Probleme, die zu quadratischen Gleichungen führen. Lektion zum Thema: „Auf quadratische reduzierbare Gleichungen“ Auf quadratische Probleme reduzierbare Gleichungen mit Lösungen

Quadratische Gleichung oder eine Gleichung zweiten Grades mit einer Unbekannten ist eine Gleichung, die nach Transformationen auf die folgende Form reduziert werden kann:

Axt 2 + bx + C = 0 - quadratische Gleichung

Wo X- das ist das Unbekannte, aber A, B Und C- Koeffizienten der Gleichung. In quadratischen Gleichungen A wird als erster Koeffizient bezeichnet ( A ≠ 0), B wird der zweite Koeffizient genannt und C ein bekanntes oder freies Mitglied genannt.

Die gleichung:

Axt 2 + bx + C = 0

angerufen vollständig quadratische Gleichung. Wenn einer der Koeffizienten B oder C gleich Null ist oder beide dieser Koeffizienten gleich Null sind, dann wird die Gleichung in Form einer unvollständigen quadratischen Gleichung dargestellt.

Reduzierte quadratische Gleichung

Die vollständige quadratische Gleichung kann auf eine bequemere Form reduziert werden, indem alle ihre Terme durch dividiert werden A, also für den ersten Koeffizienten:

Die gleichung X 2 + px + Q= 0 heißt eine reduzierte quadratische Gleichung. Daher kann jede quadratische Gleichung, in der der erste Koeffizient gleich 1 ist, als reduziert bezeichnet werden.

Zum Beispiel die Gleichung:

X 2 + 10X - 5 = 0

reduziert wird und die Gleichung:

3X 2 + 9X - 12 = 0

kann durch die obige Gleichung ersetzt werden, indem alle ihre Terme durch -3 dividiert werden:

X 2 - 3X + 4 = 0

Quadratische Gleichungen lösen

Um eine quadratische Gleichung zu lösen, müssen Sie sie auf eine der folgenden Formen reduzieren:

Axt 2 + bx + C = 0

Axt 2 + 2kx + C = 0

X 2 + px + Q = 0

Für jeden Gleichungstyp gibt es eine eigene Formel zum Finden von Wurzeln:

Beachten Sie die Gleichung:

Axt 2 + 2kx + C = 0

das ist die transformierte Gleichung Axt 2 + bx + C= 0, wobei der Koeffizient B- sogar, wodurch Sie es durch Typ 2 ersetzen können k. Daher kann die Formel zum Finden der Wurzeln dieser Gleichung vereinfacht werden, indem 2 darin eingesetzt wird k anstatt B:

Beispiel 1. Löse die Gleichung:

3X 2 + 7X + 2 = 0

Da es in der Gleichung keinen zweiten Koeffizienten gibt gerade Zahl, und der erste Koeffizient ist es nicht gleich eins, dann werden wir mit der allerersten Formel namens nach Wurzeln suchen allgemeine Formel Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung. Anfangs

A = 3, B = 7, C = 2

Um nun die Wurzeln der Gleichung zu finden, setzen wir einfach die Werte der Koeffizienten in die Formel ein:

X 1 =	-2	= -	1	, X 2 =	-12	= -2
	6		3		6

Antwort: -	1	, -2.
	3

Beispiel 2:

X 2 - 4X - 60 = 0

Lassen Sie uns die Koeffizienten bestimmen:

A = 1, B = -4, C = -60

Da der zweite Koeffizient in der Gleichung eine gerade Zahl ist, verwenden wir die Formel für quadratische Gleichungen mit einem geraden zweiten Koeffizienten:

X 1 = 2 + 8 = 10, X 2 = 2 - 8 = -6

Antwort: 10, -6.

Beispiel 3.

j 2 + 11j = j - 25

Reduzieren wir die Gleichung auf Gesamterscheinung:

j 2 + 11j = j - 25

j 2 + 11j - j + 25 = 0

j 2 + 10j + 25 = 0

Lassen Sie uns die Koeffizienten bestimmen:

A = 1, P = 10, Q = 25

Da der erste Koeffizient gleich 1 ist, suchen wir nach Wurzeln, indem wir die Formel für die obigen Gleichungen mit einem geraden zweiten Koeffizienten verwenden:

Antwort: -5.

Beispiel 4.

X 2 - 7X + 6 = 0

Lassen Sie uns die Koeffizienten bestimmen:

A = 1, P = -7, Q = 6

Da der erste Koeffizient gleich 1 ist, suchen wir nach Wurzeln, indem wir die Formel für die obigen Gleichungen mit einem ungeraden zweiten Koeffizienten verwenden:

X 1 = (7 + 5) : 2 = 6, X 2 = (7 - 5) : 2 = 1

Es gibt mehrere Klassen von Gleichungen, die durch Reduktion auf quadratische Gleichungen gelöst werden können. Eine solche Gleichung sind biquadratische Gleichungen.

Biquadratische Gleichungen

Biquadratische Gleichungen sind Gleichungen der Form a*x^4 + b*x^2 + c = 0, wobei a ungleich 0 ist.

Biquadratische Gleichungen werden mit der Substitution x^2 =t gelöst. Nach einer solchen Substitution erhalten wir eine quadratische Gleichung für t. a*t^2+b*t+c=0. Wir lösen die resultierende Gleichung, wir haben Allgemeiner Fall t1 und t2. Wenn zu diesem Zeitpunkt eine negative Wurzel erhalten wird, kann diese aus der Lösung ausgeschlossen werden, da wir t=x^2 angenommen haben und das Quadrat jeder Zahl eine positive Zahl ist.

Zurück zu den ursprünglichen Variablen: x^2 =t1, x^2=t2.

x1,2 = ±√(t1), x3,4=±√(t2).

Schauen wir uns ein kleines Beispiel an:

9*x^4+5*x^2 - 4 = 0.

Lassen Sie uns den Ersatz t=x^2 einführen. Dann nimmt die ursprüngliche Gleichung die folgende Form an:

9*t^2+5*t-4=0.

Wir lösen diese quadratische Gleichung mit einer der bekannten Methoden und finden:

t1=4/9, t2=-1.

Die Wurzel -1 ist nicht geeignet, da die Gleichung x^2 = -1 keinen Sinn ergibt.

Der zweite Grundton 4/9 bleibt bestehen. Wenn wir zu den Anfangsvariablen übergehen, haben wir die folgende Gleichung:

x^2 = 4/9.

x1=-2/3, x2=2/3.

Dies wird die Lösung der Gleichung sein.

Antwort: x1=-2/3, x2=2/3.

Eine andere Art von Gleichung, die auf quadratische Gleichungen reduziert werden kann, sind gebrochene rationale Gleichungen. Rationale Gleichungen sind Gleichungen, deren linke und rechte Seite gleich sind rationale Ausdrücke. Wenn in einer rationalen Gleichung die linke oder rechte Seite ist Bruchausdrücke, dann das rationale Gleichung wird als Bruch bezeichnet.

Schema zur Lösung einer gebrochenen rationalen Gleichung

Allgemeines Schema zur Lösung einer gebrochenen rationalen Gleichung.

1. Finden gemeinsamer Nenner alle Brüche, die in die Gleichung eingehen.

2. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner.

3. Lösen Sie die resultierende ganze Gleichung.

4. Überprüfen Sie die Wurzeln und schließen Sie diejenigen aus, die den gemeinsamen Nenner verschwinden lassen.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Lösen Sie die gebrochene rationale Gleichung: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Wir bleiben beim allgemeinen Schema. Finden wir zunächst den gemeinsamen Nenner aller Brüche.

Wir erhalten x*(x-5).

Multiplizieren Sie jeden Bruch mit einem gemeinsamen Nenner und schreiben Sie die resultierende ganze Gleichung.

x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Vereinfachen wir die resultierende Gleichung. Wir bekommen,

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;

x^2+3*x-10=0;

Bekommen einfache reduzierte quadratische Gleichung. Wir lösen es mit einer der bekannten Methoden und erhalten die Wurzeln x=-2 und x=5. Nun überprüfen wir die erhaltenen Lösungen. Setze die Zahlen -2 und 5 in den gemeinsamen Nenner ein.

Bei x=-2 verschwindet der gemeinsame Nenner x*(x-5) nicht, -2*(-2-5)=14. Das bedeutet, dass die Zahl -2 die Wurzel der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung ist.

Bei x=5 wird der gemeinsame Nenner x*(x-5) Null. Daher ist diese Zahl nicht die Wurzel der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung, da eine Division durch Null erfolgt.

Antwort: x=-2.

Allgemeine Theorie der Problemlösung mithilfe von Gleichungen

Bevor wir zu bestimmten Arten von Problemen übergehen, stellen wir sie zunächst vor allgemeine Theorie verschiedene Probleme mithilfe von Gleichungen lösen. Zunächst werden Probleme in Disziplinen wie Wirtschaftswissenschaften, Geometrie, Physik und vielen anderen auf Gleichungen reduziert. Das allgemeine Verfahren zur Lösung von Problemen mithilfe von Gleichungen ist wie folgt:

Alle Größen, die wir aus den Problembedingungen suchen, sowie alle Hilfsgrößen werden durch für uns geeignete Variablen bezeichnet. Am häufigsten handelt es sich bei diesen Variablen um die letzten Buchstaben des lateinischen Alphabets.
Daten in Aufgaben umwandeln numerische Werte Neben verbalen Beziehungen werden eine oder mehrere Gleichungen aufgestellt (abhängig von den Bedingungen des Problems).
Sie lösen die resultierende Gleichung oder ihr System und verwerfen „unlogische“ Lösungen. Wenn Sie beispielsweise den Bereich finden müssen, dann eine negative Zahl, wird offensichtlich eine fremde Wurzel sein.
Wir bekommen die endgültige Antwort.

Beispielproblem in der Algebra

Hier geben wir ein Beispiel für ein Problem, das sich auf eine quadratische Gleichung reduziert, ohne sich auf einen bestimmten Bereich zu verlassen.

Beispiel 1

Finden Sie zwei solcher irrationalen Zahlen. Wenn Sie die Quadrate addieren, erhalten Sie fünf, und wenn Sie sie auf die übliche Weise addieren, erhalten Sie drei.

Bezeichnen wir diese Zahlen mit den Buchstaben $x$ und $y$. Entsprechend den Bedingungen des Problems ist es recht einfach, zwei Gleichungen $x^2+y^2=5$ und $x+y=3$ zu erstellen. Wir sehen, dass einer von ihnen quadratisch ist. Um eine Lösung zu finden, müssen Sie das System lösen:

$\cases(x^2+y^2=5,\\x+y=3.)$

Zuerst drücken wir ab dem zweiten $x$ aus

Einsetzen in das erste und Durchführen elementarer Transformationen

$(3-y)^2 +y^2=5$

$9-6y+y^2+y^2=5$

Wir fuhren mit der Lösung der quadratischen Gleichung fort. Machen wir das mit Formeln. Finden wir die Diskriminante:

Erste Wurzel

$y=\frac(3+\sqrt(17))(2)$

Zweite Wurzel

$y=\frac(3-\sqrt(17))(2)$

Suchen wir die zweite Variable.

Für die erste Wurzel:

$x=3-\frac(3+\sqrt(17))(2)=\frac(3-\sqrt(17))(2)$

Für die zweite Wurzel:

$x=3-\frac(3-\sqrt(17))(2)=\frac(3+\sqrt(17))(2)$

Da uns die Reihenfolge der Zahlen nicht wichtig ist, erhalten wir ein Zahlenpaar.

Antwort: $\frac(3-\sqrt(17))(2)$ und $\frac(3+\sqrt(17))(2)$.

Beispiel für ein Problem in der Physik

Betrachten wir ein Beispiel für ein Problem, das zur Lösung einer quadratischen Gleichung in der Physik führt.

Beispiel 2

Ein Hubschrauber, der bei ruhigem Wetter gleichmäßig fliegt, hat eine Geschwindigkeit von 250 km/h. Er muss von seiner Basis zum Brandort fliegen, der 70 $ km entfernt liegt, und zurück. Zu diesem Zeitpunkt wehte der Wind in Richtung Basis und verlangsamte die Bewegung des Hubschraubers in Richtung Wald. Aus diesem Grund kam er eine Stunde früher zur Basis zurück. Finden Sie die Windgeschwindigkeit.

Bezeichnen wir die Windgeschwindigkeit mit $v$. Dann erhalten wir, dass der Hubschrauber mit einer tatsächlichen Geschwindigkeit von $250-v$ auf den Wald zufliegt und dass seine tatsächliche Geschwindigkeit zurück $250+v$ beträgt. Berechnen wir die Zeit für die Hin- und Rückfahrt.

$t_1=\frac(70)(250-v)$

$t_2=\frac(70)(250+v)$

Da der Helikopter eine Stunde früher zur Basis zurückgekehrt ist, haben wir das getan

$\frac(70)(250-v)-\frac(70)(250+v)=1$

Bringen wir die linke Seite auf einen gemeinsamen Nenner, wenden wir die Proportionsregel an und führen elementare Transformationen durch:

$\frac(17500+70v-17500+70v)((250-v)(250+v))=1$

$140v=62500-v^2$

$v^2+140v-62500=0$

Zur Lösung dieses Problems haben wir eine quadratische Gleichung erhalten. Lass es uns lösen.

Wir werden es mit einer Diskriminante lösen:

$D=19600+250000=269600≈519^2$

Die Gleichung hat zwei Wurzeln:

$v=\frac(-140-519)(2)=-329,5$ und $v=\frac(-140+519)(2)=189,5$

Da wir nach Geschwindigkeit suchten (die nicht negativ sein kann), ist es offensichtlich, dass die erste Wurzel überflüssig ist.

Antwort: 189,5 $

Beispielproblem in der Geometrie

Betrachten wir ein Beispiel für ein Problem, das zur Lösung einer quadratischen Gleichung in der Geometrie führt.

Beispiel 3

Finden Sie den Bereich rechtwinkliges Dreieck, was erfüllt folgenden Bedingungen: Seine Hypotenuse ist gleich 25 $ und seine Schenkel stehen im Verhältnis von 4 $ zu 3 $.

Um den benötigten Bereich zu finden, müssen wir die Beine finden. Markieren wir einen Teil des Beins durch $x$. Wenn wir dann die Beine durch diese Variable ausdrücken, stellen wir fest, dass ihre Längen gleich $4x$ und $3x$ sind. Somit können wir aus dem Satz des Pythagoras die folgende quadratische Gleichung bilden:

$(4x)^2+(3x)^2=625$

(Die Wurzel $x=-5$ kann ignoriert werden, da das Bein nicht negativ sein kann)

Wir haben herausgefunden, dass die Beine jeweils 20 $ und 15 $ betragen, was die Fläche bedeutet

$S=\frac(1)(2)\cdot 20\cdot 15=150$

Es gibt mehrere Klassen von Gleichungen, die durch Reduktion auf quadratische Gleichungen gelöst werden können. Eine solche Gleichung sind biquadratische Gleichungen.

Biquadratische Gleichungen

Biquadratische Gleichungen sind Gleichungen der Form a*x^4 + b*x^2 + c = 0, wobei a ungleich 0 ist.

Biquadratische Gleichungen werden mit der Substitution x^2 =t gelöst. Nach einer solchen Substitution erhalten wir eine quadratische Gleichung für t. a*t^2+b*t+c=0. Wir lösen die resultierende Gleichung und im allgemeinen Fall haben wir t1 und t2. Wenn zu diesem Zeitpunkt eine negative Wurzel erhalten wird, kann diese aus der Lösung ausgeschlossen werden, da wir t=x^2 angenommen haben und das Quadrat jeder Zahl eine positive Zahl ist.

Zurück zu den ursprünglichen Variablen: x^2 =t1, x^2=t2.

x1,2 = ±√(t1), x3,4=±√(t2).

Schauen wir uns ein kleines Beispiel an:

9*x^4+5*x^2 - 4 = 0.

Lassen Sie uns den Ersatz t=x^2 einführen. Dann nimmt die ursprüngliche Gleichung die folgende Form an:

Wir lösen diese quadratische Gleichung mit einer der bekannten Methoden und finden:

Die Wurzel -1 ist nicht geeignet, da die Gleichung x^2 = -1 keinen Sinn ergibt.

Der zweite Grundton 4/9 bleibt bestehen. Wenn wir zu den Anfangsvariablen übergehen, haben wir die folgende Gleichung:

x1=-2/3, x2=2/3.

Dies wird die Lösung der Gleichung sein.

Antwort: x1=-2/3, x2=2/3.

Eine andere Art von Gleichung, die auf quadratische Gleichungen reduziert werden kann, sind gebrochene rationale Gleichungen. Rationale Gleichungen sind Gleichungen, deren linke und rechte Seite rationale Ausdrücke sind. Wenn in einer rationalen Gleichung die linke oder rechte Seite Bruchausdrücke sind, dann wird eine solche rationale Gleichung Bruch genannt.

Schema zur Lösung einer gebrochenen rationalen Gleichung

1. Finden Sie den gemeinsamen Nenner aller Brüche, die in der Gleichung enthalten sind.

2. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner.

3. Lösen Sie die resultierende ganze Gleichung.

4. Überprüfen Sie die Wurzeln und schließen Sie diejenigen aus, die den gemeinsamen Nenner verschwinden lassen.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Lösen Sie die gebrochene rationale Gleichung: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Wir bleiben beim allgemeinen Schema. Finden wir zunächst den gemeinsamen Nenner aller Brüche.

Wir erhalten x*(x-5).

Multiplizieren Sie jeden Bruch mit einem gemeinsamen Nenner und schreiben Sie die resultierende ganze Gleichung.

x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Vereinfachen wir die resultierende Gleichung. Wir bekommen,

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;

Bei x=-2 verschwindet der gemeinsame Nenner x*(x-5) nicht, -2*(-2-5)=14. Das bedeutet, dass die Zahl -2 die Wurzel der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung ist.

KOMMUNALE BILDUNGSEINRICHTUNG TUMANOVSKAYA SEKUNDARSCHULE DES GEMEINDEBEZIRKS MOSKALENSKY DER REGION OMSK

Unterrichtsthema: GLEICHUNGEN, DIE AUF DAS QUADRAT REDUZIERT WERDEN

Entwickelt von der Lehrerin für Mathematik und Physik an der Tumanovskaya-Sekundarschule BIRIKH TATYANA VIKTOROVNA

2008

Der Zweck der Lektion: 1) Möglichkeiten zur Lösung von Gleichungen berücksichtigen, die auf quadratische Gleichungen reduziert werden können; lehren, wie man solche Gleichungen löst. 2) die Sprache und das Denken, die Aufmerksamkeit und das logische Denken der Schüler zu entwickeln. 3) Interesse an Mathematik wecken,

Unterrichtsart: Lektion zum Erlernen neuer Materialien

Unterrichtsplan: 1. Organisationsphase
2. mündliche Arbeit
3. Praktische Arbeit
4. Zusammenfassung der Lektion

WÄHREND DES UNTERRICHTS
Heute lernen wir in der Lektion das Thema „Auf quadratische reduzierbare Gleichungen“ kennen. Jeder Schüler muss in der Lage sein, Gleichungen richtig und rational zu lösen und sie anzuwenden verschiedene Wege beim Lösen der gegebenen quadratischen Gleichungen.
1. Mündliche Arbeit 1. Welche der Zahlen: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 sind die Wurzeln der Gleichung: a) x 3 – x = 0; b) y 3 – 9y = 0; c) y 3 + 4y = 0? - Wie viele Lösungen kann eine Gleichung dritten Grades haben? - Mit welcher Methode haben Sie diese Gleichungen gelöst?2. Überprüfen Sie die Lösung der Gleichung: x 3 - 3x 2 + 4x – 12 = 0 x 2 (x - 3) + 4 (x - 3) = 0(x - 3) (x 2 + 4) = 0 (x - 3) (x - 2) (x + 2) = 0 Antwort: x = 3, x = -2, x = 2 Die Schüler erklären den Fehler, den sie gemacht haben. Ich fasse die mündliche Arbeit zusammen. Sie konnten also die drei vorgeschlagenen Gleichungen mündlich lösen und den Fehler beim Lösen der vierten Gleichung finden. Beim mündlichen Lösen von Gleichungen wurden die folgenden zwei Methoden verwendet: Platzieren des gemeinsamen Faktors außerhalb des Klammerzeichens und Faktorisieren. Versuchen wir nun, diese Methoden bei schriftlichen Arbeiten anzuwenden.
2. Praktische Arbeit 1. Ein Schüler löst die Gleichung an der Tafel 25x 3 – 50x 2 – x + 2 = 0 Beim Lösen achtet er besonders auf den Vorzeichenwechsel in der zweiten Klammer. Er rezitiert die gesamte Lösung und findet die Wurzeln der Gleichung.2. Ich schlage vor, dass stärkere Schüler die Gleichung x 3 – x 2 – 4(x - 1) 2 = 0 lösen. Bei der Lösungsüberprüfung lenke ich die Aufmerksamkeit der Studierenden besonders auf die wichtigsten Punkte.3. Arbeiten Sie an der Tafel. Löse die Gleichung (x 2 + 2x) 2 – 2(x 2 + 2x) – 3 = 0 Beim Lösen dieser Gleichung stellen die Schüler fest, dass es notwendig ist, eine „neue“ Methode zu verwenden – die Einführung einer neuen Variablen.Bezeichnen wir mit der Variablen y = x 2 + 2x und setzen sie in diese Gleichung ein. y 2 – 2y – 3 = 0. Lösen wir die quadratische Gleichung für die Variable y. Dann finden wir den Wert der Variablen x.4 . Betrachten Sie die Gleichung (x 2 – x + 1) (x 2 – x - 7) = 65. Beantworten wir die Fragen:- Welchen Grad hat diese Gleichung?- Welche Lösungsmethode ist zur Lösung am sinnvollsten?- Welche neue Variable soll eingeführt werden? (x 2 – x + 1) (x 2 – x - 7) = 65 Bezeichnen wir y = x 2 – x (y + 1) (y – 7) = 65Als nächstes löst die Klasse die Gleichung selbstständig. Wir überprüfen die Lösungen der Gleichung an der Tafel.5. Für starke Schüler schlage ich vor, die Gleichung zu lösen x 6 – 3x 4 – x 2 – 3 = 0 Antwort: -1, 1 6. Die Klasse schlägt vor, die Gleichung (2x 2 + 7x - 8) (2x 2 + 7x - 3) – 6 = 0 wie folgt zu lösen: Die stärksten Schüler – lösen sie unabhängig; Im Übrigen entscheidet einer der Studierenden im Gremium.Lösen Sie: 2x 2 + 7x = y(y - 8) (y - 3) – 6 = 0 Wir finden: y1 = 2, y2 = 9 Setzen Sie es in unsere Gleichung ein und finden Sie die Werte von x, dafür lösen wir die Gleichungen:2x 2 + 7x = 2 2x 2 + 7x = 9Als Ergebnis der Lösung zweier Gleichungen finden wir vier Werte von x, die die Wurzeln dieser Gleichung sind.7. Am Ende der Lektion schlage ich vor, die Gleichung x 6 – 1 = 0 mündlich zu lösen. Bei der Lösung ist es notwendig, die Differenzquadratformel anzuwenden; wir können die Wurzeln leicht finden.(x 3) 2 – 1 = 0 (x 3 - 1) (x 3 + 1) = 0 Antwort: -1, 1.
3. Zusammenfassung der Lektion Ich mache die Studierenden noch einmal auf die Methoden aufmerksam, mit denen auf quadratische Gleichungen reduzierte Gleichungen gelöst wurden. Die Leistungen der Studierenden im Unterricht werden bewertet, ich kommentiere die Noten und weise auf gemachte Fehler hin. Wir schreiben unsere Hausaufgaben auf. Der Unterricht verläuft in der Regel zügig und die Leistungen der Schüler sind hoch. Vielen Dank euch allen für die gute Arbeit.