Name: Handbuch der gewöhnlichen Differentialgleichungen.

„Handbook of Ordinary Differential Equations“ des berühmten deutschen Mathematikers Erich Kamke (1890 - 1961) ist eine Veröffentlichung, die in ihrer Materialabdeckung einzigartig ist und einen würdigen Platz in der weltweiten mathematischen Referenzliteratur einnimmt.
Die erste Ausgabe der russischen Übersetzung dieses Buches erschien 1951. Die zwei Jahrzehnte, die seitdem vergangen sind, waren eine Zeit der rasanten Entwicklung der Computermathematik und Computertechnologie. Moderne Computerwerkzeuge ermöglichen es, eine Vielzahl von Problemen, die früher zu umständlich erschienen, schnell und präzise zu lösen. Insbesondere numerische Methoden werden häufig bei Problemen mit gewöhnlichen Differentialgleichungen eingesetzt. Dennoch hat die Möglichkeit, die allgemeine Lösung einer bestimmten Differentialgleichung oder eines Systems in geschlossener Form niederzuschreiben, in vielen Fällen erhebliche Vorteile. Daher ist das umfangreiche Referenzmaterial erhalten, das im dritten Teil von E. Kamkes Buch – etwa 1650 Gleichungen mit Lösungen – gesammelt ist sehr wichtig und nun.

Zusätzlich zum oben genannten Referenzmaterial Das Buch von E. Kamke enthält eine Darstellung (allerdings ohne Beweis) der Grundkonzepte und wichtigsten Ergebnisse im Zusammenhang mit gewöhnlichen Differentialgleichungen. Es behandelt auch eine Reihe von Themen, die in Lehrbüchern zu Differentialgleichungen normalerweise nicht behandelt werden (z. B. die Theorie von Randwertproblemen und Eigenwertproblemen).
Das Buch von E. Kamke enthält viele für die tägliche Arbeit nützliche Fakten und Ergebnisse und hat sich für ein breites Spektrum von Wissenschaftlern und Fachleuten aus angewandten Bereichen, Ingenieuren und Studenten als wertvoll und notwendig erwiesen. Drei frühere Auflagen der Übersetzung dieses Nachschlagewerks ins Russische wurden von den Lesern positiv aufgenommen und sind längst ausverkauft.
Die russische Übersetzung wurde mit der sechsten deutschen Ausgabe (1959) erneut überprüft; Festgestellte Ungenauigkeiten, Fehler und Tippfehler wurden korrigiert. Alle vom Herausgeber und Übersetzer vorgenommenen Einfügungen, Kommentare und Ergänzungen zum Text werden in eckige Klammern gesetzt. Am Ende des Buches finden sich unter der Überschrift „Ergänzungen“ gekürzte Übersetzungen (angefertigt von N. Kh. Rozov) einiger Zeitschriftenartikel, die den Referenzteil ergänzen, den der Autor in der sechsten deutschen Auflage erwähnt hat.

TEIL EINS
ALLGEMEINE LÖSUNGSMETHODEN
Kapitel I.
§ 1. Differentialgleichungen aufgelöst in Bezug auf
Ableitung: y" =f(x,y); Grundkonzepte
1.1. Notationen und geometrische Bedeutung Differential
Gleichungen
1.2. Existenz und Einzigartigkeit einer Lösung
§ 2. Differentialgleichungen aufgelöst in Bezug auf
Ableitung: y" =f(x,y); Lösungsmethoden
2.1. Polylinienmethode
2.2. Picard-Lindelöf-Methode sukzessiver Approximationen
2.3. Anwendung von Potenzreihen
2.4. Ein allgemeinerer Fall einer Serienerweiterung25
2.5. Reihenerweiterung nach Parameter 27
2.6. Zusammenhang mit partiellen Differentialgleichungen27
2.7. Schätzsätze 28
2.8. Verhalten von Lösungen für große Werte von x 30
§ 3. Nicht aufgelöste Differentialgleichungen bezüglich32
Ableitung: F(y", y, x)=0
3.1. Über Lösungen und Lösungsmethoden 32
3.2. Regelmäßige und spezielle lineare Elemente33
§ 4. Lösung bestimmter Arten von Differentialgleichungen der ersten 34
Befehl
4.1. Differentialgleichungen mit separierbaren Variablen 35
4.2. y"=f(ax+by+c) 35
4.3. Linear Differentialgleichung 35.
4.4. Asymptotisches Verhalten von Lösungen linearer Differentialgleichungen
4.5. Bernoulli-Gleichung y"+f(x)y+g(x)ya=0 38
4.6. Homogene Differentialgleichungen und auf sie reduzierbare Gleichungen38
4.7. Verallgemeinerte homogene Gleichungen 40
4.8. Spezielle Gleichung Riccati: y"+ày2=bha 40
4.9. Allgemeine Gleichung Riccati: y"=f(x)y2+g(x)y+h(x)41
4.10. Abel-Gleichung erster Art44
4.11. Abel-Gleichung zweiter Art47
4.12. Gleichung in volle Differentiale 49
4.13. Integrationsfaktor 49
4.14. F(y",y,x)=0, „Integration durch Differentiation“ 50
4.15. (a) y=G(x, y"); (b) x=G(y, y") 50
4.16. (a) G(y ",x)=0; (b) G(y\y)=Q 51
4.17. (a) y"=g(y); (6) x=g(y") 51
4.18. Clairaut-Gleichungen 52
4.19. Lagrange-D'Alembert-Gleichung 52
4.20. F(x, xy"-y, y")=0. Legendre-Transformation53
Kapitel II. Beliebige Systeme von Differentialgleichungen, aufgelöst nach Ableitungen
§ 5. Grundbegriffe54
5.1. Notation und geometrische Bedeutung eines Systems von Differentialgleichungen
5.2. Existenz und Einzigartigkeit der Lösung 54
5.3. Carathéodorys Existenzsatz 5 5
5.4. Abhängigkeit der Lösung von den Anfangsbedingungen und Parametern56
5.5. Nachhaltigkeitsthemen57
§ 6. Lösungsmethoden 59
6.1. Methode der gestrichelten Linien59
6.2. Picard-Lindelöf-Methode sukzessiver Approximationen59
6.3. Anwendung der Potenzreihe 60
6.4. Zusammenhang mit partiellen Differentialgleichungen 61
6.5. Reduktion des Systems unter Verwendung einer bekannten Beziehung zwischen Lösungen
6.6. Reduktion eines Systems durch Differenzierung und Eliminierung 62
6.7. Schätzsätze 62
§ 7. Autonome Systeme 63
7.1. Definition und geometrische Bedeutung eines autonomen Systems 64
7.2. Über das Verhalten von Integralkurven in der Umgebung eines singulären Punktes im Fall n = 2
7.3. Kriterien zur Bestimmung des Typs des singulären Punktes 66
Kapitel III.
§ 8. Beliebige lineare Systeme70
8.1. Allgemeine Bemerkungen70
8.2. Existenz- und Einzigartigkeitssätze. Lösungsmethoden70
8.3. Ein heterogenes System auf ein homogenes reduzieren71
8.4. Schätzsätze 71
§ 9. Homogene lineare Systeme72
9.1. Eigenschaften von Lösungen. Grundlegende Entscheidungssysteme 72
9.2. Existenzsätze und Lösungsmethoden 74
9.3. Reduktion eines Systems auf ein System mit weniger Gleichungen75
9.4. Konjugiertes System von Differentialgleichungen76
9.5. Selbstadjunkte Systeme von Differentialgleichungen, 76
9.6. Konjugierte Systeme von Differentialformen; Lagrange-Identität, Greensche Formel
9.7. Grundlegende Lösungen78
§10. Homogene lineare Systeme mit singulären Punkten 79
10.1. Klassifizierung singulärer Punkte 79
10.2. Schwach singuläre Punkte80
10.3. Stark singuläre Punkte 82
§elf. Verhalten von Lösungen bei großen Werten von x 83
§12. Lineare Systeme abhängig vom Parameter84
§13. Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten 86
13.1. Homogene Systeme 83
13.2. Systeme mehr Gesamtansicht 87
Kapitel IV. Beliebige Differentialgleichungen n-ter Ordnung
§ 14. Gleichungen aufgelöst in Bezug auf die höchste Ableitung: 89
yin)=f(x,y,y\...,y(n-\))
§15. Gleichungen, die hinsichtlich der höchsten Ableitung nicht aufgelöst sind:90
F(x,y,y\...,y(n))=0
15.1. Gleichungen in totalen Differentialen90
15.2. Verallgemeinerte homogene Gleichungen 90
15.3. Gleichungen, die x oder y nicht explizit enthalten 91
Kapitel V Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung,
§16. Beliebige lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung92
16.1. Allgemeine Bemerkungen92
16.2. Existenz- und Einzigartigkeitssätze. Lösungsmethoden92
16.3. Eliminierung der Ableitung (n-1)-ter Ordnung94
16.4. Reduzieren einer inhomogenen Differentialgleichung auf eine homogene
16.5. Verhalten von Lösungen bei großen x94-Werten
§17. Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 95
17.1. Eigenschaften von Lösungen und Existenzsätze 95
17.2. Reduzierung der Ordnung einer Differentialgleichung96
17.3. 0 Nulllösungen 97
17.4. Grundlegende Lösungen 97
17.5. Konjugierte, selbstadjungierte und antiselbstadjungierte Differentialformen
17.6. Lagranges Identität; Dirichlet- und Green-Formeln 99
17.7. Über Lösungen konjugierter Gleichungen und Gleichungen in Totaldifferentialen
§18. Homogene lineare Differentialgleichungen mit Singularitäten101
Punkte
18.1. Klassifizierung singulärer Punkte 101
18.2. Der Fall, wenn der Punkt x = E, regelmäßig oder schwach singulär104
18.3. Der Fall, wenn der Punkt x=inf regelmäßig oder schwach singulär ist108
18.4. Der Fall, wenn der Punkt x=% ist, ist etwas ganz Besonderes 107
18.5. Der Fall, dass der Punkt x=inf etwas ganz Besonderes ist 108
18.6. Differentialgleichungen mit Polynomkoeffizienten
18.7. Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten
18.8. Differentialgleichungen mit doppelt periodischen Koeffizienten
18.9. Der Fall einer reellen Variablen112
§19. Lösen linearer Differentialgleichungen mit 113
bestimmte Integrale
19.1. Allgemeines Prinzip 113
19.2. Laplace-Transformation 116
19.3. Spezielle Laplace-Transformation 119
19.4. Mellin-Transformation 120
19.5. Euler-Transformation 121
19.6. Lösung mit Doppelintegralen 123
§ 20. Verhalten von Lösungen für große Werte von x 124
20.1. Polynomkoeffizienten124
20.2. Koeffizienten einer allgemeineren Form 125
20.3. Kontinuierliche Quote 125
20.4. Schwingungssätze126
§21. Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung in Abhängigkeit von127
Parameter
§ 22. Einige Sondertypen lineares Differential129
Gleichungen n-ter Ordnung
22.1. Homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
22.2. Inhomogene Differentialgleichungen mit Konstanten130
22.3. Eulers Gleichungen 132
22.4. Laplace-Gleichung132
22.5. Gleichungen mit Polynomkoeffizienten133
22.6. Pochhammer-Gleichung134
Kapitel VI. Differentialgleichungen zweiter Ordnung
§ 23. Nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung 139
23.1. Methoden zum Lösen privater Typen gibt es nicht lineare Gleichungen 139
23.2. Einige zusätzliche Anmerkungen140
23.3. Grenzwertsätze 141
23.4. Schwingungssatz 142
§ 24. Beliebige lineare Differentialgleichungen des zweiten 142
Befehl
24.1. Allgemeine Bemerkungen142
24.2. Einige Lösungsmethoden 143
24.3. Schätzsätze 144
§ 25. Homogene lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung 145
25.1. Reduktion linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung
25.2. Weitere Bemerkungen zur Reduktion linearer Gleichungen zweiter Ordnung
25.3. Erweitern der Lösung in einen Kettenbruch 149
25.4. Allgemeine Bemerkungen zu Lösungsnullstellen150
25.5. Nullstellen von Lösungen auf einem endlichen Intervall151
25.6. Verhalten von Lösungen für x->inf 153
25.7. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit singulären Punkten
25.8. Näherungslösungen. Asymptotische Lösungen reelle Variable
25.9. Asymptotische Lösungen; komplexe Variable161
25.10. VBK-Methode 162
Kapitel VII. Lineare Differentialgleichungen der dritten und vierten
Größenordnungen
§ 26. Lineare Differentialgleichungen dritter Ordnung163
§ 27. Lineare Differentialgleichungen vierter Ordnung 164
Kapitel VIII. Näherungsmethoden zur Differentialintegration
Gleichungen
§ 28. Ungefähre Integration von Differentialgleichungen 165
erste Bestellung
28.1. Methode der gestrichelten Linien165.
28.2. Zusätzliche Halbschrittmethode 166
28.3. Runge-Heine-Kutta-Methode 167
28.4. Kombination von Interpolation und sukzessiver Approximation168
28.5. Adams-Methode 170
28.6. Ergänzungen zur Adams-Methode 172
§ 29. Ungefähre Integration von Differentialgleichungen 174
höhere Ordnungen
29.1. Methoden zur approximativen Integration von Systemen von Differentialgleichungen erster Ordnung
29.2. Polylinienmethode für Differentialgleichungen zweiter Ordnung 176
29.3. Runge-Kutta-Methode für Differentialgleichungen zweiter Ordnung
29.4. Adams-Stoermer-Methode für die Gleichung y"=f(x,y,y) 177
29.5. Adams-Stoermer-Methode für die Gleichung y"=f(x,y) 178
29.6. Bless-Methode für die Gleichung y"=f(x,y,y) 179

ZWEITER TEIL
Randwertprobleme und Eigenwertprobleme
Kapitel I. Randwertprobleme und Eigenwertprobleme für lineare
Differentialgleichungen n-ter Ordnung
§ 1. Allgemeine Theorie Randwertprobleme182
1.1. Notationen und Vorbemerkungen 182
1.2. Bedingungen für die Lösbarkeit eines Randwertproblems184
1.3. Konjugiertes Randwertproblem 185
1.4. Selbstadjunkte Randwertprobleme 187
1.5. Greensche Funktion 188
1.6. Lösung eines inhomogenen Randwertproblems mit der Greenschen Funktion 190
1.7. Verallgemeinerte Greensche Funktion 190
§ 2. Randwertprobleme und Eigenwertprobleme für Gleichung 193
£ШУ(У)+ИХ)У = 1(Х)
2.1. Eigenwerte und Eigenfunktionen; charakteristische Determinante A(X)
2.2. Konjugiertes Eigenwertproblem und Greensche Auflösung; vollständiges biorthogonales System
2.3. Normalisierte Randbedingungen; reguläre Eigenwertprobleme
2.4. Eigenwerte für reguläre und unregelmäßige Eigenwertprobleme
2.5. Zersetzung gegebene Funktion durch Eigenfunktionen regulärer und unregelmäßiger Eigenwertprobleme
2.6. Selbstadjungierte normale Eigenwertprobleme 200
2.7. Über Integralgleichungen vom Fredholm-Typ 204
2.8. Zusammenhang zwischen Randwertproblemen und Integralgleichungen vom Fredholm-Typ
2.9. Zusammenhang zwischen Eigenwertproblemen und Integralgleichungen vom Fredholm-Typ
2.10. Über Integralgleichungen vom Typ Volterra211
2.11. Zusammenhang zwischen Randwertproblemen und Integralgleichungen vom Typ Volterra
2.12. Zusammenhang zwischen Eigenwertproblemen und Integralgleichungen vom Typ Volterra
2.13. Zusammenhang zwischen Eigenwertproblemen und Variationsrechnung
2.14. Anwendung auf die Eigenfunktionsentwicklung218
2.15. Zusätzliche Hinweise219
§ 3. Näherungsmethoden zur Lösung von Eigenwertproblemen und222-
Randwertprobleme
3.1. Ungefähre Galerkin-Ritz-Methode222
3.2. Ungefähre Grammel-Methode224
3.3. Lösung eines inhomogenen Randwertproblems mit der Galerkin-Ritz-Methode
3.4. Methode der sukzessiven Approximationen 226
3.5. Näherungslösung von Randwertproblemen und Eigenwertproblemen mit der Finite-Differenzen-Methode
3.6. Störungsmethode 230
3.7. Schätzungen für Eigenwerte 233
3.8. Überprüfung der Methoden zur Berechnung von Eigenwerten und Eigen236-Funktionen
§ 4. Selbstadjunkte Eigenwertprobleme für die Gleichung238
F(y)=W(y)
4.1. Problemstellung 238
4.2. Allgemeine Vorbemerkungen 239
4.3. Normale Eigenwertprobleme 240
4.4. Probleme mit positiv definiten Eigenwerten 241
4.5. Eigenfunktionserweiterung 244
§ 5. Rand- und Zusatzbedingungen allgemeinerer Form 247
Kapitel II. Randwertprobleme und Eigenwertprobleme für Systeme
lineare Differentialgleichungen
§ 6. Randwertprobleme und Eigenwertprobleme für Systeme 249
lineare Differentialgleichungen
6.1. Notations- und Lösbarkeitsbedingungen 249
6.2. Konjugiertes Randwertproblem 250
6.3. Green-Matrix252
6.4. Eigenwertprobleme 252-
6.5. Selbstadjungierte Eigenwertprobleme 253
Kapitel III. Randwertprobleme und Eigenwertprobleme für Gleichungen
niedrigere Ordnungen
§ 7. Probleme erster Ordnung256
7.1. Lineare Probleme 256
7.2. Nichtlineare Probleme 257
§ 8. Lineare Randwertprobleme zweiter Ordnung257
8.1. Allgemeine Hinweise 257
8.2. Greensche Funktion 258
8.3. Schätzungen für Lösungen von Randwertproblemen erster Art259
8.4. Randbedingungen für |x|->inf259
8.5. Periodische Lösungen finden 260
8.6. Ein Randwertproblem im Zusammenhang mit der Untersuchung der Flüssigkeitsströmung 260
§ 9. Lineare Eigenwertprobleme zweiter Ordnung 261
9.1. Allgemeine Hinweise 261
9.2 Selbstadjungierte Eigenwertprobleme 263
9.3. y"=F(x,)Cjz, z"=-G(x,h)y und die Randbedingungen sind selbstadjungiert266
9.4. Eigenwertprobleme und das Variationsprinzip269
9.5. Zur praktischen Berechnung von Eigenwerten und Eigenfunktionen
9.6. Eigenwertprobleme, nicht unbedingt selbstadjungiert271
9.7. Zusätzliche Bedingungen allgemeinere Form273
9.8. Eigenwertprobleme mit mehreren Parametern
9.9. Differentialgleichungen mit Singularitäten an Randpunkten 276
9.10. Eigenwertprobleme auf einem unendlichen Intervall 277
§10. Nichtlineare Randwertprobleme und Eigenwertprobleme 278
zweite Bestellung
10.1. Randwertprobleme für ein endliches Intervall 278
10.2. Randwertprobleme für ein halbbeschränktes Intervall 281
10.3. Eigenwertprobleme282
§elf. Randwertprobleme und Probleme zu Eigenwerten der dritten – 283
Achte Ordnung
11.1. Lineare Eigenwertprobleme dritter Ordnung283
11.2. Lineare Eigenwertprobleme vierter Ordnung 284
11.3. Lineare Probleme für ein System aus zwei Differentialgleichungen zweiter Ordnung
11.4. Nichtlineare Randwertprobleme vierter Ordnung 287
11.5. Eigenwertprobleme sind mehr hoher Auftrag 288

TEIL DREI
Separate Differentialgleichungen
Vorbemerkungen 290
Kapitel I. Differentialgleichungen erster Ordnung
1-367. Differentialgleichungen ersten Grades zu U 294
368-517. Differentialgleichungen zweiten Grades bezüglich334
518-544. Differentialgleichungen dritten Grades nach 354
545-576. Differentialgleichungen allgemeinerer Form358
Kapitel II. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
1-90. ay" + ...363
91-145. (ax+lyu" + ... 385
146-221.x2 y" + ... 396
222-250. (x2±a2)y"+... 410
251-303. (ax2 +bx+c)y" + ... 419
304-341. (ax3 +...)y" + ...435
342-396. (ax4 +...)y" + ...442
397-410. (ah" +...)y" + ...449
411-445. Andere Differentialgleichungen 454
Kapitel III. Lineare Differentialgleichungen dritter Ordnung
Kapitel IV. Lineare Differentialgleichungen vierter Ordnung
Kapitel V Lineare Differentialgleichungen der Quinte und höher
Größenordnungen
Kapitel VI. Nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
1-72. ay"=F(x,y,y)485
73-103./(x);y"=F(x,;y,;y") 497
104- 187./(x)xy"CR(x,;y,;y")503
188-225. f(x,y)y"=F(x,y,y)) 514
226-249. Andere Differentialgleichungen 520
Kapitel VII. Nichtlineare Differentialgleichungen der dritten und mehr
hohe Aufträge
Kapitel VIII. Systeme linearer Differentialgleichungen
Vorbemerkungen 530
1-18. Systeme zweier Differentialgleichungen erster Ordnung S. 530
konstante Quote 19-25.
Systeme zweier Differentialgleichungen erster Ordnung S. 534
variable Quoten
26-43. Systeme zweier Differentialgleichungen höherer Ordnung535
Erste
44-57. Systeme mit mehr als zwei Differentialgleichungen538
Kapitel IX. Systeme nichtlinearer Differentialgleichungen
1-17. Systeme zweier Differentialgleichungen541
18-29. Systeme mit mehr als zwei Differentialgleichungen 544
ERGÄNZUNGEN
Zur Lösung linearer homogener Gleichungen zweiter Ordnung (I. Zbornik) 547
Ergänzungen zum Buch von E. Kamke (D. Mitrinovic) 556
Eine neue Methode zur Klassifizierung linearer Differentialgleichungen und 568
sie zu bauen Allgemeine Lösung Verwendung von Wiederholungsformeln
(I. Zbornik)
Sachregister 571

Kamke E. Handbuch der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung: Handbuch. Herausgegeben von N.X. Rozova - M.: „Nauka“, 1966. - 258 S.
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Allerdings ganz genau In letzter Zeit Das Interesse an partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung hat wieder stark zugenommen. Dies wurde durch zwei Umstände erleichtert. Zunächst stellte sich heraus, dass die sogenannten verallgemeinerten Lösungen quasilinearer Gleichungen erster Ordnung für Anwendungen (z. B. in der Theorie von Stoßwellen in der Gasdynamik usw.) von außerordentlichem Interesse sind. Darüber hinaus hat die Theorie der Systeme partieller Differentialgleichungen große Fortschritte gemacht. Dennoch gibt es bis heute keine Monographie in russischer Sprache, die alle in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung gesammelten Fakten sammeln und darstellen würde, außer dem bekannten Buch von N. M. Gun-

VORWORT ZUR RUSSISCHEN AUSGABE

tera, die längst zu einer bibliographischen Rarität geworden ist. Dieses Buch füllt diese Lücke ein Stück weit.

Der Name Professor E. Kamke von der Universität Tübingen ist sowjetischen Mathematikern bekannt. Er besitzt große Nummer arbeitet über Differentialgleichungen und einige andere Zweige der Mathematik sowie mehrere Lehrbücher. Insbesondere seine Monographie „Lebesgue-Stieltjes Integral“ wurde 1959 ins Russische übersetzt und veröffentlicht. Das „Handbook of Ordinary Differential Equations“, eine Übersetzung des ersten Bandes der „Gewohnlichen Differentialgleichungen“ von E. Kamkes Buch „Differentialgleichungen (Lösungsmethoden und Lösungen)“, erlebte 1951, 1961, 1965 drei Auflagen in russischer Sprache.

„Handbook of First Order Partial Differential Equations“ ist eine Übersetzung des zweiten Bandes desselben Buches. Hier sind etwa 500 Gleichungen mit Lösungen gesammelt. Zusätzlich zu diesem Material enthält dieses Nachschlagewerk eine Zusammenfassung (ohne Beweise) einer Reihe theoretischer Themen, darunter auch solcher, die nicht in regulären Kursen zu Differentialgleichungen behandelt werden, zum Beispiel Existenzsätze, Eindeutigkeit usw.

Bei der Vorbereitung der russischen Ausgabe wurde die umfangreiche Bibliographie des Buches überarbeitet. Verweise auf alte und unzugängliche ausländische Lehrbücher wurden, wann immer möglich, durch Verweise auf inländische und übersetzte Literatur ersetzt. Alle festgestellten Ungenauigkeiten, Fehler und Tippfehler wurden korrigiert. Alle während der Bearbeitung des Buches vorgenommenen Einfügungen, Kommentare und Ergänzungen werden in eckige Klammern gesetzt.

Dieses Anfang der vierziger Jahre entstandene (und seitdem in der DDR immer wieder unverändert aufgelegte) Nachschlagewerk spiegelt zweifellos nicht mehr vollständig die heute vorhandenen Errungenschaften in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung wider. Somit findet das Nachschlagewerk keine Reflexion über die Theorie verallgemeinerter Lösungen quasilinearer Gleichungen, die in den bekannten Werken von I. M. Gelfand, O. A. Oleinik usw. entwickelt wurde. Man kann Beispiele für neuere Ergebnisse nennen, die nicht im Buch enthalten sind und sich darauf beziehen zu den im Nachschlagewerk direkt angesprochenen Themen. Auch die Theorie der Pfaffschen Gleichungen wird im Nachschlagewerk nicht behandelt. Es scheint jedoch, dass das Buch auch in dieser Form zweifellos ein nützlicher Leitfaden für die klassische Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung sein wird.

Die im Buch gegebene Zusammenfassung der Gleichungen, deren Lösungen in endlicher Form geschrieben werden können, ist sehr interessant und nützlich, erhebt aber natürlich keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Es wurde vom Autor auf der Grundlage von Werken zusammengestellt, die vor den frühen vierziger Jahren erschienen sind.

EINIGE NOTATIONEN

x, y; Hallo XP; y.... yn – unabhängige Variablen, r- (x(, xn) a, b, c; A, B, C – Konstanten, konstante Koeffizienten, @, @ (x, y), @ (r) – offen Region, Region auf der Ebene (x, y), im Raum der Variablen xt,...,xn [normalerweise der Bereich der Kontinuität von Koeffizienten und Lösungen. - Hrsg.], g - Unterdomäne @, F, f - allgemein Funktion,

fi – beliebige Funktion, r;r(x,y); z - ty(x....., xn) - die erforderliche Funktion, Lösung,

Dg_dg_dg_dg

ð~~дх "q~~dy~" Pv~lx^" qv~~dy~^"

x, |L, k, n – Summationsindizes,

\n)~n! (p - t)! "

/g„...zln\

det | zkv\ ist die Determinante der Matrix I.....I.

\gsh - gpp I

AKZEPTIERTE ABKÜRZUNGEN IN BIBLIOGRAPHISCHEN ANMERKUNGEN

Gunter - N.M. Gunter, Integration partieller Differentialgleichungen erster Ordnung, GTTI, 1934.

Kamke – E. Kamke, Handbook of Ordinary Differential Equations, Science, 1964.

Courant – R. Courant, Partielle Differentialgleichungen, „World“, 1964.

Petrovsky - I.G. Petrovsky, Vorlesungen zur Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen, „Science“, 1964.

Stepanov - V. V. Stepanov, Kurs über Differentialgleichungen, Fizmat-Giz, 1959.

Kamke, DQlen-E. Kamke, Differentialgleichungen reeller Funktionen, Leipzig, 1944.

Abkürzungen für Zeitschriftennamen entsprechen allgemein anerkannten Abkürzungen und werden daher in der Übersetzung weggelassen; siehe jedoch K a m k e. - Ca. Hrsg.]

TEIL EINS

ALLGEMEINE LÖSUNGSMETHODEN

[Die folgende Literatur widmet sich den im ersten Teil behandelten Themen:

Pro. mit ihm. – 4. Aufl., rev. - M.: Wissenschaft: Kap. Hrsg. Physik und Mathematik lit., 1971. - 576 S.

VOM VORWORT BIS ZUR VIERTEN AUFLAGE

„Handbook of Ordinary Differential Equations“ des berühmten deutschen Mathematikers Erich Kamke (1890-1961) ist eine Veröffentlichung, die in ihrer Materialabdeckung einzigartig ist und einen würdigen Platz in der weltweiten mathematischen Referenzliteratur einnimmt.

Die erste Ausgabe der russischen Übersetzung dieses Buches erschien 1951. Die zwei Jahrzehnte, die seitdem vergangen sind, waren eine Zeit der rasanten Entwicklung der Computermathematik und der Computertechnologie. Moderne Computerwerkzeuge ermöglichen es, eine Vielzahl von Problemen, die früher zu umständlich erschienen, schnell und präzise zu lösen. Insbesondere numerische Methoden werden häufig bei Problemen mit gewöhnlichen Differentialgleichungen eingesetzt. Dennoch hat die Möglichkeit, die allgemeine Lösung einer bestimmten Differentialgleichung oder eines Systems in geschlossener Form niederzuschreiben, in vielen Fällen erhebliche Vorteile. Daher ist das umfangreiche Referenzmaterial, das im dritten Teil von E. Kamkes Buch gesammelt wird – etwa 1650 Gleichungen mit Lösungen – auch heute noch von großer Bedeutung.

Zusätzlich zum angegebenen Referenzmaterial enthält das Buch von E. Kamke eine Darstellung (allerdings ohne Beweis) der Grundkonzepte und wichtigsten Ergebnisse im Zusammenhang mit gewöhnlichen Differentialgleichungen. Es behandelt auch eine Reihe von Themen, die in Lehrbüchern zu Differentialgleichungen normalerweise nicht behandelt werden (z. B. die Theorie von Randwertproblemen und Eigenwertproblemen).

Das Buch von E. Kamke enthält viele für die tägliche Arbeit nützliche Fakten und Ergebnisse und hat sich für ein breites Spektrum von Wissenschaftlern und Fachleuten aus angewandten Bereichen, Ingenieuren und Studenten als wertvoll und notwendig erwiesen. Drei frühere Auflagen der Übersetzung dieses Nachschlagewerks ins Russische wurden von den Lesern positiv aufgenommen und sind längst ausverkauft.

• Inhaltsverzeichnis
• Vorwort zur vierten Auflage 11
• Einige Symbole 13
• Akzeptierte Abkürzungen in bibliografischen Anweisungen 13
• TEIL EINS
• ALLGEMEINE LÖSUNGSMETHODEN Kapitel I. Differentialgleichungen erster Ordnung
• § 1. In Bezug auf 19 gelöste Differentialgleichungen
• Derivat: y" =f(x,y); grundlegendes Konzept
• 1.1. Notation und geometrische Bedeutung des Differentials 19
• Gleichungen
• 1.2. Existenz und Einzigartigkeit der Lösung 20
• § 2. Differentialgleichungen gelöst in Bezug auf 21
• Derivat: y" =f(x,y); Lösungsmethoden
• 2.1. Polylinienmethode 21
• 2.2. Picard-Lindelöf-Methode sukzessiver Approximationen 23
• 2.3. Anwendung der Potenzreihe 24
• 2.4. Ein allgemeinerer Fall einer Serienerweiterung 25
• 2.5. Reihenerweiterung nach Parameter 27
• 2.6. Zusammenhang mit partiellen Differentialgleichungen 27
• 2.7. Schätzsätze 28
• 2.8. Verhalten von Lösungen bei großen Werten X 30
• § 3. Differentialgleichungen nicht gelöst in Bezug auf 32
• Derivat: F(y", y, x)=0
• 3.1. Über Lösungen und Lösungsmethoden 32
• 3.2. Regelmäßige und spezielle lineare Elemente 33
• § 4. Lösung bestimmter Arten von Differentialgleichungen der ersten 34
• Befehl
• 4.1. Differentialgleichungen mit separierbaren Variablen 35
• 4.2. y"=f(ax+by+c) 35
• 4.3. Lineare Differentialgleichungen 35.
• 4.4. Asymptotisches Verhalten von Lösungen
• 4.5. Bernoulli-Gleichung y"+f(x)y+g(x)y a =0 38
• 4.6. Homogene Differentialgleichungen und ihre Reduktion 38
• 4.7. Verallgemeinerte homogene Gleichungen 40
• 4.8. Spezielle Riccati-Gleichung: y "+ ay 2 = bx a 40
• 4.9. Allgemeine Riccati-Gleichung: y"=f(x)y 2 +g(x)y+h(x) 41
• 4.10. Abel-Gleichung erster Art 44
• 4.11. Abel-Gleichung zweiter Art 47
• 4.12. Gleichung in Gesamtdifferentialen 49
• 4.13. Integrationsfaktor 49
• 4.14. F(y",y,x)=0, „Integration durch Differentiation“ 50
• 4.15. (A) y=G(x, y"); (b) x=G(y, y") 50 4.16. (a) G(y ",x)=0; (b) G(y y)=Q 51
• 4L7. (a) y"=g(y); (6) x=g(y") 51
• 4.18. Clairaut-Gleichungen 52
• 4.19. Lagrange-D'Alembert-Gleichung 52
• 4.20. F(x, xy"-y, y")=0. Legendres Verwandlung 53 Kapitel II. Beliebige Systeme von Differentialgleichungen,
• hinsichtlich Derivaten zulässig
• § 5. Grundbegriffe 54
• 5.1. Notation und geometrische Bedeutung eines Systems von Differentialgleichungen
• 5.2. Existenz und Einzigartigkeit der Lösung 54
• 5.3. Carathéodorys Existenzsatz 5 5
• 5.4. Abhängigkeit der Lösung von den Anfangsbedingungen und Parametern 56
• 5.5. Nachhaltigkeitsthemen 57
• § 6. Lösungsmethoden 59
• 6.1. Polylinienmethode 59
• 6.2. Picard-Lindelöf-Methode sukzessiver Approximationen 59
• 6.3. Anwendung der Potenzreihe 60
• 6.4. Zusammenhang mit partiellen Differentialgleichungen 61
• 6.5. Reduktion des Systems unter Verwendung einer bekannten Beziehung zwischen Lösungen
• 6.6. Reduktion eines Systems durch Differenzierung und Eliminierung 62
• 6.7. Schätzsätze 62
• § 7. Autonome Systeme 63
• 7.1. Definition und geometrische Bedeutung eines autonomen Systems 64
• 7.2. Über das Verhalten von Integralkurven in der Umgebung eines singulären Punktes im Fall n = 2
• 7.3. Kriterien zur Bestimmung des Typs des singulären Punktes 66
• Kapitel III. Systeme linearer Differentialgleichungen
• § 8. Beliebige lineare Systeme 70
• 8.1. Allgemeine Hinweise 70
• 8.2. Existenz- und Einzigartigkeitssätze. Lösungsmethoden 70
• 8.3. Ein heterogenes System auf ein homogenes reduzieren 71
• 8.4. Schätzsätze 71
• § 9. Homogene lineare Systeme 72
• 9.1. Eigenschaften von Lösungen. Grundlegende Entscheidungssysteme 72
• 9.2. Existenzsätze und Lösungsmethoden 74
• 9.3. Reduktion eines Systems auf ein System mit weniger Gleichungen 75
• 9.4. Konjugiertes Differentialgleichungssystem 76
• 9.5. Selbstadjunkte Systeme von Differentialgleichungen, 76
• 9.6. Konjugierte Systeme von Differentialformen; Lagrange-Identität, Greensche Formel
• 9.7. Grundlegende Lösungen 78
• §10. Homogene lineare Systeme mit singulären Punkten 79
• 10.1. Klassifizierung singulärer Punkte 79
• 10.2. Schwach singuläre Punkte 80
• 10.3. Stark singuläre Punkte 82 §11. Verhalten von Lösungen bei großen Werten X 83
• §12. Lineare Systeme abhängig von Parameter 84
• §13. Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten 86
• 13.1. Homogene Systeme 83
• 13.2. Systeme allgemeinerer Form 87 Kapitel IV. Beliebige Differentialgleichungen n-te Ordnung
• § 14. Gleichungen aufgelöst in Bezug auf die höchste Ableitung: 89
• yin)=f(x,y,y...,y(n-) )
• §15. Gleichungen, die hinsichtlich der höchsten Ableitung nicht aufgelöst wurden: 90
• F(x,y,y...,y(n))=0
• 15.1. Gleichungen in totalen Differentialen 90
• 15.2. Verallgemeinerte homogene Gleichungen 90
• 15.3. Gleichungen, die nicht explizit enthalten x oder bei 91 Kapitel V. Lineare Differentialgleichungen n-te Ordnung,
• §16. Beliebige lineare Differentialgleichungen n etwas über 92
• 16.1. Allgemeine Hinweise 92
• 16.2. Existenz- und Einzigartigkeitssätze. Lösungsmethoden 92
• 16.3. Eliminierung des Derivats (n-1)te Ordnung 94
• 16.4. Reduzieren einer inhomogenen Differentialgleichung auf eine homogene
• 16.5. Verhalten von Lösungen bei großen Werten X 94
• §17. Homogene lineare Differentialgleichungen n etwa 95
• 17.1. Eigenschaften von Lösungen und Existenzsätze 95
• 17.2. Reduzierung der Ordnung einer Differentialgleichung 96
• 17.3. 0 Nulllösungen 97
• 17.4. Grundlegende Lösungen 97
• 17.5. Konjugierte, selbstadjungierte und antiselbstadjungierte Differentialformen
• 17.6. Lagranges Identität; Dirichlet- und Green-Formeln 99
• 17.7. Über Lösungen konjugierter Gleichungen und Gleichungen in Totaldifferentialen
• §18. Homogene lineare Differentialgleichungen mit Singularitäten 101
• Punkte
• 18.1. Klassifizierung singulärer Punkte 101
• 18.2. Der Fall, wenn der Punkt x=E, regulär oder schwach speziell 104
• 18.3. Der Fall, wenn der Punkt x=inf regulär oder schwach singulär ist 108
• 18.4. Der Fall, wenn der Punkt x=% ganz besonders 107
• 18.5. Der Fall, dass der Punkt x=inf etwas ganz Besonderes ist 108
• 18.6. Differentialgleichungen mit Polynomkoeffizienten
• 18.7. Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten
• 18.8. Differentialgleichungen mit doppelt periodischen Koeffizienten
• 18.9. Der Fall einer reellen Variablen 112
• §19. Lösen linearer Differentialgleichungen mit 113
• Bestimmte Integrale 19.1. Allgemeiner Grundsatz 113
• 19.2. Laplace-Transformation 116
• 19.3. Spezielle Laplace-Transformation 119
• 19.4. Mellin-Transformation 120
• 19.5. Euler-Transformation 121
• 19.6. Lösung mit Doppelintegralen 123
• § 20. Verhalten von Lösungen für große Werte X 124
• 20.1. Polynomkoeffizienten 124
• 20.2. Koeffizienten einer allgemeineren Form 125
• 20.3. Kontinuierliche Quote 125
• 20.4. Schwingungssätze 126
• §21. Lineare Differentialgleichungen n-Reihenfolge abhängig von 127
• Parameter
• § 22. Einige spezielle Arten linearer Differentiale 129
• Gleichungen n-Ordnung
• 22.1. Homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
• 22.2. Inhomogene Differentialgleichungen mit Konstanten 130
• 22.3. Eulers Gleichungen 132
• 22.4. Laplace-Gleichung 132
• 22.5. Gleichungen mit Polynomkoeffizienten 133
• 22.6. Pochhammer-Gleichung 134
• Kapitel VI. Differentialgleichungen zweiter Ordnung
• § 23. Nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung 139
• 23.1. Methoden zur Lösung bestimmter Typen nichtlineare Gleichungen 139
• 23.2. Einige zusätzliche Anmerkungen 140
• 23.3. Grenzwertsätze 141
• 23.4. Schwingungssatz 142
• § 24. Beliebige lineare Differentialgleichungen des zweiten 142
• Befehl
• 24.1. Allgemeine Hinweise 142
• 24.2. Einige Lösungsmethoden 143
• 24.3. Schätzsätze 144
• § 25. Homogene lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung 145
• 25.1. Reduktion linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung
• 25.2. Weitere Bemerkungen zur Reduktion linearer Gleichungen zweiter Ordnung
• 25.3. Erweitern der Lösung in einen Kettenbruch 149
• 25.4. Allgemeine Bemerkungen zu Lösungsnullstellen 150
• 25.5. Nullstellen von Lösungen auf einem endlichen Intervall 151
• 25.6. Verhalten von Lösungen bei x->inf 153
• 25.7. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit singulären Punkten
• 25.8. Näherungslösungen. Asymptotische Lösungen reelle Variable
• 25.9. Asymptotische Lösungen; komplexe Variable 161 25.10. VBK-Methode 162 Kapitel VII. Lineare Differentialgleichungen der dritten und vierten
• Größenordnungen
• § 26. Lineare Differentialgleichungen dritter Ordnung 163
• § 27. Lineare Differentialgleichungen vierter Ordnung 164 Kapitel VIII. Näherungsmethoden zur Differentialintegration
• Gleichungen
• § 28. Ungefähre Integration von Differentialgleichungen 165
• erste Bestellung
• 28.1. Polylinienmethode 165.
• 28.2. Zusätzliche Halbschrittmethode 166
• 28.3. Runge-Heine-Kutta-Methode 167
• 28.4. Kombination von Interpolation und sukzessiven Approximationen 168
• 28.5. Adams-Methode 170
• 28.6. Ergänzungen zur Adams-Methode 172
• § 29. Ungefähre Integration von Differentialgleichungen 174
• höhere Ordnungen
• 29.1. Methoden zur approximativen Integration von Systemen von Differentialgleichungen erster Ordnung
• 29.2. Polylinienmethode für Differentialgleichungen zweiter Ordnung 176
• 29.3. Runge-Kutta-Methode für Differentialgleichungen zweiter Ordnung
• 29.4. Adams-Stoermer-Methode für Gleichungen y"=f(x,y,y) 177
• 29.5. Adams-Stoermer-Methode für Gleichungen y"=f(x,y) 178
• 29.6. Bless-Methode für die Gleichung y"=f(x,y,y) 179
• ZWEITER TEIL
• Randwertprobleme und Eigenwertprobleme Kapitel I. Randwertprobleme und Eigenwertprobleme für lineare
• Differentialgleichung n-Ordnung
• § 1. Allgemeine Theorie der Randwertprobleme 182
• 1.1. Notationen und Vorbemerkungen 182
• 1.2. Bedingungen für die Lösbarkeit des Randwertproblems 184
• 1.3. Konjugiertes Randwertproblem 185
• 1.4. Selbstadjunkte Randwertprobleme 187
• 1.5. Greensche Funktion 188
• 1.6. Lösung eines inhomogenen Randwertproblems mit der Greenschen Funktion 190
• 1.7. Verallgemeinerte Greensche Funktion 190
• § 2. Randwertprobleme und Eigenwertprobleme für Gleichung 193
• £shu(y) +Yx)y = 1(x)
• 2.1. Eigenwerte und Eigenfunktionen; charakteristische Determinante OH)
• 2.2. Konjugiertes Eigenwertproblem und Greensche Auflösung; vollständiges biorthogonales System
• 2.3. Normalisierte Randbedingungen; reguläre Eigenwertprobleme 2.4. Eigenwerte für reguläre und unregelmäßige Eigenwertprobleme
• 2.5. Erweiterung einer gegebenen Funktion in Eigenfunktionen regulärer und unregelmäßiger Eigenwertprobleme
• 2.6. Selbstadjungierte normale Eigenwertprobleme 200
• 2.7. Über Integralgleichungen vom Fredholm-Typ 204
• 2.8. Zusammenhang zwischen Randwertproblemen und Integralgleichungen vom Fredholm-Typ
• 2.9. Zusammenhang zwischen Eigenwertproblemen und Integralgleichungen vom Fredholm-Typ
• 2.10. Über Integralgleichungen von Volterra Typ 211
• 2.11. Zusammenhang zwischen Randwertproblemen und Integralgleichungen vom Typ Volterra
• 2.12. Zusammenhang zwischen Eigenwertproblemen und Integralgleichungen vom Typ Volterra
• 2.13. Zusammenhang zwischen Eigenwertproblemen und Variationsrechnung
• 2.14. Anwendung auf die Eigenfunktionsentwicklung 218
• 2.15. Zusätzliche Hinweise 219
• § 3. Näherungsmethoden zur Lösung von Eigenwertproblemen und 222-
• Randwertprobleme
• 3.1. Ungefähre Galerkin-Ritz-Methode 222
• 3.2. Ungefähre Grammel-Methode 224
• 3.3. Lösung eines inhomogenen Randwertproblems mit der Galerkin-Ritz-Methode
• 3.4. Methode der sukzessiven Approximationen 226
• 3.5. Näherungslösung von Randwertproblemen und Eigenwertproblemen mit der Finite-Differenzen-Methode
• 3.6. Störungsmethode 230
• 3.7. Schätzungen für Eigenwerte 233
• 3.8. Überprüfung der Methoden zur Berechnung von Eigenwerten und Eigen236-Funktionen
• § 4. Selbstadjunkte Eigenwertprobleme für Gleichung 238
• F(y)=W(y)
• 4.1. Problemstellung 238
• 4.2. Allgemeine Vorbemerkungen 239
• 4.3. Normale Eigenwertprobleme 240
• 4.4. Probleme mit positiv definiten Eigenwerten 241
• 4.5. Eigenfunktionserweiterung 244
• § 5. Rand- und Zusatzbedingungen allgemeinerer Form 247 Kapitel II. Randwertprobleme und Eigenwertprobleme für Systeme
• lineare Differentialgleichungen
• § 6. Randwertprobleme und Eigenwertprobleme für Systeme 249
• lineare Differentialgleichungen
• 6.1. Notations- und Lösbarkeitsbedingungen 249
• 6.2. Konjugiertes Randwertproblem 250
• 6.3. Greensche Matrix 252 6.4. Eigenwertprobleme 252-
• 6.5. Selbstadjungierte Eigenwertprobleme 253 Kapitel III. Randwertprobleme und Eigenwertprobleme für Gleichungen
• niedrigere Ordnungen
• § 7. Probleme erster Ordnung 256
• 7.1. Lineare Probleme 256
• 7.2. Nichtlineare Probleme 257
• § 8. Lineare Randwertprobleme zweiter Ordnung 257
• 8.1. Allgemeine Hinweise 257
• 8.2. Greensche Funktion 258
• 8.3. Schätzungen für Lösungen von Randwertproblemen erster Art 259
• 8.4. Randbedingungen für |x|->inf 259
• 8.5. Periodische Lösungen finden 260
• 8.6. Ein Randwertproblem im Zusammenhang mit der Untersuchung der Flüssigkeitsströmung 260
• § 9. Lineare Eigenwertprobleme zweiter Ordnung 261
• 9.1. Allgemeine Hinweise 261
• 9.2 Selbstadjungierte Eigenwertprobleme 263
• 9.3. y"=F(x,)Cjz, z"=-G(x,h)y und die Randbedingungen sind selbstadjungiert 266
• 9.4. Eigenwertprobleme und das Variationsprinzip 269
• 9.5. Zur praktischen Berechnung von Eigenwerten und Eigenfunktionen
• 9.6. Eigenwertprobleme, nicht unbedingt selbstadjungiert 271
• 9.7. Zusätzliche Bedingungen allgemeinerer Form 273
• 9.8. Eigenwertprobleme mit mehreren Parametern
• 9.9. Differentialgleichungen mit Singularitäten an Randpunkten 276
• 9.10. Eigenwertprobleme auf einem unendlichen Intervall 277
• §10. Nichtlineare Randwertprobleme und Eigenwertprobleme 278
• zweite Bestellung
• 10.1. Randwertprobleme für ein endliches Intervall 278
• 10.2. Randwertprobleme für ein halbbeschränktes Intervall 281
• 10.3. Eigenwertprobleme 282
• §elf. Randwertprobleme und Probleme zu Eigenwerten der dritten – 283
• Achte Ordnung
• 11.1. Lineare Eigenwertprobleme dritter Ordnung 283
• 11.2. Lineare Eigenwertprobleme vierter Ordnung 284
• 11.3. Lineare Probleme für ein System aus zwei Differentialgleichungen zweiter Ordnung
• 11.4. Nichtlineare Randwertprobleme vierter Ordnung 287
• 11.5. Eigenwertprobleme höherer Ordnung 288
• TEIL DREI
• Separate Differentialgleichungen
• Vorbemerkungen 290 Kapitel I. Differentialgleichungen erster Ordnung
• 1-367. Differentialgleichungen ersten Grades bzgl U 294
• 368-517. Differentialgleichungen zweiten Grades nach 334 518-544. Differentialgleichungen dritten Grades nach 354
• 545-576. Differentialgleichungen allgemeinerer Form 358Kapitel II. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
• 1-90. ay" + ... 363
• 91-145. (ax+lyu" + ... 385
• 146-221.x 2 y" + ... 396
• 222-250. (x 2 ±a 2)y"+... 410
• 251-303. (ah 2 +bx+c)y" + ... 419
• 304-341. (ah 3 +...)y" + ... 435
• 342-396. (ah 4 +...)y" + ... 442
• 397-410. (Oh" +...)y" + ... 449
• 411-445. Andere Differentialgleichungen 454
• G Lava III. Lineare Differentialgleichungen dritter Ordnung Kapitel IV. Lineare Differentialgleichungen vierter Ordnung Kapitel V. Lineare Differentialgleichungen fünfter und höherer Ordnung
• BefehleKapitel VI. Nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
• 1-72. ay"=F(x,y,y) 485
• 73-103./(x);y"=F(x,;y,;y") 497
• 104- 187./(x)xy"CR(x,;y,;y") 503
• 188-225. f(x,y)y"=F(x,y,y )) 514
• 226-249. Andere Differentialgleichungen 520Kapitel VII. Nichtlineare Differentialgleichungen der dritten und mehr
• Hohe BefehleKapitel VIII. Systeme linearer Differentialgleichungen
• Vorbemerkungen 530
• 1-18. Systeme zweier Differentialgleichungen erster Ordnung mit 530
• konstante Quote 19-25.
• Systeme zweier Differentialgleichungen erster Ordnung mit 534
• variable Quoten
• 26-43. Systeme aus zwei Differentialgleichungen mit einer Ordnung größer als 535
• Erste
• 44-57. Systeme mit mehr als zwei Differentialgleichungen 538Kapitel IX. Systeme nichtlinearer Differentialgleichungen
• 1-17. Systeme zweier Differentialgleichungen 541
• 18-29. Systeme mit mehr als zwei Differentialgleichungen 544
• ERGÄNZUNGEN
• Zur Lösung linearer homogener Gleichungen zweiter Ordnung (I. Zbornik) 547
• Ergänzungen zum Buch von E. Kamke (D. Mitrinovic) 556
• Eine neue Methode zur Klassifizierung linearer Differentialgleichungen und 568
• Konstruieren Sie ihre allgemeine Lösung mithilfe wiederkehrender Formeln
• (I. Zbornik)
• Sachregister 571

Vorwort zur vierten Auflage
Einige Notationen
Akzeptierte Abkürzungen in bibliografischen Anweisungen
TEIL EINS
ALLGEMEINE LÖSUNGSMETHODEN
§ 1. Differentialgleichungen, die nach der Ableitung aufgelöst werden: (Formel-)Grundkonzepte
1.1. Notation und geometrische Bedeutung der Differentialgleichung
1.2. Existenz und Einzigartigkeit einer Lösung
§ 2. Differentialgleichungen, die in Bezug auf die Ableitung aufgelöst werden: (Formel); Lösungsmethoden
2.1. Polylinienmethode
2.2. Picard-Lindelöf-Methode sukzessiver Approximationen
2.3. Anwendung von Potenzreihen
2.4. Ein allgemeinerer Fall einer Serienerweiterung
2.5. Reihenentwicklung nach Parameter
2.6. Beziehung zu partiellen Differentialgleichungen
2.7. Schätzsätze
2.8. Verhalten von Lösungen bei großen Werten (?)
§ 3. Differentialgleichungen, die nicht nach der Ableitung aufgelöst werden: (Formel)
3.1. Über Lösungen und Lösungsmethoden
3.2. Regelmäßige und spezielle lineare Elemente
§ 4. Lösung bestimmter Arten von Differentialgleichungen erster Ordnung
4.1. Differentialgleichungen mit separierbaren Variablen
4.2. (Formel)
4.3. Lineare Differentialgleichungen
4.4. Asymptotisches Verhalten von Lösungen linearer Differentialgleichungen
4.5. Bednoulli-Gleichung (Formel)
4.6. Homogene Differentialgleichungen und auf sie reduzierbare Gleichungen
4.7. Verallgemeinerte homogene Gleichungen
4.8. Spezielle Riccati-Gleichung: (Formel)
4.9. Allgemeine Riccati-Gleichung: (Formel)
4.10. Abel-Gleichung erster Art
4.11. Abel-Gleichung zweiter Art
4.12. Gleichung in totalen Differentialen
4.13. Integrierender Faktor
4.14. (Formel), „Integration durch Differenzierung“
4.15. (Formel)
4.16. (Formel)
4.17. (Formel)
4.18. Clairaut-Gleichungen
4.19. Lagrange-D'Alembert-Gleichung
4.20. (Formel). Legendre-Transformation
Kapitel II. Beliebige Systeme von Differentialgleichungen, aufgelöst nach Ableitungen
§ 5. Grundbegriffe
5.1. Notation und geometrische Bedeutung eines Systems von Differentialgleichungen
5.2. Existenz und Einzigartigkeit einer Lösung
5.3. Carathéodorys Existenzsatz
5.4. Abhängigkeit der Lösung von den Anfangsbedingungen und Parametern
5.5. Nachhaltigkeitsthemen
§ 6. Lösungsmethoden
6.1. Polylinienmethode
6.2. Picard-Lindelöf-Methode sukzessiver Approximationen
6.3. Anwendung von Potenzreihen
6.4. Beziehung zu partiellen Differentialgleichungen
6.5. Reduktion des Systems unter Verwendung einer bekannten Beziehung zwischen Lösungen
6.6. Reduktion eines Systems durch Differenzierung und Eliminierung
6.7. Schätzsätze
§ 7. Autonome Systeme
7.1. Definition und geometrische Bedeutung eines autonomen Systems
7.2. Über das Verhalten von Integralkurven in der Umgebung eines singulären Punktes im Fall n = 2
7.3. Kriterien zur Bestimmung der Art des singulären Punktes
Kapitel III. Systeme linearer Differentialgleichungen
§ 8. Beliebige lineare Systeme
8.1. Allgemeine Bemerkungen
8.2. Existenz- und Einzigartigkeitssätze. Lösungsmethoden
8.3. Ein heterogenes System auf ein homogenes reduzieren
8.4. Schätzsätze
§ 9. Homogene lineare Systeme
9.1. Eigenschaften von Lösungen. Grundlegende Systeme Lösungen
9.2. Existenzsätze und Lösungsmethoden
9.3. Reduktion eines Systems auf ein System mit weniger Gleichungen
9.4. Konjugiertes System von Differentialgleichungen
9.5. Selbstadjunkte Systeme von Differentialgleichungen
9.6. Konjugierte Systeme von Differentialformen; Lagrange-Identität, Greensche Formel
9.7. Grundlegende Lösungen
§ 10. Homogene lineare Systeme mit singulären Punkten
10.1. Klassifikationen singulärer Punkte
10.2. Schwach singuläre Punkte
10.3. Stark singuläre Punkte
§ 11. Verhalten von Lösungen für große Werte von x
§ 12. Lineare Systeme abhängig von einem Parameter
§ 13. Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten
13.1. Homogene Systeme
13.2. Systeme allgemeinerer Form
Kapitel IV. Beliebige Differentialgleichungen n-ter Ordnung
§ 14. Nach der höchsten Ableitung aufgelöste Gleichungen: (Formel)
§ 15. Gleichungen, die nicht nach der höchsten Ableitung aufgelöst werden: (Formel)
15.1. Gleichungen in totalen Differentialen
15.2. Verallgemeinerte homogene Gleichungen
15.3. Gleichungen, die x oder y nicht explizit enthalten
Kapitel V. Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
§ 16. Beliebige lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
16.1. Allgemeine Bemerkungen
16.2. Existenz- und Einzigartigkeitssätze. Lösungsmethoden
16.3. Eliminierung der Ableitung (n-1)-ter Ordnung
16.4. Reduzieren einer inhomogenen Differentialgleichung auf eine homogene
16.5. Verhalten von Lösungen für große Werte von x
§ 17. Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
17.1. Eigenschaften von Lösungen und Existenzsätze
17.2. Reduzieren der Ordnung einer Differentialgleichung
17.3. Über Nulllösungen
17.4. Grundlegende Lösungen
17.5. Konjugierte, selbstadjungierte und antiselbstadjungierte Differentialformen
17.6. Lagranges Identität; Dirichlet- und Green-Formeln
17.7. Über Lösungen konjugierter Gleichungen und Gleichungen in Totaldifferentialen
§ 18. Homogene lineare Differentialgleichungen mit singulären Punkten
18.1. Klassifizierung singulärer Punkte
18.2. Der Fall, wenn der Punkt (?) regelmäßig oder schwach singulär ist
18.3. Der Fall, wenn der Punkt (?) regelmäßig oder schwach singulär ist
18.4. Der Fall, wenn der Punkt (?) etwas ganz Besonderes ist
18.5. Der Fall, wenn der Punkt (?) etwas ganz Besonderes ist
18.6. Differentialgleichungen mit Polynomkoeffizienten
18.7. Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten
18.8. Differentialgleichungen mit doppelt periodischen Koeffizienten
18.9. Der Fall einer reellen Variablen
§ 19. Lösen linearer Differentialgleichungen mit bestimmten Integralen
19.1. Allgemeines Prinzip
19.2. Laplace-Transformation
19.3. Spezielle Laplace-Transformation
19.4. Mellin-Transformation
19.5. Euler-Transformation
19.6. Lösung mit Doppelintegralen
§ 20. Verhalten von Lösungen für große Werte von x
20.1. Polynomkoeffizienten
20.2. Koeffizienten einer allgemeineren Form
20.3. Kontinuierliche Koeffizienten
20.4. Schwingungssätze
§ 21. Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung in Abhängigkeit von einem Parameter
§ 22. Einige spezielle Arten linearer Differentialgleichungen n-ter Ordnung
22.1. Homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
22.2. Inhomogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
22.3. Eulers Gleichungen
22.4. Laplace-Gleichung
22.5. Gleichungen mit Polynomkoeffizienten
22.6. Pochhammers Gleichung
Kapitel VI. Differentialgleichungen zweiter Ordnung
§ 23. Nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
23.1. Methoden zur Lösung bestimmter Arten nichtlinearer Gleichungen
23.2. Einige zusätzliche Anmerkungen
23.3. Grenzwertsätze
23.4. Schwingungssatz
§ 24. Beliebige lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
24.1. Allgemeine Bemerkungen
24.2. Einige Lösungsmethoden
24.3. Schätzsätze
§ 25. Homogene lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
25.1. Reduktion linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung
25.2. Weitere Bemerkungen zur Reduktion linearer Gleichungen zweiter Ordnung
25.3. Erweitern der Lösung zu einem Kettenbruch
25.4. Allgemeine Bemerkungen zu Lösungsnullstellen
25.5. Nullstellen von Lösungen auf einem endlichen Intervall
25.6. Verhalten von Lösungen bei (?)
25.7. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit singulären Punkten
25.8. Näherungslösungen. Asymptotische Lösungen; reelle Variable
25.9. Asymptotische Lösungen; komplexe Variable
25.10. VBK-Methode
Kapitel VII. Lineare Differentialgleichungen dritter und vierter Ordnung
§ 26. Lineare Differentialgleichungen dritter Ordnung
§ 27. Lineare Differentialgleichungen vierter Ordnung
Kapitel VIII. Näherungsmethoden zur Integration von Differentialgleichungen
§ 28. Approximative Integration von Differentialgleichungen erster Ordnung
28.1. Polylinienmethode
28.2. Zusätzliche Halbschrittmethode
28.3. Runge-Hein-Kutta-Methode
28.4. Kombination von Interpolation und sukzessiven Approximationen
28.5. Adams-Methode
28.6. Ergänzungen zur Adams-Methode
§ 29. Approximative Integration von Differentialgleichungen höherer Ordnung
29.1. Methoden zur approximativen Integration von Systemen von Differentialgleichungen erster Ordnung
29.2. Polylinienmethode für Differentialgleichungen zweiter Ordnung
29.3. Runge*-Kutta-Methode für Differentialgleichungen dieser Ordnung
29.4. Adams-Stoermer-Methode für Gleichung (Formel)
29.5. Adams-Stoermer-Methode für Gleichung (Formel)
29.6. Bless-Methode für Gleichung (Formel)
ZWEITER TEIL
Randwertprobleme und Eigenwertprobleme
Kapitel I. Randwertprobleme und Eigenwertprobleme für lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
§ 1. Allgemeine Theorie der Randwertprobleme
1.1. Notationen und Vorbemerkungen
1.2. Bedingungen für die Lösbarkeit des Randwertproblems
1.3. Konjugiertes Randwertproblem
1.4. Selbstadjunkte Randwertprobleme
1.5. Greensche Funktion
1.6. Lösung eines inhomogenen Randwertproblems mit der Greenschen Funktion
1.7. Verallgemeinerte Greensche Funktion
§ 2. Randwertprobleme und Eigenwertprobleme für die Gleichung (Formel)
2.1. Eigenwerte und Eigenfunktionen; charakteristische Determinante (?)
2.2. Konjugiertes Problem zu den Eigenwerten des Gria-Resolventen; vollständiges biorthogonales System
2.3. Normalisierte Randbedingungen; reguläre Eigenwertprobleme
2.4. Eigenwerte für reguläre und unregelmäßige Eigenwertprobleme
2.5. Erweiterung einer gegebenen Funktion in Eigenfunktionen regulärer und unregelmäßiger Eigenwertprobleme
2.6. Selbstadjungierte normale Eigenwertprobleme
2.7. Über Integralgleichungen vom Fredholm-Typ
2.8. Zusammenhang zwischen Randwertproblemen und Integralgleichungen vom Fredholm-Typ
2.9. Zusammenhang zwischen Eigenwertproblemen und Integralgleichungen vom Fredholm-Typ
2.10. Über Integralgleichungen vom Typ Volterra
2.11. Zusammenhang zwischen Randwertproblemen und Integralgleichungen vom Typ Volterra
2.12. Zusammenhang zwischen Eigenwertproblemen und Integralgleichungen vom Typ Volterra
2.13. Zusammenhang zwischen Eigenwertproblemen und Variationsrechnung
2.14. Anwendung auf die Eigenfunktionsentwicklung
2.15. Zusätzliche Bemerkungen
§ 3. Näherungsmethoden zur Lösung von Eigenwertproblemen und Randwertproblemen
3.1. Ungefähre Galerkin-Ritz-Methode
3.2. Ungefähre Grammel-Methode
3.3. Lösung eines inhomogenen Randwertproblems mit der Galerkin-Ritz-Methode
3.4. Sukzessive Approximationsmethode
3.5. Näherungslösung von Randwertproblemen und Eigenwertproblemen mit der Finite-Differenzen-Methode
3.6. Störungsmethode
3.7. Schätzungen für Eigenwerte
3.8. Überprüfung der Methoden zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenfunktionen
§ 4. Selbstadjunkte Eigenwertprobleme für eine Gleichung (Formel)
4.1. Formulierung des Problems
4.2. Allgemeine Vorbemerkungen
4.3. Normale Eigenwertprobleme
4.4. Probleme mit positiv definiten Eigenwerten
4.5. Eigenfunktionserweiterung
§ 5. Rand- und Zusatzbedingungen allgemeinerer Form
Kapitel II. Randwertprobleme und Eigenwertprobleme für Systeme linearer Differentialgleichungen
§ 6. Randwertprobleme und Eigenwertprobleme für Systeme linearer Differentialgleichungen
6.1. Notations- und Lösbarkeitsbedingungen
6.2. Konjugiertes Randwertproblem
6.3. Greensche Matrix
6.4. Eigenwertprobleme
6.5. Selbstadjungierte Eigenwertprobleme
Kapitel III. Randwertprobleme und Eigenwertprobleme für Gleichungen niedrigerer Ordnung
§ 7. Probleme erster Ordnung
7.1. Lineare Probleme
7.2. Nichtlineare Probleme
§ 8. Lineare Randwertprobleme zweiter Ordnung
8.1. Allgemeine Bemerkungen
8.2. Greensche Funktion
8.3. Schätzungen für Lösungen von Randwertproblemen erster Art
8.4. Randbedingungen bei (?)
8.5. Periodische Lösungen finden
8.6. Ein Randwertproblem im Zusammenhang mit der Untersuchung der Flüssigkeitsströmung
§ 9. Lineare Eigenwertprobleme zweiter Ordnung
9.1. Allgemeine Bemerkungen
9.2 Selbstadjungierte Eigenwertprobleme
9.3. (Formel) und die Randbedingungen sind selbstadjungiert
9.4. Eigenwertprobleme und das Variationsprinzip
9.5. Zur praktischen Berechnung von Eigenwerten und Eigenfunktionen
9.6. Eigenwertprobleme, nicht unbedingt selbstadjungiert
9.7. Zusätzliche Bedingungen allgemeinerer Form
9.8. Eigenwertprobleme mit mehreren Parametern
9.9. Differentialgleichungen mit Singularitäten an Randpunkten
9.10. Eigenwertprobleme auf einem unendlichen Intervall
§ 10. Nichtlineare Randwertprobleme und Eigenwertprobleme zweiter Ordnung
10.1. Randwertprobleme für ein endliches Intervall
10.2. Randwertprobleme für ein halbbeschränktes Intervall
10.3. Eigenwertprobleme
§ 11. Randwertprobleme und Eigenwertprobleme dritter bis achter Ordnung
11.1. Lineare Eigenwertprobleme dritter Ordnung
11.2. Lineare Eigenwertprobleme vierter Ordnung
11.3. Lineare Probleme für ein System aus zwei Differentialgleichungen zweiter Ordnung
11.4. Nichtlineare Randwertprobleme vierter Ordnung
11.5. Eigenwertprobleme höherer Ordnung
DRITTER TEIL: EINZELNE DIFFERENZGLEICHUNGEN
Vorbemerkungen
Kapitel I. Differentialgleichungen erster Ordnung
1-367. Differentialgleichungen ersten Grades bezüglich (?)
368-517. Differentialgleichungen zweiten Grades bezüglich (?)
518-544. Differentialgleichungen dritten Grades bezüglich (?)
545-576. Differentialgleichungen allgemeinerer Form
Kapitel II. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
1-90. (Formel)
91-145. (Formel)
146-221. (Formel)
222-250. (Formel)
251-303. (Formel)
304-341. (Formel)
342-396. (Formel)
397-410. (Formel)
411-445. Andere Differentialgleichungen
Kapitel III. Lineare Differentialgleichungen dritter Ordnung
Kapitel IV. Lineare Differentialgleichungen vierter Ordnung
Kapitel V. Lineare Differentialgleichungen fünfter und höherer Ordnung
Kapitel VI. Nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
1-72. (Formel)
73-103. (Formel)
104-187. (Formel)
188-225. (Formel)
226-249. Andere Differentialgleichungen
Kapitel VII. Nichtlineare Differentialgleichungen dritter und höherer Ordnung
Kapitel VIII. Systeme linearer Differentialgleichungen
Vorbemerkungen
1-18. Systeme aus zwei Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten
19-25. Systeme aus zwei Differentialgleichungen erster Ordnung mit variablen Koeffizienten
26-43. Systeme aus zwei Differentialgleichungen höherer Ordnung als die erste
44-57. Systeme mit mehr als zwei Differentialgleichungen
Kapitel IX. Systeme nichtlinearer Differentialgleichungen
1-17. Systeme aus zwei Differentialgleichungen
18-29. Systeme mit mehr als zwei Differentialgleichungen
ERGÄNZUNGEN
Zur Lösung linearer homogener Gleichungen zweiter Ordnung (I. Zbornik)
Ergänzungen zum Buch von E. Kamke (D. Mitrinovic)
Eine neue Möglichkeit, lineare Differentialgleichungen zu klassifizieren und ihre allgemeine Lösung mithilfe wiederkehrender Formeln zu konstruieren (I. Zbornik)
Subject Index

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