 151 Kubikmetern Wasser an, am 1. Juli waren es 165 Kubikmeter. Welchen Betrag sollte Alexey im März für kaltes Wasser bezahlen, wenn der Preis für 1 Kubikmeter kaltes Wasser 20 Rubel, 80 Kopeken beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 4. In der Wohnung, in der Asya lebt, ist ein Durchflussmesser installiert heißes Wasser Schalter. Am 1. Mai zeigte der Zähler einen Verbrauch von 84 Kubikmetern Wasser an, am 1. Juni waren es 965 Kubikmeter. Welchen Betrag sollte Anastasia im Januar für Warmwasser zahlen, wenn der Preis für 1 Kubikmeter Warmwasser 72 Rubel, 60 Kopeken beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 6;8. In der Wohnung, in der Anfisa wohnt, ist ein Warmwasserzähler installiert. Am 1. September zeigte der Zähler einen Verbrauch von 239 Kubikmetern Wasser an, am 1. Oktober waren es 349 Kubikmeter. Welchen Betrag sollte Anfisa im September für Warmwasser zahlen, wenn der Preis für 1 Kubikmeter Warmwasser 78 Rubel, 60 Kopeken beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 7. In der Wohnung, in der Alla wohnt, ist ein Warmwasserzähler installiert. Am 1. Juli zeigte der Zähler einen Verbrauch von 772 Kubikmetern Wasser an, am 1. August waren es 797 Kubikmeter. Welchen Betrag sollte Alla im Juli für Warmwasser zahlen, wenn der Preis für 1 Kubikmeter Warmwasser 144 Rubel, 80 Kopeken beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Die Region URAL hat das Problem der Bezahlung des Wasserverbrauchs mit einem Zähler gelöst. Die numerischen Daten zur Berechnung der Optionen wurden in die Tabelle eingetragen: Vari Zählerstände zu Beginn Zählerstände zu Beginn Preis 1 Kubikmeter Ante des Kalendermonats Kubikmeter des nächsten Kalendermonats Kubikmeter 1 und Rubel 90 Kopeken Rubel 60 Kopeken Rubel 80 Kopeken Rubel 60 Kopeken 6 und Rubel 60 Kopeken Rubel 80 Kopeken Lösung zu Option 1. Idee: Die Zählerstände sind zu Beginn des Kalendermonats Kubikmeter und zu Beginn des nächsten Kalendermonats Kubikmeter bekannt. So können Sie den zu zahlenden monatlichen Wasserverbrauch ermitteln. Wenn Sie die Anzahl der verbrauchten Kubikmeter Wasser und den Preis für einen Kubikmeter Wasser kennen, können Sie den Betrag ermitteln, den Sie für dieses Wasser bezahlen müssen. 5

6 Aktionen: Wasserverbrauch für den Monat ermitteln Bestimmen Sie den zu zahlenden Betrag für verbrauchtes Wasser für den Monat p Antwort 198. Die übrigen Optionen werden auf die gleiche Weise gelöst. NACH SIBIRIEN Option 1. 1 Kilowattstunde Strom kostet 1 Rubel 40 Kopeken. Der Stromzähler zeigte am 1. Juni Kilowattstunden und am 1. Juli Kilowattstunden an. Wie viel muss man im Juni für Strom bezahlen? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 2. 1 Kilowattstunde Strom kostet 1 Rubel 20 Kopeken. Der Stromzähler zeigte am 1. November 669 Kilowattstunden und am 1. Dezember 846 Kilowattstunden an. Wie viel muss ich für den Strom im November bezahlen? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 3. 1 Kilowattstunde Strom kostet 2 Rubel 40 Kopeken. Der Stromzähler zeigte am 1. Oktober Kilowattstunden und am 1. November Kilowattstunden an. Wie viel muss ich im Oktober für Strom bezahlen? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 4;5. 1 Kilowattstunde Strom kostet 2 Rubel 50 Kopeken. Der Stromzähler zeigte am 1. Januar Kilowattstunden und am 1. Februar Kilowattstunden an. Wie viel muss ich im Januar für Strom bezahlen? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 6. 1 Kilowattstunde Strom kostet 1 Rubel 30 Kopeken. Der Stromzähler zeigte am 1. September Kilowattstunden und am 1. Oktober Kilowattstunden an. Wie viel muss ich für Strom im September bezahlen? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 7;8. 1 Kilowattstunde Strom kostet 1 Rubel 70 Kopeken. Am 1. April zeigte der Stromzähler Kilowattstunden an und am 1. Mai zeigte er Kilowattstunden an. Wie viel muss ich für den Strom im April bezahlen? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Die Region SIBIRIEN hat das Problem der Abrechnung des Stromverbrauchs per Zähler gelöst. In die Tabelle wurden numerische Daten zur Berechnung nach den Optionen eingetragen: Optionen Zählerstände zu Beginn des Kalendermonats kWh Zählerstände zu Beginn des nächsten Kalendermonats kWh Kosten für 1 Kilowattstunde Rubel 40 Kopeken Rubel 20 Kopeken Rubel 40 4 Kopeken und Rubel 50 Kopeken Rubel 30 7 Kopeken und 70 Kopeken Rubel Lösung zu Option 1. Idee: Die Zählerstände zu Beginn des Kilowattstunden-Kalendermonats und zu Beginn des nächsten Kilowattstunden-Kalendermonats sind bekannt. So können Sie den monatlich zu zahlenden Stromverbrauch ermitteln. Wenn Sie die Anzahl der verbrauchten Kilowattstunden Strom und den Preis einer Kilowattstunde kennen, können Sie den Betrag ermitteln, der für diesen Strom bezahlt werden muss. Aktionen: Bestimmen Sie den Stromverbrauch für den Monat. Bestimmen Sie den Betrag, der für den verbrauchten Strom für den Monat zu zahlen ist. 6

7 p Antwort Die restlichen Optionen werden auf ähnliche Weise gelöst. NACH OSTEN Option1;5;8. In der Wohnung, in der Ekaterina lebt, ist ein Kaltwasserzähler installiert. Am 1. September zeigte der Zähler einen Verbrauch von 189 Kubikmetern Wasser an, am 1. Oktober waren es 204 Kubikmeter. Welchen Betrag sollte Ekaterina im September für kaltes Wasser bezahlen, wenn der Preis für 1 Kubikmeter kaltes Wasser 16 Rubel 90 Kopeken beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 2. In der Wohnung, in der Valery wohnt, ist ein Kaltwasserzähler installiert. Am 1. März zeigte der Zähler einen Verbrauch von 182 Kubikmetern Wasser an, am 1. April waren es 192 Kubikmeter. Welchen Betrag sollte Valery im März für kaltes Wasser bezahlen, wenn der Preis für 1 Kubikmeter kaltes Wasser 23 Rubel, 10 Kopeken beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 3. In der Wohnung, in der Marina wohnt, ist ein Kaltwasserzähler installiert. Am 1. Juli zeigte der Zähler einen Verbrauch von 120 Kubikmetern Wasser an, am 1. August waren es 131 Kubikmeter. Welchen Betrag sollte Marina im Juli für kaltes Wasser zahlen, wenn der Preis für 1 Kubikmeter kaltes Wasser 20 Rubel 60 Kopeken beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 4. In der Wohnung, in der Egor lebt, ist ein Warmwasserzähler installiert. Am 1. November zeigte der Zähler einen Verbrauch von 879 Kubikmetern Wasser an, am 1. Dezember waren es 969 Kubikmeter. Welchen Betrag sollte Jegor im November für Warmwasser zahlen, wenn der Preis für 1 Kubikmeter Warmwasser 108 Rubel, 20 Kopeken beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 6. In der Wohnung, in der Mikhail lebt, ist ein Warmwasserzähler installiert. Am 1. März zeigte der Zähler einen Verbrauch von 708 Kubikmetern Wasser an, am 1. April waren es 828 Kubikmeter. Welchen Betrag sollte Mikhail im März für Warmwasser zahlen, wenn der Preis für 1 Kubikmeter Warmwasser 72 Rubel, 20 Kopeken beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Option 7. In der Wohnung, in der Anastasia lebt, ist ein Warmwasserzähler installiert. Am 1. Januar zeigte der Zähler einen Verbrauch von 894 Kubikmetern Wasser an, am 1. Februar waren es 919 Kubikmeter. Welchen Betrag sollte Anastasia im Januar für Warmwasser zahlen, wenn der Preis für 1 Kubikmeter Warmwasser 103 Rubel, 60 Kopeken beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an. Die Aufgaben der Region WOSTOK stimmten mit den Aufgaben der Region URAL überein, mit einem Unterschied in den numerischen Daten. Optionen Zählerstände zu Beginn eines Kalendermonats, Kubikmeter Zählerstände zu Beginn des nächsten Kalendermonats, Kubikmeter Preis 1 Kubikmeter 1 und 5 und Rubel 90 Kopeken Rubel 10 Kopeken Rubel 60 Kopeken Rubel 20 Kopeken Rubel 20 Kopeken Rubel 60 Kopeken Daher werden die Idee der Lösung und die Maßnahmen denen ähneln, die zuvor für die URAL-Region besprochen wurden. IN

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Viertel 1 Welche Zahlen sind natürliche Zahlen? Wie liest man eine Zahl? Wie schreibe ich eine Zahl in Ziffern? Beziehungen zwischen Einheiten Wie zeichnet man einen Koordinatenstrahl und markiert Punkte auf diesem Strahl? Zahlenformeln das

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1 IRRATIONALE UND REALE ZAHLEN Irrationale Zahlen Das einfachste Beispiel der Messung der Länge der Diagonale eines Einheitsquadrats zeigt, dass der Vorgang des Ziehens der Quadratwurzel einer rationalen Zahl erfolgt

26. Ganzzahlige Probleme Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen (1 8): 1. 247 und 221. 2. 437 und 323. 3. 357 und 391. 4. 253 und 319. 5. 42 4 und 54 3. 6 . 78 4 und 65 2. 7. 77 3 und 242 2. 8. 51 3 und 119 2. 9. Summe

Inhalt: 1. Addition und Subtraktion natürlicher Zahlen. Vergleich natürlicher Zahlen. 2. Numerische und alphabetische Ausdrücke. Die gleichung. 3. Multiplikation natürlicher Zahlen. 4. Division natürlicher Zahlen. Gewöhnlich

VORTRAG 6 LINEARKOMBINATIONEN UND LINEARE ABHÄNGIGKEIT HAUPTLEMMA ÜBER LINEARE ABHÄNGIGKEIT, GRUNDLAGE UND DIMENSION DES LINEARRAUMS RANG DES VEKTORSYSTEMS 1 LINEARE KOMBINATIONEN UND LINEARE ABHÄNGIGKEIT

Die Haupteigenschaft eines Bruchs REGELN BEISPIELAUFGABEN Reduzieren Sie den Bruch auf einen neuen Nenner: 1) Multiplizieren (oder dividieren) Sie den Nenner des Bruchs mit der Zahl. 2) Multiplizieren (oder dividieren) Sie den Zähler des Bruchs mit derselben Zahl.

I Option 8B Klasse, 4. Oktober 007 1 Ergänzen Sie die fehlenden Wörter: Definition 1 Arithmetik Quadratwurzel deren Zahl gleich a aus der Zahl a (a 0) ist, wird wie folgt bezeichnet: durch den Ausdruck Die Aktion des Findens

Frage: Welche Zahlen nennt man natürliche Zahlen? Antwort: Natürliche Zahlen sind Zahlen, die zum Zählen verwendet werden. Was sind Klassen und Ränge in der Notation von Zahlen? Wie heißen Zahlen beim Addieren? Formulieren Sie einen Konsonanten

Für ausländische Zuhörer Vorbereitungsabteilung AUTOR: Starovoitova Natalya Aleksandrovna Abteilung für voruniversitäre Ausbildung und Berufsberatung 1 2 3 8 4 Nummern; ; ; ; 2 3 7 5 4 - gewöhnliche Brüche.

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ALGEBRA: Zahlen

2.2. Ganze Zahlen und rationale Zahlen. Interesse

Gewöhnliche Brüche.

Gemeinsamer Bruch

ist eine Zahl der Form, wobei m und n natürliche Zahlen sind. Die Zahl m heißt Zähler des Bruchs, N- Nenner. Wenn n = 1, dann hat der Bruch die Form , aber häufiger schreiben sie einfach m, d.h. Jede natürliche Zahl kann als gemeinsamer Bruch mit dem Nenner 1 dargestellt werden.

Der Bruch heißt richtig, wenn sein Zähler kleiner als sein Nenner ist, und falsch wenn sein Zähler größer oder gleich dem Nenner ist. Jeder unechte Bruch kann als Summe einer natürlichen Zahl und eines echten Bruchs dargestellt werden (oder als natürliche Zahl, wenn m ein Vielfaches von n ist).

Es ist üblich, die Summe einer natürlichen Zahl und eines echten Bruchs ohne das Additionszeichen, also statt zu schreiben. Eine in dieser Form geschriebene Zahl heißt gemischte Zahl. Es besteht aus einem ganzzahligen und einem gebrochenen Teil.

Gleichheit der Brüche. Brüche reduzieren.

Es werden zwei Brüche gezählt gleich wenn ad = bc. Aus der Definition von Gleichheit ergibt sich Folgendes

= , weil . Die Haupteigenschaft eines Bruchs:Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben natürlichen Zahl multipliziert oder dividiert werden, erhält man einen Bruch, der der angegebenen Zahl entspricht. Mithilfe der Grundeigenschaft eines Bruchs ist es manchmal möglich, einen bestimmten Bruch durch einen anderen zu ersetzen, dessen Zähler und Nenner kleiner als die Daten sind. Dieser Ersatz wird aufgerufen die Ermäßigung Brüche Wenn Zähler und Nenner gegenseitig sind Primzahlen, dann ist eine Reduktion nicht möglich und ein solcher Bruch heißt irreduzibel.

Arithmetische Operationen mit gewöhnlichen Brüchen.

Gegeben seien zwei Brüche und

, . Sie können diese Brüche durch andere ersetzen, die ihnen gleich sind, sodass die resultierenden Brüche haben gleiche Nenner. Diese Transformation heißt Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Normalerweise versuchen sie, Brüche auf zu reduzieren kleinster gemeinsamer Nenner, was gleich N.O.K.().

1.Zusatz Gewöhnliche Brüche werden so gemacht:

A) Wenn die Nenner gleich sind, werden die Zähler addiert und hinterlassen denselben Nenner:;

2. Subtraktion Gewöhnliche Brüche werden wie folgt durchgeführt:

A) wenn die Nenner gleich sind, dann

b) Sind die Nenner der Brüche unterschiedlich, werden die Brüche zunächst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduziert und dann Regel a) angewendet.

3. MultiplikationGewöhnliche Brüche werden wie folgt ausgeführt:

4. Die Division gewöhnlicher Brüche erfolgt wie folgt:

.

Dezimalbrüche. Konvertieren eines Dezimalbruchs in gemeinsamer Bruch.

Eine Dezimalzahl ist eine andere Form, einen Bruch mit einem Nenner zu schreiben. Zum Beispiel . Wenn der Nenner eines Bruchs nur durch 2 und 5 faktorisiert wird, kann der Bruch als Dezimalzahl geschrieben werden; Wenn der Bruch irreduzibel ist und die Zerlegung seines Nenners in Primfaktoren andere Primfaktoren einschließt, kann dieser Bruch nicht als Dezimalzahl geschrieben werden.

In einem Dezimalbruch können Sie rechts Nullen hinzufügen und weglassen – Sie erhalten einen entsprechenden Bruch.

Ein Bruch, der unendlich viele Nachkommastellen hat, heißt unendlicher Dezimalbruch.

Satz 10.

Jeder gewöhnliche Bruch kann als unendlicher Dezimalbruch dargestellt werden.

Eine sich sequentiell wiederholende Gruppe von Ziffern (Minimum) nach dem Dezimalpunkt in der Dezimalschreibweise einer Zahl wird als Punkt bezeichnet, und ein unendlicher Dezimalbruch mit einem Punkt wird als periodisch bezeichnet.

Sei es durch einen periodischen Dezimalbruch gegeben: , wo - m-stellige Zahl also

, YU
YU - Formel zur Umwandlung eines periodischen Dezimalbruchs in einen gewöhnlichen Bruch.

Interesse.

Unter den Dezimalbrüchen ist der am häufigsten verwendete Bruch 0,01, der aufgerufen wird Prozentsatz und wird mit 1 bezeichnet

%. Also 1 % = 0,01; 25 % = 0,25; 450 % = 4,5 usw.

BEISPIEL Ein Arbeiter musste pro Schicht 60 Teile produzieren. Am Ende des Arbeitstages stellte sich heraus, dass er 125 geschafft hatte

% Aufgaben. Wie viele Teile hat der Arbeiter hergestellt?

Lösung: 1) 125

% = 1,25

2)60H 1,25 = 75.

ANTWORT: 75 Teile.

Koordinatenlinie.

Nehmen wir eine Gerade l, markieren Sie darauf einen Punkt O, den wir als Ursprung nehmen, legen die Richtung und das Einheitssegment fest. In diesem Fall sagen sie das gegeben Koordinatenlinie. Jede natürliche Zahl oder jeder Bruch entspricht einem Punkt auf der Geraden l. Entspricht ein Punkt M einer Geraden l einer bestimmten Zahl r, so heißt diese Zahl Koordinate Punkt M und wird mit M(r) bezeichnet. Die Zahlen a und -a heißen Gegenteil. Die Zahlen, die Punkten entsprechen, die sich auf einer Koordinatenlinie in einer bestimmten Richtung befinden, werden aufgerufen positiv; Es werden Zahlen genannt, die Punkten entsprechen, die sich auf einer Koordinatenlinie in entgegengesetzter Richtung zu einer bestimmten befinden Negativ. Die Zahl 0 gilt weder als positiv noch als negativ. Punkt O, entsprechend der Zahl 0, trennt Punkte mit positiven Koordinaten von Punkten mit negativen Koordinaten auf der Koordinatenlinie.

Eine gegebene Richtung auf einer Koordinatenlinie wird aufgerufen positiv(normalerweise geht es nach rechts), und die Richtung, die der angegebenen entgegengesetzt ist, ist Negativ

.

Ganze Zahlen und rationale Zahlen.

Die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... werden auch positive ganze Zahlen genannt. Die den natürlichen Zahlen entgegengesetzten Zahlen -1, -2, -3, ... werden negative ganze Zahlen genannt. Die Zahl 0 ist ebenfalls eine ganze Zahl. Ganze Zahlen- natürliche Zahlen, ihre Gegensätze und 0.

Ganze Zahlen und Brüche (positiv und negativ) bilden die Menge Rationale Zahlen.

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