Цей урок призначений для самостійного вивчення теми «Двогранний кут». У ході цього заняття учні познайомляться з однією з найважливіших геометричних фігур - двогранним кутом. Також на уроці ми повинні дізнатися про те, як визначити лінійний кут аналізованої геометричної фігури і який буває двогранний кут при підставі фігури.

Повторимо, що таке кут на поверхні і як він вимірюється.

Рис. 1. Площина

Розглянемо площину (рис. 1). З точки Провиходять два промені - ОВі ОА.

Визначення. Фігура, утворена двома променями, що виходять з однієї точки, називається кутом.

Кут вимірюється в градусах та у радіанах.

Згадаймо, що таке радіан.

Рис. 2. Радіан

Якщо ми маємо центральний кут, довжина дуги якого дорівнює радіусу, такий центральний кут називається кутом в 1 радіан. , ∠ АОВ= 1 рад (рис. 2).

Зв'язок радіанів та градусів.

радий.

Отримуємо, радий. (). Тоді,

Визначення. Двогранним кутомназивається фігура, утворена прямою аі двома півплощинами із спільним кордоном а, що не належать до однієї площини.

Рис. 3. Напівплощини

Розглянемо дві напівплощини α та β (рис. 3). Їхній спільний кордон - а. Зазначена фігура називається двогранним кутом.

Термінологія

Напівплощини α та β - це грані двогранного кута.

Пряма а- Це ребро двогранного кута.

На спільному ребрі адвогранного кута виберемо довільну точку Про(Рис. 4). У напівплощині з точки Провідновимо перпендикуляр ОАдо прямої а. З тієї ж точки Проу другій півплощині β відновимо перпендикуляр ОВдо ребра а. Отримали кут АОВ, Який називається лінійним кутом двогранного кута.

Рис. 4. Вимірювання двогранного кута

Доведемо рівність всіх лінійних кутів для цього двогранного кута.

Нехай маємо двогранний кут (рис. 5). Виберемо точку Проі точку Про 1на прямий а. Побудуємо лінійний кут відповідний точці Про, тобто проведемо два перпендикуляри ОАі ОВу площинах α та β відповідно до ребра а. Отримуємо кут АОВ- Лінійний кут двогранного кута.

Рис. 5. Ілюстрація доказу

З точки Про 1проведемо два перпендикуляри ОА 1і ОВ 1до ребра ау площинах α та β відповідно і отримаємо другий лінійний кут А 1 Про 1 В 1.

Промені О 1 А 1і ОАсонаправленны, тому що вони лежать в одній напівплощині і паралельні між собою як два перпендикуляри до однієї і тієї ж прямої а.

Аналогічно, промені О 1 В 1і ОВсонаправлені, отже, ∠ АОВ =∠ А 1 Про 1 В 1як кути з сонаправленными сторонами, що потрібно було довести.

Площина лінійного кута перпендикулярна ребру двогранного кута.

Довести: а ⊥ АОВ.

Рис. 6. Ілюстрація доказу

Доведення:

ОА ⊥ аз побудови, ОВ ⊥ аз побудови (рис. 6).

Отримуємо, що пряма аперпендикулярна двом прямим прямокутним прямим ОАі ОВз площини АОВ, отже, пряма аперпендикулярна площині ОАВ, що й потрібно було довести.

Двогранний кут вимірюється своїм лінійним кутом. Це означає, що скільки градусів радіан міститься в лінійному вугіллі, стільки ж градусів радіан міститься в його двогранному вугіллі. Відповідно до цього розрізняють такі види двогранних кутів.

Гострий (рис. 6)

Двогранний кут гострий, якщо лінійний кут гострий, тобто. .

Прямий (рис. 7)

Двогранний кут прямий, коли його лінійний кут дорівнює 90 ° - Тупий (рис. 8)

Двогранний кут тупий, що його лінійний кут тупий, тобто. .

Рис. 7. Прямий кут

Рис. 8. Тупий кут

Приклади побудови лінійних кутів у реальних фігурах

АВСD- Тетраедр.

1. Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром АВ.

Рис. 9. Ілюстрація до завдання

Побудова:

Йдеться про двогранний кут, який утворений рубом АВта гранями АВDі АВС(Рис. 9).

Проведемо пряму DНперпендикулярно до площини АВС, Н- основа перпендикуляра. Проведемо похилий DМперпендикулярно до прямої АВ,М- основа похилої. За теоремою про три перпендикуляри укладаємо, що проекція похилої НМтакож перпендикулярна до прямої АВ.

Тобто, з точки Мвідновлено два перпендикуляри до ребра АВу двох гранях АВDі АВС. Ми отримали лінійний кут DМН.

Зауважимо, що АВ, ребро двогранного кута, перпендикулярно площині лінійного кута, тобто площині DМН. Завдання вирішено.

Зауваження. Двогранний кут можна позначити так: DАВС, де

АВ- ребро, а крапки Dі Злежать у різних гранях кута.

2. Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром АС.

Проведемо перпендикуляр DНдо площини АВСта похилий DNперпендикулярно до прямої АС.По теоремі про три перпендикуляри отримуємо, що НN- проекція похилої DNна площину АВС,також перпендикулярна до прямої АС.DNН- Лінійний кут двогранного кута з ребром АС.

У тетраедрі DАВСусі ребра рівні. Крапка М- середина ребра АС. Доведіть, що кут DМВ- Лінійний кут двогранного кута ВАСD, Т. е. двогранного кута з ребром АС. Одна його грань АСD, друга - АСВ(Рис. 10).

Рис. 10. Ілюстрація до завдання

Рішення:

Трикутник ADC- рівносторонній, DM- медіана, отже, і висота. Значить, DМ ⊥ АС.Аналогічно трикутник AВC- рівносторонній, ВM- медіана, отже, і висота. Значить, ВМ ⊥ АС.

Таким чином, з точки Мребра АСдвогранного кута відновлено два перпендикуляри DMі ВМдо цього ребра у гранях двогранного кута.

Значить, ∠ DMВ- Лінійний кут двогранного кута, що і потрібно довести.

Отже ми визначили двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.

На наступному уроці ми розглянемо перпендикулярність прямих і площин, далі дізнаємось що таке двогранний кут на підставі фігур.

Список літератури на тему "Двогранний кут", "Двогранний кут на підставі геометричних фігур"

1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для загальноосвітніх навчальних закладів / Шаригін І. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: іл.
2. Геометрія. 10 клас: підручник для загальноосвітніх закладів з поглибленим та профільним вивченням математики /Є. В. Потоскуєв, Л. І. Звалич. – 6-те видання, стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: іл.

1. Yaklass.ru ().
2. E-science.ru().
3. Webmath.exponenta.ru().
4. Tutoronline.ru ().

Домашнє завдання на тему "Двогранний кут", визначення двогранного кута при підставі фігур

Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий та профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е видання, виправлене та доповнене – М.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл.

Завдання 2, 3 стор. 67.

Що таке лінійний кут двогранного кута? Як його збудувати?

АВСD- Тетраедр. Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром:

а) ВDб) DЗ.

АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 - куб. Побудуйте лінійний кут двогранного кута А 1 АВСз ребром АВ. Визначте його градусний захід.

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі уроку: запровадити поняття двогранного кута та його лінійного кута;

розглянути завдання застосування цих понять;

сформувати конструктивну навичку знаходження кута між площинами;

розглянути завдання застосування цих понять.

Хід уроку

I. Організаційний момент.

Повідомити тему уроку, сформувати цілі уроку.

ІІ. Актуалізація знань учнів (слайд 2, 3).

1. Підготовка до вивчення нового матеріалу.

Що називається кутом на площині?

Що називається кутом між прямими у просторі?

Що називається кутом між прямою та площиною?

Сформулюйте теорему про три перпендикуляри

ІІІ. Вивчення нового матеріалу.

• Концепція двогранного кута.

Фігура, утворена двома напівплощинами , що проходять через пряму МN, називається двогранним кутом (слайд 4).

Напівплощини - грані, пряма МN - ребро двогранного кута.

Які предмети у повсякденному житті мають форму двогранного кута? (Слайд 5)

• Кут між площинами АСН та СНД – це двогранний кут АСНD, де СН – ребро. Точки А та D лежать на гранях цього кута. Кут AFD – лінійний кут двогранного кута АCHD (слайд 6).

• Алгоритм побудови лінійного кута (слайд 7).

1 спосіб. На ребрі взяти будь-яку точку Про провести перпендикуляри в цю точку (РО DE, KO DE) отримали кут РОК - лінійний.

2 спосіб. В одній напівплощині взяти точку К і опустити з неї два перпендикуляри на іншу напівплощину та ребро (КО та КР), тоді за теоремою зворотної ТТП РОDE

• Усі лінійні кути двогранного кута дорівнюють (слайд 8). Доказ: промені ОА і О 1 А 1 сонаправлены, промені ОВ і О 1 В 1 теж сонаправлены, кути ВОА і О 1 А 1 А 1 рівні як кути з сонаправленными сторонами.

• Градусною мірою двогранного кута називається градусна міра його лінійного кута (слайд 9).

IV. Закріплення вивченого матеріалу.

• Розв'язання задач (усно за готовими кресленнями). (Слайди10-12)

1. РАВС – піраміда; кут АСВ дорівнює 90 про, пряма РВ перпендикулярна площині АВС. Довести, що кут РСВ – лінійний кут двогранного кута

2. РАВС – піраміда; АВ = ВС, D – середина відрізка АС, пряма РВ перпендикулярна до площини АВС. Довести, що кут PDB є лінійним кутом двогранного кута з ребром АС.

3. PABCD – піраміда; пряма РВ перпендикулярна до площини АВС, ВК перпендикулярна до DC. Довести, що кут РКВ – лінійний кут двогранного кута із ребром СD.

• Завдання побудувати лінійного кута (слайди 13-14).

1. Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром АС, якщо в піраміді РАВС грань АВС – правильний трикутник, О – точка перетину медіан, пряма РВ перпендикулярна площині АВС

2. Даний ромб АВСD. Пряма РС перпендикулярна до площини АВСD.

Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром ВD та лінійний кут двогранного кута з ребром АD.

• Обчислювальне завдання. (Слайд 15)

У паралелограмі АВСD кут АDС дорівнює 120 0 АD = 8 см,

DС = 6 см, пряма РС перпендикулярна до площини АВС, РС = 9 см.

Знайти величину двогранного кута з ребром АD та площу паралелограма.

V. Домашнє завдання (слайд16).

П. 22, № 168, 171.

Використовувана література:

1. Геометрія 10-11 Л.С.Атанасян.
2. Система завдань на тему “Двогранні кути” М.В.Севостьянова (м.Мурманськ), журнал Математика у школі 198… р.

Між перпендикулярами до ребра двогранного кута відновленими в обох гранях з однієї точки.

Математична енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.

Дивитися що таке "ЛІНІЙНИЙ КУТ" в інших словниках:

Moltke Крейсер "Мольтке" в Нью Йорку в 1912 році Основна інформація Тип … Вікіпедія

Чоловік. перелом, злам, коліно, лікоть, виступ або залом (впадина) про одну грань. Кут лінійний, усі дві зустрічні риси та проміжок їх; кут площинний або у площинах, зустріч двох площин або стін; кут товстий, тіловий, зустріч в одній... Тлумачний словник Даля

Лінкор … Вікіпедія

А у векторному просторі L відображення, зіставляє кожному вектору е століття poro множини D (що міститься в L і наз. областю визначення Л. о.) ін. Вектор, що позначається Ае (і званий значенням Л. о. на векторі е). Виконано слід. умови … Фізична енциклопедія

Цей термін має й інші значення, див. Лінійний корабель (значення). «Дредноут» родоначальник класу лінкорів.

Потрібно перенести вміст цієї статті до статті «Слава (броненосець)». Ви можете допомогти проекту, поєднавши статті. У разі потреби обговорення доцільності об'єднання, замініть цей шаблон на шаблон ((до об'єднання)).

"Двогранний кут" - Знайдіть відстань від точки В до площини. Кут З гострий. Трикутник АВС – тупокутний. Кут З тупою. Відстань від точки до прямої. У тетраедрі DАВС усі ребра рівні. Кут між похилими. Відстань між основами похилих. Лінійні кути двогранного кута рівні. Алгоритм побудови лінійного кута.

«Двогранний кут геометрія» – кут РСВ – лінійний для двогранного кута з ребром АС. Знайти (побачити) ребро та грані двогранного кута. Модель може бути як об'ємною, так і складною. Перетин двогранного кута площиною, перпендикулярною до ребра. Грані. пряма СР перпендикулярна ребру СА (за теоремою про три перпендикуляри). кут РКВ – лінійний для двогранного кута з РСАВ.

«Тригранний кут» - ознаки рівності тригранних кутів. Дано: Оabc – тригранний кут; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. Урок 6. Наслідки. 1) Для обчислення кута між прямою та площиною застосовна формула: Формула трьох косінусів. . Дано тригранний кут Оabc. Трикутний кут. Теорема. У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині менше 120?

"Тригранні та багатогранні кути" - Тригранні кути додекаедра. Тригранні та чотиригранні кути ромбододекаедра. Чотирьохгранні кути октаедра. Тригранні кути тетраедра. Вимірювання багатогранних кутів. Завдання. Багатогранні кути. П'ятигранні кути ікосаедра. Вертикальні багатогранні кути. Трикутний кут піраміди. Нехай SA1 ... An - опуклий n-гранний кут.

«Кут між прямою та площиною» - У правильній 6-й призмі A…F1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть кут між прямою AC1 і площиною ADE1. У правильній 6-й призмі A…F1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть кут між прямою AA1 та площиною ACE1. Кут між прямою та площиною. У правильній 6-й призмі A…F1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть кут між прямою AB1 та площиною ADE1.

Багатогранний кут - Випуклі багатогранні кути. Багатогранні кути. Залежно від кількості граней багатогранні кути бувають тригранними, чотиригранними, п'ятигранними і т. д. В) ікосаедр. Два плоскі кути тригранного кута дорівнюють 70° і 80°. Отже, ? ASB +? BSC +? ASC< 360° . Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

Всього у темі 9 презентацій

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

ДВОГРАННИЙ КУТ Вчитель математики ГОУ ЗОШ №10 Єрьоменко М.А.

Основні завдання уроку: Ввести поняття двогранного кута та його лінійного кута Розглянути завдання на застосування цих понять

Визначення: Двогранним кутом називається фігура, утворена двома півплощинами із загальною граничною прямою.

Завбільшки двогранного кута називається величина його лінійного кута. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB -лінійний кут двогранного кута ACD В

Доведемо, що всі лінійні кути двогранного кута дорівнюють один одному. Розглянемо два лінійні кути АОВ та А 1 ОВ 1 . Промені ОА та ОА 1 лежать в одній грані та перпендикулярні ОО 1 тому вони сонаправлены. Промені ОВ та ОВ 1 також співспрямовані. Отже, ∠ АОВ = ∠ А 1 ОВ 1 (як кути із співспрямованими сторонами).

Приклади двогранних кутів:

Визначення: Кутом між двома площинами, що перетинаються, називається найменший з двогранних кутів, утворених цими площинами.

Завдання 1: У кубі A … D 1 знайдіть кут між площинами ABC та CDD 1 . Відповідь: 90 o .

Завдання 2: У кубі A … D 1 знайдіть кут між площинами ABC та CDA 1 . Відповідь: 45 o .

Завдання 3: У кубі A … D 1 знайдіть кут між площинами ABC та BDD 1 . Відповідь: 90 o .

Завдання 4: У кубі A … D 1 знайдіть кут між площинами ACC 1 та BDD 1 . Відповідь: 90 o .

Завдання 5: У кубі A … D 1 знайдіть кут між площинами BC 1 D та BA 1 D . Рішення: Нехай О - середина D. A 1 OC 1 - лінійний кут двогранного кута А 1 В D С 1 .

Завдання 6: У тетраедрі DABC усі ребра рівні, точка М – середина ребра АС. Доведіть, що ∠ DMB – лінійний кут двогранного кута BACD.

Рішення: Трикутники ABC і ADC правильні, тому BM ⊥ AC і DM ⊥ AC і, отже, ∠ DMB є лінійним кутом двогранного кута DACB .

Задача 7: Із вершини В трикутника АВС, сторона АС якого лежить у площині α, проведений до цієї площини перпендикуляр ВР 1 . Знайдіть відстань від точки В до прямої АС і до площини α якщо АВ=2, ∠ВАС=150 0 і двогранний кут ВАСВ 1 дорівнює 45 0 .

Рішення: АВС – тупокутний трикутник із тупим кутом А, тому основа висоти ВК лежить на продовженні сторони АС. ВК – відстань від точки до АС. ВР 1 – відстань від точки В до площини α

2) Оскільки АС ⊥ВК, то АС⊥КВ 1 (по теоремі, зворотній теоремі про три перпендикуляри). Отже, ∠ВКВ 1 – лінійний кут двогранного кута ВАСВ 1 та ∠ВКВ 1 =45 0 . 3) ∆ВАК: ∠А=30 0 , ВК=ВА· sin 30 0 , ВК =1. ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· sin 45 0 , ВВ 1 =