Продемонструємо можливості теореми Остроградського-Гаусса на кількох прикладах.

Поле нескінченної однорідно зарядженої площини

Поверхнева густина заряду на довільній площині площею S визначається за формулою:

де dq - Заряд, зосереджений на площі dS; dS – фізично нескінченно мала ділянка поверхні.

Нехай у всіх точках площини S однакова. Заряд q - Позитивний. Напруженість у всіх точках матиме напрямок, перпендикулярний до площини. S(Рис. 2.11).

Вочевидь, що у симетричних, щодо площині точках, напруженість буде однакова за величиною і протилежна за напрямом.

Уявімо собі циліндр з утворюючими, перпендикулярними площині, та основами Δ S, розташованими симетрично щодо площини (рис. 2.12)

	Рис. 2.11	Рис. 2.12

Застосуємо теорему Остроградського-Гаусса. Потік Ф Е через бічну частину поверхні циліндра дорівнює нулю, т.к.

Сумарний потік через замкнуту поверхню (циліндр) дорівнюватиме:

Усередині поверхні укладено заряд. Отже, з теореми Остроградського-Гаусса отримаємо:

;

звідки видно, що напруженість поля площини S дорівнює:

(2.5.1)

Отриманий результат залежить від довжини циліндра. Це означає, що на будь-якій відстані від площини

Поле двох рівномірно заряджених площин

Нехай дві нескінченні площини заряджені різноіменними зарядами з однаковою за величиною щільністю σ (рис. 2.13).

Результуюче поле, як було зазначено вище, перебуває як суперпозиція полів, створюваних кожної з площин .

Тоді всередині площин

(2.5.2)

Поза площинаминапруженість поля

Отриманий результат справедливий і для площин кінцевих розмірів, якщо відстань між площинами набагато менша за лінійні розміри площин (плоский конденсатор).

Між пластинами конденсатора діє сила взаємного тяжіння (на одиницю площі пластин):

де S – площа обкладок конденсатора. Т.к. , то

.

(2.5.5)

Це формула для розрахунку пондермоторної сили.

Поле зарядженого нескінченно довгого циліндра (нитки)

Нехай поле створюється нескінченною циліндричною поверхнею радіусу R, зарядженої з постійною лінійною густиною , де dq – заряд, зосереджений на відрізку циліндра (рис. 2.14).

З міркування симетрії випливає, що Е в будь-якій точці буде спрямована вздовж радіусу, перпендикулярно до осі циліндра.

Уявимо навколо циліндра (нитки) коаксіальнузамкнуту поверхню ( циліндр у циліндрі) радіусу rі довжиною l (основи циліндрів перпендикулярно до осі). Для основ циліндрів на бічній поверхні тобто. залежить від відстані r.

Отже, потік вектора через поверхню, що розглядається, дорівнює

При на поверхні буде заряд По теоремі Остроградського-Гауса, звідси

.

(2.5.6)

Якщо, т.к. усередині замкнутої поверхні зарядів немає (рис.2.15).

Якщо зменшувати радіус циліндра R (при ), можна поблизу поверхні отримати поле з дуже великою напруженістю і, при , отримати нитку.

Поле двох коаксіальних циліндрів з однаковою лінійною щільністю λ, але різним знаком

Усередині меншого та поза більшим циліндрами поле буде відсутнє (рис. 2.16).

У зазорі між циліндрами поле визначається так само, як і в попередньому випадку:

Це справедливо і для нескінченно довгого циліндра, і для циліндрів кінцевої довжини, якщо зазор між циліндрами набагато менший за довжину циліндрів (циліндричний конденсатор).

Поле зарядженої пустотілої кулі

Пустотіла куля (або сфера) радіусу R заряджена позитивним зарядом з поверхневою щільністю σ. Поле в даному випадку буде центрально симетричним – у будь-якій точці проходить через центр кулі. ,і силові лінії перпендикулярні поверхні у будь-якій точці. Уявімо навколо кулі – сферу радіусу r (рис. 2.17).

Потенціал поля

Потенціал поля

Потенціал поля

потенціалів поля

Потенціал електричного поляточкового заряду Q у точці:

Поле зарядженого нескінченно довгого циліндра (нитки)

Нехай поле створюється нескінченною циліндричною поверхнею радіусу R, зарядженої з постійною лінійною щільністю , де d q- Заряд, зосереджений на відрізку циліндра (рис. 2.14).

З міркувань симетрії випливає, що Еу будь-якій точці буде спрямована вздовж радіусу, перпендикулярно до осі циліндра.

Уявимо навколо циліндра (нитки) коаксіальнузамкнуту поверхню ( циліндр у циліндрі) радіусу rта довжиною l(підстави циліндрів перпендикулярно осі). Для основ циліндрів на бічній поверхні тобто. залежить від відстані r.

Отже, потік вектора через поверхню, що розглядається, дорівнює

При на поверхні буде заряд По теоремі Остроградського-Гауса, звідси

.

(2.5.6)

Якщо, т.к. усередині замкнутої поверхні зарядів немає (рис.2.15).

Якщо зменшувати радіус циліндра R(при ), можна поблизу поверхні отримати поле з дуже великою напруженістю і, при , отримати нитку.

27. Потенціал поля, створюваного рівномірно зарядженої нескінченною площиною.

Потенціал поля- це енергетична характеристика поля, характеризує потенційну енергію, яку мав би позитивний одиничний заряд, поміщений у цю точку поля.

Одиниця електричного потенціалу – вольт (В).

Потенціал полядорівнює відношенню потенційної енергії заряду до цього заряду:

Потенціал поляє енергетичною характеристикою електричного поля і як скалярна величина може набувати позитивних або негативних значень.

Фізичний сенс має різницю потенціалів поля, Оскільки через неї виражається робота сил поля щодо переміщення заряду.

Поле рівномірно зарядженої нескінченної площини.

Введемо поняття поверхневої щільності заряду >0, чисельно рівної заряду одиниці площі:

В силу однорідності та ізотропності простору силові лінії поля рівномірно зарядженої нескінченної площини повинні бути перпендикулярними до неї та мати рівномірну густоту, що відповідає визначенню однорідності поля Е= Const. Як "зручну" замкнуту поверхню виберемо прямий циліндр, бічна поверхня якого паралельна силовим лініям (скрізь на ній 0 і, отже, потік крізь неї дорівнює 0), а торцеві поверхні площею S - паралельні зарядженій площині (так що скрізь на них 1):

Потік однорідного поля Екрізь обидві перпендикулярні йому торцеві поверхні S дорівнює просто Е 2S, а заряд, зосереджений на ділянці площею S зарядженої поверхні, дорівнює S:

Поверхнева щільність зарядуна довільній площині площею Sвизначається за формулою:

де d q- Заряд, зосереджений на площі d S; d S- фізично нескінченно мала ділянка поверхні.

Нехай σ у всіх точках площини Sоднакова. Заряд q- Позитивний. Напруженість у всіх точках матиме напрямок, перпендикулярний до площини. S(Рис. 2.11).

Вочевидь, що у симетричних, щодо площині точках, напруженість буде однакова за величиною і протилежна за напрямом.

Уявімо собі циліндр з утворюючими, перпендикулярними площині, та основами Δ S, розташованими симетрично щодо площини (рис. 2.12)

	Рис. 2.11	Рис. 2.12

Застосуємо теорему Остроградського-Гаусса. Потік ФЕчерез бічну частину поверхні циліндра дорівнює нулю, т.к . Для основи циліндра

Сумарний потік через замкнуту поверхню (циліндр) дорівнюватиме:

Усередині поверхні укладено заряд. Отже, з теореми Остроградського-Гаусса отримаємо:

;

звідки видно, що напруженість поля площини Sдорівнює:

Електростатичне поле має важливу властивість: Робота сил електростатичного поля при переміщенні заряду з однієї точки поля в іншу не залежить від форми траєкторії, а визначається лише положенням початкової та кінцевої точок та величиною заряду. Аналогічну властивість має і гравітаційне поле, і в цьому немає нічого дивного, оскільки гравітаційні та кулонівські сили описуються однаковими співвідношеннями. Наслідком незалежності від форми траєкторії є таке твердження: Робота сил електростатичного поля при переміщенні заряду по будь-якій замкнутій траєкторії дорівнює нулю. Силові поля, які мають цю властивість, називають потенційнимиабо консервативними. На рис. 1.4.2 зображені силові лінії кулонівського поля точкового заряду Qі дві різні траєкторії переміщення пробного заряду qз початкової точки (1) до кінцевої точки (2). На одній із траєкторій виділено мале переміщення. Робота Δ Aкулонівських сил на цьому переміщенні дорівнює Отриманий результат залежить від форми траєкторії. На траєкторіях I та II, зображених на рис. 1.4.2 роботи кулонівських сил однакові. Якщо на одній із траєкторій змінити напрямок переміщення заряду qна протилежне, робота змінить знак. Звідси випливає, що на замкнутій траєкторії робота кулонівських сил дорівнює нулю. Якщо електростатичне поле створюється сукупністю точкових зарядів, то при переміщенні пробного заряду qробота Aрезультуючого поля відповідно до спринципу суперпозиції буде складатися з робіт кулонівських полів точкових зарядів: Так як кожен член суми не залежить від форми траєкторії, то і повна робота Aрезультуючого поля не залежить від шляху і визначається лише положенням початкової та кінцевої точок. Властивість потенційності електростатичного поля дозволяє ввести поняття потенційної енергії заряду в електричному полі. Для цього в просторі вибирається деяка точка (0), і потенційна енергія заряду q, поміщений у цю точку, приймається рівною нулю. Потенційна енергія заряду q, поміщеного в будь-яку точку (1) простору, щодо фіксованої точки (0) дорівнює роботі A 10 , яку здійснить електростатичне поле при переміщенні заряду qз точки (1) до точки (0): W p1 = A 10 . (В електростатиці енергію прийнято позначати буквою W, тому що буквою Eпозначають напруженість поля. Так само, як і в механіці, потенційна енергія визначена з точністю до постійної величини, яка залежить від вибору опорної точки (0). Така неоднозначність у визначенні потенційної енергії не призводить до будь-яких непорозумінь, тому що фізичний сенс має не сама потенційна енергія, а різницю її значень у двох точках простору. Нам важлива ваша думка!Чи корисний був опублікований матеріал? Так | Ні ПОШУК ПО САЙТУ:

Жидкевич В. І. Електричне поле площини // Фізіка: проблеми викладання. – 2009. – № 6. – С. 19-23.

Завдання з електростатики можна розділити на дві групи: задачі про точкові заряди та задачі про заряджені тіла, розміри яких не можна не враховувати.

Вирішення завдань з розрахунку електричних полів та взаємодій точкових зарядів засноване на застосуванні закону Кулона і не викликає особливих труднощів. Більш складним є визначення напруженості поля та взаємодії заряджених тіл кінцевих розмірів: сфери, циліндра, площини. При обчисленні напруженості електростатичних полів різної конфігурації слід підкреслити важливість принципу суперпозиції та використовувати його при розгляді полів, створених не тільки точковими зарядами, а й зарядами, розподіленими по поверхні та об'єму. При розгляді впливу поля на заряд формула F=qE в загальному випадку справедлива для точкових заряджених тіл і тільки в однорідному полі застосовна для тіл будь-яких розмірів та форми, що несуть заряд q.

Електричне поле конденсатора утворюється в результаті накладання двох полів, створених кожною пластиною.

У плоскому конденсаторі можна розглядати одну пластину як тіло із зарядомq 1поміщене в електричне поле напруженістюЕ 2 , створене іншою пластиною.

Розглянемо кілька завдань.

1. Нескінченна площина заряджена з поверхневою щільністю σ >0. Знайдіть напруженість поля Ета потенціал ϕ з обох боків площини, вважаючи потенціал площини рівним нулю. Побудуйте графіки залежностейЕ(х), ϕ (х). Ось х перпендикулярна до площини, точка х=0 лежить на площині.

Рішення. Електричне поле нескінченної площини є однорідним та симетричним щодо площини. Йогонапруженість Зв'язок між на пряженістю та різницею потенціалів між двома точками однорідного електростатичного поля виражається формулоюде х - відстань між точками, виміряна вздовж силової лінії.Тоді ϕ 2 = ϕ 1 -Ех. При х<0 при х>0 Залежності Е(х) та ϕ (х) представлені малюнку 1.

2. Дві плоскопаралельні тонкі пластини, розташовані на малій відстані d один від одного, рівномірно заряджені зарядом поверхневою щільністюσ 1 та σ 2 . Знайдіть напруженості поля в точках, що лежать між пластинами та із зовнішнього боку. Побудуйте графік залежності напруженостіЕ(х) та потенціалу ϕ (х), вважаючи ϕ (0) = 0. Розгляньте випадки, коли: a)σ 1 =-σ 2; б) σ 1 = σ 2; в) σ 1 =3 σ 2 -

Рішення.Так як відстань між пластинами мало, їх можна розглядати як нескінченні площини.

Напруженість поля позитивно зарядженої площини дорівнюєі спрямована від неї; напруга поля негативно зарядженої площини спрямована до неї.

Відповідно до принципу суперпозиції поле в будь-якій точці, що розглядається, буде створюватися кожним із зарядів окремо.

а) Поля двох площин, заряджених рівними та протилежними за знаком зарядами (плоский конденсатор), складаються в області між площинами та взаємно знищуються у зовнішніх областях (рис. 2,а).

При х<0 Е= 0, ϕ =0; при 0 d Е = 0, Графіки залежності напруженості та потенціалу від відстаніх наведені на малюнку 2,б, в.

Якщо площини кінцевих розмірів, то поле між площинами не буде однорідним, а поле поза площинами не буде точно дорівнює нулю.

б) Поля площин, заряджених рівними за величиною та знаком зарядами (σ 1 = σ 2 ), компенсують один одного у просторі між площинами та складаються у зовнішніх областях (рис. 3,а). При х<0 при 0d

Скориставшись графікомЕ(х) (рис. 3, б), побудуємо якісно графік залежності ϕ (х) (рис. 3, в).

в) Якщо σ 1 = σ 2 , то, враховуючи напрямки полів і вибираючи напрямок праворуч за позитивне, знаходимо:

Залежність напруженості Е від відстані показана малюнку 4.

3. На одній із пластин плоского конденсатора ємністюЗ знаходиться зарядq 1=+3q, а на інший q 2 =+ q. Визначте різницю потенціалів між пластинами конденсатора.

Рішення. 1-й спосіб. Нехай площа пластини конденсатора S, а відстань між ними d. Поле всередині конденсатора однорідне, тому різницю потенціалів (напруження) на конденсаторі можна визначити за формулою U=E*d, де Е - Напруженість поля всередині конденсатора.

де Е 1 , Е 2 - Напруженості поля, створюваного пластинами конденсатора.

Тоді

2-й спосіб. Додамо на кожну пластину зарядТоді пластини конден сатора матимуть заряди + qта -q. Поля однакових зарядів пластини всередині конденсатора компенсують один одного. Додані заряди не змінили поле між пластинами, а значить, і різниця потенціалівконденсатор. U= q/C .

4. У простір між обкладинками незарядженого плоского конденсатора вносять тонку металеву пластину, що має заряд + q. Визначте різницю потенціалів між обкладинками конденсатора.

Рішення.Оскільки конденсатор не заряджений, то електричне поле створюється лише пластиною, що має заряд. q (Рис. 5). Це поле однорідне, симетричне щодо пластини, та його напруженістьНехай потенціал металевої пластини дорівнює ϕ . Тоді потенціали обкладень АіВ конденсатора будуть рівні ϕ- ϕ А = ϕ El 1; ϕ А = ϕ-El 1 ; ϕ- ϕ B = ϕ-El 2 ; ϕ B = ϕ-El 2 .

Різниця потенціалів між обкладинками конденсатораЯкщо пластина знаходиться на однаковій відстані від обкладок конденсатора, різниця потенціалів між обкладками дорівнює нулю.

5. В однорідне електричне поле напруженістюЕ 0 перпендикулярно силовим лініям поміщають заряджену металеву пластину із щільністю заряду на поверхні кожної сторони пластини σ (Рис. 6). Визначте напруженість поля Е"всередині та зовні пластини та поверхневу щільність зарядівσ 1 та σ 2 , Що виникне на лівій та правій сторонах пластини.

Рішення.Поле всередині пластини дорівнює нулю і є суперпозицією трьох полів: зовнішнього поляЕ 0 , поля, створюваного зарядами лівої сторони пластини, та поля, створюваного зарядами правої сторони пластини. Отже,де σ 1 та σ 2 - поверхнева щільність заряду на лівій та правій сторонах пластини, яка виникає після внесення пластини в поліЕ 0 . Сумарний заряд пластини не зміниться, томуσ 1 + σ 2 =2 σ , звідки σ 1 = σ- ε 0 E 0 , σ 2 = σ + ε 0 E 0 . Поле зовні пластини є суперпозицією поляЕ 0 та поля зарядженої пластини Е. Зліва відпластини Праворуч від пластини

6. У плоскому повітряному конденсаторі напруженість поля Е = 104 В/м. Відстань між обкладками d= 2 см. Чому дорівнюватиме різниця потенціалів, якщо між пластинами паралельно їм помістити металевий лист товщиноюd 0=0,5 див (рис. 7)?

Рішення.Оскільки електричне поле між пластинами однорідне, то U = Ed, U = 200 Ст.

Якщо між пластинами помітити металевий лист, виходить система з двох послідовно з'єднаних конденсаторів з відстанню між пластинамиd 1і d 2 . Ємності цих конденсаторівЇхня загальна ємність

Оскільки конденсатор відключено від джерела струму, то заряд конденсатора при внесенні металевого листа не змінюється: q"=CU=С"U 1 ; де ємність конден сатора до внесення до нього металевого листа. Отримуємо:

U 1= 150 Ст.

7. На пластинахА та С, розташованих паралельно на відстані d= 8 см один від одного, підтримуються потенціали ϕ 1= 60 В та ϕ 2 =- 60 відповідно. Між ними помістили заземлену пластину D з відривом d 1 = 2 див від пластини А. Наскільки змінилася напруженість поля на ділянках AD та CD? Побудуйте графіки залежностей ϕ (x) та Е(х).

Нескінченна площина, заряджена з поверхневою щільністю заряду: для розрахунку напруженості електричного поля, створеного нескінченною площиною, виділимо в просторі циліндр, вісь якого перпендикулярна зарядженій площині, а основи - паралельні їй і одна з основ проходить через точку поля, що цікавить нас. Відповідно до теореми Гауса потік вектора напруженості електричного поля крізь замкнуту поверхню дорівнює:

Ф= , з іншого боку він: Ф=E

Прирівняємо праві частини рівнянь:

Виразимо = - через поверхневу щільність заряду та знайдемо напруженість електричного поля:

Знайдемо напруженість електричного поля між різноіменно зарядженими пластинами з однаковою поверхневою щільністю:

(3)

Знайдемо поле поза пластинами:

; ; (4)

Напруженість поля зарядженої сфери

(1)

Ф= (2) т. Гауса

для r< R

; , т.к. (всередині сфери немає зарядів)

Для r = R

( ; ; )

Для r > R

Напруженість поля, створеного кулею, зарядженим рівномірно по всьому об'єму

Об'ємна щільність заряду,

розподіленого за кулею:

Для r< R

(; Ф =)

Для r = R

Для r > R

РОБОТА ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОГО ПОЛЯ З ПЕРЕМІЩЕННЯ ЗАРЯДУ

Електростатичне поле- ел. поле нерухомого заряду.
Fел, що діє на заряд, переміщає його, роблячи раборту.
В однорідному електричному полі Fел = qE – постійна величина

Робота поля (ел. сили) не залежитьвід форми траєкторії та на замкнутій траєкторії = нулю.

У разі, якщо в електростатичному полі точкового заряду Q з точки 1 в точку 2 вздовж будь-якої траєкторії (рис. 1) рухається інший точковий заряд Q 0 то сила, яка прикладена до заряду, здійснює деяку роботу. Робота сили F на елементарному переміщенні dl дорівнює Так як d l/cosα=dr, то Робота при переміщенні заряду Q 0 з точки 1 точку 2 (1) від траєкторії переміщення не залежить, а визначається тільки положеннями початкової 1 і кінцевої 2 точок. Отже, електростатичне поле точкового заряду є потенційним, а електростатичні сили - консервативними. (2) Якщо як заряд, якого переміщують в електростатичному полі, взяти одиничний точковий позитивний заряд, то елементарна робота сил поля на шляху dl дорівнює Еdl = E l d l, де E l= Ecosα – проекція вектора Е на напрямок елементарного переміщення. Тоді формулу (2) можна подати у вигляді (3) Інтеграл називається циркуляцією вектора напруги. Отже, циркуляція вектора напруженості електростатичного поля вздовж будь-якого замкнутого контуру дорівнює нулю. Силове поле, яке має властивість (3), називається потенційним. З рівності нулю циркуляції вектора Е випливає, що лінії напруженості електростатичного поля не можуть бути замкненими, вони обов'язково починаються і закінчуються на зарядах (на позитивних або негативних) або йдуть у нескінченність. Формула (3) правильна лише для електростатичного поля. Надалі буде показано, що з випадку поля зарядів, що рухаються, умова (3) не вірна (для нього циркуляція вектора напруженості відмінна від нуля).

Теорема про циркуляцію для електростатичного поля.

Оскільки електростатичне поле є центральним, то сили, що діють на заряд у такому полі, є консервативними. Оскільки є елементарну роботу, яку сили поля виробляють над одиничним зарядом, то робота консервативних сил на замкнутому контурі дорівнює

Потенціал

Система "заряд - електростатичне поле" або "заряд - заряд" має потенційну енергію, подібно до того, як система "гравітаційне поле - тіло" має потенційну енергію.

Фізична скалярна величина, що характеризує енергетичний стан поля, називається потенціаломданої точки поля. У полі міститься заряд q, він має потенційну енергію W. Потенціал - це характеристика електростатичного поля.

Згадаймо потенційну енергію у механіці. Потенційна енергія дорівнює нулю, коли тіло на землі. А коли тіло піднімають на деяку висоту, то кажуть, що тіло має потенційну енергію.

Щодо потенційної енергії в електриці, то тут немає нульового рівня потенційної енергії. Його вибирають довільно. Тому потенціал є відносною фізичною величиною.

Потенційна енергія поля - це робота, яку виконує електростатична сила при переміщенні заряду з точки поля в точку з нульовим потенціалом.

Розглянемо окремий випадок, коли електростатичне поле створюється електричним зарядом Q. Для дослідження потенціалу такого поля немає потреби в нього вносити заряд q. Можна вирахувати потенціал будь-якої точки такого поля, що знаходиться на відстані r від заряду Q.

Діелектрична проникність середовища має відоме значення (табличне), характеризує середовище, в якому існує поле. Для повітря вона дорівнює одиниці.

Різниця потенціалів

Робота поля з переміщення заряду з однієї точки в іншу називається різницею потенціалів

Цю формулу можна подати в іншому вигляді

Принцип суперпозиції

Потенціал поля, створеного декількома зарядами, дорівнює алгебраїчній (з урахуванням знаку потенціалу) сумі потенціалів полів кожного поля окремо

Це енергія системи нерухомих точкових зарядів, енергія відокремленого зарядженого провідника та енергія зарядженого конденсатора.

Якщо є система двох заряджених провідників (конденсатор), то повна енергія системи дорівнює сумі власних потенційних енергій провідників та енергії їхньої взаємодії:

Енергія електростатичного полясистеми точкових зарядів дорівнює:

Поступово заряджена площина.
Напруженість електричного поля, створюваного нескінченною площиною, зарядженої з поверхневою щільністю заряду, можна розрахувати, скориставшись теоремою Гауса.

З умов симетрії випливає, що вектор Eскрізь перпендикулярний площині. Крім того, у симетричних відносно площині точках вектор Eбуде однаковий за величиною та протилежний у напрямку.
Як замкнуту поверхню виберемо циліндр, вісь якого перпендикулярна площині, а підстави розташовані симетрично щодо площини, як показано на малюнку.
Так як лінії напруженості паралельні утворюючим бічній поверхні циліндра, то потік через бічну поверхню дорівнює нулю. Тому потік вектора Ечерез поверхню циліндра

,

де - площа основи циліндра. Циліндр вирізує із площини заряд. Якщо площина знаходиться в однорідному ізотропному середовищі з відносною діелектричною проникністю, то

Коли напруженість поля залежить від відстані між площинами, таке полі називають однорідним. Графік залежності E (x) для площини.

Різниця потенціалів між двома точками, що знаходяться на відстані R 1 та R 2 від зарядженої площини, дорівнює

Приклад 2. Дві рівномірно заряджені поверхні.
Розрахуємо напруженість електричного поля, яке створюється двома нескінченними площинами. Електричний заряд розподілений рівномірно з поверхневою густиною і . Напруженість поля знайдемо як суперпозицію напруженостей полів кожної з площин. Електричне поле відрізняється від нуля тільки в просторі між площинами і дорівнює.

Різниця потенціалів між площинами , де d -відстань між площинами.
Отримані результати можуть бути використані для наближеного розрахунку полів, створюваних плоскими пластинами кінцевих розмірів, якщо відстані між ними набагато менші за їх лінійні розміри. Помітні похибки таких розрахунків виникають під час розгляду полів поблизу країв пластин. Графік залежності E (x) для двох площин.

Приклад 3. Тонкий заряджений стрижень.
Для розрахунку напруженості електричного поля, створюваного дуже довгим зарядженим з лінійною щільністю заряду стрижнем, використовуємо теорему Гауса.
На досить великих відстанях від кінців стрижня лінії напруженості електричного поля спрямовані радіально від осі стрижня і лежать у площинах перпендикулярних до цієї осі. У всіх точках, рівновіддалених від осі стрижня, чисельні значення напруженості однакові, якщо стрижень знаходиться в однорідному ізотропному середовищі з відносною діелектричною
проникністю.

Для розрахунку напруженості поля у довільній точці, що знаходиться на відстані rвід осі стрижня, проведемо через цю точку циліндричну поверхню
(Див. малюнок). Радіус цього циліндра дорівнює r, а його висота h.
Потоки вектора напруженості через верхню і нижню основи циліндра дорівнюватимуть нулю, оскільки силові лінії не мають складових, нормальних до поверхонь цих основ. У всіх точках бічної поверхні циліндра
Е= const.
Отже, повний потік вектора Eчерез поверхню циліндра дорівнюватиме

,

По теоремі Гауса, потік вектора Eдорівнює алгебраїчній сумі електричних зарядів, що знаходяться всередині поверхні (в даному випадку циліндра) поділеної на твір електричної постійної та відносної діелектричної проникності середовища

де заряд тієї частини стрижня, що усередині циліндра. Отже, напруженість електричного поля

Різниця потенціалів електричного поля між двома точками, що знаходяться на відстані R 1 та R 2 від осі стрижня, знайдемо, користуючись зв'язком між напруженістю та потенціалом електричного поля. Оскільки напруженість поля змінюється лише у радіальному напрямі, то

Приклад 4. Заряджена поверхня сферична.
Електричне поле, створюване сферичною поверхнею, якою рівномірно розподілений електричний заряд з поверхневою щільністю , має центрально-симетричний характер.

Лінії напруженості спрямовані по радіусах від центру сфери, а модуль вектора Eзалежить тільки від відстані rвід центру сфери. Для розрахунку поля виберемо замкнуту сферичну поверхню радіусу r.
При r o Е = 0.
Напруженість поля дорівнює нулю, тому що всередині сфери заряд відсутня.
При r > R (поза сферою), згідно з теоремою Гауса

,

де - відносна діелектрична проникність середовища, що оточує сферу.

.

Напруженість зменшується за тим самим законом, як і напруженість поля точкового заряду, тобто за законом .
При r o .
При r > R (поза сферою) .
Графік залежності E (r) для сфери.

Приклад 5. Заряджена за обсягом куля з діелектрика.
Якщо куля радіусом Rз однорідного ізотропного діелектрика з відносною проникністю рівномірно заряджений за обсягом із щільністю , то створюване ним електричне поле також є центрально-симетричним.
Як і в попередньому випадку, виберемо замкнуту поверхню для розрахунку потоку вектора Eу вигляді концентричної сфери, радіус якої rможе змінюватися від 0 до .
При r < Rпотік вектора Eчерез цю поверхню визначатиметься зарядом

Так що

При r < R(всередині кулі) .
Усередині кулі напруженість зростає прямо пропорційно відстані центру кулі. Поза кулею (при r > R) серед з діелектричною проникністю , потік вектора Eчерез поверхню визначатиметься зарядом.
При r o >R o (поза кулею) .
На межі "куля - навколишнє середовище" напруженість електричного поля змінюється стрибком, величина якого залежить від співвідношення діелектричних проникностей кулі та середовища. Графік залежності E (r) для кулі ().

Поза кулею ( r > R) потенціал електричного поля змінюється за законом

.

Всередині кулі ( r < R) потенціал описується виразом

На закінчення, наведемо висловлювання до розрахунку напруженостей полів заряджених тіл, різної форми

Різниця потенціалів
Напруга- Різниця значень потенціалу в початковій та кінцевій точках траєкторії. Напругачисельно дорівнює роботі електростатичного поля при переміщенні одиничного позитивного заряду вздовж силових ліній цього поля. Різниця потенціалів (напруга) залежить від вибору системи координат!
Одиниця різниці потенціалів Напруга дорівнює 1, якщо при переміщенні позитивного заряду в 1 Кл вздовж силових ліній поле робить роботу в 1 Дж.

Провідник- Це тверде тіло, в якому є "вільні електрони", що переміщуються в межах тіла.

Металеві провідники загалом є нейтральними: у них порівну негативних та позитивних зарядів. Позитивно заряджені - це іони у вузлах кристалічної решітки, негативні - електрони, що вільно переміщаються провідником. Коли провіднику повідомляють надмірну кількість електронів, він заряджається негативно, якщо у провідника «відбирають» якусь кількість електронів, він заряджається позитивно.

Надлишковий заряд розподіляється лише на зовнішній поверхні провідника.

1 . Напруженість поля у будь-якій точці всередині провідника дорівнює нулю.

2 . Вектор на поверхні провідника спрямований нормалі до кожної точки поверхні провідника.

З того факту, що поверхня провідника еквіпотенційна випливає, що безпосередньо на цій поверхні поле направлено за нормаллю до неї в кожній точці (умова 2 ). Якби це було не так, то під дією дотичної складової заряди почали б рухатися по поверхні провідника. тобто. рівновага зарядів на провіднику було б неможливим.

З 1 слід, що оскільки

Усередині провідника надлишкових зарядів немає.

Заряди розподіляються лише на поверхні провідника з деякою щільністю sі знаходяться у дуже тонкому поверхневому шарі (його товщина близько однієї-двох міжатомних відстаней).

Щільність заряду- це кількість заряду, що припадає на одиницю довжини, площі або об'єму, таким чином визначаються лінійна, поверхнева та об'ємна щільності заряду, що вимірюються в системі СІ: у Кулонах на метр [Кл/м], у Кулонах на квадратний метр [Кл/м² ] та в Кулонах на кубічний метр [Кл/м³], відповідно. На відміну від густини речовини, густина заряду може мати як позитивні, так і негативні значення, це пов'язано з тим, що існують позитивні та негативні заряди.

Загальне завдання електростатики

Вектор напруженості

за теоремою Гауса

- Рівняння Пуассона.

У разі - немає зарядів між провідниками, отримуємо

- рівняння Лапласа.

Нехай відомі граничні умови на поверхнях провідників: ; тоді дане завдання має єдине рішення згідно теоремі єдиності.

При розв'язанні задачі визначається значення і потім поле між провідниками визначається розподілом зарядів на провідниках (по вектору напруженості у поверхні).

Розглянемо приклад. Знайдемо напруженість у порожній порожнині провідника.

Потенціал у порожнині задовольняє рівняння Лапласа;

потенціал на стінках провідника.

Рішення рівняння Лапласа у разі тривіальне, і з теоремі єдиності інших рішень немає

, тобто. поля у порожнині провідника немає.

Рівняння Пуассона- еліптичне диференціальне рівняння у приватних похідних, яке, серед іншого, описує

· електростатичне поле,

· Стаціонарне поле температури,

· поле тиску,

· Поле потенціалу швидкості в гідродинаміці.

Воно названо на честь знаменитого французького фізика та математика Сімеона Дені Пуассона.

Це рівняння має вигляд:

де - оператор Лапласа або лапласіан, а - речова або комплексна функція на деякому різноманітті.

У тривимірній декартовій системі координат рівняння набуває форми:

У декартовій системі координат оператор Лапласа записується у формі та рівняння Пуассона набуває вигляду:

Якщо fпрагне до нуля, то рівняння Пуассона перетворюється на рівняння Лапласа (рівняння Лапласа - окремий випадок рівняння Пуассона):

Рівняння Пуассона можна вирішити з допомогою функції Гріна; див., наприклад, статтю екрановане рівняння Пуассона. Існують різні методи для отримання чисельних рішень. Наприклад, використовується ітераційний алгоритм - релаксаційний метод.

Розглядатимемо відокремлений провідник, тобто провідник, значно віддалений від інших провідників, тіл і зарядів. Його потенціал, як відомо, прямо пропорційний заряду провідника. З досвіду відомо, різні провідники, будучи при цьому однаково зарядженими, мають різні потенціали. Тому для відокремленого провідника можна записати Величину (1) називають електроємністю (або просто ємністю) відокремленого провідника. Ємність відокремленого провідника визначається зарядом, повідомлення якого провіднику змінює його потенціал на одиницю. Ємність відокремленого провідника залежить від його розмірів та форми, але не залежить від матеріалу, форми та розмірів порожнин усередині провідника, а також його агрегатного стану. Причиною є те, що надлишкові заряди розподіляються на зовнішній поверхні провідника. Ємність також залежить ні від заряду провідника, ні від його потенціалу. Одиниця електроємності - фарад (Ф): 1 Ф - ємність такого відокремленого провідника, у якого потенціал змінюється на 1 при повідомленні йому заряду 1 Кл. Відповідно до формули потенціалу точкового заряду, потенціал відокремленої кулі радіуса R, який знаходиться в однорідному середовищі з діелектричною проникністю ε, дорівнює Застосовуючи формулу (1), отримаємо, що ємність кулі (2) З цього випливає, що ємністю 1 Ф володів би відокремлену кулю, що знаходиться у вакуумі і має радіус R=C/(4πε 0)≈9 10 6 км, що приблизно в 1400 разів більше за радіус Землі (електроємність Землі С≈0,7 мФ). Отже, фарад – досить велика величина, тому на практиці застосовуються дольні одиниці – міліфарад (мФ), мікрофарад (мкФ), нанофарад (нФ), пікофарад (пФ). З формули (2) слід також, що одиниця електричної постійної ε0 - фарад на метр (Ф/м) (див. (78.3)).

Конденсатор(Від лат. condensare- "ущільнювати", "згущувати") - двополюсник з певним значенням ємності та малою омічною провідністю; пристрій для накопичення заряду та енергії електричного поля. Конденсатор є пасивним електронним компонентом. Зазвичай складається з двох електродів у формі пластин (званих обкладками), розділених діелектриком, товщина якого мала порівняно з розмірами обкладок.

Місткість

Основною характеристикою конденсатора є його ємність, Що характеризує здатність конденсатора накопичувати електричний заряд У позначенні конденсатора фігурує значення номінальної ємності, тоді як реальна ємність може змінюватися залежно від багатьох чинників. Реальна ємність конденсатора визначає його електричні властивості. Так, за визначенням ємності, заряд на обкладинці пропорційний напрузі між обкладинками ( q = CU). Типові значення ємності конденсаторів становлять від одиниць пикофарад до тисяч мікрофарад. Однак існують конденсатори (іоністори) з ємністю до десятків фарад.

Ємність плоского конденсатора, що складається з двох паралельних металевих пластин площею Sкожна, розташованих на відстані dодин від одного, у системі СІ виражається формулою: , де -відносна діелектрична проникність середовища, що заповнює простір між пластинами (у вакуумі дорівнює одиниці), - електрична постійна, чисельно дорівнює 8,854187817 · 10 -12 Ф/м. Ця формула справедлива, лише коли dнабагато менше лінійних розмірів пластин.

Для отримання більших ємностей конденсатори з'єднують паралельно. При цьому напруга між обкладинками всіх конденсаторів однакова. Загальна ємність батареї паралельноз'єднаних конденсаторів дорівнює сумі ємностей всіх конденсаторів, що входять до батареї.

Якщо всі паралельно з'єднаних конденсаторів відстань між обкладками і властивості діелектрика однакові, ці конденсатори можна як один великий конденсатор, розділений на фрагменти меншої площі.

При послідовному з'єднанні конденсаторів заряди всіх конденсаторів однакові, оскільки джерела живлення вони надходять лише зовнішні електроди, але в внутрішніх електродах вони виходять лише рахунок поділу зарядів, раніше нейтралізували друг друга. Загальна ємність батареї послідовноз'єднаних конденсаторів дорівнює

Або

Ця ємність завжди менше мінімальної ємності конденсатора, що входить до батареї. Однак при послідовному з'єднанні зменшується можливість пробою конденсаторів, тому що на кожен конденсатор припадає лише частина різниці потенціалів напруги.

Якщо площа обкладок всіх конденсаторів, з'єднаних послідовно, однакова, то ці конденсатори можна представити у вигляді одного великого конденсатора, між обкладками якого знаходиться стос із пластин діелектрика всіх конденсаторів, що його складають.

[ред.] Питома ємність

Конденсатори також характеризуються питомою ємністю – ставленням ємності до об'єму (або маси) діелектрика. Максимальне значення питомої ємності досягається при мінімальній товщині діелектрика, проте зменшується його напруга пробою.

В електричних ланцюгах застосовуються різні способи з'єднання конденсаторів. З'єднання конденсаторівможе вироблятися: послідовно, паралельноі послідовно-паралельно(Остання іноді називають змішане з'єднання конденсаторів). Існуючі види з'єднання конденсаторів показані малюнку 1.

1. Способи з'єднання конденсаторів.

В однорідному електричному полі сила, що діє на заряджену частинку, постійна як за величиною, так і за напрямком. Тому рух такої частки повністю аналогічний до руху тіла в полі тяжкості землі без урахування опору повітря. Траєкторія частинки в цьому випадку є плоскою, лежить у площині, що містить вектори початкової швидкості частинки та напруженості електричного поля

Потенціал електростатичного поля. Загальний вираз, що пов'язує потенціал із напруженістю.

Потенціал у будь-якій точці електростатичного поля є фізична величина, що визначається потенційною енергією одиничного позитивного заряду, поміщеного в цю точку. Потенціал поля, створюваного точковим зарядом Q, дорівнює

Потенціал - фізична величина, яка визначається роботою з переміщення одиничного позитивного електричного заряду при видаленні його з цієї точки поля в нескінченність. Ця робота чисельно дорівнює роботі, яку здійснюють зовнішні сили (проти сил електростатичного поля) щодо переміщення одиничного позитивного заряду з нескінченності у цю точку поля.

Одиниця потенціалу - вольт (В): 1 В дорівнює потенціалу такої точки поля, в якій заряд в 1 Кл має потенційну енергію 1 Дж (1 В = 1 Дж/Кл). Враховуючи розмірність вольта, можна показати, що введена раніше одиниця напруженості електростатичного поля дійсно дорівнює 1 В/м: 1 Н/Кл=1 Н м/(Кл м)=1 Дж/(Кл м)=1 В/м.

З формул (3) і (4) випливає, що якщо поле створюється декількома зарядами, то потенціал даного поля системи зарядів дорівнює сумі алгебри потенціалів полів усіх цих зарядів:

Напруженість у будь-якій точці електричного поля дорівнює градієнту потенціалу у цій точці, взятому зі зворотним знаком. Знак «мінус» показує, що напруженість E спрямована у бік зменшення потенціалу.

E = - grad фі = - N фі.

Для встановлення зв'язку між силовою характеристикою електричного поля - напруженістю та його енергетичною характеристикою - потенціалом розглянемо елементарну роботу сил електричного поля на нескінченно малому переміщенні точкового заряду q: dA = q E dl, ця ж робота дорівнює втраті потенційної енергії заряду q: dA = - dWп = - q dфі, де d фі - Зміна потенціалу електричного поля на довжині переміщення dl. Прирівнюючи праві частини виразів, отримуємо: E dl = -d фі або декартової системі координат

Ex dx + Ey dy + Ez dz = -d фі

де Ex, Ey, Ez – проекції вектора напруженості на осі системи координат. Оскільки вираз є повним диференціалом, то для проекцій вектора напруженості маємо

Вираз, що стоїть у дужках, є градієнтом потенціалу фі.

Принцип суперпозиції як фундаментальне властивість полів. Загальні висловлювання для напруженості та потенціалу поля, створюваного в точці з радіус-вектором системою точкових зарядів, що знаходяться в точках з координатами.(див п.4)

Якщо розглянути принцип суперпозиції у найзагальнішому сенсі, то відповідно до нього, сума впливу зовнішніх сил, що діють на частинку, складатиметься з окремих значень кожної з них. Цей принцип застосовується до різних лінійних систем, тобто. таких систем, поведінка яких можна описати лінійними співвідношеннями. Прикладом може бути проста ситуація, коли лінійна хвиля поширюється у певному середовищі, у разі її властивості зберігатимуться навіть під впливом обурень, що виникають через самої хвилі. Ці властивості визначаються як конкретна сума ефектів кожної гармонійних складових.

Принцип суперпозиції може приймати й інші формулювання, які повністю еквівалентні наведеній вище:

· Взаємодія між двома частинками не змінюється при внесенні третьої частки, що також взаємодіє з першими двома.

· Енергія взаємодії всіх частинок у багаточастинній системі є просто сума енергій парних взаємодій між усіма можливими парами частинок. У системі немає багаточасткових взаємодій.

· Рівняння, що описують поведінку багаточасткової системи, є лінійними за кількістю частинок.

6 Циркуляцією вектора напруженості називається робота, яку здійснюють електричні сили при переміщенні одиничного позитивного заряду замкненим шляхом L

Оскільки робота сил електростатичного поля по замкнутому контуру дорівнює нулю (робота сил потенційного поля), отже циркуляція напруженості електростатичного поля по замкнутому контуру дорівнює нулю.

Потенціал сфери. Робота будь-якого електростатичного поля при переміщенні в ньому зарядженого тіла з однієї точки в іншу також не залежить від форми траєкторії, як робота однорідного поля. На замкнутій траєкторії робота електростатичного поля завжди дорівнює нулю. Поля, що мають таку властивість, називають потенційними. Потенційний характер, зокрема, має електростатичне поле точкового заряду.
Роботу потенційного поля можна виразити через зміну потенційної енергії. Формула справедлива для будь-якого електростатичного поля.

7-11Якщо силові лінії однорідного електричного поля напруженістю пронизують деяку площадку S, то потік вектора напруженості (раніше ми називали число силових ліній через майданчик) визначатиметься формулою:

де En - добуток вектора на нормаль до даного майданчика (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Повне число силових ліній, що проходять через поверхню S, називається потоком вектора напруженості ФЕ через цю поверхню.

У векторній формі можна записати - скалярне твір двох векторів, де вектор .

Таким чином, потік вектора є скаляр, який залежно від величини кута може бути як позитивним, так і негативним.

Розглянемо приклади, зображені на рисунках 2.6 та 2.7.

	Рис. 2.6	Рис. 2.7

Для малюнка 2.6 – поверхня А1 оточує позитивний заряд і тут потік спрямований назовні, тобто. Поверхня А2 - оточує негативний заряд, тут і спрямований усередину. Загальний потік через поверхню А дорівнює нулю.

Для малюнку 2.7 – потік не дорівнює нулю, якщо сумарний заряд усередині поверхні не дорівнює нулю. Для цієї конфігурації потік через поверхню А є негативним (підрахуйте число силових ліній).

Таким чином, потік вектора напруги залежить від заряду. У цьому сенсі теореми Остроградського-Гаусса.

Теорема Гауса

Експериментально встановлені закон Кулона та принцип суперпозиції дозволяють повністю описати електростатичне поле заданої системи зарядів у вакуумі. Однак, властивості електростатичного поля можна виразити в іншій, більш загальній формі, не вдаючись до уявлення про кулонівське поле точкового заряду.

Введемо нову фізичну величину, що характеризує електричне поле – потік Φ вектор напруженості електричного поля. Нехай у просторі, де створено електричне поле, розташований деякий досить малий майданчик ΔS. Добуток модуля вектора на площу ΔS та на косинус кута α між вектором та нормаллю до майданчика називається елементарним потоком вектора напруженості через майданчик ΔS (рис. 1.3.1):

Розглянемо тепер деяку довільну замкнуту поверхню S. Якщо розбити цю поверхню на малі майданчики ΔSi, визначити елементарні потоки ΔΦi поля через ці малі майданчики, а потім підсумувати, то в результаті ми отримаємо потік Φ вектора через замкнуту поверхню S (рис. 1.3.2 ):

Теорема Гауса стверджує:

Потік вектора напруженості електростатичного поля через довільну замкнуту поверхню дорівнює сумі алгебри зарядів, розташованих усередині цієї поверхні, поділеної на електричну постійну ε0.

де R - Радіус сфери. Потік Φ через сферичну поверхню дорівнюватиме добутку E на площу сфери 4πR2. Отже,

Оточимо тепер точковий заряд довільною замкненою поверхнею S і розглянемо допоміжну сферу радіусу R0 (рис. 1.3.3).

Розглянемо конус із малим тілесним кутом ΔΩ при вершині. Цей конус виділить на сфері малий майданчик ΔS0, а на поверхні S – майданчик ΔS. Елементарні потоки ΔΦ0 та ΔΦ через ці майданчики однакові. Справді,

Аналогічним чином можна показати, що якщо замкнута поверхня S не охоплює точкового заряду q, то потік Φ = 0. Такий випадок зображений на рис. 1.3.2. Усі силові лінії електричного поля точкового заряду пронизують замкнуту поверхню S наскрізь. Всередині поверхні S зарядів немає, тому в цій області силові лінії не обриваються та не зароджуються.

Узагальнення теореми Гауса на випадок довільного розподілу зарядів випливає із принципу суперпозиції. Поле будь-якого розподілу зарядів можна як векторну суму електричних полів точкових зарядів. Потік Φ системи зарядів через довільну замкнуту поверхню S складатиметься з потоків Φi електричних полів окремих зарядів. Якщо заряд qi виявився всередині поверхні S, він дає внесок у потік, рівний якщо цей заряд виявився зовні поверхні, то внесок його електричного поля в потік дорівнюватиме нулю.

Таким чином, теорема Гауса доведена.

Теорема Гауса є наслідком закону Кулона та принципу суперпозиції. Але якщо прийняти твердження, що міститься в цій теоремі, за початкову аксіому, її наслідком виявиться закон Кулона. Тому теорему Гауса іноді називають альтернативним формулюванням закону Кулона.

Використовуючи теорему Гауса, можна у ряді випадків легко обчислити напруженість електричного поля навколо зарядженого тіла, якщо заданий розподіл зарядів має будь-яку симетрію і загальну структуру поля можна заздалегідь вгадати.

Прикладом може бути завдання обчислення поля тонкостінного порожнистого однорідно зарядженого довгого циліндра радіуса R. Це має осьову симетрію. З міркувань симетрії електричне поле має бути спрямоване радіусом. Тому для застосування теореми Гауса доцільно вибрати замкнуту поверхню S у вигляді співвісного циліндра деякого радіусу r та довжини l, закритого з обох торців (рис. 1.3.4).

При r R весь потік вектора напруженості буде проходити через бічну поверхню циліндра, площа якої дорівнює 2πrl, так як потік через обидва підстави дорівнює нулю. Застосування теореми Гауса дає:

Цей результат не залежить від радіусу R зарядженого циліндра, тому він застосовний і до поля довгої однорідно зарядженої нитки.

Для визначення напруженості поля всередині зарядженого циліндра необхідно побудувати замкнуту поверхню для випадку r< R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.

Аналогічним чином можна застосувати теорему Гауса для визначення електричного поля в ряді інших випадків, коли розподіл зарядів має будь-яку симетрію, наприклад, симетрію щодо центру, площини або осі. У кожному з таких випадків потрібно вибирати замкнуту поверхню гаусса доцільної форми. Наприклад, у разі центральної симетрії гаусову поверхню зручно вибирати у вигляді сфери з центром у точці симетрії. При осьової симетрії замкнуту поверхню потрібно вибирати у вигляді співвісного циліндра, замкнутого з обох торців (як у наведеному вище прикладі). Якщо розподіл зарядів не має будь-якої симетрії і загальну структуру електричного поля вгадати неможливо, застосування теореми Гауса не може спростити завдання визначення напруженості поля.

Розглянемо ще один приклад симетричного розподілу зарядів – визначення поля рівномірно зарядженої площини (рис. 1.3.5).

В цьому випадку гаусову поверхню S доцільно вибрати у вигляді циліндра деякої довжини, закритого з обох торців. Вісь циліндра спрямована перпендикулярно до зарядженої площини, а його торці розташовані на однаковій відстані від неї. У силу симетрії поле рівномірно зарядженої площини має бути скрізь спрямоване за нормаллю. Застосування теореми Гауса дає:

де σ - Поверхнева щільність заряду, тобто заряд, що припадає на одиницю площі.

Отриманий вираз для електричного поля однорідно зарядженої площини застосовується і у разі заряджених плоских майданчиків кінцевого розміру. У цьому випадку відстань від точки, в якій визначається напруженість поля, до зарядженого майданчика має бути значно меншою за розміри майданчика.

І графіки до 7 – 11

1. Напруженість електростатичного поля, що створюється рівномірно зарядженою сферичною поверхнею.

Нехай сферична поверхня радіуса R (рис. 13.7) несе рівномірно розподілений заряд q, тобто. поверхнева щільність заряду у будь-якій точці сфери буде однакова.

a. Заключимо нашу сферичну поверхню симетричну поверхню S з радіусом r>R. Потік вектора напруженості через поверхню S дорівнюватиме

По теоремі Гауса

Отже

с. Проведемо через точку, що знаходиться всередині зарядженої сферичної поверхні, сферу S радіусом г

2. Електростатичне поле кулі.

Нехай маємо шар радіуса R, рівномірно заряджений з об'ємною щільністю.

У будь-якій точці А, що лежить поза кулею на відстані r від його центру (r>R), його поле аналогічне полю точкового заряду, розташованого в центрі кулі. Тоді поза кулею

(13.10)

але в його поверхні (r=R)

(13.11)

У точці, що лежить всередині кулі на відстаней r від його центру (r>R), поле визначається лише зарядом, укладеним всередині сфери радіусом r. Потік вектора напруженості через цю сферу дорівнює

з іншого боку, відповідно до теореми Гауса

По теоремі Гауса

З останніх двох виразів визначаємо напруженість поля, що створюється рівномірно зарядженою ниткою:

(13.13)

Нехай площина має нескінченну протяжність та заряд на одиницю площі дорівнює σ. З законів симетрії випливає, що поле спрямоване всюди перпендикулярно до площини, і якщо не існує жодних інших зовнішніх зарядів, то поля по обидва боки площини повинні бути однакові. Обмежимо частину зарядженої площини уявним циліндричним ящиком, таким чином, щоб ящик розсікався навпіл і його утворюють перпендикулярні, а дві основи, що мають площу S кожна, паралельні зарядженої площини (рис 1.10).

12. Поле рівномірно зарядженої сфери.

Нехай електричне поле створюється зарядом Q, рівномірно розподіленим по поверхні сфери радіусу R(Мал. 190). Для обчислення потенціалу поля у довільній точці, що знаходиться на відстані rвід центру сфери, необхідно обчислити роботу, яку виконує поле при переміщенні одиничного позитивного заряду від даної точки до нескінченності. Раніше ми довели, що напруженість поля рівномірно зарядженої сфери поза її еквівалентним полем точкового заряду, розташованого в центрі сфери. Отже, поза сферою потенціал поля сфери збігатиметься з потенціалом поля точкового заряду

φ (r)=Q 4πε 0r . (1)

Зокрема, на поверхні сфери потенціал дорівнює φ 0=Q 4πε 0R. Всередині сфери електростатичне поле відсутнє, тому робота з переміщення заряду з довільної точки, що знаходиться всередині сфери, на її поверхню дорівнює нулю A= 0, тому й різниця потенціалів між цими точками також дорівнює нулю Δ φ = -A= 0. Отже, всі точки всередині сфери мають той самий потенціал, що збігається з потенціалом її поверхні φ 0=Q 4πε 0R .

Отже, розподіл потенціалу поля рівномірно зарядженої сфери має вигляд (Рис. 191)

φ (r)=⎧⎩⎨Q 4πε 0R, npu r<RQ 4πε 0r, npu r>R . (2)

Зверніть увагу, що поле всередині сфери відсутнє, а потенціал відмінний від нуля! Цей приклад є яскравою ілюстрацією, що потенціал визначається значенням поля від даної точки до нескінченності.