في هذه المقالة سوف ننظر في حل غير مكتملة المعادلات التربيعية.

لكن أولًا، دعونا نكرر ما يسمى بالمعادلات التربيعية. معادلة من الشكل ax 2 + bx + c = 0، حيث x متغير، والمعاملات a وb وc هي بعض الأرقام، وa ≠ 0 تسمى مربع. وكما نرى فإن معامل x 2 لا يساوي صفراً، وبالتالي يمكن أن تكون معاملات x أو الحد الحر مساوية للصفر، وفي هذه الحالة نحصل على معادلة تربيعية غير كاملة.

هناك ثلاثة أنواع من المعادلات التربيعية غير الكاملة:

1) إذا كان ب = 0، ج ≠ 0، ثم الفأس 2 + ج = 0؛

2) إذا كان ب ≠ 0، ج = 0، ثم الفأس 2 + ب س = 0؛

3) إذا كان ب = 0، ج = 0، فإن الفأس 2 = 0.

• دعونا معرفة كيفية حلها معادلات الشكل الفأس 2 + ج = 0.

لحل المعادلة، ننقل الحد الحر c إلى الجانب الأيمن من المعادلة، فنحصل على

الفأس 2 = -s. بما أن ≠ 0، نقسم طرفي المعادلة على a، ثم x 2 = ‒c/a.

إذا كانت ‒с/а > 0، فإن المعادلة لها جذرين

س = ±√(–ج/أ) .

إذا -ج/أ< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

دعونا نحاول أن نفهم بالأمثلة كيفية حل مثل هذه المعادلات.

مثال 1. حل المعادلة 2س 2 - 32 = 0.

الإجابة: × 1 = - 4، × 2 = 4.

مثال 2. حل المعادلة 2س 2 + 8 = 0.

الجواب: المعادلة ليس لها حلول.

• دعونا معرفة كيفية حلها معادلات من الشكل ax 2 + bx = 0.

لحل المعادلة ax 2 + bx = 0، دعونا نحولها إلى عوامل، أي نخرج x من الأقواس، نحصل على x(ax + b) = 0. الناتج يساوي صفر إذا كان أحد العوامل على الأقل متساويًا إلى الصفر. ثم إما x = 0، أو ax + b = 0. وبحل المعادلة ax + b = 0، نحصل على ax = - b، حيث x = - b/a. المعادلة ذات الصيغة ax 2 + bx = 0 لها دائمًا جذرين x 1 = 0 وx 2 = ‒ b/a. انظر كيف يبدو حل المعادلات من هذا النوع في الرسم التخطيطي.

دعونا نعزز معرفتنا بمثال محدد.

مثال 3. حل المعادلة 3س 2 - 12س = 0.

س(3س - 12) = 0

س= 0 أو 3س – 12 = 0

الإجابة: × 1 = 0، × 2 = 4.

• معادلات النوع الثالث الفأس 2 = 0يتم حلها بكل بساطة.

إذا كان الفأس 2 = 0، فإن x 2 = 0. المعادلة لها جذرين متساويين x 1 = 0، x 2 = 0.

من أجل الوضوح، دعونا نلقي نظرة على الرسم البياني.

دعونا نتأكد عند حل المثال 4 من أن المعادلات من هذا النوع يمكن حلها بكل بساطة.

مثال 4.حل المعادلة 7×2 = 0.

الجواب: × 1، 2 = 0.

ليس من الواضح دائمًا على الفور نوع المعادلة التربيعية غير الكاملة التي يتعين علينا حلها. النظر في المثال التالي.

مثال 5.حل المعادلة

دعونا نضرب طرفي المعادلة في قاسم مشترك، وهو 30

دعونا نقطعها

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

دعونا نفتح الأقواس

25س 2 + 45 – 24س 2 + 54 = 90.

دعونا نعطي مماثلة

لننقل 99 من الجانب الأيسر للمعادلة إلى اليمين، مع تغيير الإشارة إلى العكس

الجواب: لا جذور.

لقد نظرنا في كيفية حل المعادلات التربيعية غير المكتملة. آمل ألا تواجه الآن أي صعوبات في مثل هذه المهام. كن حذرا عند تحديد نوع المعادلة التربيعية غير المكتملة، فسوف تنجح.

إذا كانت لديك أسئلة حول هذا الموضوع، قم بالتسجيل في دروسي، وسنحل المشكلات التي تنشأ معًا.

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.

فيديو تعليمي 2: حل المعادلات التربيعية

محاضرة: المعادلات التربيعية

المعادلة

المعادلة- وهذا نوع من المساواة في عباراتها متغير.

حل المعادلة- يعني العثور على رقم بدلاً من المتغير الذي يجعله متساويًا صحيحًا.

قد يكون للمعادلة حل واحد، أو عدة حلول، أو لا شيء على الإطلاق.

لحل أي معادلة يجب تبسيطها قدر الإمكان إلى الشكل:

خطي: أ*س = ب;

مربع: أ*س 2 + ب*س + ج = 0.

أي أنه يجب تحويل أي معادلات إلى الصورة القياسية قبل حلها.

يمكن حل أي معادلة بطريقتين: التحليلية والرسومية.

على الرسم البياني، يعتبر حل المعادلة هو النقاط التي يتقاطع عندها الرسم البياني مع محور OX.

المعادلات التربيعية

يمكن تسمية المعادلة تربيعية إذا كانت تأخذ الشكل التالي عند تبسيطها:

أ*س 2 + ب*س + ج = 0.

حيث أ، ب، جهي معاملات المعادلة التي تختلف عن الصفر. أ "X"- جذر المعادلة. يُعتقد أن المعادلة التربيعية لها جذرين أو قد لا يكون لها حل على الإطلاق. قد تكون الجذور الناتجة هي نفسها.

"أ"- المعامل الذي يقع قبل الجذر التربيعي.

"ب"- يقف أمام المجهول في الدرجة الأولى.

"مع"هو الحد الحر للمعادلة.

على سبيل المثال، إذا كان لدينا معادلة من الشكل:

2س2 -5س+3=0

فيه، "2" هو معامل الحد الرئيسي للمعادلة، و"-5" هو المعامل الثاني، و"3" هو الحد الحر.

حل معادلة تربيعية

هناك مجموعة كبيرة ومتنوعة من الطرق لحل المعادلة التربيعية. ومع ذلك، في دورة المدرسةفي الرياضيات، تتم دراسة الحل باستخدام نظرية فييتا، وكذلك باستخدام المميز.

الحل التمييزي:

عند الحل باستخدام هذه الطريقة، من الضروري حساب المميز باستخدام الصيغة:

إذا وجدت أثناء العمليات الحسابية أن المميز أقل من الصفر، فهذا يعني ذلك معادلة معينةليس لديه حلول.

إذا كان المميز صفرًا، فإن المعادلة لها حلان متطابقان. في هذه الحالة، يمكن طي كثير الحدود باستخدام صيغة الضرب المختصرة في مربع المجموع أو الفرق. ثم حلها مثل معادلة خط مستقيم. أو استخدم الصيغة:

إذا كان المميز أكبر من الصفر، فيجب عليك استخدام الطريقة التالية:

نظرية فييتا

إذا كانت المعادلة معطاة، فهناك معامل للحد الرئيسي يساوي واحد، ثم يمكنك استخدام نظرية فييتا.

لذلك لنفترض أن المعادلة هي:

تم العثور على جذور المعادلة على النحو التالي:

معادلة تربيعية غير مكتملة

هناك عدة خيارات للحصول على معادلة تربيعية غير مكتملة، ويعتمد شكلها على وجود المعاملات.

1. إذا كانت المعاملات الثانية والثالثة صفراً (ب = 0، ج = 0)، فستبدو المعادلة التربيعية كما يلي:

هذه المعادلة سيكون لها حل فريد. لن تكون المساواة صحيحة إلا إذا كان حل المعادلة صفرًا.

في مجتمع حديثيمكن أن تكون القدرة على إجراء العمليات باستخدام المعادلات التي تحتوي على متغير مربع مفيدة في العديد من مجالات النشاط وتستخدم على نطاق واسع في الممارسة العملية في التطورات العلمية والتقنية. يمكن العثور على دليل على ذلك في تصميم السفن البحرية والنهرية والطائرات والصواريخ. وباستخدام مثل هذه الحسابات، يتم تحديد مسارات حركة مجموعة واسعة من الأجسام، بما في ذلك الأجسام الفضائية. تُستخدم الأمثلة على حل المعادلات التربيعية ليس فقط في التنبؤ الاقتصادي، وفي تصميم وتشييد المباني، ولكن أيضًا في الظروف اليومية الأكثر شيوعًا. قد تكون هناك حاجة إليها في رحلات المشي لمسافات طويلة، وفي الأحداث الرياضية، وفي المتاجر عند إجراء عمليات الشراء وفي المواقف الأخرى الشائعة جدًا.

دعونا نقسم التعبير إلى العوامل المكونة له

يتم تحديد درجة المعادلة من خلال القيمة القصوى لدرجة المتغير الذي يحتوي عليه التعبير. إذا كانت تساوي 2، فإن هذه المعادلة تسمى تربيعية.

إذا تحدثنا بلغة الصيغ، فيمكن دائمًا إحضار التعبيرات المشار إليها، بغض النظر عن مظهرها، إلى النموذج عندما يتكون الجانب الأيسر من التعبير من ثلاثة مصطلحات. من بينها: ax 2 (أي متغير مربع بمعامله)، bx (مجهول بدون مربع بمعامله) و c (مكون حر، أي رقم عادي). كل هذا على الجانب الأيمن يساوي 0. في الحالة التي تفتقر فيها كثيرة الحدود إلى أحد العناصر المكونة لها، باستثناء المحور 2، فإنها تسمى معادلة تربيعية غير مكتملة. يجب أولاً النظر في أمثلة حل مثل هذه المشكلات، وقيم المتغيرات التي يسهل العثور عليها.

إذا كان التعبير يبدو وكأنه يحتوي على حدين على الجانب الأيمن، وبشكل أكثر دقة ax 2 وbx، فإن أسهل طريقة للعثور على x هي وضع المتغير خارج الأقواس. الآن ستبدو معادلتنا كما يلي: x(ax+b). بعد ذلك، يصبح من الواضح أن x=0، أو أن المشكلة تكمن في العثور على متغير من التعبير التالي: ax+b=0. وهذا ما تمليه إحدى خصائص الضرب. تنص القاعدة على أن حاصل ضرب عاملين ينتج عنه صفر فقط إذا كان أحدهما صفرًا.

مثال

س=0 أو 8س - 3 = 0

ونتيجة لذلك، نحصل على جذرين للمعادلة: 0 و0.375.

ويمكن للمعادلات من هذا النوع أن تصف حركة الأجسام تحت تأثير الجاذبية، والتي بدأت تتحرك من نقطة معينة تؤخذ على أنها أصل الإحداثيات. هنا يأخذ التدوين الرياضي الشكل التالي: y = v 0 t + gt 2 /2. ومن خلال استبدال القيم الضرورية، ومساواة الجانب الأيمن بالصفر وإيجاد المجهولات المحتملة، يمكنك معرفة الوقت الذي يمر من لحظة صعود الجسم إلى لحظة سقوطه، بالإضافة إلى العديد من الكميات الأخرى. لكننا سنتحدث عن هذا لاحقًا.

تحليل التعبير

القاعدة الموضحة أعلاه تجعل من الممكن حل هذه المشكلات بشكل أكبر الحالات الصعبة. دعونا نلقي نظرة على أمثلة لحل المعادلات التربيعية من هذا النوع.

× 2 - 33س + 200 = 0

هذا ثلاثية الحدود من الدرجة الثانيةاكتمل. أولاً، دعونا نحول التعبير ونقوم بتحليله. هناك اثنان منهم: (س-8) و (س-25) = 0. ونتيجة لذلك، لدينا جذرين 8 و 25.

تسمح أمثلة حل المعادلات التربيعية في الصف التاسع لهذه الطريقة بالعثور على متغير في التعبيرات ليس فقط من الدرجة الثانية، ولكن حتى من الرتبتين الثالثة والرابعة.

على سبيل المثال: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. عند تحليل الجانب الأيمن إلى عوامل ذات متغير، هناك ثلاثة منها، وهي (x+1) و(x-3) و(x+ 3).

ونتيجة لذلك، يصبح من الواضح أن هذه المعادلة لها ثلاثة جذور: -3؛ -1؛ 3.

الجذر التربيعي

حالة أخرى لمعادلة غير مكتملة من الدرجة الثانية هي التعبير الذي يتم تمثيله بلغة الحروف بحيث يتم إنشاء الجانب الأيمن من المكونين ax 2 وc. وهنا للحصول على قيمة المتغير ينقل الحد الحر إلى الطرف الأيمن، وبعد ذلك يتم استخراج الجذر التربيعي من طرفي المساواة. تجدر الإشارة إلى أنه في هذه الحالة يكون هناك عادةً جذرين للمعادلة. يمكن أن تكون الاستثناءات الوحيدة هي المعادلات التي لا تحتوي على حد على الإطلاق، حيث يكون المتغير يساوي صفرًا، بالإضافة إلى متغيرات التعبيرات عندما يكون الجانب الأيمن سالبًا. في الحالة الأخيرة، لا توجد حلول على الإطلاق، حيث لا يمكن تنفيذ الإجراءات المذكورة أعلاه مع الجذور. ينبغي النظر في أمثلة حلول المعادلات التربيعية من هذا النوع.

في هذه الحالة، جذور المعادلة ستكون الرقمين -4 و4.

حساب مساحة الأرض

ظهرت الحاجة إلى هذا النوع من الحسابات في العصور القديمة، لأن تطور الرياضيات في تلك الأوقات البعيدة كان يتحدد إلى حد كبير من خلال الحاجة إلى تحديد مناطق ومحيط قطع الأراضي بأكبر قدر من الدقة.

يجب علينا أيضًا أن نفكر في أمثلة لحل المعادلات التربيعية بناءً على مسائل من هذا النوع.

لنفترض أن هناك قطعة أرض مستطيلة الشكل يزيد طولها عن عرضها بـ 16 مترًا. يجب أن تجد طول الموقع وعرضه ومحيطه إذا علمت أن مساحته 612 م2.

للبدء، دعونا أولاً ننشئ المعادلة الضرورية. لنرمز بـ x إلى عرض المساحة، فيكون طولها (x+16). يتبين من ما كتب أن المساحة يتم تحديدها بواسطة التعبير x(x+16)، والذي، وفقًا لشروط مسألتنا، هو 612. وهذا يعني أن x(x+16) = 612.

حل المعادلات التربيعية الكاملة، وهذا التعبير هو بالضبط، لا يمكن أن يتم بنفس الطريقة. لماذا؟ على الرغم من أن الجانب الأيسر لا يزال يحتوي على عاملين، إلا أن حاصل ضربهما لا يساوي 0 على الإطلاق، لذلك يتم استخدام طرق مختلفة هنا.

مميز

أولا وقبل كل شيء، دعونا نجري التحولات اللازمة، ثم مظهر التعبير المعطىستبدو بالشكل التالي: x 2 + 16x - 612 = 0. وهذا يعني أننا تلقينا تعبيرًا في نموذج يتوافق مع المعيار المحدد مسبقًا، حيث a=1، b=16، c=-612.

قد يكون هذا مثالاً على حل المعادلات التربيعية باستخدام المميز. هنا يتم إجراء الحسابات اللازمة وفقًا للمخطط: D = b 2 - 4ac. هذه الكمية المساعدة لا تجعل من الممكن العثور على الكميات المطلوبة في معادلة من الدرجة الثانية فحسب، بل تحدد عدد الخيارات الممكنة. إذا كان D > 0، فهناك اثنان منهم؛ بالنسبة لـ D=0 يوجد جذر واحد. في حالة د<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

عن الجذور وصيغتها

في حالتنا، المميز يساوي: 256 - 4(-612) = 2704. وهذا يشير إلى أن مشكلتنا لها إجابة. إذا كنت تعرف k، فيجب الاستمرار في حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة أدناه. انها تسمح لك لحساب الجذور.

وهذا يعني أنه في الحالة المعروضة: x 1 = 18، x 2 = -34. الخيار الثاني في هذه المعضلة لا يمكن أن يكون حلا، لأن أبعاد قطعة الأرض لا يمكن قياسها بكميات سالبة، مما يعني أن x (أي عرض قطعة الأرض) هو 18 م، ومن هنا نحسب الطول: 18 +16=34، والمحيط 2(34+18)=104(م2).

الأمثلة والمهام

نواصل دراستنا للمعادلات التربيعية. سيتم تقديم الأمثلة والحلول التفصيلية للعديد منها أدناه.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

دعونا ننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر من المساواة، ونقوم بإجراء تحويل، أي أننا سنحصل على نوع المعادلة التي تسمى عادةً بالمعيارية، ونساويها بالصفر.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

بإضافة تلك المتشابهة، نحدد المميز: D = 49 - 48 = 1. هذا يعني أن المعادلة سيكون لها جذرين. لنحسبهما وفق الصيغة المذكورة أعلاه، مما يعني أن الأول منهما يساوي 4/3، والثاني يساوي 1.

2) الآن دعونا نحل ألغازًا من نوع مختلف.

لنكتشف ما إذا كان هناك أي جذور هنا x 2 - 4x + 5 = 1؟ للحصول على إجابة شاملة، دعونا نختصر كثيرة الحدود إلى الصورة المعتادة المقابلة ونحسب المميز. في المثال أعلاه، ليس من الضروري حل المعادلة التربيعية، لأن هذا ليس جوهر المشكلة على الإطلاق. في هذه الحالة، D = 16 - 20 = -4، مما يعني عدم وجود جذور حقًا.

نظرية فييتا

من السهل حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغ المذكورة أعلاه والمميز، عندما يتم أخذ الجذر التربيعي من قيمة الأخير. ولكن هذا لا يحدث دائما. ومع ذلك، هناك طرق عديدة للحصول على قيم المتغيرات في هذه الحالة. مثال: حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا. تم تسميتها على اسم من عاش في فرنسا في القرن السادس عشر وحقق مسيرة مهنية رائعة بفضل موهبته الرياضية وعلاقاته في المحكمة. ويمكن رؤية صورته في المقال.

وكان النمط الذي لاحظه الفرنسي الشهير على النحو التالي. لقد أثبت أن جذور المعادلة تضيف عددًا إلى -p=b/a، وحاصل ضربها يتوافق مع q=c/a.

الآن دعونا نلقي نظرة على مهام محددة.

3س2 + 21س - 54 = 0

للتبسيط، دعونا نحول التعبير:

× 2 + 7س - 18 = 0

دعونا نستخدم نظرية فييتا، وهذا سيعطينا ما يلي: مجموع الجذور هو -7، وحاصل ضربها هو -18. من هنا نستنتج أن جذور المعادلة هي الأرقام -9 و 2. وبعد التحقق، سنتأكد من أن هذه القيم المتغيرة تتناسب بالفعل مع التعبير.

الرسم البياني والمعادلة القطع المكافئ

ترتبط مفاهيم الدالة التربيعية والمعادلات التربيعية ارتباطًا وثيقًا. وقد سبق تقديم أمثلة على ذلك في وقت سابق. الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الألغاز الرياضية بمزيد من التفصيل. يمكن تمثيل أي معادلة من النوع الموصوف بصريًا. تسمى هذه العلاقة، المرسومة على شكل رسم بياني، بالقطع المكافئ. يتم عرض أنواعها المختلفة في الشكل أدناه.

أي قطع مكافئ له قمة، أي النقطة التي تخرج منها فروعه. إذا كانت a>0، فإنها ترتفع إلى ما لا نهاية، وعندما تكون a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

تساعد التمثيلات المرئية للدوال في حل أي معادلات، بما في ذلك المعادلات التربيعية. هذه الطريقة تسمى رسومية. وقيمة المتغير x هي إحداثيات الإحداثي السيني عند النقاط التي يتقاطع فيها خط الرسم البياني مع 0x. يمكن إيجاد إحداثيات الرأس باستخدام الصيغة المعطاة للتو x 0 = -b/2a. ومن خلال استبدال القيمة الناتجة في المعادلة الأصلية للدالة، يمكنك معرفة y 0، أي الإحداثي الثاني لرأس القطع المكافئ، الذي ينتمي إلى المحور الإحداثي.

تقاطع فروع القطع المكافئ مع محور الإحداثي السيني

هناك الكثير من الأمثلة على حل المعادلات التربيعية، ولكن هناك أيضًا أنماط عامة. دعونا ننظر إليهم. من الواضح أن تقاطع الرسم البياني مع المحور 0x لـ a>0 ممكن فقط إذا كان 0 يأخذ قيمًا سالبة. و ل<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. وإلا د<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

من الرسم البياني للقطع المكافئ يمكنك أيضًا تحديد الجذور. والعكس صحيح أيضا. أي أنه إذا لم يكن من السهل الحصول على تمثيل مرئي للدالة التربيعية، فيمكنك مساواة الجانب الأيمن من التعبير بالصفر وحل المعادلة الناتجة. ومعرفة نقاط التقاطع مع المحور 0x يسهل إنشاء رسم بياني.

من التاريخ

باستخدام المعادلات التي تحتوي على متغير تربيعي، لم يقتصر الأمر في الأيام الخوالي على إجراء حسابات رياضية وتحديد مساحات الأشكال الهندسية. لقد احتاج القدماء إلى مثل هذه الحسابات من أجل الاكتشافات الكبرى في مجالات الفيزياء وعلم الفلك، وكذلك لوضع التنبؤات الفلكية.

وكما يشير العلماء المعاصرون، كان سكان بابل من بين أول من حل المعادلات التربيعية. حدث هذا قبل أربعة قرون من عصرنا. وبطبيعة الحال، كانت حساباتهم مختلفة جذريا عن تلك المقبولة حاليا وتبين أنها أكثر بدائية. على سبيل المثال، لم يكن لدى علماء الرياضيات في بلاد ما بين النهرين أي فكرة عن وجود الأعداد السالبة. كما أنهم لم يكونوا على دراية بالتفاصيل الدقيقة الأخرى التي يعرفها أي تلميذ حديث.

وربما حتى قبل علماء بابل، بدأ الحكيم الهندي بودهاياما في حل المعادلات التربيعية. حدث هذا قبل حوالي ثمانية قرون من ظهور المسيح. صحيح أن المعادلات من الدرجة الثانية، وطرق الحل التي قدمها، كانت الأبسط. وإلى جانبه، كان علماء الرياضيات الصينيون مهتمين أيضًا بمسائل مماثلة في الأيام الخوالي. في أوروبا، بدأ حل المعادلات التربيعية فقط في بداية القرن الثالث عشر، ولكن في وقت لاحق تم استخدامها في أعمالهم من قبل علماء عظماء مثل نيوتن وديكارت وغيرهم الكثير.

قد يبدو هذا الموضوع معقدًا في البداية نظرًا لكثرة الصيغ غير البسيطة. لا تحتوي المعادلات التربيعية نفسها على رموز طويلة فحسب، بل يمكن العثور على الجذور أيضًا من خلال المميز. في المجموع، تم الحصول على ثلاث صيغ جديدة. ليس من السهل أن نتذكر. وهذا ممكن فقط بعد حل مثل هذه المعادلات بشكل متكرر. ثم سيتم تذكر جميع الصيغ من تلقاء نفسها.

نظرة عامة على المعادلة التربيعية

وهنا نقترح تسجيلها الصريح، عندما يتم كتابة الدرجة الأكبر أولا، ثم بالترتيب التنازلي. غالبًا ما تكون هناك مواقف تكون فيها المصطلحات غير متناسقة. ومن الأفضل إعادة كتابة المعادلة بترتيب تنازلي لدرجة المتغير.

دعونا نقدم بعض الرموز. يتم عرضها في الجدول أدناه.

إذا قبلنا هذه الرموز، فسيتم تقليل جميع المعادلات التربيعية إلى الترميز التالي.

علاوة على ذلك، فإن المعامل أ ≠ 0. دع هذه الصيغة يتم تعيينها رقم واحد.

عند إعطاء معادلة، ليس من الواضح عدد الجذور الموجودة في الإجابة. لأن أحد الخيارات الثلاثة ممكن دائمًا:

• سيكون للحل جذرين؛
• الجواب سيكون رقم واحد؛
• المعادلة لن يكون لها جذور على الإطلاق.

وحتى يتم الانتهاء من القرار، من الصعب فهم الخيار الذي سيظهر في حالة معينة.

أنواع تسجيلات المعادلات التربيعية

قد تكون هناك إدخالات مختلفة في المهام. لن تبدو دائمًا مثل صيغة المعادلة التربيعية العامة. في بعض الأحيان سوف تفتقد بعض المصطلحات. ما كتب أعلاه هو المعادلة الكاملة. فإذا أزلت الحد الثاني أو الثالث فيه، تحصل على شيء آخر. وتسمى هذه السجلات أيضًا بالمعادلات التربيعية، ولكنها غير مكتملة.

علاوة على ذلك، فإن المصطلحات ذات المعاملين "b" و"c" فقط هي التي يمكن أن تختفي. الرقم "أ" لا يمكن أن يساوي الصفر تحت أي ظرف من الظروف. لأنه في هذه الحالة تتحول الصيغة إلى معادلة خطية. ستكون صيغ المعادلات غير الكاملة كما يلي:

لذلك، هناك نوعان فقط، بالإضافة إلى المعادلات الكاملة، هناك أيضًا معادلات تربيعية غير مكتملة. دع الصيغة الأولى تكون رقم اثنين، والثانية - ثلاثة.

التمييز واعتماد عدد الجذور على قيمته

يجب أن تعرف هذا الرقم لتتمكن من حساب جذور المعادلة. ويمكن دائمًا حسابها، بغض النظر عن صيغة المعادلة التربيعية. لحساب المميز، عليك استخدام المساواة المكتوبة أدناه، والتي سيكون لها الرقم أربعة.

بعد استبدال قيم المعاملات في هذه الصيغة، يمكنك الحصول على أرقام بعلامات مختلفة. إذا كانت الإجابة بنعم، فإن إجابة المعادلة ستكون جذرين مختلفين. إذا كان الرقم سالبًا، فلن يكون هناك جذور للمعادلة التربيعية. وإذا كانت تساوي صفرًا، فسيكون هناك إجابة واحدة فقط.

كيفية حل معادلة تربيعية كاملة؟

في الواقع، لقد بدأ بالفعل النظر في هذه المسألة. لأنك تحتاج أولاً إلى العثور على المميز. بعد تحديد وجود جذور للمعادلة التربيعية ومعرفة عددها، عليك استخدام صيغ للمتغيرات. إذا كان هناك جذرين، فأنت بحاجة إلى تطبيق الصيغة التالية.

وبما أنه يحتوي على علامة "±"، فسيكون هناك معنيان. التعبير تحت العلامة الجذر التربيعيهو التمييز. ولذلك، يمكن إعادة كتابة الصيغة بشكل مختلف.

الصيغة رقم خمسة. ومن نفس السجل يتضح أنه إذا كان المميز يساوي صفرًا، فإن كلا الجذرين سيأخذان نفس القيم.

إذا لم يتم حل المعادلات التربيعية بعد، فمن الأفضل تدوين قيم جميع المعاملات قبل تطبيق الصيغ التمييزية والمتغيرة. في وقت لاحق هذه اللحظة لن تسبب صعوبات. ولكن في البداية هناك ارتباك.

كيفية حل معادلة تربيعية غير مكتملة؟

كل شيء أبسط بكثير هنا. ليست هناك حاجة حتى لصيغ إضافية. ولن تكون هناك حاجة لتلك التي تم كتابتها بالفعل للمميز والمجهول.

أولاً، دعونا نلقي نظرة على المعادلة غير المكتملة رقم اثنين. وفي هذه المساواة لا بد من إخراج الكمية المجهولة من الأقواس وحل المعادلة الخطية التي ستبقى بين قوسين. الجواب سيكون له جذرين. فالأول يساوي بالضرورة صفرًا، لأن هناك مضاعفًا يتكون من المتغير نفسه. وسيتم الحصول على الثانية عن طريق حل معادلة خطية.

يتم حل المعادلة غير المكتملة رقم ثلاثة عن طريق نقل الرقم من الجانب الأيسر للمساواة إلى اليمين. ثم عليك أن تقسم على المعامل الذي يواجه المجهول. كل ما تبقى هو استخراج الجذر التربيعي وتذكر كتابته مرتين بعلامات متضادة.

فيما يلي بعض الخطوات التي ستساعدك على تعلم كيفية حل جميع أنواع المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية. سوف يساعدون الطالب على تجنب الأخطاء بسبب عدم الانتباه. يمكن أن تتسبب أوجه القصور هذه في الحصول على درجات سيئة عند دراسة الموضوع الموسع "المعادلات التربيعية (الصف الثامن)". وبعد ذلك، لن يلزم تنفيذ هذه الإجراءات باستمرار. لأن مهارة مستقرة سوف تظهر.

• تحتاج أولاً إلى كتابة المعادلة في الصورة القياسية. وهذا يعني أولاً الحد ذو الدرجة الأكبر للمتغير، ثم - بدون درجة، وأخيرًا - مجرد رقم.

• إذا ظهر ناقص قبل المعامل "أ"، فإنه يمكن أن يعقد العمل للمبتدئين في دراسة المعادلات التربيعية. من الأفضل التخلص منه. ولهذا الغرض، يجب ضرب كل المساواة بـ "-1". وهذا يعني أن جميع المصطلحات سوف تتغير الإشارة إلى العكس.

• يوصى بالتخلص من الكسور بنفس الطريقة. ما عليك سوى ضرب المعادلة في العامل المناسب حتى يتم إلغاء المقامات.

أمثلة

مطلوب حل المعادلات التربيعية التالية:

س 2 − 7س = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

س 2 + 8 + 3س = 0؛

12س + س 2 + 36 = 0;

(س+1) 2 + س + 1 = (س+1)(س+2).

المعادلة الأولى: x 2 − 7x = 0. وهي غير كاملة، لذلك تم حلها كما هو موضح في الصيغة الثانية.

وبعد إخراجها من الأقواس يتبين أن: x (x - 7) = 0.

يأخذ الجذر الأول القيمة: x 1 = 0. وسيتم إيجاد الجذر الثاني من المعادلة الخطية: x - 7 = 0. ومن السهل أن ترى أن x 2 = 7.

المعادلة الثانية: 5س2 + 30 = 0. مرة أخرى غير كاملة. فقط يتم حلها كما هو موضح للصيغة الثالثة.

بعد نقل 30 إلى الجانب الأيمن من المعادلة: 5x 2 = 30. الآن أنت بحاجة إلى القسمة على 5. اتضح: x 2 = 6. ستكون الإجابات هي الأرقام: x 1 = √6، x 2 = - √6.

المعادلة الثالثة: 15 − 2x − x 2 = 0. هنا وأدناه، سيبدأ حل المعادلات التربيعية بإعادة كتابتها في الصورة القياسية: − x 2 − 2x + 15 = 0. الآن حان الوقت لاستخدام الطرف الثاني المفيد والضرب كل شيء بناقص واحد. اتضح أن x 2 + 2x - 15 = 0. باستخدام الصيغة الرابعة، عليك حساب المميز: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. إنه رقم موجب. مما سبق يتبين أن المعادلة لها جذرين. يجب حسابها باستخدام الصيغة الخامسة. اتضح أن x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. ثم x 1 = 3، x 2 = - 5.

المعادلة الرابعة x 2 + 8 + 3x = 0 يتم تحويلها إلى هذا: x 2 + 3x + 8 = 0. ومميزها يساوي هذه القيمة: -23. وبما أن هذا الرقم سلبي، فإن الإجابة على هذه المهمة ستكون الإدخال التالي: "لا توجد جذور".

يجب إعادة كتابة المعادلة الخامسة 12x + x 2 + 36 = 0 على النحو التالي: x 2 + 12x + 36 = 0. وبعد تطبيق صيغة المميز يتم الحصول على الرقم صفر. وهذا يعني أنه سيكون له جذر واحد، وهو: x = -12/ (2 * 1) = -6.

المعادلة السادسة (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) تتطلب تحويلات، وهي أنك تحتاج إلى إحضار مصطلحات متشابهة، وذلك بفتح الأقواس أولاً. بدل الأول يكون التعبير التالي: x 2 + 2x + 1. وبعد المساواة يظهر هذا المدخل: x 2 + 3x + 2. وبعد حساب الحدود المتشابهة تأخذ المعادلة الشكل: x 2 - س = 0. لقد أصبح غير مكتمل. لقد تمت بالفعل مناقشة شيء مشابه لهذا أعلى قليلاً. جذور هذا ستكون الأرقام 0 و 1.

نواصل دراسة الموضوع " حل المعادلات" لقد تعرفنا بالفعل على المعادلات الخطية وننتقل إلى التعرف عليها المعادلات التربيعية.

أولاً، سنلقي نظرة على ماهية المعادلة التربيعية، وكيفية كتابتها بشكل عام، وسنقدم التعريفات ذات الصلة. بعد ذلك، سنستخدم الأمثلة لنفحص بالتفصيل كيفية حل المعادلات التربيعية غير المكتملة. بعد ذلك، سننتقل إلى حل المعادلات الكاملة، والحصول على الصيغة الجذرية، والتعرف على مميز المعادلة التربيعية، والنظر في حلول الأمثلة النموذجية. أخيرًا، دعونا نتتبع الروابط بين الجذور والمعاملات.

التنقل في الصفحة.

ما هي المعادلة التربيعية؟ أنواعهم

عليك أولاً أن تفهم بوضوح ما هي المعادلة التربيعية. لذلك، من المنطقي أن نبدأ محادثة حول المعادلات التربيعية مع تعريف المعادلة التربيعية، وكذلك التعريفات ذات الصلة. بعد ذلك، يمكنك النظر في الأنواع الرئيسية للمعادلات التربيعية: المعادلات المخفضة وغير المخفضة، وكذلك المعادلات الكاملة وغير الكاملة.

تعريف وأمثلة المعادلات التربيعية

تعريف.

معادلة من الدرجة الثانيةهي معادلة النموذج أ س 2 + ب س + ج = 0، حيث x متغير، وa، وb، وc هي بعض الأرقام، وa غير صفر.

لنفترض على الفور أن المعادلات التربيعية تسمى غالبًا معادلات من الدرجة الثانية. ويرجع ذلك إلى حقيقة أن المعادلة التربيعية هي معادلة جبريةالدرجة الثانية.

يتيح لنا التعريف المذكور إعطاء أمثلة على المعادلات التربيعية. إذن 2 × 2 +6 × +1 = 0، 0.2 × 2 +2.5 × +0.03 = 0، إلخ. هذه معادلات تربيعية.

تعريف.

أعداد يتم استدعاء a وb وc معاملات المعادلة التربيعية a·x 2 +b·x+c=0، ويسمى المعامل a الأول، أو الأعلى، أو معامل x 2، وb هو المعامل الثاني، أو معامل x، وc هو الحد الحر .

على سبيل المثال، لنأخذ معادلة تربيعية بالصيغة 5 × 2 −2 × −3=0، هنا المعامل الرئيسي هو 5، والمعامل الثاني يساوي −2، والحد الحر يساوي −3. يرجى ملاحظة أنه عندما تكون المعاملات b و/أو c سالبة، كما في المثال الموضح للتو، فإن الصيغة المختصرة للمعادلة التربيعية هي 5 x 2 −2 x−3=0 , بدلاً من 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

تجدر الإشارة إلى أنه عندما تكون المعاملات a و/أو b مساوية لـ 1 أو −1، فإنها عادة لا تكون موجودة بشكل صريح في المعادلة التربيعية، وهو ما يرجع إلى خصوصيات كتابتها. على سبيل المثال، في المعادلة التربيعية y 2 −y+3=0 المعامل الرئيسي هو واحد، ومعامل y يساوي −1.

المعادلات التربيعية المخفضة وغير المخفضة

اعتمادا على قيمة المعامل الرئيسي، يتم التمييز بين المعادلات التربيعية المخفضة وغير المخفضة. دعونا نعطي التعريفات المقابلة.

تعريف.

تسمى المعادلة التربيعية التي يكون المعامل الرئيسي لها 1 نظرا للمعادلة التربيعية. وإلا فإن المعادلة التربيعية هي لم يمسها.

وفقا لهذا التعريف، المعادلات التربيعية x 2 −3·x+1=0، x 2 −x−2/3=0، إلخ. - مع العلم أن المعامل الأول في كل منهما يساوي واحدًا. أ 5 × 2 −x−1=0، إلخ. - المعادلات التربيعية غير المختزلة، معاملاتها الرئيسية تختلف عن 1.

من أي معادلة تربيعية غير مخفضة، عن طريق قسمة كلا الطرفين على المعامل الرئيسي، يمكنك الانتقال إلى المعامل المخفض. هذا الإجراء عبارة عن تحويل مكافئ، أي أن المعادلة التربيعية المختزلة التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة لها نفس جذور المعادلة التربيعية الأصلية غير المختزلة، أو، مثلها، ليس لها جذور.

دعونا نلقي نظرة على مثال لكيفية إجراء الانتقال من معادلة تربيعية غير مخفضة إلى معادلة مخفضة.

مثال.

من المعادلة 3 x 2 +12 x−7=0، انتقل إلى المعادلة التربيعية المخفضة المقابلة.

حل.

نحتاج فقط إلى قسمة طرفي المعادلة الأصلية على المعامل الرئيسي 3، وهو ليس صفرًا، حتى نتمكن من تنفيذ هذا الإجراء. لدينا (3 x 2 +12 x−7):3=0:3، وهو نفسه، (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0، ثم (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0، من حيث . وهكذا حصلنا على المعادلة التربيعية المخفضة، وهي تعادل المعادلة الأصلية.

إجابة:

المعادلات التربيعية الكاملة وغير الكاملة

يحتوي تعريف المعادلة التربيعية على الشرط a≠0. هذا الشرط ضروري لكي تكون المعادلة a x 2 + b x + c = 0 من الدرجة الثانية، لأنه عندما تكون a = 0 تصبح في الواقع معادلة خطية على الصورة b x + c = 0.

أما المعاملان b وc فيمكن أن يساويا الصفر، منفردين ومجتمعين. في هذه الحالات، تسمى المعادلة التربيعية غير كاملة.

تعريف.

تسمى المعادلة التربيعية a x 2 +b x+c=0 غير مكتمل، إذا كان واحد على الأقل من المعاملات ب، ج يساوي الصفر.

في دورها

تعريف.

معادلة تربيعية كاملةهي معادلة تختلف فيها جميع المعاملات عن الصفر.

لم يتم إعطاء هذه الأسماء بالصدفة. وهذا سيتضح من الأحاديث التالية.

إذا كان المعامل b هو صفر، فإن المعادلة التربيعية تأخذ الشكل a·x 2 +0·x+c=0، وهي تعادل المعادلة a·x 2 +c=0. إذا كانت c=0، أي أن المعادلة التربيعية لها الشكل a·x 2 +b·x+0=0، فيمكن إعادة كتابتها بالشكل a·x 2 +b·x=0. ومع b=0 وc=0 نحصل على المعادلة التربيعية a·x 2 =0. تختلف المعادلات الناتجة عن المعادلة التربيعية الكاملة في أن جوانبها اليسرى لا تحتوي على حد مع المتغير x، أو حد حر، أو كليهما. ومن هنا اسمهم - المعادلات التربيعية غير المكتملة.

لذا فإن المعادلات x 2 +x+1=0 و −2 x 2 −5 x+0.2=0 هي أمثلة للمعادلات التربيعية الكاملة، و x 2 =0، −2 x 2 =0، 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 معادلات تربيعية غير كاملة.

حل المعادلات التربيعية غير الكاملة

ومن المعلومات الواردة في الفقرة السابقة يتبين أن هناك ثلاثة أنواع من المعادلات التربيعية غير الكاملة:

• a·x 2 =0، المعاملات b=0 و c=0 تتوافق معها؛
• أ س 2 +ج=0 عندما ب=0 ;
• و a·x 2 +b·x=0 عندما تكون c=0.

دعونا نفحص بالترتيب كيفية حل المعادلات التربيعية غير المكتملة لكل من هذه الأنواع.

أ × 2 = 0

لنبدأ بحل المعادلات التربيعية غير المكتملة التي يكون فيها المعاملان b وc مساويين للصفر، أي بمعادلات من الصيغة a x 2 =0. المعادلة a·x 2 =0 تعادل المعادلة x 2 =0، والتي يتم الحصول عليها من الأصل بقسمة كلا الجزأين على رقم غير الصفر a. من الواضح أن جذر المعادلة x 2 =0 هو صفر، حيث أن 0 2 =0. هذه المعادلة ليس لها جذور أخرى، وهو ما يفسره حقيقة أنه بالنسبة لأي رقم غير الصفر p، فإن عدم المساواة p 2 >0 يحمل، مما يعني أنه بالنسبة إلى p≠0، فإن المساواة p 2 =0 لن تتحقق أبدًا.

لذا، فإن المعادلة التربيعية غير المكتملة a·x 2 =0 لها جذر واحد x=0.

على سبيل المثال، نعطي حل المعادلة التربيعية غير المكتملة −4 × 2 =0. وهي تعادل المعادلة x 2 =0، جذرها الوحيد هو x=0، وبالتالي فإن المعادلة الأصلية لها جذر واحد صفر.

يمكن كتابة الحل القصير في هذه الحالة على النحو التالي:
−4 × 2 =0 ,
× 2 = 0،
س=0 .

أ س 2 + ج = 0

الآن دعونا نلقي نظرة على كيفية حل المعادلات التربيعية غير المكتملة التي يكون فيها المعامل b صفرًا وc≠0، أي معادلات من الصيغة a x 2 +c=0. نحن نعلم أن نقل حد من أحد طرفي المعادلة إلى الطرف الآخر بالإشارة المعاكسة، وكذلك قسمة طرفي المعادلة على عدد غير الصفر، يعطي معادلة مكافئة. لذلك، يمكننا إجراء التحويلات المكافئة التالية للمعادلة التربيعية غير المكتملة a x 2 +c=0:

• انقل c إلى الجانب الأيمن، مما يعطي المعادلة a x 2 =−c،
• ونقسم الطرفين على a فنحصل على .

المعادلة الناتجة تسمح لنا باستخلاص استنتاجات حول جذورها. اعتمادًا على قيم a وc، يمكن أن تكون قيمة التعبير سالبة (على سبيل المثال، إذا كانت a=1 وc=2)، أو موجبة (على سبيل المثال، إذا كانت a=−2 وc=6، ثم) لا يساوي الصفر، لأنه بالشرط c≠0. دعونا ننظر إلى الحالات بشكل منفصل.

إذا كانت المعادلة ليس لها جذور. ينبع هذا البيان من حقيقة أن مربع أي رقم هو رقم غير سالب. ويترتب على ذلك أنه عندما تكون المساواة لأي رقم p لا يمكن أن تكون صحيحة.

إذا كان الوضع مختلفًا مع جذور المعادلة. في هذه الحالة، إذا تذكرنا، يصبح جذر المعادلة واضحًا على الفور؛ وهو الرقم، حيث أن . من السهل تخمين أن الرقم هو أيضًا جذر المعادلة، في الواقع. وليس لهذه المعادلة جذور أخرى يمكن إثباتها بالتناقض مثلا. دعنا نقوم به.

دعونا نشير إلى جذور المعادلة التي تم الإعلان عنها للتو كـ x 1 و −x 1 . لنفترض أن المعادلة لها جذر آخر x 2، يختلف عن الجذور المشار إليها x 1 و−x 1. ومن المعروف أن استبدال جذورها في معادلة بدلاً من x يحول المعادلة إلى مساواة عددية صحيحة. من أجل x 1 و −x 1 لدينا ، ومن أجل x 2 لدينا . تسمح لنا خصائص المتساويات العددية بإجراء عملية طرح للمعادلات العددية الصحيحة حدًا تلو الآخر، لذا فإن طرح الأجزاء المقابلة من المساويات يعطي x 1 2 −x 2 2 =0. تسمح لنا خصائص العمليات على الأعداد بإعادة كتابة المساواة الناتجة على الصورة (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. نحن نعلم أن حاصل ضرب عددين يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كان أحدهما على الأقل يساوي صفرًا. لذلك، من المساواة الناتجة يترتب على ذلك أن x 1 −x 2 =0 و/أو x 1 +x 2 =0، وهو نفسه، x 2 =x 1 و/أو x 2 =−x 1. لذلك وصلنا إلى تناقض، لأننا قلنا في البداية أن جذر المعادلة x 2 يختلف عن x 1 و −x 1. وهذا يثبت أن المعادلة ليس لها جذور غير و .

دعونا نلخص المعلومات في هذه الفقرة. المعادلة التربيعية غير المكتملة a x 2 +c=0 تعادل المعادلة التي

• ليس له جذور إذا
• له جذوران و إذا .

لنفكر في أمثلة لحل المعادلات التربيعية غير الكاملة بالصيغة a·x 2 +c=0.

لنبدأ بالمعادلة التربيعية 9 × 2 +7=0. بعد نقل الحد الحر إلى الجانب الأيمن من المعادلة، فإنه سوف يأخذ الشكل 9 × 2 =−7. بقسمة طرفي المعادلة الناتجة على 9، نصل إلى . بما أن الطرف الأيمن يحتوي على رقم سالب، فإن هذه المعادلة ليس لها جذور، وبالتالي فإن المعادلة التربيعية الأصلية غير المكتملة 9 × 2 +7 = 0 ليس لها جذور.

دعونا نحل معادلة تربيعية أخرى غير مكتملة −x 2 +9=0. ننقل التسعة إلى الجانب الأيمن: −x 2 =−9. الآن نقسم كلا الطرفين على −1، نحصل على x 2 = 9. على الجانب الأيمن يوجد رقم موجب، ومنه نستنتج أن أو . ثم نكتب الإجابة النهائية: المعادلة التربيعية غير المكتملة −x 2 +9=0 لها جذرين x=3 أو x=−3.

أ × 2 + ب × = 0

يبقى أن نتعامل مع حل النوع الأخير من المعادلات التربيعية غير الكاملة لـ c=0. المعادلات التربيعية غير الكاملة من الصيغة a x 2 + b x = 0 تسمح لك بحلها طريقة التخصيم. من الواضح أننا نستطيع ذلك، الموجود على الجانب الأيسر من المعادلة، وهو ما يكفي لإخراج العامل المشترك x من الأقواس. يتيح لنا هذا الانتقال من المعادلة التربيعية الأصلية غير المكتملة إلى معادلة مكافئة لها على الصورة x·(a·x+b)=0. وهذه المعادلة تعادل مجموعة من المعادلتين x=0 و a·x+b=0، الأخيرة منها خطية ولها جذر x=−b/a.

لذا، فإن المعادلة التربيعية غير المكتملة a·x 2 +b·x=0 لها جذرين x=0 وx=−b/a.

لتوحيد المادة، سنقوم بتحليل الحل بمثال محدد.

مثال.

حل المعادلة.

حل.

إخراج x من الأقواس يعطي المعادلة. وهو يعادل معادلتين x=0 و . نحل المعادلة الخطية الناتجة: ونقوم بالقسمة رقم مختلطعلى جزء مشترك، نجد . ولذلك فإن جذور المعادلة الأصلية هي x=0 و .

بعد اكتساب الممارسة اللازمة، يمكن كتابة حلول هذه المعادلات باختصار:

إجابة:

س=0، .

صيغة التمييز لجذور المعادلة التربيعية

لحل المعادلات التربيعية، هناك صيغة الجذر. دعونا نكتبها صيغة لجذور المعادلة التربيعية: ، أين د=ب 2 −4 أ ج- ما يسمى مميز المعادلة التربيعية. الإدخال يعني في الأساس أن .

من المفيد معرفة كيفية اشتقاق صيغة الجذر وكيفية استخدامها في إيجاد جذور المعادلات التربيعية. دعونا معرفة ذلك.

اشتقاق صيغة جذور المعادلة التربيعية

دعونا نحل المعادلة التربيعية a·x 2 +b·x+c=0. لنقم ببعض التحويلات المكافئة:

• يمكننا قسمة طرفي هذه المعادلة على عدد غير الصفر a، لنحصل على المعادلة التربيعية التالية.
• الآن دعونا نسلط الضوء مربع ممتاز وعلى جانبها الأيسر: . وبعد ذلك ستأخذ المعادلة الشكل .
• من الممكن في هذه المرحلة نقل الحدين الأخيرين إلى الجانب الأيمن بإشارة معاكسة لدينا .
• ودعونا أيضًا نحول التعبير الموجود على الجانب الأيمن: .

ونتيجة لذلك، وصلنا إلى معادلة تعادل المعادلة التربيعية الأصلية a·x 2 +b·x+c=0.

لقد قمنا بالفعل بحل المعادلات المشابهة من حيث الشكل في الفقرات السابقة عندما درسناها. وهذا يسمح لنا باستخلاص الاستنتاجات التالية فيما يتعلق بجذور المعادلة:

• إذا، فإن المعادلة لا تملك حلول صالحة;
• إذا كانت المعادلة لها الشكل الذي يظهر منه جذرها الوحيد ؛
• إذا كان ، إذن أو، وهو نفس أو، أي أن المعادلة لها جذرين.

وبالتالي، فإن وجود أو عدم وجود جذور المعادلة، وبالتالي المعادلة التربيعية الأصلية، يعتمد على إشارة التعبير في الطرف الأيمن. في المقابل، يتم تحديد إشارة هذا التعبير بإشارة البسط، حيث أن المقام 4·a 2 يكون موجبًا دائمًا، أي بإشارة التعبير b 2 −4·a·ac. تم استدعاء هذا التعبير b 2 −4 a c مميز المعادلة التربيعيةوالمحددة بالحرف د. من هنا يتضح جوهر المميز - بناءً على قيمته وعلامته، يستنتجون ما إذا كانت المعادلة التربيعية لها جذور حقيقية، وإذا كان الأمر كذلك، فما هو رقمها - واحد أو اثنين.

لنعود إلى المعادلة ونعيد كتابتها باستخدام رمز التمييز: . ونستخلص الاستنتاجات:

• إذا د<0 , то это уравнение не имеет جذور حقيقية;
• إذا كانت D=0، فإن هذه المعادلة لها جذر واحد؛
• أخيرًا، إذا كانت D> 0، فإن المعادلة لها جذرين أو، والتي يمكن إعادة كتابتها بالشكل أو، وبعد توسيع الكسور وتقليلها إلى القاسم المشتركاستلمنا .

لذلك قمنا باشتقاق الصيغ لجذور المعادلة التربيعية، حيث يبدو المميز D بالصيغة D=b 2 −4·a·c.

بمساعدتهم، باستخدام تمييز إيجابي، يمكنك حساب كلا الجذرين الحقيقيين للمعادلة التربيعية. عندما يكون المميز يساوي صفرًا، تعطي كلتا الصيغتين نفس قيمة الجذر، وهو ما يتوافق مع الحل الفريد للمعادلة التربيعية. ومع المميز السلبي، عند محاولة استخدام صيغة جذور المعادلة التربيعية، فإننا نواجه استخراج الجذر التربيعي لـ عدد السلبيالذي يأخذنا إلى ما هو أبعد من و المنهج المدرسي. في حالة وجود تمييز سلبي، فإن المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية، بل لها زوج المكورات معقدةالجذور، والتي يمكن العثور عليها باستخدام نفس صيغ الجذر التي حصلنا عليها.

خوارزمية لحل المعادلات التربيعية باستخدام صيغ الجذر

من الناحية العملية، عند حل المعادلات التربيعية، يمكنك على الفور استخدام صيغة الجذر لحساب قيمها. لكن هذا يرتبط أكثر بإيجاد جذور معقدة.

ومع ذلك، في دورة الجبر المدرسية عادة ما يكون ذلك نحن نتحدث عنلا يتعلق الأمر بالمعقدة، بل يتعلق بالجذور الحقيقية للمعادلة التربيعية. في هذه الحالة، من المستحسن، قبل استخدام الصيغ الخاصة بجذور المعادلة التربيعية، العثور أولاً على المميز، والتأكد من أنه غير سالب (وإلا يمكننا استنتاج أن المعادلة ليس لها جذور حقيقية)، وعندها فقط قم بحساب قيم الجذور.

المنطق أعلاه يسمح لنا بالكتابة خوارزمية لحل المعادلة التربيعية. لحل المعادلة التربيعية a x 2 +b x+c=0، عليك أن:

• باستخدام صيغة التمييز D=b 2 −4·a·c، احسب قيمتها؛
• نستنتج أن المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية إذا كان المميز سالبًا؛
• احسب الجذر الوحيد للمعادلة باستخدام الصيغة إذا كان D=0؛
• أوجد جذرين حقيقيين للمعادلة التربيعية باستخدام صيغة الجذر إذا كان المميز موجبًا.

نلاحظ هنا فقط أنه إذا كان المميز يساوي صفرًا، فيمكنك أيضًا استخدام الصيغة؛ فستعطي نفس قيمة .

يمكنك الانتقال إلى أمثلة لاستخدام الخوارزمية لحل المعادلات التربيعية.

أمثلة على حل المعادلات التربيعية

دعونا نفكر في حلول لثلاث معادلات تربيعية ذات تمييز موجب وسالب ومميز صفر. بعد التعامل مع حلها، عن طريق القياس سيكون من الممكن حل أي معادلة تربيعية أخرى. هيا نبدأ.

مثال.

أوجد جذور المعادلة x 2 +2·x−6=0.

حل.

في هذه الحالة، لدينا المعاملات التالية للمعادلة التربيعية: أ=1، ب=2، ج=−6. وفقًا للخوارزمية، تحتاج أولاً إلى حساب المميز؛ وللقيام بذلك، نعوض بالقيم a وb وc المشار إليها في صيغة التمييز، لدينا د=ب 2 −4·أ·ج=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. بما أن 28>0، أي أن المميز أكبر من الصفر، فإن المعادلة التربيعية لها جذرين حقيقيين. دعونا نجدها باستخدام صيغة الجذر، التي حصلنا عليها، هنا يمكنك تبسيط التعبيرات الناتجة عن طريق القيام بذلك تحريك المضاعف إلى ما بعد علامة الجذرتليها تخفيض الكسر:

إجابة:

دعنا ننتقل إلى المثال النموذجي التالي.

مثال.

حل المعادلة التربيعية −4 x 2 +28 x−49=0 .

حل.

نبدأ بإيجاد المميز: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. لذلك فإن هذه المعادلة التربيعية لها جذر واحد نجده كما يلي:

إجابة:

س=3.5.

يبقى النظر في حل المعادلات التربيعية ذات المميز السلبي.

مثال.

حل المعادلة 5·y 2 +6·y+2=0.

حل.

فيما يلي معاملات المعادلة التربيعية: أ=5، ب=6، ج=2. نعوض بهذه القيم في صيغة التمييز التي لدينا د=ب 2 −4·أ·ج=6 2 −4·5·2=36−40=−4. المميز سالب، وبالتالي فإن هذه المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية.

إذا كنت بحاجة إلى الإشارة إلى جذور معقدة، فإننا نطبق الصيغة المعروفة لجذور المعادلة التربيعية، وننفذ الإجراءات مع ارقام مركبة :

إجابة:

لا توجد جذور حقيقية، الجذور المعقدة هي: .

نلاحظ مرة أخرى أنه إذا كان مميز المعادلة التربيعية سلبيا، فعادة ما يكتبون في المدرسة على الفور إجابة تشير إلى عدم وجود جذور حقيقية، ولم يتم العثور على جذور معقدة.

صيغة الجذر للمعاملات الثانية

صيغة جذور المعادلة التربيعية، حيث D=b 2 −4·a·c تسمح لك بالحصول على صيغة ذات شكل أكثر إحكاما، مما يسمح لك بحل المعادلات التربيعية بمعامل زوجي لـ x (أو ببساطة باستخدام معامل له الشكل 2·n، على سبيل المثال، أو 14·ln5=2·7·ln5 ). دعونا نخرجها.

لنفترض أننا بحاجة إلى حل معادلة تربيعية على الصورة a x 2 +2 n x+c=0. دعونا نجد جذورها باستخدام الصيغة التي نعرفها. للقيام بذلك، نحسب المميز د=(2 ن) 2 −4 أ ج=4 ن 2 −4 أ ج=4 (ن 2 −أ ج)ثم نستخدم صيغة الجذر:

دعنا نشير إلى التعبير n 2 −a c كـ D 1 (أحيانًا يُشار إليه بـ D "). ثم ستأخذ صيغة جذور المعادلة التربيعية قيد النظر مع المعامل الثاني 2 n الشكل , حيث D 1 =n 2 −a·c.

من السهل أن نرى أن D=4·D 1، أو D 1 =D/4. بمعنى آخر، D 1 هو الجزء الرابع من المميز. ومن الواضح أن إشارة د 1 هي نفس إشارة د . أي أن العلامة D 1 هي أيضًا مؤشر على وجود أو عدم وجود جذور المعادلة التربيعية.

لذا، لحل معادلة تربيعية ذات معامل ثانٍ 2·n، تحتاج إلى

• احسب D 1 =n 2 −a·c ;
• إذا د1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• إذا كان D 1 = 0، فاحسب الجذر الوحيد للمعادلة باستخدام الصيغة؛
• إذا كان D 1 >0، فأوجد جذرين حقيقيين باستخدام الصيغة.

دعونا نفكر في حل المثال باستخدام صيغة الجذر التي تم الحصول عليها في هذه الفقرة.

مثال.

حل المعادلة التربيعية 5 x 2 −6 x −32=0 .

حل.

يمكن تمثيل المعامل الثاني لهذه المعادلة بـ 2·(−3) . أي أنه يمكنك إعادة كتابة المعادلة التربيعية الأصلية في الصورة 5 x 2 +2 (−3) x−32=0، هنا a=5، n=−3 وc=−32، وحساب الجزء الرابع من المميز: د 1 =ن 2 −أ·ج=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. بما أن قيمتها موجبة، فإن المعادلة لها جذرين حقيقيين. دعنا نجدهم باستخدام صيغة الجذر المناسبة:

لاحظ أنه كان من الممكن استخدام الصيغة المعتادة لجذور المعادلة التربيعية، ولكن في هذه الحالة يجب إجراء المزيد من العمل الحسابي.

إجابة:

تبسيط شكل المعادلات التربيعية

في بعض الأحيان، قبل البدء في حساب جذور المعادلة التربيعية باستخدام الصيغ، لا يضر طرح السؤال: "هل من الممكن تبسيط شكل هذه المعادلة؟" توافق على أنه من حيث الحسابات سيكون من الأسهل حل المعادلة التربيعية 11 x 2 −4 x−6=0 من 1100 x 2 −400 x−600=0.

عادة، يتم تبسيط شكل المعادلة التربيعية عن طريق ضرب أو قسمة كلا الطرفين على عدد معين. على سبيل المثال، في الفقرة السابقة كان من الممكن تبسيط المعادلة 1100 x 2 −400 x −600=0 بقسمة كلا الطرفين على 100.

يتم إجراء تحويل مماثل باستخدام المعادلات التربيعية التي لا تكون معاملاتها كذلك. في هذه الحالة، عادةً ما نقسم طرفي المعادلة على القيم المطلقةمعاملاتها. على سبيل المثال، لنأخذ المعادلة التربيعية 12 × 2 −42 x+48=0. القيم المطلقة لمعاملاتها: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. بقسمة طرفي المعادلة التربيعية الأصلية على 6، نصل إلى المعادلة التربيعية المكافئة 2 x 2 −7 x+8=0.

ويتم عادةً ضرب طرفي المعادلة التربيعية للتخلص منها احتمالات كسرية. وفي هذه الحالة يتم الضرب بمقامات معاملاته. على سبيل المثال، إذا تم ضرب طرفي المعادلة التربيعية في المضاعف المشترك الأصغر(6, 3, 1)=6، فستأخذ الصورة الأبسط x 2 +4·x−18=0.

في ختام هذه النقطة، نلاحظ أنهم يتخلصون دائمًا تقريبًا من الطرح عند أعلى معامل للمعادلة التربيعية عن طريق تغيير علامات جميع الحدود، وهو ما يتوافق مع ضرب (أو قسمة) كلا الطرفين على −1. على سبيل المثال، عادةً ما ينتقل المرء من المعادلة التربيعية −2 x 2 −3 x+7=0 إلى الحل 2 x 2 +3 x−7=0 .

العلاقة بين الجذور ومعاملات المعادلة التربيعية

تعبر صيغة جذور المعادلة التربيعية عن جذور المعادلة من خلال معاملاتها. واستنادًا إلى صيغة الجذر، يمكنك الحصول على علاقات أخرى بين الجذور والمعاملات.

الصيغ الأكثر شهرة وقابلة للتطبيق من نظرية فييتا هي من الشكل و . على وجه الخصوص، بالنسبة للمعادلة التربيعية المعطاة، فإن مجموع الجذور يساوي المعامل الثاني ذو الإشارة المعاكسة، وحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر. على سبيل المثال، بالنظر إلى شكل المعادلة التربيعية 3 x 2 −7 x + 22 = 0، يمكننا القول على الفور أن مجموع جذورها يساوي 7/3، وحاصل ضرب الجذور يساوي 22 /3.

باستخدام الصيغ المكتوبة بالفعل، يمكنك الحصول على عدد من الروابط الأخرى بين جذور ومعاملات المعادلة التربيعية. على سبيل المثال، يمكنك التعبير عن مجموع مربعات جذور المعادلة التربيعية من خلال معاملاتها: .

فهرس.

• الجبر:كتاب مدرسي للصف الثامن. تعليم عام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ حررت بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
• موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف 8. الساعة 2 بعد الظهر الجزء الأول الكتاب المدرسي للطلاب المؤسسات التعليمية/ أ.ج.موردكوفيتش. - الطبعة الحادية عشرة، محذوفة. - م: منيموسين، 2009. - 215 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01155-2.