من السهل جدًا تذكرها.

حسنًا، دعونا لا نذهب بعيدًا، فلننظر إلى الأمر على الفور وظيفة عكسية. ما هي الدالة معكوسها؟ وظيفة الأسية؟ اللوغاريتم:

في حالتنا، الأساس هو الرقم:

يُطلق على مثل هذا اللوغاريتم (أي اللوغاريتم ذو الأساس) اسم "طبيعي" ، ونستخدم له رمزًا خاصًا: نكتب بدلاً من ذلك.

ما هو يساوي؟ بالطبع، .

مشتق اللوغاريتم الطبيعي بسيط جدًا أيضًا:

أمثلة:

1. العثور على مشتق من وظيفة.
2. ما هو مشتق الدالة؟

الإجابات: العارض و اللوغاريتم الطبيعي- الوظائف بسيطة بشكل فريد من حيث المشتقات. إن الدوال الأسية واللوغاريتمية مع أي أساس آخر سيكون لها مشتق مختلف، وهو ما سنحلله لاحقا، بعد أن نتعرف على قواعد الاشتقاق.

قواعد التمايز

قواعد ماذا؟ مرة أخرى مصطلح جديد، مرة أخرى؟!...

التفاضلهي عملية العثور على المشتق.

هذا كل شئ. ماذا يمكنك أن تسمي هذه العملية في كلمة واحدة؟ ليست مشتقة... يطلق علماء الرياضيات على التفاضل نفس زيادة الدالة عند. يأتي هذا المصطلح من التمايز اللاتيني - الاختلاف. هنا.

عند استخلاص كل هذه القواعد، سنستخدم دالتين، على سبيل المثال، و. سنحتاج أيضًا إلى صيغ لزياداتها:

هناك 5 قواعد في المجموع.

يتم إخراج الثابت من علامة المشتقة.

إذا كان بعض رقم ثابت(ثابت) إذن.

من الواضح أن هذه القاعدة تعمل أيضًا على الاختلاف: .

دعونا نثبت ذلك. فليكن، أو أبسط.

أمثلة.

أوجد مشتقات الدوال:

1. عند نقطة ما؛
2. عند نقطة ما؛
3. عند نقطة ما؛
4. عند هذه النقطة.

حلول:

1. (المشتق هو نفسه في جميع النقاط، لأن هذا دالة خطية، يتذكر؟)؛

مشتق من المنتج

كل شيء مشابه هنا: فلنقدم دالة جديدة ونجد زيادتها:

المشتق:

أمثلة:

1. أوجد مشتقات الدوال و؛
2. أوجد مشتقة الدالة عند نقطة ما.

حلول:

مشتق من الدالة الأسية

الآن معرفتك كافية لتتعلم كيفية العثور على مشتقة أي دالة أسية، وليس فقط الأسس (هل نسيت ما هو حتى الآن؟).

لذلك، أين هو بعض العدد.

نحن نعرف بالفعل مشتقة الدالة، لذا دعونا نحاول اختزال الدالة إلى أساس جديد:

لهذا سوف نستخدم قاعدة بسيطة: . ثم:

حسنًا، لقد نجحت. حاول الآن إيجاد المشتقة، ولا تنس أن هذه الدالة معقدة.

حدث؟

وهنا راجع نفسك:

تبين أن الصيغة مشابهة جدًا لمشتقة الأس: كما كانت، ظلت كما هي، ولم يظهر سوى عامل، وهو مجرد رقم، ولكنه ليس متغيرًا.

أمثلة:
أوجد مشتقات الدوال:

الإجابات:

هذا مجرد رقم لا يمكن حسابه بدون آلة حاسبة، أي أنه لا يمكن تدوينه بشكل أبسط. ولذلك نتركها على هذه الصورة في الجواب.

لاحظ أن هنا حاصل ضرب وظيفتين، لذلك نطبق قاعدة التمايز المقابلة:

في هذا المثال، ناتج وظيفتين:

مشتق من دالة لوغاريتمية

الأمر مشابه هنا: أنت تعرف بالفعل مشتقة اللوغاريتم الطبيعي:

ولذلك، للعثور على لوغاريتم اختياري مع قاعدة مختلفة، على سبيل المثال:

علينا اختزال هذا اللوغاريتم إلى الأساس. كيف يمكنك تغيير قاعدة اللوغاريتم؟ أتمنى أن تتذكر هذه الصيغة:

الآن فقط سنكتب بدلاً من ذلك:

المقام هو ببساطة ثابت (رقم ثابت، بدون متغير). يتم الحصول على المشتق بكل بساطة:

مشتقات الأسي و وظائف لوغاريتميةلم يظهروا أبدًا في امتحان الدولة الموحدة، ولكن لن يضر معرفتهم.

مشتق من وظيفة معقدة.

ما هي "الوظيفة المعقدة"؟ لا، هذا ليس لوغاريتمًا، وليس ظلًا قوسيًا. يمكن أن يكون من الصعب فهم هذه الوظائف (على الرغم من أنك إذا وجدت اللوغاريتمات صعبة، فاقرأ موضوع "اللوغاريتمات" وستكون بخير)، ولكن من وجهة نظر رياضية، فإن كلمة "معقدة" لا تعني "صعبة".

تخيل حزامًا ناقلًا صغيرًا: شخصان يجلسان ويقومان ببعض الإجراءات باستخدام بعض الأشياء. على سبيل المثال، يقوم الأول بتغليف قطعة من الشوكولاتة في غلاف، والثاني يربطها بشريط. والنتيجة هي كائن مركب: قطعة من الشوكولاتة ملفوفة ومربوطة بشريط. لتناول قطعة من الشوكولاتة، عليك القيام بالخطوات العكسية بترتيب عكسي.

لنقم بإنشاء مسار رياضي مماثل: أولاً سنجد جيب تمام الرقم، ثم نقوم بتربيع الرقم الناتج. لذلك، حصلنا على رقم (الشوكولاتة)، وأجد جيب تمامها (الغلاف)، ثم قمت بتربيع ما حصلت عليه (اربطه بشريط). ماذا حدث؟ وظيفة. هذا مثال على دالة معقدة: للعثور على قيمتها، نقوم بالإجراء الأول مباشرة مع المتغير، ثم الإجراء الثاني بما نتج عن الأول.

بعبارة أخرى، الدالة المعقدة هي دالة تكون حجتها دالة أخرى: .

على سبيل المثال لدينا، .

يمكننا بسهولة القيام بنفس الخطوات بترتيب عكسي: أولاً تقوم بتربيعه، ثم أبحث عن جيب التمام للرقم الناتج: . من السهل تخمين أن النتيجة ستكون مختلفة دائمًا تقريبًا. من السمات المهمة للوظائف المعقدة: عندما يتغير ترتيب الإجراءات، تتغير الوظيفة.

المثال الثاني: (نفس الشيء). .

سيتم استدعاء الإجراء الذي قمنا به أخيرًا وظيفة "خارجية".، ويتم تنفيذ الإجراء أولاً - وفقًا لذلك وظيفة "داخلية".(هذه أسماء غير رسمية، أستخدمها فقط لشرح المادة بلغة بسيطة).

حاول أن تحدد بنفسك أي وظيفة خارجية وأي وظيفة داخلية:

الإجابات:إن فصل الوظائف الداخلية والخارجية يشبه إلى حد كبير تغيير المتغيرات: على سبيل المثال، في دالة

1. ما الإجراء الذي سنقوم به أولاً؟ أولاً، دعونا نحسب جيب الجيب، وبعد ذلك فقط نقوم بتكعيبه. وهذا يعني أنها وظيفة داخلية، ولكنها وظيفة خارجية.
   والوظيفة الأصلية هي تركيبها : .
2. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .
3. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .
4. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .
5. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .

نغير المتغيرات ونحصل على دالة.

حسنًا، الآن سوف نستخرج لوح الشوكولاتة الخاص بنا ونبحث عن المشتق. يتم دائمًا عكس الإجراء: أولاً نبحث عن مشتقة الدالة الخارجية، ثم نضرب النتيجة في مشتقة الدالة الداخلية. بالنسبة للمثال الأصلي، يبدو كما يلي:

مثال آخر:

لذا، دعونا أخيرًا صياغة القاعدة الرسمية:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

يبدو الأمر بسيطا، أليس كذلك؟

دعونا نتحقق من الأمثلة:

حلول:

1) داخلي: ;

خارجي: ؛

2) داخلي: ;

(فقط لا تحاول قطعها الآن! لا شيء يخرج من تحت جيب التمام، تذكر؟)

3) داخلي: ;

خارجي: ؛

من الواضح على الفور أن هذه وظيفة معقدة من ثلاثة مستويات: فهي بالفعل وظيفة معقدة في حد ذاتها، ونقوم أيضًا باستخراج الجذر منها، أي أننا نقوم بالإجراء الثالث (وضع الشوكولاتة في غلاف) ومع شريط في الحقيبة). ولكن لا يوجد سبب للخوف: مازلنا "نفك" هذه الوظيفة بنفس الترتيب المعتاد: من النهاية.

وهذا يعني أننا نفرق أولاً بين الجذر، ثم جيب التمام، وعندها فقط التعبير بين قوسين. وبعد ذلك نضرب كل شيء.

في مثل هذه الحالات، يكون من المناسب ترقيم الإجراءات. وهذا هو، دعونا نتخيل ما نعرفه. بأي ترتيب سننفذ الإجراءات لحساب قيمة هذا التعبير؟ لنلقي نظرة على مثال:

كلما تم تنفيذ الإجراء لاحقًا، أصبحت الوظيفة المقابلة أكثر "خارجية". تسلسل الإجراءات هو نفسه كما كان من قبل:

هنا يكون التعشيش بشكل عام على مستوى 4. دعونا نحدد مسار العمل.

1. التعبير الراديكالي. .

2. الجذر. .

3. جيب. .

4. ساحة. .

5. تجميع كل ذلك معًا:

المشتق. باختصار عن الأشياء الرئيسية

مشتق من وظيفة- نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة لزيادة متناهية الصغر في الوسيطة:

المشتقات الأساسية:

قواعد التمايز:

يتم إخراج الثابت من علامة المشتقة:

مشتق من المبلغ:

مشتق من المنتج:

مشتق الحاصل:

مشتق من وظيفة معقدة:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

1. نحدد الدالة "الداخلية" ونجد مشتقتها.
2. نحدد الدالة "الخارجية" ونجد مشتقتها.
3. نضرب نتائج النقطتين الأولى والثانية.

والتي قمنا فيها بتحليل أبسط المشتقات، كما تعرفنا على قواعد التفاضل وبعضها الأساليب التقنيةإيجاد المشتقات. وبالتالي، إذا لم تكن جيدًا في التعامل مع مشتقات الدوال أو أن بعض النقاط في هذه المقالة ليست واضحة تمامًا، فاقرأ الدرس أعلاه أولاً. من فضلك، كن في حالة مزاجية جدية - المادة ليست بسيطة، لكنني سأظل أحاول تقديمها ببساطة ووضوح.

من الناحية العملية، يتعين عليك التعامل مع مشتقة دالة معقدة في كثير من الأحيان، بل وأود أن أقول، دائمًا تقريبًا، عندما يتم تكليفك بمهام للعثور على المشتقات.

وننظر إلى الجدول في القاعدة (رقم 5) للتمييز بين دالة معقدة:

دعونا معرفة ذلك. بادئ ذي بدء، دعونا ننتبه إلى الإدخال. لدينا هنا وظيفتان - و، والدالة، بالمعنى المجازي، متداخلة داخل الوظيفة. تسمى الوظيفة من هذا النوع (عندما تتداخل وظيفة واحدة داخل أخرى) بوظيفة معقدة.

سأتصل بالوظيفة وظيفة خارجية، والوظيفة - وظيفة داخلية (أو متداخلة)..

! هذه التعريفات ليست نظرية ولا ينبغي أن تظهر في التصميم النهائي للواجبات. أنا أتقدم بطلب التعبيرات غير الرسمية"وظيفة خارجية"، وظيفة "داخلية" فقط لتسهيل فهم المادة.

لتوضيح الموقف خذ بعين الاعتبار:

مثال 1

أوجد مشتقة الدالة

تحت جيب الزاوية ليس لدينا الحرف "X" فحسب، بل لدينا تعبير كامل، لذا فإن العثور على المشتقة مباشرة من الجدول لن ينجح. ونلاحظ أيضًا أنه من المستحيل تطبيق القواعد الأربع الأولى هنا، يبدو أن هناك فرقًا، لكن الحقيقة هي أن الجيب لا يمكن "تمزيقه إلى أجزاء":

في هذا المثال، أصبح من الواضح بالفعل من خلال شرحي أن الدالة هي دالة معقدة، وأن كثير الحدود هو دالة داخلية (تضمين)، ودالة خارجية.

الخطوة الأولىما عليك القيام به عند العثور على مشتق دالة معقدة هو فهم أي وظيفة داخلية وأيها خارجية.

في حالة الأمثلة البسيطة، يبدو من الواضح أن كثيرة الحدود مضمنة تحت جيب الجيب. ولكن ماذا لو لم يكن كل شيء واضحًا؟ كيف تحدد بدقة أي وظيفة خارجية وأيها داخلية؟ للقيام بذلك، أقترح استخدام التقنية التالية، والتي يمكن القيام بها عقليًا أو في مسودة.

لنتخيل أننا بحاجة إلى حساب قيمة التعبير على الآلة الحاسبة (بدلاً من واحد يمكن أن يكون هناك أي رقم).

ماذا سنحسب أولا؟ أولاًستحتاج إلى تنفيذ الإجراء التالي: وبالتالي فإن كثيرة الحدود ستكون دالة داخلية:

ثانيًاسوف تحتاج إلى العثور عليها، لذا فإن sine – ستكون دالة خارجية:

بعد نحن نفذمع الوظائف الداخلية والخارجية، حان الوقت لتطبيق قاعدة التفريق بين الوظائف المعقدة .

لنبدأ في اتخاذ القرار. من الدرس كيفية العثور على المشتق؟نتذكر أن تصميم حل أي مشتق يبدأ دائمًا على هذا النحو - نضع التعبير بين قوسين ونضع حدًا في أعلى اليمين:

في البدايهأوجد مشتقة الدالة الخارجية (جيب الجيب)، انظر إلى جدول المشتقات وظائف أوليةونحن نلاحظ ذلك. جميع صيغ الجدول قابلة للتطبيق أيضًا إذا تم استبدال "x" بتعبير معقد، في هذه الحالة:

يرجى ملاحظة أن الوظيفة الداخلية لم يتغير، نحن لا نلمسه.

حسنًا، من الواضح تمامًا ذلك

نتيجة تطبيق الصيغة في شكله النهائي يبدو مثل هذا:

عادة ما يتم وضع العامل الثابت في بداية التعبير:

إذا كان هناك أي سوء فهم، فاكتب الحل على الورق واقرأ الشرح مرة أخرى.

مثال 2

أوجد مشتقة الدالة

مثال 3

أوجد مشتقة الدالة

وكعادتنا نكتب:

دعونا نكتشف أين لدينا وظيفة خارجية وأين لدينا وظيفة داخلية. للقيام بذلك، نحاول (ذهنيًا أو في مسودة) حساب قيمة التعبير عند . ما الذى ينبغى عليك فعله اولا؟ أولًا، عليك أن تحسب ما يساويه الأساس: وبالتالي فإن كثير الحدود هو دالة داخلية:

وعندها فقط يتم إجراء الأس، وبالتالي فإن وظيفة الطاقة هي وظيفة خارجية:

وفقا للصيغة ، عليك أولاً إيجاد مشتقة الدالة الخارجية، وهي الدرجة في هذه الحالة. نبحث عن الصيغة المطلوبة في الجدول: . ونكرر مرة أخرى: أي صيغة جدولية صالحة ليس فقط لـ "X"، ولكن أيضًا للتعبير المعقد. وبالتالي نتيجة تطبيق قاعدة التفريق بين دالة معقدة التالي:

وأؤكد مرة أخرى أنه عندما نأخذ مشتقة الدالة الخارجية فإن وظيفتنا الداخلية لا تتغير:

الآن كل ما تبقى هو العثور على مشتق بسيط جدًا للدالة الداخلية وتعديل النتيجة قليلاً:

مثال 4

أوجد مشتقة الدالة

هذا مثال يمكنك حله بنفسك (الإجابة في نهاية الدرس).

لتعزيز فهمك لمشتق وظيفة معقدة، سأقدم مثالا دون تعليقات، حاول معرفة ذلك بنفسك، والسبب حيث تكون الوظيفة الخارجية وأين الوظيفة الداخلية، لماذا يتم حل المهام بهذه الطريقة؟

مثال 5

أ) أوجد مشتقة الدالة

ب) أوجد مشتقة الدالة

مثال 6

أوجد مشتقة الدالة

لدينا هنا جذر، ومن أجل التمييز بين الجذر، يجب تمثيله كقوة. وبالتالي، نقوم أولاً بإحضار الدالة إلى الشكل المناسب للتمايز:

وبتحليل الدالة نستنتج أن مجموع الحدود الثلاثة هو دالة داخلية، والرفع إلى قوة هو دالة خارجية. نحن نطبق قاعدة التمايز بين الوظائف المعقدة :

نحن نمثل الدرجة مرة أخرى كجذر (جذر)، وبالنسبة لمشتقة الوظيفة الداخلية، فإننا نطبق قاعدة بسيطة للتمييز بين المجموع:

مستعد. يمكنك أيضًا إعطاء التعبير بين قوسين القاسم المشتركواكتب كل شيء في صورة كسر واحد. إنها جميلة بالطبع، ولكن عندما تحصل على مشتقات طويلة مرهقة، فمن الأفضل عدم القيام بذلك (من السهل أن تتشوش، وترتكب خطأً غير ضروري، وسيكون من غير المناسب للمعلم التحقق منه).

مثال 7

أوجد مشتقة الدالة

هذا مثال يمكنك حله بنفسك (الإجابة في نهاية الدرس).

ومن المثير للاهتمام ملاحظة أنه في بعض الأحيان بدلاً من قاعدة اشتقاق دالة معقدة، يمكنك استخدام قاعدة اشتقاق خارج القسمة ولكن مثل هذا الحل سيبدو وكأنه انحراف غير عادي. هنا هو مثال نموذجي:

مثال 8

أوجد مشتقة الدالة

هنا يمكنك استخدام قاعدة التمايز بين الحاصل ولكن من المربح أكثر العثور على المشتق من خلال قاعدة التمايز لوظيفة معقدة:

نجهز الدالة للاشتقاق - ننقل علامة الطرح من علامة المشتقة، ونرفع جيب التمام إلى البسط:

جيب التمام هو وظيفة داخلية، الأس هو وظيفة خارجية.
دعونا نستخدم القاعدة لدينا :

نجد مشتقة الوظيفة الداخلية ونعيد تعيين جيب التمام إلى الأسفل:

مستعد. في المثال المذكور، من المهم عدم الخلط بين العلامات. بالمناسبة، حاول حلها باستخدام القاعدة ، يجب أن تتطابق الإجابات.

مثال 9

أوجد مشتقة الدالة

هذا مثال يمكنك حله بنفسك (الإجابة في نهاية الدرس).

لقد نظرنا حتى الآن في الحالات التي كان لدينا فيها تداخل واحد فقط في وظيفة معقدة. في المهام العملية، يمكنك غالبًا العثور على مشتقات، حيث، مثل دمى التعشيش، واحدة داخل الأخرى، 3 أو حتى 4-5 وظائف متداخلة في وقت واحد.

مثال 10

أوجد مشتقة الدالة

دعونا نفهم مرفقات هذه الوظيفة. دعونا نحاول حساب التعبير باستخدام القيمة التجريبية. كيف يمكننا الاعتماد على الآلة الحاسبة؟

تحتاج أولاً إلى العثور على، مما يعني أن arcsine هو التضمين الأعمق:

يجب بعد ذلك تربيع قوس القوس هذا:

وأخيرًا، نرفع سبعة إلى قوة:

أي أنه في هذا المثال لدينا ثلاث دوال مختلفة واثنين من التضمينات، في حين أن الدالة الأعمق هي قوس الجيب، والدالة الخارجية هي الدالة الأسية.

لنبدأ في اتخاذ القرار

وفقا للقاعدة عليك أولاً أن تأخذ مشتق الوظيفة الخارجية. ننظر إلى جدول المشتقات ونجد مشتقة الدالة الأسية: الفرق الوحيد هو أنه بدلاً من "x" لدينا تعبير معقد، وهو ما لا ينفي صحة هذه الصيغة. إذن، نتيجة تطبيق قاعدة اشتقاق دالة معقدة التالي.

إن حل المشكلات الفيزيائية أو الأمثلة في الرياضيات أمر مستحيل تمامًا دون معرفة المشتقة وطرق حسابها. المشتق هو أحد أهم المفاهيم في التحليل الرياضي. قررنا تخصيص مقال اليوم لهذا الموضوع الأساسي. ما هو المشتق، ما هو المادي و معنى هندسيكيفية حساب مشتق دالة؟ يمكن دمج كل هذه الأسئلة في سؤال واحد: كيف نفهم المشتق؟

المعنى الهندسي والمادي للمشتق

يجب أن تكون هناك وظيفة و (خ) ، محددة في فترة زمنية معينة (أ، ب) . تنتمي النقطتان x وx0 إلى هذا الفاصل الزمني. عندما يتغير x، تتغير الدالة نفسها. تغيير الحجة - الفرق في قيمها x-x0 . يتم كتابة هذا الاختلاف كما دلتا س ويسمى زيادة الوسيطة. التغيير أو الزيادة في الدالة هو الفرق بين قيم الدالة عند نقطتين. تعريف المشتق:

مشتق الدالة عند نقطة ما هو حد نسبة زيادة الدالة عند نقطة معينة إلى زيادة الوسيط عندما يميل الأخير إلى الصفر.

وإلا فإنه يمكن كتابتها مثل هذا:

ما الفائدة من إيجاد مثل هذا الحد؟ وهذا ما هو عليه:

مشتق الدالة عند نقطة ما يساوي ظل الزاوية بين محور OX ومماس الرسم البياني للدالة عند نقطة معينة.

المعنى المادي للمشتق: مشتق المسار بالنسبة إلى الزمن يساوي سرعة الحركة المستقيمة.

في الواقع، منذ أيام المدرسة يعلم الجميع أن السرعة هي طريق معين س = و (ر) و الوقت ر . متوسط ​​السرعةلفترة معينة من الزمن:

لمعرفة سرعة الحركة في لحظة زمنية ما ر0 تحتاج إلى حساب الحد:

القاعدة الأولى: تعيين ثابت

يمكن إخراج الثابت من علامة المشتقة. علاوة على ذلك، يجب القيام بذلك. عند حل الأمثلة في الرياضيات، خذها كقاعدة - إذا كان بإمكانك تبسيط تعبير ما، فتأكد من تبسيطه .

مثال. دعونا نحسب المشتق:

القاعدة الثانية: مشتقة مجموع الدوال

مشتق مجموع دالتين يساوي مجموع مشتقات هاتين الدالتين. وينطبق الشيء نفسه على مشتقة اختلاف الوظائف.

ولن نقدم برهانًا على هذه النظرية، بل سنأخذ مثالًا عمليًا.

العثور على مشتق من وظيفة:

القاعدة الثالثة: مشتقة حاصل ضرب الدوال

يتم حساب مشتق منتج وظيفتين قابلتين للتفاضل بواسطة الصيغة:

مثال: إيجاد مشتقة الدالة:

حل:

من المهم الحديث عن حساب مشتقات الدوال المعقدة هنا. مشتقة دالة معقدة يساوي حاصل ضرب مشتقة هذه الدالة بالنسبة إلى الوسيطة الوسيطة ومشتقة الوسيطة الوسيطة بالنسبة إلى المتغير المستقل.

في المثال أعلاه نواجه التعبير:

في هذه الحالة، الوسيطة الوسيطة هي 8x مرفوعة للقوة الخامسة. من أجل حساب مشتقة مثل هذا التعبير، نحسب أولاً مشتقة الدالة الخارجية بالنسبة إلى الوسيطة الوسيطة، ثم نضرب في مشتقة الوسيطة نفسها بالنسبة إلى المتغير المستقل.

القاعدة الرابعة: مشتقة حاصل قسمة دالتين

صيغة لتحديد مشتق حاصل وظيفتين:

حاولنا التحدث عن مشتقات الدمى من الصفر. هذا الموضوع ليس بسيطًا كما يبدو، لذا كن حذرًا: غالبًا ما تكون هناك عيوب في الأمثلة، لذا كن حذرًا عند حساب المشتقات.

إذا كانت لديك أي أسئلة حول هذا الموضوع والمواضيع الأخرى، يمكنك الاتصال بخدمة الطلاب. في وقت قصير، سنساعدك على حل أصعب اختبار وفهم المهام، حتى لو لم تقم بإجراء حسابات مشتقة من قبل.

يتم إعطاء أمثلة لحساب المشتقات باستخدام صيغة مشتقة دالة معقدة.

محتوى

أنظر أيضا: إثبات صيغة مشتقة دالة معقدة

الصيغ الأساسية

نعطي هنا أمثلة لحساب مشتقات الوظائف التالية:
; ; ; ; .

إذا كان من الممكن تمثيل الدالة كدالة معقدة بالشكل التالي:
,
ثم يتم تحديد مشتقه بالصيغة:
.
وفي الأمثلة أدناه سنكتب هذه الصيغة على النحو التالي:
.
أين .
هنا، تشير الحروف السفلية أو الموجودة تحت علامة المشتقة إلى المتغيرات التي يتم من خلالها إجراء التمايز.

عادة، في جداول المشتقات، يتم إعطاء مشتقات الوظائف من المتغير x. ومع ذلك، x هي معلمة رسمية. يمكن استبدال المتغير x بأي متغير آخر. لذلك، عند تمييز دالة من متغير، نقوم ببساطة بتغيير المتغير x إلى المتغير u في جدول المشتقات.

أمثلة بسيطة

مثال 1

أوجد مشتقة دالة معقدة
.

دعونا نكتبها وظيفة معينةفي شكل معادل:
.
في جدول المشتقات نجد:
;
.

وفقًا لصيغة مشتقة دالة معقدة، لدينا:
.
هنا .

مثال 2

أوجد المشتقة
.

نخرج الثابت 5 من إشارة المشتقة ومن جدول المشتقات نجد:
.

.
هنا .

مثال 3

أوجد المشتقة
.

نحن نخرج ثابتا -1 من أجل علامة المشتقة ومن جدول المشتقات نجد:
;
من جدول المشتقات نجد:
.

نطبق صيغة مشتقة دالة معقدة:
.
هنا .

أمثلة أكثر تعقيدا

في المزيد أمثلة معقدةنطبق قاعدة التمييز بين دالة معقدة عدة مرات. في هذه الحالة، نحسب المشتقة من النهاية. أي أننا نقوم بتقسيم الدالة إلى الأجزاء المكونة لها وإيجاد مشتقات أبسط الأجزاء باستخدام جدول المشتقات. نحن نستخدم أيضا قواعد التمييز بين المبالغوالمنتجات والكسور. ثم نقوم بإجراء البدائل وتطبيق صيغة مشتقة دالة معقدة.

مثال 4

أوجد المشتقة
.

دعونا نسلط الضوء على أكثر من غيرها جزء بسيطالصيغة وإيجاد مشتقتها. .

.
لقد استخدمنا هنا الترميز
.

نجد مشتقة الجزء التالي من الدالة الأصلية باستخدام النتائج التي تم الحصول عليها. نحن نطبق قاعدة التمييز بين المبلغ:
.

مرة أخرى، نطبق قاعدة التمييز بين الوظائف المعقدة.

.
هنا .

مثال 5

العثور على مشتق من وظيفة
.

دعنا نختار أبسط جزء من الصيغة ونجد مشتقته من جدول المشتقات. .

نحن نطبق قاعدة التمايز بين الوظائف المعقدة.
.
هنا
.

دعونا نفرق بين الجزء التالي باستخدام النتائج التي تم الحصول عليها.
.
هنا
.

دعونا نفرق الجزء التالي.

.
هنا
.

الآن نجد مشتقة الدالة المطلوبة.

.
هنا
.

أنظر أيضا:

المشتقات المعقدة. مشتق لوغاريتمي.
مشتق من دالة الأسية

نواصل تحسين تقنية التمايز لدينا. في هذا الدرس، سنقوم بدمج المواد التي تناولناها، وننظر إلى المشتقات الأكثر تعقيدًا، ونتعرف أيضًا على التقنيات والحيل الجديدة لإيجاد المشتقة، على وجه الخصوص، المشتقة اللوغاريتمية.

لأولئك القراء الذين لديهم مستوى منخفضالتحضير، يجب عليك الرجوع إلى هذه المادة كيفية العثور على المشتق؟ أمثلة على الحلولمما سيسمح لك برفع مهاراتك من الصفر تقريبًا. بعد ذلك، عليك أن تدرس الصفحة بعناية مشتق من وظيفة معقدةوفهم وحل الجميعالأمثلة التي أعطيتها. هذا الدرس منطقيًا هو الثالث على التوالي، وبعد إتقانه ستميز بثقة بين الوظائف المعقدة إلى حد ما. من غير المرغوب فيه اتخاذ موقف "أين آخر؟" نعم هذا يكفي!"، حيث أن جميع الأمثلة والحلول مأخوذة من الواقع الاختباراتوغالبا ما يتم مواجهتها في الممارسة العملية.

لنبدأ بالتكرار. في الدرس مشتق من وظيفة معقدةنظرنا إلى عدد من الأمثلة مع تعليقات مفصلة. في سياق دراسة حساب التفاضل والتكامل والفروع الأخرى للتحليل الرياضي، سيتعين عليك التمييز في كثير من الأحيان، وليس من المناسب دائمًا (وليس من الضروري دائمًا) وصف الأمثلة بتفصيل كبير. ومن ثم، سوف نتدرب على إيجاد المشتقات شفويًا. "المرشحون" الأكثر ملاءمة لذلك هم مشتقات أبسط الدوال المعقدة، على سبيل المثال:

وفقا لقاعدة التمايز بين الوظائف المعقدة :

عند دراسة مواضيع متانية أخرى في المستقبل، غالبًا ما لا يكون هذا السجل التفصيلي مطلوبًا، ويُفترض أن الطالب يعرف كيفية العثور على مثل هذه المشتقات على الطيار الآلي. لنتخيل أنه في الساعة الثالثة صباحًا رن الهاتف و صوت لطيفسئل: ما مشتقة مماس اثنين X؟ يجب أن يتبع ذلك إجابة فورية ومهذبة تقريبًا: .

سيتم تخصيص المثال الأول على الفور للحل المستقل.

مثال 1

أوجد المشتقات التالية شفهياً في إجراء واحد مثلاً: . لإكمال المهمة، ما عليك سوى استخدامه جدول مشتقات الوظائف الأولية(إذا لم تكن تتذكره بعد). إذا واجهت أي صعوبات، أنصحك بإعادة قراءة الدرس مشتق من وظيفة معقدة.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

الإجابات في نهاية الدرس

المشتقات المعقدة

بعد إعداد المدفعية الأولي، ستكون الأمثلة ذات التعشيش 3-4-5 أقل مخيفة. قد يبدو المثالان التاليان معقدين بالنسبة للبعض، ولكن إذا فهمتهما (سيعاني شخص ما)، فإن كل شيء آخر تقريبًا في حساب التفاضل والتكامل سيبدو وكأنه مزحة طفل.

مثال 2

أوجد مشتقة الدالة

كما ذكرنا سابقًا، عند العثور على مشتق دالة معقدة، فمن الضروري أولاً وقبل كل شيء يمينفهم استثماراتك. في الحالات التي توجد فيها شكوك، أذكرك بتقنية مفيدة: نأخذ القيمة التجريبية لـ "x"، على سبيل المثال، ونحاول (ذهنيًا أو في مسودة) استبدال هذه القيمة في "التعبير الرهيب".

1) نحتاج أولاً إلى حساب التعبير، مما يعني أن المجموع هو التضمين الأعمق.

2) فأنت بحاجة إلى حساب اللوغاريتم:

4) ثم مكعب جيب التمام:

5) في الخطوة الخامسة الفرق:

6) وأخيرًا، الدالة الخارجية هي الجذر التربيعي:

صيغة للتمييز بين وظيفة معقدة يتم تطبيقها بترتيب عكسي، من الوظيفة الخارجية إلى الوظيفة الأعمق. نحن نقرر:

يبدو أنه لا يوجد أي أخطاء..

(1) خذ مشتقة الجذر التربيعي.

(2) نأخذ مشتقة الفرق باستخدام القاعدة

(٣) مشتقة الثلاثي هي صفر. وفي الفصل الثاني نأخذ مشتقة الدرجة (المكعب).

(4) خذ مشتق جيب التمام.

(5) خذ مشتقة اللوغاريتم.

(6) وأخيرا، نأخذ مشتقة التضمين الأعمق.

قد يبدو الأمر صعبا للغاية، ولكن هذا ليس المثال الأكثر وحشية. خذ على سبيل المثال مجموعة كوزنتسوف وسوف تقدر كل جمال وبساطة المشتق الذي تم تحليله. لقد لاحظت أنهم يحبون تقديم شيء مماثل في الاختبار للتحقق مما إذا كان الطالب يفهم كيفية العثور على مشتق دالة معقدة أم لا.

المثال التالي هو الحل بنفسك.

مثال 3

أوجد مشتقة الدالة

تلميح: أولاً، نطبق القواعد الخطية وقاعدة تمايز المنتجات

الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

حان الوقت للانتقال إلى شيء أصغر وأجمل.
ليس من غير المألوف أن يُظهر المثال منتجًا ليس وظيفتين، بل ثلاث وظائف. كيفية العثور على مشتق المنتج من ثلاثة عوامل؟

مثال 4

أوجد مشتقة الدالة

لننظر أولاً، هل من الممكن تحويل منتج ثلاث وظائف إلى منتج دالتين؟ على سبيل المثال، إذا كان لدينا كثيرتا الحدود في حاصل الضرب، فيمكننا فتح القوسين. ولكن في المثال قيد النظر، جميع الوظائف مختلفة: الدرجة والأس واللوغاريتم.

في مثل هذه الحالات فمن الضروري بالتتابعتطبيق قاعدة تمايز المنتج مرتين

الحيلة هي أننا نشير بالحرف "y" إلى حاصل ضرب وظيفتين: وبالحرف "ve" نشير إلى اللوغاريتم: . لماذا يمكن القيام بذلك؟ هل هو حقا – هذا ليس نتاج عاملين والقاعدة لا تعمل؟! لا يوجد شيء معقد:

الآن يبقى تطبيق القاعدة مرة ثانية بين قوسين:

يمكنك أيضًا التحريف ووضع شيء ما خارج الأقواس، ولكن في هذه الحالة من الأفضل ترك الإجابة بالضبط في هذا النموذج - سيكون من الأسهل التحقق منها.

يمكن حل المثال المدروس بالطريقة الثانية:

كلا الحلين متكافئان تمامًا.

مثال 5

أوجد مشتقة الدالة

وهذا مثال لحل مستقل، في العينة يتم حله باستخدام الطريقة الأولى.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة مماثلة مع الكسور.

مثال 6

أوجد مشتقة الدالة

هناك عدة طرق يمكنك الذهاب إليها هنا:

او مثل هذا:

لكن الحل سيكون مكتوبًا بشكل أكثر إحكامًا إذا استخدمنا قاعدة اشتقاق خارج القسمة أولًا ، مع الأخذ في الاعتبار البسط بأكمله:

ومن حيث المبدأ فالمثال محلول، وإذا ترك كما هو فلا يكون خطأ. ولكن إذا كان لديك الوقت، فمن المستحسن دائمًا التحقق من المسودة لمعرفة ما إذا كان من الممكن تبسيط الإجابة؟ دعونا نختصر تعبير البسط إلى قاسم مشترك و دعونا نتخلص من الكسر المكون من ثلاثة طوابق:

عيب التبسيط الإضافي هو أن هناك خطر ارتكاب خطأ ليس عند العثور على المشتق، ولكن أثناء التحولات المدرسية المبتذلة. من ناحية أخرى، غالبًا ما يرفض المعلمون المهمة ويطلبون "إحضارها إلى الذهن" المشتقة.

مثال أبسط لحلها بنفسك:

مثال 7

أوجد مشتقة الدالة

نواصل إتقان طرق العثور على المشتق، والآن سننظر في حالة نموذجية عندما يتم اقتراح اللوغاريتم "الرهيب" للتمايز

مثال 8

أوجد مشتقة الدالة

هنا يمكنك قطع شوط طويل، باستخدام قاعدة التمييز بين دالة معقدة:

لكن الخطوة الأولى تغرقك على الفور في حالة من اليأس - عليك أن تأخذ المشتق غير السار من قوة كسرية، ثم من الكسر أيضًا.

لهذا قبلكيفية أخذ مشتق اللوغاريتم "المعقد" يتم تبسيطه أولاً باستخدام خصائص المدرسة المعروفة:

! إذا كان لديك دفتر تدريبي في متناول يدك، فانسخ هذه الصيغ مباشرة هناك. إذا لم يكن لديك دفتر ملاحظات، فانسخه على قطعة من الورق، لأن الأمثلة المتبقية من الدرس ستدور حول هذه الصيغ.

الحل نفسه يمكن كتابته بشيء من هذا القبيل:

دعونا نحول الوظيفة:

إيجاد المشتقة:

أدى التحويل المسبق للوظيفة نفسها إلى تبسيط الحل إلى حد كبير. وبالتالي، عندما يتم اقتراح لوغاريتم مماثل للتمايز، فمن المستحسن دائمًا "تقسيمه".

والآن إليك بعض الأمثلة البسيطة التي يمكنك حلها بنفسك:

مثال 9

أوجد مشتقة الدالة

مثال 10

أوجد مشتقة الدالة

جميع التحويلات والإجابات موجودة في نهاية الدرس.

مشتق لوغاريتمي

إذا كان مشتق اللوغاريتمات موسيقى حلوة، فإن السؤال الذي يطرح نفسه: هل من الممكن في بعض الحالات تنظيم اللوغاريتم بشكل مصطنع؟ يستطيع! وحتى ضرورية.

مثال 11

أوجد مشتقة الدالة

لقد نظرنا مؤخرًا إلى أمثلة مماثلة. ما يجب القيام به؟ يمكنك تطبيق قاعدة اشتقاق الحاصل بشكل تسلسلي، ثم قاعدة اشتقاق المنتج. عيب هذه الطريقة هو أنه سينتهي بك الأمر بجزء ضخم من ثلاثة طوابق، وهو ما لا ترغب في التعامل معه على الإطلاق.

ولكن من الناحية النظرية والتطبيقية هناك شيء رائع مثل المشتق اللوغاريتمي. يمكن تنظيم اللوغاريتمات بشكل مصطنع عن طريق "تعليقها" على كلا الجانبين:

ملحوظة : لأن وظيفة يمكن أن تقبل القيم السلبية، بشكل عام، تحتاج إلى استخدام الوحدات: والتي سوف تختفي نتيجة التمايز. ومع ذلك، فإن التصميم الحالي مقبول أيضًا، حيث يتم أخذه في الاعتبار بشكل افتراضي معقدالمعاني. ولكن إذا كان ذلك بكل صرامة، ففي كلتا الحالتين ينبغي إبداء تحفظ على ذلك.

أنت الآن بحاجة إلى "تفكيك" لوغاريتم الجانب الأيمن قدر الإمكان (الصيغ أمام عينيك؟). سأصف هذه العملية بتفصيل كبير:

لنبدأ بالتمايز.
نستنتج كلا الجزأين تحت الرئاسة:

إن مشتقة الجانب الأيمن بسيطة جدًا، ولن أعلق عليها، لأنك إذا كنت تقرأ هذا النص، فيجب أن تكون قادرًا على التعامل معه بثقة.

ماذا عن الجانب الأيسر؟

على الجانب الأيسر لدينا وظيفة معقدة. أتوقع السؤال: "لماذا يوجد حرف واحد "Y" تحت اللوغاريتم؟"

الحقيقة هي أن هذه "لعبة الحرف الواحد" - هي في حد ذاتها وظيفة(إذا لم يكن الأمر واضحًا جدًا، فارجع إلى المقالة مشتق من دالة محددة ضمنيًا). وبالتالي فإن اللوغاريتم هو دالة خارجية، والحرف "y" هو دالة داخلية. ونستخدم القاعدة لاشتقاق دالة معقدة :

على الجانب الأيسر، كما لو كان بالسحر، لدينا مشتقة. بعد ذلك، وفقًا لقاعدة التناسب، نقوم بنقل "y" من مقام الجانب الأيسر إلى أعلى الجانب الأيمن:

والآن دعونا نتذكر ما نوع وظيفة "اللاعب" التي تحدثنا عنها أثناء التمايز؟ دعونا نلقي نظرة على الحالة:

الجواب النهائي:

مثال 12

أوجد مشتقة الدالة

هذا مثال لك لحله بنفسك. يوجد تصميم عينة لمثال من هذا النوع في نهاية الدرس.

باستخدام المشتق اللوغاريتمي، كان من الممكن حل أي من الأمثلة رقم 4-7، والشيء الآخر هو أن الوظائف هناك أبسط، وربما، استخدام المشتق اللوغاريتمي ليس له ما يبرره.

مشتق من دالة الأسية

لم نفكر في هذه الوظيفة بعد. دالة الأس الأسية هي دالة لها تعتمد كل من الدرجة والقاعدة على "x". مثال كلاسيكي سيتم تقديمه لك في أي كتاب مدرسي أو محاضرة:

كيفية العثور على مشتق دالة القوة الأسية؟

من الضروري استخدام التقنية التي تمت مناقشتها للتو - المشتق اللوغاريتمي. نعلق اللوغاريتمات على كلا الجانبين:

كقاعدة عامة، على الجانب الأيمن يتم إخراج الدرجة من تحت اللوغاريتم:

ونتيجة لذلك، على الجانب الأيمن لدينا منتج وظيفتين، والتي سيتم اشتقاقها وفقًا للصيغة القياسية .

نجد المشتقة؛ للقيام بذلك، نحيط كلا الجزأين بالحدود:

الإجراءات الإضافية بسيطة:

أخيراً:

إذا لم يكن هناك أي تحويل واضح تمامًا، برجاء إعادة قراءة شرح المثال رقم 11 بعناية.

في المهام العمليةستكون دالة الأس الأسية دائمًا أكثر تعقيدًا من المثال الذي تمت مناقشته في المحاضرة.

مثال 13

أوجد مشتقة الدالة

نستخدم المشتقة اللوغاريتمية.

على الجانب الأيمن لدينا ثابت وحاصل ضرب عاملين - "x" و"لوغاريتم اللوغاريتم x" (يوجد لوغاريتم آخر متداخل تحت اللوغاريتم). عند الاشتقاق، كما نتذكر، من الأفضل نقل الثابت فورًا خارج إشارة المشتقة حتى لا يعيق الطريق؛ وبالطبع نطبق القاعدة المألوفة :