Der absolute Berechnungsfehler ergibt sich aus der Formel:

Das Modulzeichen zeigt, dass es uns egal ist, welcher Wert größer und welcher kleiner ist. Wichtig, wie weit das ungefähre Ergebnis weicht in der einen oder anderen Richtung vom genauen Wert ab.

Der relative Berechnungsfehler wird durch die Formel ermittelt:
, oder dasselbe:

Der relative Fehler wird angezeigt um wie viel Prozent das ungefähre Ergebnis weicht vom genauen Wert ab. Es gibt eine Version der Formel ohne Multiplikation mit 100 %, aber in der Praxis sehe ich fast immer die obige Version mit Prozentsätzen.

Kehren wir nach einer kurzen Referenz zu unserem Problem zurück, bei dem wir den Näherungswert der Funktion berechnet haben mit einem Differenzial.

Berechnen wir den genauen Wert der Funktion mit einem Mikrorechner:
Genau genommen ist der Wert immer noch ungefähr, wir werden ihn jedoch als korrekt betrachten. Solche Probleme kommen vor.

Berechnen wir den absoluten Fehler:

Berechnen wir den relativen Fehler:
, Tausendstel Prozent wurden erhalten, sodass das Differential nur eine hervorragende Näherung darstellte.

Antwort: , absoluter Rechenfehler, relativer Rechenfehler

Das folgende Beispiel für eine unabhängige Lösung:

Beispiel 4

am Punkt . Berechnen Sie einen genaueren Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt und schätzen Sie den absoluten und relativen Fehler der Berechnungen.

Ein ungefähres Beispiel des endgültigen Entwurfs und die Antwort am Ende der Lektion.

Vielen ist aufgefallen, dass in allen betrachteten Beispielen Wurzeln auftauchen. Dies ist kein Zufall, denn in den meisten Fällen bietet das betrachtete Problem tatsächlich Funktionen mit Wurzeln.

Aber für leidende Leser habe ich ein kleines Beispiel mit Arkussinus ausgegraben:

Beispiel 5

Berechnen Sie ungefähr den Wert einer Funktion mithilfe eines Differentials am Punkt

Dieses kurze, aber informative Beispiel können Sie auch selbst lösen. Und ich habe mich ein wenig ausgeruht, um mit neuem Elan die besondere Aufgabe in Angriff nehmen zu können:

Beispiel 6

Rechnen Sie näherungsweise mittels Differenzial, runden Sie das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen.

Lösung: Was ist neu an der Aufgabe? Die Bedingung erfordert, dass das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen gerundet wird. Aber das ist nicht der Punkt; ich denke, das Schulrundungsproblem ist für Sie nicht schwierig. Tatsache ist, dass uns ein Tangens mit einem Argument gegeben wird, das in Grad ausgedrückt wird. Was sollten Sie tun, wenn Sie aufgefordert werden, eine trigonometrische Funktion mit Graden zu lösen? Zum Beispiel , usw.

Der Lösungsalgorithmus ist grundsätzlich derselbe, das heißt, es ist wie in den vorherigen Beispielen erforderlich, die Formel anzuwenden

Schreiben wir eine offensichtliche Funktion

Der Wert muss im Formular dargestellt werden. Werde ernsthafte Hilfe leisten Wertetabelle trigonometrischer Funktionen . Für diejenigen, die es noch nicht ausgedruckt haben, empfehle ich übrigens, dies zu tun, da man dort während des gesamten Studiums der höheren Mathematik nachschauen muss.

Bei der Analyse der Tabelle bemerken wir einen „guten“ Tangentenwert, der nahe bei 47 Grad liegt:

Auf diese Weise:

Nach vorläufiger Analyse Grad müssen in Bogenmaß umgerechnet werden. Ja, und nur so!

In diesem Beispiel direkt von trigonometrische Tabelle Sie können herausfinden, was. Verwendung der Formel zur Umrechnung von Grad in Bogenmaß: (Formeln finden Sie in derselben Tabelle).

Was folgt, ist formelhaft:

Auf diese Weise: (Wir verwenden den Wert für Berechnungen). Das Ergebnis wird, je nach Bedingung, auf zwei Dezimalstellen gerundet.

Antwort:

Beispiel 7

Rechnen Sie näherungsweise mit einem Differenzial, runden Sie das Ergebnis auf drei Dezimalstellen.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Komplette Lösung und die Antwort am Ende der Lektion.

Wie Sie sehen, gibt es nichts Kompliziertes, wir rechnen Grad in Bogenmaß um und halten uns an den üblichen Lösungsalgorithmus.

Näherungsberechnungen unter Verwendung des Gesamtdifferentials einer Funktion zweier Variablen

Alles wird sehr, sehr ähnlich sein. Wenn Sie also speziell für diese Aufgabe auf diese Seite gekommen sind, empfehle ich Ihnen, sich zunächst zumindest ein paar Beispiele des vorherigen Absatzes anzusehen.

Um einen Absatz zu studieren, muss man ihn finden können Partielle Ableitungen zweiter Ordnung , wo wären wir ohne sie? In der obigen Lektion habe ich eine Funktion zweier Variablen mit dem Buchstaben bezeichnet. In Bezug auf die betrachtete Aufgabe ist es bequemer, die äquivalente Notation zu verwenden.

Wie im Fall einer Funktion einer Variablen kann der Zustand des Problems auf unterschiedliche Weise formuliert werden, und ich werde versuchen, alle angetroffenen Formulierungen zu berücksichtigen.

Beispiel 8

Lösung: Unabhängig davon, wie die Bedingung geschrieben ist, ist es in der Lösung selbst zur Bezeichnung der Funktion, ich wiederhole, besser, nicht den Buchstaben „zet“ zu verwenden, sondern .

Und hier ist die Arbeitsformel:

Was wir vor uns haben, ist eigentlich die ältere Schwester der Formel des vorherigen Absatzes. Die Variable hat nur zugenommen. Was soll ich selbst sagen Der Lösungsalgorithmus wird grundsätzlich derselbe sein!

Je nach Bedingung ist es erforderlich, den Näherungswert der Funktion an dem Punkt zu ermitteln.

Stellen wir uns die Zahl 3,04 als vor. Das Brötchen selbst möchte gegessen werden:
,

Stellen wir uns die Zahl 3,95 als vor. Die zweite Hälfte von Kolobok ist an der Reihe:
,

Und schauen Sie sich nicht alle Tricks des Fuchses an, es gibt einen Kolobok – den müssen Sie essen.

Berechnen wir den Wert der Funktion an der Stelle:

Wir ermitteln das Differential einer Funktion an einem Punkt mit der Formel:

Aus der Formel folgt, was wir finden müssen partielle Ableitungen erste Ordnung und berechnen Sie ihre Werte am Punkt .

Berechnen wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung an der Stelle:

Gesamtdifferenz zum Zeitpunkt:

Somit ist nach der Formel der Näherungswert der Funktion an der Stelle:

Berechnen wir den genauen Wert der Funktion an der Stelle:

Dieser Wert ist absolut korrekt.

Fehler werden anhand von Standardformeln berechnet, die bereits in diesem Artikel besprochen wurden.

Absoluter Fehler:

Relativer Fehler:

Antwort: , absoluter Fehler: , relativer Fehler:

Beispiel 9

Berechnen Sie den Näherungswert einer Funktion Schätzen Sie an einem Punkt mithilfe eines Gesamtdifferentials den absoluten und relativen Fehler.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Wer sich dieses Beispiel genauer anschaut, wird feststellen, dass die Rechenfehler sehr, sehr auffällig ausgefallen sind. Dies geschah aus folgendem Grund: Im vorgeschlagenen Problem sind die Argumentzuwächse ziemlich groß: .

Das allgemeine Muster ist folgendes a - je größer diese Inkremente sind Absolutwert, desto geringer ist die Genauigkeit der Berechnungen. So werden beispielsweise für einen ähnlichen Punkt die Inkremente klein sein: und die Genauigkeit der Näherungsberechnungen wird sehr hoch sein.

Diese Funktion gilt auch für den Fall einer Funktion einer Variablen (erster Teil der Lektion).

Beispiel 10

Lösung: Berechnen wir diesen Ausdruck näherungsweise anhand des Gesamtdifferentials einer Funktion zweier Variablen:

Der Unterschied zu den Beispielen 8–9 besteht darin, dass wir zunächst eine Funktion aus zwei Variablen konstruieren müssen: . Ich denke, jeder versteht intuitiv, wie die Funktion aufgebaut ist.

Der Wert 4,9973 liegt nahe bei „fünf“, daher: , .
Der Wert 0,9919 liegt nahe bei „eins“, daher gehen wir davon aus: , .

Berechnen wir den Wert der Funktion an der Stelle:

Wir ermitteln das Differential an einem Punkt mit der Formel:

Dazu berechnen wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung an der Stelle.

Die Ableitungen hier sind nicht die einfachsten, und Sie sollten vorsichtig sein:

;

.

Gesamtdifferenz zum Zeitpunkt:

Somit ist der ungefähre Wert dieses Ausdrucks:

Berechnen wir mit einem Mikrorechner einen genaueren Wert: 2,998899527

Finden wir den relativen Berechnungsfehler:

Antwort: ,

Nur zur Veranschaulichung des oben Gesagten: Bei dem betrachteten Problem sind die Argumentzuwächse sehr klein und der Fehler erwies sich als fantastisch winzig.

Beispiel 11

Berechnen Sie anhand des vollständigen Differentials einer Funktion zweier Variablen ungefähr den Wert dieses Ausdrucks. Berechnen Sie denselben Ausdruck mit einem Mikrorechner. Schätzen Sie den relativen Berechnungsfehler in Prozent.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Ein ungefähres Muster des endgültigen Entwurfs am Ende der Lektion.

Wie bereits erwähnt, ist der häufigste Gast bei dieser Art von Aufgabe eine Art Wurzel. Aber von Zeit zu Zeit gibt es auch andere Funktionen. Und ein letztes einfaches Beispiel zur Entspannung:

Beispiel 12

Berechnen Sie anhand des Gesamtdifferentials einer Funktion zweier Variablen ungefähr den Wert der Funktion if

Die Lösung befindet sich weiter unten auf der Seite. Achten Sie noch einmal auf die Formulierung der Unterrichtsaufgaben verschiedene Beispiele In der Praxis können die Formulierungen unterschiedlich sein, was jedoch nichts Grundsätzliches am Wesen und am Algorithmus der Lösung ändert.

Ehrlich gesagt war ich etwas müde, weil der Stoff etwas langweilig war. Es war nicht pädagogisch, dies am Anfang des Artikels zu sagen, aber jetzt ist es bereits möglich =) Tatsächlich sind Probleme in der Computermathematik normalerweise nicht sehr komplex, nicht sehr interessant, das Wichtigste ist vielleicht, keinen Fehler zu machen in gewöhnlichen Berechnungen.

Mögen die Tasten Ihres Rechners nicht gelöscht werden!

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2:

Lösung: Wir verwenden die Formel:
In diesem Fall: , ,

Auf diese Weise:

Antwort:

Beispiel 4:

Lösung: Wir verwenden die Formel:
In diesem Fall: , ,

Auf diese Weise:

Berechnen wir einen genaueren Wert der Funktion mit einem Mikrorechner:

Absoluter Fehler:

Relativer Fehler:

Antwort: , absoluter Rechenfehler, relativer Rechenfehler

Beispiel 5:

Lösung: Wir verwenden die Formel:

In diesem Fall: , ,

Auf diese Weise:

Antwort:

Beispiel 7:

Lösung: Wir verwenden die Formel:
In diesem Fall: , ,

Wahre Bedeutung physikalische Größe Es ist fast unmöglich, absolut genau zu bestimmen, weil Jeder Messvorgang ist mit einer Reihe von Fehlern bzw. Ungenauigkeiten verbunden. Die Gründe für Fehler können sehr unterschiedlich sein. Ihr Auftreten kann mit Ungenauigkeiten bei der Herstellung und Einstellung des Messgeräts aufgrund der physikalischen Eigenschaften des untersuchten Objekts verbunden sein (zum Beispiel hängt das Ergebnis bei der Messung des Durchmessers eines Drahtes mit ungleichmäßiger Dicke zufällig davon ab Wahl des Messortes), zufällige Gründe usw.

Die Aufgabe des Experimentators besteht darin, seinen Einfluss auf das Ergebnis zu verringern und außerdem anzugeben, wie nahe das erhaltene Ergebnis am wahren Ergebnis liegt.

Es gibt Konzepte des absoluten und relativen Fehlers.

Unter Absoluter Fehler Messungen werden den Unterschied zwischen dem Messergebnis und dem wahren Wert der gemessenen Größe verstehen:

∆x i =x i -x und (2)

wobei ∆x i der absolute Fehler der i-ten Messung ist, x i _ das Ergebnis der i-ten Messung ist, x der wahre Wert des Messwerts ist.

Das Ergebnis einer physikalischen Messung wird normalerweise in der Form geschrieben:

Dabei ist der arithmetische Mittelwert des gemessenen Werts, der dem wahren Wert am nächsten kommt (die Gültigkeit von x und ≈ wird unten gezeigt), der absolute Messfehler.

Gleichung (3) ist so zu verstehen, dass der wahre Wert der Messgröße im Intervall [ - , + ] liegt.

Der absolute Fehler ist eine Dimensionsgröße; er hat die gleiche Dimension wie die gemessene Größe.

Der absolute Fehler charakterisiert die Genauigkeit der durchgeführten Messungen nicht vollständig. Tatsächlich ist die Genauigkeit der Messungen unvergleichlich, wenn wir Segmente mit einer Länge von 1 m und 5 mm mit dem gleichen absoluten Fehler von ± 1 mm messen. Daher wird neben dem absoluten Messfehler auch der relative Fehler berechnet.

Relativer Fehler Messungen nennt man Verhältnis Absoluter Fehler zum am meisten gemessenen Wert:

Der relative Fehler ist eine dimensionslose Größe. Es wird in Prozent ausgedrückt:

Im obigen Beispiel betragen die relativen Fehler 0,1 % und 20 %. Sie unterscheiden sich deutlich voneinander, obwohl die absoluten Werte gleich sind. Der relative Fehler gibt Aufschluss über die Genauigkeit

Messfehler

Je nach Art der Erscheinung und den Gründen für das Auftreten von Fehlern können diese in folgende Klassen eingeteilt werden: instrumentelle, systematische, zufällige und Fehler (grobe Fehler).

Fehler sind entweder auf eine Fehlfunktion des Gerätes oder einen Verstoß gegen die Methodik oder Versuchsbedingungen zurückzuführen oder sind subjektiver Natur. In der Praxis werden sie als Ergebnisse definiert, die sich stark von anderen unterscheiden. Um ihr Auftreten zu verhindern, ist beim Umgang mit Geräten Vorsicht und Gründlichkeit erforderlich. Fehlerhafte Ergebnisse müssen von der Berücksichtigung ausgeschlossen (verworfen) werden.

Gerätefehler. Wenn das Messgerät funktionstüchtig und justiert ist, können damit Messungen mit eingeschränkter Genauigkeit, abhängig vom Gerätetyp, durchgeführt werden. Es ist üblich, dass der Instrumentenfehler eines Zeigerinstruments gleich der Hälfte der kleinsten Teilung seiner Skala ist. Bei Instrumenten mit digitaler Anzeige entspricht der Instrumentenfehler dem Wert einer kleinsten Ziffer der Instrumentenskala.

Systematische Fehler sind Fehler, deren Größe und Vorzeichen für die gesamte Messreihe, die mit derselben Methode und denselben Messgeräten durchgeführt wird, konstant sind.

Bei der Durchführung von Messungen ist es wichtig, nicht nur systematische Fehler zu berücksichtigen, sondern auch deren Beseitigung sicherzustellen.

Systematische Fehler werden herkömmlicherweise in vier Gruppen eingeteilt:

1) Fehler, deren Art bekannt ist und deren Größe ziemlich genau bestimmt werden kann. Ein solcher Fehler ist beispielsweise eine Änderung der gemessenen Masse in der Luft, die von Temperatur, Luftfeuchtigkeit, Luftdruck usw. abhängt;

2) Fehler, deren Art bekannt ist, deren Ausmaß jedoch unbekannt ist. Zu diesen Fehlern gehören Fehler, die durch das Messgerät verursacht werden: eine Fehlfunktion des Geräts selbst, eine Skala, die nicht dem Nullwert entspricht, oder die Genauigkeitsklasse des Geräts;

3) Fehler, deren Existenz möglicherweise nicht vermutet wird, deren Ausmaß jedoch oft erheblich sein kann. Solche Fehler treten am häufigsten bei komplexen Messungen auf. Ein einfaches Beispiel Ein solcher Fehler ist die Messung der Dichte einer Probe, die einen Hohlraum enthält.

4) Fehler, die durch die Eigenschaften des Messobjekts selbst verursacht werden. Um beispielsweise die elektrische Leitfähigkeit eines Metalls zu messen, wird diesem ein Stück Draht entnommen. Fehler können auftreten, wenn das Material einen Defekt aufweist – einen Riss, eine Verdickung des Drahtes oder eine Inhomogenität, die seinen Widerstand verändert.

Zufällige Fehler sind Fehler, die sich unter identischen Bedingungen wiederholter Messungen derselben Größe zufällig in Vorzeichen und Größe ändern.

Verwandte Informationen.

Zur Beurteilung der Ungenauigkeit hochkomplexer Berechnungen werden absolute und relative Fehler herangezogen. Sie werden auch verwendet in verschiedene Dimensionen und zum Runden von Berechnungsergebnissen. Schauen wir uns an, wie man den absoluten und relativen Fehler bestimmt.

Absoluter Fehler

Absoluter Fehler der Zahl Nennen Sie die Differenz zwischen dieser Zahl und ihrem genauen Wert.
Schauen wir uns ein Beispiel an : Die Schule hat 374 Schüler. Wenn wir diese Zahl auf 400 runden, beträgt der absolute Messfehler 400-374=26.

Um den absoluten Fehler zu berechnen, müssen Sie die kleinere Zahl von der größeren Zahl subtrahieren.

Es gibt eine Formel für den absoluten Fehler. Bezeichnen wir die genaue Zahl mit dem Buchstaben A, und der Buchstabe a ist die Annäherung an die genaue Zahl. Eine ungefähre Zahl ist eine Zahl, die geringfügig von der genauen Zahl abweicht und diese in Berechnungen normalerweise ersetzt. Dann sieht die Formel so aus:

Δa=A-a. Wir haben oben besprochen, wie man den absoluten Fehler mithilfe der Formel ermittelt.

In der Praxis reicht der absolute Fehler nicht aus, um eine Messung genau auszuwerten. Es ist selten möglich, den genauen Wert der gemessenen Größe zu kennen, um den absoluten Fehler zu berechnen. Wenn man ein 20 cm langes Buch misst und einen Fehler von 1 cm zulässt, kann man davon ausgehen, dass die Messung einen großen Fehler aufweist. Wenn jedoch bei der Messung einer Wand von 20 Metern ein Fehler von 1 cm gemacht wurde, kann diese Messung als möglichst genau angesehen werden. Daher in der Praxis mehr wichtig hat eine Definition des relativen Messfehlers.

Notieren Sie den absoluten Fehler der Zahl mit dem ±-Zeichen. Zum Beispiel Die Länge einer Tapetenrolle beträgt 30 m ± 3 cm. Die absolute Fehlergrenze wird als maximaler absoluter Fehler bezeichnet.

Relativer Fehler

Relativer Fehler Sie nennen das Verhältnis des absoluten Fehlers einer Zahl zur Zahl selbst. Um den relativen Fehler im Beispiel mit Schülern zu berechnen, teilen wir 26 durch 374. Wir erhalten die Zahl 0,0695, wandeln sie in einen Prozentsatz um und erhalten 6 %. Der relative Fehler wird als Prozentsatz angegeben, da es sich um eine dimensionslose Größe handelt. Der relative Fehler ist eine genaue Schätzung des Messfehlers. Wenn wir bei der Messung der Länge von Segmenten von 10 cm und 10 m einen absoluten Fehler von 1 cm annehmen, betragen die relativen Fehler 10 % bzw. 0,1 %. Bei einem 10 cm langen Segment ist ein Fehler von 1 cm sehr groß, das entspricht einem Fehler von 10 %. Aber bei einem Zehn-Meter-Abschnitt spielt 1 cm keine Rolle, sondern nur 0,1 %.

Es gibt systematische und zufällige Fehler. Systematisch ist der Fehler, der bei wiederholten Messungen unverändert bleibt. Zufällige Fehler entstehen durch den Einfluss externer Faktoren auf den Messprozess und können seinen Wert verändern.

Regeln zur Berechnung von Fehlern

Für die nominale Fehlerschätzung gibt es mehrere Regeln:

• Beim Addieren und Subtrahieren von Zahlen müssen deren absolute Fehler addiert werden.
• beim Dividieren und Multiplizieren von Zahlen müssen relative Fehler addiert werden;
• Bei der Potenzierung wird der relative Fehler mit dem Exponenten multipliziert.

Ungefähre und genaue Zahlen werden mit geschrieben Dezimalstellen. Es wird nur der Durchschnittswert genommen, da der genaue Wert unendlich lang sein kann. Um zu verstehen, wie man diese Zahlen schreibt, müssen Sie etwas über wahre und zweifelhafte Zahlen lernen.

Wahre Zahlen sind diejenigen Zahlen, deren Rang den absoluten Fehler der Zahl übersteigt. Ist die Ziffer einer Zahl kleiner als der absolute Fehler, spricht man von zweifelhaft. Zum Beispiel , für den Bruch 3,6714 mit einem Fehler von 0,002 sind die richtigen Zahlen 3,6,7 und die zweifelhaften 1 und 4. Bei der Aufzeichnung der ungefähren Zahl bleiben nur die richtigen Zahlen übrig. Der Bruch sieht in diesem Fall so aus: 3,67.

Was haben wir gelernt?

Zur Beurteilung der Genauigkeit von Messungen werden absolute und relative Fehler herangezogen. Der absolute Fehler ist die Differenz zwischen einer exakten und einer ungefähren Zahl. Der relative Fehler ist das Verhältnis des absoluten Fehlers einer Zahl zur Zahl selbst. In der Praxis wird der relative Fehler verwendet, da dieser genauer ist.

Für direkte Messungen

1. Lassen Sie zwei Spannungen einmal mit einem Voltmeter messen U 1 = 10 V, U 2 = 200 V. Das Voltmeter hat folgende Eigenschaften: Genauigkeitsklasse d, Klasse t = 0,2, U max = 300 V.

Lassen Sie uns die absoluten und relativen Fehler dieser Messungen bestimmen.

Da beide Messungen am selben Gerät durchgeführt wurden, ist D U 1 = D U 2 und werden nach Formel (B.4) berechnet

Laut Definition relative Fehler U 1 und U 2 sind jeweils gleich

ε 1 = 0,6 ∙ V / 10 V = 0,06 = 6 %,

ε 2 = 0,6 ∙ V / 200 V = 0,003 = 0,3 %.

Aus den angegebenen Ergebnissen der Berechnungen ε 1 und ε 2 geht hervor, dass ε 1 deutlich größer als ε 2 ist.

Daraus ergibt sich die Regel: Man sollte ein Gerät mit einer solchen Messgrenze wählen, dass die Messwerte im letzten Drittel der Skala liegen.

2. Eine bestimmte Menge soll viele Male gemessen, also produziert werden N Einzelmessungen dieser Größe Ein x 1 , A x 2 ,...,Ein x 3 .

Um den absoluten Fehler zu berechnen, werden dann die folgenden Operationen durchgeführt:

1) Bestimmen Sie mit der Formel (B.5) den arithmetischen Mittelwert A 0 Messwert;

2) Berechnen Sie die Summe der quadratischen Abweichungen einzelner Messungen vom gefundenen arithmetischen Mittel und ermitteln Sie mit Formel (B.6) den quadratischen Mittelwertfehler, der den absoluten Fehler einer einzelnen Messung bei mehreren direkten Messungen eines bestimmten Werts charakterisiert ;

3) Der relative Fehler ε wird nach Formel (B.2) berechnet.

Berechnung des absoluten und relativen Fehlers

Mit indirekter Messung

Die Berechnung von Fehlern bei indirekten Messungen ist eine schwierigere Aufgabe, da in diesem Fall der gewünschte Wert eine Funktion anderer Hilfsgrößen ist, deren Messung mit dem Auftreten von Fehlern einhergeht. Normalerweise fallen bei Messungen, abgesehen von Fehlern, zufällige Fehler im Vergleich zum Messwert sehr gering aus. Sie sind so klein, dass die zweite oder mehr hohe Abschlüsse Fehler liegen außerhalb der Messgenauigkeit und können vernachlässigt werden. Aufgrund der Kleinheit der Fehler erhält man die Fehlerformel
Zur Messung einer indirekt gemessenen Größe werden Methoden der Differentialrechnung eingesetzt. Bei der indirekten Messung einer Größe, wenn Größen, die mit einer gewünschten mathematischen Beziehung verknüpft sind, direkt gemessen werden, ist es praktischer, zuerst den relativen Fehler zu bestimmen und dann
Berechnen Sie anhand des gefundenen relativen Fehlers den absoluten Messfehler.

Die Differentialrechnung bietet die einfachste Möglichkeit, den relativen Fehler bei der indirekten Messung zu bestimmen.

Geben Sie die benötigte Menge ein A ist durch eine funktionale Abhängigkeit mit mehreren unabhängigen direkt messbaren Größen verbunden X 1 ,
X 2 , ..., x k, d.h.

A= F(X 1 , X 2 , ..., x k).

Zur Bestimmung des relativen Fehlers des Werts A Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus beider Seiten der Gleichheit

ln A= Protokoll F(X 1 , X 2 , ..., x k).

Dann wird die Differenz berechnet natürlicher Logarithmus Funktionen
A= F(X 1 ,X 2 , ..., x k),

dln A=dln F(X 1 , X 2 , ..., x k)

Im resultierenden Ausdruck werden alle möglichen algebraischen Transformationen und Vereinfachungen durchgeführt. Danach werden alle Differentialsymbole d durch Fehlersymbole D ersetzt und die negativen Vorzeichen vor den Differentialen der unabhängigen Variablen durch positive ersetzt, d. h. es wird der ungünstigste Fall angenommen, wenn alle Fehler aufsummiert werden. In diesem Fall wird der maximale Fehler des Ergebnisses berechnet.

Nachdem das gesagt worden ist

aber ε = D A / A

Dieser Ausdruck ist die Formel für den relativen Fehler der Menge A Bei indirekten Messungen bestimmt es den relativen Fehler des gewünschten Werts anhand der relativen Fehler der Messwerte. Nachdem Sie den relativen Fehler mithilfe der Formel (B.11) berechnet haben,
Bestimmen Sie den absoluten Fehler des Wertes A als Produkt aus dem relativen Fehler und dem berechneten Wert A d.h.

D A = ε A, (UM 12)

wobei ε als dimensionslose Zahl ausgedrückt wird.

Daher sollten die relativen und absoluten Fehler der indirekt gemessenen Größe in der folgenden Reihenfolge berechnet werden:

1) Nehmen Sie eine Formel, nach der der gewünschte Wert berechnet wird (Berechnungsformel);

2) Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus beider Seiten der Berechnungsformel;

3) das Gesamtdifferential des natürlichen Logarithmus der gewünschten Menge wird berechnet;

4) alle möglichen algebraischen Transformationen und Vereinfachungen werden im resultierenden Ausdruck durchgeführt;

5) Das Symbol der Differentiale d wird durch das Symbol des Fehlers D ersetzt, während alle negativen Vorzeichen vor den Differentialen unabhängiger Variablen durch positive ersetzt werden (der Wert des relativen Fehlers wird maximal sein) und die Formel für den relativen Fehler lautet erhalten;

6) der relative Fehler des Messwerts wird berechnet;

7) Basierend auf dem berechneten relativen Fehler wird der absolute Fehler berechnet indirekte Messung nach Formel (B.12).

Schauen wir uns einige Beispiele für die Berechnung relativer und absoluter Fehler bei indirekten Messungen an.

1. Benötigte Menge A bezogen auf direkt messbare Größen X, bei, z Verhältnis

Wo A Und B– konstante Werte.

2. Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus des Ausdrucks (B.13)

3. Berechnen Sie das Gesamtdifferential des natürlichen Logarithmus der gewünschten Größe A, das heißt, wir differenzieren (B.13)

4. Wir machen Transformationen. In Anbetracht dessen, dass d A= 0, da A= const,cos bei/Sünde j=ctg j, wir bekommen:

5. Ersetzen Sie die Differentialsymbole durch Fehlersymbole und das Minuszeichen vor dem Differential durch ein Pluszeichen.

6. Wir berechnen den relativen Fehler des Messwerts.

7. Basierend auf dem berechneten relativen Fehler wird der absolute Fehler der indirekten Messung gemäß Formel (B.12) berechnet, d. h.

Die Wellenlänge wird bestimmt gelbe Farbe Spektrallinie von Quecksilber unter Verwendung Beugungsgitter(unter Verwendung der akzeptierten Reihenfolge zur Berechnung der relativen und absoluten Fehler für die gelbe Wellenlänge).

1. Die Wellenlänge der gelben Farbe wird in diesem Fall durch die Formel bestimmt:

Wo MIT– Konstante des Beugungsgitters (indirekt gemessener Wert); φ w – Beugungswinkel der gelben Linie in in dieser Reihenfolge Spektrum (direkt gemessene Größe); K g – Reihenfolge des Spektrums, in dem die Beobachtung gemacht wurde.

Die Beugungsgitterkonstante wird nach der Formel berechnet

Wo K h – Ordnung des Spektrums der grünen Linie; λ з – bekannte Wellenlänge der grünen Farbe (λ з – Konstante); φз – Beugungswinkel der grünen Linie in einer bestimmten Spektralordnung (direkt gemessener Wert).

Dann unter Berücksichtigung des Ausdrucks (B.15)

(B.16)

Wo K H, K g – Observable, die als konstant gelten; φ h, φ w – sind
direkt messbare Größen.

Ausdruck (B.16) ist die Berechnungsformel für die gelbe Wellenlänge, die mit einem Beugungsgitter bestimmt wird.

4. d K z = 0; D K w = 0; dλ з = 0, da K H, K g und λ h – konstante Werte;

Dann

5. (B.17)

wobei Dφ w, Dφ h – absolute Fehler bei der Messung des Beugungswinkels von Gelb
und grüne Linien des Spektrums.

6. Berechnen Sie den relativen Fehler der gelben Wellenlänge.

7. Berechnen Sie den absoluten Fehler der gelben Wellenlänge:

Dλ f = ελ f.

Abschätzung von Fehlern der Messergebnisse

Messfehler und ihre Arten

Alle Messungen werden immer mit einigen Fehlern durchgeführt, die mit der begrenzten Genauigkeit von Messgeräten, der falschen Wahl und dem Fehler der Messmethode, der Physiologie des Experimentators, den Eigenschaften der zu messenden Objekte, Änderungen der Messbedingungen usw. zusammenhängen. Daher gilt: Zur Messaufgabe gehört es, nicht nur den Wert selbst zu ermitteln, sondern auch den Messfehler, also das Intervall, in dem der wahre Wert der Messgröße am wahrscheinlichsten liegt. Wenn wir beispielsweise einen Zeitraum t mit einer Stoppuhr mit einem Teilungswert von 0,2 s messen, können wir sagen, dass sein wahrer Wert im Intervall von https://pandia.ru/text/77/496/images/image002_131 liegt .gif" width="85 " height="23 src=">с..gif" width="16" height="17 src="> und X sind die wahren und gemessenen Werte der untersuchten Größe, jeweils. Die Menge wird aufgerufen Absoluter Fehler(Fehler) der Messung und der Ausdruck , welches die Messgenauigkeit charakterisiert, heißt relativer Fehler.

Es ist ganz natürlich, dass der Experimentator jede Messung mit der größtmöglichen Genauigkeit durchführen möchte, aber ein solcher Ansatz ist nicht immer ratsam. Je genauer wir diese oder jene Größe messen wollen, je komplexer die Instrumente sind, die wir verwenden müssen, desto mehr Zeit werden diese Messungen erfordern. Daher muss die Genauigkeit des Endergebnisses dem Zweck des Experiments entsprechen. Die Fehlertheorie gibt Empfehlungen, wie Messungen durchgeführt und die Ergebnisse so verarbeitet werden sollten, dass der Fehler minimal ist.

Alle bei Messungen auftretenden Fehler werden normalerweise in drei Arten unterteilt: systematische, zufällige und fehlerhafte oder grobe Fehler.

Systematische Fehler werden durch die begrenzte Herstellungsgenauigkeit von Geräten (Gerätefehler), Mängel der gewählten Messmethode, Ungenauigkeit der Berechnungsformel, falsche Installation des Geräts usw. verursacht. Systematische Fehler werden also durch Faktoren verursacht, die bei der Messung gleich wirken Dieselben Messungen werden viele Male wiederholt. Das Ausmaß dieses Fehlers wiederholt sich systematisch oder ändert sich nach einem bestimmten Gesetz. Einige systematische Fehler lassen sich beseitigen (in der Praxis ist dies immer leicht zu erreichen), indem man die Messmethode ändert, Korrekturen an den Instrumentenanzeigen vornimmt und den ständigen Einfluss externer Faktoren berücksichtigt.

Obwohl der systematische (instrumentelle) Fehler bei wiederholten Messungen zu einer Abweichung des Messwerts führt wahre Bedeutung In eine Richtung, wir wissen nie in welche Richtung. Daher wird der Gerätefehler mit einem Doppelzeichen geschrieben

Zufällige Fehler werden durch eine Vielzahl zufälliger Ursachen (Temperatur-, Druckänderungen, Gebäudeerschütterungen usw.) verursacht, deren Auswirkungen auf jede Messung unterschiedlich sind und nicht im Voraus berücksichtigt werden können. Zufällige Fehler treten auch aufgrund der Unvollkommenheit der Sinne des Experimentators auf. Zu den zufälligen Fehlern zählen auch Fehler, die durch die Eigenschaften des Messobjekts verursacht werden.

Zufällige Fehler bei Einzelmessungen lassen sich nicht ausschließen, der Einfluss dieser Fehler auf das Endergebnis lässt sich jedoch durch die Durchführung mehrerer Messungen reduzieren. Wenn sich herausstellt, dass der zufällige Fehler deutlich geringer ist als der instrumentelle (systematische) Fehler, macht es keinen Sinn, den Wert weiter zu reduzieren zufälliger Fehler durch Erhöhung der Anzahl der Messungen. Wenn der Zufallsfehler größer als der Instrumentenfehler ist, sollte die Anzahl der Messungen erhöht werden, um den Wert des Zufallsfehlers zu verringern und ihn kleiner oder in die gleiche Größenordnung wie den Instrumentenfehler zu bringen.

Fehler oder Fehler- Hierbei handelt es sich um fehlerhafte Messwerte am Gerät, fehlerhafte Messwerterfassung etc. Fehler aus den genannten Gründen sind in der Regel deutlich erkennbar, da die entsprechenden Messwerte stark von anderen Messwerten abweichen. Fehler müssen durch Kontrollmessungen beseitigt werden. Somit wird die Breite des Intervalls, in dem die wahren Werte der gemessenen Größen liegen, nur durch zufällige und systematische Fehler bestimmt.

2. Schätzung des systematischen (Instrumenten-)Fehlers

Für direkte Messungen Der Wert der gemessenen Größe wird direkt auf der Skala des Messgeräts gezählt. Der Ablesefehler kann mehrere Zehntel einer Skalenteilung erreichen. Typischerweise wird bei solchen Messungen der systematische Fehler als gleich der halben Skalenteilung des Messgeräts angesehen. Wenn Sie beispielsweise mit einem Messschieber mit einem Teilungswert von 0,05 mm messen, wird der Wert des Instrumentenmessfehlers mit 0,025 mm angenommen.

Digital Messgeräte Geben Sie den Wert der Größen an, die sie mit einem Fehler messen. gleich dem Wert eine Einheit der letzten Ziffer auf der Instrumentenskala. Wenn ein Digitalvoltmeter also einen Wert von 20,45 mV anzeigt, beträgt der absolute Messfehler mV.

Auch bei der Verwendung konstanter, aus Tabellen ermittelter Werte entstehen systematische Fehler. In solchen Fällen wird angenommen, dass der Fehler der Hälfte der letzten signifikanten Ziffer entspricht. Wenn in der Tabelle beispielsweise der Wert der Stahldichte mit 7,9∙103 kg/m3 angegeben ist, dann ist der absolute Fehler in diesem Fall gleich https://pandia.ru/text/77/496/images/image009_52. gif" width= "123" height="24 src=">Formel wird verwendet

, (1)

wobei https://pandia.ru/text/77/496/images/image012_40.gif" width="16" height="24"> partielle Ableitungen der Funktion in Bezug auf die Variable https://pandia sind. ru/text/77 /496/images/image014_34.gif" width="65 height=44" height="44">.

Partielle Ableitungen nach Variablen D Und H wird gleich sein

https://pandia.ru/text/77/496/images/image017_27.gif" width="71" height="44 src=">.

Somit hat die Formel zur Bestimmung des absoluten systematischen Fehlers bei der Messung des Zylindervolumens gemäß folgender Form

,

wo und sind Instrumentenfehler beim Messen des Durchmessers und der Höhe des Zylinders

3. Schätzung des Zufallsfehlers.

Konfidenzintervall und Konfidenzwahrscheinlichkeit

https://pandia.ru/text/77/496/images/image016_30.gif" width="12 height=23" height="23">.gif" width="45" height="21 src="> - Verteilungsfunktion zufälliger Fehler (Fehler), die die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers charakterisiert, σ – mittlerer quadratischer Fehler.

Die Größe σ ist keine Zufallsgröße und charakterisiert den Messvorgang. Wenn sich die Messbedingungen nicht ändern, bleibt σ bestehen konstanter Wert. Das Quadrat dieser Größe heißt Messstreuung. Je geringer die Streuung, desto geringer ist die Streuung der Einzelwerte und desto höher ist die Messgenauigkeit.

Der genaue Wert des mittleren quadratischen Fehlers σ sowie der wahre Wert des Messwerts sind unbekannt. Es gibt eine sogenannte statistische Schätzung dieses Parameters, nach der der mittlere quadratische Fehler gleich dem mittleren quadratischen Fehler des arithmetischen Mittels ist. Der Wert wird durch die Formel bestimmt

, (3)

wobei https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17"> das arithmetische Mittel der erhaltenen Werte ist; N– Anzahl der Messungen.

Wie größere Zahl Messungen, desto weniger https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17 src="> und der zufällige absolute Fehler, dann wird das Messergebnis sein geschrieben in der Form https ://pandia.ru/text/77/496/images/image029_11.gif" width="45" height="19"> to , die den wahren Wert der gemessenen Größe μ enthält, heißt Konfidenzintervall. Da https://pandia.ru/text/77/496/images/image025_16.gif" width="19 height=24" height="24"> nahe bei σ liegt. Um das Konfidenzintervall und die Konfidenzwahrscheinlichkeit mit a zu ermitteln Es kommt eine kleine Anzahl von Messungen zum Einsatz, die wir im Rahmen der Laborarbeit bearbeiten Wahrscheinlichkeitsverteilung der Schüler. Dies ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung zufällige Variable, angerufen Schülerkoeffizient, gibt den Wert des Konfidenzintervalls in Bruchteilen des quadratischen Mittelfehlers des arithmetischen Mittels an.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Größe hängt nicht von σ2, sondern maßgeblich von der Anzahl der Experimente ab N. Mit zunehmender Anzahl von Experimenten N Die Student-Verteilung tendiert zur Gauß-Verteilung.

Die Verteilungsfunktion ist tabellarisch dargestellt (Tabelle 1). Der Wert des Student-Koeffizienten liegt am Schnittpunkt der Linie, die der Anzahl der Messungen entspricht N und die Spalte, die der Konfidenzwahrscheinlichkeit α entspricht

Tabelle 1.

Mithilfe der Tabellendaten können Sie:

1) Bestimmen Sie das Konfidenzintervall bei gegebener Wahrscheinlichkeit;

2) Wählen Sie ein Konfidenzintervall und bestimmen Sie die Konfidenzwahrscheinlichkeit.

Bei indirekten Messungen der mittlere quadratische Fehler des arithmetischen Mittelwerts der Funktion nach der Formel berechnet

. (5)

Die Bestimmung des Konfidenzintervalls und der Konfidenzwahrscheinlichkeit erfolgt auf die gleiche Weise wie bei direkten Messungen.

Schätzung des gesamten Messfehlers. Notieren Sie das Endergebnis.

Der Gesamtfehler des Messergebnisses des Wertes X wird als quadratischer Mittelwert der systematischen und zufälligen Fehler ermittelt

, (6)

Wo δх – Gerätefehler, Δ X- zufälliger Fehler.

X kann entweder eine direkt oder indirekt gemessene Größe sein.

, α=…, E=… (7)

Es ist zu beachten, dass die Formeln der Fehlertheorie selbst gültig sind große Zahl Messungen. Daher wird der Wert des Zufalls und damit der Gesamtfehler als klein bestimmt N mit einem großen Fehler. Bei der Berechnung von Δ X Bei der Messung der Anzahl der Messungen wird empfohlen, eine signifikante Zahl zu begrenzen, wenn diese mehr als 3 beträgt, und zwei, wenn die erste Zahl beträgt Signifikante Figur kleiner als 3. Wenn beispielsweise Δ X= 0,042, dann verwerfen wir 2 und schreiben Δ X=0,04 und wenn Δ X=0,123, dann schreiben wir Δ X=0,12.

Die Anzahl der Stellen des Ergebnisses und der Gesamtfehler müssen gleich sein. Daher sollte das arithmetische Mittel des Fehlers gleich sein. Daher wird zunächst das arithmetische Mittel um eine Stelle mehr als der Messwert berechnet und bei der Ergebniserfassung wird sein Wert auf die Stellenzahl des Gesamtfehlers verfeinert.

4. Methodik zur Berechnung von Messfehlern.

Fehler direkter Messungen

Bei der Verarbeitung der Ergebnisse direkter Messungen wird empfohlen, die folgende Reihenfolge einzuhalten.

Maße der angegebenen physikalischer Parameter N Mal unter den gleichen Bedingungen, und die Ergebnisse werden in einer Tabelle festgehalten. Wenn sich die Ergebnisse einiger Messungen stark von denen anderer Messungen unterscheiden, werden sie als Fehler verworfen, wenn sie nach der Überprüfung nicht bestätigt werden. Es wird das arithmetische Mittel aus n identischen Messungen berechnet. Es wird der wahrscheinlichste Wert der gemessenen Größe angenommen

Es werden die absoluten Fehler einzelner Messungen ermittelt. Die Quadrate der absoluten Fehler einzelner Messungen werden berechnet (Δ). X i)2 Es wird der quadratische Mittelfehler des arithmetischen Mittels ermittelt

.

Der Wert der Konfidenzwahrscheinlichkeit α wird festgelegt. In Werkstattlaboren ist es üblich, α=0,95 einzustellen. Der Student-Koeffizient wird für eine gegebene Konfidenzwahrscheinlichkeit α und die Anzahl der durchgeführten Messungen ermittelt (siehe Tabelle). Der Zufallsfehler wird bestimmt

Der Gesamtfehler wird ermittelt

Der relative Fehler des Messergebnisses wird abgeschätzt

.

Das Endergebnis wird in das Formular geschrieben

C α=… E=… %.

5. Fehler indirekter Messungen

Bei der Beurteilung des wahren Werts eines indirekt gemessenen Werts https://pandia.ru/text/77/496/images/image045_6.gif" width="75" height="24"> können zwei Methoden verwendet werden.

Erster Weg Wird verwendet, wenn der Wert j bestimmt bei unterschiedliche Bedingungen Erfahrung. In diesem Fall wird es für jeden der Werte berechnet , und dann wird das arithmetische Mittel aller Werte ermittelt yi

Der systematische (instrumentelle) Fehler wird anhand der bekannten instrumentellen Fehler aller Messungen mithilfe der Formel ermittelt. Der Zufallsfehler wird in diesem Fall als Fehler der direkten Messung definiert.

Zweiter Weg Gilt, wenn diese Funktion j mehrfach mit den gleichen Maßen ermittelt..gif" width="75" height="24">. In unserem Laborwerkstatt Die zweite Methode zur Bestimmung einer indirekt gemessenen Größe wird häufiger verwendet j. Der systematische (instrumentelle) Fehler wird wie bei der ersten Methode auf der Grundlage der bekannten instrumentellen Fehler aller Messungen mithilfe der Formel ermittelt

. (10)

Um den Zufallsfehler einer indirekten Messung zu ermitteln, werden zunächst die quadratischen Fehler des arithmetischen Mittels einzelner Messungen berechnet. Dann wird der mittlere quadratische Fehler des Werts ermittelt j. Festlegen der Konfidenzwahrscheinlichkeit α, Ermitteln des Student-Koeffizienten https://pandia.ru/text/77/496/images/image048_2.gif" width="83" height="23">, mit α=… E=… % .

6. Beispiel für die Gestaltung von Laborarbeiten

Laborarbeit Nr. 1

BESTIMMUNG DES ZYLINDERVOLUMEN

Zubehör: Messschieber mit einer Teilung von 0,05 mm, ein Mikrometer mit einer Teilung von 0,01 mm, ein zylindrischer Körper.

Ziel der Arbeit: Kennenlernen einfachster physikalischer Messungen, Bestimmung des Volumens eines Zylinders, Berechnung von Fehlern bei direkten und indirekten Messungen.

Messen Sie den Durchmesser des Zylinders mindestens fünfmal mit einem Messschieber und seine Höhe mit einem Mikrometer.

Berechnungsformel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders

wobei d der Durchmesser des Zylinders ist; h – Höhe.

Messergebnisse

Tabelle 2.

Messnr.
5.4. Berechnung des Gesamtfehlers Absoluter Fehler ; . 5. Relativer Fehler oder Messgenauigkeit ; E = 0,5 %. 6. Notieren Sie das Endergebnis Das Endergebnis für den untersuchten Wert wird in das Formular eingetragen Notiz. Bei der endgültigen Aufzeichnung müssen die Stellenanzahl des Ergebnisses und der absolute Fehler gleich sein. 6. Grafische Darstellung der Messergebnisse Die Ergebnisse physikalischer Messungen werden sehr häufig in grafischer Form dargestellt. Diagramme haben eine Reihe wichtiger Vorteile und wertvoller Eigenschaften: a) ermöglichen die Bestimmung der Art der funktionalen Abhängigkeit und der Grenzen, innerhalb derer sie gültig ist; b) einen klaren Vergleich der experimentellen Daten mit der theoretischen Kurve ermöglichen; c) beim Aufbau eines Graphen glätten sie Sprünge im Funktionsverlauf, die durch zufällige Fehler entstehen; d) die Bestimmung bestimmter Größen ermöglichen oder eine grafische Differentiation, Integration, Lösung von Gleichungen usw. durchführen. Grafiken werden in der Regel auf Spezialpapier (Millimeter, logarithmisch, halblogarithmisch) erstellt. Es ist üblich, auf der horizontalen Achse die unabhängige Variable, d. h. den Wert, dessen Wert der Experimentator selbst festlegt, und auf der vertikalen Achse den von ihm bestimmten Wert aufzutragen. Dabei ist zu beachten, dass der Schnittpunkt der Koordinatenachsen nicht mit den Nullwerten von x und y zusammenfallen muss. Bei der Wahl des Koordinatenursprungs sollte man sich darauf orientieren, dass die gesamte Fläche der Zeichnung voll ausgenutzt wird (Abb. 2.). Auf den Koordinatenachsen des Diagramms sind nicht nur die Namen oder Symbole von Größen angegeben, sondern auch deren Maßeinheiten. Der Maßstab entlang der Koordinatenachsen sollte so gewählt werden, dass die gemessenen Punkte über die gesamte Blattfläche liegen. In diesem Fall sollte der Maßstab einfach sein, damit Sie beim Zeichnen von Punkten in einem Diagramm keine arithmetischen Berechnungen im Kopf durchführen müssen. Experimentelle Punkte in der Grafik müssen genau und klar dargestellt werden. Es ist nützlich, Punkte, die unter unterschiedlichen Versuchsbedingungen (z. B. Erhitzen und Abkühlen) erhalten wurden, in unterschiedlichen Farben oder mit unterschiedlichen Symbolen darzustellen. Wenn der Fehler des Experiments bekannt ist, ist es besser, anstelle eines Punktes ein Kreuz oder ein Rechteck darzustellen, dessen Abmessungen entlang der Achsen diesem Fehler entsprechen. Es wird nicht empfohlen, Versuchspunkte durch eine gestrichelte Linie miteinander zu verbinden. Die Kurve im Diagramm sollte glatt gezeichnet werden, wobei darauf zu achten ist, dass die Versuchspunkte sowohl oberhalb als auch unterhalb der Kurve liegen, wie in Abb. 3 dargestellt. Bei der Erstellung von Diagrammen werden neben einem Koordinatensystem mit einheitlichem Maßstab auch sogenannte Funktionsskalen verwendet. Durch die Auswahl geeigneter Funktionen x und y können Sie im Diagramm eine einfachere Linie als bei der herkömmlichen Konstruktion erhalten. Dies ist häufig erforderlich, wenn eine Formel für ein bestimmtes Diagramm ausgewählt wird, um dessen Parameter zu bestimmen. Funktionsskalen werden auch dann verwendet, wenn es notwendig ist, einen beliebigen Abschnitt der Kurve im Diagramm zu strecken oder zu verkürzen. Die am häufigsten verwendete Funktionsskala ist die logarithmische Skala (Abb. 4).