يتم أخذ أمثلة لحساب المشتقات ذات الترتيب الأعلى للوظائف الصريحة في الاعتبار. يتم تقديم صيغ مفيدة لحساب مشتقات الرتبة n.
محتوىتحديد المشتقات ذات الترتيب الأعلى
نتناول هنا الحالة التي يعتمد فيها المتغير y على المتغير x بشكل صريح:
.
بتفاضل الدالة بالنسبة للمتغير x نحصل على المشتقة من الدرجة الأولى، أو ببساطة المشتقة:
.
ونتيجة لذلك، نحصل على دالة جديدة، وهي مشتقة من الدالة. وبتمييز هذه الدالة الجديدة بالنسبة للمتغير x نحصل على المشتقة من الدرجة الثانية:
.
بتفاضل الدالة نحصل على مشتق من الدرجة الثالثة:
.
وما إلى ذلك وهلم جرا. بتفاضل الدالة الأصلية n مرات، نحصل على مشتق الرتبة n أو المشتق n:
.
يمكن الإشارة إلى المشتقاتالخطوط والأرقام الرومانية والأرقام العربية بين قوسين أو كسور من الفروق. على سبيل المثال، يمكن الإشارة إلى مشتقات الأمرين الثالث والرابع على النحو التالي:
;
.
فيما يلي الصيغ التي قد تكون مفيدة في حساب المشتقات ذات الترتيب الأعلى.
صيغ مفيدة للمشتقات من الدرجة n
مشتقات بعض وظائف أولية
:
;
;
;
;
.
مشتق من مجموع الوظائف:
,
أين الثوابت.
صيغة لايبنتز مشتق من منتج وظيفتين:
,
أين
- معاملات ذات الحدين.
مثال 1
أوجد المشتقتين الأولى والثانية للدالة التالية:
.
نجد مشتقة الدرجة الأولى.نأخذ الثابت خارج علامة المشتقة ونطبق الصيغة من جدول المشتقات:
.
نحن نطبق قاعدة التمايز بين الوظائف المعقدة:
.
هنا .
نطبق قاعدة اشتقاق دالة معقدة ونستخدم المشتقات الموجودة:
.
هنا .
.
لإيجاد المشتقة من الدرجة الثانية، علينا إيجاد مشتقة المشتقة من الدرجة الأولى، أي الدالة:
.
لتجنب الخلط مع الترميز، دعنا نشير إلى هذه الوظيفة بالحرف:
(أ1.1) .
ثم مشتق من الدرجة الثانيةمن الوظيفة الأصلية هو مشتق الوظيفة:
.
إيجاد مشتقة الدالة من الأسهل القيام بذلك باستخدام المشتق اللوغاريتمي. لنقوم باللوغاريتم (A1.1):
.
الآن دعونا نفرق:
(أ1.2) .
لكنها ثابتة. مشتقتها صفر. لقد وجدنا بالفعل مشتقة. نوجد المشتقات المتبقية باستخدام قاعدة اشتقاق دالة مركبة.
;
;
.
نعوض في (A1.2):
.
من هنا
.
;
.
مثال 2
أوجد مشتقة الدرجة الثالثة:
.
العثور على مشتق من الدرجة الأولى. للقيام بذلك، نأخذ الثابت خارج إشارة المشتقة ونستخدمه جدول المشتقاتوتطبيق قاعدة لإيجاد مشتقة دالة معقدة .
.
هنا .
لذلك وجدنا المشتقة من الدرجة الأولى:
.
العثور على مشتق الدرجة الثانية. للقيام بذلك، نجد مشتقة . نحن نطبق صيغة الكسر المشتقة.
.
مشتقة الدرجة الثانية:
.
الآن نجد ما نبحث عنه مشتق من الدرجة الثالثة. للقيام بذلك، نحن نفرق.
;
;
.
مشتق الدرجة الثالثة يساوي
.
مثال 3
أوجد المشتقة السادسة للدالة التالية:
.
إذا قمت بفتح الأقواس، سيكون من الواضح أن الدالة الأصلية هي كثيرة الحدود من الدرجة. لنكتبها على أنها كثيرة الحدود:
,
حيث هي معاملات ثابتة.
التالي نطبق الصيغة نمشتق من وظيفة السلطة:
.
للمشتقة من الدرجة السادسة (ن = 6
) لدينا:
.
ومن هذا يتضح أنه في . عندما نمتلك:
.
نستخدم صيغة مشتقة مجموع الوظائف:
.
وبالتالي، لإيجاد المشتقة السادسة للدالة الأصلية، نحتاج فقط إلى إيجاد معامل كثيرة الحدود عند أعلى درجة. نجدها بضرب القوى الأعلى في حاصل ضرب مجموع الدالة الأصلية:
.
من هنا. ثم
.
مثال 4
أوجد المشتقة n للدالة
.
مثال 5
أوجد المشتقة النونية للدالة التالية:
,
أين و الثوابت.
في هذا المثال، من الملائم إجراء العمليات الحسابية باستخدام الأعداد المركبة. دعونا نحصل على بعض الوظائف المعقدة
(أ5.1) ,
أين و هي وظائف المتغير الحقيقي x؛
- الوحدة التخيلية .
باشتقاق (أ.1) ن من المرات، نحصل على:
(أ5.2) .
في بعض الأحيان يكون من الأسهل العثور على المشتقة n للدالة. ثم يتم تعريف المشتقات النونية للدوال على أنها الأجزاء الحقيقية والتخيلية للمشتق النوني:
;
.
دعونا نستخدم هذه التقنية لحل مثالنا. النظر في الوظيفة
.
هنا قمنا بتطبيق صيغة أويلر
,
وقدم التسمية
.
ثم يتم تحديد المشتقة n للدالة الأصلية بالصيغة:
.
دعونا نجد المشتقة n للدالة
.
للقيام بذلك نطبق الصيغة:
.
في حالتنا هذه
.
ثم
.
لذلك، وجدنا المشتقة النونية للدالة المعقدة:
,
أين .
دعونا نجد الجزء الحقيقي من الوظيفة.
للقيام بذلك، دعونا نتخيل عدد مركبفي شكل توضيحي:
,
أين ؛
;
.
ثم
;
.
الحل المثال
.
يترك ، .
ثم ؛
.
في ،
,
,
.
ونحصل على صيغة المشتق النوني لجيب التمام:
.
,
أين
;
.
النظر في وظيفة من متغيرين:
بما أن المتغيرين $x$ و $y$ مستقلان، فيمكننا تقديم مفهوم المشتق الجزئي لمثل هذه الوظيفة:
المشتق الجزئي للدالة $f$ عند النقطة $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ بالنسبة للمتغير $x$ هو الحد
\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \right))(\Delta x)\]
وبالمثل، يمكنك تحديد المشتقة الجزئية فيما يتعلق بالمتغير $y$ :
\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\]
بمعنى آخر، للعثور على المشتقة الجزئية لدالة ذات عدة متغيرات، تحتاج إلى إصلاح جميع المتغيرات الأخرى باستثناء المتغير المطلوب، ثم العثور على المشتقة العادية فيما يتعلق بهذا المتغير المطلوب.
يؤدي هذا إلى الأسلوب الرئيسي لحساب هذه المشتقات: افترض ببساطة أن جميع المتغيرات باستثناء هذا واحد هي ثابتة، ثم قم بتمييز الدالة كما لو كنت تفرق بين دالة "عادية" - بمتغير واحد. على سبيل المثال:
$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2 )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ رئيسي )_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(محاذاة)$
من الواضح أن المشتقات الجزئية فيما يتعلق بالمتغيرات المختلفة تعطي إجابات مختلفة - وهذا أمر طبيعي. والأهم من ذلك بكثير أن نفهم لماذا، على سبيل المثال، قمنا في الحالة الأولى بإزالة $10y$ بهدوء من تحت علامة المشتقة، وفي الحالة الثانية قمنا بإلغاء الحد الأول تمامًا. كل هذا يرجع إلى حقيقة أن جميع الحروف، باستثناء المتغير الذي يتم من خلاله التمايز، تعتبر ثوابت: يمكن إخراجها أو "حرقها" وما إلى ذلك.
ما هو "المشتق الجزئي"؟
سنتحدث اليوم عن دوال عدة متغيرات ومشتقاتها الجزئية. أولا، ما هي وظيفة عدة متغيرات؟ حتى الآن، اعتدنا على اعتبار دالة $y\left(x \right)$ أو $t\left(x \right)$، أو أي متغير ودالة واحدة منه. الآن سيكون لدينا دالة واحدة، ولكن عدة متغيرات. مع تغير $y$ و$x$، ستتغير قيمة الدالة. على سبيل المثال، إذا تضاعف $x$، فستتغير قيمة الدالة، وإذا تغير $x$، ولكن $y$ لم يتغير، فستتغير قيمة الدالة بنفس الطريقة.
بالطبع، يمكن اشتقاق دالة ذات عدة متغيرات، تمامًا مثل دالة متغير واحد. ومع ذلك، نظرًا لوجود العديد من المتغيرات، فمن الممكن التمييز وفقًا لمتغيرات مختلفة. في هذه الحالة، تنشأ قواعد محددة لم تكن موجودة عند التمييز بين متغير واحد.
أولًا، عندما نحسب مشتقة دالة من أي متغير، يتعين علينا الإشارة إلى المتغير الذي نحسب المشتقة له - وهذا ما يسمى المشتقة الجزئية. على سبيل المثال، لدينا دالة مكونة من متغيرين، ويمكننا حسابها بـ $x$ و$y$ - مشتقتين جزئيتين لكل متغير.
ثانيًا، بمجرد أن نصلح أحد المتغيرات ونبدأ في حساب المشتقة الجزئية بالنسبة إليه، فإن جميع المتغيرات الأخرى المدرجة في هذه الدالة تعتبر ثوابت. على سبيل المثال، في $z\left(xy \right)$، إذا اعتبرنا المشتق الجزئي بالنسبة إلى $x$، فأينما واجهنا $y$، فإننا نعتبره ثابتًا ونعامله على هذا النحو. على وجه الخصوص، عند حساب مشتق منتج ما، يمكننا إخراج $y$ من الأقواس (لدينا ثابت)، وعند حساب مشتقة المجموع، إذا حصلنا في مكان ما على مشتق تعبير يحتوي على $y$ و لا يحتوي على $x$، فإن مشتق هذا التعبير سيكون مساويًا لـ "صفر" كمشتق للثابت.
للوهلة الأولى قد يبدو أنني أتحدث عن شيء معقد، وفي البداية يقع الكثير من الطلاب في حيرة من أمرهم. ومع ذلك، لا يوجد شيء خارق للطبيعة في المشتقات الجزئية، والآن سنرى ذلك باستخدام مثال المسائل المحددة.
مشاكل مع الجذور ومتعددة الحدود
المهمة رقم 1
ولكي لا نضيع الوقت، لنبدأ من البداية بأمثلة جادة.
في البداية، دعني أذكرك بهذه الصيغة:
هذه هي قيمة الجدول القياسية التي نعرفها من الدورة القياسية.
في هذه الحالة، يتم حساب المشتق $z$ على النحو التالي:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]
دعونا نفعل ذلك مرة أخرى، نظرًا لأن الجذر ليس $x$، ولكن بعض التعبيرات الأخرى، في هذه الحالة $\frac(y)(x)$، فسنستخدم أولاً قيمة الجدول القياسية، وبعد ذلك، بما أن الجذر هو وليس $x $، وتعبيرًا آخر، نحتاج إلى ضرب مشتقتنا بواحد آخر من هذا التعبير فيما يتعلق بنفس المتغير. لنحسب أولا ما يلي:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]
نعود إلى تعبيرنا ونكتب:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]
في الأساس، هذا كل شيء. ومع ذلك، من الخطأ تركها بهذا الشكل: مثل هذا البناء غير مناسب للاستخدام لمزيد من الحسابات، لذلك دعونا نحوله قليلاً:
\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]
\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]
لقد تم العثور على الجواب. الآن دعونا نتعامل مع $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]
دعنا نكتبها بشكل منفصل:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]
والآن نكتب:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]
\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]
منتهي.
المشكلة رقم 2
هذا المثال أبسط وأكثر تعقيدًا من المثال السابق. إنه أكثر تعقيدًا لأن هناك المزيد من الإجراءات، ولكنه أبسط لأنه لا يوجد جذر، وبالإضافة إلى ذلك، فإن الدالة متماثلة فيما يتعلق بـ $x$ و $y$، أي. إذا قمنا بتبديل $x$ و$y$، فلن تتغير الصيغة. هذه الملاحظة سوف تزيد من تبسيط حسابنا للمشتق الجزئي، أي. يكفي حساب واحد منهم، وفي الثاني ببساطة قم بتبديل $x$ و $y$.
دعونا ننكب على العمل:
\[(((ض)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right )^(\prime )_(x)=\frac((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (ص)^(2))+1 \يمين)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \يمين))^(\رئيسي ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]
دعونا نحسب:
\[((\left(xy \right))^(\prime )))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]
ومع ذلك، فإن العديد من الطلاب لا يفهمون هذا الترميز، لذلك دعونا نكتبه على النحو التالي:
\[((\left(xy \right))^(\prime )))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]
وهكذا، نحن مقتنعون مرة أخرى بعالمية خوارزمية المشتقة الجزئية: بغض النظر عن كيفية حسابها، إذا تم تطبيق جميع القواعد بشكل صحيح، فإن الإجابة ستكون هي نفسها.
الآن دعونا نلقي نظرة على مشتق جزئي آخر من صيغتنا الكبيرة:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \يمين))^(\رئيسي )))_(x)+((\left(((y)^(2)) \يمين))^(\رئيسي))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]
دعنا نستبدل التعبيرات الناتجة في صيغتنا ونحصل على:
\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime )))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ يمين)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left (((x)^(2))+((ص)^(2))+1 \يمين))^(2)))=\]
\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)((\left((( x)^(2))+((ص)^(2))+1 \يمين))^(2)))=\]
\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ يسار(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \يمين))^(2))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \يمين))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \يمين))^(2 )))\]
بناءً على حساب $x$. ولحساب $y$ من نفس التعبير، دعونا لا ننفذ نفس تسلسل الإجراءات، ولكن نستفيد من تماثل تعبيرنا الأصلي - نحن ببساطة نستبدل كل $y$ في تعبيرنا الأصلي بـ $x$ والعكس صحيح:
\[(((ض)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]
بسبب التماثل، قمنا بحساب هذا التعبير بشكل أسرع بكثير.
الفروق الدقيقة في الحل
بالنسبة للمشتقات الجزئية، تعمل جميع الصيغ القياسية التي نستخدمها للمشتقات العادية، وهي مشتقة خارج القسمة. ولكن في الوقت نفسه، تنشأ ميزات محددة: إذا اعتبرنا المشتقة الجزئية لـ $x$، فعندما نحصل عليها من $x$، نعتبرها ثابتة، وبالتالي فإن مشتقتها ستكون مساوية "صفر" .
وكما هو الحال في المشتقات العادية، يمكن حساب الجزئية (نفسها) بعدة طرق مختلفة. على سبيل المثال، يمكن إعادة كتابة نفس البناء الذي حسبناه للتو على النحو التالي:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\رئيسي))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]
وفي الوقت نفسه، من ناحية أخرى، يمكنك استخدام الصيغة من مجموع المشتق. وكما نعلم، فهو يساوي مجموع المشتقات. على سبيل المثال لنكتب ما يلي:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]
الآن، بعد أن عرفنا كل هذا، دعونا نحاول التعامل مع تعبيرات أكثر جدية، حيث أن المشتقات الجزئية الحقيقية لا تقتصر على كثيرات الحدود والجذور فقط: هناك أيضًا علم المثلثات واللوغاريتمات والدالة الأسية. الآن دعونا نفعل هذا.
مشاكل مع الدوال المثلثية واللوغاريتمات
المهمة رقم 1
دعونا نكتب الصيغ القياسية التالية:
\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]
\[((\left(\cos x \right))^(\prime )_(x)=-\sin x\]
متسلحين بهذه المعرفة، دعونا نحاول حل:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
دعنا نكتب متغيرًا واحدًا بشكل منفصل:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime )))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
دعنا نعود إلى تصميمنا:
\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( ذ)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
هذا كل شيء، لقد وجدناه لـ $x$، والآن لنقم بحسابات $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
مرة أخرى، دعونا نحسب تعبيرًا واحدًا:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime )))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime )))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (ص)^(2)))) \يمين)\]
نعود إلى التعبير الأصلي ونواصل الحل:
\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]
منتهي.
المشكلة رقم 2
دعنا نكتب الصيغة التي نحتاجها:
\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]
الآن لنعد بـ $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]
تم العثور عليه مقابل $x$. نحن نحسب بواسطة $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]
حلت المشكلة.
الفروق الدقيقة في الحل
لذا، بغض النظر عن الدالة التي نأخذ المشتقة الجزئية لها، تظل القواعد كما هي، بغض النظر عما إذا كنا نتعامل مع علم المثلثات أو الجذور أو اللوغاريتمات.
تظل القواعد الكلاسيكية للعمل مع المشتقات القياسية دون تغيير، وهي مشتقة المجموع والفرق، والحاصل والدالة المعقدة.
غالبًا ما يتم العثور على الصيغة الأخيرة عند حل المشكلات ذات المشتقات الجزئية. نلتقي بهم في كل مكان تقريبًا. لم تكن هناك مهمة واحدة لم نواجهها أبدًا. ولكن بغض النظر عن الصيغة التي نستخدمها، لا يزال لدينا شرط آخر مضاف، وهو خصوصية العمل مع المشتقات الجزئية. بمجرد إصلاح متغير واحد، تصبح جميع المتغيرات الأخرى ثوابت. على وجه الخصوص، إذا أخذنا في الاعتبار المشتق الجزئي للتعبير $\cos \frac(x)(y)$ بالنسبة إلى $y$، فإن $y$ هو المتغير، ويظل $x$ ثابتًا في كل مكان. نفس الشيء يعمل في الاتجاه المعاكس. يمكن إخراجها من علامة المشتقة، ومشتقة الثابت نفسه تساوي "صفر".
كل هذا يؤدي إلى حقيقة أن المشتقات الجزئية لنفس التعبير، ولكن فيما يتعلق بمتغيرات مختلفة، يمكن أن تبدو مختلفة تماما. على سبيل المثال، لننظر إلى التعبيرات التالية:
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]
مشاكل مع الدوال الأسية واللوغاريتمات
المهمة رقم 1
في البداية، دعونا نكتب الصيغة التالية:
\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]
بمعرفة هذه الحقيقة، بالإضافة إلى مشتقة دالة معقدة، فلنحاول الحساب. سأحلها الآن بطريقتين مختلفتين. الأول والأكثر وضوحًا هو مشتق المنتج:
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime )))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(س)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
دعنا نحل التعبير التالي بشكل منفصل:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]
نعود إلى تصميمنا الأصلي ونواصل الحل:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\يمين)\]
كل شيء، $x$ يتم حسابه.
لكن، كما وعدت، سنحاول الآن حساب هذه المشتقة الجزئية نفسها بطريقة مختلفة. للقيام بذلك، لاحظ ما يلي:
\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]
لنكتبها هكذا:
\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]
ونتيجة لذلك، تلقينا نفس الإجابة بالضبط، ولكن تبين أن كمية الحسابات أقل. للقيام بذلك، كان يكفي أن نلاحظ أنه عند تنفيذ المنتج، يمكن إضافة المؤشرات.
الآن لنعد بـ $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))) \right) )^(\prime )))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(ص)=\]
\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
دعونا نحل تعبيرًا واحدًا بشكل منفصل:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime )_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((ص)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]
دعونا نواصل حل البناء الأصلي لدينا:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]
وبالطبع، يمكن حساب هذه المشتقة نفسها بالطريقة الثانية، وستكون الإجابة هي نفسها.
المشكلة رقم 2
لنعد بـ $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]
لنحسب تعبيرًا واحدًا بشكل منفصل:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( س)^(2))+ص)\]
دعونا نواصل حل البناء الأصلي: $$
هذا هو الجواب.
يبقى أن نجد عن طريق القياس باستخدام $y$:
\[(((ض)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]
كما هو الحال دائمًا، نحسب تعبيرًا واحدًا بشكل منفصل:
\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]
نواصل حل التصميم الأساسي:
لقد تم حساب كل شيء. كما ترون، اعتمادًا على المتغير الذي تم أخذه للتمايز، فإن الإجابات مختلفة تمامًا.
الفروق الدقيقة في الحل
هنا مثال ساطعكيف يمكن حساب مشتق الدالة نفسها بطريقتين مختلفتين. انظر هنا:
\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left ((((e)^(x)) \right))^(\prime )))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ يسار (1+\frac(1)(y) \يمين)\]
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y)))) \right)) ^(\prime )_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]
عند اختيار مسارات مختلفة، قد يختلف مقدار الحسابات، ولكن الإجابة، إذا تم كل شيء بشكل صحيح، ستكون هي نفسها. وهذا ينطبق على كل من المشتقات الكلاسيكية والجزئية. وفي الوقت نفسه، أذكرك مرة أخرى: اعتمادًا على المتغير الذي يتم أخذ المشتق منه، أي. التمايز، قد تكون الإجابة مختلفة تمامًا. ينظر:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime )))_(y)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]
في الختام، لتوحيد كل هذه المواد، دعونا نحاول حساب مثالين آخرين.
مسائل في الدوال المثلثية والدوال ذات المتغيرات الثلاثة
المهمة رقم 1
دعونا نكتب الصيغ التالية:
\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]
\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]
دعونا الآن نحل تعبيرنا:
\[(((ض)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]
دعونا نحسب بشكل منفصل البناء التالي:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime )_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime )))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]
نواصل حل التعبير الأصلي:
\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]
هذه هي الاستجابة النهائية للمتغير الخاص على $x$. الآن لنعد بـ $y$:
\[(((ض)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]
دعونا نحل تعبيرًا واحدًا بشكل منفصل:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime )_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime )))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]
دعونا نحل البناء لدينا حتى النهاية:
\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]
المشكلة رقم 2
للوهلة الأولى، قد يبدو هذا المثال معقدًا جدًا نظرًا لوجود ثلاثة متغيرات. في الواقع، هذا هو واحد من أكثر مهام بسيطةفي الفيديو التعليمي اليوم.
البحث عن طريق $x$:
\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ^(ض)) \يمين))^(\رئيسي))_(x)=\]
\[=((\left(x \right))^(\prime))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]
الآن دعونا نتعامل مع $y$:
\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime )_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]
\[=x\cdot ((\left ((((e)^(y)) \right))^(\prime )))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \right))^(\prime )))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]
لقد وجدنا الجواب.
الآن كل ما تبقى هو العثور على $z$:
\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime )_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \يمين))^(\prime )))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]
لقد حسبنا المشتقة الثالثة، التي تكمل حل المسألة الثانية.
الفروق الدقيقة في الحل
كما ترون، لا يوجد شيء معقد في هذين المثالين. الشيء الوحيد الذي نحن مقتنعون به هو أن مشتقة دالة معقدة تستخدم كثيرًا، واعتمادًا على المشتقة الجزئية التي نحسبها، نحصل على إجابات مختلفة.
في المهمة الأخيرة، طُلب منا التعامل مع دالة مكونة من ثلاثة متغيرات في وقت واحد. لا حرج في ذلك، ولكن في النهاية كنا مقتنعين بأنهم جميعا مختلفون بشكل كبير عن بعضهم البعض.
النقاط الرئيسية
الوجبات النهائية من الفيديو التعليمي اليوم هي كما يلي:
- يتم حساب المشتقات الجزئية بنفس طريقة حساب المشتقات العادية، ولكن من أجل حساب المشتقة الجزئية بالنسبة لمتغير واحد، فإننا نأخذ جميع المتغيرات الأخرى المدرجة في هذه الدالة كثوابت.
- عند التعامل مع المشتقات الجزئية، نستخدم نفس الصيغ القياسية كما هو الحال مع المشتقات العادية: المجموع، والفرق، ومشتقة المنتج وحاصل القسمة، وبالطبع مشتقة دالة معقدة.
بالطبع، مشاهدة هذا الفيديو التعليمي وحده لا يكفي لفهم هذا الموضوع بشكل كامل، لذلك توجد الآن على موقع الويب الخاص بي مجموعة من المشكلات الخاصة بهذا الفيديو مخصصة خصيصًا لموضوع اليوم - ادخل وتنزيل وحل هذه المشكلات وتحقق من الإجابة . وبعد ذلك لا مشاكل مع المشتقات الجزئية سواء في الامتحانات أو في عمل مستقللن يكون لديك. بالطبع، هذا ليس الدرس الأخير في الرياضيات العليا، لذا قم بزيارة موقعنا على الإنترنت، وأضف فكونتاكتي، واشترك في يوتيوب، وأعجبك وابق معنا!
دع الوظيفة تعطى. بما أن x وy متغيران مستقلان، فيمكن أن يتغير أحدهما بينما يحتفظ الآخر بقيمته. لنعطي المتغير المستقل x زيادة مع الحفاظ على قيمة y دون تغيير. ثم سوف تتلقى z زيادة، والتي تسمى الزيادة الجزئية لـ z بالنسبة إلى x ويشار إليها بـ . لذا، .
وبالمثل، نحصل على الزيادة الجزئية لـ z على y: .
يتم تحديد الزيادة الإجمالية للدالة z بالمساواة.
إذا كان هناك حد فإنه يسمى المشتق الجزئي للدالة عند نقطة بالنسبة للمتغير x ويرمز له بأحد الرموز:
.
عادةً ما يُشار إلى المشتقات الجزئية المتعلقة بـ x عند نقطة ما بالرموز 
.
يتم تعريف المشتق الجزئي لـ فيما يتعلق بالمتغير y والإشارة إليه بالمثل:
وبالتالي، يتم تعريف المشتقة الجزئية لدالة مكونة من عدة متغيرات (اثنان، ثلاثة أو أكثر) على أنها مشتقة دالة أحد هذه المتغيرات، بشرط أن تكون قيم المتغيرات المستقلة المتبقية ثابتة. لذلك، يتم العثور على المشتقات الجزئية للدالة باستخدام الصيغ والقواعد لحساب مشتقات دالة لمتغير واحد (في هذه الحالة، يتم اعتبار x أو y على التوالي) قيمة ثابتة).
تسمى المشتقات الجزئية بالمشتقات الجزئية من الدرجة الأولى. يمكن اعتبارها وظائف . يمكن أن تحتوي هذه الوظائف على مشتقات جزئية، والتي تسمى المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية. يتم تعريفها وتسميتها على النحو التالي:
; 
;
; 
.
التفاضلات من الرتبة الأولى والثانية لدالة ذات متغيرين.
التفاضلية الكاملةتسمى الوظائف (الصيغة 2.5) بفروق الدرجة الأولى.
صيغة حساب الفرق الإجمالي هي كما يلي:
(2.5) أو 
، أين ،
التفاضلات الجزئية للدالة.
دع الدالة لها مشتقات جزئية متصلة من الدرجة الثانية. يتم تحديد فرق الدرجة الثانية بواسطة الصيغة. دعونا نجد ذلك:
من هنا: 
. رمزيا هو مكتوب مثل هذا:
.
تكامل غير محدد.
المشتق المضاد للوظيفةخصائص التكامل غير المحدود.
يتم استدعاء الدالة F(x). مشتق مضادلدالة معينة f(x)، إذا كانت F"(x)=f(x)، أو ما هو نفسه، إذا كان dF(x)=f(x)dx.
نظرية. إذا كانت الدالة f(x)، المعرفة في فترة ما (X) ذات طول محدود أو لا نهائي، تحتوي على مشتق عكسي واحد، F(x)، فإنها تحتوي أيضًا على عدد لا نهائي من المشتقات العكسية؛ كل هذه العناصر موجودة في التعبير F(x) + C، حيث C هو ثابت اعتباطي.
مجموعة جميع المشتقات العكسية لدالة معينة f(x)، المعرفة في فترة معينة أو على قطعة ذات طول محدود أو لا نهائي، تسمى تكامل غير محددمن الدالة f(x) [أو من التعبير f(x)dx ] ويشار إليه بالرمز .
إذا كانت F(x) إحدى المشتقات العكسية لـ f(x)، فطبقًا لنظرية المشتقة العكسية
، حيث C هو ثابت تعسفي.
حسب تعريف المشتق العكسي، F"(x)=f(x) وبالتالي، dF(x)=f(x) dx. في الصيغة (7.1)، تسمى f(x) دالة متكاملة، وf( x) dx يسمى تعبير integrand.
المشتقات الجزئية لدالة ذات متغيرين.
مفهوم وأمثلة للحلول
في هذا الدرس سنواصل التعرف على وظيفة المتغيرين ونفكر ربما في المهمة الموضوعية الأكثر شيوعًا - إيجاد المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى والثانية، وكذلك التفاضل الكلي للدالة. عادةً ما يواجه الطلاب غير المتفرغين مشتقات جزئية في السنة الأولى في الفصل الدراسي الثاني. علاوة على ذلك، وفقا لملاحظاتي، فإن مهمة العثور على المشتقات الجزئية تظهر دائما تقريبا في الامتحان.
ل التعلم الفعالالمواد التالية بالنسبة لك ضروريتكون قادرًا على العثور بثقة أكبر أو أقل على المشتقات "العادية" لوظائف متغير واحد. يمكنك تعلم كيفية التعامل مع المشتقات بشكل صحيح في الدروس كيفية العثور على المشتق؟و مشتق من وظيفة معقدة. سنحتاج أيضا إلى جدول مشتقات الوظائف الأولية وقواعد التمايز، وهو أكثر ملاءمة إذا كان في متناول اليد في شكل مطبوع. احصل عليه المواد المرجعيةممكن على الصفحة الصيغ والجداول الرياضية.
دعونا نكرر بسرعة مفهوم الدالة ذات المتغيرين، وسأحاول أن أقتصر على الحد الأدنى. عادة ما يتم كتابة دالة مكونة من متغيرين، مع استدعاء المتغيرات المتغيرات المستقلةأو الحجج.
مثال: - دالة لمتغيرين.
في بعض الأحيان يتم استخدام التدوين. هناك أيضًا مهام يتم فيها استخدام الحرف بدلاً من الحرف.
مع نقطة هندسيةمن حيث الرؤية، غالبًا ما تمثل دالة متغيرين سطحًا لمساحة ثلاثية الأبعاد (مستوى، أسطوانة، كرة، قطع مكافئ، سطح زائد، إلخ). ولكن، في الواقع، هذا أكثر الهندسة التحليلية، وعلى جدول أعمالنا التحليل الرياضي، الذي لم يسمح لي أستاذي الجامعي بالغش فيه أبدًا وهو نقطة قوتي.
دعنا ننتقل إلى مسألة إيجاد المشتقات الجزئية للطلبين الأول والثاني. لدي بعض الأخبار الجيدة لأولئك الذين تناولوا بضعة فناجين من القهوة وبدأوا في الاستماع إلى بعض المواد الصعبة للغاية: المشتقات الجزئية هي تقريبًا نفس المشتقات "العادية" لدالة ذات متغير واحد.
بالنسبة للمشتقات الجزئية، تكون جميع قواعد التفاضل وجدول مشتقات الدوال الأولية صالحة. لا يوجد سوى بعض الاختلافات الصغيرة، والتي سوف نتعرف عليها الآن:
...نعم، بالمناسبة، لهذا الموضوع الذي قمت بإنشائه كتاب pdf صغيرمما سيسمح لك "بإدخال أسنانك" في غضون ساعتين فقط. لكن باستخدام الموقع، ستحصل بالتأكيد على نفس النتيجة - ربما بشكل أبطأ قليلاً:
مثال 1
أوجد المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى والثانية للدالة
أولًا، دعونا نوجد المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى. هناك اثنان منهم.
التسميات:
أو - مشتق جزئي فيما يتعلق بـ "x"
أو - مشتق جزئي فيما يتعلق بـ "y"
دعنا نبدء ب . عندما نجد المشتقة الجزئية بالنسبة لـ "x" يعتبر المتغير ثابتا (رقم ثابت).
التعليقات على الإجراءات التي تم تنفيذها:
(1) أول شيء نفعله عند إيجاد المشتقة الجزئية هو الاستنتاج الجميعوظيفة بين قوسين تحت رئيس الوزراء مع منخفض.
انتبه، مهم!نحن لا نفقد المشتركين أثناء عملية الحل. في هذه الحالة، إذا قمت برسم "السكتة الدماغية" في مكان ما بدون، فيمكن للمعلم، على الأقل، وضعها بجوار المهمة (يقضم على الفور جزءًا من النقطة لعدم الانتباه).
(2) نستخدم قواعد التفاضل 
، . ل مثال بسيطمثل هذه القاعدة، يمكن بسهولة تطبيق كلا القاعدتين في خطوة واحدة. انتبه إلى المصطلح الأول: منذ يعتبر ثابتًا، ويمكن إخراج أي ثابت من علامة المشتقة، ثم نخرجه من الأقواس. أي أنه في هذه الحالة ليس أفضل من الرقم العادي. الآن دعونا نلقي نظرة على المصطلح الثالث: هنا، على العكس من ذلك، لا يوجد شيء يمكن إخراجه. وبما أنه ثابت، فهو ثابت أيضا، وبهذا المعنى فهو ليس أفضل من الحد الأخير - "سبعة".
(3) نستخدم المشتقات الجدولية و.
(4) دعونا نبسط الإجابة، أو، كما أحب أن أقول، "نعدل" الإجابة.
الآن . عندما نجد المشتقة الجزئية بالنسبة لـ "y"، ثم المتغيريعتبر ثابت (رقم ثابت).
(1) نستخدم نفس قواعد التمايز 
، . في الحد الأول نخرج الثابت من إشارة المشتقة، وفي الحد الثاني لا يمكننا إخراج أي شيء لأنه ثابت بالفعل.
(2) نستخدم جدول مشتقات الدوال الأولية. دعونا نغير عقليًا جميع علامات "X" في الجدول إلى "I". وهذا يعني أن هذا الجدول صالح أيضًا (وبالفعل لأي حرف تقريبًا). على وجه الخصوص، تبدو الصيغ التي نستخدمها كما يلي: و .
ما هو معنى المشتقات الجزئية ؟
في جوهرها، تتشابه المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى مشتق "عادي".:
- هذا المهام، والتي تتميز معدل التغييروظائف في اتجاه المحاور، على التوالي. لذلك، على سبيل المثال، الوظيفة 
يصف انحدار "المرتفعات" و"المنحدرات" الأسطحفي اتجاه محور الإحداثي السيني، وتخبرنا الدالة عن "تضاريس" نفس السطح في اتجاه المحور الإحداثي.
! ملحوظة : هنا نعني الاتجاهات ذلك موازيمحاور الإحداثيات.
لغرض فهم أفضل، دعونا نفكر في نقطة معينة على المستوى ونحسب قيمة الدالة ("الارتفاع") عندها:
– والآن تخيل أنك هنا (على السطح).
لنحسب المشتقة الجزئية بالنسبة لـ "x" عند نقطة معينة:
تخبرنا العلامة السالبة للمشتق "X". متناقصوظائف عند نقطة في اتجاه محور الإحداثي السيني. وبعبارة أخرى، إذا جعلنا صغيرة، صغيرة (متناهي الصغر)خطوة نحو طرف المحور (موازي لهذا المحور)، ثم سننزل على منحدر السطح.
والآن نكتشف طبيعة “التضاريس” في اتجاه المحور الإحداثي:
المشتق بالنسبة إلى "y" يكون موجبًا، وبالتالي عند نقطة في اتجاه المحور تكون الدالة يزيد. بكل بساطة، نحن هنا في انتظار الصعود إلى أعلى التل.
بالإضافة إلى ذلك، يتميز المشتق الجزئي عند نقطة ما معدل التغييروظائف في الاتجاه المقابل. كلما زادت القيمة الناتجة modulo– كلما كان السطح أكثر انحداراً، والعكس صحيح، كلما اقترب من الصفر، كلما كان السطح مسطحاً. لذا، في مثالنا، يكون "المنحدر" في اتجاه محور الإحداثي أكثر انحدارًا من "الجبل" في اتجاه المحور الإحداثي.
لكن هذين كانا طريقين خاصين. ومن الواضح تمامًا أنه من النقطة التي نحن فيها، (وبشكل عام من أي نقطة على سطح معين)يمكننا التحرك في اتجاه آخر. وبالتالي، هناك اهتمام بإنشاء "خريطة ملاحية" عامة من شأنها أن تطلعنا على "المناظر الطبيعية" للسطح إذا كان ذلك ممكنافي كل نقطة مجال تعريف هذه الوظيفةعلى طول جميع المسارات المتاحة. عن هذا وغيره أشياء مثيرة للاهتمامسأخبرك في أحد الدروس التالية، ولكن الآن دعنا نعود إلى الجانب الفني للسؤال.
دعونا ننظم القواعد التطبيقية الأولية:
1) عندما نفرق بالنسبة إلى المتغير يعتبر ثابتا.
2) عندما يتم التمايز وفقا ل، ثم يعتبر ثابتا.
3) قواعد وجدول مشتقات الدوال الأولية صالحة وقابلة للتطبيق على أي متغير (أو أي متغير آخر) يتم من خلاله إجراء التمايز.
الخطوة الثانية. نجد المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية. هناك أربعة منهم.
التسميات:
أو - المشتقة الثانية بالنسبة لـ "x"
أو - المشتقة الثانية فيما يتعلق بـ "y"
أو - مختلطمشتق من "x بواسطة igr"
أو - مختلطمشتق من "Y"
لا توجد مشاكل مع المشتق الثاني. تكلم بلغة بسيطة, المشتق الثاني هو مشتق المشتق الأول.
للراحة، سأعيد كتابة المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى التي تم العثور عليها بالفعل: 
أولا، دعونا نجد المشتقات المختلطة:
كما ترون، كل شيء بسيط: نأخذ المشتق الجزئي ونفرقه مرة أخرى، ولكن في هذه الحالة - هذه المرة وفقًا لـ "Y".
على نفس المنوال:
في الأمثلة العملية، يمكنك التركيز على المساواة التالية:
وبالتالي، من خلال المشتقات المختلطة من الدرجة الثانية، من السهل جدًا التحقق مما إذا كنا قد وجدنا المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى بشكل صحيح.
أوجد المشتقة الثانية بالنسبة لـ "x".
لا اختراعات، دعونا نأخذها 
ونفرقها بـ "x" مرة أخرى:
على نفس المنوال:
تجدر الإشارة إلى أنه عند البحث، تحتاج إلى إظهار زيادة الاهتمام لأنه لا توجد مساواة معجزة للتحقق منها.
المشتقات الثانية تجد أيضا واسعة الاستخدام العمليعلى وجه الخصوص، يتم استخدامها في مهمة البحث الحدود القصوى لدالة ذات متغيرين. ولكن لكل شيء وقته:
مثال 2
احسب المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى للدالة عند النقطة. البحث عن مشتقات الدرجة الثانية
هذا مثال يمكنك حله بنفسك (الإجابات في نهاية الدرس). إذا كنت تواجه صعوبة في التمييز بين الجذور، فارجع إلى الدرس كيفية العثور على المشتق؟بشكل عام، ستتعلم قريبًا كيفية العثور على مثل هذه المشتقات "سريعًا".
فلنضع أيدينا على المزيد أمثلة معقدة:
مثال 3
تحقق من ذلك. اكتب التفاضل الإجمالي من الدرجة الأولى.
الحل: إيجاد المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى: 
انتبه إلى الحرف المنخفض: بجوار "X" لا يُمنع الكتابة بين قوسين أنه ثابت. يمكن أن تكون هذه الملاحظة مفيدة جدًا للمبتدئين لتسهيل التنقل في الحل.
تعليقات أخرى:
(1) نحرك جميع الثوابت إلى ما بعد إشارة المشتقة. في هذه الحالة، و، وبالتالي، يعتبر منتجهم رقمًا ثابتًا.
(2) لا تنس كيفية التمييز بين الجذور بشكل صحيح.
(١) نحذف جميع الثوابت من إشارة المشتقة؛ في هذه الحالة، الثابت هو .
(2) تحت العدد الأولي يتبقى لدينا حاصل ضرب دالتين، لذلك نحتاج إلى استخدام القاعدة لاشتقاق حاصل الضرب 
.
(3) لا تنس أن هذه وظيفة معقدة (وإن كانت أبسط الوظائف المعقدة). نحن نستخدم القاعدة المقابلة: 
.
الآن نجد مشتقات مختلطة من الدرجة الثانية:
وهذا يعني أن جميع الحسابات تم إجراؤها بشكل صحيح.
دعونا نكتب الفرق الإجمالي. في سياق المهمة قيد النظر، ليس من المنطقي معرفة الفرق الإجمالي لدالة لمتغيرين. من المهم أن يتم تدوين هذا التفاضل في كثير من الأحيان في المسائل العملية.
الدرجة الأولى مجموع التفاضلوظيفة متغيرين لها الشكل: 
في هذه الحالة:
أي أنك تحتاج فقط إلى استبدال المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى التي تم العثور عليها بالفعل بغباء في الصيغة. في هذه الحالة والمواقف المشابهة، من الأفضل كتابة العلامات التفاضلية بالبسط:
وبناء على الطلبات المتكررة من القراء، الدرجة الثانية التفاضلية الكاملة.
تبدو هكذا:
دعونا نعثر بعناية على المشتقات "ذات الحرف الواحد" من الدرجة الثانية: 
واكتب "الوحش" و"أرفق" المربعات وحاصل الضرب بعناية ولا تنسى مضاعفة المشتق المختلط: 
لا بأس إذا كان هناك شيء يبدو صعبًا؛ يمكنك دائمًا العودة إلى المشتقات لاحقًا، بعد أن تتقن تقنية التمايز:
مثال 4
إيجاد المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى للدالة 
. تحقق من ذلك. اكتب التفاضل الإجمالي من الدرجة الأولى.
دعونا نلقي نظرة على سلسلة من الأمثلة مع وظائف معقدة:
مثال 5
أوجد المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى للدالة.
حل: 
مثال 6
إيجاد المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى للدالة 
.
اكتب الفرق الإجمالي.
هذا مثال يمكنك حله بنفسك (الإجابة في نهاية الدرس). لن أعطيك الحل الكامل لأنه بسيط للغاية.
في كثير من الأحيان، يتم تطبيق جميع القواعد المذكورة أعلاه مجتمعة.
مثال 7
إيجاد المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى للدالة 
.
(1) نستخدم القاعدة لتمييز المبلغ
(2) يعتبر الحد الأول في هذه الحالة ثابتا، حيث لا يوجد في التعبير ما يعتمد على "x" - فقط "y". كما تعلمون، من الجيد دائمًا أن يتم تحويل الكسر إلى صفر). بالنسبة للفصل الثاني، نطبق قاعدة تمايز المنتج. بالمناسبة، بهذا المعنى، لن يتغير شيء لو تم إعطاء دالة بدلاً من ذلك - الشيء المهم هو ذلك هنا منتج من وظيفتين، كل منها يعتمد على "X"، وبالتالي، تحتاج إلى استخدام قاعدة تمايز المنتج. بالنسبة للحد الثالث، نطبق قاعدة اشتقاق دالة مركبة.
(1) يحتوي الحد الأول في كل من البسط والمقام على حرف "Y"، لذلك تحتاج إلى استخدام قاعدة اشتقاق خارج القسمة: 
. أما الحد الثاني فيعتمد على "x" فقط، مما يعني أنه يعتبر ثابتًا ويتحول إلى الصفر. بالنسبة للحد الثالث، نستخدم قاعدة اشتقاق دالة معقدة.
بالنسبة لأولئك القراء الذين وصلوا بشجاعة إلى نهاية الدرس تقريبًا، سأخبركم نكتة قديمة لمخماتوف للتخفيف من حدة الأمر:
في أحد الأيام، ظهر مشتق شرير في فضاء الوظائف وبدأ في التفريق بين الجميع. جميع الوظائف متناثرة في كل الاتجاهات، ولا أحد يريد أن يتحول! ووظيفة واحدة فقط لا تهرب. يقترب منها المشتق ويسأل:
- لماذا لا تهرب مني؟
- ها. لكنني لا أهتم، لأنني "e لقوة X"، ولن تفعل لي أي شيء!
فيجيبه المشتق الشرير بابتسامة ماكرة:
- هنا أنت مخطئ، سأفرقك بـ "Y"، فيجب أن تكون صفراً.
ومن فهم النكتة فقد أتقن المشتقات، على الأقل إلى المستوى "C".
مثال 8
إيجاد المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى للدالة 
.
هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل الكامل ومثال المشكلة موجودان في نهاية الدرس.
حسنا، هذا كل شيء تقريبا. أخيرًا، لا يسعني إلا أن أسعد محبي الرياضيات بمثال آخر. لا يتعلق الأمر حتى بالهواة، كل شخص لديه مستوى مختلف من التدريب الرياضي - هناك أشخاص (وليسوا نادرين جدًا) يحبون التنافس بمهام أكثر تعقيدًا. على الرغم من أن المثال الأخير في هذا الدرس ليس معقدًا بقدر ما هو مرهق من وجهة النظر الحسابية.
دع وظيفة من متغيرين تعطى. دعونا نعطي الوسيطة زيادة ونترك الوسيطة دون تغيير. بعد ذلك ستتلقى الدالة زيادة تسمى الزيادة الجزئية للمتغير ويشار إليها:
وبالمثل، عند تثبيت الوسيطة وزيادة الوسيطة، نحصل على زيادة جزئية للدالة حسب المتغير:
تسمى الكمية الزيادة الإجمالية للدالة عند نقطة ما.
التعريف 4. المشتق الجزئي لدالة متغيرين فيما يتعلق بأحد هذه المتغيرات هو حد نسبة الزيادة الجزئية المقابلة للدالة إلى زيادة متغير معين عندما يميل الأخير إلى الصفر (إذا كان هذا الحد موجود). تتم الإشارة إلى المشتق الجزئي على النحو التالي: أو، أو.
وهكذا، بحكم التعريف لدينا:
يتم حساب المشتقات الجزئية للدوال وفق نفس القواعد والصيغ كدالة لمتغير واحد، مع مراعاة أنه عند التفاضل بالنسبة لمتغير تعتبر ثابتة، وعند التفاضل بالنسبة لمتغير تعتبر ثابتة .
مثال 3. ابحث عن المشتقات الجزئية للوظائف:
حل. أ) لإيجادها نعتبرها قيمة ثابتة ونفرقها كدالة لمتغير واحد:
وبالمثل، بافتراض قيمة ثابتة، نجد:
التعريف 5. التفاضل الإجمالي للدالة هو مجموع منتجات المشتقات الجزئية لهذه الوظيفة بزيادات المتغيرات المستقلة المقابلة، أي.
باعتبار أن تفاضلات المتغيرات المستقلة تتوافق مع زياداتها، أي: ، يمكن كتابة صيغة التفاضل الإجمالي كـ
مثال 4. أوجد التفاضل الكامل للدالة.
حل. منذ ذلك الحين، باستخدام الصيغة التفاضلية الإجمالية نجد
المشتقات الجزئية ذات الترتيب الأعلى
تسمى المشتقات الجزئية المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى أو المشتقات الجزئية الأولى.
التعريف 6. المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية للدالة هي المشتقات الجزئية للمشتقات الجزئية من الدرجة الأولى.
هناك أربعة مشتقات جزئية من الدرجة الثانية. تم تصنيفهم على النحو التالي:
يتم تعريف المشتقات الجزئية للأوامر الثالثة والرابعة والأعلى بالمثل. على سبيل المثال، بالنسبة للدالة لدينا:
تسمى المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية أو الأعلى، المأخوذة فيما يتعلق بمتغيرات مختلفة، المشتقات الجزئية المختلطة. بالنسبة للدالة، فهذه مشتقات. لاحظ أنه في حالة كون المشتقات المختلطة متصلة، فإن المساواة تتحقق.
مثال 5. ابحث عن المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية لدالة
حل. تم العثور على المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى لهذه الوظيفة في المثال 3:
بالتفاضل فيما يتعلق بالمتغيرين x و y نحصل على
