Wir ordnen jedem Punkt (x 1 ,x 2 ,…x n) des n-dimensionalen Raums R n einen n-dimensionalen Vektor zu X=(x 1 ,x 2 ,…x n) mit dem Anfang im Ursprung und dem Ende im Punkt (x 1 ,x 2 ,…x n). Viele Vektoren X=(x 1,x 2,...x n) in R n, deren Komponenten m lineare Ungleichungen erfüllen:

A 11 x 1 +a 12 x 2 +...+a 1 n x n ≤ b 1

a 21 x 1 +a 22 x 2 +...+a 2 n x n ≤ b 2

. . . . . . . . . . . . (2)

a m 1 x 1 +a m 2 x 2 +...+a m n x n ≤ b m

heißt Lösungsmenge des Systems Lineare Ungleichungen.

In der Definition werden alle Ungleichungen mit dem Vorzeichen ≤ geschrieben. Multiplizieren mit

(-1) Bei jeder Ungleichung können Sie das Vorzeichen in das Gegenteil ändern. Für Systeme linearer Ungleichungen mit den Vorzeichen ³ und ≤ wird eine Menge von Lösungen definiert.

Modellierungsprobleme

Gegenstand der Modellierungstheorie

Beim Modellieren handelt es sich um den Ersatz eines Objekts (des Originals) durch ein anderes (das Modell) sowie um die Fixierung und Untersuchung der Eigenschaften des Modells. Die Substitution erfolgt zu diesem Zweck Vereinfachung, Reduzierung der Kosten, Beschleunigung der Untersuchung der Eigenschaften des Originals.

IN Allgemeiner Fall Das ursprüngliche Objekt kann ein natürliches oder künstliches, reales oder imaginäres System sein. Es hat viele Parameter und zeichnet sich durch bestimmte Eigenschaften aus. Ein quantitatives Maß für die Eigenschaften eines Systems sind viele Merkmale; das System zeigt seine Eigenschaften unter dem Einfluss äußerer Einflüsse.

Viele Parameter und ihre Werte spiegeln ihr Inneres wider Inhalt - Struktur und Funktionsprinzipien. Charakteristisch sind vor allem sie äußere Zeichen die im Umgang mit anderen wichtig sind.

Eine Modellierung ist dann ratsam, wenn dem Modell diejenigen Merkmale des Originals fehlen, die seine Forschung behindern.

Die Modellierungstheorie ist ein miteinander verbundener Satz von Bestimmungen, Definitionen, Methoden und Mitteln zur Erstellung von Modellen. Die Modelle selbst sind Gegenstand der Modellierungstheorie.

Die Modellierungstheorie ist der Hauptbestandteil allgemeine Theorie Systeme - Systemologie, in der realisierbare Modelle als Hauptprinzip postuliert werden: Ein System kann durch eine endliche Menge von Modellen dargestellt werden, von denen jedes eine bestimmte Facette seines Wesens widerspiegelt.

Die Rolle und der Platz der Modellierung in der Systemforschung.

Die Kenntnis eines Systems () hängt im Wesentlichen von der Erstellung seines Modells ab. Vor der Herstellung jedes Geräts oder jeder Struktur wird ein Modellprojekt entwickelt. Jedes Kunstwerk ist ein Modell, das die Realität einfängt.

Fortschritte in der Mathematik haben zur Verbreitung mathematischer Modelle verschiedener Objekte und Prozesse geführt. Es wird darauf hingewiesen, dass die Dynamik der Funktionsweise von Systemen unterschiedlicher physikalischer Natur die gleichen Abhängigkeiten aufweist, die eine Simulation auf einem PC ermöglichen.

Modellklassifizierung

Physikalische Modelle. Die Klassifizierung basiert auf dem Abstraktionsgrad des Modells vom Original. Bisher lassen sich alle Modelle in zwei Gruppen einteilen – physikalische und abstrakte (mathematische).

F.M. bezieht sich normalerweise auf ein System, das dem Original gleichwertig oder ähnlich ist, jedoch möglicherweise eine andere physikalische Natur hat. Arten von FM:

Natürlich;

Quasi-natürlich;

Großflächig;

Analog;

Natürliche Vorbilder- Dies sind reale untersuchte Systeme (Modelle, Prototypen). Sie entsprechen vollständig dem ursprünglichen System, sind jedoch teuer.

Quasi-natürliche Modelle- eine Reihe natürlicher und mathematischer Modelle. Dieser Typ wird verwendet, wenn das Modell eines Teils des Systems aufgrund der Komplexität seiner Beschreibung nicht mathematisch sein kann (menschliches Bedienermodell) oder wenn ein Teil des Systems in Interaktion mit anderen Teilen untersucht werden muss, diese aber noch nicht existieren oder nicht Einbeziehung ist sehr teuer (Computational Polygons, ACS).

Ein maßstabsgetreues Modell ist ein System mit der gleichen physikalischen Beschaffenheit wie das Original, unterscheidet sich jedoch im Maßstab von diesem. Methodische Grundlage Skalenmodellierung ist die Ähnlichkeitstheorie. Beim Entwurf von Flugzeugen können maßstabsgetreue Modelle verwendet werden, um Optionen für Layoutlösungen zu analysieren.

Analoge Modelle Als Systeme werden Systeme bezeichnet, die eine vom Original abweichende physikalische Beschaffenheit, aber dem Original ähnliche Funktionsweisen aufweisen. Um ein analoges Modell zu erstellen, ist eine mathematische Beschreibung des untersuchten Systems erforderlich. Als analoge Modelle kommen mechanische, hydraulische, pneumatische und elektrische Systeme zum Einsatz. Die analoge Modellierung wird bei der Untersuchung von VT-Geräten auf der Ebene logischer Elemente und verwendet Stromkreise sowie auf Systemebene, wenn die Funktionsweise des Systems beispielsweise durch Differentialgleichungen oder algebraische Gleichungen beschrieben wird.

Mathematische Modelle. Mathematische Modelle sind eine formalisierte Darstellung eines Systems in einer abstrakten Sprache und verwenden mathematische Beziehungen, die den Funktionsprozess des Systems widerspiegeln. Um ein mathematisches Modell zu erstellen, können Sie alle mathematischen Mittel verwenden – Algebra, Differentialrechnung, Integralrechnung, Mengenlehre, Algorithmentheorie usw. Im Wesentlichen wurde die gesamte Mathematik geschaffen, um Modelle von Objekten und Prozessen zu erstellen und zu untersuchen.

Zu den Mitteln der abstrakten Beschreibung von Systemen gehören auch Sprachen chemische Formeln, Diagramme, Zeichnungen, Karten, Diagramme usw. Die Wahl des Modelltyps wird durch die Eigenschaften des untersuchten Systems und die Ziele der Modellierung bestimmt, weil Das Studium des Modells ermöglicht es, Antworten auf eine bestimmte Gruppe von Fragen zu erhalten. Um unterschiedliche Informationen zu erhalten, erfordern unterschiedliche Informationen möglicherweise einen anderen Modelltyp. Mathematische Modelle können in deterministische und probabilistische, analytische, numerische und Simulationsmodelle eingeteilt werden.

Analytisches Modell Dies ist eine formalisierte Beschreibung eines Systems, die es Ihnen ermöglicht, die Gleichung explizit mit einem bekannten mathematischen Apparat zu lösen.

Numerisches Modell gekennzeichnet durch eine Abhängigkeit einer Art, die für bestimmte Anfangsbedingungen und quantitative Parameter der Modelle nur Teillösungen zulässt.

Simulationsmodell- Dabei handelt es sich um eine Reihe von Beschreibungen des Systems und äußerer Einflüsse, Algorithmen für die Funktionsweise des Systems oder Regeln zur Zustandsänderung des Systems unter dem Einfluss äußerer und innerer Störungen. Diese Algorithmen und Regeln ermöglichen es nicht, bestehende mathematische Methoden für analytische und analytische Zwecke zu nutzen numerische Lösung, aber sie ermöglichen es Ihnen, den Funktionsprozess des Systems zu simulieren und die interessierenden Eigenschaften zu berechnen. Simulationsmodelle können für eine viel größere Klasse von Objekten und Prozessen erstellt werden als analytische und numerische Modelle. Da Computer zur Implementierung von Simulationsmodellen eingesetzt werden, dienen universelle und spezielle algorithmische Sprachen als Mittel zu deren formalisierter Beschreibung. Sie eignen sich am besten für die Untersuchung von Flugzeugen auf Systemebene.

Betrachten wir eine Reihe von Problemen, bei denen es notwendig ist, den Lösungsbereich eines Systems linearer Ungleichungen zu finden.

Beispiel 1:

X 1 + 3x 2 ≤ 6

x 1 - x 2 ≤ 2

Der erforderliche Lösungssatz entspricht dem schraffierten Bereich. Die Eckpunkte der Lösungsmenge sind drei Punkte (0,2), (0,-2) und (3,1). Sie sind die Schnittpunkte von Geraden, die die Lösungsmenge begrenzen.

In diesem Beispiel ist die Lösungsmenge eine polyedrische konvexe Menge.

Beispiel 2: Zeichnen Sie die Lösungsmenge für das folgende System linearer Ungleichungen in R².

X 1 + 2x 2 ≤ 4

3x 1 + 2x 2 ≤ 6

Die Eckpunkte der gewünschten Menge sind zwei Punkte mit den Koordinaten: (0,2) und (1/2, 9/4). Der Punkt mit der Koordinate (0,3) ist kein Scheitelpunkt, da er die erste Ungleichung nicht erfüllt. Dieser Satz an Lösungen ist unbegrenzt.

Lösung Beispiel 3: Zeichnen Sie die Lösungsmenge für das folgende System linearer Ungleichungen in R².

X 1 - x 2 ³ 1

x 1 + x 2 ≤ 1

Die Lösung der ersten und zweiten Ungleichung sind die Punkte des schattierten unteren Sektors. Die Lösung der dritten Ungleichung sind die Punkte der schattierten oberen Halbebene. Da diese beiden Bereiche keine gemeinsamen Punkte haben, hat das gesamte Ungleichungssystem keine Lösung, d. h. die Lösung ist Æ.

Das Hauptproblem der linearen Programmierung.

IN Gesamtansicht Das lineare Programmierproblem (LPP) wird wie folgt formuliert.

Vektor finden X=(x 1,x 2, ... x n) in R n, was die Zielfunktion maximiert (oder minimiert).

F(x)=с 1 x 1 +с 2 x 2 +... +с n x n (3)

und erfüllt m+n lineare Ungleichungen:

A 11 x 1 +a 12 x 2 +...+a 1n x n ≤ b 1

a 21 x 1 +a 22 x 2 +...+a 2n x n ≤ b 2

. . . . . . . . . . . . (4)

a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n ≤ b m

x 1 ³0, x 2 ³0, ... x n ³0

In der Programmierterminologie wird die lineare Funktion F(x) als Zielfunktion des Problems bezeichnet. Die Menge der Lösungen des Systems der linearen Ungleichungen (4) wird als Menge der zulässigen Lösungen und jedes beliebigen Vektors bezeichnet X aus dieser Menge nennt man eine zulässige Lösung. Die optimale Lösung ist der Vektor X*, bei dem die Zielfunktion ihren maximalen (oder minimalen) Wert auf der zulässigen Menge von Lösungen annimmt.

Grafische Methode zur Lösung linearer Programmierprobleme. Lassen Sie uns zeigen, wie dieses Problem mit der grafischen (geometrischen) Methode gelöst wird. Dazu beschränken wir uns auf die Betrachtung eines Systems linearer Ungleichungen mit zwei Unbekannten.

Gegeben sei die Zielfunktion F=c 1 x 1 +c 2 x 2 +c 0. Finden wir unter der Menge der Punkte (x 1, x 2) aus dem Bereich der zulässigen Lösungen des gemeinsamen Ungleichungssystems (4) (das nur die Variablen x 1 und x 2 enthält) diejenigen, die ergeben lineare Funktion F ist der kleinste (größte) Wert. Für jeden i-ten Punkt der Ebene nimmt die Funktion F einen festen Wert F=F i an. Die Menge all dieser Punkte, an denen die Funktion F den gleichen Wert F i annimmt, ist eine gerade Linie mit 1 x 1 +c 2 x 2 +c 0 =F i = const, senkrecht zu einem Vektor namens Gradient F (grad F ). Dieser Vektor geht vom Ursprung aus und hat die Koordinaten grad F = (c 1,c 2). Gemäß der Eigenschaft des Vektors Grad F gilt: Wenn die angegebene Gerade parallel zu sich selbst in der positiven Richtung des Vektors Grad F bewegt wird, dann ist der Wert der Zielfunktion F=c 1 x 1 +c 2 x 2 +c 0 auf dieser Geraden nimmt zu und in der entgegengesetzten Richtung ab.

Lassen Sie die Linie F=const sich zum ersten Mal in die positive Richtung des Vektors grad F bewegen, wenn diese Linie an ihrem Scheitelpunkt auf das Polygon der zulässigen Lösungen trifft. Dann wird in dieser Position F 1 die Linie F=const als Stützlinie bezeichnet, und auf dieser Linie nimmt die Funktion F an kleinster Wert. Bei weiterer Bewegung in die gleiche Richtung (positiv) verläuft die Gerade F=const durch einen anderen Scheitelpunkt des Polygons der zulässigen Lösungen und wird beim Verlassen des Lösungsbereichs auch zur Referenzgeraden F 2 . Darauf nimmt die Funktion F an Höchster Wert unter allen auf dem Polygon zulässigen Lösungen akzeptierten Werten. Somit wird eine Minimierung und Maximierung der Zielfunktion F=c 1 x 1 +c 2 x 2 +c 0 auf dem Polygon zulässiger Lösungen an den Schnittpunkten dieses Polygons mit den Referenzlinien F=c 1 x 1 + erreicht c 2 x 2 +c 0 = const, normal zum Vektor grad F=(с 1 , с 2). Dieser Schnittpunkt der Referenzlinie mit der Menge möglicher Lösungen kann entweder an einem Punkt (dem Scheitelpunkt des Polygons) oder an einer unendlichen Menge von Punkten (wenn es sich um die Menge der Seiten des Polygons handelt) liegen.

Die Aufgabe für die erste, zweite und dritte Aufgabe wird anhand des Nachnamens, Vornamens und Vatersnamens des Schülers ausgewählt, und für die vierte Aufgabe wird er anhand des Nachnamens und des Vatersnamens ausgewählt.

Aufgabe Nr. 1

Tabelle 1

Erster Brief

Nachname

Name

Nachname

eine 11

eine 12

ein 21

ein 2 2

ein 31

eine 32

ein 41

ein 4 2

b 1

b 2

b 3

C0

C1

C2

A

B

IN

G

D

E

UND

Z

UND

ZU

L

M

N

UM

P

R

MIT

T

U

F

X

C

H

SE

YuYa

Beispiel 4: Minimieren Sie die lineare Form F=14x 1 +4x 2 unter den Einschränkungen:

7x 1 + 2x 2 ³ 14

4 x 1 –7x 2 ≤ 14

Indem wir die Ungleichheitszeichen durch exakte Gleichheitszeichen ersetzen, erhalten wir Gleichungen für die Grenzen des Bereichs zulässiger Lösungen. Mit den Gleichungen der erhaltenen Geraden konstruieren wir die gewünschte Fläche:

7x 1 +2x 2 =14

4 x 1 – 7x 2 = 14

Der Bereich der zulässigen Lösungen des Ungleichungssystems ist das Polygon ABCDE.

Abb. 5.

Um die Extrempunkte zu finden, konstruieren wir eine Gerade F=14x 1 +4x 2 =0 und einen Vektor gradF = (14, 4). Wir verschieben die Gerade F=0 parallel zu sich selbst in Richtung des Vektors grad F. Diese Gerade trifft zunächst das Polygon ABCDE an den Punkten E(2,0) und A(10/9, 28/9) , wobei die Zielfunktion den gleichen Mindestwert F(E) = F(A) =14·2+4∙0=28-min annimmt (da der Vektor grad F senkrecht zur Geraden AE steht). Somit nimmt die Zielfunktion an jedem Punkt des Segments AE ihren Minimalwert an.

Aus dem Plan Das Hauptproblem der linearen Programmierung ergibt sich daraus, dass die Anzahl ihrer positiven Komponenten nicht größer ist.

Ein Unterstützungsplan wird als nicht entartet bezeichnet, wenn er genau positive Komponenten enthält; andernfalls ist der Plan degeneriert.

Alle Systemvariablen lineare Gleichungen mit Variablen (vorbehaltlich ) werden als einfach bezeichnet, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix für sie von Null verschieden ist. Dann werden die verbleibenden Variablen als nicht primär bezeichnet.

Die Grundlösung eines Systems von m linearen Gleichungen mit Variablen ist jede Lösung, bei der alle nicht-Basisvariablen Nullwerte haben.

Satz 1. Die Menge aller zulässigen Lösungen des Randbedingungssystems eines linearen Programmierproblems ist konvex.

Satz 2. Wenn ein lineares Programmierproblem eine optimale Lösung hat, dann fällt diese mit dem Eckpunkt der Menge zulässiger Lösungen zusammen.

Folge. Wenn die optimale Lösung nicht eindeutig ist, gibt es viele solcher Lösungen (z. B. alle Punkte des Segments, das die entsprechenden Eckpunkte verbindet).

Satz 3. Jede zulässige Grundlösung eines linearen Programmierproblems entspricht einem Eckpunkt des Bereichs zulässiger Werte und umgekehrt.

Das Konzept der Simplex-Methode.

Die Lösung des Hauptproblems der linearen Programmierung mit der geometrischen Methode führt bei 2 und 3 Variablen zu großer Klarheit. Für den gleichen Fall mehr Variablen wird die geometrische Methode unmöglich. Die sogenannte Simplex-Methode ist eine der analytischen Methoden zur Lösung des grundlegenden linearen Programmierproblems. In diesem Fall werden die bei der Implementierung der Simplex-Methode verwendeten Einschränkungen normalerweise durch ein System linearer Gleichungen angegeben

A 11 x 1 +a 12 x 2 +...+a 1n x n = b 1

a 21 x 1 +a 22 x 2 +...+a 2n x n = b 2

. . . . . . . . . . . . (5)

a m 1 x 1 +a m 2 x 2 +...+a mn x n = b m

Unter den nichtnegativen Lösungen, von denen wir suchen, finden wir diejenigen, die die lineare (objektive) Funktion maximieren würden

F=с 1 x 1 +с 2 x 2 +...+с n x n +с 0

Die Simplex-Methode basiert auf den Sätzen:

Satz 1. Wenn das ZLP eine optimale Lösung hat, nimmt die Zielfunktion an einem der Eckpunkte des konvexen Polygons möglicher Lösungen einen Extremwert an.

Satz 2. Jede Stützlösung des ZLP entspricht einem Eckpunkt des Polygons zulässiger Lösungen und umgekehrt.

Basierend auf diesen Theoremen wird bei der Implementierung der Simplex-Methode eine gezielte Suche aller Scheitelpunkte durchgeführt, sodass in jedem nächsten Scheitelpunkt der Wert der Zielfunktion nicht kleiner (nicht mehr) ist als im vorherigen Scheitelpunkt. Gleichzeitig z letzte Zahl Schritte wird die gewünschte optimale Lösung erreicht oder es wird festgestellt, dass das ZLP unlösbar ist.

Um den angegebenen Algorithmus zu implementieren, wählen wir in System (5) max eine Menge linear unabhängiger Variablen aus (solche, für die die aus Koeffizienten vor diesen Variablen zusammengesetzte Determinante von 0 verschieden ist). Der Bestimmtheit halber seien dies die Variablen x 1, x 2,... x r (r ≤ m). Lassen Sie uns diese Variablen durch die übrigen Variablen ausdrücken

X 1 = a" 1, r +1 x r+1 + ... + a" 1 n x n + b 1 "

x 2 = a" 2, r +1 x r+1 + ... + a" 2 n x n + b 2 "(6)

. . . . . . . . . . . . . . . .

x r = a" r, r +1 x r+1 + ... + a" r n x n + b r "

Darüber hinaus gehen wir davon aus, dass alle b 1 "³0, b 2 "³0, b r "³0. Wenn die anfänglichen restriktiven Bedingungen durch Ungleichungen spezifiziert sind, können sie durch Einführung neuer nicht negativer Variablen in die Form (5) umgewandelt werden. die sogenannten Ausgleichs-(Nivellierungs-)Ungleichungen. So reicht es beispielsweise bei der Ungleichunga 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n ≤ b aus, auf der linken Seite der Ungleichung einen Wert x n + hinzuzufügen 1 ³ 0 gleich der Differenz zwischen der rechten und linken Seite der Ungleichung und wir erhalten die Gleichheit a 1 x 1 + a 2 x 2 +...+a n x n + x n +1 = b auf gemischte Weise, also durch Ungleichungen und Gleichungen, so können sie in der angegebenen Weise auch nur auf Gleichungen reduziert werden.

Im resultierenden System (6) werden die (unbekannten) Variablen x 1, x 2 ... x z als Basis bezeichnet, und die gesamte Menge (x 1, x 2 ... x z) wird als Basis bezeichnet, die übrigen Variablen als Basis kostenlos genannt. Das System der Restriktionen (6) wird als auf eine Einheitsbasis reduziertes System bezeichnet. Wenn wir in die Zielfunktion F anstelle der Basisvariablen deren Ausdrücke durch die freien Ausdrücke aus System (6) einsetzen, erhalten wir

F = C 0 + C g+1 x g+1 + … + C n x n

Unter der Annahme, dass alle freien Variablen gleich Null sind, ermitteln wir die Werte der Basisvariablen:

x 1 =b 1 ", x 2 = b 2" , ... x r =b r "

Die so erhaltene zulässige Lösung des Systems (6).

(b 1 ", b 2 ", ... b r ", 0, ... 0) wird als Basislösung bezeichnet. Für diese Basislösung ist der Wert der Zielfunktion gleich F B = C 0.

Die Lösung des Problems mit der Simplex-Methode gliedert sich in mehrere Schritte, die darin bestehen, dass wir von einer gegebenen Basis B zu einer anderen Basis B wechseln, so dass der Wert von F B auf der neuen Basis zunimmt oder zumindest , nimmt nicht ab, dann ist F B "≥ F B erfüllt. Wenn außerdem alle b 1 ">0, b 2 ">0,…., b r ">0, dann heißt diese Lösung Referenz und entspricht einigen Eckpunkt Bereich möglicher Lösungen, der durch das ursprüngliche System von Beschränkungen bestimmt wird. Dann entspricht der Übergang von einer Basislösung (Referenzlösung) zu einer anderen dem Übergang von einem Scheitelpunkt des Polygons der zulässigen Lösungen zu einem anderen Scheitelpunkt.

AUFGABE Nr. 2

Um drei Warengruppen zu verkaufen, verfügt ein Handelsunternehmen über drei Arten von organischem Material und monetäre Ressourcen in Höhe von , , Einheiten. Gleichzeitig für den Verkauf einer Warengruppe für 1.000 Rubel. Der Warenumsatzverbrauch ging in der Anzahl der Einheiten verloren, die Ressource der zweiten Art in der Anzahl der Einheiten, die Ressource der dritten Art in der Anzahl der Einheiten. Für den Verkauf von 2 und 3 Warengruppen für 1 Tausend Rubel. Der Warenumsatz wird entsprechend der Ressource erster Art in Höhe von , Einheiten, Ressourcen zweiter Art in Höhe von , Einheiten, Ressourcen dritter Art in Höhe von , Einheiten ausgegeben. Profitieren Sie von drei Warengruppen für 1.000 Rubel. Der Umsatz beträgt jeweils , (Tausend Rubel).

Bestimmen Sie das geplante Volumen und die Struktur des Handelsumsatzes, damit der Gewinn des Handelsunternehmens maximiert wird.

Erster Brief

Nachname

Name

Nachname

A

B

IN

1 0

G

D

E

UND

Z

UND

ZU

L

M

N

UM

P

R

MIT

T

U

F

X

C

H

SIE

Yu Ya

Beispiel 5: Maximieren Sie die Zielfunktion F=-x 4 +x 5 unter den Einschränkungen:

Dieses Gleichungssystem ist konsistent, da die Ränge des Systems Matrix sind

und erweiterte Matrix

stimmen überein und sind gleich 3. Wenn wir die (in Einheitsspalten stehenden) Basisvariablen x 1, x 2, x 3 durch die freien Variablen x 4 und x 5 ausdrücken, gelangen wir zum System

(7)

Zusätzlich zu System (7) können wir die Grundvariablen durch freie Variablen und in der Zielfunktion ausdrücken (in unserem Beispiel wird F = -x 4 + x 5 bereits durch die freien Variablen x 4 und x 5 ausgedrückt). Unter der Annahme x 4 = 0, x 5 =0 finden wir die Grundvariablen: x 1 =1, x 2 =2, x 3 =3. Somit ist die erste zulässige Basislösung des Gleichungssystems (1, 2, 3, 0, 0) . Wenn eine zulässige Lösung gefunden wird, hat die Zielfunktion F den Wert 0, also F 1 =0.

Versuchen wir nun, den Wert von F 1 zu erhöhen. Eine Erhöhung von x 4 führt zu einer Verringerung von F 1, da vor x 4 im Ausdruck F = -x 4 + x 5 ein negativer Koeffizient vorliegt und eine Erhöhung von x 5 zu einer Erhöhung von F 1 führt. Daher erhöhen wir x 5, damit x 1, x 2, x 3 nicht negativ werden und x 4 = 0 bleibt. Aus der zweiten Gleichung (7) sehen wir, dass x 5 auf 2 erhöht werden kann (so dass x 2 0 bleiben würde, mit x 4 = 0). Dann ist der Wert der Variablen (5, 0, 1, 0, 2) und der Wert von F 2 = 2. Wie Sie sehen können, hat sich der Wert von F im zweiten Schritt erhöht.

Da sich herausstellte, dass x 2 und x 4 gleich 0 waren, nehmen wir weiterhin x 2 und x 4 als freie Unbekannte, dann ist x 5 = 2 x 2 + 2 x 4

und von System (7) gehen wir zu seinem äquivalenten System (8)

(8)

Darüber hinaus ist F in diesem Fall gleich

F = 2x 2 +x 4

Um F zu erhöhen, erhöhen wir x 4 (da x 2 ein negativer Koeffizient vorausgeht). Aus der zweiten Gleichung des Systems (8) geht hervor, dass der Wert von x 4 sein kann, vorausgesetzt, dass x 3 nicht negativ ist auf x 4 = 1/5 gebracht, dann haben wir (28/5 , 0, 0, 1/5, 12/5), F 3 =11/5.

Da die erhaltene Lösung x 2 = x 3 = 0 ist, nehmen wir x 2 und x 3 als freie Variablen und drücken x 1, x 4, x 5 durch x 2 und x 3 aus. Wir erhalten

X 1 = 28/5 - 7/5 x 2 - 3/5 x 3

x 4 = 1/5 + 1/5 x 2 – 1/5 x 3

x 5 = 12/5 – 3/5 x 2 – 2/5 x 3

mit F = 11/5 – 4/5 x 2 – 1/5 x 3

Da die Koeffizienten für x 2 und x 3 im Ausdruck für F negativ sind, ist es nicht mehr möglich, den Wert von F zu erhöhen. Wenn wir also x 2 = x 3 = 0 setzen, erhalten wir den größten Wert F = 11/5, wenn wir (28/5, 0, 0, 1/5, 12/5) lösen.

Antwort: F max = 11/5 bei X* = (28/5, 0, 0, 1/5, 12/5)

Simplex-Tische.

Da das Lösen des ZLP mithilfe einer solchen Argumentation, wie es im vorherigen Beispiel durchgeführt wurde, für eine kompakte Aufzeichnung der Lösung eindeutig unpraktisch ist, werden sogenannte Simplex-Tabellen verwendet, um den Lösungsalgorithmus auf einem Computer programmieren zu können. Dazu reduzieren wir das Restriktionssystem auf eine Einheitsbasis

x 1 + a 1, r +1 x r+1 + ... + a 1 n x n = b 1

x i + a i,r+1 x r+1 + .... + a i n x n = b i (9)

x r + a r,r+1 x r+1 + ... + a r n x n = b r

und die Zielfunktion F - zur Form:

F = C g+1 x r +1 + ... + C j x j +…+ C n x n + C 0 (10)

Wir nennen Gleichheit (10) einen (auf freie Variablen) reduzierten Ausdruck für die Funktion F und die Koeffizienten C j – Schätzungen (Indizes) der entsprechenden freien Variablen x j.

Die Koeffizienten des obigen Restriktionssystems (9) sowie verschiedene Hilfsvariablen werden in eine Simplex-Tabelle eingetragen (Tabelle 1).

Tabelle 1

Grundlegende Variablen

Kostenlose Mitglieder

x 1

...

x i

...

xr

x g+1

...

x j

...

x n

x 1

b 1

...

...

a 1,r+1

...

ein 1j

...

ein 1n

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

x i

b ich

...

...

und i,r+1

...

ein ij

...

ein in

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

xr

b r

...

...

und r,r+1

...

ein RJ

...

Arn

F=

C 0

...

...

- C g+1

...

-C j

...

-Cn

Die ersten r Spalten mit Unbekannten x i sind Einheitsspalten mit Basisvariablen x 1 ,…,x r . Nächste Nr Spalten sind Spalten mit freien Variablen x r +1 ,…,x n . Unter der Annahme freier Variablen x r +1 = …=

X n = 0, wir finden die Grundvariablen x 1 = b 1,…, x r = b r. In diesem Fall beträgt der Wert der Zielfunktion F = C 0 .

Der gefundene Vektorplan X 1 = und der Wert der Zielfunktion F = C 0 entsprechen einem Scheitelpunkt des Polygons möglicher Lösungen. Der Übergang zu einem anderen Scheitelpunkt und damit zu einem anderen Vektorplan und einem anderen Wert der Zielfunktion erfolgt durch Neuberechnung dieser Simplex-Tabelle.

LINEARE GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN I

§ 23 Systeme linearer Ungleichungen

Ein System linearer Ungleichungen ist eine Menge von zwei oder mehr linearen Ungleichungen, die dieselbe unbekannte Größe enthalten.

Beispiele für solche Systeme sind die folgenden Systeme:

Das Lösen eines Ungleichheitssystems bedeutet, alle Werte der unbekannten Größe zu finden, für die jede Ungleichung des Systems erfüllt ist.

Lassen Sie uns die oben genannten Systeme lösen.

Platzieren wir zwei Zahlengeraden untereinander (Abb. 31); Oben markieren wir diese Werte X , für die die erste Ungleichung erfüllt ist ( X > 1) und unten diese Werte X , für die die zweite Ungleichung erfüllt ist ( X > 4).

Beim Vergleich der Ergebnisse auf den Zahlengeraden stellen wir fest, dass beide Ungleichungen gleichzeitig erfüllt sind, wenn X > 4. Antwort, X > 4.

Die erste Ungleichung ergibt -3 X < -б, или X > 2, und der zweite - X > -8, oder X < 8. Далее поступаем так же, как и в первом примере. На одной числовой прямой отмечаем все те значения X , für die die erste Ungleichung des Systems erfüllt ist, und auf der zweiten Zahlengeraden, die sich unter der ersten befindet, alle diese Werte X , für die die zweite Ungleichung des Systems erfüllt ist (Abb. 32).

Ein Vergleich dieser beiden Ergebnisse zeigt, dass beide Ungleichungen gleichzeitig für alle Werte gelten X , eingeschlossen von 2 bis 8. Die Menge solcher Werte X geschrieben als doppelte Ungleichung 2< X < 8.

Beispiel 3. Lösen Sie das Ungleichungssystem

Die erste Ungleichung des Systems ergibt 5 X < 10, или X < 2, второе X > 4. Somit darf jede Zahl, die beide Ungleichungen gleichzeitig erfüllt, nicht größer als 2 und nicht größer als 4 sein (Abb. 33).

Aber solche Zahlen gibt es nicht. Daher gilt dieses Ungleichungssystem für keine Werte X . Solche Ungleichheitssysteme nennt man inkonsistent.

Übungen

Lösen Sie diese Ungleichungssysteme (Nr. 179 -184):

Ungleichungen lösen (Nr. 185, 186):

185. (2X + 3) (2 - 2X ) > 0. 186. (2 - π ) (2X - 15) (X + 4) > 0.

Finden gültige Werte in den Gleichstellungsdaten enthaltene Buchstaben (Nr. 187, 188):

Ungleichungen lösen (Nr. 189, 190):

189. 1 < 2X - 5 < 2. 190. -2 < 1 - Oh < 5.

191. Welche Temperatur müssen 10 Liter Wasser haben, um sie mit 6 Litern Wasser mit einer Temperatur von 15° zu vermischen, um Wasser mit einer Temperatur von mindestens 30° und höchstens 40° zu erhalten?

192. Eine Seite des Dreiecks beträgt 4 cm und die Summe der anderen beiden beträgt 10 cm. Finden Sie diese Seiten, wenn sie in ganzen Zahlen ausgedrückt werden.

193. Es ist bekannt, dass das System zweier linearer Ungleichungen für keinen Wert der unbekannten Größe erfüllt ist. Können wir sagen, dass einzelne Ungleichungen dieses Systems für keinen Wert der unbekannten Größe erfüllt sind?

Grafische Methode.. 3

Simplex-Methode. 6

Künstliche Basismethode... 8

Das Prinzip der Dualität.. 10

Liste der verwendeten Literatur... 12

Einführung

Bestimmte Eigenschaften von Systemen linearer Ungleichungen wurden bereits in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts im Zusammenhang mit bestimmten Problemen der analytischen Mechanik betrachtet. Die systematische Untersuchung von Systemen linearer Ungleichungen begann Ende des 19. Jahrhunderts, aber erst in den späten zwanziger Jahren des 20. Jahrhunderts wurde es möglich, über die Theorie linearer Ungleichungen zu sprechen, als es eine ausreichende Anzahl damit zusammenhängender Ergebnisse gab bereits angesammelt.

Nun kann die Theorie endlicher Systeme linearer Ungleichungen als ein daraus hervorgegangener Zweig der linearen Algebra betrachtet werden, mit der zusätzlichen Anforderung, das Koeffizientenfeld zu ordnen.

Besonders ausgeprägt sind lineare Ungleichungen wichtig für Ökonomen, weil man mit Hilfe linearer Ungleichungen Produktionsprozesse modellieren und die profitabelsten Pläne für Produktion, Transport, Ressourcenallokation usw. finden kann.

In diesem Artikel werden die grundlegenden Methoden zur Lösung linearer Ungleichungen beschrieben, die auf spezifische Probleme angewendet werden.

Grafische Methode

Die grafische Methode besteht darin, einen Satz zulässiger Lösungen für das PLP zu konstruieren und in diesem Satz den Punkt zu finden, der der Max/Min-Zielfunktion entspricht.

Wegen Behinderungen Für eine visuelle grafische Darstellung wird diese Methode nur für Systeme linearer Ungleichungen mit zwei Unbekannten und Systeme verwendet, die auf diese Form reduziert werden können.

Um es klar zu demonstrieren grafische Methode Lassen Sie uns das folgende Problem lösen:

Im ersten Schritt ist es notwendig, einen Bereich realisierbarer Lösungen zu konstruieren. Für dieses Beispiel ist es am bequemsten, X2 als Abszisse und X1 als Ordinate zu wählen und die Ungleichungen in der folgenden Form zu schreiben:

Sowohl die Grafiken als auch der Bereich der realisierbaren Lösungen liegen im ersten Quartal.

Um die Randpunkte zu finden, lösen wir die Gleichungen (1)=(2), (1)=(3) und (2)=(3).

Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, bildet das Polyeder ABCDE einen Bereich zulässiger Lösungen.

Wenn der Bereich der zulässigen Lösungen nicht geschlossen ist, dann ist entweder max(f)=+ ∞ oder min(f)= -∞.

Jetzt können wir direkt das Maximum der Funktion f ermitteln.

Indem wir abwechselnd die Koordinaten der Eckpunkte des Polyeders in die Funktion f einsetzen und die Werte vergleichen, finden wir das heraus

f(C)=f(4;1)=19 – Maximum der Funktion.

Dieser Ansatz ist bei einer kleinen Anzahl von Scheitelpunkten sehr vorteilhaft. Dieser Vorgang kann jedoch lange dauern, wenn sehr viele Scheitelpunkte vorhanden sind.

In diesem Fall ist es bequemer, eine Niveaulinie der Form f=a zu betrachten. Bei einem monotonen Anstieg der Zahl a von -∞ bis +∞ verschieben sich die Geraden f=a entlang des Normalenvektors. Wenn es bei einer solchen Bewegung der Niveaulinie einen bestimmten Punkt X gibt – den ersten gemeinsamen Punkt des Bereichs zulässiger Lösungen (Polyeder ABCDE) und der Niveaulinie, dann ist f(X) das Minimum von f auf der Menge ABCDE. Wenn X der letzte Schnittpunkt der Niveaulinie und der ABCDE-Menge ist, dann ist f(X) das Maximum der Menge möglicher Lösungen. Wenn als a→-∞ die Gerade f=a die Menge der zulässigen Lösungen schneidet, dann ist min(f)= -∞. Wenn dies als a→+∞ geschieht, dann

In unserem Beispiel schneidet die Gerade f=a die Fläche ABCDE im Punkt C(4;1). Da dies der letzte Schnittpunkt ist, gilt max(f)=f(C)=f(4;1)=19.

Simplex-Methode

Echte lineare Programmierprobleme beinhalten sehr große Nummer Einschränkungen und Unbekannten und werden auf einem Computer ausgeführt. Die Simplex-Methode ist der allgemeinste Algorithmus zur Lösung solcher Probleme. Der Kern der Methode besteht darin, dass nach einer bestimmten Anzahl spezieller Simplex-Transformationen das ZLP auf reduziert wird spezieller Typ, erlaubt. Um die Simplex-Methode in Aktion zu demonstrieren, lösen wir das folgende Problem mit begleitenden Kommentaren:

Um mit der Lösung des Problems mit der Simplex-Methode zu beginnen, müssen Sie das Problem in eine spezielle Form bringen und die Simplex-Tabelle ausfüllen.

System (4) ist eine natürliche Einschränkung und passt nicht in die Tabelle. Die Gleichungen (1), (2), (3) bilden den Bereich zulässiger Lösungen. Ausdruck (5) ist die Zielfunktion. Die freien Terme im Restriktionssystem und im Bereich der zulässigen Lösungen dürfen nicht negativ sein.

In diesem Beispiel sind X3, X4, X5 die grundlegenden Unbekannten. Sie müssen als freie Unbekannte ausgedrückt und in der Zielfunktion ersetzt werden.

Jetzt können Sie mit dem Ausfüllen der Simplex-Tabelle beginnen:

B.	X1	X2	X3	X4	X5	C
X3	0	-1	1	1	0	1
X4	0	1	-1	0	1	1
X5	1	1	1	0	0	2
F	0	-6	7	0	0	3

Die erste Spalte dieser Tabelle gibt die grundlegenden Unbekannten an, die letzte die Werte der freien Unbekannten und der Rest die Koeffizienten der Unbekannten.

Um das Maximum der Funktion f mithilfe von Gaußschen Transformationen zu ermitteln, müssen Sie sicherstellen, dass alle Koeffizienten für die Unbekannten in der letzten Zeile nicht negativ sind (um das Minimum zu ermitteln, stellen Sie sicher, dass alle Koeffizienten kleiner oder gleich sind). bis Null).

B	X1	X2	X3	X4	X5	C
X3	-1	1	1	0	0	1
X4	1	-1	0	1	0	1
X5	1	1	0	0	1	2
F	-6	7	0	0	0	3

Wählen Sie dazu die Spalte mit einem negativen Koeffizienten in der letzten Zeile (Spalte 3) aus und erstellen Sie die Beziehung zwischen freiem Term und Koeffizienten (1/1; 2/1) für die positiven Elemente dieser Spalte. Wählen Sie aus diesen Verhältnissen das kleinste aus und markieren Sie die entsprechende Linie.

Wir haben das Element in Zelle (3;3) ausgewählt. Nun setzen wir mit der Gaußschen Methode die anderen Koeffizienten in dieser Spalte zurück, dies führt zu einer Änderung der Basis und wir sind der optimalen Lösung einen Schritt näher gekommen.

B	X1	X2	X3	X4	X5	C
X3	0	0	1	1	0	2
X1	1	-1	0	1	0	1
X5	0	2	0	-1	1	1
F	0	1	0	6	0	9

Wie aus der Tabelle ersichtlich ist, sind nun alle Koeffizienten in der letzten Zeile größer oder gleich Null. Damit haben wir den optimalen Wert gefunden. Die freien Unbekannten sind gleich Null, der Wert der Grundunbekannten und das Maximum der Funktion f entsprechen den Werten der freien Unbekannten.

Definition 1 . Satz von Punkten im Raum R n , deren Koordinaten die Gleichung erfüllen A 1 X 1 + a 2 X 2 +…+ A N X N = B, angerufen ( N - 1 )-dimensionale Hyperebene in N-dimensionaler Raum.

Satz 1. Eine Hyperebene teilt den gesamten Raum in zwei Halbräume. Ein Halbraum ist eine konvexe Menge.

Der Durchschnitt einer endlichen Anzahl von Halbräumen ist eine konvexe Menge.

Satz 2 . Lösen einer linearen Ungleichung mit N Unbekannt

A 1 X 1 + a 2 X 2 +…+ A N X N B

ist einer der Halbräume, in die der gesamte Raum durch eine Hyperebene unterteilt wird

A 1 X 1 + A 2 X 2 +…+A N X n= B.

Betrachten Sie ein System von M lineare Ungleichungen mit N Unbekannt.

Die Lösung jeder Ungleichung im System ist ein bestimmter Halbraum. Die Lösung des Systems ist der Schnitt aller Halbräume. Diese Menge wird geschlossen und konvex sein.

Systeme linearer Ungleichungen lösen

mit zwei Variablen

Lassen Sie uns ein System von geben M lineare Ungleichungen mit zwei Variablen.

Die Lösung jeder Ungleichung ist eine der Halbebenen, in die die gesamte Ebene durch die entsprechende Gerade unterteilt wird. Die Lösung des Systems wird der Schnittpunkt dieser Halbebenen sein. Dieses Problem kann grafisch auf einer Ebene gelöst werden X 1 0 X 2 .

37. Darstellung eines konvexen Polyeders

Definition 1. Geschlossen konvex begrenzter Einsatz R n hat eine endliche Zahl Eckpunkte, heißt konvex N-dimensionales Polyeder.

Definition 2 . Geschlossener konvexer, unbeschränkter Satz R n mit einer endlichen Anzahl von Eckpunkten wird als konvexer polyedrischer Bereich bezeichnet.

Definition 3 . Ein Haufen AR n heißt beschränkt, falls vorhanden N-dimensionaler Ball, der dieses Set enthält.

Definition 4. Eine konvexe lineare Kombination von Punkten ist der Ausdruck, wobei t i , .

Satz (ein Satz über die Darstellung eines konvexen Polyeders). Jeder Punkt eines konvexen Polyeders kann als konvexe Linearkombination seiner Eckpunkte dargestellt werden.

38. Bereich zulässiger Lösungen eines Systems von Gleichungen und Ungleichungen.

Lassen Sie uns ein System von geben M lineare Gleichungen und Ungleichungen mit N Unbekannt.

Definition 1 . Punkt R n heißt eine mögliche Lösung des Systems, wenn seine Koordinaten die Gleichungen und Ungleichungen des Systems erfüllen. Die Menge aller möglichen Lösungen wird als möglicher Lösungsbereich (PSA) des Systems bezeichnet.

Definition 2. Eine mögliche Lösung, deren Koordinaten nicht negativ sind, wird als zulässige Lösung des Systems bezeichnet. Die Menge aller zulässigen Lösungen wird als zulässiger Lösungsbereich (ADA) des Systems bezeichnet.

Satz 1 . Ein ODR ist eine geschlossene, konvexe, begrenzte (oder unbeschränkte) Teilmenge in R N.

Satz 2. Eine zulässige Lösung des Systems ist genau dann eine Referenzlösung, wenn dieser Punkt ein Eckpunkt des ODS ist.

Satz 3 (der Satz über die Darstellung von ODR). Wenn die ungerade Menge eine begrenzte Menge ist, kann jede mögliche Lösung als konvexe lineare Kombination der Eckpunkte der ungeraden Menge dargestellt werden (in Form einer konvexen linearen Kombination). unterstützende Lösungen Systeme).

Satz 4 (der Satz über die Existenz einer unterstützenden Lösung des Systems). Verfügt das System über mindestens eine zulässige Lösung (ADS), so gibt es unter den zulässigen Lösungen mindestens eine Referenzlösung.

siehe auch Ein lineares Programmierproblem grafisch lösen, Kanonische Form linearer Programmierprobleme

Das System der Beschränkungen für ein solches Problem besteht aus Ungleichungen in zwei Variablen:
und die Zielfunktion hat die Form F = C 1 X + C 2 j was maximiert werden muss.

Beantworten wir die Frage: Welche Zahlenpaare ( X; j) sind Lösungen für das System der Ungleichungen, d. h. erfüllen sie jede der Ungleichungen gleichzeitig? Mit anderen Worten: Was bedeutet es, ein System grafisch zu lösen?
Zuerst müssen Sie verstehen, was die Lösung einer linearen Ungleichung mit zwei Unbekannten ist.
Das Lösen einer linearen Ungleichung mit zwei Unbekannten bedeutet, alle Paare unbekannter Werte zu bestimmen, für die die Ungleichung gilt.
Zum Beispiel Ungleichung 3 X – 5j≥ 42 erfüllen Paare ( X , j) : (100, 2); (3, –10) usw. Die Aufgabe besteht darin, alle solchen Paare zu finden.
Betrachten wir zwei Ungleichungen: Axt + von≤ C, Axt + von≥ C. Gerade Axt + von = C teilt die Ebene in zwei Halbebenen, sodass die Koordinaten der Punkte einer von ihnen die Ungleichung erfüllen Axt + von >C und die andere Ungleichung Axt + +von <C.
Nehmen wir tatsächlich einen Punkt mit Koordinaten X = X 0 ; dann ein Punkt, der auf einer Geraden liegt und eine Abszisse hat X 0, hat eine Ordinate

Lassen Sie es zur Gewissheit kommen A< 0, B>0, C>0. Alle Punkte mit Abszisse X 0 oben liegend P(zum Beispiel Punkt M), haben y M>j 0 und alle Punkte unterhalb des Punktes P, mit Abszisse X 0 , haben y N<j 0 . Weil das X 0 ist ein beliebiger Punkt, dann wird es immer Punkte auf einer Seite der Linie geben, für die Axt+ von > C, eine Halbebene bildend, und auf der anderen Seite - Punkte für die Axt + von< C.

Bild 1

Das Ungleichheitszeichen in der Halbebene hängt von den Zahlen ab A, B , C.
Dies führt zu der folgenden Methode grafische Lösung Systeme linearer Ungleichungen in zwei Variablen. Um das System zu lösen, benötigen Sie:

1. Schreiben Sie für jede Ungleichung die dieser Ungleichung entsprechende Gleichung.
2. Konstruieren Sie gerade Linien, die Graphen von durch Gleichungen angegebenen Funktionen sind.
3. Bestimmen Sie für jede Gerade die Halbebene, die durch die Ungleichung gegeben ist. Nehmen Sie dazu einen beliebigen Punkt, der nicht auf einer Geraden liegt, und setzen Sie seine Koordinaten in die Ungleichung ein. Wenn die Ungleichung wahr ist, ist die Halbebene, die den gewählten Punkt enthält, die Lösung der ursprünglichen Ungleichung. Wenn die Ungleichung falsch ist, dann ist die Halbebene auf der anderen Seite der Linie die Lösungsmenge dieser Ungleichung.
4. Um ein System von Ungleichungen zu lösen, ist es notwendig, die Schnittfläche aller Halbebenen zu finden, die die Lösung für jede Ungleichung des Systems darstellen.

Dieser Bereich kann sich als leer erweisen, dann hat das Ungleichungssystem keine Lösungen und ist inkonsistent. Ansonsten gilt das System als konsistent.
Es kann eine endliche Anzahl von Lösungen geben und unendliche Menge. Die Fläche kann ein geschlossenes Polygon oder unbegrenzt sein.

Schauen wir uns drei relevante Beispiele an.

Beispiel 1. Lösen Sie das System grafisch:
X + j – 1 ≤ 0;
–2X - 2j + 5 ≤ 0.

• Betrachten Sie die Gleichungen x+y–1=0 und –2x–2y+5=0, die den Ungleichungen entsprechen;
• Konstruieren wir gerade Linien, die durch diese Gleichungen gegeben sind.

Figur 2

Definieren wir die durch die Ungleichungen definierten Halbebenen. Nehmen wir einen beliebigen Punkt, sei (0; 0). Lassen Sie uns überlegen X+ y– 1 0, ersetzen Sie den Punkt (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Das bedeutet, dass in der Halbebene, in der der Punkt (0; 0) liegt, X + j – 1 ≤ 0, d.h. die unter der Geraden liegende Halbebene ist eine Lösung der ersten Ungleichung. Wenn wir diesen Punkt (0; 0) in den zweiten einsetzen, erhalten wir: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, d.h. in der Halbebene, in der der Punkt (0; 0) liegt, –2 X – 2j+ 5≥ 0, und wir wurden gefragt, wo –2 X – 2j+ 5 ≤ 0 also in der anderen Halbebene – in der über der Geraden.
Finden wir den Schnittpunkt dieser beiden Halbebenen. Die Geraden sind parallel, die Ebenen schneiden sich also nirgendwo, was bedeutet, dass das System dieser Ungleichungen keine Lösungen hat und inkonsistent ist.

Beispiel 2. Finden Sie grafisch Lösungen für das Ungleichungssystem:

Figur 3
1. Schreiben wir die Gleichungen auf, die den Ungleichungen entsprechen, und konstruieren wir Geraden.
X + 2j– 2 = 0

X	2	0
j	0	1

j – X – 1 = 0

X	0	2
j	1	3

j + 2 = 0;
j = –2.
2. Nachdem wir den Punkt (0; 0) gewählt haben, bestimmen wir die Vorzeichen der Ungleichungen in den Halbebenen:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, d.h. X + 2j– 2 ≤ 0 in der Halbebene unterhalb der Geraden;
0 – 0 – 1 ≤ 0, d.h. j –X– 1 ≤ 0 in der Halbebene unterhalb der Geraden;
0 + 2 =2 ≥ 0, d.h. j+ 2 ≥ 0 in der Halbebene über der Geraden.
3. Der Schnittpunkt dieser drei Halbebenen ergibt eine Fläche, die einem Dreieck entspricht. Es ist nicht schwierig, die Eckpunkte der Region als Schnittpunkte der entsprechenden Linien zu finden


Auf diese Weise, A(–3; –2), IN(0; 1), MIT(6; –2).

Betrachten wir ein weiteres Beispiel, bei dem der resultierende Lösungsbereich des Systems nicht eingeschränkt ist.