Basierend auf der Zahl e: ln x = log e x.

Der natürliche Logarithmus wird in der Mathematik häufig verwendet, da seine Ableitung die einfachste Form hat: (ln x)′ = 1/ x.

Ausgehend von Definitionen, die Basis des natürlichen Logarithmus ist die Zahl e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graph der Funktion y = ln x.

Diagramm des natürlichen Logarithmus (Funktionen y = ln x) ergibt sich aus dem Exponentialgraphen Spiegelbild relativ zur Geraden y = x.

Der natürliche Logarithmus wird für positive Werte der Variablen x definiert. Es wächst in seinem Definitionsbereich monoton.

Bei x → 0 Der Grenzwert des natürlichen Logarithmus ist minus unendlich (-∞).

Da x → + ∞, ist der Grenzwert des natürlichen Logarithmus plus Unendlich (+ ∞). Für große x steigt der Logarithmus recht langsam. Beliebig Power-Funktion x a mit positivem Exponenten a wächst schneller als der Logarithmus.

Eigenschaften des natürlichen Logarithmus

Definitionsbereich, Wertemenge, Extrema, Zunahme, Abnahme

Der natürliche Logarithmus ist eine monoton wachsende Funktion und weist daher keine Extrema auf. Die Haupteigenschaften des natürlichen Logarithmus sind in der Tabelle dargestellt.

ln x-Werte

ln 1 = 0

Grundformeln für natürliche Logarithmen

Formeln, die sich aus der Definition der Umkehrfunktion ergeben:

Die Haupteigenschaft von Logarithmen und ihre Konsequenzen

Basenersatzformel

Jeder Logarithmus kann mithilfe der Basensubstitutionsformel als natürlicher Logarithmus ausgedrückt werden:

Beweise dieser Formeln werden im Abschnitt „Logarithmus“ vorgestellt.

Umkehrfunktion

Der Kehrwert des natürlichen Logarithmus ist der Exponent.

Wenn, dann

Wenn, dann.

Ableitung ln x

Ableitung des natürlichen Logarithmus:
.
Ableitung des natürlichen Logarithmus des Moduls x:
.
Ableitung n-ter Ordnung:
.
Formeln ableiten > > >

Integral

Das Integral wird durch partielle Integration berechnet:
.
Also,

Ausdrücke mit komplexen Zahlen

Betrachten Sie die Funktion der komplexen Variablen z:
.
Lassen Sie uns die komplexe Variable ausdrücken züber Modul R und Argumentation φ :
.
Unter Verwendung der Eigenschaften des Logarithmus erhalten wir:
.
Oder
.
Das Argument φ ist nicht eindeutig definiert. Wenn Sie sagen
, wobei n eine ganze Zahl ist,
es wird die gleiche Zahl für verschiedene n sein.

Daher ist der natürliche Logarithmus als Funktion einer komplexen Variablen keine einwertige Funktion.

Erweiterung der Potenzreihen

Wenn die Erweiterung stattfindet:

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.

Logarithmen können wie alle Zahlen auf jede Art addiert, subtrahiert und transformiert werden. Da es sich bei Logarithmen aber nicht gerade um gewöhnliche Zahlen handelt, gibt es hier Regeln, die man nennt Haupteigenschaften.

Diese Regeln müssen Sie unbedingt kennen – ohne sie lässt sich kein einziges ernstes logarithmisches Problem lösen. Darüber hinaus gibt es nur sehr wenige davon – Sie können alles an einem Tag lernen. Also lasst uns anfangen.

Logarithmen addieren und subtrahieren

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: log A X und protokollieren A j. Dann können sie addiert und subtrahiert werden und:

1. Protokoll A X+ Protokoll A j=log A (X · j);
2. Protokoll A X− log A j=log A (X : j).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts und die Differenz ist gleich dem Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist identische Gründe. Wenn die Gründe unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen Ihnen, einen logarithmischen Ausdruck zu berechnen, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion „Was ist ein Logarithmus“). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Protokoll 6 4 + Protokoll 6 9.

Da Logarithmen die gleichen Basen haben, verwenden wir die Summenformel:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 2 48 − log 2 3.

Die Grundlagen sind die gleichen, wir verwenden die Differenzformel:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 3 135 − log 3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus „schlechten“ Logarithmen, die nicht separat berechnet werden. Aber nach den Transformationen erhält man ganz normale Zahlen. Viele bauen auf dieser Tatsache auf Testpapiere. Ja, im Einheitlichen Staatsexamen werden prüfungsähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal praktisch ohne Änderungen) angeboten.

Extrahieren des Exponenten aus dem Logarithmus

Jetzt machen wir die Aufgabe etwas komplizierter. Was ist, wenn die Basis oder das Argument eines Logarithmus eine Potenz ist? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnommen werden:

Es ist leicht zu erkennen, dass die letzte Regel den ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern – in manchen Fällen wird es den Rechenaufwand erheblich reduzieren.

Alle diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn die ODZ des Logarithmus beachtet wird: A > 0, A ≠ 1, X> 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt, d. h. Sie können die Zahlen vor dem Logarithmuszeichen in den Logarithmus selbst eingeben. Dies wird am häufigsten benötigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 7 49 6 .

Lassen Sie uns den Grad im Argument loswerden, indem wir die erste Formel verwenden:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

[Bildunterschrift]

Beachten Sie, dass der Nenner einen Logarithmus enthält, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Wir haben:

[Bildunterschrift]

Ich denke, das letzte Beispiel bedarf einer Klarstellung. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Wir stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Potenzen dar und entfernten die Exponenten – wir erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Schauen wir uns nun den Hauptbruch an. Zähler und Nenner enthalten die gleiche Zahl: log 2 7. Da log 2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch kürzen – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik lässt sich die Vier auf den Zähler übertragen, was auch geschehen ist. Das Ergebnis war die Antwort: 2.

Übergang zu einer neuen Stiftung

Als ich über die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen sprach, habe ich ausdrücklich betont, dass diese nur mit den gleichen Basen funktionieren. Was ist, wenn die Gründe unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Hier helfen Formeln für den Übergang zu einer neuen Stiftung. Formulieren wir sie in Form eines Theorems:

Gegeben sei der Logarithmus log A X. Dann für eine beliebige Zahl C so dass C> 0 und C≠ 1, die Gleichheit gilt:

[Bildunterschrift]

Insbesondere, wenn wir sagen C = X, wir bekommen:

[Bildunterschrift]

Aus der zweiten Formel folgt, dass Basis und Argument des Logarithmus vertauscht werden können, allerdings wird in diesem Fall der gesamte Ausdruck „umgedreht“, also der Logarithmus erscheint im Nenner.

Diese Formeln kommen selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken vor. Wie praktisch sie sind, lässt sich nur bei der Lösung logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen beurteilen.

Es gibt jedoch Probleme, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung gelöst werden können. Schauen wir uns einige davon an:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 5 16 log 2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Potenzen enthalten. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Lassen Sie uns nun den zweiten Logarithmus „umkehren“:

[Bildunterschrift]

Da sich das Produkt beim Umordnen der Faktoren nicht ändert, haben wir in aller Ruhe vier und zwei multipliziert und uns dann mit Logarithmen befasst.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir das auf und entfernen wir die Indikatoren:

[Bildunterschrift]

Lassen Sie uns nun den dezimalen Logarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

[Bildunterschrift]

Grundlegende logarithmische Identität

Im Lösungsprozess ist es oft notwendig, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns folgende Formeln:

Im ersten Fall die Nummer N wird zu einem Indikator für den Stellenwert der Argumentation. Nummer N kann absolut alles sein, da es sich nur um einen Logarithmuswert handelt.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. So nennt man es: die grundlegende logarithmische Identität.

Was passiert eigentlich, wenn die Zahl B auf eine solche Potenz erhöhen, dass die Zahl B zu dieser Potenz gibt die Zahl A? Das ist richtig: Sie erhalten dieselbe Nummer A. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal sorgfältig durch – viele Menschen bleiben dabei hängen.

Wie Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

[Bildunterschrift]

Beachten Sie, dass log 25 64 = log 5 8 – einfach das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus genommen hat. Unter Berücksichtigung der Regeln zur Potenzmultiplikation mit gleicher Basis erhalten wir:

[Bildunterschrift]

Falls es jemand nicht weiß, das war eine echte Aufgabe aus dem Einheitlichen Staatsexamen :)

Logarithmische Einheit und logarithmischer Nullpunkt

Abschließend möchte ich zwei Identitäten nennen, die kaum als Eigenschaften bezeichnet werden können – vielmehr sind sie Konsequenzen der Definition des Logarithmus. Sie tauchen ständig in Problemen auf und bereiten überraschenderweise auch „fortgeschrittenen“ Studierenden Probleme.

1. Protokoll A A= 1 ist eine logarithmische Einheit. Denken Sie ein für alle Mal daran: Logarithmus zu jeder Basis A von dieser Basis aus ist gleich eins.
2. Protokoll A 1 = 0 ist logarithmischer Nullpunkt. Base A kann alles sein, aber wenn das Argument eins enthält, ist der Logarithmus gleich Null! Weil A 0 = 1 ist eine direkte Konsequenz der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt die Umsetzung! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Wie Sie wissen, addieren sich bei der Multiplikation von Ausdrücken mit Potenzen immer deren Exponenten (a b *a c = a b+c). Das mathematisches Gesetz wurde von Archimedes abgeleitet und später, im 8. Jahrhundert, erstellte der Mathematiker Virasen eine Tabelle ganzzahliger Exponenten. Sie dienten der weiteren Entdeckung der Logarithmen. Beispiele für die Verwendung dieser Funktion finden sich fast überall dort, wo Sie umständliche Multiplikationen durch einfache Addition vereinfachen müssen. Wenn Sie diesen Artikel 10 Minuten lang lesen, erklären wir Ihnen, was Logarithmen sind und wie man mit ihnen arbeitet. In einfacher und zugänglicher Sprache.

Definition in der Mathematik

Ein Logarithmus ist ein Ausdruck der folgenden Form: log a b=c, also der Logarithmus von irgendetwas nicht negative Zahl(d. h. jedes positive) „b“ mit seiner Basis „a“ wird als die Potenz von „c“ betrachtet, auf die die Basis „a“ erhöht werden muss, um letztendlich den Wert „b“ zu erhalten. Lassen Sie uns den Logarithmus anhand von Beispielen analysieren. Nehmen wir an, es gibt einen Ausdruck log 2 8. Wie finde ich die Antwort? Es ist ganz einfach: Sie müssen eine solche Potenz finden, dass Sie von 2 bis zur erforderlichen Potenz 8 erhalten. Nachdem wir einige Berechnungen im Kopf durchgeführt haben, erhalten wir die Zahl 3! Und das stimmt, denn 2 hoch 3 ergibt eine 8.

Arten von Logarithmen

Für viele Schüler und Studenten erscheint dieses Thema kompliziert und unverständlich, aber tatsächlich sind Logarithmen nicht so beängstigend, die Hauptsache ist, ihre allgemeine Bedeutung zu verstehen und sich ihre Eigenschaften und einige Regeln zu merken. Es gibt drei verschiedene Arten logarithmischer Ausdrücke:

1. Natürlicher Logarithmus ln a, wobei die Basis die Euler-Zahl (e = 2,7) ist.
2. Dezimalzahl a, wobei die Basis 10 ist.
3. Logarithmus einer beliebigen Zahl b zur Basis a>1.

Jeder von ihnen wird auf Standardmethode gelöst, einschließlich Vereinfachung, Reduktion und anschließender Reduktion auf einen einzelnen Logarithmus unter Verwendung logarithmischer Theoreme. Um die richtigen Werte von Logarithmen zu erhalten, sollten Sie sich beim Lösen deren Eigenschaften und die Reihenfolge der Aktionen merken.

Regeln und einige Einschränkungen

In der Mathematik gibt es mehrere Regeln und Einschränkungen, die als Axiom akzeptiert werden, das heißt, sie unterliegen keiner Diskussion und sind die Wahrheit. Beispielsweise können Zahlen nicht durch Null geteilt werden, und es ist auch nicht möglich, die Wurzel zu ziehen sogar Grad aus negativen Zahlen. Logarithmen haben auch ihre eigenen Regeln, nach denen Sie leicht lernen können, auch mit langen und umfangreichen logarithmischen Ausdrücken zu arbeiten:

• Die Basis „a“ muss immer größer als Null und nicht gleich 1 sein, sonst verliert der Ausdruck seine Bedeutung, da „1“ und „0“ in jedem Grad immer gleich ihren Werten sind;
• Wenn a > 0, dann a b > 0, stellt sich heraus, dass „c“ ebenfalls größer als Null sein muss.

Wie löst man Logarithmen?

Zum Beispiel wird die Aufgabe gestellt, die Antwort auf die Gleichung 10 x = 100 zu finden. Das ist sehr einfach, Sie müssen eine Potenz wählen, indem Sie die Zahl zehn erhöhen, auf die wir 100 erhalten. Das ist natürlich 10 2 = 100.

Stellen wir uns das jetzt vor dieser Ausdruck in logarithmischer Form. Wir erhalten log 10 · 100 = 2. Beim Lösen von Logarithmen konvergieren praktisch alle Aktionen, um die Potenz zu finden, mit der die Basis des Logarithmus eingegeben werden muss, um eine gegebene Zahl zu erhalten.

Um den Wert eines unbekannten Grades genau zu bestimmen, müssen Sie lernen, mit einer Gradtabelle zu arbeiten. Es sieht aus wie das:

Wie Sie sehen, können einige Exponenten intuitiv erraten werden, wenn Sie über technisches Verständnis und Kenntnisse der Multiplikationstabelle verfügen. Für größere Werte benötigen Sie jedoch eine Leistungstabelle. Es kann sogar von denen verwendet werden, die überhaupt keine Ahnung von Komplexen haben mathematische Themen. Die linke Spalte enthält Zahlen (Basis a), die obere Zahlenreihe gibt den Wert der Potenz c an, mit der die Zahl a erhöht wird. Am Schnittpunkt enthalten die Zellen die Zahlenwerte, die die Antwort darstellen (a c =b). Nehmen wir zum Beispiel die allererste Zelle mit der Zahl 10 und quadrieren sie, wir erhalten den Wert 100, der am Schnittpunkt unserer beiden Zellen angezeigt wird. Alles ist so einfach und leicht, dass selbst der wahrste Humanist es verstehen wird!

Gleichungen und Ungleichungen

Es stellt sich heraus, dass unter bestimmten Bedingungen der Exponent der Logarithmus ist. Daher können alle mathematischen numerischen Ausdrücke als logarithmische Gleichheit geschrieben werden. Beispielsweise kann 3 4 =81 als Logarithmus zur Basis 3 von 81 gleich vier geschrieben werden (log 3 81 = 4). Für negative Potenzen gelten dieselben Regeln: 2 -5 = 1/32, wir schreiben es als Logarithmus, wir erhalten log 2 (1/32) = -5. Einer der faszinierendsten Bereiche der Mathematik ist das Thema „Logarithmen“. Wir werden uns unten Beispiele und Lösungen der Gleichungen ansehen, unmittelbar nachdem wir ihre Eigenschaften untersucht haben. Schauen wir uns nun an, wie Ungleichungen aussehen und wie man sie von Gleichungen unterscheidet.

Gegeben sei ein Ausdruck der folgenden Form: log 2 (x-1) > 3 – das ist es logarithmische Ungleichung, da der unbekannte Wert „x“ unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht. Und auch im Ausdruck werden zwei Größen verglichen: Der Logarithmus der gewünschten Zahl zur Basis zwei ist größer als die Zahl drei.

Der wichtigste Unterschied zwischen logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen besteht darin, dass Gleichungen mit Logarithmen (zum Beispiel der Logarithmus 2 x = √9) eine oder mehrere spezifische Antworten implizieren. Zahlenwerte, während beim Lösen der Ungleichungen die Region definiert wird akzeptable Werte und die Haltepunkte dieser Funktion. Folglich ist die Antwort keine einfache Menge einzelne Zahlen wie in der Antwort ist eine Gleichung und a ist eine kontinuierliche Reihe oder Menge von Zahlen.

Grundlegende Sätze über Logarithmen

Bei der Lösung primitiver Aufgaben zur Ermittlung der Werte des Logarithmus sind seine Eigenschaften möglicherweise nicht bekannt. Wenn es jedoch um logarithmische Gleichungen oder Ungleichungen geht, ist es zunächst notwendig, alle grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen klar zu verstehen und in der Praxis anzuwenden. Wir werden uns später Beispiele für Gleichungen ansehen; schauen wir uns zunächst jede Eigenschaft genauer an.

1. Die Hauptidentität sieht so aus: a logaB =B. Dies gilt nur, wenn a größer als 0, ungleich eins und B größer als Null ist.
2. Der Logarithmus des Produkts kann in dargestellt werden die folgende Formel: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. In diesem Fall Voraussetzung ist: d, s 1 und s 2 > 0; a≠1. Sie können einen Beweis für diese logarithmische Formel mit Beispielen und Lösung geben. Sei log a s 1 = f 1 und log a s 2 = f 2, dann a f1 = s 1, a f2 = s 2. Wir erhalten, dass s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (Eigenschaften von Grad ), und dann per Definition: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, was bewiesen werden musste.
3. Der Logarithmus des Quotienten sieht folgendermaßen aus: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Der Satz in Form einer Formel hat die folgende Form: log a q b n = n/q log a b.

Diese Formel wird „Eigenschaft des Logarithmusgrades“ genannt. Es ähnelt den Eigenschaften gewöhnlicher Grade, und das ist nicht überraschend, da die gesamte Mathematik auf natürlichen Postulaten basiert. Schauen wir uns den Beweis an.

Sei log a b = t, es ergibt sich a t =b. Potenzieren wir beide Teile m: a tn = b n ;

aber da a tn = (a q) nt/q = b n, also log a q b n = (n*t)/t, dann log a q b n = n/q log a b. Der Satz ist bewiesen.

Beispiele für Probleme und Ungleichheiten

Die häufigsten Arten von Logarithmenproblemen sind Beispiele für Gleichungen und Ungleichungen. Sie finden sich in fast allen Aufgabenbüchern und sind auch Pflichtbestandteil von Mathematikprüfungen. Für die Zulassung zum Studium oder das Bestehen Aufnahmeprüfungen In der Mathematik muss man wissen, wie man solche Probleme richtig löst.

Leider gibt es keinen einheitlichen Plan oder Schema zum Lösen und Bestimmen des unbekannten Werts des Logarithmus, aber bestimmte Regeln können auf jede mathematische Ungleichung oder logarithmische Gleichung angewendet werden. Zunächst sollten Sie herausfinden, ob der Ausdruck vereinfacht oder vereinfacht werden kann Gesamterscheinung. Vereinfachen Sie lange logarithmische Ausdrücke möglich, wenn Sie ihre Eigenschaften richtig nutzen. Lernen wir sie schnell kennen.

Beim Lösen logarithmischer Gleichungen müssen wir bestimmen, um welche Art von Logarithmus es sich handelt: Ein Beispielausdruck kann einen natürlichen Logarithmus oder einen Dezimallogarithmus enthalten.

Hier sind Beispiele ln100, ln1026. Ihre Lösung läuft darauf hinaus, dass sie die Potenz bestimmen müssen, mit der die Basis 10 gleich 100 bzw. 1026 ist. Für Lösungen natürliche Logarithmen Sie müssen logarithmische Identitäten oder deren Eigenschaften anwenden. Schauen wir uns die Lösung anhand von Beispielen an logarithmische Probleme verschiedene Typen.

So verwenden Sie Logarithmusformeln: Mit Beispielen und Lösungen

Schauen wir uns also Beispiele für die Verwendung der grundlegenden Sätze über Logarithmen an.

1. Die Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts kann bei Aufgaben verwendet werden, bei denen eine Erweiterung erforderlich ist sehr wichtig Zahlen b in einfachere Faktoren. Beispiel: log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Die Antwort ist 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 – wie Sie sehen können, ist es uns mithilfe der vierten Eigenschaft der Logarithmuspotenz gelungen, einen scheinbar komplexen und unlösbaren Ausdruck zu lösen. Sie müssen lediglich die Basis faktorisieren und dann die Exponentenwerte aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnehmen.

Aufgaben aus dem Einheitlichen Staatsexamen

Logarithmen kommen häufig vor in Aufnahmeprüfungen, insbesondere viele logarithmische Probleme im Einheitlichen Staatsexamen ( Staatsexamen für alle Schulabgänger). Normalerweise sind diese Aufgaben nicht nur in Teil A (dem einfachsten) vorhanden Testteil Prüfung), aber auch in Teil C (die komplexesten und umfangreichsten Aufgaben). Die Prüfung erfordert genaue und perfekte Kenntnisse des Themas „Natürliche Logarithmen“.

Beispiele und Problemlösungen stammen aus offiziellen Quellen Optionen für das einheitliche Staatsexamen. Mal sehen, wie solche Aufgaben gelöst werden.

Gegeben sei log 2 (2x-1) = 4. Lösung:
Schreiben wir den Ausdruck um und vereinfachen ihn ein wenig log 2 (2x-1) = 2 2, durch die Definition des Logarithmus erhalten wir 2x-1 = 2 4, also 2x = 17; x = 8,5.

• Damit die Lösung nicht umständlich und unübersichtlich wird, reduziert man am besten alle Logarithmen auf die gleiche Basis.
• Alle Ausdrücke unter dem Logarithmuszeichen werden als positiv angezeigt. Wenn daher der Exponent eines Ausdrucks, der unter dem Logarithmuszeichen steht und dessen Basis ist, als Multiplikator herausgenommen wird, muss der unter dem Logarithmus verbleibende Ausdruck positiv sein.

Heute werden wir darüber reden logarithmische Formeln und wir werden Hinweise geben Lösungsbeispiele.

Sie selbst implizieren Lösungsmuster gemäß den Grundeigenschaften von Logarithmen. Bevor wir zur Lösung Logarithmusformeln anwenden, möchten wir Sie an alle Eigenschaften erinnern:

Basierend auf diesen Formeln (Eigenschaften) zeigen wir nun Beispiele zum Lösen von Logarithmen.

Beispiele für die Lösung von Logarithmen anhand von Formeln.

Logarithmus Eine positive Zahl b zur Basis a (bezeichnet durch log a b) ist ein Exponent, auf den a erhöht werden muss, um b zu erhalten, mit b > 0, a > 0 und 1.

Laut Definition ist log a b = x, was a x = b entspricht, also log a a x = x.

Logarithmen, Beispiele:

log 2 8 = 3, weil 2 3 = 8

log 7 49 = 2, weil 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, weil 5 -1 = 1/5

Dezimaler Logarithmus- Dies ist ein gewöhnlicher Logarithmus mit der Basis 10. Er wird als lg bezeichnet.

log 10 100 = 2, weil 10 2 = 100

Natürlicher Logarithmus- ebenfalls ein gewöhnlicher Logarithmus, ein Logarithmus, aber mit der Basis e (e = 2,71828... - eine irrationale Zahl). Bezeichnet als ln.

Es ist ratsam, sich die Formeln bzw. Eigenschaften von Logarithmen zu merken, da wir sie später beim Lösen von Logarithmen, logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen benötigen. Lassen Sie uns jede Formel noch einmal anhand von Beispielen durchgehen.

• Grundlegende logarithmische Identität
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logarithmus des Produkts gleich der Summe Logarithmen
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Der Logarithmus des Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Eigenschaften der Potenz einer logarithmischen Zahl und der Basis des Logarithmus

  Exponent der logarithmischen Zahl log a b m = mlog a b

  Exponent der Basis des Logarithmus log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  wenn m = n, erhalten wir log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Übergang zu einer neuen Stiftung
  log a b = log c b/log c a,

  wenn c = b, erhalten wir log b b = 1

  dann ist log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Wie Sie sehen, sind die Formeln für Logarithmen nicht so kompliziert, wie sie scheinen. Nachdem wir uns nun Beispiele zum Lösen von Logarithmen angesehen haben, können wir mit logarithmischen Gleichungen fortfahren. Beispiele zur Lösung logarithmischer Gleichungen werden wir im Artikel „“ genauer betrachten. Nicht verpassen!

Wenn Sie noch Fragen zur Lösung haben, schreiben Sie diese in die Kommentare zum Artikel.

Hinweis: Wir haben uns entschieden, eine andere Ausbildung zu absolvieren und optional im Ausland zu studieren.