يحتوي "Reshebnik" الخاص بنا على إجابات لجميع المهام والتمارين من " المواد التعليميةفي الجبر الصف الثامن"؛ وتناقش طرق وطرق حلها بالتفصيل. "Reshebnik" موجه حصريًا لأولياء أمور الطلاب للتحقق من الواجبات المنزلية والمساعدة في حل المشكلات.
خلف وقت قصيريمكن للوالدين أن يصبحوا مدرسين منزليين فعالين للغاية.
الخيار 1 4
إلى كثير الحدود (التكرار) 4
د-2. التحليل (التكرار) 5
د-3. كله و التعبيرات الكسرية 6
4 س. الخاصية الرئيسية للكسر. تقليل الكسور. 7
د-5؛ تقليل الكسور (تابع) 9
مع نفس القواسم 10
مع قواسم مختلفة 12
القواسم (تابع) 14
د-9. ضرب الكسور 16
إس-10. تقسيم الكسور 17
د-11. جميع العمليات مع الكسور 18
د-12. الوظيفة 19
د-13. الأعداد النسبية وغير المنطقية 22
د-14. الجذر التربيعي الحسابي 23
د-15. حل المعادلات من الصيغة x2=a 27
د-16. إيجاد القيم التقريبية
د-17. الدالة ص=د/س 30
منتج الجذور 31
حاصل الجذور 33
إس-20. الجذر التربيعي للقوة 34
د-21. إزالة المضاعف من تحت علامة الجذر إدخال المضاعف تحت علامة الجذر 37
د-23. المعادلات وجذورها 42
المعادلات التربيعية غير الكاملة 43
د-25. حل المعادلات التربيعية 45
(تابع) 47
د-27. نظرية فييتا 49
د-28. حل المشكلات باستخدام
المعادلات التربيعية 50
مضاعفات المعادلات التربيعية 51
إس-30. كسور المعادلات العقلانية 53
إس-31. حل المشكلات باستخدام
المعادلات العقلانية 58
إس-32. مقارنة الأعداد (التكرار) 59
إس-33. خصائص المتباينات العددية 60
إس-34. جمع وضرب المتباينات 62
إس-35. إثبات عدم المساواة 63
إس-36. تقدير قيمة التعبير65
إس-37. تقدير خطأ التقريب 66
إس-38. تقريب الأعداد 67
إس-39. خطأ نسبي 68
إس-40. تقاطع واتحاد المجموعات 68
إس-41. عدد الفترات 69
إس-42. حل عدم المساواة 74
إس-43. حل أوجه عدم المساواة (تابع) 76
إس-44. حل أنظمة عدم المساواة 78
إس-45. حل عدم المساواة 81
متغير تحت علامة المعامل 83
إس-47. درجة مع عدد صحيح الأس 87
درجات مع عدد صحيح الأس 88
إس-49. عرض قياسي للرقم 91
إس-50. تسجيل القيم التقريبية 92
إس-51. عناصر الإحصاء 93
(التكرار) 95
إس-53. تعريف وظيفة من الدرجة الثانية 99
إس-54. الدالة ص = ax2 100
إس-55. رسم بياني للدالة y=ax2+bx+c 101
إس-56. حل المتباينات التربيعية 102
إس-57. طريقة الفاصل 105
الخيار 2108
س-1. تحويل التعبير بأكمله
إلى كثير الحدود (التكرار) 108
د-2. التخصيم (التكرار) 109
د-3. التعابير الصحيحة والكسرية 110
4 س. الخاصية الرئيسية للكسر.
تصغير الكسور 111
د-5. تخفيض الكسور (تابع) 112
د-6. جمع وطرح الكسور
بنفس القواسم 114
د-7. جمع وطرح الكسور
ه القواسم المختلفة 116
د-8. جمع وطرح الكسور مع مختلفة
القواسم (تابع) 117
د-9. ضرب الكسور، 118
إس-10. تقسيم الكسور119
د-11. جميع العمليات مع الكسور 120
د-12. الوظيفة 121
د-13. الأعداد العقلانية وغير العقلانية 123
د-14. الجذر التربيعي الحسابي 124
د-15. حل المعادلات من الشكل x2-a 127
د-16. إيجاد قيم الجذر التربيعي التقريبية 129
د-17. الدالة y=\/x" 130
د-18. الجذر التربيعي للمنتج.
منتج الجذور 131
إس-19. الجذر التربيعي للكسر.
حاصل الجذور 133
إس-20. الجذر التربيعي للقوة 134
د-21. إزالة المضاعف من تحت علامة الجذر
إدخال المضاعف تحت علامة الجذر 137
د-22. تحويل التعبيرات
د-23. المعادلات وجذورها141
د-24. تعريف المعادلة التربيعية.
المعادلات التربيعية غير الكاملة 142
د-25. حل المعادلات التربيعية 144
د-26. حل المعادلات التربيعية
(تابع) 146
د-27. نظرية فييتا 148
د-28. حل المشكلات باستخدام
المعادلات التربيعية 149
د-29. تقسيم ثلاثية الحدود من الدرجة الثانيةعلى
مضاعفات المعادلات التربيعية 150
إس-30. المعادلات العقلانية الكسرية 152
إس-31. حل المشكلات باستخدام
المعادلات العقلانية157
إس-32. مقارنة الأعداد (التكرار) 158
إس-33. خصائص المتباينات العددية160
إس-34. جمع وضرب المتباينات 161
إس-35. إثبات عدم المساواة 162
إس-36. تقدير قيمة التعبير163
إس-37. تقدير خطأ التقريب 165
إس-38. تقريب الأعداد 165
إس-39. الخطأ النسبي166
إس-40. تقاطع واتحاد المجموعات 166
إس-41. عدد الفترات 167
إس-42. حل عدم المساواة172
إس-43. حل أوجه عدم المساواة (تابع) 174
إس-44. حل أنظمة عدم المساواة 176
إس-45. حل عدم المساواة179
إس-46. المعادلات والمتباينات التي تحتوي على
المتغير تحت علامة المعامل 181
إس-47. درجة مع مؤشر عدد صحيح 185
إس-48. تحويل التعبيرات التي تحتوي على
درجات مع عدد صحيح الأس 187
إس-49. النموذج القياسي للرقم 189
إس-50. تسجيل القيم التقريبية 190
إس-51. عناصر الإحصاء192
إس-52. مفهوم الوظيفة. رسم بياني للدالة
(التكرار) 193
إس-53. تعريف الدالة التربيعية197
إس-54. الدالة ص = ax2 199
إس-55. رسم بياني للدالة y=ax24-bx+c 200
إس-56. حل المتباينات التربيعية 201
إس-57. طريقة الفاصل 203
الاختبارات 206
الخيار 1206
الروضة-10 (النهائي) 232
الخيار 2236
ك-2أ 238
ك-زا 242
K-9A (المجموع) 257
المراجعة النهائية حسب الموضوع 263
دورة الالعاب الاولمبية الخريفية 274
دورة الالعاب الاولمبية الربيعية 275
الجبر
دروس للصف التاسع
الدرس رقم 5
موضوع.جمع وضرب المتباينات. استخدام خصائص المتباينات العددية لتقييم قيم التعبيرات
الغرض من الدرس: التأكد من إتقان الطلاب لمحتوى مفاهيم "جمع المتباينات حدًا بحد" و"ضرب المتباينات حدًا بحد" وكذلك محتوى خصائص المتباينات العددية المعبر عنها بنظريات الحد- الجمع حسب الحد والضرب على حدة للمتباينات العددية والعواقب المترتبة عليها. تطوير القدرة على إعادة إنتاج الخصائص المسماة للمتباينات العددية واستخدام هذه الخصائص لتقييم قيم التعبيرات، وكذلك مواصلة العمل على تطوير مهارات إثبات المتباينات ومقارنة التعبيرات باستخدام تعريف وخصائص المتباينات العددية
نوع الدرس: اكتساب المعرفة، وتطوير المهارات الأساسية.
التصور والمعدات: مذكرة الدعم رقم 5.
خلال الفصول الدراسية
I. المرحلة التنظيمية
يتحقق المعلم من استعداد الطلاب للدرس ويهيئهم للعمل.
ثانيا. التحقق من الواجبات المنزلية
أداء الطلاب مهام الاختبارتليها التحقق.
ثالثا. صياغة الغرض وأهداف الدرس.
تحفيز الأنشطة التعليميةطلاب
للمشاركة الواعية للطلاب في صياغة الغرض من الدرس، يمكنك أن تقدم لهم مشاكل عملية للمحتوى الهندسي (على سبيل المثال، تقدير محيط ومساحة المستطيل، والتي يتم تقدير أطوال الجوانب المجاورة لها في شكل عدم المساواة المزدوجة). أثناء المحادثة، يجب على المعلم توجيه أفكار الطلاب إلى حقيقة أنه على الرغم من أن المشكلات مشابهة لتلك التي تم حلها في الدرس السابق (انظر الدرس رقم 4، تقييم معنى التعبيرات)، إلا أنه على عكس تلك المذكورة، لا يمكن حلها بنفس الوسائل، لأنه من الضروري تقييم معاني التعبيرات التي تحتوي على حرفين (وفي المستقبل أكثر). وبهذه الطريقة، يدرك الطلاب أن هناك تناقضًا بين المعرفة التي اكتسبوها حتى هذه اللحظة والحاجة إلى حل مشكلة معينة.
نتيجة العمل المنجز هي صياغة الغرض من الدرس: دراسة مسألة خصائص عدم المساواة التي يمكن تطبيقها في حالات مماثلة لتلك الموصوفة في المهمة المقترحة للطلاب؛ لماذا من الضروري صياغة واضحة لغة رياضيةوبشكل لفظي، ثم اشرح الخصائص المقابلة للمتباينات العددية وتعلم كيفية استخدامها مع الخصائص المدروسة مسبقًا للمتباينات الرقمية لحل المشكلات القياسية.
رابعا. تحديث المعارف والمهارات الأساسية لدى الطلاب
تمارين عن طريق الفم
1. قارن بين الأرقام a و bif:
1) أ - ب = -0.2؛
2) أ - ب = 0.002؛
3) أ = ب - 3؛
4) أ - ب = م 2؛
5) أ = ب - م 2.
3. قارن بين قيم التعبيرات a + b و ab، إذا كانت a = 3، b = 2. برر إجابتك. ستكون العلاقة الناتجة راضية إذا:
1) أ = -3، ب = -2؛
2) أ = -3، ب = 2؟
الخامس. توليد المعرفة
التخطيط لتعلم مواد جديدة
1. خاصية جمع المتباينات العددية (مع الضبط الدقيق).
2. خاصية ضرب المتباينات العددية على حدة (مع الضبط الدقيق).
3. العواقب. خاصية حول ضرب المتباينات العددية على حدة (مع التعديل).
4. أمثلة على تطبيق الخصائص المثبتة.
المذكرة الداعمة رقم 5
نظرية (خاصية) حول إضافة المتباينات العددية على حدة |
||||||
إذا كان أ ب و ج د، فإن أ + ج ب + د. |
||||||
التشطيب
|
||||||
نظرية (خاصية) حول ضرب المتباينات العددية على حدة |
||||||
إذا كان 0 a b و 0 c d، فإن ac bd. التشطيب
عاقبة. إذا كان 0 a b، فإن bn، حيث n هو عدد طبيعي. |
||||||
التشطيب |
||||||
|
(وفقًا لنظرية الحد على حدة، ضرب المتباينات العددية). |
|||||
مثال 1. من المعروف أن 3 أ 4؛ 2 ب 3. دعونا نقدر قيمة التعبير: 1) أ + ب؛ 2) أ - ب؛ 3) ب ; 4) . |
||||||
2) أ - ب = أ + (-ب) 2 ب 31 ∙ (-1) 2> -ب> -3
|
(0) 2 ب 3
|
|||||
مثال 2. دعونا نثبت المتراجحة (m + n)(mn + 1) > 4mn، إذا كانت m > 0، n > 0. |
||||||
التشطيب استخدام عدم المساواة |
||||||
م + ن ≥ 2، (1) مليون + 1 ≥ 2. (2) |
||||||
باستخدام نظرية ضرب المتباينات حدًا تلو الآخر، نضرب المتباينات (1) و(2) حدًا تلو الآخر. إذن لدينا: (م + ن )(mn + 1) ≥ 2∙ 2, (م + ن )(mn + 1) ≥ 4، وبالتالي، (م + ن)(mn + 1) ≥ 4mn، حيث m ≥ 0، n ≥ 0. |
||||||
.
.
تعليق منهجي
من أجل التصور الواعي للمواد الجديدة، يمكن للمدرس، في مرحلة تحديث المعرفة والمهارات الأساسية للطلاب، تقديم حلول للتمارين الشفهية مع الاستنساخ، على التوالي، تعريف مقارنة الأرقام وخصائص المتباينات العددية التي تمت دراستها في الدروس السابقة (انظر أعلاه)، وكذلك النظر في مسألة الخصائص المقابلة للمتباينات العددية.
عادة، يتقن الطلاب جيدًا محتوى النظريات المتعلقة بجمع وضرب المتباينات العددية على حدة، لكن الخبرة العملية تشير إلى أن الطلاب عرضة لبعض التعميمات الخاطئة. لذلك، ومن أجل منع الأخطاء عند تطوير معرفة الطلاب حول هذه المسألة من خلال عرض الأمثلة والأمثلة المضادة، يجب على المعلم التأكيد على النقاط التالية:
· التطبيق الواعي لخصائص المتباينات العددية مستحيل دون القدرة على كتابة هذه الخصائص سواء باللغة الرياضية أو بالشكل اللفظي.
· النظريات المتعلقة بجمع وضرب المتباينات العددية حدًا تلو الآخر لا يتم تلبيتها إلا في حالة الشذوذات ذات العلامات نفسها؛
· يتم تحقيق جمع المتباينات العددية حدًا تلو الآخر في ظل شرط معين (انظر أعلاه) لأي أرقام، ونظرية الضرب حدًا تلو الآخر (بالصيغة المذكورة في ملخص مرجعيرقم 5) فقط للأرقام الموجبة؛
· لا تتم دراسة النظريات المتعلقة بالطرح حدًا تلو الآخر وتقسيم المتباينات العددية حدًا تلو الآخر، لذلك، في الحالات التي يكون فيها من الضروري تقدير الفرق أو نسبة التعبيرات، يتم تقديم هذه التعبيرات كمجموع أو منتج، على التوالي، وبعد ذلك، في ظل ظروف معينة، يتم استخدام خصائص جمع وضرب المتباينات العددية على حدة.
السادس. تكوين المهارات
تمارين عن طريق الفم
1. أضف مصطلح عدم المساواة مصطلحًا:
1) أ > 2، ب > 3؛
2) ج -2، د 4.
أو هل يمكن ضرب نفس عدم المساواة مصطلحًا تلو الآخر؟ برر جوابك.
2. اضرب مصطلحات عدم المساواة حسب المصطلح:
1) أ > 2، ب > 0.3؛
2) ج > 2، د > 4.
أم يمكن إضافة نفس المخالفات؟ برر جوابك.
3. تحديد وتبرير ما إذا كانت العبارة صحيحة أنه إذا كان 2 أ 3، 1 ب 2، فإن:
1) 3 أ + ب 5؛
2) 2 أب 6؛
3) 2 - 1 أ - ب 3 - 2؛
تمارين الكتابة
لتحقيق الهدف التعليمي للدرس، يجب عليك حل التمارين بالمحتوى التالي:
1) جمع هذه المتباينات العددية وضربها مصطلحًا بعد آخر؛
2) تقدير قيمة المجموع والفرق والحاصل وحاصل تعبيرين بناءً على التقديرات المعطاة لكل من هذه الأرقام؛
3) تقييم معنى التعبيرات التي تحتوي على هذه الحروف، حسب التقديرات المعطاة لكل حرف من هذه الحروف؛
4) إثبات المتباينة باستخدام نظريات جمع وضرب المتباينات العددية حدًا تلو الآخر واستخدام المتباينات الكلاسيكية؛
5) تكرار خواص المتباينات العددية التي درستها في الدروس السابقة.
تعليق منهجي
يجب أن تساهم التمارين الكتابية المقدمة للحل في هذه المرحلة من الدرس في تنمية مهارات الثبات بالإضافة إلى المتباينات وضربها في الحالات البسيطة. (في الوقت نفسه، تم وضع نقطة مهمة جدًا: التحقق من تطابق كتابة المتباينات في شروط النظرية والكتابة الصحيحة لمجموع ومنتج الجانبين الأيسر والأيمن من المتباينات. العمل التحضيرييتم إجراؤها أثناء التمارين الشفهية.) لاستيعاب المادة بشكل أفضل، يجب أن يُطلب من الطلاب إعادة إنتاج النظريات التي تعلموها عند التعليق على الإجراءات.
بعد نجاح الطلاب في حل النظريات في الحالات البسيطة، يمكنهم الانتقال تدريجيًا إلى الحالات الأكثر تقدمًا. الحالات المعقدة(لتقدير الفرق وحاصل تعبيرين والتعبيرات الأكثر تعقيدًا). في هذه المرحلة من العمل، يجب على المعلم مراقبة ما لا يسمح به الطلاب بعناية أخطاء نموذجية، تحاول أن تحدث فرقًا وتقدر الحصة التي تكمن خلف قواعدك الزائفة.
أيضًا أثناء الدرس (بالطبع، إذا سمح الوقت ومستوى إتقان الطلاب لمحتوى المادة)، يجب الانتباه إلى تمارين حول تطبيق النظريات المدروسة لإثبات المتباينات الأكثر تعقيدًا.
سابعا. ملخص الدرس
مهمة الاختبار
ومن المعروف أن 4 أ 5؛ 6 ب 8. ابحث عن المتباينات غير الصحيحة وصحح الأخطاء. برر جوابك.
1) 10 أ + ب 13؛
2) -4 أ - ب -1؛
3) 24 آب 13؛
4) ;
5) ;
7) 100 أ2 + ب2 169 ؟
ثامنا. العمل في المنزل
1. دراسة نظريات الجمع والضرب للمتباينات العددية (مع التحسين).
2. أداء التمارين الإنجابية المشابهة للتمارين الصفية.
3. للتكرار: تمارين لتطبيق تعريف مقارنة الأعداد (لإنهاء الشذوذات ومقارنة العبارات).
35 يربط بين سمات الرقمين 3 و 5. ثلاثة يتردد صداها مع ذبذبات الإلهام والفرح والحماس والتعبير عن الذات. هذا هو ثالوث الماضي والحاضر والمستقبل. الجسم والعقل والروح. الشخص الذي يحمل العلامة الثلاثة هو شخص نشيط وموهوب وصادق وفخور ومستقل.
يضيف خمسة حصة من العاطفة والاختيار الحر إلى الاهتزاز العام. ومن بين السلبيات الحساسية المفرطة والتقلبات المزاجية المتكررة التي يتم تعويض آثارها السلبية بتفاؤل الترويكا. 35 فولت بعبارات عامةيجسد الطاقة الإبداعية والفرص المواتية والرغبة في تغيير الأماكن.
العلاقة بين الأرقام والحرف
ماذا يعني الرقم 35 في مصير الشخص إذا تم تحديده حسب تاريخ الميلاد؟ وتمنحه كاريزما خاصة تجذب الأصدقاء والمتابعين له. هؤلاء الأشخاص محاطون دائمًا بالمعجبين الذين يختارونهم لهذا الدور شخصية عامةأو زعيم غير رسمي.
الجانب السلبي لهذه المجموعة الرقمية هو أن الشخص يستخدم سلطته للإثراء الشخصي. ممثلو 35 لديهم مجال روحي ضعيف التطور. بعد أن أصيبوا بالبراغماتية والغرور، فإنهم قادرون، بغض النظر عن الوجوه، على "الذهاب فوق رؤوسهم" نحو الهدف المقصود.
خصائص سحرية
يرجع المعنى الغامض للرقم 35 إلى حقيقة أنه يتنبأ بلقاء مع إغراء مميت. لا يمكنك تجنب الأخطاء الجسيمة لمثل هذا الاختبار إلا من خلال الحفاظ على الهدوء والحذر.
ويمكن العثور على مقارنات مقدسة لهذا العدد في الكتاب المقدس، حيث ورد ذكره 5 مرات. وفي اليوم الخامس والثلاثين من الصوم في البرية، اقترب لوسيفر من يسوع ليجربه.
ماذا يعني الرقم 35 إذا تكرر كثيرا؟
إذا جعلتك ملائكتك الحارسة ترى 35 شخصًا طوال الوقت، فإنهم يظهرون أنك لا تحقق أهدافك. أنت صادق ومجتهد، ولكن الحظ يمر بك.
تواجه عقبات لا حصر لها وتشعر بالحيرة بشأن مستقبلك. حاكم الرقم 35، كوكب زحل، له مثل هذا التأثير على حياتك. ويتجلى عملها الخفي من خلال الرقم 8، الذي يتم الحصول عليه بإضافة 3 و 5. ربما أنت تتهرب من مصيرك وتلعب دور شخص آخر. للعثور على دعوتك الحقيقية، استمع إلى ما تطلبه روحك واتبع نداءها غير المعلن.
في هذه المقالة سوف ندرس، أولاً، ما هو المقصود بتقييم قيم التعبير أو الدالة، وثانياً، كيف يتم تقييم قيم التعبيرات والوظائف. أولا، نقدم التعاريف والمفاهيم اللازمة. بعد ذلك سنصف بالتفصيل الطرق الرئيسية للحصول على التقديرات. على طول الطريق سنقدم حلولا للأمثلة النموذجية.
ماذا يعني تقييم معنى التعبير؟
ولم نتمكن من العثور في الكتب المدرسية على إجابة صريحة لسؤال المقصود بتقدير معنى اللفظ. دعونا نحاول معرفة ذلك بأنفسنا، بدءًا من تلك المعلومات حول هذا الموضوع والتي لا تزال موجودة في الكتب المدرسية ومجموعات المشكلات للتحضير لامتحان الدولة الموحدة والقبول في الجامعات.
دعونا نرى ما يمكن أن نجده حول الموضوع الذي يهمنا في الكتب. فيما يلي بعض الاقتباسات:
يتضمن المثالان الأولان تقييمات للأرقام والتعبيرات الرقمية. نحن نتعامل هناك مع تقييم قيمة واحدة للتعبير. تتضمن الأمثلة المتبقية التقييمات المتعلقة بالتعبيرات ذات المتغيرات. كل قيمة لمتغير من ODZ للتعبير أو من مجموعة X التي تهمنا (والتي، بالطبع، مجموعة فرعية من المجال القيم المقبولة) يطابق قيمة التعبير الخاصة به. أي إذا كانت ODZ (أو المجموعة X) لا تتكون من صيغة المفرد، فإن التعبير الذي يحتوي على متغير يتوافق مع مجموعة من قيم التعبير. في هذه الحالة، علينا أن نتحدث ليس فقط عن تقييم قيمة واحدة، ولكن عن تقييم جميع قيم التعبير في ODZ (أو المجموعة X). يتم إجراء مثل هذا التقدير لأي قيمة للتعبير تتوافق مع قيمة معينة لمتغير من ODZ (أو المجموعة X).
أثناء مناقشتنا، أخذنا استراحة قصيرة من البحث عن إجابة لسؤال ما يعنيه تقييم معنى التعبير. والأمثلة السابقة تتقدمنا في هذا الأمر، وتتيح لنا قبول التعريفين التاليين:
تعريف
تقييم قيمة التعبير العددي- يعني الإشارة إلى مجموعة رقمية تحتوي على القيمة التي يتم تقييمها. في هذه الحالة، ستكون المجموعة الرقمية المحددة بمثابة تقدير لقيمة التعبير الرقمي.
تعريف
تقييم قيم التعبير بمتغيرعلى ODZ (أو على المجموعة X) - وهذا يعني الإشارة إلى مجموعة رقمية تحتوي على جميع القيم التي يأخذها التعبير الموجود على ODZ (أو على المجموعة X). في هذه الحالة، ستكون المجموعة المحددة عبارة عن تقدير لقيم التعبير.
من السهل أن نرى أنه يمكن تحديد أكثر من تقدير لتعبير واحد. على سبيل المثال، التعبير الرقمييمكن تقديرها بـ، أو 
، أو 
، أو الخ. الأمر نفسه ينطبق على التعبيرات ذات المتغيرات. على سبيل المثال، التعبير 
على ODZ يمكن تقديرها على أنها 
، أو 
، أو 
، إلخ. وفي هذا الصدد، يجدر أن نضيف إلى التعريفات المكتوبة توضيحاً بشأن المجموعة الرقمية المشار إليها، وهي تقدير: لا ينبغي أن يكون التقييم من أي نوع، بل يجب أن يتوافق مع الأغراض التي وجد من أجلها. على سبيل المثال، لحل المعادلة 
التقييم المناسب 
. لكن هذا التقدير لم يعد مناسبا لحل المعادلة 
، وإليك معاني التعبير 
تحتاج إلى تقييمه بشكل مختلف، على سبيل المثال مثل هذا: 
.
ومن الجدير بالذكر بشكل منفصل أن أحد تقديرات قيم التعبير f(x) هو نطاق قيم الدالة المقابلة y=f(x).
وفي ختام هذه النقطة، دعونا ننتبه إلى نموذج تسجيل الدرجات. عادة، تتم كتابة التقديرات باستخدام عدم المساواة. ربما لاحظت هذا بالفعل.
تقييم قيم التعبير وتقييم قيم الوظائف
قياسا على تقدير قيم التعبير، يمكننا الحديث عن تقدير قيم الدالة. يبدو هذا طبيعيًا تمامًا، خاصة إذا أخذنا في الاعتبار الدوال المحددة بواسطة الصيغ، لأن تقدير قيم التعبير f(x) وتقدير قيم الدالة y=f(x) هما نفس الشيء في الأساس، وهو أمر واضح. علاوة على ذلك، غالبًا ما يكون من المناسب وصف عملية الحصول على التقديرات من حيث تقدير قيم الوظيفة. على وجه الخصوص، في بعض الحالات، يتم الحصول على تقدير للتعبير من خلال إيجاد أكبر وأصغر قيم للدالة المقابلة.
حول دقة التقديرات
قلنا في الفقرة الأولى من هذه المقالة أن التعبير يمكن أن يكون له تقييمات متعددة لمعناه. هل بعضهم أفضل من البعض الآخر؟ ذلك يعتمد على المشكلة التي يتم حلها. دعونا نشرح مع مثال.
على سبيل المثال، باستخدام طرق تقدير قيم التعبير، الموضحة في الفقرات التالية، يمكنك الحصول على تقييمين لقيم التعبير 
: اول واحد هو 
، والثاني هو 
. ويختلف الجهد المطلوب للحصول على هذه التقديرات بشكل كبير. الأول واضح عمليا، والحصول على التقدير الثاني يتطلب إيجاده أدنى قيمةالتعبير الجذري والاستخدام الإضافي لخاصية الرتابة لوظيفة الجذر التربيعي. في بعض الحالات، يمكن لأي من التقديرات أن تحل المشكلة. على سبيل المثال، أي من تقديراتنا يسمح لنا بحل المعادلة 
. ومن الواضح أننا في هذه الحالة سنقتصر على إيجاد التقدير الواضح الأول، وبطبيعة الحال، لن نزعج أنفسنا بإيجاد التقدير الثاني. لكن في حالات أخرى قد يتبين أن أحد التقديرات غير مناسب لحل المشكلة. على سبيل المثال، تقديرنا الأول لا يسمح بحل المعادلة 
، والتقدير يسمح لك أن تفعل هذا. وهذا هو، في هذه الحالة، لن يكون التقدير الواضح الأول كافيا بالنسبة لنا، وسيتعين علينا العثور على تقدير ثان.
وهذا يقودنا إلى مسألة دقة التقديرات. من الممكن أن نحدد بالتفصيل المقصود بدقة التقدير. لكن بالنسبة لاحتياجاتنا ليست هناك حاجة خاصة لذلك، ففكرة مبسطة عن دقة التقدير ستكون كافية بالنسبة لنا. دعونا نتفق على اعتبار دقة التقييم بمثابة نوع من التناظرية دقة التقريب. أي أننا لنعتبر أن "الأقرب" إلى نطاق قيم الدالة y=f(x) أكثر دقة من بين تقديرين لقيم بعض التعبيرات f(x). وبهذا المعنى فإن التقييم هو الأكثر دقة من بين جميع التقديرات الممكنة لقيم التعبير لأنه يتزامن مع نطاق قيم الوظيفة المقابلة 
. فمن الواضح أن التقييم تقديرات أكثر دقة . وبعبارة أخرى، التقييم تقديرات أكثر صرامة .
هل هناك فائدة من البحث دائمًا عن التقديرات الأكثر دقة؟ لا. والنقطة هنا هي أن التقديرات التقريبية نسبيًا غالبًا ما تكون كافية لحل المشكلات. والميزة الرئيسية لهذه التقديرات مقارنة بالتقديرات الدقيقة هي أن الحصول عليها غالبًا ما يكون أسهل بكثير.
الطرق الأساسية للحصول على التقديرات
تقديرات قيم الوظائف الأولية الأساسية
تقدير قيم الدالة y=|x|
بالإضافة إلى الرئيسية وظائف أولية، مدروسة جيدا ومفيدة من حيث الحصول على التقديرات الدالة ص=|س|. نحن نعرف نطاق قيم هذه الوظيفة: ; حررت بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
