Projektname

Kurze Zusammenfassung des Projekts

Das Projekt wurde mit Designtechnologie vorbereitet. Umgesetzt im Rahmen des Geometrieprogramms der 8. Klasse zum Thema „Ähnlichkeitszeichen von Dreiecken“. Das Projekt umfasst einen Informations- und Forschungsteil. Die analytische Arbeit mit Informationen systematisiert das Wissen über solche Zahlen. Die eigenständige Recherche der Studierenden sowie die erworbenen praktischen Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten lehren sie, die Bedeutung dieses theoretischen Materials für die praktische Anwendung zu erkennen. Didaktische Aufgaben wird dazu beitragen, den Grad der Assimilation von Lehrmaterial zu überwachen.

Leitende Fragen

Die grundlegende Frage lautet: „Spricht die Natur die Sprache der Ähnlichkeit?“

„Ist es möglich, um uns herum Beispiele für Ähnlichkeit zu finden?“, „Wie kann ich die Höhe meines Hauses messen?“, „Warum werden solche Dreiecke benötigt?“

Projektplan

1.Brainstorming (Formulierung studentischer Forschungsthemen).

2. Bildung von Gruppen zur Durchführung von Forschungen, zur Aufstellung von Hypothesen und zur Diskussion von Lösungsmöglichkeiten für Probleme.

3. Wahl eines kreativen Namens für das Projekt.

4. Diskussion des Plans für die theoretische und praktische Arbeit der Studierenden in der Gruppe.

5. Diskussion mit Studierenden über mögliche Informationsquellen.

6. Unabhängige Arbeit von Gruppen.

7. Die Studierenden bereiten Präsentationen und Berichte zu Fortschrittsberichten vor.

8. Präsentation von Forschungsarbeiten.

XXVJubiläumsstadtwettbewerb für Bildung und Forschung
Arbeiten von Studierenden

Bildungsministerium der Stadtverwaltung von Kungur

Wissenschaftliche Studentengesellschaft

Abschnitt

Geometrie

Kustova Ekaterina MAOU Sekundarschule Nr. 13

8 Note „a“.

Aufsicht:

Gladkikh Tatyana Grigorievna

MAOU-Sekundarschule Nr. 13

Mathematiklehrer

höchste Kategorie

Kungur, 2017

INHALTSVERZEICHNIS

Einleitung……………………………………………………………………………3

Kapitel 1. Unvergleichliche Ähnlichkeit

1.1. Aus der Geschichte der Ähnlichkeit……………………………………………………….5

1.2. Das Konzept der Ähnlichkeit……………………………………………………………..6

1.3.Methoden zur Messung von Objekten mithilfe von Ähnlichkeit

1.3.1. Die erste Möglichkeit, die Höhe eines Objekts zu messen………………………….8

1.3.2. Die zweite Möglichkeit, die Höhe eines Objekts zu messen………………………….9

1.3.3. Die dritte Möglichkeit, die Höhe eines Objekts zu messen…………………………..11

2.1. Messen der Höhe eines Objekts……………………………………………………………..12

2.1.1. Entlang der Länge des Schattens………………………………….. ………………………12

2.1. 2. Mit einer Stange………………………………………………………13

2.1.3. Mit einem Spiegel……………………………………………………...13

2.1.4. Was der Sergeant getan hat……………………………………………………………...14

2.1.5. Sich vom Baum fernhalten…………………………………………….16

2.2. Teichreinigung. …………………………………………………………………..............17

2.2.1. Methoden zur Reinigung von Gewässern……………………………………………..17

2.2.2. Messung der Teichbreite………………………………………………………18

Fazit …………………………………………………………………………………… …..22

Referenzen……………………………………………………………...23



Ein Anschein von Schönheit

Manchmal merken wir es nicht

Wir sagen „Wie die Göttlichkeit“

Ein Ideal implizieren.



EINFÜHRUNG

Die Welt, in der wir leben, ist erfüllt von der Geometrie von Häusern und Straßen, Bergen und Feldern, Schöpfungen der Natur und des Menschen. Die Geometrie hat ihren Ursprung in der Antike. Durch den Bau von Wohnhäusern und Tempeln, die Verzierung mit Ornamenten, die Markierung des Bodens sowie das Messen von Entfernungen und Flächen wandten die Menschen ihr Wissen über Form, Größe und Größe an relative Position Objekte, die aus Beobachtungen und Experimenten gewonnen wurden. Fast alle großen Wissenschaftler der Antike und des Mittelalters waren herausragende Geometer. Das Motto der alten Schule lautete: „Wer die Geometrie nicht kennt, hat keinen Zutritt!“

Heute geometrisches Wissen werden immer noch gefunden Breite Anwendung im Baugewerbe, in der Architektur, in der Kunst sowie in vielen Branchen. Im Geometrieunterricht haben wir uns mit dem Thema „Ähnlichkeit von Dreiecken“ befasst und mich interessierte die Frage, wie dieses Thema in der Praxis angewendet werden kann.

Erinnern Sie sich an die Arbeit von L. Caroll „Alice im Wunderland“. Welche Änderungen sind aufgetreten mit die Hauptfigur: manchmal wuchs es auf mehrere Fuß, manchmal schrumpfte es auf mehrere Zoll, blieb jedoch immer es selbst. Von welcher Transformation aus geometrischer Sicht sprechen wir? Natürlich über die Transformation der Ähnlichkeit.

Ziel der Arbeit:

Den Anwendungsbereich der Ähnlichkeit von Dreiecken im menschlichen Leben finden.

Aufgaben:

1. Studieren Sie wissenschaftliche Literatur zu diesem Thema.

2. Zeigen Sie die Verwendung der Ähnlichkeit von Dreiecken am Beispiel einer Messarbeit.

Hypothese. Mithilfe von Dreiecksähnlichkeiten können Sie reale Objekte messen.

Forschungsmethoden: Suche, Analyse, mathematische Modellierung.

Kapitel 1. Unvergleichliche Ähnlichkeit

1.1.Aus der Geschichte der Ähnlichkeit

Die Ähnlichkeit von Figuren beruht auf dem Prinzip der Beziehung und Proportion. Die Idee von Verhältnis und Proportion hat ihren Ursprung in der Antike. Davon zeugen antike ägyptische Tempel, Details des Grabes von Menes und der berühmten Pyramiden in Gizeh (III. Jahrtausend v. Chr.), babylonische Zikkurats (gestufte Kulttürme), persische Paläste und andere antike Denkmäler. Viele Umstände, darunter architektonische Besonderheiten, Anforderungen an Komfort, Ästhetik, Technik und Effizienz beim Bau von Gebäuden und Bauwerken, führten zur Entstehung und Entwicklung der Konzepte des Verhältnisses und der Proportionalität von Segmenten, Flächen und anderen Größen. Im Papyrus „Moskauer“ wird bei der Betrachtung des Verhältnisses des größeren Beins zum kleineren in einer der Aufgaben eines rechtwinkligen Dreiecks ein Sonderzeichen für den Begriff „Verhältnis“ verwendet. In Euklids Elementen wird die Beziehungslehre zweimal dargelegt. Buch VII enthält Arithmetiktheorie. Es gilt nur für entsprechende Mengen und für ganze Zahlen. Diese Theorie basiert auf der Praxis der Arbeit mit Brüchen. Euklid verwendet es, um die Eigenschaften ganzer Zahlen zu untersuchen. Buch V beginnt allgemeine Theorie Beziehungen und Proportionen, entwickelt von Eudoxos. Es liegt der Lehre von der Ähnlichkeit der Figuren zugrunde, die im Buch VI der Elemente dargelegt ist, wo die Definition zu finden ist: „Ähnliche geradlinige Figuren sind solche, die jeweils gleiche Winkel und proportionale Seiten haben.“

Figuren gleicher Form, aber unterschiedlicher Größe finden sich in babylonischen und ägyptischen Denkmälern. In der erhaltenen Grabkammer des Vaters von Pharao Ramses II. befindet sich eine mit einem Netz aus Quadraten bedeckte Wand, mit deren Hilfe vergrößerte Zeichnungen kleinerer Größe auf die Wand übertragen werden.

Die Proportionalität von Segmenten, die auf geraden Linien gebildet wurden, die von mehreren parallelen geraden Linien geschnitten wurden, war den babylonischen Wissenschaftlern bekannt. Obwohl einige diese Entdeckung Thales von Milet zuschreiben. Der antike griechische Weise Thales bestimmte sechs Jahrhunderte v. Chr. die Höhe der Pyramide in Ägypten. Er nutzte ihren Schatten aus. Die Priester und der Pharao, die sich am Fuße der Pyramide versammelt hatten, blickten verwirrt auf den Neuankömmling aus dem Norden, der aus den Schatten die Höhe des riesigen Bauwerks erriet. Der Legende nach wählte Thales den Tag und die Stunde, als die Länge seines eigenen Schattens seiner Größe entsprach; In diesem Moment muss die Höhe der Pyramide auch gleich der Länge des Schattens sein, den sie wirft.

Bis heute ist eine Keilschrifttafel erhalten, in der wir reden überüber die Konstruktion proportionaler Segmente durch das Zeichnen von Parallelen zu einem der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks.

1.2.Das Konzept der Ähnlichkeit.

Im Leben treffen wir uns nicht nur gleiche Zahlen, aber auch mit solchen, die die gleiche Form, aber unterschiedliche Größen haben. Die Geometrie nennt solche Figuren ähnlich.

Alle ähnlichen Figuren haben die gleiche Form, aber unterschiedliche Größen.

Definition: Zwei Dreiecke heißen ähnlich, wenn ihre Winkel jeweils gleich sind und die Seiten des einen Dreiecks proportional zu den ähnlichen Seiten des anderen sind.

Wenn das Dreieck ABC dem Dreieck A ähnlich ist 1 B 1 C 1 , dann sind die Winkel A, B und C jeweils gleich den Winkeln A 1, B 1 und C 1 ,
. Zahl k, gleich dem VerhältnisÄhnliche Seiten ähnlicher Dreiecke wird als Ähnlichkeitskoeffizient bezeichnet.

Anmerkung 1: Gleiche Dreiecke um den Faktor 1 ähnlich.

Hinweis 2: Bei der Bezeichnung ähnlicher Dreiecke sollten ihre Eckpunkte so angeordnet werden, dass ihre Winkel paarweise gleich sind.

Anmerkung 3: Die in der Definition ähnlicher Dreiecke aufgeführten Anforderungen sind überflüssig.

Eigenschaften ähnlicher Dreiecke

Das Verhältnis der entsprechenden linearen Elemente ähnlicher Dreiecke ist gleich dem Ähnlichkeitskoeffizienten. Zu diesen Elementen ähnlicher Dreiecke gehören solche, die in Längeneinheiten gemessen werden. Dies sind zum Beispiel die Seite eines Dreiecks, der Umfang, der Median. Winkel oder Fläche gelten für solche Elemente nicht.

Das Verhältnis der Flächen ähnlicher Dreiecke ist gleich dem Quadrat ihres Ähnlichkeitskoeffizienten.

Ähnlichkeitszeichen von Dreiecken .

Wenn zwei Winkel eines Dreiecks jeweils gleich zwei Winkeln eines anderen sind, dann sind solche Dreiecke ähnlich.

Wenn zwei Seiten eines Dreiecks proportional zu zwei Seiten eines anderen Dreiecks sind und die Winkel zwischen diesen Seiten gleich sind, dann sind die Dreiecke ähnlich.

Wenn drei Seiten eines Dreiecks proportional zu drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind die Dreiecke ähnlich.

1.3.Methoden zur Messung von Objekten anhand von Ähnlichkeitsmerkmalen

1.3.1. Erster Weg Messen der Höhe eines Objekts

An einem sonnigen Tag ist es nicht schwer, die Höhe eines Objekts, beispielsweise eines Baumes, anhand seines Schattens zu messen. Es ist lediglich erforderlich, einen Gegenstand (z. B. einen Stock) bekannter Länge zu nehmen und ihn senkrecht zur Oberfläche zu platzieren. Dann fällt ein Schatten vom Objekt. Wenn wir die Höhe des Stabes, die Länge des Schattens vom Stab und die Länge des Schattens vom Objekt kennen, dessen Höhe wir messen, können wir die Höhe des Objekts bestimmen. Um dies zu erreichen, ist es mühsam, die Ähnlichkeit zweier Dreiecke zu betrachten. Denken Sie daran: Die Sonnenstrahlen fallen parallel zueinander.

Gleichnis

„Ein müder Fremder kam in das Land der Großen Hapi. Die Sonne ging bereits unter, als er sich dem prächtigen Palast des Pharaos näherte. Er sagte etwas zu den Dienern. Im Nu wurden ihm die Türen geöffnet und er wurde in die Empfangshalle geführt. Und hier steht er in einem staubigen Reisemantel, und vor ihm sitzt der Pharao auf einem vergoldeten Thron. In der Nähe stehen arrogante Priester, Hüter der großen Geheimnisse der Natur.

ZU dann Sie? – fragte der Hohepriester.

Mein Name ist Thales. Ich komme ursprünglich aus Milet.

Der Priester fuhr arrogant fort:

Sie waren also derjenige, der damit prahlte, dass Sie die Höhe der Pyramide messen könnten, ohne sie zu besteigen? – Die Priester krümmten sich vor Lachen. „Es wird gut sein“, fuhr der Priester spöttisch fort, „wenn du einen Fehler von nicht mehr als 100 Ellen machst.“

Ich kann die Höhe der Pyramide messen und nicht mehr als eine halbe Elle daneben liegen. Ich werde es morgen machen.

Die Gesichter der Priester verfinsterten sich. Was für eine Frechheit! Dieser Fremde behauptet, dass er herausfinden kann, was sie, die Priester des großen Ägypten, nicht können.

„Okay“, sagte der Pharao. – In der Nähe des Palastes steht eine Pyramide, wir kennen ihre Höhe. Morgen werden wir Ihre Kunst überprüfen.“

Am nächsten Tag fand Thales einen langen Stock und steckte ihn etwas weiter von der Pyramide entfernt in den Boden. Ich habe auf einen bestimmten Moment gewartet. Er nahm einige Messungen vor, sagte, wie man die Höhe der Pyramide bestimme und benannte ihre Höhe. Was hat Thales gesagt?

Thales' Worte : Wenn der Schatten des Stabes die gleiche Länge wie der Stab selbst hat, dann hat die Länge des Schattens von der Mitte der Basis der Pyramide bis zu ihrer Spitze die gleiche Länge wie die Pyramide selbst.

1.3.2.Zweite Methode Messen der Höhe eines Objektswurde von Jules Verne im Roman „Die geheimnisvolle Insel“ ausführlich beschrieben. Diese Methode kann verwendet werden, wenn keine Sonne scheint und keine Schatten von Objekten sichtbar sind. Zum Messen benötigen Sie eine Stange, deren Länge Ihrer Körpergröße entspricht. Diese Stange muss in einem solchen Abstand vom Objekt installiert werden, dass Sie im Liegen die Oberseite des Objekts in einer geraden Linie mit der Spitze der Stange sehen können. Dann kann die Höhe des Objekts ermittelt werden, indem man die Länge der Linie kennt, die von Ihrem Kopf bis zur Basis des Objekts gezogen wird.

Auszug aus dem Roman.

„Heute müssen wir die Höhe des Far Rock-Geländes messen“, sagte der Ingenieur.

Benötigen Sie dafür ein Werkzeug? – fragte Herbert.

Nein, Sie werden es nicht brauchen. Wir werden etwas anders vorgehen und uns einer ebenso einfachen und genauen Methode zuwenden. Der junge Mann, der vielleicht mehr erfahren wollte, folgte dem Ingenieur, der von der Granitwand zum Ufer hinabstieg.

Der Ingenieur nahm eine gerade, 12 Fuß lange Stange, maß sie so genau wie möglich und verglich sie mit seiner Körpergröße, die ihm wohlbekannt war. Herbert trug das Lot hinter sich her, das ihm der Ingenieur gegeben hatte: nur einen Stein, der an das Ende eines Seils gebunden war. Der Ingenieur reichte nicht mehr als 500 Fuß von der senkrecht aufragenden Granitwand entfernt, steckte einen Pfahl etwa 60 cm in den Sand und stellte ihn, nachdem er ihn fest befestigt hatte, mit Hilfe eines Lotes senkrecht auf. Dann entfernte er sich so weit von der Stange, dass er, im Sand liegend, sowohl das Ende der Stange als auch die Kante des Bergrückens in einer geraden Linie sehen konnte. Diesen Punkt markierte er sorgfältig mit einem Stift. Beide Abstände wurden gemessen. Der Abstand vom Pflock zum Stock betrug 15 Fuß und vom Stock zum Felsen 500 Fuß.

„Kennen Sie die Grundlagen der Geometrie? – fragte er Herbert und erhob sich vom Boden. Erinnern Sie sich an die Eigenschaften ähnlicher Dreiecke?

-Ja.

-Ihre ähnlichen Seiten sind proportional.

-Rechts. Also: Jetzt werde ich 2 ähnliche rechtwinklige Dreiecke bauen. Der kleinere hat auf der einen Seite eine vertikale Stange und auf der anderen Seite den Abstand vom Pflock zur Basis der Stange. Die Hypotenuse ist meine Sichtlinie. Ein weiteres Dreieck wird Beine haben: reine Wand, dessen Höhe wir bestimmen wollen, und den Abstand vom Pflock zur Basis dieser Wand; Die Hypotenuse ist meine Sichtlinie und fällt mit der Richtung der Hypotenuse des ersten Dreiecks zusammen. ...Wenn wir zwei Abstände messen: den Abstand vom Pflock zum Fuß der Stange und den Abstand vom Pflock zum Fuß der Wand, dann können wir, wenn wir die Höhe des Pfostens kennen, den vierten, unbekannten Term berechnen des Verhältnisses, also der Höhe der Wand. Es wurden beide horizontalen Abstände gemessen: der kleinere betrug 15 Fuß, der größere 500 Fuß. Am Ende der Messungen machte der Ingenieur folgenden Eintrag:

15:500 = 10:x; 500 x 10 = 5000; 5000: 15 = 333,3.

Das bedeutet, dass die Höhe der Granitmauer 333 Fuß betrug.

1.3.3.Dritte Methode

Bestimmen der Höhe eines Objekts mithilfe eines Spiegels.

Der Spiegel wird horizontal aufgestellt und von dort bis zu einem Punkt zurückbewegt, an dem der Betrachter von dort aus die Spitze eines Baumes im Spiegel sieht. Ein Lichtstrahl FD, der von einem Spiegel am Punkt D reflektiert wird, gelangt in das menschliche Auge. Das zu messende Objekt, zum Beispiel ein Baum, ist um ein Vielfaches höher als Sie, da der Abstand von ihm zum Spiegel größer ist als der Abstand vom Spiegel zu Ihnen. Denken Sie daran: Der Einfallswinkel ist gleich dem Reflexionswinkel (Reflexionsgesetz).

 AB D ähnlich  EFD (an zwei Ecken) :

 VA D =  GEFÜTTERT =90°;

A D B =  EDF , Weil Der Einfallswinkel ist gleich dem Reflexionswinkel.

In ähnlichen Dreiecken sind ähnliche Seiten proportional:

Kapitel 2. Verwendung der Dreiecksähnlichkeit in der Praxis

2. 1. Messen der Höhe eines Objekts

Nehmen wir als Messobjekt einen Baum.

2.1.1. Nach Schattenlänge

Diese Methode basiert auf einer modifizierten Thales-Methode, die es ermöglicht, einen Schatten beliebiger Länge zu verwenden. Um die Höhe eines Baumes zu messen, müssen Sie einen Stab in einiger Entfernung vom Baum in den Boden stecken.

AB– Baumhöhe

B.C.– Länge des Baumschattens

A 1 B 1 – Masthöhe

B 1 C 1 – Länge des Schattens des Pols

B = < B 1 weil der Baum und die Stange senkrecht zum Boden stehen.

< A = < A 1 weil wir die auf die Erde fallenden Sonnenstrahlen als parallel betrachten können, weil der Winkel zwischen ihnen extrem klein, fast nicht wahrnehmbar ist =>

Das Dreieck ABC ähnelt dem Dreieck A 1 B 1 C 1 .

Nachdem wir die erforderlichen Messungen durchgeführt haben, können wir die Höhe des Baumes ermitteln.

AB= Sonne.

A 1 B 1 B 1 C 1

AB = A 1 IN 1 ∙ So.

B 1 C 1

2.1.2 Verwendung einer Stange

Eine etwa menschengroße Stange wird senkrecht in den Boden gesteckt. Der Platz für die Stange muss so gewählt werden, dass eine auf dem Boden liegende Person die Spitze des Baumes in einer geraden Linie mit der Spitze der Stange sehen kann.

ADE Weil< B = < D(jeweiligen),< A– allgemein =>

ANZEIGE = ED ,ED=AD∙BC .

ABB.C.AB

UM

A

B

C

A 1

C 1

Bestimmung der Höhe anhand des Schattens.

A 1 B 1 =1,6 m

A 1 MIT 1 =2,8 m

Wechselstrom=17 m

2.1.3. Mit einem Spiegel.

In einiger Entfernung vom Baum wird ein Spiegel auf eine ebene Fläche gestellt und von dort aus bis zu einem Punkt zurückbewegt, an dem der stehende Betrachter die Spitze des Baumes sehen kann.

AB – Baumhöhe

AC – Abstand vom Baum zum Spiegel

CD– Abstand von Person zu Spiegel

ED- Die Größe des Menschen.

Das Dreieck ABC ähnelt einem DreieckDEZ Weil

< A = < D(aufrecht)

< B.C.A. = < ECD(Denn nach dem Gesetz der Lichtreflexion ist der Einfallswinkel gleich dem Reflexionswinkel.)

A.C. = AB ,

DC ED

AB =AC∙ED.

UM
Bestimmen der Höhe eines Objekts mithilfe eines Spiegels.

AB=1,5 M

DE=12,5 M

AD= 2,7 M

2.1.4. Was hat Sgt.

Einige der gerade beschriebenen Methoden zur Höhenmessung sind unpraktisch, da Sie dazu auf dem Boden liegen müssen. Sie können diese Unannehmlichkeiten natürlich vermeiden.

So war es einst an einer der Fronten der Großen Vaterländischer Krieg. Die Einheit von Leutnant Ivanyuk erhielt den Auftrag, eine Brücke über einen Gebirgsfluss zu bauen. Die Nazis ließen sich am gegenüberliegenden Ufer nieder. Zur Erkundung der Brückenbaustelle beauftragte der Leutnant eine Aufklärungsgruppe unter der Führung eines Oberfeldwebels. In einem nahegelegenen Waldgebiet maßen sie den Durchmesser und die Höhe der typischsten Bäume, die für das Bauwerk verwendet werden könnten.

Die Höhe der Bäume wurde mit einer Stange ermittelt, wie in Abb.

Diese Methode ist wie folgt.

Nachdem Sie sich mit einer Stange ausgestattet haben, die größer ist als Sie, stecken Sie diese senkrecht in einiger Entfernung vom zu messenden Baum in den Boden. Gehen Sie von der Stange zurück, um fortzufahrenDd zu diesem Ort A, von wo aus Sie, wenn Sie auf die Spitze des Baums schauen, den obersten Punkt sehen, der auf derselben Linie mit ihm liegtBPole Schauen Sie dann, ohne die Position Ihres Kopfes zu ändern, in Richtung der horizontalen Geraden aC und bemerken Sie die Punkte c und C, an denen die Blicklinie auf die Stange und den Rumpf trifft. Bitten Sie Ihren Assistenten, sich an diesen Stellen Notizen zu machen, und die Beobachtung ist beendet.

< C = < Cweil der Baum und die Stange senkrecht zueinander stehen

< B = < Bdenn der Winkel, aus dem eine Person auf den Baum und auf die Stange blickt, ist gleich => DreieckABCähnlich einem DreieckABC

=> B.C. = aC , BC = bc ∙aC .

Chracac

Distanz v. Chr, aCund Wechselstrom lässt sich leicht direkt messen. Zum resultierenden Wert BC müssen Sie die Distanz addierenCD(der auch direkt gemessen wird), um die gewünschte Baumhöhe herauszufinden.

2.1.5 . Gehen Sie nicht in die Nähe des Baumes.

Es kommt vor, dass es aus irgendeinem Grund unbequem ist, sich der Basis des zu messenden Baumes zu nähern. Ist es in diesem Fall möglich, die Höhe zu bestimmen?

Gut möglich. Zu diesem Zweck wurde ein geniales Gerät erfunden, das sich leicht selbst herstellen lässt. Zwei StreifenAnzeige und mit Drechtwinklig befestigt, so dassab entsprach v. Chr, A bdwar die HälfteAnzeige. Das ist das ganze Gerät. Um die Höhe zu messen, halten Sie es in Ihren Händen gegenüber der StangeCDvertikal (wofür es ein Lot hat - eine Schnur mit einem Gewicht) und wird an zwei Stellen sequentiell: zuerst am Punkt A, wo das Gerät mit dem Ende nach oben platziert wird, und dann am Punkt A`, weiter entfernt, wo Das Gerät wird mit dem Ende nach oben gehaltenD. Punkt A wird so gewählt, dass man ihn, wenn man von a auf Ende c blickt, auf derselben geraden Linie wie die Spitze des Baumes sieht. Punkt

und A` wird so gefunden, dass man von a` aus auf den Punkt schautD`, sehen Sie, dass es mit V übereinstimmt.

Das Dreieck BC ähnelt einem Dreieckbca Weil

< C = < B(aufrecht)

< B = < C(Der Beobachter blickt aus demselben Winkel)

Das Dreieck BCa` ähnelt einem DreieckB` D` A` weil

< C = < B` (senkrecht)

< B = < D` (Beobachter blickt aus einem Winkel)

Die gesamte Messung besteht darin, zwei Punkte A und A` zu finden, da der gesuchte Teil BC gleich dem Abstand AA` ist. Die Gleichheit folgt aus der Tatsache, dass aC = BC, da das DreieckABCgleichschenklig (konstruktionsbedingt). Daher das DreieckABCgleichschenklig. a`C = 2 B.C.folgt aus Beziehungen in ähnlichen Dreiecken; Bedeutet,A` C – aC = B.C..

UM
Bestimmung der Höhe anhand eines rechtwinkligen gleichschenkligen Dreiecks.

CD = AB + BD

AB = 8,9 m

BD =1,2 m

MIT D =8,9+1,2≈10 m

2.2. Teichreinigung.

Im Dorf Kirova gibt es einen Teich, der stark verschmutzt ist. Wir beschlossen, herauszufinden, wie man es reinigt.

2.2.1.Methoden zur Reinigung von Gewässern.

Die Reinigung von Stauseen erfolgt mit mechanisierten, hydromechanisierten, explosiven und manuellen Methoden. Die gebräuchlichste aller Methoden ist die mechanische. Bei dieser Methode wird mit einem Bagger gereinigt.

Bagger NSS – 400/20 – GRProduktivität (Bodengewinnung): 800 m/Kubikmeter pro Schicht. Abmessungen: Länge 10 m, Breite 2,7 m, Höhe 3,0 m.Gewicht: 17 Tonnen. Gülleleitung: 100 m (davon 50 m schwimmend, 50 m an Land). Der Bagger ist mit einem Ausleger ausgestattet. Auslegerlänge - 10 m, mit hydraulischer Auswaschung (Wasserzufuhr 60 m3/m3 pro Stunde bei einem Druck von 40 m, Pumpenleistung 7 kW).Motor: D-260-4. 01 (210 l/s, Kraftstoffverbrauch - 14 l/h, Drehzahl - 1800 U/min). Pumpe: GRAU 400/20. Technische Eigenschaften der Pumpe: Bodenleistung 10–30 % pro Stunde, Wassersäulendruck – 20 m, maximale Leistung – 75 kW, Drehzahl – 950 U/min. Ein Bagger dieser Modifikation hebt Erde aus einer Reservoirtiefe von 1–9,5 m an und schiebt sie durch eine Schlammleitung bis zu einer Höhe von 200 m. Rohrdurchmesser: 160 mm. Energieversorgung: autonom. Bewegung mittels Winden – 4 Motoren mit je 1,5 kW.

In unserem speziellen Fall interessiert uns die Länge des Baggerauslegers – 10 m.

2.2.2.Teichbreite messen.

Die Eigenschaften solcher Dreiecke können zur Durchführung verschiedener Feldmessungen genutzt werden. Wir werden uns einer Aufgabe widmen: der Bestimmung der Entfernung zu einem unzugänglichen Punkt. Als Beispiel werden wir versuchen, die Breite eines Teiches mithilfe von Dreiecksähnlichkeitsmerkmalen zu messen.

Mit Hilfe einiger Instrumente und Berechnungen machen wir uns also an die Arbeit. Um genauere Ergebnisse zu erhalten, haben wir den Teich an zwei Stellen vermessen.

Angenommen, wir müssen den Abstand vom Punkt A am Ufer, an dem wir stehen, zum Punkt ermittelnBliegt am gegenüberliegenden Flussufer. Dazu wählen wir den Punkt C an „unserem“ Ufer aus und messen gleichzeitig das resultierende Segment AC. Dann messen wir mit einem Astrolabium die Winkel A und C. Wir bauen ein Dreieck auf einem Blatt Papier A 1 B 1 C 1 , so dass 1 Kriterium der Ähnlichkeit von Dreiecken eingehalten wird (in 2 Winkeln). Ecke Eine 1 ist gleich Winkel A und WinkelC 1 gleich WinkelC. Seiten messen A 1 B 1 Und A 1 C 1 Dreieck A 1 B 1 C 1 .Da DreieckeABCUnd A 1 B 1 C 1 sind also ähnlichAB/ A 1 B 1 = A.C./ A 1 C 1 , wo wir hinkommenAB = A.C.* A 1 B 1 / A 1 C 1 Diese Formel ermöglicht, basierend auf bekannten EntfernungenA.C., A 1 C 1 Und A 1 B 1 Finden Sie die EntfernungAB.

Geräte:

Astrolabium, Demonstrationslineal (oder z. B. ein ca. 4 m langes Seil).

Vorläufige Messungen:

Wir haben den Teich an zwei Stellen gemessen, daher beschreiben wir jede Messung der Reihe nach.

1) Nehmen Sie einen beliebigen Punkt am gegenüberliegenden Ufer, der sich in der Nähe der Teich- und Bodengrenze befindet, beispielsweise ein kleines Loch oder, wenn im Voraus vorbereitet, einen in den Boden getriebenen Pflock, einen Meilenstein.

Es stellte sich heraus, dass es 88 Grad waren, wir haben den ersten Winkel. Auf die gleiche Weise messen wir den Winkel C, indem wir das Gerät auf Punkt C platzieren, der sich in einem Abstand von 4 Metern von Punkt A befindet. C. 70 Grad. Und tatsächlich endeten hier die Messungen.

2) An der zweiten Stelle, wo wir die Breite des Flusses gemessen haben, haben wir Winkel erhalten, die ungefähr denen im ersten Fall entsprechen: A = 90, C = 70 Grad.

Berechnungen:

Zeichne ein DreieckA 1 B 1 C 1 , in dem der Winkel Eine 1 =88 und der WinkelC 1 =70 Grad. LiniensegmentA 1 C 1 Zur Vereinfachung der Messung nehmen wir 4 Zentimeter. Jetzt messen wir das SegmentA 1 B 1 . Es stellte sich heraus, dass es ungefähr 11 cm waren. Wir rechnen die Ergebnisse in Meter um und sammeln sie im Verhältnis:

AB/A 1 B 1 = Wechselstrom/A 1 C 1

AB-? ;A 1 B 1 =0,11 M; AC=4M; A 1 C 1 =0,04 M.

Wir drücken ausAB:

AB =AC*A 1 B 1 / A 1 C 1 ;

AB=4*0,11/0,04;

AB=0,44/0,04=11m

Im ersten Fall beträgt die Breite des Teiches also 11 m.

Nach der gleichen Methode ermitteln wir alle Seiten und ermitteln die Proportionen. Da die Winkel jedoch ungefähr gleich sind, fielen die Ergebnisse gleich aus. Also haben wir die Breite des Teiches an zwei Stellen gemessen und ein Ergebnis erhalten: 11 Meter.

Vorhin habe ich angegeben, dass die Länge des Baggerauslegers 10 Meter beträgt, d. h. Es reicht völlig aus, den Teich von einem Ufer aus zu reinigen.

Ich gehe also davon aus, dass die Geometrie und in diesem Fall die Ähnlichkeit von Dreiecken zur Lösung beiträgt soziale Probleme Rechts. Ich habe bewiesen, dass man mit Hilfe von Ähnlichkeiten die Höhe von Gebäuden und die Breite eines Teiches berechnen kann.

Schließlich möchten Sie manchmal wirklich, dass Ihre Heimat, der Ort, an dem Sie und ich leben, in neuen Farben erstrahlt und Sie stolz macht. Ich möchte irgendwohin zu einem Fluss oder Teich gehen und schwimmen gehen, ohne Angst um meine Gesundheit haben zu müssen. Ich möchte stolz auf mein kleines Mutterland sein. Und dafür müssen wir alle versuchen. Alles in unseren Händen.

Ich habe verschiedene Möglichkeiten untersucht, die Höhe und Breite von Objekten auf dem Boden mithilfe von Dreiecksähnlichkeiten zu messen

Abschluss

Ich habe viel über die Verwendung von Dreiecksähnlichkeiten gelernt.

Wie finde ich die Entfernung zu einem unzugänglichen Punkt? Wie kann man den Abstand zwischen zwei unzugänglichen Punkten A und B ermitteln, indem man ähnliche Dreiecke konstruiert? Wie finde ich die Höhe eines Objekts, dessen Basis angefahren werden kann?

Die Lösung solcher Probleme trägt zur Entwicklung des logischen Denkens, der Fähigkeit, eine Situation zu analysieren, und der Verwendung der Methode der Ähnlichkeit von Dreiecken bei ihrer Lösung bei, wodurch die mathematische Kultur verbessert und mathematische Fähigkeiten entwickelt werden.Sie können das von mir überprüfte geometrische Material sowohl im Geometrie- und Physikunterricht als auch zur Vorbereitung auf die staatliche Abschlussprüfung verwenden.

Geometrie ist eine Wissenschaft, die alle Eigenschaften von Kristallglas besitzt, gleichermaßen transparent in der Argumentation, tadellos in den Beweisen, klar in den Antworten und vereint auf harmonische Weise die Transparenz des Denkens und die Schönheit des menschlichen Geistes. Geometrie ist keine vollständig verstandene Wissenschaft, und vielleicht erwarten Sie viele Entdeckungen.

Literatur:

1. Glazer G.I. Geschichte der Mathematik in der Schule 7-8 Klassen. - M.: Bildung, 1982.-240 S.

2. Savin A.P. Ich erkunde die Welt – M.: LLC Publishing House AST-LTD, 1998.-480 S.

3. Savin A.P. Enzyklopädisches Wörterbuch junger Mathematiker. - M.: Pädagogik, 1989, - 352 S.

4. Atanasyan L.S. und andere. Geometrie 7-9: Lehrbuch. für die Allgemeinbildung Institutionen. - M.: Bildung, 2005, -245 S.

5. G. I. Bavrin. Tolles Nachschlagewerk für Schulkinder. Mathematik. M. Trappe. 2006 435s

6.Ja. I. Perelman. Interessante Geometrie. Domodedowo. 1994 11-27s.

7. http:// canegor. urc. ac. ru/ zg/59825123. html

Die Arbeit basiert auf der Untersuchung der Möglichkeit, die Ähnlichkeit von Dreiecken im wirklichen Leben zu nutzen, es wurden Experimente zur Längenmessung mit einem Höhenmesser durchgeführt.

„11Sushko-t.doc“

ÄHNLICHKEIT VON DREIECKEN IM WIRKLICHEN LEBEN

Sushko Daria Olegovna

Schüler der 8. Klasse

KU „Arbeitsschutz“ICH - III Stufen Nr. 11, Yenakievo"

Ikaeva Marina Alexandrowna

Mathematiklehrer,II Kategorie

KU „Arbeitsschutz“ICH - III Stufen Nr. 11, Yenakievo"

[email protected]

Die Geometrie hat ihren Ursprung in der Antike. Auch die Welt, in der wir heute leben, ist voller Geometrie. Alle Objekte um uns herum haben geometrische Formen. Dies sind Gebäude, Straßen, Pflanzen, Haushaltsgegenstände. Die Relevanz meines Themas liegt in der Tatsache, dass man ohne Hilfsmittel und nur auf der Grundlage der Ähnlichkeit von Dreiecken die Höhe einer Säule, eines Glockenturms, eines Baumes, die Breite eines Flusses, eines Sees, einer Schlucht und die Länge eines Baumes messen kann Insel, die Tiefe eines Teiches usw.

Ziel der Arbeit war es, Anwendungsbereiche der Dreiecksähnlichkeit zu finden wahres Leben.

Die Ziele der Arbeit waren

Objekte und Forschungsgegenstände : Höhe: Säule; Baum, Pyramidenmodell.

Bei der Arbeit kamen folgende Methoden zum Einsatz: Literaturrecherche, praktische Arbeit, Vergleich.

Die Arbeit ist praxisorientiert, da praktische Bedeutung Arbeit ist die Möglichkeit, die Forschungsergebnisse im Geometrieunterricht zu nutzen, in Alltagsleben.

Als Ergebnis der Arbeit wurden Messungen der Höhe eines Pfostens, eines Baumes und vom Autor angefertigte Modelle durchgeführt.

Dokumentinhalte anzeigen

Inhalt:

Einführung

Das Konzept der Ähnlichkeit von Figuren. Anzeichen von Ähnlichkeit.

4.1 Höhenbestimmung anhand des Schattens

4.2. Höhenmessung mit der Jules-Verne-Methode

4.3. Höhenmessung mit einem Höhenmesser

5. Schlussfolgerungen

Einführung.

Die Geometrie hat ihren Ursprung in der Antike. Beim Bau von Wohnhäusern und Tempeln, beim Verzieren mit Ornamenten, beim Markieren des Bodens, beim Messen von Entfernungen und Flächen nutzten die Menschen ihr aus Beobachtungen und Experimenten gewonnenes Wissen über die Form, Größe und relative Position von Objekten. Auch die Welt, in der wir heute leben, ist voller Geometrie. Alle Objekte um uns herum haben geometrische Formen. Dies sind Gebäude, Straßen, Pflanzen, Haushaltsgegenstände. Im Alltag begegnen uns oft Figuren gleicher Form, aber unterschiedlicher Größe. Solche Figuren in der Geometrie werden als ähnlich bezeichnet. Meine Arbeit ist der Ähnlichkeit von Dreiecken gewidmet, da ich mich während der Beschäftigung mit diesem Thema im Mathematikunterricht dafür interessierte, wie das Konzept der Ähnlichkeit von Dreiecken und die Ähnlichkeitszeichen in der Praxis verwendet werden. Die Relevanz meines Themas besteht darin, dass Sie ohne Werkzeug die Höhe einer Säule, eines Glockenturms, eines Baums, die Breite eines Flusses, eines Sees, einer Schlucht, die Länge einer Insel, die Tiefe eines Teichs usw. messen können.

Die Ziele meiner Arbeit waren

Literatur zu diesem Thema studieren;

Studieren Sie die Geschichte des Ähnlichkeitsbegriffs;

Finden Sie heraus, wo die Ähnlichkeit von Dreiecken verwendet wird.

Messen Sie die Höhe der Säule anhand der Ähnlichkeit von Dreiecken auf verschiedene Weise.

2. Die Legende von Thales, der die Höhe der Pyramide misst.

Es gibt viel mit der Pyramide zu tun. geheimnisvolle Geschichten und Legenden. Eines heißen Tages ging Thales zusammen mit dem Oberpriester des Isis-Tempels an der Cheops-Pyramide vorbei.

„Sehen Sie“, fuhr Thales fort, „zu diesem Zeitpunkt ist sein Schatten, egal welches Objekt wir nehmen, wenn wir es vertikal platzieren, genau die gleiche Höhe wie das Objekt!“ Um den Schatten zur Lösung des Problems der Höhe der Pyramide zu nutzen, musste man bereits einiges wissen geometrische Eigenschaften Dreiecke, nämlich die folgenden zwei (von denen Thales selbst das erste entdeckte):

1. Dass die Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks gleich sind und umgekehrt – dass die Seiten, die den gleichen Winkeln des Dreiecks gegenüberliegen, einander gleich sind; 2. Dass die Summe der Winkel eines Dreiecks gleich zwei rechten Winkeln ist.

Nur Thales, ausgestattet mit diesem Wissen, hatte das Recht zu dem Schluss, dass, wenn sein eigener Schatten gleich seiner Höhe ist, die Sonnenstrahlen in einem Winkel von einer halben Geraden auf den ebenen Boden treffen und daher die Spitze der Pyramide in der Mitte liegt Seine Basis und das Ende seines Schattens müssen ein gleichschenkliges Dreieck bilden. Das auf einfache Weise Es erscheint sehr praktisch, an einem klaren, sonnigen Tag einsame Bäume zu messen, deren Schatten nicht mit dem Schatten benachbarter Bäume verschmilzt. Doch in unseren Breitengraden ist es nicht so einfach wie in Ägypten, auf den richtigen Moment dafür zu warten: Unsere Sonne steht tief über dem Horizont, und nur in den Nachmittagsstunden der Sommermonate fallen Schatten in der Höhe der Objekte, die sie werfen . Daher ist die Methode von Thales in der angegebenen Form nicht immer anwendbar.

Die auf der Beziehungs- und Proportionstheorie basierende Lehre von der Ähnlichkeit von Figuren entstand im Jahr 1940 Antikes Griechenland im V-IV Jahrhundert. Chr e. Es ist in Buch VI von Euklids Elementen (III. Jahrhundert v. Chr.) dargelegt, das mit der folgenden Definition beginnt: „Ähnliche geradlinige Figuren sind solche, die jeweils gleiche Winkel und proportionale Seiten haben.“

3. Das Konzept ähnlicher Figuren.

Im Leben begegnen uns nicht nur gleiche Figuren, sondern auch solche, die die gleiche Form, aber unterschiedliche Größen haben. Die Geometrie nennt solche Figuren ähnlich. Ähnliche Dreiecke sind Dreiecke, bei denen die Winkel jeweils gleich sind und die Seiten des einen proportional zu den ähnlichen Seiten des anderen Dreiecks sind. Dreiecksähnlichkeitsmerkmale sind geometrische Merkmale, mit denen Sie feststellen können, dass zwei Dreiecke ähnlich sind, ohne alle Elemente zu verwenden.

Ähnlichkeitszeichen von Dreiecken.

4. Messung der Arbeit mithilfe von Ähnlichkeit.

4.1. Höhenbestimmung anhand des Schattens.

Ich beschloss, ein Experiment durchzuführen, um die Höhe anhand des Schattens zu bestimmen.

Dazu brauchte ich: eine Taschenlampe, ein Pyramidenmodell und eine Figur. Eine Miniaturpyramide für Experimente herzustellen ist nicht schwierig. Ich brauchte: ein Blatt Papier; Bleistift; Herrscher; Schere; Kleber für Papier. Auf einem Blatt Papier habe ich ein Pyramidendiagramm erstellt, dessen Basis ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 7,6 cm ist und dessen Tankkanten gleich sind gleichschenklige Dreiecke mit einer Seitenlänge von 9,6 cm. Die Höhe der resultierenden Pyramide beträgt 7,9 cm. Die Höhe der Figur beträgt 8,1 cm. Versuchen wir, die Höhe dieser Pyramide anhand ihres Schattens zu messen, wobei wir auch den Schatten der Figur verwenden. An einem sonnigen Tag habe ich den Schatten der Pyramide und der Figur gemessen. Ich habe es verstanden: 15 cm – der Schatten der Figur, 13 cm – der Schatten der Pyramide.

Lassen Sie uns ein geometrisches Modell dieses Problems erstellen:

, ∠ АСО= ∠ MLK als Einfallswinkel der Sonnenstrahlen, also in zwei Winkeln.

Lassen Sie uns nun die Höhe der Pyramide auf andere Weise ermitteln, um die Ergebnisse zu vergleichen. Ermitteln wir die Höhe der Seitenfläche: AB=

Daraus ermitteln wir die Höhe AO =

Wir haben nahezu identische Ergebnisse erhalten. Nachdem ich diese Ergebnisse erhalten hatte, beschloss ich, die Höhe der Stange im Freien zu messen.

Ich wählte eine Säule, von der ein deutlicher Schatten fiel, und vermaß sie. Es waren 21 m. Dann stand ich neben der Stange und mein Assistent maß meinen Schatten, er war 4,5 Meter. Meine Körpergröße betrug unter Berücksichtigung der Tatsache, dass ich Schuhe und einen Hut trug, 1,6 Meter.

Lassen Sie uns die Höhe der Säule ermitteln, indem wir ein geometrisches Modell des Problems erstellen.

Betrachten wir KO – die Länge meines Schattens, BC – die Länge des Schattens der Säule. AB – das Gewünschte.

∠АВС=∠МКО= als Einfallswinkel der Sonnenstrahlen.

4.2. Messung der Höhe einer Pyramide mit der Jules-Verne-Methode.

„Die geheimnisvolle Insel“ beschreibt eine interessante Methode zur Bestimmung der Höhe: „Der junge Mann, der versuchte, so viel wie möglich zu lernen, folgte dem Ingenieur, der von der Granitwand zum Ufer hinabstieg. Der Ingenieur nahm eine gerade, 12 Fuß lange Stange und maß sie so genau wie möglich ab und verglich sie mit seiner eigenen Körpergröße, die ihm wohlbekannt war. Herbert trug das Lot hinter sich her, das ihm der Ingenieur gegeben hatte: nur einen Stein, der an das Ende eines Seils gebunden war. Der Ingenieur reichte nicht mehr als 500 Fuß von der senkrecht aufragenden Granitwand entfernt, steckte einen Pfahl etwa 60 cm in den Sand und nachdem er ihn fest befestigt hatte, stellte er ihn mit Hilfe eines Lotes senkrecht auf. Dann entfernte er sich von dem Pfosten zu Eine solche Entfernung, dass er im Sand liegend in einer geraden Linie liegen konnte. Linien, um sowohl das Ende der Stange als auch die Kante des Bergrückens zu sehen. Diesen Punkt markierte er sorgfältig mit einem Stift.

Sind Sie mit den Grundlagen der Geometrie vertraut? - fragte er Herbert und erhob sich vom Boden.

Erinnern Sie sich an die Eigenschaften ähnlicher Dreiecke?

Ihre ähnlichen Seiten sind proportional. - Rechts. Also: Jetzt werde ich zwei ähnliche rechtwinklige Dreiecke bauen. Das kleinere Modell hat auf einem Bein eine vertikale Stange und auf dem anderen den Abstand vom Pflock zur Basis der Stange. Die Hypotenuse ist meine Sichtlinie. Die Beine eines anderen Dreiecks werden sein: eine vertikale Wand, deren Höhe wir bestimmen möchten, und den Abstand vom Pflock zur Basis dieser Wand; Die Hypotenuse ist die Sichtlinie, die mit der Richtung der Hypotenuse des ersten Dreiecks übereinstimmt.

Verstanden!“, rief der junge Mann. „Der Abstand vom Pflock zur Stange hängt vom Abstand vom Pflock zum Fuß der Wand ab, so wie die Höhe des Pfostens mit der Höhe der Wand korreliert.“ - Ja. Wenn wir also die ersten beiden Abstände messen, können wir, wenn wir die Höhe des Pfostens kennen, den vierten, unbekannten Term des Verhältnisses berechnen, d. h. die Höhe der Wand. Auf die direkte Messung dieser Höhe verzichten wir daher. Es wurden beide horizontalen Abstände gemessen, wobei der kürzere 15 Fuß und der längere 500 Fuß betrug. Am Ende der Messungen machte der Ingenieur folgenden Eintrag:

4.3 Höhenbestimmung mit einem Höhenmesser

Die Höhe kann mit einem speziellen Gerät gemessen werden – einem Höhenmesser. Um dieses Gerät herzustellen, benötigen Sie: Dicker weißer Karton, Lineal, Kugelschreiber, Bleistift, Schere, Faden, Gewicht, Nadel.

7. Darauf biegen wir zwei Rechtecke mit den Seitenmaßen 3x5 cm und schneiden zwei Löcher mit unterschiedlichen Durchmessern: ein kleineres – in der Nähe des Auges, das andere größere – um auf die Spitze des Baumes zu zeigen. Also beschloss ich, ein Experiment durchzuführen und diese Methode zur Messung der Höhe eines Objekts zu testen. Als Messobjekt wählte ich einen Baum, der in der Nähe der Schule wächst.

Ich habe mich 21 Schritte vom Messobjekt entfernt, also EO = 6,3 m. Ich habe die Messwerte des Geräts gemessen, es zeigte 0,7 an. Ich bin 1,6 m groß. Ich muss die Höhe des Baumes ermitteln.

Dazu erstellen wir ein geometrisches Modell dieses Problems:

=

Fügen wir meine Körpergröße zum resultierenden Wert hinzu und erhalten: LV=LO+OB=3,71

1,6=5,31 – Baumhöhe.

Außerdem könnten mir bei der Verwendung des Geräts Fehler unterlaufen sein. Fehler bei der Verwendung und Herstellung des Geräts:

1.Wenn Sie das obere Rechteck nicht von der Basis aus biegen, bestimmen Sie die Höhe falsch.

2.Bei der Messung der Höhe eines Objekts muss das Gewicht auf einen bestimmten Markierungswert ausgerichtet sein.

3. Der Abstand zum zu messenden Objekt muss genau sein.

4. Bringen Sie 1-cm-Markierungen genau an.

Das Experiment zeigte, dass die Methode zur Bestimmung der Höhe eines Objekts mithilfe eines Höhenmessers genauer und bequemer ist.

5. Schlussfolgerungen.

Literatur

5. Perelman Ya. I. Unterhaltsame Geometrie. – M.: Staatlicher Verlag für technische und theoretische Literatur, 1950
Es gibt drei Möglichkeiten, die Höhe eines Baumes zu messen.

1. Allgemeines Wörterbuch Russische Sprache [ Elektronische Ressource]. – Zugriffsmodus: http://tolkslovar.ru/p22702.html

Dokumentinhalte anzeigen
"Titelblatt"

Kommunale Einrichtung“ Allgemein bildende Schule Etappen I-III Nr. 11, Enakievo“

„Mathematik um uns herum“

Kreative Arbeit zum Thema

„Ähnlichkeit von Dreiecken im wirklichen Leben“

Durchgeführt

Schüler der 8. Klasse

Sushko Daria

Aufsicht

Mathematiklehrer

Ikaeva Marina Alexandrowna

Enakievo 2017

Präsentationsinhalte anzeigen
„Ähnlichkeit von Dreiecken im wirklichen Leben“

Einrichtung „Gesamtschule der Stufen І-ІІІ Nr. 11, Enakievo“

Wettbewerb studentischer Kreativprojekte

„Mathematik um uns herum“

Kreative Arbeit zum Thema

„Ähnlichkeit von Dreiecken im wirklichen Leben“

Durchgeführt

Schüler der 8. Klasse

Sushko Daria

Aufsicht

Mathematiklehrer

Ikaeva Marina Alexandrowna

Enakievo 2017

Das Ziel meiner Arbeit war es, Anwendungsbereiche der Dreiecksähnlichkeit im wirklichen Leben zu finden.

Die Ziele meiner Arbeit waren

• Literatur zu diesem Thema studieren;
• Studieren Sie die Geschichte des Ähnlichkeitsbegriffs;
• Finden Sie heraus, wo die Ähnlichkeit von Dreiecken verwendet wird.
• Messen Sie die Höhe der Säule anhand der Ähnlichkeit von Dreiecken auf verschiedene Weise.

Die Legende von Thales, der die Höhe der Pyramide misst

Eines heißen Tages ging Thales zusammen mit dem Oberpriester des Isis-Tempels an der Cheops-Pyramide vorbei.

Weiß jemand, wie hoch es ist? - fragte er.

Nein, mein Sohn“, antwortete ihm der Priester, „die alten Papyri haben das nicht für uns aufbewahrt.“ „Aber Sie können die Höhe der Pyramide jetzt sehr genau bestimmen!“, rief Thales aus.

„Sehen Sie“, fuhr Thales fort, „zu diesem Zeitpunkt ist sein Schatten, egal welches Objekt wir nehmen, wenn wir es vertikal platzieren, genau die gleiche Höhe wie das Objekt!“

Konzept Ähnlichkeiten Figuren

Ähnliche Dreiecke sind Dreiecke, bei denen die Winkel jeweils gleich sind und die Seiten des einen proportional zu den ähnlichen Seiten des anderen Dreiecks sind.

Zwei Figuren heißen ähnlich, wenn sie durch eine Ähnlichkeitstransformation ineinander umgewandelt werden

Dreiecksähnlichkeitsmerkmale sind geometrische Merkmale, mit denen Sie feststellen können, dass zwei Dreiecke ähnlich sind, ohne alle Elemente zu verwenden.

Wenn zwei Winkel eines Dreiecks jeweils gleich zwei Winkeln eines anderen sind, dann sind solche Dreiecke ähnlich.

Wenn zwei Seiten eines Dreiecks proportional zu zwei Seiten eines anderen Dreiecks sind und die Winkel zwischen diesen Seiten gleich sind, dann sind die Dreiecke ähnlich.

Wenn drei Seiten eines Dreiecks proportional zu drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind die Dreiecke ähnlich.

Höhenmessung anhand des Schattens

Ausgangsdaten des Problems: Die Länge des Schattens der Pyramide BC = 11 cm, die Länge des Schattens der Figur KL = 15 cm, die Höhe der Figur KM = 8 cm, die Basis der Pyramide ist ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 7,6 cm. Die Höhe der Pyramide AO ist die erforderliche.

Lassen Sie uns überlegen rechtwinklige Dreiecke AOS und MKL:

, ∠ АСО= ∠ МЛК als Einfallswinkel der Sonnenstrahlen, also in zwei Winkeln.

Die Höhe einer Säule anhand ihres Schattens messen

Betrachten wir: KO ist die Länge meines Schattens, BC ist die Länge des Schattens der Säule. AB – das Gewünschte.

∠ ABC = ∠ MKO = als Einfallswinkel der Sonnenstrahlen.

Somit kam ich auf einen ungefähren Wert der Pfeilerhöhe von 7,46 m.

Höhenmessung mit der Jules-Verne-Methode

Bei dieser Methode wird eine Stange in den Boden getrieben und so auf den Boden gelegt, dass das obere Ende der Stange und die Oberseite des zu messenden Objekts sichtbar sind. Messen Sie den Abstand von der Stange zum Objekt, messen Sie die Höhe der Stange und den Abstand von der Oberseite des Kopfes der Person bis zur Basis der Stange.

In Jules Vernes Roman „Die geheimnisvolle Insel“ wurden beide horizontalen Abstände gemessen: Der kleinere betrug 15 Fuß, der größere 500 Fuß. Am Ende der Messungen machte der Ingenieur folgenden Eintrag:

15: 500 = 10:x, 500 x 10 = 5000, 5000: 15 = 333,3.

Höhenmessung mit einem Höhenmesser

1. Zeichnen Sie ein Quadrat mit den Maßen 15 x 15 cm aus Pappe und schneiden Sie es aus.

2. Teilen Sie das Quadrat in zwei Rechtecke: 5x15 cm, 10x15 cm.

3. Teilen Sie ein 10x15 cm großes Rechteck in zwei Teile: 5 cm und 10 cm.

4. Auf dem größeren Teil mit einer Länge von 10 cm Zentimetereinteilungen anbringen und diese markieren Dezimal, also 0,1;0,2 usw.

5. An Punkt E mit einer Nadel ein Loch bohren, den Faden und das Gewicht durchziehen und den Faden dann hinten befestigen.

6. Um die Betrachtung zu erleichtern, biegen Sie das obere Rechteck von der Basis ab.

7. Darauf biegen wir zwei Rechtecke mit den Seitenmaßen 3x5 cm und schneiden zwei Löcher mit unterschiedlichen Durchmessern: ein kleineres – in der Nähe des Auges, das andere größere – um auf die Spitze des Baumes zu zeigen.

Höhenmessung mit einem Höhenmesser

Um die Höhe des LV zu ermitteln, müssen Sie Ihre Körpergröße zum LO addieren.

LV=LO+OV=3,71+1,6=5,31 – Baumhöhe.

Schlussfolgerungen:

Nach Abschluss meiner Arbeit erfuhr ich, dass es viele gibt auf verschiedene Arten Bestimmung der Höhe eines Objekts. Ich habe ein Experiment durchgeführt, um die Höhe eines Objekts anhand seines Schattens zu bestimmen. Ich habe den Test zu Hause an einem Pyramiden- und Figurenmodell sowie auf der Straße beim Messen der Höhe einer Säule durchgeführt. Außerdem habe ich mir Jules Vernes Methode zur Bestimmung der Körpergröße angesehen. Ich habe das Konzept eines Höhenmessers studiert und ein Höhenmessergerät hergestellt, das ich in der Praxis zur Messung der Höhe eines ausgewählten Objekts verwendet habe. Die bequemste Art, die Höhe zu messen, war für mich die Verwendung eines Höhenmessers. Somit wurden die Ziele meiner Arbeit erreicht. Wir können mit Sicherheit sagen, dass die Ähnlichkeit von Dreiecken im wirklichen Leben bei der Messung von Arbeiten am Boden genutzt wird.

Literatur:

1. Glazer G.I. Geschichte der Mathematik in der Schule. – M.: Verlag „Prosveshcheniye“, 1964.

2. Perelman Ya. I. Unterhaltsame Geometrie. – M.: Staatlicher Verlag für technische und theoretische Literatur, 1950.

3.J.Vern. Geheimnisvolle Insel. - M: Kinderliteraturverlag, 1980.

4. Geometrie, 7 – 9: Lehrbuch. für die Allgemeinbildung Institutionen / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev et al. – 18. Auflage. – M.: Bildung, 2010 Verwendete Materialien und Internetressourcen.

5. Perelman Ya. I. Unterhaltsame Geometrie. – M.: Staatlicher Verlag für technische und theoretische Literatur, 1950 Sie können die Höhe eines Baumes auf drei Arten messen.

1. Allgemeines erklärendes Wörterbuch der russischen Sprache [Elektronische Ressource]. - Zugriffsmodus: http://tolkslovar.ru/p22702.html

2. Abbildung 2 [Elektronische Ressource]. – Zugriffsmodus: http://www.dopinfo.ru

DANKE