لحل الرياضيات. البحث بسرعة حل معادلة رياضيةفي الوضع متصل. الموقع www.site يسمح حل المعادلةتقريبا أي معين جبري, حساب المثاثاتأو المعادلة المتعالية على الانترنت. عند دراسة أي فرع من فروع الرياضيات تقريبًا في مراحل مختلفة عليك أن تقرر المعادلات على الانترنت. للحصول على إجابة فورية، والأهم من ذلك الحصول على إجابة دقيقة، فأنت بحاجة إلى مورد يسمح لك بالقيام بذلك. شكرا للموقع www.site حل المعادلات على الانترنتسوف يستغرق بضع دقائق. الميزة الرئيسية لموقع www.site عند حل المسائل الرياضية المعادلات على الانترنت- هذه هي سرعة ودقة الاستجابة المقدمة. الموقع قادر على حل أي المعادلات الجبرية على الانترنت, المعادلات المثلثية على الانترنت, المعادلات المتعالية على الانترنت، و المعادلاتمع معلمات غير معروفة في الوضع متصل. المعادلاتبمثابة جهاز رياضي قوي حلولمشاكل عملية. مع المساعدة المعادلات الرياضية فمن الممكن التعبير عن حقائق وعلاقات قد تبدو مربكة ومعقدة للوهلة الأولى. كميات غير معروفة المعادلاتيمكن العثور عليها من خلال صياغة المشكلة في رياضياللغة في النموذج المعادلاتو يقررتلقى المهمة في الوضع متصلعلى الموقع www.site. أي معادلة جبرية, معادلة مثلثيةأو المعادلاتتحتوي متسامالميزات التي يمكنك بسهولة يقررعبر الإنترنت واحصل على الإجابة الدقيقة. دراسة علوم طبيعية، فإنك تواجه حتما الحاجة حل المعادلات. وفي هذه الحالة يجب أن تكون الإجابة دقيقة ويجب الحصول عليها فوراً في الوضع متصل. لذلك ل حل المعادلات الرياضية على الانترنتنوصي بموقع www.site، الذي سيصبح الآلة الحاسبة التي لا غنى عنها حلول المعادلات الجبريةمتصل, المعادلات المثلثية على الانترنت، و المعادلات المتعالية على الانترنتأو المعادلاتمع معلمات غير معروفة. للمشاكل العملية لإيجاد جذور مختلفة المعادلات الرياضيةالموارد شبكة الاتصالات العالمية.. حل المعادلات على الانترنتبنفسك، من المفيد التحقق من الإجابة المستلمة باستخدام الحل على الانترنتالمعادلاتعلى الموقع www.site. تحتاج إلى كتابة المعادلة بشكل صحيح والحصول عليها على الفور الحل على الانترنتوبعد ذلك كل ما تبقى هو مقارنة الإجابة مع الحل الذي قدمته للمعادلة. لن يستغرق التحقق من الإجابة أكثر من دقيقة، فهذا يكفي حل المعادلة على الانترنتومقارنة الإجابات. سيساعدك هذا على تجنب الأخطاء في قراروتصحيح الجواب في الوقت المناسب عندما حل المعادلات على الانترنتأيضاً جبري, حساب المثاثات, متسامأو المعادلةمع معلمات غير معروفة.

دعونا نحلل نوعين من الحلول لأنظمة المعادلات:

1. حل النظام باستخدام طريقة الاستبدال.
2. حل النظام عن طريق الجمع (الطرح) لمعادلات النظام حدًا تلو الآخر.

من أجل حل نظام المعادلات بطريقة الاستبدالتحتاج إلى اتباع خوارزمية بسيطة:
1. اكسبريس. من أي معادلة نعبر عن متغير واحد.
2. بديل. نعوض بالقيمة الناتجة في معادلة أخرى بدلاً من المتغير المعبر عنه.
3. حل المعادلة الناتجة بمتغير واحد. نجد حلا للنظام.

لتحل النظام عن طريق طريقة الجمع (الطرح) مصطلحًا تلو الآخربحاجة ل:
1. حدد المتغير الذي سنعمل له معاملات متطابقة.
2. نقوم بجمع أو طرح المعادلات، مما ينتج عنه معادلة ذات متغير واحد.
3. حل المعادلة الخطية الناتجة. نجد حلا للنظام.

حل النظام هو نقاط تقاطع الرسوم البيانية للوظائف.

دعونا نفكر بالتفصيل في حل الأنظمة باستخدام الأمثلة.

مثال 1:

دعونا نحل بطريقة الاستبدال

حل نظام المعادلات باستخدام طريقة الاستبدال

2x+5y=1 (معادلة واحدة)
x-10y=3 (المعادلة الثانية)

1. اكسبريس
ويمكن ملاحظة أنه يوجد في المعادلة الثانية متغير x بمعامل 1، مما يعني أنه من الأسهل التعبير عن المتغير x من المعادلة الثانية.
س=3+10ص

2. وبعد أن عبرنا عنها، نعوض بـ 3+10y في المعادلة الأولى بدلاً من المتغير x.
2(3+10ص)+5ص=1

3. حل المعادلة الناتجة بمتغير واحد.
2(3+10ص)+5ص=1 (افتح القوسين)
6+20ص+5ص=1
25ص=1-6
25ص=-5 |: (25)
ص=-5:25
ص=-0.2

حل نظام المعادلة هو نقاط تقاطع الرسوم البيانية، لذلك نحتاج إلى إيجاد x و y، لأن نقطة التقاطع تتكون من x و y.لنجد x، في النقطة الأولى التي عبرنا عنها نستبدل y.
س=3+10ص
س=3+10*(-0.2)=1

ومن المعتاد أن نكتب النقاط في المقام الأول نكتب المتغير x، وفي المركز الثاني المتغير y.
الجواب: (1؛ -0.2)

المثال رقم 2:

دعونا نحل باستخدام طريقة الجمع (الطرح) حدًا تلو الآخر.

حل نظام المعادلات باستخدام طريقة الجمع

3x-2y=1 (معادلة واحدة)
2x-3y=-10 (المعادلة الثانية)

1. نختار متغيرًا، لنفترض أننا اخترنا x. في المعادلة الأولى، المتغير x له معامل 3، في الثانية - 2. نحن بحاجة إلى جعل المعاملات هي نفسها، ولهذا لدينا الحق في ضرب المعادلات أو القسمة على أي رقم. نضرب المعادلة الأولى في 2، والثانية في 3 ونحصل على المعامل الإجمالي 6.

3س-2ص=1 |*2
6س-4ص=2

2س-3ص=-10 |*3
6س-9ص=-30

2. اطرح الثانية من المعادلة الأولى للتخلص من المتغير x وحل المعادلة الخطية.
__6س-4ص=2

5ص=32 | :5
ص=6.4

3. ابحث عن x. نعوض بـ y الموجود في أي من المعادلات، دعنا نقول في المعادلة الأولى.
3س-2ص=1
3س-2*6.4=1
3س-12.8=1
3س=1+12.8
3x=13.8 |:3
س=4.6

ستكون نقطة التقاطع x=4.6؛ ص=6.4
الجواب: (4.6؛ 6.4)

هل تريد الاستعداد للامتحانات مجانا؟ مدرس على الانترنت مجانا. لا تمزح.

تتم دراسة المعادلات التربيعية في الصف الثامن، لذلك لا يوجد شيء معقد هنا. القدرة على حلها ضرورية للغاية.

المعادلة التربيعية هي معادلة على الصورة ax 2 + bx + c = 0، حيث المعاملات a وb وc هي أرقام عشوائية وa ≠ 0.

قبل دراسة طرق حل محددة، لاحظ أنه يمكن تقسيم جميع المعادلات التربيعية إلى ثلاث فئات:

1. ليس لها جذور.
2. لديك جذر واحد بالضبط؛
3. لديهم جذور مختلفة.

هذا هو الفرق المهم المعادلات التربيعيةمن الخطية، حيث الجذر موجود دائمًا وفريد ​​من نوعه. كيفية تحديد عدد جذور المعادلة؟ هناك شيء رائع لهذا - تمييزي.

مميز

دع المعادلة التربيعية ax 2 + bx + c = 0. إذن فإن المميز هو ببساطة الرقم D = b 2 − 4ac.

عليك أن تعرف هذه الصيغة عن ظهر قلب. من أين يأتي ليس مهما الآن. شيء آخر مهم: من خلال علامة المميز يمكنك تحديد عدد جذور المعادلة التربيعية. يسمى:

1. إذا د< 0, корней нет;
2. إذا كان D = 0، هناك جذر واحد بالضبط؛
3. إذا كان D > 0، سيكون هناك جذرين.

يرجى ملاحظة: يشير المميز إلى عدد الجذور، وليس علاماتها على الإطلاق، كما يعتقد الكثير من الناس لسبب ما. ألقِ نظرة على الأمثلة وستفهم كل شيء بنفسك:

مهمة. ما عدد جذور المعادلات التربيعية:

1. س 2 − 8س + 12 = 0;
2. 5س 2 + 3س + 7 = 0؛
3. س 2 − 6س + 9 = 0.

لنكتب معاملات المعادلة الأولى ونوجد المميز:
أ = 1، ب = −8، ج = 12؛
د = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

إذن يكون المميز موجبًا، وبالتالي فإن المعادلة لها جذرين مختلفين. نقوم بتحليل المعادلة الثانية بنفس الطريقة:
أ = 5؛ ب = 3؛ ج = 7؛
د = 2 3 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

المميز سالب، ولا توجد جذور. المعادلة الأخيرة المتبقية هي:
أ = 1؛ ب = −6؛ ج = 9؛
د = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

المميز هو صفر، وسيكون الجذر واحدًا.

يرجى ملاحظة أنه تم كتابة المعاملات لكل معادلة. نعم، إنها طويلة، نعم، إنها مملة، لكنك لن تخلط بين الاحتمالات وترتكب أخطاء غبية. اختر لنفسك: السرعة أو الجودة.

بالمناسبة، إذا تمكنت من ذلك، فلن تحتاج بعد فترة إلى كتابة جميع المعاملات. سوف تقوم بإجراء مثل هذه العمليات في رأسك. يبدأ معظم الأشخاص في القيام بذلك في مكان ما بعد حل المعادلات بنسبة 50-70 - بشكل عام، ليس كثيرًا.

جذور المعادلة التربيعية

الآن دعنا ننتقل إلى الحل نفسه. إذا كان المميز D > 0، فيمكن العثور على الجذور باستخدام الصيغ:

الصيغة الأساسية لجذور المعادلة التربيعية

عندما يكون D = 0، يمكنك استخدام أي من هذه الصيغ - سوف تحصل على نفس الرقم، والذي سيكون الجواب. وأخيراً إذا كان د< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. س 2 − 2س − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. × 2 + 12س + 36 = 0.

المعادلة الأولى:
س 2 − 2س − 3 = 0 ⇒ أ = 1; ب = −2؛ ج = −3;
د = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ للمعادلة جذرين. دعونا نجدهم:

المعادلة الثانية:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ أ = −1; ب = −2؛ ج = 15؛
د = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ المعادلة لها جذرين مرة أخرى. دعونا نجدهم

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \النهاية(محاذاة)\]

وأخيراً المعادلة الثالثة:
س 2 + 12س + 36 = 0 ⇒ أ = 1; ب = 12؛ ج = 36؛
د = 12 2 − 4 1 36 = 0.

د = 0 ⇒ المعادلة لها جذر واحد. يمكن استخدام أي صيغة. على سبيل المثال، الأول:

كما ترون من الأمثلة، كل شيء بسيط للغاية. إذا كنت تعرف الصيغ وتستطيع العد، فلن تكون هناك مشاكل. في أغلب الأحيان، تحدث الأخطاء عند استبدال المعاملات السلبية في الصيغة. هنا مرة أخرى، ستساعد التقنية الموضحة أعلاه: انظر إلى الصيغة حرفيًا، واكتب كل خطوة - وسرعان ما تتخلص من الأخطاء.

المعادلات التربيعية غير الكاملة

يحدث أن المعادلة التربيعية تختلف قليلاً عما ورد في التعريف. على سبيل المثال:

1. س 2 + 9س = 0؛
2. س 2 − 16 = 0.

من السهل ملاحظة أن هذه المعادلات تفتقد أحد المصطلحات. إن حل هذه المعادلات التربيعية أسهل من حل المعادلات القياسية: فهي لا تتطلب حتى حساب المميز. لذلك، دعونا نقدم مفهوما جديدا:

تسمى المعادلة ax 2 + bx + c = 0 بمعادلة تربيعية غير مكتملة إذا كان b = 0 أو c = 0، أي. معامل المتغير x أو العنصر الحر يساوي صفر.

بالطبع، قد تكون هناك حالة صعبة للغاية عندما يكون كلا هذين المعاملين مساويًا للصفر: b = c = 0. في هذه الحالة، تأخذ المعادلة الشكل ax 2 = 0. من الواضح أن هذه المعادلة لها جذر واحد: x = 0.

دعونا ننظر في الحالات المتبقية. لنفترض أن b = 0، ثم نحصل على معادلة تربيعية غير كاملة بالصيغة ax 2 + c = 0. فلنحولها قليلاً:

منذ الحساب الجذر التربيعيموجود فقط من رقم غير سالب، المساواة الأخيرة منطقية فقط بالنسبة لـ (-c /a) ≥ 0. الخلاصة:

1. إذا كانت في معادلة تربيعية غير مكتملة من الصيغة ax 2 + c = 0 تم تحقيق المتراجحة (−c /a) ≥ 0، فسيكون هناك جذرين. الصيغة مذكورة أعلاه.
2. إذا (-ج /أ)< 0, корней нет.

كما ترون، لم يكن المميز مطلوبًا - في المعادلات التربيعية غير المكتملة لا يوجد حسابات معقدة. في الواقع، ليس من الضروري حتى أن نتذكر المتراجحة (−c /a) ≥ 0. يكفي التعبير عن القيمة x 2 ومعرفة ما هو على الجانب الآخر من علامة المساواة. إذا كان هناك عدد موجب، فسيكون هناك جذرين. إذا كانت سلبية، فلن يكون هناك جذور على الإطلاق.

الآن دعونا نلقي نظرة على المعادلات ذات الصيغة ax 2 + bx = 0، حيث العنصر الحر يساوي الصفر. كل شيء بسيط هنا: سيكون هناك دائمًا جذرين. يكفي تحليل كثير الحدود إلى عوامل:

أخذ العامل المشترك من بين قوسين

يكون الناتج صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل صفرًا. ومن هنا تأتي الجذور. وفي الختام، دعونا نلقي نظرة على عدد قليل من هذه المعادلات:

مهمة. حل المعادلات التربيعية:

1. س 2 − 7س = 0;
2. 5س 2 + 30 = 0؛
3. 4س 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; س 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. لا توجد جذور، لأنه لا يمكن للمربع أن يساوي رقمًا سالبًا.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; × 2 = −1.5.

1. الفأس 2 =0 – غير مكتمل معادلة من الدرجة الثانية (ب=0، ج=0 ). الحل: س=0. الجواب: 0.

حل المعادلات.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

حل.دعونا نفتح الأقواس عن طريق الضرب 2xلكل مصطلح بين قوسين:

2x 2 +6x=6x-x 2 ; ننقل المصطلحات من الجانب الأيمن إلى اليسار:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; وهنا مصطلحات مماثلة:

3x 2 = 0، وبالتالي x = 0.

إجابة: 0.

ثانيا. الفأس 2 +بx=0 –غير مكتمل معادلة من الدرجة الثانية (ج = 0 ). الحل: x (ax+b)=0 → x 1 =0 أو ax+b=0 → x 2 =-b/a. الجواب: 0؛ -ب/أ.

5س2 -26س=0.

حل.دعونا نخرج العامل المشترك Xخارج الأقواس:

س(5س-26)=0; كل عامل يمكن أن يساوي الصفر:

س = 0أو 5س-26=0→ 5س=26، اقسم طرفي المساواة على 5 ونحصل على: س=5.2.

إجابة: 0; 5,2.

مثال 3. 64س+4س2 =0.

حل.دعونا نخرج العامل المشترك 4xخارج الأقواس:

4س(16+س)=0. لدينا ثلاثة عوامل، 4≠0، أو س = 0أو 16+س=0. من المساواة الأخيرة نحصل على x=-16.

إجابة: -16; 0.

مثال 4.(س-3) 2 +5س=9.

حل.بتطبيق صيغة مربع الفرق بين تعبيرين، سنفتح الأقواس:

س 2 -6س+9+5س=9; تحويل إلى النموذج: x 2 -6x+9+5x-9=0; دعونا نقدم مصطلحات مماثلة:

س 2 -س=0; سوف نخرجها Xخارج الأقواس نحصل على: x (x-1)=0. من هنا أو س = 0أو س-1=0→ س=1.

إجابة: 0; 1.

ثالثا. الفأس 2 +ج=0 –غير مكتمل معادلة من الدرجة الثانية (ب=0 ); الحل: الفأس 2 =-ج → × 2 =-ج/أ.

لو (-ج/أ)<0 ، الذي - التي جذور حقيقيةلا. لو (-س/أ)>0

مثال 5.× 2 -49=0.

حل.

× 2 = 49، من هنا س=±7. إجابة:-7; 7.

مثال 6. 9×2 -4=0.

حل.

غالبًا ما تحتاج إلى إيجاد مجموع المربعات (x 1 2 +x 2 2) أو مجموع المكعبات (x 1 3 +x 2 3) لجذور المعادلة التربيعية، وفي كثير من الأحيان - مجموع القيم المتبادلة ​من مربعات الجذور أو مجموع الجذور التربيعية الحسابية لجذور المعادلة التربيعية:

يمكن أن تساعد نظرية فييتا في هذا:

س 2 +بكسل+ف=0

x 1 + x 2 = -p; × 1 ∙ × 2 = ف.

دعونا نعرب خلال صو س:

1) مجموع مربعات جذور المعادلة س 2 +بكسل+ف=0;

2) مجموع مكعبات جذور المعادلة س 2 +بكسل+ف=0.

حل.

1) تعبير × 1 2 + × 2 2تم الحصول عليها عن طريق تربيع طرفي المعادلة x 1 + x 2 = -p;

(س 1 + س 2) 2 =(-ع) 2 ; افتح الأقواس: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; نعبر عن المبلغ المطلوب: x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. لقد حصلنا على مساواة مفيدة: س 1 2 + س 2 2 = ع 2 -2ق.

2) تعبير × 1 3 + × 2 3دعونا نمثل مجموع المكعبات باستخدام الصيغة:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-ص·(ص 2 -2q-q)=-ص·(ص 2) -3ق).

معادلة أخرى مفيدة: س 1 3 + س 2 3 = -ص·(ص 2 -3ف).

أمثلة.

3) × 2 -3س-4=0.بدون حل المعادلة، احسب قيمة التعبير × 1 2 + × 2 2.

حل.

س 1 + س 2 = - ع = 3،والعمل × 1 ∙ × 2 = ف=في المثال 1) المساواة:

س 1 2 + س 2 2 = ع 2 -2ق.لدينا -ص=س 1 +س 2 = 3 → ص 2 =3 2 =9؛ س=× 1 × 2 = -4. ثم × 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

إجابة:س 1 2 + س 2 2 = 17.

4) س 2 -2س-4=0.احسب: x 1 3 +x 2 3 .

حل.

بواسطة نظرية فييتا، مجموع جذور هذه المعادلة التربيعية المختزلة هو س 1 + س 2 = - ع = 2،والعمل × 1 ∙ × 2 = ف=-4. فلنطبق ما تلقيناه ( في المثال 2) المساواة: س 1 3 + س 2 3 =-ص·(ع 2 -3ف)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

إجابة: س 1 3 + س 2 3 =32.

سؤال: ماذا لو أعطينا معادلة تربيعية غير مختزلة؟ الإجابة: يمكن دائمًا "تخفيضها" عن طريق قسمة حد على حد على المعامل الأول.

5) 2س2 -5س-7=0.دون أن تقرر، احسب: × 1 2 + × 2 2.

حل.لقد حصلنا على معادلة تربيعية كاملة. اقسم طرفي المساواة على 2 (المعامل الأول) واحصل على المعادلة التربيعية التالية: × 2 -2.5س-3.5=0.

وفقًا لنظرية فييتا، فإن مجموع الجذور يساوي 2,5 ; حاصل ضرب الجذور متساوي -3,5 .

نحن نحلها بنفس الطريقة كما في المثال 3) باستخدام المساواة: س 1 2 + س 2 2 = ع 2 -2ق.

س 1 2 + س 2 2 = ع 2 -2س= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

إجابة: س 1 2 + س 2 2 = 13,25.

6) × 2 -5س-2=0.يجد:

دعونا نحول هذه المساواة، وباستخدام نظرية فييتا، نعوض عن مجموع الجذور -ص، ونتاج الجذور من خلال س، نحصل على صيغة مفيدة أخرى. عند اشتقاق الصيغة، استخدمنا المساواة 1): س 1 2 + س 2 2 = ع 2 -2ق.

في مثالنا س 1 + س 2 =-ص=5; × 1 ∙ × 2 = ف=-2. نستبدل هذه القيم في الصيغة الناتجة:

7) × 2 -13س+36=0.يجد:

دعونا نحول هذا المجموع ونحصل على صيغة يمكن استخدامها لإيجاد مجموع الجذور التربيعية الحسابية من جذور المعادلة التربيعية.

لدينا س 1 + س 2 =-ص=13; × 1 ∙ × 2 = ف = 36. نستبدل هذه القيم في الصيغة الناتجة:

نصيحة : تحقق دائمًا من إمكانية إيجاد جذور المعادلة التربيعية باستخدام الطريقة المناسبة، لأن 4 تمت مراجعته صيغ مفيدة تسمح لك بإكمال المهمة بسرعة، خاصة في الحالات التي يكون فيها المميز رقمًا "غير مناسب". في جميع الحالات البسيطة، ابحث عن الجذور وقم بالعمل عليها. على سبيل المثال، في المثال الأخير نحدد الجذور باستخدام نظرية فييتا: يجب أن يكون مجموع الجذور مساويًا لـ 13 ، ونتاج الجذور 36 . ما هي هذه الأرقام؟ بالتأكيد، 4 و 9.الآن احسب مجموع الجذور التربيعية لهذه الأرقام: 2+3=5. هذا كل شيء!

I. نظرية فييتاللمعادلة التربيعية المخفضة.

مجموع جذور المعادلة التربيعية المختزلة س 2 +بكسل+ف=0يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، وحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر:

x 1 + x 2 = -p; × 1 ∙ × 2 = ف.

أوجد جذور المعادلة التربيعية المعطاة باستخدام نظرية فييتا.

مثال 1) × 2 -س-30=0.هذه هي المعادلة التربيعية المخفضة ( × 2 +بكسل+ف=0)، المعامل الثاني ع=-1، والعضو الحر س=-30.أولا دعونا نتأكد من ذلك معادلة معينةله جذور، وسيتم التعبير عن الجذور (إن وجدت) كأعداد صحيحة. ولهذا يكفي أن يكون المميز مربع ممتازالرقم كاملا.

إيجاد التمييز د=ب 2 — 4ج=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

الآن، وفقًا لنظرية فييتا، يجب أن يكون مجموع الجذور مساويًا للمعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، أي. ( -ص)، والحاصل يساوي الحد الحر، أي. ( س). ثم:

س 1 + س 2 =1؛ × 1 ∙ × 2 = -30.علينا اختيار رقمين بحيث يكون حاصل ضربهما يساوي -30 ، والمبلغ هو وحدة. هذه أرقام -5 و 6 . الجواب: -5؛ 6.

مثال 2) × 2 +6س+8=0.لدينا المعادلة التربيعية المخفضة مع المعامل الثاني ع = 6وعضو حر س=8. دعونا نتأكد من وجود جذور صحيحة. دعونا نجد المميز د 1 د 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . المميز D 1 هو المربع الكامل للرقم 1 مما يعني أن جذور هذه المعادلة هي أعداد صحيحة. دعونا نحدد الجذور باستخدام نظرية فييتا: مجموع الجذور يساوي –ص=-6، وحاصل ضرب الجذور يساوي س=8. هذه أرقام -4 و -2 .

في الواقع: -4-2=-6=-Р; -4∙(-2)=8=ف. الجواب: -4؛ -2.

مثال 3) × 2 +2س-4=0. في هذه المعادلة التربيعية المخفضة، المعامل الثاني ع = 2، والعضو الحر س=-4. دعونا نجد المميز د 1، لأن المعامل الثاني هو رقم زوجي. د 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. المميز ليس مربعًا كاملاً للعدد، لذلك نفعل ذلك خاتمة: جذور هذه المعادلة ليست أعدادًا صحيحة ولا يمكن إيجادها باستخدام نظرية فيتا.وهذا يعني أننا نحل هذه المعادلة، كالعادة، باستخدام الصيغ (في هذه الحالة، باستخدام الصيغ). نحن نحصل:

مثال 4).اكتب معادلة تربيعية باستخدام جذورها if × 1 = -7، × 2 = 4.

حل.سيتم كتابة المعادلة المطلوبة على الشكل: س 2 +بكسل+ف=0، وعلى أساس نظرية فييتا -ع=س 1 + س 2=-7+4=-3 → ع = 3؛ ف=س 1 ∙س 2=-7∙4=-28 . عندها ستأخذ المعادلة الشكل: × 2 +3س-28=0.

مثال 5).اكتب معادلة تربيعية باستخدام جذورها إذا:

ثانيا. نظرية فييتاللحصول على معادلة تربيعية كاملة الفأس 2 +بx+ج=0.

مجموع الجذور ناقص ب، مقسمة على أ، منتج الجذور يساوي مع، مقسمة على أ:

س 1 + س 2 = -ب/أ؛ س 1 ∙ س 2 = ج/أ.

مثال 6).أوجد مجموع جذور المعادلة التربيعية 2س2 -7س-11=0.

حل.

نتأكد من أن هذه المعادلة سيكون لها جذور. للقيام بذلك، يكفي إنشاء تعبير للمتميز، وبدون حسابه، فقط تأكد من أن المميز أكبر من الصفر. د=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . الآن دعونا نستخدم نظرية فيتاللمعادلات التربيعية الكاملة.

س 1 + س 2 = -ب:أ=- (-7):2=3,5.

مثال 7). أوجد حاصل ضرب جذور المعادلة التربيعية 3x2 +8x-21=0.

حل.

دعونا نجد المميز د 1، منذ المعامل الثاني ( 8 ) هو رقم زوجي. د 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . المعادلة التربيعية لديها 2 الجذر، وفقًا لنظرية فييتا، هو حاصل ضرب الجذور × 1 ∙ × 2 = ج:أ=-21:3=-7.

I. الفأس 2 +bx+c=0- المعادلة التربيعية العامة

مميز د=ب 2 - 4أ.

لو د > 0إذن لدينا جذرين حقيقيين:

لو د = 0، إذن لدينا جذر واحد (أو جذرين متساويين) س=-ب/(2أ).

إذا د<0, то действительных корней нет.

مثال 1) 2س2 +5س-3=0.

حل. أ=2; ب=5; ج=-3.

د=ب 2 - 4أ=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 جذور حقيقية

4x2 +21x+5=0.

حل. أ=4; ب=21; ج=5.

د=ب 2 - 4أ=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 جذور حقيقية

ثانيا. الفأس 2 +بx+ج=0 – معادلة تربيعية ذات شكل معين مع حتى الثانية

معامل في الرياضيات او درجة ب

مثال 3) 3س2 -10س+3=0.

حل. أ=3; ب=-10 (رقم زوجي)؛ ج=3.

مثال 4) 5س2 -14س-3=0.

حل. أ=5; ب= -14 (رقم زوجي)؛ ج=-3.

مثال 5) 71x2 +144x+4=0.

حل. أ=71; ب=144 (رقم زوجي)؛ ج=4.

مثال 6) 9x 2 -30x+25=0.

حل. أ=9; ب=-30 (رقم زوجي)؛ ج=25.

ثالثا. الفأس 2 +بx+ج=0 – معادلة من الدرجة الثانية النوع الخاص المقدم: أ-ب+ج=0.

الجذر الأول يساوي دائمًا سالب واحد، والجذر الثاني يساوي دائمًا سالب مع، مقسمة على أ:

س 1 =-1، س 2 =-ج/أ.

مثال 7) 2x2 +9x+7=0.

حل. أ=2; ب=9; ج=7. دعونا نتحقق من المساواة: أ-ب+ج=0.نحن نحصل: 2-9+7=0 .

ثم × 1 =-1، × 2 =-ج/أ=-7/2=-3.5.إجابة: -1; -3,5.

رابعا. الفأس 2 +بx+ج=0 – معادلة تربيعية ذات شكل معين تخضع ل : أ+ب+ج=0.

الجذر الأول هو دائما يساوي واحد، والجذر الثاني يساوي مع، مقسمة على أ:

× 1 = 1، × 2 = ج/أ.

مثال 8) 2س2 -9س+7=0.

حل. أ=2; ب=-9; ج=7. دعونا نتحقق من المساواة: أ+ب+ج=0.نحن نحصل: 2-9+7=0 .

ثم × 1 =1، × 2 = ج/أ=7/2=3.5.إجابة: 1; 3,5.

الصفحة 1 من 1 1

خدمة حل المعادلات عبر الإنترنت سوف تساعدك على حل أي معادلة. باستخدام موقعنا، لن تتلقى إجابة المعادلة فحسب، بل ستشاهد أيضًا حلاً مفصلاً، أي عرض خطوة بخطوة لعملية الحصول على النتيجة. خدمتنا ستكون مفيدة لطلاب المدارس الثانوية المدارس الثانويةوأولياء أمورهم. سيتمكن الطلاب من الاستعداد للاختبارات والامتحانات واختبار معرفتهم، وسيتمكن الآباء من مراقبة حل المعادلات الرياضية من قبل أطفالهم. تعد القدرة على حل المعادلات مطلبًا إلزاميًا لأطفال المدارس. ستساعدك الخدمة على تثقيف نفسك وتحسين معرفتك في مجال المعادلات الرياضية. بمساعدتها يمكنك حل أي معادلة: تربيعية، مكعبة، غير منطقية، مثلثية، إلخ. خدمة الإنترنتولا تقدر بثمن، لأنه بالإضافة إلى الإجابة الصحيحة، تحصل على حل مفصل لكل معادلة. فوائد حل المعادلات على الانترنت. يمكنك حل أي معادلة عبر الإنترنت على موقعنا مجانًا تمامًا. الخدمة تلقائية بالكامل، ولا يتعين عليك تثبيت أي شيء على جهاز الكمبيوتر الخاص بك، كل ما عليك فعله هو إدخال البيانات وسيقدم لك البرنامج الحل. يتم استبعاد أي أخطاء في الحسابات أو الأخطاء المطبعية. معنا، يعد حل أي معادلة عبر الإنترنت أمرًا سهلاً للغاية، لذا تأكد من استخدام موقعنا لحل أي نوع من المعادلات. ما عليك سوى إدخال البيانات وسيتم إكمال الحساب في غضون ثوان. يعمل البرنامج بشكل مستقل دون تدخل بشري، وتصلك إجابة دقيقة ومفصلة. حل المعادلة في منظر عام. في مثل هذه المعادلة، تكون المعاملات المتغيرة والجذور المطلوبة مترابطة. تحدد أعلى قوة للمتغير ترتيب هذه المعادلة. وبناءً على ذلك، يتم استخدام طرق ونظريات مختلفة للمعادلات لإيجاد الحلول. حل المعادلات من هذا النوع يعني إيجاد الجذور المطلوبة في الصورة العامة. تتيح لك خدمتنا حل حتى المعادلات الجبرية الأكثر تعقيدًا عبر الإنترنت. يمكنك الحصول على حل عام للمعادلة وحل خاص لتلك التي حددتها القيم العدديةمعاملات لحل معادلة جبرية على الموقع، يكفي ملء حقلين فقط بشكل صحيح: الجانب الأيسر والأيمن معادلة معينة. المعادلات الجبرية ذات المعاملات المتغيرة لها عدد لا نهائي من الحلول، وبوضع شروط معينة يتم اختيار الحلول الجزئية من مجموعة الحلول. معادلة من الدرجة الثانية. المعادلة التربيعية لها الصيغة ax^2+bx+c=0 لـ a>0. حل المعادلات نظرة مربعةيعني إيجاد قيم x التي تحمل فيها المساواة ax^2+bx+c=0. للقيام بذلك، ابحث عن القيمة المميزة باستخدام الصيغة D=b^2-4ac. إذا كان المميز أقل من الصفر، فإن المعادلة ليس لها جذور حقيقية (الجذور من المجال ارقام مركبة) ، إذا كان يساوي صفرًا، فإن المعادلة لها جذر حقيقي واحد، وإذا كان المميز أكبر من الصفر، فإن المعادلة لها جذرين حقيقيين، وهما موجودان بالصيغة: D= -b+-sqrt/2a. لحل معادلة تربيعية عبر الإنترنت، ما عليك سوى إدخال معاملات المعادلة (الأعداد الصحيحة أو الكسور أو الكسور العشرية). إذا كانت هناك علامات طرح في المعادلة، فيجب عليك وضع علامة الطرح أمام الحدود المقابلة لها في المعادلة. يمكنك حل معادلة تربيعية عبر الإنترنت اعتمادًا على المعلمة، أي المتغيرات في معاملات المعادلة. خدمتنا عبر الإنترنت للعثور على حلول عامة. المعادلات الخطية. للحصول على حلول المعادلات الخطية(أو أنظمة المعادلات) هناك أربع طرق رئيسية تستخدم في الممارسة العملية. وسنصف كل طريقة بالتفصيل. طريقة الاستبدال. يتطلب حل المعادلات باستخدام طريقة الاستبدال التعبير عن متغير واحد بدلالة المتغيرات الأخرى. بعد ذلك، يتم استبدال التعبير في معادلات أخرى للنظام. ومن هنا جاء اسم طريقة الحل، أي أنه بدلاً من المتغير يتم استبدال تعبيره من خلال المتغيرات المتبقية. من الناحية العملية، تتطلب الطريقة حسابات معقدة، على الرغم من سهولة فهمها، لذا فإن حل مثل هذه المعادلة عبر الإنترنت سيساعد في توفير الوقت وتسهيل العمليات الحسابية. تحتاج فقط إلى الإشارة إلى عدد المجهولين في المعادلة وملء البيانات من المعادلات الخطية، ثم ستقوم الخدمة بإجراء الحساب. طريقة غاوس. تعتمد الطريقة على أبسط تحويلات النظام للوصول إلى نظام مكافئ مثلثة المظهر. ومنه يتم تحديد المجهولين واحدًا تلو الآخر. في الممارسة العملية، مطلوب حل مثل هذه المعادلة عبر الإنترنت وصف تفصيليوبفضل ذلك سيكون لديك فهم جيد للطريقة الغوسية لحل أنظمة المعادلات الخطية. اكتب نظام المعادلات الخطية بالتنسيق الصحيح وخذ في الاعتبار عدد المجهولين من أجل حل النظام بدقة. طريقة كريمر. تحل هذه الطريقة أنظمة المعادلات في الحالات التي يكون فيها للنظام حل فريد. الإجراء الرياضي الرئيسي هنا هو حساب محددات المصفوفة. يتم حل المعادلات باستخدام طريقة كرامر عبر الإنترنت، وتتلقى النتيجة على الفور مع وصف كامل ومفصل. يكفي فقط ملء النظام بالمعاملات واختيار عدد المتغيرات غير المعروفة. طريقة المصفوفة. تتكون هذه الطريقة من جمع معاملات المجهولات في المصفوفة A، والمجهولات في العمود X، والمصطلحات الحرة في العمود B. وبالتالي، يتم اختزال نظام المعادلات الخطية إلى معادلة مصفوفية بالصيغة AxX = B. هذه المعادلة لها حل فريد فقط إذا كان محدد المصفوفة A يختلف عن الصفر، وإلا فلن يكون للنظام حلول، أو عدد لا نهائي من الحلول. يتضمن حل المعادلات باستخدام طريقة المصفوفة إيجاد المصفوفة العكسية A.