لذا ، فإن نظرية فيرما الأخيرة (تسمى غالبًا نظرية فيرما الأخيرة) ، التي صاغها عالم الرياضيات الفرنسي اللامع بيير فيرمات عام 1637 ، بسيطة جدًا في جوهرها ومفهومة لأي شخص لديه تعليم ثانوي. تقول أن الصيغة a إلى قوة n + b أس n \ u003d c أس n ليس لها حلول طبيعية (أي غير كسرية) لـ n> 2. كل شيء يبدو بسيطًا وواضحًا ، لكن أفضل علماء الرياضيات والهواة البسطاء قاتلوا من أجل البحث عن حل لأكثر من ثلاثة قرون ونصف.

لماذا هي مشهورة جدا؟ الآن دعنا نكتشف ...



هل هناك القليل من النظريات المُثبتة وغير المُثبتة وحتى الآن غير المُثبتة؟ الشيء هو أن نظرية فيرما الأخيرة هي أكبر تباين بين بساطة الصياغة وتعقيد البرهان. تعتبر نظرية فيرما الأخيرة مهمة صعبة للغاية ، ومع ذلك يمكن فهم صياغتها من قبل كل شخص في الصف الخامس من المدرسة الثانوية ، لكن الدليل بعيد كل البعد عن كل عالم رياضيات محترف. لا في الفيزياء ، ولا في الكيمياء ، ولا في علم الأحياء ، ولا في الرياضيات نفسها ، توجد مشكلة واحدة يمكن صياغتها بهذه البساطة ، لكنها ظلت دون حل لفترة طويلة. 2. ماذا تتكون؟

لنبدأ بسراويل فيثاغورس. الصياغة بسيطة حقًا - للوهلة الأولى. كما نعلم منذ الطفولة ، "السراويل فيثاغورس متساوية من جميع الجوانب." تبدو المشكلة بسيطة للغاية لأنها كانت تستند إلى بيان رياضي يعرفه الجميع - نظرية فيثاغورس: في أي مثلث قائم الزاوية ، يكون المربع المبني على الوتر مساويًا لمجموع المربعات المبنية على الساقين.

في القرن الخامس قبل الميلاد. أسس فيثاغورس الأخوة فيثاغورس. درس الفيثاغوريون ، من بين أمور أخرى ، الأعداد الصحيحة الثلاثية التي تحقق المعادلة x² + y² = z². لقد أثبتوا أن هناك عددًا لا نهائيًا من ثلاثيات فيثاغورس وحصلوا على صيغ عامة للعثور عليهم. ربما حاولوا البحث عن درجات ثلاثية وأعلى. مقتنعًا بأن هذا لم ينجح ، تخلى الفيثاغوريون عن محاولاتهم غير المجدية. كان أعضاء الأخوة أكثر فلاسفة وجماليات من علماء الرياضيات.


وهذا يعني أنه من السهل التقاط مجموعة من الأرقام التي تحقق تمامًا المساواة x² + y² = z²

بدءًا من 3 ، 4 ، 5 - في الواقع ، يدرك طالب المدرسة الابتدائية أن 9 + 16 = 25.

أو 5 ، 12 ، 13: 25 + 144 = 169. عظيم.

حسنا ، وهلم جرا. ماذا لو أخذنا معادلة مماثلة x³ + y³ = z³؟ ربما هناك مثل هذه الأرقام أيضا؟




وهلم جرا (الشكل 1).

حسنًا ، اتضح أنهم لا يفعلون ذلك. هذا هو المكان الذي تبدأ فيه الحيلة. البساطة ظاهرة ، لأنه من الصعب إثبات عدم وجود شيء ما ، بل على العكس ، إثبات الغياب. عندما يكون من الضروري إثبات وجود حل ، يمكن ويجب على المرء أن يقدم هذا الحل ببساطة.

من الصعب إثبات الغياب: على سبيل المثال ، يقول أحدهم: كذا وكذا معادلة ليس لها حلول. ضعه في بركة ماء؟ سهل: بام - وها هو الحل! (أعط حلا). وهذا كل شيء ، هُزم الخصم. كيف تثبت الغياب؟

ليقول: "لم أجد مثل هذه الحلول"؟ أو ربما لم تبحث جيدًا؟ وماذا لو كانت كبيرة جدًا ، حسناً ، حتى أن الكمبيوتر الفائق القوة لا يمتلك القوة الكافية بعد؟ هذا هو ما هو صعب.

في شكل مرئي ، يمكن توضيح ذلك على النحو التالي: إذا أخذنا مربعين بأحجام مناسبة وقمنا بتفكيكهما إلى مربعات وحدة ، فسيتم الحصول على مربع ثالث من مجموعة مربعات الوحدة هذه (الشكل 2):


ولنفعل الشيء نفسه مع البعد الثالث (الشكل 3) - فهو لا يعمل. لا توجد مكعبات كافية ، أو تبقى مكعبات إضافية:





لكن عالم الرياضيات في القرن السابع عشر ، الفرنسي بيير دي فيرما ، درس بحماس المعادلة العامة x n + yn = zn . وأخيرًا ، خلص إلى أن الحلول الصحيحة لعدد n> 2 غير موجودة. لقد فُقد دليل فيرمات إلى الأبد. المخطوطات مشتعلة! كل ما تبقى هو ملاحظته في كتاب ديوفانتوس الحسابي: "لقد وجدت دليلًا رائعًا حقًا على هذا الافتراض ، لكن الهوامش هنا ضيقة جدًا بحيث لا يمكن استيعابها".

في الواقع ، تسمى النظرية بدون دليل فرضية. لكن Fermat معروف بأنه لم يكن مخطئًا أبدًا. حتى لو لم يترك دليلاً على أي إفادة ، فقد تم تأكيد ذلك لاحقًا. بالإضافة إلى ذلك ، أثبت Fermat أطروحته لـ n = 4. لذا فإن فرضية عالم الرياضيات الفرنسي دخلت في التاريخ باعتبارها نظرية فيرما الأخيرة.

بعد فيرمات ، عملت عقول عظيمة مثل ليونارد أويلر على إيجاد الدليل (في عام 1770 اقترح حلاً لـ n = 3) ،

Adrien Legendre و Johann Dirichlet (وجد هؤلاء العلماء معًا دليلاً لـ n = 5 في عام 1825) ، و Gabriel Lame (الذي وجد دليلاً لـ n = 7) والعديد من الآخرين. بحلول منتصف الثمانينيات من القرن الماضي ، أصبح من الواضح أن العالم العلمي كان في طريقه إلى الحل النهائي لنظرية فيرما الأخيرة ، ولكن فقط في عام 1993 رأى علماء الرياضيات ويعتقدون أن ملحمة القرن الثلاثة لإيجاد دليل على كانت نظرية فيرما الأخيرة على وشك الانتهاء.

من السهل إثبات أنه يكفي إثبات نظرية فيرما فقط للعدد الأولي n: 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، ... بالنسبة للمركب n ، يظل الدليل صالحًا. ولكن هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية ...

في عام 1825 ، وباستخدام طريقة صوفي جيرمان ، أثبتت عالمات الرياضيات وديريتشليت وليجيندر بشكل مستقل نظرية لـ n = 5. في عام 1839 ، أظهر الفرنسي غابرييل لام حقيقة نظرية ن = 7 باستخدام نفس الطريقة. تدريجيًا ، تم إثبات النظرية تقريبًا لكل n أقل من مائة.


أخيرًا ، أظهر عالم الرياضيات الألماني إرنست كومر في دراسة رائعة أن طرق الرياضيات في القرن التاسع عشر لا يمكنها إثبات النظرية بشكل عام. ظلت جائزة الأكاديمية الفرنسية للعلوم ، التي تأسست عام 1847 لإثبات نظرية فيرما ، غير مخصصة.

في عام 1907 ، قرر الصناعي الألماني الثري بول ولفسكيل أن ينتحر بسبب الحب الذي لا مقابل له. مثل ألماني حقيقي ، حدد تاريخ ووقت الانتحار: بالضبط في منتصف الليل. في اليوم الأخير ، قدم وصية وكتب رسائل إلى الأصدقاء والأقارب. انتهى العمل قبل منتصف الليل. يجب أن أقول إن بولس كان مهتمًا بالرياضيات. لم يكن لديه ما يفعله ، ذهب إلى المكتبة وبدأ في قراءة مقال كومر الشهير. بدا له فجأة أن كومر قد أخطأ في تفكيره. بدأ Wolfskehl ، بقلم رصاص في يده ، في تحليل هذا الجزء من المقال. مر منتصف الليل ، وجاء الصباح. تم سد الفجوة في الإثبات. والسبب في الانتحار بدا سخيفًا تمامًا الآن. مزق بولس رسائل الوداع وأعاد كتابة الوصية.

سرعان ما مات لأسباب طبيعية. فوجئ الورثة بشدة: تم تحويل 100،000 مارك (أكثر من 1،000،000 جنيه إسترليني حالي) إلى حساب الجمعية العلمية الملكية في غوتنغن ، التي أعلنت في نفس العام عن مسابقة لجائزة Wolfskel. 100000 علامة اعتمدت على مِثْل نظرية فيرما. لم يكن من المفترض أن يتم الدفع لفنيغ مقابل تفنيد النظرية ...

اعتبر معظم علماء الرياضيات المحترفين البحث عن دليل على نظرية فيرما الأخيرة قضية خاسرة ورفضوا بحزم إضاعة الوقت في مثل هذا التمرين غير المجدي. لكن هواة المرح حتى المجد. بعد أسابيع قليلة من الإعلان ، ضرب سيل من "الأدلة" جامعة غوتنغن. قام البروفيسور إي إم لانداو ، الذي كان من واجبه تحليل الأدلة المرسلة ، بتوزيع البطاقات على طلابه:


أعزاء). . . . . . . .

شكرًا لك على المخطوطة التي أرسلتها مع إثبات نظرية فيرما الأخيرة. الخطأ الأول موجود في الصفحة ... على السطر .... وبسببه يفقد الدليل كله صحته.
البروفيسور إي إم لانداو











في عام 1963 ، أثبت بول كوهين ، بالاعتماد على نتائج Gödel ، عدم قابلية حل واحدة من مشاكل هيلبرت الثلاثة والعشرين ، وهي الفرضية المستمرة. ماذا لو كانت نظرية فيرما الأخيرة غير قابلة للحل أيضًا ؟! لكن المتعصبين الحقيقيين للنظرية العظمى لم يخيب أملهم على الإطلاق. أعطى ظهور أجهزة الكمبيوتر علماء الرياضيات بشكل غير متوقع طريقة جديدة للإثبات. بعد الحرب العالمية الثانية ، أثبتت مجموعات من المبرمجين وعلماء الرياضيات نظرية فيرما الأخيرة لجميع القيم من n حتى 500 ، ثم حتى 1000 ، وبعد ذلك حتى 10000.

في الثمانينيات ، رفع صموئيل واجستاف الحد إلى 25000 ، وفي التسعينيات ، ادعى علماء الرياضيات أن نظرية فيرما الأخيرة كانت صحيحة لجميع قيم n حتى 4 ملايين. ولكن إذا تم طرح تريليون تريليون من اللانهاية ، فلن تصبح أصغر. علماء الرياضيات غير مقتنعين بالإحصاءات. إن إثبات النظرية العظيمة يعني إثباتها لكل شيء نذهب إلى اللانهاية.




في عام 1954 ، تولى صديقان يابانيان شابان في الرياضيات دراسة النماذج المعيارية. تولد هذه الأشكال سلسلة من الأرقام ، كل منها - سلسلة خاصة بها. بالصدفة ، قارن تانياما هذه المتسلسلات بالسلسلة المتولدة بواسطة المعادلات الإهليلجية. تطابقوا! لكن الأشكال المعيارية هي كائنات هندسية ، بينما المعادلات البيضاوية جبرية. بين هذه الأشياء المختلفة لم يتم العثور على اتصال.

ومع ذلك ، بعد اختبار دقيق ، طرح الأصدقاء فرضية: كل معادلة بيضاوية لها شكل مزدوج - شكل معياري ، والعكس صحيح. كانت هذه الفرضية هي الأساس لاتجاه كامل في الرياضيات ، ولكن حتى تم إثبات فرضية تانياما-شيمورا ، يمكن أن ينهار المبنى بأكمله في أي لحظة.

في عام 1984 ، أظهر غيرهارد فراي أن حل معادلة فيرما ، إن وجد ، يمكن إدراجه في بعض المعادلات الإهليلجية. بعد ذلك بعامين ، أثبت البروفيسور كين ريبت أن هذه المعادلة الافتراضية لا يمكن أن يكون لها نظير في العالم المعياري. من الآن فصاعدًا ، ارتبطت نظرية فيرما الأخيرة ارتباطًا وثيقًا بتخمين تانياما-شيمورا. بعد أن أثبتنا أن أي منحنى إهليلجي معياري ، نستنتج أنه لا توجد معادلة بيضاوية مع حل لمعادلة فيرما ، وأن نظرية فيرما الأخيرة ستثبت على الفور. لكن لمدة ثلاثين عامًا لم يكن من الممكن إثبات تخمين تانياما-شيمورا ، وكانت آمال النجاح أقل وأقل.

في عام 1963 ، عندما كان عمره عشر سنوات فقط ، كان أندرو وايلز مفتونًا بالفعل بالرياضيات. عندما علم بالنظرية العظمى ، أدرك أنه لا يستطيع الانحراف عنها. كطالب ، طالب ، طالب دراسات عليا ، أعد نفسه لهذه المهمة.

عند معرفة نتائج كين ريبت ، ألقى ويلز بنفسه لإثبات تخمين تانياما-شيمورا. قرر العمل في عزلة تامة وسرية. "لقد فهمت أن كل ما له علاقة بنظرية فيرما الأخيرة له أهمية كبيرة ... يتدخل الكثير من المشاهدين عمدًا في تحقيق الهدف." سبع سنوات من العمل الشاق أتت ثمارها ، أكمل ويلز أخيرًا إثبات تخمين تانياما-شيمورا.

في عام 1993 ، قدم عالم الرياضيات الإنجليزي أندرو وايلز للعالم إثباته على نظرية فيرما الأخيرة (قرأ وايلز تقريره المثير في مؤتمر في معهد السير إسحاق نيوتن في كامبريدج) ، والذي استمر العمل فيه أكثر من سبع سنوات.







بينما استمر الضجيج في الصحافة ، بدأ العمل الجاد للتحقق من الأدلة. يجب فحص كل دليل بعناية قبل اعتبار الدليل صارمًا ودقيقًا. قضى وايلز صيفًا محمومًا في انتظار تعليقات المراجعين ، على أمل أن يتمكن من الفوز بموافقتهم. في نهاية أغسطس / آب ، وجد الخبراء حكماً غير مدعوم بما يكفي من الأدلة.

اتضح أن هذا القرار يحتوي على خطأ جسيم ، على الرغم من أنه صحيح بشكل عام. لم يستسلم وايلز ، حيث تم استدعاؤه بمساعدة متخصص معروف في نظرية الأعداد ريتشارد تيلور ، وقد نشر بالفعل في عام 1994 دليلاً مصححًا ومكملًا للنظرية. الأمر الأكثر إثارة للدهشة هو أن هذا العمل احتل ما يصل إلى 130 صفحة (!) في مجلة حوليات الرياضيات الرياضية. لكن القصة لم تنته عند هذا الحد أيضًا - فقد تم طرح النقطة الأخيرة فقط في العام التالي ، 1995 ، عندما تم نشر النسخة النهائية و "المثالية" من وجهة نظر رياضية.

"... بعد نصف دقيقة من بدء العشاء الاحتفالي بمناسبة عيد ميلادها ، أعطيت نادية مخطوطة الإثبات الكامل" (أندرو ويلز). هل ذكرت أن علماء الرياضيات هم أشخاص غريبون؟






هذه المرة لم يكن هناك شك حول الدليل. تم إخضاع مقالتين للتحليل الأكثر دقة وفي مايو 1995 تم نشرهما في حوليات الرياضيات.

لقد مر الكثير من الوقت منذ تلك اللحظة ، ولكن لا يزال هناك رأي في المجتمع حول عدم قابلية حل نظرية فيرما الأخيرة. لكن حتى أولئك الذين يعرفون الدليل الذي تم العثور عليه يواصلون العمل في هذا الاتجاه - قلة من الناس مقتنعون بأن النظرية العظمى تتطلب حلاً من 130 صفحة!

لذلك ، يتم الآن إلقاء قوى العديد من علماء الرياضيات (معظمهم من الهواة ، وليس العلماء المحترفين) بحثًا عن دليل بسيط وموجز ، ولكن هذا المسار ، على الأرجح ، لن يؤدي إلى أي مكان ... - »مهام الإنسانية

مهام الرياضيات التي لا تحلها الإنسانية

مشاكل هلبرت

تم تقديم أهم 23 مشكلة في الرياضيات من قبل أعظم عالم الرياضيات الألماني ديفيد هيلبرت في المؤتمر الدولي الثاني لعلماء الرياضيات في باريس عام 1990. ثم لم تحل هذه المسائل (التي تغطي أسس الرياضيات ، والجبر ، ونظرية الأعداد ، والهندسة ، والطوبولوجيا ، والهندسة الجبرية ، ومجموعات الكذب ، والتحليل الحقيقي والمعقد ، والمعادلات التفاضلية ، والفيزياء الرياضية ، وحساب المتغيرات ، ونظرية الاحتمالات). حتى الآن 16 تم حل المشاكل من أصل 23. اثنتان أخريان ليستا مسائل رياضية صحيحة (واحدة صيغت بشكل غامض للغاية لفهم ما إذا كان قد تم حلها أم لا ، والآخر بعيد عن الحل ، هو فيزيائي ، وليس رياضي) من المسائل الخمس المتبقية ، اثنان لم تحل بأي شكل من الأشكال ، وثلاثة تحل فقط في بعض الحالات

مشاكل لانداو

حتى الآن ، هناك العديد من الأسئلة المفتوحة المتعلقة بالأعداد الأولية (الرقم الأولي هو رقم يحتوي على قسومتين فقط: واحد والرقم نفسه). تم سرد أهم الأسئلة ادموند لانداوفي المؤتمر الدولي الخامس للرياضيات:

مشكلة لانداو الأولى (مشكلة جولدباخ): هل صحيح أن كل عدد زوجي أكبر من اثنين يمكن تمثيله كمجموع اثنين من الأعداد الأولية ، وكل رقم فردي أكبر من 5 يمكن تمثيله كمجموع ثلاثة أعداد أولية؟

مشكلة لانداو الثانية: هل المجموعة لا نهائية؟ "التوائم البسيطة"- الأعداد الأولية ، والفرق بينها يساوي 2؟
مشكلة لانداو الثالثة(حدسية Legendre): هل صحيح أنه لأي عدد طبيعي n بين وأن هناك دائمًا عدد أولي؟
مشكلة لانداو الرابعة: هل مجموعة الأعداد الأولية في الصورة ، حيث n عدد طبيعي ، غير منتهية؟

أهداف الألفية (مشاكل جائزة الألفية

هذه سبع مشاكل في الرياضيات ، حوالحل الذي قدمه معهد كلاي لكل منهما جائزة قدرها مليون دولار أمريكي. لفت انتباه علماء الرياضيات إلى هذه المشاكل السبع ، قارنها معهد كلاي بمسألة د.هلبرت الـ 23 ، والتي كان لها تأثير كبير على رياضيات القرن العشرين. من أصل 23 مشكلة لهيلبرت ، تم حل معظمها بالفعل ، وتم إدراج واحدة فقط ، وهي فرضية ريمان ، في قائمة مشاكل الألفية. اعتبارًا من ديسمبر 2012 ، تم حل مشكلة واحدة فقط من مشكلات الألفية السبع (فرضية بوانكاريه). مُنحت جائزة حلها لعالم الرياضيات الروسي غريغوري بيرلمان ، الذي رفضها.

فيما يلي قائمة بهذه المهام السبع:

رقم 1. المساواة بين الفئتين P و NP

إذا كان من الممكن الإجابة الإيجابية على سؤال سريعتحقق (باستخدام بعض المعلومات الداعمة المسماة شهادة) ما إذا كانت الإجابة نفسها (مع الشهادة) على هذا السؤال صحيحة سريعتجد؟ مشاكل النوع الأول تنتمي إلى فئة NP ، ومن النوع الثاني تنتمي إلى الفئة P. تعتبر مشكلة المساواة بين هذه الفئات من أهم المشاكل في نظرية الخوارزميات.

رقم 2. فرضية هودج

مشكلة مهمة في الهندسة الجبرية. يصف التخمين فئات cohomology على الأصناف الإسقاطية المعقدة التي تم تحقيقها بواسطة الأنواع الفرعية الجبرية.

رقم 3. فرضية بوانكاريه (أثبتها جي يا بيرلمان)

تعتبر مشكلة الطوبولوجيا الأكثر شهرة. بشكل أكثر بساطة ، تنص على أن أي "كائن" ثلاثي الأبعاد له بعض خصائص كرة ثلاثية الأبعاد (على سبيل المثال ، كل حلقة داخله يجب أن تكون قابلة للتقلص) يجب أن تكون كرة قابلة للتشوه. مُنحت جائزة إثبات تخمين بوانكاريه لعالم الرياضيات الروسي ج.

رقم 4. فرضية ريمان

ينص التخمين على أن جميع الأصفار غير التافهة (أي التي تحتوي على جزء وهمي غير صفري) من دالة زيتا ريمان لها جزء حقيقي من 1/2. كانت فرضية ريمان هي الثامنة في قائمة مشاكل هيلبرت.

رقم 5. نظرية يانغ ميلز

مهمة من مجال فيزياء الجسيمات الأولية. مطلوب إثبات أنه بالنسبة لأي مجموعة مقاييس مضغوطة بسيطة ، توجد نظرية يانغ ميلز الكمومية لمساحة رباعية الأبعاد ولديها عيب غير صفري في الكتلة. يتوافق هذا البيان مع البيانات التجريبية والمحاكاة العددية ، لكن لم يتم إثباته بعد.

رقم 6. وجود وسلاسة حلول معادلات نافييه-ستوكس

تصف معادلات نافييه-ستوكس حركة السائل اللزج. من أهم المشاكل في الديناميكا المائية.

رقم 7. فرضية بيرش سوينيرتون داير

ترتبط الفرضية بمعادلات المنحنيات الإهليلجية ومجموعة حلولها المنطقية.

"كل ما أعرفه هو أنني لا أعرف شيئًا ، لكن الآخرين لا يعرفون ذلك أيضًا"
(سقراط الفيلسوف اليوناني القديم)

لا أحد يُمنح لامتلاك العقل الكوني ومعرفة كل شيء. ومع ذلك ، فإن معظم العلماء ، وحتى أولئك الذين يحبون التفكير والاستكشاف ، لديهم دائمًا رغبة في معرفة المزيد وحل الألغاز. لكن هل ما زالت هناك مواضيع لم تحل في الإنسانية؟ بعد كل شيء ، يبدو أن كل شيء واضح بالفعل وتحتاج فقط إلى تطبيق المعرفة المكتسبة عبر القرون؟

لا تيأس! لا تزال هناك مشاكل لم يتم حلها من مجال الرياضيات والمنطق ، والتي تم دمجها في عام 2000 من قبل خبراء معهد كلاي الرياضي في كامبريدج (ماساتشوستس ، الولايات المتحدة الأمريكية) في قائمة ما يسمى بألغاز الألفية السبعة (مشاكل جائزة الألفية). هذه المشاكل تهم العلماء في جميع أنحاء الكوكب. منذ ذلك الحين وحتى يومنا هذا ، يمكن لأي شخص أن يدعي أنه وجد حلاً لإحدى المشكلات ، وإثبات فرضية ، والحصول على جائزة من الملياردير بوسطن لاندون كلاي (الذي سمي المعهد على اسمه). وقد خصص بالفعل 7 ملايين دولار لهذا الغرض. على فكرة، اليوم ، تم بالفعل حل إحدى المشكلات.

لذا ، هل أنت مستعد للتعرف على ألغاز الرياضيات؟

معادلات نافييه-ستوكس (تمت صياغتها عام 1822)

المجال: الديناميكا المائية

تُعرف معادلات التدفق المضطرب والهوائي والسوائل بمعادلات نافيير-ستوكس. إذا ، على سبيل المثال ، تطفو على بحيرة على شيء ما ، عندها ستنشأ موجات حتمية من حولك. ينطبق هذا أيضًا على المجال الجوي: عند الطيران في طائرة ، تتشكل أيضًا تدفقات مضطربة في الهواء.
هذه المعادلات تنتج فقط وصف عمليات حركة السائل اللزجوهي المشكلة الأساسية لجميع الديناميكا المائية. بالنسبة لبعض الحالات الخاصة ، تم بالفعل العثور على حلول يتم فيها تجاهل أجزاء من المعادلات لعدم وجود تأثير لها على النتيجة النهائية ، ولكن لم يتم العثور على حلول لهذه المعادلات بشكل عام.
من الضروري إيجاد حل للمعادلات وتحديد الوظائف السلسة.

فرضية ريمان (تمت صياغتها عام 1859)

المجال: نظرية الأعداد

من المعروف أن توزيع الأعداد الأولية (التي لا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى واحد: 2،3،5،7،11 ...) بين جميع الأعداد الطبيعية لا يتبع أي انتظام.
فكر عالم الرياضيات الألماني ريمان في هذه المشكلة ، الذي وضع افتراضه ، نظريًا فيما يتعلق بخصائص التسلسل الحالي للأعداد الأولية. ما يسمى بالأعداد الأولية المزدوجة معروفة منذ زمن طويل - الأعداد الأولية المزدوجة ، والفرق بينهما يساوي 2 ، على سبيل المثال ، 11 و 13 و 29 و 31 و 59 و 61. في بعض الأحيان تشكل مجموعات كاملة ، على سبيل المثال ، 101 و 103 و 107 و 109 و 113.
إذا تم العثور على مثل هذه التراكمات واشتقاق خوارزمية معينة ، فسيؤدي ذلك إلى تغيير ثوري في معرفتنا في مجال التشفير وإلى اختراق غير مسبوق في مجال أمان الإنترنت.

مشكلة بوانكاريه (تمت صياغتها عام 1904. تم حلها عام 2002).

المجال: طوبولوجيا أو هندسة الفضاءات متعددة الأبعاد

يكمن جوهر المشكلة في الهيكل ويكمن في حقيقة أنه إذا قمت بتمديد شريط مطاطي ، على سبيل المثال ، على تفاحة (كرة) ، فسيكون من الممكن نظريًا ضغطه إلى نقطة ، وتحريك الشريط ببطء بدون خلعه عن السطح. ومع ذلك ، إذا تم سحب نفس الشريط حول حلقة دائرية ، فلا يمكن ضغط الشريط دون كسر الشريط أو كسر الكعكة نفسها. أولئك. كل سطح الكرة متصل ببساطة ، بينما سطح الطارة ليس كذلك. كانت المهمة هي إثبات أن المجال فقط هو المتصل ببساطة.

ممثل مدرسة لينينغراد الهندسية غريغوري ياكوفليفيتش بيرلمانحاصل على جائزة الألفية من معهد كلاي للرياضيات (2010) لحل مشكلة بوانكاريه. رفض جائزة فيلدز الشهيرة.

فرضية هودج (تمت صياغتها عام 1941)

المجال: الهندسة الجبرية

في الواقع ، هناك العديد من العناصر الهندسية البسيطة والأكثر تعقيدًا. كلما زاد تعقيد الكائن ، زادت صعوبة دراسته. الآن ابتكر العلماء ويستخدمون بقوة أسلوبًا يعتمد على استخدام أجزاء من الكل ("الطوب") لدراسة هذا الكائن ، كمثال - مصمم. معرفة خصائص "الطوب" ، يصبح من الممكن الاقتراب من خصائص الكائن نفسه.ترتبط فرضية هودج في هذه الحالة ببعض خصائص "الطوب" والأشياء.
هذه مشكلة خطيرة للغاية في الهندسة الجبرية: لإيجاد طرق وطرق دقيقة لتحليل الكائنات المعقدة بمساعدة "الطوب" البسيط.

معادلات يانج ميلز (تمت صياغتها عام 1954)

المجال: الهندسة وفيزياء الكم

يصف الفيزيائيان يانغ وميلز عالم الجسيمات الأولية. بعد أن اكتشفوا العلاقة بين الهندسة وفيزياء الجسيمات الأولية ، كتبوا معادلاتهم الخاصة في مجال فيزياء الكم. بذلك تم إيجاد طريقة لتوحيد نظريات التفاعلات الكهرومغناطيسية والضعيفة والقوية.
على مستوى الجسيمات الدقيقة ، ينشأ تأثير "غير سار": إذا عملت عدة مجالات على جسيم في وقت واحد ، فلا يمكن أن يتحلل تأثيرها المشترك إلى تأثير كل منها واحدًا تلو الآخر. هذا يرجع إلى حقيقة أنه في هذه النظرية ، لا تنجذب جسيمات المادة إلى بعضها البعض فحسب ، بل أيضًا لخطوط المجال نفسها.
على الرغم من أن معادلات يانج ميلز مقبولة من قبل جميع علماء الفيزياء في العالم ، إلا أن النظرية المتعلقة بالتنبؤ بكتلة الجسيمات الأولية لم يتم إثباتها تجريبيًا.

فرضية بيرش وسوينرتون-داير (تمت صياغتها عام 1960)

المجال: الجبر ونظرية الأعداد

فرضية تتعلق بمعادلات المنحنيات الناقصية ومجموعة حلولها المنطقية. في إثبات نظرية فيرما ، احتلت المنحنيات الناقصية أحد أهم الأماكن. وفي التشفير ، يشكلون قسمًا كاملاً من الاسم نفسه ، وتستند عليهم بعض معايير التوقيع الرقمي الروسية.
تكمن المشكلة في أنك تحتاج إلى وصف جميع الحلول بالأعداد الصحيحة x و y و z للمعادلات الجبرية ، أي المعادلات في عدة متغيرات مع معاملات عدد صحيح.

مشكلة كوك (صيغت عام 1971)

المجال: المنطق الرياضي وعلم التحكم الآلي

وتسمى أيضًا "المساواة بين الفئتين P و NP" ، وهي من أهم المشكلات في نظرية الخوارزميات والمنطق وعلوم الكمبيوتر.
هل يمكن أن تستمر عملية التحقق من صحة حل مشكلة ما لفترة أطول من الوقت الذي يقضيه في حل هذه المشكلة نفسها(بغض النظر عن خوارزمية التحقق)؟
يتطلب حل نفس المشكلة ، أحيانًا ، مقدارًا مختلفًا من الوقت ، إذا قمت بتغيير الشروط والخوارزميات. على سبيل المثال: في شركة كبيرة كنت تبحث عن صديق. إذا كنت تعلم أنه يجلس في زاوية أو على طاولة ، فسوف يستغرق الأمر جزء من الثانية لرؤيته. ولكن إذا كنت لا تعرف مكان الشيء بالضبط ، فاقضي وقتًا أطول في البحث عنه ، متجاوزًا جميع الضيوف.
السؤال الرئيسي هو: هل يمكن أيضًا حل جميع المشكلات التي يمكن التحقق منها بسهولة وسرعة أو لا يمكن حلها بسهولة وسرعة؟

الرياضيات ، كما قد يبدو للكثيرين ، ليست بعيدة عن الواقع. إنها الآلية التي يمكن من خلالها وصف عالمنا والعديد من الظواهر. الرياضيات في كل مكان. وكان VO على حق. Klyuchevsky ، الذي قال: "ليس ذنب الزهور أن المكفوفين لا يستطيعون رؤيتهم".

ختاماً….

واحدة من أكثر النظريات شيوعًا في الرياضيات - نظرية فيرما الأخيرة: an + bn = cn - لا يمكن إثباتها لمدة 358 عامًا! وفقط في عام 1994 تمكن البريطاني أندرو وايلز من إعطائها الحل.

المسائل غير القابلة للحل هي أكثر 7 مسائل رياضية شيقة. تم اقتراح كل واحد منهم في وقت واحد من قبل علماء مشهورين ، كقاعدة عامة ، في شكل فرضيات. لعقود عديدة ، كان علماء الرياضيات في جميع أنحاء العالم يجهدون عقولهم في حلهم. أولئك الذين ينجحون سيكافأون بمليون دولار أمريكي يقدمها معهد كلاي.

معهد كلاي

هذا الاسم معروف لمنظمة خاصة غير ربحية مقرها في كامبريدج ، ماساتشوستس. تأسست في عام 1998 من قبل عالم الرياضيات بجامعة هارفارد أ. جيفي ورجل الأعمال إل كلاي. الهدف من المعهد هو تعميم المعرفة الرياضية وتطويرها. لتحقيق ذلك ، تمنح المنظمة جوائز للعلماء وترعى الأبحاث الواعدة.

في بداية القرن الحادي والعشرين ، قدم معهد كلاي الرياضي جائزة لأولئك الذين يحلون المشكلات المعروفة بأنها أصعب المشكلات غير القابلة للحل ، واصفين قائمتهم بمشكلات جائزة الألفية. من "قائمة هلبرت" لم تتضمن سوى فرضية ريمان.

تحديات الألفية

تضمنت قائمة معهد كلاي في الأصل:

• فرضية دورة هودج.
• معادلات نظرية الكم يانغ ميلز.
• فرضية بوانكاريه.
• مشكلة المساواة بين الفئتين P و NP ؛
• فرضية ريمان.
• على وجود وسلاسة حلولها.
• مشكلة بيرش سوينرتون داير.

هذه المسائل الرياضية المفتوحة ذات أهمية كبيرة لأنها يمكن أن يكون لها العديد من التطبيقات العملية.

ماذا أثبت غريغوري بيرلمان

في عام 1900 ، اقترح الفيلسوف الشهير هنري بوانكاريه أن أي مشعب مدمج ثلاثي الأبعاد بدون حدود يكون متماثلًا مع كرة ثلاثية. لم يتم العثور على دليلها في الحالة العامة لمدة قرن. فقط في 2002-2003 ، نشر عالم الرياضيات في سانت بطرسبرغ جي بيرلمان عددًا من المقالات مع حل لمشكلة بوانكاريه. كان لديهم تأثير قنبلة متفجرة. في عام 2010 ، تم استبعاد فرضية بوانكاريه من قائمة "المشكلات غير المحلولة" لمعهد كلاي ، وعُرض على بيرلمان نفسه الحصول على أجر كبير مستحق له ، وهو ما رفضه الأخير دون توضيح أسباب قراره.

يمكن تقديم التفسير الأكثر مفهومة لما تمكن عالم الرياضيات الروسي من إثباته من خلال تخيل أن قرصًا مطاطيًا يتم سحبه على حلقة دائرية (دائرية) ، ثم يحاولون سحب حواف محيطه إلى نقطة واحدة. من الواضح أن هذا غير ممكن. شيء آخر ، إذا أجريت هذه التجربة بالكرة. في هذه الحالة ، فإن الكرة التي تبدو ثلاثية الأبعاد ، الناتجة عن قرص ، تم سحب محيطه إلى نقطة بواسطة حبل افتراضي ، سيكون ثلاثي الأبعاد في فهم الشخص العادي ، ولكنه ثنائي الأبعاد من النقطة من وجهة نظر الرياضيات.

اقترح بوانكاريه أن الكرة ثلاثية الأبعاد هي "الجسم" ثلاثي الأبعاد الوحيد الذي يمكن أن يتقلص سطحه إلى نقطة واحدة ، وقد تمكن بيرلمان من إثبات ذلك. وهكذا ، تتكون قائمة "المشاكل غير القابلة للحل" اليوم من 6 مشاكل.

نظرية يانغ ميلز

تم اقتراح هذه المشكلة الرياضية من قبل مؤلفيها في عام 1954. الصيغة العلمية للنظرية هي كما يلي: بالنسبة لأي مجموعة مقاييس مدمجة بسيطة ، فإن النظرية المكانية الكمية التي أنشأها يانغ وميلز موجودة ، وفي نفس الوقت بها خلل صفري في الكتلة.

عند التحدث بلغة مفهومة لشخص عادي ، تنقسم التفاعلات بين الأشياء الطبيعية (الجسيمات ، والأجسام ، والأمواج ، وما إلى ذلك) إلى 4 أنواع: كهرومغناطيسية ، وجاذبية ، وضعيفة وقوية. لسنوات عديدة ، حاول الفيزيائيون إنشاء نظرية مجال عامة. يجب أن تصبح أداة لشرح كل هذه التفاعلات. نظرية يانغ ميلز هي لغة رياضية أصبح من الممكن من خلالها وصف 3 من 4 قوى الطبيعة الرئيسية. لا ينطبق على الجاذبية. لذلك ، لا يمكن اعتبار أن يانغ وميلز نجحوا في إنشاء نظرية المجال.

بالإضافة إلى ذلك ، فإن اللاخطية للمعادلات المقترحة تجعل حلها صعبًا للغاية. بالنسبة لثوابت الاقتران الصغيرة ، يمكن حلها تقريبًا في شكل سلسلة من نظرية الاضطراب. ومع ذلك ، لم يتضح بعد كيف يمكن حل هذه المعادلات من خلال الاقتران القوي.

معادلات نافيير ستوكس

تصف هذه التعبيرات عمليات مثل تدفقات الهواء وتدفق السوائل والاضطراب. بالنسبة لبعض الحالات الخاصة ، تم بالفعل العثور على حلول تحليلية لمعادلة نافييه-ستوكس ، ولكن حتى الآن لم ينجح أحد في القيام بذلك من أجل المعادلة العامة. في الوقت نفسه ، يمكن أن تحقق المحاكاة العددية لقيم محددة للسرعة والكثافة والضغط والوقت وما إلى ذلك نتائج ممتازة. يبقى أن نأمل أن يتمكن شخص ما من تطبيق معادلات Navier-Stokes في الاتجاه المعاكس ، أي حساب المعلمات بمساعدته ، أو إثبات عدم وجود طريقة حل.

مشكلة بيرش سوينيرتون داير

تتضمن فئة "المشكلات غير المحلولة" أيضًا الفرضية التي اقترحها علماء اللغة الإنجليزية من جامعة كامبريدج. حتى قبل 2300 عام ، قدم العالم اليوناني القديم إقليدس وصفًا كاملاً لحلول المعادلة x2 + y2 = z2.

إذا كان لكل من الأعداد الأولية حساب عدد النقاط على مقياس المنحنى ، فستحصل على مجموعة لا نهائية من الأعداد الصحيحة. إذا قمت بلصقها على وجه التحديد في دالة واحدة لمتغير معقد ، فستحصل على دالة Hasse-Weyl zeta لمنحنى من الدرجة الثالثة ، يُشار إليها بالحرف L. وهي تحتوي على معلومات حول معامل السلوك لجميع الأعداد الأولية دفعة واحدة.

تخمين بريان بيرش وبيتر سوينرتون-داير حول المنحنيات الناقصية. وفقًا لذلك ، يرتبط هيكل وعدد مجموعة حلولها المنطقية بسلوك الدالة L في الهوية. يعتمد تخمين Birch-Swinnerton-Dyer غير المثبت حاليًا على وصف المعادلات الجبرية من الدرجة الثالثة وهو الطريقة العامة الوحيدة البسيطة نسبيًا لحساب رتبة المنحنيات الناقصية.

لفهم الأهمية العملية لهذه المهمة ، يكفي أن نقول أنه في التشفير الحديث ، تعتمد فئة كاملة من الأنظمة غير المتماثلة على المنحنيات الإهليلجية ، وتستند معايير التوقيع الرقمي المحلية إلى تطبيقها.

المساواة بين الفئتين p و np

إذا كانت بقية تحديات الألفية ذات طبيعة رياضية بحتة ، فإن هذا التحدي مرتبط بالنظرية الفعلية للخوارزميات. يمكن صياغة المشكلة المتعلقة بالمساواة بين الفئتين p و np ، والمعروفة أيضًا بمشكلة Cooke-Levin ، بلغة مفهومة على النحو التالي. افترض أنه يمكن التحقق من إجابة إيجابية لسؤال معين بسرعة كافية ، أي في زمن كثير الحدود (PT). ثم هل البيان صحيح أن الإجابة عليه يمكن العثور عليها بسرعة معقولة؟ حتى أن الأمر يبدو أبسط كالتالي: أليس من الصعب حقًا التحقق من حل المشكلة بدلاً من العثور عليها؟ إذا تم إثبات المساواة بين الفئتين p و np ، فيمكن حل جميع مشاكل الاختيار لـ PV. في الوقت الحالي ، يشك العديد من الخبراء في صحة هذا البيان ، على الرغم من أنهم لا يستطيعون إثبات عكس ذلك.

فرضية ريمان

حتى عام 1859 ، لم يتم تحديد أي نمط يصف كيفية توزيع الأعداد الأولية بين الأعداد الطبيعية. ربما كان هذا بسبب حقيقة أن العلم تعامل مع قضايا أخرى. ومع ذلك ، بحلول منتصف القرن التاسع عشر ، تغير الوضع ، وأصبحت واحدة من أكثر الأمور أهمية التي بدأت الرياضيات في التعامل معها.

فرضية ريمان ، التي ظهرت خلال هذه الفترة ، هي افتراض وجود نمط معين في توزيع الأعداد الأولية.

اليوم ، يعتقد العديد من العلماء المعاصرين أنه إذا تم إثبات ذلك ، فسيتعين مراجعة العديد من المبادئ الأساسية للتشفير الحديث ، والتي تشكل أساس جزء كبير من آليات التجارة الإلكترونية.

وفقًا لفرضية ريمان ، قد تختلف طبيعة توزيع الأعداد الأولية بشكل كبير عما هو مفترض حاليًا. الحقيقة هي أنه حتى الآن لم يتم اكتشاف أي نظام في توزيع الأعداد الأولية. على سبيل المثال ، هناك مشكلة "التوائم" ، والفرق بينهما هو 2. هذه الأرقام هي 11 و 13 ، 29. الأعداد الأولية الأخرى تشكل عناقيد. هذه هي 101 ، 103 ، 107 ، إلخ. لطالما اشتبه العلماء في وجود مثل هذه المجموعات بين الأعداد الأولية الكبيرة جدًا. إذا تم العثور عليها ، فسيكون استقرار مفاتيح التشفير الحديثة موضع تساؤل.

فرضية دورة هودج

تمت صياغة هذه المشكلة التي لم يتم حلها حتى الآن في عام 1941. تقترح فرضية هودج إمكانية تقريب شكل أي كائن من خلال "لصق" أجسامًا بسيطة ذات أبعاد أعلى معًا. هذه الطريقة معروفة وتستخدم بنجاح لفترة طويلة. ومع ذلك ، لا يُعرف إلى أي مدى يمكن إجراء التبسيط.

الآن أنت تعرف ما هي المشاكل غير القابلة للحل الموجودة في الوقت الحالي. هم موضوع بحث من قبل آلاف العلماء حول العالم. يبقى أن نأمل أن يتم حلها في المستقبل القريب ، وسيساعد تطبيقها العملي البشرية على الدخول في جولة جديدة من التطور التكنولوجي.

أهلاً بكم!

هناك رأي مفاده أنه ليس من المربح الانخراط في العلم اليوم - فلا يمكن للمرء أن يصبح ثريًا! لكن آمل أن يُظهر لك منشور اليوم أن هذا بعيد كل البعد عن الواقع. سأخبرك اليوم كيف يمكنك أن تربح مبلغًا جيدًا من خلال إجراء بحث أساسي.

في أي مرحلة من مراحل التطور ، واجه أي من العلوم دائمًا عددًا من المشكلات والمهام التي لم يتم حلها والتي تطارد العلماء. الفيزياء هي اندماج نووي حراري بارد ، والرياضيات هي فرضية جولدباخ ، والطب علاج للسرطان ، وما إلى ذلك. بعضها مهم جدًا (لسبب أو لآخر) لدرجة أن المكافأة مستحقة على حلها. وأحيانًا تكون هذه المكافأة لائقة جدًا.

في عدد من العلوم ، يمكن أن تكون جائزة نوبل بمثابة هذه الجائزة. لكنهم لا يعطونها للاكتشافات الرياضية ، واليوم أود أن أتحدث عن الرياضيات.

الرياضيات - ملكة العلوم ، تقدم لك بحرًا من المشكلات التي لم تحل والمهام الشيقة ، لكننا سنتحدث اليوم عن سبعة فقط. وتسمى أيضًا أهداف الألفية.

يبدو ، المهام ، والمهام؟ ما الذي يميزهم؟ الحقيقة هي أن حلهم لم يتم العثور عليه لسنوات عديدة ، ولحل كل منهم ، وعد معهد كلاي بمكافأة قدرها مليون دولار! موافق ، ليس كثيرا. بالطبع ليست جائزة نوبل ، التي يبلغ حجمها حوالي 1.5 مليون ، لكنها ستفعل أيضًا.

ها هي قائمتهم:

• المساواة بين الفئتين P و NP
• فرضية هودج
• تخمين بوانكاريه (محلول)
• فرضية ريمان
• نظرية الكم يانغ ميلز
• وجود وسلاسة حلول معادلات نافييه-ستوكس
• فرضية بيرش سوينيرتون داير

لذلك دعونا نلقي نظرة فاحصة على كل منهم.

1.مساواة الفئتين P و NP

هذه المشكلة هي واحدة من أهم المشاكل في نظرية الخوارزميات ، وأراهن أن الكثير منكم ، على الأقل بشكل غير مباشر ، قد سمعوا عنها. ما هذه المشكلة وما هو جوهرها؟ تخيل أن هناك فئة معينة من المشكلات يمكننا الإجابة عليها بسرعة ، أي إيجاد حل سريع لها. تسمى هذه الفئة من المشكلات في نظرية الخوارزميات بالفئة P. وهناك فئة من المشكلات يمكننا التحقق بسرعة من صحة حلها - هذه هي فئة NP. وحتى الآن ، لا يُعرف ما إذا كانت هذه الطبقات متساوية أم لا. أي أنه من غير المعروف ما إذا كان من الممكن ، على الأقل من الناحية النظرية ، إيجاد مثل هذه الخوارزمية التي يمكننا من خلالها إيجاد حل للمشكلة بأسرع ما يمكننا التحقق من صحتها.

مثال كلاسيكي. دعونا نعطي مجموعة من الأرقام ، على سبيل المثال: 50 ، 2 ، 47 ، 5 ، 21 ، 4 ، 78 ، 1. المشكلة: هل من الممكن الاختيار من بين هذه الأرقام بحيث يعطي مجموعها 100؟ الجواب: يمكنك ، على سبيل المثال ، 50 + 47 + 2 + 1 = 100. من السهل التحقق من صحة الحل. نطبق عملية الجمع أربع مرات وهذا كل شيء. إنها مجرد مسألة جمع هذه الأرقام. للوهلة الأولى ، هذا أكثر صعوبة بكثير. أي أن إيجاد حل لمشكلة ما هو أكثر صعوبة من التحقق منها. من وجهة نظر سعة الاطلاع المبتذلة ، هذا صحيح ، لكن هذا لم يثبت رياضياً ، وهناك أمل في ألا يكون الأمر كذلك.

وماذا في ذلك؟ ماذا لو اتضح أن الفئتين P و NP متساويتان؟ كل شيء بسيط. تعني المساواة في الفصل أن هناك خوارزميات لحل العديد من المشكلات التي تعمل بشكل أسرع بكثير مما هو معروف حاليًا (كما هو مذكور أعلاه).

بطبيعة الحال ، لم تكن هناك محاولة واحدة لإثبات أو دحض هذه الفرضية ، لكن لم ينجح أي منها. آخر محاولة قام بها عالم الرياضيات الهندي فيناي ديولاليكار. وفقًا لمؤلف بيان المشكلة ، ستيفن كوك ، كان هذا الحل "محاولة جادة نسبيًا لحل مشكلة P مقابل NP". ولكن للأسف ، تم العثور على عدد من الأخطاء في الإثبات المقدم ، والتي وعد المؤلف بتصحيحها.

2. فرضية هودج

المجمع هو مجموع الأجزاء البسيطة. نتيجة لدراسة الأجسام المعقدة ، طور علماء الرياضيات طرقًا لتقريبها عن طريق لصق الأشياء ذات الأبعاد المتزايدة. لكن لم يتم توضيح مدى إمكانية تنفيذ هذا النوع من التقريب ، ولا تزال الطبيعة الهندسية لبعض الكائنات المستخدمة في التقريب غير واضحة.

3. فرضية بوانكاريه

فرضية بوانكاريه حاليًا هي الوحيدة من بين تحديات الألفية السبعة التي تم حلها. إنه لمن دواعي السرور أن نلاحظ أن مواطننا غريغوري ياكوفليفيتش بيرلمان ، عبقري منعزل بدوام جزئي ، أصبح صاحب القرار. يمكنك التحدث عنها كثيرًا وبشكل مثير للاهتمام ، لكن دعنا نركز على الفرضية نفسها.

صياغة:

كل مشعب مضغوط متصل ببساطة بدون حدود هو متماثل مع 3 كرات.

أو تخمين بوانكاريه المعمم:

بالنسبة لأي عدد طبيعي n ، فإن أي متنوع من البعد n يكون مكافئًا لمجال البعد n إذا وفقط إذا كان متماثلًا له.

بطريقة بسيطة ، جوهر المشكلة كما يلي. إذا أخذنا تفاحة وقمنا بتغطيتها بغشاء مطاطي ، فبمساعدة التشوهات ، دون تمزيق الفيلم ، يمكننا تحويل التفاحة إلى نقطة أو مكعب ، ولكن لا يمكننا بأي حال من الأحوال تحويلها إلى كعكة دونات. مكعب ، كرة ثلاثية الأبعاد ، وحتى مساحة ثلاثية الأبعاد متطابقة مع بعضها البعض ، حتى التشوه.

على الرغم من هذه الصيغة البسيطة ، ظلت الفرضية غير مثبتة لمئات السنين. على الرغم من أنه في الرياضيات ، في بعض الأحيان ، كلما كانت الصياغة أبسط ، كلما كان البرهان أكثر صعوبة (نتذكر جميعًا نظرية فيرما الأخيرة).

لنعد إلى الرفيق بيرلمان. يشتهر هذا الرجل أيضًا برفضه المليون الذي يوضع له ، موضحًا ما يلي: "لماذا أحتاج إلى أموالك ، إذا كان الكون كله بين يدي؟" لن أكون قادرًا على فعل ذلك. نتيجة للرفض ، تم منح المليون المخصص لعلماء الرياضيات الفرنسيين والأمريكيين.

أخيرًا ، أود أن أشير إلى أن فرضية بوانكاريه ليس لها أي تطبيق عملي على الإطلاق (!!!).

4. فرضية ريمان.

من المحتمل أن تكون فرضية ريمان هي الأكثر شهرة (جنبًا إلى جنب مع فرضية بوانكاريه) من بين مشاكل الألفية السبع. أحد أسباب شعبيته بين علماء الرياضيات غير المحترفين هو أنه يحتوي على صياغة بسيطة للغاية.

جميع الأصفار غير التافهة في دالة زيتا ريمان لها جزء حقيقي يساوي؟.

موافق ، الأمر بسيط للغاية. وكانت البساطة الظاهرة سببًا للعديد من المحاولات لإثبات هذه الفرضية. لسوء الحظ ، حتى الآن دون جدوى.

أثار عدد كبير من المحاولات الفاشلة لإثبات فرضية ريمان شكوكًا حول صحتها بين بعض علماء الرياضيات. من بينهم جون ليتلوود. لكن صفوف المتشككين ليست كثيرة ، ويميل معظم المجتمع الرياضي إلى الاعتقاد بأن فرضية ريمان صحيحة. التأكيد غير المباشر على ذلك هو صحة عدد من العبارات والفرضيات المتشابهة.

تمت صياغة العديد من الخوارزميات والبيانات في نظرية الأعداد بافتراض أن التخمين أعلاه صحيح. وهكذا ، فإن إثبات صحة فرضية ريمان سيؤكد أساس نظرية الأعداد ، ودحضها لنظرية الأعداد سوف "يزعزع" الأساس ذاته.

وأخيرًا ، حقيقة واحدة معروفة جيدًا ولكنها مثيرة جدًا للاهتمام. بمجرد أن سُئل ديفيد جيلبرت: "ما هي أفعالك الأولى إذا نمت لمدة 500 عام واستيقظت؟" "سوف أسأل إذا تم إثبات فرضية ريمان."

5. نظرية يانغ ميلز

إحدى نظريات القياس في فيزياء الكم مع مجموعة قياس غير أبيلية. تم اقتراح هذه النظرية في منتصف القرن الماضي ، ولكن لفترة طويلة كانت تعتبر تقنية رياضية بحتة لا علاقة لها بالطبيعة الحقيقية للأشياء. ولكن لاحقًا ، على أساس نظرية يانغ ميلز ، تم بناء النظريات الرئيسية للنموذج القياسي - الديناميكا اللونية الكمومية ونظرية التفاعلات الضعيفة.

صياغة المشكلة:

بالنسبة لأي مجموعة مقاييس مدمجة بسيطة ، فإن نظرية يانغ ميلز الكمومية للفضاء موجودة ولديها عيب غير صفري في الكتلة.

تم تأكيد النظرية تمامًا من خلال نتائج التجارب ونتائج المحاكاة الحاسوبية ، لكنها لم تتلق إثباتًا نظريًا.

6. وجود وسلاسة حلول معادلات نافييه-ستوكس

من أهم المشاكل في الديناميكا المائية ، وآخر المشاكل العالقة في الميكانيكا الكلاسيكية.

تُستخدم معادلة نافييه-ستوكس ، التي تكملها معادلات ماكسويل ، ومعادلات نقل الحرارة ، وما إلى ذلك ، في حل العديد من مشاكل الديناميكا الكهرومائية ، والديناميكا المائية المغناطيسية ، والحمل الحراري للسوائل والغاز ، والانتشار الحراري ، إلخ.

المعادلات نفسها هي نظام من المعادلات التفاضلية الجزئية. المعادلات من جزأين:

• معادلات الحركة
• معادلات الاستمرارية

إن العثور على حل تحليلي كامل لمعادلات نافيير-ستوكس أمر معقد إلى حد كبير بسبب عدم خطيتها واعتمادها القوي على الشروط الحدودية والأولية.

7. فرضية بيرش سوينيرتون داير

آخر مشاكل الألفية هي فرضية بيرش سوينيرتون داير.

تنص الفرضية على ذلك

رتبة المنحنى الإهليلجي r على Q تساوي رتبة الصفر لدالة Hasse-Weil zeta

E (L ، s) عند النقطة s = 1.

هذا التخمين هو الطريقة الوحيدة البسيطة نسبيًا لتحديد رتبة المنحنيات الناقصية ، والتي بدورها هي العناصر الرئيسية للدراسة في نظرية الأعداد الحديثة والتشفير.

هذه هي كل مشاكل الألفية. أعتذر عن حقيقة أن تغطية بعض القضايا أقل بكثير من غيرها. ويرجع ذلك إلى نقص المعلومات حول هذه المشكلات واستحالة التعبير عن جوهرها بكل بساطة (دون إشراك رياضيات مرهقة ومعقدة). عرض معهد كلاي مكافأة قدرها مليون دولار لحل كل مشكلة من المشاكل. تجرؤ! هناك فرصة لكسب أموال جيدة من خلال المضي قدمًا في العلوم الأساسية ، لأن ستة من أصل سبع مشاكل لم يتم حلها بعد.