X gleich. Quadratische Ungleichungen. Wurzeln einer quadratischen Gleichung

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Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Was „quadratische Ungleichung“? Keine Frage!) Wenn du nimmst beliebig quadratische Gleichung und ersetzen Sie das Vorzeichen darin "=" (gleich) jedem Ungleichheitszeichen ( > ≥ < ≤ ≠ ), erhalten wir eine quadratische Ungleichung. Zum Beispiel:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Naja, du verstehst...)

Nicht umsonst habe ich hier Gleichungen und Ungleichungen verknüpft. Der Punkt ist, dass der erste Schritt zur Lösung ist beliebig quadratische Ungleichung - Lösen Sie die Gleichung, aus der diese Ungleichung besteht. Aus diesem Grund führt die Unfähigkeit, quadratische Gleichungen zu lösen, automatisch zum völligen Versagen von Ungleichungen. Ist der Hinweis klar?) Wenn überhaupt, schauen Sie sich an, wie man quadratische Gleichungen löst. Dort ist alles ausführlich beschrieben. Und in dieser Lektion werden wir uns mit Ungleichheiten befassen.

Die zur Lösung bereite Ungleichung hat die Form: Auf der linken Seite befindet sich ein quadratisches Trinom Axt 2 +bx+c, rechts - Null. Das Ungleichheitszeichen kann absolut alles sein. Die ersten beiden Beispiele finden Sie hier sind bereits bereit, eine Entscheidung zu treffen. Das dritte Beispiel muss noch vorbereitet werden.

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Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Bei der Lösung praktischer Probleme ist es seit der Antike notwendig, Mengen und Mengen zu vergleichen. Gleichzeitig tauchten Wörter wie mehr und weniger, höher und niedriger, leichter und schwerer, leiser und lauter, billiger und teurer usw. auf, die die Ergebnisse des Vergleichs homogener Größen bezeichneten.

Die Konzepte von mehr und weniger entstanden im Zusammenhang mit dem Zählen von Gegenständen, dem Messen und Vergleichen von Mengen. Mathematiker im antiken Griechenland wussten beispielsweise, dass die Seite jedes Dreiecks kleiner ist als die Summe der beiden anderen Seiten und dass die größere Seite dem größeren Winkel in einem Dreieck gegenüberliegt. Archimedes stellte bei der Berechnung des Umfangs fest, dass der Umfang jedes Kreises dem Dreifachen des Durchmessers entspricht, mit einem Überschuss von weniger als einem Siebtel des Durchmessers, aber mehr als dem Zehnundsiebzigfachen des Durchmessers.

Schreiben Sie Beziehungen zwischen Zahlen und Größen symbolisch mit den Zeichen > und b auf. Datensätze, in denen zwei Zahlen durch eines der Zeichen verbunden sind: > (größer als), Sie sind auch auf numerische Ungleichungen gestoßen Junior-Klassen. Sie wissen, dass Ungleichungen wahr oder falsch sein können. Beispielsweise ist \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) korrekt numerische Ungleichheit, 0,23 > 0,235 ist eine falsche numerische Ungleichung.

Ungleichungen mit Unbekannten können für einige Werte der Unbekannten wahr und für andere falsch sein. Beispielsweise ist die Ungleichung 2x+1>5 für x = 3 wahr, für x = -3 jedoch falsch. Für eine Ungleichung mit einer Unbekannten können Sie die Aufgabe stellen: Lösen Sie die Ungleichung. Probleme zur Lösung von Ungleichungen werden in der Praxis nicht seltener gestellt und gelöst als Probleme zur Lösung von Gleichungen. Zum Beispiel viele Wirtschaftsprobleme beschränken sich auf das Studium und die Lösung von Systemen linearer Ungleichungen. In vielen Bereichen der Mathematik kommen Ungleichungen häufiger vor als Gleichungen.

Einige Ungleichheiten dienen als einzige Hilfs- Damit können Sie die Existenz eines bestimmten Objekts, beispielsweise der Wurzel einer Gleichung, beweisen oder widerlegen.

Numerische Ungleichungen

Können Sie ganze Zahlen vergleichen? Dezimalstellen. Kennen Sie die Vergleichsregeln? gewöhnliche Brüche mit gleichen Nennern, aber unterschiedlichen Zählern; mit gleichen Zählern, aber unterschiedlichen Nennern. Hier erfahren Sie, wie Sie zwei beliebige Zahlen vergleichen, indem Sie das Vorzeichen ihrer Differenz ermitteln.

Der Vergleich von Zahlen ist in der Praxis weit verbreitet. Beispielsweise vergleicht ein Ökonom geplante Indikatoren mit tatsächlichen, ein Arzt vergleicht die Temperatur eines Patienten mit der Normaltemperatur, ein Dreher vergleicht die Abmessungen eines bearbeiteten Teils mit einem Standard. In all diesen Fällen werden einige Zahlen verglichen. Durch den Vergleich von Zahlen entstehen numerische Ungleichheiten.

Definition. Nummer a mehr Nummer b, wenn Unterschied a-b positiv. Die Zahl a ist kleiner als die Zahl b, wenn die Differenz a-b negativ ist.

Wenn a größer als b ist, schreiben sie: a > b; Wenn a kleiner als b ist, schreiben sie: a Die Ungleichung a > b bedeutet also, dass die Differenz a - b positiv ist, d. h. a - b > 0. Ungleichung a Für zwei beliebige Zahlen a und b aus den folgenden drei Beziehungen a > b, a = b, a. Die Zahlen a und b zu vergleichen bedeutet herauszufinden, welches der Zeichen >, = oder Satz. Wenn a > b und b > c, dann ist a > c.

Satz. Wenn Sie auf beiden Seiten der Ungleichung die gleiche Zahl addieren, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht.
Folge. Jeder Term kann von einem Teil der Ungleichung in einen anderen verschoben werden, indem das Vorzeichen dieses Termes in das Gegenteil geändert wird.

Satz. Wenn beide Seiten der Ungleichung mit derselben positiven Zahl multipliziert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht. Wenn beide Seiten der Ungleichung gleich multipliziert werden eine negative Zahl, dann ändert sich das Vorzeichen der Ungleichheit ins Gegenteil.
Folge. Wenn beide Seiten der Ungleichung durch dieselbe positive Zahl dividiert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht. Wenn beide Seiten der Ungleichung durch dieselbe negative Zahl dividiert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung in das Gegenteil.

Sie wissen, dass numerische Gleichheiten Term für Term addiert und multipliziert werden können. Als Nächstes erfahren Sie, wie Sie ähnliche Aktionen mit Ungleichungen durchführen. Die Fähigkeit, Ungleichungen Term für Term zu addieren und zu multiplizieren, wird in der Praxis häufig genutzt. Diese Aktionen helfen bei der Lösung von Problemen bei der Bewertung und dem Vergleich der Bedeutung von Ausdrücken.

Bei der Lösung verschiedener Probleme ist es oft notwendig, die linke und rechte Seite von Ungleichungen Term für Term zu addieren oder zu multiplizieren. Gleichzeitig wird manchmal gesagt, dass sich Ungleichheiten summieren oder vervielfachen. Wenn ein Tourist beispielsweise am ersten Tag mehr als 20 km und am zweiten mehr als 25 km gelaufen ist, können wir sagen, dass er in zwei Tagen mehr als 45 km gelaufen ist. Wenn die Länge eines Rechtecks weniger als 13 cm und die Breite weniger als 5 cm beträgt, können wir entsprechend sagen, dass die Fläche dieses Rechtecks weniger als 65 cm2 beträgt.

Bei der Betrachtung dieser Beispiele wurde Folgendes verwendet: Sätze zur Addition und Multiplikation von Ungleichungen:

Satz. Wenn man Ungleichungen gleichen Vorzeichens addiert, erhält man eine Ungleichung gleichen Vorzeichens: Wenn a > b und c > d, dann a + c > b + d.

Satz. Bei der Multiplikation von Ungleichungen gleichen Vorzeichens, deren linke und rechte Seite positiv sind, erhält man eine Ungleichung gleichen Vorzeichens: Wenn a > b, c > d und a, b, c, d positive Zahlen sind, dann ist ac > bd.

Ungleichungen mit dem Vorzeichen > (größer als) und 1/2, 3/4 b, c Zusammen mit den Vorzeichen strenger Ungleichungen > und In gleicher Weise bedeutet die Ungleichung \(a \geq b \), dass die Zahl a ist größer oder gleich b, also .und nicht kleiner b.

Ungleichungen, die das \(\geq \)-Zeichen oder das \(\leq \)-Zeichen enthalten, werden als nicht streng bezeichnet. Beispielsweise sind \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) keine strengen Ungleichungen.

Alle Eigenschaften strenger Ungleichungen gelten auch für nicht strenge Ungleichungen. Wenn außerdem für strenge Ungleichungen die Vorzeichen > als entgegengesetzt angesehen werden und Sie wissen, dass Sie zur Lösung einer Reihe angewandter Probleme ein mathematisches Modell in Form einer Gleichung oder eines Gleichungssystems erstellen müssen. Als nächstes werden Sie das herausfinden Mathematische Modelle Zur Lösung vieler Probleme gibt es Ungleichungen mit Unbekannten. Wir werden das Konzept der Lösung einer Ungleichung vorstellen und zeigen, wie man prüft, ob angegebene Nummer Lösung einer bestimmten Ungleichung.

Ungleichungen der Form
\(ax > b, \quad ax, in dem a und b gegebene Zahlen sind und x eine Unbekannte ist, werden aufgerufen Lineare Ungleichungen mit einem Unbekannten.

Definition. Die Lösung einer Ungleichung mit einer Unbekannten ist der Wert der Unbekannten, bei dem diese Ungleichung zu einer echten numerischen Ungleichung wird. Eine Ungleichung zu lösen bedeutet, alle Lösungen zu finden oder festzustellen, dass es keine gibt.

Sie haben die Gleichungen gelöst, indem Sie sie auf die einfachsten Gleichungen reduziert haben. Ebenso versucht man bei der Lösung von Ungleichungen, diese mithilfe von Eigenschaften auf die Form einfacher Ungleichungen zu reduzieren.

Lösen von Ungleichungen zweiten Grades mit einer Variablen

Ungleichungen der Form
\(ax^2+bx+c >0 \) und \(ax^2+bx+c wobei x eine Variable ist, a, b und c einige Zahlen sind und \(a \neq 0 \), aufgerufen Ungleichungen zweiten Grades mit einer Variablen.

Lösung für Ungleichheit
\(ax^2+bx+c >0 \) oder \(ax^2+bx+c) können als Finden von Intervallen betrachtet werden, in denen die Funktion \(y= ax^2+bx+c \) positiv oder negativ wird Werte Dazu genügt es zu analysieren, wie sich der Graph der Funktion \(y= ax^2+bx+c\) in der Koordinatenebene befindet: wohin die Äste der Parabel gerichtet sind – nach oben oder unten, ob die Parabel schneidet die x-Achse und wenn ja, an welchen Punkten.

Algorithmus zur Lösung von Ungleichungen zweiten Grades mit einer Variablen:
1) Finden Sie die Diskriminante quadratisches Trinom\(ax^2+bx+c\) und finden Sie heraus, ob das Trinom Wurzeln hat;
2) Wenn das Trinom Wurzeln hat, dann markieren Sie diese auf der x-Achse und zeichnen Sie durch die markierten Punkte eine schematische Parabel, deren Äste nach oben für a > 0 oder nach unten für eine 0 oder nach unten für a gerichtet sind 3) Finden Sie Intervalle auf der x-Achse, für die die Punktparabeln oberhalb der x-Achse (wenn sie die Ungleichung \(ax^2+bx+c >0\) lösen) oder unterhalb der x-Achse (wenn sie lösen) liegen Ungleichheit
\(ax^2+bx+c Lösen von Ungleichungen mit der Intervallmethode

Betrachten Sie die Funktion
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Der Definitionsbereich dieser Funktion ist die Menge aller Zahlen. Die Nullstellen der Funktion sind die Zahlen -2, 3, 5. Sie unterteilen den Definitionsbereich der Funktion in die Intervalle \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) und \( (5; +\infty)\)

Lassen Sie uns herausfinden, welche Vorzeichen diese Funktion in jedem der angegebenen Intervalle hat.

Der Ausdruck (x + 2)(x - 3)(x - 5) ist das Produkt von drei Faktoren. Das Vorzeichen jedes dieser Faktoren in den betrachteten Intervallen ist in der Tabelle angegeben:

Im Allgemeinen sei die Funktion durch die Formel gegeben
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
wobei x eine Variable ist und x 1, x 2, ..., x n Zahlen sind, die einander nicht gleich sind. Die Zahlen x 1 , x 2 , ..., x n sind die Nullstellen der Funktion. In jedem der Intervalle, in die der Definitionsbereich durch Nullstellen der Funktion unterteilt wird, bleibt das Vorzeichen der Funktion erhalten, und beim Durchgang durch Null ändert sich ihr Vorzeichen.

Diese Eigenschaft wird verwendet, um Ungleichungen der Form zu lösen
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) wobei x 1, x 2, ..., x n einander ungleiche Zahlen sind

Überlegte Methode Das Lösen von Ungleichungen wird als Intervallmethode bezeichnet.

Lassen Sie uns Beispiele für die Lösung von Ungleichungen mit der Intervallmethode geben.

Ungleichung lösen:

\(x(0,5-x)(x+4) Offensichtlich sind die Nullstellen der Funktion f(x) = x(0,5-x)(x+4) die Punkte \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Wir tragen die Nullstellen der Funktion auf der Zahlenachse ein und berechnen das Vorzeichen für jedes Intervall:

Wir wählen die Intervalle aus, in denen die Funktion kleiner oder gleich Null ist, und schreiben die Antwort auf.

Antwort:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

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Erinnern wir uns zunächst an die Grundformeln der Kräfte und ihre Eigenschaften.

Produkt einer Zahl A n-mal auf sich selbst vorkommt, können wir diesen Ausdruck als a a … a=a n schreiben

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Macht bzw Exponentialgleichungen – Dies sind Gleichungen, in denen die Variablen Potenzen (oder Exponenten) sind und die Basis eine Zahl ist.

Beispiele für Exponentialgleichungen:

In diesem Beispiel ist die Zahl 6 die Basis; sie steht immer unten und ist die Variable X Grad oder Indikator.

Lassen Sie uns weitere Beispiele für Exponentialgleichungen geben.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Schauen wir uns nun an, wie Exponentialgleichungen gelöst werden.

Nehmen wir eine einfache Gleichung:

2 x = 2 3

Dieses Beispiel kann sogar im Kopf gelöst werden. Es ist ersichtlich, dass x=3. Damit die linke und rechte Seite gleich sind, müssen Sie schließlich die Zahl 3 anstelle von x eingeben.
Sehen wir uns nun an, wie diese Entscheidung formalisiert wird:

2 x = 2 3
x = 3

Um eine solche Gleichung zu lösen, haben wir entfernt identische Gründe(also Zweier) und aufgeschrieben, was noch übrig war, das sind Grade. Wir haben die Antwort bekommen, nach der wir gesucht haben.

Fassen wir nun unsere Entscheidung zusammen.

Algorithmus zur Lösung der Exponentialgleichung:
1. Muss überprüft werden das gleiche ob die Gleichung rechts und links Basen hat. Sollten die Gründe nicht die gleichen sein, suchen wir nach Lösungsmöglichkeiten für dieses Beispiel.
2. Nachdem die Basen gleich geworden sind, gleichsetzen Grad und lösen Sie die resultierende neue Gleichung.

Schauen wir uns nun ein paar Beispiele an:

Beginnen wir mit etwas Einfachem.

Die Basen auf der linken und rechten Seite entsprechen der Zahl 2, was bedeutet, dass wir die Basis wegwerfen und ihre Kräfte gleichsetzen können.

x+2=4 Man erhält die einfachste Gleichung.
x=4 – 2
x=2
Antwort: x=2

Im folgenden Beispiel können Sie sehen, dass die Basen unterschiedlich sind: 3 und 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Verschieben wir zunächst die Neun auf die rechte Seite, erhalten wir:

Jetzt müssen Sie die gleichen Grundlagen erstellen. Wir wissen, dass 9=3 2. Verwenden wir die Potenzformel (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Wir erhalten 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Nun ist klar, dass auf der linken und rechten Seite die Basen gleich und gleich drei sind, was bedeutet, dass wir sie verwerfen und die Grade gleichsetzen können.

3x=2x+16 erhalten wir die einfachste Gleichung
3x - 2x=16
x=16
Antwort: x=16.

Schauen wir uns das folgende Beispiel an:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Zunächst schauen wir uns die Basen an, die Basen zwei und vier. Und wir brauchen, dass sie gleich sind. Wir transformieren die vier mit der Formel (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Und wir verwenden auch eine Formel a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Zur Gleichung hinzufügen:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Aus den gleichen Gründen haben wir ein Beispiel gegeben. Aber die anderen Zahlen 10 und 24 stören uns. Was tun mit ihnen? Wenn Sie genau hinsehen, können Sie sehen, dass wir auf der linken Seite 2 2x wiederholt haben. Hier ist die Antwort: Wir können 2 2x aus Klammern setzen:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Berechnen wir den Ausdruck in Klammern:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Wir teilen die gesamte Gleichung durch 6:

Stellen wir uns 4=2 2 vor:

2 2x = 2 2 Basen sind gleich, wir verwerfen sie und setzen die Grade gleich.
2x = 2 ist die einfachste Gleichung. Teilen Sie es durch 2 und wir erhalten
x = 1
Antwort: x = 1.

Lösen wir die Gleichung:

9 x – 12*3 x +27= 0

Lassen Sie uns konvertieren:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Wir erhalten die Gleichung:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Unsere Basen sind die gleichen, gleich drei. In diesem Beispiel können Sie sehen, dass die ersten drei einen doppelten Grad haben (2x) als der zweite (nur x). In diesem Fall können Sie es lösen Ersatzmethode. Wir ersetzen die Zahl durch den kleinsten Grad:

Dann ist 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Wir ersetzen alle x Potenzen in der Gleichung durch t:

t 2 - 12t+27 = 0
Wir erhalten eine quadratische Gleichung. Wenn wir die Diskriminante auflösen, erhalten wir:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Zurück zur Variablen X.

Nimm t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Das ist,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Eine Wurzel wurde gefunden. Wir suchen den zweiten von t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Antwort: x 1 = 2; x 2 = 1.

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Betrachten Sie die Funktion y=k/y. Der Graph dieser Funktion ist eine Linie, in der Mathematik Hyperbel genannt. Generelle Form Hyperbeln, dargestellt in der Abbildung unten. (Die Grafik zeigt die Funktion y gleich k dividiert durch x, wobei k gleich eins ist.)

Man erkennt, dass der Graph aus zwei Teilen besteht. Diese Teile werden Hyperbelzweige genannt. Es ist auch erwähnenswert, dass sich jeder Zweig der Hyperbel in einer der Richtungen immer näher an die Koordinatenachsen annähert. Die Koordinatenachsen werden in diesem Fall Asymptoten genannt.

Im Allgemeinen werden alle Geraden, denen sich der Graph einer Funktion unendlich nähert, sie aber nicht erreicht, Asymptoten genannt. Eine Hyperbel hat wie eine Parabel Symmetrieachsen. Für die in der Abbildung oben gezeigte Hyperbel ist dies die Linie y=x.

Kommen wir nun zu zweien allgemeine Fälle Hyperbel. Der Graph der Funktion y = k/x, für k ≠0, ist eine Hyperbel, deren Zweige entweder im ersten und dritten Koordinatenwinkel, für k>0, oder im zweiten und vierten Koordinatenwinkel liegen, Gabel<0.

Grundlegende Eigenschaften der Funktion y = k/x, für k>0

Graph der Funktion y = k/x, für k>0

5. y>0 bei x>0; y6. Die Funktion nimmt sowohl im Intervall (-∞;0) als auch im Intervall (0;+∞) ab.

10. Der Wertebereich der Funktion besteht aus zwei offenen Intervallen (-∞;0) und (0;+∞).

Grundlegende Eigenschaften der Funktion y = k/x, für k<0

Graph der Funktion y = k/x, bei k<0

1. Punkt (0;0) ist das Symmetriezentrum der Hyperbel.

2. Koordinatenachsen - Asymptoten der Hyperbel.

4. Der Definitionsbereich der Funktion umfasst alle x außer x=0.

5. y>0 bei x0.

6. Die Funktion nimmt sowohl im Intervall (-∞;0) als auch im Intervall (0;+∞) zu.

7. Die Funktion wird weder von unten noch von oben eingeschränkt.

8. Eine Funktion hat weder einen Maximal- noch einen Minimalwert.

9. Die Funktion ist im Intervall (-∞;0) und im Intervall (0;+∞) stetig. Hat eine Lücke bei x=0.

Quadratische Gleichungen werden in der 8. Klasse studiert, daher gibt es hier nichts Kompliziertes. Die Fähigkeit, sie zu lösen, ist unbedingt erforderlich.

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0, wobei die Koeffizienten a, b und c beliebige Zahlen sind und a ≠ 0.

Beachten Sie vor dem Studium spezifischer Lösungsmethoden, dass alle quadratischen Gleichungen in drei Klassen eingeteilt werden können:

Habe keine Wurzeln;
Habe genau eine Wurzel;
Sie haben zwei verschiedene Wurzeln.

Dies ist ein wichtiger Unterschied zwischen quadratischen und linearen Gleichungen, bei denen die Wurzel immer existiert und eindeutig ist. Wie kann man bestimmen, wie viele Wurzeln eine Gleichung hat? Dafür gibt es etwas Wunderbares - diskriminierend.

Diskriminant

Gegeben sei die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0. Dann ist die Diskriminante einfach die Zahl D = b 2 − 4ac.

Sie müssen diese Formel auswendig kennen. Woher es kommt, ist jetzt nicht wichtig. Wichtig ist noch etwas: Anhand des Vorzeichens der Diskriminante kann man bestimmen, wie viele Wurzeln eine quadratische Gleichung hat. Nämlich:

Wenn D< 0, корней нет;
Wenn D = 0, gibt es genau eine Wurzel;
Wenn D > 0, gibt es zwei Wurzeln.

Bitte beachten Sie: Die Diskriminante gibt die Anzahl der Wurzeln an und nicht überhaupt ihre Vorzeichen, wie viele Leute aus irgendeinem Grund glauben. Schauen Sie sich die Beispiele an und Sie werden alles selbst verstehen:

Aufgabe. Wie viele Wurzeln haben quadratische Gleichungen:

x 2 − 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Schreiben wir die Koeffizienten für die erste Gleichung auf und ermitteln die Diskriminante:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Die Diskriminante ist also positiv, die Gleichung hat also zwei verschiedene Wurzeln. Wir analysieren die zweite Gleichung auf ähnliche Weise:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Die Diskriminante ist negativ, es gibt keine Wurzeln. Die letzte verbleibende Gleichung lautet:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Die Diskriminante ist Null – die Wurzel ist Eins.

Bitte beachten Sie, dass für jede Gleichung Koeffizienten notiert sind. Ja, es ist lang, ja, es ist mühsam, aber Sie werden die Chancen nicht verwechseln und dumme Fehler machen. Wählen Sie selbst: Geschwindigkeit oder Qualität.

Übrigens: Wenn Sie den Dreh raus haben, müssen Sie nach einer Weile nicht mehr alle Koeffizienten aufschreiben. Sie werden solche Operationen in Ihrem Kopf durchführen. Die meisten Leute fangen damit irgendwann nach 50–70 gelösten Gleichungen an – im Allgemeinen nicht so oft.

Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Kommen wir nun zur Lösung selbst. Wenn die Diskriminante D > 0 ist, können die Wurzeln mithilfe der Formeln ermittelt werden:

Grundlegende Wurzelformel quadratische Gleichung

Wenn D = 0, können Sie jede dieser Formeln verwenden – Sie erhalten dieselbe Zahl, die die Antwort ist. Wenn schließlich D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 12x + 36 = 0.

Erste Gleichung:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ die Gleichung hat zwei Wurzeln. Finden wir sie:

Zweite Gleichung:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ die Gleichung hat wieder zwei Wurzeln. Lasst uns sie finden

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Zum Schluss noch die dritte Gleichung:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ die Gleichung hat eine Wurzel. Es kann jede beliebige Formel verwendet werden. Zum Beispiel das erste:

Wie Sie an den Beispielen sehen können, ist alles sehr einfach. Wenn Sie die Formeln kennen und zählen können, wird es keine Probleme geben. Am häufigsten treten Fehler auf, wenn negative Koeffizienten in die Formel eingesetzt werden. Auch hier hilft die oben beschriebene Technik: Betrachten Sie die Formel wörtlich, schreiben Sie jeden Schritt auf – und schon bald werden Sie Fehler los.

Unvollständige quadratische Gleichungen

Es kommt vor, dass eine quadratische Gleichung geringfügig von der Definition abweicht. Zum Beispiel:

x 2 + 9x = 0;
x 2 − 16 = 0.

Es ist leicht zu erkennen, dass diesen Gleichungen einer der Terme fehlt. Solche quadratischen Gleichungen sind noch einfacher zu lösen als Standardgleichungen: Sie erfordern nicht einmal die Berechnung der Diskriminante. Lassen Sie uns also ein neues Konzept vorstellen:

Die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 heißt unvollständige quadratische Gleichung, wenn b = 0 oder c = 0, d. h. der Koeffizient der Variablen x oder des freien Elements ist gleich Null.

Natürlich ist ein sehr schwieriger Fall möglich, wenn beide Koeffizienten gleich Null sind: b = c = 0. In diesem Fall hat die Gleichung die Form ax 2 = 0. Offensichtlich hat eine solche Gleichung eine einzige Wurzel: x = 0.

Betrachten wir die verbleibenden Fälle. Sei b = 0, dann erhalten wir eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 + c = 0. Lassen Sie uns sie ein wenig umwandeln:

Da Arithmetik Quadratwurzel existiert nur aus nicht negative Zahl, die letzte Gleichung macht nur für (−c /a) ≥ 0 Sinn. Fazit:

Wenn in einer unvollständigen quadratischen Gleichung der Form ax 2 + c = 0 die Ungleichung (−c /a) ≥ 0 erfüllt ist, gibt es zwei Wurzeln. Die Formel ist oben angegeben;
Wenn (−c /a)< 0, корней нет.

Wie Sie sehen, war die Diskriminante nicht erforderlich – in unvollständigen quadratischen Gleichungen gibt es keine komplexe Berechnungen. Tatsächlich ist es nicht einmal notwendig, sich an die Ungleichung (−c /a) ≥ 0 zu erinnern. Es reicht aus, den Wert x 2 auszudrücken und zu sehen, was auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens steht. Wenn es eine positive Zahl gibt, gibt es zwei Wurzeln. Wenn es negativ ist, gibt es überhaupt keine Wurzeln.

Schauen wir uns nun Gleichungen der Form ax 2 + bx = 0 an, in denen das freie Element gleich Null ist. Hier ist alles einfach: Es wird immer zwei Wurzeln geben. Es reicht aus, das Polynom zu faktorisieren:

Den gemeinsamen Faktor aus Klammern herausnehmen

Das Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Hierher kommen die Wurzeln. Schauen wir uns abschließend einige dieser Gleichungen an: