Schüler der 10. Klasse Yuri Kotovchikhin

Bereits ab der 6. Klasse beginnen die Schüler mit dem Studium von Gleichungen mit Modulen; sie erlernen die Standardlösungsmethode durch die Entwicklung von Modulen auf Intervallen konstanten Vorzeichens submodularer Ausdrücke. Ich habe mich für dieses spezielle Thema entschieden, weil ich glaube, dass es ein tiefergehendes und gründlicheres Studium erfordert; die Probleme mit dem Modul bereiten den Studierenden große Schwierigkeiten. IN Lehrplan Es gibt Aufgaben, die ein Modul enthalten, als Aufgaben mit erhöhter Komplexität in Prüfungen, daher müssen wir auf eine solche Aufgabe vorbereitet sein.

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Kommunal Bildungseinrichtung

Durchschnitt allgemein bildende Schule №5

Forschungsarbeit zum Thema:

« Algebraische und grafische Lösung von Gleichungen und Ungleichungen mit Modul»

Ich habe die Arbeit erledigt:

Schüler der 10. Klasse

Kotovchikhin Yuri

Aufsicht:

Mathematiklehrer

Shanta N.P.

Urjupinsk

1.Einleitung……………………………………………………….3

2. Konzepte und Definitionen…………………………………….5

3. Beweis der Theoreme…………………………………………..6

4. Methoden zur Lösung von Gleichungen, die das Modul enthalten…………...7

4.1. Lösung unter Verwendung von Abhängigkeiten zwischen den Zahlen a und b, ihren Modulen und Quadraten………………………………………………………………………………12

4.2.Verwendung der geometrischen Interpretation des Moduls zur Lösung von Gleichungen……………………………………………………………..14

4.3.Graphen der einfachsten Funktionen, die das Vorzeichen des Absolutwerts enthalten.

………………………………………………………………………15

4.4. Nichtstandardisierte Gleichungen lösen, die ein Modul enthalten....16

5. Fazit……………………………………………………….17

6. Liste der verwendeten Literatur……………………………18

Zweck der Arbeit: Ab der 6. Klasse beginnen die Studierenden mit dem Studium von Gleichungen mit Modulen; sie erlernen die Standardlösungsmethode durch die Erweiterung von Modulen auf Intervallen mit konstantem Vorzeichen submodularer Ausdrücke. Ich habe mich für dieses spezielle Thema entschieden, weil ich glaube, dass es ein tiefergehendes und gründlicheres Studium erfordert; die Probleme mit dem Modul bereiten den Studierenden große Schwierigkeiten. Im Lehrplan der Schule gibt es Aufgaben, die ein Modul enthalten, als Aufgaben mit erhöhter Komplexität und in Prüfungen, daher müssen wir auf eine solche Aufgabe vorbereitet sein.

1. Einleitung:

Das Wort „Modul“ kommt vom lateinischen Wort „modulus“, was „Maß“ bedeutet. Dabei handelt es sich um ein polysemantisches Wort (Homonym), das viele Bedeutungen hat und nicht nur in der Mathematik, sondern auch in Architektur, Physik, Technik, Programmierung und anderen exakten Wissenschaften verwendet wird.

In der Architektur ist dies die anfängliche Maßeinheit, die für eine bestimmte architektonische Struktur festgelegt und verwendet wird, um mehrere Verhältnisse ihrer Bestandteile auszudrücken.

In der Technik ist dies ein Begriff, der in verwendet wird Diverse Orte Technik, die keine universelle Bedeutung hat und der Bezeichnung dient verschiedene Koeffizienten und Größen, zum Beispiel Eingriffsmodul, Elastizitätsmodul usw.

Der Volumenmodul ist (in der Physik) das Verhältnis der Normalspannung in einem Material zur relativen Dehnung.

2. Konzepte und Definitionen

Der Modul – der Absolutwert – einer reellen Zahl A wird mit |A| bezeichnet.

Tief studieren dieses Thema Ich muss mich mit den einfachsten Definitionen vertraut machen, die ich brauche:

Eine Gleichung ist eine Gleichung, die Variablen enthält.

Eine Gleichung mit einem Modul ist eine Gleichung, die eine Variable unter dem Absolutwertzeichen (unter dem Modulzeichen) enthält.

Eine Gleichung zu lösen bedeutet, alle ihre Wurzeln zu finden oder zu beweisen, dass es keine Wurzeln gibt.

3. Beweis der Theoreme

Satz 1. Absoluter Wert einer reellen Zahl ist gleich der größeren der beiden Zahlen a oder -a.

Nachweisen

1. Wenn die Zahl a positiv ist, dann ist -a negativ, also -a

Beispielsweise ist die Zahl 5 positiv, dann ist -5 negativ und -5

In diesem Fall |a| = a, also |a| entspricht der größeren der beiden Zahlen a und - a.

2. Wenn a negativ ist, dann ist -a positiv und a

Folge. Aus dem Satz folgt, dass |-a| = |a|.

Tatsächlich sind beide und gleich der größeren der Zahlen -a und a, was bedeutet, dass sie einander gleich sind.

Satz 2. Der Absolutwert jeder reellen Zahl a ist gleich der Arithmetik Quadratwurzel von einem 2 .

In der Tat, wenn wir dann nach der Definition des Moduls einer Zahl lÀl>0 haben, bedeutet dies für A>0 andererseits |a| = √A 2

Wenn ein 2

Dieser Satz ermöglicht es, |a| bei der Lösung einiger Probleme zu ersetzen. An

Geometrisch |a| bezeichnet den Abstand auf der Koordinatenlinie vom Punkt, der die Zahl a darstellt, zum Ursprung.

Wenn dann auf der Koordinatenlinie zwei Punkte a und -a liegen, die den gleichen Abstand von Null haben und deren Module gleich sind.

Wenn a = 0, dann auf der Koordinatenlinie |a| dargestellt durch Punkt 0

4. Methoden zum Lösen von Gleichungen, die einen Modul enthalten.

Um Gleichungen zu lösen, die das Vorzeichen des Absolutwerts enthalten, verlassen wir uns auf die Definition des Moduls einer Zahl und die Eigenschaften des Absolutwerts einer Zahl. Wir werden mehrere Beispiele auf unterschiedliche Weise lösen und sehen, welche Methode einfacher ist, um Gleichungen zu lösen, die einen Modul enthalten.

Beispiel 1. Lösen wir analytisch und grafisch die Gleichung |x + 2| = 1.

Lösung

Analytische Lösung

1. Methode

Wir werden auf der Grundlage der Definition eines Moduls argumentieren. Wenn der Ausdruck unter dem Modul nicht negativ ist, d. h. x + 2 ≥0, dann „kommt“ er mit einem Pluszeichen unter dem Modulzeichen hervor und die Gleichung nimmt die Form an: x + 2 = 1. Wenn die Ist der Wert des Ausdrucks unter dem Modulzeichen negativ, dann ist er per Definition gleich: oder x + 2=-1

Somit erhalten wir entweder x + 2 = 1 oder x + 2 = -1. Wenn wir die resultierenden Gleichungen lösen, finden wir: X+2=1 oder X+2+-1

X=-1 X=3

Antwort: -3;-1.

Nun können wir schließen: Wenn der Modul eines Ausdrucks gleich einer positiven reellen Zahl a ist, dann ist der Ausdruck unter dem Modul entweder a oder -a.

Grafische Lösung

Eine Möglichkeit, Gleichungen, die ein Modul enthalten, zu lösen, ist die grafische Methode. Der Kern dieser Methode besteht darin, Diagramme dieser Funktionen zu erstellen. Wenn sich die Graphen schneiden, sind die Schnittpunkte dieser Graphen die Wurzeln unserer Gleichung. Wenn sich die Graphen nicht schneiden, können wir daraus schließen, dass die Gleichung keine Wurzeln hat. Diese Methode wird wahrscheinlich seltener als andere zur Lösung von Gleichungen verwendet, die einen Modul enthalten, da sie erstens viel Zeit in Anspruch nimmt und nicht immer rational ist und zweitens die Ergebnisse beim Zeichnen von Diagrammen nicht immer genau sind.

Eine andere Möglichkeit, Gleichungen zu lösen, die einen Modul enthalten, besteht darin, die Zahlenlinie in Intervalle aufzuteilen. In diesem Fall müssen wir den Zahlenstrahl aufteilen, damit durch die Definition des Moduls das Vorzeichen des Absolutwerts in diesen Intervallen entfernt werden kann. Dann müssen wir für jedes der Intervalle diese Gleichung lösen und eine Schlussfolgerung hinsichtlich der resultierenden Wurzeln ziehen (ob sie unser Intervall erfüllen oder nicht). Wurzeln, die die Lücken schließen, geben die endgültige Antwort.

2. Methode

Stellen wir fest, bei welchen Werten von x das Modul gleich Null ist: |X+2|=0, X=2

Wir erhalten zwei Intervalle, in denen wir jeweils die Gleichung lösen:

Wir erhalten zwei gemischte Systeme:

(1) X+2 0

X-2=1 X+2=1

Lassen Sie uns jedes System lösen:

X=-3 X=-1

Antwort: -3;-1.

Grafische Lösung

y= |X+2|, y= 1.

Grafische Lösung

Um die Gleichung grafisch zu lösen, müssen Sie Diagramme der Funktionen und erstellen

Um einen Graphen einer Funktion zu erstellen, erstellen wir einen Graphen einer Funktion – das ist eine Funktion, die die OX-Achse und die OY-Achse an Punkten schneidet.

Die Abszissen der Schnittpunkte der Funktionsgraphen ergeben Lösungen für die Gleichung.

Der gerade Graph der Funktion y=1 schneidet den Graphen der Funktion y=|x + 2| an Punkten mit den Koordinaten (-3; 1) und (-1; 1), daher sind die Lösungen der Gleichung die Abszissen der Punkte:

x=-3, x=-1

Antwort: -3;-1

Beispiel 2. Lösen Sie analytisch und grafisch die Gleichung 1 + |x| = 0,5.

Lösung:

Analytische Lösung

Lassen Sie uns die Gleichung umwandeln: 1 + |x| = 0,5

|x| =0,5-1

|x|=-0,5

Es ist klar, dass die Gleichung in diesem Fall keine Lösungen hat, da der Modul per Definition immer nicht negativ ist.

Antwort: Es gibt keine Lösungen.

Grafische Lösung

Lassen Sie uns die Gleichung umwandeln: : 1 + |x| = 0,5

|x| =0,5-1

|x|=-0,5

Der Graph der Funktion besteht aus Strahlen – Winkelhalbierenden des 1. und 2. Koordinatenwinkels. Der Graph der Funktion ist eine gerade Linie parallel zur OX-Achse, die durch den Punkt -0,5 auf der OY-Achse verläuft.

Die Graphen schneiden sich nicht, was bedeutet, dass die Gleichung keine Lösungen hat.

Antwort: keine Lösungen.

Beispiel 3. Lösen Sie analytisch und grafisch die Gleichung |-x + 2| = 2x + 1.

Lösung:

Analytische Lösung

1. Methode

Zuerst müssen Sie den Bereich festlegen akzeptable Werte Variable. Es stellt sich natürlich die Frage: Warum war dies in den vorherigen Beispielen nicht nötig, aber jetzt ist es aufgetaucht?

Tatsache ist, dass in diesem Beispiel auf der linken Seite der Gleichung der Modul eines Ausdrucks und auf der rechten Seite keine Zahl, sondern ein Ausdruck mit einer Variablen steht – dieser wichtige Umstand unterscheidet dieses Beispiel von dem die vorherigen.

Da auf der linken Seite ein Modul steht und auf der rechten Seite ein Ausdruck, der eine Variable enthält, muss gefordert werden, dass dieser Ausdruck nicht negativ ist, d.h. also der gültige Bereich

Modulwerte

Jetzt können wir auf die gleiche Weise argumentieren wie in Beispiel 1, als auf der rechten Seite der Gleichheit eine positive Zahl stand. Wir erhalten zwei gemischte Systeme:

(1) -X+2≥0 und (2) -X+2

X+2=2X+1; X-2=2X+1

Lassen Sie uns jedes System lösen:

(1) ist im Intervall enthalten und die Wurzel der Gleichung.

X≤2

X=⅓

(2) X>2

X=-3

X = -3 ist nicht im Intervall enthalten und keine Wurzel der Gleichung.

Antwort: ⅓.

4.1. Lösung unter Verwendung von Abhängigkeiten zwischen den Zahlen a und b, ihren Modulen und den Quadraten dieser Zahlen.

Zusätzlich zu den Methoden, die ich oben angegeben habe, gibt es eine gewisse Äquivalenz zwischen Zahlen und Modulen gegebener Zahlen sowie zwischen Quadraten und Modulen gegebener Zahlen:

|a|=|b| a=b oder a=-b

A2=b2 a=b oder a=-b

Von hier aus erhalten wir wiederum das

|a|=|b| a 2 =b 2

Beispiel 4. Lösen Sie die Gleichung |x + 1|=|2x - 5| auf zwei verschiedene Arten.

1. Unter Berücksichtigung der Beziehung (1) erhalten wir:

X + 1=2x - 5 oder x + 1=-2x + 5

x - 2x=-5 - 1 x + 2x=5 - 1

X=-6|(:1) 3x=4

X=6 x=11/3

Wurzel der ersten Gleichung x=6, Wurzel der zweiten Gleichung x=11/3

Somit sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung x 1 =6, x 2 =11/3

2. Aufgrund der Beziehung (2) erhalten wir

(x + 1)2=(2x - 5)2 oder x2 + 2x + 1=4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25=0

3x2 + 22x - 24=0|(:-1)

3x2 - 22x + 24=0

D/4=121-3 24=121 - 72=49>0 ==>die Gleichung hat 2 verschiedene Wurzeln.

x 1 =(11 - 7)/3=11/3

x 2 =(11 + 7)/3=6

Wie die Lösung zeigt, sind die Wurzeln gegebene Gleichung auch die Zahlen 11/3 und 6

Antwort: x 1 =6, x 2 =11/3

Beispiel 5. Lösen Sie die Gleichung (2x + 3) 2 =(x - 1) 2 .

Unter Berücksichtigung der Beziehung (2) erhalten wir |2x + 3|=|x - 1|, woraus nach dem Beispiel des vorherigen Beispiels (und nach Beziehung (1)):

2x + 3=x - 1 oder 2x + 3=-x + 1

2x - x=-1 - 3 2x+ x=1 - 3

X=-4 x=-0,(6)

Somit sind die Wurzeln der Gleichung x1 = -4 und x2 = -0, (6)

Antwort: x1=-4, x2 =0,(6)

Beispiel 6. Lösen Sie die Gleichung |x - 6|=|x2 - 5x + 9|

Unter Verwendung der Beziehung erhalten wir:

x - 6=x2 - 5x + 9 oder x - 6 = -(x2 - 5x + 9)

X2 + 5x + x - 6 - 9=0 |(-1) x - 6=-x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15=0 x2 - 4x + 3=0

D=36 - 4 15=36 - 60= -24 D=16 - 4 3=4 >0==>2 r.k.

==> keine Wurzeln.

X 1 =(4- 2) /2=1

X 2 =(4 + 2) /2=3

Überprüfen Sie: |1 - 6|=|12 - 5 1 + 9| |3 - 6|=|32 - 5 3 + 9|

5 = 5(I) 3 = |9 - 15 + 9|

3 = 3(I)

Antwort: x 1 =1; x 2 =3

4.2.Verwendung der geometrischen Interpretation des Moduls zur Lösung von Gleichungen.

Die geometrische Bedeutung des Differenzmoduls zwischen Größen ist der Abstand zwischen ihnen. Zum Beispiel, geometrische Bedeutung Ausdrücke |x - a | - die Länge des Segments der Koordinatenachse, das die Punkte mit den Abszissen a und x verbindet. Die Übersetzung eines algebraischen Problems in geometrische Sprache ermöglicht es oft, umständliche Lösungen zu vermeiden.

Beispiel 7. Lösen wir die Gleichung |x - 1| + |x - 2|=1 unter Verwendung der geometrischen Interpretation des Moduls.

Wir werden wie folgt argumentieren: Basierend auf der geometrischen Interpretation des Moduls ist die linke Seite der Gleichung die Summe der Abstände von einem Abszissenpunkt x zu zwei festen Punkten mit Abszissen 1 und 2. Dann ist es offensichtlich, dass alle Punkte mit Abszissen aus dem Segment haben die erforderliche Eigenschaft und Punkte außerhalb dieses Segments - nein. Daher die Antwort: Die Lösungsmenge der Gleichung ist das Segment.

Antwort:

Beispiel8. Lösen wir die Gleichung |x - 1| - |x - 2|=1 1 unter Verwendung der geometrischen Interpretation des Moduls.

Wir werden ähnlich wie im vorherigen Beispiel argumentieren und feststellen, dass der Abstandsunterschied zu Punkten mit den Abszissen 1 und 2 nur für Punkte, die sich auf der Koordinatenachse rechts von der Zahl 2 befinden, gleich eins ist. Daher ist die Lösung für Diese Gleichung wird nicht das zwischen den Punkten 1 und 2 eingeschlossene Segment sein, sondern der Strahl, der von Punkt 2 ausgeht und in die positive Richtung der OX-Achse gerichtet ist.

Antwort: (1;+), dann schneidet die Gerade y=a den Graphen von Gleichung (1) an einem Punkt. Wir werden die Abszisse dieses Punktes finden, wenn wir die Gleichung nach x lösen.

Somit hat Gleichung (1) in diesem Intervall eine Lösung.

Wenn a , dann schneidet die Gerade y=a den Graphen von Gleichung (1) an zwei Punkten. Die Abszissen dieser Punkte können aus den Gleichungen ermittelt werden und wir erhalten

Und.

Wenn a , dann schneidet die Gerade y=a den Graphen von Gleichung (1) nicht, daher gibt es keine Lösungen.

Antwort:

Wenn ein  (-;-1](1;+), dann;

Wenn ein  , dann;

Wenn ein  , dann gibt es keine Lösungen.

II. Finden Sie alle Werte des Parameters a, für die die Gleichung drei verschiedene Wurzeln hat.

Lösung.

Nachdem Sie die Gleichung in die Form umgeschrieben und ein Funktionspaar betrachtet haben, können Sie feststellen, dass die gewünschten Werte des Parameters a und nur sie den Positionen des Funktionsgraphen entsprechen, an denen er genau drei Schnittpunkte mit dem hat Funktionsgraph.

Im xOy-Koordinatensystem erstellen wir einen Graphen der Funktion. Dazu können wir sie in der Form darstellen und, nachdem wir vier auftretende Fälle betrachtet haben, diese Funktion in die Form schreiben

Da der Graph einer Funktion eine gerade Linie ist, deren Neigungswinkel zur Ox-Achse gleich ist und die Oy-Achse an einem Punkt mit den Koordinaten (0, a) schneidet, schließen wir, dass nur die drei angegebenen Schnittpunkte erhalten werden können für den Fall, dass diese Linie den Graphen der Funktion berührt. Deshalb finden wir die Ableitung

Antwort: .

III. Finden Sie alle Werte des Parameters a, für die jeweils das Gleichungssystem gilt

hat Lösungen.

Lösung.

Aus der ersten Gleichung des Systems erhalten wir bei. Daher definiert diese Gleichung eine Familie von „Halbparabeln“ – die rechten Äste der Parabel „gleiten“ mit ihren Scheitelpunkten entlang der Abszissenachse.

Wählen wir auf der linken Seite der zweiten Gleichung aus perfekte Quadrate und faktorisieren Sie es in Faktoren

Die Punktmenge der Ebene, die die zweite Gleichung erfüllt, sind zwei Geraden

Lassen Sie uns herausfinden, bei welchen Werten des Parameters a eine Kurve aus der Familie der „Halbparabeln“ mindestens einen gemeinsamen Punkt mit einer der resultierenden Geraden hat.

Wenn die Scheitelpunkte der Halbparabeln rechts vom Punkt A, aber links vom Punkt B liegen (Punkt B entspricht dem Scheitelpunkt der „Halbparabel“, die sich berührt

gerade Linie), dann haben die betrachteten Graphen keine gemeinsamen Punkte. Wenn der Scheitelpunkt der „Halbparabel“ mit Punkt A zusammenfällt, dann.

Wir bestimmen den Fall einer „Halbparabel“, die eine Gerade berührt, aus der Bedingung der Existenz einer eindeutigen Lösung des Systems

In diesem Fall die Gleichung

hat eine Wurzel, von wo aus wir finden:

Folglich hat das ursprüngliche System keine Lösungen bei, aber bei oder hat mindestens eine Lösung.

Antwort: a  (-;-3] (;+).

IV. Löse die Gleichung

Lösung.

Mit Gleichheit, gegebene Gleichung Schreiben wir es im Formular um

Diese Gleichung entspricht dem System

Wir schreiben die Gleichung im Formular um

. (*)

Die letzte Gleichung lässt sich am einfachsten mit geometrischen Überlegungen lösen. Erstellen wir Diagramme der Funktionen und. Aus dem Diagramm folgt, dass sich die Diagramme nicht schneiden und die Gleichung daher keine Lösungen hat.

Wenn, dann wenn die Graphen der Funktionen übereinstimmen und daher alle Werte Lösungen der Gleichung (*) sind.

Wenn sich die Graphen in einem Punkt schneiden, dessen Abszisse ist. Wenn also die Gleichung (*) eine eindeutige Lösung hat – .

Lassen Sie uns nun untersuchen, bei welchen Werten von a die gefundenen Lösungen der Gleichung (*) die Bedingungen erfüllen

Dann lass es sein. Das System nimmt das Formular an

Seine Lösung wird das Intervall x (1;5) sein. In Anbetracht dessen können wir schließen, dass die ursprüngliche Ungleichung äquivalent zu wahr ist, wenn die ursprüngliche Gleichung von allen Werten von x aus dem Intervall erfüllt wird numerische Ungleichheit 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

Auf dem Integral (1;+∞) erhalten wir wiederum die lineare Ungleichung 2х<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Das gleiche Ergebnis kann jedoch aus visuellen und gleichzeitig streng geometrischen Überlegungen erzielt werden. Abbildung 7 zeigt die Funktionsgraphen:j= F( X)=| X-1|+| X+1| Undj=4.

Abbildung 7.

Auf dem Integralgraphen (-2;2) der Funktionj= F(X) liegt unter dem Graphen der Funktion y=4, was bedeutet, dass die UngleichungF(X)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II )Ungleichungen mit Parametern.

Die Lösung von Ungleichungen mit einem oder mehreren Parametern ist in der Regel eine komplexere Aufgabe als ein Problem, bei dem es keine Parameter gibt.

Beispielsweise erfordert die Lösung der Ungleichung √a+x+√a-x>4, die den Parameter a enthält, natürlich viel mehr Aufwand als die Ungleichung √1+x + √1-x>1.

Was bedeutet es, die erste dieser Ungleichungen zu lösen? Dies bedeutet im Wesentlichen, dass wir nicht nur eine Ungleichung lösen, sondern eine ganze Klasse, einen ganzen Satz von Ungleichungen, die wir erhalten, wenn wir dem Parameter einen bestimmten numerischen Wert zuweisen. Die zweite der geschriebenen Ungleichungen ist ein Sonderfall der ersten, da sie sich daraus mit dem Wert a = 1 ergibt.

Eine Ungleichung mit Parametern zu lösen bedeutet also, zu bestimmen, bei welchen Werten der Parameter die Ungleichung Lösungen hat, und für alle diese Parameterwerte alle Lösungen zu finden.

Beispiel 1:

Lösen Sie die Ungleichung |x-a|+|x+a|< B, A<>0.

Diese Ungleichung mit zwei Parametern lösenA u BLassen Sie uns geometrische Überlegungen verwenden. Die Abbildungen 8 und 9 zeigen die Funktionsgraphen.

Y= F(X)=| X- A|+| X+ A| u j= B.

Es ist offensichtlich, wannB<=2| A| geradej= Büberschreitet nicht den horizontalen Abschnitt der Kurvej=| X- A|+| X+ A| und daher hat die Ungleichung in diesem Fall keine Lösungen (Abbildung 8). WennB>2| A|, dann die Zeilej= Bschneidet den Graphen einer Funktionj= F(X) an zwei Punkten (-B/2; B) u (B/2; B)(Abbildung 6) und die Ungleichung gilt in diesem Fall für –B/2< X< B/2, da für diese Werte der Variablen die Kurvej=| X+ A|+| X- A| liegt unter der Geradenj= B.

Antwort: WennB<=2| A| , dann gibt es keine Lösungen,

WennB>2| A|, dannX €(- B/2; B/2).

III) Trigonometrische Ungleichungen:

Bei der Lösung von Ungleichungen mit trigonometrischen Funktionen werden im Wesentlichen die Periodizität dieser Funktionen und ihre Monotonie auf den entsprechenden Intervallen ausgenutzt. Die einfachsten trigonometrischen Ungleichungen. FunktionSünde Xhat eine positive Periode von 2π. Daher Ungleichungen der Form:sin x>a, sin x>=a,

Sünde x

Es reicht aus, zunächst ein Segment der Länge 2 zu lösenπ . Wir erhalten die Menge aller Lösungen, indem wir zu jeder der in diesem Segment gefundenen Lösungen Zahlen der Form 2 addierenπ p, pЄZ.

Beispiel 1: Ungleichung lösenSünde X>-1/2. (Abbildung 10)

Lösen wir zunächst diese Ungleichung im Intervall [-π/2;3π/2]. Betrachten wir seine linke Seite – das Segment [-π/2;3π/2]. Hier ist die GleichungSünde X=-1/2 hat eine Lösung x=-π/6; und die FunktionSünde Xsteigt monoton an. Das heißt, wenn –π/2<= X<= -π/6, то Sünde X<= Sünde(- π /6)=-1/2, d.h. Diese Werte von x sind keine Lösungen der Ungleichung. Wenn –π/6<х<=π/2 то Sünde X> Sünde(-π/6) = –1/2. Alle diese Werte von x sind keine Lösungen der Ungleichung.

Auf dem verbleibenden Segment [π/2;3π/2] die FunktionSünde Xdie Gleichung nimmt auch monoton abSünde X= -1/2 hat eine Lösung x=7π/6. Wenn also π/2<= X<7π/, то Sünde X> Sünde(7π/6)=-1/2, d.h. Alle diese Werte von x sind Lösungen der Ungleichung. FürXWir habenSünde X<= Sünde(7π/6)=-1/2, diese x-Werte sind keine Lösungen. Somit ist die Menge aller Lösungen dieser Ungleichung im Intervall [-π/2;3π/2] das Integral (-π/6;7π/6).

Aufgrund der Periodizität der FunktionSünde Xmit einer Periode von 2π Werten von x aus einem beliebigen Integral der Form: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄZ, sind auch Lösungen für die Ungleichung. Keine anderen Werte von x sind Lösungen für diese Ungleichung.

Antwort: -π/6+2πN< X<7π/6+2π N, WoNЄ Z.

Abschluss

Wir haben uns die grafische Methode zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen angesehen; Wir haben uns konkrete Beispiele angesehen, deren Lösung Eigenschaften von Funktionen wie Monotonie und Parität nutzte.Die Analyse wissenschaftlicher Literatur und Mathematiklehrbücher ermöglichte es, das ausgewählte Material entsprechend den Zielen des Studiums zu strukturieren, wirksame Methoden zur Lösung von Gleichungen und Ungleichungen auszuwählen und zu entwickeln. Der Artikel stellt eine grafische Methode zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen sowie Beispiele vor, in denen diese Methoden verwendet werden. Das Ergebnis des Projekts kann als kreative Aufgabe betrachtet werden, als Hilfsmittel zur Entwicklung der Fähigkeit, Gleichungen und Ungleichungen mit der grafischen Methode zu lösen.

Liste der verwendeten Literatur

Dalinger V. A. „Geometrie hilft der Algebra.“ Verlag „Schule – Presse“. Moskau 1996

Dalinger V. A. „Alles für den Erfolg bei Abschluss- und Aufnahmeprüfungen in Mathematik.“ Verlag der Pädagogischen Universität Omsk. Omsk 1995

Okunev A. A. „Grafische Lösung von Gleichungen mit Parametern.“ Verlag „Schule – Presse“. Moskau 1986

Pismensky D. T. „Mathematik für Gymnasiasten.“ Verlag „Iris“. Moskau 1996

Yastribinetsky G. A. „Gleichungen und Ungleichungen, die Parameter enthalten.“ Verlag „Prosveshcheniye“. Moskau 1972

G. Korn und T. Korn „Handbook of Mathematics“. Verlag „Science“ für physikalische und mathematische Literatur. Moskau 1977

Amelkin V.V. und Rabtsevich V.L. „Probleme mit Parametern“. Verlag „Asar“. Minsk 1996

Internetressourcen

L.A. Kustova

Mathematiklehrer

Woronesch, MBOU Lyzeum Nr. 5

Projekt

"Vorteile grafische Methode Lösen von Gleichungen und Ungleichungen.“

Klasse:

7-11

Artikel:

Mathematik

Forschungsziel:

HerausfindenVorteile der grafischen Methode zur Lösung von Gleichungen und Ungleichungen.

Hypothese:

Einige Gleichungen und Ungleichungen lassen sich einfacher und ästhetisch ansprechender grafisch lösen.

Forschungsphasen:

Vergleichen Sie analytische und grafische LösungsmethodenGleichungen und Ungleichungen.

Finden Sie heraus, in welchen Fällen die grafische Methode Vorteile hat.

Erwägen Sie die Lösung von Gleichungen mit Modul und Parameter.

Forschungsergebnisse:

1. Die Schönheit der Mathematik ist ein philosophisches Problem.

2. Beim Lösen einiger Gleichungen und Ungleichungen eine grafische Lösungam praktischsten und attraktivsten.

3. Mit einer grafischen Lösung können Sie die Attraktivität der Mathematik in der Schule nutzenGleichungen und Ungleichungen.

„Die mathematischen Wissenschaften haben seit der Antike besondere Aufmerksamkeit auf sich gezogen,

Derzeit ist ihr Einfluss auf Kunst und Industrie noch stärker ins Interesse gerückt.“

Pafnutiy Lvovich Chebyshev.

Ab der 7. Klasse werden verschiedene Methoden zur Lösung von Gleichungen und Ungleichungen betrachtet, darunter auch grafische. Wer glaubt, dass Mathematik eine trockene Wissenschaft ist, ändert meiner Meinung nach seine Meinung, wenn er sieht, wie schön sich manche Typen lösen lassenGleichungen und Ungleichungen. Lassen Sie mich Ihnen einige Beispiele nennen:

1).Lösen Sie die Gleichung: = .

Sie können es analytisch lösen, das heißt, beide Seiten der Gleichung in die dritte Potenz erhöhen und so weiter.

Die grafische Methode ist für diese Gleichung praktisch, wenn Sie lediglich die Anzahl der Lösungen angeben müssen.

Ähnliche Aufgaben treten häufig bei der Lösung des Blocks „Geometrie“ der OGE der 9. Klasse auf.

2).Lösen Sie die Gleichung mit dem Parameter:

││ X│- 4│= A

Nicht das komplexeste Beispiel, aber wenn Sie es analytisch lösen, müssen Sie die Modulklammern zweimal öffnen und für jeden Fall die möglichen Werte des Parameters berücksichtigen. Grafisch ist alles sehr einfach. Wir zeichnen Funktionsgraphen und sehen Folgendes:

Quellen:

Computer ProgrammErweiterte Grafik .

Eine der bequemsten Methoden zur Lösung quadratischer Ungleichungen ist die grafische Methode. In diesem Artikel schauen wir uns an, wie quadratische Ungleichungen grafisch gelöst werden. Lassen Sie uns zunächst diskutieren, was das Wesentliche dieser Methode ist. Als nächstes stellen wir den Algorithmus vor und betrachten Beispiele für die grafische Lösung quadratischer Ungleichungen.

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Die Essenz der grafischen Methode

Überhaupt grafische Methode zur Lösung von Ungleichungen mit einer Variablen wird nicht nur zur Lösung quadratischer Ungleichungen, sondern auch anderer Arten von Ungleichungen verwendet. Die Essenz der grafischen Methode zur Lösung von Ungleichungen Als nächstes: Betrachten Sie die Funktionen y=f(x) und y=g(x), die der linken und rechten Seite der Ungleichung entsprechen, erstellen Sie ihre Graphen in einem rechteckigen Koordinatensystem und finden Sie heraus, in welchen Abständen der Graph von einem von ihnen liegt sie ist niedriger oder höher als die anderen. Diese Intervalle wo

• der Graph der Funktion f über dem Graphen der Funktion g sind Lösungen der Ungleichung f(x)>g(x);
• der Graph der Funktion f nicht niedriger als der Graph der Funktion g sind Lösungen für die Ungleichung f(x)≥g(x) ;
• Der Graph von f unter dem Graphen von g sind Lösungen für die Ungleichung f(x)
• Der Graph einer Funktion f, der nicht höher ist als der Graph einer Funktion g, sind Lösungen für die Ungleichung f(x)≤g(x) .

Wir werden auch sagen, dass die Abszissen der Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g Lösungen der Gleichung f(x)=g(x) sind.

Übertragen wir diese Ergebnisse auf unseren Fall – um die quadratische Ungleichung a x 2 +b x+c zu lösen<0 (≤, >, ≥).

Wir führen zwei Funktionen ein: die erste y=a x 2 +b x+c (mit f(x)=a x 2 +b x+c), die der linken Seite der quadratischen Ungleichung entspricht, die zweite y=0 (mit g ( x)=0 ) entspricht der rechten Seite der Ungleichung. Zeitplan quadratische Funktion f ist eine Parabel und der Graph konstante Funktion g – gerade Linie, die mit der Abszissenachse Ox zusammenfällt.

Als nächstes muss gemäß der grafischen Methode zur Lösung von Ungleichungen analysiert werden, in welchen Abständen sich der Graph einer Funktion über oder unter einer anderen befindet, um die gewünschte Lösung der quadratischen Ungleichung aufzuschreiben. In unserem Fall müssen wir die Position der Parabel relativ zur Ox-Achse analysieren.

Abhängig von den Werten der Koeffizienten a, b und c sind die folgenden sechs Optionen möglich (für unsere Bedürfnisse reicht eine schematische Darstellung aus, und wir müssen die Oy-Achse nicht darstellen, da ihre Position keinen Einfluss auf die hat Lösungen der Ungleichung):

In dieser Zeichnung sehen wir eine Parabel, deren Äste nach oben gerichtet sind und die die Ox-Achse in zwei Punkten schneidet, deren Abszissen x 1 und x 2 sind. Diese Zeichnung entspricht der Option, wenn der Koeffizient a positiv ist (er ist für die Aufwärtsrichtung der Parabelzweige verantwortlich) und wenn der Wert positiv ist Diskriminante eines quadratischen Trinoms a x 2 +b x+c (in diesem Fall hat das Trinom zwei Wurzeln, die wir als x 1 und x 2 bezeichnet haben, und wir haben angenommen, dass x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

Zur Verdeutlichung stellen wir in Rot die Teile der Parabel dar, die über der x-Achse liegen, und in Blau die Teile, die sich unterhalb der x-Achse befinden.


Lassen Sie uns nun herausfinden, welche Intervalle diesen Teilen entsprechen. Die folgende Zeichnung hilft Ihnen, sie zu identifizieren (in Zukunft werden wir gedanklich ähnliche Auswahlen in Form von Rechtecken treffen):


Auf der Abszissenachse wurden also zwei Intervalle (−∞, x 1) und (x 2 , +∞) rot hervorgehoben, auf ihnen liegt die Parabel über der Ox-Achse, sie stellen eine Lösung der quadratischen Ungleichung a x 2 +b x dar +c>0 und das Intervall (x 1 , x 2) blau hervorgehoben ist, gibt es eine Parabel unter der Ox-Achse, sie stellt die Lösung der Ungleichung a x 2 +b x+c dar<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

Und nun kurz: für a>0 und D=b 2 −4 a c>0 (oder D"=D/4>0 für einen geraden Koeffizienten b)

• die Lösung der quadratischen Ungleichung a x 2 +b x+c>0 ist (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) oder in einer anderen Notation x x 2 ;
• die Lösung der quadratischen Ungleichung a x 2 +b x+c≥0 ist (−∞, x 1 ]∪ oder in einer anderen Schreibweise x 1 ≤x≤x 2 ,

wobei x 1 und x 2 die Wurzeln des quadratischen Trinoms a x 2 +b x+c und x 1 sind


Hier sehen wir eine Parabel, deren Äste nach oben gerichtet sind und die die Abszissenachse berührt, also mit ihr einen gemeinsamen Punkt hat; die Abszisse dieses Punktes bezeichnen wir als x 0. Der dargestellte Fall entspricht a>0 (die Äste sind nach oben gerichtet) und D=0 (das quadratische Trinom hat eine Wurzel x 0). Beispielsweise können Sie die quadratische Funktion y=x 2 −4·x+4 nehmen, hier a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 und x 0 =2.

Die Zeichnung zeigt deutlich, dass die Parabel überall außer am Berührungspunkt über der Ox-Achse liegt, also in den Intervallen (−∞, x 0), (x 0, ∞). Aus Gründen der Übersichtlichkeit markieren wir Bereiche in der Zeichnung analog zum vorherigen Absatz.


Wir ziehen Schlussfolgerungen: für a>0 und D=0

• die Lösung der quadratischen Ungleichung a·x 2 +b·x+c>0 ist (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) oder in einer anderen Notation x≠x 0;
• die Lösung der quadratischen Ungleichung a·x 2 +b·x+c≥0 ist (−∞, +∞) oder in einer anderen Notation x∈R ;
• quadratische Ungleichung a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• die quadratische Ungleichung a x 2 +b x+c≤0 hat eine eindeutige Lösung x=x 0 (sie ist durch den Tangentenpunkt gegeben),

wobei x 0 die Wurzel des quadratischen Trinoms a x 2 + b x + c ist.


In diesem Fall sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet und sie hat keine gemeinsamen Punkte mit der Abszissenachse. Hier gelten die Bedingungen a>0 (Zweige sind nach oben gerichtet) und D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Offensichtlich liegt die Parabel auf ihrer gesamten Länge oberhalb der Ox-Achse (es gibt keine Intervalle, in denen sie unterhalb der Ox-Achse liegt, es gibt keinen Tangentenpunkt).


Also für a>0 und D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 und a x 2 +b x+c≥0 ist die Menge aller reellen Zahlen und der Ungleichungen a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Und es bleiben drei Möglichkeiten für die Position der Parabel, deren Äste relativ zur Ox-Achse nach unten und nicht nach oben gerichtet sind. Im Prinzip müssen sie nicht berücksichtigt werden, da die Multiplikation beider Seiten der Ungleichung mit −1 es uns ermöglicht, zu einer äquivalenten Ungleichung mit einem positiven Koeffizienten für x 2 zu gelangen. Aber es schadet trotzdem nicht, sich ein Bild über diese Fälle zu machen. Die Argumentation hier ist ähnlich, daher werden wir nur die Hauptergebnisse aufschreiben.

Lösungsalgorithmus

Das Ergebnis aller vorherigen Berechnungen ist Algorithmus zur grafischen Lösung quadratischer Ungleichungen:

An Koordinatenebene Es wird eine schematische Zeichnung erstellt, die die Ox-Achse zeigt (die Darstellung der Oy-Achse ist nicht erforderlich) und eine Skizze einer Parabel entsprechend der quadratischen Funktion y=a·x 2 +b·x+c. Um eine Skizze einer Parabel zu zeichnen, genügt es, zwei Punkte zu klären:

• Erstens wird durch den Wert des Koeffizienten a bestimmt, wohin seine Zweige gerichtet sind (für a>0 - nach oben, für a<0 – вниз).
• Und zweitens wird anhand des Diskriminantenwerts des quadratischen Trinoms a x 2 + b x + c bestimmt, ob die Parabel die Abszissenachse in zwei Punkten schneidet (für D>0), sie in einem Punkt berührt (für D= 0) oder hat keine gemeinsamen Punkte mit der Ox-Achse (bei D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Wenn die Zeichnung fertig ist, verwenden Sie sie im zweiten Schritt des Algorithmus

  • Bei der Lösung der quadratischen Ungleichung a·x 2 +b·x+c>0 werden die Intervalle bestimmt, in denen die Parabel über der Abszisse liegt;
  • Beim Lösen der Ungleichung a·x 2 +b·x+c≥0 werden die Abstände bestimmt, in denen die Parabel über der Abszissenachse liegt, und die Abszissen der Schnittpunkte (bzw. die Abszissen des Tangentenpunkts) addiert ihnen;
  • beim Lösen der Ungleichung a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • Schließlich werden beim Lösen einer quadratischen Ungleichung der Form a·x 2 +b·x+c≤0 Intervalle gefunden, in denen die Parabel unterhalb der Ox-Achse und der Abszisse der Schnittpunkte (oder der Abszisse des Tangentenpunkts) liegt ) wird ihnen hinzugefügt;

  Sie stellen die gewünschte Lösung der quadratischen Ungleichung dar, und wenn es keine solchen Intervalle und keine Tangentenpunkte gibt, dann hat die ursprüngliche quadratische Ungleichung keine Lösungen.

Jetzt müssen nur noch ein paar quadratische Ungleichungen mit diesem Algorithmus gelöst werden.

Beispiele mit Lösungen

Beispiel.

Lösen Sie die Ungleichung .

Lösung.

Wir müssen eine quadratische Ungleichung lösen. Dazu verwenden wir den Algorithmus aus dem vorherigen Absatz. Im ersten Schritt müssen wir den Graphen der quadratischen Funktion skizzieren . Der Koeffizient von x 2 ist gleich 2, er ist positiv, daher sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet. Finden wir auch heraus, ob die Parabel gemeinsame Punkte mit der x-Achse hat; dazu berechnen wir die Diskriminante des quadratischen Trinoms . Wir haben . Es stellte sich heraus, dass die Diskriminante größer als Null war, daher hat das Trinom zwei reelle Wurzeln: Und , also x 1 =−3 und x 2 =1/3.

Daraus wird deutlich, dass die Parabel die Ox-Achse an zwei Punkten mit den Abszissen −3 und 1/3 schneidet. Wir werden diese Punkte in der Zeichnung als gewöhnliche Punkte darstellen, da wir eine nicht strikte Ungleichung lösen. Basierend auf den geklärten Daten erhalten wir folgende Zeichnung (sie passt zur ersten Vorlage aus dem ersten Absatz des Artikels):

Fahren wir mit dem zweiten Schritt des Algorithmus fort. Da wir eine nicht strikte quadratische Ungleichung mit dem Vorzeichen ≤ lösen, müssen wir die Abstände bestimmen, in denen die Parabel unterhalb der Abszisse liegt, und dazu die Abszissen der Schnittpunkte addieren.

Aus der Zeichnung geht hervor, dass die Parabel im Intervall (−3, 1/3) unterhalb der x-Achse liegt und wir addieren dazu die Abszissen der Schnittpunkte, also die Zahlen −3 und 1/3. Als Ergebnis gelangen wir zum Zahlenintervall [−3, 1/3] . Das ist die Lösung, die wir suchen. Sie kann als doppelte Ungleichung −3≤x≤1/3 geschrieben werden.

Antwort:

[−3, 1/3] oder −3≤x≤1/3 .

Beispiel.

Finden Sie die Lösung der quadratischen Ungleichung −x 2 +16 x−63<0 .

Lösung.

Wie üblich beginnen wir mit einer Zeichnung. Der numerische Koeffizient für das Quadrat der Variablen ist negativ, −1, daher sind die Äste der Parabel nach unten gerichtet. Berechnen wir die Diskriminante, oder besser noch ihren vierten Teil: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Sein Wert ist positiv, berechnen wir die Wurzeln des Quadrattrinoms: Und , x 1 =7 und x 2 =9. Die Parabel schneidet also die Ox-Achse an zwei Punkten mit den Abszissen 7 und 9 (die ursprüngliche Ungleichung ist streng, daher werden wir diese Punkte mit einem leeren Mittelpunkt darstellen). Jetzt können wir eine schematische Zeichnung erstellen:

Da wir eine strenge quadratische Ungleichung mit einem Vorzeichen lösen<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Die Zeichnung zeigt, dass die Lösungen der ursprünglichen quadratischen Ungleichung zwei Intervalle (−∞, 7) , (9, +∞) sind.

Antwort:

(−∞, 7)∪(9, +∞) oder in einer anderen Notation x<7 , x>9 .

Beim Lösen quadratischer Ungleichungen, wenn die Diskriminante eines quadratischen Trinoms auf seiner linken Seite Null ist, müssen Sie vorsichtig sein, ob Sie die Abszisse des Tangentenpunkts in die Antwort einbeziehen oder ausschließen. Dies hängt vom Vorzeichen der Ungleichung ab: Wenn die Ungleichung strikt ist, dann ist sie keine Lösung der Ungleichung, wenn sie jedoch nicht strikt ist, dann ist sie es.

Beispiel.

Hat die quadratische Ungleichung 10 x 2 −14 x+4,9≤0 mindestens eine Lösung?

Lösung.

Zeichnen wir die Funktion y=10 x 2 −14 x+4,9. Seine Zweige sind nach oben gerichtet, da der Koeffizient von x 2 positiv ist, und er berührt die Abszissenachse im Punkt mit der Abszisse 0,7, da D"=(−7) 2 −10 4,9=0, woher oder 0,7 in der Form eines Dezimalbruchs. Schematisch sieht es so aus:

Da wir eine quadratische Ungleichung mit dem Vorzeichen ≤ lösen, sind ihre Lösung die Intervalle, in denen die Parabel unterhalb der Ox-Achse liegt, sowie die Abszisse des Tangentenpunkts. Aus der Zeichnung geht hervor, dass es keine einzige Lücke gibt, in der die Parabel unterhalb der Ox-Achse liegen würde, sodass ihre Lösung nur die Abszisse des Tangentenpunkts ist, also 0,7.

Antwort:

Diese Ungleichung hat eine eindeutige Lösung 0,7.

Beispiel.

Lösen Sie die quadratische Ungleichung –x 2 +8 x−16<0 .

Lösung.

Wir folgen dem Algorithmus zur Lösung quadratischer Ungleichungen und beginnen mit der Konstruktion eines Graphen. Die Zweige der Parabel sind nach unten gerichtet, da der Koeffizient von x 2 negativ ist, −1. Finden wir die Diskriminante des quadratischen Trinoms –x 2 +8 x−16, wir haben D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 und dann x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Die Parabel berührt also die Ox-Achse im Abszissenpunkt 4. Machen wir die Zeichnung:

Wir schauen uns das Zeichen der ursprünglichen Ungleichung an, es ist da<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

In unserem Fall sind dies offene Strahlen (−∞, 4) , (4, +∞) . Unabhängig davon stellen wir fest, dass 4 – die Abszisse des Kontaktpunkts – keine Lösung ist, da die Parabel am Kontaktpunkt nicht tiefer als die Ox-Achse liegt.

Antwort:

(−∞, 4)∪(4, +∞) oder in einer anderen Notation x≠4 .

Achten Sie besonders auf Fälle, in denen die Diskriminante des quadratischen Trinoms auf der linken Seite der quadratischen Ungleichung kleiner als Null ist. Es besteht kein Grund, hier zu überstürzen und zu sagen, dass die Ungleichung keine Lösungen hat (wir sind es gewohnt, eine solche Schlussfolgerung für quadratische Gleichungen mit einer negativen Diskriminante zu ziehen). Der Punkt ist, dass die quadratische Ungleichung für D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Beispiel.

Finden Sie die Lösung der quadratischen Ungleichung 3 x 2 +1>0.

Lösung.

Wie üblich beginnen wir mit einer Zeichnung. Der Koeffizient a ist 3, er ist positiv, daher sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet. Wir berechnen die Diskriminante: D=0 2 −4·3·1=−12 . Da die Diskriminante negativ ist, hat die Parabel keine gemeinsamen Punkte mit der Ox-Achse. Für eine schematische Darstellung reichen die gewonnenen Informationen aus:

Wir lösen eine streng quadratische Ungleichung mit einem >-Zeichen. Seine Lösung sind alle Intervalle, in denen die Parabel über der Ox-Achse liegt. In unserem Fall liegt die Parabel auf ihrer gesamten Länge über der x-Achse, sodass die gewünschte Lösung die Menge aller reellen Zahlen sein wird.

Ox , und Sie müssen ihnen auch die Abszisse der Schnittpunkte oder die Abszisse der Tangente hinzufügen. Aus der Zeichnung ist jedoch deutlich ersichtlich, dass es keine solchen Intervalle gibt (da die Parabel überall unterhalb der Abszissenachse liegt), ebenso wie es keine Schnittpunkte und keine Tangentenpunkte gibt. Daher hat die ursprüngliche quadratische Ungleichung keine Lösungen.

Antwort:

keine Lösungen oder in einem anderen Eintrag ∅.

Referenzliste.

• Algebra: Lehrbuch für die 8. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; bearbeitet von S. A. Telyakovsky. - 16. Aufl. - M.: Bildung, 2008. - 271 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. Klasse: pädagogisch. für die Allgemeinbildung Institutionen / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; bearbeitet von S. A. Telyakovsky. - 16. Aufl. - M.: Bildung, 2009. - 271 S. : krank. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. Klasse. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich. - 11. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 S.: Abb. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A. G. Algebra. 9.Klasse. In 2 Teilen. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 S.: Abb. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A. G. Algebra und Beginn der mathematischen Analyse. Klasse 11. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen (Profilniveau) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 2. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 S.: Abb. ISBN 978-5-346-01027-2.

BUNDESAGENTUR FÜR BILDUNG

INSTITUT FÜR BILDUNGSENTWICKLUNG

« Grafische Methoden Gleichungen und Ungleichungen mit Parametern lösen“

Vollendet

Mathematiklehrer

Städtische Bildungseinrichtung Sekundarschule Nr. 62

Lipezk 2008

EINFÜHRUNG................................................. ....................................................... ............. .3

X;bei) 4

1.1. Parallelübertragung................................................. ... ......................... 5

1.2. Drehen................................................. ................................................. ...... 9

1.3. Homothetie. Komprimierung auf gerade Linie................................................ ..... ................. 13

1.4. Zwei Geraden in einer Ebene................................................ ....... ....................... 15

2. GRAFISCHE TECHNIKEN. KOORDINATENEBENE ( X;A) 17

ABSCHLUSS................................................. .................................... 20

BIBLIOGRAPHISCHES VERZEICHNIS................................................ .................... ........ 22

EINFÜHRUNG

Die Probleme, die Schulkinder beim Lösen von nicht standardmäßigen Gleichungen und Ungleichungen haben, werden sowohl durch die relative Komplexität dieser Probleme als auch durch die Tatsache verursacht, dass sich die Schule in der Regel auf die Lösung von Standardproblemen konzentriert.

Viele Schulkinder empfinden den Parameter als „normale“ Zahl. Tatsächlich kann bei manchen Problemen ein Parameter als konstanter Wert betrachtet werden, dieser konstante Wert nimmt jedoch unbekannte Werte an! Daher ist es notwendig, das Problem für alle möglichen Werte dieser Konstante zu betrachten. Bei anderen Problemen kann es sinnvoll sein, eine der Unbekannten künstlich als Parameter zu deklarieren.

Andere Schüler behandeln einen Parameter als unbekannte Größe und können den Parameter ohne Verlegenheit in ihrer Antwort als Variable ausdrücken X.

Bei Abschluss- und Aufnahmeprüfungen gibt es hauptsächlich zwei Arten von Parameterproblemen. Sie können sie sofort an der Formulierung erkennen. Erstens: „Finden Sie für jeden Parameterwert alle Lösungen einer Gleichung oder Ungleichung.“ Zweitens: „Finden Sie alle Werte des Parameters, für die jeweils bestimmte Bedingungen für eine gegebene Gleichung oder Ungleichung erfüllt sind.“ Dementsprechend unterscheiden sich die Antworten auf Probleme dieser beiden Arten im Wesentlichen. Die Antwort auf ein Problem erster Art listet alle möglichen Werte des Parameters auf und für jeden dieser Werte werden die Lösungen der Gleichung geschrieben. Die Antwort auf eine Aufgabe des zweiten Typs gibt alle Parameterwerte an, unter denen die in der Aufgabe angegebenen Bedingungen erfüllt sind.

Die Lösung einer Gleichung mit einem Parameter für einen gegebenen festen Wert des Parameters ist ein solcher Wert des Unbekannten, wenn man ihn in die Gleichung einsetzt, wird diese zu einer korrekten numerischen Gleichheit. Die Lösung einer Ungleichung mit einem Parameter wird auf ähnliche Weise bestimmt. Eine Gleichung (Ungleichung) mit einem Parameter zu lösen bedeutet, für jeden zulässigen Wert des Parameters die Menge aller Lösungen einer gegebenen Gleichung (Ungleichung) zu finden.

1. GRAFISCHE TECHNIKEN. KOORDINATENEBENE ( X;bei)

Neben den grundlegenden Analysetechniken und Methoden zur Lösung von Parameterproblemen gibt es Möglichkeiten zur Verwendung visueller und grafischer Interpretationen.

Je nachdem, welche Rolle dem Parameter im Problem zugewiesen wird (ungleich oder gleich der Variablen), lassen sich dementsprechend zwei wesentliche grafische Techniken unterscheiden: Die erste ist die Konstruktion eines grafischen Bildes auf der Koordinatenebene (X;y), der zweite - weiter (X; A).

Auf der Ebene (x; y) die Funktion y =F (X; A) definiert abhängig vom Parameter eine Kurvenschar A. Es ist klar, dass jede Familie F hat bestimmte Eigenschaften. Wir werden vor allem daran interessiert sein, welche Art von Ebenentransformation (Parallelverschiebung, Rotation usw.) verwendet werden kann, um von einer Kurve der Familie zu einer anderen zu gelangen. Jeder dieser Transformationen wird ein eigener Absatz gewidmet. Es scheint uns, dass eine solche Klassifizierung es dem Entscheider erleichtert, das erforderliche grafische Bild zu finden. Beachten Sie, dass bei diesem Ansatz der ideologische Teil der Lösung nicht davon abhängt, welche Figur (Gerade, Kreis, Parabel usw.) zur Kurvenfamilie gehört.

Natürlich ist das grafische Bild der Familie nicht immer vorhanden y =F (X;A) durch eine einfache Transformation beschrieben. Daher ist es in solchen Situationen sinnvoll, sich nicht auf die Beziehung zwischen den Kurven derselben Familie zu konzentrieren, sondern auf die Kurven selbst. Mit anderen Worten, wir können eine andere Art von Problem unterscheiden, bei dem die Idee einer Lösung in erster Linie auf den Eigenschaften bestimmter geometrischer Figuren und nicht auf der Familie als Ganzes basiert. Welche Figuren (genauer gesagt Familien dieser Figuren) werden uns zuerst interessieren? Dies sind Geraden und Parabeln. Diese Wahl ist auf die besondere (Grund-)Stellung linearer und quadratischer Funktionen in der Schulmathematik zurückzuführen.

Wenn es um grafische Methoden geht, lässt sich ein Problem nicht vermeiden, das aus der Praxis von Auswahlprüfungen „entstanden“ ist. Wir beziehen uns auf die Frage der Strenge und damit der Rechtmäßigkeit einer Entscheidung, die auf grafischen Erwägungen beruht. Zweifellos wurde das aus dem „Bild“ entnommene, nicht analytisch untermauerte Ergebnis aus formaler Sicht nicht streng gewonnen. Doch wer, wann und wo bestimmt das Maß an Strenge, das ein Gymnasiast einhalten sollte? Unserer Meinung nach sollten die Anforderungen an die mathematische Genauigkeit eines Schülers durch gesunden Menschenverstand bestimmt werden. Wir verstehen den Grad der Subjektivität einer solchen Sichtweise. Darüber hinaus ist die grafische Methode nur eines der Mittel zur Klarheit. Und die Sichtbarkeit kann täuschen. .gif" width="232" height="28"> hat nur eine Lösung.

Lösung. Der Einfachheit halber bezeichnen wir es mit lg b = a. Schreiben wir eine Gleichung, die der ursprünglichen entspricht: https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" height="92">

Einen Graphen einer Funktion erstellen mit dem Definitionsbereich und (Abb. 1). Der resultierende Graph ist eine Familie von geraden Linien y = a dürfen sich nur in einem Punkt schneiden. Die Abbildung zeigt, dass diese Anforderung nur erfüllt ist, wenn ein > 2, also lg b> 2, b> 100.

Antwort. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" width="15 height=16" height="16"> Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen der Gleichung .

Lösung. Lassen Sie uns die Funktion 102" height="37" style="vertical-align:top"> zeichnen

Lassen Sie uns überlegen. Dies ist eine gerade Linie parallel zur OX-Achse.

Antwort..gif" width="41" height="20">, dann 3 Lösungen;

wenn , dann 2 Lösungen;

wenn , 4 Lösungen.

Kommen wir zu einer neuen Reihe von Aufgaben..gif" width="107" height="27 src=">.

Lösung. Lass uns eine gerade Linie bauen bei= X+1 (Abb. 3)..gif" width="92" height="57">

haben eine Lösung, die für die Gleichung ( X+1)2 = x + A habe eine Wurzel..gif" width="44 height=47" height="47"> Die ursprüngliche Ungleichung hat keine Lösungen. Beachten Sie, dass jemand, der mit der Ableitung vertraut ist, dieses Ergebnis anders erhalten kann.

Als nächstes verschieben wir die „Halbparabel“ nach links und fixieren den letzten Moment in den Diagrammen bei = X+ 1 und haben zwei gemeinsame Punkte (Position III). Diese Regelung wird durch die Anforderung sichergestellt A= 1.

Es ist klar, dass für das Segment [ X 1; X 2], wo X 1 und X 2 – Abszissen der Schnittpunkte der Graphen, werden dann die Lösung der ursprünglichen Ungleichung sein..gif" width="68 height=47" height="47">

Wenn sich eine „Halbparabel“ und eine Gerade nur in einem Punkt schneiden (das entspricht dem Fall ein > 1), dann ist die Lösung das Segment [- A; X 2"], wo X 2" – die größte der Wurzeln X 1 und X 2 (Position IV).

Beispiel 4..gif" width="85" height="29 src=">.gif" width="75" height="20 src="> . Von hier aus bekommen wir .

Schauen wir uns die Funktionen an und . Von diesen definiert nur eine eine Kurvenfamilie. Jetzt sehen wir, dass der Ersatz zweifellos Vorteile brachte. Parallel dazu stellen wir fest, dass Sie im vorherigen Problem mit einem ähnlichen Ersatz keine „halbparabelische“ Bewegung, sondern eine gerade Linie ausführen können. Wenden wir uns Abb. zu. 4. Offensichtlich, wenn die Abszisse des Scheitelpunkts eine „Halbparabel“ ist mehr als eine, also –3 A > 1, , dann hat die Gleichung keine Wurzeln..gif" width="89" height="29"> und haben anderer Charakter Monotonie.

Antwort. Wenn dann die Gleichung eine Wurzel hat; wenn https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" width="141" height="81 src=">

hat Lösungen.

Lösung. Es ist klar, dass direkte Familien https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" height="52">..jpg" width="259" height="155 " >

Bedeutung k1 Wir finden es, indem wir das Paar (0;0) in die erste Gleichung des Systems einsetzen. Von hier k1 =-1/4. Bedeutung k 2 erhalten wir durch Forderungen an das System

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" width="151" height="47"> wann k> 0 haben eine Wurzel. Von hier k2= 1/4.

Antwort. .

Machen wir eine Bemerkung. In einigen Beispielen zu diesem Punkt müssen wir ein Standardproblem lösen: Finden Sie für eine Linienfamilie ihren Winkelkoeffizienten, der dem Moment der Tangente an die Kurve entspricht. Wir zeigen Ihnen, wie das geht Gesamtansicht unter Verwendung der Ableitung.

Wenn (x0; j 0) = Rotationszentrum, dann die Koordinaten (X 1; bei 1) Berührungspunkte mit der Kurve y =f(x) kann durch Lösen des Systems gefunden werden

Die erforderliche Steigung k gleich .

Beispiel 6. Für welche Werte des Parameters hat die Gleichung eine eindeutige Lösung?

Lösung..gif" width="160" height="29 src=">..gif" width="237" height="33">, Bogen AB.

Alle Strahlen, die zwischen OA und OB verlaufen, schneiden den Bogen AB in einem Punkt und schneiden auch den Bogen AB OB und OM (Tangente) in einem Punkt..gif" width="16" height="48 src=">. Der Winkel Der Tangentenkoeffizient ist gleich . Leicht aus dem System zu ermitteln

Also direkte Familien https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" height="52">.

Antwort. .

Beispiel 7..gif" width="160" height="25 src="> hat eine Lösung?

Lösung..gif" width="61" height="24 src="> und verringert sich um . Der Punkt ist der maximale Punkt.

Eine Funktion ist eine Familie von geraden Linien, die durch den Punkt https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" height="28"> verlaufen, der der Bogen AB ist. Die Gerade Linien, die zwischen den Geraden OA und OB liegen, erfüllen die Bedingungen des Problems..gif" width="17" height="47 src=">.

Antwort..gif" width="15" height="20">keine Lösungen.

1.3. Homothetie. Komprimierung auf eine gerade Linie.

Beispiel 8. Wie viele Lösungen hat das System?

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width="41" height="20 src="> Das System hat keine Lösungen. Für eine feste ein > 0 der Graph der ersten Gleichung ist ein Quadrat mit Eckpunkten ( A; 0), (0;-A), (-A;0), (0;A). Somit sind die Mitglieder der Familie homothetische Quadrate (das Zentrum der Homothetie ist der Punkt O(0; 0)).

Wenden wir uns Abb. zu. 8..gif" width="80" height="25"> Jede Seite des Quadrats hat zwei gemeinsame Punkte mit dem Kreis, was bedeutet, dass das System acht Lösungen hat. Wenn sich herausstellt, dass der Kreis in das Quadrat eingeschrieben ist, d.h. es wird wieder vier Lösungen geben. Offensichtlich hat das System keine Lösungen.

Antwort. Wenn A< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, dann gibt es vier Lösungen; Wenn , dann gibt es acht Lösungen.

Beispiel 9. Finden Sie alle Werte des Parameters, für die jeweils die Gleichung https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif" width="181" height="29 src="> lautet. Betrachten Sie die Funktion ..jpg" width="195" height="162">

Die Anzahl der Wurzeln entspricht der Zahl 8, wenn der Radius des Halbkreises größer und kleiner als ist. Beachten Sie, dass es .

Antwort. oder .

1.4. Zwei gerade Linien in einer Ebene

Im Wesentlichen basiert die Idee, die Probleme dieses Absatzes zu lösen, auf der Frage der Forschung relative Position zwei Geraden: Und . Die Lösung dieses Problems lässt sich leicht in allgemeiner Form zeigen. Wir werden uns direkt konkreten typischen Beispielen zuwenden, die unserer Meinung nach die allgemeine Seite des Problems nicht beeinträchtigen.

Beispiel 10. Für was a und b sorgt das System

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" width="160" height="25 src=">..gif" width="67" height="24 src="> , t..gif" width="116" height="55">

Die Ungleichung des Systems definiert eine Halbebene mit Rand bei= 2x– 1 (Abb. 10). Es ist leicht zu erkennen, dass das resultierende System eine Lösung hat, wenn die Gerade ist ah +um = 5 schneidet die Grenze einer Halbebene oder liegt parallel dazu in der Halbebene bei– 2x + 1 < 0.

Beginnen wir mit dem Fall b = 0. Dann scheint es, dass die Gleichung Oh+ von = 5 definiert eine vertikale Linie, die offensichtlich die Linie schneidet y = 2X - 1. Diese Aussage ist jedoch nur wahr, wenn ..gif" width="43" height="20 src="> das System Lösungen hat ..gif" width="99" height="48">. In diesem Fall wird die Bedingung für den Schnittpunkt der Linien erreicht, d. h. ..gif" width="52" height="48">.gif" width="41" height="20"> und , oder und , oder und https ://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24 src=">.

− In der Koordinatenebene xOa erstellen wir einen Graphen der Funktion.

− Betrachten Sie die Geraden und wählen Sie die Intervalle der Oa-Achse aus, auf denen diese Geraden erfüllen folgenden Bedingungen: a) schneidet den Graphen der Funktion https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24"> nicht an einem Punkt, c) an zwei Punkte, d) an drei Punkten und so weiter.

− Wenn die Aufgabe darin besteht, die Werte von x zu finden, drücken wir x für jedes der gefundenen Intervalle des Werts von a separat durch a aus.

Die Betrachtung eines Parameters als gleichwertige Variable spiegelt sich in grafischen Methoden wider..jpg" width="242" height="182">

Antwort. a = 0 oder a = 1.

ABSCHLUSS

Wir hoffen, dass die analysierten Probleme die Wirksamkeit der vorgeschlagenen Methoden überzeugend belegen. Leider ist der Anwendungsbereich dieser Methoden jedoch durch die Schwierigkeiten begrenzt, die bei der Erstellung eines grafischen Bildes auftreten können. Ist es wirklich so schlimm? Scheinbar nicht. Tatsächlich geht bei diesem Ansatz der hauptsächliche didaktische Wert von Problemen mit Parametern als Modell für Miniaturforschung weitgehend verloren. Allerdings richten sich die obigen Überlegungen an Lehrkräfte, und für Bewerber ist die Formel durchaus akzeptabel: Der Zweck heiligt die Mittel. Darüber hinaus erlauben wir uns zu sagen, dass an einer beträchtlichen Anzahl von Universitäten die Ersteller von Wettbewerbsproblemen mit Parametern den Weg vom Bild zur Bedingung verfolgen.

In diesen Aufgaben haben wir die Möglichkeiten zur Lösung von Problemen mit einem Parameter diskutiert, die sich uns eröffnen, wenn wir auf einem Blatt Papier Graphen von Funktionen zeichnen, die auf der linken und rechten Seite von Gleichungen oder Ungleichungen enthalten sind. Aufgrund der Tatsache, dass der Parameter beliebige Werte annehmen kann, bewegen sich einer oder beide der angezeigten Diagramme auf eine bestimmte Weise auf der Ebene. Wir können sagen, dass eine ganze Familie von Diagrammen erhalten wird, die verschiedenen Werten des Parameters entsprechen.

Lassen Sie uns zwei Details besonders hervorheben.

Erstens sprechen wir nicht von einer „grafischen“ Lösung. Alle Werte, Koordinaten, Wurzeln werden streng analytisch als Lösungen der entsprechenden Gleichungen und Systeme berechnet. Das Gleiche gilt für Fälle, in denen sich Graphen berühren oder kreuzen. Sie werden nicht mit dem Auge bestimmt, sondern mit Hilfe von Diskriminanten, Ableitungen und anderen Ihnen zur Verfügung stehenden Werkzeugen. Das Bild gibt nur eine Lösung.

Zweitens: Selbst wenn Sie keine Möglichkeit finden, das mit den gezeigten Diagrammen verbundene Problem zu lösen, wird Ihr Verständnis des Problems erheblich erweitert, Sie erhalten Informationen zum Selbsttest und die Erfolgsaussichten werden erheblich erhöht. Wenn Sie genau verstehen, was bei einem Problem für verschiedene Parameterwerte passiert, können Sie möglicherweise den richtigen Lösungsalgorithmus finden.

Deshalb schließen wir diese Worte mit einem dringenden Vorschlag ab: Wenn es in dem auch nur annähernd komplexen Problem Funktionen gibt, für die Sie wissen, wie man Diagramme zeichnet, tun Sie es unbedingt, Sie werden es nicht bereuen.

BIBLIOGRAPHISCHES VERZEICHNIS

1. Cherkasov,: Handbuch für Gymnasiasten und Studienbewerber [Text] /, . – M.: AST-PRESS, 2001. – 576 S.

2. Gorshtein, mit Parametern [Text]: 3. Auflage, erweitert und überarbeitet / , . – M.: Ilexa, Charkow: Gymnasium, 1999. – 336 S.