Nationale Forschungsuniversität
Abteilung für Angewandte Geologie
Zusammenfassung zur höheren Mathematik
Zum Thema: „Grundlegende Elementarfunktionen,
ihre Eigenschaften und Graphen“
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Definition. Die durch die Formel y=a x (wobei a>0, a≠1) gegebene Funktion wird Exponentialfunktion mit Basis a genannt.
Formulieren wir die Haupteigenschaften der Exponentialfunktion:
1. Der Definitionsbereich ist die Menge (R) aller reellen Zahlen.
2. Bereich – die Menge (R+) aller positiven reellen Zahlen.
3. Für a > 1 wächst die Funktion entlang der gesamten Zahlengeraden; bei 0<а<1 функция убывает.
4. Ist eine Funktion Gesamtansicht.
, auf dem Intervall xО [-3;3]
, auf dem Intervall xО [-3;3] Eine Funktion der Form y(x)=x n, wobei n die Zahl ОR ist, wird Potenzfunktion genannt. Die Zahl n kann verschiedene Werte annehmen: sowohl ganzzahlige als auch gebrochene Werte, sowohl gerade als auch ungerade. Abhängig davon wird die Potenzfunktion eine andere Form haben. Betrachten wir Sonderfälle, die Potenzfunktionen sind und die grundlegenden Eigenschaften dieses Kurventyps in der folgenden Reihenfolge widerspiegeln: Potenzfunktion y=x² (Funktion mit geradem Exponenten – eine Parabel), Potenzfunktion y=x³ (Funktion mit ungeradem Exponenten). - kubische Parabel) und Funktion y=√x (x hoch ½) (Funktion mit gebrochenem Exponenten), Funktion mit negativem ganzzahligem Exponenten (Hyperbel).
Power-Funktion y=x²
1. D(x)=R – die Funktion ist auf der gesamten numerischen Achse definiert;
2. E(y)= und nimmt im Intervall zu
Power-Funktion y=x³
1. Der Graph der Funktion y=x³ heißt kubische Parabel. Die Potenzfunktion y=x³ hat folgende Eigenschaften:
2. D(x)=R – die Funktion ist auf der gesamten numerischen Achse definiert;
3. E(y)=(-∞;∞) – die Funktion nimmt alle Werte in ihrem Definitionsbereich an;
4. Wenn x=0 y=0 – die Funktion verläuft durch den Koordinatenursprung O(0;0).
5. Die Funktion wächst über den gesamten Definitionsbereich.
6. Die Funktion ist ungerade (symmetrisch zum Ursprung).
, auf dem Intervall xО [-3;3] Abhängig vom numerischen Faktor vor x³ kann die Funktion steil/flach und steigend/fallend sein.
Potenzfunktion mit negativem ganzzahligem Exponenten:
Ist der Exponent n ungerade, dann heißt der Graph einer solchen Potenzfunktion Hyperbel. Eine Potenzfunktion mit einem ganzzahligen negativen Exponenten hat die folgenden Eigenschaften:
1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) für jedes n;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), wenn n eine ungerade Zahl ist; E(y)=(0;∞), wenn n eine gerade Zahl ist;
3. Die Funktion nimmt über den gesamten Definitionsbereich ab, wenn n eine ungerade Zahl ist; Die Funktion nimmt im Intervall (-∞;0) zu und im Intervall (0;∞) ab, wenn n eine gerade Zahl ist.
4. Die Funktion ist ungerade (symmetrisch zum Ursprung), wenn n eine ungerade Zahl ist; Eine Funktion ist gerade, wenn n eine gerade Zahl ist.
5. Die Funktion durchläuft die Punkte (1;1) und (-1;-1), wenn n eine ungerade Zahl ist, und die Punkte (1;1) und (-1;1), wenn n eine gerade Zahl ist.
, auf dem Intervall xО [-3;3] Potenzfunktion mit gebrochenem Exponenten
Eine Potenzfunktion mit einem gebrochenen Exponenten (Bild) hat einen Graphen der in der Abbildung gezeigten Funktion. Eine Potenzfunktion mit einem gebrochenen Exponenten hat die folgenden Eigenschaften: (Bild)
1. D(x) ОR, wenn n eine ungerade Zahl ist und D(x)= 
, auf dem Intervall xО 
, auf dem Intervall xО [-3;3]
Die logarithmische Funktion y = log a x hat folgende Eigenschaften:
1. Definitionsbereich D(x)О (0; + ∞).
2. Wertebereich E(y) О (- ∞; + ∞)
3. Die Funktion ist weder gerade noch ungerade (von allgemeiner Form).
4. Die Funktion nimmt im Intervall (0; + ∞) für a > 1 zu und im Intervall (0; + ∞) für 0 ab< а < 1.
Der Graph der Funktion y = log a x kann aus dem Graphen der Funktion y = a x durch eine Symmetrietransformation um die Gerade y = x erhalten werden. Abbildung 9 zeigt einen Graphen der logarithmischen Funktion für a > 1 und Abbildung 10 für 0< a < 1.
; auf dem Intervall xО 
; auf dem Intervall xО Die Funktionen y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x werden trigonometrische Funktionen genannt.
Die Funktionen y = sin x, y = tan x, y = ctg x sind ungerade und die Funktion y = cos x ist gerade.
Funktion y = sin(x).
1. Definitionsbereich D(x) ОR.
2. Wertebereich E(y) О [ - 1; 1].
3. Die Funktion ist periodisch; die Hauptperiode ist 2π.
4. Die Funktion ist ungerade.
5. Die Funktion nimmt in Intervallen zu [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] und nimmt in den Intervallen [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.
Der Graph der Funktion y = sin (x) ist in Abbildung 11 dargestellt.
Wichtig!
Eine Funktion der Form „y = kx + b“ wird als lineare Funktion bezeichnet.
Die Buchstabenfaktoren „k“ und „b“ heißen numerische Koeffizienten.
Anstelle von „k“ und „b“ können beliebige Zahlen (positiv, negativ oder Brüche) stehen.
Mit anderen Worten können wir sagen, dass „y = kx + b“ eine Familie aller möglichen Funktionen ist, in der es anstelle von „k“ und „b“ Zahlen gibt.
Beispiele für Funktionen wie „y = kx + b“.
- y = 5x + 3
- y = −x + 1
- y = x − 2
k = 2 3 b = −2 y = 0,5x k = 0,5 b = 0 Achten Sie besonders auf die Funktion „y = 0,5x“ in der Tabelle. Sie machen oft den Fehler, nach dem numerischen Koeffizienten „b“ zu suchen.
Wenn man die Funktion „y = 0,5x“ betrachtet, ist es falsch zu sagen, dass die Funktion keinen numerischen Koeffizienten „b“ enthält.
Der numerische Koeffizient „b“ ist in einer Funktion wie „y = kx + b“ immer vorhanden. In der Funktion „y = 0,5x“ ist der numerische Koeffizient „b“ Null.
So zeichnen Sie eine lineare Funktion grafisch auf
„y = kx + b“Erinnern!
Zeitplan lineare Funktion„y = kx + b“ ist eine Gerade.
Da der Graph der Funktion „y = kx + b“ eine Gerade ist, heißt die Funktion lineare Funktion.
Erinnern wir uns aus der Geometrie an das Axiom (eine Aussage, die keines Beweises bedarf), dass man durch zwei beliebige Punkte eine gerade Linie zeichnen kann und darüber hinaus nur eine.
Basierend auf dem obigen Axiom folgt daraus, dass man eine Funktion der Form darstellen muss
„y = kx + b“ wird ausreichen, um nur zwei Punkte zu finden.Beispielsweise Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion erstellen„y = −2x + 1“.
Finden wir den Wert der Funktion „y“ für zwei beliebige Werte „x“. Ersetzen wir beispielsweise anstelle von „x“ die Zahlen „0“ und „1“.
Wichtig!
Bei der Wahl beliebiger Zahlenwerte anstelle von „x“ ist es besser, die Zahlen „0“ und „1“ zu nehmen. Mit diesen Zahlen lässt sich leicht rechnen.
Die resultierenden Werte „x“ und „y“ sind die Koordinaten der Punkte auf dem Funktionsgraphen.
Schreiben wir die erhaltenen Koordinaten der Punkte „y = −2x + 1“ in die Tabelle.
Markieren wir die erhaltenen Punkte im Koordinatensystem.
Nun ziehen wir eine Gerade durch die markierten Punkte. Diese Gerade wird der Graph der Funktion „y = −2x + 1“ sein.
So lösen Sie Probleme auf
lineare Funktion „y = kx + b“Betrachten wir das Problem.
Zeichnen Sie die Funktion „y = 2x + 3“ grafisch auf. Nach Diagramm suchen:
- der Wert „y“ entspricht dem Wert „x“ gleich −1; 2; 3; 5 ;
- der Wert von „x“, wenn der Wert von „y“ 1 ist; 4; 0; −1.
Lassen Sie uns zunächst die Funktion „y = 2x + 3“ zeichnen.
Wir wenden die Regeln an, nach denen wir überlegen sind. Um die Funktion „y = 2x + 3“ grafisch darzustellen, reicht es aus, nur zwei Punkte zu finden.
Wählen wir zwei beliebige numerische Werte für „x“. Zur Vereinfachung der Berechnungen wählen wir die Zahlen „0“ und „1“.
Führen wir die Berechnungen durch und schreiben wir ihre Ergebnisse in die Tabelle.
Markieren wir die erhaltenen Punkte im rechteckigen Koordinatensystem.
Verbinden wir die resultierenden Punkte mit einer geraden Linie. Die gezeichnete Gerade ist ein Graph der Funktion „y = 2x + 3“.
Nun arbeiten wir mit dem konstruierten Graphen der Funktion „y = 2x + 3“.
Sie müssen den Wert „y“ finden, der dem Wert „x“ entspricht.
was gleich −1 ist; 2; 3; 5 .- Ochse" auf Null (x = 0);
- Ersetzen Sie „x“ in der Funktionsformel durch Null und ermitteln Sie den Wert „y“.
- Oy".
Anstelle von „x“ in der Formel der Funktion „y = −1,5x + 3“ ersetzen wir die Zahl Null.
Y(0) = −1,5 0 + 3 = 3
(0; 3) - Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen der Funktion „y = −1,5x + 3“ mit der Achse „Oy“.Erinnern!
Die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen einer Funktion ermitteln
mit Achse " Ochse"(x-Achse) Sie benötigen:- die Koordinate eines Punktes entlang der „“-Achse gleichsetzen Oy" auf Null (y = 0);
- Ersetzen Sie in der Funktionsformel Null anstelle von „y“ und ermitteln Sie den Wert von „x“.
- Notieren Sie die erhaltenen Koordinaten des Schnittpunkts mit der Achse. Oy".
Anstelle von „y“ in der Formel der Funktion „y = −1,5x + 3“ ersetzen wir die Zahl Null.
0 = −1,5x + 3
1,5x = 3 | :(1.5)
x = 3: 1,5
x = 2
(2; 0) - Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen der Funktion „y = −1,5x + 3“ mit der „Ox“-Achse.Damit Sie sich leichter merken können, welche Koordinate eines Punktes mit Null gleichgesetzt werden sollte, beachten Sie die „Gegensatzregel“.
Wichtig!
Wenn Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Diagramms mit der Achse ermitteln müssen " Ochse", dann setzen wir „y“ mit Null gleich.
Und umgekehrt. Wenn Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Diagramms mit der „“-Achse ermitteln müssen Oy", dann setzen wir „x“ mit Null gleich.
Die Länge des Segments auf der Koordinatenachse wird durch die Formel bestimmt:
Länge des Segments Koordinatenebene wird nach der Formel gesucht:
Um die Länge eines Segments in einem dreidimensionalen Koordinatensystem zu ermitteln, verwenden Sie die folgende Formel:
Die Koordinaten der Segmentmitte (für die Koordinatenachse wird nur die erste Formel verwendet, für die Koordinatenebene die ersten beiden Formeln, für ein dreidimensionales Koordinatensystem alle drei Formeln) werden nach den Formeln berechnet:
Funktion– Dies ist eine Entsprechung des Formulars j= F(X) zwischen variablen Größen, aufgrund derer jeder den Wert einer variablen Größe betrachtet X(Argument oder unabhängige Variable) entspricht einem bestimmten Wert einer anderen Variablen, j(abhängige Variable, manchmal wird dieser Wert einfach als Wert der Funktion bezeichnet). Beachten Sie, dass die Funktion diesen einen Argumentwert annimmt X Es kann nur ein Wert der abhängigen Variablen entsprechen bei. Allerdings der gleiche Wert bei kann mit verschiedenen erhalten werden X.
Funktionsdomäne– Dies sind alle Werte der unabhängigen Variablen (Funktionsargument, normalerweise dies X), für die die Funktion definiert ist, d.h. seine Bedeutung existiert. Der Definitionsbereich ist angegeben D(j). Im Großen und Ganzen ist Ihnen dieses Konzept bereits bekannt. Der Definitionsbereich einer Funktion wird auch Definitionsbereich genannt akzeptable Werte, oder ODZ, die Sie schon lange finden konnten.
Funktionsumfang sind alle möglichen Werte der abhängigen Variablen einer gegebenen Funktion. Festgelegt E(bei).
Die Funktion nimmt zu auf dem Intervall, in dem ein größerer Wert des Arguments einem größeren Wert der Funktion entspricht. Die Funktion nimmt ab auf dem Intervall, in dem ein größerer Wert des Arguments einem kleineren Wert der Funktion entspricht.
Intervalle mit konstantem Vorzeichen einer Funktion- Dies sind die Intervalle der unabhängigen Variablen, über die die abhängige Variable ihr positives oder negatives Vorzeichen behält.
Funktionsnullstellen– Dies sind die Werte des Arguments, bei denen der Wert der Funktion gleich Null ist. An diesen Punkten schneidet der Funktionsgraph die Abszissenachse (OX-Achse). Sehr oft bedeutet die Notwendigkeit, die Nullstellen einer Funktion zu finden, die Notwendigkeit, die Gleichung einfach zu lösen. Außerdem bedeutet die Notwendigkeit, Intervalle mit Vorzeichenkonstanz zu finden, oft auch die Notwendigkeit, die Ungleichung einfach zu lösen.
Funktion j = F(X) werden genannt sogar X
Dies bedeutet, dass für alle entgegengesetzten Werte des Arguments die Werte der geraden Funktion gleich sind. Zeitplan gleiche Funktion immer symmetrisch relativ zur Ordinatenachse des Operationsverstärkers.
Funktion j = F(X) werden genannt seltsam, wenn es auf einer symmetrischen Menge definiert ist und für jeden X Aus dem Definitionsbereich gilt die Gleichheit:
Dies bedeutet, dass für alle entgegengesetzten Werte des Arguments auch die Werte der ungeraden Funktion entgegengesetzt sind. Der Graph einer ungeraden Funktion ist immer symmetrisch zum Ursprung.
Die Summe der Wurzeln von geraden und seltsame Funktionen(Schnittpunkte der Abszissenachse OX) ist immer gleich Null, weil für jede positive Wurzel X hat eine negative Wurzel - X.
Es ist wichtig zu beachten: Einige Funktionen müssen nicht gerade oder ungerade sein. Es gibt viele Funktionen, die weder gerade noch ungerade sind. Solche Funktionen werden aufgerufen allgemeine Funktionen, und für sie ist keine der oben angegebenen Gleichheiten oder Eigenschaften erfüllt.
Lineare Funktion ist eine Funktion, die durch die Formel angegeben werden kann:
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade und Allgemeiner Fall sieht so aus (ein Beispiel wird für den Fall gegeben, wenn k> 0, in diesem Fall ist die Funktion steigend; für den Anlass k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Graph einer quadratischen Funktion (Parabel)
Der Graph einer Parabel wird durch eine quadratische Funktion gegeben:
Eine quadratische Funktion schneidet wie jede andere Funktion die OX-Achse an den Punkten, die ihre Wurzeln sind: ( X 1 ; 0) und ( X 2 ; 0). Wenn es keine Wurzeln gibt, schneidet die quadratische Funktion die OX-Achse nicht; wenn es nur eine Wurzel gibt, dann an diesem Punkt ( X 0 ; 0) Die quadratische Funktion berührt die OX-Achse nur, schneidet sie aber nicht. Die quadratische Funktion schneidet die OY-Achse immer an dem Punkt mit den Koordinaten: (0; C). Zeitplan quadratische Funktion(Parabel) könnte so aussehen (die Abbildung zeigt Beispiele, die nicht alle möglichen Arten von Parabeln ausschöpfen):
Dabei:
- wenn der Koeffizient A> 0, in Funktion j = Axt 2 + bx + C, dann sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet;
- Wenn A < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Die Koordinaten des Scheitelpunkts einer Parabel können daraus berechnet werden die folgenden Formeln. X-Tops (P- in den Bildern oben) Parabeln (oder der Punkt, an dem das quadratische Trinom seinen größten oder kleinsten Wert erreicht):
Igrek-Tops (Q- in den Abbildungen oben) Parabeln oder das Maximum, wenn die Äste der Parabel nach unten gerichtet sind ( A < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (A> 0), Wert quadratisches Trinom:
Diagramme anderer Funktionen
Power-Funktion
Hier sind einige Beispiele für Grafiken Potenzfunktionen:
Invers proportional ist eine Funktion, die durch die Formel gegeben ist:
Abhängig vom Vorzeichen der Zahl k Ein umgekehrt proportionaler Abhängigkeitsgraph kann zwei grundlegende Optionen haben:
Asymptote ist eine Linie, der sich der Graph einer Funktion unendlich nahe annähert, die sie aber nicht schneidet. Asymptoten für Graphen umgekehrte Proportionalität In der Abbildung oben sind die Koordinatenachsen dargestellt, denen der Graph der Funktion unendlich nahe kommt, sie aber nicht schneidet.
Exponentialfunktion mit Sockel A ist eine Funktion, die durch die Formel gegeben ist:
A Der Graph einer Exponentialfunktion kann zwei grundlegende Optionen haben (wir geben auch Beispiele, siehe unten):
Logarithmische Funktion ist eine Funktion, die durch die Formel gegeben ist:
Abhängig davon, ob die Zahl größer oder kleiner als eins ist A Der Graph einer logarithmischen Funktion kann zwei grundlegende Optionen haben:
Graph einer Funktion j = |X| wie folgt:
Diagramme periodischer (trigonometrischer) Funktionen
Funktion bei = F(X) wird genannt periodisch, wenn es eine solche Zahl ungleich Null gibt T, Was F(X + T) = F(X), für jeden X aus dem Bereich der Funktion F(X). Wenn die Funktion F(X) ist periodisch mit Punkt T, dann die Funktion:
Wo: A, k, B – konstante Zahlen, Und k ungleich Null, auch periodisch mit Periode T 1, die durch die Formel bestimmt wird:
Die meisten Beispiele periodische Funktionen- Das trigonometrische Funktionen. Wir präsentieren Diagramme der wichtigsten trigonometrischen Funktionen. Die folgende Abbildung zeigt einen Teil des Diagramms der Funktion j= Sünde X(Der gesamte Graph setzt sich nach links und rechts auf unbestimmte Zeit fort), Graph der Funktion j= Sünde X angerufen Sinusoid:
Graph einer Funktion j=cos X angerufen Kosinus. Dieses Diagramm ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Da sich der Sinusgraph entlang der OX-Achse nach links und rechts unbegrenzt fortsetzt:
Graph einer Funktion j= tg X angerufen Tangentoid. Dieses Diagramm ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Wie die Graphen anderer periodischer Funktionen wiederholt sich dieser Graph auf unbestimmte Zeit entlang der OX-Achse nach links und rechts.
Und schließlich der Graph der Funktion j=ctg X angerufen Cotangentoid. Dieses Diagramm ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Wie die Graphen anderer periodischer und trigonometrischer Funktionen wiederholt sich dieser Graph auf unbestimmte Zeit entlang der OX-Achse nach links und rechts.
Die erfolgreiche, sorgfältige und verantwortungsvolle Umsetzung dieser drei Punkte ermöglicht es Ihnen, beim CT ein hervorragendes Ergebnis zu zeigen, das Maximum Ihrer Leistungsfähigkeit.
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Eine Funktion ist eine Korrespondenz zwischen Elementen zweier Mengen, die nach der Regel erstellt wird, dass jedes Element einer Menge mit einem Element einer anderen Menge verknüpft ist.
Der Graph einer Funktion ist der geometrische Ort von Punkten in der Ebene, deren Abszisse (x) und Ordinate (y) durch die angegebene Funktion in Beziehung stehen:
Ein Punkt befindet sich genau dann auf dem Graphen einer Funktion, wenn .
Somit kann die Funktion durch ihren Graphen ausreichend beschrieben werden.
Tabellarische Methode. Eine ziemlich häufige Methode besteht darin, eine Tabelle mit einzelnen Argumentwerten und ihren entsprechenden Funktionswerten anzugeben. Diese Methode zum Definieren einer Funktion wird verwendet, wenn der Definitionsbereich der Funktion eine diskrete endliche Menge ist.
Mit der tabellarischen Methode zur Angabe einer Funktion ist es möglich, die Werte der Funktion, die nicht in der Tabelle enthalten sind, näherungsweise zu berechnen Zwischenwerte Streit. Verwenden Sie dazu die Interpolationsmethode.
Die Vorteile der tabellarischen Methode zur Angabe einer Funktion bestehen darin, dass sie es ermöglicht, bestimmte spezifische Werte sofort und ohne zusätzliche Messungen oder Berechnungen zu ermitteln. In einigen Fällen definiert die Tabelle die Funktion jedoch nicht vollständig, sondern nur für einige Werte des Arguments und bietet keine visuelle Darstellung der Art der Funktionsänderung in Abhängigkeit von der Argumentänderung.
Grafische Methode. Der Graph der Funktion y = f(x) ist die Menge aller Punkte auf der Ebene, deren Koordinaten die gegebene Gleichung erfüllen.
Die grafische Methode zur Angabe einer Funktion ermöglicht es nicht immer, die numerischen Werte des Arguments genau zu bestimmen. Es hat jedoch einen großen Vorteil gegenüber anderen Methoden – die Sichtbarkeit. In den Ingenieurwissenschaften und der Physik wird häufig eine grafische Methode zur Angabe einer Funktion verwendet, und ein Diagramm ist hierfür die einzige verfügbare Möglichkeit.
Damit die grafische Zuordnung einer Funktion aus mathematischer Sicht völlig korrekt ist, ist es notwendig, den genauen geometrischen Aufbau des Graphen anzugeben, der am häufigsten durch eine Gleichung angegeben wird. Dies führt zu der folgenden Art, eine Funktion anzugeben.
Analytische Methode. Am häufigsten wird das Gesetz, das den Zusammenhang zwischen Argument und Funktion herstellt, durch Formeln angegeben. Diese Methode zur Angabe einer Funktion wird als analytisch bezeichnet.
Diese Methode ermöglicht es, für jeden numerischen Wert des Arguments x seinen entsprechenden Wert zu finden numerischer Wert Funktionen y genau oder mit einiger Genauigkeit.
Wenn die Beziehung zwischen x und y durch eine in Bezug auf y aufgelöste Formel gegeben ist, d. h. die Form y = f(x) hat, dann sagen wir, dass die Funktion von x explizit gegeben ist.
Wenn die Werte x und y durch eine Gleichung der Form F(x,y) = 0 zusammenhängen, d.h. die Formel ist für y nicht aufgelöst, was bedeutet, dass die Funktion y = f(x) implizit gegeben ist.
Die Funktion kann definiert werden verschiedene Formeln in verschiedenen Teilen ihres Missionsgebiets.
Die analytische Methode ist die gebräuchlichste Art, Funktionen anzugeben. Kompaktheit, Prägnanz, die Fähigkeit, den Wert einer Funktion für einen beliebigen Wert eines Arguments aus dem Definitionsbereich zu berechnen, die Fähigkeit, den Apparat der mathematischen Analyse auf eine gegebene Funktion anzuwenden, sind die Hauptvorteile der analytischen Methode zur Angabe von a Funktion. Zu den Nachteilen gehört die mangelnde Sichtbarkeit, die durch die Möglichkeit zur Erstellung eines Diagramms und die Notwendigkeit, teilweise sehr umständliche Berechnungen durchzuführen, ausgeglichen wird.
Verbale Methode. Diese Methode besteht darin, funktionale Abhängigkeit in Worten auszudrücken.
Beispiel 1: Funktion E(x) - ganzer Teil Zahlen x. Im Allgemeinen bezeichnet E(x) = [x] die größte ganze Zahl, die x nicht überschreitet. Mit anderen Worten, wenn x = r + q, wobei r eine ganze Zahl ist (kann negativ sein) und q zum Intervall = r gehört. Die Funktion E(x) = [x] ist im Intervall = r konstant.
Beispiel 2: Funktion y = (x) ist der Bruchteil einer Zahl. Genauer gesagt: y =(x) = x - [x], wobei [x] der ganzzahlige Teil der Zahl x ist. Diese Funktion ist für alle x definiert. Wenn x eine beliebige Zahl ist, stellen Sie sie als x = r + q (r = [x]) dar, wobei r eine ganze Zahl ist und q im Intervall liegt.
Wir sehen, dass das Hinzufügen von n zum Argument x den Wert der Funktion nicht ändert.
Die kleinste Zahl ungleich Null in n ist , daher beträgt die Periode sin 2x .
Der Argumentwert, bei dem die Funktion gleich 0 ist, wird aufgerufen null (Wurzel) Funktionen.
Eine Funktion kann mehrere Nullen haben.
Zum Beispiel die Funktion y = x (x + 1)(x-3) hat drei Nullen: x = 0, x = - 1, x =3.
Geometrisch gesehen ist der Nullpunkt einer Funktion die Abszisse des Schnittpunkts des Funktionsgraphen mit der Achse X .
Abbildung 7 zeigt einen Graphen einer Funktion mit Nullstellen: x = a, x = b und x = c.
Wenn sich der Graph einer Funktion auf unbestimmte Zeit einer bestimmten Linie nähert, während er sich vom Ursprung entfernt, dann wird diese Linie aufgerufen Asymptote.
Umkehrfunktion
Gegeben sei eine Funktion y=ƒ(x) mit einem Definitionsbereich D und einer Menge von Werten E. Wenn jeder Wert yєE einem einzelnen Wert xєD entspricht, dann ist die Funktion x=φ(y) mit a definiert Definitionsbereich E und eine Wertemenge D (siehe Abb. 102 ).
Eine solche Funktion φ(y) heißt die Umkehrung der Funktion ƒ(x) und wird in der folgenden Form geschrieben: x=j(y)=f -1 (y). Die Funktionen y=ƒ(x) und x =φ(y) heißt, dass sie zueinander invers sind. Um die Funktion x=φ(y) zu finden, die zur Funktion y=ƒ (x) invers ist, reicht es aus, die Gleichung ƒ(x)=y nach x zu lösen (falls möglich).
1. Für die Funktion y=2x ist die Umkehrfunktion die Funktion x=y/2;
2. Für die Funktion y=x2 xє ist die Umkehrfunktion x=√y; Beachten Sie, dass für die Funktion y=x 2 definiert auf dem Segment [-1; 1] existiert die Umkehrung nicht, da ein Wert von y zwei Werten von x entspricht (wenn also y = 1/4, dann x1 = 1/2, x2 = -1/2).
Aus der Definition einer Umkehrfunktion folgt, dass die Funktion y=ƒ(x) genau dann eine Umkehrfunktion hat, wenn die Funktion ƒ(x) eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen den Mengen D und E angibt. Daraus folgt, dass jede Eine streng monotone Funktion hat eine Umkehrung. Wenn außerdem eine Funktion zunimmt (abnimmt), erhöht (abnimmt) auch die Umkehrfunktion.
Beachten Sie, dass die Funktion y=ƒ(x) und ihre Umkehrung x=φ(y) durch dieselbe Kurve dargestellt werden, d. h. ihre Diagramme stimmen überein. Wenn wir uns darauf einigen, dass wie üblich die unabhängige Variable (d. h. das Argument) mit x und die abhängige Variable mit y bezeichnet wird, dann wird die Umkehrfunktion der Funktion y=ƒ(x) in der Form y=φ( geschrieben X).
Das bedeutet, dass der Punkt M 1 (x o;y o) der Kurve y=ƒ(x) zum Punkt M 2 (y o;x o) der Kurve y=φ(x) wird. Aber die Punkte M 1 und M 2 sind symmetrisch bezüglich der Geraden y=x (siehe Abb. 103). Daher sind die Diagramme gegenseitig Umkehrfunktionen y=ƒ(x) und y=φ(x) sind symmetrisch in Bezug auf die Winkelhalbierende des ersten und dritten Koordinatenwinkels.
Sei die Funktion у=ƒ(u) auf der Menge D definiert, und die Funktion u= φ(х) auf der Menge D 1 und für x D 1 der entsprechende Wert u=φ(х) є D. Dann gilt für die Menge D 1 die Funktion u=ƒ(φ(x)), die als komplexe Funktion von x (oder Superposition) bezeichnet wird spezifizierte Funktionen, oder eine Funktion einer Funktion).
Die Variable u=φ(x) wird als Zwischenargument einer komplexen Funktion bezeichnet.
Beispielsweise ist die Funktion y=sin2x eine Überlagerung zweier Funktionen y=sinu und u=2x. Eine komplexe Funktion kann mehrere Zwischenargumente haben.
4. Grundlegende Elementarfunktionen und ihre Graphen.
Die folgenden Funktionen werden als Hauptelementarfunktionen bezeichnet.
1) Exponentialfunktion y=a x,a>0, a ≠ 1. In Abb. 104 Grafiken angezeigt Exponentialfunktionen, entsprechend verschiedenen Abschlussbasen.
2) Potenzfunktion y=x α, αєR. Beispiele für Diagramme von Potenzfunktionen, die verschiedenen Exponenten entsprechen, finden Sie in den Abbildungen.
3) Logarithmische Funktion y=log a x, a>0,a≠1;Grafiken logarithmische Funktionen, die verschiedenen Basen entsprechen, sind in Abb. dargestellt. 106.
4) Trigonometrische Funktionen y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Graphen trigonometrischer Funktionen haben die in Abb. gezeigte Form. 107.
5) Inverse trigonometrische Funktionen y=arcsinx, y=arccosх, y=arctgx, y=arcctgx. In Abb. 108 zeigt Diagramme inverser trigonometrischer Funktionen.
Eine Funktion, die durch eine einzige Formel definiert ist, die aus einfachen Formeln besteht elementare Funktionen und ständig mit der Hilfe endliche Zahl Rechenoperationen(Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) und Operationen zur Bildung einer Funktion aus einer Funktion nennt man Elementarfunktion.
Beispiele für Elementarfunktionen sind die Funktionen
Beispiele für nichtelementare Funktionen sind die Funktionen
5. Konzepte der Grenze von Reihenfolge und Funktion. Eigenschaften von Grenzen.
Funktionsgrenze (Grenzwert der Funktion) an einem bestimmten Punkt, der den Definitionsbereich einer Funktion einschränkt, ist der Wert, zu dem der Wert der betrachteten Funktion tendiert, wenn ihr Argument zu einem bestimmten Punkt tendiert.
In Mathematik Grenze der Folge Elemente eines metrischen Raums oder topologischen Raums sind ein Element desselben Raums, das die Eigenschaft hat, Elemente einer bestimmten Folge „anzuziehen“. Der Grenzwert einer Folge von Elementen eines topologischen Raums ist ein Punkt, an dem jede Umgebung davon alle Elemente der Folge enthält, beginnend mit einer bestimmten Anzahl. In einem metrischen Raum werden Nachbarschaften durch die Distanzfunktion definiert, daher wird das Konzept einer Grenze in der Sprache der Distanzen formuliert. Historisch gesehen war das erste das Konzept des Grenzwerts einer Zahlenfolge, das in der mathematischen Analyse auftaucht, wo es als Grundlage für ein Approximationssystem dient und häufig bei der Konstruktion der Differential- und Integralrechnung verwendet wird.
Bezeichnung:
(liest: Der Grenzwert der x-n-ten Folge, da en gegen Unendlich strebt, ist a)
Die Eigenschaft einer Folge, die einen Grenzwert hat, heißt Konvergenz: Wenn eine Folge eine Grenze hat, dann spricht man von dieser Folge konvergiert; andernfalls (wenn die Folge keine Grenze hat) heißt die Folge divergiert. In einem Hausdorff-Raum und insbesondere einem metrischen Raum konvergiert jede Teilfolge einer konvergenten Folge und ihr Grenzwert fällt mit dem Grenzwert der ursprünglichen Folge zusammen. Mit anderen Worten: Eine Folge von Elementen eines Hausdorff-Raums kann nicht zwei unterschiedliche Grenzen haben. Es kann sich jedoch herausstellen, dass die Folge keine Grenze hat, es aber eine Teilfolge (der gegebenen Folge) gibt, die eine Grenze hat. Wenn eine konvergente Teilfolge aus einer beliebigen Folge von Punkten im Raum identifiziert werden kann, dann hat der gegebene Raum die Eigenschaft der sequentiellen Kompaktheit (oder einfach Kompaktheit, wenn Kompaktheit ausschließlich durch Folgen definiert wird).
Das Konzept eines Grenzwerts einer Folge steht in direktem Zusammenhang mit dem Konzept eines Grenzpunkts (Menge): Wenn eine Menge einen Grenzpunkt hat, dann gibt es eine Folge von Elementen dieser Menge, die zu diesem Punkt konvergieren.
Definition
Es seien ein topologischer Raum und eine Folge gegeben. Dann, wenn es ein solches Element gibt
Wo - offene Menge enthält, dann heißt es Grenzwert der Folge. Wenn der Raum metrisch ist, kann die Grenze mithilfe der Metrik definiert werden: wenn es ein solches Element gibt
Wo ist die Metrik, sie wird als Grenzwert bezeichnet?
· Wenn der Raum mit einer antidiskreten Topologie ausgestattet ist, ist die Grenze jeder Sequenz ein beliebiges Element des Raums.
6. Grenze einer Funktion an einem Punkt. Einseitige Grenzen.
Funktion einer Variablen. Bestimmung des Grenzwertes einer Funktion an einem Punkt nach Cauchy. Nummer B wird als Grenzwert der Funktion bezeichnet bei = F(X) bei X, streben nach A(oder an der Stelle A), wenn es für jede positive Zahl eine positive Zahl gibt, so dass für alle x ≠ a, so dass | X – A | < , выполняется неравенство
| F(X) – A | < .
Bestimmung des Grenzwertes einer Funktion an einem Punkt nach Heine. Nummer B wird als Grenzwert der Funktion bezeichnet bei = F(X) bei X, streben nach A(oder an der Stelle A), wenn für eine beliebige Sequenz ( X n ), konvergierend zu A(abziehlen auf A, mit einer Grenzzahl A) und bei jedem Wert n x n ≠ A, Teilfolge ( j n= F(X n)) konvergiert gegen B.
Diese Definitionen gehen davon aus, dass die Funktion bei = F(X) ist in einer Umgebung des Punktes definiert A, außer vielleicht dem Punkt selbst A.
Die Cauchy- und Heine-Definitionen des Grenzwerts einer Funktion an einem Punkt sind äquivalent: wenn die Zahl B dient für einen von ihnen als Grenze, so gilt dies auch für den zweiten.
Der angegebene Grenzwert wird wie folgt angegeben:
Geometrisch bedeutet die Existenz eines Grenzwerts einer Funktion an einem Punkt nach Cauchy, dass es für jede Zahl > 0 möglich ist, auf der Koordinatenebene ein solches Rechteck mit der Basis 2 > 0, der Höhe 2 und dem Mittelpunkt im Punkt anzuzeigen ( A; B), dass alle Punkte des Graphen einer gegebenen Funktion auf dem Intervall ( A– ; A+ ), mit der möglichen Ausnahme des Punktes M(A; F(A)), liegen in diesem Rechteck
Einseitige Grenze in der mathematischen Analyse der Grenzwert einer numerischen Funktion, was die „Annäherung“ an den Grenzpunkt auf einer Seite bedeutet. Solche Grenzwerte werden entsprechend bezeichnet linke Grenze(oder Grenze nach links) Und rechte Grenze (nach rechts begrenzen). Es sei ein Zahlensatz gegeben numerische Funktion und die Zahl ist der Grenzpunkt des Definitionsbereichs. Es gibt verschiedene Definitionen für die einseitigen Grenzen einer Funktion an einem Punkt, sie sind jedoch alle gleichwertig.
Was bedeuten die Wörter? „eine Funktion festlegen“? Sie meinen: Erkläre es jedem, der was wissen will spezifische Funktion wir reden. Erklären Sie außerdem klar und eindeutig!
Wie kann ich das machen? Wie eine Funktion einstellen?
Sie können eine Formel schreiben. Sie können ein Diagramm zeichnen. Sie können einen Tisch machen. Wie auch immer eine Regel, mit der wir den Wert von i für den von uns gewählten x-Wert ermitteln können. Diese. „Funktion festlegen“ Dies bedeutet, das Gesetz zu zeigen, die Regel, nach der sich ein x in ein y verwandelt.
Normalerweise gibt es in einer Vielzahl von Aufgaben bereits bereit Funktionen. Sie geben uns sind bereits eingestellt. Entscheiden Sie selbst, ja, entscheiden Sie.) Aber... Am häufigsten arbeiten Schüler (und sogar Studenten) mit Formeln. Sie gewöhnen sich daran, wissen Sie ... Sie gewöhnen sich so daran, dass jede elementare Frage, die sich auf eine andere Art der Spezifikation einer Funktion bezieht, die Person sofort verärgert ...)
Um solche Fälle zu vermeiden, ist es sinnvoll, verschiedene Möglichkeiten zur Spezifikation von Funktionen zu verstehen. Und wenden Sie dieses Wissen natürlich auch auf „knifflige“ Fragen an. Es ist ganz einfach. Wenn Sie wissen, was eine Funktion ist...)
Gehen?)
Analytische Methode zur Angabe einer Funktion.
Der universellste und leistungsstärkste Weg. Eine analytisch definierte Funktion Dies ist die Funktion, die gegeben ist Formeln. Eigentlich ist das die ganze Erklärung.) Funktionen, die jedem bekannt sind (ich möchte glauben!), zum Beispiel: y = 2x, oder y = x 2 usw. usw. werden analytisch spezifiziert.
Übrigens kann nicht jede Formel eine Funktion definieren. Nicht jede Formel erfüllt die strenge Bedingung aus der Definition einer Funktion. Nämlich - für jedes X kann es nur sein eins igrek. Zum Beispiel in der Formel y = ±x, Für eins Werte x=2, es stellt sich heraus zwei y-Werte: +2 und -2. Diese Formel kann keine eindeutige Funktion definieren. In diesem Teilgebiet der Mathematik, der Analysis, wird in der Regel nicht mit mehrwertigen Funktionen gearbeitet.
Was ist gut an der analytischen Art, eine Funktion anzugeben? Denn wenn Sie eine Formel haben, kennen Sie die Funktion Alle! Sie können ein Zeichen setzen. Erstellen Sie ein Diagramm. Entdecken Sie diese Funktion vollständig. Sagen Sie genau voraus, wo und wie sich diese Funktion verhalten wird. Alle mathematischen Analysen basieren auf dieser Methode zur Spezifikation von Funktionen. Nehmen wir an, es ist äußerst schwierig, eine Ableitung einer Tabelle zu bilden ...)
Die Analysemethode ist recht vertraut und bereitet keine Probleme. Vielleicht gibt es einige Variationen dieser Methode, auf die die Schüler stoßen. Ich spreche von parametrischen und impliziten Funktionen.) Aber solche Funktionen sind eine besondere Lektion.
Kommen wir nun zu den weniger bekannten Möglichkeiten, eine Funktion anzugeben.
Tabellarische Methode zur Angabe einer Funktion.
Wie der Name schon sagt, handelt es sich bei dieser Methode um ein einfaches Zeichen. In dieser Tabelle entspricht jedes x ( wird entsprechend gestellt) etwas Bedeutung des Spiels. Die erste Zeile enthält die Werte des Arguments. Die zweite Zeile enthält die entsprechenden Funktionswerte, zum Beispiel:
Tabelle 1.
| X | - 3 | - 1 | 0 | 2 | 3 | 4 |
| j | 5 | 2 | - 4 | - 1 | 6 | 5 |
Bitte pass auf! In diesem Beispiel hängt das Spiel von X ab jedenfalls. Das habe ich mir absichtlich ausgedacht.) Es gibt kein Muster. Es ist okay, es passiert. Bedeutet, genau so Ich habe diese spezielle Funktion angegeben. Genau so Ich habe eine Regel aufgestellt, nach der aus einem X ein Y wird.
Du kannst dich versöhnen ein anderer eine Platte mit einem Muster. Dieses Zeichen weist darauf hin andere Funktion, zum Beispiel:
Tabelle 2.
| X | - 3 | - 1 | 0 | 2 | 3 | 4 |
| j | - 6 | - 2 | 0 | 4 | 6 | 8 |
Haben Sie das Muster erkannt? Hier erhält man alle Werte des Spiels durch Multiplikation von x mit zwei. Hier ist die erste „knifflige“ Frage: Kann eine anhand von Tabelle 2 definierte Funktion als Funktion betrachtet werden? y = 2x? Denken Sie erst einmal darüber nach, die Antwort wird unten in grafischer Form angezeigt. Da ist alles sehr klar.)
Was ist gut tabellarische Methode zur Angabe einer Funktion? Ja, weil Sie nichts zählen müssen. Alles ist bereits berechnet und in die Tabelle eingetragen.) Aber mehr Gutes gibt es nicht. Wir kennen den Wert der Funktion für X nicht, die nicht in der Tabelle enthalten sind. Bei dieser Methode sind solche x-Werte einfach ist nicht vorhanden. Das ist übrigens ein Hinweis auf eine knifflige Frage. Wir können nicht herausfinden, wie sich die Funktion außerhalb der Tabelle verhält. Wir können nichts tun. Und die Übersichtlichkeit dieser Methode lässt zu wünschen übrig... Die grafische Methode ist gut für die Übersichtlichkeit.
Grafische Möglichkeit, eine Funktion anzugeben.
Bei dieser Methode wird die Funktion durch einen Graphen dargestellt. Auf der Abszissenachse wird das Argument (x) aufgetragen, auf der Ordinatenachse der Funktionswert (y). Je nach Zeitplan können Sie auch einen beliebigen auswählen X und finden Sie den entsprechenden Wert bei. Der Graph kann beliebig sein, aber nicht irgendein. Wir arbeiten nur mit eindeutigen Funktionen. Die Definition einer solchen Funktion besagt eindeutig: jede X wird entsprechend gestellt der Einzige bei. Eins ein Spiel, nicht zwei oder drei ... Schauen wir uns zum Beispiel das Kreisdiagramm an:
Ein Kreis ist wie ein Kreis... Warum sollte es nicht der Graph einer Funktion sein? Finden wir heraus, welches Spiel dem Wert von X entspricht, zum Beispiel 6? Wir bewegen den Cursor über die Grafik (oder berühren die Zeichnung auf dem Tablet) und... wir sehen, dass dieses x übereinstimmt zwei Spielbedeutungen: y=2 und y=6.
Zwei und sechs! Daher handelt es sich bei einem solchen Diagramm nicht um eine grafische Zuordnung der Funktion. An eins x entfällt zwei Spiel. Dieser Graph entspricht nicht der Definition einer Funktion.
Aber wenn die Eindeutigkeitsbedingung erfüllt ist, kann der Graph absolut alles sein. Zum Beispiel:
Dieselbe Krümmung ist das Gesetz, nach dem ein X in ein Y umgewandelt werden kann. Eindeutig. Wir wollten wissen, was die Funktion für bedeutet x = 4, Zum Beispiel. Wir müssen die vier auf der x-Achse finden und sehen, welches Spiel diesem x entspricht. Wir bewegen die Maus über die Figur und sehen den Funktionswert bei Für x=4 gleich fünf. Wir wissen nicht, welche Formel diese Umwandlung eines X in ein Y bestimmt. Und es ist nicht notwendig. Alles ist durch den Zeitplan festgelegt.
Jetzt können wir zur „kniffligen“ Frage zurückkehren y=2x. Lassen Sie uns diese Funktion grafisch darstellen. Da ist er:
Beim Zeichnen dieses Diagramms haben wir natürlich nicht berücksichtigt unendliche Menge Werte X. Wir haben mehrere Werte genommen und berechnet ja, Zeichen gesetzt – und alles ist fertig! Die gebildetsten Menschen nahmen nur zwei Werte von X an! Und das zu Recht. Für eine gerade Linie braucht man nicht mehr. Warum die zusätzliche Arbeit?
Aber wir wusste es genau was x sein könnte irgendjemand. Ganzzahl, Bruchzahl, negativ ... Beliebig. Dies entspricht der Formel y=2x es wird gesehen. Deshalb haben wir die Punkte im Diagramm kühn mit einer durchgezogenen Linie verbunden.
Wenn uns die Funktion durch Tabelle 2 gegeben ist, müssen wir die Werte von x annehmen nur vom Tisch. Weil andere Xs (und Ys) uns nicht gegeben sind und wir sie nirgendwo bekommen können. Diese Werte sind in dieser Funktion nicht vorhanden. Der Zeitplan wird klappen aus Punkten. Wir bewegen die Maus über die Abbildung und sehen den Graphen der in Tabelle 2 angegebenen Funktion. Ich habe die x-y-Werte nicht auf die Achsen geschrieben, werden Sie es Zelle für Zelle herausfinden?)
Hier ist die Antwort auf die „knifflige“ Frage. In Tabelle 2 angegebene Funktion und Funktion y=2x - anders.
Die grafische Methode zeichnet sich durch ihre Übersichtlichkeit aus. Man sieht sofort, wie sich die Funktion verhält, wo sie ansteigt. wo es abnimmt. Aus der Grafik können Sie sofort einige wichtige Eigenschaften der Funktion erkennen. Und beim Thema Ableitungen wimmelt es von Aufgaben mit Graphen!
Im Allgemeinen gehen analytische und grafische Methoden zur Definition einer Funktion Hand in Hand. Die Arbeit mit der Formel hilft beim Erstellen eines Diagramms. Und die Grafik schlägt oft Lösungen vor, die man in der Formel gar nicht bemerken würde ... Wir werden mit Grafiken befreundet sein.)
Fast jeder Student kennt die drei Möglichkeiten, eine Funktion zu definieren, die wir gerade betrachtet haben. Aber auf die Frage: „Und der vierte!?“ - friert gründlich ein.)
Es gibt so einen Weg.
Verbale Beschreibung der Funktion.
Ja Ja! Die Funktion kann in Worten recht eindeutig angegeben werden. Die große und mächtige russische Sprache ist zu viel fähig!) Sagen wir die Funktion y=2x kann mit der folgenden verbalen Beschreibung angegeben werden: Jedem reellen Wert des Arguments x ist sein doppelter Wert zugeordnet. So! Die Regel ist etabliert, die Funktion ist spezifiziert.
Darüber hinaus können Sie eine Funktion verbal angeben, die mithilfe einer Formel nur äußerst schwierig, wenn nicht gar unmöglich, zu definieren ist. Zum Beispiel: Jeder Wert des natürlichen Arguments x ist mit der Summe der Ziffern verknüpft, aus denen der Wert von x besteht. Zum Beispiel, wenn x=3, Das y=3. Wenn x=257, Das y=2+5+7=14. Usw. Es ist problematisch, dies in eine Formel zu schreiben. Aber das Schild ist einfach zu machen. Und erstellen Sie einen Zeitplan. Die Grafik sieht übrigens komisch aus...) Probieren Sie es aus.
Weg verbale Beschreibung- Die Methode ist ziemlich exotisch. Aber manchmal passiert es. Ich habe es hierher gebracht, um Ihnen Selbstvertrauen in unerwarteten und ungewöhnlichen Situationen zu geben. Sie müssen nur die Bedeutung der Wörter verstehen „Funktion angegeben…“ Hier ist sie, diese Bedeutung:
Wenn es ein Gesetz der Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen gibt X Und bei- das heißt, es gibt eine Funktion. Welches Gesetz, in welcher Form es ausgedrückt wird – eine Formel, eine Tafel, eine Grafik, Worte, Lieder, Tänze – ändert nichts am Wesen der Sache. Mit diesem Gesetz können Sie den entsprechenden Wert von Y aus dem Wert von X ermitteln. Alle.
Jetzt werden wir dieses tiefe Wissen auf einige nicht standardmäßige Aufgaben anwenden.) Wie zu Beginn der Lektion versprochen.
Übung 1:
Die Funktion y = f(x) ist in Tabelle 1 angegeben:
Tabelle 1.
Finden Sie den Wert der Funktion p(4), wenn p(x)= f(x) - g(x)
Wenn Sie überhaupt nicht verstehen können, was was ist, lesen Sie die vorherige Lektion „Was ist eine Funktion?“ Über solche Buchstaben und Klammern wird sehr deutlich geschrieben.) Und wenn Sie nur die tabellarische Form verwirrt, dann klären wir das hier.
Aus der vorherigen Lektion geht klar hervor, dass wenn, p(x) = f(x) - g(x), Das p(4) = f(4) - g(4). Briefe F Und G bedeutet die Regeln, nach denen jedem X ein eigenes Spiel zugewiesen wird. Für jeden Buchstaben ( F Und G) - dein Regel. Was aus der entsprechenden Tabelle hervorgeht.
Funktionswert f(4) ermittelt aus Tabelle 1. Dies ist 5. Funktionswert g(4) bestimmt nach Tabelle 2. Das wird 8 sein. Das Schwierigste bleibt.)
p(4) = 5 - 8 = -3
Das ist die richtige Antwort.
Lösen Sie die Ungleichung f(x) > 2
Das ist es! Es ist notwendig, die Ungleichung zu lösen, die (in der üblichen Form) völlig fehlt! Es bleibt nur noch, entweder die Aufgabe aufzugeben oder den Kopf zu verdrehen. Wir wählen die zweite und diskutieren.)
Was bedeutet es, Ungleichheit zu lösen? Das bedeutet, alle Werte von x zu finden, bei denen die uns gegebene Bedingung erfüllt ist f(x) > 2. Diese. alle Funktionswerte ( bei) muss größer als zwei sein. Und auf unserem Diagramm haben wir jedes Spiel ... Und es gibt mehr Zweier und weniger ... Und lassen Sie uns der Klarheit halber eine Grenze entlang dieser beiden ziehen! Wir bewegen den Cursor über die Zeichnung und sehen diesen Rand.
Streng genommen ist dieser Rand der Graph der Funktion y=2, aber das ist nicht der Punkt. Wichtig ist, dass die Grafik jetzt sehr deutlich zeigt, wo, bei welchen X's, Funktionswerte, d.h. ja, Mehr als zwei. Sie sind mehr X > 3. Bei X > 3 Unsere gesamte Funktion ist bestanden höher Grenzen y=2. Das ist die Lösung. Aber es ist noch zu früh, um den Kopf auszuschalten!) Ich muss die Antwort noch aufschreiben ...
Die Grafik zeigt, dass sich unsere Funktion nicht nach links und rechts bis ins Unendliche erstreckt. Die Punkte an den Enden der Grafik zeigen dies an. Die Funktion endet dort. Daher haben in unserer Ungleichung alle X, die über die Grenzen der Funktion hinausgehen, keine Bedeutung. Für die Funktion dieser X's existiert nicht. Und tatsächlich lösen wir die Ungleichung für die Funktion ...
Die richtige Antwort wird sein:
3 < X ≤ 6
Oder in einer anderen Form:
X ∈ (3; 6]
Jetzt ist alles wie es sein soll. Drei ist nicht in der Antwort enthalten, weil Die ursprüngliche Ungleichung ist streng. Und die sechs schaltet sich ein, weil und die Funktion bei sechs existiert und die Ungleichheitsbedingung ist erfüllt. Wir haben erfolgreich eine Ungleichung gelöst, die (in der üblichen Form) nicht existiert ...
So ersparen Ihnen etwas Wissen und elementare Logik in nicht standardmäßigen Fällen.)
