طالب الصف العاشر يوري كوتوفتشيخين

يبدأ الطلاب في دراسة المعادلات ذات الوحدات في وقت مبكر من الصف السادس، ويتعلمون طريقة الحل القياسي باستخدام توسيع الوحدات على فترات ذات إشارة ثابتة للتعبيرات الجزئية. لقد اخترت هذا الموضوع بالذات لأنني أعتقد أنه يتطلب دراسة أكثر تعمقا وشمولا، حيث أن مشاكل الوحدة تسبب صعوبات كبيرة للطلاب. في المنهج المدرسيهناك مهام تحتوي على وحدة نمطية كمهام متزايدة التعقيد في الامتحانات، لذلك يجب أن نكون مستعدين لمواجهة مثل هذه المهمة.

تحميل:

معاينة:

البلدية مؤسسة تعليمية

متوسط مدرسة شاملة №5

العمل البحثي حول الموضوع:

« الحل الجبري والرسومي للمعادلات والمتباينات التي تحتوي على معامل»

لقد أنجزت العمل:

طالب في الصف العاشر

كوتوفتشيخين يوري

مشرف:

مدرس رياضيات

شانتا ن.ب.

يوريوبينسك

1.مقدمة……………………………………………….3

2. المفاهيم والتعاريف ……………………………….5

3. إثبات النظريات................................................................6

4. طرق حل المعادلات التي تحتوي على الوحدة ...........7

4.1 الحل باستخدام التبعيات بين الأعداد a وb ووحداتها ومربعاتها................................................................................................ 12

4.2.استخدام التفسير الهندسي للموديول في حل المعادلات.................................................14

4.3.رسوم بيانية لأبسط الدوال تحتوي على إشارة القيمة المطلقة.

………………………………………………………………………15

4.4.حل المعادلات غير القياسية التي تحتوي على وحدة....16

5. الخاتمة ............................................................ 17

6. قائمة الأدبيات المستخدمة ........................... 18

الغرض من العمل: يبدأ الطلاب في دراسة المعادلات ذات الوحدات من الصف السادس، ويتعلمون طريقة الحل القياسي باستخدام توسيع الوحدات على فترات ذات إشارة ثابتة للتعبيرات الجزئية. لقد اخترت هذا الموضوع بالذات لأنني أعتقد أنه يتطلب دراسة أكثر تعمقا وشمولا، حيث أن مشاكل الوحدة تسبب صعوبات كبيرة للطلاب. في المناهج الدراسية هناك مهام تحتوي على وحدة نمطية كمهام متزايدة التعقيد وفي الامتحانات، لذلك يجب أن نكون مستعدين لمواجهة مثل هذه المهمة.

1 المقدمة:

كلمة "وحدة" تأتي من الكلمة اللاتينية "modulus"، والتي تعني "القياس". هذه كلمة متعددة المعاني (مجانسة)، والتي لها معاني كثيرة وتستخدم ليس فقط في الرياضيات، ولكن أيضا في الهندسة المعمارية والفيزياء والتكنولوجيا والبرمجة وغيرها من العلوم الدقيقة.

في الهندسة المعمارية، هذه هي وحدة القياس الأولية التي تم إنشاؤها لهيكل معماري معين وتستخدم للتعبير عن نسب متعددة للعناصر المكونة له.

في مجال التكنولوجيا، هذا هو المصطلح المستخدم في مناطق مختلفةتقنية ليس لها معنى عالمي وتعمل على التحديد معاملات مختلفةوالكميات، على سبيل المثال، معامل الارتباط، ومعامل المرونة، وما إلى ذلك.

المعامل الحجمي (في الفيزياء) هو نسبة الإجهاد الطبيعي في المادة إلى الاستطالة النسبية.

2. المفاهيم والتعاريف

يُشار إلى المعامل - القيمة المطلقة - للرقم الحقيقي A بالرمز |A|.

للدراسة بعمق هذا الموضوع، أريد أن أتعرف على أبسط التعريفات التي سأحتاجها:

المعادلة هي مساواة تحتوي على متغيرات.

المعادلة ذات المعامل هي معادلة تحتوي على متغير تحت علامة القيمة المطلقة (تحت علامة المعامل).

حل المعادلة يعني إيجاد جميع جذورها، أو إثبات عدم وجود جذور.

3. إثبات النظريات

النظرية 1. قيمه مطلقهعدد حقيقي يساوي أكبر الرقمين a أو -a.

دليل

1. إذا كان الرقم a موجبًا، فإن -a سالب، أي -a

على سبيل المثال، الرقم 5 موجب، ثم -5 سالب و-5

في هذه الحالة |أ| = أ، أي |أ| يطابق أكبر رقمين a و - a.

2. إذا كانت a سالبة، فإن -a موجبة وa

عاقبة. ويترتب على ذلك أن |-a| = |أ|.

في الواقع، كلاهما و يساوي أكبر الأرقام -a وa، مما يعني أنهما متساويان مع بعضهما البعض.

النظرية 2. القيمة المطلقة لأي عدد حقيقي أ تساوي العملية الحسابية الجذر التربيعيمن 2 .

في الواقع، إذا، من خلال تعريف معامل الرقم، سيكون لدينا lАl>0 ومن ناحية أخرى، بالنسبة لـ A>0 فهذا يعني |a| = √أ 2

اذا كان 2

هذه النظرية تجعل من الممكن استبدال |a| عند حل بعض المسائل. على

هندسيا |أ| تعني المسافة على خط الإحداثيات من النقطة التي تمثل الرقم أ إلى نقطة الأصل.

إذا كانت هناك نقطتان على خط الإحداثيات a و -a، على مسافة متساوية من الصفر، ووحداتهما متساوية.

إذا كانت a = 0، فعلى خط الإحداثيات |a| ممثلة بالنقطة 0

4. طرق حل المعادلات التي تحتوي على معامل.

لحل المعادلات التي تحتوي على إشارة القيمة المطلقة، سنعتمد على تعريف مقياس العدد وخصائص القيمة المطلقة للرقم. سنحل عدة أمثلة بطرق مختلفة ونرى أي طريقة أسهل لحل المعادلات التي تحتوي على معامل.

مثال 1. دعونا نحل المعادلة |x + 2| تحليلياً ورسمياً = 1.

حل

الحل التحليلي

الطريقة الأولى

سنفكر بناءً على تعريف الوحدة. إذا كان التعبير تحت المعامل غير سالب، أي x + 2 ≥0، فإنه "يخرج" من تحت علامة المعامل بعلامة زائد وستأخذ المعادلة الشكل: x + 2 = 1. إذا كان قيمة التعبير تحت علامة المعامل سالبة، فهي حسب التعريف تساوي: أو x + 2=-1

وهكذا نحصل على إما x + 2 = 1 أو x + 2 = -1. وبحل المعادلات الناتجة نجد: X+2=1 أو X+2+-1

س=-1 س=3

الجواب: -3;-1.

الآن يمكننا أن نستنتج: إذا كان معامل تعبير ما يساوي عددًا حقيقيًا موجبًا a، فإن التعبير تحت المعامل يكون إما a أو -a.

الحل الرسومي

إحدى طرق حل المعادلات التي تحتوي على وحدة هي الطريقة الرسومية. جوهر هذه الطريقة هو بناء الرسوم البيانية لهذه الوظائف. إذا تقاطعت الرسوم البيانية، فإن نقاط تقاطع هذه الرسوم البيانية ستكون جذور المعادلة. إذا لم تتقاطع الرسوم البيانية، يمكننا أن نستنتج أن المعادلة ليس لها جذور. ربما يتم استخدام هذه الطريقة في كثير من الأحيان أقل من غيرها لحل المعادلات التي تحتوي على معامل، لأنها، أولاً، تستغرق الكثير من الوقت وليست عقلانية دائمًا، وثانيًا، النتائج التي يتم الحصول عليها عند رسم الرسوم البيانية ليست دقيقة دائمًا.

هناك طريقة أخرى لحل المعادلات التي تحتوي على معامل وهي تقسيم خط الأعداد إلى فترات. في هذه الحالة، علينا تقسيم خط الأعداد بحيث يمكن، حسب تعريف المقياس، إزالة إشارة القيمة المطلقة في هذه الفترات. بعد ذلك، بالنسبة لكل فترة من الفترات، سيتعين علينا حل هذه المعادلة والتوصل إلى نتيجة بشأن الجذور الناتجة (سواء كانت تلبي هذه الفترة أم لا). الجذور التي تسد الفجوات ستعطي الإجابة النهائية.

الطريقة الثانية

دعونا نحدد قيم x التي تساوي الوحدة صفر: |X+2|=0, X=2

نحصل على فترتين، في كل منهما نحل المعادلة:

نحصل على نظامين مختلطين:

(1) س+2 0

س-2=1 س+2=1

دعونا نحل كل نظام:

س=-3 س=-1

الجواب: -3;-1.

الحل الرسومي

ص= |X+2|، ص= 1.

الحل الرسومي

لحل المعادلة بيانيا، تحتاج إلى بناء الرسوم البيانية للوظائف و

لإنشاء رسم بياني لدالة، دعونا نبني رسمًا بيانيًا لدالة - هذه دالة تتقاطع مع محور OX ومحور OY عند النقاط.

ستعطي حدود نقاط التقاطع في الرسوم البيانية للوظائف حلولاً للمعادلة.

الرسم البياني المستقيم للدالة y=1 يتقاطع مع الرسم البياني للدالة y=|x + 2| عند النقاط ذات الإحداثيات (-3؛ 1) و (-1؛ 1)، وبالتالي فإن حلول المعادلة ستكون حدود النقاط:

س=-3، س=-1

الجواب: -3;-1

مثال 2. حل المعادلة 1 + |x| تحليلياً وبيانياً = 0.5.

حل:

الحل التحليلي

لنحول المعادلة: 1 + |x| = 0.5

|س| =0.5-1

|x|=-0.5

من الواضح أنه في هذه الحالة ليس للمعادلة حلول، لأن المقياس بحكم التعريف يكون دائمًا غير سالب.

الجواب: لا توجد حلول.

الحل الرسومي

لنحول المعادلة: :1 + |x| = 0.5

|س| =0.5-1

|x|=-0.5

الرسم البياني للوظيفة هو الأشعة - منصفات زاويتي الإحداثيات الأولى والثانية. الرسم البياني للدالة هو خط مستقيم موازي لمحور OX ويمر عبر النقطة -0.5 على محور OY.

الرسوم البيانية غير متقاطعة، مما يعني أن المعادلة ليس لها حلول.

الجواب: لا توجد حلول.

مثال 3. حل المعادلة |-x + 2| تحليلياً وبيانياً = 2س + 1.

حل:

الحل التحليلي

الطريقة الأولى

تحتاج أولاً إلى ضبط المنطقة القيم المقبولةعامل. يطرح سؤال طبيعي: لماذا في الأمثلة السابقة لم تكن هناك حاجة للقيام بذلك، والآن نشأت.

الحقيقة هي أنه في هذا المثال، يوجد على الجانب الأيسر من المعادلة معامل لبعض التعبيرات، وعلى الجانب الأيمن ليس رقمًا، بل تعبير بمتغير - وهذا هو الظرف المهم الذي يميز هذا المثال عن المثال سابقاتها.

نظرًا لوجود معامل على الجانب الأيسر، وعلى الجانب الأيمن تعبير يحتوي على متغير، فمن الضروري اشتراط أن يكون هذا التعبير غير سالب، أي، وبالتالي، نطاق الصالحية

قيم المعامل

الآن يمكننا أن نفكر بنفس الطريقة كما في المثال 1، عندما كان هناك رقم موجب على الجانب الأيمن من المساواة. نحصل على نظامين مختلطين:

(1) -X+2≥0 و (2) -X+2

X+2=2X+1; س-2=2س+1

دعونا نحل كل نظام:

(1) متضمن في الفترة وهو جذر المعادلة.

X ≥2

س=⅓

(2) ×>2

س=-3

X = -3 غير متضمن في الفترة وليس جذرًا للمعادلة.

الجواب: ⅓.

4.1 الحل باستخدام التبعيات بين الرقمين a وb ووحداتهما ومربعات هذه الأرقام.

بالإضافة إلى الطرق التي ذكرتها أعلاه، هناك تكافؤ معين بين الأرقام ووحدات الأرقام المحددة، وكذلك بين المربعات والوحدات النمطية للأرقام المحددة:

|أ|=|ب| أ=ب أو أ=-ب

A2=b2 أ=ب أو أ=-ب

ومن هنا نحصل بدورنا على ذلك

|أ|=|ب| أ 2 = ب 2

مثال 4. حل المعادلة |x + 1|=|2x - 5| بطريقتين مختلفتين.

1. مع مراعاة العلاقة (1) نحصل على:

X + 1=2x - 5 أو x + 1=-2x + 5

س - 2س=-5 - 1 س + 2س=5 - 1

س=-6|(:1) 3س=4

س=6 س=11/3

جذر المعادلة الأولى س=6، جذر المعادلة الثانية س=11/3

وبالتالي فإن جذور المعادلة الأصلية x 1 = 6، × 2 = 11/3

2. وبموجب العلاقة (2) نحصل عليها

(س + 1)2=(2س - 5)2، أو x2 + 2x + 1=4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25=0

3x2 + 22x - 24=0|(:-1)

3x2 - 22x + 24=0

D/4=121-3 24=121 - 72=49>0 ==>للمعادلة جذران مختلفان.

× 1 =(11 - 7)/3=11/3

× 2 =(11 + 7)/3=6

كما يظهر الحل، الجذور معادلة معينةوأيضا الأرقام 11/3 و 6

الإجابة: × 1 = 6، × 2 = 11/3

مثال 5. حل المعادلة (2س + 3) 2 =(س - 1) 2 .

وبأخذ العلاقة (2) في الاعتبار نحصل على |2x + 3|=|x - 1|، ومنها حسب مثال المثال السابق (وبحسب العلاقة (1)):

2س + 3=س - 1 أو 2س + 3=-س + 1

2س - س=-1 - 3 2س+ س=1 - 3

س=-4 س=-0،(6)

وبالتالي فإن جذور المعادلة هي x1 = -4، وx2 = -0، (6)

الإجابة: x1=-4، x2 =0،(6)

مثال 6. حل المعادلة |x - 6|=|x2 - 5x + 9|

وباستخدام العلاقة نحصل على:

س - 6=x2 - 5x + 9 أو x - 6 = -(x2 - 5x + 9)

X2 + 5x + x - 6 - 9=0 |(-1) x - 6=-x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15=0 x2 - 4x + 3=0

د=36 - 4 15=36 - 60= -24 د=16 - 4 3=4 >0==>2 ر.ك.

==> لا جذور.

× 1 =(4- 2) /2=1

× 2 =(4 + 2) /2=3

تحقق من: |1 - 6|=|12 - 5 1 + 9| |3 - 6|=|32 - 5 3 + 9|

5 = 5(ط) 3 = |9 - 15 + 9|

3 = 3(ط)

الجواب: × 1 =1؛ × 2 = 3

4.2.استخدام التفسير الهندسي للموديول لحل المعادلات.

المعنى الهندسي لمعامل الفرق بين الكميات هو المسافة بينهما. على سبيل المثال، معنى هندسيالتعابير |x - a | - طول مقطع محور الإحداثيات الذي يربط النقاط بالإحداثيات a و x. إن ترجمة مشكلة جبرية إلى لغة هندسية غالبًا ما تسمح للمرء بتجنب الحلول المرهقة.

مثال 7. دعونا نحل المعادلة |x - 1| + |x - 2|=1 باستخدام التفسير الهندسي للمعامل.

سنفكر على النحو التالي: بناءً على التفسير الهندسي للوحدة، فإن الجانب الأيسر من المعادلة هو مجموع المسافات من بعض نقاط الإحداثيات المحورية x إلى نقطتين ثابتتين مع الإحداثيات 1 و 2. ومن الواضح أن جميع النقاط ذات الإحداثيات المحورية من الجزء لها الخاصية المطلوبة، والنقاط الموجودة خارج هذا الجزء - لا. ومن هنا الجواب: مجموعة حلول المعادلة هي القطعة.

إجابة:

مثال8. دعونا نحل المعادلة |x - 1| - |x - 2|=1 1 باستخدام التفسير الهندسي للمعامل.

سوف نفكر بشكل مشابه للمثال السابق، وسنجد أن الفرق في المسافات إلى النقاط ذات الإحداثيات 1 و 2 يساوي واحدًا فقط للنقاط الواقعة على المحور الإحداثي على يمين الرقم 2. لذلك، حل هذه المعادلة لن تكون القطعة المحصورة بين النقطتين 1 و 2، والشعاع الخارج من النقطة 2 والموجه في الاتجاه الموجب لمحور الثور.

الإجابة: (1;+)، فإن الخط المستقيم y=a يتقاطع مع التمثيل البياني للمعادلة (1) عند نقطة واحدة. سنجد حدود هذه النقطة عند حل معادلة x.

وبالتالي، في هذه الفترة، المعادلة (1) لها حل.

إذا كانت ، فإن الخط المستقيم y=a يتقاطع مع منحنى المعادلة (1) عند نقطتين. يمكن العثور على حروف هذه النقاط من المعادلات ونحصل عليها

و.

إذا كانت ، فإن الخط المستقيم y=a لا يتقاطع مع الرسم البياني للمعادلة (1)، وبالتالي لا توجد حلول.

إجابة:

إذا كانت  (-;-1](1;+)، إذن؛

إذا كانت  ، إذن؛

إذا كانت  فلا توجد حلول.

ثانيا. ابحث عن جميع قيم المعلمة a التي تحتوي المعادلة على ثلاثة جذور مختلفة.

حل.

بعد إعادة كتابة المعادلة في النموذج والنظر في زوج من الوظائف، يمكنك ملاحظة أن القيم المطلوبة للمعلمة a وهي فقط ستتوافق مع مواضع الرسم البياني للدالة التي بها ثلاث نقاط تقاطع بالضبط مع الرسم البياني الوظيفي.

في نظام الإحداثيات xOy، سنقوم ببناء رسم بياني للدالة). للقيام بذلك، يمكننا تمثيلها في النموذج، وبعد النظر في أربع حالات ناشئة، نكتب هذه الوظيفة في النموذج

بما أن الرسم البياني للدالة عبارة عن خط مستقيم له زاوية ميل لمحور O تساوي ويتقاطع مع محور Oy عند نقطة ذات إحداثيات (0، a)، فإننا نستنتج أنه لا يمكن الحصول على نقاط التقاطع الثلاثة المشار إليها إلا في حالة ملامسة هذا الخط للرسم البياني للوظيفة. لذلك نجد المشتقة

إجابة: .

ثالثا. ابحث عن جميع قيم المعلمة a، لكل منها نظام المعادلات

لديها حلول.

حل.

من المعادلة الأولى للنظام التي حصلنا عليها، تحدد هذه المعادلة عائلة من "شبه القطع المكافئ" - الفروع اليمنى للقطع المكافئ "تنزلق" مع رؤوسها على طول محور الإحداثي السيني.

دعونا نختار على الجانب الأيسر من المعادلة الثانية المربعات المثاليةوتحللها إلى عوامل

مجموعة نقاط المستوى التي تحقق المعادلة الثانية هي خطان مستقيمان

دعونا نتعرف على قيم المعلمة التي يحتوي منحنى من عائلة "semiparabolas" على نقطة مشتركة واحدة على الأقل مع أحد الخطوط المستقيمة الناتجة.

إذا كانت رؤوس القطع المكافئة النصفية تقع على يمين النقطة A، ولكن على يسار النقطة B (النقطة B تتوافق مع رأس "القطع المكافئ" الذي يلامس

خط مستقيم)، فإن الرسوم البيانية قيد النظر لا تحتوي على نقاط مشتركة. إذا كانت قمة "semiparabola" تتزامن مع النقطة A، إذن.

نحدد حالة ملامسة الخط "شبه المكافئ" من شرط وجود حل فريد للنظام

في هذه الحالة المعادلة

له جذر واحد، ومن هنا نجد:

وبالتالي، فإن النظام الأصلي ليس لديه حلول عند، ولكن عند أو لديه حل واحد على الأقل.

الإجابة: أ  (-;-3] (;+).

رابعا. حل المعادلة

حل.

باستخدام المساواة، معادلة معينةدعونا نعيد كتابتها في النموذج

هذه المعادلة تعادل النظام

نعيد كتابة المعادلة في النموذج

. (*)

المعادلة الأخيرة هي الأسهل في الحل باستخدام الاعتبارات الهندسية. لنقم بإنشاء رسوم بيانية للدوال ويترتب على الرسم البياني أن الرسوم البيانية لا تتقاطع، وبالتالي فإن المعادلة ليس لها حلول.

إذا، فعندما تتطابق الرسوم البيانية للوظائف، وبالتالي تكون جميع القيم هي حلول للمعادلة (*).

عندما تتقاطع الرسوم البيانية عند نقطة واحدة، فإن الإحداثي المحوري هو. وبالتالي، عندما يكون للمعادلة (*) حل فريد - .

دعونا الآن نتحقق من قيم الحلول الموجودة للمعادلة (*) التي ستفي بالشروط

فليكن بعد ذلك. سوف يأخذ النظام النموذج

سيكون حلها هو الفاصل الزمني x (1;5). وباعتبار ذلك، يمكننا أن نستنتج أنه إذا كانت المعادلة الأصلية محققة لجميع قيم x من المجال، فإن المتراجحة الأصلية تعادل صحيح عدم المساواة العددية 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

في التكامل (1;+∞) نحصل مرة أخرى على عدم المساواة الخطية 2x<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

ومع ذلك، يمكن الحصول على نفس النتيجة من اعتبارات بصرية وفي نفس الوقت اعتبارات هندسية صارمة. ويبين الشكل 7 الرسوم البيانية الوظيفية:ذ= F( س)=| س-1|+| س+1| وذ=4.

الشكل 7.

على الرسم البياني التكاملي (-2;2) للدالةذ= F(س) يقع تحت الرسم البياني للدالة y=4، وهو ما يعني عدم المساواةF(س)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

ثانيا ) عدم المساواة مع المعلمات.

يعد حل عدم المساواة باستخدام معلمة واحدة أو أكثر، كقاعدة عامة، مهمة أكثر تعقيدًا مقارنة بالمشكلة التي لا توجد بها معلمات.

على سبيل المثال، المتباينة √a+x+√a-x>4، التي تحتوي على المعلمة a، تتطلب بطبيعة الحال جهدًا أكبر بكثير لحلها من المتباينة √1+x + √1-x>1.

ماذا يعني حل أول هذه المتباينات؟ وهذا، في جوهره، لا يعني حل متباينة واحدة فحسب، بل حل فئة كاملة، ومجموعة كاملة من المتباينات التي يتم الحصول عليها إذا أعطينا المعلمة قيمًا عددية محددة. والمتباينة الثانية من المتباينات الكتابية هي حالة خاصة من الأولى، حيث يتم الحصول عليها منها بالقيمة a = 1.

وبالتالي، فإن حل عدم المساواة التي تحتوي على معلمات يعني تحديد قيم المعلمات التي تحتوي على حلول لعدم المساواة ولجميع قيم المعلمات هذه للعثور على جميع الحلول.

مثال 1:

حل المتراجحة |x-a|+|x+a|< ب, أ<>0.

لحل هذه عدم المساواة مع معلمتينأ ش بدعونا نستخدم الاعتبارات الهندسية. يوضح الشكلان 8 و9 الرسوم البيانية الوظيفية.

ي= F(س)=| س- أ|+| س+ أ| ش ذ= ب.

فمن الواضح أنه عندماب<=2| أ| مستقيمذ= بلا يمر فوق الجزء الأفقي من المنحنىذ=| س- أ|+| س+ أ| وبالتالي، فإن عدم المساواة في هذه الحالة ليس لها حلول (الشكل 8). لوب>2| أ|، ثم السطرذ= بيتقاطع مع الرسم البياني للدالةذ= F(س) عند نقطتين (-ب/2; ب) ش (ب/2; ب)(الشكل 6) والتفاوت في هذه الحالة صالح لـ -ب/2< س< ب/2، لأن هذه القيم للمتغير هي المنحنىذ=| س+ أ|+| س- أ| تقع تحت الخط المستقيمذ= ب.

الجواب: إذاب<=2| أ| ثم لا توجد حلول

لوب>2| أ| إذنس €(- ب/2; ب/2).

ثالثا) المتباينات المثلثية:

عند حل عدم المساواة مع الدوال المثلثية، يتم استخدام دورية هذه الوظائف ورتابةها على الفواصل الزمنية المقابلة بشكل أساسي. أبسط المتباينات المثلثية. وظيفةخطيئة سلديه فترة إيجابية من 2π. وبالتالي فإن عدم المساواة في النموذج:الخطيئة س>أ، الخطيئة س>=أ،

الخطيئة س

يكفي أن تحل أولاً على جزء من الطول 2π . نحصل على مجموعة جميع الحلول عن طريق إضافة أرقام لكل حل من الحلول الموجودة في هذا الجزء من النموذج 2π ص، صز.

مثال 1: حل عدم المساواةخطيئة س>-1/2.(الشكل 10)

أولًا، دعونا نحل هذه المتراجحة على الفترة [-π/2;3π/2]. دعونا نفكر في الجانب الأيسر منه - القطعة [-π/2;3π/2] وهذه هي المعادلةخطيئة س=-1/2 له حل واحد x=-π/6; والوظيفةخطيئة سيزيد رتابة. وهذا يعني أنه إذا -π/2<= س<= -π/6, то خطيئة س<= خطيئة(- π /6)=-1/2، أي قيم x هذه ليست حلولاً للمتباينة. إذا -π/6<х<=π/2 то خطيئة س> خطيئة(-ط/6) = –1/2. كل قيم x هذه ليست حلولاً للمتباينة.

على الجزء المتبقي [π/2;3π/2] الدالةخطيئة ستتناقص المعادلة أيضًا بشكل رتيبخطيئة س= -1/2 له حل واحد x=7π/6. لذلك، إذا كان π/2<= س<7π/, то خطيئة س> خطيئة(7π/6)=-1/2، أي كل قيم x هذه هي حلول للمتباينة. لسلديناخطيئة س<= خطيئة(7π/6)=-1/2، قيم x هذه ليست حلولًا. وبالتالي، فإن مجموعة جميع الحلول لهذه المتراجحة على الفترة [-π/2;3π/2] هي التكامل (-π/6;7π/6).

بسبب دورية الوظيفةخطيئة سمع فترة 2π قيم x من أي تكامل للنموذج: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄز، هي أيضا حلول لعدم المساواة. لا توجد قيم أخرى لـ x تمثل حلولاً لهذا عدم المساواة.

الإجابة: -ط/6+2طن< س<7π/6+2π ن، أيننЄ ز.

خاتمة

لقد نظرنا إلى الطريقة الرسومية لحل المعادلات والمتباينات؛ لقد نظرنا إلى أمثلة محددة، والتي تم استخدام حلها لخصائص الوظائف مثل الرتابة والتكافؤ.أتاح تحليل الأدبيات العلمية والكتب المدرسية في الرياضيات هيكلة المواد المختارة وفقًا لأهداف الدراسة واختيار وتطوير طرق فعالة لحل المعادلات والمتباينات. يعرض البحث طريقة رسومية لحل المعادلات والمتباينات والأمثلة التي تستخدم فيها هذه الطرق. ويمكن اعتبار نتيجة المشروع مهام إبداعية، كمادة مساعدة لتنمية مهارة حل المعادلات والمتباينات باستخدام الطريقة الرسومية.

قائمة الأدب المستخدم

Dalinger V. A. "الهندسة تساعد الجبر". دار النشر "المدرسة - الصحافة". موسكو 1996

Dalinger V. A. "كل شيء لضمان النجاح في الامتحانات النهائية وامتحانات القبول في الرياضيات." دار النشر لجامعة أومسك التربوية. أومسك 1995

Okunev A. A. "الحل الرسومي للمعادلات ذات المعلمات." دار النشر "المدرسة - الصحافة". موسكو 1986

Pismensky D. T. "الرياضيات لطلاب المدارس الثانوية." دار النشر "إيريس". موسكو 1996

Yastribinetsky G. A. "المعادلات والمتباينات التي تحتوي على معلمات." دار النشر "Prosveshcheniye". موسكو 1972

ج. كورن وت. كورن "دليل الرياضيات". دار النشر "العلم" الأدب الفيزيائي والرياضي. موسكو 1977

Amelkin V.V. و Rabtsevich V.L. "مشاكل في المعلمات". دار النشر "أسار". مينسك 1996

موارد الإنترنت

لوس أنجلوس كوستوفا

مدرس رياضيات

فورونيج، MBOU صالة حفلات رقم 5

مشروع

"مزايا طريقة الرسمحل المعادلات والمتباينات."

فصل:

7-11

غرض:

الرياضيات

أهداف البحث:

لمعرفة ذلكمزايا الطريقة الرسومية لحل المعادلات والمتباينات.

فرضية:

بعض المعادلات والمتباينات تكون أسهل وأكثر جمالية في حلها بيانياً.

مراحل البحث:

قارن بين طرق الحل التحليلية والرسوميةالمعادلات والمتباينات.

تعرف على الحالات التي تتمتع فيها الطريقة الرسومية بمزايا.

فكر في حل المعادلات ذات المعامل والمعلمات.

نتائج البحث:

1. جمال الرياضيات مشكلة فلسفية.

2. عند حل بعض المعادلات والمتباينات حل بيانيالأكثر عملية وجذابة.

3. يمكنك تطبيق جاذبية الرياضيات في المدرسة باستخدام حل رسوميالمعادلات والمتباينات.

"لقد حظيت العلوم الرياضية باهتمام خاص منذ القدم،

وفي الوقت الحالي، فقد تلقوا اهتمامًا أكبر بتأثيرهم على الفن والصناعة.

بافنوتي لفوفيتش تشيبيشيف.

بدءًا من الصف السابع، يتم النظر في طرق مختلفة لحل المعادلات والمتباينات، بما في ذلك الأساليب الرسومية. أعتقد أن أولئك الذين يعتقدون أن الرياضيات علم جاف يغيرون آراءهم عندما يرون مدى جمال حل بعض الأنواعالمعادلات والمتباينات. دعني أعطيك بعض الأمثلة:

1).حل المعادلة: = .

يمكنك حلها تحليليا، أي رفع طرفي المعادلة إلى القوة الثالثة وهكذا.

تعتبر الطريقة الرسومية مناسبة لهذه المعادلة إذا كنت تحتاج ببساطة إلى الإشارة إلى عدد الحلول.

غالبًا ما تتم مواجهة مهام مماثلة عند حل كتلة "الهندسة" للصف التاسع OGE.

2).حل المعادلة مع المعلمة:

││ س│- 4│= أ

ليس المثال الأكثر تعقيدًا، ولكن إذا قمت بحله تحليليًا، فسيتعين عليك فتح أقواس الوحدة مرتين، ولكل حالة ضع في اعتبارك القيم المحتملة للمعلمة. بيانيا، كل شيء بسيط جدا. نرسم الرسوم البيانية الوظيفية ونرى أن:

مصادر:

برنامج الحاسبالرسم البياني المتقدم .

إحدى الطرق الأكثر ملائمة لحل المتباينات التربيعية هي الطريقة الرسومية. في هذه المقالة سوف ننظر في كيفية حل المتباينات التربيعية بيانيا. أولا، دعونا نناقش ما هو جوهر هذه الطريقة. بعد ذلك، سنقدم الخوارزمية ونفكر في أمثلة لحل المتباينات التربيعية بيانيًا.

التنقل في الصفحة.

جوهر الطريقة الرسومية

على الاطلاق طريقة رسومية لحل عدم المساواةمع متغير واحد، يتم استخدامها ليس فقط لحل المتباينات التربيعية، ولكن أيضًا لحل أنواع أخرى من المتباينات. جوهر الطريقة الرسومية لحل عدم المساواةالتالي: خذ بعين الاعتبار الدالتين y=f(x) وy=g(x)، اللتين تتوافقان مع الجانبين الأيسر والأيمن من المتراجحة، وقم ببناء الرسوم البيانية الخاصة بهما في نظام إحداثي مستطيل واحد واكتشف الفواصل الزمنية للرسم البياني لأحدهما بينهما أقل أو أعلى من الآخر. تلك الفترات حيث

• الرسم البياني للدالة f أعلى الرسم البياني للدالة g عبارة عن حلول للمتباينة f(x)>g(x) ;
• الرسم البياني للدالة f ليس أقل من الرسم البياني للدالة g هي حلول لعدم المساواة f(x)≥g(x) ;
• الرسم البياني لـ f الموجود أسفل الرسم البياني لـ g عبارة عن حلول للمتباينة f(x)
• الرسم البياني للدالة f ليس أعلى من الرسم البياني للدالة g هي حلول للمتباينة f(x)≥g(x) .

سنقول أيضًا أن حدود نقاط تقاطع الرسوم البيانية للدالتين f و g هي حلول للمعادلة f(x)=g(x) .

لننقل هذه النتائج إلى حالتنا - لحل المتباينة التربيعية a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

نقدم دالتين: الأولى y=a x 2 +b x+c (مع f(x)=a x 2 +b x+c) المقابلة للجانب الأيسر من المتباينة التربيعية، والثانية y=0 (مع g ( x)=0 ) يتوافق مع الجانب الأيمن من المتراجحة. جدول وظيفة من الدرجة الثانية f هو القطع المكافئ والرسم البياني وظيفة ثابتةز – خط مستقيم يتطابق مع محور الإحداثي السيني الثور.

بعد ذلك، وفقًا للطريقة الرسومية لحل عدم المساواة، من الضروري تحليل الفواصل الزمنية التي يقع فيها الرسم البياني لوظيفة واحدة أعلى أو أسفل أخرى، مما سيسمح لنا بكتابة الحل المطلوب للمتباينة التربيعية. في حالتنا، نحن بحاجة إلى تحليل موضع القطع المكافئ بالنسبة لمحور الثور.

اعتمادًا على قيم المعاملات a وb وc، تكون الخيارات الستة التالية ممكنة (بالنسبة لاحتياجاتنا، يكون التمثيل التخطيطي كافيًا، ولا نحتاج إلى تصوير محور Oy، نظرًا لأن موضعه لا يؤثر على حلول عدم المساواة):

نرى في هذا الرسم قطعًا مكافئًا، تتجه فروعه إلى الأعلى، ويتقاطع مع محور الثور عند نقطتين، حدودهما x 1 وx 2. يتوافق هذا الرسم مع الخيار عندما يكون المعامل a موجبًا (وهو المسؤول عن الاتجاه الصعودي لفروع القطع المكافئة)، وعندما تكون القيمة موجبة مميز ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية a x 2 +b x+c (في هذه الحالة، ثلاثي الحدود له جذرين، وقد أشرنا إليهما بـ x 1 وx 2، وافترضنا أن x 1 0 , د=ب 2 −4·أ·ج=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

من أجل الوضوح، دعونا نرسم باللون الأحمر أجزاء القطع المكافئ الموجودة فوق المحور السيني، وباللون الأزرق - تلك الموجودة أسفل المحور السيني.


الآن دعونا نكتشف الفواصل الزمنية التي تتوافق مع هذه الأجزاء. سيساعدك الرسم التالي على التعرف عليها (في المستقبل سنقوم بإجراء تحديدات مماثلة على شكل مستطيلات عقليًا):


إذن، على محور الإحداثي السيني تم تحديد فترتين (−∞, x 1) و (x 2 , +∞) باللون الأحمر، حيث يكون القطع المكافئ فوق محور الثور، ويشكلان حلاً للمتباينة التربيعية a x 2 +b x +c>0 ، والفاصل الزمني (x 1 , x 2) مظلل باللون الأزرق، ويوجد قطع مكافئ أسفل محور الثور، وهو يمثل حل المتراجحة a x 2 +b x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

والآن باختصار: من أجل a>0 و D=b 2 −4 a c>0 (أو D"=D/4>0 للمعامل الزوجي b)

• حل المتباينة التربيعية a x 2 +b x+c>0 هو (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) أو ​​بترميز آخر x × 2؛
• حل المتباينة التربيعية a x 2 +b x+c≥0 هو (−∞, x 1 ]∪ أو بترميز آخر x 1 يكسوx 2 ,

حيث x 1 و x 2 هما جذور ثلاثية الحدود a x 2 +b x+c و x 1


نرى هنا قطعًا مكافئًا، تتجه فروعه نحو الأعلى، ويلامس محور الإحداثي السيني، أي أن له نقطة مشتركة واحدة معه، ونشير إلى الإحداثي السيني لهذه النقطة بـ x 0. تتوافق الحالة المعروضة مع a>0 (الفروع موجهة لأعلى) وD=0 (ثلاثية الحدود المربعة لها جذر واحد × 0). على سبيل المثال، يمكنك استخدام الدالة التربيعية y=x 2 −4·x+4، هنا a=1>0 وD=(−4) 2 −4·1·4=0 وx 0 =2.

يوضح الرسم بوضوح أن القطع المكافئ يقع فوق محور الثور في كل مكان باستثناء نقطة الاتصال، أي على الفترات (−∞، x 0)، (x 0، ∞). من أجل الوضوح، دعونا نسلط الضوء على مناطق في الرسم قياسا على الفقرة السابقة.


نستخلص النتائج: لـ a>0 و D=0

• حل المتباينة التربيعية a·x 2 +b·x+c>0 هو (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) أو ​​بترميز آخر x≠x 0;
• حل المتباينة التربيعية a·x 2 +b·x+c≥0 هو (−∞, +∞) أو ​​بترميز آخر x∈R ;
• المتباينة التربيعية أ × 2 + ب × + ج<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• المتباينة التربيعية a x 2 +b x+c≥0 لها حل فريد x=x 0 (يتم تقديمها بواسطة نقطة التماس)،

حيث x 0 هو جذر ثلاثية الحدود a x 2 + b x + c.


في هذه الحالة، يتم توجيه فروع القطع المكافئ إلى الأعلى، وليس لديها نقاط مشتركة مع محور الإحداثي السيني. هنا لدينا الشروط a>0 (الفروع موجهة للأعلى) وD<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , د=0 2 −4·2·1=−8<0 .

من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق محور الثور طوال طوله بالكامل (لا توجد فترات يكون فيها أسفل محور الثور، ولا توجد نقطة تماس).


وبالتالي، بالنسبة إلى >0 وD<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 و a x 2 +b x+c≥0 هي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية، والمتباينات a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

ويتبقى ثلاثة خيارات لموقع القطع المكافئ مع توجيه الفروع للأسفل، وليس للأعلى، بالنسبة لمحور الثور. من حيث المبدأ، لا داعي لأخذها في الاعتبار، لأن ضرب طرفي المتراجحة في −1 يسمح لنا بالذهاب إلى متباينة مكافئة بمعامل موجب لـ x 2. ولكن لا يزال من غير المؤلم الحصول على فكرة عن هذه الحالات. المنطق هنا مشابه، لذلك سنكتب النتائج الرئيسية فقط.

خوارزمية الحل

نتيجة جميع الحسابات السابقة هي خوارزمية لحل عدم المساواة التربيعية بيانيا:

على خطة تنسيقتم عمل رسم تخطيطي يوضح محور الثور (ليس من الضروري تصوير محور أوي) ورسم تخطيطي للقطع المكافئ المطابق للدالة التربيعية y=a·x 2 +b·x+c. لرسم رسم تخطيطي للقطع المكافئ، يكفي توضيح نقطتين:

• أولاً، بقيمة المعامل a يتم تحديد اتجاه فروعه (لـ a>0 - لأعلى، لـ a<0 – вниз).
• وثانيًا، من خلال قيمة مميز ثلاثي الحدود المربع a x 2 + b x + c، يتم تحديد ما إذا كان القطع المكافئ يتقاطع مع محور الإحداثي عند نقطتين (بالنسبة لـ D>0)، ويلامسه عند نقطة واحدة (بالنسبة لـ D=0) أو ليس له نقاط مشتركة مع محور الثور (عند D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• عندما يكون الرسم جاهزًا، استخدمه في الخطوة الثانية من الخوارزمية

  • عند حل المتباينة التربيعية a·x 2 +b·x+c>0، يتم تحديد الفواصل الزمنية التي يقع عندها القطع المكافئ فوق الإحداثي الإحداثي؛
  • عند حل المتراجحة a·x 2 +b·x+c≥0، يتم تحديد الفواصل الزمنية التي يقع عندها القطع المكافئ فوق محور الإحداثي المحوري وتضاف حدود نقاط التقاطع (أو حدود نقطة المماس) إلى هم؛
  • عند حل المتراجحة a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • أخيرًا، عند حل متباينة تربيعية من الشكل a·x 2 +b·x+c≥0، يتم العثور على فترات يكون فيها القطع المكافئ أسفل محور الثور وإحداثي نقاط التقاطع (أو إحداثي نقطة المماس ) مضاف إليهم؛

  فهي تشكل الحل المطلوب للمتباينة التربيعية، وإذا لم تكن هناك مثل هذه الفترات ولا توجد نقاط مماس، فإن المتباينة التربيعية الأصلية ليس لها حلول.

كل ما تبقى هو حل بعض المتباينات التربيعية باستخدام هذه الخوارزمية.

أمثلة مع الحلول

مثال.

حل عدم المساواة .

حل.

نحن بحاجة إلى حل المتباينة التربيعية، فلنستخدم الخوارزمية من الفقرة السابقة. في الخطوة الأولى، علينا رسم التمثيل البياني للدالة التربيعية . معامل x 2 يساوي 2، وهو موجب، وبالتالي فإن فروع القطع المكافئ موجهة نحو الأعلى. لنكتشف أيضًا ما إذا كان القطع المكافئ له نقاط مشتركة مع المحور السيني؛ وللقيام بذلك، سنحسب مميز ثلاثية الحدود التربيعية . لدينا . تبين أن المميز أكبر من الصفر، وبالتالي فإن ثلاثي الحدود له جذرين حقيقيين: و ، أي x 1 =−3 و x 2 =1/3.

من هذا يتضح أن القطع المكافئ يتقاطع مع محور الثور عند نقطتين مع الإحداثيات −3 و 1/3. سنصور هذه النقاط في الرسم كنقاط عادية، لأننا نحل متباينة غير صارمة. وبناء على البيانات الموضحة نحصل على الرسم التالي (يناسب القالب الأول من الفقرة الأولى من المقال):

دعنا ننتقل إلى الخطوة الثانية من الخوارزمية. نظرًا لأننا نحل متباينة تربيعية غير صارمة مع الإشارة ≥، فنحن بحاجة إلى تحديد الفترات التي يقع فيها القطع المكافئ أسفل الإحداثي الإحداثي وإضافة الإحداثيات الخاصة بنقاط التقاطع إليها.

يتضح من الرسم أن القطع المكافئ يقع أسفل المحور x على الفاصل الزمني (−3، 1/3) ونضيف إليه حدود نقاط التقاطع، أي الرقمين −3 و1/3. ونتيجة لذلك، وصلنا إلى الفاصل العددي [−3, 1/3] . هذا هو الحل الذي نبحث عنه. يمكن كتابتها على أنها متباينة مزدوجة −3≤x≥1/3.

إجابة:

[−3, 1/3] أو −3≤x≥1/3 .

مثال.

أوجد حل المتباينة التربيعية −x 2 +16 x−63<0 .

حل.

كالعادة، نبدأ بالرسم. المعامل العددي لمربع المتغير سالب، −1، وبالتالي فإن فروع القطع المكافئ موجهة نحو الأسفل. دعونا نحسب المميز، أو الأفضل من ذلك، الجزء الرابع منه: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. قيمته موجبة، فلنحسب جذور ثلاثية الحدود المربعة: و ، س 1 = 7 و س 2 = 9. إذن القطع المكافئ يتقاطع مع محور الثور عند نقطتين مع الإحداثيات 7 و 9 (المتباينة الأصلية صارمة، لذلك سنصور هذه النقاط بمركز فارغ).الآن يمكننا عمل رسم تخطيطي:

بما أننا نحل متباينة تربيعية صارمة بإشارة<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

يوضح الرسم أن حلول المتباينة التربيعية الأصلية هي فترتان (−∞, 7) , (9, +∞) .

إجابة:

(−∞, 7)∪(9, +∞) أو ​​بترميز آخر x<7 , x>9 .

عند حل المتباينات التربيعية، عندما يكون مميز ثلاثية الحدود على الجانب الأيسر صفرًا، عليك توخي الحذر بشأن تضمين أو استبعاد حدود نقطة المماس من الإجابة. وهذا يعتمد على علامة المتباينة: إذا كانت المتباينة صارمة، فهي ليست حلاً للمتباينة، وإذا لم تكن صارمة، فهي كذلك.

مثال.

هل المتباينة التربيعية 10 x 2 −14 x+4.9≥0 لها حل واحد على الأقل؟

حل.

لنرسم الدالة y=10 x 2 −14 x+4.9. يتم توجيه فروعها إلى الأعلى، حيث أن معامل x 2 موجب، ويمس محور الإحداثي السيني عند النقطة مع الإحداثي السيني 0.7، حيث أن D"=(−7) 2 −10 4.9=0، حيث أو 0.7 في النموذج من الكسر العشري. ومن الناحية التخطيطية يبدو كما يلي:

نظرًا لأننا نحل متباينة تربيعية بعلامة ≥، فسيكون حلها هو الفترات التي يكون فيها القطع المكافئ أسفل محور الثور، بالإضافة إلى الإحداثي الإحداثي لنقطة الظل. يتضح من الرسم أنه لا توجد فجوة واحدة حيث يكون القطع المكافئ أسفل محور الثور، وبالتالي فإن حلها سيكون فقط حدود نقطة الظل، أي 0.7.

إجابة:

هذه المتباينة لها حل فريد 0.7.

مثال.

حل المتباينة التربيعية –x 2 +8 x−16<0 .

حل.

نحن نتبع الخوارزمية لحل المتباينات التربيعية ونبدأ بإنشاء رسم بياني. يتم توجيه فروع القطع المكافئ إلى الأسفل، لأن معامل x 2 سالب، −1. دعونا نوجد مميز مربع ثلاثي الحدود –x 2 +8 x−16، الذي لدينا D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0ثم x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . لذا فإن القطع المكافئ يمس محور الثور عند نقطة الإحداثي المحوري 4. لنقم بالرسم:

ننظر إلى إشارة المتباينة الأصلية، فهي موجودة<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

في حالتنا، هذه الأشعة مفتوحة (−∞, 4) , (4, +∞) . بشكل منفصل، نلاحظ أن 4 - حدود نقطة الاتصال - ليس حلا، لأنه عند نقطة الاتصال القطع المكافئ ليس أقل من محور الثور.

إجابة:

(−∞, 4)∪(4, +∞) أو ​​بترميز آخر x≠4 .

انتبه بشكل خاص إلى الحالات التي يكون فيها مميز ثلاثية الحدود التربيعية على الجانب الأيسر من المتباينة التربيعية أقل من الصفر. ليست هناك حاجة للتسرع هنا والقول إن المتباينة ليس لها حلول (لقد اعتدنا على التوصل إلى مثل هذا الاستنتاج للمعادلات التربيعية ذات المميز السلبي). النقطة المهمة هي أن عدم المساواة التربيعية لـ D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

مثال.

أوجد حل المتباينة التربيعية 3 x 2 +1>0.

حل.

كالعادة، نبدأ بالرسم. المعامل a هو 3، وهو موجب، وبالتالي فإن فروع القطع المكافئ موجهة نحو الأعلى. نحسب المميز: D=0 2 −4·3·1=−12 . وبما أن المميز سالب، فإن القطع المكافئ ليس له نقاط مشتركة مع محور الثور. المعلومات التي تم الحصول عليها كافية للرسم البياني التخطيطي:

لقد قمنا بحل متباينة تربيعية صارمة بعلامة >. سيكون حلها هو جميع الفترات التي يكون فيها القطع المكافئ فوق محور الثور. في حالتنا، القطع المكافئ يقع فوق المحور السيني على طوله بالكامل، وبالتالي فإن الحل المطلوب سيكون مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.

Ox ، وتحتاج أيضًا إلى إضافة حدود نقاط التقاطع أو حدود التماس إليها. لكن من الرسم يتضح بوضوح أنه لا توجد مثل هذه الفواصل (نظرًا لأن القطع المكافئ موجود في كل مكان أسفل محور الإحداثي السيني)، تمامًا كما لا توجد نقاط تقاطع، تمامًا كما لا توجد نقاط تماس. ومن ثم، فإن المتباينة التربيعية الأصلية ليس لها حلول.

إجابة:

لا توجد حلول أو في إدخال آخر ∅.

فهرس.

• الجبر:كتاب مدرسي للصف الثامن. تعليم عام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ حررت بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
• الجبر:الصف التاسع: تعليمي. للتعليم العام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ حررت بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2009. - 271 ص. : سوف. -ردمك 978-5-09-021134-5.
• موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف 8. في ساعتين الجزء 1. كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام / أ.ج.موردكوفيتش. - الطبعة الحادية عشرة، محذوفة. - م: منيموسين، 2009. - 215 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01155-2.
• موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف التاسع. في جزأين الجزء 1. كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام / A. G. Mordkovich، P. V. Semenov. - الطبعة 13، محذوفة. - م: منيموسين، 2011. - 222 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01752-3.
• موردكوفيتش أ.ج.الجبر وبداية التحليل الرياضي. الصف 11. في ساعتين الجزء 1. كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام (مستوى الملف الشخصي) / A. G. Mordkovich، P. V. Semenov. - الطبعة الثانية، محذوفة. - م: منيموسين، 2008. - 287 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01027-2.

الوكالة الفيدرالية للتعليم

معهد التطوير التربوي

« الأساليب الرسوميةحل المعادلات والمتباينات ذات المعلمات"

مكتمل

مدرس رياضيات

المؤسسة التعليمية البلدية المدرسة الثانوية رقم 62

ليبيتسك 2008

مقدمة................................................. .......................................................... ............. .3

X;في) 4

1.1. النقل الموازي ........................................... ... ........................... 5

1.2. دور................................................. .................................................. ...... 9

1.3. التجانس. الضغط إلى خط مستقيم ........................................... ..... ................. 13

1.4. خطان مستقيمان في الطائرة ........................................... ....... ....................... 15

2. تقنيات الرسم. خطة تنسيق ( X;أ) 17

خاتمة................................................. ........................................... 20

القائمة الببليوغرافية ........................................... .................... ........... 22

مقدمة

المشاكل التي يواجهها تلاميذ المدارس عند حل المعادلات غير القياسية وعدم المساواة ترجع إلى التعقيد النسبي لهذه المشكلات وحقيقة أن المدرسة، كقاعدة عامة، تركز على حل المشكلات القياسية.

ينظر العديد من تلاميذ المدارس إلى المعلمة على أنها رقم "عادي". في الواقع، في بعض المسائل يمكن اعتبار المعلمة قيمة ثابتة، لكن هذه القيمة الثابتة تأخذ قيمًا غير معروفة! ولذلك، فمن الضروري النظر في المشكلة لجميع القيم الممكنة لهذا الثابت. في مشاكل أخرى، قد يكون من المناسب الإعلان بشكل مصطنع عن أحد المجهولين كمعلمة.

يتعامل تلاميذ المدارس الآخرون مع المعلمة على أنها كمية غير معروفة، ويمكنهم، دون إحراج، التعبير عن المعلمة من حيث المتغير في إجابتهم X.

في الامتحانات النهائية وامتحانات القبول هناك نوعان رئيسيان من المشاكل المتعلقة بالمعلمات. يمكنك تمييزها على الفور من خلال صياغتها. أولاً: "لكل قيمة معلمة، أوجد جميع الحلول لبعض المعادلات أو المتباينات." ثانياً: "البحث عن جميع قيم المعلمة التي تتوفر لكل منها شروط معينة لمعادلة أو متباينة معينة." وعليه فإن الإجابات في مسائل هذين النوعين تختلف في جوهرها. إجابة مسألة من النوع الأول تسرد جميع القيم الممكنة للمعلمة ولكل من هذه القيم يتم كتابة حلول المعادلة. تشير إجابة مشكلة النوع الثاني إلى جميع قيم المعلمات التي يتم بموجبها استيفاء الشروط المحددة في المشكلة.

إن حل المعادلة بمعلمة لقيمة ثابتة معينة للمعلمة هو قيمة مجهولة، عند استبدالها في المعادلة، يتحول الأخير إلى مساواة عددية صحيحة. يتم تحديد حل عدم المساواة مع المعلمة بالمثل. حل معادلة (عدم المساواة) بمعلمة يعني، لكل قيمة مقبولة للمعلمة، إيجاد مجموعة جميع الحلول لمعادلة معينة (عدم المساواة).

1. تقنيات الرسم. خطة تنسيق ( X;في)

إلى جانب التقنيات والأساليب التحليلية الأساسية لحل المشكلات المتعلقة بالمعلمات، هناك طرق لاستخدام التفسيرات المرئية والرسومية.

اعتمادًا على الدور الذي تم تعيينه للمعلمة في المشكلة (غير متساوٍ أو مساوٍ للمتغير)، يمكن التمييز بين تقنيتين رسوميتين رئيسيتين وفقًا لذلك: الأول هو بناء صورة رسومية على المستوى الإحداثي (x;ذ)،الثاني - على (x; أ).

على المستوى (x; y) الوظيفة ص =F (x; أ)يحدد عائلة من المنحنيات اعتمادا على المعلمة أ.ومن الواضح أن كل عائلة Fله خصائص معينة. سنهتم في المقام الأول بنوع التحول المستوي (التحويل الموازي، التدوير، وما إلى ذلك) الذي يمكن استخدامه للانتقال من منحنى من العائلة إلى آخر. سيتم تخصيص فقرة منفصلة لكل من هذه التحولات. يبدو لنا أن مثل هذا التصنيف يسهل على صاحب القرار العثور على الصورة الرسومية اللازمة. لاحظ أنه مع هذا النهج، فإن الجزء الأيديولوجي من الحل لا يعتمد على الشكل (الخط المستقيم، الدائرة، القطع المكافئ، وما إلى ذلك) الذي سيكون عضوًا في عائلة المنحنيات.

بالطبع، الصورة الرسومية للعائلة ليست دائما ص =F (x;أ)وصفها بتحول بسيط. لذلك، في مثل هذه المواقف، من المفيد التركيز ليس على كيفية ارتباط منحنيات نفس العائلة، ولكن على المنحنيات نفسها. بمعنى آخر، يمكننا أن نميز نوعاً آخر من المسائل تكون فيه فكرة الحل مبنية بشكل أساسي على خصائص أشكال هندسية محددة، وليس على الأسرة ككل. ما هي الأرقام (على وجه التحديد، عائلات هذه الشخصيات) التي ستثير اهتمامنا في المقام الأول؟ هذه هي الخطوط المستقيمة والقطع المكافئ. يرجع هذا الاختيار إلى الموقع (الأساسي) الخاص للدوال الخطية والتربيعية في الرياضيات المدرسية.

عند الحديث عن الأساليب الرسومية، من المستحيل تجنب مشكلة واحدة "ولدت" من ممارسة الامتحانات التنافسية. ونحن نشير إلى مسألة الدقة، وبالتالي شرعية القرار المبني على اعتبارات واضحة. ومما لا شك فيه، من الناحية الشكلية، أن النتيجة المأخوذة من "الصورة"، غير المدعومة تحليليا، لم يتم الحصول عليها بدقة. لكن من ومتى وأين يحدد مستوى الصرامة الذي يجب على طالب المدرسة الثانوية الالتزام به؟ في رأينا، يجب تحديد متطلبات مستوى الدقة الرياضية للطالب بالفطرة السليمة. نحن نفهم درجة الذاتية لوجهة النظر هذه. علاوة على ذلك، فإن الطريقة الرسومية هي مجرد إحدى وسائل الوضوح. ويمكن أن تكون الرؤية خادعة..gif" width="232" height="28"> لديه حل واحد فقط.

حل.للراحة، نشير إلى إل جي ب = أ.لنكتب معادلة مكافئة للمعادلة الأصلية: https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" height="92">

بناء رسم بياني للدالة مع مجال التعريف و (الشكل 1). الرسم البياني الناتج هو عائلة من الخطوط المستقيمة ص = أيجب أن تتقاطع عند نقطة واحدة فقط. يوضح الشكل أن هذا المطلب يتم استيفاءه فقط عندما أ> 2، أي إل جي ب> 2, ب> 100.

إجابة. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" width="15 height=16" height="16"> حدد عدد حلول المعادلة .

حل. دعونا نرسم الدالة 102" height = "37" style = "vertical-align:top">

دعونا نفكر. هذا خط مستقيم موازي لمحور OX.

إجابة..gif" width="41" height="20">، ثم 3 حلول؛

إذا، ثم 2 الحلول؛

إذا، 4 حلول.

دعنا ننتقل إلى سلسلة جديدة من المهام..gif" width="107" height="27 src=">.

حل.دعونا نبني خطا مستقيما في= X+1 (الشكل 3)..gif" width="92" height="57">

لها حل واحد وهو ما يعادل المعادلة ( X+1)2 = س + ألها جذر واحد..gif" width="44 height=47" height="47"> المتراجحة الأصلية ليس لها حلول. لاحظ أن أي شخص على دراية بالمشتقة يمكنه الحصول على هذه النتيجة بطريقة مختلفة.

بعد ذلك، عن طريق تحويل "شبه القطع المكافئ" إلى اليسار، سنقوم بإصلاح اللحظة الأخيرة عندما تكون الرسوم البيانية في = X+1 ولديهما نقطتان مشتركتان (الموضع الثالث). ويتم ضمان هذا الترتيب من خلال الشرط أ= 1.

ومن الواضح أنه بالنسبة للقطاع [ X 1; X 2] حيث X 1 و X 2 – حروف نقاط تقاطع الرسوم البيانية ستكون الحل للمتراجحة الأصلية..gif" width="68 height=47" height="47">، إذن

عندما يتقاطع "شبه القطع المكافئ" والخط المستقيم عند نقطة واحدة فقط (وهذا يتوافق مع الحالة أ> 1)، فإن الحل سيكون الجزء [- أ; X 2"]، حيث X 2" - أكبر الجذور X 1 و X 2 (الموقف الرابع).

مثال 4..gif" العرض = "85" الارتفاع = "29 src =>.gif" العرض = "75" الارتفاع = "20 src = "> . من هنا نحصل .

دعونا نلقي نظرة على الوظائف و . ومن بينها، واحد فقط يحدد عائلة من المنحنيات. الآن نرى أن الاستبدال جلب فوائد لا شك فيها. بالتوازي، نلاحظ أنه في المشكلة السابقة، باستخدام بديل مماثل، لا يمكنك القيام بحركة "شبه قطع مكافئ"، ولكن في خط مستقيم. دعنا ننتقل إلى الشكل. 4. من الواضح أنه إذا كانت حدود الرأس "شبه قطع مكافئ" أكثر من واحد، أي -3 أ > 1, , إذن المعادلة ليس لها جذور..gif" width="89" height="29"> ولها شخصية مختلفةروتيني.

إجابة.إذا كانت المعادلة لها جذر واحد؛ إذا https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" width = "141" height = "81 src = ">

لديها حلول.

حل.من الواضح أن العائلات المباشرة https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" height="52">..jpg" width="259" height="155 ">

معنى ك1سنجد ذلك عن طريق استبدال الزوج (0;0) في المعادلة الأولى للنظام. من هنا ك1 =-1/4. معنى ك 2 نحصل عليها من خلال الطلب من النظام

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" width="151" height="47"> متى ك> 0 لها جذر واحد. من هنا ك2= 1/4.

إجابة. .

دعونا نبدي ملاحظة واحدة. في بعض الأمثلة على هذه النقطة، سيتعين علينا حل مسألة قياسية: بالنسبة لعائلة الخطوط، أوجد معاملها الزاوي المطابق لعزم التماس مع المنحنى. سنوضح لك كيفية القيام بذلك في منظر عامباستخدام المشتقة.

لو (x0; ذ 0) = مركز الدوران ثم الإحداثيات (x 1; في 1) نقاط التماس مع المنحنى ص =و (خ)يمكن العثور عليها عن طريق حل النظام

المنحدر المطلوب كيساوي .

مثال 6. ما هي قيم المعلمة التي يكون للمعادلة حل فريد؟

حل..gif" width="160" height="29 src=">..gif" width="237" height="33">، القوس AB.

جميع الأشعة التي تمر بين OA وOB تتقاطع مع القوس AB عند نقطة واحدة، وتتقاطع أيضًا مع القوس AB OB وOM (ظل) عند نقطة واحدة..gif" width="16" height="48 src=">. معامل الظل يساوي يمكن العثور عليه بسهولة من النظام

لذا، قم بتوجيه العائلات https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" height="52">.

إجابة. .

مثال 7..gif" width="160" height="25 src="> هل لديه حل؟

حل..gif" width="61" height="24 src="> ويتناقص بمقدار . النقطة هي النقطة القصوى.

الدالة هي مجموعة من الخطوط المستقيمة التي تمر عبر النقطة https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" height="28"> هو القوس AB. الخطوط التي ستقع بين الخطوط المستقيمة OA وOB، تستوفي شروط المشكلة..gif" width="17" height="47 src=">.

إجابة..gif" width="15" height="20">لا توجد حلول.

1.3. التجانس. الضغط إلى خط مستقيم.

مثال 8.كم عدد الحلول التي يمتلكها النظام؟

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width = "41" height = "20 src = "> النظام ليس لديه حلول. للحصول على حل ثابت أ> 0 الرسم البياني للمعادلة الأولى عبارة عن مربع ذو رؤوس ( أ; 0), (0;-أ), (-أ;0), (0;أ).وبالتالي فإن أفراد العائلة عبارة عن مربعات متجانسة (مركز التجانس هو النقطة O(0; 0)).

دعنا ننتقل إلى الشكل. 8..gif" width="80" height="25"> كل جانب من جوانب المربع لديه نقطتان مشتركتان مع الدائرة، مما يعني أن النظام سيكون لديه ثمانية حلول. عندما يتبين أن الدائرة محفورة في المربع، أي أنه سيكون هناك أربعة حلول مرة أخرى ومن الواضح أن النظام ليس لديه حلول.

إجابة.لو أ< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, ثم هناك أربعة حلول. إذا كان هناك ثمانية حلول.

مثال 9. ابحث عن جميع قيم المعلمة، لكل منها المعادلة https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif" width="181" height="29 src=">. خذ بعين الاعتبار الدالة ..jpg" width="195" height="162">

سيتوافق عدد الجذور مع الرقم 8 عندما يكون نصف قطر الدائرة أكبر وأقل من، أي. لاحظ أن هناك.

إجابة. أو .

1.4. خطان مستقيمان على متن الطائرة

وفي الأساس فإن فكرة حل مشاكل هذه الفقرة تقوم على مسألة البحث الموقف النسبيخطين مستقيمين: و . من السهل إظهار حل هذه المشكلة بشكل عام. سننتقل مباشرة إلى أمثلة نموذجية محددة، والتي، في رأينا، لن تضر بالجانب العام للقضية.

مثال 10.لماذا يفعل النظام a و b

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" width = "160" height = "25 src = ">..gif" width = "67" height = "24 src = "> , t..gif" width="116" height="55">

تحدد عدم المساواة في النظام نصف مستوى له حدود في= 2x– 1 (الشكل 10). ومن السهل أن ندرك أن النظام الناتج لديه الحل إذا كان الخط المستقيم آه +بواسطة = 5يتقاطع مع حدود نصف المستوى أو، موازيا له، يقع في نصف المستوى في– 2x + 1 < 0.

لنبدأ بالقضية ب = 0. ثم يبدو أن المعادلة أوه+ بواسطة = 5 يحدد خطًا رأسيًا يتقاطع بشكل واضح مع الخط ص = 2X - 1. ومع ذلك، تكون هذه العبارة صحيحة فقط عندما يكون لدى النظام حلول ..gif" width="43" height="20 src="> ..gif" width="99" height="48">. في هذه الحالة، يتم تحقيق شرط تقاطع الخطوط عند ، أي ..gif" width="52" height="48">.gif" width="41" height="20"> و , أو و , أو https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24 src=">.

- في المستوى الإحداثي xOa نبني رسمًا بيانيًا للدالة.

- خذ بعين الاعتبار الخطوط المستقيمة وحدد فترات محور Oa التي تلبي هذه الخطوط المستقيمة وفقا للشروط: أ) لا يتقاطع مع الرسم البياني للدالة https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24"> عند نقطة واحدة، ج) عند نقطتين النقاط، د) عند ثلاث نقاط وهكذا.

- إذا كانت المهمة هي إيجاد قيم x، فإننا نعبر عن x بدلالة a لكل فترة من الفترات التي تم العثور عليها لقيمة a على حدة.

ينعكس عرض المعلمة كمتغير متساوٍ في الأساليب الرسومية..jpg" width="242" height="182">

إجابة. أ = 0 أو أ = 1.

خاتمة

نأمل أن تثبت المشكلات التي تم تحليلها بشكل مقنع فعالية الأساليب المقترحة. ومع ذلك، لسوء الحظ، فإن نطاق تطبيق هذه الأساليب محدود بسبب الصعوبات التي يمكن مواجهتها عند إنشاء صورة رسومية. هل الأمر حقا بذلك السوء؟ على ما يبدو لا. في الواقع، مع هذا النهج، يتم فقدان القيمة التعليمية الرئيسية للمشاكل مع المعلمات كنموذج للبحث المصغر إلى حد كبير. ومع ذلك، فإن الاعتبارات المذكورة أعلاه موجهة إلى المعلمين، وبالنسبة للمتقدمين فإن الصيغة مقبولة تمامًا: الغاية تبرر الوسيلة. علاوة على ذلك، دعونا نأخذ الحرية في القول إنه في عدد كبير من الجامعات، يتبع جامعو المشكلات التنافسية ذات المعلمات المسار من الصورة إلى الحالة.

في هذه المسائل، ناقشنا إمكانيات حل المسائل باستخدام معلمة تفتح أمامنا عندما نرسم رسومًا بيانية للدوال المضمنة في الجانبين الأيمن والأيسر من المعادلات أو المتباينات على قطعة من الورق. ونظرًا لحقيقة أن المعلمة يمكن أن تأخذ قيمًا عشوائية، فإن أحد الرسوم البيانية المعروضة أو كليهما يتحرك بطريقة معينة على المستوى. يمكننا القول أنه تم الحصول على مجموعة كاملة من الرسوم البيانية المقابلة لقيم مختلفة للمعلمة.

دعونا نؤكد بقوة على اثنين من التفاصيل.

أولاً، نحن لا نتحدث عن حل "رسومي". يتم حساب جميع القيم والإحداثيات والجذور بدقة وتحليلية كحلول للمعادلات والأنظمة المقابلة. وينطبق الشيء نفسه على حالات لمس الرسوم البيانية أو تقاطعها. ولا يتم تحديدها بالعين المجردة، بل بمساعدة التمييزات والمشتقات والأدوات الأخرى المتاحة لك. الصورة تعطي الحل فقط .

ثانيًا، حتى لو لم تجد أي طريقة لحل المشكلة المرتبطة بالرسوم البيانية الموضحة، فإن فهمك للمشكلة سيتوسع بشكل كبير، وستتلقى معلومات للاختبار الذاتي وستزداد فرص النجاح بشكل كبير. من خلال الفهم الدقيق لما يحدث في المشكلة لقيم المعلمات المختلفة، قد تتمكن من العثور على خوارزمية الحل الصحيحة.

لذلك، سنختتم هذه الكلمات باقتراح عاجل: إذا كانت هناك، حتى في المشكلة الأكثر تعقيدًا، وظائف تعرف كيفية رسم الرسوم البيانية لها، فتأكد من القيام بذلك، فلن تندم عليه.

القائمة الببليوغرافية

1. تشيركاسوف: دليل لطلاب المدارس الثانوية والمتقدمين للجامعات [النص] /، . – م: AST-PRESS، 2001. – 576 ص.

2. جورشتين، مع المعلمات [النص]: الطبعة الثالثة، موسعة ومنقحة / . - م: إليكسا، خاركوف: صالة للألعاب الرياضية، 1999. - 336 ص.