أخيرًا ، وضعت يدي على موضوع واسع طال انتظاره الهندسة التحليلية. أولا ، قليلا عن هذا القسم من الرياضيات العليا…. من المؤكد أنك تذكرت الآن دورة الهندسة المدرسية مع العديد من النظريات ، وإثباتاتها ، ورسوماتها ، وما إلى ذلك. ما تخفيه ، موضوع غير محبوب وغامض في كثير من الأحيان لنسبة كبيرة من الطلاب. قد تبدو الهندسة التحليلية ، بشكل غريب بما فيه الكفاية ، أكثر إثارة للاهتمام ويمكن الوصول إليها. ماذا تعني صفة "تحليلي"؟ يتبادر إلى الذهن على الفور منعطفان رياضيان مختومان: "طريقة الرسم للحل" و "الطريقة التحليلية للحل". طريقة الرسم، بالطبع ، يرتبط ببناء الرسوم البيانية والرسومات. تحليلينفس طريقةينطوي على حل المشكلة في الغالبمن خلال العمليات الجبرية. في هذا الصدد ، فإن الخوارزمية الخاصة بحل جميع مشاكل الهندسة التحليلية تقريبًا بسيطة وشفافة ، وغالبًا ما تكون كافية لتطبيق الصيغ اللازمة بدقة - والإجابة جاهزة! لا ، بالطبع ، لن يتم الاستغناء عن الرسومات على الإطلاق ، بالإضافة إلى ذلك ، من أجل فهم أفضل للمادة ، سأحاول أن أجلبها أكثر من الحاجة.

لا تدعي الدورة المفتوحة للدروس في الهندسة أنها اكتمال نظري ، فهي تركز على حل المشكلات العملية. سأدرج في محاضراتي فقط ما هو مهم من وجهة نظري عمليًا. إذا كنت بحاجة إلى مرجع أكثر اكتمالاً في أي قسم فرعي ، فإنني أوصي بالأدبيات التالية التي يمكن الوصول إليها تمامًا:

1) شيء مألوف لعدة أجيال بدون مزحة: كتاب مدرسي في الهندسة، المؤلفون - إل. أتاناسيان وشركاه. لقد صمدت شماعات غرفة خلع الملابس في المدرسة بالفعل في إعادة إصدار 20 (!) ، والتي ، بالطبع ، ليست الحد الأقصى.

2) الهندسة في مجلدين. المؤلفون إل. أتاناسيان ، بازيليف ف.. هذا هو الأدب للتعليم العالي ، سوف تحتاج المجلد الأول. نادرًا ما تقع المهام التي تحدث خارج مجال رؤيتي ، وسيكون البرنامج التعليمي مفيدًا للغاية.

كلا الكتابين مجانيان للتنزيل عبر الإنترنت. بالإضافة إلى ذلك ، يمكنك استخدام الأرشيف الخاص بي مع الحلول الجاهزة ، والتي يمكن العثور عليها في الصفحة تنزيل أمثلة الرياضيات العليا.

من بين الأدوات ، أعرض التطوير الخاص بي مرة أخرى - حزمة البرامجفي الهندسة التحليلية ، والتي ستعمل على تبسيط الحياة بشكل كبير وتوفير الكثير من الوقت.

من المفترض أن القارئ على دراية بالمفاهيم والأشكال الهندسية الأساسية: النقطة ، الخط ، المستوى ، المثلث ، متوازي الأضلاع ، متوازي السطوح ، المكعب ، إلخ. يُنصح بتذكر بعض النظريات ، على الأقل نظرية فيثاغورس ، مرحبًا مكررات)

والآن سننظر بالتسلسل في: مفهوم المتجه ، الإجراءات ذات المتجهات ، إحداثيات المتجهات. كذلك أوصي بالقراءة أهم مقال حاصل الضرب النقطي للناقلات، إلى جانب المتجه والمنتج المختلط من النواقل. المهمة المحلية لن تكون زائدة عن الحاجة - تقسيم الجزء في هذا الصدد. بناءً على المعلومات الواردة أعلاه ، يمكنك ذلك معادلة الخط المستقيم في المستوىمع أبسط الأمثلة على الحلولالذي سيسمح تعلم كيفية حل المشاكل في الهندسة. المقالات التالية مفيدة أيضًا: معادلة مستوى في الفضاء, معادلات الخط المستقيم في الفراغ، المشاكل الأساسية على الخط والمستوى ، أقسام أخرى من الهندسة التحليلية. بطبيعة الحال ، سيتم النظر في المهام القياسية على طول الطريق.

مفهوم المتجه. ناقل حر

أولاً ، دعنا نكرر تعريف المدرسة للمتجه. المتجهاتصل توجهمقطع يشار إلى بدايته ونهايته:

في هذه الحالة ، تكون بداية المقطع هي النقطة ، ونهاية المقطع هي النقطة. يتم الإشارة إلى المتجه نفسه بواسطة. اتجاهضروري ، إذا قمت بإعادة ترتيب السهم إلى الطرف الآخر من المقطع ، فستحصل على متجه ، وهذا بالفعل ناقلات مختلفة تماما. من الملائم تحديد مفهوم المتجه مع حركة الجسم المادي: يجب أن تعترف بأن دخول أبواب المعهد أو الخروج من أبواب المعهد أمران مختلفان تمامًا.

من الملائم النظر في النقاط الفردية للطائرة ، والفضاء كما يسمى ناقل صفر. مثل هذا المتجه له نفس النهاية والبداية.

!!! ملحوظة: هنا وأدناه ، يمكنك افتراض أن المتجهات تقع في نفس المستوى أو يمكنك افتراض أنها موجودة في الفضاء - جوهر المادة المعروضة صالح لكل من المستوى والفضاء.

التعيينات:لفت الكثيرون الانتباه على الفور إلى عصا بدون سهم في التسمية وقالوا إنهم وضعوا أيضًا سهمًا في الأعلى! هذا صحيح ، يمكنك الكتابة بسهم: ، لكن مقبول و سجل سأستخدمه لاحقًا. لماذا ا؟ على ما يبدو ، تطورت هذه العادة من اعتبارات عملية ، واتضح أن الرماة في المدرسة والجامعة متنوعون للغاية وشعث. في الأدبيات التربوية ، في بعض الأحيان لا يهتمون بالكتابة المسمارية على الإطلاق ، لكنهم يسلطون الضوء على الحروف بالخط العريض: مما يعني ضمناً أن هذا ناقل.

كان هذا هو الأسلوب ، والآن عن طرق كتابة المتجهات:

1) يمكن كتابة المتجهات بحرفين لاتينيين كبيرين:
إلخ. بينما الحرف الأول بالضرورةيشير إلى نقطة بداية المتجه ، والحرف الثاني يشير إلى نقطة نهاية المتجه.

2) النواقل مكتوبة أيضًا بأحرف لاتينية صغيرة:
على وجه الخصوص ، يمكن إعادة تصميم المتجه الخاص بنا للإيجاز بحرف لاتيني صغير.

طولأو وحدةيسمى المتجه غير الصفري طول المقطع. طول المتجه الصفري يساوي صفرًا. منطقيا.

يتم الإشارة إلى طول المتجه بعلامة modulo:،

كيف نجد طول المتجه ، سنتعلم (أو نكرر ، لمن كيف) بعد ذلك بقليل.

كانت تلك معلومات أولية عن الناقل ، مألوفة لجميع أطفال المدارس. في الهندسة التحليلية ، ما يسمى ب ناقل حر.

إذا كان الأمر بسيطًا جدًا - يمكن رسم المتجه من أي نقطة:

اعتدنا أن نسمي هذه المتجهات متساوية (سيتم تقديم تعريف المتجهات المتساوية أدناه) ، ولكن من وجهة نظر رياضية بحتة ، هذا هو نفس المتجه أو ناقل حر. لماذا مجاني؟ لأنه أثناء حل المشكلات ، يمكنك "إرفاق" متجه واحد أو آخر بأي نقطة من المستوى أو المساحة التي تحتاجها. هذه ملكية رائعة جدا! تخيل متجهًا للطول والاتجاه التعسفيين - يمكن "استنساخه" لعدد لا نهائي من المرات وفي أي نقطة في الفضاء ، في الواقع ، يوجد في كل مكان. يوجد مثل هذا الطالب: كل محاضر في f ** u في المتجه. بعد كل شيء ، ليس مجرد قافية بارعة ، كل شيء صحيح رياضيًا - يمكن إرفاق ناقل هناك أيضًا. لكن لا تتسرع في الابتهاج ، فالطلاب أنفسهم يعانون في كثير من الأحيان =)

لذا، ناقل حر- هذه مجموعة من مقاطع اتجاهية متطابقة. تعريف المدرسة للمتجه ، الوارد في بداية الفقرة: "يسمى الجزء الموجه المتجه ..." ، يعني محددمقطع موجه مأخوذ من مجموعة معينة مرتبطة بنقطة معينة في المستوى أو الفضاء.

تجدر الإشارة إلى أنه من وجهة نظر الفيزياء ، فإن مفهوم المتجه الحر غير صحيح بشكل عام ، ونقطة تطبيق المتجه مهمة. في الواقع ، فإن الضربة المباشرة من نفس القوة على الأنف أو على الجبهة كافية لتطوير نموذجي الغبي الذي يترتب عليه عواقب مختلفة. لكن، ليس حرتم العثور على النواقل أيضًا في سياق vyshmat (لا تذهب إلى هناك :)).

الإجراءات مع النواقل. العلاقة الخطية المتداخلة من النواقل

في دورة الهندسة المدرسية ، يتم النظر في عدد من الإجراءات والقواعد مع المتجهات: بالإضافة إلى قاعدة المثلث ، الجمع وفقًا لقاعدة متوازي الأضلاع ، قاعدة اختلاف المتجهات ، ضرب المتجه برقم ، الناتج القياسي للمتجهات ، إلخ.كبذرة ، نكرر قاعدتين مهمتين بشكل خاص لحل مشاكل الهندسة التحليلية.

حكم جمع المتجهات حسب قاعدة المثلثات

ضع في اعتبارك متجهين تعسفيين غير صفريين و:

مطلوب للعثور على مجموع هذه المتجهات. نظرًا لحقيقة أن جميع النواقل تعتبر مجانية ، فإننا نؤجل المتجه من نهايةالمتجه :

مجموع المتجهات هو المتجه. لفهم القاعدة بشكل أفضل ، يُنصح بوضع معنى مادي فيها: دع جسمًا ما يصنع مسارًا على طول المتجه ، ثم على طول المتجه. ثم يكون مجموع المتجهات هو متجه المسار الناتج بدءًا من نقطة المغادرة وينتهي عند نقطة الوصول. تمت صياغة قاعدة مماثلة لمجموع أي عدد من النواقل. كما يقولون ، يمكن للجسم أن يمضي في طريقه بشكل متعرج بقوة ، أو ربما على الطيار الآلي - على طول متجه المجموع الناتج.

بالمناسبة ، إذا تم تأجيل المتجه من البدايةمتجه ، ثم نحصل على المكافئ حكم متوازي الأضلاعإضافة نواقل.

أولاً ، حول العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات. يتم استدعاء المتجهين علاقة خطية متداخلةإذا كانت تقع على نفس الخط أو على خطوط متوازية. بشكل تقريبي ، نحن نتحدث عن نواقل متوازية. ولكن فيما يتعلق بهم ، يتم دائمًا استخدام صفة "الخطية الخطية".

تخيل اثنين من النواقل الخطية. إذا كانت أسهم هذه المتجهات موجهة في نفس الاتجاه ، فسيتم استدعاء هذه المتجهات الاتجاه المشترك. إذا كانت الأسهم تبدو في اتجاهات مختلفة ، فستكون المتجهات موجه بشكل معاكس.

التعيينات:تتم كتابة العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات بأيقونة التوازي المعتادة: ، بينما يكون التفصيل ممكنًا: (يتم توجيه المتجهات بشكل مشترك) أو (يتم توجيه المتجهات بشكل معاكس).

الشغلمن متجه غير صفري برقم هو متجه طوله يساوي ، والمتجهات ويتم توجيهها بشكل مشترك نحوها وتوجيهها بشكل معاكس.

قاعدة ضرب المتجه برقم أسهل في الفهم بالصورة:

نحن نفهم بمزيد من التفصيل:

1 الاتجاه. إذا كان المضاعف سالبًا ، فإن المتجه يغير الاتجاهعلى العكس.

2) الطول. إذا كان العامل موجودًا داخل أو ، فسيكون طول المتجه النقصان. إذن ، طول المتجه أقل بمرتين من طول المتجه. إذا كان مضاعف modulo أكبر من واحد ، فسيكون طول المتجه يزيدفي الوقت المناسب.

3) يرجى ملاحظة ذلك جميع النواقل على خط واحد، بينما يتم التعبير عن متجه من خلال متجه آخر ، على سبيل المثال ،. والعكس صحيح أيضا: إذا كان من الممكن التعبير عن ناقل بمصطلحات متجه آخر ، فإن هذه النواقل تكون بالضرورة على خط واحد. هكذا: إذا ضربنا متجهًا في رقم ، نحصل على خط مستقيم(نسبة إلى الأصل) المتجه.

4) النواقل هي الاتجاهية. النواقل هي أيضا اتجاهية. أي متجه للمجموعة الأولى هو عكس أي متجه للمجموعة الثانية.

ما النواقل متساوية؟

متجهان متساويان إذا كانا اتجاهي مع نفس الطول. لاحظ أن الاتجاه المشترك يعني أن المتجهات مترابطة. سيكون التعريف غير دقيق (مكرر) إذا قلت: "متجهان متساويان إذا كانا متصلين ، ومشتركين في التوجيه ، ولهما نفس الطول."

من وجهة نظر مفهوم المتجه الحر ، المتجهات المتساوية هي نفس المتجه ، والتي تمت مناقشتها بالفعل في الفقرة السابقة.

إحداثيات المتجهات على المستوى وفي الفضاء

النقطة الأولى هي النظر في المتجهات على المستوى. ارسم نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل الشكل واتركه جانباً من الأصل غير متزوجناقلات و:

ناقلات و متعامد. متعامد = عمودي. أوصي بالتعود ببطء على المصطلحات: بدلاً من التوازي والعمودي ، نستخدم الكلمات على التوالي علاقة خطية متداخلةو التعامد.

تعيين:تتم كتابة المتجهات المتعامدة بالعلامة العمودية المعتادة ، على سبيل المثال:.

تسمى النواقل المدروسة ناقلات تنسيقأو orts. تتشكل هذه النواقل أساسعلى السطح. ما هو الأساس ، كما أعتقد ، واضح بشكل حدسي للكثيرين ، ويمكن العثور على معلومات أكثر تفصيلاً في المقالة الاعتماد الخطي (غير) على النواقل. أساس المتجهبكلمات بسيطة ، يحدد أساس وأصل الإحداثيات النظام بأكمله - وهذا نوع من الأساس الذي تغلي عليه حياة هندسية كاملة وغنية.

في بعض الأحيان يتم استدعاء الأساس المركب متعامدأساس المستوى: "ortho" - لأن متجهات الإحداثيات متعامدة ، فإن صفة "التطبيع" تعني الوحدة ، أي أطوال نواقل الأساس تساوي واحد.

تعيين:عادة ما يتم كتابة الأساس بين قوسين ، بداخلهما بترتيب صارميتم سرد ناقلات الأساس ، على سبيل المثال:. تنسيق النواقل ممنوعأماكن المبادلة.

أيناقلات الطائرة الطريقة الوحيدةمعبر عنه على النحو التالي:
، أين - أعداد، والتي تسمى إحداثيات ناقلاتعلى هذا الأساس. لكن التعبير نفسه اتصل ناقلات التحللأساس .

خدم العشاء:

لنبدأ بالحرف الأول من الأبجدية:. يوضح الرسم بوضوح أنه عند تحليل المتجه من حيث الأساس ، يتم استخدام العناصر التي تم النظر فيها للتو:
1) قاعدة ضرب المتجه برقم: و ؛
2) جمع المتجهات حسب قاعدة المثلث:.

الآن ضع المتجه جانبًا عقليًا من أي نقطة أخرى على المستوى. من الواضح تمامًا أن فساده "سوف يتبعه بلا هوادة". ها هي حرية المتجه - المتجه "يحمل كل شيء معك". هذه الخاصية ، بالطبع ، صحيحة لأي ناقل. من المضحك أن المتجهات الأساسية (المجانية) نفسها لا يجب وضعها جانباً من الأصل ، يمكن رسم أحدها ، على سبيل المثال ، في أسفل اليسار ، والآخر في أعلى اليمين ، ولن يتغير شيء من هذا! صحيح ، لست مضطرًا للقيام بذلك ، لأن المعلم سيُظهر أيضًا أصالة ويرسم لك "تمريرة" في مكان غير متوقع.

المتجهات ، توضح بالضبط القاعدة الخاصة بضرب المتجه برقم ، يتم توجيه المتجه بشكل مشترك مع متجه الأساس ، ويتم توجيه المتجه عكس متجه الأساس. بالنسبة لهذه المتجهات ، فإن أحد الإحداثيات يساوي صفرًا ، ويمكن كتابته بدقة على النحو التالي:


وبالمناسبة ، فإن نواقل الأساس هي كما يلي: (في الواقع ، يتم التعبير عنها من خلال نفسها).

وأخيرًا: ،. بالمناسبة ، ما هو الطرح المتجه ، ولماذا لم أخبرك عن قاعدة الطرح؟ في مكان ما في الجبر الخطي ، لا أتذكر أين ، لاحظت أن الطرح حالة خاصة للجمع. لذلك ، توسعات المتجهات "de" و "e" مكتوبة بهدوء كمجموع: . أعد ترتيب المصطلحات في الأماكن واتبع الرسم إلى أي مدى تعمل الإضافة القديمة الجيدة للمتجهات وفقًا لقاعدة المثلث في هذه المواقف.

اعتبر تحلل النموذج تسمى أحيانًا تحلل المتجهات في النظام أو(أي في نظام نواقل الوحدة). لكن هذه ليست الطريقة الوحيدة لكتابة متجه ، فالخيار التالي شائع:

أو بعلامة يساوي:

يتم كتابة نواقل الأساس نفسها على النحو التالي: و

أي أن إحداثيات المتجه موضحة بين قوسين. في المهام العملية ، يتم استخدام جميع خيارات التسجيل الثلاثة.

كنت أشك في التحدث ، لكني سأقول: لا يمكن إعادة ترتيب إحداثيات المتجهات. بدقة في المقام الأولاكتب الإحداثي الذي يتوافق مع متجه الوحدة ، بدقة في المركز الثانياكتب الإحداثي الذي يتوافق مع متجه الوحدة. في الواقع ، وهما متجهان مختلفان.

اكتشفنا الإحداثيات على الطائرة. الآن ضع في اعتبارك المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، كل شيء متماثل تقريبًا هنا! سيتم إضافة إحداثي واحد فقط. من الصعب إجراء رسومات ثلاثية الأبعاد ، لذلك سأقتصر على متجه واحد ، والذي من أجل البساطة سأؤجله من الأصل:

أي 3d ناقلات الفضاء الطريقة الوحيدةتوسع في قاعدة متعامدة:
، أين إحداثيات المتجه (الرقم) في الأساس المحدد.

مثال من الصورة: . دعونا نرى كيف تعمل قواعد الإجراء المتجه هنا. أولاً ، ضرب المتجه برقم: (سهم أحمر) ، (سهم أخضر) و (سهم أرجواني). ثانيًا ، فيما يلي مثال على إضافة عدة متجهات ، في هذه الحالة ثلاثة:. يبدأ متجه المجموع من نقطة البداية للانطلاق (بداية المتجه) وينتهي عند نقطة الوصول النهائية (نهاية المتجه).

جميع نواقل الفضاء ثلاثي الأبعاد ، بالطبع ، مجانية أيضًا ، حاول تأجيل المتجه عقليًا من أي نقطة أخرى ، وستفهم أن توسعها "يظل معها".

على غرار حالة الطائرة ، بالإضافة إلى الكتابة تُستخدم الإصدارات ذات الأقواس على نطاق واسع: إما.

إذا كان متجه إحداثي واحد (أو اثنين) مفقودًا في التوسع ، فسيتم وضع الأصفار بدلاً من ذلك. أمثلة:
ناقلات (بدقة ) - اكتب ؛
ناقلات (بدقة ) - اكتب ؛
ناقلات (بدقة ) - اكتب.

تتم كتابة ناقلات الأساس على النحو التالي:

هنا ، ربما ، هو الحد الأدنى من المعرفة النظرية اللازمة لحل مشاكل الهندسة التحليلية. ربما يوجد الكثير من المصطلحات والتعريفات ، لذا أوصي بالدمى لإعادة قراءة هذه المعلومات وفهمها مرة أخرى. وسيكون من المفيد لأي قارئ الرجوع إلى الدرس الأساسي من وقت لآخر لاستيعاب المادة بشكل أفضل. العلاقة الخطية المتداخلة ، التعامد ، الأساس المتعامد ، التحلل المتجه - غالبًا ما يتم استخدام هذه المفاهيم وغيرها في ما يلي. ألاحظ أن مواد الموقع لا تكفي لاجتياز اختبار نظري ، ندوة عن الهندسة ، حيث قمت بتشفير جميع النظريات بعناية (إلى جانب عدم وجود أدلة) - على حساب الأسلوب العلمي للعرض ، ولكنها ميزة إضافية لفهمك من الموضوع. للحصول على معلومات نظرية مفصلة ، أطلب منك أن تنحني للبروفيسور أتاناسيان.

الآن دعنا ننتقل إلى الجزء العملي:

أبسط مشاكل الهندسة التحليلية.
الإجراءات مع المتجهات في الإحداثيات

المهام التي سيتم النظر فيها ، من المستحسن للغاية معرفة كيفية حلها بشكل كامل والصيغ بشكل تلقائي حفظ، لا تتذكرها حتى عن قصد ، فسوف يتذكرونها بأنفسهم =) هذا مهم جدًا ، نظرًا لأن المشكلات الأخرى في الهندسة التحليلية تستند إلى أبسط الأمثلة الأولية ، وسيكون من المزعج قضاء وقت إضافي في أكل البيادق. لا تحتاج إلى ربط الأزرار العلوية على قميصك ، فأشياء كثيرة مألوفة لك من المدرسة.

سيتبع عرض المادة مسارًا متوازيًا - سواء بالنسبة للطائرة أو في الفضاء. لسبب أن جميع الصيغ ... سترى بنفسك.

كيف تجد متجه معطى نقطتين؟

إذا تم إعطاء نقطتين من المستوى ، فسيكون للمتجه الإحداثيات التالية:

إذا تم إعطاء نقطتين في الفضاء ، فسيكون للمتجه الإحداثيات التالية:

بمعنى آخر، من إحداثيات نهاية المتجهتحتاج إلى طرح الإحداثيات المقابلة بداية ناقلات.

يمارس:لنفس النقاط ، اكتب الصيغ لإيجاد إحداثيات المتجه. الصيغ في نهاية الدرس.

مثال 1

نظرا نقطتين في الطائرة و. ابحث عن إحداثيات المتجهات

قرار:وفقًا للصيغة المقابلة:

بدلاً من ذلك ، يمكن استخدام الترميز التالي:

سوف يقرر Aesthetes مثل هذا:

أنا شخصياً معتاد على الإصدار الأول من السجل.

إجابه:

وفقًا للشرط ، لم يكن مطلوبًا بناء رسم (وهو أمر نموذجي لمشاكل الهندسة التحليلية) ، ولكن من أجل شرح بعض النقاط للدمى ، لن أكون كسولًا جدًا:

يجب أن يفهم الفرق بين إحداثيات النقطة وإحداثيات المتجهات:

إحداثيات النقطةهي الإحداثيات المعتادة في نظام إحداثيات مستطيل. أعتقد أن الجميع يعرف كيفية رسم النقاط على مستوى الإحداثيات منذ الصف 5-6. كل نقطة لها مكان محدد على متن الطائرة ، ولا يمكن نقلها إلى أي مكان.

إحداثيات نفس المتجههو توسعها فيما يتعلق بالأساس ، في هذه الحالة. أي متجه مجاني ، لذلك ، إذا لزم الأمر ، يمكننا بسهولة تأجيله من نقطة أخرى في المستوى. من المثير للاهتمام ، بالنسبة للمتجهات ، لا يمكنك بناء محاور على الإطلاق ، نظام إحداثيات مستطيل ، فأنت تحتاج فقط إلى أساس ، في هذه الحالة ، أساس متعامد للطائرة.

يبدو أن سجلات إحداثيات النقاط وإحداثيات المتجهات متشابهة: و و الإحساس بالإحداثياتإطلاقا مختلف، ويجب أن تدرك جيدًا هذا الاختلاف. هذا الاختلاف ، بالطبع ، ينطبق أيضًا على الفضاء.

سيداتي وسادتي نملأ أيدينا:

مثال 2

أ) إعطاء نقاط و. البحث عن ناقلات و.
ب) يتم إعطاء النقاط و . البحث عن ناقلات و.
ج) نقاط معينة و. البحث عن ناقلات و.
د) يتم إعطاء النقاط. البحث عن نواقل .

ربما يكفي. هذه أمثلة على قرار مستقل ، حاول ألا تتجاهلها ، فستؤتي ثمارها ؛-). الرسومات غير مطلوبة. الحلول والأجوبة في نهاية الدرس.

ما هو المهم في حل مشاكل الهندسة التحليلية؟من المهم توخي الحذر الشديد لتجنب الخطأ البارع "اثنان زائد اثنان يساوي صفرًا". أعتذر مقدمًا إذا ارتكبت خطأ =)

كيف تجد طول القطعة؟

الطول ، كما لوحظ بالفعل ، يشار إليه بعلامة المقياس.

إذا تم إعطاء نقطتين من المستوى ، فيمكن حساب طول المقطع بواسطة الصيغة

إذا تم إعطاء نقطتين في الفضاء ، فيمكن حساب طول المقطع بواسطة الصيغة

ملحوظة: ستبقى الصيغ صحيحة إذا تم تبديل الإحداثيات المقابلة: ولكن الخيار الأول هو معيار أكثر

مثال 3

قرار:وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابه:

من أجل الوضوح ، سأقوم برسم

القطعة المستقيمة - إنه ليس ناقل، ولا يمكنك نقله إلى أي مكان ، بالطبع. بالإضافة إلى ذلك ، إذا قمت بإكمال الرسم على مقياس: 1 وحدة. \ u003d 1 سم (خليتان رباعيتان) ، ثم يمكن التحقق من الإجابة باستخدام مسطرة عادية عن طريق قياس طول المقطع مباشرة.

نعم ، الحل قصير ، لكن هناك نقطتان مهمتان فيهما أود توضيحهما:

أولاً ، في الإجابة حددنا البعد: "الوحدات". لا تذكر الحالة ما هو ، مليمترات ، سم ، أمتار ، أو كيلومترات. لذلك ، فإن الصيغة العامة ستكون حلاً مختصًا رياضيًا: "وحدات" - يُشار إليها باختصار "وحدات".

ثانيًا ، دعونا نكرر المادة المدرسية ، والتي تفيد ليس فقط في المشكلة المدروسة:

انتبه على خدعة فنية مهمة – إخراج المضاعف من تحت الجذر. كنتيجة للحسابات ، حصلنا على النتيجة والأسلوب الرياضي الجيد يتضمن إخراج المضاعف من تحت الجذر (إن أمكن). تبدو العملية هكذا بمزيد من التفصيل: . بطبيعة الحال ، فإن ترك الإجابة في النموذج لن يكون خطأ - لكنه بالتأكيد خطأ وحجة قوية للتلاعب من جانب المعلم.

فيما يلي بعض الحالات الشائعة الأخرى:

غالبًا ما يتم الحصول على عدد كبير بدرجة كافية من الجذر ، على سبيل المثال. كيف تكون في مثل هذه الحالات؟ في الآلة الحاسبة ، نتحقق مما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 4 :. نعم ، انقسم تمامًا ، وبالتالي: . أو ربما يمكن قسمة الرقم على 4 مرة أخرى؟ . هكذا: . الرقم الأخير من الرقم فردي ، لذا من الواضح أن القسمة على 4 للمرة الثالثة غير ممكنة. يحاول القسمة على تسعة:. نتيجة ل:
مستعد.

خاتمة:إذا حصلنا تحت الجذر على رقم غير قابل للاستخراج تمامًا ، فإننا نحاول إخراج العامل من تحت الجذر - على الآلة الحاسبة نتحقق مما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على: 4 ، 9 ، 16 ، 25 ، 36 ، 49 ، إلخ.

في سياق حل المشكلات المختلفة ، غالبًا ما يتم العثور على الجذور ، حاول دائمًا استخراج العوامل من تحت الجذر لتجنب انخفاض الدرجات والمشكلات غير الضرورية عند الانتهاء من الحلول وفقًا لملاحظة المعلم.

دعنا نكرر تربيع الجذور والقوى الأخرى في نفس الوقت:

يمكن العثور على قواعد الإجراءات ذات الدرجات في شكل عام في كتاب مدرسي عن الجبر ، لكنني أعتقد أن كل شيء أو كل شيء تقريبًا واضح بالفعل من الأمثلة المقدمة.

مهمة لحل مستقل مع جزء في الفضاء:

مثال 4

نقاط معينة و. أوجد طول المقطع.

الحل والجواب في نهاية الدرس.

كيف تجد طول المتجه؟

إذا تم إعطاء متجه مستوي ، فسيتم حساب طوله بواسطة الصيغة.

إذا تم إعطاء متجه الفضاء ، فسيتم حساب طوله بواسطة الصيغة .

في هذه المقالة ، سنبدأ أنا وأنت في مناقشة "عصا سحرية" واحدة ستسمح لك بتقليل العديد من المشكلات في الهندسة إلى عمليات حسابية بسيطة. يمكن أن تجعل هذه "العصا" حياتك أسهل بكثير ، خاصة عندما تشعر بعدم الأمان في بناء الأشكال والأقسام المكانية ، إلخ. كل هذا يتطلب خيالًا معينًا ومهارات عملية. ستسمح لك الطريقة ، التي سنبدأ في دراستها هنا ، بالتجريد بشكل شبه كامل من جميع أنواع الإنشاءات الهندسية والاستدلال. الطريقة تسمى "طريقة التنسيق". في هذه المقالة ، سننظر في الأسئلة التالية:

1. خطة تنسيق
2. النقاط والمتجهات على متن الطائرة
3. بناء متجه من نقطتين
4. طول المتجه (المسافة بين نقطتين)
5. إحداثيات المنتصف
6. حاصل الضرب النقطي للناقلات
7. الزاوية بين متجهين

أعتقد أنك خمنت بالفعل لماذا تسمى طريقة الإحداثيات ذلك؟ صحيح أنها حصلت على مثل هذا الاسم ، لأنها لا تعمل مع كائنات هندسية ، ولكن بخصائصها العددية (الإحداثيات). والتحويل نفسه ، الذي يجعل من الممكن الانتقال من الهندسة إلى الجبر ، يتمثل في إدخال نظام إحداثيات. إذا كان الشكل الأصلي مسطحًا ، فإن الإحداثيات تكون ثنائية الأبعاد ، وإذا كان الشكل ثلاثي الأبعاد ، فإن الإحداثيات تكون ثلاثية الأبعاد. في هذه المقالة ، سننظر فقط في الحالة ثنائية الأبعاد. والغرض الرئيسي من المقالة هو تعليمك كيفية استخدام بعض الأساليب الأساسية لطريقة الإحداثيات (يتبين في بعض الأحيان أنها مفيدة عند حل المشكلات في قياس التخطيط في الجزء ب من اختبار الدولة الموحد). القسمان التاليان حول هذا الموضوع مخصصان لمناقشة طرق حل المشكلات C2 (مشكلة القياس الفراغي).

أين سيكون من المنطقي البدء في مناقشة طريقة الإحداثيات؟ ربما مع مفهوم نظام الإحداثيات. تذكر عندما قابلتها لأول مرة. يبدو لي أنه في الصف السابع ، عندما علمت بوجود دالة خطية ، على سبيل المثال. دعني أذكرك أنك قمت ببنائه نقطة تلو الأخرى. هل تذكر؟ لقد اخترت رقمًا عشوائيًا ، واستبدلت به في الصيغة وحُسبت بهذه الطريقة. على سبيل المثال ، إذا ، إذن ، إذا ، إذن ، وما إلى ذلك. ما الذي حصلت عليه نتيجة لذلك؟ وحصلت على نقاط بإحداثيات: و. ثم قمت برسم "تقاطع" (نظام إحداثيات) ، واخترت مقياسًا عليه (كم عدد الخلايا التي ستحصل عليها كقطعة واحدة) وقمت بتمييز النقاط التي تلقيتها عليها ، والتي قمت بعد ذلك بتوصيلها بخط مستقيم ، الخط الناتج هو الرسم البياني للدالة.

هناك بعض الأشياء التي يجب شرحها لك بمزيد من التفصيل:

1. أنت تختار مقطعًا واحدًا لأسباب تتعلق بالراحة ، بحيث يتناسب كل شيء بشكل جيد ومضغوط في الصورة

2. من المفترض أن المحور ينتقل من اليسار إلى اليمين ، والمحور ينتقل من أسفل إلى أعلى

3. يتقاطعان بزاوية قائمة ، وتسمى نقطة تقاطعهما الأصل. يتم تمييزه بحرف.

4. في سجل إحداثيات نقطة ما ، على سبيل المثال ، يوجد على اليسار بين قوسين إحداثيات النقطة على طول المحور ، وعلى اليمين على طول المحور. على وجه الخصوص ، يعني ببساطة أن النقطة

5. لتعيين أي نقطة على محور الإحداثيات ، تحتاج إلى تحديد إحداثياتها (رقمان)

6. لأي نقطة ملقاة على المحور ،

7. لأي نقطة ملقاة على المحور ،

8. يسمى المحور المحور x

9. يسمى المحور المحور ص

الآن دعنا نأخذ الخطوة التالية معك: حدد نقطتين. ربط هاتين النقطتين بخط. ودعنا نضع السهم كما لو كنا نرسم مقطعًا من نقطة إلى أخرى: أي أننا سنجعل مقطعنا موجهًا!

تذكر ما هو الاسم الآخر للمقطع الموجه؟ هذا صحيح ، إنه يسمى ناقل!

وبالتالي ، إذا ربطنا نقطة بنقطة ، وستكون البداية النقطة أ ، والنهاية ستكون النقطة ب ،ثم نحصل على ناقل. أنت أيضا فعلت هذا البناء في الصف الثامن ، هل تتذكر؟

اتضح أن المتجهات ، مثل النقاط ، يمكن الإشارة إليها برقمين: تسمى هذه الأرقام إحداثيات المتجه. سؤال: هل تعتقد أنه يكفي أن نعرف إحداثيات بداية ونهاية المتجه لإيجاد إحداثياته؟ اتضح أن نعم! ومن السهل جدًا القيام بما يلي:

وبالتالي ، نظرًا لأن النقطة في المتجه هي البداية والنهاية ، فإن المتجه له الإحداثيات التالية:

على سبيل المثال ، إذا ، فإن إحداثيات المتجه

والآن لنفعل العكس ، أوجد إحداثيات المتجه. ماذا نحتاج لتغيير هذا؟ نعم ، أنت بحاجة إلى تبديل البداية والنهاية: ستكون بداية المتجه الآن عند نقطة ما ، وستكون النهاية عند نقطة ما. ثم:

انظر عن كثب ، ما هو الفرق بين النواقل و؟ الاختلاف الوحيد بينهما هو العلامات الموجودة في الإحداثيات. هم عكس ذلك. هذه الحقيقة مكتوبة على النحو التالي:

في بعض الأحيان ، إذا لم يتم تحديد النقطة التي تمثل بداية المتجه ، وما هي النهاية ، فسيتم الإشارة إلى المتجهات ليس بحرفين كبيرين ، ولكن بحرف صغير واحد ، على سبيل المثال: ، إلخ.

الآن قليلا ممارسةوابحث عن إحداثيات النواقل التالية:

فحص:

الآن حل المشكلة أكثر صعوبة:

طارة متجه مع خردة on-cha-scrap في نقطة ما لها مشاركة أو ثنائية. Find-di-te abs-cis-su Points.

كل نفس الأمر مبتذل تمامًا: دعنا نكون إحداثيات النقطة. ثم

لقد جمعت النظام بتحديد إحداثيات المتجه. ثم النقطة لها إحداثيات. نحن مهتمون بالإحداثيات. ثم

إجابه:

ماذا يمكنك أن تفعل مع النواقل؟ نعم ، كل شيء تقريبًا هو نفسه كما هو الحال مع الأرقام العادية (باستثناء أنه لا يمكنك القسمة ، ولكن يمكنك الضرب بطريقتين ، سنناقش إحداهما هنا بعد قليل)

1. يمكن تكديس النواقل مع بعضها البعض
2. يمكن طرح المتجهات من بعضها البعض
3. يمكن مضاعفة المتجهات (أو تقسيمها) بواسطة رقم تعسفي غير صفري
4. يمكن مضاعفة المتجهات مع بعضها البعض

كل هذه العمليات لها تمثيل هندسي مرئي تمامًا. على سبيل المثال ، قاعدة المثلث (أو متوازي الأضلاع) للجمع والطرح:

يمتد المتجه أو يتقلص أو يغير اتجاهه عند ضربه أو تقسيمه على رقم:

ومع ذلك ، سنهتم هنا بمسألة ما يحدث للإحداثيات.

1. عند إضافة (طرح) متجهين ، نضيف (نطرح) إحداثياتهما عنصرًا تلو الآخر. بمعنى آخر:

2. عند ضرب (قسمة) متجه على رقم ، يتم ضرب (قسمة) جميع إحداثياته ​​في هذا الرقم:

علي سبيل المثال:

· البحث عن مجموع ko-or-di-nat Century-to-ra.

لنجد أولًا إحداثيات كل متجه. كلاهما لهما نفس الأصل - نقطة الأصل. نهاياتهم مختلفة. ثم، . الآن نحسب إحداثيات المتجه ثم مجموع إحداثيات المتجه الناتج يساوي.

إجابه:

الآن حل المشكلة التالية بنفسك:

· أوجد مجموع إحداثيات المتجه

نحن نفحص:

لنفكر الآن في المشكلة التالية: لدينا نقطتان على المستوى الإحداثي. كيف تجد المسافة بينهما؟ دع النقطة الأولى تكون ، والثانية. دعنا نشير إلى المسافة بينهما على أنها. لنرسم الرسم التالي من أجل الوضوح:

ما الذي فعلته؟ أولاً ، قمت بتوصيل النقاط ، وكذلك قمت برسم خط موازٍ للمحور من النقطة ، ورسمت خطًا موازٍ للمحور من النقطة. هل تقاطعا عند نقطة معينة وشكلوا شخصية رائعة؟ لماذا هي رائعة؟ نعم ، أنا وأنت نعرف كل شيء تقريبًا عن المثلث القائم الزاوية. حسنًا ، نظرية فيثاغورس بالتأكيد. المقطع المطلوب هو وتر هذا المثلث ، والأجزاء هي الأرجل. ما هي إحداثيات النقطة؟ نعم ، يسهل العثور عليها من الصورة: نظرًا لأن المقاطع موازية للمحاور ، ومن السهل العثور على أطوالها على التوالي: إذا أشرنا إلى أطوال المقاطع ، على التوالي ، من خلال ، إذن

الآن دعونا نستخدم نظرية فيثاغورس. نعرف أطوال الأرجل ، سنجد الوتر:

وبالتالي ، فإن المسافة بين نقطتين هي مجموع جذر الفروق التربيعية من الإحداثيات. أو - المسافة بين نقطتين هي طول المقطع الذي يربط بينهما. من السهل ملاحظة أن المسافة بين النقطتين لا تعتمد على الاتجاه. ثم:

من هذا نستخلص ثلاثة استنتاجات:

لنتدرب قليلاً على حساب المسافة بين نقطتين:

على سبيل المثال ، إذا ، فإن المسافة بين و هي

أو لنذهب بشكل مختلف: أوجد إحداثيات المتجه

وابحث عن طول المتجه:

كما ترى ، نفس الشيء!

الآن تدرب قليلاً بنفسك:

المهمة: أوجد المسافة بين النقاط المحددة:

نحن نفحص:

فيما يلي مشكلتان إضافيتان لنفس الصيغة ، على الرغم من اختلافهما قليلاً:

1. ابحث عن مربع طول الجفن إلى الراس.

2. مربع Nai-di-te من طول الجفن إلى را

أظن أنه يمكنك التعامل معهم بسهولة؟ نحن نفحص:

1. وهذا من أجل الانتباه) لقد وجدنا بالفعل إحداثيات المتجهات من قبل:. ثم يكون للمتجه إحداثيات. مربع طوله سيكون:

2. أوجد إحداثيات المتجه

ثم مربع طوله

لا شيء معقد ، أليس كذلك؟ عملية حسابية بسيطة ، لا أكثر.

لا يمكن تصنيف الألغاز التالية بشكل لا لبس فيه ، فهي بالأحرى لسعة الاطلاع العامة والقدرة على رسم صور بسيطة.

1. ابحث عن جيب الزاوية للزاوية عند نقطة الوصول من النقطة ، قم بتوصيل نقطة واحدة من رقم عشر ، بمحور الإحداثي.

و

كيف سنفعل ذلك هنا؟ تحتاج إلى إيجاد جيب الزاوية بين المحور والمحور. وأين يمكننا البحث عن الجيب؟ هذا صحيح ، في مثلث قائم الزاوية. إذن ماذا علينا أن نفعل؟ ابنِ هذا المثلث!

منذ إحداثيات النقطة ، ثم المقطع يساوي ، والقطعة. علينا إيجاد جيب الزاوية. اسمحوا لي أن أذكركم أن الجيب هو نسبة الضلع المقابلة إلى الوتر ، إذن

ماذا بقي لنا أن نفعل؟ أوجد الوتر. يمكنك القيام بذلك بطريقتين: من خلال نظرية فيثاغورس (الأرجل معروفة!) أو عن طريق صيغة المسافة بين نقطتين (في الواقع نفس الطريقة الأولى!). سأذهب في الطريق الثاني:

إجابه:

ستبدو المهمة التالية أسهل بالنسبة لك. هي - على إحداثيات النقطة.

المهمة 2.من هذه النقطة ، يتم إنزال كل قلم على محور abs-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

لنرسم رسمًا:

قاعدة العمود العمودي هي النقطة التي يتقاطع عندها مع المحور x (المحور) بالنسبة لي هذه نقطة. يوضح الشكل أنه يحتوي على إحداثيات:. نحن مهتمون بالإحداثي السيني - أي المكون "X". هي متساوية.

إجابه: .

المهمة 3.في ظل ظروف المشكلة السابقة ، ابحث عن مجموع المسافات من النقطة إلى محاور الإحداثيات.

تكون المهمة أساسية بشكل عام إذا كنت تعرف المسافة من نقطة إلى المحاور. أنت تعرف؟ أتمنى ، لكني ما زلت أذكرك:

لذا ، في الرسم الخاص بي ، الموجود أعلى قليلاً ، لقد قمت بالفعل بتصوير واحد عمودي من هذا القبيل؟ ما هو المحور؟ على المحور. وما هو طوله إذن؟ هي متساوية. الآن ارسم عموديًا على المحور بنفسك وابحث عن طوله. ستكون متساوية ، أليس كذلك؟ ثم مجموعهم يساوي.

إجابه: .

المهمة 4.في ظروف المسألة 2 ، أوجد إحداثيات النقطة المتماثلة مع النقطة الموجودة حول المحور x.

أعتقد أنك تفهم بشكل حدسي ما هو التناظر؟ يوجد العديد من الكائنات: العديد من المباني ، والجداول ، والطائرات ، والعديد من الأشكال الهندسية: كرة ، أسطوانة ، مربع ، معين ، إلخ. نصفي متطابق. يسمى هذا التناظر المحوري. إذن ما هو المحور؟ هذا هو بالضبط الخط الذي يمكن "تقطيع" الشكل على طوله ، نسبيًا ، إلى نصفين متطابقين (في هذه الصورة ، يكون محور التناظر مستقيمًا):

الآن دعنا نعود إلى مهمتنا. نعلم أننا نبحث عن نقطة متماثلة حول المحور. ثم هذا المحور هو محور التناظر. لذا ، نحتاج إلى تحديد نقطة بحيث يقطع المحور الجزء إلى جزأين متساويين. حاول تحديد هذه النقطة بنفسك. قارن الآن مع الحل الخاص بي:

هل فعلت نفس الشيء؟ نحن سوف! في النقطة التي تم العثور عليها ، نحن مهتمون بالإحداثيات. هي متساوية

إجابه:

أخبرني الآن ، بعد التفكير لثانية ، ماذا سيكون حدثي النقطة المتناظرة للنقطة A حول المحور y؟ ما هي اجابتك اجابة صحيحة: .

بشكل عام يمكن كتابة القاعدة على النحو التالي:

النقطة المتماثلة مع نقطة حول المحور السيني لها إحداثيات:

النقطة المتماثلة مع نقطة حول المحور y لها إحداثيات:

حسنًا ، الآن الأمر مخيف حقًا. مهمة: أوجد إحداثيات نقطة متناظرة مع نقطة ، نسبة إلى نقطة الأصل. تفكر أولاً بنفسك ، ثم انظر إلى الرسم الخاص بي!

إجابه:

الآن مشكلة متوازي الأضلاع:

المهمة 5: النقاط هي ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Find-dee-te أو-dee-on-tu.

يمكنك حل هذه المشكلة بطريقتين: طريقة المنطق والإحداثيات. سأقوم أولاً بتطبيق طريقة الإحداثيات ، وبعد ذلك سأخبرك كيف يمكنك أن تقرر بشكل مختلف.

من الواضح تمامًا أن إحداثيات النقطة متساوية. (تقع على العمود العمودي المرسوم من النقطة إلى المحور x). علينا إيجاد الإحداثي. دعونا نستفيد من حقيقة أن الشكل لدينا متوازي أضلاع ، مما يعني ذلك. أوجد طول المقطع باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين:

نخفض العمود الذي يربط النقطة بالمحور. يتم الإشارة إلى نقطة التقاطع بحرف.

طول المقطع يساوي. (ابحث عن المشكلة بنفسك ، حيث ناقشنا هذه اللحظة) ، ثم سنجد طول المقطع باستخدام نظرية فيثاغورس:

طول المقطع مطابق تمامًا لإحداثيته.

إجابه: .

حل آخر (سأقدم فقط صورة توضح ذلك)

تقدم الحل:

1. الإنفاق

2. البحث عن إحداثيات نقطة وطولها

3. إثبات ذلك.

واحدة أخرى قطع طول المشكلة:

النقاط هي-لا-يوت-شيا-توب-شي-أون-مي ثلاثي الزاوية-نو-كا. أوجد طول خط الوسط ، par-ral-lel-noy.

هل تتذكر ما هو الخط الأوسط في المثلث؟ ثم بالنسبة لك هذه المهمة الابتدائية. إذا كنت لا تتذكر ، فسوف أذكرك: الخط الأوسط للمثلث هو الخط الذي يربط بين نقاط المنتصف للأضلاع المتقابلة. وهي موازية للقاعدة وتساوي نصفها.

القاعدة قطعة. كان علينا البحث عن طوله مسبقًا ، فهو يساوي. ثم طول خط الوسط هو نصف الطول ومتساوي.

إجابه: .

تعليق: يمكن حل هذه المشكلة بطريقة أخرى ، وسننتقل إليها بعد قليل.

في هذه الأثناء ، إليك بعض المهام بالنسبة لك ، تدرب عليها ، إنها بسيطة جدًا ، لكنها تساعد في "الحصول على يدك" باستخدام طريقة الإحداثيات!

1. النقاط تظهر-لا-يوت-شيا-أعلى-شي-أون-مي ترا-بي-نش. أوجد طول خط الوسط.

2. النقاط و yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Find-dee-te أو-dee-on-tu.

3. ابحث عن الطول من القطع ، وقم بتوصيل النقطة الثانية و

4. ابحث عن المنطقة المخصصة لـ-the-red-shen-noy fi-gu-ry على متن طائرة ko-or-di-nat-noy.

5. دائرة متمركزة في na-cha-le ko-or-di-nat تمر عبر نقطة. ابحث عن را دي شارب لها.

6. Nai-di-te ra-di-us round-no-sti ، وصف سان-نوي بالقرب من الزاوية اليمنى-نو-كا ، وقمم-شي-ني لشيء رو-غو شارك أو - دي نا أنت مشارك من الرد ولكن

حلول:

1. من المعروف أن خط الوسط لشكل شبه منحرف يساوي نصف مجموع قاعدته. القاعدة متساوية لكن القاعدة. ثم

إجابه:

2. أسهل طريقة لحل هذه المشكلة هي ملاحظة ذلك (قاعدة متوازي الأضلاع). احسب إحداثيات المتجهات وليست صعبة:. عند إضافة المتجهات ، تتم إضافة الإحداثيات. ثم لديه إحداثيات. النقطة لها نفس الإحداثيات ، لأن بداية المتجه هي نقطة ذات إحداثيات. نحن مهتمون بالمرتبة. هي متساوية.

إجابه:

3. نتصرف فورًا وفقًا لمعادلة المسافة بين نقطتين:

إجابه:

4. انظر إلى الصورة وقل ، بين أي رقمين يتم "ضغط" المنطقة المظللة؟ تقع بين مربعين. ثم مساحة الشكل المطلوب تساوي مساحة المربع الكبير مطروحًا منها مساحة المربع الصغير. جانب المربع الصغير عبارة عن قطعة تربط النقاط وطولها

ثم مساحة المربع الصغير هي

ونفعل الشيء نفسه مع مربع كبير: ضلعه عبارة عن جزء يربط بين النقاط ويساوي طوله

ثم مساحة المربع الكبير

تم العثور على مساحة الشكل المطلوب بواسطة الصيغة:

إجابه:

5. إذا كان أصل الدائرة هو مركزها ومرت عبر نقطة ، فسيكون نصف قطرها مساويًا تمامًا لطول المقطع (قم برسم وستفهم سبب وضوح ذلك). أوجد طول هذا الجزء:

إجابه:

6. من المعروف أن نصف قطر دائرة حول مستطيل يساوي نصف قطرها. لنجد طول أي من القطرين (بعد كل شيء ، في المستطيل يكونان متساويين!)

إجابه:

حسنًا ، هل تمكنت من إدارة كل شيء؟ لم يكن من الصعب معرفة ذلك ، أليس كذلك؟ توجد قاعدة واحدة فقط هنا - أن تكون قادرًا على تكوين صورة مرئية و "قراءة" جميع البيانات منها ببساطة.

لدينا القليل جدا من اليسار. هناك نقطتان أخريان أود مناقشتهما.

دعنا نحاول حل هذه المشكلة البسيطة. دع نقطتين وتعطى. أوجد إحداثيات منتصف المقطع. حل هذه المشكلة كما يلي: اجعل النقطة هي الوسط المرغوب ، ثم يكون لها إحداثيات:

بمعنى آخر: إحداثيات منتصف المقطع = المتوسط ​​الحسابي للإحداثيات المقابلة لنهايات المقطع.

هذه القاعدة بسيطة جدًا وعادة لا تسبب صعوبات للطلاب. دعونا نرى ما هي المشاكل وكيف يتم استخدامها:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut و connect-nya-yu-th-th point and

2. النقاط هي yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-Coal-no-ka. Find-di-te or-di-na-tu Points of re-re-se-che-niya الخاص به.

3. Find-di-te abs-cis-su لمركز الدائرة ، وصف سان نوي بالقرب من المستطيل-نو-كا ، وقمم-شي-لدينا شيء-رو-جو-أو-دي- نا-أنت-من-بيطري-ستيفينو-لكن.

حلول:

1. المهمة الأولى هي مجرد مهمة كلاسيكية. نتصرف على الفور من خلال تحديد نقطة منتصف المقطع. لديها إحداثيات. الإحداثي يساوي.

إجابه:

2. من السهل ملاحظة أن الشكل الرباعي المحدد متوازي أضلاع (حتى المعين!). يمكنك إثبات ذلك بنفسك عن طريق حساب أطوال الأضلاع ومقارنتها ببعضها البعض. ماذا أعرف عن متوازي الأضلاع؟ أقطارها شطر من نقطة التقاطع! آها! إذن ما هي نقطة تقاطع الأقطار؟ هذا هو منتصف أي من الأقطار! سأختار ، على وجه الخصوص ، القطر. ثم يكون للنقطة إحداثيات إحداثي النقطة يساوي.

إجابه:

3. ما هو مركز الدائرة المحيط بالمستطيل؟ يتزامن مع نقطة تقاطع أقطارها. ماذا تعرف عن أقطار المستطيل؟ إنهما متساويان ونقطة التقاطع مقسمة إلى نصفين. تم تقليل المهمة إلى السابقة. خذ على سبيل المثال القطر. ثم إذا كان مركز الدائرة المقيدة ، فهذا هو الوسط. أنا أبحث عن إحداثيات: إن الإحداثي السيني متساوي.

إجابه:

الآن تدرب قليلاً بمفردك ، سأقدم فقط إجابات لكل مشكلة حتى تتمكن من التحقق من نفسك.

1. Nai-di-te ra-di-us round-no-sti ، وصف سان نوي بالقرب من المثلث-نو-كا ، وقمم شخص-رو-غو بها رذاذ كو-أو-دي-نو

2. ابحث عن مركز الدائرة ، أو قم بوصف سان نوي بالقرب من المثلث-نو-كا ، وقمم-شي-لدينا إحداثيات شيء-رو-غو

3. ما نوع ra-di-y-sa الذي يجب أن تكون هناك دائرة بمركز عند نقطة بحيث تلامس محور abs-ciss؟

4. ابحث عن نقطة إعادة تحديد المحور والنقطة المقطوعة وربط النيا والثالث و

الإجابات:

هل كل شيء على ما يرام؟ أنا حقا أتمنى ذلك! الآن - آخر دفعة. الآن كن حذرا بشكل خاص. المادة التي سأشرحها الآن ليست فقط ذات صلة بمشاكل طريقة الإحداثيات البسيطة في الجزء ب ، ولكنها موجودة أيضًا في كل مكان في المسألة ج 2.

أي من وعودي لم أفي بها بعد؟ تذكر ما هي العمليات على النواقل التي وعدت بتقديمها وأي العمليات قمت بتقديمها في النهاية؟ هل أنا متأكد من أنني لم أنس شيئًا؟ نسيت! لقد نسيت أن أشرح معنى مضاعفة النواقل.

هناك طريقتان لضرب متجه في متجه. اعتمادًا على الطريقة المختارة ، سنحصل على كائنات ذات طبيعة مختلفة:

منتج المتجه معقد للغاية. كيفية القيام بذلك وسبب الحاجة إليه ، سنناقش معك في المقالة التالية. وفي هذا سوف نركز على المنتج القياسي.

هناك طريقتان بالفعل تسمحان لنا بحسابه:

كما خمنت ، يجب أن تكون النتيجة هي نفسها! لذلك دعونا ننظر إلى الطريقة الأولى أولاً:

منتج نقطي من خلال الإحداثيات

البحث عن: - تدوين مشترك للمنتج النقطي

صيغة الحساب كما يلي:

أي ، حاصل الضرب النقطي = مجموع حاصل ضرب إحداثيات المتجهات!

مثال:

Find-dee-te

قرار:

ابحث عن إحداثيات كل متجه:

نحسب المنتج العددي بالصيغة:

إجابه:

كما ترى ، لا شيء معقد على الإطلاق!

حسنًا ، جربها بنفسك الآن:

Find-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie من القرن إلى الخندق و

هل تستطيع فعلها؟ ربما لاحظ خدعة صغيرة؟ دعونا تحقق:

إحداثيات المتجهات ، كما في المهمة السابقة! إجابه: .

بالإضافة إلى الإحداثيات ، هناك طريقة أخرى لحساب الناتج القياسي ، أي من خلال أطوال المتجهات وجيب الزاوية بينهما:

تشير إلى الزاوية بين المتجهات و.

أي أن الناتج القياسي يساوي حاصل ضرب أطوال المتجهات وجيب الزاوية بينهما.

لماذا نحتاج إلى هذه الصيغة الثانية ، إذا كانت لدينا الصيغة الأولى ، وهي أبسط بكثير ، على الأقل لا يوجد بها جيب تمام. وهي ضرورية بحيث يمكننا من الصيغتين الأولى والثانية استنتاج كيفية إيجاد الزاوية بين المتجهات!

دعنا نتذكر إذن صيغة طول المتجه!

ثم إذا أدخلت هذه البيانات في صيغة المنتج النقطي ، فسأحصل على:

لكن على الجانب الآخر:

اذا على ماذا حصلنا؟ لدينا الآن صيغة لحساب الزاوية بين متجهين! في بعض الأحيان ، للإيجاز ، يتم كتابته أيضًا على النحو التالي:

أي أن خوارزمية حساب الزاوية بين المتجهات هي كما يلي:

1. نحسب حاصل الضرب القياسي من خلال الإحداثيات
2. أوجد أطوال المتجهات واضربهم
3. قسّم نتيجة النقطة 1 على نتيجة النقطة 2

لنتدرب بالأمثلة:

1. أوجد الزاوية بين الجفون إلى را مي و. أعط إجابتك بالدرجات.

2. في ظل ظروف المشكلة السابقة ، أوجد جيب التمام بين المتجهات

لنفعل هذا: سأساعدك في حل المشكلة الأولى ، ومحاولة حل المشكلة الثانية بنفسك! أنا موافق؟ ثم لنبدأ!

1. هذه النواقل هي أصدقائنا القدامى. لقد درسنا بالفعل منتجهم القياسي وكان متساويًا. إحداثياتهم هي: ،. ثم نجد أطوالهم:

ثم نبحث عن جيب التمام بين المتجهات:

ما هو جيب تمام الزاوية؟ هذه هي الزاوية.

إجابه:

حسنًا ، الآن حل المشكلة الثانية بنفسك ، ثم قارن! سأقدم حلاً قصيرًا جدًا:

2. له إحداثيات وإحداثيات.

اسمحوا أن تكون الزاوية بين النواقل ، وبعد ذلك

إجابه:

وتجدر الإشارة إلى أن المهام مباشرة على المتجهات وطريقة الإحداثيات في الجزء B من ورقة الامتحان نادرة جدًا. ومع ذلك ، يمكن حل الغالبية العظمى من مشكلات C2 بسهولة عن طريق إدخال نظام إحداثيات. لذلك يمكنك اعتبار هذه المقالة أساسًا ، على أساسه سنقوم بإنشاء تركيبات صعبة للغاية سنحتاجها لحل المشكلات المعقدة.

ينسق ونواقل. المستوى المتوسط

أنت وأنا نواصل دراسة طريقة الإحداثيات. في الجزء الأخير ، استنتجنا عددًا من الصيغ المهمة التي تسمح بما يلي:

1. ابحث عن إحداثيات المتجهات
2. أوجد طول المتجه (بدلاً من ذلك: المسافة بين نقطتين)
3. جمع وطرح المتجهات. اضربهم في عدد حقيقي
4. أوجد نقطة منتصف القطعة
5. احسب حاصل الضرب القياسي للمتجهات
6. أوجد الزاوية بين المتجهات

بالطبع ، لا تتناسب طريقة الإحداثيات بأكملها مع هذه النقاط الست. إنه أساس علم مثل الهندسة التحليلية ، والذي سوف تتعرف عليه في الجامعة. أريد فقط بناء مؤسسة تسمح لك بحل المشاكل في دولة واحدة. امتحان. توصلنا إلى مهام الجزء ب ، حان الوقت الآن للانتقال إلى مستوى جديد نوعيًا! سيتم تخصيص هذه المقالة لطريقة لحل مشاكل C2 التي سيكون من المعقول فيها التبديل إلى طريقة الإحداثيات. يتم تحديد هذه المعقولية من خلال ما يجب العثور عليه في المشكلة ، وما هو الرقم المعطى. لذلك ، سأستخدم طريقة التنسيق إذا كانت الأسئلة:

1. أوجد الزاوية بين مستويين
2. أوجد الزاوية بين الخط والمستوى
3. أوجد الزاوية بين خطين
4. أوجد المسافة من نقطة إلى مستوى
5. أوجد المسافة من نقطة إلى خط
6. أوجد المسافة من الخط المستقيم إلى المستوى
7. أوجد المسافة بين خطين

إذا كان الشكل المعطى في حالة المشكلة عبارة عن جسم ثورة (كرة ، أسطوانة ، مخروط ...)

الأرقام المناسبة لطريقة الإحداثيات هي:

1. مكعباني شبيه بالمكعب
2. الهرم (مثلث ، رباعي الزوايا ، سداسي)

أيضا في تجربتي من غير المناسب استخدام طريقة الإحداثيات لـ:

1. إيجاد مناطق الأقسام
2. حسابات حجوم الأجسام

ومع ذلك ، يجب أن يلاحظ على الفور أن ثلاث حالات "غير مواتية" لطريقة الإحداثيات نادرة جدًا في الممارسة. في معظم المهام ، يمكن أن يصبح منقذك ، خاصة إذا لم تكن قويًا جدًا في الإنشاءات ثلاثية الأبعاد (والتي تكون في بعض الأحيان معقدة للغاية).

ما هي كل الأرقام التي ذكرتها أعلاه؟ لم تعد مسطحة ، مثل مربع ، مثلث ، دائرة ، لكنها ضخمة! وفقًا لذلك ، لا نحتاج إلى اعتبار نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد ، بل ثلاثي الأبعاد. تم بناؤه بسهولة تامة: فقط بالإضافة إلى الإحداثي والإحداثيات ، سنقدم محورًا آخر ، وهو المحور المطبق. يوضح الشكل بشكل تخطيطي موقعهم النسبي:

كل منهم متعامد بشكل متبادل ، ويتقاطع عند نقطة واحدة ، والتي سوف نسميها الأصل. سيتم الإشارة إلى محور الإحداثيات ، كما كان من قبل ، والمحور الإحداثي - والمحور المطبق المقدم -.

إذا كانت كل نقطة على المستوى في وقت سابق تتميز برقمين - الإحداثية والإحداثية ، فإن كل نقطة في الفضاء موصوفة بالفعل بثلاثة أرقام - الإحداثي ، والإحداثيات ، والمطبقة. علي سبيل المثال:

وفقًا لذلك ، فإن إحداثي النقطة متساوية ، والإحداثيات ، والمطبقة.

في بعض الأحيان ، يُطلق على حدود نقطة ما أيضًا اسم إسقاط النقطة على محور الإحداثيات ، والإحداثيات هي إسقاط النقطة على المحور الصادي ، والتطبيق هو إسقاط النقطة على محور التطبيق. وفقًا لذلك ، إذا تم إعطاء نقطة ، فإن النقطة ذات الإحداثيات:

يسمى إسقاط نقطة على مستوى

يسمى إسقاط نقطة على مستوى

يطرح سؤال طبيعي: هل جميع الصيغ المشتقة للحالة ثنائية الأبعاد صالحة في الفضاء؟ الجواب نعم ، هم عادلون ولديهم نفس المظهر. للحصول على تفاصيل صغيرة. أعتقد أنك خمنت بالفعل أي واحد. في جميع الصيغ ، سيتعين علينا إضافة مصطلح آخر مسؤول عن محور التطبيق. يسمى.

1. إذا أعطيت نقطتان:

• إحداثيات المتجهات:
• المسافة بين نقطتين (أو طول متجه)
• يوجد إحداثيات في منتصف المقطع

2. إذا تم إعطاء متجهين: ثم:

• منتجهم النقطي هو:
• جيب تمام الزاوية بين المتجهات هو:

ومع ذلك ، فإن المساحة ليست بهذه البساطة. كما تفهم ، فإن إضافة إحداثي آخر يقدم تنوعًا كبيرًا في مجموعة الشخصيات "التي تعيش" في هذا الفضاء. ولمزيد من السرد ، أحتاج إلى تقديم بعض "التعميم" ، تقريبًا ، للخط المستقيم. هذا "التعميم" سيكون طائرة. ماذا تعرف عن الطائرة؟ حاول الإجابة على السؤال ، ما هي الطائرة؟ من الصعب جدا القول. ومع ذلك ، نتخيل جميعًا بشكل حدسي كيف يبدو:

بشكل تقريبي ، هذا نوع من "الورقة" التي لا نهاية لها يتم دفعها في الفضاء. يجب فهم "اللانهاية" أن المستوى يمتد في جميع الاتجاهات ، أي أن مساحته تساوي اللانهاية. ومع ذلك ، فإن هذا التفسير "على الأصابع" لا يعطي أدنى فكرة عن هيكل الطائرة. وسنكون مهتمين به.

لنتذكر إحدى البديهيات الأساسية في الهندسة:

• يمر الخط المستقيم بنقطتين مختلفتين على المستوى ، علاوة على ذلك ، نقطة واحدة فقط:

أو نظيرتها في الفضاء:

بالطبع ، تتذكر كيفية اشتقاق معادلة الخط المستقيم من نقطتين معينتين ، وهذا ليس بالأمر الصعب على الإطلاق: إذا كانت النقطة الأولى لها إحداثيات: والثانية ، فإن معادلة الخط المستقيم ستكون على النحو التالي:

مررت بهذا في الصف السابع. في الفضاء ، تبدو معادلة الخط المستقيم على النحو التالي: دعونا نحصل على نقطتين مع إحداثيات: إذن ، تكون معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبرهما بالشكل التالي:

على سبيل المثال ، يمر الخط عبر النقاط:

كيف يجب فهم هذا؟ يجب فهم ذلك على النحو التالي: تقع النقطة على خط إذا كانت إحداثياتها تفي بالنظام التالي:

لن نهتم كثيرًا بمعادلة الخط المستقيم ، لكن علينا الانتباه إلى المفهوم المهم جدًا لمتجه التوجيه للخط المستقيم. - أي متجه غير صفري يقع على خط معين أو موازٍ له.

على سبيل المثال ، كلا المتجهين هما متجهان اتجاه لخط مستقيم. يجب أن تكون نقطة تقع على خط مستقيم ، وتكون متجهًا لها. ثم يمكن كتابة معادلة الخط المستقيم بالشكل التالي:

مرة أخرى ، لن أكون مهتمًا جدًا بمعادلة الخط المستقيم ، لكنني أريدك حقًا أن تتذكر ماهية متجه الاتجاه! تكرارا: إنه أي متجه غير صفري يقع على خط أو موازٍ له.

انسحب معادلة من ثلاث نقاط للطائرةلم يعد تافهًا جدًا ، وعادة ما لا يتم تغطيته في دورة المدرسة الثانوية. لكن عبثا! هذه التقنية ضرورية عندما نلجأ إلى طريقة الإحداثيات لحل المشاكل المعقدة. ومع ذلك ، أفترض أنك مليء بالرغبة في تعلم شيء جديد؟ علاوة على ذلك ، ستكون قادرًا على إقناع معلمك في الجامعة عندما يتضح أنك تعرف بالفعل كيفية استخدام التقنية التي تتم دراستها عادةً في سياق الهندسة التحليلية. لذلك دعونا نبدأ.

لا تختلف معادلة المستوى كثيرًا عن معادلة الخط المستقيم على المستوى ، أي أن لها الشكل:

بعض الأرقام (لا تساوي جميعها صفرًا) ، لكن متغيرات ، على سبيل المثال: إلخ. كما ترى ، فإن معادلة المستوى لا تختلف كثيرًا عن معادلة الخط المستقيم (الدالة الخطية). ومع ذلك ، تذكر ما ناقشناه معك؟ قلنا أنه إذا كانت لدينا ثلاث نقاط لا تقع على خط مستقيم واحد ، فستتم استعادة معادلة المستوى بشكل فريد منها. ولكن كيف؟ سأحاول أن أشرح لك.

بما أن معادلة المستوى هي:

وتنتمي النقاط إلى هذا المستوى ، ثم عند استبدال إحداثيات كل نقطة في معادلة المستوى ، يجب أن نحصل على المتطابقة الصحيحة:

وبالتالي ، هناك حاجة لحل ثلاث معادلات مجهولة بالفعل! ورطة! ومع ذلك ، يمكننا دائمًا افتراض ذلك (لهذا نحتاج إلى القسمة على). وهكذا نحصل على ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل:

ومع ذلك ، فإننا لن نحل مثل هذا النظام ، ولكن نكتب التعبير الخفي الذي يليه:

معادلة مستوى يمر عبر ثلاث نقاط معينة

\ [\ اليسار | (\ start (array) (* (20) (c)) (x - (x_0)) & ((x_1) - (x_0)) & ((x_2) - (x_0)) \\ (y - (y_0) ) & ((y_1) - (y_0)) & ((y_2) - (y_0)) \\ (z - (z_0)) & ((z_1) - (z_0)) & ((z_2) - (z_0)) \ نهاية (مجموعة)) \ الحق | = 0 \]

قف! ماذا هذا ايضا؟ بعض وحدة غير عادية للغاية! ومع ذلك ، فإن الكائن الذي تراه أمامك لا علاقة له بالوحدة النمطية. يسمى هذا الكائن المحدد من الدرجة الثالثة. من الآن فصاعدًا ، عندما تتعامل مع طريقة الإحداثيات على مستوى ما ، ستصادف غالبًا هذه المحددات للغاية. ما هو محدد الدرجة الثالثة؟ الغريب أنه مجرد رقم. يبقى أن نفهم ما هو الرقم المحدد الذي سنقارنه بالمحدد.

لنكتب أولاً المحدد من الدرجة الثالثة بشكل أكثر عمومية:

أين توجد بعض الأرقام. علاوة على ذلك ، فإننا نعني بالفهرس الأول رقم الصف ، وبالمؤشر - رقم العمود. على سبيل المثال ، هذا يعني أن الرقم المحدد يقع عند تقاطع الصف الثاني والعمود الثالث. لنطرح السؤال التالي: كيف سنحسب بالضبط مثل هذا المحدد؟ أي ، ما هو الرقم المحدد الذي سنقارنه به؟ بالنسبة لمحدد الترتيب الثالث بالضبط ، توجد قاعدة مثلث إرشادية (مرئية) ، تبدو كالتالي:

1. حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي (من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين) حاصل ضرب العناصر التي تشكل المثلث الأول "العمودي" على القطر الرئيسي ، منتج العناصر التي تشكل المثلث الثاني "العمودي" على المثلث الرئيسي قطري
2. حاصل ضرب عناصر القطر الثانوي (من أعلى اليمين إلى أسفل اليسار) منتج العناصر التي تشكل المثلث الأول "العمودي" على القطر الثانوي ، منتج العناصر التي تشكل المثلث الثاني "العمودي" على القطر الثانوي
3. ثم المحدد يساوي الفرق بين القيم التي تم الحصول عليها في الخطوة و

إذا كتبنا كل هذا بالأرقام ، نحصل على التعبير التالي:

ومع ذلك ، لا تحتاج إلى حفظ طريقة الحساب بهذا الشكل ، يكفي فقط الاحتفاظ بالمثلثات في رأسك وفكرة ما يضاف إلى ماذا وما يتم طرحه بعد ذلك من ماذا).

دعنا نوضح طريقة المثلث بمثال:

1. احسب المحدد:

لنكتشف ما نضيفه وما نطرحه:

المصطلحات التي تأتي مع "زائد":

هذا هو القطر الرئيسي: حاصل ضرب العناصر

المثلث الأول "عمودي على القطر الرئيسي: حاصل ضرب العناصر

المثلث الثاني "عمودي على القطر الرئيسي: حاصل ضرب العناصر

نضيف ثلاثة أرقام:

المصطلحات التي تأتي مع "ناقص"

هذا قطري جانبي: حاصل ضرب العناصر

المثلث الأول "عمودي على القطر الثانوي: حاصل ضرب العناصر

المثلث الثاني "عمودي على القطر الثانوي: حاصل ضرب العناصر

نضيف ثلاثة أرقام:

كل ما يتبقى هو أن نطرح من مجموع عبارات الجمع مجموع شروط ناقص:

هكذا،

كما ترى ، لا يوجد شيء معقد وخارق للطبيعة في حساب محددات الدرجة الثالثة. من المهم ببساطة تذكر المثلثات وعدم ارتكاب أخطاء حسابية. حاول الآن أن تحسب نفسك:

نحن نفحص:

1. المثلث الأول عمودي على القطر الرئيسي:
2. المثلث الثاني العمودي على القطر الرئيسي:
3. مجموع شروط زائد:
4. المثلث الأول متعامد على القطر الجانبي:
5. المثلث الثاني العمودي على قطر الضلع:
6. مجموع الشروط ناقص:
7. مجموع شروط زائد ناقص مجموع ناقص الشروط:

إليك بعض المحددات الأخرى بالنسبة لك ، احسب قيمها بنفسك وقارن بينها بالإجابات:

الإجابات:

حسنًا ، هل كل شيء متطابق؟ عظيم ، إذن يمكنك المضي قدمًا! إذا كانت هناك صعوبات ، فإن نصيحتي هي: هناك مجموعة من البرامج على الإنترنت لحساب المحدد عبر الإنترنت. كل ما تحتاجه هو التوصل إلى المحدد الخاص بك ، وحسابه بنفسك ، ثم مقارنته بما يحسبه البرنامج. وهكذا حتى تبدأ النتائج في التطابق. أنا متأكد من أن هذه اللحظة لن تكون طويلة في المستقبل!

لنعد الآن إلى المحدد الذي كتبته عندما تحدثت عن معادلة مستوى يمر بثلاث نقاط معينة:

كل ما عليك فعله هو حساب قيمته مباشرة (باستخدام طريقة المثلث) وتعيين النتيجة مساوية للصفر. بطبيعة الحال ، نظرًا لأنها متغيرات ، ستحصل على بعض التعبيرات التي تعتمد عليها. هذا هو التعبير الذي سيكون معادلة مستوى يمر بثلاث نقاط معينة لا تقع على خط مستقيم واحد!

دعنا نوضح هذا بمثال بسيط:

1. أنشئ معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط

نؤلف محددًا لهذه النقاط الثلاث:

التبسيط:

الآن نحسبها مباشرة وفقًا لقاعدة المثلثات:

\ [(\ left | (\ start (array) (* (20) (c)) (x + 3) & 2 & 6 \\ (y - 2) & 0 & 1 \\ (z + 1) & 5 & 0 \ end (array)) \ يمين | = \ يسار ((س + 3) \ يمين) \ cdot 0 \ cdot 0 + 2 \ cdot 1 \ cdot \ يسار ((z + 1) \ يمين) + \ يسار ((y - 2) \ يمين) \ cdot 5 \ cdot 6 -) \]

وبالتالي ، فإن معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط هي:

حاول الآن حل مشكلة واحدة بنفسك ، ثم سنناقشها:

2. أوجد معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط

حسنًا ، دعنا نناقش الحل الآن:

نصنع المحدد:

واحسب قيمته:

ثم تأخذ معادلة المستوى الشكل:

أو ، بالاختزال ، نحصل على:

الآن مهمتان لضبط النفس:

1. كوِّن معادلة مستوى يمر بثلاث نقاط:

الإجابات:

هل كل شيء متطابق؟ مرة أخرى ، إذا كانت هناك بعض الصعوبات ، فإن نصيحتي هي: تأخذ ثلاث نقاط من رأسك (بدرجة عالية من الاحتمال أنها لن تقع على خط مستقيم واحد) ، قم ببناء طائرة عليها. ثم تحقق من نفسك عبر الإنترنت. على سبيل المثال ، في الموقع:

ومع ذلك ، بمساعدة المحددات ، لن نبني فقط معادلة المستوى. تذكر ، لقد أخبرتك أنه بالنسبة للمتجهات ، لا يتم تعريف حاصل الضرب النقطي فقط. هناك أيضًا ناقل ، بالإضافة إلى منتج مختلط. وإذا كان الناتج القياسي لمتجهين رقمًا ، فسيكون حاصل الضرب المتجه لمتجهين متجهًا ، وسيكون هذا المتجه عموديًا على المتجهين المعينين:

علاوة على ذلك ، فإن مقياسه سيكون مساويًا لمساحة متوازي الأضلاع المبنية على المتجهات و. سنحتاج إلى هذا المتجه لحساب المسافة من نقطة إلى خط. كيف يمكننا حساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات وإذا كانت إحداثياتها معطاة؟ يأتي محدد الترتيب الثالث مرة أخرى لمساعدتنا. ومع ذلك ، قبل أن أنتقل إلى الخوارزمية لحساب حاصل الضرب التبادلي ، لا بد لي من إجراء استطالة غنائية صغيرة.

يتعلق هذا الاستطراد بالناقلات الأساسية.

يتم عرضها بشكل تخطيطي في الشكل:

لماذا تعتقد أنها تسمى الأساسية؟ الحقيقة انه :

او في الصورة:

إن صحة هذه الصيغة واضحة للأسباب التالية:

ناقلات المنتج

يمكنني الآن البدء في تقديم المنتج المتقاطع:

المنتج المتجه لمتجهين هو متجه يتم حسابه وفقًا للقاعدة التالية:

لنقدم الآن بعض الأمثلة لحساب حاصل الضرب الاتجاهي:

مثال 1: أوجد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات:

الحل: أقوم بعمل محدد:

وأنا أحسبها:

الآن ، من الكتابة من خلال متجهات الأساس ، سأعود إلى تدوين المتجه المعتاد:

هكذا:

جرب الان.

مستعد؟ نحن نفحص:

وتقليديا اثنان مهام للتحكم:

1. ابحث عن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات التالية:
2. ابحث عن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات التالية:

الإجابات:

منتج مختلط من ثلاثة نواقل

البناء الأخير الذي أحتاجه هو المنتج المختلط لثلاثة نواقل. إنه ، مثل العدد القياسي ، هو رقم. هناك طريقتان لحساب ذلك. - من خلال المحدد ، - من خلال المنتج المختلط.

على وجه التحديد ، دعنا نقول أن لدينا ثلاثة نواقل:

ثم يمكن حساب الناتج المختلط لثلاثة نواقل ، المشار إليه بـ:

1. - أي أن المنتج المختلط هو المنتج القياسي لمتجه والمنتج المتجه لمتجهين آخرين

على سبيل المثال ، المنتج المختلط لثلاثة نواقل هو:

حاول أن تحسبها بنفسك باستخدام منتج المتجه وتأكد من تطابق النتائج!

ومرة أخرى - مثالان لحل مستقل:

الإجابات:

اختيار نظام الإحداثيات

حسنًا ، لدينا الآن كل الأساس الضروري للمعرفة لحل المشكلات المجسمة المعقدة في الهندسة. ومع ذلك ، قبل الانتقال مباشرة إلى الأمثلة والخوارزميات لحلها ، أعتقد أنه سيكون من المفيد الخوض في السؤال التالي: كيف بالضبط اختر نظام إحداثيات لشكل معين.بعد كل شيء ، فإن اختيار الموضع النسبي لنظام الإحداثيات والشكل في الفضاء هو الذي سيحدد في النهاية مدى صعوبة الحسابات.

أذكرك أننا في هذا القسم ندرس الأرقام التالية:

1. مكعباني شبيه بالمكعب
2. المنشور المستقيم (مثلث ، سداسي ...)
3. الهرم (مثلث ، رباعي الزوايا)
4. رباعي السطوح (مثل الهرم الثلاثي)

بالنسبة للمكعب أو المكعب ، أوصي بالبناء التالي:

أي ، سأضع الرقم "في الزاوية". المكعب والمربع شكلان جيدان للغاية. بالنسبة لهم ، يمكنك دائمًا العثور بسهولة على إحداثيات رؤوسها. على سبيل المثال ، إذا (كما هو موضح في الصورة)

ثم إحداثيات الرأس هي:

بالطبع ، لا تحتاج إلى تذكر ذلك ، ولكن تذكر أفضل طريقة لوضع مكعب أو مربع مستطيل هو أمر مرغوب فيه.

منشور مستقيم

المنشور هو شخصية أكثر ضررا. يمكنك ترتيبها في الفضاء بطرق مختلفة. ومع ذلك ، أعتقد أن ما يلي هو الخيار الأفضل:

منشور ثلاثي:

أي أننا نضع أحد أضلاع المثلث بالكامل على المحور ، ويتطابق أحد الرؤوس مع الأصل.

منشور سداسي:

أي أن أحد الرؤوس يتطابق مع الأصل ، ويقع أحد الأضلاع على المحور.

هرم رباعي الزوايا وسداسية:

وضع مشابه للمكعب: نقوم بدمج جانبين من القاعدة مع محاور الإحداثيات ، وندمج أحد الرؤوس مع الأصل. ستكون الصعوبة الصغيرة الوحيدة هي حساب إحداثيات النقطة.

للهرم السداسي - نفس المنشور السداسي. ستكون المهمة الرئيسية مرة أخرى في العثور على إحداثيات الرأس.

رباعي الوجوه (هرم مثلثي)

الموقف مشابه جدًا للوضع الذي قدمته للمنشور الثلاثي: رأس واحد يتطابق مع الأصل ، ويقع جانب واحد على محور الإحداثيات.

حسنًا ، الآن أنت وأنا قريبون أخيرًا من البدء في حل المشكلات. مما قلته في بداية المقال ، يمكنك استخلاص الاستنتاج التالي: تقع معظم مشكلات C2 في فئتين: مشاكل الزاوية ومشكلات المسافة. أولًا ، سننظر في مسائل إيجاد الزاوية. وهي بدورها مقسمة إلى الفئات التالية (مع زيادة التعقيد):

مشاكل في إيجاد الزوايا

1. إيجاد الزاوية بين خطين
2. إيجاد الزاوية بين مستويين

لنفكر في هذه المشاكل بالتسلسل: لنبدأ بإيجاد الزاوية بين خطين مستقيمين. تعال ، تذكر ، هل قمت أنا وأنت بحل أمثلة مماثلة من قبل؟ تتذكر ، لأن لدينا بالفعل شيئًا مشابهًا ... كنا نبحث عن زاوية بين متجهين. أذكرك ، إذا تم توفير متجهين: ثم يتم العثور على الزاوية بينهما من العلاقة:

الآن لدينا هدف - إيجاد الزاوية بين خطين مستقيمين. دعنا ننتقل إلى "الصورة المسطحة":

كم عدد الزوايا التي نحصل عليها عندما يتقاطع خطان؟ بالفعل الأشياء. صحيح ، اثنان منهم فقط ليسا متساويين ، بينما الآخرون عموديون لهم (وبالتالي يتطابقون معهم). إذن ما الزاوية التي يجب أن نعتبرها الزاوية الواقعة بين خطين مستقيمين: أو؟ ها هي القاعدة: لا تزيد الزاوية بين خطين مستقيمين دائمًا عن درجات. أي أننا سنختار دائمًا من زاويتين قياس أصغر درجة. أي ، في هذه الصورة ، الزاوية بين الخطين متساوية. لكي لا تتعب نفسك بإيجاد أصغر الزاويتين في كل مرة ، اقترح علماء الرياضيات الماكرون استخدام الوحدة. وهكذا ، فإن الزاوية بين خطين مستقيمين تحددها الصيغة:

أنت ، كقارئ يقظ ، كان يجب أن يكون لديك سؤال: أين ، في الواقع ، هل نحصل على هذه الأرقام ذاتها التي نحتاجها لحساب جيب التمام لزاوية؟ الجواب: سنأخذهم من نواقل الخطوط! وبالتالي ، فإن خوارزمية إيجاد الزاوية بين خطين هي كما يلي:

1. نطبق الصيغة 1.

أو بمزيد من التفصيل:

1. نحن نبحث عن إحداثيات متجه الاتجاه للخط المستقيم الأول
2. نحن نبحث عن إحداثيات متجه الاتجاه للخط الثاني
3. احسب معامل حاصل الضرب القياسي
4. نحن نبحث عن طول المتجه الأول
5. نحن نبحث عن طول المتجه الثاني
6. اضرب نتائج النقطة 4 في نتائج النقطة 5
7. نقسم نتيجة النقطة 3 على نتيجة النقطة 6. نحصل على جيب تمام الزاوية بين المستقيمين
8. إذا سمحت لنا هذه النتيجة بحساب الزاوية بدقة ، فإننا نبحث عنها
9. خلاف ذلك ، نكتب من خلال قوس القوس

حسنًا ، حان الوقت الآن للانتقال إلى المهام: سأشرح حل المرحلتين الأوليين بالتفصيل ، وسأقدم حلًا آخر بإيجاز ، وسأعطي إجابات للمهمتين الأخيرتين فقط ، يجب عليك قم بإجراء جميع العمليات الحسابية لهم بنفسك.

مهام:

1. في tet-ra-ed-re اليمنى ، ابحث عن الزاوية بين you-so-that tet-ra-ed-ra وجانب me-di-a-noy-bo-ko-how.

2. في اليمين الأمامي ستة فحم بي را مي دي ، مائة رو نا-أس-نو-فا-نيا متساوية نوعًا ما ، والضلوع الجانبية متساوية ، أوجد الزاوية بين المستقيم خطوط و.

3. أطوال جميع حواف اليد اليمنى رباعية الدفع بالفحم النوي باي-را-مي-داي متساوية مع بعضها البعض. أوجد الزاوية بين الخطوط المستقيمة وإذا كان من-re-zok - أنت - ذلك - الذي أعطى pi-ra-mi-dy ، فالنقطة هي se-re-di-on her bo-ko- th rib

4. على حافة المكعب من-me-che-إلى نقطة بحيث أوجد الزاوية بين الخطوط المستقيمة و

5. أشر - أعد توجيهه - على حواف المكعب Nai-di-te الزاوية بين الخطوط المستقيمة و.

ليس من قبيل المصادفة أنني وضعت المهام بهذا الترتيب. بينما لم يكن لديك الوقت الكافي لبدء التنقل في طريقة الإحداثيات ، سأقوم بنفسي بتحليل أكثر الأرقام "إشكالية" ، وسأتركك للتعامل مع أبسط مكعب! تدريجيًا عليك أن تتعلم كيفية العمل مع جميع الأرقام ، وسأزيد من تعقيد المهام من موضوع إلى آخر.

لنبدأ في حل المشكلات:

1. ارسم رباعي الوجوه ، ضعه في نظام الإحداثيات كما اقترحت سابقًا. نظرًا لأن رباعي الوجوه منتظم ، فإن جميع أوجهه (بما في ذلك القاعدة) هي مثلثات منتظمة. نظرًا لأن طول الضلع ليس لدينا ، فيمكنني أن أعتبره متساويًا. أعتقد أنك تفهم أن الزاوية لن تعتمد حقًا على مقدار "شد" رباعي الوجوه؟ سأرسم أيضًا الارتفاع والوسيط في رباعي الوجوه. على طول الطريق ، سأرسم قاعدتها (ستكون أيضًا مفيدة لنا).

أحتاج إلى إيجاد الزاوية بين و. ما الذي نعرفه؟ نحن نعرف فقط تنسيق النقطة. إذن ، علينا إيجاد المزيد من إحداثيات النقاط. نعتقد الآن أن النقطة هي نقطة تقاطع ارتفاعات (أو منصفات أو متوسطات) مثلث. النقطة هي نقطة مرتفعة. النقطة هي منتصف المقطع. ثم أخيرًا نحتاج إلى إيجاد: إحداثيات النقاط:.

لنبدأ بأبسط: إحداثيات النقطة. انظر إلى الشكل: من الواضح أن تطبيق نقطة ما يساوي صفرًا (النقطة تقع على مستوى). إحداثيها يساوي (لأنها الوسيط). من الصعب العثور على حدوده. ومع ذلك ، يمكن القيام بذلك بسهولة على أساس نظرية فيثاغورس: فكر في مثلث. الوتر متساوي ، وإحدى رجليه متساوية ، ثم:

أخيرًا لدينا:

لنجد الآن إحداثيات النقطة. من الواضح أن تطبيقه يساوي الصفر مرة أخرى ، وإحداثيته هو نفسه نقطة ، أي. دعونا نجد لها حدودي. يتم ذلك بشكل تافه إلى حد ما إذا كان المرء يتذكر ذلك ارتفاعات المثلث متساوي الأضلاع مقسومة على نقطة التقاطع في النسبةالعد من الأعلى. بما أن: ، إذن ، فإن الحد الأقصى المطلوب للنقطة ، والذي يساوي طول المقطع ، يساوي :. وبالتالي ، فإن إحداثيات النقطة هي:

لنجد إحداثيات النقطة. من الواضح أن إحداثياتها السداسية والإحداثية تتزامن مع إحداثيات النقطة والإحداثية. والزخرفة تساوي طول القطعة. - هذه إحدى أرجل المثلث. وتر المثلث هو قطعة - ساق. يتم البحث عنها للأسباب التي أبرزتها بالخط العريض:

النقطة هي منتصف المقطع. ثم علينا أن نتذكر صيغة إحداثيات منتصف المقطع:

هذا كل شيء ، الآن يمكننا البحث عن إحداثيات متجهات الاتجاه:

حسنًا ، كل شيء جاهز: نستبدل جميع البيانات في الصيغة:

هكذا،

إجابه:

يجب ألا تخاف من مثل هذه الإجابات "الرهيبة": بالنسبة للمشكلات C2 ، فهذه ممارسة شائعة. أفضل أن أفاجأ بالإجابة "الجميلة" في هذا الجزء. أيضًا ، كما أشرت ، لم ألجأ عمليًا إلى أي شيء بخلاف نظرية فيثاغورس وخاصية ارتفاعات مثلث متساوي الأضلاع. أي لحل مشكلة القياس الفراغي ، استخدمت الحد الأدنى من القياس الفراغي. يتم "إطفاء" المكاسب في هذا جزئيًا من خلال حسابات مرهقة إلى حد ما. لكنهم خوارزميات تمامًا!

2. ارسم هرمًا سداسيًا منتظمًا مع نظام الإحداثيات وقاعدته:

علينا إيجاد الزاوية بين الخطين و. وهكذا تنحصر مهمتنا في إيجاد إحداثيات النقاط:. سنجد إحداثيات الثلاثة الأخيرة من الرسم الصغير ، وسنجد إحداثيات الرأس من خلال إحداثيات النقطة. الكثير من العمل ، ولكن يجب أن تبدأ!

أ) التنسيق: من الواضح أن تطبيقه وإحداثيته صفر. دعونا نجد الإحداثيات. للقيام بذلك ، فكر في مثلث قائم الزاوية. للأسف ، لا نعرف فيه سوى الوتر الذي يساوي. سنحاول إيجاد الساق (لأنه من الواضح أن ضعف طول الساق سيعطينا حدود النقطة). كيف يمكننا البحث عنها؟ لنتذكر ما هو نوع الشكل الذي لدينا عند قاعدة الهرم؟ هذا شكل سداسي منتظم. ماذا يعني ذلك؟ هذا يعني أن كل الأضلاع والزوايا متساوية. نحن بحاجة إلى إيجاد زاوية واحدة من هذا القبيل. أيه أفكار؟ هناك الكثير من الأفكار ، لكن هناك صيغة:

مجموع زوايا n-gon العادي هو .

وبالتالي ، فإن مجموع زوايا الشكل السداسي المنتظم هو الدرجات. ثم كل زاوية من الزوايا تساوي:

دعونا ننظر إلى الصورة مرة أخرى. من الواضح أن هذا المقطع هو منصف الزاوية. ثم تكون الزاوية بالدرجات. ثم:

ثم أين.

لذلك لديها إحداثيات

ب) يمكننا الآن بسهولة العثور على إحداثيات النقطة:.

ج) أوجد إحداثيات النقطة. نظرًا لأن الحد الفاصل له يتزامن مع طول المقطع ، فهو متساوٍ. العثور على الإحداثي ليس صعبًا أيضًا: إذا وصلنا النقاط وقمنا بتوضيح نقطة تقاطع الخط ، على سبيل المثال. (افعل ذلك بنفسك بناء بسيط). إذن ، إحداثي النقطة B يساوي مجموع أطوال المقاطع. لننظر إلى المثلث مرة أخرى. ثم

ثم منذ ذلك الحين النقطة لها إحداثيات

د) ابحث الآن عن إحداثيات النقطة. ضع في اعتبارك مستطيلًا وأثبت أن إحداثيات النقطة هي:

هـ) يبقى إيجاد إحداثيات الرأس. من الواضح أن إحداثياتها السداسية والإحداثية تتزامن مع إحداثيات النقطة والإحداثية. لنجد التطبيق. منذ ذلك الحين. ضع في اعتبارك مثلث قائم الزاوية. حسب حالة المشكلة ، الحافة الجانبية. هذا هو وتر المثلث الخاص بي. ثم ارتفاع الهرم هو الرجل.

ثم يكون للنقطة إحداثيات:

هذا كل شيء ، لدي إحداثيات جميع النقاط التي تهمني. أنا أبحث عن إحداثيات متجهات التوجيه للخطوط المستقيمة:

نحن نبحث عن الزاوية بين هذه المتجهات:

إجابه:

مرة أخرى ، عند حل هذه المشكلة ، لم أستخدم أي حيل معقدة ، باستثناء صيغة مجموع زوايا n-gon العادي ، وكذلك تعريف جيب التمام وجيب المثلث القائم.

3. بما أننا لم نعطِ أطوال حواف الهرم مرة أخرى ، فسوف أعتبرها تساوي واحدًا. وبالتالي ، نظرًا لأن جميع الأضلاع ، وليس الأضلاع فقط ، متساوية مع بعضها البعض ، فعند قاعدة الهرم وأنا يوجد مربع ، والأوجه الجانبية مثلثات منتظمة. دعنا نصور مثل هذا الهرم ، وكذلك قاعدته على مستوى ، ونضع علامة على جميع البيانات الواردة في نص المشكلة:

نحن نبحث عن الزاوية بين و. سأجري حسابات موجزة للغاية عندما أبحث عن إحداثيات النقاط. سوف تحتاج إلى "فك تشفير" لهم:

ب) - منتصف الجزء. إحداثياتها:

ج) سأجد طول القطعة باستخدام نظرية فيثاغورس في مثلث. سأجد من خلال نظرية فيثاغورس في مثلث.

إحداثيات:

د) - منتصف المقطع. إحداثياتها هي

هـ) إحداثيات المتجهات

و) إحداثيات المتجهات

ز) البحث عن زاوية:

المكعب هو أبسط شكل. أنا متأكد من أنه يمكنك اكتشاف ذلك بنفسك. الأجوبة على المسألتين 4 و 5 هي كما يلي:

إيجاد الزاوية بين خط ومستوى

حسنًا ، لقد انتهى وقت الألغاز البسيطة! الآن ستكون الأمثلة أكثر صعوبة. لإيجاد الزاوية بين الخط والمستوى ، ننتقل إلى ما يلي:

1. باستخدام ثلاث نقاط ، نبني معادلة المستوى
   ,
   باستخدام محدد من الدرجة الثالثة.
2. بنقطتين نبحث عن إحداثيات متجه التوجيه للخط المستقيم:
3. نطبق الصيغة لحساب الزاوية بين الخط المستقيم والمستوى:

كما ترى ، هذه الصيغة مشابهة جدًا لتلك التي استخدمناها لإيجاد الزوايا بين خطين. هيكل الجانب الأيمن هو نفسه تمامًا ، وعلى اليسار نبحث الآن عن جيب وليس جيب تمام كما كان من قبل. حسنًا ، تمت إضافة إجراء واحد مقرف - البحث عن معادلة المستوى.

دعونا لا نتخلف أمثلة حل:

1. Os-no-va-ni-em على التوالي - جائزتي - نحن - la-et-xia متساوون - لكن - مثلث - رن - ني - نيك - بهذه الجائزة - نحن متساوون. أوجد الزاوية بين الخط المستقيم والمستوى

2. في pa-ral-le-pi-pe-de المستطيل من غرب Nai-di-te الزاوية بين الخط المستقيم والمستوى

3. في المنشور ذي الست فحم الأيمن ، تكون جميع الحواف متساوية. أوجد الزاوية بين الخط المستقيم والمستوى.

4. في المثلث الأيمن pi-ra-mi-de مع os-but-va-ni-em من غرب زاوية ضلع Nai-di-te ، ob-ra-zo-van -ny طائرة من نظام التشغيل -no-va-niya و Straight-my ، مروراً بـ se-re-di-na من الضلوع و

5. أطوال كل حواف المربع الأيمن رباعي الزوايا مع القمة متساوية مع بعضها البعض. أوجد الزاوية بين الخط المستقيم والمستوى ، إذا كانت النقطة هي se-re-di-on the bo-ko-in-th edge of the pi-ra-mi-dy.

مرة أخرى ، سأحل المشكلتين الأوليين بالتفصيل ، الثالثة - بإيجاز ، وأترك ​​لك حل المشكلتين الأخيرتين بنفسك. بالإضافة إلى ذلك ، كان عليك بالفعل التعامل مع أهرامات مثلثة ورباعية الزوايا ، ولكن ليس بعد مع المناشير.

حلول:

1. ارسم منشورًا بالإضافة إلى قاعدته. دعنا ندمجها مع نظام الإحداثيات ونضع علامة على جميع البيانات الواردة في بيان المشكلة:

أعتذر عن عدم مراعاة النسب ، لكن هذا في الواقع ليس مهمًا لحل المشكلة. الطائرة هي مجرد "الجدار الخلفي" لمنشوري. يكفي ببساطة تخمين أن معادلة هذا المستوى لها الشكل:

ومع ذلك ، يمكن أيضًا إظهار ذلك مباشرةً:

نختار ثلاث نقاط اعتباطية على هذا المستوى: على سبيل المثال ،.

لنقم بمعادلة المستوى:

تمرين لك: احسب هذا المحدد بنفسك. هل نجحت؟ ثم تأخذ معادلة المستوى الشكل:

أو ببساطة

هكذا،

لحل هذا المثال ، أحتاج إلى إيجاد إحداثيات متجه التوجيه للخط المستقيم. بما أن النقطة تتزامن مع نقطة الأصل ، فإن إحداثيات المتجه ستتطابق ببساطة مع إحداثيات النقطة ، وللقيام بذلك ، نجد إحداثيات النقطة أولاً.

للقيام بذلك ، فكر في المثلث. لنرسم ارتفاعًا (وهو أيضًا وسيط ومنصف) من الأعلى. منذ ذلك الحين ، فإن إحداثيات النقطة متساوية. لإيجاد حدود هذه النقطة ، علينا حساب طول المقطع. من خلال نظرية فيثاغورس لدينا:

ثم يكون للنقطة إحداثيات:

النقطة هي "بارزة" على نقطة:

ثم إحداثيات المتجه:

إجابه:

كما ترى ، لا يوجد شيء صعب بشكل أساسي في حل مثل هذه المشاكل. في الواقع ، "استقامة" شخصية مثل المنشور يبسط العملية أكثر قليلاً. الآن دعنا ننتقل إلى المثال التالي:

2. نرسم خط متوازي السطوح ، ونرسم فيه مستوى وخطًا مستقيمًا ، ونرسم قاعدته السفلية بشكل منفصل:

أولًا نجد معادلة المستوى: إحداثيات النقاط الثلاث الموجودة فيه:

(يتم الحصول على الإحداثيين الأولين بطريقة واضحة ، ويمكنك بسهولة العثور على الإحداثيات الأخيرة من الصورة من النقطة). ثم نقوم بتكوين معادلة المستوى:

نحسب:

نبحث عن إحداثيات متجه الاتجاه: من الواضح أن إحداثياته ​​تتطابق مع إحداثيات النقطة ، أليس كذلك؟ كيف تجد الإحداثيات؟ هذه هي إحداثيات النقطة ، مرفوعة على طول محور التطبيق بمقدار واحد! . ثم نبحث عن الزاوية المطلوبة:

إجابه:

3. ارسم هرمًا سداسيًا منتظمًا ، ثم ارسم مستوى وخطًا مستقيمًا فيه.

هنا من الصعب حتى رسم طائرة ، ناهيك عن حل هذه المشكلة ، لكن طريقة الإحداثيات لا تهتم! تكمن ميزتها الرئيسية في تنوعها!

الطائرة تمر بثلاث نقاط:. نحن نبحث عن إحداثياتهم:

واحد) . اعرض إحداثيات آخر نقطتين بنفسك. ستحتاج لحل المشكلة بهرم سداسي لهذا الغرض!

2) نبني معادلة المستوى:

نحن نبحث عن إحداثيات المتجه:. (انظر مشكلة الهرم الثلاثي مرة أخرى!)

3) نبحث عن زاوية:

إجابه:

كما ترى ، لا يوجد شيء صعب بشكل خارق للطبيعة في هذه المهام. تحتاج فقط إلى توخي الحذر الشديد مع الجذور. بالنسبة للمشكلتين الأخيرتين ، سأقدم إجابات فقط:

كما ترى ، فإن تقنية حل المشكلات هي نفسها في كل مكان: المهمة الرئيسية هي إيجاد إحداثيات الرؤوس واستبدالها في بعض الصيغ. يبقى لنا أن نفكر في فئة أخرى من المسائل لحساب الزوايا ، وهي:

حساب الزوايا بين مستويين

ستكون خوارزمية الحل على النحو التالي:

1. بالنسبة لثلاث نقاط ، نبحث عن معادلة المستوى الأول:
2. بالنسبة للنقاط الثلاث الأخرى ، نبحث عن معادلة المستوى الثاني:
3. نطبق الصيغة:

كما ترى ، فإن الصيغة تشبه إلى حد كبير المعادلتين السابقتين ، وبمساعدتها كنا نبحث عن الزوايا بين الخطوط المستقيمة وبين الخط المستقيم والمستوى. لذا فإن تذكر هذا لن يكون صعبًا عليك. دعنا نقفز مباشرة إلى المشكلة:

1. تساوي مائة رو على أساس المنشور الثلاثي الأيمن ، و dia-go-nal للوجه الجانبي متساوي. أوجد الزاوية بين المستوى ومستوى قاعدة الجائزة.

2. في الجزء الأيمن الأمامي من four-you-re-Coal-noy pi-ra-mi-de ، كل حواف شخص ما متساوية ، ابحث عن جيب الزاوية بين الطائرة والمستوى Ko-Stu ، مروراً نقطة لكل قلم دي كو ليار لكن مستقيم بي.

3. في منشور منتظم من أربع فحم ، تكون جوانب os-no-va-nia متساوية ، والحواف الجانبية متساوية. على الحافة من لي تشي إلى النقطة بحيث. أوجد الزاوية بين المستويين و

4. في المنشور رباعي الزوايا الأيمن ، تكون جوانب القاعدة متساوية ، والحواف الجانبية متساوية. على الحافة من-لي-تشي-إلى نقطة بحيث أوجد الزاوية بين الطائرات و.

5. في المكعب ، أوجد تراكب الزاوية بين المستويات و

حلول المشكلة:

1. أرسم منشورًا مثلثيًا عاديًا (في القاعدة - مثلث متساوي الأضلاع) وأضع علامة على المستويات التي تظهر في حالة المشكلة:

نحتاج إلى إيجاد معادلات مستويين: يتم الحصول على المعادلة الأساسية بشكل تافه: يمكنك عمل المحدد المقابل لثلاث نقاط ، لكنني سأجعل المعادلة على الفور:

الآن لنجد أن نقطة المعادلة لها إحداثيات النقطة - بما أن - متوسط ​​المثلث وارتفاعه ، فمن السهل إيجاده بواسطة نظرية فيثاغورس في المثلث. ثم يكون للنقطة إحداثيات: ابحث عن تطبيق النقطة للقيام بذلك ، ضع في اعتبارك مثلث قائم الزاوية

ثم نحصل على الإحداثيات التالية: نؤلف معادلة المستوى.

نحسب الزاوية بين الطائرات:

إجابه:

2. عمل رسم:

أصعب شيء هو فهم نوع الطائرة الغامضة التي تمر عبر نقطة بشكل عمودي. حسنًا ، الشيء الرئيسي هو ما هو؟ الشيء الرئيسي هو الانتباه! في الواقع ، الخط عمودي. الخط أيضًا عمودي. بعد ذلك ، سيكون المستوى الذي يمر عبر هذين الخطين متعامدًا مع الخط ، وبالمناسبة ، سيمر عبر النقطة. يمر هذا المستوى أيضًا عبر قمة الهرم. ثم الطائرة المرغوبة - والطائرة مُعطاة لنا بالفعل. نحن نبحث عن إحداثيات النقاط.

نوجد إحداثي النقطة عبر النقطة. من خلال رسم صغير يسهل استنتاج أن إحداثيات النقطة ستكون على النحو التالي: ما الذي يتبقى لإيجاد إحداثيات قمة الهرم؟ لا تزال بحاجة لحساب ارتفاعها. يتم ذلك باستخدام نفس نظرية فيثاغورس: أولاً ، أثبت ذلك (بشكل تافه من المثلثات الصغيرة التي تشكل مربعًا عند القاعدة). منذ الشرط ، لدينا:

الآن كل شيء جاهز: إحداثيات قمة الرأس:

نؤلف معادلة المستوى:

أنت بالفعل خبير في حساب المحددات. سوف تتلقى بسهولة:

أو خلاف ذلك (إذا ضربنا كلا الجزأين في جذر اثنين)

لنجد الآن معادلة المستوى:

(لم تنسَ كيف حصلنا على معادلة المستوى ، أليس كذلك؟ إذا لم تفهم من أين أتى هذا ناقص واحد ، فارجع إلى تعريف معادلة المستوى! لقد ظهر دائمًا قبل ذلك أن طائرتي تنتمي إلى الأصل!)

نحسب المحدد:

(قد تلاحظ أن معادلة المستوى تزامنت مع معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر النقاط و! فكر في السبب!)

الآن نحسب الزاوية:

نحن بحاجة إلى إيجاد الجيب:

إجابه:

3. سؤال مخادع: ما هو المنشور المستطيل ، ما رأيك؟ إنها مجرد خط متوازي معروف لك! الرسم على الفور! لا يمكنك حتى تصوير القاعدة بشكل منفصل ، فلا فائدة منها هنا:

المستوى ، كما أشرنا سابقًا ، مكتوب على شكل معادلة:

الآن نصنع طائرة

نقوم على الفور بتكوين معادلة المستوى:

أبحث عن زاوية

الآن إجابات المشكلتين الأخيرتين:

حسنًا ، حان الوقت لأخذ قسط من الراحة ، لأنك وأنا رائعون وقمنا بعمل رائع!

الإحداثيات والنواقل. مستوى متقدم

في هذه المقالة ، سنناقش معك فئة أخرى من المشاكل التي يمكن حلها باستخدام طريقة الإحداثيات: مشاكل المسافة. وبالتحديد ، سننظر في الحالات التالية:

1. حساب المسافة بين خطوط الانحراف.

لقد طلبت المهام المعينة مع زيادة تعقيدها. الأسهل هو أن تجد أشر إلى مسافة الطائرةوأصعب جزء هو إيجاد المسافة بين الخطوط المتقاطعة. على الرغم من أنه لا يوجد شيء مستحيل بالطبع! دعونا لا نماطل وننتقل على الفور إلى دراسة الفئة الأولى من المشاكل:

حساب المسافة من نقطة إلى مستوى

ماذا نحتاج لحل هذه المشكلة؟

1. إحداثيات نقطة

لذلك ، بمجرد حصولنا على جميع البيانات اللازمة ، نطبق الصيغة:

يجب أن تعرف بالفعل كيف نبني معادلة المستوى من المشاكل السابقة التي قمت بتحليلها في الجزء الأخير. دعنا نبدأ العمل على الفور. المخطط على النحو التالي: 1 ، 2 - أساعدك في اتخاذ القرار ، وبشيء من التفصيل ، 3 ، 4 - فقط الجواب ، يمكنك اتخاذ القرار بنفسك والمقارنة. بدأت!

مهام:

1. إعطاء مكعب. طول حرف المكعب هو Find-di-te المسافة من se-re-di-ny من القطع إلى المسطح

2. بالنظر إلى right-vil-naya four-you-rekh-Coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe edge 100-ro-on فإن os-no-va-nia يساوي. ابحث عن تلك المسافات من نقطة إلى مستوى حيث - se-re-di-on الحواف.

3. في المثلث الأيمن pi-ra-mi-de مع os-but-va-ni-em ، تكون الحافة الأخرى متساوية ، وتكون 100-ro-on os-no-va- niya متساوية. أوجد دي تلك المسافات من الأعلى إلى المستوى.

4. في المنشور ذي الست فحم الأيمن ، جميع الحواف متساوية. أوجد دي تلك المسافات من نقطة إلى مستوى.

حلول:

1. ارسم مكعبًا بحواف مفردة ، وقم ببناء جزء ومستوى ، وقم بالإشارة إلى منتصف المقطع بالحرف

.

أولاً ، لنبدأ بواحد سهل: إيجاد إحداثيات نقطة. منذ ذلك الحين (تذكر إحداثيات منتصف المقطع!)

نقوم الآن بتكوين معادلة المستوى على ثلاث نقاط

\ [\ اليسار | (\ start (array) (* (20) (c)) x & 0 & 1 \\ y & 1 & 0 \\ z & 1 & 1 \ end (array)) \ right | = 0 \]

يمكنني الآن البدء في إيجاد المسافة:

2. نبدأ من جديد بالرسم ، ونضع علامة على جميع البيانات!

بالنسبة للهرم ، من المفيد رسم قاعدته بشكل منفصل.

حتى حقيقة أنني أرسم مثل مخلب الدجاج لن تمنعنا من حل هذه المشكلة بسهولة!

من السهل الآن العثور على إحداثيات نقطة

منذ إحداثيات النقطة

2. بما أن إحداثيات النقطة (أ) هي منتصف المقطع ، إذن

يمكننا بسهولة إيجاد إحداثيات نقطتين أخريين على المستوى ، ونكوِّن معادلة المستوى ونبسطها:

\ [\ اليسار | (\ left | (\ start (array) (* (20) (c)) x & 1 & (\ frac (3) (2)) \\ y & 0 & (\ frac (3) (2)) \\ z & 0 & (\ frac ( (\ sqrt 3)) (2)) \ end (array)) \ right |) \ right | = 0 \]

بما أن النقطة لها إحداثيات: إذن نحسب المسافة:

الجواب (نادر جدا!):

حسنا هل فهمت يبدو لي أن كل شيء هنا تقني تمامًا كما هو الحال في الأمثلة التي أخذناها في الاعتبار معكم في الجزء السابق. لذلك أنا متأكد من أنك إذا أتقنت هذه المادة ، فلن يكون من الصعب عليك حل المشكلتين المتبقيتين. سأعطيك الإجابات فقط:

حساب المسافة من خط إلى مستوى

في الحقيقة ، لا يوجد شيء جديد هنا. كيف يمكن تحديد موقع الخط والمستوى بالنسبة لبعضهما البعض؟ لديهم كل الاحتمالات: التقاطع ، أو أن يكون الخط المستقيم موازيًا للمستوى. ما رأيك في المسافة من الخط إلى المستوى الذي يتقاطع معه الخط المعطى؟ يبدو لي أنه من الواضح أن هذه المسافة تساوي صفرًا. حالة رتيبة.

الحالة الثانية أكثر تعقيدًا: هنا المسافة بالفعل ليست صفرية. ومع ذلك ، نظرًا لأن الخط موازٍ للمستوى ، فإن كل نقطة من الخط تكون على مسافة متساوية من هذا المستوى:

هكذا:

وهذا يعني أن مهمتي قد تقلصت إلى المهمة السابقة: نحن نبحث عن إحداثيات أي نقطة على الخط ، ونبحث عن معادلة المستوى ، ونحسب المسافة من النقطة إلى المستوى. في الواقع ، مثل هذه المهام في الامتحان نادرة للغاية. تمكنت من العثور على مشكلة واحدة فقط ، وكانت البيانات الموجودة فيها بحيث لم تكن طريقة الإحداثيات قابلة للتطبيق عليها!

الآن دعنا ننتقل إلى فئة أخرى أكثر أهمية من المشاكل:

حساب مسافة نقطة إلى خط

ماذا نحتاج؟

1. إحداثيات النقطة التي نبحث منها عن المسافة:

2. إحداثيات أي نقطة ملقاة على خط مستقيم

3. إحداثيات متجه الاتجاه للخط المستقيم

ما الصيغة التي نستخدمها؟

ماذا يعني مقام هذا الكسر بالنسبة لك ولذا يجب أن يكون واضحًا: هذا هو طول متجه التوجيه للخط المستقيم. هذا هو البسط معقد للغاية! يعني التعبير الوحدة النمطية (الطول) لمنتج المتجه للمتجهات وكيفية حساب منتج المتجه ، الذي درسناه في الجزء السابق من العمل. قم بتحديث معلوماتك ، سيكون مفيدًا جدًا لنا الآن!

وبالتالي ، ستكون خوارزمية حل المشكلات على النحو التالي:

1. نبحث عن إحداثيات النقطة التي نبحث من خلالها عن المسافة:

2. نبحث عن إحداثيات أي نقطة على الخط الذي نبحث عن المسافة إليه:

3. بناء ناقل

4. نبني متجه الاتجاه للخط المستقيم

5. احسب حاصل الضرب الاتجاهي

6. نبحث عن طول المتجه الناتج:

7. احسب المسافة:

لدينا الكثير من العمل ، والأمثلة ستكون معقدة للغاية! لذا الآن ركز كل انتباهك!

1. دانا هو بي-را-مي-دا مثلث أيمن ذو رأس. مائة رو- على os-no-va-niya pi-ra-mi-dy متساوية ، أنت-سو-تا متساوية. ابحث عن هذه المسافات من حافة حافة bo-ko-th إلى الخط المستقيم ، حيث تمثل النقاط وهي حلقة الوصل بين الضلوع والمشاركين من vet -ستفن-لكن.

2. أطوال الأضلاع والزاوية اليمنى no-para-ral-le-pi-pe-da متساوية ، على التوالي ، ومسافة Find-di-te من top-shi-ny إلى Straight-my

3. في المنشور الأيمن المكون من ستة فحم ، تكون جميع حواف السرب متساوية في العثور على تلك المسافة من نقطة إلى خط مستقيم

حلول:

1. نقوم بعمل رسم أنيق ، ونضع علامة على جميع البيانات:

لدينا الكثير من العمل من أجلك! أود أولاً أن أصف بالكلمات ما سنبحث عنه وبأي ترتيب:

1. إحداثيات النقاط و

2. إحداثيات نقطة

3. إحداثيات النقاط و

4. إحداثيات النواقل و

5. عبر المنتج

6. طول المتجه

7. طول المنتج المتجه

8. المسافة من إلى

حسنًا ، لدينا الكثير من العمل لنفعله! دعونا نشمر عن سواعدنا!

1. لإيجاد إحداثيات ارتفاع الهرم ، نحتاج إلى معرفة إحداثيات النقطة ، حيث أن تطبيقها يساوي صفرًا ، والإحداثيات مساوية لإحداثياتها. أخيرًا ، حصلنا على الإحداثيات:

إحداثيات النقطة

2. - منتصف المقطع

3. - منتصف المقطع

منتصف

4. إحداثيات

إحداثيات المتجهات

5. احسب منتج المتجه:

6. طول المتجه: أسهل طريقة هي استبدال أن المقطع هو الخط الأوسط للمثلث ، مما يعني أنه يساوي نصف القاعدة. لهذا السبب.

7. نأخذ في الاعتبار طول منتج المتجه:

8. أخيرًا ، أوجد المسافة:

هذا كل شيء! بصراحة ، سأخبرك: حل هذه المشكلة بالطرق التقليدية (من خلال الإنشاءات) سيكون أسرع بكثير. لكني هنا اختزلت كل شيء إلى خوارزمية جاهزة! أعتقد أن خوارزمية الحل واضحة لك؟ لذلك ، سوف أطلب منك حل المشكلتين المتبقيتين بنفسك. مقارنة إجابات؟

مرة أخرى ، أكرر: من الأسهل (أسرع) حل هذه المشكلات من خلال الإنشاءات ، بدلاً من اللجوء إلى طريقة الإحداثيات. لقد أوضحت طريقة الحل هذه فقط لأظهر لك طريقة عالمية تتيح لك "عدم إنهاء أي شيء".

أخيرًا ، ضع في اعتبارك الفئة الأخيرة من المشكلات:

حساب المسافة بين خطوط الانحراف

هنا ستكون خوارزمية حل المشكلات مماثلة للخوارزمية السابقة. ما لدينا:

3. أي متجه يربط بين نقطتي الخط الأول والثاني:

كيف نجد المسافة بين السطور؟

الصيغة هي:

البسط هو وحدة المنتج المختلط (قدمناه في الجزء السابق) ، والمقام - كما في الصيغة السابقة (وحدة المنتج المتجه لمتجهات التوجيه للخطوط ، المسافة التي نبحث عنها ل).

سوف أذكرك بذلك

من ثم يمكن إعادة كتابة صيغة المسافة:

اقسم هذا المحدد على المحدد! على الرغم من أنني ، لأكون صادقًا ، لست في حالة مزاجية للنكات هنا! هذه الصيغة ، في الواقع ، مرهقة للغاية وتؤدي إلى حسابات معقدة نوعًا ما. لو كنت مكانك ، كنت سأستخدمه فقط كملاذ أخير!

دعنا نحاول حل بعض المشاكل باستخدام الطريقة أعلاه:

1. في منشور المثلث الأيمن ، جميع الحواف متساوية نوعًا ما ، ابحث عن المسافة بين الخطوط المستقيمة و.

2. نظرًا لمنشور مثلثي على شكل أمامي يمين ، فإن جميع حواف os-no-va-niya لشخص ما تساوي Se-che-tion ، والتي تمر عبر الضلع الآخر وأضلاع se-re-di-nu ساحة ياف لا إت سيا. Find-di-te dis-I-nie بين المستقيمين-مي و

أقرر الأول ، وبناءً عليه ، تقرر الثاني!

1. أرسم منشورًا وأضع علامة على الخطوط و

إحداثيات النقطة C: إذن

إحداثيات النقطة

إحداثيات المتجهات

إحداثيات النقطة

إحداثيات المتجهات

إحداثيات المتجهات

\ [\ يسار ((B، \ overrightarrow (A (A_1)) \ overrightarrow (B (C_1))) \ right) = \ left | (\ start (array) (* (20) (l)) (\ begin (array) (* (20) (c)) 0 & 1 & 0 \ end (array)) \\ (\ begin (array) (* (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ end (array)) \\ (\ begin (array) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (array)) \ end (array)) \ right | = \ فارك ((\ sqrt 3)) (2) \]

نحن نعتبر الضرب التبادلي بين المتجهات و

\ [\ overrightarrow (A (A_1)) \ cdot \ overrightarrow (B (C_1)) = \ يسار | \ start (array) (l) \ start (array) (* (20) (c)) (\ overrightarrow i) & (\ overrightarrow j) & (\ overrightarrow k) \ end (array) \\\ start (array) ) (* (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ end (array) \\\ start (array) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (array) \ end (array) \ right | - \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \ overrightarrow k + \ frac (1) (2) \ overrightarrow i \]

الآن نعتبر طوله:

إجابه:

حاول الآن إكمال المهمة الثانية بعناية. سيكون الجواب:.

الإحداثيات والنواقل. وصف موجز والصيغ الأساسية

المتجه هو مقطع موجه. - بداية المتجه ، - نهاية المتجه.
يتم الإشارة إلى المتجه بواسطة أو.

قيمه مطلقهمتجه - طول المقطع الذي يمثل المتجه. صمم ك.

إحداثيات المتجهات:

,
أين نهايات المتجه \ displaystyle a.

مجموع النواقل:.

منتج النواقل:

حاصل الضرب النقطي للناقلات:

الناتج القياسي للمتجهات يساوي حاصل ضرب قيمها المطلقة وجيب تمام الزاوية بينهما:

حسنًا ، لقد انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور ، فأنت رائع جدًا.

لأن 5٪ فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بمفردهم. وإذا كنت قد قرأت حتى النهاية ، فأنت في الـ 5٪!

الآن أهم شيء.

لقد اكتشفت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر ، إنه ... إنه رائع فقط! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من أقرانك.

المشكلة أن هذا قد لا يكون كافيا ...

لماذا؟

لاجتياز الامتحان بنجاح ، للقبول في المعهد بميزانية محدودة ، والأهم من ذلك ، مدى الحياة.

لن أقنعك بشيء ، سأقول شيئًا واحدًا ...

الأشخاص الذين حصلوا على تعليم جيد يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.

لكن هذا ليس هو الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن المزيد من الفرص تفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف ...

لكن فكر بنفسك ...

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أن تكون أفضل من الآخرين في الامتحان وأن تكون في النهاية ... أكثر سعادة؟

املأ يدك وحل المشكلات الواردة في هذا الموضوع.

في الامتحان لن يطلب منك النظرية.

سوف تحتاج حل المشاكل في الوقت المحدد.

وإذا لم تحلها (الكثير!) ، فإنك بالتأكيد سترتكب خطأ غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن ترتكبها في الوقت المناسب.

إنه مثل الرياضة - تحتاج إلى التكرار عدة مرات للفوز بالتأكيد.

ابحث عن مجموعة في أي مكان تريده بالضرورة مع الحلول والتحليل التفصيليوتقرر ، تقرر ، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (ليست ضرورية) ونحن بالتأكيد نوصي بها.

من أجل الحصول على المساعدة من خلال مهامنا ، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
2. افتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع المقالات البالغ عددها 99 في البرنامج التعليمي - شراء كتاب مدرسي - 899 روبل

نعم ، لدينا 99 مقالًا من هذا القبيل في الكتاب المدرسي ويمكن الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها يمكن فتحها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع بالكامل.

ختاماً...

إذا كنت لا تحب مهامنا ، فابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عن النظرية.

"فهمت" و "أعرف كيف أحل" مهارات مختلفة تمامًا. تحتاج كلاهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

ستغطي المقالة أدناه مسائل العثور على إحداثيات منتصف المقطع في وجود إحداثيات نقاطه القصوى كبيانات أولية. لكن قبل الشروع في دراسة القضية ، نقدم عددًا من التعريفات.

Yandex.RTB R-A-339285-1 التعريف 1

القطعة المستقيمة- خط مستقيم يربط بين نقطتين تعسفيتين ، تسمى نهايات المقطع. كمثال ، دع هذه تكون النقطتين A و B ، وعلى التوالي ، المقطع A B.

إذا استمر المقطع A B في كلا الاتجاهين من النقطتين A و B ، فسنحصل على خط مستقيم A B. ثم المقطع A B هو جزء من الخط المستقيم الذي تم الحصول عليه والمحدود بالنقطتين A و B. يوحد المقطع A B النقطتين A و B ، وهما نهايتيه ، بالإضافة إلى مجموعة النقاط الواقعة بينهما. على سبيل المثال ، إذا أخذنا أي نقطة عشوائية K تقع بين النقطتين A و B ، فيمكننا القول إن النقطة K تقع في الجزء A B.

التعريف 2

طول قطعهي المسافة بين طرفي المقطع بمقياس معين (جزء من طول الوحدة). نشير إلى طول المقطع أ ب على النحو التالي: أ ب.

التعريف 3

منتصفنقطة على قطعة مستقيمة متساوية البعد عن نهايتها. إذا تم الإشارة إلى منتصف المقطع A B بالنقطة C ، فستكون المساواة صحيحة: A C \ u003d C B

البيانات الأولية: تنسيق الخط O x والنقاط غير المتطابقة عليه: A و B. هذه النقاط تتوافق مع الأرقام الحقيقية x أ و × ب. النقطة C هي نقطة منتصف الجزء A B: تحتاج إلى تحديد الإحداثي س ج.

بما أن النقطة C هي نقطة منتصف المقطع A B ، فإن المساواة ستكون صحيحة: | أ ج | = | ج ب | . يتم تحديد المسافة بين النقاط بمعامل الفرق بين إحداثياتها ، أي

| أ ج | = | ج ب | ⇔ س ج - س أ = س ب - س ج

ثم يمكن تحقيق المساواة بين اثنين: x C - x A = x B - x C و x C - x A = - (x B - x C)

من المساواة الأولى ، نشتق معادلة إحداثيات النقطة C: x C \ u003d x A + x B 2 (نصف مجموع إحداثيات نهايات المقطع).

من المساواة الثانية نحصل على: x A = x B ، وهو مستحيل لأن في البيانات الأصلية - نقاط غير متطابقة. هكذا، صيغة لتحديد إحداثيات نقطة منتصف المقطع A B مع النهايات A (x A) وب (خ ب):

ستكون الصيغة الناتجة هي الأساس لتحديد إحداثيات نقطة منتصف المقطع على مستوى أو في الفضاء.

البيانات الأولية: نظام إحداثيات مستطيل على المستوى O x y ، نقطتان تعسفيتان غير متطابقتان بإحداثيات معينة A x A و y A و B x B و y B. النقطة ج هي نقطة منتصف الجزء أ ب. من الضروري تحديد إحداثيات x C و y C للنقطة C.

دعونا نأخذ لتحليل الحالة عندما لا تتطابق النقطتان A و B ولا تقعان على نفس خط الإحداثيات أو خط عمودي على أحد المحاور. أ س ، أ ذ ؛ B x و B y و C x و C y - إسقاط النقاط A و B و C على محاور الإحداثيات (الخطوط المستقيمة O x و O y).

حسب البناء ، الخطوط A A x و B B x و C C x متوازية ؛ الخطوط أيضا موازية لبعضها البعض. إلى جانب هذا ، وفقًا لنظرية تاليس ، من المساواة A C \ u003d C B ، تتبع المساواة: A x C x \ u003d C x B x و A y C y \ u003d C y B y ، وهم بدورهم ، أشر إلى أن النقطة C x - منتصف المقطع A x B x ، و C y هي منتصف القطعة A y B y. وبعد ذلك ، بناءً على الصيغة التي تم الحصول عليها مسبقًا ، نحصل على:

س ج = س أ + س ب 2 و ص ج = ص أ + ص ب 2

يمكن استخدام نفس الصيغ في حالة وجود النقطتين A و B على نفس خط الإحداثيات أو خط عمودي على أحد المحاور. لن نجري تحليلاً مفصلاً لهذه الحالة ، سننظر فيه فقط بيانياً:

تلخيصا لكل ما سبق ، إحداثيات منتصف القطعة ب على المستوى بإحداثيات النهاياتأ (س أ ، ص أ) وب (س ب ، ص ب) معرف ك:

(س أ + س ب 2 ، ص أ + ص ب 2)

البيانات الأولية: إحداثيات النظام О x y z ونقطتين عشوائيتين بإحداثيات معينة A (x A، y A، z A) و B (x B، y B، z B). من الضروري تحديد إحداثيات النقطة ج ، التي تقع في منتصف المقطع أ ب.

أ س ، أ ص ، أ ض ؛ B x و B y و B z و C x و C y و C z - إسقاط جميع النقاط المعطاة على محاور نظام الإحداثيات.

وفقًا لنظرية طاليس ، فإن المساواة صحيحة: A x C x = C x B x، A y C y = C y B y، A z C z = C z B z

إذن ، النقاط C x و C y و C z هي نقاط المنتصف للقطع A x B x و A y B y و A z B z على التوالي. ثم، لتحديد إحداثيات منتصف المقطع في الفراغ ، فإن الصيغ التالية صحيحة:

س ج = س أ + س ب 2 ، ص ج = ص أ + ص ب 2 ، ع ج = ع أ + ع ب 2

الصيغ الناتجة قابلة للتطبيق أيضًا في الحالات التي تقع فيها النقطتان A و B على أحد خطوط الإحداثيات ؛ على خط مستقيم عمودي على أحد المحاور ؛ في مستوى إحداثي واحد أو مستوى عمودي على أحد مستويات الإحداثيات.

تحديد إحداثيات منتصف مقطع من خلال إحداثيات متجهات نصف القطر لنهايته

يمكن أيضًا اشتقاق صيغة إيجاد إحداثيات منتصف المقطع وفقًا للتفسير الجبري للمتجهات.

البيانات الأولية: نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل O x y ، النقاط ذات الإحداثيات المعطاة A (x A ، y A) و B (x B ، x B). النقطة ج هي نقطة منتصف الجزء أ ب.

وفقًا للتعريف الهندسي للإجراءات على المتجهات ، ستكون المساواة التالية صحيحة: O C → = 1 2 · O A → + O B →. النقطة C في هذه الحالة هي نقطة تقاطع أقطار متوازي الأضلاع المبنية على أساس المتجهات O A → و O B → ، أي نقطة منتصف الأقطار. إحداثيات متجه نصف القطر للنقطة تساوي إحداثيات النقطة ، ثم المساواة صحيحة: O A → = (x A، y A)، O B → = (x B ، ص ب). لنقم بإجراء بعض العمليات على المتجهات في الإحداثيات ونحصل على:

O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2، y A + y B 2

لذلك ، فإن إحداثيات النقطة C:

س أ + س ب 2 ، ص أ + ص ب 2

عن طريق القياس ، يتم تحديد صيغة لإيجاد إحداثيات نقطة المنتصف في الفراغ:

ج (س أ + س ب 2 ، ص أ + ص ب 2 ، ض أ + ع ب 2)

أمثلة على حل مسائل لإيجاد إحداثيات منتصف مقطع ما

من بين المهام التي تتضمن استخدام الصيغ التي تم الحصول عليها أعلاه ، هناك كل من المهام التي يكون السؤال فيها مباشرة لحساب إحداثيات منتصف المقطع ، وتلك التي تتضمن تقديم الشروط المحددة لهذا السؤال: المصطلح "الوسيط" غالبًا ما يتم استخدامه ، والهدف هو العثور على إحداثيات واحد من نهايات المقطع ، بالإضافة إلى مشاكل التناظر ، والتي يجب ألا يتسبب حلها بشكل عام في حدوث صعوبات بعد دراسة هذا الموضوع. دعونا ننظر في الأمثلة النموذجية.

مثال 1

البيانات الأولية:على المستوى - نقاط بإحداثيات معينة A (- 7 ، 3) و B (2 ، 4). من الضروري إيجاد إحداثيات نقطة منتصف الجزء أ ب.

قرار

دعونا نشير إلى منتصف الجزء أ ب بالنقطة ج. سيتم تحديد إحداثياته ​​كنصف مجموع إحداثيات نهايات المقطع ، أي النقطتان A و B.

س ج = س أ + س ب 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 ص ج = ص أ + ص ب 2 = 3 + 4 2 = 7 2

إجابه: إحداثيات منتصف الجزء أ ب - ٥ ٢ ، ٧ ٢.

مثال 2

البيانات الأولية:تُعرف إحداثيات المثلث ب ج: أ (- ١ ، ٠) ، ب (٣ ، ٢) ، ج (٩ ، - ٨). من الضروري إيجاد طول الوسيط A M.

قرار

1. حسب حالة المشكلة ، A M هو الوسيط ، مما يعني أن M هي نقطة منتصف القطعة B C. بادئ ذي بدء ، نجد إحداثيات منتصف المقطع B C ، أي نقاط M:

س م = س ب + س ج 2 = 3 + 9 2 = 6 ص م = ص ب + ص ج 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. نظرًا لأننا نعرف الآن إحداثيات طرفي الوسيط (النقطتان A و M) ، يمكننا استخدام الصيغة لتحديد المسافة بين النقطتين وحساب طول الوسيط A M:

أ م = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

إجابه: 58

مثال 3

البيانات الأولية: a متوازي السطوح أ ب ج د أ 1 ب 1 ج 1 د 1 معطى في نظام إحداثيات مستطيل للفضاء ثلاثي الأبعاد. إحداثيات النقطة ج 1 (1 ، 1 ، 0) معطاة ، والنقطة م محددة أيضًا ، وهي نقطة منتصف القطر ب د 1 ولها إحداثيات م (4 ، 2 ، - 4). من الضروري حساب إحداثيات النقطة أ.

قرار

تتقاطع أقطار خط متوازي عند نقطة واحدة ، وهي نقطة المنتصف لجميع الأقطار. بناءً على هذا البيان ، يمكننا أن نضع في اعتبارنا أن النقطة M التي تعرفها ظروف المشكلة هي منتصف المقطع А С 1. بناءً على صيغة إيجاد إحداثيات منتصف المقطع في الفضاء ، نجد إحداثيات النقطة A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z ج 1 = 2 (- 4) - 0 = - 8

إجابه:إحداثيات النقطة أ (٧ ، ٣ ، - ٨).

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter