عندما درسنا مفاهيم المتجهات ذات الأبعاد n وأدخلنا العمليات على المتجهات، اكتشفنا أن مجموعة جميع المتجهات ذات الأبعاد n تولد مساحة خطية. سنتحدث في هذه المقالة عن أهم المفاهيم ذات الصلة - البعد وأساس الفضاء المتجه. سننظر أيضًا في نظرية توسيع المتجه التعسفي إلى الأساس والاتصال بين القواعد المختلفة للفضاء ذي الأبعاد n. دعونا نفحص بالتفصيل حلول الأمثلة النموذجية.

التنقل في الصفحة.

مفهوم البعد من الفضاء المتجه والأساس.

يرتبط مفهوما البعد وأساس الفضاء المتجه ارتباطًا مباشرًا بمفهوم نظام المتجهات المستقل خطيًا، لذلك، إذا لزم الأمر، نوصي بالرجوع إلى مقالة الاعتماد الخطي لنظام المتجهات وخصائص الاعتماد الخطي والاستقلال .

تعريف.

البعد من الفضاء المتجههو رقم يساوي الحد الأقصى لعدد المتجهات المستقلة خطيًا في هذا الفضاء.

تعريف.

أساس الفضاء المتجههي مجموعة مرتبة من المتجهات المستقلة خطيا لهذا الفضاء، وعددها يساوي بعد الفضاء.

دعونا نعطي بعض المنطق بناء على هذه التعريفات.

خذ بعين الاعتبار مساحة المتجهات ذات الأبعاد n.

دعونا نبين أن البعد لهذا الفضاء هو ن.

دعونا نأخذ نظامًا من متجهات الوحدة n للنموذج

لنأخذ هذه المتجهات كصفوف من المصفوفة A. في هذه الحالة، ستكون المصفوفة A مصفوفة هوية البعد n في n. رتبة هذه المصفوفة هي n (انظر المقالة إذا لزم الأمر). وبالتالي فإن نظام المتجهات مستقل خطيًا، ولا يمكن إضافة متجه واحد إلى هذا النظام دون انتهاك استقلاله الخطي. منذ عدد المتجهات في النظام يساوي ن، ثم بعد الفضاء للمتجهات ذات الأبعاد n هو n، ومتجهات الوحدة هي أساس هذا الفضاء.

ومن البيان الأخير وتعريف الأساس يمكن أن نستنتج ذلك أي نظام من المتجهات ذات الأبعاد n، عدد المتجهات فيه أقل من n، ليس أساسًا.

والآن دعونا نبدل بين المتجهين الأول والثاني للنظام . فمن السهل أن نبين أن النظام الناتج من المتجهات هو أيضًا أساس لمساحة متجهة ذات أبعاد n. لنقم بإنشاء مصفوفة عن طريق أخذ متجهات هذا النظام كصفوف لها. يمكن الحصول على هذه المصفوفة من مصفوفة الهوية عن طريق تبديل الصفين الأول والثاني، وبالتالي ستكون رتبتها n. وبالتالي، نظام من المتجهات ن مستقلة خطيًا وهي أساس الفضاء المتجه ذو الأبعاد n.

إذا قمنا بإعادة ترتيب المتجهات الأخرى للنظام ، ثم نحصل على أساس آخر.

إذا أخذنا نظامًا مستقلاً خطيًا من المتجهات غير الوحدة، فهو أيضًا أساس الفضاء المتجهي ذو الأبعاد n.

هكذا، يحتوي الفضاء المتجه ذو البعد n على العديد من القواعد كما توجد أنظمة مستقلة خطيًا من نواقل ذات أبعاد n.

إذا تحدثنا عن مساحة متجهة ثنائية الأبعاد (أي حول مستوى)، فإن أساسها هو أي متجهين غير خطيين. أساس مساحة ثلاثية الأبعادهي أي ثلاثة ناقلات غير متحدة المستوى.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

مثال.

هل المتجهات هي أساس الفضاء المتجه ثلاثي الأبعاد؟

حل.

دعونا نتفحص نظام المتجهات هذا للاعتماد الخطي. للقيام بذلك، دعونا ننشئ مصفوفة ستكون صفوفها هي إحداثيات المتجهات ونوجد رتبتها:


وبالتالي، فإن المتجهات a وb وc مستقلة خطيًا وعددها يساوي بُعد الفضاء المتجه، وبالتالي فهي أساس هذا الفضاء.

إجابة:

نعم إنهم هم.

مثال.

هل يمكن لنظام المتجهات أن يكون أساسًا لمساحة متجهة؟

حل.

يعتمد نظام المتجهات هذا خطيًا، حيث أن الحد الأقصى لعدد المتجهات ثلاثية الأبعاد المستقلة خطيًا هو ثلاثة. وبالتالي، لا يمكن لنظام المتجهات هذا أن يكون أساسًا لفضاء متجه ثلاثي الأبعاد (على الرغم من أن النظام الفرعي للنظام الأصلي للمتجهات هو الأساس).

إجابة:

لا، هو لا يستطيع.

مثال.

تأكد من المتجهات

يمكن أن يكون أساسًا لمساحة متجهة رباعية الأبعاد.

حل.

لنقم بإنشاء مصفوفة عن طريق أخذ المتجهات الأصلية كصفوف لها:

دعونا نجد:

وبالتالي، فإن نظام المتجهات a، b، c، d مستقل خطيًا وعددهم يساوي بُعد مساحة المتجه، وبالتالي فإن a، b، c، d هي أساسه.

إجابة:

المتجهات الأصلية هي بالفعل أساس الفضاء رباعي الأبعاد.

مثال.

هل تشكل المتجهات أساس الفضاء المتجه ذي البعد 4؟

حل.

حتى لو كان النظام الأصلي للمتجهات مستقلاً خطيًا، فإن عدد المتجهات فيه لا يكفي ليكون أساسًا لفضاء رباعي الأبعاد (أساس مثل هذا الفضاء يتكون من 4 متجهات).

إجابة:

لا، لا.

تحلل المتجه حسب أساس مساحة المتجه.

دعونا ناقلات التعسفية هي أساس الفضاء المتجه n الأبعاد. إذا أضفنا بعض المتجهات n ذات الأبعاد x إليها، فسيكون نظام المتجهات الناتج معتمدًا خطيًا. من خصائص الاعتماد الخطي، نعلم أن ناقلًا واحدًا على الأقل من النظام المعتمد خطيًا يتم التعبير عنه خطيًا من خلال المتجهات الأخرى. بمعنى آخر، يتم توسيع واحد على الأقل من متجهات النظام التابع خطيًا إلى المتجهات المتبقية.

وهذا يقودنا إلى نظرية مهمة جدًا.

نظرية.

أي متجه للفضاء المتجه ذو الأبعاد n الطريقة الوحيدةوتتحلل وفقا للأساس.

دليل.

يترك - أساس الفضاء المتجه ن الأبعاد. دعونا نضيف متجهًا ذو أبعاد n x إلى هذه المتجهات. بعد ذلك، سيكون نظام المتجهات الناتج معتمدًا خطيًا ويمكن التعبير عن المتجه x خطيًا من حيث المتجهات : ، أين بعض الأرقام. هذه هي الطريقة التي حصلنا بها على توسيع المتجه x بالنسبة للأساس. يبقى أن نثبت أن هذا التحلل فريد من نوعه.

لنفترض أن هناك تحللًا آخر، حيث - بعض الأرقام. دعونا نطرح من الجانبين الأيسر والأيمن للمساواة الأخيرة الجانبين الأيسر والأيمن للمساواة، على التوالي:

منذ نظام المتجهات الأساسية مستقلة خطيًا، ومن خلال تعريف الاستقلال الخطي لنظام المتجهات، فإن المساواة الناتجة تكون ممكنة فقط عندما تكون جميع المعاملات مساوية للصفر. وبالتالي، مما يثبت تفرد تحلل المتجهات بالنسبة للأساس.

تعريف.

تسمى المعاملات إحداثيات المتجه x في الأساس .

بعد التعرف على نظرية تحلل المتجه إلى أساس، نبدأ في فهم جوهر التعبير "لقد حصلنا على متجه ذو أبعاد n" " يعني هذا التعبير أننا نفكر في متجه للفضاء المتجه ذي الأبعاد x n، والذي يتم تحديد إحداثياته ​​على أساس ما. في الوقت نفسه، نحن نفهم أن نفس المتجه x في أساس آخر لمساحة المتجه n الأبعاد سيكون له إحداثيات مختلفة عن .

دعونا نفكر في المشكلة التالية.

دعونا نعطي نظامًا من المتجهات المستقلة خطيًا n في بعض أسس مساحة المتجهات ذات الأبعاد n

وناقلات . ثم المتجهات هي أيضًا أساس مساحة المتجهات هذه.

دعونا نحتاج إلى إيجاد إحداثيات المتجه x في الأساس . دعونا نشير إلى هذه الإحداثيات .

ناقل x في الأساس لديه فكرة. دعونا نكتب هذه المساواة في شكل إحداثي:

هذه المساواة تعادل نظام n الخطي المعادلات الجبريةمع n متغيرات غير معروفة :

المصفوفة الرئيسية لهذا النظام لها الشكل

دعنا نشير إليه بالحرف أ. تمثل أعمدة المصفوفة A ناقلات لنظام ناقلات مستقل خطيا ، فرتبة هذه المصفوفة هي n، وبالتالي محددها غير صفر. تشير هذه الحقيقة إلى أن نظام المعادلات له حل فريد يمكن العثور عليه بأي طريقة، على سبيل المثال، أو.

بهذه الطريقة سيتم العثور على الإحداثيات المطلوبة المتجه x في الأساس .

دعونا نلقي نظرة على النظرية باستخدام الأمثلة.

مثال.

في بعض أسس الفضاء المتجه ثلاثي الأبعاد، تكون المتجهات

تأكد من أن نظام المتجهات هو أيضًا أساس هذا الفضاء وابحث عن إحداثيات المتجه x في هذا الأساس.

حل.

لكي يكون نظام المتجهات أساسًا لمساحة متجهة ثلاثية الأبعاد، يجب أن يكون مستقلاً خطيًا. دعنا نكتشف ذلك من خلال تحديد رتبة المصفوفة A، التي تكون صفوفها متجهات. دعونا نجد الرتبة باستخدام الطريقة الغوسية


وبالتالي، الرتبة (أ) = 3، والتي توضح الاستقلال الخطي لنظام المتجهات.

لذلك، المتجهات هي الأساس. دع المتجه x له إحداثيات على هذا الأساس. بعد ذلك، كما أظهرنا أعلاه، يتم تحديد العلاقة بين إحداثيات هذا المتجه من خلال نظام المعادلات

باستبدال القيم المعروفة من الشرط به نحصل عليه

دعونا نحلها باستخدام طريقة كريمر:

وبالتالي، فإن المتجه x في الأساس له إحداثيات .

إجابة:

مثال.

على أساس ما لمساحة متجهة رباعية الأبعاد، يتم إعطاء نظام مستقل خطيًا من المتجهات

ومن المعروف أن . أوجد إحداثيات المتجه x في الأساس .

حل.

منذ نظام المتجهات مستقلة خطيًا بشرط، فهي أساس الفضاء رباعي الأبعاد. ثم المساواة يعني أن المتجه x في الأساس لديه إحداثيات. دعونا نشير إلى إحداثيات المتجه x في الأساس كيف .

نظام المعادلات الذي يحدد العلاقة بين إحداثيات المتجه x في القواعد و يشبه

نحن نستبدله القيم المعروفةوالعثور على الإحداثيات المطلوبة:

إجابة:

.

العلاقة بين القواعد.

لنفترض أن هناك نظامين مستقلين خطيًا من المتجهات على أساس ما لمساحة متجهة ذات أبعاد n

و

أي أنها أيضًا أساس هذا الفضاء.

لو - إحداثيات المتجه في الأساس ، ثم الاتصال الإحداثي و يتم تقديمه بواسطة نظام المعادلات الخطية (تحدثنا عن ذلك في الفقرة السابقة):

، والتي يمكن كتابتها في شكل مصفوفة

وبالمثل بالنسبة للمتجه يمكننا الكتابة

يمكن دمج معادلات المصفوفة السابقة في معادلات واحدة، والتي تحدد بشكل أساسي العلاقة بين متجهات قاعدتين مختلفتين

وبالمثل، يمكننا التعبير عن جميع المتجهات الأساسية من خلال الأساس :

تعريف.

مصفوفة مُسَمًّى مصفوفة الانتقال من الأساس إلى القاعدة ، فالمساواة صحيحة

بضرب طرفي هذه المساواة من اليمين ب

نحن نحصل

دعونا نجد المصفوفة الانتقالية، لكننا لن نتناول بالتفصيل العثور على المصفوفة العكسية ومصفوفات الضرب (انظر المقالات وإذا لزم الأمر):

يبقى معرفة العلاقة بين إحداثيات المتجه x في القواعد المعطاة.

دع المتجه x له إحداثيات في الأساس، إذن

وفي الأساس فإن المتجه x له إحداثيات

بما أن الطرفين الأيسرين من المتساويتين الأخيرتين متماثلان، فيمكننا مساواة الطرفين الأيمنين:

إذا ضربنا كلا الطرفين على اليمين في

ثم نحصل


على الجانب الآخر

(ابحث عن المصفوفة العكسية بنفسك).
المساواة الأخيرتين تعطينا العلاقة المطلوبة بين إحداثيات المتجه x في القواعد و .

إجابة:

مصفوفة الانتقال من الأساس إلى الأساس لها الشكل
;
إحداثيات المتجه x في القواعد وترتبط بالعلاقات

أو
.

لقد درسنا مفاهيم البعد وأساس الفضاء المتجه، وتعلمنا تحليل المتجه إلى أساس، واكتشفنا العلاقة بين القواعد المختلفة للفضاء المتجه ذي الأبعاد n من خلال مصفوفة الانتقال.

ابحث عن أساس نظام المتجهات والمتجهات غير المدرجة في الأساس، وقم بتوسيعها حسب الأساس:

أ 1 = {5, 2, -3, 1}, أ 2 = {4, 1, -2, 3}, أ 3 = {1, 1, -1, -2}, أ 4 = {3, 4, -1, 2}, أ 5 = {13, 8, -7, 4}.

حل. النظر في نظام متجانس من المعادلات الخطية

أ 1 X 1 + أ 2 X 2 + أ 3 X 3 + أ 4 X 4 + أ 5 X 5 = 0

أو في شكل موسع .

سنحل هذا النظام بطريقة Gaussian، دون تبديل الصفوف والأعمدة، بالإضافة إلى ذلك، اختيار العنصر الرئيسي ليس في الزاوية اليسرى العليا، ولكن على طول الصف بأكمله. التحدي هو أن حدد الجزء القطري من نظام المتجهات المحول.

~ ~

~ ~ ~ .

نظام المتجهات المسموح به، المعادل للنظام الأصلي، له الشكل

أ 1 1 X 1 + أ 2 1 X 2 + أ 3 1 X 3 + أ 4 1 X 4 + أ 5 1 X 5 = 0 ,

أين أ 1 1 = , أ 2 1 = , أ 3 1 = , أ 4 1 = , أ 5 1 = . (1)

ثلاثة أبعاد أ 1 1 , أ 3 1 , أ 4 1 شكل نظام قطري. ولذلك فإن المتجهات أ 1 , أ 3 , أ 4 تشكل أساس نظام المتجهات أ 1 , أ 2 , أ 3 , أ 4 , أ 5 .

دعونا الآن توسيع المتجهات أ 2 و أ 5 على أساس أ 1 , أ 3 , أ 4 . للقيام بذلك، نقوم أولًا بتوسيع المتجهات المقابلة أ 2 1 و أ 5 1 نظام قطري أ 1 1 , أ 3 1 , أ 4 1 مع الأخذ في الاعتبار أن معاملات تمدد المتجه على طول النظام القطري هي إحداثياته × ط.

من (1) لدينا:

أ 2 1 = أ 3 1 · (-1) + أ 4 1 0 + أ 1 1 ·1 => أ 2 1 = أ 1 1 – أ 3 1 .

أ 5 1 = أ 3 1 0 + أ 4 1 1 + أ 1 1 ·2 => أ 5 1 = 2أ 1 1 + أ 4 1 .

ثلاثة أبعاد أ 2 و أ 5 يتم توسيعها في الأساس أ 1 , أ 3 , أ 4 بنفس معاملات المتجهات أ 2 1 و أ 5 1 نظام قطري أ 1 1 , أ 3 1 , أ 4 1 (تلك المعاملات × ط). لذلك،

أ 2 = أ 1 – أ 3 , أ 5 = 2أ 1 + أ 4 .

مهام. 1ابحث عن أساس نظام المتجهات والمتجهات غير المدرجة في الأساس، وقم بتوسيعها حسب الأساس:

1. أ 1 = { 1, 2, 1 }, أ 2 = { 2, 1, 3 }, أ 3 = { 1, 5, 0 }, أ 4 = { 2, -2, 4 }.

2. أ 1 = { 1, 1, 2 }, أ 2 = { 0, 1, 2 }, أ 3 = { 2, 1, -4 }, أ 4 = { 1, 1, 0 }.

3. أ 1 = { 1, -2, 3 }, أ 2 = { 0, 1, -1 }, أ 3 = { 1, 3, 0 }, أ 4 = { 0, -7, 3 }, أ 5 = { 1, 1, 1 }.

4. أ 1 = { 1, 2, -2 }, أ 2 = { 0, -1, 4 }, أ 3 = { 2, -3, 3 }.

2. ابحث عن جميع قواعد نظام المتجهات:

1. أ 1 = { 1, 1, 2 }, أ 2 = { 3, 1, 2 }, أ 3 = { 1, 2, 1 }, أ 4 = { 2, 1, 2 }.

2. أ 1 = { 1, 1, 1 }, أ 2 = { -3, -5, 5 }, أ 3 = { 3, 4, -1 }, أ 4 = { 1, -1, 4 }.

في المقالة حول المتجهات ذات الأبعاد n وصلنا إلى هذا المفهوم الفضاء الخطي، تم إنشاؤها بواسطة مجموعة من المتجهات ذات الأبعاد n. الآن علينا أن نأخذ في الاعتبار مفاهيم لا تقل أهمية، مثل البعد وأساس الفضاء المتجه. إنها مرتبطة بشكل مباشر بمفهوم نظام المتجهات المستقل خطيًا، لذلك يوصى أيضًا بتذكير نفسك بأساسيات هذا الموضوع.

دعونا نقدم بعض التعاريف.

التعريف 1

البعد من الفضاء المتجه- رقم يتوافق مع الحد الأقصى لعدد المتجهات المستقلة خطياً في هذا الفضاء.

التعريف 2

أساس الفضاء المتجه– مجموعة من المتجهات المستقلة خطياً، مرتبة ومتساوية في العدد مع البعد المكاني.

دعونا نفكر في مساحة معينة من المتجهات n. البعد الخاص بها يساوي n. لنأخذ نظامًا من ناقلات الوحدات n:

ه (1) = (1, 0, . . 0) ه (2) = (0, 1, . . , 0) ه (ن) = (0, 0, . . , 1)

نستخدم هذه المتجهات كمكونات للمصفوفة A: ستكون مصفوفة وحدة ذات البعد n في n. رتبة هذه المصفوفة هي n. ولذلك فإن نظام المتجهات e (1) , e (2) , . . . ، e(n) مستقلة خطيًا. في هذه الحالة، من المستحيل إضافة متجه واحد إلى النظام دون انتهاك استقلاله الخطي.

بما أن عدد المتجهات في النظام هو n، فإن بُعد فضاء المتجهات ذات الأبعاد n هو n، ومتجهات الوحدة هي e (1)، e (2)، . . . ، e (n) هي أساس المساحة المحددة.

من التعريف الناتج يمكننا أن نستنتج: أي نظام من المتجهات ذات الأبعاد n الذي يكون فيه عدد المتجهات أقل من n ليس أساسًا للمساحة.

إذا قمنا بتبديل المتجهين الأول والثاني، فسنحصل على نظام من المتجهات e (2) , e (1) , . . . ، ه (ن) . وسيكون أيضًا أساسًا لمساحة متجهة ذات أبعاد n. لنقم بإنشاء مصفوفة عن طريق أخذ متجهات النظام الناتج كصفوف لها. يمكن الحصول على المصفوفة من مصفوفة الهوية عن طريق تبديل الصفين الأولين، وستكون رتبتها n. النظام ه (2) , ه (1) , . . . ، e(n) مستقل خطيًا وهو أساس الفضاء المتجه ذو الأبعاد n.

ومن خلال إعادة ترتيب المتجهات الأخرى في النظام الأصلي، نحصل على أساس آخر.

يمكننا أن نأخذ نظامًا مستقلاً خطيًا من المتجهات غير الوحدة، وسيمثل أيضًا أساس الفضاء المتجهي ذو الأبعاد n.

التعريف 3

يحتوي الفضاء المتجه ذو البعد n على عدد من القواعد كما توجد أنظمة مستقلة خطيًا من ناقلات ذات أبعاد n للرقم n.

المستوى عبارة عن فضاء ثنائي الأبعاد - سيكون أساسه أي متجهين غير خطيين. سيكون أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد هو أي ثلاثة نواقل غير متحدة المستوى.

دعونا نفكر في تطبيق هذه النظرية باستخدام أمثلة محددة.

مثال 1

البيانات الأولية:ثلاثة أبعاد

أ = (3 ، - 2 ، 1) ب = (2 ، 1 ، 2) ج = (3 ، - 1 ، - 2)

من الضروري تحديد ما إذا كانت المتجهات المحددة هي أساس مساحة متجهة ثلاثية الأبعاد.

حل

لحل المشكلة، قمنا بدراسة النظام المعطى لمتجهات الاعتماد الخطي. لنقم بإنشاء مصفوفة، حيث تكون الصفوف هي إحداثيات المتجهات. دعونا نحدد رتبة المصفوفة.

أ = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 أ = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

وبالتالي، فإن المتجهات المحددة بشرط المشكلة تكون مستقلة خطيًا، وعددها يساوي بُعد فضاء المتجه - فهي أساس فضاء المتجه.

إجابة:المتجهات المشار إليها هي أساس مساحة المتجهات.

مثال 2

البيانات الأولية:ثلاثة أبعاد

أ = (3، - 2، 1) ب = (2، 1، 2) ج = (3، - 1، - 2) د = (0، 1، 2)

من الضروري تحديد ما إذا كان نظام المتجهات المحدد يمكن أن يكون أساسًا لمساحة ثلاثية الأبعاد.

حل

نظام المتجهات المحدد في بيان المشكلة يعتمد خطيا، لأن الحد الأقصى لعدد المتجهات المستقلة خطيًا هو 3. وبالتالي، لا يمكن لنظام المتجهات المحدد أن يكون بمثابة أساس لمساحة متجهة ثلاثية الأبعاد. ولكن تجدر الإشارة إلى أن النظام الفرعي للنظام الأصلي أ = (3، - 2، 1)، ب = (2، 1، 2)، ج = (3، - 1، - 2) هو الأساس.

إجابة:نظام المتجهات المشار إليه ليس أساسًا.

مثال 3

البيانات الأولية:ثلاثة أبعاد

أ = (1، 2، 3، 3) ب = (2، 5، 6، 8) ج = (1، 3، 2، 4) د = (2، 5، 4، 7)

هل يمكن أن تكون أساس الفضاء رباعي الأبعاد؟

حل

لنقم بإنشاء مصفوفة باستخدام إحداثيات المتجهات المعطاة كصفوف

أ = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

باستخدام الطريقة الغوسية، نحدد رتبة المصفوفة:

أ = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

وبالتالي، فإن نظام المتجهات المعطاة يكون مستقلاً خطيًا وعددها يساوي بُعد الفضاء المتجه - فهي أساس الفضاء المتجه رباعي الأبعاد.

إجابة:المتجهات المعطاة هي أساس الفضاء رباعي الأبعاد.

مثال 4

البيانات الأولية:ثلاثة أبعاد

أ (1) = (1 ، 2 ، - 1 ، - 2) أ (2) = (0 ، 2 ، 1 ، - 3) أ (3) = (1 ، 0 ، 0 ، 5)

هل تشكل أساس مساحة البعد 4؟

حل

النظام الأصلي للمتجهات مستقل خطيًا، لكن عدد المتجهات فيه ليس كافيًا ليصبح أساسًا لفضاء رباعي الأبعاد.

إجابة:لا، لا يفعلون ذلك.

تحلل المتجه إلى الأساس

لنفترض أن المتجهات التعسفية e (1) , e (2) , . . . ، e (n) هي أساس الفضاء المتجه ذو الأبعاد n. دعنا نضيف إليهم ناقلًا معينًا ذو أبعاد n x →: سيصبح نظام المتجهات الناتج معتمدًا خطيًا. تشير خصائص الاعتماد الخطي إلى أنه يمكن التعبير عن واحد على الأقل من نواقل مثل هذا النظام خطيًا من خلال النواقل الأخرى. بإعادة صياغة هذه العبارة، يمكننا القول إن واحدًا على الأقل من متجهات النظام التابع خطيًا يمكن توسيعه إلى المتجهات المتبقية.

وهكذا وصلنا إلى صياغة النظرية الأهم:

التعريف 4

يمكن تحليل أي متجه للفضاء المتجه ذي الأبعاد n بشكل فريد إلى أساس.

الدليل 1

دعونا نثبت هذه النظرية:

دعونا نضع أساس الفضاء المتجه ذو الأبعاد n - e (1) , e (2) , . . . ، ه (ن) . لنجعل النظام معتمدًا خطيًا عن طريق إضافة ناقل ذو أبعاد n x → إليه. يمكن التعبير عن هذا المتجه خطيًا بدلالة المتجهات الأصلية e:

س = س 1 · ه (1) + س 2 · ه (2) + . . . + x n · e (n) ، حيث x 1 , x 2 , . . . ، x n - بعض الأرقام.

الآن نثبت أن هذا التحلل فريد من نوعه. لنفترض أن الأمر ليس كذلك وأن هناك تحليلًا آخر مشابهًا:

س = س ~ 1 ه (1) + س 2 ~ ه (2) + . . . + x ~ n e (n) , حيث x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - بعض الأرقام.

دعونا نطرح من الجانبين الأيسر والأيمن لهذه المساواة، على التوالي، الجانبين الأيسر والأيمن من المساواة x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + س ن · ه (ن) . نحن نحصل:

0 = (س ~ 1 - س 1) · ه (1) + (س ~ 2 - س 2) · ه (2) + . . . (س ~ ن - س ن) ه (2)

نظام المتجهات الأساسية e (1) , e (2) , . . . ، e(n) مستقل خطيًا؛ من خلال تعريف الاستقلال الخطي لنظام المتجهات، فإن المساواة المذكورة أعلاه ممكنة فقط عندما تكون جميع المعاملات (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . ، (x ~ n - x n) ستكون مساوية للصفر. منها سيكون عادلا: x 1 = x ~ 1، x 2 = x ~ 2، . . . , س ن = س ~ ن . وهذا يثبت الخيار الوحيد لتحليل المتجه إلى الأساس.

في هذه الحالة، المعاملات x 1, x 2, . . . , x n تسمى إحداثيات المتجه x → في الأساس e (1) , e (2) , . . . ، ه (ن) .

توضح النظرية المثبتة التعبير "بالنظر إلى متجه ذو أبعاد n x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)": يتم اعتبار المتجه x → n مساحة المتجه ذات الأبعاد، ويتم تحديد إحداثياته ​​في أساس معين. ومن الواضح أيضًا أن نفس المتجه في أساس آخر للفضاء ذي الأبعاد n سيكون له إحداثيات مختلفة.

خذ بعين الاعتبار المثال التالي: لنفترض أنه في بعض أسس الفضاء المتجهي ذو الأبعاد n، يتم إعطاء نظام من المتجهات المستقلة خطيًا

وأيضا المتجه x = (x 1 , x 2 , . . . , x n) معطى.

المتجهات ه 1 (1) , ه 2 (2) , . . . ، e n (n) في هذه الحالة هي أيضًا أساس مساحة المتجه هذه.

لنفترض أنه من الضروري تحديد إحداثيات المتجه x → على الأساس e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , يُشار إليه بـ x ~ 1 , x ~ 2 , . . . ، س ~ ن.

سيتم تمثيل Vector x → على النحو التالي:

س = س ~ 1 ه (1) + س ~ 2 ه (2) + . . . + س ~ ن ه (ن)

لنكتب هذا التعبير بالشكل الإحداثي:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , ه (2) 2 ، . . . ه (2) ن) ​​+ . . . + + x ~ n · (ه (ن) 1 ، ه (ن) 2 ، . . . ، ه (ن) ن) = = (x ~ 1 ه 1 (1) + x ~ 2 ه 1 (2) + . . . + x ~ n e 1 (n)، x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + . . + x ~ n e 2 (n)، . . . ، x ~ 1 e n (1) + س ~ 2 ه ن (2) + ... + س ~ ن ه ن (ن))

المساواة الناتجة تعادل نظام من التعبيرات الجبرية الخطية n مع n متغيرات خطية غير معروفة x ~ 1, x ~ 2, . . . ، س ~ ن:

x 1 = x ~ 1 ه 1 1 + x ~ 2 ه 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + س ~ ن ه ن ن

مصفوفة هذا النظام سيكون لها الشكل التالي:

ه 1 (1) ه 1 (2) ⋯ ه 1 (ن) ه 2 (1) ه 2 (2) ⋯ ه 2 (ن) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ه ن (1) ه ن (2) ⋯ ه ن (ن)

دع هذه تكون مصفوفة A، وأعمدتها عبارة عن متجهات لنظام مستقل خطيًا من المتجهات e 1 (1)، e 2 (2)، . . . ، ه ن (ن) . رتبة المصفوفة هي n، ومحددها غير صفر. يشير هذا إلى أن نظام المعادلات له حل فريد، يتم تحديده بأي طريقة مناسبة: على سبيل المثال، طريقة كرامر أو طريقة المصفوفة. بهذه الطريقة يمكننا تحديد الإحداثيات x ~ 1، x ~ 2، . . . , x ~ n المتجه x → في الأساس e 1 (1) , e 2 (2) , . . . ، ه ن (ن) .

دعونا نطبق النظرية المدروسة على مثال محدد.

مثال 6

البيانات الأولية:يتم تحديد المتجهات على أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد

ه (1) = (1 ، - 1 ، 1) ه (2) = (3 ، 2 ، - 5) ه (3) = (2 ، 1 ، - 3) س = (6 ، 2 ، - 7)

من الضروري تأكيد حقيقة أن نظام المتجهات e (1)، e (2)، e (3) يعمل أيضًا كأساس لمساحة معينة، وكذلك لتحديد إحداثيات المتجه x على أساس معين.

حل

سيكون نظام المتجهات e (1)، e (2)، e (3) هو أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد إذا كان مستقلاً خطيًا. دعونا نكتشف هذا الاحتمال من خلال تحديد رتبة المصفوفة A، التي تمثل صفوفها المتجهات المعطاة e (1)، e (2)، e (3).

نستخدم الطريقة الغوسية:

أ = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

ر أ ن ك (أ) = 3 . وبالتالي، فإن نظام المتجهات e (1)، e (2)، e (3) مستقل خطيًا وهو أساس.

دع المتجه x → له إحداثيات x ~ 1، x ~ 2، x ~ 3 في الأساس. يتم تحديد العلاقة بين هذه الإحداثيات بواسطة المعادلة:

س 1 = س ~ 1 ه 1 (1) + س ~ 2 ه 1 (2) + س ~ 3 ه 1 (3) × 2 = س ~ 1 ه 2 (1) + س ~ 2 ه 2 (2) + س ~ 3 ه 2 (3) × 3 = س ~ 1 ه 3 (1) + س ~ 2 ه 3 (2) + س ~ 3 ه 3 (3)

لنطبق القيم حسب ظروف المشكلة:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

دعونا نحل نظام المعادلات باستخدام طريقة كرامر:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

وبالتالي، فإن المتجه x → في الأساس e (1)، e (2)، e (3) له إحداثيات x ~ 1 = 1، x ~ 2 = 1، x ~ 3 = 1.

إجابة:س = (1، 1، 1)

العلاقة بين القواعد

لنفترض أنه في بعض أسس الفضاء المتجهي ذو الأبعاد n، يتم إعطاء نظامين مستقلين خطيًا للمتجهات:

ج (1) = (ج 1 (1) ، ج 2 (1) ، . . . ، ج ن (1)) ج (2) = (ج 1 (2) ، ج 2 (2) ، . . . ، ج ن (2)) ⋮ ج (ن) = (ج 1 (ن) , ه 2 (ن) , . . . , ج ن (ن))

ه (1) = (ه 1 (1) ، ه 2 (1) ، . . . ، ه ن (1)) ه (2) = (ه 1 (2) ، ه 2 (2) ، . . . ، ه ن (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

هذه الأنظمة هي أيضًا قواعد لمساحة معينة.

دع c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - إحداثيات المتجه c (1) في الأساس e (1) , e (2) , . . . ، e (3) ، فسيتم إعطاء العلاقة الإحداثية بواسطة نظام المعادلات الخطية:

ج 1 (1) = ج ~ 1 (1) ه 1 (1) + ج ~ 2 (1) ه 1 (2) + . . . + ج ~ ن (1) ه 1 (ن) ج 2 (1) = ج ~ 1 (1) ه 2 (1) + ج ~ 2 (1) ه 2 (2) + . . . + ج ~ ن (1) ه 2 (ن) ⋮ ج ن (1) = ج ~ 1 (1) ه ن (1) + ج ~ 2 (1) ه ن (2) + . . . + ج ~ ن (1) ه ن (ن)

ويمكن تمثيل النظام كمصفوفة على النحو التالي:

(ج 1 (1) , ج 2 (1) , . . . , ج ن (1)) = (ج ~ 1 (1) , ج ~ 2 (1) , . . . , ج ~ ن (1)) ه 1 (1) ه 2 (1) … ه ن (1) ه 1 (2) ه 2 (2) … ه ن (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ه 1 (ن) ه 2 (ن) … ه ن (ن)

دعونا نقوم بنفس الإدخال للمتجه c (2) عن طريق القياس:

(ج 1 (2) , ج 2 (2) , . . . , ج ن (2)) = (ج ~ 1 (2) , ج ~ 2 (2) , . . . , ج ~ ن (2)) ه 1 (1) ه 2 (1) … ه ن (1) ه 1 (2) ه 2 (2) … ه ن (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ه 1 (ن) ه 2 (ن) … ه ن (ن)

(ج 1 (ن) , ج 2 (ن) , . . . , ج ن (ن)) = (ج ~ 1 (ن) , ج ~ 2 (ن) , . . . , ج ~ ن (ن)) ه 1 (1) ه 2 (1) … ه ن (1) ه 1 (2) ه 2 (2) … ه ن (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ه 1 (ن) ه 2 (ن) … ه ن (ن)

دعونا ندمج معادلات المصفوفة في تعبير واحد:

ج 1 (1) ج 2 (1) ⋯ ج ن (1) ج 1 (2) ج 2 (2) ⋯ ج ن (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ج 1 (ن) ج 2 (ن) ⋯ ج ن (ن) = ج ~ 1 (1) ج ~ 2 (1) ⋯ ج ~ ن (1) ج ~ 1 (2) ج ~ 2 (2) ⋯ ج ~ ن (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ج ~ 1 (ن) ج ~ 2 (ن) ⋯ ج ~ ن (ن) ه 1 (1) ه 2 (1) ⋯ ه ن (1) ه 1 (2) ه 2 (2) ⋯ ه ن (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ه 1 (ن ) ه 2 (ن) ⋯ ه ن (ن)

سيحدد العلاقة بين متجهات قاعدتين مختلفتين.

باستخدام نفس المبدأ، من الممكن التعبير عن جميع المتجهات الأساسية e(1)، e(2)، . . . ، ه (3) من خلال الأساس ج (1)، ج (2)، . . . ، ج (ن):

ه 1 (1) ه 2 (1) ⋯ ه ن (1) ه 1 (2) ه 2 (2) ⋯ ه ن (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ه 1 (ن) ه 2 (ن) ⋯ ه ن (ن) = ه ~ 1 (1) ه ~ 2 (1) ⋯ ه ~ ن (1) ه ~ 1 (2) ه ~ 2 (2) ⋯ ه ~ ن (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ه ~ 1 (ن) ه ~ 2 (ن) ⋯ ه ~ ن (ن) ج 1 (1) ج 2 (1) ⋯ ج ن (1) ج 1 (2) ج 2 (2) ⋯ ج ن (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ج 1 (ن ) ج 2 (ن) ⋯ ج ن (ن)

دعونا نعطي التعريفات التالية:

التعريف 5

مصفوفة ج ~ 1 (1) ج ~ 2 (1) ⋯ ج ~ ن (1) ج ~ 1 (2) ج ~ 2 (2) ⋯ ج ~ ن (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ج ~ 1 (ن) ج ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) هي مصفوفة الانتقال من الأساس e (1) , e (2) , . . . ، ه (3)

على الأساس ج (1) ، ج (2) ، . . . ، ج (ن) .

التعريف 6

مصفوفة e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) هي مصفوفة الانتقال من الأساس c (1) , c (2) , . . . ، ج(ن)

على الأساس ه (1) , ه (2) , . . . ، ه (3) .

ومن هذه المساواة يتضح ذلك

ج ~ 1 (1) ج ~ 2 (1) ⋯ ج ~ ن (1) ج ~ 1 (2) ج ~ 2 (2) ⋯ ج ~ ن (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ج ~ 1 (ن) ج ~ 2 (ن) ⋯ ج ~ ن (ن) ه ~ 1 (1) ه ~ 2 (1) ⋯ ه ~ ن (1) ه ~ 1 (2) ه ~ 2 (2) ⋯ ه ~ ن (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1) ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · ج ~ 1 (1) ج ~ 2 (1) ⋯ ج ~ ن (1) ج ~ 1 (2) ج ~ 2 (2) ⋯ ج ~ ن (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ج ~ 1 (ن) ج ~ 2 (ن) ⋯ ج ~ ن (ن) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

أولئك. المصفوفات الانتقالية متبادلة.

دعونا نلقي نظرة على النظرية باستخدام مثال محدد.

مثال 7

البيانات الأولية:فمن الضروري العثور على مصفوفة الانتقال من الأساس

ج (1) = (1 ، 2 ، 1) ج (2) = (2 ، 3 ، 3) ​​ج (3) = (3 ، 7 ، 1)

ه (1) = (3 ، 1 ، 4) ه (2) = (5 ، 2 ، 1) ه (3) = (1 ، 1 ، - 6)

تحتاج أيضًا إلى الإشارة إلى العلاقة بين إحداثيات المتجه التعسفي x → في القواعد المحددة.

حل

1. لتكن T هي المصفوفة الانتقالية، فإن المساواة ستكون صحيحة:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = ت 1 2 1 2 3 3 3 7 1

اضرب طرفي المساواة ب

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

ونحصل على:

ت = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. تحديد مصفوفة الانتقال:

ت = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. دعونا نحدد العلاقة بين إحداثيات المتجه x → :

لنفترض أنه في الأساس ج (1) ، ج (2) ، . . . ، c (n) المتجه x → له إحداثيات x 1 ، x 2 ، x 3 ، إذن:

س = (س 1 ، س 2 ، س 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

وعلى الأساس ه (1) , ه (2) , . . . ، e (3) له إحداثيات x ~ 1، x ~ 2، x ~ 3، ثم:

س = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

لأن إذا كان الطرفان الأيسران من هذه المتساويات متساويين، فيمكننا مساواة الطرفين الأيمن أيضًا:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

اضرب كلا الطرفين على اليمين بـ

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

ونحصل على:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

على الجانب الآخر

(x ~ 1، x ~ 2، x ~ 3) = (x 1، x 2، x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

تُظهر المساواة الأخيرة العلاقة بين إحداثيات المتجه x → في كلا القاعدتين.

إجابة:مصفوفة الانتقال

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

ترتبط إحداثيات المتجه x → في القواعد المعطاة بالعلاقة:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1، x ~ 2، x ~ 3) = (x 1، x 2، x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

مثال 8

يتم إعطاء المتجهات. وضح أن المتجهات تشكل أساسًا في فضاء ثلاثي الأبعاد وأوجد إحداثيات المتجه في هذا الأساس.

حل:أولا، دعونا نتعامل مع الحالة. حسب الشرط، يتم إعطاء أربعة متجهات، وكما ترون، لديهم بالفعل إحداثيات في بعض الأساس. ما هو هذا الأساس لا يهمنا. والشيء التالي مثير للاهتمام: ثلاثة نواقل قد تشكل أساسًا جديدًا. وتتوافق المرحلة الأولى تمامًا مع حل المثال 6؛ ومن الضروري التحقق مما إذا كانت المتجهات مستقلة خطيًا حقًا:

لنحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات:

مما يعني أن المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد.

! مهم: إحداثيات المتجهات بالضرورةاكتب إلى أعمدةالمحدد، وليس في السلاسل. خلاف ذلك، سيكون هناك ارتباك في خوارزمية الحل الإضافية.

الآن دعونا نتذكر الجزء النظري: إذا كانت المتجهات تشكل أساسًا، فيمكن توسيع أي متجه إلى هذا الأساس بالطريقة الوحيدة: أين توجد إحداثيات المتجه في الأساس.

وبما أن المتجهات الخاصة بنا تشكل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد (وهذا ما تم إثباته بالفعل)، فيمكن توسيع المتجه بطريقة فريدة على هذا الأساس:
، أين إحداثيات المتجه في الأساس.

وفقا للشرط، وهو مطلوب للعثور على الإحداثيات.

ولتسهيل الشرح سأقوم بتبديل الأجزاء: . من أجل العثور عليه، يجب عليك كتابة إحداثيات المساواة هذه بإحداثيات:

على أي أساس يتم تحديد المعاملات؟ يتم نقل جميع المعاملات الموجودة على الجانب الأيسر من المحدد تمامًا ، الخامس الجانب الأيمنيتم تسجيل إحداثيات المتجه.

والنتيجة هي نظام من ثلاث معادلات خطية مع ثلاثة مجهولين. عادة ما يتم حلها عن طريق صيغ كريمر، غالبًا حتى في بيان المشكلة يوجد مثل هذا المطلب.

تم بالفعل العثور على المحدد الرئيسي للنظام:
مما يعني أن النظام لديه حل فريد.

ما يلي هو مسألة تقنية:

هكذا:
– تحلل المتجه حسب الأساس.

إجابة:

وكما أشرت سابقًا، فإن المشكلة ذات طبيعة جبرية. المتجهات التي تم أخذها في الاعتبار ليست بالضرورة تلك المتجهات التي يمكن رسمها في الفضاء، ولكنها في المقام الأول ناقلات مجردة لمسار الجبر الخطي. في حالة المتجهات ثنائية الأبعاد، يمكن صياغة مشكلة مماثلة وحلها؛ وسيكون الحل أبسط بكثير. ومع ذلك، من الناحية العملية، لم أواجه مثل هذه المهمة مطلقًا، ولهذا السبب تخطيتها في القسم السابق.

نفس المشكلة مع المتجهات ثلاثية الأبعاد للحل المستقل:

مثال 9

يتم إعطاء المتجهات. وضح أن المتجهات تشكل أساسًا وأوجد إحداثيات المتجه على هذا الأساس. حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة كرامر.

الحل الكاملوعينة تقريبية للتصميم النهائي في نهاية الدرس.

وبالمثل، يمكننا أن نعتبر رباعية الأبعاد، وخماسية الأبعاد، وما إلى ذلك. مساحات المتجهات، حيث يكون للمتجهات 4 أو 5 أو أكثر من الإحداثيات، على التوالي. بالنسبة لهذه المساحات المتجهة، هناك أيضًا مفهوم الاعتماد الخطي، والاستقلال الخطي للمتجهات، وهناك أساس، بما في ذلك الأساس المتعامد، وتوسيع المتجه فيما يتعلق بالأساس. نعم، لا يمكن رسم مثل هذه المساحات هندسيًا، لكن جميع القواعد والخصائص والنظريات الخاصة بالحالات ثنائية وثلاثية الأبعاد تعمل فيها - الجبر البحت. في الواقع، اه القضايا الفلسفيةلقد تم إغراءي بالفعل بالتحدث في المقال المشتقات الجزئية لدالة من ثلاثة متغيراتوالتي ظهرت قبل هذا الدرس.

ناقلات الحب، والنواقل سوف أحبك!

الحلول والأجوبة:

مثال 2: حل: لنجعل نسبة من الإحداثيات المقابلة للمتجهات:

إجابة: في

مثال 4: دليل: أرجوحةالشكل الرباعي يسمى رباعي الأضلاع الذي يكون فيه ضلعان متوازيان والضلعان الآخران غير متوازيين.
1) دعونا نتحقق من التوازي بين الجانبين المتقابلين و .
لنجد المتجهات:


مما يعني أن هذه المتجهات ليست على خط مستقيم وأن أضلاعها ليست متوازية.
2) التحقق من التوازي بين الجانبين المتقابلين و .
لنجد المتجهات:

لنحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات:
، وهو ما يعني أن هذه المتجهات على خط واحد، و.
خاتمة: ضلعان في الشكل الرباعي متوازيان، لكن الضلعين الآخرين غير متوازيين، مما يعني أنه شبه منحرف بحكم التعريف. Q.E.D.

مثال 5: حل:
ب) دعونا نتحقق مما إذا كان هناك معامل تناسب للإحداثيات المقابلة للمتجهات:

ليس لدى النظام حل، مما يعني أن المتجهات ليست على خط واحد.
تصميم أبسط:
- الإحداثيات الثانية والثالثة غير متناسبة، مما يعني أن المتجهات ليست على خط مستقيم.
إجابة: المتجهات ليست على خط واحد.
ج) نقوم بفحص المتجهات لمعرفة العلاقة الخطية المتداخلة . لنقم بإنشاء نظام:

الإحداثيات المقابلة للمتجهات متناسبة، مما يعني
هذا هو المكان الذي تفشل فيه طريقة التصميم "المرنة".
إجابة:

مثال 6: حل: ب) لنحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات (يتم الكشف عن المحدد في السطر الأول):

مما يعني أن المتجهات تعتمد خطيًا ولا تشكل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد.
إجابة : هذه المتجهات لا تشكل الأساس

مثال 9: حل:لنحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات:


وبالتالي، فإن المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا.
دعونا نمثل المتجه في النموذج تركيبة خطيةناقلات الأساس:

الإحداثيات:

دعونا نحل النظام باستخدام صيغ كرامر:
مما يعني أن النظام لديه حل فريد.

إجابة:المتجهات تشكل الأساس ،

الرياضيات العليا لطلاب المراسلة والمزيد >>>

(اذهب إلى الصفحة الرئيسية)

ناقلات العمل الفنيثلاثة أبعاد.
منتج مختلط من المتجهات

سنتناول في هذا الدرس عمليتين أخريين باستخدام المتجهات: ناقلات المنتج من ناقلاتو عمل مختلطثلاثة أبعاد. لا بأس، أحيانًا يحدث ذلك من أجل السعادة الكاملة، بالإضافة إلى ذلك المنتج العددي للمتجهات، مطلوب المزيد والمزيد. هذا هو إدمان المتجهات. قد يبدو أننا ندخل إلى البراري الهندسة التحليلية. هذا خطأ. في هذا القسم من الرياضيات العليا، يوجد القليل من الخشب عمومًا، ربما باستثناء ما يكفي لبينوكيو. في الواقع، المادة شائعة جدًا وبسيطة - ولا تكاد تكون أكثر تعقيدًا من نفس المادة المنتج العددي، سيكون هناك عدد أقل من المهام النموذجية. الشيء الرئيسي في الهندسة التحليلية، كما سيقتنع الكثيرون أو اقتنعوا بالفعل، هو عدم ارتكاب الأخطاء في الحسابات. كرر مثل التعويذة وستكون سعيدًا =)

إذا كانت المتجهات تتألق في مكان ما بعيدًا، مثل البرق في الأفق، فلا يهم، ابدأ بالدرس ناقلات للدمىلاستعادة أو إعادة اكتساب المعرفة الأساسية حول المتجهات. يمكن للقراء الأكثر استعدادًا التعرف على المعلومات بشكل انتقائي، وقد حاولت جمع أكبر قدر ممكن مجموعة كاملةالأمثلة التي غالبا ما توجد في العمل التطبيقي

ما الذي سيجعلك سعيدا على الفور؟ عندما كنت صغيرًا، كنت قادرًا على التوفيق بين كرتين وحتى ثلاث كرات. لقد سار الأمر بشكل جيد. الآن لن تضطر إلى التوفيق على الإطلاق، لأننا سننظر في ذلك المتجهات المكانية فقط، وسيتم استبعاد المتجهات المسطحة ذات الإحداثيتين. لماذا؟ هذه هي الطريقة التي ولدت بها هذه الإجراءات - يتم تعريف المتجه والمنتج المختلط للمتجهات ويعملان في مساحة ثلاثية الأبعاد. إنه بالفعل أسهل!

الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي للمتجهات.
أساس المتجهات. نظام الإحداثيات الأفينية

توجد عربة بها شوكولاتة في القاعة، وسيحصل كل زائر اليوم على زوجين جميلين - الهندسة التحليلية مع الجبر الخطي. ستتطرق هذه المقالة إلى قسمين من الرياضيات العليا في وقت واحد، وسنرى كيف يتعايشان في غلاف واحد. خذ قسطا من الراحة، وتناول تويكس! ...اللعنة، يا لها من حفنة من الهراء. على الرغم من أنني لن أسجل، في النهاية، يجب أن يكون لديك موقف إيجابي تجاه الدراسة.

الاعتماد الخطي للمتجهات, استقلال المتجهات الخطية, أساس المتجهاتوالمصطلحات الأخرى ليس لها تفسير هندسي فحسب، بل لها، قبل كل شيء، معنى جبري. إن مفهوم "المتجه" من وجهة نظر الجبر الخطي ليس دائمًا المتجه "العادي" الذي يمكننا تصويره على المستوى أو في الفضاء. لا تحتاج إلى البحث بعيدًا عن الدليل، حاول رسم متجه للفضاء خماسي الأبعاد . أو ناقل الطقس الذي ذهبت إليه للتو إلى Gismeteo من أجل: – درجة الحرارة و الضغط الجويعلى التوالى. المثال، بالطبع، غير صحيح من وجهة نظر خصائص مساحة المتجه، ولكن، مع ذلك، لا أحد يمنع إضفاء الطابع الرسمي على هذه المعلمات كمتجه. نسمة خريف...

لا، لن أزعجك بالنظرية، فالمساحات المتجهة الخطية هي المهمة يفهمالتعاريف والنظريات. تنطبق المصطلحات الجديدة (الاعتماد الخطي، الاستقلال، التركيب الخطي، الأساس، وما إلى ذلك) على جميع المتجهات من وجهة نظر جبرية، ولكن سيتم تقديم أمثلة هندسية. وهكذا، كل شيء بسيط، ويمكن الوصول إليه وواضح. بالإضافة إلى مشاكل الهندسة التحليلية، سننظر أيضًا في بعضها المهام النموذجيةالجبر لإتقان المادة، يُنصح بالتعرف على الدروس ناقلات للدمىو كيفية حساب المحدد؟

الاعتماد الخطي واستقلال ناقلات الطائرة.
أساس الطائرة ونظام الإحداثيات

دعونا نفكر في مستوى مكتب الكمبيوتر الخاص بك (مجرد طاولة، أو طاولة بجانب السرير، أو أرضية، أو سقف، أو أي شيء تريده). ستتألف المهمة من الإجراءات التالية:

1) حدد أساس الطائرة. بشكل تقريبي، سطح الطاولة له طول وعرض، لذا فمن البديهي أن تكون هناك حاجة إلى متجهين لبناء الأساس. من الواضح أن ناقلًا واحدًا لا يكفي، وثلاثة ناقلات أكثر من اللازم.

2) بناء على الأساس المختار تعيين نظام الإحداثيات(شبكة الإحداثيات) لتعيين الإحداثيات لجميع الكائنات الموجودة في الجدول.

لا تتفاجأ، في البداية ستكون التفسيرات على الأصابع. وعلاوة على ذلك، على لك. يرجى المكان السبابة اليسرىعلى حافة الطاولة حتى ينظر إلى الشاشة. سيكون هذا ناقلًا. مكان الآن الاصبع الصغير اليد اليمنى على حافة الطاولة بنفس الطريقة - بحيث يتم توجيهها نحو شاشة المراقبة. سيكون هذا ناقلًا. ابتسم، أنت تبدو رائعا! ماذا يمكننا أن نقول عن المتجهات؟ نواقل البيانات على استطرادمما يعني خطييتم التعبير عنها من خلال بعضها البعض:
، حسنًا، أو العكس: حيث يختلف الرقم عن الصفر.

يمكنك رؤية صورة لهذا الإجراء في الفصل. ناقلات للدمىحيث شرحت قاعدة ضرب المتجه برقم.

هل ستضع أصابعك الأساس على سطح مكتب الكمبيوتر؟ من الواضح أنه لا. تنتقل المتجهات الخطية ذهابًا وإيابًا وحيدالاتجاه، والمستوى له طول وعرض.

تسمى هذه النواقل تعتمد خطيا.

مرجع: تشير الكلمات "خطي" و"خطي" إلى حقيقة أنه في المعادلات الرياضية، لا تحتوي التعبيرات على مربعات أو مكعبات أو قوى أخرى أو لوغاريتمات أو جيوب وما إلى ذلك. لا يوجد سوى تعبيرات وتبعيات خطية (الدرجة الأولى).

اثنين من ناقلات الطائرة تعتمد خطياإذا وفقط إذا كانت على خط واحد.

اشبك أصابعك على الطاولة بحيث تكون هناك أي زاوية بينهما غير 0 أو 180 درجة. اثنين من ناقلات الطائرةخطي لاتعتمد إذا وفقط إذا لم تكن على خط مستقيم. لذلك يتم الحصول على الأساس. لا داعي للشعور بالحرج من أن الأساس قد تبين أنه "منحرف" بمتجهات غير متعامدة ذات أطوال مختلفة. قريبًا جدًا سنرى أن الزاوية التي قياسها 90 درجة ليست فقط مناسبة لبناءها، وليس فقط ناقلات الوحدات ذات الطول المتساوي

أيناقلات الطائرة الطريقة الوحيدةيتم توسيعها على أساس:
، أين الأعداد الحقيقية. يتم استدعاء الأرقام إحداثيات المتجهاتعلى هذا الأساس.

ويقال ذلك أيضا المتجهقدمت كما تركيبة خطيةناقلات الأساس. أي أن التعبير يسمى تحلل ناقلاتعلى أساسأو تركيبة خطيةناقلات الأساس

على سبيل المثال، يمكننا القول إن المتجه متحلل على أساس متعامد للمستوى، أو يمكننا القول إنه ممثل كمجموعة خطية من المتجهات.

دعونا صياغة تعريف الأساسرسميا: أساس الطائرةيسمى زوج من المتجهات المستقلة خطياً (غير الخطية)، ، حيث أيالمتجه المستوي هو مزيج خطي من المتجهات الأساسية.

النقطة الأساسية في التعريف هي حقيقة أن المتجهات مأخوذة بترتيب معين. قواعد - هاتان قاعدتان مختلفتان تمامًا! كما يقولون، لا يمكنك استبدال إصبع يدك اليسرى بدلاً من إصبع يدك اليمنى.

لقد اكتشفنا الأساس، ولكن لا يكفي تعيين شبكة إحداثيات وتعيين إحداثيات لكل عنصر على مكتب الكمبيوتر الخاص بك. لماذا لا يكفي؟ النواقل حرة وتتجول في جميع أنحاء الطائرة بأكملها. إذًا كيف يمكنك تعيين إحداثيات لتلك البقع الصغيرة القذرة على الطاولة المتبقية من عطلة نهاية الأسبوع الجامحة؟ هناك حاجة إلى نقطة انطلاق. ومثل هذا المعلم هو نقطة مألوفة لدى الجميع - أصل الإحداثيات. دعونا نفهم نظام الإحداثيات:

سأبدأ بنظام "المدرسة". بالفعل في الدرس التمهيدي ناقلات للدمىلقد أبرزت بعض الاختلافات بين نظام الإحداثيات المستطيل والأساس المتعامد. وهذه هي الصورة القياسية:

عندما يتحدثون عن نظام الإحداثيات المستطيلة، فغالبًا ما يقصدون الأصل وتنسيق المحاور والقياس على طول المحاور. حاول كتابة "نظام الإحداثيات المستطيل" في محرك البحث، وسترى أن العديد من المصادر ستخبرك عن محاور الإحداثيات المألوفة من الصف الخامس إلى السادس وكيفية رسم النقاط على المستوى.

من ناحية أخرى، يبدو أنه يمكن تعريف نظام الإحداثيات المستطيل بشكل كامل من حيث الأساس المتعامد. وهذا صحيح تقريبا. الصياغة هي كما يلي:

أصل، و متعامدتم تعيين الأساس نظام الإحداثيات المستطيلة الديكارتية . أي نظام الإحداثيات المستطيل قطعاًيتم تعريفه بنقطة واحدة ومتجهين متعامدين للوحدة. ولهذا السبب ترى الرسم الذي قدمته أعلاه مشاكل هندسيةفي كثير من الأحيان (ولكن ليس دائمًا) يتم رسم المتجهات ومحاور الإحداثيات.

أعتقد أن الجميع يفهم ذلك باستخدام نقطة (الأصل) وأساس متعامد أي نقطة على الطائرة وأي ناقل على متن الطائرةيمكن تعيين الإحداثيات. بالمعنى المجازي، "كل شيء على متن الطائرة يمكن ترقيمه."

هل المتجهات الإحداثية مطلوبة لتكون وحدة؟ لا، يمكن أن يكون لها طول تعسفي غير الصفر. خذ بعين الاعتبار نقطة ومتجهين متعامدين بطول عشوائي غير صفري:

يسمى هذا الأساس متعامد. يتم تحديد أصل الإحداثيات مع المتجهات بواسطة شبكة إحداثيات، وأي نقطة على المستوى، أي متجه له إحداثياته ​​على أساس معين. على سبيل المثال، أو. الإزعاج الواضح هو أن المتجهات الإحداثية الخامس الحالة العامة لها أطوال مختلفة غير الوحدة. إذا كانت الأطوال تساوي الوحدة، فسيتم الحصول على الأساس المتعامد المعتاد.

! ملحوظة : في الأساس المتعامد، وكذلك أدناه في القواعد المتقاربة للمستوى والفضاء، يتم اعتبار الوحدات على طول المحاور الشرط. على سبيل المثال، وحدة واحدة على طول المحور السيني تحتوي على 4 سم، ووحدة واحدة على طول المحور الإحداثي تحتوي على 2 سم، وهذه المعلومات كافية، إذا لزم الأمر، لتحويل الإحداثيات "غير القياسية" إلى "السنتيمترات المعتادة".

والسؤال الثاني، الذي تمت الإجابة عليه بالفعل، هو ما إذا كان قياس الزاوية بين متجهات الأساس يساوي 90 درجة؟ لا! وكما ينص التعريف، يجب أن تكون المتجهات الأساسية فقط غير خطية. وفقا لذلك، يمكن أن تكون الزاوية أي شيء ما عدا 0 و 180 درجة.

نقطة على الطائرة تسمى أصل، و غير خطيةثلاثة أبعاد، ، تعيين نظام إحداثيات الطائرة :

في بعض الأحيان يتم استدعاء نظام الإحداثيات هذا منحرف - مائلنظام. كأمثلة، يوضح الرسم النقاط والمتجهات:

كما تفهم، فإن نظام الإحداثيات المتقاربة أقل ملاءمة؛ فالصيغ الخاصة بأطوال المتجهات والقطاعات، التي ناقشناها في الجزء الثاني من الدرس، لا تعمل فيه ناقلات للدمى، العديد من الصيغ اللذيذة المتعلقة المنتج العددي للمتجهات. لكن قواعد إضافة المتجهات وضرب المتجه برقم، وصيغ تقسيم القطعة في هذه العلاقة، بالإضافة إلى بعض أنواع المشكلات الأخرى التي سننظر فيها قريبًا، هي قواعد صالحة.

والاستنتاج هو أن الحالة الخاصة الأكثر ملاءمة لنظام الإحداثيات المتقاربة هي النظام الديكارتي المستطيل. لهذا السبب عليك في أغلب الأحيان رؤيتها يا عزيزتي. ...ومع ذلك، كل شيء في هذه الحياة نسبي - هناك العديد من المواقف التي تكون فيها الزاوية المائلة (أو زاوية أخرى، على سبيل المثال) القطبية) نظام الإحداثيات. وقد يحب البشر مثل هذه الأنظمة =)

دعنا ننتقل إلى الجزء العملي. جميع المسائل في هذا الدرس صالحة لكل من نظام الإحداثيات المستطيل والحالة العامة. لا يوجد شيء معقد هنا، فكل المواد متاحة حتى لتلميذ المدرسة.

كيفية تحديد العلاقة الخطية المتداخلة من ناقلات الطائرة؟

شيء نموذجي. من أجل اثنين من ناقلات الطائرة إذا كانت على خط واحد، فمن الضروري والكافي أن تكون إحداثياتها المقابلة متناسبةفي الأساس، هذا عبارة عن تفصيل تنسيقي تلو الآخر للعلاقة الواضحة.

مثال 1

أ) تحقق مما إذا كانت المتجهات على خط واحد .
ب) هل تشكل المتجهات أساسًا؟ ?

حل:
أ) دعونا نعرف ما إذا كان هناك نواقل معامل التناسب، بحيث يتم استيفاء المساواة:

سأخبرك بالتأكيد عن النسخة "المرنة" من تطبيق هذه القاعدة، والتي تعمل بشكل جيد في الممارسة العملية. الفكرة هي تكوين النسبة على الفور ومعرفة ما إذا كانت صحيحة:

لنقم بعمل نسبة من نسب الإحداثيات المقابلة للمتجهات:

دعونا نختصر:
وبالتالي فإن الإحداثيات المقابلة متناسبة، وبالتالي،

ويمكن إجراء العلاقة بالعكس، وهذا خيار مكافئ:

للاختبار الذاتي، يمكنك استخدام حقيقة ذلك ناقلات خطيةيتم التعبير عنها خطيًا من خلال بعضها البعض. في هذه الحالة، تحدث المساواة . يمكن التحقق من صحتها بسهولة من خلال العمليات الأولية باستخدام المتجهات:

ب) يشكل متجهان مستويان أساسًا إذا لم يكونا على خط واحد (مستقلين خطيًا). نحن نفحص المتجهات من أجل العلاقة الخطية المتداخلة . لنقم بإنشاء نظام:

من المعادلة الأولى يتبع ذلك، ومن المعادلة الثانية يتبع ذلك، مما يعني النظام غير متناسق(لا توجد حلول). وبالتالي، فإن الإحداثيات المقابلة للمتجهات ليست متناسبة.

خاتمة: المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا.

تبدو النسخة المبسطة من الحل كما يلي:

لنقم بعمل نسبة من الإحداثيات المقابلة للمتجهات :
مما يعني أن هذه المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا.

عادة لا يتم رفض هذا الخيار من قبل المراجعين، ولكن تنشأ مشكلة في الحالات التي تكون فيها بعض الإحداثيات تساوي الصفر. مثله: . او مثل هذا: . او مثل هذا: . كيفية العمل من خلال التناسب هنا؟ (في الواقع، لا يمكنك القسمة على صفر). ولهذا السبب أطلقت على الحل المبسط اسم "foppish".

إجابة:أ) ، ب) النموذج.

مثال إبداعي صغير للحل الخاص بك:

مثال 2

عند أي قيمة للمعلمة توجد المتجهات هل سيكونون على خط واحد؟

في حل العينة، تم العثور على المعلمة من خلال النسبة.

هناك طريقة جبرية أنيقة للتحقق من العلاقة الخطية بين المتجهات، فلننظم معرفتنا ونضيفها كنقطة خامسة:

بالنسبة لمتجهين مستويين، تكون العبارات التالية متكافئة:

2) تشكل المتجهات الأساس؛
3) المتجهات ليست على خط مستقيم؛

+ 5) المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات غير صفر.

على التوالى، العبارات المعاكسة التالية متكافئة:
1) المتجهات تعتمد خطيا؛
2) المتجهات لا تشكل الأساس؛
3) المتجهات على خط واحد.
4) يمكن التعبير عن المتجهات خطيًا من خلال بعضها البعض؛
+ 5) المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات يساوي صفر.

أنا حقا آمل ذلك هذه اللحظةأنت تفهم بالفعل جميع الشروط والبيانات التي تصادفك.

دعونا نلقي نظرة فاحصة على النقطة الخامسة الجديدة: اثنين من ناقلات الطائرة تكون على خطية واحدة فقط إذا كان المحدد المكون من إحداثيات المتجهات المعطاة يساوي الصفر:. لتطبيق هذه الميزة، بالطبع، يجب أن تكون قادرًا على ذلك العثور على المحددات.

دعونا نقررمثال 1 بالطريقة الثانية:

أ) دعونا نحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات :
مما يعني أن هذه المتجهات على خط واحد.

ب) يشكل متجهان مستويان أساسًا إذا لم يكونا على خط واحد (مستقلين خطيًا). دعونا نحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات :
مما يعني أن المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا.

إجابة:أ) ، ب) النموذج.

يبدو أكثر إحكاما وأجمل من الحل ذو النسب.

وبمساعدة المادة التي تم دراستها، من الممكن ليس فقط إثبات العلاقة الخطية المتداخلة بين المتجهات، ولكن أيضًا إثبات توازي المقاطع والخطوط المستقيمة. دعونا نفكر في بعض المشاكل المتعلقة بأشكال هندسية محددة.

مثال 3

يتم إعطاء رؤوس الشكل الرباعي. أثبت أن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

دليل: ليست هناك حاجة لإنشاء رسم في المشكلة، حيث أن الحل سيكون تحليليًا بحتًا. دعونا نتذكر تعريف متوازي الأضلاع:
متوازي الاضلاع يسمى الشكل الرباعي الذي تكون أضالعه المتقابلة متوازية في أزواج .

ولذلك لا بد من إثبات:
1) التوازي بين الجانبين المتقابلين و؛
2) التوازي بين الجانبين المتقابلين و.

نثبت:

1) ابحث عن المتجهات:

2) ابحث عن المتجهات:

والنتيجة هي نفس المتجه ("حسب المدرسة" - ناقلات متساوية). العلاقة الخطية المتداخلة واضحة تمامًا، ولكن من الأفضل إضفاء الطابع الرسمي على القرار بشكل واضح، مع الترتيب. لنحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات:
، وهو ما يعني أن هذه المتجهات على خط واحد، و.

خاتمة: الضلعان المتقابلان في الشكل الرباعي متوازيان في أزواج، مما يعني أنه متوازي أضلاع بحكم التعريف. Q.E.D.

المزيد من الشخصيات الجيدة والمختلفة:

مثال 4

يتم إعطاء رؤوس الشكل الرباعي. أثبت أن الشكل الرباعي هو شبه منحرف.

للحصول على صياغة أكثر صرامة للدليل، من الأفضل، بالطبع، الحصول على تعريف شبه منحرف، ولكن يكفي أن نتذكر ببساطة كيف يبدو.

هذه مهمة عليك حلها بنفسك. الحل الكامل في نهاية الدرس.

والآن حان الوقت للانتقال ببطء من الطائرة إلى الفضاء:

كيفية تحديد العلاقة الخطية المتداخلة من المتجهات الفضائية؟

القاعدة مشابهة جدا. لكي يكون متجهان فضائيان على خط واحد، من الضروري والكافي أن تكون إحداثياتهما المقابلة متناسبة.

مثال 5

اكتشف ما إذا كانت المتجهات الفضائية التالية على خط واحد:

أ) ؛
ب)
الخامس)

حل:
أ) دعونا نتحقق مما إذا كان هناك معامل تناسب للإحداثيات المقابلة للمتجهات:

ليس لدى النظام حل، مما يعني أن المتجهات ليست على خط واحد.

يتم إضفاء الطابع الرسمي على "المبسطة" عن طريق التحقق من النسبة. في هذه الحالة:
- الإحداثيات المتناظرة غير متناسبة، مما يعني أن المتجهات ليست على خط مستقيم.

إجابة:المتجهات ليست على خط واحد.

ب-ج) هذه نقاط للقرار المستقل. جربه بطريقتين.

توجد طريقة للتحقق من المتجهات المكانية للعلاقة الخطية المتداخلة من خلال محدد من الدرجة الثالثة؛ تم تناول هذه الطريقة في المقالة منتج متجه من المتجهات.

وكما هو الحال في الحالة المستوية، يمكن استخدام الأدوات المدروسة لدراسة توازي الأجزاء المكانية والخطوط المستقيمة.

مرحبا بكم في القسم الثاني:

الاعتماد الخطي واستقلال المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد.
الأساس المكاني ونظام الإحداثيات التقاربي

العديد من الأنماط التي درسناها على المستوى ستكون صالحة للفضاء. حاولت التقليل من الملاحظات النظرية، حيث أن حصة الأسد من المعلومات قد تم مضغها بالفعل. لكن أنصحك بقراءة الجزء التمهيدي بعناية، حيث ستظهر مصطلحات ومفاهيم جديدة.

الآن، بدلًا من سطح مكتب الكمبيوتر، نستكشف الفضاء ثلاثي الأبعاد. أولا، دعونا ننشئ أساسها. شخص ما الآن في الداخل، وآخر في الخارج، ولكن على أي حال، لا يمكننا الهروب من ثلاثة أبعاد: العرض والطول والارتفاع. لذلك، لبناء الأساس، ستكون هناك حاجة إلى ثلاثة ناقلات مكانية. واحد أو اثنين من المتجهات لا يكفي، والرابع غير ضروري.

ومرة أخرى نقوم بالإحماء على أصابعنا. من فضلك ارفع يدك وانشرها جوانب مختلفة الإبهام والسبابة والإصبع الأوسط. ستكون هذه متجهات، وتبدو في اتجاهات مختلفة، ولها أطوال مختلفة، ولها زوايا مختلفة فيما بينها. تهانينا، أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد جاهز! وبالمناسبة، ليست هناك حاجة لإثبات ذلك للمعلمين، مهما لويت أصابعك بقوة، ولكن لا مفر من التعريفات =)

وبعد ذلك دعونا نسأل أنفسنا سؤالاً مهماً: هل تشكل أي ناقلات ثلاثة أساسًا للفضاء ثلاثي الأبعاد؟؟ يرجى الضغط بثلاثة أصابع بقوة على الجزء العلوي من مكتب الكمبيوتر. ماذا حدث؟ توجد ثلاثة نواقل في نفس المستوى، وبشكل تقريبي، فقدنا أحد الأبعاد - الارتفاع. هذه النواقل هي متحد المستوىومن الواضح تمامًا أنه لم يتم إنشاء أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد.

تجدر الإشارة إلى أن المتجهات المستوية ليس من الضروري أن تقع في نفس المستوى، بل يمكن أن تكون فيه طائرات متوازية(فقط لا تفعل ذلك بأصابعك، فقط سلفادور دالي هو الذي قام بهذه الطريقة =)).

تعريف: تسمى المتجهات متحد المستوى، إذا كان هناك مستوى موازٍ له. ومن المنطقي أن نضيف هنا أنه إذا لم يكن هذا المستوى موجودًا، فلن تكون المتجهات متحدة المستوى.

ثلاثة نواقل مستوية تعتمد دائمًا خطيًاأي أنه يتم التعبير عنها خطيًا من خلال بعضها البعض. للتبسيط، دعونا نتخيل مرة أخرى أنهما يقعان في نفس المستوى. أولاً، المتجهات ليست مستوية فحسب، بل يمكن أيضًا أن تكون على خط واحد، ومن ثم يمكن التعبير عن أي متجه من خلال أي متجه. في الحالة الثانية، على سبيل المثال، إذا لم تكن المتجهات على خط واحد، فسيتم التعبير عن المتجه الثالث من خلالها بطريقة فريدة: (ولماذا يسهل تخمينه من المواد الموجودة في القسم السابق).

والعكس صحيح أيضا: ثلاثة نواقل غير متحدة المستوى تكون دائمًا مستقلة خطيًاأي أنه لا يتم التعبير عنهما بأي شكل من الأشكال من خلال بعضهما البعض. ومن الواضح أن هذه المتجهات فقط هي التي يمكنها تشكيل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد.

تعريف: أساس الفضاء ثلاثي الأبعادتسمى ثلاثية من المتجهات المستقلة خطياً (غير متحدة المستوى)، اتخذت في ترتيب معينوأي متجه للفضاء الطريقة الوحيدةمتحللة على أساس معين، أين هي إحداثيات المتجه في هذا الأساس

دعني أذكرك أنه يمكننا أيضًا القول إن المتجه ممثل في الصورة تركيبة خطيةناقلات الأساس

يتم تقديم مفهوم نظام الإحداثيات بنفس الطريقة تمامًا كما هو الحال في الحالة المستوية؛ حيث تكفي نقطة واحدة وأي ثلاثة متجهات مستقلة خطيًا:

أصل، و غير متحد المستوىثلاثة أبعاد، اتخذت في ترتيب معين، تعيين نظام الإحداثيات المتقارب للفضاء ثلاثي الأبعاد :

بالطبع، شبكة الإحداثيات "مائلة" وغير مريحة، ولكن مع ذلك، فإن نظام الإحداثيات المبني يسمح لنا بذلك قطعاًتحديد إحداثيات أي متجه وإحداثيات أي نقطة في الفضاء. كما هو الحال مع المستوى، فإن بعض الصيغ التي ذكرتها بالفعل لن تعمل في نظام الإحداثيات المتقارب للفضاء.

الحالة الخاصة الأكثر شيوعًا وملاءمة لنظام الإحداثيات المتقاربة، كما يخمن الجميع، هي نظام إحداثيات الفضاء المستطيل:

نقطة في الفضاء تسمى أصل، و متعامدتم تعيين الأساس نظام الإحداثيات الفضائية المستطيلة الديكارتية . صورة مألوفة:

قبل الانتقال إلى المهام العملية، دعونا ننظم المعلومات مرة أخرى:

بالنسبة لثلاثة متجهات فضائية، تكون العبارات التالية متكافئة:
1) المتجهات مستقلة خطياً؛
2) تشكل المتجهات الأساس؛
3) المتجهات ليست مستوية؛
4) لا يمكن التعبير عن المتجهات خطيًا من خلال بعضها البعض؛
5) المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات يختلف عن الصفر.

أعتقد أن التصريحات المعاكسة مفهومة.

يتم التحقق تقليديًا من الاعتماد الخطي/استقلال المتجهات الفضائية باستخدام المحدد (النقطة 5). متبقي المهام العمليةسيكون لها طابع جبري واضح. لقد حان الوقت لتعليق عصا الهندسة وممارسة مضرب البيسبول للجبر الخطي:

ثلاثة ناقلات للفضاءتكون مستوية إذا وفقط إذا كان المحدد المكون من إحداثيات المتجهات المعطاة يساوي الصفر: .

أود أن ألفت انتباهكم إلى فارق بسيط تقني: يمكن كتابة إحداثيات المتجهات ليس فقط في الأعمدة، ولكن أيضًا في الصفوف (لن تتغير قيمة المحدد بسبب هذا - راجع خصائص المحددات). لكنه أفضل بكثير في الأعمدة، لأنه أكثر فائدة في حل بعض المشاكل العملية.

بالنسبة لأولئك القراء الذين نسوا قليلاً طرق حساب المحددات، أو ربما ليس لديهم فهم يذكر لها على الإطلاق، أوصي بأحد أقدم دروسي: كيفية حساب المحدد؟

مثال 6

تحقق مما إذا كانت المتجهات التالية تشكل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد:

حل: في الواقع، الحل بأكمله يكمن في حساب المحدد.

أ) لنحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات (يتم الكشف عن المحدد في السطر الأول):

مما يعني أن المتجهات مستقلة خطيًا (وليست متحدة المستوى) وتشكل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد.

إجابة: هذه المتجهات تشكل الأساس

ب) هذه نقطة للقرار المستقل. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

هناك أيضًا مهام إبداعية:

مثال 7

عند أي قيمة للمعلمة ستكون المتجهات مستوية؟

حل: تكون المتجهات مستوية إذا وفقط إذا كان المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات يساوي الصفر:

في الأساس، تحتاج إلى حل معادلة ذات محدد. نحن ننقض على الأصفار مثل الطائرات الورقية على الجربوع - من الأفضل فتح المحدد في السطر الثاني والتخلص فورًا من السلبيات:

نقوم بإجراء مزيد من التبسيط ونقلل الأمر إلى أبسط الأمور معادلة خط مستقيم:

إجابة: في

من السهل التحقق هنا؛ للقيام بذلك، تحتاج إلى التعويض بالقيمة الناتجة في المحدد الأصلي والتأكد من ذلك ، فتحه مرة أخرى.

في الختام، دعونا ننظر إلى واحد آخر مهمة نموذجية، وهو أكثر جبرية بطبيعته ويتم تضمينه تقليديًا في سياق الجبر الخطي. إنه أمر شائع جدًا لدرجة أنه يستحق موضوعًا خاصًا به:

أثبت أن 3 نواقل تشكل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد
وأوجد إحداثيات المتجه الرابع على هذا الأساس

مثال 8

يتم إعطاء المتجهات. وضح أن المتجهات تشكل أساسًا في فضاء ثلاثي الأبعاد وأوجد إحداثيات المتجه في هذا الأساس.

حل: أولا، دعونا نتعامل مع هذه الحالة. حسب الشرط، يتم إعطاء أربعة متجهات، وكما ترون، لديهم بالفعل إحداثيات في بعض الأساس. ما هو هذا الأساس لا يهمنا. والشيء التالي مثير للاهتمام: ثلاثة نواقل قد تشكل أساسًا جديدًا. وتتوافق المرحلة الأولى تمامًا مع حل المثال 6؛ ومن الضروري التحقق مما إذا كانت المتجهات مستقلة خطيًا حقًا:

لنحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات:

مما يعني أن المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد.

! مهم : إحداثيات المتجهات بالضرورةاكتب إلى أعمدةالمحدد، وليس في السلاسل. خلاف ذلك، سيكون هناك ارتباك في خوارزمية الحل الإضافية.