Канонические уравнения прямой

Постановка задачи. Найти канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей (общими уравнениями)

План решения. Канонические уравнения прямой с направляющим вектором , проходящей через данную точку , имеют вид

. (1)

Поэтому, чтобы написать канонические уравнения прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и какую-нибудь точку на прямой.

1. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий вектор ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей, т.е. согласно определению векторного произведения, имеем

. (2)

2. Выбираем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку направляющий вектор прямой не параллелен хотя бы одной из координатных плоскостей, то прямая пересекает эту координатную плоскость. Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята точка ее пересечения с этой координатной плоскостью.

3. Подставляем найденные координаты направляющего вектора и точки в канонические уравнения прямой (1).

Замечание. Если векторное произведение (2) равно нулю, то плоскости не пересекаются (параллельны) и записать канонические уравнения прямой не представляется возможным.

Задача 12. Написать канонические уравнения прямой.

Канонические уравнения прямой:

,

где – координаты какой-либо точки прямой, – ее направляющий вектор.

Найдем какую-либо точку прямой . Пусть , тогда

Следовательно, – координаты точки, принадлежащей прямой.

Пусть в канонических уравнениях прямой

коэффициент отличен от нуля, т. е. прямая не параллельна плоскости хОу. Запишем эти уравнения раздельно в таком виде:

При нашем условии уравнения (6) вполне определяют прямую. Каждое из них в отдельности выражает плоскость, причем первая из них параллельна оси Оу, а вторая - оси

Таким образом, представляя прямую линию уравнениями вида (6), мы рассматриваем ее как пересечение двух плоскостей, проектирующих эту прямую на плоскости координат xOz и yOz. Первое из уравнений (6), рассматриваемое в плоскости определяет проекцию данной прямой линии на эту плоскость; точно так же второе из уравнений (6), рассматриваемое в плоскости определяет проекцию данной прямой линии на плоскости yOz. Итак, можно сказать, что дать уравнения прямой линии в виде (6) - это значит дать ее проекции на плоскости координат хOz и yOz.

Если бы направляющий коэффициент был ранен нулю, то обязательно хотя бы один из двух других коэффициентов, например , был бы отличен от нуля, т. е. прямая не была бы параллельна плоскости yOz. В этом случае мы могли бы выразить прямую

уравнениями плоскостей, проектирующих ее на координатные плоскости записав уравнения (5) в виде

Таким образом, любая прямая может быть выражена уравнениями двух плоскостей, проходящих через нее и проектирующих ее на координатные плоскости. Но определять прямую совсем не обязательно именно такой парой плоскостей.

Через каждую прямую проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно, представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще всякие две не параллельные между собой плоскости с общими уравнениями

определяют прямую их пересечения.

Уравнения (7), рассматриваемые совместно, называются общими уравнениями прямой.

От общих уравнений прямой (7) можно перейти к ее каноническим уравнениям. Для этой цели мы должны знать какую-нибудь точку прямой и направляющий вектор.

Координаты точки легко найдем из данной системы уравнений, выбирая одну из координат произвольно и решая после этого систему двух уравнений втносителыю оставшихся двух координат.

Для отыскания направляющего вектора прямой заметим, что этот вектор, направленный по линии пересечения данных плоскостей, должен быть перпендикулярным к обоим нормальным векторам этих плоскостей. Обратно, всякий вектор, перпендикулярный к параллелен обеим плоскостям, а следовательно, и данной прямой.

Но векторное произведение также обладает этим свойством. Поэтому за направляющий вектор прямой можно принять векторное произведение нормальных векторов данных плоскостей.

Пример 1. Привести к каноническому виду уравнения прямой

Выберем произвольно одну из координат. Пусть, иапример, . Тогда

откуда Итак, мы нашли точку (2, 0, 1), лежащую на прямой,

Находя теперь векторное произведение векторов получаем направляющий вектор прямой Поэтому канонические уравнения будут:

Замечание. От общих уравнений прямой вида (7) можно перейти к каноническим, и не прибегая к векторному методу.

Предварительно остановимся несколько подробнее на уравнениях

Выразим из них х и у через . Тогда получим:

где положено

Уравнения (6) называются уравнениями прямой в проекциях на плоскости

Установим геометрический смысл постоянных М и N: М представляет собой угловой коэффициент проекции данной прямой на плоскость координат (тангенс угла этой проекции с осью Oz), а N есть угловой коэффициент проекции данной прямой на плоскость координат (тангенс угла этой проекции с осью Oz). Таким образом, числа определяют направления проекций данной прямой линии на две плоскости координат, а значит, они характеризуют и направление самой данной прямой. Поэтому числа М и N называют угловыми коэффициентами данной прямой.

Чтобы выяснить геометрический смысл постоянных положим в уравнениях (6) прямой линии тогда получим: т. е. точка лежит на данной прямой. Очевидно, эта точка есть точка пересечения данной прямой с плоскостью Итак, суть координаты следа данной прямой линии на плоскости координат

Теперь легко сделать переход от уравнений в проекциях к каноническим. Пусть, например, даны уравнения (6). Решая эти уравнения относительно , найдем:

откуда непосредственно получаем канонические уравнения в виде

Пример 2. Привести канонические уравнения прямой

к уравнениям в проекциях на плоскости

Данные уравнения переписываем в виде

Решая первое из этих уравнений относительно х, а второе относительно у, найдем искомые уравнения в проекциях:

Пример 3. Привести уравнения в ппоекциях

к каноническому виду.

Решая данные уравнения относительно , получим.

В данном разделе продолжим изучение темы уравнения прямой в пространстве с позиции стереометрии. Это значит, что мы будем рассматривать прямую линию в трехмерном пространстве как линию пересечения двух плоскостей.

Согласно аксиомам стереометрии, если две плоскости не совпадают и имеют одну общую точку, то они также имею одну общую прямую, на которой лежат все точки, которые являются общими для двух плоскостей. Используя уравнения двух пересекающихся плоскостей, мы можем определить прямую линию в прямоугольной системе координат.

По ходу рассмотрения темы приведем многочисленные примеры, ряд графических иллюстраций и развернутых решений, необходимых для лучшего усвоения материала.

Пусть даны две плоскости, которые не совпадают между собой и пересекаются. Обозначим их как плоскость α и плоскость β . Разместим их в прямоугольной системе координат O х у z трехмерного пространства.

Как мы помним, любую плоскость в прямоугольной системе координат задает общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 . Будем считать, что плоскости α соотвествует уравнение A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , а плоскости β уравнение A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . В этом случае нормальные вектора плоскостей α и β n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) и n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) не коллинеарны, так как плоскости не совпадают между собой и е размещаются параллельно друг другу. Запишем это условие следующим образом:

n 1 → ≠ λ · n 2 → ⇔ A 1 , B 1 , C 1 ≠ λ · A 2 , λ · B 2 , λ · C 2 , λ ∈ R

Чтобы освежить в памяти материал по теме «Параллельность плоскостей», смотрите соответствующий раздел нашего сайта.

Линию пересечения плоскостей обозначим буквой a . Т.е. a = α ∩ β . Эта прямая представляет собой множество точек, которые являются общими для обеих плоскостей α и β . Это значит, что все точки прямой линии a удовлетворяют обоим уравнениям плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Фактически, они являются частным решением системы уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Общее решение системы линейных уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 определяет координаты всех точек линии, по которой происходит пересечение двух плоскостей α и β . Это значит, что с его помощью мы можем определить положение прямой в прямоугольной системе координат O x y z .

Рассмотрим описанную теорию еще раз, теперь уже на конкретном примере.

Пример 1

Прямая O x – это прямая, по которой пересекаются координатные плоскости O x y и O x z . Зададим плоскость O x y уравнением z = 0 , а плоскость O x z уравнением у = 0 . Такой подход мы подробно разобрали в разделе «Неполное общее уравнение плоскости», так что, в случае затруднений, можно обратиться к этому материалу повторно. В этом случае координатная прямая O x определяется в трехмерной системе координат системой из двух уравнений вида y = 0 z = 0 .

Нахождение координат точки, лежащей на прямой, по которой пересекаются плоскости

Рассмотрим задачу. Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат O х у z . Линия, по которой пересекаются две плоскости a , задана системой уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Дана точка трехмерного пространства M 0 x 0 , y 0 , z 0 .

Давайте определим, принадлежит ли точка M 0 x 0 , y 0 , z 0 заданной прямой линии a .

Для того, чтобы получить ответ на вопрос задачи, подставим координаты точки М 0 в каждое из двух уравнений плоскости. Если в результате подстановки оба уравнения превратятся в верные равенства A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 и A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 , то точка М 0 принадлежит каждой из плоскостей и принадлежит заданной линии. Если хотя бы одно из равенств A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 и A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 окажется неверным, то точка М 0 не принадлежит прямой линии.

Рассмотрим решение примера

Пример 2

Прямая линия задана в пространстве уравнениями двух пересекающихся плоскостей вида 2 x + 3 y + 1 = 0 x - 2 y + z - 3 = 0 . Определите, принадлежат ли точки M 0 (1 , - 1 , 0) и N 0 (0 , - 1 3 , 1) прямой линии пересечения плоскостей.

Решение

Начнем с точки М 0 . Подставим ее координаты в оба уравнения системы 2 · 1 + 3 · (- 1) + 1 = 0 1 - 2 · (- 1) + 0 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

В результате подстановки мы получили верные равенства. Это значит, что точка М 0 принадлежит обеим плоскостям и расположена на линии их пересечения.

Подставим в оба уравнения плоскости координаты точки N 0 (0 , - 1 3 , 1) . Получаем 2 · 0 + 3 · - 1 3 + 1 = 0 0 - 2 · - 1 3 + 1 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 - 1 1 3 = 0 .

Как вы видите, второе уравнение системы превратилось в неверное равенство. Это значит, что точка N 0 не принадлежит заданной прямой.

Ответ: точка М 0 принадлежит прямой линии, а точка N 0 не принадлежит.

Теперь предлагаем вам алгоритм нахождения координат некоторой точки, принадлежащей прямой линии, если прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O x y z определяется уравнениями пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Количество решений системы из двух линейных уравнений с темя неизвестными A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 бесконечно. Любое из этих решений может стать решением задачи.

Приведем пример.

Пример 3

Пусть в трехмерном пространстве задана прямая линия уравнениями двух пересекающихся плоскостей вида x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 . Найдите координаты любой из точек этой прямой.

Решение

Перепишем систему уравнений x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 ⇔ x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 .

Возьмем отличный от нуля минор второго порядка в качестве базисного минора основной матрицы системы 1 0 2 3 = 3 ≠ 0 . Это значит, что z – это свободная неизвестная переменная.

Перенесем слагаемые, содержащие свободную неизвестную переменную z в правые части уравнений:

x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z

Введем произвольное действительное число λ и примем, что z = λ .

Тогда x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 λ 2 x + 3 y = - 2 - 3 λ .

Для решения полученной системы уравнений применим метод Крамера:

∆ = 1 0 2 3 = 1 · 3 - 0 · 1 = 2 ∆ x = - 7 - 3 λ 0 - - 3 λ 3 = - 7 - 3 λ · 3 - 0 · (- 2 - 3 λ) = 21 - 9 λ ⇒ x = ∆ x ∆ = - 7 - 3 λ ∆ y = 1 - 7 - 3 λ 2 - 2 - 3 λ = 1 · - 2 - 3 λ - - 7 - 3 λ · = 12 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = 4 + λ

Общее решение системы уравнений x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 будет иметь вид x = - 7 - 3 λ y = 4 + λ z = λ , где λ ∈ R .

Для получения частного решения системы уравнений, которое даст нам искомые координаты точки, принадлежащей заданной прямой, нам необходимо взять конкретное значение параметра λ . Если λ = 0 , то x = - 7 - 3 · 0 y = 4 + 0 z = 0 ⇔ x = - 7 y = 4 z = 0 .

Это позволяет нам получить координаты искомой точки - 7 , 4 , 0 .

Проверим верность найденных координат точки методом подстановки их в исходные уравнения двух пересекающихся плоскостей - 7 + 3 · 0 + 7 = 0 2 · (- 7) + 3 · 4 + 3 · 0 + 2 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

Ответ : - 7 , 4 , 0

Направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две плоскости

Давайте рассмотрим, как определить координаты направляющего вектора прямой, которая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . В прямоугольной системе координат 0хуz направляющий вектор прямой неотделим от прямой линии.

Как мы знаем, прямая перпендикулярна по отношению к плоскости в том случае, когда она перпендикулярна по отношению к любой прямой, лежащей в данной плоскости. Исходя из вышесказанного, нормальный вектор плоскости перпендикулярен любому ненулевому вектору, лежащему в данной плоскости. Эти два факта помогут нам в нахождении направляющего вектора прямой.

Плоскости α и β пересекаются по линии a . Направляющий вектор a → прямой линии a расположен перпендикулярно по отношению к нормальному вектору n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и нормальному вектору n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) плоскости A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Направляющий вектор прямой a представляет собой векторное произведение векторов n → 1 = (A 1 , B 1 , C 1) и n 2 → = A 2 , B 2 , C 2 .

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2

Зададим множество всех направляющих векторов прямой как λ · a → = λ · n 1 → × n 2 → , где λ - это параметр, который может принимать любые действительные значения, отличные от нуля.

Пример 4

Пусть прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O х у z задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей x + 2 y - 3 z - 2 = 0 x - z + 4 = 0 . Найдем координаты любого направляющего вектора этой прямой.

Решение

Плоскости x + 2 y - 3 z - 2 = 0 и x - z + 4 = 0 имеют нормальные векторы n 1 → = 1 , 2 , - 3 и n 2 → = 1 , 0 , - 1 . Примем за направляющий вектор прямой линии, являющейся пересечением двух заданных плоскостей, векторное произведение нормальных векторов:

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → 1 2 - 3 1 0 - 1 = i → · 2 · (- 1) + j → · (- 3) · 1 + k → · 1 · 0 - - k → · 2 · 1 - j → · 1 · (- 1) - i → · (- 3) · 0 = - 2 · i → - 2 j → - 2 k →

Запишем ответ в координатной форме a → = - 2 , - 2 , - 2 . Тем, кто не помнит, как это делается, рекомендуем обратиться к теме «Координаты вектора в прямоугольной системе координат».

Ответ: a → = - 2 , - 2 , - 2

Переход к параметрическим и каноническим уравнениям прямой в пространстве

Для решения ряда задач проще использовать параметрические уравнения прямой в пространстве вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ или канонические уравнения прямой в пространстве вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ . В этих уравнениях a x , a y , a z - координаты направляющего вектора прямой, x 1 , y 1 , z 1 - координаты некоторой точки прямой, а λ - параметр, принимающий произвольные действительные значения.

От уравнения прямой вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 можно перейти к каноническим и параметрическим уравнениям прямой линии в пространстве. Для записи канонических и параметрических уравнений прямой нам понадобятся навыки нахождения координат некоторой точки прямой, а также координат некоторого направляющего вектора прямой, заданной уравнениями двух пересекающихся плоскостей.

Рассмотрим написанное выше на примере.

Пример 5

Зададим прямую линию в трехмерной системе координат уравнениями двух пересекающихся плоскостей 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 . Напишем канонические и параметрические уравнения этой прямой.

Решение

Найдем координаты направляющего вектора прямой, который является векторным произведением нормальных векторов n 1 → = 2 , 1 , - 1 плоскости 2 x + y - z - 1 = 0 и n 2 → = (1 , 3 , - 2) плоскости x + 3 y - 2 z = 0:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 2 1 - 1 1 3 - 2 = i → · 1 · (- 2) + j → · (- 1) · 1 + k → · 2 · 3 - - k → · 1 · 1 - j → · 2 · (- 2) - i → · (- 1) · 3 = i → + 3 · j → + 5 · k →

Координаты направляющего вектора прямой a → = (1 , 2 , 5) .

Следующим шагом является определение координат некоторой точки заданной прямой линии, которыми является одно из решений системы уравнений: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 .

Возьмем в качестве минорной матрицы системы определитель 2 1 1 3 = 2 · 3 - 1 · 1 = 5 , который отличен от нуля. В этом случае переменная z является свободной. Перенесем слагаемые с ней в правые части каждого уравнения и придаем переменной произвольное значение λ:

2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y = 1 + z x + 3 y = 2 z ⇔ 2 x + y = 1 + λ x + 3 y = 2 λ , λ ∈ R

Применяем для решения полученной системы уравнений метод Крамера:

∆ = 2 1 1 3 = 2 · 3 - 1 · 1 = 5 ∆ x = 1 + λ 1 2 λ 3 = (1 + λ) · 3 - 1 · 2 λ = 3 + λ ⇒ x = ∆ x ∆ = 3 + λ 5 = 3 5 + 1 5 · λ ∆ y = 2 1 + λ 1 2 λ = 2 · 2 λ - (1 + λ) · 1 = - 1 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = - 1 + 3 λ 5 = - 1 5 + 3 5 · λ

Получаем: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 y = - 1 5 + 3 5 z = λ

Примем λ = 2 для того, чтобы получить координаты точки прямой линии: x 1 = 3 5 + 1 5 · 2 y 1 = - 1 5 + 3 5 · 2 z 1 = 2 ⇔ x 1 = 1 y 1 = 1 z 1 = 2 . Теперь мы имеем достаточно данных для того, чтобы записать канонические и параметрические уравнения данной прямой в пространстве: x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ x = 1 + 1 · λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ ⇔ x = 1 + λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ

Ответ: x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 и x = 1 + λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ

Данная задача имеет еще один способ решения.

Нахождение координат некоторой точки прямой проводится при решении системы уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

В общем случае ее решения можно записать в виде искомых параметрических уравнений прямой в пространстве x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ .

Получение канонических уравнений проводится следующим образом: решаем каждое из полученных уравнений относительно параметра λ , приравниваем правые части равенства.

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y λ = z - z 1 a z ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

Применим данный способ к решению задачи.

Пример 6

Зададим положение прямой линии уравнениями двух пересекающихся плоскостей 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 . Напишем параметрическое и каноническое уравнения для этой прямой линии.

Решение

Решение системы из двух уравнений с тремя неизвестными проводится аналогично тому, как мы делали это в предыдущем примере. Получаем: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ .

Это параметрические уравнения прямой в пространстве.

Канонические уравнения получаем следующим образом: x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ ⇔ λ = x - 3 5 1 5 λ = y + 1 5 3 5 λ = z 1 ⇔ x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1

Полученные в обоих примерах уравнения отличаются внешне, однако они эквивалентны, так как определяют одно и то же множество точек трехмерного пространства, а следовательно и одну и ту же прямую линию.

Ответ: x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1 и x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Если две плоскости пересекаются, то система линейных уравнений задаёт уравнение прямой в пространстве .

То есть прямая задана уравнениями двух плоскостей. Типовая и распространенная задача состоит в том, чтобы переписать уравнения прямой в каноническом виде:

Пример 9

Решение : Чтобы составить канонические уравнения прямой, необходимо знать точку и направляющий вектор. А у нас даны уравнения двух плоскостей….

1) Сначала найдём какую-либо точку, принадлежащую данной прямой. Как это сделать? В системе уравнений нужно обнулить какую-нибудь координату. Пусть , тогда получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: . Почленно складываем уравнения и находим решение системы:

Таким образом, точка принадлежит данной прямой. Обратите внимание на следующий технический момент: желательно найти точку с целыми координатами. Если бы в системе мы обнулили «икс» или «зет», то не факт, что получилась бы «хорошая» точка без дробных координат. Такой анализ и подбор точки следует проводить мысленно или на черновике.

Выполним проверку: подставим координаты точки в исходную систему уравнений: . Получены верные равенства, значит, действительно .

2) Как найти направляющий вектор прямой? Его нахождение наглядно демонстрирует следующий схематический чертёж:

Направляющий вектор нашей прямой ортогонален нормальным векторам плоскостей. А если , то вектор «пэ» найдём как векторное произведение векторов нормали: .

Из уравнений плоскостей снимаем их векторы нормали:

И находим направляющий вектор прямой:

Как проверить результат, рассматривалось в статье Векторное произведение векторов .

3) Составим канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору :

Ответ :

На практике можно пользоваться готовой формулой: если прямая задана пересечением двух плоскостей , то вектор является направляющим вектором данной прямой.

Пример 10

Записать канонические уравнения прямой

Это пример для самостоятельного решения. Ваш ответ может отличаться от моего ответа (смотря, какую точку подберёте). Если отличие есть, то для проверки возьмите точку из вашего уравнения и подставьте в моё уравнение (или наоборот).

Полное решение и ответ в конце урока.

Во второй части урока мы рассмотрим взаимное расположению прямых в пространстве, а также разберём задачи, которые связаны с пространственными прямыми и точками. Терзают меня смутные ожидания, что материала будет прилично, поэтому лучше всё-таки сделать отдельную веб страницу.

Добро пожаловать: Задачи с прямой в пространстве >>>

Решения и ответы:

Пример 4: Ответы :

Пример 6: Решение : Найдём направляющий вектор прямой:

Уравнения прямой составим по точке и направляющему вектору :

Ответ : («игрек» – любое) :

Ответ :

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите координаты любой точки прямой, заданной в пространстве уравнениями двух пересекающихся плоскостей .

Решение.

Перепишем систему уравнений в следующем виде

В качестве базисного минора основной матрицы системы возьмем отличный от нуля минор второго порядка , то есть, z – свободная неизвестная переменная. Перенесем слагаемые, содержащие z , в правые части уравнений: .

Примем , где - произвольное действительное число, тогда .

Решим полученную систему уравнений :

Таким образом, общее решение системы уравнений имеет вид , где .

Если взять конкретное значение параметра , то мы получим частное решение системы уравнений, которое нам дает искомые координаты точки, лежащей на заданной прямой. Возьмем , тогда , следовательно, - искомая точка прямой.

Можно выполнить проверку найденных координат точки, подставив их в исходые уравнения двух пересекающихся плоскостей:

Ответ:

Направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две плоскости.

В прямоугольной системе координат от прямой линии неотделим направляющий вектор прямой . Когда прямая а в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей и , то координаты направляющего вектора прямой не видны. Сейчас мы покажем, как их определять.

Мы знаем, что прямая перпендикулярна к плоскости, когда она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Тогда нормальный вектор плоскости перпендикулярен любому ненулевому вектору, лежащему в этой плоскости. Этими фактами и воспользуемся при нахождении направляющего вектора прямой.

Прямая а лежит как в плоскости , так и в плоскости . Следовательно, направляющий вектор прямой а перпендикулярен и нормальному вектору плоскости , и нормальному вектору плоскости . Таким образом, направляющим вектором прямой а является и :

Множество всех направляющих векторов прямой а мы можем задать как , где - параметр, принимающий любые действительные значения, отличные от нуля.

Пример.

Найдите координаты любого направляющего вектора прямой, которая задана в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнениями двух пересекающихся плоскостей .

Решение.

Нормальными векторами плоскостей и являются векторы и соответственно. Направляющим вектором прямой, являющейся пересечением двух заданных плоскостей, примем векторное произведение нормальных векторов:

Ответ:

Переход к параметрическим и каноническим уравнениям прямой в пространстве.

Бывают случаи, в которых использование уравнений двух пересекающихся плоскостей для описания прямой не совсем удобно. Некоторые задачи проще решаются, если известны канонические уравнения прямой в пространстве вида или параметрические уравнения прямой в пространстве вида , где x 1 , y 1 , z 1 - координаты некоторой точки прямой, a x , a y , a z - координаты направляющего вектора прямой, а - параметр, принимающий произвольные действительные значения. Опишем процесс перехода от уравнений прямой вида к каноническим и параметрическим уравнениям прямой в пространстве.

В предыдущих пунктах мы научились находить координаты некоторой точки прямой, а также координаты некоторого направляющего вектора прямой, которая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Этих данных достаточно, чтобы записать и канонические и параметрические уравнения этой прямой в прямоугольной системе координат в пространстве.

Рассмотрим решение примера, а после этого покажем еще один способ нахождения канонических и параметрических уравнений прямой в пространстве.

Пример.

Решение.

Вычислим сначала координаты направляющего вектора прямой. Для этого найдем векторное произведение нормальных векторов и плоскостей и :

То есть, .

Теперь определим координаты некоторой точки заданной прямой. Для этого найдем одно из решений системы уравнений .

Определитель отличен от нуля, возьмем его в качестве базисного минора основной матрицы системы. Тогда переменная z является свободной, переносим слагаемые с ней в правые части уравнений, и придаем переменной z произвольное значение :

Решаем методом Крамера полученную систему уравнений:

Следовательно,

Примем , при этом получаем координаты точки прямой: .

Теперь мы можем записать требуемые канонические и параметрические уравнения исходной прямой в пространстве:

Ответ:

и

Вот второй способ решения этой задачи.

При нахождении координат некоторой точки прямой мы решаем систему уравнений . В общем случае ее решения можно записать в виде .

А это как раз искомые параметрические уравнения прямой в пространстве. Если каждое из полученных уравнений разрешить относительно параметра и после этого приравнять правые части равенств, то получим канонические уравнения прямой в пространстве

Покажем решение предыдущей задачи по этому методу.

Пример.

Прямая в трехмерном пространстве задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей . Напишите канонические и параметрические уравнения этой прямой.

Решение.

Решаем данную систему из двух уравнений с тремя неизвестными (решение приведено в предыдущем примере, не будем повторяться). При этом получаем . Это и есть искомые параметрические уравнения прямой в пространстве.

Осталось получить канонические уравнения прямой в пространстве:

Полученные уравнения прямой внешне отличаются от уравнений, полученных в предыдущем примере, однако они эквивалентны, так как определяют одно и то же множество точек трехмерного пространства (а значит, одну и ту же прямую).

Ответ:

и

Список литературы.

• Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.