في الدورة القياسية الرياضيات المدرسيةتُستخدم خصائص الوظائف بشكل أساسي لبناء الرسوم البيانية الخاصة بها. يتم استخدام الطريقة الوظيفية لحل المعادلات إذا وفقط إذا كانت المعادلة F(x) = G(x) نتيجة للتحويلات أو استبدال المتغيرات لا يمكن اختزالها إلى معادلة قياسية أو أخرى لها خوارزمية حل محددة.
على عكس الطريقة الرسومية، تتيح لك معرفة خصائص الدوال العثور على الجذور الدقيقة للمعادلة، دون الحاجة إلى إنشاء رسوم بيانية للدوال. يساعد استخدام خصائص الدوال على ترشيد حل المعادلات.
يتم أخذ الخصائص التالية للوظيفة بعين الاعتبار في العمل: مجال تعريف الوظيفة؛ نطاق الوظيفة؛ خصائص رتابة الوظيفة. خصائص تحدب الوظيفة؛ خصائص الوظائف الزوجية والفردية.
الغرض من العمل: إجراء بعض التصنيفات للمعادلات غير القياسية حسب استخدامها الخصائص العامةالوظائف، ووصف جوهر كل خاصية، وتقديم توصيات لاستخدامها، وتعليمات الاستخدام.
كل العمل مصحوب بحل مشاكل محددة مقترحة في امتحان الدولة الموحدة في سنوات مختلفة.
الفصل 1. استخدام مفهوم مجال تعريف الوظيفة.
دعونا نقدم بعض التعريفات الأساسية.
مجال تعريف الدالة y = f(x) هو مجموعة قيم المتغير x الذي تكون الدالة منطقية له.
دع المعادلة f(x) = g(x) تعطى، حيث f(x) وg(x). وظائف أولية، المحددة في المجموعات D1، D2. ثم ستكون المنطقة D للقيم المسموح بها للمعادلة عبارة عن مجموعة تتكون من قيم x التي تنتمي إلى كلتا المجموعتين، أي D = D1∩ D2. من الواضح أنه عندما تكون المجموعة D فارغة (D= ∅)، فإن المعادلة ليس لها حلول. (الملحق رقم 1).
1. أركسين (x+2) +2x- x2 = x-2.
أودز:-1 =0⇔-3
الجواب: لا توجد حلول.
2. (x2-4x+3 +1)log5x5 + 1x(8x-2x2-6 + 1) = 0.
ODZ: x2-4x+3>=0,x>0.8x-2x2-6>=0⇔x∈(-infinity;1∪ 3;infinity),x>01
تحقق: س = 1.
(1-4+3 +1)log515 + (8-2-6 + 1) = 0,
0 = 0 - صحيح.
س = 3. (9-12+3+1)log535 +13(24-18-6+1) = 0، log535 +13 = 0 - غير صحيح.
غالبًا ما يكون كافيًا عدم مراعاة مجال تعريف الوظيفة بالكامل، ولكن مجموعتها الفرعية فقط، حيث تأخذ الوظيفة قيمًا تستوفي شروطًا معينة (على سبيل المثال، القيم غير السالبة فقط).
1. س+27-س(س-9 +1) = 1.
ODZ: س-9>=0، س>=9.
بالنسبة لـ x>=9 x+2>0, 7-x 0، يكون حاصل ضرب العوامل الثلاثة في الجانب الأيسر من المعادلة سالبًا، والجانب الأيمن من المعادلة موجبًا، مما يعني أنه لا يوجد للمعادلة حلول.
الجواب: ∅.
2. 3-س2+ س+2 = س-2.
ODZ: 3-x2>=0,x+2>=0,⇔ 3-x(3+x)>=0,x>=-2,⇔ -3=-2,⇔
في مجموعة القيم المقبولة، يكون الطرف الأيسر من المعادلة موجبًا، والجانب الأيمن سالبًا، مما يعني أن المعادلة ليس لها حلول.
الجواب: لا توجد حلول.
الفصل 2. استخدام مفهوم النطاق الوظيفي.
نطاق قيم الدالة y = f(x) هو مجموعة قيم المتغير y at القيم المقبولةالمتغير س.
يقال إن الدالة y = f(x) محصورة أدناه (فيما يتعلق بالأعلى) على المجموعة X إذا كان هناك رقم M بحيث تظل المتراجحة fx>=M على X (فيما يتعلق بـ fx)
يتم استدعاء الدالة y = f(x) بفاصل زمني محدد (موجود في مجال التعريف الخاص بها) إذا كان هناك رقم M >0 بحيث يكون عدم المساواة f(x) لجميع قيم الوسيطة التي تنتمي إلى هذا الفاصل الزمني ) يحمل
دع المعادلة f(x) = g(x) تعطى، حيث g(x) هي دوال أولية محددة في المجموعتين D1 وD2. دعونا نشير إلى نطاق الاختلاف في هذه الوظائف مثل E1 وE2، على التوالي. إذا كان x1 هو حل للمعادلة، فإن المساواة العددية f(x1) = g(x1) ستظل قائمة، حيث f(x1) هي قيمة الدالة f(x) عند x = x1، وg(x1) هي قيمة الدالة g(x) عند x = x1. هذا يعني أنه إذا كان للمعادلة حل، فإن نطاقي الدالتين f(x) وg(x) لهما عناصر مشتركة (E1∩E2 !=∅). إذا كانت المجموعتان E1 وE2 لا تحتويان على مثل هذه العناصر المشتركة، فإن المعادلة ليس لها حلول.
يتم استخدام عدم المساواة الأساسية لتقييم التعبيرات. (الملحق رقم 2).
دع المعادلة f(x) = g(x) تعطى. إذا كان f(x)>=0 وg(x)
1.x2+2xsinxy+1=0.
حل. هناك وحدة على الجانب الأيسر، مما يعني أنه يمكنك استخدام الأساسية الهوية المثلثية: x2+ 2xsinxy+ sin2xy+cos2xy=0.
مجموع الحدود الثلاثة الأولى هو مربع كامل:
(س+سينكسي)2+cos2xy =0.
وبالتالي، على الجانب الأيسر يوجد مجموع المربعات، وهو يساوي صفرًا عندما تكون التعبيرات الموجودة في المربعات تساوي صفرًا في نفس الوقت. لنكتب النظام: cosxy=0,x+sinxy=0.
إذا كانت cosxy=0، فإن sinxy= +-1، وبالتالي فإن هذا النظام يعادل مزيجًا من نظامين: x+1=0,cosxy=0 أو x-1=0,cosxy=0.
حلولهم هي أزواج من الأرقام x=1، y = PI 2 + PIm، m∈Z، وx=-1، y = PI 2 + PIm، m∈Z.
الإجابة: x=1، y = PI 2 + PIm، m∈Z، وx=-1، y = PI 2 + PIm، m∈Z.
إذا كان على الفاصل الزمني X أعلى قيمةإحدى الوظائف y = f(x)، y = g(x) تساوي A و أصغر قيمةدالة أخرى تساوي أيضًا A، فإن المعادلة f(x) = g(x) مكافئة على الفاصل الزمني X لنظام المعادلات fx=A, gx=A.
1. أوجد جميع قيم a التي يوجد للمعادلة حل لها
2cos222x-x2=a+3sin(22x-x2+1).
بعد التعويض عن t= 22x-x2 نصل إلى المعادلة cos(2t+PI3)=a-12.
الدالة t=2m تزداد، مما يعني أنها تصل إلى أكبر قيمة لها عند أعلى قيمة m. لكن m=2x - x لها أكبر قيمة تساوي 1. ثم tmax = 22·1-1=2. وبالتالي، فإن مجموعة قيم الدالة t = 22x-x2 هي الفاصل الزمني (0;2، والدالة cos(2t+PI3) هي الفاصل الزمني -1;0.5). وبالتالي، فإن المعادلة الأصلية لديها حل لتلك وفقط تلك القيم التي تحقق المتباينات -1الإجابة: -12. حل المعادلة (log23)x+a+2 = (log94)x2+a2-6a-5.
باستخدام عدم المساواة الواضحة
الإجابة: س= - 5+32 إذا كان أ=1+32 و س=-5+32 إذا كان أ= 1-32.
يمكنك النظر في المعادلات الأخرى بمزيد من التفصيل. (الملحق رقم 3).
الفصل 3. استخدام خاصية رتابة الوظيفة.
يقال إن الدالة y = f(x) تتزايد (على التوالي، تتناقص) على مجموعة X إذا كانت في هذه المجموعة، مع زيادة الوسيطة، تزيد قيم الدالة (على التوالي، تنخفض).
بمعنى آخر، الدالة y = f(x) تزداد على المجموعة X إذا كانت من x1∈X وx2∈X وx1 وتتناقص على هذه المجموعة إذا كانت من x1∈X وx2∈X وx1 f(x2).
يقال إن الدالة y = f(x) غير متزايدة بشكل صارم (على التوالي، غير متناقصة بشكل صارم) على X إذا كانت x1∈X وx2∈X وx1=f(x2)).
تسمى الوظائف التي تزيد وتنقص على X رتيبة على X، والوظائف التي لا تتزايد أو تتناقص بشكل صارم على X تسمى رتيبة غير صارمة على X.
لإثبات رتابة الوظائف، يتم استخدام العبارات التالية:
1. إذا زادت الدالة f على المجموعة X، فبالنسبة لأي رقم C فإن الدالة f + C تزيد أيضًا على X.
2. إذا زادت الدالة f على المجموعة X وC > 0، فإن الدالة Cf تزيد أيضًا على X.
3. إذا زادت الدالة f في المجموعة X، فإن الدالة - f تتناقص في هذه المجموعة.
4. إذا زادت الدالة f على المجموعة X وحافظت على الإشارة على المجموعة X، فإن الدالة 1f تنخفض على هذه المجموعة.
5. إذا زادت الدالتان f وg في المجموعة X، فإن مجموعهما f+g يزيد أيضًا في هذه المجموعة.
6. إذا كانت الدالتان f وg تزايديتين وغير سالبتين في المجموعة X، فإن منتجهما fg يتزايد أيضًا على X.
7. إذا كانت الدالة f تزايدية وغير سالبة على المجموعة X و n - عدد طبيعي، فإن الدالة fn تزداد أيضًا بمقدار X.
8. إذا كانت كلتا الدالتين f(x) وg(x) تتزايدان أو تتناقصان معًا، فإن الدالة h(x) = f(g(x)) هي دالة متزايدة. إذا كانت إحدى الوظائف تتزايد. والآخر يتناقص، إذن h(x) = f(g(x)) دالة تناقصية.
دعونا صياغة النظريات حول المعادلات.
النظرية 1.
إذا كانت الدالة f(x) رتيبة في الفترة X، فإن المعادلة f(x) = C لها جذر واحد على الأكثر في الفترة X.
النظرية 2.
إذا كانت الدالة f(x) رتيبة في الفترة X، فإن المعادلة f(g(x)) = f(h(x)) مكافئة في الفترة X للمعادلة g(x) = h(x) .
النظرية 3.
إذا زادت الدالة f(x) في الفاصل الزمني X، وتناقصت g(x) في الفاصل الزمني X، فإن المعادلة g(x) = f(x) لها جذر واحد على الأكثر في الفاصل الزمني X.
النظرية 4.
إذا زادت الدالة f(x) في الفترة X، فإن المعادلة f(f(x)) = x تعادل في الفترة X المعادلة f(x) = x.
1. أوجد جميع قيم a التي تحتوي المعادلة على ثلاثة جذور بالضبط
4-x-alog3(x2-2x+3)+2-x2+2xlog13(2x-a+2)=0.
حل. دعونا نحول هذه المعادلة إلى النموذج
2x2-2xlog3(x2-2x+3)= 22x-a-1log3(2x-a+2).
إذا وضعنا u = x2-2x, v=2x-a-1، فإننا نصل إلى المعادلة
2ulog3(u+3)= 2vlog3(v+3).
الدالة f (t) = 2tlog3(t+3) تزداد رتابة لـ t >-2، لذلك من المعادلة الأخيرة يمكننا الانتقال إلى المكافئ u = v، x2-2x = 2x-a-1⇔(x-1) )2=2x -أ.
هذه المعادلة، كما يتبين من الشكل، لها ثلاثة جذور بالضبط في الحالات التالية:
1. تقع قمة الرسم البياني للدالة y = 2x-a عند قمة القطع المكافئ y = (x-1)2، والذي يتوافق مع a = 1؛
2. يمس الشعاع الأيسر من الرسم البياني y = 2x-a القطع المكافئ، ويتقاطع معه الشعاع الأيمن عند نقطتين؛ هذا ممكن مع a=12;
3. يتلامس الشعاع الأيمن ويتقاطع الشعاع الأيسر مع القطع المكافئ، وهو ما يحدث عندما يكون a=32.
دعونا نشرح الحالة الثانية. معادلة الشعاع الأيسر هي y = 2a-2x ميليساوي -2. ومن ثم، فإن المعامل الزاوي للمماس للقطع المكافئ يساوي
2(x -1) = -2 ⇒ x = 0 ونقطة الظل لها إحداثيات (0; 1). وبشرط أن هذه النقطة تنتمي إلى الشعاع نجد أن a=12.
يمكن اعتبار الحالة الثالثة بالمثل أو باستخدام اعتبارات التماثل.
الجواب: 0.5؛ 1;1.5.
يمكننا النظر في المعادلات الأخرى بمزيد من التفصيل. (الملحق رقم 4).
الفصل 4. استخدام خصائص التحدب.
دع الدالة f(x) يتم تعريفها على الفاصل الزمني X، يطلق عليها محدبة بشكل صارم للأسفل (للأعلى) على X إذا كانت لأي u وv من X، u!=v و0
هندسيًا، هذا يعني أن أي نقطة من الوتر BC (أي قطعة تنتهي عند النقطتين B(u;f(u)) وC(v;f(v))، تختلف عن النقطتين B وC، تقع أعلاه (أدناه) النقطة والرسم البياني للدالة f(x)، الموافق لنفس قيمة الوسيطة (الملحق رقم 5).
تسمى الوظائف المحدبة بشكل صارم لأعلى ولأسفل محدبة تمامًا.
العبارات التالية صحيحة.
النظرية 1.
دع الدالة f(x) تكون محدبة تمامًا للأسفل على الفاصل الزمني X, u ,v ∈X, u
البيان التالي يتبع من النظرية 1.
النظرية 2.
إذا كانت الدالة f(x) محدبة بشكل صارم في الفاصل الزمني X، فإن الدوال u = u(x)، v = v(x)، u1=u1(x)، v1 = v1(x) تكون هكذا لجميع x من معادلات ODZ f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (1) قيمها u(x)، v(x)، u1(x)، v1(x) هي الواردة في X والشرط u مستوفي +v = u1 +v1، فإن المعادلة f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (2) على ODZ تعادل مجموعة المعادلات u (x) = u1(x)، u(x) = v1(x) (3).
1. 41-الخطيئة4x+41-cos4x=412.
حل. إذا وضعنا fx=41-x2, u=cos2x, v=sin2x, u1=v1=12 فستكتب هذه المعادلة على الصورة (1). بما أن f"x= -x24(1-x2)3, f""x=-2+x244(1-x2)7، فإن الدالة fx تكون محدبة بشكل صارم لأعلى على المقطع -1;1. ومن الواضح أن الباقي استيفاء الشروط النظرية 2، وبالتالي فإن المعادلة تعادل المعادلة cos2x = 0.5، x = PI4 +PIk2، حيث k∈Z.
الإجابة: x = PI4 + PIk2، حيث k∈Z.
النظرية 3.
دع الدالة fx تكون محدبة بشكل صارم على الفاصل الزمني X و u,v, lectv+(1-lect)u∈X. عندها تكون المساواة f (v+(1-)u) = f(v)+(1-)f(u) (4) صالحة إذا وفقط إذا كانت u=v أو =0 أو =1 .
أمثلة: sin2xcos3x+cos2xsin3x∙1+sin2xcos3x+cos2xsin3x= sin2xcos3x1+cos3x+cos2xsin3x1+sin3x.
المعادلة لها الشكل (4) إذا كانت fx=x1+x= x+x2، u=sin3x، v= cos3x، lect=sin2x.
من الواضح أن الدالة fx محدبة تمامًا للأسفل على R. لذلك، وفقًا للنظرية 3، المعادلة الأصلية تعادل مجموعة المعادلات sinx=0، sin2x=1، cos3x=sin3x.
من هنا نستنتج أن حلولها ستكون PIk2، PI12+PIn3، حيث k,n∈Z.
الإجابة: PIk2، PI12+PIn3، حيث k,n∈Z.
ويستخدم استخدام خصائص التحدب في الحل وأكثر من ذلك معادلات معقدة. (الملحق رقم 6).
الفصل 5. استخدام الخصائص الزوجية أو الفردية للوظائف.
يتم استدعاء الدالة fx حتى لو كانت أي قيمة x مأخوذة من مجال تعريف الدالة، فإن القيمة - x تنتمي أيضًا إلى مجال التعريف والمساواة f-x = fx. تسمى الدالة fx غريبة إذا كانت أي قيمة x مأخوذة من مجال تعريف الدالة، فإن القيمة - x تنتمي أيضًا إلى مجال التعريف والمساواة f-x = - fx.
ويترتب على التعريف أن مجالات الدوال الزوجية والفردية تكون متناظرة حول الصفر (شرط ضروري).
بالنسبة لأي قيمتين متماثلتين للوسيطة من مجال التعريف، تكون الدالة الزوجية متساوية القيم الرقمية، وغريب - يساوي في قيمه مطلقهولكن بعلامة معاكسة.
النظرية 1.
المجموع والفرق والحاصل وحاصل دالتين زوجيتين هي دوال زوجية.
النظرية 2.
المنتج وحاصل وظيفتين فرديتين هما حتى الوظائف.
لنحصل على المعادلة F(x)=0، حيث F(x) دالة زوجية أو فردية.
لحل المعادلة F(x) = 0، حيث F(x) هي دالة زوجية أو فردية، يكفي العثور على جذور موجبة (أو سلبية) متناظرة مع تلك التي تم الحصول عليها، ومن أجل وظيفة غريبةسيكون الجذر x = 0 إذا كانت هذه القيمة ضمن مجال F(x). بالنسبة للدالة الزوجية، يتم التحقق من القيمة x = 0 عن طريق التعويض المباشر في المعادلة.
لدينا دوال زوجية في طرفي المعادلة. لذلك، يكفي إيجاد حلول لـ x>=0. بما أن x=0 ليس جذرًا للمعادلة، فكر في فترتين: (0;2, 2;ما لا نهاية.
أ) في الفترة (0؛2 لدينا:
8س= 2س+2-س+2، 23س=24، س= 43.
ب) في الفترة 2؛ اللانهاية لدينا:
8س= 2س+2+س-2.23س=22س، س=0.
لكن بما أن x = 0 ليس جذرًا للمعادلة، فبالنسبة لـ x>0 فإن هذه المعادلة لها جذر x = 43. ثم x = - 43 هو أيضًا جذر للمعادلة.
الجواب: 43؛ - 43.
يعتقد المؤلف أن العمل يمكن استخدامه من قبل المعلمين وطلاب أنواع التعليم العام في نشاطات خارجية، استعدادا ل أولمبياد الرياضيات, اجتياز امتحان الدولة الموحدة, امتحانات القبولإلى المدارس الفنية.
هدف:النظر في مشاكل ZNO باستخدام الأساليب الرسومية الوظيفية باستخدام مثال وظيفة الأسيةص = أ س، أ>0، a1
أهداف الدرس:
تكرار خاصية الرتابة ومحدودية الدالة الأسية؛
كرر الخوارزمية لإنشاء الرسوم البيانية الوظيفية باستخدام التحويلات؛
العثور على العديد من القيم والعديد من التعريفات للدالة حسب نوع الصيغة واستخدام الرسم البياني؛
يقرر المعادلات الأسيةوالمتباينات والأنظمة التي تستخدم الرسوم البيانية وخصائص الوظائف.
العمل مع الرسوم البيانية الوظيفية التي تحتوي على وحدة نمطية؛
انظر إلى الرسوم البيانية وظيفة معقدةونطاق قيمها؛
1. كلمة تمهيدية للمعلم. الدافع لدراسة هذا الموضوع
شريحة 1 الدالة الأسية. "الطرق الوظيفية - الرسومية لحل المعادلات والمتباينات"
تعتمد الطريقة الرسومية الوظيفية على استخدام الرسوم التوضيحية وتطبيق خصائص الوظيفة وتتيح لك حل العديد من المشكلات في الرياضيات.
الشريحة 2 أهداف الدرس
سننظر اليوم إلى مشاكل ZNO بمستويات مختلفة من التعقيد باستخدام الأساليب الرسومية الوظيفية باستخدام مثال الدالة الأسية y = a x, a>o, a1. باستخدام برنامج رسومي، سنقوم بإنشاء رسوم توضيحية للمشكلات.
الشريحة 3 ما أهمية معرفة خصائص الدالة الأسية؟
وفقا لقانون الدالة الأسية، فإن جميع الكائنات الحية على الأرض سوف تتكاثر إذا كانت هناك ظروف مواتية لذلك، أي. لم يكن هناك أعداء طبيعيون وكان هناك الكثير من الطعام. والدليل على ذلك انتشار الأرانب في أستراليا والتي لم تكن موجودة من قبل. كان ذلك كافيا لإطلاق سراح اثنين من الأفراد، وبعد بعض الوقت أصبح ذريتهم كارثة وطنية.
في الطبيعة والتكنولوجيا والاقتصاد هناك عمليات عديدة تتغير خلالها قيمة الكمية بنفس عدد المرات، أي: وفقا لقانون الدالة الأسية. وتسمى هذه العمليات العمليات نمو عضويأو التوهين العضوي.
على سبيل المثال، نمو البكتيريافي ظل الظروف المثالية يتوافق مع عملية النمو العضوي. التحلل الإشعاعي للمواد– عملية التوهين العضوي .
تخضع لقوانين النمو العضوي نمو الودائعفي بنك الادخار، استعادة الهيموجلوبينفي دم متبرع أو جريح فقد الكثير من الدم.
أعط الأمثلة الخاصة بك
التطبيق في الحياه الحقيقيه(جرعة الدواء).
يعلم الجميع أن الحبوب التي أوصى بها الطبيب للعلاج يجب أن تؤخذ عدة مرات في اليوم، وإلا فإنها ستكون غير فعالة. إن الحاجة إلى إعادة إعطاء الدواء للحفاظ على تركيز ثابت في الدم ناتجة عن تدمير الدواء الذي يحدث في الجسم. يوضح الشكل كيف يتغير تركيز الأدوية في دم الشخص أو الحيوان، في معظم الحالات، بعد تناول جرعة واحدة. الشريحة4.
يمكن تقريب الانخفاض في تركيز الدواء من خلال الأس الذي يحتوي أسه على الوقت. من الواضح أن معدل تدمير الدواء في الجسم يجب أن يتناسب مع شدة عمليات التمثيل الغذائي.
هناك حالة مأساوية واحدة حدثت بسبب الجهل بهذا الإدمان. مع نقطة علميةإن عقار LSD، الذي يسبب هلوسة غريبة لدى الأشخاص العاديين، مثير للاهتمام جدًا للأطباء النفسيين وعلماء الفسيولوجيا العصبية. وقرر بعض الباحثين دراسة رد فعل الفيل لهذا الدواء. وللقيام بذلك، أخذوا كمية من عقار إل إس دي الذي يثير حفيظة القطط وضربوها بعدد المرات التي تكون فيها كتلة الفيل أكبر من كتلة القطة، معتقدين أن جرعة الدواء المعطاة يجب أن تتناسب طرديا مع الكتلة من الحيوان. أدى حقن مثل هذه الجرعة من عقار إل إس دي في فيل إلى وفاته خلال 5 دقائق، ومن هنا استنتج الباحثون أن الأفيال شديدة الحساسية لهذا الدواء. ووصفت مراجعة لهذا العمل، والتي ظهرت لاحقًا في الصحافة، بأنه "خطأ يشبه الفيل" من قبل مؤلفي التجربة.
2. تحديث معارف الطلاب.
ماذا يعني دراسة وظيفة؟ (صياغة تعريف، وصف الخصائص، رسم رسم بياني)
ما هي الوظيفة التي تسمى الأسي؟ اعط مثالا.
ما هي الخصائص الأساسية للدالة الأسية التي تعرفها؟
نطاق الأهمية (المحدودية)
اِختِصاص
الرتابة (حالة الزيادة والنقصان)
الشريحة 5 . حدد مجموعة متنوعة من قيم الوظائف (وفقًا للرسم النهائي)
الشريحة 6. قم بتسمية الشرط الخاص بزيادة وتناقص الدالة واربط صيغة الدالة بالرسم البياني الخاص بها
الشريحة 7. بناءً على الرسم النهائي، قم بوصف الخوارزمية الخاصة بإنشاء الرسوم البيانية للوظائف
ب) ص=3 س-2 – 2
3. التشخيص عمل مستقل(باستخدام الكمبيوتر).
وينقسم الفصل إلى مجموعتين. الجزء الرئيسي من الفصل يؤدي مهام الاختبار. يؤدي الطلاب الأقوياء مهام أكثر تعقيدًا.
العمل المستقل في البرنامجقوة نقطة(للجزء الرئيسي من الفصل حسب النوع مهام الاختبارمن ZNO مع نموذج استجابة مغلق)
ما هي الدالة الأسية المتزايدة؟
أوجد مجال تعريف الدالة.
أوجد نطاق الدالة.
يتم الحصول على الرسم البياني للدالة من الرسم البياني للدالة الأسية عن طريق الترجمة المتوازية على طول المحور ... بواسطة .. الوحدات ...
باستخدام الرسم النهائي، حدد مجال التعريف ومجال قيمة الوظيفة
حدد القيمة التي تمر بها الدالة الأسية عبر النقطة.
ما الشكل الذي يوضح التمثيل البياني لدالة أسية ذات أساس أكبر من واحد؟
قم بمطابقة الرسم البياني للدالة مع الصيغة.
الحل الرسومي الذي يظهر عدم المساواة في الشكل.
حل المتراجحة بيانياً (باستخدام الرسم النهائي)
العمل المستقل (للجزء القوي من الفصل)
الشريحة 8. اكتب الخوارزمية لإنشاء رسم بياني للدالة، وقم بتسمية مجال التعريف الخاص بها، ونطاق القيمة، وفترات الزيادة والنقصان.
الشريحة 9. قم بمطابقة صيغة الدالة مع الرسم البياني الخاص بها
يتحقق الطلاب من إجاباتهم دون تصحيح الأخطاء، ويتم تسليم العمل المستقل إلى المعلم
الشريحة 10. إجابات على مهام الاختبار
5) د 6) ج 7) ب 8) 1-ز 2-أ 3-ج 4- ب
9) أ 10)(2;+ 
)
الشريحة 11 (فحص المهمة 8)
4. الدراسة موضوع جديد. تطبيق طريقة الرسم الوظيفي لحل المعادلات والمتباينات والأنظمة وتحديد نطاق قيم دالة معقدة
الشريحة 12. طريقة رسومية وظيفية لحل المعادلات
لحل معادلة من الصورة f(x)=g(x) وظيفيا طريقة رسوميةبحاجة ل:
أنشئ رسومًا بيانية للدالتين y=f(x) وy=g(x) في نفس نظام الإحداثيات.
تحديد إحداثيات نقطة تقاطع الرسوم البيانية لهذه الوظائف.
اكتب الجواب.
المهمة رقم 1 حل المعادلات
الشريحة 13.
هل للمعادلة جذر، وإذا كان الأمر كذلك، فهل هو موجب أم سالب؟
6 × = 1/6
(4/3) س = 4
الشريحة 14
5. القيام بالأعمال العملية.
الشريحة 15.
هذه المعادلة يمكن حلها بيانيا. يُطلب من الطلاب إكمال المهمة ثم الإجابة على السؤال: "هل من الضروري إنشاء رسوم بيانية للدوال لحل هذه المعادلة؟" الإجابة: "تزداد الدالة على نطاق التعريف بأكمله، وتتناقص الدالة. وبالتالي، فإن الرسوم البيانية لهذه الدوال لها نقطة تقاطع واحدة على الأكثر، مما يعني أن المعادلة لها جذر واحد على الأكثر. وبالاختيار نجد أن ".
حل المعادلة:
الشريحة 16. .حل:نستخدم الطريقة الوظيفية لحل المعادلات:
لأن ولهذا النظام حل فريد، وباستخدام طريقة الاختيار نجد x = 1
المهمة رقم 2: حل عدم المساواة
تتيح الطرق الرسومية حل المتباينات التي تحتوي على وظائف مختلفة. للقيام بذلك، بعد إنشاء الرسوم البيانية للدوال على الجانبين الأيسر والأيمن من المتراجحة وتحديد حدود نقطة تقاطع الرسوم البيانية، من الضروري تحديد الفاصل الزمني الذي تقع فيه جميع نقاط أحد الرسوم البيانية أعلاه (أقل من 0 نقطة من الثانية.
حل عدم المساواة:
أ) جتا × ١ + ٣ ×
شريحة 1 8. حل:
إجابة: ( ؛ )
حل المتراجحة بيانيا.
الشريحة 19.
(يقع الرسم البياني للدالة الأسية أعلى الدالة المكتوبة على الجانب الأيمن من المعادلة.)
الجواب: س>2. عن
.
الجواب: س>0.
المهمة رقم 3 تحتوي الدالة الأسية على علامة المعامل في الأس.
دعونا نكرر تعريف الوحدة.
(اكتب على السبوره)
الشريحة 20.
قم بتدوين ملاحظات في دفتر ملاحظاتك:
1). 
2). 
يتم عرض رسم توضيحي على الشريحة، اشرح كيفية إنشاء الرسوم البيانية.
الشريحة 21.
لحل هذه المعادلة، عليك أن تتذكر خاصية حدود الدالة الأسية. الدالة تأخذ القيم >
1، أ – 1 >
1، وبالتالي فإن المساواة ممكنة فقط إذا كان طرفا المعادلة يساويان 1 في نفس الوقت. وهذا يعني أنه بحل هذا النظام نجد أن X = 0.
المهمة 4. العثور على نطاق قيم دالة معقدة.
الشريحة 22.
استخدام القدرة على بناء الرسم البياني وظيفة من الدرجة الثانية، حدد بشكل تسلسلي إحداثيات قمة القطع المكافئ، وأوجد نطاق القيم.
الشريحة 23.
، هو قمة القطع المكافئ.
سؤال:تحديد طبيعة رتابة الوظيفة.
الدالة الأسية y = 16 t تزداد، منذ 16>1.
دقة مثل هذا الحل منخفضة، ولكن بمساعدة الرسم البياني يمكنك اختيار التقريب الأول بذكاء للبدء في حل المعادلة. هناك طريقتان لحل المعادلات بيانيا.
الطريقة الأولى . يتم نقل جميع شروط المعادلة إلى الجانب الأيسر، أي. يتم تقديم المعادلة في الشكل f(x) = 0. بعد ذلك، يتم إنشاء رسم بياني للدالة y = f(x)، حيث f(x) هو الجانب الأيسر من المعادلة. حدود نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة y = f(x) مع المحور ثوروهي جذور المعادلة، لأن عند هذه النقاط ص = 0.
الطريقة الثانية . تنقسم جميع حدود المعادلة إلى مجموعتين، إحداهما مكتوبة على الجانب الأيسر من المعادلة، والأخرى على اليمين، أي. قم بتمثيلها بالصيغة j(x) = g(x). بعد ذلك، يتم رسم الرسوم البيانية لوظيفتين y = j(x) وy = g(x). تعمل حدود نقاط تقاطع الرسوم البيانية لهاتين الوظيفتين كجذور لهذه المعادلة. دع نقطة تقاطع الرسوم البيانية تحتوي على حرف x o، فإن إحداثيات كلا الرسمين البيانيين عند هذه النقطة متساوية مع بعضها البعض، أي. ي(س س) = ز(س س). ويترتب على هذه المساواة أن x 0 هو جذر المعادلة.
فصل الجذر
تنقسم عملية إيجاد القيم التقريبية لجذور المعادلة إلى مرحلتين:
1) فصل الجذور.
2) صقل الجذور بدقة معينة.
يؤخذ في الاعتبار الجذر x للمعادلة f(x) = 0 منفصل على الفترة إذا كانت المعادلة f(x) = 0 ليس لها جذور أخرى في هذه الفترة.
فصل الجذور يعني تقسيم النطاق الكامل للقيم المقبولة إلى أجزاء، يحتوي كل منها على جذر واحد.
الطريقة الرسومية لفصل الجذر - في هذه الحالة اتبع نفس الطريقة المتبعة مع الطريقة الرسومية لحل المعادلات.
إذا لامس المنحنى المحور x، فعند هذه النقطة يكون للمعادلة جذر مزدوج (على سبيل المثال، المعادلة x 3 - 3x + 2 = 0 لها ثلاثة جذور: x 1 = -2؛ x 2 = x 3 = 1) ).
إذا كانت المعادلة لها جذر حقيقي ثلاثي، فعند نقطة الاتصال بالمحور X المنحنى y = f(x) له نقطة انقلاب (على سبيل المثال، المعادلة x 3 - 3x 2 + 3x - 1 = 0 لها جذر x 1 = x 2 = x 3 = 1).
طريقة فصل الجذر التحليلي . للقيام بذلك، استخدم بعض خصائص الوظائف.
النظرية 1 . إذا كانت الدالة f(x) متصلة على مقطع وتأخذ قيم إشارات مختلفة في نهايات هذا المقطع، فداخل المقطع يوجد جذر واحد على الأقل للمعادلة f(x) = 0.
النظرية 2. إذا كانت الدالة f(x) متصلة ورتيبة على قطعة ما وتأخذ قيم إشارات مختلفة في نهايات القطعة، فإن القطعة تحتوي على جذر المعادلة f(x) = 0، وهذا الجذر فريد .
النظرية 3 . إذا كانت الدالة f(x) متصلة على مقطع وتأخذ قيم إشارات مختلفة في نهايات هذا المقطع، والمشتق f "(x) يحتفظ بإشارة ثابتة داخل المقطع، فداخل المقطع يوجد جذر المعادلة f(x) = 0، علاوة على ذلك، واحد فريد.
إذا تم إعطاء الدالة f(x) بشكل تحليلي، إذن مجال الوجود (مجال التعريف) للوظيفة هي مجموعة كل تلك القيم الحقيقية للوسيطة التي لا يفقد التعبير التحليلي الذي يحدد الدالة معناها العددي ويأخذ القيم الحقيقية فقط.
يتم استدعاء الدالة y = f(x). في ازدياد ، إذا زادت الوسيطة، زادت قيمة الدالة، و متناقص ، إذا زادت الوسيطة، انخفضت قيمة الدالة.
يتم استدعاء الدالة رتيب ، إذا كان في فترة زمنية معينة إما يزيد أو ينقص فقط.
لتكن الدالة f(x) متصلة على القطعة وتأخذ قيم إشارات مختلفة في نهايات القطعة، ويحتفظ المشتق f "(x) بإشارة ثابتة على الفاصل الزمني. ثم إذا كان في جميع نقاط القطعة الفاصل الزمني المشتق الأول موجب، أي f "(x) >0، ثم الدالة f(x) في هذا الفاصل الزمني يزيد . إذا كان المشتق الأول سالبًا في جميع نقاط الفترة، أي. و "(خ)<0, то функция в этом интервале يتناقص .
افترض أن الدالة f(x) على فترة ما لها مشتق من الدرجة الثانية يحافظ على إشارة ثابتة طوال الفترة بأكملها. ثم إذا كان f ""(x)>0، فإن الرسم البياني للدالة هو محدب للأسفل ; إذا و ""(خ)<0, то график функции является محدب لأعلى .
النقاط التي يكون عندها المشتق الأول للدالة يساوي الصفر، وكذلك تلك التي لا توجد عندها (على سبيل المثال، تتحول إلى ما لا نهاية)، ولكن الدالة تحافظ على الاستمرارية، تسمى شديد الأهمية .
إجراء فصل الجذور باستخدام الطريقة التحليلية:
1) ابحث عن f "(x) - المشتق الأول.
2) قم بعمل جدول علامات الدالة f(x) بافتراض X يساوي:
أ) القيم الحرجة (الجذور) للمشتق أو الأقرب إليها؛
ب) القيم الحدودية (على أساس نطاق القيم المسموح بها للمجهول).
مثال. افصل جذور المعادلة 2 س - 5س - 3 = 0.
لدينا f(x) = 2 x - 5x - 3 . مجال تعريف الدالة f(x) هو المحور العددي بأكمله.
لنحسب المشتقة الأولى f "(x) = 2 x ln(2) - 5.
نحن نساوي هذا المشتق بالصفر:
2 × سجل(2) - 5 = 0 ; 2 × سجل(2) = 5 ; 2 س = 5/ln(2) ; xlg(2) = lg(5) - lg(ln(2)) .
نقوم بتجميع جدول علامات الدالة f(x)، على افتراض X يساوي: أ) القيم الحرجة (جذور المشتقة) أو الأقرب إليها؛ ب) القيم الحدودية (على أساس نطاق القيم المسموح بها للمجهول):
تكمن جذور المعادلة في الفترات (-1.0) و (4.5).
فكرة الطريقة الرسومية لحل المعادلة بسيطة. من الضروري إنشاء رسوم بيانية للدوال الموجودة في طرفي المعادلة وإيجاد حدود نقاط التقاطع. لكن رسم بعض الوظائف أمر صعب. ليس هناك دائمًا حاجة للجوء إلى الرسوم البيانية، حيث يمكن حل مثل هذه المعادلات باستخدام طريقة اختيار الجذر، وذلك باستخدام خصائص الرتابة وحدود الدوال. يتيح لك هذا حل المهام المقدمة بسرعة كبيرة عند اجتياز اختبار الدولة الموحدة.
تحميل:
معاينة:
المؤسسة التعليمية البلدية
"صالة الألعاب الرياضية رقم 24"
طريقة الرسم الوظيفية
حلول المعادلات.
من إعداد المعلم
دانيلينا أولغا سيرجيفنا.
ماجادان 2007
« وظيفية - طريقة رسومية لحل المعادلات "
الهدف من الدرس: تطوير القدرة على حل المعادلات من نوع معين باستخدام طريقة بيانية وظيفية باستخدام خصائص الحدود ورتابة الوظائف
هيكل الدرس:
خطاب تمهيدي للمعلم، مقدمة لموضوع الدرس، تحديد الأهداف
تحديث المعرفة المكتسبة مسبقًا اللازمة لإتقان موضوع الدرس
العرض التقديمي الذي يقدمه المقدمون، يحتوي على عرض تقديمي لمواد جديدة مع عينات من الحلول لأنواع مختلفة من المعادلات
العمل في مجموعات لغرض الدمج الأولي لما تم تعلمه
إجراء لعبة مشابهة للعبة: "ماذا؟ أين؟ متى؟"
تلخيص الدرس.
- في الكلمة التمهيدية، يشارك المعلم تجربته مع الطريقة الجديدة. يتحدث عن الحاجة إلى إتقانها وأهميتها وإمكانية اكتساب المزيد من المهارات قرار عقلانيمقارنات
- تحديث المعرفة:: الدوال المتزايدة والتناقصية، الأمثلة، خواص الرتابة والدوال المحدودة.
- عرض موضوع جديد باستخدام شرائح توضح المواد النظرية مع أمثلة لحلول المعادلات (انظر الملحق).
- العمل في مجموعات: يتم إعطاء كل مجموعة بطاقات تحتوي على مهام ونماذج من الحلول والواجبات. يقوم المستشارون الطلابيون الذين يقودون الدرس بمراقبة تقدم المهام ويأتيون للإنقاذ إذا لزم الأمر. أثناء عملهم، يمكن للعاملين في مجموعات استخدام أجهزة الكمبيوتر المجهزة ببرنامج خاص يسمح لهم ببناء رسوم بيانية للوظائف، وبفضل هذا، في المواقف الصعبة، يمكن استخدام الكمبيوتر كتلميح أو كفرصة للتوضيح بوضوح صحة الحل وصحة الطريقة المختارة.
- الحماية من قبل ممثل مجموعة المهام المكتملة باستخدام لوحة الوسائط المتعددة التي توضح حل المعادلات باستخدام طريقة رسومية للتأكد من دقة المهمة المكتملة. را
- تنفيذ اللعبة. يتم سماع سؤال لكل مجموعة من شاشة المراقبة، تم تسجيله مسبقًا بواسطة معلمين مختلفين في المدرسة، ويتم تخصيص دقيقة للمناقشة، وبعد ذلك يجب على الأطفال تقديم إجابتهم المنطقية. بعد ذلك، من الشاشة التي تم تشغيلها حديثًا، يقدم المعلم الذي طرح السؤال مسبقًا نسخة من إجابته، وبالتالي، فإن التكرار المتكرر للاستدلال حول موضوع تمت دراسته حديثًا، وخاصة النطق بكفاءة من قبل أشخاص مختلفين، يحقق أفضل الظروف لإتقان موضوع جديد (أنظر الملحق).
- التلخيص: تحديد أفضل “خمسة خبراء، أفضل لاعب.
أسئلة للفصل؛
ماذا تعلمت في درس اليوم؟
ما المعادلات التي يمكن حلها باستخدام طريقة الاختيار؟
ما هي خصائص الوظائف المستخدمة في هذه الحالة.
أسئلة للمشاركين في اللعبة:
أعزائي الخبراء، في دقيقة واحدة ابحثوا عن جذر هذه المعادلة وأثبتوا أنها الوحيدة.
الإجابة: مجموع دالتين تزايديتين هو دالة تزايدية. y = - يزيد بشكل رتيب، وبالتالي فإن المعادلة لها جذر واحد، لأن يتقاطع الرسم البياني لهذه الدالة مع الخط المستقيم y=3 مرة واحدة. عندما x=1 نحصل على المساواة الصحيحة. الجواب: س=1
أعزائي الخبراء، في دقيقة واحدة، قم بتسمية الدوال الموجودة في طرفي المتراجحة وإيجاد جذر هذه المعادلة.
الإجابة: y = - الدالة الأسية المتزايدة على مجموعة الأعداد الحقيقية. y=6 - x هي دالة خطية، تتناقص بشكل رتيب على مجموعة الأعداد الحقيقية. وهذا يعني أن الرسوم البيانية للدوال تتقاطع عند نقطة واحدة، وأن المعادلة لها جذر واحد. عندما x=2 نحصل على المساواة الصحيحة. الجواب: س=2
3. عزيزي الخبراء، أنت تعلم بالفعل أن المعادلة لها جذر واحد x=3. في دقيقة واحدة، أجب عن قيم x التي يحملها عدم المساواة.
الإجابة: المتباينة تنطبق على x Є، لأن في هذه الفترة، الرسم البياني للدالة y = يقع أسفل الرسم البياني للدالة y =
4. عزيزي الخبراء، كثير من الناس يجدون صعوبة في حل المعادلة. في دقيقة واحدة، ابحث عن جذر هذه المعادلة وأثبت أنها فريدة.
الجواب: جذر المعادلة x = -3 فريد، لأن الطرف الأيسر من المعادلة يحتوي على دالة تناقصية، والجانب الأيمن يحتوي على دالة متزايدة، مما يعني أن الرسوم البيانية للدوال تتقاطع عند نقطة واحدة والمعادلة لها جذر واحد.
5. عزيزي الخبراء، لدي سؤال صعب بالنسبة لك. يمكنك بسهولة العثور على جذر المعادلة. أثبت أنه الوحيد. الإجابة: x=1 هو الجذر الوحيد.
وظيفية - طريقة رسومية لحل المعادلات.
________________________________________________________________________
الهدف من الدرس: تعلم كيفية حل المعادلات باستخدام طريقة الاستبدال، باستخدام خصائص الرتابة وحدود الدوال.
_________________________________________________________________________
المواد المرجعية
- تسمى الدالة زيادة (تناقص) على مجموعة X إذا كانت قيمة الدالة تزيد (تتناقص) في هذه المجموعة، مع زيادة (تناقص) الوسيطة.
مثال 1:
- تتزايد الوظائف
مثال 2:
تتناقص الوظائف
المواد المرجعية
2. مجموع دالتين متزايدتين هو دالة متزايدة.
مثال:
3. مجموع دالتين متناقصتين هو دالة تناقصية.
