سنتناول في هذا الدرس عمليتين أخريين باستخدام المتجهات: ناقلات المنتج من ناقلاتو منتج مختلط من المتجهات (رابط فوري لمن يحتاجه). لا بأس، أحيانًا يحدث ذلك من أجل السعادة الكاملة، بالإضافة إلى ذلك المنتج العددي للمتجهات، مطلوب المزيد والمزيد. هذا هو إدمان المتجهات. قد يبدو أننا ندخل إلى البراري الهندسة التحليلية. هذا خطأ. في هذا القسم من الرياضيات العليا، يوجد القليل من الخشب عمومًا، ربما باستثناء ما يكفي لبينوكيو. في الواقع، المادة شائعة جدًا وبسيطة - ولا تكاد تكون أكثر تعقيدًا من نفس المادة المنتج العددي، حتى المهام النموذجيةسيكون هناك أقل. الشيء الرئيسي في الهندسة التحليلية، كما سيقتنع الكثيرون أو اقتنعوا بالفعل، هو عدم ارتكاب الأخطاء في الحسابات. كرر مثل التعويذة وستكون سعيدًا =)

إذا كانت المتجهات تتألق في مكان ما بعيدًا، مثل البرق في الأفق، فلا يهم، ابدأ بالدرس ناقلات للدمىلاستعادة أو إعادة اكتساب المعرفة الأساسية حول المتجهات. يمكن للقراء الأكثر استعدادًا التعرف على المعلومات بشكل انتقائي، وقد حاولت جمع أكبر قدر ممكن مجموعة كاملةالأمثلة التي غالبا ما توجد في العمل التطبيقي

ما الذي سيجعلك سعيدا على الفور؟ عندما كنت صغيراً، كنت أستطيع التوفيق بين كرتين أو حتى ثلاث كرات. لقد سار الأمر بشكل جيد. الآن لن تضطر إلى التوفيق على الإطلاق، لأننا سننظر في ذلك المتجهات المكانية فقط، وسيتم استبعاد المتجهات المسطحة ذات الإحداثيتين. لماذا؟ هذه هي الطريقة التي ولدت بها هذه الإجراءات - يتم تعريف المتجه والمنتج المختلط للمتجهات والعمل فيهما مساحة ثلاثية الأبعاد. إنه بالفعل أسهل!

تتضمن هذه العملية، تمامًا مثل المنتج العددي، اثنين من المتجهات. لتكن هذه الحروف خالدة.

الفعل نفسه يُشار إليه بـبالطريقة الآتية: . توجد خيارات أخرى، لكنني معتاد على الإشارة إلى حاصل ضرب المتجهات للمتجهات بهذه الطريقة، بين قوسين مربعين مع علامة علامة متقاطعة.

وعلى الفور سؤال: إذا في المنتج العددي للمتجهاتهناك متجهان متضمنان، وهنا يتم ضرب متجهين أيضًا ماهو الفرق؟ الفرق الواضح هو أولاً وقبل كل شيء في النتيجة:

نتيجة المنتج العددي للمتجهات هي NUMBER:

نتيجة الضرب الاتجاهي للمتجهات هي VECTOR: أي أننا نضرب المتجهات ونحصل على متجه مرة أخرى. نادي مغلق . في الواقع، هذا هو المكان الذي يأتي منه اسم العملية. في مختلف الأدب التربويقد تختلف التسميات أيضًا، سأستخدم الحرف .

تعريف المنتج المتقاطع

أولا سيكون هناك تعريف بالصورة، ثم التعليقات.

تعريف: المنتج المتجهات غير خطيةثلاثة أبعاد، مقتاد في هذا التسلسل ، يسمى المتجه، طولوهو رقميا يساوي مساحة متوازي الأضلاع، مبني على هذه النواقل؛ المتجه متعامد على المتجهات، ويتم توجيهه بحيث يكون للأساس اتجاه صحيح:

دعونا نحلل التعريف قطعة قطعة، فهناك الكثير من الأشياء المثيرة للاهتمام هنا!

لذا يمكن تسليط الضوء على النقاط الهامة التالية:

1) المتجهات الأصلية، المشار إليها بالأسهم الحمراء، حسب التعريف لا خطية. يحدث ناقلات خطيةسيكون من المناسب النظر في وقت لاحق قليلا.

2) يتم أخذ المتجهات بترتيب محدد بدقة: – "أ" مضروبة في "كن"، وليس "يكون" مع "أ". نتيجة مضاعفة المتجهاتهو VECTOR، وهو موضح باللون الأزرق. إذا تم ضرب المتجهات بترتيب عكسي، نحصل على متجه متساوي في الطول ومعاكس في الاتجاه (لون التوت). أي أن المساواة صحيحة .

3) الآن دعونا نتعرف على المعنى الهندسي للمنتج المتجه. هذه نقطة مهمة جدا! طول المتجه الأزرق (وبالتالي المتجه القرمزي) يساوي عدديًا مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات. في الشكل، متوازي الأضلاع هذا مظلل باللون الأسود.

ملحوظة : الرسم تخطيطي، وبطبيعة الحال، فإن الطول الاسمي للمنتج المتجه لا يساوي مساحة متوازي الأضلاع.

دعونا نتذكر واحدة من الصيغ الهندسية: مساحة متوازي الأضلاع تساوي حاصل ضرب الجوانب المجاورة وجيب الزاوية بينهما. لذلك، بناءً على ما ورد أعلاه، تكون صيغة حساب طول المنتج المتجه صالحة:

أؤكد أن الصيغة تدور حول طول المتجه، وليس حول المتجه نفسه. ما هو المعنى العملي؟ والمعنى هو أنه في مشاكل الهندسة التحليلية، غالبًا ما يتم العثور على مساحة متوازي الأضلاع من خلال مفهوم المنتج المتجه:

دعونا نحصل على الصيغة المهمة الثانية. قطري متوازي الأضلاع (الخط الأحمر المنقط) يقسمه إلى قسمين مثلث متساوي. لذلك، يمكن إيجاد مساحة المثلث المبني على المتجهات (التظليل الأحمر) باستخدام الصيغة:

4) هناك حقيقة لا تقل أهمية وهي أن المتجه متعامد مع المتجهات، أي . وبطبيعة الحال، فإن المتجه ذو الاتجاه المعاكس (سهم التوت) متعامد أيضًا مع المتجهات الأصلية.

5) يتم توجيه المتجه بحيث أساسلقد يمينتوجيه. في الدرس حول الانتقال إلى أساس جديدلقد تحدثت بتفاصيل كافية عنه اتجاه الطائرةوالآن سنكتشف ما هو الاتجاه الفضائي. سأشرح على أصابعك اليد اليمنى . الجمع عقليا السبابةمع ناقلات و الاصبع الوسطىمع ناقلات. البنصر والإصبع الصغيراضغط عليه في راحة يدك. نتيجة ل إبهام- سوف يبحث المنتج المتجه عن الأعلى. هذا أساس موجه نحو اليمين (هذا هو الموجود في الشكل). الآن قم بتغيير المتجهات ( السبابة والأصابع الوسطى) في بعض الأماكن، نتيجة لذلك، سوف يستدير الإبهام، وسوف ينظر المنتج المتجه إلى الأسفل بالفعل. وهذا أيضًا أساس موجه نحو اليمين. قد يكون لديك سؤال: ما هو الأساس الذي ترك التوجه؟ "تعيين" لنفس الأصابع اليد اليسرىالمتجهات، والحصول على الأساس الأيسر والاتجاه الأيسر للفضاء (في هذه الحالة، سيتم وضع الإبهام في اتجاه المتجه السفلي). من الناحية المجازية، فإن هذه القواعد "تلتف" أو توجه الفضاء نحو الداخل جوانب مختلفة. ولا ينبغي اعتبار هذا المفهوم شيئًا بعيد المنال أو مجردًا - على سبيل المثال، يتم تغيير اتجاه الفضاء بواسطة المرآة الأكثر عادية، وإذا "سحبت الكائن المنعكس من الزجاج المنظر"، فسيتم ذلك الحالة العامةلا يمكن دمجها مع "الأصل". بالمناسبة، ضع ثلاثة أصابع أمام المرآة وقم بتحليل الانعكاس ;-)

... كم هو جيد أنك تعرف الآن عنه موجهة لليمين واليسارقواعد، لأن تصريحات بعض المحاضرين عن تغيير التوجه مخيفة =)

المنتج الاتجاهي للمتجهات الخطية المتسامتة

تمت مناقشة التعريف بالتفصيل، ويبقى معرفة ما يحدث عندما تكون المتجهات على خط واحد. إذا كانت المتجهات على خط واحد، فيمكن وضعها على خط مستقيم واحد كما أن متوازي الأضلاع الخاص بنا "يطوي" أيضًا في خط مستقيم واحد. مساحة هذا، كما يقول علماء الرياضيات، منحطمتوازي الأضلاع يساوي الصفر. ويترتب على ذلك نفس الصيغة - جيب الزاوية صفر أو 180 درجة يساوي صفرًا، مما يعني أن المساحة تساوي صفرًا

وهكذا إذاً و . يرجى ملاحظة أن منتج المتجه نفسه يساوي المتجه الصفري، ولكن في الممارسة العملية غالبًا ما يتم إهمال هذا ويتم كتابته أنه يساوي أيضًا الصفر.

حالة خاصة- المنتج المتجه للمتجه مع نفسه:

باستخدام المنتج المتجه، يمكنك التحقق من العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات ثلاثية الأبعاد، وسنقوم أيضًا بتحليل هذه المشكلة، من بين أمور أخرى.

لحل الأمثلة العملية قد تحتاج الجدول المثلثيللعثور على قيم الجيوب منه.

حسنًا، فلنشعل النار:

مثال 1

أ) أوجد طول المنتج المتجه للمتجهات إذا

ب) أوجد مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات إذا

حل: لا، هذا ليس خطأ مطبعي، لقد تعمدت جعل البيانات الأولية في البنود هي نفسها. لأن تصميم الحلول سيكون مختلفاً!

أ) وفقا للحالة، تحتاج إلى العثور عليها طولالمتجه (المنتج المتقاطع). وفقا للصيغة المقابلة:

إجابة:

إذا سئلت عن الطول، فإننا في الإجابة نشير إلى البعد - الوحدات.

ب) وفقا للحالة، تحتاج إلى العثور عليها مربعمتوازي الأضلاع مبني على المتجهات. مساحة متوازي الأضلاع هذا تساوي عدديًا طول منتج المتجه:

إجابة:

مع ملاحظة أن الإجابة لا تتحدث عن المنتج المتجه إطلاقاً، فقد سئلنا عنه مساحة الشكلوبناء على ذلك، فإن البعد هو وحدات مربعة.

نحن ننظر دائمًا إلى ما نحتاج إلى العثور عليه وفقًا للحالة، وعلى هذا الأساس نقوم بصياغته واضحإجابة. قد يبدو الأمر وكأنه حرفية، ولكن هناك الكثير من الحرفيين بين المعلمين، والمهمة لديها فرصة جيدة للرجوع للمراجعة. على الرغم من أن هذه ليست مراوغة بعيدة المنال بشكل خاص - إذا كانت الإجابة غير صحيحة، فسيكون لدى المرء انطباع بأن الشخص لا يفهم اشياء بسيطةو/أو لم يفهم جوهر المهمة. يجب أن تظل هذه النقطة تحت السيطرة دائمًا عند حل أي مشكلة في الرياضيات العليا وفي المواد الأخرى أيضًا.

أين ذهب الحرف الكبير "en"؟ من حيث المبدأ، كان من الممكن إرفاقه بشكل إضافي بالحل، ولكن من أجل تقصير الإدخال، لم أفعل ذلك. أتمنى أن يفهم الجميع ذلك ويكون بمثابة تسمية لنفس الشيء.

مثال شائع لحل DIY:

مثال 2

أوجد مساحة المثلث المبني على المتجهات إذا

ترد صيغة العثور على مساحة المثلث من خلال المنتج المتجه في التعليقات على التعريف. الحل والجواب في نهاية الدرس .

في الممارسة العملية، المهمة شائعة جدًا حقًا، يمكن للمثلثات أن تعذبك بشكل عام.

لحل المشاكل الأخرى سنحتاج إلى:

خصائص المنتج المتجه للنواقل

لقد نظرنا بالفعل في بعض خصائص المنتج المتجه، ومع ذلك، سأقوم بإدراجها في هذه القائمة.

بالنسبة للمتجهات العشوائية والأرقام العشوائية، تكون الخصائص التالية صحيحة:

1) في مصادر المعلومات الأخرى، عادة لا يتم تسليط الضوء على هذا العنصر في الخصائص، ولكنه مهم جدًا من الناحية العملية. لذا فليكن.

2) – تمت مناقشة الخاصية أيضًا أعلاه، وأحيانًا يطلق عليها اسم مكافحة التبادل. وبعبارة أخرى، فإن ترتيب المتجهات مهم.

3) - النقابي أو ترابطيقوانين المنتجات ناقلات. يمكن نقل الثوابت بسهولة خارج المنتج المتجه. حقاً، ماذا عليهم أن يفعلوا هناك؟

4) – التوزيع أو التوزيعيةقوانين المنتجات ناقلات. لا توجد مشاكل في فتح الأقواس أيضًا.

للتوضيح، دعونا نلقي نظرة على مثال قصير:

مثال 3

اكتشف إذا

حل:يتطلب الشرط مرة أخرى إيجاد طول منتج المتجه. دعونا نرسم المنمنمة لدينا:

(1) وفقًا للقوانين الترابطية، فإننا نأخذ الثوابت خارج نطاق حاصل الضرب المتجه.

(2) ننقل الثابت خارج الوحدة، و"تأكل" الوحدة علامة الطرح. لا يمكن أن يكون الطول سالبًا.

(٣) والباقي واضح.

إجابة:

حان الوقت لإضافة المزيد من الخشب إلى النار:

مثال 4

احسب مساحة المثلث المبني على المتجهات إذا

حل: أوجد مساحة المثلث باستخدام الصيغة . المشكلة هنا هي أن المتجهين "tse" و"de" يتم تقديمهما كمجموعات من المتجهات. الخوارزمية هنا قياسية وتذكرنا إلى حد ما بالمثالين رقم 3 و4 من الدرس المنتج النقطي للمتجهات. وللتوضيح سنقسم الحل إلى ثلاث مراحل:

1) في الخطوة الأولى، نعبر عن حاصل الضرب المتجه من خلال حاصل الضرب المتجه، في الواقع، دعونا نعبر عن المتجه بدلالة المتجه. لا توجد كلمة حتى الآن على أطوال!

(1) استبدل تعبيرات المتجهات.

(2) باستخدام قوانين التوزيع، نفتح الأقواس وفقًا لقاعدة ضرب كثيرات الحدود.

(3) باستخدام القوانين الترابطية، نقوم بنقل جميع الثوابت إلى ما هو أبعد من منتجات المتجهات. مع قليل من الخبرة، يمكن تنفيذ الخطوتين 2 و 3 في وقت واحد.

(4) الحدان الأول والأخير يساويان صفر (متجه صفر) بسبب الخاصية اللطيفة. في المصطلح الثاني نستخدم خاصية عكس التبادل لمنتج متجه:

(5) نقدم مصطلحات مماثلة.

ونتيجة لذلك، تم التعبير عن المتجه من خلال ناقل، وهو ما كان مطلوب تحقيقه:

2) في الخطوة الثانية، نجد طول المنتج المتجه الذي نحتاجه. هذا الإجراء مشابه للمثال 3:

3) أوجد مساحة المثلث المطلوب:

يمكن كتابة المراحل 2-3 من الحل في سطر واحد.

إجابة:

المشكلة التي تم النظر فيها شائعة جدًا في الاختبارات، هنا مثال لحل مستقل:

مثال 5

اكتشف إذا

حل قصير وإجابة في نهاية الدرس. لنرى مدى انتباهك عند دراسة الأمثلة السابقة ;-)

المنتج الاتجاهي للمتجهات في الإحداثيات

، محددة على أساس متعامد ، يتم التعبير عنها بواسطة الصيغة:

الصيغة بسيطة حقًا: في السطر العلوي من المحدد، نكتب المتجهات الإحداثية، وفي السطرين الثاني والثالث "نضع" إحداثيات المتجهات، ونضعها بترتيب صارم- أولاً إحداثيات المتجه "ve"، ثم إحداثيات المتجه "ve المزدوج". إذا كانت هناك حاجة إلى ضرب المتجهات بترتيب مختلف، فيجب تبديل الصفوف:

مثال 10

تحقق مما إذا كانت المتجهات الفضائية التالية على خط واحد:
أ)
ب)

حل: يعتمد التحقق على إحدى العبارات الواردة في هذا الدرس: إذا كانت المتجهات على خط واحد، فإن حاصل ضربها المتجه يساوي صفر (متجه صفر): .

أ) ابحث عن المنتج المتجه:

وبالتالي، فإن المتجهات ليست على خط واحد.

ب) ابحث عن المنتج المتجه:

إجابة: أ) ليست على خط واحد، ب)

ربما تكون هنا جميع المعلومات الأساسية حول حاصل ضرب المتجهات للمتجهات.

لن يكون هذا القسم كبيرًا جدًا، حيث توجد مشكلات قليلة حيث يتم استخدام المنتج المختلط للمتجهات. في الواقع، كل شيء سيعتمد على التعريف، معنى هندسيواثنين من صيغ العمل.

قطعة مختلطةالمتجهات هي نتاج ثلاثة ناقلات:

لذلك اصطفوا مثل القطار ولا يمكنهم الانتظار حتى يتم التعرف عليهم.

أولا، مرة أخرى، تعريف وصورة:

تعريف: العمل المختلط غير متحد المستوىثلاثة أبعاد، اتخذت بهذا الترتيب، مُسَمًّى حجم متوازي، مبني على هذه المتجهات، مزود بعلامة "+" إذا كان الأساس صحيحا، وعلامة "-" إذا كان الأساس يسارا.

دعونا نفعل الرسم. يتم رسم الخطوط غير المرئية بالنسبة لنا بخطوط منقطة:

دعونا نتعمق في التعريف:

2) يتم أخذ المتجهات بترتيب معينأي أن إعادة ترتيب المتجهات في المنتج، كما قد تتخيل، لا يحدث بدون عواقب.

3) قبل التعليق على المعنى الهندسي، أود أن أشير إلى حقيقة واضحة: المنتج المختلط للمتجهات هو رقم: . في الأدبيات التعليمية، قد يكون التصميم مختلفًا بعض الشيء، فأنا معتاد على الإشارة إلى المنتج المختلط بالحرف "pe" ونتيجة العمليات الحسابية.

أ-بريوري المنتج المختلط هو حجم متوازي السطوح، مبني على المتجهات (الشكل مرسوم بمتجهات حمراء وخطوط سوداء). أي أن العدد يساوي حجم متوازي السطوح المعطى.

ملحوظة : الرسم تخطيطي.

4) دعونا لا نقلق مرة أخرى بشأن مفهوم اتجاه الأساس والمساحة. معنى الجزء الأخير هو أنه يمكن إضافة علامة الطرح إلى المجلد. بكلمات بسيطة، يمكن أن يكون المنتج المختلط سلبيًا: .

مباشرة من التعريف يتبع صيغة حساب حجم متوازي السطوح المبني على المتجهات.

دعونا نتذكر أولًا ما هو المنتج المتجه.

ملاحظة 1

ناقلات العمل الفنيبالنسبة لـ $\vec(a)$ و $\vec(b)$ هو $\vec(c)$، وهو متجه ثالث $\vec(c)= ||$، وهذا المتجه له خصائص خاصة:

• العدد القياسي للمتجه الناتج هو حاصل ضرب $|\vec(a)|$ و $|\vec(b)|$ على جيب الزاوية $\vec(c)= ||= |\vec(a) )| \cdot |\vec(b)|\cdot \sin α \left(1\right)$;
• جميع $\vec(a)، و\vec(b)$، و$\vec(c)$ تشكل ثلاثية قائمة؛
• المتجه الناتج متعامد مع $\vec(a)$ و $\vec(b)$.

إذا كانت المتجهات لها بعض الإحداثيات ($\vec(a)=\(x_1; y_1; z_1\)$ و$\vec(b)= \(x_2; y_2; z_2\)$)، فإن حاصل ضربها المتجه في الإحداثيات الديكارتية يمكن تحديد النظام بواسطة الصيغة:

$ = \(y_1 \cdot z_2 – y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 – z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 – x_2 \cdot y_1\)$

أسهل طريقة لتذكر هذه الصيغة هي كتابتها بصيغة محددة:

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end(array)$.

هذه الصيغة مريحة جدًا في الاستخدام، ولكن لكي تفهم كيفية استخدامها، يجب عليك أولاً أن تتعرف على موضوع المصفوفات ومحدداتها.

مساحة متوازي الأضلاع، والتي يتم تحديد جوانبها بواسطة متجهين $\vec(a)$ و $vec(b)$ يساوي العددية للمنتج المتجه للمتجهين المحددين.

هذه العلاقة ليست صعبة على الإطلاق.

دعونا نتذكر صيغة العثور على مساحة متوازي الأضلاع العادي، والتي يمكن تمييزها بالقطاعين $a$ و $b$ اللذين يشكلانه:

$S = a \cdot b \cdot \sin α$

في هذه الحالة، أطوال الأضلاع تساوي القيم العددية للمتجهين $\vec(a)$ و $\vec(b)$، وهي مناسبة تمامًا بالنسبة لنا، أي العددية للمتجه سيكون المنتج المتجه لهذه المتجهات هو مساحة الشكل قيد النظر.

مثال 1

يوجد متجهان $\vec(c)$ بإحداثيات $\(5;3; 7\)$ ومتجه $\vec(g)$ بإحداثيات $\(3; 7;10\)$ في نظام الإحداثيات الديكارتية . أوجد مساحة متوازي الأضلاع المتكون من $\vec(c)$ و $\vec(g)$.

حل:

دعونا نجد المنتج المتجه لهذه المتجهات:

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \end(array)= i \cdot \begin(array) (|cc |) 3 & 7 \\ 7 & 10 \\ \end(array) - j \cdot \begin(array) (|cc|) 5 & 7 \\ 3 & 10 \\ \end(array) + k \cdot \begin(array) (|cc|) 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end(array) = i \cdot (3 \cdot 10 – 49) – j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\(- 19; 29; 26\)$.

الآن لنجد القيمة المعيارية للقطعة الموجهة الناتجة، وهي قيمة مساحة متوازي الأضلاع المبني:

$S= \sqrt(|19|^2 + |29|^2 + |26|^2) = \sqrt(1878) ≈ 43.34$.

هذا الخط من التفكير صالح ليس فقط لإيجاد المساحة في الفضاء ثلاثي الأبعاد، ولكن أيضًا للفضاء ثنائي الأبعاد. تحقق من اللغز التالي حول هذا الموضوع.

مثال 2

احسب مساحة متوازي الأضلاع إذا كانت الأجزاء المولدة له محددة بواسطة المتجهات $\vec(m)$ بإحداثيات $\(2; 3\)$ و $\vec(d)$ بإحداثيات $\(-5 ;6\)$.

حل:

هذه المشكلة هي مثال خاص للمشكلة 1، التي تم حلها أعلاه، ولكن كلا المتجهين يقعان في نفس المستوى، مما يعني أن الإحداثي الثالث، $z$، يمكن اعتباره صفرًا.

لتلخيص كل ما سبق فإن مساحة متوازي الأضلاع ستكون:

$S = \begin(array) (||cc||) 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end(array) = \sqrt(12 + 15) =3 \sqrt3$.

مثال 3

المتجهات المعطاة $\vec(a) = 3i – j + k; \vec(b)= 5i$. تحديد مساحة متوازي الأضلاع التي تشكلها.

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = (3i – j + k) \times 5i = 15 – 5 + $

دعونا نبسط وفقا للجدول أدناه لمتجهات الوحدة:

الشكل 1. تحلل المتجه حسب الأساس. Author24 - تبادل أعمال الطلاب عبر الإنترنت

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = 5 k + 5 j$.

وقت الحساب:

$S = \sqrt(|-5|^2 + |5|^2) = 5\sqrt(2)$.

كانت المشاكل السابقة تتعلق بالمتجهات التي تم تحديد إحداثياتها في نظام الإحداثيات الديكارتية، ولكن ضع في اعتبارك أيضًا الحالة إذا كانت الزاوية بين المتجهات الأساسية تختلف عن $90°$:

مثال 4

المتجه $\vec(d) = 2a + 3b$، $\vec(f)= a – 4b$، الأطوال $\vec(a)$ و $\vec(b)$ متساوية مع بعضها البعض وتساوي واحدًا ، والزاوية بين $\vec(a)$ و $\vec(b)$ هي 45°.

حل:

دعونا نحسب منتج المتجه $\vec(d) \times \vec(f)$:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= (2a + 3b) \times (a – 4b) = 2 – 8 + 3 – 12 $.

بالنسبة للمنتجات المتجهة، وفقًا لخصائصها، يكون ما يلي صحيحًا: $$ و$$ يساويان الصفر، $ = - $.

دعونا نستخدم هذا لتبسيط:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= -8 + 3 = -8 - 3 =-11$.

الآن دعونا نستخدم الصيغة $(1)$ :

$[\vec(d) \times \vec(f) ] = |-11 | = 11 \cdot |a| \cdot |ب| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=$5.5.

مساحة متوازي الأضلاع المبني على متجهات تساوي حاصل ضرب أطوال هذه المتجهات وزاوية الزاوية الواقعة بينهما.

ومن الجيد أن تحدد الظروف أطوال هذه المتجهات نفسها. ومع ذلك، يحدث أيضًا أن صيغة منطقة متوازي الأضلاع المبنية على المتجهات لا يمكن تطبيقها إلا بعد إجراء العمليات الحسابية باستخدام الإحداثيات.
إذا كنت محظوظًا وكانت الشروط تعطي أطوال المتجهات، فأنت تحتاج فقط إلى تطبيق الصيغة التي ناقشناها بالفعل بالتفصيل في المقالة. ستكون المساحة مساوية لمنتج الوحدات وجيب الزاوية بينهما:

لنفكر في مثال لحساب مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات.

مهمة:متوازي الأضلاع مبني على المتجهات و . أوجد المساحة إذا، والزاوية بينهما 30 درجة.
دعونا نعبر عن المتجهات من خلال قيمها:

ربما لديك سؤال - من أين تأتي الأصفار؟ ومن الجدير بالذكر أننا نعمل مع المتجهات ومن أجلهم . لاحظ أيضًا أنه إذا كانت النتيجة تعبيرًا، فسيتم تحويلها إلى. الآن نقوم بإجراء الحسابات النهائية:

دعنا نعود إلى المشكلة عندما لا يتم تحديد أطوال المتجهات في الشروط. إذا كان متوازي الأضلاع الخاص بك يقع في نظام الإحداثيات الديكارتية، فسوف تحتاج إلى القيام بما يلي.

حساب أطوال أضلاع الشكل المعطى بالإحداثيات

أولًا، نوجد إحداثيات المتجهات ونطرح إحداثيات البداية المقابلة من إحداثيات النهاية. لنفترض أن إحداثيات المتجه a هي (x1;y1;z1) والمتجه b هو (x3;y3;z3).
الآن نجد طول كل متجه. للقيام بذلك، يجب تربيع كل إحداثيات، ثم إضافة النتائج التي تم الحصول عليها ومنها عدد محدوداستخراج الجذر. بناءً على المتجهات الخاصة بنا، ستكون هناك الحسابات التالية:


علينا الآن إيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهات. للقيام بذلك، يتم ضرب الإحداثيات المقابلة لها وإضافتها.

بوجود أطوال المتجهات وحاصل ضربها القياسي، يمكننا إيجاد جيب تمام الزاوية الواقعة بينهما .
الآن يمكننا إيجاد جيب الزاوية نفسها:
الآن لدينا جميع الكميات اللازمة، ويمكننا بسهولة العثور على مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات باستخدام الصيغة المعروفة بالفعل.