Jeder Punkt auf der Planetenoberfläche hat eine bestimmte Position, die seinen eigenen Breiten- und Längenkoordinaten entspricht. Es befindet sich am Schnittpunkt der Kugelbögen des Meridians, der dem Längengrad entspricht, mit der Parallele, die dem Breitengrad entspricht. Es wird durch ein Paar von Winkelgrößen bezeichnet, die in Grad, Minuten und Sekunden ausgedrückt werden und die Definition eines Koordinatensystems haben.

Breitengrad und Längengrad sind der geografische Aspekt einer Ebene oder Kugel, der in topografische Bilder übersetzt wird. Um einen Punkt genauer zu lokalisieren, wird auch seine Höhe über dem Meeresspiegel berücksichtigt, was es ermöglicht, ihn im dreidimensionalen Raum zu finden.

Breiten-und Längengrad

Die Notwendigkeit, einen Punkt mithilfe von Breiten- und Längengradkoordinaten zu finden, ergibt sich aus der Pflicht und Beschäftigung von Rettern, Geologen, Militärangehörigen, Seeleuten, Archäologen, Piloten und Fahrern, kann aber auch für Touristen, Reisende, Suchende und Forscher erforderlich sein.

Was ist Breitengrad und wie findet man ihn?

Der Breitengrad ist der Abstand eines Objekts zur Äquatorlinie. Gemessen in Winkeleinheiten (wie Grad, Grad, Minuten, Sekunden usw.). Der Breitengrad auf einer Karte oder einem Globus wird durch horizontale Parallelen angezeigt – Linien, die einen Kreis parallel zum Äquator beschreiben und in Form einer Reihe sich verjüngender Ringe zu den Polen hin zusammenlaufen.

Breitengrade

Daher unterscheiden sie den nördlichen Breitengrad – das ist der gesamte Teil Erdoberfläche nördlich des Äquators sowie südlich – das ist der gesamte Teil der Planetenoberfläche südlich des Äquators. Der Äquator ist die nullte, längste Parallele.

• Parallelen von der Äquatorlinie zum Nordpol gelten als positiver Wert von 0° bis 90°, wobei 0° der Äquator selbst und 90° die Spitze ist Nordpol. Sie werden als nördlicher Breitengrad (N) gezählt.
• Parallelen, die sich vom Äquator zur Seite erstrecken Südpol, angezeigt durch einen negativen Wert von 0° bis -90°, wobei -90° die Position des Südpols ist. Sie werden als südlicher Breitengrad (S) gezählt.
• Auf dem Globus werden Parallelen als Kreise um die Kugel dargestellt, die bei Annäherung an die Pole kleiner werden.
• Alle Punkte auf demselben Breitenkreis werden mit demselben Breitengrad, aber unterschiedlichen Längengraden bezeichnet.
  Auf Karten haben Parallelen aufgrund ihres Maßstabs die Form von horizontalen, gekrümmten Streifen – je kleiner der Maßstab, desto gerader wird der Parallelstreifen dargestellt, und je größer er ist, desto stärker gekrümmt ist er.

Erinnern! Je näher ein bestimmtes Gebiet am Äquator liegt, desto kleiner ist sein Breitengrad.

Was ist der Längengrad und wie findet man ihn?

Der Längengrad ist der Betrag, um den die Position eines bestimmten Gebiets relativ zu Greenwich, also dem Nullmeridian, entfernt ist.

Längengrade

Der Längengrad wird ebenfalls durch die Messung in Winkeleinheiten charakterisiert, nur von 0° bis 180° und mit einem Präfix – Ost oder West.

• Der Nullmeridian von Greenwich umkreist vertikal die Erdkugel, verläuft durch beide Pole und teilt sie in die westliche und die östliche Hemisphäre.
• Jeder der Teile westlich von Greenwich (in der westlichen Hemisphäre) wird als westlicher Längengrad (w.l.) bezeichnet.
• Jeder der östlich von Greenwich entfernten und auf der östlichen Hemisphäre gelegenen Teile trägt die Bezeichnung östlicher Längengrad (E.L.).
• Die Suche nach jedem Punkt entlang eines Meridians hat denselben Längengrad, aber einen unterschiedlichen Breitengrad.
• Meridiane werden auf Karten in Form von bogenförmig gekrümmten vertikalen Streifen eingezeichnet. Je kleiner der Kartenmaßstab, desto gerader wird der Meridianstreifen.

So finden Sie die Koordinaten eines bestimmten Punktes auf der Karte

Oftmals muss man die Koordinaten eines Punktes ermitteln, der auf der Karte in einem Quadrat zwischen den beiden nächstgelegenen Breitengraden und Meridianen liegt. Ungefähre Daten können mit dem Auge erhalten werden, indem nacheinander der Schritt in Grad zwischen den kartierten Linien im interessierenden Bereich geschätzt und dann der Abstand von ihnen mit dem gewünschten Bereich verglichen wird. Für genaue Berechnungen benötigen Sie einen Bleistift mit Lineal oder einen Zirkel.

• Für die Ausgangsdaten nehmen wir die Bezeichnungen der Parallelen, die unserem Punkt am nächsten zum Meridian liegen.
• Als nächstes betrachten wir den Abstand zwischen ihren Streifen in Grad.
• Dann schauen wir uns die Größe ihres Schrittes auf der Karte in cm an.
• Wir messen mit einem Lineal in cm den Abstand von einem bestimmten Punkt zur nächsten Parallele sowie den Abstand zwischen dieser Geraden und der benachbarten, rechnen ihn in Grad um und berücksichtigen die Differenz – subtrahieren vom größeren oder addieren zum kleineren.
• Das gibt uns den Spielraum.

Beispiel! Der Abstand zwischen den Parallelen 40° und 50°, zwischen denen sich unser Gebiet befindet, beträgt 2 cm oder 20 mm, und der Schritt zwischen ihnen beträgt 10°. Dementsprechend entspricht 1° 2 mm. Unser Punkt ist 0,5 cm oder 5 mm vom vierzigsten Breitengrad entfernt. Wir ermitteln den Grad unserer Fläche 5/2 = 2,5°, der zum Wert des nächsten Breitengrades addiert werden muss: 40° + 2,5° = 42,5° – das ist unser nördlicher Breitengrad des gegebenen Punktes. Auf der Südhalbkugel sind die Berechnungen ähnlich, das Ergebnis hat jedoch ein negatives Vorzeichen.

Ebenso ermitteln wir den Längengrad – wenn der nächstgelegene Meridian weiter von Greenwich entfernt ist und der gegebene Punkt näher liegt, dann subtrahieren wir die Differenz, wenn der Meridian näher an Greenwich liegt und der Punkt weiter entfernt ist, dann addieren wir sie.

Wenn Sie nur einen Zirkel zur Hand haben, wird jedes Segment mit seinen Spitzen fixiert und die Spreizung auf die Skala übertragen.

In ähnlicher Weise werden Berechnungen von Koordinaten auf der Erdoberfläche durchgeführt.

Die besten Dienste zum Finden eines Ortes anhand von Koordinaten

Der einfachste Weg, Ihren Standort herauszufinden, ist die Anmeldung bei der PC-Version des Dienstes, der direkt mit Google Maps funktioniert. Viele Dienstprogramme erleichtern die Eingabe von Breiten- und Längengraden in einem Browser. Schauen wir uns die besten davon an.

Karte und Wegbeschreibung

Darüber hinaus können Sie mit Maps & Directions die Koordinaten Ihrer Position auf der Karte kostenlos per Knopfdruck ermitteln. Klicken Sie auf „Meine Koordinaten suchen“, und der Dienst platziert sofort eine Markierung und ermittelt den Breiten- und Längengrad auf viele Tausendstel genau sowie die Höhe.

An derselben Stelle können Sie den Abstand zwischen messen Siedlungen oder die Fläche eines bestimmten Gebiets, zeichnen Sie eine Route oder berechnen Sie die Reisezeit. Der Dienst wird sowohl für Reisende als auch für einfach neugierige Benutzer nützlich sein.

Mapcoordinates.net

Mit einem nützlichen Dienstprogramm, Mapcoordinates.net, können Sie die Koordinaten eines Punktes in jeder Region der Welt ermitteln. Der Dienst ist auch in Google Maps integriert, verfügt jedoch über eine vereinfachte Benutzeroberfläche, dank der auch ein ungeübter Benutzer ihn nutzen kann.

Geben Sie in der Adressleiste des Dienstprogramms unter „Suchen“ die Adresse des Ortes sowie den Breiten- und Längengrad ein, den Sie abrufen möchten. Eine Karte mit Koordinaten wird zusammen mit einer Markierung am gewünschten Ort angezeigt. Der Breitengrad, der Längengrad und die Höhe des ausgewählten Punkts werden über der Markierung angezeigt.

Leider eignet sich Mapcoordinates.net nicht für die Suche nach Punkten mit Kenntnis ihrer Koordinaten. Für den umgekehrten Vorgang ist dies jedoch ein sehr praktisches Dienstprogramm. Der Dienst unterstützt viele Sprachen, einschließlich Russisch.

Suchen Sie mithilfe des Google Maps-Dienstes über einen Browser nach Koordinaten auf der Karte

Wenn Sie aus irgendeinem Grund lieber nicht mit vereinfachten Diensten, sondern direkt mit Google Maps arbeiten möchten, sind diese Anweisungen hilfreich für Sie. Die Suche nach Koordinaten über Google Maps ist etwas komplizierter als bei den zuvor beschriebenen Methoden, kann aber schnell und ohne große Schwierigkeiten gemeistert werden.

Um die genauen Koordinaten eines Ortes herauszufinden, befolgen Sie diese einfachen Anweisungen:

Öffnen Sie den Dienst auf Ihrem PC. Wichtig ist, dass der Vollmodus eingeschaltet ist und nicht der Lichtmodus (gekennzeichnet mit einem speziellen Blitzsymbol), da sonst keine Informationen abgerufen werden können;

Klicken Sie mit der rechten Maustaste auf den Abschnitt der Karte, in dem sich der gesuchte Gegenstand oder Punkt befindet;

Wählen Sie im angezeigten Menü die Option „Was ist hier?“;

Sehen Sie sich die Registerkarte an, die unten auf dem Bildschirm angezeigt wird. Es werden Breitengrad, Längengrad und Höhe angezeigt.

Um einen Standort anhand bekannter geografischer Koordinaten zu bestimmen, ist ein anderes Verfahren erforderlich:

1. Öffnen Sie Google Maps im Vollmodus auf Ihrem Computer.

   In der Suchleiste am oberen Bildschirmrand können Sie Koordinaten eingeben. Dies kann in den folgenden Formaten erfolgen: Grad, Minuten und Sekunden; Grad und Dezimalminuten; Dezimalgrade;

Drücken Sie die „Enter“-Taste und an der gewünschten Stelle erscheint auf der Karte eine spezielle Markierung.

Am wichtigsten bei der Verwendung Google-Dienst Karten sollten korrekt angegeben werden geografische Koordinaten. Karten erkennen nur wenige Datenformate. Beachten Sie daher unbedingt die folgenden Eingaberegeln:

Verwenden Sie bei der Eingabe von Graden das Sonderzeichen, um es als „°“ statt als „d“ anzugeben;

Sie müssen einen Punkt anstelle eines Kommas als Trennzeichen zwischen den ganzzahligen und gebrochenen Teilen verwenden, andernfalls kann die Suchzeichenfolge den Ort nicht zurückgeben;

Zuerst wird der Breitengrad und dann der Längengrad angezeigt. Der erste Parameter muss im Bereich von -90 bis 90 geschrieben werden, der zweite im Bereich von -180 bis 180.

Es ist schwierig, ein Sonderzeichen auf einer PC-Tastatur zu finden, und um die erforderliche Liste von Regeln einzuhalten, muss man sich viel Mühe geben. Es ist viel einfacher, spezielle Dienstprogramme zu verwenden – die besten davon haben wir im obigen Abschnitt aufgelistet.

Einen Ort anhand der Breiten- und Längengrade auf dem Android-Betriebssystem finden

Oft müssen Sie einen Ort anhand von Koordinaten finden, der weit von Ihrem Laptop oder PC entfernt ist. Wird weiterhelfen App Google Maps läuft auf der Android-Plattform. Es wird normalerweise verwendet, um Wegbeschreibungen zu erhalten oder den Zeitplan herauszufinden. Fahrzeug Das Programm eignet sich jedoch auch zum Auffinden des Standorts eines Gegenstands oder Punktes.

Sie können die Anwendung für Android auf der offiziellen Seite bei Google Play herunterladen. Es ist sowohl auf Russisch als auch auf Russisch verfügbar Englische Sprachen. Befolgen Sie nach der Installation des Programms die folgenden Anweisungen:

Öffnen Sie Google Maps auf Ihrem Gerät und warten Sie, bis die Karte angezeigt wird.

Finden Sie einen Ort, der Sie interessiert. Klicken Sie darauf und halten Sie die Maustaste gedrückt, bis eine spezielle Markierung erscheint.

Oben auf dem Bildschirm erscheint eine Registerkarte mit einem Suchfenster und den vollständigen Koordinaten des Standorts.

Wenn Sie einen Ort anhand von Koordinaten finden müssen und nicht umgekehrt, dann ist die Methode die richtige Mobilgerät nicht anders als sein PC-Pendant.

Die mobile Version des Dienstes, wie sie auf einem PC läuft, ermöglicht es Ihnen, den gewünschten Standort im Detail zu studieren, seine genauen Koordinaten herauszufinden oder umgekehrt, die Adresse anhand bekannter Daten zu erkennen. Dies ist sowohl zu Hause als auch unterwegs eine bequeme Möglichkeit.

In diesem Artikel beginnen wir mit der Diskussion eines „Zauberstabs“, der es Ihnen ermöglicht, viele Geometrieprobleme auf einfache Arithmetik zu reduzieren. Dieser „Stab“ kann Ihnen das Leben erheblich erleichtern, insbesondere wenn Sie unsicher sind, räumliche Figuren, Abschnitte usw. zu konstruieren. All dies erfordert eine gewisse Vorstellungskraft und praktische Fähigkeiten. Die Methode, die wir hier betrachten werden, ermöglicht es Ihnen, von allen Arten geometrischer Konstruktionen und Überlegungen fast vollständig zu abstrahieren. Die Methode wird aufgerufen „Koordinatenmethode“. In diesem Artikel gehen wir auf folgende Fragen ein:

1. Koordinatenebene
2. Punkte und Vektoren auf der Ebene
3. Konstruieren eines Vektors aus zwei Punkten
4. Vektorlänge (Abstand zwischen zwei Punkten).
5. Koordinaten der Segmentmitte
6. Skalarprodukt von Vektoren
7. Winkel zwischen zwei Vektoren

Ich denke, Sie haben bereits erraten, warum die Koordinatenmethode so heißt? Richtig, es hat diesen Namen bekommen, weil es nicht mit geometrischen Objekten arbeitet, sondern mit deren numerischen Eigenschaften (Koordinaten). Und die Transformation selbst, die uns den Übergang von der Geometrie zur Algebra ermöglicht, besteht in der Einführung eines Koordinatensystems. Wenn die ursprüngliche Figur flach war, sind die Koordinaten zweidimensional, und wenn die Figur dreidimensional ist, sind die Koordinaten dreidimensional. In diesem Artikel betrachten wir nur den zweidimensionalen Fall. Und das Hauptziel des Artikels besteht darin, Ihnen beizubringen, wie Sie einige grundlegende Techniken der Koordinatenmethode anwenden (sie erweisen sich manchmal als nützlich bei der Lösung von Problemen zur Planimetrie in Teil B des Einheitlichen Staatsexamens). Die nächsten beiden Abschnitte zu diesem Thema sind der Diskussion von Methoden zur Lösung des Problems C2 (dem Problem der Stereometrie) gewidmet.

Wo wäre es logisch, mit der Diskussion der Koordinatenmethode zu beginnen? Wahrscheinlich aus dem Konzept eines Koordinatensystems. Denken Sie daran, als Sie ihr zum ersten Mal begegnet sind. Mir kommt es so vor, als hätte man in der 7. Klasse zum Beispiel etwas über die Existenz einer linearen Funktion erfahren. Ich möchte Sie daran erinnern, dass Sie es Punkt für Punkt aufgebaut haben. Erinnerst du dich? Sie haben eine beliebige Zahl gewählt, diese in die Formel eingesetzt und auf diese Weise berechnet. Zum Beispiel wenn, dann, wenn, dann usw. Was haben Sie am Ende herausgefunden? Und Sie haben Punkte mit Koordinaten erhalten: und. Als nächstes zeichneten Sie ein „Kreuz“ (Koordinatensystem), wählten darauf einen Maßstab (wie viele Zellen Sie als Einheitssegment haben werden) und markierten darauf die erhaltenen Punkte, die Sie dann mit einer geraden Linie verbanden; das Ergebnis Linie ist der Graph der Funktion.

Hier gibt es ein paar Punkte, die Ihnen etwas genauer erklärt werden sollten:

1. Sie wählen aus Bequemlichkeitsgründen ein einzelnes Segment, damit alles schön und kompakt in die Zeichnung passt.

2. Es wird akzeptiert, dass die Achse von links nach rechts und von unten nach oben verläuft

3. Sie schneiden sich im rechten Winkel und der Punkt ihres Schnittpunkts wird Ursprung genannt. Dies wird durch einen Buchstaben gekennzeichnet.

4. Wenn Sie beispielsweise die Koordinaten eines Punktes schreiben, steht links in Klammern die Koordinate des Punktes entlang der Achse und rechts entlang der Achse. Insbesondere bedeutet es an dieser Stelle einfach nur das

5. Um einen beliebigen Punkt auf der Koordinatenachse anzugeben, müssen Sie seine Koordinaten (2 Zahlen) angeben.

6. Für jeden Punkt, der auf der Achse liegt,

7. Für jeden Punkt, der auf der Achse liegt,

8. Die Achse wird x-Achse genannt

9. Die Achse wird y-Achse genannt

Machen wir nun den nächsten Schritt: Markieren Sie zwei Punkte. Verbinden wir diese beiden Punkte mit einem Segment. Und wir werden den Pfeil so platzieren, als würden wir ein Segment von Punkt zu Punkt zeichnen: das heißt, wir machen unser Segment gerichtet!

Erinnern Sie sich, wie ein anderes Richtungssegment genannt wird? Das ist richtig, es heißt Vektor!

Wenn wir also Punkt für Punkt verbinden, und der Anfang wird Punkt A sein, und das Ende wird Punkt B sein, dann erhalten wir einen Vektor. Du hast diese Konstruktion auch in der 8. Klasse gemacht, erinnerst du dich?

Es stellt sich heraus, dass Vektoren wie Punkte durch zwei Zahlen bezeichnet werden können: Diese Zahlen werden Vektorkoordinaten genannt. Frage: Glauben Sie, dass es ausreicht, die Koordinaten des Anfangs und Endes eines Vektors zu kennen, um seine Koordinaten zu ermitteln? Es stellt sich heraus, ja! Und das geht ganz einfach:

Da also in einem Vektor der Punkt der Anfang und der Punkt das Ende ist, hat der Vektor die folgenden Koordinaten:

Wenn zum Beispiel, dann die Koordinaten des Vektors

Machen wir nun das Gegenteil und ermitteln die Koordinaten des Vektors. Was müssen wir dafür ändern? Ja, Sie müssen Anfang und Ende vertauschen: Jetzt befindet sich der Anfang des Vektors am Punkt und das Ende am Punkt. Dann:

Schauen Sie genau hin, was ist der Unterschied zwischen Vektoren und? Der einzige Unterschied besteht in den Vorzeichen in den Koordinaten. Sie sind Gegensätze. Diese Tatsache wird normalerweise so geschrieben:

Manchmal, wenn nicht genau angegeben ist, welcher Punkt der Anfang und welcher das Ende des Vektors ist, werden Vektoren mit mehr als zwei bezeichnet in Großbuchstaben, und ein Kleinbuchstabe, zum Beispiel: , usw.

Jetzt ein wenig üben selbst und finden Sie die Koordinaten der folgenden Vektoren:

Untersuchung:

Lösen Sie nun ein etwas schwierigeres Problem:

Ein Vektor mit einem Anfang an einem Punkt hat ein Co-or-di-na-you. Finden Sie die Abs-Cis-Su-Punkte.

Trotzdem ist es ziemlich prosaisch: Seien die Koordinaten des Punktes. Dann

Ich habe das System basierend auf der Definition der Vektorkoordinaten zusammengestellt. Dann hat der Punkt Koordinaten. Uns interessiert die Abszisse. Dann

Antwort:

Was kann man sonst noch mit Vektoren machen? Ja, fast alles ist das Gleiche wie bei gewöhnlichen Zahlen (außer dass man nicht dividieren, sondern auf zwei Arten multiplizieren kann, von denen wir hier etwas später noch eine besprechen werden).

1. Vektoren können einander hinzugefügt werden
2. Vektoren können voneinander subtrahiert werden
3. Vektoren können mit einer beliebigen Zahl ungleich Null multipliziert (oder dividiert) werden
4. Vektoren können miteinander multipliziert werden

Alle diese Operationen haben eine sehr klare geometrische Darstellung. Zum Beispiel die Dreiecks- (oder Parallelogramm-)Regel für Addition und Subtraktion:

Ein Vektor dehnt oder zieht sich zusammen oder ändert die Richtung, wenn er mit einer Zahl multipliziert oder dividiert wird:

Allerdings wird uns hier die Frage interessieren, was mit den Koordinaten passiert.

1. Wenn wir zwei Vektoren addieren (subtrahieren), addieren (subtrahieren) wir ihre Koordinaten Element für Element. Also:

2. Beim Multiplizieren (Dividieren) eines Vektors mit einer Zahl werden alle seine Koordinaten mit dieser Zahl multipliziert (dividiert):

Zum Beispiel:

· Finden Sie die Menge an Co-oder-Di-Nat-Century-to-Ra.

Lassen Sie uns zunächst die Koordinaten jedes der Vektoren ermitteln. Sie haben beide den gleichen Ursprung – den Ursprungspunkt. Ihre Enden sind unterschiedlich. Dann, . Berechnen wir nun die Koordinaten des Vektors. Dann ist die Summe der Koordinaten des resultierenden Vektors gleich.

Antwort:

Lösen Sie nun selbst folgendes Problem:

· Finden Sie die Summe der Vektorkoordinaten

Wir überprüfen:

Betrachten wir nun das folgende Problem: Wir haben zwei Punkte Koordinatenebene. Wie finde ich den Abstand zwischen ihnen? Lassen Sie den ersten Punkt sein und den zweiten. Bezeichnen wir den Abstand zwischen ihnen mit. Lassen Sie uns zur Verdeutlichung die folgende Zeichnung anfertigen:

Was ich getan habe? Zuerst habe ich mich verbunden Punkte und,a Außerdem habe ich von einem Punkt aus eine Linie parallel zur Achse gezeichnet, und von einem Punkt aus habe ich eine Linie parallel zur Achse gezeichnet. Haben sie sich an einem Punkt gekreuzt und eine bemerkenswerte Figur gebildet? Was ist das Besondere an ihr? Ja, Sie und ich wissen fast alles über das rechtwinklige Dreieck. Nun, auf jeden Fall der Satz des Pythagoras. Das erforderliche Segment ist die Hypotenuse dieses Dreiecks und die Segmente sind die Schenkel. Wie lauten die Koordinaten des Punktes? Ja, sie sind aus dem Bild leicht zu finden: Da die Segmente parallel zu den Achsen sind und dementsprechend ihre Längen leicht zu finden sind: Wenn wir die Längen der Segmente mit bzw. bezeichnen, dann

Lassen Sie uns nun den Satz des Pythagoras verwenden. Wir kennen die Länge der Beine, wir finden die Hypotenuse:

Somit ist der Abstand zwischen zwei Punkten die Wurzel der Summe der quadrierten Differenzen der Koordinaten. Oder – der Abstand zwischen zwei Punkten ist die Länge des sie verbindenden Segments. Es ist leicht zu erkennen, dass der Abstand zwischen Punkten nicht von der Richtung abhängt. Dann:

Daraus ziehen wir drei Schlussfolgerungen:

Lassen Sie uns ein wenig üben, wie man den Abstand zwischen zwei Punkten berechnet:

Wenn zum Beispiel, dann ist der Abstand zwischen und gleich

Oder gehen wir einen anderen Weg: Finden Sie die Koordinaten des Vektors

Und ermitteln Sie die Länge des Vektors:

Wie Sie sehen, ist es dasselbe!

Üben Sie nun selbst ein wenig:

Aufgabe: Finden Sie den Abstand zwischen den angegebenen Punkten:

Wir überprüfen:

Hier sind ein paar weitere Probleme, die dieselbe Formel verwenden, obwohl sie etwas anders klingen:

1. Ermitteln Sie das Quadrat der Länge des Augenlids.

2. Ermitteln Sie das Quadrat der Länge des Augenlids

Ich denke, Sie haben sie ohne Schwierigkeiten gemeistert? Wir überprüfen:

1. Und das dient der Aufmerksamkeit) Die Koordinaten der Vektoren haben wir bereits früher gefunden: . Dann hat der Vektor Koordinaten. Das Quadrat seiner Länge ist gleich:

2. Finden Sie die Koordinaten des Vektors

Dann ist das Quadrat seiner Länge

Nichts Kompliziertes, oder? Einfache Arithmetik, mehr nicht.

Die folgenden Probleme lassen sich nicht eindeutig einordnen, es geht vielmehr um allgemeine Gelehrsamkeit und die Fähigkeit, einfache Bilder zu zeichnen.

1. Finden Sie den Sinus des Winkels aus dem Schnitt, der den Punkt mit der Abszissenachse verbindet.

Und

Wie gehen wir hier vor? Wir müssen den Sinus des Winkels zwischen und der Achse ermitteln. Wo können wir nach Sinus suchen? Genau, in einem rechtwinkligen Dreieck. Was müssen wir also tun? Baue dieses Dreieck!

Da die Koordinaten des Punktes und sind, ist das Segment gleich und das Segment. Wir müssen den Sinus des Winkels finden. Ich möchte Sie daran erinnern, dass der Sinus das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse ist

Was bleibt uns noch zu tun? Finden Sie die Hypotenuse. Sie können dies auf zwei Arten tun: mit dem Satz des Pythagoras (die Beine sind bekannt!) oder mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten (eigentlich dasselbe wie bei der ersten Methode!). Ich gehe den zweiten Weg:

Antwort:

Die nächste Aufgabe wird Ihnen noch einfacher erscheinen. Sie befindet sich auf den Koordinaten des Punktes.

Aufgabe 2. Von diesem Punkt aus wird der Per-Pen-Di-Ku-Lyar auf die Ab-Ciss-Achse abgesenkt. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Machen wir eine Zeichnung:

Die Basis einer Senkrechten ist der Punkt, an dem sie die x-Achse (Achse) schneidet, für mich ist das ein Punkt. Die Abbildung zeigt, dass es Koordinaten hat: . Uns interessiert die Abszisse, also die „x“-Komponente. Sie ist gleich.

Antwort: .

Aufgabe 3. Ermitteln Sie unter den Bedingungen des vorherigen Problems die Summe der Abstände vom Punkt zu den Koordinatenachsen.

Die Aufgabe ist im Allgemeinen einfach, wenn man weiß, wie groß der Abstand eines Punktes zu den Achsen ist. Du weisst? Ich hoffe, aber ich möchte Sie trotzdem daran erinnern:

Habe ich in meiner Zeichnung oben bereits eine solche Senkrechte gezeichnet? Auf welcher Achse liegt es? Zur Achse. Und wie lang ist es dann? Sie ist gleich. Zeichnen Sie nun selbst eine Senkrechte zur Achse und ermitteln Sie deren Länge. Es wird gleich sein, oder? Dann ist ihre Summe gleich.

Antwort: .

Aufgabe 4. Finden Sie unter den Bedingungen von Aufgabe 2 die Ordinate eines Punktes, der symmetrisch zum Punkt relativ zur Abszissenachse ist.

Ich denke, Ihnen ist intuitiv klar, was Symmetrie ist? Viele Objekte haben sie: viele Gebäude, Tische, Flugzeuge, viele geometrische Figuren: Kugel, Zylinder, Quadrat, Raute usw. Grob gesagt kann Symmetrie wie folgt verstanden werden: Eine Figur besteht aus zwei (oder mehr) identischen Hälften. Diese Symmetrie wird Axialsymmetrie genannt. Was ist dann eine Achse? Dies ist genau die Linie, entlang derer die Figur relativ gesehen in gleiche Hälften „geschnitten“ werden kann (in diesem Bild ist die Symmetrieachse gerade):

Kommen wir nun zurück zu unserer Aufgabe. Wir wissen, dass wir nach einem Punkt suchen, der symmetrisch zur Achse ist. Dann ist diese Achse die Symmetrieachse. Das bedeutet, dass wir einen Punkt so markieren müssen, dass die Achse das Segment in zwei gleiche Teile schneidet. Versuchen Sie, einen solchen Punkt selbst zu markieren. Vergleichen Sie nun mit meiner Lösung:

Hat es bei Ihnen genauso geklappt? Bußgeld! Uns interessiert die Ordinate des gefundenen Punktes. Es ist gleich

Antwort:

Sagen Sie mir nun, nachdem ich ein paar Sekunden nachgedacht habe, was die Abszisse eines Punktes sein wird, der symmetrisch zu Punkt A relativ zur Ordinate ist. Wie ist deine Antwort? Korrekte Antwort: .

Im Allgemeinen kann die Regel so geschrieben werden:

Ein Punkt symmetrisch zu einem Punkt relativ zur Abszissenachse hat die Koordinaten:

Ein Punkt, der relativ zur Ordinatenachse symmetrisch zu einem Punkt ist, hat Koordinaten:

Nun, jetzt ist es völlig beängstigend Aufgabe: Finden Sie die Koordinaten eines Punktes, der symmetrisch zum Punkt relativ zum Ursprung ist. Denken Sie zuerst selbst nach und schauen Sie sich dann meine Zeichnung an!

Antwort:

Jetzt Parallelogrammproblem:

Aufgabe 5: Die Punkte erscheinen ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Finden Sie or-di-zu diesem Punkt.

Sie können dieses Problem auf zwei Arten lösen: Logik und die Koordinatenmethode. Ich verwende zuerst die Koordinatenmethode und erkläre Ihnen dann, wie Sie es anders lösen können.

Es ist ganz klar, dass die Abszisse des Punktes gleich ist. (es liegt auf der Senkrechten, die vom Punkt zur Abszissenachse gezogen wird). Wir müssen die Ordinate finden. Machen wir uns die Tatsache zunutze, dass unsere Figur ein Parallelogramm ist, das heißt das. Ermitteln wir die Länge des Segments mithilfe der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten:

Wir senken die Senkrechte, die den Punkt mit der Achse verbindet. Den Schnittpunkt bezeichne ich mit einem Buchstaben.

Die Länge des Segments ist gleich. (Finden Sie selbst das Problem, bei dem wir diesen Punkt besprochen haben), dann ermitteln wir die Länge des Segments mithilfe des Satzes des Pythagoras:

Die Länge eines Segments stimmt genau mit seiner Ordinate überein.

Antwort: .

Eine andere Lösung (ich gebe nur ein Bild, das es veranschaulicht)

Lösungsfortschritt:

1. Verhalten

2. Finden Sie die Koordinaten des Punktes und die Länge

3. Beweisen Sie das.

Noch eine Segmentlängenproblem:

Die Punkte erscheinen oben auf dem Dreieck. Finden Sie die Länge seiner Mittellinie parallel.

Erinnern Sie sich an die Mittellinie eines Dreiecks? Dann ist diese Aufgabe für Sie elementar. Wenn Sie sich nicht erinnern, erinnere ich Sie daran: Die Mittellinie eines Dreiecks ist die Linie, die die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten verbindet. Es ist parallel zur Basis und entspricht der Hälfte davon.

Die Basis ist ein Segment. Wir mussten vorher nach der Länge suchen, sie ist gleich. Dann ist die Länge der Mittellinie halb so groß und gleich.

Antwort: .

Kommentar: Dieses Problem kann auf andere Weise gelöst werden, auf die wir etwas später zurückkommen werden.

In der Zwischenzeit sind hier ein paar Aufgaben für Sie, üben Sie sie, sie sind sehr einfach, aber sie helfen Ihnen, die Koordinatenmethode besser zu nutzen!

1. Die Punkte sind die obersten Punkte der Tra-pe-tionen. Finden Sie die Länge seiner Mittellinie.

2. Punkte und Erscheinungen ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Finden Sie or-di-zu diesem Punkt.

3. Ermitteln Sie die Länge des Schnitts, verbinden Sie den Punkt und

4. Finden Sie den Bereich hinter der farbigen Figur auf der Koordinatenebene.

5. Ein Kreis mit einem Mittelpunkt in na-cha-le ko-or-di-nat geht durch den Punkt. Finden Sie ihr Radio.

6. Find-di-te ra-di-us des Kreises, beschreibe-san-noy über den rechten Winkel-no-ka, die Spitzen von etwas haben einen Co-oder -di-na-du bist so verantwortlich

Lösungen:

1. Es ist bekannt, dass die Mittellinie eines Trapezes gleich der Hälfte der Summe seiner Basen ist. Die Basis ist gleich und die Basis. Dann

Antwort:

2. Der einfachste Weg, dieses Problem zu lösen, besteht darin, Folgendes zu beachten (Parallelogrammregel). Die Berechnung der Koordinaten von Vektoren ist nicht schwierig: . Beim Hinzufügen von Vektoren werden die Koordinaten hinzugefügt. Dann hat Koordinaten. Der Punkt hat auch diese Koordinaten, da der Ursprung des Vektors der Punkt mit den Koordinaten ist. Uns interessiert die Ordinate. Sie ist gleich.

Antwort:

3. Wir handeln sofort nach der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten:

Antwort:

4. Schauen Sie sich das Bild an und sagen Sie mir, zwischen welchen beiden Figuren der schattierte Bereich „eingeklemmt“ ist? Es liegt zwischen zwei Quadraten. Dann ist die Fläche der gewünschten Figur gleich der Fläche des großen Quadrats minus der Fläche des kleinen. Die Seite eines kleinen Quadrats ist ein Segment, das die Punkte verbindet, und seine Länge beträgt

Dann beträgt die Fläche des kleinen Quadrats

Dasselbe machen wir mit einem großen Quadrat: Seine Seite ist ein Segment, das die Punkte verbindet, und seine Länge ist

Dann beträgt die Fläche des großen Quadrats

Die Fläche der gewünschten Figur ermitteln wir mit der Formel:

Antwort:

5. Wenn ein Kreis den Ursprung als Mittelpunkt hat und durch einen Punkt verläuft, dann ist sein Radius genau gleich gleich der Länge Segment (machen Sie eine Zeichnung und Sie werden verstehen, warum dies offensichtlich ist). Lassen Sie uns die Länge dieses Segments ermitteln:

Antwort:

6. Es ist bekannt, dass der Radius eines um ein Rechteck umschriebenen Kreises gleich der Hälfte seiner Diagonale ist. Lassen Sie uns die Länge einer der beiden Diagonalen ermitteln (schließlich sind sie in einem Rechteck gleich!)

Antwort:

Na, hast du alles verkraftet? Es war nicht sehr schwer, es herauszufinden, oder? Hier gibt es nur eine Regel: Machen Sie sich ein visuelles Bild und „lesen“ Sie einfach alle Daten daraus.

Wir haben nur noch sehr wenig übrig. Es gibt im wahrsten Sinne des Wortes zwei weitere Punkte, die ich gerne besprechen möchte.

Versuchen wir, dieses einfache Problem zu lösen. Lassen Sie zwei Punkte und gegeben werden. Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts des Segments. Die Lösung dieses Problems lautet wie folgt: Sei der Punkt der gewünschte Mittelpunkt, dann hat er Koordinaten:

Also: Koordinaten der Segmentmitte = arithmetisches Mittel der entsprechenden Koordinaten der Segmentenden.

Diese Regel ist sehr einfach und bereitet den Studierenden in der Regel keine Schwierigkeiten. Mal sehen, bei welchen Problemen und wie es verwendet wird:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point und

2. Die Punkte scheinen die Spitze der Welt zu sein. Find-di-te or-di-na-tu-Punkte pro-re-se-che-niya seines Dia-go-na-ley.

3. Finde-di-te abs-cis-su Mittelpunkt des Kreises, beschreibe-san-noy über das rechteckige-no-ka, die Spitzen von etwas haben Co-oder-di-na-du so-verantwortlich-aber.

Lösungen:

1. Das erste Problem ist einfach ein Klassiker. Wir fahren sofort fort, die Mitte des Segments zu bestimmen. Es hat Koordinaten. Die Ordinate ist gleich.

Antwort:

2. Es ist leicht zu erkennen, dass dieses Viereck ein Parallelogramm (sogar eine Raute!) ist. Sie können dies selbst beweisen, indem Sie die Längen der Seiten berechnen und miteinander vergleichen. Was weiß ich über Parallelogramme? Seine Diagonalen werden durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt! Ja! Was ist also der Schnittpunkt der Diagonalen? Dies ist die Mitte einer der Diagonalen! Ich werde insbesondere die Diagonale wählen. Dann hat der Punkt Koordinaten. Die Ordinate des Punktes ist gleich.

Antwort:

3. Womit fällt der Mittelpunkt des um das Rechteck umschriebenen Kreises zusammen? Es fällt mit dem Schnittpunkt seiner Diagonalen zusammen. Was wissen Sie über die Diagonalen eines Rechtecks? Sie sind gleich und der Schnittpunkt teilt sie in zwei Hälften. Die Aufgabe wurde auf die vorherige reduziert. Nehmen wir zum Beispiel die Diagonale. Wenn dann der Mittelpunkt des Umkreises ist, dann ist der Mittelpunkt. Ich suche Koordinaten: Die Abszisse ist gleich.

Antwort:

Üben Sie jetzt ein wenig alleine. Ich gebe Ihnen nur die Antworten auf jedes Problem, damit Sie sich selbst testen können.

1. Find-di-te ra-di-us des Kreises, beschreibe-san-noy über das Dreieck-no-ka, die Spitzen von etwas haben ein Co-oder-di-no-Mister

2. Finden Sie-di-te oder-di-auf-diesem Mittelpunkt des Kreises, beschreiben Sie-san-noy über das Dreieck-no-ka, dessen Spitzen Koordinaten haben

3. Welche Art von ra-di-u-sa sollte ein Kreis haben, dessen Mittelpunkt an einem Punkt liegt, so dass er die Ab-Ziss-Achse berührt?

4. Finden-di-diese oder-di-auf-dem-Punkt der Neu-Se-ce-tion der Achse und vom-Schnitt, verbinden-den-Punkt und

Antworten:

War alles erfolgreich? Ich hoffe wirklich darauf! Jetzt – der letzte Stoß. Seien Sie jetzt besonders vorsichtig. Das Material, das ich jetzt erklären werde, steht nicht nur in direktem Zusammenhang mit einfachen Problemen der Koordinatenmethode aus Teil B, sondern ist auch überall in Problem C2 zu finden.

Welche meiner Versprechen habe ich noch nicht gehalten? Erinnern Sie sich, welche Operationen für Vektoren ich versprochen habe und welche ich letztendlich eingeführt habe? Bist du sicher, dass ich nichts vergessen habe? Vergessen! Ich habe vergessen zu erklären, was Vektormultiplikation bedeutet.

Es gibt zwei Möglichkeiten, einen Vektor mit einem Vektor zu multiplizieren. Abhängig von der gewählten Methode erhalten wir Objekte unterschiedlicher Natur:

Das Kreuzprodukt ist recht geschickt gemacht. Wie das geht und warum es nötig ist, besprechen wir im nächsten Artikel. Und in diesem Fall konzentrieren wir uns auf das Skalarprodukt.

Es gibt zwei Möglichkeiten, es zu berechnen:

Wie Sie vermutet haben, sollte das Ergebnis dasselbe sein! Schauen wir uns also zunächst die erste Methode an:

Punktprodukt über Koordinaten

Finden Sie: - allgemein akzeptierte Notation für Skalarprodukt

Die Berechnungsformel lautet wie folgt:

Das heißt, das Skalarprodukt = die Summe der Produkte von Vektorkoordinaten!

Beispiel:

Find-di-te

Lösung:

Lassen Sie uns die Koordinaten jedes der Vektoren ermitteln:

Wir berechnen das Skalarprodukt nach der Formel:

Antwort:

Sehen Sie, absolut nichts Kompliziertes!

Nun, probieren Sie es doch selbst aus:

· Finden Sie ein skalares Pro-iz-ve-de-nie von Jahrhunderten und

Hast du es geschafft? Vielleicht ist Ihnen ein kleiner Haken aufgefallen? Lass uns das Prüfen:

Vektorkoordinaten, wie im vorherigen Problem! Antwort: .

Neben der Koordinateneins gibt es noch eine andere Möglichkeit, das Skalarprodukt zu berechnen, nämlich durch die Längen der Vektoren und den Kosinus des Winkels zwischen ihnen:

Bezeichnet den Winkel zwischen den Vektoren und.

Das heißt, das Skalarprodukt ist gleich dem Produkt der Längen der Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.

Warum brauchen wir diese zweite Formel, wenn wir die erste haben, die viel einfacher ist, zumindest keine Kosinuswerte enthält? Und es wird benötigt, damit Sie und ich aus der ersten und zweiten Formel ableiten können, wie man den Winkel zwischen Vektoren ermittelt!

Denken Sie dann an die Formel für die Länge des Vektors!

Wenn ich diese Daten dann in die Skalarproduktformel einsetze, erhalte ich:

Aber auf der anderen Seite:

Was haben Sie und ich also bekommen? Wir haben jetzt eine Formel, mit der wir den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen können! Manchmal wird es der Kürze halber auch so geschrieben:

Das heißt, der Algorithmus zur Berechnung des Winkels zwischen Vektoren lautet wie folgt:

1. Berechnen Sie das Skalarprodukt durch Koordinaten
2. Finden Sie die Längen der Vektoren und multiplizieren Sie sie
3. Teilen Sie das Ergebnis von Punkt 1 durch das Ergebnis von Punkt 2

Üben wir anhand von Beispielen:

1. Finden Sie den Winkel zwischen den Augenlidern und. Geben Sie die Antwort in grad-du-sah.

2. Finden Sie unter den Bedingungen des vorherigen Problems den Kosinus zwischen den Vektoren

Machen wir Folgendes: Ich helfe Ihnen bei der Lösung des ersten Problems und versuche, das zweite selbst zu lösen! Zustimmen? Dann fangen wir an!

1. Diese Vektoren sind unsere alten Freunde. Wir haben ihr Skalarprodukt bereits berechnet und es war gleich. Ihre Koordinaten sind: , . Dann ermitteln wir ihre Längen:

Dann suchen wir nach dem Kosinus zwischen den Vektoren:

Was ist der Kosinus des Winkels? Das ist die Ecke.

Antwort:

Nun lösen Sie das zweite Problem selbst und vergleichen Sie dann! Ich gebe nur eine ganz kurze Lösung:

2. hat Koordinaten, hat Koordinaten.

Sei dann der Winkel zwischen den Vektoren und

Antwort:

Es ist zu beachten, dass sich die Probleme direkt auf Vektoren und die Koordinatenmethode in Teil B beziehen Prüfungsarbeit sehr selten. Die allermeisten C2-Probleme lassen sich jedoch leicht durch die Einführung eines Koordinatensystems lösen. Sie können diesen Artikel also als Grundlage betrachten, auf deren Grundlage wir einige ziemlich clevere Konstruktionen erstellen werden, die wir zur Lösung komplexer Probleme benötigen.

KOORDINATEN UND VEKTOREN. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Sie und ich studieren weiterhin die Koordinatenmethode. Im letzten Teil haben wir eine Reihe wichtiger Formeln abgeleitet, die Ihnen Folgendes ermöglichen:

1. Finden Sie Vektorkoordinaten
2. Finden Sie die Länge eines Vektors (alternativ: den Abstand zwischen zwei Punkten)
3. Vektoren addieren und subtrahieren. Multiplizieren Sie sie mit einer reellen Zahl
4. Finden Sie den Mittelpunkt eines Segments
5. Berechnen Sie das Skalarprodukt von Vektoren
6. Finden Sie den Winkel zwischen Vektoren

Natürlich passt die gesamte Koordinatenmethode nicht in diese 6 Punkte. Es liegt einer Wissenschaft wie der analytischen Geometrie zugrunde, mit der Sie an der Universität vertraut werden. Ich möchte lediglich eine Grundlage schaffen, die es Ihnen ermöglicht, Probleme in einem einzigen Staat zu lösen. Prüfung. Wir haben uns mit den Aufgaben von Teil B befasst. Jetzt ist es an der Zeit, auf ein ganz neues Level zu wechseln! Dieser Artikel widmet sich einer Methode zur Lösung derjenigen C2-Probleme, bei denen es sinnvoll wäre, auf die Koordinatenmethode umzusteigen. Diese Angemessenheit wird dadurch bestimmt, was im Problem gefunden werden muss und welche Zahl angegeben wird. Daher würde ich die Koordinatenmethode verwenden, wenn die Fragen lauten:

1. Finden Sie den Winkel zwischen zwei Ebenen
2. Finden Sie den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene
3. Finden Sie den Winkel zwischen zwei Geraden
4. Finden Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene
5. Finden Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Linie
6. Ermitteln Sie den Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene
7. Finden Sie den Abstand zwischen zwei Linien

Handelt es sich bei der in der Problemstellung angegebenen Figur um einen Rotationskörper (Kugel, Zylinder, Kegel...)

Geeignete Zahlen für die Koordinatenmethode sind:

1. Rechteckiges Parallelepiped
2. Pyramide (dreieckig, viereckig, sechseckig)

Auch aus meiner Erfahrung Es ist ungeeignet, die Koordinatenmethode dafür zu verwenden:

1. Querschnittsflächen finden
2. Berechnung von Körpervolumina

Es sollte jedoch sofort festgestellt werden, dass die drei „ungünstigen“ Situationen für die Koordinatenmethode in der Praxis eher selten sind. Bei den meisten Aufgaben kann es Ihr Retter sein, insbesondere wenn Sie sich nicht besonders gut mit dreidimensionalen Konstruktionen auskennen (die manchmal recht kompliziert sein können).

Was sind die Zahlen, die ich oben aufgeführt habe? Sie sind nicht mehr flach, wie zum Beispiel ein Quadrat, ein Dreieck, ein Kreis, sondern voluminös! Dementsprechend müssen wir kein zweidimensionales, sondern ein dreidimensionales Koordinatensystem betrachten. Die Konstruktion ist recht einfach: Zusätzlich zur Abszissen- und Ordinatenachse führen wir eine weitere Achse ein, die Applikatenachse. Die Abbildung zeigt schematisch ihre relative Lage:

Sie stehen alle senkrecht zueinander und schneiden sich in einem Punkt, den wir Koordinatenursprung nennen. Wie zuvor bezeichnen wir die Abszissenachse, die Ordinatenachse mit - und die eingeführte Anwendungsachse mit -.

Wurde früher jeder Punkt auf der Ebene durch zwei Zahlen charakterisiert – die Abszisse und die Ordinate, so wird jeder Punkt im Raum bereits durch drei Zahlen beschrieben – die Abszisse, die Ordinate und die Applikate. Zum Beispiel:

Dementsprechend ist die Abszisse eines Punktes gleich, die Ordinate ist , und das Applikat ist .

Manchmal wird die Abszisse eines Punktes auch als Projektion eines Punktes auf die Abszissenachse bezeichnet, die Ordinate – die Projektion eines Punktes auf die Ordinatenachse und das Applikat – die Projektion eines Punktes auf die Applikatachse. Wenn dementsprechend ein Punkt gegeben ist, dann ein Punkt mit Koordinaten:

nennt man die Projektion eines Punktes auf eine Ebene

nennt man die Projektion eines Punktes auf eine Ebene

Es stellt sich natürlich die Frage: Sind alle für den zweidimensionalen Fall abgeleiteten Formeln im Raum gültig? Die Antwort lautet: Ja, sie sind fair und sehen gleich aus. Für ein kleines Detail. Ich denke, Sie haben bereits erraten, um welches es sich handelt. In allen Formeln müssen wir einen weiteren Term hinzufügen, der für die Anwendungsachse verantwortlich ist. Nämlich.

1. Wenn zwei Punkte gegeben sind: , dann:

• Vektorkoordinaten:
• Abstand zwischen zwei Punkten (oder Vektorlänge)
• Der Mittelpunkt des Segments hat Koordinaten

2. Wenn zwei Vektoren gegeben sind: und, dann:

• Ihr Skalarprodukt ist gleich:
• Der Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren ist gleich:

Allerdings ist der Weltraum nicht so einfach. Wie Sie wissen, führt das Hinzufügen einer weiteren Koordinate zu einer erheblichen Vielfalt im Spektrum der in diesem Raum „lebenden“ Figuren. Und für die weitere Erzählung muss ich grob gesagt eine „Verallgemeinerung“ der Geraden einführen. Diese „Verallgemeinerung“ wird ein Flugzeug sein. Was wissen Sie über Flugzeug? Versuchen Sie, die Frage zu beantworten: Was ist ein Flugzeug? Das ist sehr schwer zu sagen. Wir alle stellen uns jedoch intuitiv vor, wie es aussieht:

Grob gesagt handelt es sich hierbei um eine Art endloses „Blatt“, das im Weltraum steckt. Unter „Unendlichkeit“ ist zu verstehen, dass sich die Ebene in alle Richtungen erstreckt, das heißt, ihre Fläche ist gleich unendlich. Allerdings vermittelt diese „praxisnahe“ Erklärung nicht den geringsten Einblick in die Struktur des Flugzeugs. Und sie wird sich für uns interessieren.

Erinnern wir uns an eines der Grundaxiome der Geometrie:

• Eine Gerade geht durch zwei verschiedene Punkte auf einer Ebene, und zwar nur durch einen:

Oder sein Analogon im Weltraum:

Natürlich erinnern Sie sich daran, wie man die Gleichung einer Geraden aus zwei gegebenen Punkten herleitet; das ist überhaupt nicht schwierig: Wenn der erste Punkt Koordinaten hat: und der zweite, dann lautet die Gleichung der Geraden wie folgt:

Das hast du in der 7. Klasse gelernt. Im Raum sieht die Gleichung einer Geraden so aus: Gegeben sind uns zwei Punkte mit Koordinaten: , dann hat die Gleichung der durch sie verlaufenden Geraden die Form:

Beispielsweise verläuft eine Linie durch Punkte:

Wie ist das zu verstehen? Dies ist wie folgt zu verstehen: Ein Punkt liegt auf einer Geraden, wenn seine Koordinaten dem folgenden System genügen:

Die Gleichung einer Geraden wird uns nicht besonders interessieren, aber wir müssen auf das sehr wichtige Konzept des Richtungsvektors einer Geraden achten. - jeder Vektor ungleich Null, der auf einer bestimmten Linie oder parallel dazu liegt.

Beispielsweise sind beide Vektoren Richtungsvektoren einer Geraden. Sei ein Punkt, der auf einer Linie liegt, und sei sein Richtungsvektor. Dann kann die Geradengleichung in folgender Form geschrieben werden:

Auch hier wird mich die Gleichung einer geraden Linie nicht besonders interessieren, aber Sie müssen sich unbedingt daran erinnern, was ein Richtungsvektor ist! Noch einmal: Dies ist JEDER Vektor ungleich Null, der auf einer Linie oder parallel dazu liegt.

Zurückziehen Gleichung einer Ebene basierend auf drei gegebenen Punkten ist nicht mehr so ​​trivial, und in der Regel wird dieses Thema im Kurs nicht thematisiert weiterführende Schule. Aber vergeblich! Diese Technik ist von entscheidender Bedeutung, wenn wir zur Lösung komplexer Probleme auf die Koordinatenmethode zurückgreifen. Ich gehe jedoch davon aus, dass Sie Lust haben, etwas Neues zu lernen? Darüber hinaus können Sie Ihren Lehrer an der Universität beeindrucken, wenn sich herausstellt, dass Sie bereits wissen, wie man eine Technik anwendet, die normalerweise in einem Kurs für analytische Geometrie erlernt wird. Also lasst uns anfangen.

Die Gleichung einer Ebene unterscheidet sich nicht allzu sehr von der Gleichung einer Geraden auf einer Ebene, sie hat nämlich die Form:

einige Zahlen (nicht alle gleich Null), sondern Variablen, zum Beispiel: usw. Wie Sie sehen, unterscheidet sich die Gleichung einer Ebene nicht sehr von der Gleichung einer Geraden (lineare Funktion). Erinnern Sie sich jedoch daran, was Sie und ich gestritten haben? Wir sagten: Wenn wir drei Punkte haben, die nicht auf derselben Linie liegen, dann kann die Gleichung der Ebene aus ihnen eindeutig rekonstruiert werden. Aber wie? Ich werde versuchen, es dir zu erklären.

Da die Gleichung der Ebene lautet:

Und die Punkte gehören zu dieser Ebene. Wenn wir dann die Koordinaten jedes Punktes in die Gleichung der Ebene einsetzen, sollten wir die richtige Identität erhalten:

Es müssen also drei Gleichungen mit Unbekannten gelöst werden! Dilemma! Sie können jedoch immer davon ausgehen (dazu müssen Sie dividieren). Somit erhalten wir drei Gleichungen mit drei Unbekannten:

Wir werden ein solches System jedoch nicht lösen, sondern den daraus folgenden mysteriösen Ausdruck aufschreiben:

Gleichung einer Ebene, die durch drei gegebene Punkte verläuft

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Stoppen! Was ist das? Ein sehr ungewöhnliches Modul! Das Objekt, das Sie vor sich sehen, hat jedoch nichts mit dem Modul zu tun. Dieses Objekt wird als Determinante dritter Ordnung bezeichnet. Wenn Sie sich von nun an mit der Methode der Koordinaten in einer Ebene befassen, werden Sie sehr oft auf dieselben Determinanten stoßen. Was ist eine Determinante dritter Ordnung? Seltsamerweise ist es nur eine Zahl. Es bleibt abzuwarten, welche konkrete Zahl wir mit der Determinante vergleichen werden.

Schreiben wir zunächst die Determinante dritter Ordnung in einer allgemeineren Form:

Wo sind einige Zahlen? Darüber hinaus meinen wir mit dem ersten Index die Zeilennummer und mit dem Index die Spaltennummer. Dies bedeutet beispielsweise, dass sich diese Zahl am Schnittpunkt der zweiten Zeile und der dritten Spalte befindet. Stellen wir uns die folgende Frage: Wie genau berechnen wir eine solche Determinante? Das heißt, welche konkrete Zahl werden wir damit vergleichen? Für die Determinante dritter Ordnung gibt es eine heuristische (visuelle) Dreiecksregel, die wie folgt aussieht:

1. Das Produkt der Elemente der Hauptdiagonale (von der oberen linken Ecke nach unten rechts). Das Produkt der Elemente, die das erste Dreieck „senkrecht“ zur Hauptdiagonale bilden. Das Produkt der Elemente, die das zweite Dreieck „senkrecht“ zur Hauptdiagonale bilden Hauptdiagonale
2. Das Produkt der Elemente der Nebendiagonale (von der oberen rechten Ecke nach unten links). Das Produkt der Elemente, die das erste Dreieck „senkrecht“ zur Nebendiagonale bilden. Das Produkt der Elemente, die das zweite Dreieck „senkrecht“ zur Nebendiagonale bilden sekundäre Diagonale
3. Dann ist die Determinante gleich der Differenz zwischen den im Schritt und erhaltenen Werten

Wenn wir das alles in Zahlen aufschreiben, erhalten wir folgenden Ausdruck:

Allerdings müssen Sie sich die Berechnungsmethode in dieser Form nicht merken; es reicht aus, nur die Dreiecke im Kopf zu behalten und die Vorstellung davon, was sich zu was addiert und was dann von was subtrahiert wird.

Lassen Sie uns die Dreiecksmethode anhand eines Beispiels veranschaulichen:

1. Berechnen Sie die Determinante:

Lassen Sie uns herausfinden, was wir addieren und was wir subtrahieren:

Begriffe mit Plus:

Dies ist die Hauptdiagonale: Das Produkt der Elemente ist gleich

Das erste Dreieck, „senkrecht zur Hauptdiagonale: Das Produkt der Elemente ist gleich

Zweites Dreieck, „senkrecht zur Hauptdiagonale: Das Produkt der Elemente ist gleich

Addieren Sie drei Zahlen:

Begriffe, die mit einem Minus versehen sind

Dies ist eine Seitendiagonale: Das Produkt der Elemente ist gleich

Das erste Dreieck, „senkrecht zur Nebendiagonale: Das Produkt der Elemente ist gleich

Das zweite Dreieck „senkrecht zur Nebendiagonale: Das Produkt der Elemente ist gleich

Addieren Sie drei Zahlen:

Jetzt muss nur noch die Summe der „Plus“-Terme von der Summe der „Minus“-Terme abgezogen werden:

Auf diese Weise,

Wie Sie sehen, ist die Berechnung von Determinanten dritter Ordnung weder kompliziert noch übernatürlich. Es ist nur wichtig, sich an Dreiecke zu erinnern und keine Rechenfehler zu machen. Versuchen Sie nun, es selbst zu berechnen:

Wir überprüfen:

1. Das erste Dreieck senkrecht zur Hauptdiagonale:
2. Zweites Dreieck senkrecht zur Hauptdiagonale:
3. Summe der Terme mit Plus:
4. Das erste Dreieck senkrecht zur Nebendiagonale:
5. Zweites Dreieck senkrecht zur Seitendiagonale:
6. Summe der Terme mit Minus:
7. Die Summe der Terme mit Plus minus die Summe der Terme mit Minus:

Hier noch ein paar Determinanten, berechnen Sie deren Werte selbst und vergleichen Sie sie mit den Antworten:

Antworten:

Na, ist alles zusammengefallen? Super, dann kann es weitergehen! Wenn es Schwierigkeiten gibt, dann ist mein Rat: Im Internet gibt es viele Programme zur Online-Berechnung der Determinante. Sie müssen sich lediglich Ihre eigene Determinante ausdenken, diese selbst berechnen und sie dann mit den Berechnungen des Programms vergleichen. Und so weiter, bis die Ergebnisse übereinstimmen. Ich bin mir sicher, dass dieser Moment nicht lange auf sich warten lässt!

Kehren wir nun zu der Determinante zurück, die ich aufgeschrieben habe, als ich über die Gleichung einer Ebene sprach, die durch drei geht vergebene Punkte:

Sie müssen lediglich den Wert direkt berechnen (mit der Dreiecksmethode) und das Ergebnis auf Null setzen. Da es sich hierbei um Variablen handelt, erhalten Sie natürlich einen Ausdruck, der von ihnen abhängt. Dieser Ausdruck ist die Gleichung einer Ebene, die durch drei gegebene Punkte verläuft, die nicht auf derselben Geraden liegen!

Lassen Sie uns dies anhand eines einfachen Beispiels veranschaulichen:

1. Konstruieren Sie die Gleichung einer Ebene, die durch die Punkte verläuft

Für diese drei Punkte stellen wir eine Determinante zusammen:

Vereinfachen wir:

Jetzt berechnen wir es direkt mit der Dreiecksregel:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ rechts| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Somit lautet die Gleichung der durch die Punkte verlaufenden Ebene:

Versuchen Sie nun, ein Problem selbst zu lösen, und dann besprechen wir es:

2. Finden Sie die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte verläuft

Lassen Sie uns nun die Lösung besprechen:

Erstellen wir eine Determinante:

Und berechnen Sie seinen Wert:

Dann hat die Gleichung der Ebene die Form:

Oder reduzieren wir um:

Nun zwei Aufgaben zur Selbstkontrolle:

1. Konstruieren Sie die Gleichung einer Ebene, die durch drei Punkte verläuft:

Antworten:

Passte alles zusammen? Auch hier gilt bei bestimmten Schwierigkeiten mein Rat: Nehmen Sie drei Punkte aus Ihrem Kopf (mit hoher Wahrscheinlichkeit liegen sie nicht auf derselben Geraden) und bauen Sie auf ihrer Grundlage ein Flugzeug. Und dann überprüfen Sie sich online. Zum Beispiel auf der Website:

Mit Hilfe von Determinanten werden wir jedoch nicht nur eine Gleichung der Ebene konstruieren. Denken Sie daran, ich habe Ihnen gesagt, dass für Vektoren nicht nur das Skalarprodukt definiert ist. Es gibt auch ein Vektorprodukt sowie ein gemischtes Produkt. Und wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren eine Zahl ist, dann ist das Vektorprodukt zweier Vektoren ein Vektor, und dieser Vektor steht senkrecht zu den gegebenen:

Darüber hinaus wird sein Modul sein gleich der Fläche Parallelogramm aufgebaut aus Vektoren und. Dieser Vektor Wir benötigen es, um den Abstand von einem Punkt zu einer Linie zu berechnen. Wie kann man das Vektorprodukt von Vektoren berechnen und wenn ihre Koordinaten gegeben sind? Dabei kommt uns wieder die Determinante dritter Ordnung zu Hilfe. Bevor ich jedoch zum Algorithmus zur Berechnung des Vektorprodukts übergehe, muss ich noch einen kleinen Exkurs machen.

Dieser Exkurs betrifft Basisvektoren.

Sie sind in der Abbildung schematisch dargestellt:

Warum werden sie Ihrer Meinung nach einfach genannt? Die Sache ist die :

Oder im Bild:

Die Gültigkeit dieser Formel liegt auf der Hand, denn:

Vektorgrafiken

Jetzt kann ich mit der Einführung des Kreuzprodukts beginnen:

Das Vektorprodukt zweier Vektoren ist ein Vektor, der nach folgender Regel berechnet wird:

Lassen Sie uns nun einige Beispiele für die Berechnung des Kreuzprodukts geben:

Beispiel 1: Finden Sie das Kreuzprodukt von Vektoren:

Lösung: Ich erstelle eine Determinante:

Und ich berechne es:

Nachdem ich nun die Basisvektoren beschrieben habe, kehre ich zur üblichen Vektorschreibweise zurück:

Auf diese Weise:

Probieren Sie es jetzt aus.

Bereit? Wir überprüfen:

Und traditionell zwei Aufgaben zur Steuerung:

1. Finden Sie das Vektorprodukt der folgenden Vektoren:
2. Finden Sie das Vektorprodukt der folgenden Vektoren:

Antworten:

Gemischtes Produkt aus drei Vektoren

Die letzte Konstruktion, die ich brauche, ist das gemischte Produkt aus drei Vektoren. Es ist wie ein Skalar eine Zahl. Es gibt zwei Möglichkeiten, es zu berechnen. - durch eine Determinante, - durch ein Mischprodukt.

Gegeben seien nämlich drei Vektoren:

Dann kann das gemischte Produkt aus drei Vektoren, bezeichnet mit, wie folgt berechnet werden:

1. - das heißt, das gemischte Produkt ist das Skalarprodukt eines Vektors und das Vektorprodukt zweier anderer Vektoren

Das gemischte Produkt dreier Vektoren ist beispielsweise:

Versuchen Sie es selbst mit dem Vektorprodukt zu berechnen und stellen Sie sicher, dass die Ergebnisse übereinstimmen!

Und noch einmal zwei Beispiele für eigenständige Lösungen:

Antworten:

Auswählen eines Koordinatensystems

Nun verfügen wir über alle notwendigen Wissensgrundlagen, um komplexe stereometrische Geometrieprobleme zu lösen. Bevor ich jedoch direkt zu Beispielen und Algorithmen zu deren Lösung übergehe, halte ich es für sinnvoll, auf die folgende Frage einzugehen: Wie genau Wählen Sie ein Koordinatensystem für eine bestimmte Figur. Schließlich ist es die Wahl relative Position Koordinatensysteme und Formen im Raum bestimmen letztendlich, wie umständlich die Berechnungen sein werden.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir in diesem Abschnitt die folgenden Zahlen betrachten:

1. Rechteckiges Parallelepiped
2. Gerades Prisma (dreieckig, sechseckig...)
3. Pyramide (dreieckig, viereckig)
4. Tetraeder (identisch mit dreieckiger Pyramide)

Für einen rechteckigen Parallelepiped oder Würfel empfehle ich Ihnen folgende Konstruktion:

Das heißt, ich werde die Figur „in die Ecke“ stellen. Der Würfel und das Parallelepiped sind sehr gute Figuren. Für sie können Sie die Koordinaten ihrer Eckpunkte immer leicht finden. Wenn zum Beispiel (wie im Bild gezeigt)

dann sind die Koordinaten der Eckpunkte wie folgt:

Natürlich müssen Sie sich das nicht merken, aber es ist ratsam, sich daran zu erinnern, wie Sie einen Würfel oder ein rechteckiges Parallelepiped am besten positionieren.

Gerades Prisma

Das Prisma ist eine schädlichere Figur. Es kann auf unterschiedliche Weise im Raum positioniert werden. Die folgende Option erscheint mir jedoch am akzeptabelsten:

Dreieckiges Prisma:

Das heißt, wir platzieren eine der Seiten des Dreiecks vollständig auf der Achse und einer der Eckpunkte fällt mit dem Koordinatenursprung zusammen.

Sechseckiges Prisma:

Das heißt, einer der Scheitelpunkte fällt mit dem Ursprung zusammen und eine der Seiten liegt auf der Achse.

Viereckige und sechseckige Pyramide:

Die Situation ist ähnlich wie bei einem Würfel: Wir richten zwei Seiten der Basis an den Koordinatenachsen aus und richten einen der Eckpunkte am Koordinatenursprung aus. Die einzige kleine Schwierigkeit wird darin bestehen, die Koordinaten des Punktes zu berechnen.

Für eine sechseckige Pyramide gilt dasselbe wie für ein sechseckiges Prisma. Die Hauptaufgabe wird wieder darin bestehen, die Koordinaten des Scheitelpunkts zu finden.

Tetraeder (dreieckige Pyramide)

Die Situation ist sehr ähnlich wie die, die ich für ein dreieckiges Prisma angegeben habe: Ein Scheitelpunkt fällt mit dem Ursprung zusammen, eine Seite liegt auf der Koordinatenachse.

Nun sind Sie und ich endlich kurz davor, Probleme zu lösen. Aus dem, was ich ganz am Anfang des Artikels gesagt habe, könnte man die folgende Schlussfolgerung ziehen: Die meisten C2-Probleme sind in zwei Kategorien unterteilt: Winkelprobleme und Distanzprobleme. Zunächst werden wir uns mit den Problemen der Winkelfindung befassen. Sie werden wiederum in die folgenden Kategorien unterteilt (mit zunehmender Komplexität):

Probleme beim Finden von Winkeln

1. Ermitteln des Winkels zwischen zwei Geraden
2. Ermitteln des Winkels zwischen zwei Ebenen

Schauen wir uns diese Probleme der Reihe nach an: Beginnen wir damit, den Winkel zwischen zwei Geraden zu ermitteln. Nun, denken Sie daran, haben Sie und ich uns nicht entschieden? ähnliche Beispiele früher? Erinnern Sie sich, wir hatten bereits etwas Ähnliches ... Wir suchten nach dem Winkel zwischen zwei Vektoren. Ich möchte Sie daran erinnern, wenn zwei Vektoren gegeben sind: und, dann wird der Winkel zwischen ihnen aus der Beziehung ermittelt:

Unser Ziel ist es nun, den Winkel zwischen zwei Geraden zu ermitteln. Schauen wir uns das „flache Bild“ an:

Wie viele Winkel haben wir erhalten, als sich zwei Geraden kreuzten? Nur ein paar Dinge. Allerdings sind nur zwei von ihnen nicht gleich, während die anderen senkrecht zu ihnen stehen (und daher mit ihnen zusammenfallen). Welchen Winkel sollten wir also als Winkel zwischen zwei Geraden betrachten: oder? Hier gilt die Regel: Der Winkel zwischen zwei Geraden beträgt immer nicht mehr als Grad. Das heißt, aus zwei Winkeln wählen wir immer den Winkel mit dem kleinsten Gradmaß. Das heißt, in diesem Bild ist der Winkel zwischen zwei Geraden gleich. Um sich nicht jedes Mal die Mühe zu machen, den kleinsten von zwei Winkeln zu finden, schlugen schlaue Mathematiker die Verwendung eines Moduls vor. Somit wird der Winkel zwischen zwei Geraden durch die Formel bestimmt:

Sie als aufmerksamer Leser hätten eine Frage haben müssen: Wo genau bekommen wir genau diese Zahlen, die wir zur Berechnung des Kosinus eines Winkels benötigen? Antwort: Wir werden sie aus den Richtungsvektoren der Linien ableiten! Somit lautet der Algorithmus zum Ermitteln des Winkels zwischen zwei Geraden wie folgt:

1. Wir wenden Formel 1 an.

Oder genauer:

1. Wir suchen die Koordinaten des Richtungsvektors der ersten Geraden
2. Wir suchen die Koordinaten des Richtungsvektors der zweiten Geraden
3. Wir berechnen den Modul ihres Skalarprodukts
4. Wir suchen nach der Länge des ersten Vektors
5. Wir suchen nach der Länge des zweiten Vektors
6. Multiplizieren Sie die Ergebnisse von Punkt 4 mit den Ergebnissen von Punkt 5
7. Wir dividieren das Ergebnis von Punkt 3 durch das Ergebnis von Punkt 6. Wir erhalten den Kosinus des Winkels zwischen den Geraden
8. Wenn dieses Ergebnis ermöglicht es Ihnen, den Winkel genau zu berechnen und danach zu suchen
9. Ansonsten schreiben wir durch Arkuskosinus

Nun ist es an der Zeit, zu den Problemen überzugehen: Ich werde die Lösung für die ersten beiden im Detail demonstrieren, für ein anderes werde ich die Lösung in einer kurzen Form vorstellen und für die letzten beiden Probleme werde ich nur die Antworten geben; Sie müssen alle Berechnungen dafür selbst durchführen.

Aufgaben:

1. Ermitteln Sie im rechten Tet-Ra-Ed-Re den Winkel zwischen der Höhe des Tet-Ra-Ed-Ra und der Mittelseite.

2. Im rechten sechseckigen Pi-ra-mi-de sind die hundert os-no-va-niyas gleich und die Seitenkanten sind gleich, ermitteln Sie den Winkel zwischen den Linien und.

3. Die Längen aller Kanten des rechten Vier-Kohle-Pi-Ra-Mi-Dy sind einander gleich. Finden Sie den Winkel zwischen den geraden Linien und wenn Sie aus dem Schnitt kommen - Sie sind mit dem gegebenen pi-ra-mi-dy, ist der Punkt se-re-di-auf seinen bo-co-zweiten Rippen

4. Auf der Kante des Würfels befindet sich ein Punkt, sodass Sie den Winkel zwischen den Geraden und ermitteln können

5. Punkt – auf den Kanten des Würfels Finden Sie den Winkel zwischen den Geraden und.

Es ist kein Zufall, dass ich die Aufgaben in dieser Reihenfolge angeordnet habe. Während Sie noch nicht mit der Koordinatenmethode vertraut sind, werde ich die „problematischsten“ Figuren selbst analysieren und Sie mit dem einfachsten Würfel befassen! Nach und nach müssen Sie lernen, mit allen Figuren umzugehen, ich werde die Komplexität der Aufgaben von Thema zu Thema steigern.

Beginnen wir mit der Lösung von Problemen:

1. Zeichnen Sie ein Tetraeder und platzieren Sie es im Koordinatensystem, wie ich zuvor vorgeschlagen habe. Da das Tetraeder regelmäßig ist, sind alle seine Flächen (einschließlich der Grundfläche) regelmäßige Dreiecke. Da uns die Länge der Seite nicht gegeben ist, kann ich davon ausgehen, dass sie gleich ist. Ich denke, Sie verstehen, dass der Winkel nicht wirklich davon abhängt, wie weit unser Tetraeder „gestreckt“ ist? Ich werde auch die Höhe und den Mittelwert im Tetraeder einzeichnen. Unterwegs werde ich seine Basis zeichnen (sie wird auch für uns nützlich sein).

Ich muss den Winkel zwischen und finden. Was wissen wir? Wir kennen nur die Koordinate des Punktes. Das bedeutet, dass wir die Koordinaten der Punkte finden müssen. Nun denken wir: Ein Punkt ist der Schnittpunkt der Höhen (oder Winkelhalbierenden oder Mediane) des Dreiecks. Und ein Punkt ist ein angesprochener Punkt. Der Punkt ist die Mitte des Segments. Dann müssen wir endlich Folgendes finden: die Koordinaten der Punkte: .

Beginnen wir mit dem Einfachsten: den Koordinaten eines Punktes. Schauen Sie sich die Abbildung an: Es ist klar, dass das Applikat eines Punktes gleich Null ist (der Punkt liegt auf der Ebene). Seine Ordinate ist gleich (da es sich um den Median handelt). Es ist schwieriger, seine Abszisse zu finden. Dies lässt sich jedoch leicht anhand des Satzes des Pythagoras bewerkstelligen: Betrachten Sie ein Dreieck. Seine Hypotenuse ist gleich und einer seiner Schenkel ist gleich Dann:

Endlich haben wir: .

Lassen Sie uns nun die Koordinaten des Punktes ermitteln. Es ist klar, dass sein Applikat wieder gleich Null ist und seine Ordinate mit der des Punktes übereinstimmt. Finden wir seine Abszisse. Dies geschieht recht trivial, wenn Sie sich daran erinnern Höhen gleichseitiges Dreieck Der Schnittpunkt wird proportional geteilt, von oben gezählt. Da: ist die erforderliche Abszisse des Punktes, die der Länge des Segments entspricht, gleich: . Somit sind die Koordinaten des Punktes:

Lassen Sie uns die Koordinaten des Punktes ermitteln. Es ist klar, dass seine Abszisse und Ordinate mit der Abszisse und Ordinate des Punktes übereinstimmen. Und das Applikat entspricht der Länge des Segments. - Dies ist einer der Schenkel des Dreiecks. Die Hypotenuse eines Dreiecks ist ein Segment – ​​ein Bein. Es wird aus Gründen gesucht, die ich fett hervorgehoben habe:

Der Punkt ist die Mitte des Segments. Dann müssen wir uns die Formel für die Koordinaten des Mittelpunkts des Segments merken:

Das war's, jetzt können wir nach den Koordinaten der Richtungsvektoren suchen:

Nun, alles ist fertig: Wir ersetzen alle Daten in der Formel:

Auf diese Weise,

Antwort:

Sie sollten sich vor solch „gruseligen“ Antworten nicht einschüchtern lassen: Bei C2-Aufgaben ist dies gängige Praxis. Ich würde mich lieber über die „schöne“ Antwort in diesem Teil überraschen lassen. Außerdem habe ich, wie Sie bemerkt haben, praktisch nichts anderes als den Satz des Pythagoras und die Höheneigenschaft eines gleichseitigen Dreiecks herangezogen. Das heißt, um das stereometrische Problem zu lösen, habe ich ein Minimum an Stereometrie verwendet. Der Gewinn darin wird teilweise durch recht umständliche Berechnungen „zunichte gemacht“. Aber sie sind ziemlich algorithmisch!

2. Lassen Sie uns eine regelmäßige sechseckige Pyramide zusammen mit dem Koordinatensystem sowie ihrer Basis darstellen:

Wir müssen den Winkel zwischen den Linien und finden. Unsere Aufgabe besteht also darin, die Koordinaten der Punkte zu finden: . Die Koordinaten der letzten drei ermitteln wir mithilfe einer kleinen Zeichnung und die Koordinate des Scheitelpunkts ermitteln wir durch die Koordinate des Punktes. Es gibt noch viel zu tun, aber wir müssen anfangen!

a) Koordinate: Es ist klar, dass ihr Applikat und ihre Ordinate gleich Null sind. Finden wir die Abszisse. Betrachten Sie dazu ein rechtwinkliges Dreieck. Leider kennen wir darin nur die Hypotenuse, die gleich ist. Wir werden versuchen, das Bein zu finden (denn es ist klar, dass wir mit der doppelten Länge des Beins die Abszisse des Punktes erhalten). Wie können wir danach suchen? Erinnern wir uns, was für eine Figur wir am Fuß der Pyramide haben? Dies ist ein regelmäßiges Sechseck. Was bedeutet das? Das bedeutet, dass alle Seiten und alle Winkel gleich sind. Wir müssen einen solchen Blickwinkel finden. Irgendwelche Ideen? Es gibt viele Ideen, aber es gibt eine Formel:

Die Summe der Winkel eines regelmäßigen n-Ecks beträgt .

Somit ist die Summe der Winkel eines regelmäßigen Sechsecks gleich Grad. Dann ist jeder der Winkel gleich:

Schauen wir uns das Bild noch einmal an. Es ist klar, dass das Segment die Winkelhalbierende ist. Dann ist der Winkel gleich Grad. Dann:

Woher dann.

Hat also Koordinaten

b) Jetzt können wir leicht die Koordinate des Punktes finden: .

c) Finden Sie die Koordinaten des Punktes. Da seine Abszisse mit der Länge des Segments übereinstimmt, ist es gleich. Auch das Finden der Ordinate ist nicht sehr schwierig: Wenn wir die Punkte verbinden und den Schnittpunkt der Geraden beispielsweise als . bezeichnen. (Do-it-yourself-einfache Konstruktion). Dann ist die Ordinate von Punkt B gleich der Summe der Längen der Segmente. Schauen wir uns das Dreieck noch einmal an. Dann

Dann seit Dann hat der Punkt Koordinaten

d) Lassen Sie uns nun die Koordinaten des Punktes ermitteln. Betrachten Sie das Rechteck und beweisen Sie, dass die Koordinaten des Punktes also sind:

e) Es müssen noch die Koordinaten des Scheitelpunkts ermittelt werden. Es ist klar, dass seine Abszisse und Ordinate mit der Abszisse und Ordinate des Punktes übereinstimmen. Lassen Sie uns die Anwendung finden. Seit damals. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck. Je nach Problemstellung eine Seitenkante. Das ist die Hypotenuse meines Dreiecks. Dann beträgt die Höhe der Pyramide ein Bein.

Dann hat der Punkt Koordinaten:

Nun, das war's, ich habe die Koordinaten aller Punkte, die mich interessieren. Ich suche die Koordinaten der Richtungsvektoren von Geraden:

Wir suchen den Winkel zwischen diesen Vektoren:

Antwort:

Auch bei der Lösung dieses Problems habe ich außer der Formel für die Summe der Winkel eines regelmäßigen n-Ecks und der Definition des Kosinus und Sinus eines rechtwinkligen Dreiecks keine ausgefeilten Techniken verwendet.

3. Da uns wiederum die Längen der Kanten der Pyramide nicht bekannt sind, werde ich sie zählen gleich eins. Da also ALLE Kanten und nicht nur die Seitenkanten einander gleich sind, befindet sich an der Basis der Pyramide und mir ein Quadrat, und die Seitenflächen sind regelmäßige Dreiecke. Zeichnen wir eine solche Pyramide sowie ihre Basis auf einer Ebene und notieren wir uns dabei alle im Text der Aufgabe angegebenen Daten:

Wir suchen den Winkel zwischen und. Ich werde sehr kurze Berechnungen durchführen, wenn ich nach den Koordinaten der Punkte suche. Sie müssen sie „entschlüsseln“:

b) - die Mitte des Segments. Seine Koordinaten:

c) Ich werde die Länge des Segments mithilfe des Satzes des Pythagoras in einem Dreieck ermitteln. Ich kann es mit dem Satz des Pythagoras in einem Dreieck finden.

Koordinaten:

d) - die Mitte des Segments. Seine Koordinaten sind

e) Vektorkoordinaten

f) Vektorkoordinaten

g) Auf der Suche nach dem Winkel:

Ein Würfel ist die einfachste Figur. Ich bin sicher, dass Sie es selbst herausfinden werden. Die Antworten auf die Aufgaben 4 und 5 lauten wie folgt:

Ermitteln des Winkels zwischen einer Geraden und einer Ebene

Nun, die Zeit der einfachen Rätsel ist vorbei! Jetzt werden die Beispiele noch komplizierter. Um den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene zu ermitteln, gehen wir wie folgt vor:

1. Aus drei Punkten konstruieren wir eine Gleichung der Ebene
   ,
   unter Verwendung einer Determinante dritter Ordnung.
2. Anhand zweier Punkte suchen wir die Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden:
3. Wir wenden die Formel an, um den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene zu berechnen:

Wie Sie sehen, ist diese Formel derjenigen sehr ähnlich, mit der wir Winkel zwischen zwei Geraden ermittelt haben. Die Struktur auf der rechten Seite ist einfach die gleiche, und auf der linken Seite suchen wir jetzt nach dem Sinus, nicht wie zuvor nach dem Cosinus. Nun, eine unangenehme Aktion wurde hinzugefügt – die Suche nach der Gleichung der Ebene.

Lasst uns nicht zögern Lösungsbeispiele:

1. Das Haupt-aber-va-ni-em-Direktprisma-wir sind ein gleich-armes Dreieck. Finden Sie den Winkel zwischen der Geraden und der Ebene

2. Finden Sie in einem rechteckigen Par-ral-le-le-pi-pe-de von Westen den Winkel zwischen der Geraden und der Ebene

3. In einem geraden sechseckigen Prisma sind alle Kanten gleich. Finden Sie den Winkel zwischen der Geraden und der Ebene.

4. Finden Sie im rechten dreieckigen Pi-ra-mi-de mit dem os-no-va-ni-em der bekannten Rippen eine Ecke, ob-ra-zo-van -flach in der Basis und gerade, die durch das Grau verläuft Rippen und

5. Die Längen aller Kanten eines rechten Vierecks pi-ra-mi-dy mit einem Scheitelpunkt sind einander gleich. Finden Sie den Winkel zwischen der Geraden und der Ebene, wenn der Punkt auf der Seite der Pi-Ra-Mi-Dy-Kante liegt.

Auch hier werde ich die ersten beiden Probleme ausführlich und das dritte kurz lösen und die letzten beiden Ihnen überlassen, sie selbst zu lösen. Außerdem haben Sie sich bereits mit drei- und viereckigen Pyramiden beschäftigt, mit Prismen jedoch noch nicht.

Lösungen:

1. Lassen Sie uns ein Prisma sowie seine Basis darstellen. Kombinieren wir es mit dem Koordinatensystem und notieren wir alle Daten, die in der Problemstellung angegeben sind:

Ich entschuldige mich für die Nichteinhaltung der Proportionen, aber für die Lösung des Problems ist das eigentlich nicht so wichtig. Die Ebene ist einfach die „Rückwand“ meines Prismas. Es reicht aus, einfach zu vermuten, dass die Gleichung einer solchen Ebene die Form hat:

Dies lässt sich jedoch direkt zeigen:

Wählen wir drei beliebige Punkte auf dieser Ebene: zum Beispiel .

Erstellen wir die Gleichung der Ebene:

Übung für Sie: Berechnen Sie diese Determinante selbst. Warst du erfolgreich? Dann sieht die Gleichung der Ebene so aus:

Oder einfach

Auf diese Weise,

Um das Beispiel zu lösen, muss ich die Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden ermitteln. Da der Punkt mit dem Koordinatenursprung zusammenfällt, stimmen die Koordinaten des Vektors einfach mit den Koordinaten des Punktes überein. Dazu ermitteln wir zunächst die Koordinaten des Punktes.

Betrachten Sie dazu ein Dreieck. Zeichnen wir die Höhe (auch Median und Winkelhalbierende genannt) vom Scheitelpunkt aus. Da die Ordinate des Punktes gleich ist. Um die Abszisse dieses Punktes zu finden, müssen wir die Länge des Segments berechnen. Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

Dann hat der Punkt Koordinaten:

Ein Punkt ist ein „erhabener“ Punkt:

Dann sind die Vektorkoordinaten:

Antwort:

Wie Sie sehen, gibt es bei der Lösung solcher Probleme nichts grundsätzlich Schwieriges. Tatsächlich wird der Vorgang durch die „Geradheit“ einer Figur wie eines Prismas noch etwas vereinfacht. Kommen wir nun zum nächsten Beispiel:

2. Zeichnen Sie ein Parallelepiped, zeichnen Sie eine Ebene und eine gerade Linie darin und zeichnen Sie auch separat seine untere Basis:

Zuerst finden wir die Gleichung der Ebene: Die Koordinaten der drei darin liegenden Punkte:

(Die ersten beiden Koordinaten werden auf offensichtliche Weise ermittelt, und die letzte Koordinate kann vom Punkt aus leicht aus dem Bild ermittelt werden.) Dann stellen wir die Gleichung der Ebene auf:

Wir berechnen:

Wir suchen die Koordinaten des Leitvektors: Es ist klar, dass seine Koordinaten mit den Koordinaten des Punktes übereinstimmen, nicht wahr? Wie finde ich Koordinaten? Dies sind die Koordinaten des Punktes, erhöht entlang der Anwendungsachse um eins! . Dann suchen wir den gewünschten Winkel:

Antwort:

3. Zeichnen Sie eine regelmäßige sechseckige Pyramide und zeichnen Sie dann eine Ebene und eine gerade Linie darin.

Hier ist es sogar problematisch, eine Ebene zu zeichnen, ganz zu schweigen von der Lösung dieses Problems, aber der Koordinatenmethode ist das egal! Seine Vielseitigkeit ist sein Hauptvorteil!

Das Flugzeug durchquert drei Punkte: . Wir suchen ihre Koordinaten:

1) . Finden Sie die Koordinaten der letzten beiden Punkte selbst heraus. Dazu müssen Sie das Problem der sechseckigen Pyramide lösen!

2) Wir konstruieren die Gleichung der Ebene:

Wir suchen die Koordinaten des Vektors: . (Siehe noch einmal das Dreieckspyramidenproblem!)

3) Auf der Suche nach einem Blickwinkel:

Antwort:

Wie Sie sehen, gibt es bei diesen Aufgaben nichts übernatürlich Schwieriges. Nur mit den Wurzeln muss man sehr vorsichtig sein. Ich werde nur Antworten auf die letzten beiden Probleme geben:

Wie Sie sehen, ist die Technik zur Lösung von Problemen überall gleich: Die Hauptaufgabe besteht darin, die Koordinaten der Scheitelpunkte zu finden und sie in bestimmte Formeln einzusetzen. Wir müssen noch eine weitere Klasse von Problemen zur Winkelberechnung betrachten, nämlich:

Winkel zwischen zwei Ebenen berechnen

Der Lösungsalgorithmus sieht wie folgt aus:

1. Anhand von drei Punkten suchen wir nach der Gleichung der ersten Ebene:
2. Mithilfe der anderen drei Punkte suchen wir nach der Gleichung der zweiten Ebene:
3. Wir wenden die Formel an:

Wie Sie sehen, ist die Formel den beiden vorherigen sehr ähnlich, mit deren Hilfe wir nach Winkeln zwischen Geraden und zwischen einer Geraden und einer Ebene gesucht haben. Es wird Ihnen also nicht schwerfallen, sich daran zu erinnern. Kommen wir zur Analyse der Aufgaben:

1. Die Seite der Basis des rechten dreieckigen Prismas ist gleich und die Diagonale der Seitenfläche ist gleich. Finden Sie den Winkel zwischen der Ebene und der Ebene der Prismenachse.

2. Finden Sie in den rechten vier Ecken pi-ra-mi-de, deren Kanten alle gleich sind, den Sinus des Winkels zwischen der Ebene und dem ebenen Knochen, der durch den Punkt per-pen-di-ku- geht. lyar-aber gerade.

3. Bei einem regelmäßigen Viereckprisma sind die Seiten der Grundfläche gleich und die Seitenkanten sind gleich. Es gibt einen Punkt am Rand von-me-che-on, also. Finden Sie den Winkel zwischen den Ebenen und

4. Bei einem rechtwinkligen viereckigen Prisma sind die Seiten der Grundfläche gleich und die Seitenkanten sind gleich. Es gibt einen Punkt an der Kante vom Punkt, sodass der Winkel zwischen den Ebenen und ermittelt wird.

5. Ermitteln Sie in einem Würfel den Co-Sinus des Winkels zwischen den Ebenen und

Problemlösungen:

1. Ich zeichne das Richtige (an der Basis befindet sich ein gleichseitiges Dreieck) dreieckiges Prisma und markieren Sie darauf die Ebenen, die in der Problemstellung vorkommen:

Wir müssen die Gleichungen zweier Ebenen finden: Die Gleichung der Basis ist trivial: Sie können die entsprechende Determinante aus drei Punkten zusammenstellen, aber ich werde die Gleichung gleich zusammenstellen:

Finden wir nun die Gleichung. Punkt hat Koordinaten. Punkt – Da es sich um den Median und die Höhe des Dreiecks handelt, kann er mithilfe des Satzes des Pythagoras im Dreieck leicht gefunden werden. Dann hat der Punkt Koordinaten: Finden wir das Applikat des Punktes. Betrachten Sie dazu ein rechtwinkliges Dreieck

Dann erhalten wir die folgenden Koordinaten: Wir stellen die Gleichung der Ebene auf.

Wir berechnen den Winkel zwischen den Ebenen:

Antwort:

2. Eine Zeichnung erstellen:

Am schwierigsten ist es zu verstehen, was für eine mysteriöse Ebene es ist, die senkrecht durch den Punkt verläuft. Nun, die Hauptsache ist, was ist das? Hauptsache Aufmerksamkeit! Tatsächlich ist die Linie senkrecht. Die Gerade steht auch senkrecht. Dann steht die durch diese beiden Geraden verlaufende Ebene senkrecht zur Geraden und geht übrigens durch den Punkt. Diese Ebene verläuft auch durch die Spitze der Pyramide. Dann das gewünschte Flugzeug - Und das Flugzeug wurde uns bereits gegeben. Wir suchen die Koordinaten der Punkte.

Wir finden die Koordinate des Punktes durch den Punkt. Aus dem kleinen Bild lässt sich leicht ableiten, dass die Koordinaten des Punktes wie folgt aussehen werden: Was bleibt nun noch zu finden, um die Koordinaten der Spitze der Pyramide zu finden? Sie müssen auch seine Höhe berechnen. Dies geschieht mit dem gleichen Satz des Pythagoras: Beweisen Sie zunächst das (trivialerweise anhand kleiner Dreiecke, die an der Basis ein Quadrat bilden). Denn aufgrund der Bedingung haben wir:

Jetzt ist alles fertig: Scheitelpunktkoordinaten:

Wir stellen die Gleichung der Ebene zusammen:

Sie sind bereits Experte in der Berechnung von Determinanten. Ohne Schwierigkeiten erhalten Sie:

Oder anders (wenn wir beide Seiten mit der Wurzel aus zwei multiplizieren)

Finden wir nun die Gleichung der Ebene:

(Sie haben nicht vergessen, wie wir die Gleichung einer Ebene erhalten, oder? Wenn Sie nicht verstehen, woher dieses Minus eins kommt, dann kehren Sie zur Definition der Gleichung einer Ebene zurück! Es stellte sich einfach immer vorher heraus mein Flugzeug gehörte zum Koordinatenursprung!)

Wir berechnen die Determinante:

(Vielleicht fällt Ihnen auf, dass die Gleichung der Ebene mit der Gleichung der durch die Punkte verlaufenden Geraden übereinstimmt! Denken Sie darüber nach, warum!)

Berechnen wir nun den Winkel:

Wir müssen den Sinus finden:

Antwort:

3. Knifflige Frage: Was ist Ihrer Meinung nach ein rechteckiges Prisma? Das ist nur ein Parallelepiped, das Sie gut kennen! Lass uns gleich eine Zeichnung anfertigen! Den Sockel muss man nicht einmal extra abbilden, er nützt hier wenig:

Die Ebene wird, wie bereits erwähnt, in Form einer Gleichung geschrieben:

Jetzt erstellen wir ein Flugzeug

Wir erstellen sofort die Gleichung der Ebene:

Auf der Suche nach einem Blickwinkel:

Nun die Antworten auf die letzten beiden Probleme:

Nun ist es an der Zeit, eine kleine Pause zu machen, denn Sie und ich sind großartig und haben großartige Arbeit geleistet!

Koordinaten und Vektoren. Fortgeschrittenes Level

In diesem Artikel besprechen wir mit Ihnen eine weitere Klasse von Problemen, die mit der Koordinatenmethode gelöst werden können: Entfernungsberechnungsprobleme. Wir werden nämlich die folgenden Fälle betrachten:

1. Berechnung des Abstands zwischen sich schneidenden Linien.

Ich habe diese Aufgaben nach steigendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Es stellt sich heraus, dass es am einfachsten zu finden ist Abstand vom Punkt zur Ebene, und das Schwierigste ist, es zu finden Abstand zwischen sich kreuzenden Linien. Obwohl natürlich nichts unmöglich ist! Lassen Sie uns nicht zögern und uns sofort mit der ersten Klasse von Problemen befassen:

Berechnen des Abstands von einem Punkt zu einer Ebene

Was brauchen wir, um dieses Problem zu lösen?

1. Punktkoordinaten

Sobald wir also alle notwendigen Daten erhalten haben, wenden wir die Formel an:

Sie sollten bereits aus den vorherigen Problemen, die ich im letzten Teil besprochen habe, wissen, wie wir die Gleichung einer Ebene konstruieren. Kommen wir gleich zu den Aufgaben. Das Schema ist wie folgt: 1, 2 – Ich helfe Ihnen bei der Entscheidung, und im Detail, 3, 4 – nur die Antwort, Sie führen die Lösung selbst durch und vergleichen. Lasst uns beginnen!

Aufgaben:

1. Gegeben sei ein Würfel. Die Kantenlänge des Würfels ist gleich. Finden Sie den Abstand vom Se-Re-Di-Na vom Schnitt zum Flugzeug

2. Bei der richtigen Vier-Kohlen-Pi-ra-mi-ja ist die Seite der Seite gleich der Basis. Finden Sie den Abstand vom Punkt zur Ebene, wo - se-re-di-an den Kanten.

3. Im rechten dreieckigen Pi-ra-mi-de mit dem os-no-va-ni-em ist die Seitenkante gleich und das Hundert-ro-auf dem os-no-vania ist gleich. Finden Sie den Abstand von oben zur Ebene.

4. In einem geraden sechseckigen Prisma sind alle Kanten gleich. Finden Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene.

Lösungen:

1. Zeichnen Sie einen Würfel mit einzelnen Kanten, konstruieren Sie ein Segment und eine Ebene und bezeichnen Sie die Mitte des Segments mit einem Buchstaben

.

Beginnen wir zunächst mit dem Einfachen: Finden Sie die Koordinaten des Punktes. Seitdem (merken Sie sich die Koordinaten der Segmentmitte!)

Jetzt stellen wir die Gleichung der Ebene aus drei Punkten zusammen

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Jetzt kann ich anfangen, die Entfernung zu ermitteln:

2. Wir beginnen wieder mit einer Zeichnung, auf der wir alle Daten markieren!

Bei einer Pyramide wäre es sinnvoll, ihre Basis separat zu zeichnen.

Selbst die Tatsache, dass ich mit der Pfote wie ein Huhn zeichne, wird uns nicht davon abhalten, dieses Problem mit Leichtigkeit zu lösen!

Jetzt ist es einfach, die Koordinaten eines Punktes zu finden

Da die Koordinaten des Punktes also

2. Da die Koordinaten von Punkt a die Mitte des Segments sind, dann

Ohne Probleme können wir die Koordinaten von zwei weiteren Punkten auf der Ebene ermitteln. Wir erstellen eine Gleichung für die Ebene und vereinfachen sie:

\[\left| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Da der Punkt die Koordinaten hat: , berechnen wir die Entfernung:

Antwort (sehr selten!):

Na, hast du es herausgefunden? Mir scheint, dass hier alles genauso technisch ist wie in den Beispielen, die wir uns im vorherigen Teil angesehen haben. Ich bin also sicher, dass es Ihnen nicht schwer fallen wird, die verbleibenden beiden Probleme zu lösen, wenn Sie dieses Material beherrschen. Ich gebe Ihnen nur die Antworten:

Berechnen des Abstands von einer Geraden zu einer Ebene

Tatsächlich gibt es hier nichts Neues. Wie können eine Gerade und eine Ebene relativ zueinander positioniert werden? Sie haben nur eine Möglichkeit: sich zu schneiden, oder eine Gerade verläuft parallel zur Ebene. Wie groß ist Ihrer Meinung nach der Abstand einer Geraden zu der Ebene, die diese Gerade schneidet? Es scheint mir, dass hier klar ist, dass ein solcher Abstand gleich Null ist. Kein interessanter Fall.

Der zweite Fall ist schwieriger: Hier ist der Abstand bereits ungleich Null. Da die Linie jedoch parallel zur Ebene verläuft, ist jeder Punkt der Linie von dieser Ebene gleich weit entfernt:

Auf diese Weise:

Das bedeutet, dass meine Aufgabe auf die vorherige reduziert wurde: Wir suchen die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf einer geraden Linie, suchen nach der Gleichung der Ebene und berechnen den Abstand vom Punkt zur Ebene. Tatsächlich sind solche Aufgaben im Einheitlichen Staatsexamen äußerst selten. Es gelang mir, nur ein Problem zu finden, und die darin enthaltenen Daten waren so beschaffen, dass die Koordinatenmethode darauf nicht sehr anwendbar war!

Kommen wir nun zu einer anderen, viel wichtigeren Klasse von Problemen:

Berechnen des Abstands eines Punktes zu einer Linie

Was brauchen wir?

1. Koordinaten des Punktes, von dem aus wir die Entfernung suchen:

2. Koordinaten eines beliebigen Punktes, der auf einer Linie liegt

3. Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden

Welche Formel verwenden wir?

Was der Nenner dieses Bruchs bedeutet, sollte Ihnen klar sein: Dies ist die Länge des Richtungsvektors der Geraden. Das ist ein sehr kniffliger Zähler! Der Ausdruck bedeutet den Modul (Länge) des Vektorprodukts von Vektoren und wie man das Vektorprodukt berechnet, haben wir im vorherigen Teil der Arbeit untersucht. Frischen Sie Ihr Wissen auf, wir werden es jetzt dringend brauchen!

Somit sieht der Algorithmus zur Lösung von Problemen wie folgt aus:

1. Wir suchen die Koordinaten des Punktes, von dem aus wir die Entfernung suchen:

2. Wir suchen die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Geraden, zu dem wir die Entfernung suchen:

3. Konstruieren Sie einen Vektor

4. Konstruieren Sie einen Richtungsvektor einer Geraden

5. Berechnen Sie das Vektorprodukt

6. Wir suchen nach der Länge des resultierenden Vektors:

7. Berechnen Sie den Abstand:

Wir haben noch viel zu tun und die Beispiele werden ziemlich komplex sein! Konzentrieren Sie sich jetzt auf alle Ihre Aufmerksamkeit!

1. Gegeben sei ein rechtwinkliges dreieckiges Pi-ra-mi-da mit einer Spitze. Das Hundert-Ro-auf der Basis des Pi-Ra-Mi-Dy ist gleich, du bist gleich. Finden Sie den Abstand von der grauen Kante zur geraden Linie, wo die Punkte und die grauen Kanten sind und vom Veterinärpunkt.

2. Die Längen der Rippen und des geradlinigen No-Go-Par-ral-le-le-pi-pe-da sind entsprechend gleich und ermitteln Sie den Abstand von der Spitze zur geraden Linie

3. In einem geraden sechseckigen Prisma sind alle Kanten gleich. Ermitteln Sie den Abstand von einem Punkt zu einer geraden Linie

Lösungen:

1. Wir erstellen eine übersichtliche Zeichnung, auf der wir alle Daten markieren:

Wir haben viel zu tun! Zunächst möchte ich in Worten beschreiben, wonach wir suchen werden und in welcher Reihenfolge:

1. Koordinaten von Punkten und

2. Punktkoordinaten

3. Koordinaten von Punkten und

4. Koordinaten von Vektoren und

5. Ihr Kreuzprodukt

6. Vektorlänge

7. Länge des Vektorprodukts

8. Entfernung von bis

Nun, wir haben noch viel Arbeit vor uns! Lasst uns mit hochgekrempelten Ärmeln an die Sache herangehen!

1. Um die Koordinaten der Höhe der Pyramide zu ermitteln, müssen wir die Koordinaten des Punktes kennen. Sein Applikat ist gleich Null und seine Ordinate ist gleich seiner Abszisse ist gleich der Länge des Segments. Da ist die Höhe von ein gleichseitiges Dreieck, es wird im Verhältnis geteilt, gezählt vom Scheitelpunkt, von hier aus. Endlich haben wir die Koordinaten:

Punktkoordinaten

2. - Mitte des Segments

3. - Mitte des Segments

Mittelpunkt des Segments

4.Koordinaten

Vektorkoordinaten

5. Berechnen Sie das Vektorprodukt:

6. Vektorlänge: Der einfachste Weg zum Ersetzen besteht darin, dass das Segment die Mittellinie des Dreiecks ist, was bedeutet, dass es der Hälfte der Basis entspricht. Also.

7. Berechnen Sie die Länge des Vektorprodukts:

8. Schließlich ermitteln wir den Abstand:

Uff, das ist es! Ich sage Ihnen ehrlich: Die Lösung für dieses Problem ist traditionelle Methoden(über den Bau), es wäre viel schneller. Aber hier habe ich alles auf einen vorgefertigten Algorithmus reduziert! Ich denke, der Lösungsalgorithmus ist Ihnen klar? Daher bitte ich Sie, die verbleibenden beiden Probleme selbst zu lösen. Vergleichen wir die Antworten?

Ich wiederhole es noch einmal: Es ist einfacher (schneller), diese Probleme durch Konstruktionen zu lösen, als auf sie zurückzugreifen Koordinatenmethode. Ich habe diese Lösungsmethode nur gezeigt, um Ihnen eine universelle Methode zu zeigen, die es Ihnen ermöglicht, „nichts fertig zu bauen“.

Betrachten Sie abschließend die letzte Klasse von Problemen:

Berechnen des Abstands zwischen sich schneidenden Linien

Hier ähnelt der Algorithmus zur Lösung von Problemen dem vorherigen. Was wir haben:

3. Jeder Vektor, der die Punkte der ersten und zweiten Linie verbindet:

Wie finden wir den Abstand zwischen Linien?

Die Formel lautet wie folgt:

Der Zähler ist der Modul gemischtes Produkt(Wir haben es im vorherigen Teil eingeführt) und der Nenner ist wie in der vorherigen Formel (der Modul des Vektorprodukts der Richtungsvektoren der geraden Linien, der Abstand zwischen denen wir suchen).

Ich werde Sie daran erinnern

Dann Die Formel für den Abstand kann umgeschrieben werden als:

Dies ist eine Determinante dividiert durch eine Determinante! Obwohl ich hier ehrlich gesagt keine Zeit für Witze habe! Diese Formel, ist in der Tat sehr umständlich und führt zu recht komplexe Berechnungen. Wenn ich Sie wäre, würde ich nur als letzten Ausweg darauf zurückgreifen!

Versuchen wir, einige Probleme mit der oben genannten Methode zu lösen:

1. Ermitteln Sie in einem rechtwinkligen dreieckigen Prisma, dessen Kanten alle gleich sind, den Abstand zwischen den Geraden und.

2. Bei einem geraden dreieckigen Prisma sind alle Kanten der Basis gleich dem durch den Körper verlaufenden Rippenabschnitt und die Se-Re-Di-Well-Rippen sind ein Quadrat. Finden Sie den Abstand zwischen den Geraden und

Ich entscheide über das Erste, und basierend darauf entscheiden Sie über das Zweite!

1. Ich zeichne ein Prisma und markiere gerade Linien und

Koordinaten von Punkt C: dann

Punktkoordinaten

Vektorkoordinaten

Punktkoordinaten

Vektorkoordinaten

Vektorkoordinaten

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Wir berechnen das Vektorprodukt zwischen Vektoren und

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Jetzt berechnen wir seine Länge:

Antwort:

Versuchen Sie nun, die zweite Aufgabe sorgfältig zu erledigen. Die Antwort darauf wird sein: .

Koordinaten und Vektoren. Kurzbeschreibung und Grundformeln

Ein Vektor ist ein gerichtetes Segment. - der Anfang des Vektors, - das Ende des Vektors.
Ein Vektor wird mit oder bezeichnet.

Absoluter Wert Vektor – die Länge des Segments, das den Vektor darstellt. Bezeichnet als.

Vektorkoordinaten:

,
Wo sind die Enden des Vektors \displaystyle a ?

Summe der Vektoren: .

Produkt von Vektoren:

Skalarprodukt von Vektoren:

Das Skalarprodukt von Vektoren ist gleich ihrem Produkt absolute Werte durch den Kosinus des Winkels zwischen ihnen:

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Methoden zur Angabe eines rechteckigen Koordinatensystems

Wie Sie wissen, kann ein rechtwinkliges Koordinatensystem auf einer Ebene auf drei Arten angegeben werden: Die erste Methode legt die Position des Mittelpunkts des Systems fest – d. h. O, zeichnet die OX-Achse und gibt ihre positive Richtung an, zeichnet die OY-Achse senkrecht zur OX-Achse wird je nach Systemtyp (rechts oder links) die positive Richtung der OY-Achse angegeben, der Koordinatenmaßstab entlang der Achsen wird eingestellt.

Wenn es Koordinatenachsen gibt, müssen Sie zur Bestimmung der Koordinaten eines beliebigen Punktes C zunächst die Senkrechten von diesem Punkt auf die Koordinatenachsen absenken und dann die Länge dieser Senkrechten messen; die Länge der Senkrechten zur OX-Achse ist gleich der Y-Koordinate, die Länge der Senkrechten zur OY-Achse ist gleich der X-Koordinate des Punktes (Abb. 1).

Zusätzlich zum XOY-System können Sie das X"O"Y-System verwenden, das Sie aus dem XOY-System erhalten, indem Sie den Koordinatenursprung zum Punkt O" verschieben (Xo"=äx, Yo"=äy) und die Koordinate drehen Achsen im Uhrzeigersinn um Winkel b.

Der Übergang von XOY zu X"O"Y" erfolgt mit den Formeln:

Für den umgekehrten Übergang werden folgende Formeln verwendet:

• 2. Methode: Es werden zwei zueinander senkrechte Systeme paralleler Linien gezeichnet; Die Abstände zwischen den Linien sind gleich, diese Linien gelten als parallel zu den Koordinatenachsen und jede Linie ist mit dem Wert der entsprechenden Koordinate beschriftet (es entsteht ein Koordinatengitter).
• Die 3. Methode gibt die numerischen Werte der Koordinaten zweier Fixpunkte an.

Die erste Methode wird allgemein akzeptiert; In der Geodäsie definiert diese Methode ein Zonensystem rechtwinkliger Gauß-Koordinaten.

An topografische Karten und Plänen wird das Gaußsche rechtwinklige Koordinatensystem auf die zweite Art spezifiziert.

Auf dem Boden wird auf die dritte Weise ein System rechtwinkliger Koordinaten angegeben; Sie können jederzeit mehrere geodätische Punkte mit bekannten Koordinaten finden und durch beliebige Messungen die Position neuer Punkte relativ zu diesen Punkten bestimmen.

Drei elementare Dimensionen

Sie können Winkel und Abstände in einer Ebene messen.

Ein Winkel wird durch drei Punkte festgelegt: Ein Punkt ist der Scheitelpunkt des Winkels und die anderen beiden Punkte legen die Richtungen der ersten und zweiten Seite des Winkels fest. Im einfachsten Fall hat mindestens einer von drei Punkten keine Koordinaten, ist also definierbar; Im Allgemeinen können ein Punkt, zwei Punkte oder alle drei bestimmt werden.

Der Abstand wird durch zwei Punkte festgelegt, und im Allgemeinen können ein Punkt oder beide bestimmt werden.

In diesem Abschnitt wird der einfachste Fall besprochen, bei dem die Messung eines Winkels oder einer Entfernung durchgeführt wird, um die Koordinaten eines einzelnen Punktes zu bestimmen. Da beim Messen eines Winkels der zu bestimmende Punkt entweder am Scheitelpunkt des Winkels oder auf einer seiner Seiten liegen kann, gibt es aus unserer Sicht in der Ebene drei verschiedene Messungen, die wir elementar nennen.

Der Winkel b wird am Punkt A mit bekannten Koordinaten X4, Y4 zwischen der Richtung mit bekanntem Richtungswinkel bAB und der Richtung zum ermittelten Punkt P gemessen (Abb. 2).

Der Richtungswinkel b der Richtung AP ergibt sich aus der Formel

Für eine gerade Linie AP, die Positionslinie des Punktes P genannt, können wir eine Gleichung im XOY-System schreiben:

In dieser Gleichung sind X und Y die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Linie, einschließlich Punkt P, aber um zwei Koordinaten von Punkt P zu finden, reicht eine solche Gleichung nicht aus.

Der Abstand S wird vom Punkt A mit bekannten Koordinaten P (Abb. 3). Die Kreisgleichung lautet:

In dieser Gleichung sind X und Y die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Kreis, einschließlich Punkt P, aber um zwei Koordinaten eines Punktes zu finden, reicht eine solche Gleichung nicht aus.

Der Winkel b wird an einem bestimmten Punkt P zwischen den Richtungen zweier Punkte mit bekannten Koordinaten gemessen; Diese Messung wird in Abschnitt 8 besprochen.

Die X- und Y-Koordinaten des Punktes P können aus einer gemeinsamen Lösung zweier Gleichungen ermittelt werden. Wenn wir also eine beliebige Kombination dreier Dimensionen verdoppeln, erhalten wir die einfachsten Methoden zur Bestimmung der Koordinaten eines Punktes, sogenannte geodätische Schnittpunkte: zwei Gleichungen von Typ (2.4) – ein gerader Winkelschnittpunkt, zwei Gleichungen vom Typ (2.5) – linearer Schnittpunkt, eine Gleichung vom Typ (2.4) und eine Gleichung vom Typ (2.5) Polarschnittpunkt, zwei Winkelmessungen am ermittelten Punkt – invers Winkelschnittpunkt.

Die übrigen Messkombinationen werden als kombinierte Kerben bezeichnet.

Jede der drei Elementardimensionen ist in Bezug auf Koordinatensysteme invariant, was es ermöglicht, Serifen in verschiedenen Zeichnungen zu lösen, indem die Position des Punktes P relativ zu den Festpunkten A und B grafisch bestimmt wird.

Eine analytische Methode zur Lösung von Schnittpunkten besteht darin, die Koordinaten des zu bestimmenden Punktes zu berechnen. Dies kann durch Lösen eines Systems aus zwei Gleichungen entsprechend den durchgeführten Messungen oder durch Lösen eines Dreiecks erfolgen, dessen Eckpunkte zwei Startpunkte und ein bestimmter Punkt sind (der Kürze halber nennen wir diese Methode Dreiecksmethode).

Bei jeder geodätischen Konstruktion ist es üblich, drei Arten von Daten zu unterscheiden: Anfangsdaten (Koordinaten der Anfangspunkte, Richtungswinkel der Anfangsrichtungen usw.); bei diesen Daten wird häufig davon ausgegangen, dass es sich um bedingt fehlerfreie, gemessene Elemente handelt; Jedes gemessene Element wird normalerweise von einem Wert des mittleren quadratischen Messfehlers, unbekannten (oder bestimmten) Elementen, begleitet. Diese Elemente müssen mit einem speziell entwickelten Algorithmus gefunden werden, und ihre Werte werden abhängig von Messfehlern und der Geometrie der gegebenen Konstruktion mit einem gewissen Fehler ermittelt.

Polarkerbe

Bei einem Polarschnitt sind die Anfangsdaten die Koordinaten von Punkt A und der Richtungswinkel der Richtung AB (oder die Koordinaten von Punkt B), die gemessenen Elemente sind der horizontale Winkel b (der quadratische Mittelfehler der Winkelmessung mв). und der Abstand S (der relative Fehler seiner Messung mS / S = 1 / T ), unbekannte Elemente sind die X-, Y-Koordinaten des Punktes P (Abb. 4).

Eingabedaten: XA, YA, bAB

Gemessene Elemente: V, S

Unbekannte Elemente: X, Y

Grafische Lösung. Zeichnen Sie aus der Richtung AB mit einem Winkelmesser den Winkel B und zeichnen Sie eine gerade Linie AQ. Zeichnen Sie dann einen Kreisbogen mit dem Radius S um den Punkt A im Maßstab der Zeichnung (Plan oder Karte). Der Schnittpunkt der Geraden und des Bogens ist der gewünschte Punkt P.

Analytische Lösung. Der Richtungswinkel b der Linie AP ist gleich:

Schreiben wir die Gleichungen einer Geraden AP – Formel (4) und eines Kreises mit Radius S um Punkt A – Formel (5) auf:

Um die X- und Y-Koordinaten des Punktes P zu ermitteln, müssen Sie diese beiden Gleichungen gemeinsam als System lösen. Setzen wir den Wert (Y - YA) aus der ersten Gleichung in die zweite ein und setzen (X - XA) 2 in Klammern:

(X - XA) 2 * (1 + tan2 b)= S2.

Wir ersetzen den Ausdruck (1 + tan2b) durch 1 / Cos2b und erhalten:

(X - XA) 2 = S2 * Cos2b, daher X - XA = S* Cosb.

Setzen Sie diesen Wert in die erste Gleichung (6) ein und erhalten Sie:

Y - YA = S * Sinb.

Die Unterschiede zwischen den Koordinaten (X – XA) und (Y – YA) werden üblicherweise Inkremente genannt und mit DX und DY bezeichnet.

Somit wird die Polarkerbe eindeutig mit den Formeln gelöst:

Koordinatentriangulation Trilateration

Direktes geodätisches Problem in einer Ebene

In der Geodäsie gibt es zwei Standardprobleme: das direkte geodätische Problem in einer Ebene und das inverse geodätische Problem in einer Ebene.

Ein direktes geodätisches Problem ist die Berechnung der Koordinaten X2, Y2 des zweiten Punktes, wenn die Koordinaten X1, Y1 des ersten Punktes, der Richtungswinkel b und die Länge S der diese Punkte verbindenden Linie bekannt sind. Das direkte geodätische Problem ist Teil eines Polarschnitts und die Formeln zu seiner Lösung sind dem Formelsatz (7) entnommen:

Inverses geodätisches Problem in einer Ebene

Das inverse geodätische Problem ist die Berechnung des Richtungswinkels b und der Länge S der Linie, die zwei Punkte mit bekannten Koordinaten X1, Y1 und X2, Y2 verbindet (Abb. 5).

Konstruieren wir auf Segment 1-2, wie auf der Hypotenuse, ein rechtwinkliges Dreieck mit Schenkeln parallel zu den Koordinatenachsen. In diesem Dreieck ist die Hypotenuse gleich S, die Schenkel sind gleich den Inkrementen der Koordinaten der Punkte 1 und 2 (ÄX = X2 - X1, ÄY = Y2 - Y1) und einer der spitzen Winkel ist gleich Punkt r der Linie 1-2.

Wenn D X 00 und D Y 00, dann lösen wir das Dreieck mit den bekannten Formeln:

Für diese Abbildung liegt die Richtung der Linie 1-2 im zweiten Viertel, sodass wir basierend auf (22) Folgendes finden:

Das allgemeine Verfahren zum Ermitteln des Richtungswinkels der Linie 1-2 umfasst zwei Operationen: Bestimmen der Viertelzahl anhand der Vorzeichen der Inkremente der Koordinaten D>X und DY, Berechnen von b mithilfe der Verbindungsformeln (22) gemäß der Viertelzahl.

Die Kontrolle der Richtigkeit von Berechnungen ist die Erfüllung der Gleichheit:

Wenn DX = 0,0, dann S = i„Yі;

und b = 90o 00 „00“ für DY > 0,

b = 270o 00" 00" bei DY< 0.

Wenn DY = 0,0, dann ist S = iÄXi

und b = 0o 00 „00“ für DX > 0,

b = 180o 00 „00“ bei DX< 0.

Um das Umkehrproblem automatisch (in Computerprogrammen) zu lösen, wird ein anderer Algorithmus verwendet, der den Tangens des Winkels nicht enthält und eine mögliche Division durch Null ausschließt:

wenn ÄY => 0o, dann b = a,

wenn DY< 0o, то б = 360o - a.

Gerade Eckserife

Betrachten wir zunächst den sogenannten allgemeinen Fall eines geraden Eckschnittpunkts, bei dem die Winkel b1 und b2 an zwei Punkten mit bekannten Koordinaten gemessen werden, jeder aus seiner eigenen Richtung mit einem bekannten Richtungswinkel (Abb. 6).

Ausgangsdaten: XA, YA, bAC,

Gemessene Elemente: v 1, v2

Unbekannte Elemente: X, Y

Wenn bAC und bBD nicht explizit angegeben sind, müssen Sie das inverse geodätische Problem zuerst zwischen den Punkten A und C und dann zwischen den Punkten B und D lösen.

Grafische Lösung. Erstellen Sie aus der Richtung AC mit einem Winkelmesser einen Winkel b1 und zeichnen Sie eine gerade Linie AP; Legen Sie aus Richtung BD den Winkel b2 beiseite und zeichnen Sie eine gerade Linie BP. Der Schnittpunkt dieser Linien ist der gewünschte Punkt P.

Analytische Lösung. Wir stellen den Variantenalgorithmus vor, der dem allgemeinen Fall einer Kerbe entspricht:

Berechnen Sie die Richtungswinkel der Linien AP und BP

Schreiben Sie zwei Geradengleichungen

für die AP-Linie Y - YA= tgb1 * (X - XA), für die BP-Linie Y - YB= tgb2 * (X - XB) (2.16)

Lösen Sie das System aus zwei Gleichungen und berechnen Sie die unbekannten Koordinaten X und Y:

Als Sonderfall einer geraden Eckkerbe gilt der Fall, dass die Winkel b1 und b2 aus den Richtungen AB und BA gemessen werden und der Winkel b1 rechts und der Winkel b2 links ist (im allgemeinen Fall von Kerben sind es beide Winkel). links) - Abb. 7.

Die Lösung eines geraden Eckschnittpunkts mit der Dreiecksmethode entspricht einem Sonderfall eines Schnittpunkts. Das Verfahren zur Lösung dieses Problems sieht wie folgt aus: Lösen Sie das inverse Problem zwischen den Punkten A und B und ermitteln Sie den Richtungswinkel bAB und die Länge b der Linie AB. Berechnen Sie den Winkel r am Scheitelpunkt P, den sogenannten Kerbwinkel.

unter Verwendung des Sinussatzes für das Dreieck APB:

Berechnen Sie die Längen der Seiten AP (S1) und BP (S2), berechnen Sie die Richtungswinkel b1 und b2:

Lösen Sie ein direktes Problem von Punkt A nach Punkt P und zur Kontrolle - von Punkt B nach Punkt P.

Um die X- und Y-Koordinaten im Sonderfall eines geraden Eckschnittpunkts zu berechnen, können Sie die Formeln von Young verwenden:

Aus Allgemeiner Fall Mit einer geraden, eckigen Serife kann man leicht zu einem Sonderfall übergehen; Dazu müssen Sie zunächst das inverse geodätische Problem zwischen den Punkten A und B lösen und den Richtungswinkel bAB der Linie AB ermitteln und dann die Winkel im Dreieck APB an den Eckpunkten A und B berechnen

BAP = bAB – (bAC + b1) und ABP = (bBD + b2) – bBA.

Für die maschinelle Berechnung sind alle betrachteten Methoden zur Lösung rechtwinkliger Schnittpunkte aus verschiedenen Gründen unpraktisch. Einer der möglichen Algorithmen zur Lösung des allgemeinen Falls der Kerbung auf einem Computer umfasst die folgenden Aktionen: Berechnung der Richtungswinkel b1 und b2, Einführung eines lokalen Koordinatensystems X"O"Y" mit dem Ursprung im Punkt A und mit O"X Achse, die entlang der Linie AP gerichtet ist, und Neuberechnung der Koordinaten der Punkte A und B und der Richtungswinkel b1 und b2 vom XOY-System zum X"O"Y"-System (Abb. 8):

X"A = 0, Y"A = 0,

(24), Schreiben der Gleichungen der Linien AP und BP im X"O"Y"-System:

und gemeinsame Lösung dieser Gleichungen:

Umrechnung der X"- und Y"-Koordinaten vom X"O"Y"-System in das XOY-System:

Da Ctgb2" = - Ctgg und der Kerbwinkel r immer größer als 0° ist, existiert immer Lösung (27).

Lineare Serife

Von Punkt A mit bekannten Koordinaten XA, YA wird der Abstand S1 zum ermittelten Punkt P gemessen, und von Punkt B mit bekannten Koordinaten XB, YB wird der Abstand S2 zum Punkt P gemessen.

Grafische Lösung. Zeichnen wir einen Kreis um Punkt A mit dem Radius S1 (im Maßstab der Zeichnung) und um Punkt B einen Kreis mit dem Radius S2; der Schnittpunkt der Kreise ist der gewünschte Punkt; Das Problem hat zwei Lösungen, da sich zwei Kreise in zwei Punkten schneiden (Abb. 9).

Eingabedaten: XA, YA, XB, YB,

Gemessene Elemente: S1, S2,

Unbekannte Elemente: X, Y.

Analytische Lösung. Betrachten wir zwei analytische Lösungsalgorithmen, einen für die manuelle Berechnung (mit der Dreiecksmethode) und einen für die maschinelle Berechnung.

Der manuelle Zählalgorithmus besteht aus den folgenden Schritten:

Lösen des inversen geodätischen Problems zwischen den Punkten A und B und Ermitteln des Richtungswinkels bAB und der Länge b der Linie AB, Berechnen der Winkel b1 und b2 im Dreieck ABP unter Verwendung des Kosinussatzes:

Berechnung des Schnittwinkels r

Berechnung der Richtungswinkel der Seiten AP und BP:

Punkt P rechts von der Linie AB

Punkt P links von der Linie AB

Lösen direkter geodätischer Probleme von Punkt A nach Punkt P und von Punkt B nach Punkt P:

1. Lösung

2. Lösung

Die Ergebnisse beider Lösungen sollten gleich sein.

Der Algorithmus zur maschinellen Lösung eines linearen Schnittpunkts besteht aus den folgenden Schritten: Lösen des inversen geodätischen Problems zwischen den Punkten A und B und Ermitteln des Richtungswinkels bAB und der Länge b der Linie AB, Einführen eines lokalen Koordinatensystems X"O"Y " mit dem Ursprung im Punkt A und der Achse O"X ", gerichtet entlang der Linie AB, und Neuberechnung der Koordinaten der Punkte A und B vom XOY-System zum X"O"Y"-System:

Schreiben der Kreisgleichungen im X"O"Y"-System:

und eine gemeinsame Lösung dieser Gleichungen, bei der die Klammern in der zweiten Gleichung geöffnet und die zweite Gleichung von der ersten subtrahiert werden:

Liegt der gewünschte Punkt links von der Linie AB, dann wird in Formel (39) das „-“-Zeichen genommen, wenn rechts, dann „+“.

Konvertieren der X- und Y-Koordinaten des Punktes P vom X-O-Y-System in das XOY-System mithilfe der Formeln (2):

Umgekehrte Kerbe

Zu den elementaren Messungen gehört auch die Messung des Winkels an einem bestimmten Punkt P zwischen den Richtungen zu zwei Punkten A und B mit bekannten Koordinaten XA, YA und XB, YB (Abb. 10). Allerdings erweist sich diese Messung theoretisch als recht komplex, sodass wir sie gesondert betrachten.

Zeichnen wir einen Kreis durch drei Punkte A, B und P. Von Schulkurs Die Geometrie weiß, dass ein Winkel mit einem Scheitelpunkt auf einem Kreis durch die Hälfte des Bogens gemessen wird, auf dem er ruht. Der auf demselben Bogen basierende Mittelpunktswinkel wird durch den gesamten Bogen gemessen und beträgt daher 2c (Abb. 10).

Der Abstand b zwischen den Punkten A und B wird als bekannt vorausgesetzt, und aus dem rechtwinkligen Dreieck FCB lässt sich der Radius R des Kreises ermitteln:

Die Kreisgleichung lautet:

wobei XC und YC die Koordinaten des Kreismittelpunkts sind. Sie können berechnet werden, indem entweder ein gerader Winkel- oder linearer Schnittpunkt von den Punkten A und B mit Punkt C gelöst wird. In Gleichung (42) sind X und Y die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Kreis, einschließlich Punkt P, aber um zwei Koordinaten zu finden Für den Punkt P reicht eine solche Gleichung nicht aus.

Der umgekehrte Winkelschnitt ist eine Methode zur Bestimmung der Koordinaten des Punktes P aus zwei Winkeln b1 und b2, gemessen am bestimmten Punkt P zwischen den Richtungen von drei Punkten mit bekannten Koordinaten A, B, C (Abb. 11).

Grafische Lösung. Lassen Sie uns Bolotovs Methode zur grafischen Lösung umgekehrter Eckkreuzungen vorstellen. Auf einem Blatt Transparentpapier (Pauspapier) müssen Sie die Winkel b1 und b2 mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt P konstruieren; Legen Sie dann das Pauspapier auf die Zeichnung und stellen Sie durch Bewegen sicher, dass die Richtungen der Winkel auf dem Pauspapier durch die Punkte A, B, C in der Zeichnung verlaufen. Markieren Sie den Punkt P vom Pauspapier auf der Zeichnung.

Quelldaten: XA, YA, XB,

Gemessene Elemente: v1, v2.

Unbekannte Elemente: X, Y.

Analytische Lösung. Die analytische Lösung eines umgekehrten Eckschnittpunkts beinhaltet seine Zerlegung in einfachere Probleme, beispielsweise in 2 gerade Eckschnittpunkte und einen linearen oder in 3 lineare Schnittpunkte usw. Es sind mehr als 10 Methoden zur analytischen Lösung bekannt, aber wir werden nur eine betrachten – durch die sequentielle Lösung von drei linearen Kerben.

Nehmen wir an, dass die Position des Punktes P bekannt ist, und zeichnen Sie zwei Kreise: einen mit Radius R1 durch die Punkte A, B und P und einen anderen mit Radius R2 durch die Punkte B, C und P (Abb. 11). Die Radien dieser Kreise erhalten wir mit der Formel (41):

Wenn die Koordinaten der Mittelpunkte der Kreise – Punkte O1 und O2 – bekannt sind, können die Koordinaten von Punkt P mithilfe linearer Schnittformeln bestimmt werden: von Punkt O1 durch Abstand R1 und von Punkt O2 – durch Abstand R2.

Die Koordinaten des Mittelpunkts O1 können mithilfe der Formeln für einen linearen Schnittpunkt der Punkte A und B entlang der Entfernungen R1 ermittelt werden. Aus den beiden Lösungen müssen Sie diejenige nehmen, die dem Wert des Winkels in1 entspricht: wenn in1<90o, то точка O1 находится справа от линии AB, если в1>90o, dann liegt Punkt O1 links von der Linie AB.

Die Koordinaten des Mittelpunkts O2 werden mithilfe linearer Schnittformeln von den Punkten B und C entlang der Entfernungen R2 ermittelt und eine von zwei möglichen Lösungen nach derselben Regel ausgewählt: if in2<90o, то точка O2 находится справа от линии BC, если в2>90o, dann liegt Punkt O2 links von der Linie BC.

Das Problem ist nicht lösbar, wenn alle vier Punkte A, B, C und P auf demselben Kreis liegen, da beide Kreise zu einem verschmelzen und es keine Schnittpunkte gibt.

Kombinierte Serifen

Bei den betrachteten Methoden zur Lösung von Serifen wurde die Anzahl der Messungen theoretisch als minimal (zwei Messungen) angenommen, um das Erhalten des Ergebnisses sicherzustellen.

Um die X- und Y-Koordinaten eines Punktes zu ermitteln, werden in der Praxis in der Regel nicht zwei, sondern drei oder mehr Messungen von Abständen und Winkeln durchgeführt, und zwar sowohl an den Startpunkten als auch an den zu bestimmenden Punkten; solche Serifen werden kombiniert genannt. Es ist klar, dass in diesem Fall eine Kontrolle der Messungen möglich wird und darüber hinaus die Genauigkeit der Problemlösung steigt.

Jede in ein Problem eingeführte Dimension, die über die theoretische Mindestmenge hinausgeht, wird als redundant bezeichnet. es generiert eine zusätzliche Lösung. Geodätische Schnittpunkte ohne redundante Messungen werden üblicherweise als einfach bezeichnet, und Schnittpunkte mit redundanten Messungen werden als mehrfach bezeichnet.

Bei redundanten Messungen werden die Unbekannten mithilfe der Anpassungsmethode berechnet. Algorithmen zur strikten Entzerrung mehrerer Kreuzungen werden in automatisierten Computerberechnungen verwendet; Für die manuelle Zählung werden vereinfachte Anpassungsmethoden verwendet.

Eine vereinfachte Methode zur Anpassung beliebiger Mehrfachschnittpunkte (n Messungen) besteht darin, zunächst alle möglichen Varianten unabhängiger Einzelschnittpunkte (ihre Anzahl ist n-1) zu generieren und zu lösen und dann aus allen erhaltenen Ergebnissen die Durchschnittswerte der Punktkoordinaten zu berechnen , wenn sie um den zulässigen Wert voneinander abweichen.

Punktpositionsfehler

Im eindimensionalen Raum (auf einer Linie) wird die Position eines Punktes durch den Wert einer X-Koordinate festgelegt, und der Positionsfehler des Punkts Mp ist gleich dem mittleren quadratischen Fehler mx dieser Koordinate. Die wahre Position eines Punktes kann im Intervall (X – t * mx) – (X + t * mx) liegen, also in beide Richtungen vom Wert von X; In der Praxis wird der t-Faktor üblicherweise auf 2,0 oder 2,50 eingestellt.

Im zweidimensionalen Raum (auf einer Oberfläche) wird die Position eines Punktes durch die Werte zweier Koordinaten festgelegt, und der Positionsfehler des Punktes muss durch zwei Größen angegeben werden: die Richtung und den Positionsfehler in dieser Richtung . Geometrische Figur, innerhalb dessen sich die wahre Position des Punktes befindet, kann haben verschiedene Formen; In dem besonderen Fall, dass der Fehler in der Position eines Punktes in allen Richtungen gleich ist, erhält man einen Kreis mit dem Radius R = Mp.

Die Position eines Punktes in zwei Dimensionen ergibt sich aus dem Schnittpunkt zweier Positionslinien. Für die gemessene Distanz S ist die Positionslinie ein Kreis mit dem Radius S, dessen Mittelpunkt im Startpunkt A liegt (Abb. 2.12a); für den gemessenen Winkel b mit dem Scheitelpunkt am Startpunkt A - eine Gerade, die im Winkel b zur Startlinie AB gezogen wird (Abb. 2.12b).

Aufgrund von Messfehlern ist die Einführung des Begriffs „Positionsband“ erforderlich. Bei einem mit einem mittleren quadratischen Fehler ms gemessenen Abstand S handelt es sich um einen kreisförmigen Gürtel (Ring) mit einer Breite von 2 * ms zwischen zwei Kreisen mit Radien (S - ms) und (S + ms); für Winkel b, gemessen mit einem Fehler mв, handelt es sich um ein schmales Dreieck mit einem Scheitelpunkt im Punkt A und einem Winkel am Scheitelpunkt von 2 * mв. Die Positionslinie des Punktes ist die Symmetrieachse des Positionsstreifens (Abb. 12).

Reis. 12. Positionslinie und „Positionsstreifen“ des Punktes P: a) für die gemessene Distanz, b) für den gemessenen Winkel.

Führen wir das Konzept des „Messfehlervektors“ ein und bezeichnen ihn mit V. Für die gemessene Entfernung ist der Vektor Vs entlang der Linie AP gerichtet (direkt oder umgekehrt) und hat Modul vs = ms; Für den gemessenen Winkel ist der Vektor Vв senkrecht zur Linie AP (links oder rechts davon) gerichtet und hat einen Modul nв = S * mв / s, wobei S = A * P.

Punkt P, der sich am Schnittpunkt zweier Positionslinien befindet, ist der Mittelpunkt eines Positionsvierecks, das am Schnittpunkt zweier Positionslinien gebildet wird (Abb. 13).

Reis. 13.4 -Positionswinkel: a) in einer linearen Kerbe, b) in einer rechtwinkligen Kerbe,

Dieses elementare Viereck kann als Parallelogramm betrachtet werden, da innerhalb seiner Grenzen die Kreisbögen durch Tangentensegmente und die divergierenden Seiten des Winkels durch zur Positionslinie parallele Geradensegmente ersetzt werden können. Die Abstände von Punkt P zu den Grenzen des 4-Ecks sind nicht gleich, was darauf hindeutet, dass die Positionsfehler von Punkt P in verschiedenen Richtungen unterschiedlich sind.

Die Positionslinien teilen das Positions-4-Eck in 4 gleiche Teile, die wir Fehlerparallelogramme mit Winkeln an den Eckpunkten r und (180o – z) nennen, wobei r (180o – z) der Winkel zwischen den Fehlervektoren V1 und V2 ist. Da die Höhen der Fehlerparallelogramme numerisch gleich den Moduln der Vektoren n1 und n2 sind, werden die Seiten der Parallelogramme nach den bekannten Formeln erhalten:

Unter Verwendung der bekannten Seiten des Fehlerparallelogramms und des Winkels zwischen ihnen r (180o – r) können wir die Länge seiner beiden Diagonalen berechnen: kurz – d1 und lang – d2:

Somit wird der Fehler in der Position eines Punktes in sechs Richtungen (Abb. 14) durch einfache Formeln ausgedrückt; Für alle anderen Richtungen sind die Formeln komplexer.

Für eine verallgemeinerte Charakteristik der Genauigkeit der Bestimmung von Punkt P benötigen Sie einen Durchschnittswert des Fehlers in der Position von Punkt P, der berechnet werden kann: als Radius eines Kreises R, dessen Fläche (S * R2) ist gleich der Fläche des Parallelogramms der Position des Punktes P (4 * a * b * Sing),

als Positionsfehler in der „schwächsten Richtung“, die mit der Richtung der langen Diagonale zusammenfällt:

als mittleres Quadrat der langen und kurzen Diagonalen des Fehlerparallelogramms:

In der Praxis wird häufiger als andere die dritte Option verwendet, bei der Formeln zur Beurteilung der Genauigkeit einer einzelnen Kerbe leicht zu erhalten sind:

Polarkerbe (Abb. 4):

gerade Eckkerbe (Abb. 6, 7):

lineare Kerbe (Abb. 9):

umgekehrte Winkelkerbung (Abb. 11).

In dieser Kerbe muss die rechte Seite der Formel für den Positionsfehler von Punkt P drei Terme enthalten:

Fehler des linearen Schnittpunkts von Punkt O1 mit den Anfangspunkten A und B (mO1), Fehler des linearen Schnittpunkts von Punkt O2 mit den Anfangspunkten B und C (mO2), Fehler des linearen Schnittpunkts von Punkt P mit den Punkten O1 und O2 (mP),

Der Kerbwinkel r hängt von der relativen Lage der Linien BC und BA und den Winkeln b1 und b2 ab; für Abb. 11 Dieser Winkel wird nach der Formel berechnet:

Für viele praktische Fälle reicht es aus anzunehmen, dass die wahre Position des Punktes P innerhalb eines Kreises mit dem Radius MP liegt, dessen Mittelpunkt im Punkt P liegt. In der strengen Theorie wird das betrachtete Kriterium als Radialfehler bezeichnet. Darüber hinaus verwendet diese Theorie mehr komplexe Kriterien, wie „Fehlerellipse“ (Kurve 2. Ordnung), „Poder der Fehlerellipse“ (Kurve 4. Ordnung) usw.

Wenn die Anzahl der Messungen n>2 ist (mehrere Schnittpunkte), wird der Punkt P am Schnittpunkt von n Positionslinien erhalten, die den angepassten Messwerten entsprechen; Die sich schneidenden Positionsstreifen bilden ein 2 * n-Eck. Der größte Fehler in der Position des Punktes P wird durch den Abstand vom Punkt P zum am weitesten davon entfernten Scheitelpunkt dieses Polygons bestimmt. Aus Abbildung 14-b wird die Rolle der dritten Dimension bei der Reduzierung des Fehlers in der Position von Punkt P deutlich; Übrigens hat die zweite Messung in dieser Abbildung praktisch keinen Einfluss auf den Wert des Punktpositionsfehlers.

Rechteckiges Koordinatensystem

Um das Konzept der Punktkoordinaten zu definieren, müssen wir ein Koordinatensystem einführen, in dem wir seine Koordinaten bestimmen. Derselbe Punkt in verschiedenen Koordinatensystemen kann unterschiedliche Koordinaten haben. Hier betrachten wir ein rechteckiges Koordinatensystem im Raum.

Nehmen wir einen Punkt $O$ im Raum und führen dafür die Koordinaten $(0,0,0)$ ein. Nennen wir es den Ursprung des Koordinatensystems. Zeichnen wir drei zueinander senkrechte Achsen $Ox$, $Oy$ und $Oz$ durch sie, wie in Abbildung 1. Diese Achsen werden als Abszissen-, Ordinaten- bzw. Anwendungsachsen bezeichnet. Jetzt muss nur noch der Maßstab auf den Achsen (Einheitssegment) eingegeben werden – fertig ist das rechtwinklige Koordinatensystem im Raum (Abb. 1)

Abbildung 1. Rechteckiges Koordinatensystem im Raum. Author24 – Online-Austausch studentischer Arbeiten

Punktkoordinaten

Schauen wir uns nun an, wie die Koordinaten eines beliebigen Punktes in einem solchen System bestimmt werden. Nehmen wir einen beliebigen Punkt $M$ (Abb. 2).

Konstruieren wir ein rechteckiges Parallelepiped auf den Koordinatenachsen, sodass die Punkte $O$ und $M$ seinen Eckpunkten gegenüber liegen (Abb. 3).

Abbildung 3. Konstruktion eines rechteckigen Parallelepipeds. Author24 – Online-Austausch studentischer Arbeiten

Dann hat der Punkt $M$ die Koordinaten $(X,Y,Z)$, wobei $X$ der Wert auf der Zahlenachse $Ox$, $Y$ der Wert auf der Zahlenachse $Oy$ und $Z ist $ ist der Wert auf der Zahlenachse $Oz$.

Beispiel 1

Es muss eine Lösung für das folgende Problem gefunden werden: Schreiben Sie die Koordinaten der Scheitelpunkte des in Abbildung 4 gezeigten Parallelepipeds.

Lösung.

Punkt $O$ ist der Koordinatenursprung, daher $O=(0,0,0)$.

Die Punkte $Q$, $N$ und $R$ liegen auf den Achsen $Ox$, $Oz$ bzw. $Oy$, was bedeutet

$Q=(2,0,0)$, $N=(0,0,1,5)$, $R=(0,2,5,0)$

Die Punkte $S$, $L$ und $M$ liegen in den Ebenen $Oxz$, $Oxy$ bzw. $Oyz$, was bedeutet

$S=(2,0,1,5)$, $L=(2,2,5,0)$, $R=(0,2,5,1,5)$

Punkt $P$ hat die Koordinaten $P=(2,2,5,1,5)$

Vektorkoordinaten basierend auf zwei Punkten und der Formel zum Finden

Um herauszufinden, wie man einen Vektor aus den Koordinaten zweier Punkte ermittelt, müssen Sie das zuvor eingeführte Koordinatensystem berücksichtigen. Darin zeichnen wir vom Punkt $O$ in Richtung der $Ox$-Achse den Einheitsvektor $\overline(i)$ ein, in Richtung der $Oy$-Achse den Einheitsvektor $\overline(j) $ und der Einheitsvektor $\overline(k) $ müssen entlang der $Oz$-Achse gerichtet sein.

Um das Konzept der Vektorkoordinaten einzuführen, führen wir den folgenden Satz ein (auf dessen Beweis gehen wir hier nicht ein).

Satz 1

Ein beliebiger Vektor im Raum kann in drei beliebige Vektoren erweitert werden, die nicht in derselben Ebene liegen, und die Koeffizienten einer solchen Erweiterung werden eindeutig bestimmt.

Mathematisch sieht es so aus:

$\overline(δ)=m\overline(α)+n\overline(β)+l\overline(γ)$

Da die Vektoren $\overline(i)$, $\overline(j)$ und $\overline(k)$ auf den Koordinatenachsen eines rechtwinkligen Koordinatensystems konstruiert sind, gehören sie offensichtlich nicht zur selben Ebene. Das bedeutet, dass jeder Vektor $\overline(δ)$ in diesem Koordinatensystem gemäß Satz 1 die folgende Form annehmen kann

$\overline(δ)=m\overline(i)+n\overline(j)+l\overline(k)$ (1)

wobei $n,m,l∈R$.

Definition 1

Die drei Vektoren $\overline(i)$, $\overline(j)$ und $\overline(k)$ werden Koordinatenvektoren genannt.

Definition 2

Die Koeffizienten vor den Vektoren $\overline(i)$, $\overline(j)$ und $\overline(k)$ in Erweiterung (1) werden als Koordinaten dieses Vektors im von uns gegebenen Koordinatensystem bezeichnet , das ist

$\overline(δ)=(m,n,l)$

Lineare Operationen an Vektoren

Satz 2

Summensatz: Die Koordinaten der Summe einer beliebigen Anzahl von Vektoren werden durch die Summe ihrer entsprechenden Koordinaten bestimmt.

Nachweisen.

Wir werden diesen Satz für 2 Vektoren beweisen. Für 3 oder mehr Vektoren erfolgt der Beweis auf ähnliche Weise. Sei $\overline(α)=(α_1,α_2,α_3)$, $\overline(β)=(β_1,β_2 ,β_3)$.

Diese Vektoren können wie folgt geschrieben werden

$\overline(α)=α_1\overline(i)+ α_2\overline(j)+α_3\overline(k)$, $\overline(β)=β_1\overline(i)+ β_2\overline(j)+ β_3\overline(k)$

Wenn ein bestimmter Punkt A auf der Koordinatenebene angegeben ist und dessen Koordinaten bestimmt werden müssen, geschieht dies wie folgt. Durch Punkt A werden zwei Geraden gezogen: eine parallel zur y-Achse, die andere - x. Eine zur y-Achse parallele Gerade schneidet die x-Achse (x-Achse). Der Schnittpunkt der Achse und der Geraden ist die x-Koordinate von Punkt A. Eine Linie parallel zur x-Achse schneidet die y-Achse. Der Schnittpunkt der Achse und der Linie ist die y-Koordinate von Punkt A. Wenn beispielsweise eine Linie parallel zu y die x-Achse am Punkt –5 schneidet und eine Linie parallel zu x die y-Achse am Punkt 2.3 schneidet, dann werden die Koordinaten von Punkt A wie folgt geschrieben: A (–5; 2.3) .

Das umgekehrte Problem, bei dem Sie einen Punkt an bestimmten Koordinaten zeichnen müssen, wird auf ähnliche Weise gelöst. Durch Punkte, deren Werte den angegebenen Koordinaten entsprechen, werden Linien auf der x- und y-Achse parallel zueinander gezeichnet: durch die x-Koordinate – eine gerade Linie parallel zu y, durch die y-Koordinate – eine gerade Linie parallel zu X. Der Schnittpunkt dieser Linien ist der gewünschte Punkt mit den angegebenen Koordinaten. Wenn Sie beispielsweise Punkt B (–1,5; –3) angeben, müssen Sie ihn auf der Koordinatenebene darstellen. Zeichnen Sie dazu durch den Punkt (–1,5; 0), der auf der x-Achse liegt, eine Gerade parallel zur y-Achse. Durch den Punkt (0; –3) wird eine Gerade parallel zur x-Achse gezogen. Wo sich diese Linien schneiden, liegt Punkt B (–1,5; –3).