للقياسات المباشرة

1. دع جهدين يقاسان مرة واحدة على الفولتميتر ش 1 = 10 فولت، ش 2 = 200 فولت. يتميز الفولتميتر بالخصائص التالية: فئة الدقة d فئة t = 0.2، شالحد الأقصى = 300 فولت.

دعونا نحدد الأخطاء المطلقة والنسبية لهذه القياسات.

وبما أن كلا القياسين تم إجراؤهما على نفس الجهاز، فإن D ش 1 = د ش 2 ويتم حسابها باستخدام الصيغة (ب.4)

وفقا للتعريف، والأخطاء النسبية ش 1 و ش 2 متساوون على التوالي

ε 1 = 0.6 ∙ فولت / 10 فولت = 0.06 = 6%،

ε 2 = 0.6 ∙ فولت / 200 فولت = 0.003 = 0.3%.

من النتائج المعطاة للحسابات ε 1 و ε 2 يتضح أن ε 1 أكبر بكثير من ε 2.

يؤدي هذا إلى القاعدة: يجب عليك اختيار جهاز به حد قياس بحيث تكون القراءات في الثلث الأخير من المقياس.

2. دع بعض الكمية تقاس عدة مرات، أي يتم إنتاجها نالقياسات الفردية لهذه الكمية فأس 1 ، فأس 2 ,...,فأس 3 .

ثم لحساب الخطأ المطلق يتم تنفيذ العمليات التالية:

1) باستخدام الصيغة (ب.5) تحديد قيمة الوسط الحسابي أ 0 القيمة المقاسة؛

2) احسب مجموع الانحرافات التربيعية للقياسات الفردية عن الوسط الحسابي الموجود، وباستخدام الصيغة (ب.6)، حدد جذر متوسط ​​مربع الخطأ، الذي يميز الخطأ المطلق لقياس واحد لقياسات مباشرة متعددة لقيمة معينة ;

3) يتم حساب الخطأ النسبي ε باستخدام الصيغة (B.2).

حساب الخطأ المطلق والنسبي

بالقياس غير المباشر

يعد حساب الأخطاء في القياسات غير المباشرة مهمة أكثر صعوبة، حيث أن القيمة المطلوبة في هذه الحالة هي دالة للكميات المساعدة الأخرى، والتي يكون قياسها مصحوبًا بظهور أخطاء. عادة، في القياسات، باستثناء الأخطاء، تكون الأخطاء العشوائية صغيرة جدًا مقارنة بالقيمة المقاسة. فهي صغيرة جدًا بحيث تكون الثانية أو أكثر درجات عاليةالأخطاء تقع خارج نطاق دقة القياس ويمكن إهمالها. نظرا لصغر الأخطاء في الحصول على صيغة الخطأ
تُستخدم طرق حساب التفاضل والتكامل لقياس كمية تم قياسها بشكل غير مباشر. عند قياس كمية ما بشكل غير مباشر، عندما يتم قياس الكميات المرتبطة ببعض العلاقات الرياضية المرغوبة بشكل مباشر، فمن الملائم أكثر تحديد الخطأ النسبي أولاً ثم
باستخدام الخطأ النسبي الموجود، احسب خطأ القياس المطلق.

يوفر حساب التفاضل والتكامل أبسط طريقة لتحديد الخطأ النسبي في القياس غير المباشر.

اتركي الكمية المطلوبة أيرتبط بالاعتماد الوظيفي مع عدة كميات مستقلة قابلة للقياس مباشرة س 1 ,
س 2 , ..., س ك، أي.

أ= F(س 1 , س 2 , ..., س ك).

لتحديد الخطأ النسبي للقيمة أخذ اللوغاريتم الطبيعي لطرفي المساواة

ln أ= سجل F(س 1 , س 2 , ..., س ك).

ثم يتم حساب الفرق اللوغاريتم الطبيعيالمهام
أ= F(س 1 ,س 2 , ..., س ك),

dln أ=dln F(س 1 , س 2 , ..., س ك)

يتم تنفيذ جميع التحويلات والتبسيطات الجبرية الممكنة في التعبير الناتج. بعد ذلك، يتم استبدال جميع رموز التفاضل d برموز الخطأ D، ويتم استبدال الإشارات السالبة أمام تفاضلات المتغيرات المستقلة بأخرى موجبة، أي يتم أخذ الحالة الأكثر سلبية، عندما يتم جمع جميع الأخطاء. في هذه الحالة، يتم حساب الحد الأقصى للخطأ في النتيجة.

مع ذلك قال

ولكن ε = د أ / أ

هذا التعبيرهي صيغة الخطأ النسبي للكمية أوفي القياسات غير المباشرة، فإنه يحدد الخطأ النسبي للقيمة المطلوبة، من خلال الأخطاء النسبية للقيم المقاسة. وبعد حساب الخطأ النسبي باستخدام الصيغة (ب.11)،
تحديد الخطأ المطلق للقيمة أكمنتج للخطأ النسبي والقيمة المحسوبة أأي.

د أ = ε أ، (في 12)

حيث يتم التعبير عن ε كرقم بلا أبعاد.

لذلك، ينبغي حساب الأخطاء النسبية والمطلقة للكمية المقاسة بشكل غير مباشر بالتسلسل التالي:

1) خذ الصيغة التي يتم من خلالها حساب القيمة المطلوبة (صيغة الحساب)؛

2) خذ اللوغاريتم الطبيعي لطرفي الصيغة الحسابية؛

3) محسوبة التفاضلية الكاملةاللوغاريتم الطبيعي للكمية المطلوبة؛

4) يتم تنفيذ جميع التحويلات والتبسيطات الجبرية الممكنة في التعبير الناتج؛

5) يتم استبدال رمز التفاضل d برمز الخطأ D، بينما يتم استبدال جميع العلامات السالبة أمام تفاضل المتغيرات المستقلة بأخرى موجبة (قيمة الخطأ النسبي ستكون الحد الأقصى) وتكون صيغة الخطأ النسبي مُقتَنىً؛

6) يتم حساب الخطأ النسبي للقيمة المقاسة؛

7) بناءً على الخطأ النسبي المحسوب، يتم حساب الخطأ المطلق للقياس غير المباشر باستخدام الصيغة (ب.12).

دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة لحساب الأخطاء النسبية والمطلقة في القياسات غير المباشرة.

1. الكمية المطلوبة أالمتعلقة بكميات قابلة للقياس مباشرة X, في, ضنسبة

أين أو ب- القيم الثابتة.

2. خذ اللوغاريتم الطبيعي للتعبير (ب.13)

3. احسب التفاضل الإجمالي للوغاريتم الطبيعي للكمية المطلوبة أأي أننا نفرق (ب.13)

4. نقوم بإجراء التحولات. باعتبار أن د أ= 0 منذ ذلك الحين أ= ثابت، كوس في/الخطيئة ذ=ctg ذ، نحن نحصل:

5. استبدال الرموز التفاضلية برموز الخطأ وعلامة الطرح أمام التفاضل بعلامة الزائد.

6. نحسب الخطأ النسبي للقيمة المقاسة.

7. بناءً على الخطأ النسبي المحسوب، يتم حساب الخطأ المطلق للقياس غير المباشر وفق الصيغة (ب.12)، أي.

يتم تحديد الطول الموجي اللون الأصفراستخدام الخط الطيفي للزئبق صريف الحيود(باستخدام التسلسل المقبول لحساب الأخطاء النسبية والمطلقة لطول الموجة الصفراء).

1. يتم تحديد الطول الموجي للون الأصفر في هذه الحالة بالصيغة:

أين مع- ثابت محزوز الحيود (القيمة المقاسة بشكل غير مباشر)؛ φ ث – زاوية حيود الخط الأصفر للداخل في هذا التسلسلالطيف (الكمية المقاسة مباشرة)؛ كز – ترتيب الطيف الذي تم فيه الرصد.

يتم حساب ثابت صريف الحيود بواسطة الصيغة

أين كح – ترتيب طيف الخط الأخضر؛ з з – الطول الموجي المعروف للون الأخضر ( з з – ثابت)؛ φз – زاوية حيود الخط الأخضر بترتيب طيفي معين (القيمة المقاسة مباشرة).

ثم مع مراعاة التعبير (ب.15)

(ب.16)

أين كح، كز - الأشياء القابلة للملاحظة، والتي تعتبر ثابتة؛ φ ح، φ ث – هم
كميات قابلة للقياس مباشرة.

التعبير (B.16) هو صيغة حسابية للطول الموجي الأصفر المحدد باستخدام محزوز الحيود.

4. د كض = 0؛ د كث = 0؛ د з = 0، منذ ذلك الحين كح، كز و  ح – قيم ثابتة؛

ثم

5. (ب.17)

حيث Dφ w، Dφ h – الأخطاء المطلقة في قياس زاوية حيود اللون الأصفر
وخطوط الطيف الخضراء.

6. احسب الخطأ النسبي للطول الموجي الأصفر.

7. احسب الخطأ المطلق للطول الموجي الأصفر:

د  و = ε  و.

دع الكمية التي يتم قياسها لها قيمة معروفة X. وبطبيعة الحال، تم العثور على القيم الفردية لهذه الكمية أثناء عملية القياس س1 , س2 ,… xnومن الواضح أنها ليست دقيقة تماما، أي. لا تتطابق X. ثم القيمة
سيكون خطأ مطلقا أناالبعد. لكن منذ المعنى الحقيقينتيجة X, عادة لا يكون معروفا، ثم يتم استخدام التقدير الحقيقي للخطأ المطلق بدلا من X متوسط
, والتي يتم حسابها بواسطة الصيغة:

ومع ذلك، بالنسبة لأحجام العينات الصغيرة، بدلاً من ذلك
يفضل استخدامه الوسيط. المتوسط ​​(أنا)هي قيمة المتغير العشوائي x بحيث تكون قيمة نصف النتائج أقل من والنصف الآخر له قيمة أكبر من مه. لكي يحسب مهيتم ترتيب النتائج بترتيب تصاعدي، أي أنها تشكل ما يسمى سلسلة الاختلاف. بالنسبة لعدد فردي من القياسات n، يكون الوسيط مساويًا لقيمة الحد الأوسط من السلسلة. على سبيل المثال،
ل ن = 3

حتى n، القيمة مهيساوي نصف مجموع قيم متوسط ​​النتيجتين. على سبيل المثال،
ل ن = 4

للحساب ساستخدام نتائج التحليل غير المقربة مع منزلة عشرية أخيرة غير دقيقة.
في جدا عدد كبيرعينات ( ن>
) يمكن وصف الأخطاء العشوائية باستخدام قانون التوزيع الغوسي العادي. في صغيرة نقد يختلف التوزيع عن الطبيعي. في الإحصائيات الرياضيةيتم التخلص من عدم الموثوقية الإضافي هذا من خلال تعديل متماثل ر-توزيع. هناك بعض المعاملات ر، ويسمى معامل الطالب، والذي يعتمد على عدد درجات الحرية ( F) واحتمال الثقة ( ر) يسمح لك بالانتقال من عينة إلى مجتمع.
الانحراف المعياري للنتيجة المتوسطة
تحددها الصيغة:

ضخامة

هو فاصل الثقة للمتوسط
. بالنسبة للتحليلات التسلسلية، يُفترض عادةً ر= 0,95.

الجدول 1. قيم معامل الطالب ( ر)

F

مثال 1 . من الضروري حساب محتوى المنغنيز في العينة من خلال عشرة تحديدات الانحراف المعياريتحليل فردي وفاصل ثقة للقيمة المتوسطة Mn%: 0.69؛ 0.68؛ 0.70؛ 0.67؛ 0.67؛ 0.69؛ 0.66؛ 0.68؛ 0.67؛ 0.68.
حل. وباستخدام الصيغة (1)، يتم حساب متوسط ​​قيمة التحليل

حسب الجدول 1 (الملحق) ابحث عن معامل الطالب لـ f=n-1=9 (P=0.95) ر=2.26 وحساب فاصل الثقة للقيمة المتوسطة. وبالتالي، يتم تحديد متوسط ​​قيمة التحليل بالفاصل الزمني (0.679 ± 0.009)٪ Mn.

مثال 2 . متوسط ​​تسعة قياسات لضغط بخار الماء فوق محلول اليوريا عند 20 درجة مئوية هو 2.02 كيلو باسكال. نموذج الانحراف المعياري للقياسات s = 0.04 كيلو باسكال. تحديد عرض فاصل الثقة لمتوسط ​​تسعة وقياس واحد يتوافق مع احتمال الثقة 95%.
حل. معامل t لمستوى الثقة 0.95 وf = 8 هو 2.31. معتبرا أن

و
، نجد:

- سيتم الوثوق بالعرض. الفاصل الزمني للقيمة المتوسطة

- سيتم الوثوق بالعرض. الفاصل الزمني لقياس قيمة واحدة

إذا كانت هناك نتائج تحليل العينات ذات محتويات مختلفة، فمن المتوسطات الجزئية سعن طريق المتوسط ​​يمكنك حساب متوسط ​​القيمة الإجمالية س. نأخذ مالعينات ولكل عينة إجراء نيوجيرسيتعريفات متوازية، يتم عرض النتائج في شكل جدول:

رقم عينة	رقم التحليل

يتم حساب متوسط ​​الخطأ من المعادلة:

مع درجات الحرية F = ن – م، حيث ن - الرقم الإجماليتعريفات ن =م. ني.

مثال 2.احسب متوسط ​​الخطأ في تحديد المنغنيز في خمس عينات من الفولاذ بمحتويات مختلفة. قيم التحليل % Mn:
1. 0,31; 0,30; 0,29; 0,32.
2. 0,51; 0,57; 0,58; 0,57.
3. 0,71; 0,69; 0,71; 0,71.
4. 0,92; 0,92; 0,95; 0,95.
5. 1,18; 1,17; 1,21; 1,19.
حل.وباستخدام الصيغة (1) يتم إيجاد متوسط ​​القيم في كل عينة، ثم يتم حساب الفروق المربعة لكل عينة، ويتم حساب الخطأ باستخدام الصيغة (5).
1)
= (0,31 + 0,30 + 0,29 + 0,32)/4 = 0,305.
2)
= (0,51 + 0,57 + 0,58 + 0,57)/4 = 0,578.
3)
= (0,71+ 0,69 + 0,71 + 0,71)/4 = 0,705.
4)
= (0,92+0,92+0,95+0,95)/4 =0,935.
5)
= (1,18 + 1,17 + 1, 21 + 1,19)/4 = 1,19.

قيم الفروق التربيعية
1) 0,0052 +0,0052 +0,0152 +0,0152 =0,500.10 -3 .
2) 0,0122 +0,0082 +0,0022 +0,0082 =0,276.10 -3 .
3) 0,0052 + 0,0152 + 0,0052 + 0,0052 = 0,300.10 -3 .
4) 0,0152+ 0,0152 + 0,0152 + 0,0152 = 0,900.10 -3 .
5) 0,012 +0,022 +0,022 + 02 = 0,900.10 -3 .
متوسط ​​الخطأ لـ f = 4.5 - 5 = 15

س= 0.014% (المطلق عند F= 15 درجة حرية).

عندما يتم إجراء تحديدين متوازيين لكل عينة ويتم العثور على القيم X"و X"بالنسبة للعينات، يتم تحويل المعادلة إلى تعبير.

الخطأ المطلق والنسبي للأرقام.

كخصائص دقة الكميات التقريبية من أي أصل، يتم تقديم مفاهيم الأخطاء المطلقة والنسبية لهذه الكميات.

دعونا نشير بالتقريب إلى الرقم الدقيق A.

يُعرِّف. وتسمى الكمية خطأ الرقم التقريبيأ.

تعريف. الخطأ المطلق الرقم التقريبي أ يسمى الكمية
.

عادة ما يكون الرقم الدقيق A غير معروف، ولكن يمكننا دائمًا الإشارة إلى الحدود التي يتغير ضمنها الخطأ المطلق.

تعريف. الحد الأقصى للخطأ المطلق الرقم التقريبي a يسمى أصغر الحدود العليا للكمية والتي يمكن العثور عليها باستخدام هذه الطريقة للحصول على الرقم أ.

في الممارسة العملية، كما اختر أحد الحدود العليا لـ ، قريب جدًا من الأصغر.

بسبب ال
، الذي - التي
. في بعض الأحيان يكتبون:
.

الخطأ المطلقهو الفرق بين نتيجة القياس

والقيمة الحقيقية (الحقيقية). الكمية المقاسة.

الخطأ المطلق والحد الأقصى للخطأ المطلق لا يكفيان لوصف دقة القياس أو الحساب. ومن الناحية النوعية، يكون حجم الخطأ النسبي أكثر أهمية.

تعريف. خطأ نسبي نسمي الرقم التقريبي بالكمية:

تعريف. الحد الأقصى للخطأ النسبي الرقم التقريبي لنسميه الكمية

لأن
.

وبالتالي، فإن الخطأ النسبي يحدد فعليًا حجم الخطأ المطلق لكل وحدة من الرقم التقريبي المقاس أو المحسوب a.

مثال.تقريب الأعداد الدقيقة A إلى ثلاثة أرقام معنوية، حدد

الأخطاء المطلقة D والأخطاء النسبية للتقريبية التي تم الحصول عليها

منح:

يجد:

∆- الخطأ المطلق

δ – خطأ نسبي

حل:

=|-13.327-(-13.3)|=0.027

،أ 0

*100%=0.203%

إجابة:=0.027; δ=0.203%

2. التدوين العشري لعدد تقريبي. شخصية هامة. الأرقام الصحيحة من الأرقام (تعريف الأرقام الصحيحة والمهمة، أمثلة؛ نظرية العلاقة بين الخطأ النسبي وعدد الأرقام الصحيحة).

علامات الأرقام الصحيحة.

تعريف. الرقم المهم للرقم التقريبي a هو أي رقم غير الصفر، والصفر إذا كان يقع بين أرقام مهمة أو يمثل منزلة عشرية مخزنة.

على سبيل المثال، في الرقم 0.00507 =
لدينا 3 أرقام معنوية، وفي الرقم 0.005070=
أرقام مهمة، أي الصفر الموجود على اليمين، مع الحفاظ على العلامة العشرية، له أهمية كبيرة.

من الآن فصاعدا، دعونا نتفق على كتابة الأصفار على اليمين إذا كانت ذات أهمية فقط. ثم، بمعنى آخر،

جميع أرقام a مهمة، باستثناء الأصفار الموجودة على اليسار.

في نظام الأعداد العشرية، يمكن تمثيل أي رقم a كمجموع نهائي أو لا نهائي (كسر عشري):

أين
,
- أول رقم مهم، م - عدد صحيح يسمى العلامة العشرية الأكثر أهمية للرقم أ.

على سبيل المثال، 518.3 =، م = 2.

باستخدام الترميز، نقدم مفهوم المنازل العشرية الصحيحة (بالأرقام المهمة) تقريبًا -

في اليوم الأول.

تعريف. يقال أنه في عدد تقريبي a من النموذج n هي أول أرقام مهمة ,

حيث i= m, m-1,..., m-n+1 صحيحة إذا كان الخطأ المطلق لهذا الرقم لا يتجاوز نصف وحدة رقمية معبرًا عنها بالرقم المهم n:

وإلا الرقم الأخير
يسمى مشكوك فيه.

عند كتابة رقم تقريبي دون الإشارة إلى خطأه، يشترط أن تكون جميع الأرقام المكتوبة

كانوا مخلصين. يتم استيفاء هذا الشرط في جميع الجداول الرياضية.

المصطلح "n الأرقام الصحيحة" يصف فقط درجة دقة الرقم التقريبي ولا ينبغي أن يُفهم على أنه يعني أن أول n أرقام مهمة من الرقم التقريبي تتزامن مع الأرقام المقابلة للرقم الدقيق A. على سبيل المثال، ل الأرقام A = 10، a = 9.997، جميع الأرقام المهمة مختلفة، لكن الرقم a يحتوي على 3 أرقام صالحة معنوية. وبالفعل هنا m=0 وn=3 (نجدها بالاختيار).

تقدير أخطاء نتائج القياس

أخطاء القياس وأنواعها

يتم إجراء أي قياسات دائمًا مع بعض الأخطاء المرتبطة بمحدودية دقة أدوات القياس، والاختيار الخاطئ والخطأ في طريقة القياس، وفسيولوجية المجرب، وخصائص الأشياء التي يتم قياسها، والتغيرات في ظروف القياس، وما إلى ذلك. تتضمن مهمة القياس العثور ليس فقط على القيمة نفسها، ولكن أيضًا خطأ القياس، أي الفاصل الزمني الذي من المرجح أن تقع فيه القيمة الحقيقية للكمية المقاسة. على سبيل المثال، عند قياس فترة زمنية t باستخدام ساعة توقيت بقيمة قسمة قدرها 0.2 ثانية، يمكننا القول أن قيمتها الحقيقية موجودة في الفاصل الزمني من https://pandia.ru/text/77/496/images/image002_131 .gif" width="85 " height="23 src=">с..gif" width="16" height="17 src="> وX هي القيم الحقيقية والمقاسة للكمية قيد الدراسة، على التوالى. الكمية تسمى الخطأ المطلق(خطأ) القياس، والإعراب الذي يميز دقة القياس يسمى خطأ نسبي.

من الطبيعي تمامًا أن يرغب المُجرِّب في إجراء كل قياس بأكبر قدر ممكن من الدقة، ولكن مثل هذا النهج لا يُنصح به دائمًا. كلما أردنا قياس هذه الكمية أو تلك بدقة أكبر، كلما زادت تعقيد الأدوات التي يجب أن نستخدمها، وكلما زادت المدة التي تتطلبها هذه القياسات. ولذلك، فإن دقة النتيجة النهائية يجب أن تتوافق مع الغرض من التجربة. تقدم نظرية الأخطاء توصيات حول كيفية إجراء القياسات وكيفية معالجة النتائج بحيث يكون الخطأ في حده الأدنى.

عادةً ما يتم تقسيم جميع الأخطاء التي تنشأ أثناء القياسات إلى ثلاثة أنواع - أخطاء منهجية أو عشوائية أو أخطاء أو أخطاء جسيمة.

أخطاء منهجيةتنتج عن الدقة المحدودة في تصنيع الأجهزة (أخطاء الأجهزة)، وأوجه القصور في طريقة القياس المختارة، وعدم دقة معادلة الحساب، والتركيب غير الصحيح للجهاز، وما إلى ذلك. وبالتالي، تحدث الأخطاء المنهجية بسبب عوامل تعمل بنفس الطريقة عندما يتم تكرار نفس القياسات عدة مرات. وحجم هذا الخطأ يتكرر بشكل منهجي أو يتغير وفقا لقانون معين. يمكن التخلص من بعض الأخطاء المنهجية (من السهل دائمًا تحقيق ذلك عمليًا) عن طريق تغيير طريقة القياس، وإدخال تصحيحات على قراءات الأجهزة، ومراعاة التأثير المستمر للعوامل الخارجية.

على الرغم من أن الخطأ المنهجي (الآلي) في القياسات المتكررة يعطي انحرافًا للقيمة المقاسة عن القيمة الحقيقية في اتجاه واحد، إلا أننا لا نعرف أبدًا أي اتجاه. لذلك، يتم كتابة خطأ الصك بعلامة مزدوجة

أخطاء عشوائيةتنتج عن عدد كبير من الأسباب العشوائية (التغيرات في درجة الحرارة، الضغط، اهتزاز المباني، وما إلى ذلك)، والتي تختلف تأثيراتها على كل قياس ولا يمكن أخذها في الاعتبار مسبقًا. كما تحدث أخطاء عشوائية نتيجة لنقص حواس المجرب. تتضمن الأخطاء العشوائية أيضًا الأخطاء الناتجة عن خصائص الجسم المقاس.

من المستحيل استبعاد الأخطاء العشوائية في القياسات الفردية، ولكن من الممكن تقليل تأثير هذه الأخطاء على النتيجة النهائية عن طريق إجراء قياسات متعددة. إذا تبين أن الخطأ العشوائي أقل بكثير من الخطأ الآلي (المنهجي)، فلا فائدة من تقليل قيمة الخطأ العشوائي بشكل أكبر عن طريق زيادة عدد القياسات. إذا كان الخطأ العشوائي أكبر من خطأ الجهاز فيجب زيادة عدد القياسات لتقليل قيمة الخطأ العشوائي وجعله أقل من أو بنفس حجم خطأ الجهاز.

الأخطاء أو الأخطاء- هذه قراءات غير صحيحة على الجهاز، وتسجيل غير صحيح للقراءة، وما إلى ذلك. كقاعدة عامة، تكون الأخطاء الناجمة عن الأسباب المحددة ملحوظة بوضوح، لأن القراءات المقابلة تختلف بشكل حاد عن القراءات الأخرى. يجب القضاء على الأخطاء عن طريق قياسات التحكم. وبالتالي، فإن عرض الفاصل الزمني الذي تقع فيه القيم الحقيقية للكميات المقاسة لن يتم تحديده إلا من خلال أخطاء عشوائية ومنهجية.

2. تقدير الخطأ المنهجي (الأداة).

للقياسات المباشرةيتم حساب قيمة الكمية المقاسة مباشرة على المقياس أداة قياس. يمكن أن يصل الخطأ في القراءة إلى عدة أعشار من تقسيم المقياس. عادة، في مثل هذه القياسات، يعتبر الخطأ المنهجي مساويا لنصف تقسيم مقياس أداة القياس. على سبيل المثال، عند القياس باستخدام الفرجار بقيمة تقسيم تبلغ 0.05 مم، فإن قيمة خطأ قياس الأداة تساوي 0.025 مم.

أدوات القياس الرقمية تعطي قيمة الكميات التي تقيسها بالخطأ، يساوي القيمةوحدة واحدة من الرقم الأخير على مقياس الأداة. لذا، إذا أظهر الفولتميتر الرقمي قيمة 20.45 مللي فولت، فإن خطأ القياس المطلق يساوي مللي فولت.

تنشأ أخطاء منهجية أيضًا عند استخدام القيم الثابتة المحددة من الجداول. في مثل هذه الحالات، يفترض أن يكون الخطأ مساويًا لنصف آخر رقم مهم. على سبيل المثال، إذا كانت قيمة كثافة الفولاذ في الجدول 7.9∙103 كجم/م3، فإن الخطأ المطلق في هذه الحالة يساوي https://pandia.ru/text/77/496/images/image009_52. gif" width= "123" height="24 src=">يتم استخدام الصيغة

, (1)

حيث https://pandia.ru/text/77/496/images/image012_40.gif" width="16" height="24">، هي مشتقات جزئية للدالة بالنسبة للمتغير https://pandia. ru/text/77 /496/images/image014_34.gif" width="65 height=44" height="44">.

المشتقات الجزئية فيما يتعلق بالمتغيرات دو حسوف تكون متساوية

https://pandia.ru/text/77/496/images/image017_27.gif" width = "71" height = "44 src = ">.

وبالتالي، فإن صيغة تحديد الخطأ المنهجي المطلق عند قياس حجم الأسطوانة وفقًا لها لها الشكل التالي

,

أين توجد أخطاء في الأجهزة عند قياس قطر وارتفاع الأسطوانة

3. تقدير الخطأ العشوائي.

فترة الثقة واحتمال الثقة

https://pandia.ru/text/77/496/images/image016_30.gif" width = "12 ارتفاع = 23" ارتفاع = "23">.gif" width = "45" ارتفاع = "21 src = "> - دالة توزيع الأخطاء العشوائية (الأخطاء)، التي تحدد احتمالية الخطأ، σ – متوسط ​​مربع الخطأ.

الكمية σ ليست متغيرة عشوائية وتميز عملية القياس. إذا لم تتغير شروط القياس، تبقى σ قيمة ثابتة. يسمى مربع هذه الكمية تشتت القياس.كلما كان التشتت أصغر، كلما كان انتشار القيم الفردية أصغر وكلما زادت دقة القياس.

القيمة الدقيقة لمتوسط ​​الخطأ المربع σ، وكذلك القيمة الحقيقية للقيمة المقاسة، غير معروفة. وهناك ما يسمى بالتقدير الإحصائي لهذه المعلمة، والذي بموجبه يكون متوسط ​​مربع الخطأ مساوياً لمتوسط ​​مربع الخطأ للوسط الحسابي. يتم تحديد قيمتها بواسطة الصيغة

, (3)

حيث https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17"> هو الوسط الحسابي للقيم التي تم الحصول عليها؛ ن- عدد القياسات.

كيف عدد أكبرالقياسات، كلما قل https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17 src=">، والخطأ العشوائي المطلق، ثم ستكون نتيجة القياس مكتوبًا بالشكل https://pandia.ru/text/77/496/images/image029_11.gif" width="45" height="19"> إلى ، والذي يحتوي على القيمة الحقيقية للكمية المقاسة μ، يسمى فاصل الثقة.نظرًا لأن https://pandia.ru/text/77/496/images/image025_16.gif" width="19 height=24" height="24"> قريب من σ. للعثور على فاصل الثقة واحتمال الثقة باستخدام يتم استخدام عدد قليل من القياسات التي نتعامل معها أثناء العمل المخبري توزيع احتمالات الطلاب.هذا هو التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي يسمى معامل الطالب، يعطي قيمة فاصل الثقة في كسور جذر متوسط ​​مربع الخطأ للوسط الحسابي.

لا يعتمد التوزيع الاحتمالي لهذه الكمية على σ2، ولكنه يعتمد بشكل كبير على عدد التجارب ن.مع تزايد عدد التجارب نيميل توزيع الطلاب إلى التوزيع الغوسي.

يتم جدولة وظيفة التوزيع (الجدول 1). قيمة معامل الطالب تكون عند تقاطع الخط المقابل لعدد القياسات ن، والعمود المقابل لاحتمال الثقة α

الجدول 1.

باستخدام بيانات الجدول، يمكنك:

1) تحديد فاصل الثقة، مع وجود احتمال معين؛

2) حدد فاصل الثقة وحدد احتمالية الثقة.

بالنسبة للقياسات غير المباشرة، متوسط ​​مربع الخطأ لقيمة المتوسط ​​الحسابي للدالة تحسب بواسطة الصيغة

. (5)

يتم تحديد فاصل الثقة واحتمال الثقة بنفس الطريقة كما في حالة القياسات المباشرة.

تقدير خطأ القياس الكلي. سجل النتيجة النهائية.

سيتم تحديد الخطأ الإجمالي لنتيجة القياس للقيمة X على أنه القيمة الجذرية لمتوسط ​​مربع الأخطاء المنهجية والعشوائية

, (6)

أين δ –خطأ في الأداة، Δ X- خطأ عشوائي.

يمكن أن تكون X كمية يتم قياسها بشكل مباشر أو غير مباشر.

، α=…، ه=… (7)

يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن صيغ نظرية الخطأ نفسها صالحة لعدد كبير من القياسات. ولذلك، يتم تحديد قيمة العشوائية، وبالتالي الخطأ الإجمالي، عند صغير نمع خطأ كبير. عند حساب Δ Xعند قياس عدد القياسات، يوصى بتحديد رقم واحد مهم إذا كان أكثر من 3 واثنين إذا كان الرقم الأول شخصية هامةأقل من 3. على سبيل المثال، إذا كان Δ X= 0.042، ثم نتخلص من 2 ونكتب Δ X= 0.04، وإذا Δ X=0.123، ثم نكتب Δ X=0,12.

يجب أن يكون عدد أرقام النتيجة والخطأ الإجمالي هو نفسه. ولذلك، يجب أن يكون الوسط الحسابي للخطأ هو نفسه. ولذلك، يتم حساب الوسط الحسابي أولاً برقم واحد أكثر من القياس، وعند تسجيل النتيجة يتم تحسين قيمته إلى عدد أرقام الخطأ الإجمالي.

4. منهجية حساب أخطاء القياس.

أخطاء القياسات المباشرة

عند معالجة نتائج القياسات المباشرة، يوصى باعتماد الترتيب التالي للعمليات.

قياسات المحدد المعلمة المادية ن مرات وبنفس الظروفويتم تسجيل النتائج في جدول. إذا كانت نتائج بعض القياسات تختلف بشكل حاد في القيمة عن قياسات أخرى، فسيتم تجاهلها باعتبارها أخطاء إذا لم يتم تأكيدها بعد التحقق منها. يتم حساب الوسط الحسابي للقياسات المتطابقة n. يتم اعتبارها القيمة الأكثر احتمالية للكمية المقاسة

تم العثور على الأخطاء المطلقة للقياسات الفردية، ويتم حساب مربعات الأخطاء المطلقة للقياسات الفردية (Δ Xط)2 يتم تحديد جذر متوسط ​​مربع الخطأ للوسط الحسابي

.

تم تعيين قيمة احتمال الثقة α. من المعتاد في مختبرات الورش ضبط α=0.95. تم العثور على معامل الطالب لاحتمال ثقة معين α وعدد القياسات التي تم إجراؤها (انظر الجدول).يتم تحديد الخطأ العشوائي

يتم تحديد الخطأ الإجمالي

يتم تقدير الخطأ النسبي لنتيجة القياس

.

النتيجة النهائية مكتوبة في النموذج

ج α=… ه=…%.

5. الدقة قياسات غير مباشرة

عند تقييم القيمة الحقيقية لقيمة تم قياسها بشكل غير مباشر https://pandia.ru/text/77/496/images/image045_6.gif" width="75" height="24">، يمكن استخدام طريقتين.

الطريقة الأولىتستخدم إذا كانت القيمة ذمحدد في ظروف مختلفةخبرة. في هذه الحالة، يتم حساب كل من القيم ومن ثم يتم تحديد الوسط الحسابي لجميع القيم يي

تم العثور على الخطأ المنهجي (الآلي) بناءً على الأخطاء الآلية المعروفة لجميع القياسات باستخدام الصيغة. ويعرف الخطأ العشوائي في هذه الحالة بأنه خطأ القياس المباشر.

الطريقة الثانيةينطبق إذا كانت هذه الوظيفة ذتم تحديده عدة مرات بنفس القياسات..gif" width="75" height="24">. في موقعنا ورشة عمل مختبريةالطريقة الثانية لتحديد الكمية المقاسة بشكل غير مباشر هي الأكثر استخدامًا ذ.يتم العثور على الخطأ المنهجي (الآلي) كما في الطريقة الأولى على أساس الأخطاء الآلية المعروفة لجميع القياسات باستخدام الصيغة

. (10)

للعثور على الخطأ العشوائي لقياس غير مباشر، يتم أولاً حساب جذر متوسط ​​الأخطاء المربعة للوسط الحسابي للقياسات الفردية. ومن ثم يتم العثور على متوسط ​​مربع الخطأ للقيمة ذ.تحديد احتمالية الثقة α، وإيجاد معامل الطالب https://pandia.ru/text/77/496/images/image048_2.gif" width="83" height="23">، مع α=… E=…% .

6. مثال على تصميم العمل المخبري

العمل المختبري رقم 1

تحديد حجم الاسطوانة

مُكَمِّلات:الفرجار بقيمة قسمة 0.05 مم، ميكرومتر بقيمة قسمة 0.01 مم، جسم أسطواني.

الهدف من العمل:التعرف على أبسط القياسات الفيزيائية، وتحديد حجم الأسطوانة، وحساب الأخطاء في القياسات المباشرة وغير المباشرة.

قم بقياس قطر الاسطوانة 5 مرات على الأقل باستخدام الفرجار وارتفاعها بالميكرومتر.

صيغة حسابية لحساب حجم الاسطوانة

حيث d هو قطر الاسطوانة؛ ح – الارتفاع.

نتائج القياس

الجدول 2.

رقم القياس
5.4. حساب الخطأ الكلي الخطأ المطلق ; . 5. خطأ نسبيأو دقة القياس ; ه = 0.5%. 6. سجل النتيجة النهائية يتم كتابة النتيجة النهائية للقيمة قيد الدراسة في النموذج ملحوظة. في التسجيل النهائي، يجب أن يكون عدد أرقام النتيجة والخطأ المطلق هو نفسه. 6. التمثيل البياني لنتائج القياس غالبًا ما يتم عرض نتائج القياسات الفيزيائية في شكل رسوم بيانية. تتمتع الرسوم البيانية بعدد من المزايا المهمة والخصائص القيمة: أ) جعل من الممكن تحديد نوع الاعتماد الوظيفي والحدود التي يكون صالحًا ضمنها؛ ب) السماح بإجراء مقارنة واضحة للبيانات التجريبية مع المنحنى النظري؛ ج) عند إنشاء رسم بياني، يقومون بتنعيم القفزات أثناء الوظيفة التي تنشأ بسبب أخطاء عشوائية؛ د) جعل من الممكن تحديد كميات معينة أو إجراء التمايز الرسومي والتكامل وحل المعادلات وما إلى ذلك. الرسوم البيانية، كقاعدة عامة، مصنوعة على ورق خاص (ملليمتر، لوغاريتمي، شبه لوغاريتمي). ومن المعتاد أن يرسم المتغير المستقل على طول المحور الأفقي، أي القيمة التي يحدد قيمتها المجرب نفسه، وعلى المحور الرأسي - القيمة التي يحددها. يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن تقاطع محاور الإحداثيات لا يجب أن يتزامن مع القيم الصفرية لـ x و y. عند اختيار أصل الإحداثيات، يجب أن تسترشد بحقيقة أن منطقة الرسم بأكملها مستخدمة بالكامل (الشكل 2.). على محاور إحداثيات الرسم البياني، لا يتم الإشارة إلى أسماء أو رموز الكميات فحسب، بل يتم أيضًا الإشارة إلى وحدات قياسها. يجب اختيار المقياس على طول محاور الإحداثيات بحيث تقع النقاط المقاسة على كامل مساحة الورقة. في هذه الحالة، يجب أن يكون المقياس بسيطًا بحيث لا تضطر عند رسم النقاط على الرسم البياني إلى إجراء حسابات حسابية في رأسك. يجب تصوير النقاط التجريبية على الرسم البياني بدقة ووضوح. ومن المفيد رسم النقاط التي تم الحصول عليها في ظل ظروف تجريبية مختلفة (على سبيل المثال، التدفئة والتبريد) بألوان مختلفة أو برموز مختلفة. إذا كان خطأ التجربة معروفًا، فبدلاً من النقطة، من الأفضل تصوير صليب أو مستطيل، تتوافق أبعاده على طول المحاور مع هذا الخطأ. لا ينصح بربط النقاط التجريبية مع بعضها البعض بخط متقطع. يجب رسم المنحنى على الرسم البياني بسلاسة، مع التأكد من أن النقاط التجريبية تقع أعلى المنحنى وأسفله، كما هو موضح في الشكل 3. عند إنشاء الرسوم البيانية، بالإضافة إلى نظام الإحداثيات بمقياس موحد، يتم استخدام ما يسمى بالمقاييس الوظيفية. من خلال تحديد الوظائف المناسبة x وy، يمكنك الحصول على خط أبسط على الرسم البياني مقارنة بالبناء التقليدي. غالبًا ما يكون هذا ضروريًا عند تحديد صيغة لرسم بياني معين لتحديد معلماته. تُستخدم المقاييس الوظيفية أيضًا في الحالات التي يكون فيها من الضروري تمديد أو تقصير أي قسم من المنحنى على الرسم البياني. المقياس الوظيفي الأكثر استخدامًا هو المقياس اللوغاريتمي (الشكل 4).

بسبب الأخطاء الكامنة في أداة القياس، والطريقة المختارة وإجراءات القياس، والاختلافات في الظروف الخارجية التي يتم فيها إجراء القياس عن الظروف المحددة، وأسباب أخرى، فإن نتيجة كل قياس تقريبًا تكون مثقلة بالخطأ. يتم حساب هذا الخطأ أو تقديره وتخصيصه للنتيجة التي تم الحصول عليها.

خطأ في نتيجة القياس(باختصار - خطأ القياس) - انحراف نتيجة القياس عن القيمة الحقيقية للقيمة المقاسة.

وتبقى القيمة الحقيقية للكمية مجهولة بسبب وجود أخطاء. يتم استخدامه في حل المشاكل النظرية للمترولوجيا. ومن الناحية العملية، يتم استخدام القيمة الفعلية للكمية، والتي تحل محل القيمة الحقيقية.

تم العثور على خطأ القياس (Δx) بالصيغة:

س = س قياس. - س صالح (1.3)

حيث x قياس. - قيمة الكمية المتحصل عليها بناء على القياسات؛ × صالح - قيمة الكمية المأخوذة على أنها حقيقية.

بالنسبة للقياسات الفردية، غالبًا ما يتم اعتبار القيمة الفعلية هي القيمة التي تم الحصول عليها باستخدام أداة قياس قياسية، وبالنسبة للقياسات المتعددة، فإن المتوسط ​​الحسابي لقيم القياسات الفردية المدرجة في سلسلة معينة.

ويمكن تصنيف أخطاء القياس وفقا للمعايير التالية:

بطبيعة المظاهر - منهجية وعشوائية؛

حسب طريقة التعبير - المطلقة والنسبي؛

وفقا لشروط التغيير في القيمة المقاسة - ثابتة وديناميكية؛

وفقا لطريقة معالجة عدد من القياسات - المتوسطات الحسابية وجذر متوسط ​​المربعات؛

وفقا لاكتمال تغطية مهمة القياس - جزئية وكاملة؛

نسبة إلى الوحدة الكمية المادية- أخطاء في إعادة إنتاج الوحدة وتخزين الوحدة ونقل حجم الوحدة.

خطأ في القياس المنهجي(باختصار - خطأ منهجي) - أحد مكونات خطأ نتيجة القياس التي تظل ثابتة لسلسلة معينة من القياسات أو تتغير بشكل طبيعي مع قياسات متكررة لنفس الكمية الفيزيائية.

وفقا لطبيعة مظاهرها، تنقسم الأخطاء المنهجية إلى دائمة وتقدمية ودورية. أخطاء منهجية مستمرة(باختصار - الأخطاء الثابتة) - الأخطاء التي تحتفظ بقيمتها لفترة طويلة (على سبيل المثال، خلال سلسلة القياسات بأكملها). هذا هو النوع الأكثر شيوعا من الخطأ.

أخطاء منهجية تدريجية(باختصار - الأخطاء التدريجية) - الأخطاء المتزايدة أو المتناقصة بشكل مستمر (على سبيل المثال، الأخطاء الناجمة عن تآكل أطراف القياس التي تتلامس مع الجزء أثناء عملية الطحن عند مراقبته بجهاز تحكم نشط).

خطأ منهجي دوري(باختصار - خطأ دوري) - خطأ تكون قيمته دالة زمنية أو دالة لحركة مؤشر جهاز قياس (على سبيل المثال، وجود انحراف مركزي في أجهزة مقياس الزوايا ذات مقياس دائري يؤدي إلى خطأ منهجي خطأ يختلف باختلاف القانون الدوري).

بناءً على أسباب ظهور الأخطاء المنهجية، يتم التمييز بين الأخطاء الآلية وأخطاء الطريقة والأخطاء الذاتية والأخطاء الناتجة عن انحرافات شروط القياس الخارجية عن تلك التي تحددها الطرق.

خطأ في القياس الآلي(باختصار - خطأ آلي) هو نتيجة لعدد من الأسباب: تآكل أجزاء الجهاز، والاحتكاك المفرط في آلية الجهاز، ووضع علامات غير دقيقة على السكتات الدماغية على المقياس، والتناقض بين القيم الفعلية والاسمية للقياس، وما إلى ذلك .

خطأ في طريقة القياس(باختصار - خطأ في الطريقة) قد ينشأ نتيجة لعدم كمال طريقة القياس أو تبسيطاتها التي أرستها منهجية القياس. على سبيل المثال، قد يكون هذا الخطأ بسبب الأداء غير الكافي لأدوات القياس المستخدمة عند قياس معلمات العمليات السريعة أو الشوائب غير المحسوبة عند تحديد كثافة المادة بناءً على نتائج قياس كتلتها وحجمها.

خطأ القياس الذاتي(باختصار - خطأ ذاتي) يرجع إلى الأخطاء الفردية للمشغل. يسمى هذا الخطأ أحيانًا بالاختلاف الشخصي. ويحدث ذلك، على سبيل المثال، بسبب التأخير أو التقدم في قبول المشغل للإشارة.

خطأ بسبب الانحراف(في اتجاه واحد) تؤدي ظروف القياس الخارجية عن تلك التي تحددها تقنية القياس إلى ظهور مكون منهجي لخطأ القياس.

تشوه الأخطاء المنهجية نتيجة القياس، لذا يجب التخلص منها قدر الإمكان عن طريق إدخال التصحيحات أو ضبط الجهاز للوصول بالأخطاء المنهجية إلى الحد الأدنى المقبول.

خطأ منهجي غير مستبعد(باختصار - خطأ غير مستبعد) هو خطأ نتيجة القياس، بسبب خطأ في الحساب وإدخال تصحيح لعمل خطأ منهجي، أو خطأ منهجي صغير، لم يتم إدخال تصحيح له بسبب إلى صغر حجمها.

في بعض الأحيان يسمى هذا النوع من الخطأ مخلفات الخطأ المنهجي غير المستبعدة(باختصار - الأرصدة غير المستبعدة). على سبيل المثال، عند قياس طول متر الخط في الأطوال الموجية للإشعاع المرجعي، تم تحديد العديد من الأخطاء المنهجية غير المستبعدة (i): بسبب قياس درجة الحرارة غير الدقيق - 1؛ بسبب التحديد غير الدقيق لمؤشر انكسار الهواء - 2، بسبب الطول الموجي غير الدقيق - 3.

عادة ما يتم أخذ مجموع الأخطاء المنهجية غير المستبعدة في الاعتبار (يتم تعيين حدودها). عندما يكون عدد المصطلحات N ≥ 3، يتم حساب حدود الأخطاء المنهجية غير المستبعدة باستخدام الصيغة

عندما يكون عدد المصطلحات N ≥ 4، يتم استخدام الصيغة لإجراء العمليات الحسابية

(1.5)

حيث k هو معامل اعتماد الأخطاء المنهجية غير المستبعدة على احتمال الثقة المحدد P عندما يتم توزيعها بشكل موحد. عند P = 0.99، k = 1.4، عند P = 0.95، k = 1.1.

خطأ في القياس العشوائي(باختصار - خطأ عشوائي) - أحد مكونات خطأ نتيجة القياس التي تتغير بشكل عشوائي (في الإشارة والقيمة) في سلسلة من القياسات بنفس حجم الكمية الفيزيائية. أسباب الأخطاء العشوائية: أخطاء التقريب عند أخذ القراءات، الاختلاف في القراءات، التغيرات في ظروف القياس العشوائي، إلخ.

تتسبب الأخطاء العشوائية في تشتت نتائج القياس في سلسلة.

تقوم نظرية الأخطاء على مبدأين تؤكدهما الممارسة:

1. مع وجود عدد كبير من القياسات والأخطاء العشوائية نفسها القيمة العددية، لكن علامة مختلفة، تحدث في كثير من الأحيان على قدم المساواة؛

2. الأخطاء الكبيرة (بالقيمة المطلقة) أقل شيوعًا من الأخطاء الصغيرة.

من الموضع الأول يتبع استنتاج مهم للممارسة: مع زيادة عدد القياسات، يتناقص الخطأ العشوائي للنتيجة التي تم الحصول عليها من سلسلة من القياسات، لأن مجموع أخطاء القياسات الفردية لسلسلة معينة يميل إلى الصفر، أي.

(1.6)

على سبيل المثال، نتيجة للقياسات، تم الحصول على عدد من القيم المقاومة الكهربائية(تم تصحيحها للأخطاء المنهجية): R 1 = 15.5 أوم، R 2 = 15.6 أوم، R 3 = 15.4 أوم، R 4 = 15.6 أوم و R 5 = 15.4 أوم . وبالتالي R = 15.5 أوم. الانحرافات عن R (R 1 = 0.0؛ R 2 = +0.1 أوم، R 3 = -0.1 أوم، R 4 = +0.1 أوم و R 5 = -0.1 أوم) هي أخطاء عشوائية للقياسات الفردية في هذه السلسلة. من السهل التحقق من أن المجموع R i = 0.0. يشير هذا إلى أن الأخطاء في القياسات الفردية لهذه السلسلة تم حسابها بشكل صحيح.

على الرغم من أنه مع زيادة عدد القياسات، فإن مجموع الأخطاء العشوائية يميل إلى الصفر (في هذا المثال تبين بالصدفة أنه صفر)، يجب تقييم الخطأ العشوائي لنتيجة القياس. في نظرية المتغيرات العشوائية، يعتبر التشتت o2 بمثابة خاصية لتشتت قيم المتغير العشوائي. "|/o2 = a يسمى الانحراف المربع المتوسط ​​للسكان أو الانحراف المعياري.

وهو أكثر ملاءمة من التشتت، حيث أن أبعاده يتزامن مع أبعاد الكمية المقاسة (على سبيل المثال، يتم الحصول على قيمة الكمية بالفولت، وسيكون الانحراف المعياري أيضًا بالفولت). نظرًا لأننا نتعامل في ممارسة القياس مع مصطلح "خطأ"، فيجب استخدام المصطلح المشتق "متوسط ​​مربع الخطأ" لوصف عدد من القياسات. يمكن أن تكون إحدى سمات سلسلة القياسات هي خطأ المتوسط ​​الحسابي أو نطاق نتائج القياس.

نطاق نتائج القياس (المدى القصير) هو الفرق الجبري بين أكبر وأصغر نتائج القياسات الفردية، مما يشكل سلسلة (أو عينة) من القياسات n:

ص ن = X ماكس - X دقيقة (1.7)

حيث R n هو النطاق؛ X max و X min - الأعظم و أصغر قيمةالقيم في سلسلة معينة من القياسات.

على سبيل المثال، من بين خمسة قياسات لقطر الثقب d، تبين أن القيم R 5 = 25.56 مم و R 1 = 25.51 مم هي القيم القصوى والدنيا. في هذه الحالة، R n = d 5 - d 1 = 25.56 مم - 25.51 مم = 0.05 مم. وهذا يعني أن الأخطاء المتبقية في هذه السلسلة أقل من 0.05 ملم.

خطأ المتوسط ​​الحسابي لقياس فردي في سلسلة(لفترة وجيزة - خطأ المتوسط ​​الحسابي) - خاصية عامة للتشتت (لأسباب عشوائية) لنتائج القياس الفردية (لنفس الكمية) المضمنة في سلسلة من القياسات المستقلة المتساوية الدقة، والتي يتم حسابها بواسطة الصيغة

(1.8)

حيث X i هو نتيجة القياس i المتضمن في السلسلة؛ x هو الوسط الحسابي لقيم n: |Х и - X| — القيمة المطلقة لخطأ القياس i؛ r هو الخطأ الحسابي المتوسط.

يتم تحديد القيمة الحقيقية لمتوسط ​​الخطأ الحسابي p من العلاقة

ع = ليمص، (1.9)

مع أن عدد القياسات n > 30 بين الوسط الحسابي (r) وجذر الوسط المربع (س)هناك ارتباطات بين الأخطاء

الصورة = 1.25 ص؛ ص و= 0.80 ثانية. (1.10)

وميزة خطأ المتوسط ​​الحسابي هي بساطة حسابه. ولكن لا يزال يتم تحديد متوسط ​​خطأ التربيع في كثير من الأحيان.

متوسط ​​مربع الخطأالقياس الفردي في سلسلة (باختصار - متوسط ​​​​الخطأ المربع) - خاصية عامة للتشتت (لأسباب عشوائية) لنتائج القياس الفردية (من نفس القيمة) المضمنة في سلسلة من صقياسات مستقلة متساوية الدقة، تحسب بواسطة الصيغة

(1.11)

يمكن حساب متوسط ​​مربع الخطأ للعينة العامة o، وهو الحد الإحصائي S، عند /i-mx > باستخدام الصيغة:

Σ = ليم س (1.12)

في الواقع، يكون عدد القياسات محدودًا دائمًا، لذا فهو ليس σ , وقيمتها التقريبية (أو التقديرية)، وهي s. الاكثر ف،كلما اقتربت s من حدها σ .

مع قانون التوزيع الطبيعي، فإن احتمال أن خطأ القياس الفردي في سلسلة لن يتجاوز متوسط ​​مربع الخطأ المحسوب صغير: 0.68. ولذلك، في 32 حالة من أصل 100 أو 3 حالات من أصل 10، قد يكون الخطأ الفعلي أكبر من الخطأ المحسوب.

الشكل 1.2 انخفاض قيمة الخطأ العشوائي لنتيجة القياسات المتعددة مع زيادة عدد القياسات في السلسلة

في سلسلة من القياسات، هناك علاقة بين جذر متوسط ​​مربع الخطأ للقياس الفردي s وجذر متوسط ​​مربع الخطأ للوسط الحسابي S x:

والتي تسمى غالبًا "قاعدة U n". ويترتب على هذه القاعدة أن خطأ القياس الناتج عن أسباب عشوائية يمكن تقليله بمقدار n مرات إذا تم إجراء قياسات n بنفس الحجم لأي كمية، ويتم أخذ الوسط الحسابي كنتيجة نهائية (الشكل 1.2).

إن إجراء 5 قياسات على الأقل في سلسلة يجعل من الممكن تقليل تأثير الأخطاء العشوائية بأكثر من مرتين. مع 10 قياسات، يتم تقليل تأثير الخطأ العشوائي بمقدار 3 مرات. إن الزيادة الإضافية في عدد القياسات ليست دائما مجدية اقتصاديا، وكقاعدة عامة، يتم إجراؤها فقط للقياسات الحرجة التي تتطلب دقة عالية.

يتم حساب جذر متوسط ​​مربع الخطأ لقياس واحد من عدد من القياسات المزدوجة المتجانسة S α بواسطة الصيغة

(1.14)

حيث x"i" وx""i هما النتائج i للقياسات من نفس الكمية الحجمية في الاتجاهين الأمامي والخلفي باستخدام أداة قياس واحدة.

في حالة القياسات غير المتساوية، يتم تحديد جذر متوسط ​​مربع الخطأ للمتوسط ​​الحسابي في السلسلة بواسطة الصيغة

(1.15)

حيث p i هو وزن القياس i في سلسلة من القياسات غير المتساوية.

يتم حساب جذر متوسط ​​مربع خطأ نتيجة القياسات غير المباشرة للقيمة Y، وهي دالة Y = F (X 1، X 2، X n)، باستخدام الصيغة

(1.16)

حيث S 1، S 2، S n هي جذر متوسط ​​مربعات الأخطاء لنتائج قياس الكميات X 1، X 2، X n.

إذا، للحصول على موثوقية أكبر في الحصول على نتيجة مرضية، إذا تم إجراء عدة سلاسل من القياسات، فسيتم العثور على جذر متوسط ​​مربع الخطأ لقياس فردي من سلسلة m (S m) بواسطة الصيغة

(1.17)

حيث n هو عدد القياسات في السلسلة؛ N هو العدد الإجمالي للقياسات في كل السلاسل؛ م هو عدد السلسلة.

مع عدد محدود من القياسات، غالبًا ما يكون من الضروري معرفة جذر متوسط ​​مربع الخطأ. لتحديد الخطأ S المحسوب بالصيغة (2.7)، والخطأ S m المحسوب بالصيغة (2.12)، يمكنك استخدام التعبيرات التالية

(1.18)

(1.19)

حيث S و S m هما متوسطي الأخطاء المربعة لـ S و S m على التوالي.

على سبيل المثال، عند معالجة نتائج عدد من قياسات الطول x، حصلنا على ذلك

= 86 ملم 2 عند ن = 10،

= 3.1 ملم

= 0.7 مم أو S = ±0.7 مم

القيمة S = ±0.7 مم تعني أنه بسبب خطأ في الحساب، فإن s تقع في النطاق من 2.4 إلى 3.8 مم، وبالتالي فإن أعشار المليمتر غير موثوق بها هنا. وفي الحالة المذكورة يجب أن نكتب: S = ±3 مم.

للحصول على ثقة أكبر في تقييم خطأ نتيجة القياس، احسب خطأ الثقة أو حدود الثقة في الخطأ. بموجب قانون التوزيع الطبيعي، يتم حساب حدود الثقة للخطأ كـ ±t-s أو ±t-s x، حيث s وs x هما متوسط ​​الأخطاء المربعة، على التوالي، لقياس فردي في السلسلة والوسط الحسابي؛ t هو رقم يعتمد على احتمالية الثقة P وعدد القياسات n.

أحد المفاهيم المهمة هو موثوقية نتيجة القياس (α)، أي. احتمالية أن تقع القيمة المطلوبة للكمية المقاسة ضمن فترة ثقة معينة.

على سبيل المثال، عند معالجة أجزاء من الأدوات الآلية في وضع تكنولوجي مستقر، يخضع توزيع الأخطاء للقانون العادي. لنفترض أن تسامح طول الجزء مضبوط على 2a. في هذه الحالة، فإن فترة الثقة التي تقع فيها القيمة المطلوبة لطول الجزء أ ستكون (أ - أ، أ + أ).

إذا كانت 2a = ±3s، فإن موثوقية النتيجة تكون = 0.68، أي أنه في 32 حالة من أصل 100 يجب أن يتوقع المرء أن يتجاوز حجم الجزء التسامح 2a. عند تقييم جودة جزء ما وفقًا للتسامح 2a = ±3s، ستكون موثوقية النتيجة 0.997. في هذه الحالة، يمكننا أن نتوقع أن ثلاثة أجزاء فقط من أصل 1000 سوف تتجاوز التسامح المحدد. ومع ذلك، فإن زيادة الموثوقية لا يمكن تحقيقها إلا من خلال تقليل الخطأ في طول الجزء. وبالتالي، لزيادة الموثوقية من a = 0.68 إلى a = 0.997، يجب تقليل الخطأ في طول الجزء بمقدار ثلاث مرات.

في مؤخراأصبح مصطلح "موثوقية القياس" واسع الانتشار. وفي بعض الحالات، يتم استخدامه بشكل غير معقول بدلاً من مصطلح “دقة القياس”. على سبيل المثال، في بعض المصادر، يمكنك العثور على عبارة "إنشاء وحدة وموثوقية القياسات في البلاد". في حين أنه الأصح أن نقول "إثبات الوحدة ودقة القياسات المطلوبة". نحن نعتبر الموثوقية خاصية الجودةمما يعكس القرب من الصفر للأخطاء العشوائية. ويمكن تحديده كميا من خلال عدم موثوقية القياسات.

عدم موثوقية القياسات(باختصار - عدم الموثوقية) - تقييم التباين بين النتائج في سلسلة من القياسات بسبب تأثير التأثير الكلي للأخطاء العشوائية (تحددها الطرق الإحصائية وغير الإحصائية)، وتتميز بمدى القيم حيث توجد القيمة الحقيقية للقيمة المقاسة.

وفقًا لتوصيات المكتب الدولي للأوزان والمقاييس، يتم التعبير عن عدم الموثوقية في شكل إجمالي متوسط ​​مربع خطأ القياس - Su، بما في ذلك متوسط ​​مربع الخطأ S (يتم تحديده بالطرق الإحصائية) ومتوسط ​​مربع الخطأ u (يتم تحديده بطرق غير إحصائية)، أي.

(1.20)

الحد الأقصى لخطأ القياس(لفترة وجيزة - الحد الأقصى للخطأ) - الحد الأقصى لخطأ القياس (زائد، ناقص)، الذي لا يتجاوز احتماله القيمة P، في حين أن الفرق 1 - P ضئيل.

على سبيل المثال، في قانون التوزيع الطبيعي، يكون احتمال الخطأ العشوائي الذي يساوي ±3s هو 0.997، والفرق 1-P = 0.003 غير مهم. لذلك، في كثير من الحالات، يتم اعتبار خطأ الثقة البالغ ±3s كحد أقصى، أي. العلاقات العامة = ± 3 ثانية. إذا لزم الأمر، قد يكون لـ pr علاقات أخرى مع s عند P كبيرة بما فيه الكفاية (2s، 2.5s، 4s، وما إلى ذلك).

نظرًا لحقيقة أنه في معايير GSI، بدلاً من مصطلح "متوسط ​​الخطأ المربع"، يتم استخدام مصطلح "متوسط ​​الانحراف المربع"، وفي المناقشات الإضافية سنلتزم بهذا المصطلح بالذات.

خطأ القياس المطلق(باختصار - الخطأ المطلق) - خطأ القياس معبرا عنه بوحدات القيمة المقاسة. وبالتالي، فإن الخطأ X في قياس طول الجزء X، معبرًا عنه بالميكرومتر، يمثل خطأً مطلقًا.

ولا ينبغي الخلط بين مصطلحي "الخطأ المطلق" و"القيمة المطلقة للخطأ"، التي تفهم على أنها قيمة الخطأ دون مراعاة الإشارة. لذا، إذا كان خطأ القياس المطلق هو ±2 μV، فإن القيمة المطلقة للخطأ ستكون 0.2 μV.

خطأ القياس النسبي(باختصار - خطأ نسبي) - خطأ القياس، معبرا عنه بكسور قيمة القيمة المقاسة أو كنسبة مئوية. تم العثور على الخطأ النسبي δ من العلاقات:

(1.21)

على سبيل المثال، هناك قيمة حقيقية لطول الجزء x = 10.00 مم وقيمة مطلقة للخطأ x = 0.01 مم. الخطأ النسبي سيكون

خطأ ثابت— خطأ في نتيجة القياس بسبب ظروف القياس الساكنة.

خطأ ديناميكي— خطأ في نتيجة القياس بسبب ظروف القياس الديناميكي.

خطأ في إعادة إنتاج الوحدة— خطأ في نتيجة القياسات التي يتم إجراؤها عند إعادة إنتاج وحدة الكمية الفيزيائية. وبالتالي، فإن الخطأ في إعادة إنتاج وحدة باستخدام معيار الدولة يشار إليه في شكل مكوناته: الخطأ المنهجي غير المستبعد، الذي يتميز بحدوده؛ خطأ عشوائي يتميز بالانحراف المعياري s وعدم الاستقرار على مدار العام ν .

خطأ في نقل حجم الوحدة— خطأ في نتيجة القياسات التي يتم إجراؤها عند نقل حجم الوحدة. الخطأ في نقل حجم الوحدة يشمل أخطاء نظامية غير مستبعدة وأخطاء عشوائية في طريقة ووسيلة نقل حجم الوحدة (على سبيل المثال المقارن).