Trigonometriekreis mit allen Bedeutungen. Trigonometrischer Kreis. Einheitskreis. Zahlenkreis. Was ist das? Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen

Wenn Sie bereits damit vertraut sind trigonometrischer Kreis , und Sie möchten einfach nur Ihre Erinnerung an bestimmte Elemente auffrischen, oder Sie sind völlig ungeduldig, dann ist es hier:

Hier analysieren wir Schritt für Schritt alles im Detail.

Der trigonometrische Kreis ist kein Luxus, sondern eine Notwendigkeit

Trigonometrie Viele Menschen assoziieren damit ein undurchdringliches Dickicht. Plötzlich gibt es so viele Bedeutungen trigonometrische Funktionen, so viele Formeln... Aber es hat zunächst nicht geklappt, und... hin und wieder... völliges Missverständnis...

Es ist sehr wichtig, nicht aufzugeben Werte trigonometrischer Funktionen, - Man sagt, man kann sich den Sporn immer mit einer Wertetabelle ansehen.

Wenn Sie ständig auf eine Tabelle mit Werten schauen trigonometrische Formeln, lasst uns diese Angewohnheit loswerden!

Er wird uns helfen! Sie werden mehrmals damit arbeiten, und dann wird es in Ihrem Kopf auftauchen. Wie ist es besser als ein Tisch? Ja, in der Tabelle finden Sie eine begrenzte Anzahl von Werten, aber im Kreis - ALLES!

Sagen wir zum Beispiel beim Anschauen Standardwertetabelle trigonometrischer Formeln , was ist der Sinus, der beispielsweise 300 Grad oder -45 entspricht?

Auf keinen Fall? Sie können natürlich eine Verbindung herstellen Reduktionsformeln... Und wenn man den trigonometrischen Kreis betrachtet, kann man solche Fragen leicht beantworten. Und Sie werden bald wissen, wie!

Und bei der Entscheidung trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen ohne den trigonometrischen Kreis – nirgends.

Einführung in den trigonometrischen Kreis

Gehen wir der Reihe nach vor.

Schreiben wir zunächst diese Zahlenreihe auf:

Und jetzt das:

Und schließlich dieses hier:

Es ist natürlich klar, dass tatsächlich an erster Stelle steht, an zweiter Stelle steht und an letzter Stelle steht. Das heißt, wir werden uns mehr für die Kette interessieren.

Aber wie schön ist es geworden! Wenn etwas passiert, werden wir diese „Wunderleiter“ wiederherstellen.

Und warum brauchen wir es?

Diese Kette stellt die Hauptwerte von Sinus und Cosinus im ersten Viertel dar.

Zeichnen wir einen Kreis mit einem Einheitsradius in einem rechtwinkligen Koordinatensystem (das heißt, wir nehmen einen beliebigen Radius als Länge und deklarieren seine Länge als Einheit).

Vom „0-Start“-Träger aus legen wir die Ecken in Pfeilrichtung (siehe Abbildung).

Wir erhalten die entsprechenden Punkte auf dem Kreis. Wenn wir also die Punkte auf jede der Achsen projizieren, erhalten wir genau die Werte aus der obigen Kette.

Warum ist das so, fragen Sie?

Analysieren wir nicht alles. Lassen Sie uns überlegen Prinzip, was es Ihnen ermöglicht, mit anderen, ähnlichen Situationen zurechtzukommen.

Das Dreieck AOB ist rechteckig und enthält . Und wir wissen, dass gegenüber dem Winkel b ein Bein liegt, das halb so groß ist wie die Hypotenuse (wir haben die Hypotenuse = den Radius des Kreises, also 1).

Das bedeutet AB= (und daher OM=). Und nach dem Satz des Pythagoras

Ich hoffe, es wird schon etwas klar?

Punkt B entspricht also dem Wert und Punkt M entspricht dem Wert

Das Gleiche gilt auch für die anderen Werte des ersten Quartals.

Wie Sie verstehen, wird es die bekannte Achse (Ochse) sein Kosinusachse, und die Achse (oy) – Sinusachse . Später.

Links von Null entlang der Kosinusachse (unter Null entlang der Sinusachse) gibt es natürlich negative Werte.

Hier ist er also, der ALLMÄCHTIGE, ohne den es in der Trigonometrie nichts gibt.

Aber wir werden darüber sprechen, wie man den trigonometrischen Kreis verwendet.

Vereinfacht gesagt handelt es sich dabei um Gemüse, das nach einem speziellen Rezept in Wasser gekocht wird. Ich werde zwei Ausgangszutaten (Gemüsesalat und Wasser) in Betracht ziehen und fertiges Ergebnis- Borschtsch. Geometrisch kann man es sich als Rechteck vorstellen, wobei eine Seite Salat und die andere Seite Wasser darstellt. Die Summe dieser beiden Seiten ergibt Borschtsch. Die Diagonale und die Fläche eines solchen „Borschtsch“-Rechtecks sind rein mathematische Konzepte und werden niemals in Borschtsch-Rezepten verwendet.

Wie wird aus Salat und Wasser rechnerisch Borschtsch? Wie kann die Summe zweier Liniensegmente zur Trigonometrie werden? Um dies zu verstehen, benötigen wir lineare Winkelfunktionen.

In Mathematiklehrbüchern findet man nichts über lineare Winkelfunktionen. Aber ohne sie kann es keine Mathematik geben. Die Gesetze der Mathematik funktionieren wie die Naturgesetze unabhängig davon, ob wir von ihrer Existenz wissen oder nicht.

Lineare Winkelfunktionen sind Additionsgesetze. Sehen Sie, wie sich Algebra in Geometrie und Geometrie in Trigonometrie verwandelt.

Kann man auf lineare Winkelfunktionen verzichten? Das ist möglich, denn Mathematiker kommen immer noch ohne sie aus. Der Trick der Mathematiker besteht darin, dass sie uns immer nur von den Problemen erzählen, die sie selbst lösen können, und nie über die Probleme, die sie nicht lösen können. Sehen. Wenn wir das Ergebnis der Addition und eines Termes kennen, verwenden wir die Subtraktion, um den anderen Term zu finden. Alle. Wir kennen keine anderen Probleme und wissen nicht, wie wir sie lösen können. Was sollen wir tun, wenn wir nur das Ergebnis der Addition kennen und nicht beide Terme kennen? In diesem Fall muss das Ergebnis der Addition mithilfe linearer Winkelfunktionen in zwei Terme zerlegt werden. Als nächstes wählen wir selbst, was ein Term sein kann, und lineare Winkelfunktionen zeigen, was der zweite Term sein soll, damit das Ergebnis der Addition genau das ist, was wir brauchen. Es kann solche Begriffspaare geben unendliche Menge. IN Alltagsleben Wir kommen gut zurecht, ohne die Summe zu zerlegen; die Subtraktion genügt uns. Aber wenn wissenschaftliche Forschung Aufgrund der Naturgesetze kann es sehr nützlich sein, eine Summe in ihre Bestandteile zu zerlegen.

Ein weiteres Additionsgesetz, über das Mathematiker nicht gerne sprechen (ein weiterer ihrer Tricks), erfordert, dass die Terme die gleichen Maßeinheiten haben. Bei Salat, Wasser und Borschtsch können dies Gewichts-, Volumen-, Wert- oder Maßeinheiten sein.

Die Abbildung zeigt zwei Differenzniveaus für mathematische . Die erste Ebene sind die Unterschiede im Zahlenbereich, die angezeigt werden A, B, C. Das ist es, was Mathematiker tun. Die zweite Ebene sind die Unterschiede im Bereich der Maßeinheiten, die in eckigen Klammern dargestellt und durch den Buchstaben gekennzeichnet sind U. Das ist es, was Physiker tun. Wir können die dritte Ebene verstehen – Unterschiede im Bereich der beschriebenen Objekte. Unterschiedliche Objekte können die gleiche Anzahl identischer Maßeinheiten haben. Wie wichtig das ist, sehen wir am Beispiel der Borschtsch-Trigonometrie. Wenn wir der gleichen Einheitenbezeichnung für verschiedene Objekte Indizes hinzufügen, können wir genau sagen, welche mathematische Größe ein bestimmtes Objekt beschreibt und wie es sich im Laufe der Zeit oder aufgrund unserer Handlungen verändert. Brief W Ich werde Wasser mit einem Buchstaben bezeichnen S Den Salat bezeichne ich mit einem Buchstaben B- Borschtsch. So sehen lineare Winkelfunktionen für Borschtsch aus.

Wenn wir einen Teil des Wassers und einen Teil des Salats nehmen, wird daraus eine Portion Borschtsch. Hier schlage ich vor, dass Sie eine kleine Pause vom Borschtsch einlegen und sich an Ihre ferne Kindheit erinnern. Erinnern Sie sich, wie uns beigebracht wurde, Hasen und Enten zusammenzusetzen? Es galt herauszufinden, wie viele Tiere es geben würde. Was wurde uns damals beigebracht? Uns wurde beigebracht, Maßeinheiten von Zahlen zu trennen und Zahlen zu addieren. Ja, eine beliebige Nummer kann zu jeder anderen Nummer hinzugefügt werden. Dies ist ein direkter Weg zum Autismus der modernen Mathematik – wir tun es unverständlich was, unverständlich warum und verstehen nur sehr schlecht, wie dies mit der Realität zusammenhängt, da Mathematiker aufgrund der drei Differenzebenen nur mit einer operieren. Es wäre richtiger zu lernen, wie man von einer Maßeinheit zur anderen wechselt.

Hasen, Enten und kleine Tiere können in Stücken gezählt werden. Eins gemeinsame Einheit Messungen für verschiedene Objekte ermöglichen es uns, diese zu addieren. Das Kinderversion Aufgaben. Schauen wir uns eine ähnliche Aufgabe für Erwachsene an. Was bekommt man, wenn man Hasen und Geld hinzufügt? Hier gibt es zwei mögliche Lösungen.

Erste Wahl. Wir ermitteln den Marktwert der Hasen und addieren ihn zum verfügbaren Geldbetrag. Wir haben den Gesamtwert unseres Vermögens in Geld ausgedrückt.

Zweite Option. Sie können die Anzahl der Hasen zu der Anzahl der Geldscheine hinzufügen, die wir haben. Wir erhalten den Betrag der beweglichen Sachen in Stücken.

Wie Sie sehen, können Sie mit demselben Additionsgesetz unterschiedliche Ergebnisse erzielen. Es hängt alles davon ab, was genau wir wissen wollen.

Aber kommen wir zurück zu unserem Borschtsch. Jetzt können wir sehen, was wann passieren wird unterschiedliche Bedeutungen Winkel linearer Winkelfunktionen.

Der Winkel ist Null. Wir haben Salat, aber kein Wasser. Wir können keinen Borschtsch kochen. Die Menge an Borschtsch ist ebenfalls Null. Das bedeutet keineswegs, dass null Borschtsch gleich null Wasser ist. Es kann null Borschtsch mit null Salat geben (rechter Winkel).

Für mich persönlich ist dies der wichtigste mathematische Beweis dafür, dass . Null ändert die Zahl beim Hinzufügen nicht. Dies liegt daran, dass die Addition selbst unmöglich ist, wenn nur ein Term vorhanden ist und der zweite Term fehlt. Sie können darüber nachdenken, wie Sie möchten, aber denken Sie daran: Alle mathematischen Operationen mit Null wurden von Mathematikern selbst erfunden. Werfen Sie also Ihre Logik weg und stopfen Sie dummerweise die von Mathematikern erfundenen Definitionen voll: „Division durch Null ist unmöglich“, „jede Zahl multipliziert mit“. „Null ist gleich Null“, „Jenseits des Einstichpunkts Null“ und anderer Unsinn. Es reicht aus, sich einmal daran zu erinnern, dass Null keine Zahl ist, und Sie werden nie wieder die Frage haben, ob Null eine natürliche Zahl ist oder nicht, denn eine solche Frage verliert jede Bedeutung: Wie kann etwas, das keine Zahl ist, als Zahl betrachtet werden? ? Es ist, als würde man fragen, als welche Farbe eine unsichtbare Farbe klassifiziert werden sollte. Das Hinzufügen einer Null zu einer Zahl ist dasselbe wie das Malen mit Farbe, die nicht vorhanden ist. Wir schwenkten einen trockenen Pinsel und sagten allen: „Wir haben gemalt.“ Aber ich schweife ein wenig ab.

Der Winkel ist größer als Null, aber kleiner als fünfundvierzig Grad. Wir haben viel Salat, aber nicht genug Wasser. Als Ergebnis erhalten wir dicken Borschtsch.

Der Winkel beträgt fünfundvierzig Grad. Wir haben gleiche Mengen Wasser und Salat. Das ist der perfekte Borschtsch (verzeihen Sie, Köche, das ist nur Mathematik).

Der Winkel beträgt mehr als fünfundvierzig Grad, aber weniger als neunzig Grad. Wir haben viel Wasser und wenig Salat. Sie erhalten flüssigen Borschtsch.

Rechter Winkel. Wir haben Wasser. Von dem Salat bleiben nur noch Erinnerungen, während wir weiterhin den Winkel von der Linie messen, die einst den Salat markierte. Wir können keinen Borschtsch kochen. Die Menge an Borschtsch ist Null. Halten Sie in diesem Fall durch und trinken Sie Wasser, solange Sie es haben)))

Hier. Irgendwie so. Ich kann hier noch andere Geschichten erzählen, die hier mehr als angebracht wären.

Zwei Freunde hatten Anteile an einem gemeinsamen Unternehmen. Nachdem einer von ihnen getötet wurde, ging alles an den anderen.

Die Entstehung der Mathematik auf unserem Planeten.

Alle diese Geschichten werden in der Sprache der Mathematik unter Verwendung linearer Winkelfunktionen erzählt. Ein anderes Mal werde ich Ihnen den wahren Platz dieser Funktionen in der Struktur der Mathematik zeigen. Kehren wir in der Zwischenzeit zur Borschtsch-Trigonometrie zurück und betrachten Projektionen.

Samstag, 26. Oktober 2019

Mittwoch, 7. August 2019

Zum Abschluss des Gesprächs müssen wir eine unendliche Menge betrachten. Der Punkt ist, dass das Konzept der „Unendlichkeit“ auf Mathematiker wirkt wie eine Boa constrictor auf ein Kaninchen. Der zitternde Schrecken der Unendlichkeit beraubt die Mathematiker gesunder Menschenverstand. Hier ist ein Beispiel:

Die Originalquelle befindet sich. Alpha steht für reelle Zahl. Das Gleichheitszeichen in den obigen Ausdrücken zeigt an, dass sich nichts ändert, wenn Sie eine Zahl oder Unendlichkeit zur Unendlichkeit addieren. Das Ergebnis ist dieselbe Unendlichkeit. Nehmen wir als Beispiel die unendliche Menge natürliche Zahlen, dann können die betrachteten Beispiele wie folgt dargestellt werden:

Um eindeutig zu beweisen, dass sie Recht hatten, haben sich Mathematiker viele verschiedene Methoden ausgedacht. Persönlich betrachte ich all diese Methoden als Schamanen, die mit Tamburinen tanzen. Im Wesentlichen läuft alles darauf hinaus, dass entweder einige der Zimmer unbewohnt sind und neue Gäste einziehen, oder dass ein Teil der Besucher auf den Flur geworfen wird, um Platz für Gäste zu schaffen (sehr menschlich). Meine Meinung zu solchen Entscheidungen habe ich in Form einer Fantasy-Geschichte über die Blondine dargelegt. Worauf basiert meine Argumentation? Die Umsiedlung einer unendlichen Anzahl von Besuchern nimmt unendlich viel Zeit in Anspruch. Nachdem wir das erste Zimmer für einen Gast geräumt haben, wird bis zum Ende der Zeit immer einer der Besucher den Flur entlang von seinem Zimmer zum nächsten gehen. Natürlich kann der Zeitfaktor dummerweise ignoriert werden, aber das wird in die Kategorie „Kein Gesetz ist für Dummköpfe geschrieben“ fallen. Es hängt alles davon ab, was wir tun: die Realität anpassen mathematische Theorien oder umgekehrt.

Was ist ein „Endloshotel“? Ein unendliches Hotel ist ein Hotel, das immer beliebig viele freie Betten hat, unabhängig davon, wie viele Zimmer belegt sind. Wenn alle Räume im endlosen „Besucher“-Korridor belegt sind, gibt es einen weiteren endlosen Korridor mit „Gäste“-Zimmern. Es wird unendlich viele solcher Korridore geben. Darüber hinaus verfügt das „unendliche Hotel“ über unendlich viele Stockwerke in unendlich vielen Gebäuden auf unendlich vielen Planeten in unendlich vielen Universen, die von unendlich vielen Göttern geschaffen wurden. Von banalen Alltagsproblemen können sich Mathematiker nicht distanzieren: Es gibt immer nur einen Gott-Allah-Buddha, es gibt nur ein Hotel, es gibt nur einen Korridor. Also versuchen Mathematiker, mit den Seriennummern von Hotelzimmern zu jonglieren und uns davon zu überzeugen, dass es möglich ist, „das Unmögliche hineinzuschieben“.

Ich werde Ihnen die Logik meiner Überlegungen am Beispiel einer unendlichen Menge natürlicher Zahlen demonstrieren. Zuerst müssen Sie eine sehr einfache Frage beantworten: Wie viele Mengen natürlicher Zahlen gibt es – eine oder viele? Auf diese Frage gibt es keine richtige Antwort, da wir die Zahlen selbst erfunden haben; Zahlen gibt es in der Natur nicht. Ja, die Natur kann gut zählen, aber dafür nutzt sie andere mathematische Werkzeuge, die uns nicht vertraut sind. Was die Natur denkt, erzähle ich euch ein andermal. Da wir die Zahlen erfunden haben, werden wir selbst entscheiden, wie viele Mengen natürlicher Zahlen es gibt. Betrachten wir beide Optionen, wie es sich für echte Wissenschaftler gehört.

Option eins. „Lasst uns einen einzigen Satz natürlicher Zahlen erhalten“, der ruhig im Regal liegt. Wir nehmen dieses Set aus dem Regal. Das ist alles, es sind keine anderen natürlichen Zahlen mehr im Regal und man kann sie nirgendwo hinnehmen. Wir können diesem Set keinen hinzufügen, da wir ihn bereits haben. Was ist, wenn Sie es wirklich wollen? Kein Problem. Wir können eines aus dem Set, das wir bereits genommen haben, nehmen und es zurück ins Regal stellen. Danach können wir eines aus dem Regal nehmen und es zu dem hinzufügen, was wir übrig haben. Als Ergebnis erhalten wir wieder eine unendliche Menge natürlicher Zahlen. Sie können alle unsere Manipulationen wie folgt aufschreiben:

Ich habe die Aktionen aufgezeichnet algebraisches System Notation und im in der Mengenlehre übernommenen Notationssystem mit einer detaillierten Auflistung der Elemente der Menge. Der Index zeigt an, dass wir eine einzige Menge natürlicher Zahlen haben. Es stellt sich heraus, dass die Menge der natürlichen Zahlen nur dann unverändert bleibt, wenn man von ihr eine abzieht und die gleiche Einheit hinzufügt.

Option zwei. Wir haben viele verschiedene unendliche Mengen natürlicher Zahlen in unserem Regal. Ich betone – UNTERSCHIEDLICH, obwohl sie praktisch nicht zu unterscheiden sind. Nehmen wir eines dieser Sets. Dann nehmen wir eine aus einer anderen Menge natürlicher Zahlen und fügen sie der Menge hinzu, die wir bereits genommen haben. Wir können sogar zwei Sätze natürlicher Zahlen addieren. Das bekommen wir:

Die Indizes „eins“ und „zwei“ zeigen an, dass diese Elemente zu unterschiedlichen Mengen gehörten. Ja, wenn Sie eins zu einer unendlichen Menge hinzufügen, ist das Ergebnis ebenfalls eine unendliche Menge, aber es ist nicht dasselbe wie die ursprüngliche Menge. Wenn man einer unendlichen Menge eine weitere unendliche Menge hinzufügt, entsteht eine neue unendliche Menge, die aus den Elementen der ersten beiden Mengen besteht.

Die Menge der natürlichen Zahlen wird zum Zählen genauso verwendet wie ein Lineal zum Messen. Stellen Sie sich nun vor, Sie hätten dem Lineal einen Zentimeter hinzugefügt. Dies wird eine andere Zeile sein, die nicht mit der Originalzeile übereinstimmt.

Sie können meine Argumentation akzeptieren oder nicht akzeptieren – es ist Ihre eigene Sache. Wenn Sie jedoch jemals auf mathematische Probleme stoßen, denken Sie darüber nach, ob Sie dem Weg des falschen Denkens folgen, den Generationen von Mathematikern beschritten haben. Schließlich bildet der Mathematikunterricht zunächst einmal ein stabiles Denkstereotyp in uns und ergänzt erst dann unser geistige Fähigkeiten(oder umgekehrt, sie berauben uns des freien Denkens).

pozg.ru

Sonntag, 4. August 2019

Ich war gerade dabei, ein Nachwort zu einem Artikel darüber zu schreiben, und sah diesen wunderbaren Text auf Wikipedia:

Wir lesen: „... reich.“ theoretische Basis Die Mathematik Babylons hatte keinen ganzheitlichen Charakter und wurde auf eine Reihe unterschiedlicher Techniken reduziert, ohne ein gemeinsames System und eine gemeinsame Beweisbasis.“

Wow! Wie schlau wir sind und wie gut wir die Unzulänglichkeiten anderer erkennen können. Fällt es uns schwer, die moderne Mathematik im gleichen Kontext zu betrachten? Wenn ich den obigen Text leicht paraphrasiere, habe ich persönlich Folgendes herausgefunden:

Die reichhaltige theoretische Grundlage der modernen Mathematik ist nicht ganzheitlicher Natur und reduziert sich auf eine Reihe unterschiedlicher Abschnitte, ohne ein gemeinsames System und eine gemeinsame Evidenzbasis.

Ich werde nicht weit gehen, um meine Worte zu bestätigen – es gibt eine Sprache und Konventionen, die sich von der Sprache und den Konventionen vieler anderer Zweige der Mathematik unterscheiden. Dieselben Namen können in verschiedenen Zweigen der Mathematik unterschiedliche Bedeutungen haben. Den offensichtlichsten Fehlern der modernen Mathematik möchte ich eine ganze Reihe von Veröffentlichungen widmen. Bis bald.

Samstag, 3. August 2019

Wie teilt man eine Menge in Teilmengen auf? Dazu müssen Sie eine neue Maßeinheit eingeben, die in einigen Elementen der ausgewählten Menge vorhanden ist. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Mögen wir genug davon haben A bestehend aus vier Personen. Diese Menge wird auf der Grundlage von „Menschen“ gebildet. Bezeichnen wir die Elemente dieser Menge mit dem Buchstaben A, der Index mit einer Zahl zeigt an Ordnungsnummer jeder Mensch in dieser Menge. Lassen Sie uns eine neue Maßeinheit „Geschlecht“ einführen und sie mit dem Buchstaben bezeichnen B. Da allen Menschen sexuelle Merkmale innewohnen, multiplizieren wir jedes Element der Menge A basierend auf dem Geschlecht B. Beachten Sie, dass unsere Gruppe von „Menschen“ nun zu einer Gruppe von „Menschen mit Geschlechtsmerkmalen“ geworden ist. Danach können wir die Geschlechtsmerkmale in männlich einteilen bm und Frauen bw Geschlechtsmerkmale. Jetzt können wir einen mathematischen Filter anwenden: Wir wählen eines dieser Geschlechtsmerkmale aus, egal welches – männlich oder weiblich. Wenn eine Person es hat, multiplizieren wir es mit eins, wenn es kein solches Zeichen gibt, multiplizieren wir es mit Null. Und dann nutzen wir die reguläre Schulmathematik. Schauen Sie, was passiert ist.

Nach Multiplikation, Reduktion und Neuordnung erhielten wir schließlich zwei Teilmengen: die Teilmenge der Männer Bm und eine Untergruppe von Frauen Bw. Mathematiker denken ungefähr auf die gleiche Weise, wenn sie die Mengenlehre in der Praxis anwenden. Aber sie erzählen uns nicht die Details, sondern geben uns das fertige Ergebnis: „Viele Menschen bestehen aus einer Untergruppe von Männern und einer Untergruppe von Frauen.“ Natürlich haben Sie möglicherweise eine Frage: Wie korrekt wurde die Mathematik bei den oben beschriebenen Transformationen angewendet? Ich wage Ihnen zu versichern, dass im Wesentlichen alles richtig gemacht wurde; es reicht aus, die mathematischen Grundlagen der Arithmetik, der Booleschen Algebra und anderer Zweige der Mathematik zu kennen. Was ist das? Ein anderes Mal werde ich Ihnen davon erzählen.

Bei Obermengen können Sie zwei Mengen zu einer Obermenge kombinieren, indem Sie die Maßeinheit auswählen, die in den Elementen dieser beiden Mengen vorhanden ist.

Wie Sie sehen, sind Maßeinheiten und gewöhnliche Mathematik die Mengenlehre ein Relikt der Vergangenheit. Ein Zeichen dafür, dass mit der Mengenlehre nicht alles in Ordnung ist, ist die Tatsache, dass Mathematiker die Mengenlehre erfunden haben eigene Sprache und eigene Notationen. Mathematiker agierten einst wie Schamanen. Nur Schamanen wissen, wie sie ihr „Wissen“ „richtig“ anwenden. Sie vermitteln uns dieses „Wissen“.

Abschließend möchte ich Ihnen zeigen, wie Mathematiker manipulieren.

Montag, 7. Januar 2019

Im fünften Jahrhundert v. Chr. formulierte der antike griechische Philosoph Zenon von Elea seine berühmten Aporien, von denen die berühmteste die Aporie „Achilles und die Schildkröte“ ist. So klingt es:

Nehmen wir an, Achilles rennt zehnmal schneller als die Schildkröte und ist tausend Schritte hinter ihr. Während Achilles diese Strecke zurücklegt, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte läuft, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird bis ins Unendliche weitergehen, Achilles wird die Schildkröte nie einholen.

Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Sie alle betrachteten Zenos Aporie auf die eine oder andere Weise. Der Schock war so stark, dass „ ... Diskussionen dauern bis heute an; die wissenschaftliche Gemeinschaft konnte sich noch nicht auf eine gemeinsame Meinung über das Wesen von Paradoxien einigen ... An der Untersuchung des Themas waren mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze beteiligt ; Keine davon wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ...„[Wikipedia, „Zenos Aporia“. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, worin die Täuschung besteht.

Aus mathematischer Sicht hat Zenon in seiner Aporie den Übergang von der Quantität zur Quantität deutlich gemacht. Dieser Übergang impliziert eine Anwendung statt einer dauerhaften. Soweit ich weiß, wurde der mathematische Apparat zur Verwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder er wurde nicht auf Zenos Aporie angewendet. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Aufgrund der Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als würde sich die Zeit verlangsamen, bis sie in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, völlig zum Stillstand kommt. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles der Schildkröte nicht mehr entkommen.

Wenn wir unsere übliche Logik umdrehen, passt alles zusammen. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jeder weitere Abschnitt seines Weges ist zehnmal kürzer als der vorherige. Dementsprechend ist der Zeitaufwand für die Überwindung zehnmal geringer als beim vorherigen. Wenn wir in dieser Situation das Konzept der „Unendlichkeit“ anwenden, wäre es richtig zu sagen: „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell einholen.“

Wie vermeide ich diese logische Falle? Bleiben Sie bei konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Einheiten. In Zenos Sprache sieht es so aus:

In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, das dem ersten entspricht, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.

Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen und ohne logische Paradoxien. Aber es ist nicht komplette Lösung Probleme. Einsteins Aussage über die Unwiderstehlichkeit der Lichtgeschwindigkeit ähnelt stark Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung darf nicht endlos gesucht werden große Zahlen, aber in Maßeinheiten.

Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:

Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, und da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, ist er immer in Ruhe.

In dieser Aporie wird das logische Paradox ganz einfach überwunden – es genügt zu klären, dass ein fliegender Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich eine Bewegung ist. Hier muss noch ein weiterer Punkt beachtet werden. Anhand eines einzigen Fotos eines Autos auf der Straße ist es unmöglich, die Tatsache seiner Bewegung oder die Entfernung zu ihm zu bestimmen. Um festzustellen, ob sich ein Auto bewegt, benötigt man zwei Fotos, die von demselben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aus denen man jedoch nicht die Entfernung bestimmen kann. Um die Entfernung zu einem Auto zu bestimmen, benötigt man zwei Fotos, die zu einem Zeitpunkt von verschiedenen Punkten im Raum aufgenommen wurden, aus denen man aber nicht die Tatsache der Bewegung ermitteln kann (natürlich benötigt man noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft einem). ). Worauf ich besonders aufmerksam machen möchte, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum unterschiedliche Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten für die Forschung bieten.
Ich zeige Ihnen den Vorgang anhand eines Beispiels. Wir wählen den „roten Feststoff im Pickel“ aus – das ist unser „Ganzes“. Gleichzeitig sehen wir, dass diese Dinge mit einem Bogen sind und dass es solche ohne Bogen gibt. Danach wählen wir einen Teil des „Ganzen“ aus und bilden ein Set „mit Schleife“. Auf diese Weise erhalten Schamanen ihre Nahrung, indem sie ihre Mengenlehre mit der Realität in Verbindung bringen.

Jetzt machen wir einen kleinen Trick. Nehmen wir „fest mit einer Noppe mit einer Schleife“ und kombinieren Sie diese „Ganzen“ nach Farben und wählen Sie die roten Elemente aus. Wir haben viel „Rot“ bekommen. Nun die letzte Frage: Sind die resultierenden Sets „mit Schleife“ und „rot“ dasselbe Set oder zwei verschiedene Sets? Nur Schamanen kennen die Antwort. Genauer gesagt, sie selbst wissen nichts, aber wie sie sagen, wird es so sein.

Dieses einfache Beispiel zeigt, dass die Mengenlehre in Bezug auf die Realität völlig nutzlos ist. Was ist das Geheimnis? Wir haben ein Set aus „rotem Feststoff mit Noppe und Schleife“ zusammengestellt. Die Formation erfolgte in vier verschiedenen Maßeinheiten: Farbe (rot), Stärke (fest), Rauheit (pickelig), Verzierung (mit Schleife). Nur eine Reihe von Maßeinheiten ermöglicht uns eine angemessene Beschreibung echte Objekte in der Sprache der Mathematik. So sieht es aus.

Der Buchstabe „a“ mit unterschiedlichen Indizes gibt unterschiedliche Maßeinheiten an. Die Maßeinheiten, nach denen das „Ganze“ im Vorfeld unterschieden wird, sind in Klammern hervorgehoben. In Klammern steht die Maßeinheit, nach der die Menge gebildet wird. Die letzte Zeile zeigt das Endergebnis – ein Element der Menge. Wie Sie sehen, hängt das Ergebnis nicht von der Reihenfolge unserer Aktionen ab, wenn wir Maßeinheiten verwenden, um eine Menge zu bilden. Und das ist Mathematik und nicht der Tanz von Schamanen mit Tamburinen. Schamanen können „intuitiv“ zum gleichen Ergebnis kommen und argumentieren, dass es „offensichtlich“ sei, weil Maßeinheiten nicht Teil ihres „wissenschaftlichen“ Arsenals seien.

Mithilfe von Maßeinheiten ist es sehr einfach, einen Satz aufzuteilen oder mehrere Sätze zu einem Obersatz zusammenzufassen. Schauen wir uns die Algebra dieses Prozesses genauer an.

Die Trigonometrie als Wissenschaft hat ihren Ursprung im Alten Osten. Erste trigonometrische Verhältnisse wurden von Astronomen entwickelt, um einen genauen Kalender zu erstellen und anhand der Sterne zu navigieren. Diese Berechnungen bezogen sich auf die sphärische Trigonometrie, während in Schulkurs Studieren Sie die Seiten- und Winkelverhältnisse eines ebenen Dreiecks.

Die Trigonometrie ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften trigonometrischer Funktionen und den Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln von Dreiecken beschäftigt.

Während der Blütezeit von Kultur und Wissenschaft im 1. Jahrtausend n. Chr. verbreitete sich das Wissen vom Alten Osten bis nach Griechenland. Aber die wichtigsten Entdeckungen der Trigonometrie sind das Verdienst der Männer des Arabischen Kalifats. Insbesondere führte der turkmenische Wissenschaftler al-Marazwi Funktionen wie Tangens und Kotangens ein und erstellte die ersten Wertetabellen für Sinus, Tangens und Kotangens. Die Konzepte Sinus und Cosinus wurden von indischen Wissenschaftlern eingeführt. Die Trigonometrie fand in den Werken so großer Persönlichkeiten der Antike wie Euklid, Archimedes und Eratosthenes große Beachtung.

Grundgrößen der Trigonometrie

Grundlegende trigonometrische Funktionen numerisches Argument– das sind Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens. Jeder von ihnen hat seinen eigenen Graphen: Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens.

Die Formeln zur Berechnung der Werte dieser Größen basieren auf dem Satz des Pythagoras. Schulkindern ist die Formulierung besser bekannt: „Pythagoräische Hosen sind in alle Richtungen gleich“, da der Beweis am Beispiel einer gleichschenkligen Person geführt wird rechtwinkliges Dreieck.

Sinus, Kosinus und andere Abhängigkeiten stellen den Zusammenhang zwischen her scharfe Kanten und Seiten eines beliebigen rechtwinkligen Dreiecks. Stellen wir Formeln zur Berechnung dieser Größen für den Winkel A vor und verfolgen wir die Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen:

Wie Sie sehen können, sind tg und ctg gleich Umkehrfunktionen. Wenn wir uns Bein a als Produkt von sin A und Hypotenuse c und Bein b als cos A * c vorstellen, erhalten wir folgenden Formeln für Tangens und Kotangens:

Trigonometrischer Kreis

Grafisch lässt sich der Zusammenhang zwischen den genannten Größen wie folgt darstellen:

Der Kreis repräsentiert in diesem Fall alle möglichen Werte des Winkels α – von 0° bis 360°. Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, nimmt jede Funktion je nach Winkel einen negativen oder positiven Wert an. Beispielsweise hat sin α ein „+“-Zeichen, wenn α zum 1. und 2. Viertel des Kreises gehört, also im Bereich von 0° bis 180° liegt. Für α von 180° bis 360° (III. und IV. Viertel) kann sin α nur ein negativer Wert sein.

Versuchen wir, trigonometrische Tabellen für bestimmte Winkel zu erstellen und die Bedeutung der Größen herauszufinden.

Werte von α gleich 30°, 45°, 60°, 90°, 180° usw. werden als Sonderfälle bezeichnet. Für sie werden die Werte trigonometrischer Funktionen berechnet und in Form spezieller Tabellen dargestellt.

Diese Winkel wurden nicht zufällig ausgewählt. Die Bezeichnung π in den Tabellen bezieht sich auf das Bogenmaß. Rad ist der Winkel, bei dem die Länge eines Kreisbogens seinem Radius entspricht. Dieser Wert wurde eingeführt, um eine universelle Abhängigkeit herzustellen; bei der Berechnung im Bogenmaß spielt die tatsächliche Länge des Radius in cm keine Rolle.

Winkel in Tabellen für trigonometrische Funktionen entsprechen Bogenmaßwerten:

Es ist also nicht schwer zu erraten, dass 2π ein vollständiger Kreis oder 360° ist.

Eigenschaften trigonometrischer Funktionen: Sinus und Cosinus

Um die grundlegenden Eigenschaften von Sinus und Cosinus, Tangens und Kotangens zu betrachten und zu vergleichen, ist es notwendig, ihre Funktionen zu zeichnen. Dies kann in Form einer Kurve erfolgen, die in einem zweidimensionalen Koordinatensystem liegt.

Betrachten Sie die Vergleichstabelle der Eigenschaften für Sinus und Cosinus:

Sinus	Kosinus
y = Sünde x	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, für x = πk, wobei k ϵ Z	cos x = 0, für x = π/2 + πk, wobei k ϵ Z
sin x = 1, für x = π/2 + 2πk, wobei k ϵ Z	cos x = 1, bei x = 2πk, wobei k ϵ Z
sin x = - 1, bei x = 3π/2 + 2πk, wobei k ϵ Z	cos x = - 1, für x = π + 2πk, wobei k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, d. h. die Funktion ist ungerade	cos (-x) = cos x, d. h. die Funktion ist gerade
	die Funktion ist periodisch, kürzester Zeitraum- 2π
sin x › 0, wobei x zum 1. und 2. Viertel oder von 0° bis 180° gehört (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, wobei x zu den Vierteln I und IV oder von 270° bis 90° gehört (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, wobei x zum dritten und vierten Viertel oder von 180° bis 360° gehört (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, wobei x zum 2. und 3. Viertel oder von 90° bis 270° gehört (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
steigt im Intervall [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	steigt im Intervall [-π + 2πk, 2πk]
nimmt in den Intervallen [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] ab	nimmt in Abständen ab
Ableitung (sin x)‘ = cos x	Ableitung (cos x)’ = - sin x

Es ist sehr einfach festzustellen, ob eine Funktion gerade ist oder nicht. Es genügt, sich einen trigonometrischen Kreis mit den Vorzeichen trigonometrischer Größen vorzustellen und den Graphen gedanklich relativ zur OX-Achse zu „falten“. Wenn die Vorzeichen übereinstimmen, ist die Funktion gerade, andernfalls ist sie ungerade.

Die Einführung des Bogenmaßes und die Auflistung der grundlegenden Eigenschaften von Sinus- und Kosinuswellen ermöglichen uns die Darstellung des folgenden Musters:

Es ist sehr einfach zu überprüfen, ob die Formel korrekt ist. Für x = π/2 ist beispielsweise der Sinus 1, ebenso wie der Kosinus von x = 0. Die Überprüfung kann durch Konsultieren von Tabellen oder durch Verfolgen von Funktionskurven für gegebene Werte erfolgen.

Eigenschaften von Tangentenoiden und Kotangentenoiden

Die Graphen der Tangens- und Kotangensfunktionen unterscheiden sich deutlich von den Sinus- und Cosinusfunktionen. Die Werte tg und ctg sind Kehrwerte voneinander.

Y = tan x.
Die Tangente tendiert zu den Werten von y bei x = π/2 + πk, erreicht sie aber nie.
Die kleinste positive Periode des Tangentoids ist π.
Tg (- x) = - tg x, d. h. die Funktion ist ungerade.
Tg x = 0, für x = πk.
Die Funktion nimmt zu.
Tg x › 0, für x ϵ (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, für x ϵ (— π/2 + πk, πk).
Ableitung (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Lassen Sie uns überlegen grafisches Bild Kotangentoide unten im Text.

Haupteigenschaften von Cotangentoiden:

Y = Kinderbett x.
Im Gegensatz zu den Sinus- und Cosinusfunktionen kann Y beim Tangentoid die Werte der Menge aller reellen Zahlen annehmen.
Der Kotangentoid tendiert zu den Werten von y bei x = πk, erreicht diese aber nie.
Die kleinste positive Periode eines Kotangentoids ist π.
Ctg (- x) = - ctg x, d. h. die Funktion ist ungerade.
Ctg x = 0, für x = π/2 + πk.
Die Funktion nimmt ab.
Ctg x › 0, für x ϵ (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, für x ϵ (π/2 + πk, πk).
Ableitung (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Richtig

Vereinfacht gesagt handelt es sich dabei um Gemüse, das nach einem speziellen Rezept in Wasser gekocht wird. Ich betrachte zwei Ausgangskomponenten (Gemüsesalat und Wasser) und das fertige Ergebnis – Borschtsch. Geometrisch kann man es sich als Rechteck vorstellen, wobei eine Seite Salat und die andere Seite Wasser darstellt. Die Summe dieser beiden Seiten ergibt Borschtsch. Die Diagonale und die Fläche eines solchen „Borschtsch“-Rechtecks sind rein mathematische Konzepte und werden in Borschtsch-Rezepten nie verwendet.

Wie wird aus Salat und Wasser rechnerisch Borschtsch? Wie kann die Summe zweier Liniensegmente zur Trigonometrie werden? Um dies zu verstehen, benötigen wir lineare Winkelfunktionen.

Lineare Winkelfunktionen sind Additionsgesetze. Sehen Sie, wie sich Algebra in Geometrie und Geometrie in Trigonometrie verwandelt.

Kann man auf lineare Winkelfunktionen verzichten? Das ist möglich, denn Mathematiker kommen immer noch ohne sie aus. Der Trick der Mathematiker besteht darin, dass sie uns immer nur von den Problemen erzählen, die sie selbst lösen können, und nie über die Probleme, die sie nicht lösen können. Sehen. Wenn wir das Ergebnis der Addition und eines Termes kennen, verwenden wir die Subtraktion, um den anderen Term zu finden. Alle. Wir kennen keine anderen Probleme und wissen nicht, wie wir sie lösen können. Was sollen wir tun, wenn wir nur das Ergebnis der Addition kennen und nicht beide Terme kennen? In diesem Fall muss das Ergebnis der Addition mithilfe linearer Winkelfunktionen in zwei Terme zerlegt werden. Als nächstes wählen wir selbst, was ein Term sein kann, und lineare Winkelfunktionen zeigen, was der zweite Term sein soll, damit das Ergebnis der Addition genau das ist, was wir brauchen. Es kann unendlich viele solcher Begriffspaare geben. Im Alltag kommen wir ohne Zerlegen der Summe gut zurecht, uns genügt die Subtraktion. Aber bei der wissenschaftlichen Erforschung der Naturgesetze kann die Zerlegung einer Summe in ihre Bestandteile sehr nützlich sein.

Hasen, Enten und kleine Tiere können in Stücken gezählt werden. Eine gemeinsame Maßeinheit für verschiedene Objekte ermöglicht es uns, diese zu addieren. Dies ist eine Kinderversion des Problems. Schauen wir uns eine ähnliche Aufgabe für Erwachsene an. Was bekommt man, wenn man Hasen und Geld hinzufügt? Hier gibt es zwei mögliche Lösungen.

Erste Wahl. Wir ermitteln den Marktwert der Hasen und addieren ihn zum verfügbaren Geldbetrag. Wir haben den Gesamtwert unseres Vermögens in Geld ausgedrückt.

Zweite Option. Sie können die Anzahl der Hasen zu der Anzahl der Geldscheine hinzufügen, die wir haben. Wir erhalten den Betrag der beweglichen Sachen in Stücken.

Wie Sie sehen, können Sie mit demselben Additionsgesetz unterschiedliche Ergebnisse erzielen. Es hängt alles davon ab, was genau wir wissen wollen.

Aber kommen wir zurück zu unserem Borschtsch. Jetzt können wir sehen, was für verschiedene Winkelwerte linearer Winkelfunktionen passieren wird.

Der Winkel ist größer als Null, aber kleiner als fünfundvierzig Grad. Wir haben viel Salat, aber nicht genug Wasser. Als Ergebnis erhalten wir dicken Borschtsch.

Der Winkel beträgt fünfundvierzig Grad. Wir haben gleiche Mengen Wasser und Salat. Das ist der perfekte Borschtsch (verzeihen Sie, Köche, das ist nur Mathematik).

Der Winkel beträgt mehr als fünfundvierzig Grad, aber weniger als neunzig Grad. Wir haben viel Wasser und wenig Salat. Sie erhalten flüssigen Borschtsch.

Hier. Irgendwie so. Ich kann hier noch andere Geschichten erzählen, die hier mehr als angebracht wären.

Zwei Freunde hatten Anteile an einem gemeinsamen Unternehmen. Nachdem einer von ihnen getötet wurde, ging alles an den anderen.

Die Entstehung der Mathematik auf unserem Planeten.

Samstag, 26. Oktober 2019

Mittwoch, 7. August 2019

Zum Abschluss des Gesprächs müssen wir eine unendliche Menge betrachten. Der Punkt ist, dass das Konzept der „Unendlichkeit“ auf Mathematiker wirkt wie eine Boa constrictor auf ein Kaninchen. Der zitternde Schrecken der Unendlichkeit beraubt Mathematiker des gesunden Menschenverstandes. Hier ist ein Beispiel:

Die Originalquelle befindet sich. Alpha steht für reelle Zahl. Das Gleichheitszeichen in den obigen Ausdrücken zeigt an, dass sich nichts ändert, wenn Sie eine Zahl oder Unendlichkeit zur Unendlichkeit addieren. Das Ergebnis ist dieselbe Unendlichkeit. Nehmen wir als Beispiel die unendliche Menge der natürlichen Zahlen, dann lassen sich die betrachteten Beispiele in dieser Form darstellen:

Ich habe die Aktionen in algebraischer und mengentheoretischer Notation aufgeschrieben, mit einer detaillierten Auflistung der Elemente der Menge. Der Index zeigt an, dass wir eine einzige Menge natürlicher Zahlen haben. Es stellt sich heraus, dass die Menge der natürlichen Zahlen nur dann unverändert bleibt, wenn man von ihr eine abzieht und die gleiche Einheit hinzufügt.

Sie können meine Argumentation akzeptieren oder nicht akzeptieren – es ist Ihre eigene Sache. Wenn Sie jedoch jemals auf mathematische Probleme stoßen, denken Sie darüber nach, ob Sie dem Weg des falschen Denkens folgen, den Generationen von Mathematikern beschritten haben. Denn das Studium der Mathematik bildet in uns zunächst ein stabiles Stereotyp des Denkens und erweitert erst dann unsere geistigen Fähigkeiten (oder beraubt uns umgekehrt des freien Denkens).

pozg.ru

Sonntag, 4. August 2019

Ich war gerade dabei, ein Nachwort zu einem Artikel darüber zu schreiben, und sah diesen wunderbaren Text auf Wikipedia:

Wir lesen: „... die reiche theoretische Grundlage der Mathematik Babylons hatte keinen ganzheitlichen Charakter und wurde auf eine Reihe unterschiedlicher Techniken reduziert, ohne ein gemeinsames System und eine gemeinsame Beweisbasis.“

Samstag, 3. August 2019

Wie teilt man eine Menge in Teilmengen auf? Dazu müssen Sie eine neue Maßeinheit eingeben, die in einigen Elementen der ausgewählten Menge vorhanden ist. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Mögen wir genug davon haben A bestehend aus vier Personen. Diese Menge wird auf der Grundlage von „Menschen“ gebildet. Bezeichnen wir die Elemente dieser Menge mit dem Buchstaben A, der Index mit einer Zahl gibt die Seriennummer jeder Person in diesem Satz an. Lassen Sie uns eine neue Maßeinheit „Geschlecht“ einführen und sie mit dem Buchstaben bezeichnen B. Da allen Menschen sexuelle Merkmale innewohnen, multiplizieren wir jedes Element der Menge A basierend auf dem Geschlecht B. Beachten Sie, dass unsere Gruppe von „Menschen“ nun zu einer Gruppe von „Menschen mit Geschlechtsmerkmalen“ geworden ist. Danach können wir die Geschlechtsmerkmale in männlich einteilen bm und Frauen bw Geschlechtsmerkmale. Jetzt können wir einen mathematischen Filter anwenden: Wir wählen eines dieser Geschlechtsmerkmale aus, egal welches – männlich oder weiblich. Wenn eine Person es hat, multiplizieren wir es mit eins, wenn es kein solches Zeichen gibt, multiplizieren wir es mit Null. Und dann nutzen wir die reguläre Schulmathematik. Schauen Sie, was passiert ist.

Bei Obermengen können Sie zwei Mengen zu einer Obermenge kombinieren, indem Sie die Maßeinheit auswählen, die in den Elementen dieser beiden Mengen vorhanden ist.

Wie Sie sehen, sind Maßeinheiten und gewöhnliche Mathematik die Mengenlehre ein Relikt der Vergangenheit. Ein Zeichen dafür, dass mit der Mengenlehre nicht alles in Ordnung ist, ist, dass Mathematiker ihre eigene Sprache und Notation für die Mengenlehre entwickelt haben. Mathematiker agierten einst wie Schamanen. Nur Schamanen wissen, wie sie ihr „Wissen“ „richtig“ anwenden. Sie vermitteln uns dieses „Wissen“.

Abschließend möchte ich Ihnen zeigen, wie Mathematiker manipulieren.

Montag, 7. Januar 2019

Wie vermeide ich diese logische Falle? Bleiben Sie bei konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Einheiten. In Zenos Sprache sieht es so aus:

Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen und ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unwiderstehlichkeit der Lichtgeschwindigkeit ähnelt stark Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen gesucht werden, sondern in Maßeinheiten.

Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:

Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, und da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, ist er immer in Ruhe.

Dieses einfache Beispiel zeigt, dass die Mengenlehre in Bezug auf die Realität völlig nutzlos ist. Was ist das Geheimnis? Wir haben ein Set aus „rotem Feststoff mit Noppe und Schleife“ zusammengestellt. Die Formation erfolgte in vier verschiedenen Maßeinheiten: Farbe (rot), Stärke (fest), Rauheit (pickelig), Verzierung (mit Schleife). Nur eine Reihe von Maßeinheiten ermöglicht es uns, reale Objekte in der Sprache der Mathematik angemessen zu beschreiben. So sieht es aus.

Mithilfe von Maßeinheiten ist es sehr einfach, einen Satz aufzuteilen oder mehrere Sätze zu einem Obersatz zusammenzufassen. Schauen wir uns die Algebra dieses Prozesses genauer an.