§ 4.5. ВИЧИСЛЕННЯ МОМЕНТІВ ІНЕРЦІЇ ПЕРЕКЛАВ ПРОСТОЙ ФОРМИ

Як зазначено в § 1.5, геометричні характеристики складних перерізів визначаються шляхом розчленування їх на низку простих фігур, геометричні характеристики яких можна обчислити за відповідними формулами або визначити за спеціальними таблицями. Ці формули виходять внаслідок безпосереднього інтегрування виразів (8.5)-(10.5). Прийоми їх отримання розглядаються нижче на прикладах прямокутника, трикутника та кола.

Прямокутний перетин

Визначимо осьовий момент інерції прямокутника висотою h і шириною b щодо осі, що проходить через його основу (рис. 11.5 а). Виділимо з прямокутника лініями, паралельними до осі елементарну смужку висотою і шириною b.

Площа цієї смужки відстань від смужки до осі дорівнює їх. Підставимо ці величини у вираз моменту інерції (8.5):

Аналогічним шляхом для моменту інерції щодо осі можна отримати вираз

Для визначення відцентрового моменту інерції виділимо із прямокутника лініями, паралельними осям (рис.

11.5 б) елементарний майданчик величиною. Визначимо спочатку відцентровий момент інерції не лише прямокутника, а лише вертикальної смужки висотою h і шириною розташованої на відстані від осі

Твір винесено за знак інтеграла, так як для всіх майданчиків, що належать вертикальній смужці, що розглядається, воно постійно.

Проінтегруємо потім вираз у межах від до

Визначимо тепер осьові моменти інерції прямокутника щодо осей у і, що проходять через центр тяжіння паралельно сторонам прямокутника (рис. 12.5). Для цього випадку межі інтегрування будуть від до

Відцентровий момент інерції прямокутника щодо осей (рис. 12.5) дорівнює нулю, оскільки ці осі збігаються з осями симетрії.

Трикутний перетин

Визначимо осьові моменти інерції трикутника щодо трьох паралельних осей, що проходять через його основу (рис. 13.5, а), центр тяжіння (рис. 13.5, б) та вершину (рис. 13.5, е).

Для випадку, коли вісь проходить через основу трикутника (рис. 13.5 а),

Для випадку, коли вісь проходить через центр тяжіння трикутника паралельно до його основи (рис. 13.5, б),

У випадку, коли вісь проходить через вершину трикутника паралельно до його основи (рис. 13.5, в),

Момент інерції значно більше (втричі), ніж момент інерції, оскільки основна частина площі трикутника більш віддалена від осі, ніж від осі.

Вирази (17.5) – (19.5) отримані для рівнобедреного трикутника. Однак вони вірні і для нерівностегнових трикутників. Порівнюючи, наприклад, трикутники, показані на рис. 13.5, а і 13.5 г, з яких перший рівнобедрений, а другий нерівностегновий, встановлюємо, що розміри майданчика та межі, в яких змінюється у (від 0 до) для обох трикутників однакові. Отже, моменти інерції їм також однакові. Аналогічно можна показати, що осьові моменти інерції всіх перерізів, зображених на рис. 14.5, однакові. Взагалі, зсув частин перерізу паралельно деякої осі не впливає на величину осьового моменту інерції щодо цієї осі.

Очевидно, що сума осьових моментів інерції трикутника щодо осей, показаних на рис. 13.5, а і 13.5, в повинна бути дорівнює осьовому моменту інерції прямокутника щодо осі показаної на рис. 11.5 а. Це випливає з того, що прямокутник можна розглядати як два трикутники, для одного з яких вісь проходить через основу, а для іншого – через вершину паралельно до його основи (рис. 15.5).

Дійсно, за формулами (17.5) та (19.5)

що збігається з виразом прямокутника за формулою (12.5).

Перетин у формі кола

Визначимо осьовий момент інерції кола щодо будь-якої осі, що проходить через його центр тяжкості. З рис. 16.5, а слід

Очевидно, що щодо будь-якої осі, що проходить через центр кола, осьовий момент інерції дорівнюватиме і, отже,

За формулою (11.5) знаходимо полярний момент інерції кола щодо його центру:

Формулу осьового моменту інерції кола можна отримати більш простим шляхом, якщо попередньо вивести формулу його полярного моменту інерції щодо центру (точки О). Для цього виділимо з кола елементарне кільце товщиною радіусом та площею (рис. 16.5, б).

Полярний момент інерції елементарного кільця щодо центру кола, оскільки всі елементарні майданчики з яких складається це кільце, розташовані на однаковій відстані від центра кола. Отже,

Цей результат збігається з одержаним вище.

Моменти інерції (полярний та осьові) перерізу, що має форму кругового кільця із зовнішнім діаметром d та внутрішнім (рис. 17.5), можна визначити як різниці між відповідними моментами інерції зовнішнього та внутрішнього кіл.

Полярний момент інерції кільця на підставі формули (21.5)

або, якщо позначити

Аналогічно, для осьових моментів інерції кільця

Момент інерції та момент опору

При визначенні перерізу будівельних конструкцій дуже часто необхідно знати момент інерції і момент опору для поперечного перерізу конструкції, що розглядається. Що таке момент опору та як він пов'язаний з моментом інерції викладено окремо. Крім того, для конструкцій, що стискуються, також потрібно знати значення радіуса інерції. Визначити момент опору та момент інерції, а іноді і радіус інерції для більшості поперечних перерізів простої геометричної форми можна за давно відомими формулами:

Таблиця 1. Форми перерізу, площі перерізів, моменти інерції та моменти опору для конструкцій досить простих геометричних форм.

Зазвичай, цих формул достатньо для більшості розрахунків, але випадки бувають всякі і переріз конструкції може бути не такою простою геометричною форми або положення осей, щодо яких потрібно визначити момент інерції або момент опору, може бути не таким, тоді можна скористатися такими формулами:

Таблиця 2. Форми перерізу, площі перерізів, моменти інерції та моменти опору для конструкцій складніших геометричних форм

Як видно з таблиці 2, вираховувати момент інерції та момент опору для нерівнополичних куточків досить складно, та немає в цьому необхідності. Для нерівнополичних та рівнополочних прокатних куточків, а також для швелерів, двотаврів та профільних труб є сортаменти. В сортаменти значення моменту інерції та моменту опору наводяться для кожного профілю.

Таблиця 3. Зміни моментів інерції та моментів опору залежно від положення осей.

Формули таблиці 3 можуть знадобитися для розрахунку похилих елементів покрівлі.

Було б непогано пояснити на наочному прикладі для особливо обдарованих, на кшталт мене, що таке момент інерції та з чим його їдять. На спеціалізованих сайтах якось все дуже заплутано, а у Дока є явний талант довести інформацію, можливо не найскладнішу, але дуже грамотно і зрозуміло

В принципі, що таке момент інерції і звідки він узявся, досить докладно пояснено в статті "Основи сопромату, розрахункові формули", тут лише повторюся: "W - це момент опору поперечного перерізу балки, тобто площа стисканої або розтягується частини перерізу балки, помножена на плече дії рівнодіючої сили”. Момент опору треба зазначити для розрахунків конструкції на міцність, тобто. за граничною напругою. Момент інерції необхідно знати для визначення кутів повороту поперечного перерізу і прогину (зсуву) центру тяжіння поперечного перерізу, так як максимальні деформації виникають у самому верхньому і в самому нижньому шарі конструкції, що згинається, то визначити момент інерції можна, помноживши момент опору на відстань від центру тяжіння перерізу до верхнього або нижнього шару, тому прямокутних перерізів I=Wh/2. При визначенні моменту інерції перерізів складних геометричних форм спочатку складна фігура розбивається на найпростіші, потім визначаються площі перерізу цих фігур та моменти інерції найпростіших фігур, потім площі найпростіших фігур множаться на квадрат відстані від загального центру важкості перерізу до центру найпростішої фігури. Момент інерції найпростішої фігури у складі складного перерізу дорівнює моменту інерції фігури + квадрат відстані помножений на площу. Потім отримані моменти інерції сумуються та виходить момент інерції складного перерізу. Але це максимально спрощені формулювання (хоча, погоджуся, все одно виглядає досить складно).

Момент інерції та момент опору - Доктор Лом

При визначенні перерізу будівельних конструкцій часто-густо необхідно знати момент інерції і момент опору для поперечного перерізу конструкції. Визначити момент опору та момент енерції для абсолютної більшості поперечних перерізів простої геометричної форми можна за давно відомими формулами

Глава 5. МОМЕНТИ ІНЕРЦІЇ ПЛОСКИХ ПЕРЕКЛАВ

Будь-яке плоске перетин характеризується поруч геометричних характеристик: площею, координатами центру тяжкості, статичним моментом, моментом інерції та інших.

Статичні моменти щодо осей хі yрівні:

Статичні моменти зазвичай виявляється у кубічних сантиметрах чи метрах і може мати як позитивні, і негативні значення. Вісь, щодо якої статичний момент дорівнює нулю, називається центральною.Крапка перетину центральних осей називається центром тяжкості перерізу. Формули визначення координат центру тяжкості x cі y cскладного перерізу, розбитого на найпростіші складові, для яких відомі площі А іта положення центру тяжіння x ciі y ci,мають вигляд

Величина моменту інерції характеризує опірність стрижня деформації (кручення, вигину) залежно від розмірів та форми поперечного перерізу. Розрізняють моменти інерції:

- осьові, що визначаються інтегралами виду

Осьові та полярні моменти інерції завжди позитивні і не

звертаються в нуль. Полярний момент інерції I pдорівнює сумі осьових моментів інерції I хі I ущодо будь-якої пари взаємно перпендикулярних осей хі у:

Відцентровий момент інерції може бути позитивним, негативним та рівним нулю. Розмірність моментів інерції - см4 або м4. Формули визначення моментів інерції простих перерізів щодо центральних осей наведені у довідниках. При обчисленні моментів інерції складних перерізів часто використовують формули переходу від центральних осей простих перерізів до інших осей, паралельних центральним.

де – моменти інерції простих перерізів щодо центральних осей;

m, n- Відстань між осями (рис. 18).

Рис. 18. До визначення моментів інерції щодо осей,

Важливе значення мають основні центральні осі перерізу. Головними центральними називаються дві взаємно перпендикулярні осі, що проходять через центр тяжкості перерізу, щодо яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, а осьові моменти інерції мають екстремальні значення. Головні моменти інерції позначаються I u(max) та I v(min) і визначаються за формулою

Положення головних осей визначається кутом α, який перебуває з формули

Кут відкладається від осі з великим неголовним моментом інерції; позитивне значення – проти годинникової стрілки.

Якщо перетин має вісь симетрії, ця вісь є головною. Інша головна вісь перпендикулярна до осі симетрії. Насправді часто використовуються перерізи, складені з кількох прокатних профілів (двутавр, швеллер, куточок). Геометричні характеристики цих профілів наведені у таблицях сортаменту. Для нерівнобокого та рівнобокого куточків відцентровий момент інерції щодо центральних осей, паралельних полицям, визначається за формулою

Зверніть увагу на позначення основних центральних осей у таблиці сортаменту для куточків. Знак I xyдля куточка залежить від положення його у перерізі. На рис.19 показані можливі положення куточка в перерізі та наведені знаки для I xy.

Рис. 19. Можливі положення куточка у перерізі

Визначити I u , I vта положення головних центральних осей перерізу

Складний переріз складається із двох прокатних профілів. Виписку з таблиць сортаменту (додаток 5) наведено на рис. 21.

Як допоміжні прийоми осі, що проходять по зовнішніх

сторонам швелера (осі x B, y B, Див. Рис. 20). Координати центру тяжкості перерізу:

(Обчисліть самостійно).

Рис. 20. Становище основних центральних осей інерції

Uі Vскладного перерізу

Як допоміжні можна було б вибрати, наприклад, центральні осі швелера. Тоді дещо скоротиться обсяг обчислень.

Осьові моменти інерції:

Зверніть увагу, що нерівнобокий куточок у перерізі розташований

інакше, ніж показано у таблиці сортаментів. Значення обчисліть самостійно.

№ 24 180 х 110 х 12

Рис. 21. Значення геометричних характеристик прокатних профілів:

а- Швелера № 24; б– нерівнобокого куточка 180 x 110 x 12

Відцентрові моменти інерції:

– для швелера (є осі симетрії);

– для куточка,

знак мінус – у зв'язку із положенням куточка у перерізі;

- Для всього перерізу:

Простежте призначення знаків у nі m. Від центральних осей швелера переходимо до загальних центральних осей перерізу, тому + m 2

Головні моменти інерції перерізу:

Положення основних центральних осей перерізу:

; α = 55 про 48 ';

Перевірка правильності обчислення величин I u, I vта α проводиться за формулою

Кут α для цієї формули відраховується від осі u.

Розглянутий переріз має найбільшу опірність вигину щодо осі uі найменшу – щодо осі v.

Розділ 5. МОМЕНТИ ІНЕРЦІЇ ПЛОСКИХ ПЕРЕКЛАВ Будь-яке плоске перетин характеризується рядом геометричних характеристик: площею, координатами центру тяжіння, статичним моментом, моментом інерції та d (див. рис. 8.1): ...

(ПРИКЛАДНА МЕХАНІКА)

Моменти інерції перерізів

Властивості моментів інерції.

Моменти інерції плоских перерізів

Розрізняють осьові, полярні та відцентрові моменти інерції перерізів. Осьовим моментом інерції перетину щодо якоїсь осі називається сума творів елементарних творів площ d А па квадрат їх відстаней до цієї осі(див. рис. 8.1): Полярним моментом інерції перетину...
(БУДІВЕЛЬНА МЕХАНІКА ДЛЯ АРХІТЕКТОРІВ)

Статичні моменти плоских перерізів

Рис. 2.24 При вивченні питань міцності, жорсткості та стійкості необхідно вміти визначати деякі геометричні характеристики перерізів, до яких належать статичні моменти, моменти інерції та моменти опору. Статичним моментом площі фігури щодо осі х (рис. 2.24), взятої...
(ПРИКЛАДНА МЕХАНІКА)

Моменти інерції перерізів

Моментами інерції перерізів називаються інтеграли наступного виду Властивості моментів інерції.Розмірність моментів інерції - [Довжина41, зазвичай [м4] або [см4|. Осьові та полярні моменти інерції завжди позитивні. Відцентровий момент інерції може бути позитивним, негативним або рівним нулю.
(ОПИР МАТЕРІАЛІВ З ВИКОРИСТАННЯМ ВИЧИСЛЮВАЛЬНИХ КОМПЛЕКСІВ)

http//:www.svkspb.nm.ru

Геометричні характеристики плоских перерізів

Площа: , dF - елементарний майданчик.

Статичний момент елемента площіdFщодо осі 0x
- добуток елемента площі на відстань "y" від осі 0x: dS x = ydF

Просумувавши (проінтегрувавши) такі твори по всій площі фігури, отримуємо статичні моментищодо осей y та x:
;
[см 3 м 3 т.д.].

Координати центру важкості:
. Статичні моменти щодо центральних осей(осей, що проходять через центр тяжкості перерізу) дорівнюють нулю. При обчисленні статичних моментів складної фігури її розбивають на прості частини, з відомими площами F i та координатами центрів тяжкості x i , y i .Статичний момент площі всієї фігури = сумі статичних моментів кожної її частини:
.

Координати центру важкості складної фігури:

М
оменты інерції перерізу

Осьовий(екваторіальний) момент інерції перерізу- сума творів елементарних майданчиків dF на квадрати відстаней до осі.

;
[см 4 м 4 т.д.].

Полярний момент інерції перерізу щодо певної точки (полюса) - сума творів елементарних майданчиків на квадрати відстаней від цієї точки.
; [см 4 м 4 т.д.]. J y + J x = J p.

Відцентровий момент інерції перерізу- сума творів елементарних майданчиків з їхньої відстані від двох взаємно перпендикулярних осей.
.

Відцентровий момент інерції перерізу щодо осей, з яких одна або обидві збігаються з осями симетрії, дорівнює нулю.

Осьові та полярні моменти інерції завжди позитивні, відцентрові моменти інерції можуть бути позитивними, негативними або рівними нулю.

Момент інерції складної фігури дорівнює сумі моментів інерції складових частин.

Моменти інерції перерізів простої форми

П
рямокутний перетин Коло

До


ольце

Т
рекутник

р
авдностегновий

Прямокутний

т
рекутник

Ч чверть кола

J y = J x = 0,055 R 4

J xy =0,0165R 4

на рис. (-)

Півколо

М

оманти інерції стандартних профілів знаходяться з таблиць сортаменту:

Д
вутавр Швелер Кутник

М

оменты інерції щодо паралельних осей:

J x1 = J x + a 2 F;

J y1 = J y + b 2 F;

момент інерції щодо будь-якої осі дорівнює моменту інерції щодо центральної осі, паралельної даної, плюс добуток площі фігури на квадрат відстані між осями. J y1x1 = J yx + abF; ("a" та "b" підставлять у формулу з урахуванням їхнього знака).

Залежність між моментами інерції при повороті осей:

J x1 = J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2; J y1 = J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2;

J x1y1 = (J x - J y) sin2 + J xy cos2;

Кут >0, якщо перехід від старої системи координат до нової відбувається проти годин. J y1 + J x1 = J y + J x

Екстремальні (максимальне та мінімальне) значення моментів інерції називаються головними моментами інерції. Осі, щодо яких осьові моменти інерції мають екстремальні значення, називаються головними осями інерції. Основні осі інерції взаємно перпендикулярні. Відцентрові моменти інерції щодо основних осей = 0, тобто. Основні осі інерції - осі, щодо яких відцентровий момент інерції = 0. Якщо одна з осей збігається або обидві збігаються з віссю симетрії, то вони є головними. Кут, що визначає положення основних осей:
якщо  0 >0  осі повертаються проти годин.стор. Вісь максимуму завжди становить менший кут з тієї осі, щодо якої момент інерції має більше значення. Головні осі, що проходять через центр тяжіння, називаються головними центральними осями інерції. Моменти інерції щодо цих осей:

J max + J min = J x + J y. Відцентровий момент інерції щодо головних центральних осей інерції дорівнює 0. Якщо відомі головні моменти інерції, то формули переходу до повернутих осей:

J x1 = J max cos 2  + J min sin 2 ; J y1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J x1y1 = (J max - J min) sin2;

Кінцевою метою обчислення геометричних параметрів перерізу є визначення основних центральних моментів інерції та положення основних центральних осей інерції. Р адіус інерції -
; J x = F i x 2 , J y = F i i 2 .

Якщо J x та J y головні моменти інерції, то i x та i y - головні радіуси інерції. Еліпс, побудований на головних радіусах інерції як на півосях, називається еліпсом інерції. За допомогою еліпса інерції можна графічно знайти радіус інерції i x1 для будь-якої осі х 1 . Для цього треба провести дотичну до еліпсу, паралельну осі х 1 і виміряти відстань від цієї осі до дотичної. Знаючи радіус інерції, можна знайти момент інерції перерізу щодо осі х 1:
. Для перерізів, що мають понад дві осі симетрії (наприклад: коло, квадрат, кільце та ін.) осьові моменти інерції щодо всіх центральних осей рівні між собою, J xy =0, еліпс інерції звертається в коло інерції.

Моменти опору.

Осьовий момент опору- Відношення моменту інерції щодо осі до відстані від неї до найбільш віддаленої точки перерізу.
[див 3, м3]

Особливо важливими є моменти опору щодо головних центральних осей:

прямокутник:
; коло: W x = W y =
,

трубчастий переріз (кільце): W x = W y =
де = d Н /d B .

Полярний момент опору - відношення полярного моменту інерції до відстані від полюса до найвіддаленішої точки перерізу:
.

Для кола W р =
.

Розрізняють такі види моментів інерції перерізів: осьові; відцентровий; полярний; центральні та головні моменти інерції.

Відцентрові моменти інерціїперерізу відносною уі zназивають інтеграл виду Сума осьових моментів інерції перерізу щодо двох координатних осей дорівнює полярному моменту інерції щодо початку координат:

Розмірність зазначених видів моментів інерції розтину (довжина 4), тобто. м 4 або см 4 .

Осьові та полярні моменти інерції перетину – величини позитивні; відцентровий момент інерції може бути позитивним, негативним і рівним нулю (для деяких осей, що є віссю симетрії).

Існують залежності для моментів інерції при паралельному перенесенні та повороті координатних осей.

Рисунок 5.4 – Паралельне перенесення та поворот координатних осей для довільного поперечного перерізу бруса

Для відцентрових моментів інерції

Якщо відомі моменти інерції перетину Iz, Iу, Izущодо осей zі у, то моменти інерції щодо повернутих осей z 1і у 1, на кут α по відношенню до вихідних осей (рис. 5.4, б) визначається за формулами:

З поняттям головних моментів інерціїпов'язують становище основних осей інерції. Головними осями інерціїназивають дві взаємно перпендикулярні осі, щодо яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, а осьові моменти набувають екстремальних значень (максимум і мінімум).

Якщо головні осі проходять через центр тяжкості фігури, вони називаються головними центральними осями інерції.

Становище основних осей інерції знаходять із наступних залежностей:

У розрахунках міцності елементів конструкцій користуються поняттям такої геометричної характеристики як момент опору перерізу.

Розглянемо приклад поперечний переріз бруса (рис. 5.5).

Рисунок 5.5 – Приклад поперечного перерізу бруса

Відстань найбільш віддаленої т.п. Авід центру тяжкості перерізу; Збачимо h 1 ,а відстань т. В– через h 2.

(5.16)

Тоді моменти опору перерізу щодо горизонтальної осі zточок А, Вобчислюються як відносини осьового моменту інерції щодо осі zдо відстаней до точок А, В:

Практичний інтерес у розрахунках міцності становить найменший момент опору перерізу Wmin, Що відповідає найбільш віддаленій т. Авід центру тяжкості перерізу h 1 = у max.

Розмірність елементів опору (довжина 3), тобто. м 3 см 3 .

Таблиця 5.1 – Значення моментів інерції та моментів опору найпростіших перерізів щодо центральних осей

Види найменування перерізу	Моменти інерції	Моменти опору
Прямокутник
Коло

продовження таблиці 5.1

Осьовим (або екваторіальним) моментом інерції перерізущодо деякої осі називається взята по всій його площі F dFна квадрати відстаней від цієї осі, тобто.

Полярним моментом інерції перерізу щодо деякої точки (полюса) називається взята по всій його площі Fсума творів елементарних майданчиків dFна квадрати їх відстані від цієї точки, тобто

Відцентровим моментом інерції перерізу щодо деяких двох взаємно перпендикулярних осей називається взята по всій його площі Fсума творів елементарних майданчиків dFна відстані від цих осей, тобто.

Моменти інерції виражаються в см 4 м 4 і т.д. Осьові та полярні моменти інерції завжди позитивні, тому що в їхні вирази під знаки інтегралів входять величини майданчиків dF(завжди позитивні) та квадрати відстаней цих майданчиків від цієї осі чи полюса.

На малюнку 2.3 зображено переріз площею Fі показані осі уі x.

Рис. 2.3. Переріз площею F.

Осьові моменти інерції цього перерізу щодо осей уі x:

Сума цих моментів інерції

отже,

Сума осьових моментів інерції перерізу щодо двох взаємно перпендикулярних осей дорівнює полярному моменту інерції цього перерізу щодо точки перетину зазначених осей.

Відцентрові моменти інерції можуть бути позитивними або рівними нулю. Відцентровий момент інерції перерізу щодо осей, з яких одна або обидві збігаються з його осями симетрії, дорівнює нулю. Осьовий момент інерції складного перерізу щодо деякої осі дорівнює сумі осьових моментів інерції складових його частин щодо цієї осі. Аналогічно, відцентровий момент інерції складного перерізу щодо будь-яких двох взаємно перпендикулярних осей дорівнює сумі відцентрових моментів інерції складових його частин щодо цих осей. Також і полярний момент інерції складного перерізу щодо деякої точки дорівнює сумі полярних моментів інерції складових його частин щодо тієї ж точки. Слід пам'ятати, що не можна підсумовувати моменти інерції, обчислені щодо різних осей і точок.

Для прямокутника

Для кола

Для кільця

Часто при вирішенні практичних завдань необхідно визначати моменти інерції перерізу щодо осей, по-різному орієнтованих у його площині. При цьому зручно використовувати вже відомі значення моментів інерції всього перерізу (або окремих складових його частин) щодо інших осей, що наводяться в технічній літературі, спеціальних довідниках та таблицях, а також підраховуються за наявними формулами. Тому дуже важливо встановити залежності між моментами інерції одного і того ж перерізу щодо різних осей.

У загальному випадку перехід від будь-якої старій добудь-який новоюсистемі координат може розглядатися як два послідовні перетворення старої системи координат:

1) шляхом паралельного перенесення осей координат у нове положення;

2) шляхом повороту їх щодо нового початку координат.

Отже,

Якщо вісь хпроходить через центр тяжкості перерізу, то статичний момент S x= 0 і

З усіх моментів інерції щодо паралельних осей осьовий момент інерції має найменше значення щодо осі, що проходить через центр тяжкості перерізу.

Момент інерції щодо осі у

В окремому випадку, коли вісь / проходить через центр тяжкості перерізу,

Відцентровий момент інерції

В окремому випадку, коли початок старої системи координат y0хзнаходиться в центрі тяжкості перерізу,

Якщо переріз симетричний і одна зі старих осей (або обидві) збігаються з віссю симетрії, то