Розглянемо в просторі деяку площину і довільну точку M 0 . Виберемо для площини одиничний нормальний вектор n з початкомв деякій точці М 1 ? Тоді (рис. 5.5)

р(М 0, π) = | пр n M 1 M 0 | = | nM 1 M 0 |, (5.8)

оскільки |n| = 1.

Якщо площина π задана в прямокутної системи координат своїм загальним рівнянням Ax + By + Cz + D = 0, то її нормальним вектором є вектор з координатами (A; B; C) і як одиничний нормальний вектор можна вибрати

Нехай (x 0 ; y 0 ; z 0) і (x 1 ; y 1 ; z 1) координати точок M 0 і M 1 . Тоді виконано рівність Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, так як точка M 1 належить площині, і можна знайти координати вектора M 1 M 0 : M 1 M 0 = (x 0 -x 1; y 0 -y 1;z 0 -z 1). Записуючи скалярний добуток nM 1 M 0 в координатній формі та перетворюючи (5.8), отримуємо

оскільки Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Отже, щоб обчислити відстань від точки до площини, потрібно підставити координати точки в загальне рівняння площини, а потім абсолютну величину результату розділити на нормуючий множник, що дорівнює довжині відповідного нормального вектора.

, Конкурс «Презентація до уроку»

Клас: 11

Презентація до уроку

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі:

• узагальнення та систематизація знань та умінь учнів;
• розвиток умінь аналізувати, порівнювати, робити висновки.

Обладнання:

• мультимедійний проектор;
• комп'ютер;
• аркуші з текстами завдань

ХІД ЗАНЯТТЯ

I. Організаційний момент

ІІ. Етап актуалізації знань(слайд 2)

Повторюємо як визначається відстань від точки до площини

ІІІ. Лекція(Слайди 3-15)

На занятті ми розглянемо різні методи знаходження відстані від точки до площині.

Перший метод: поетапно-обчислювальний

Відстань від точки М до площини:
– дорівнює відстані до площини від довільної точки Р, що лежить на прямій a, яка проходить через точку М і паралельна площині;
– дорівнює відстані до площини від довільної точки Р, що лежить на площині, яка проходить через точку М і паралельна площині.

Розв'яжемо наступні завдання:

№1. У кубі А…D 1 знайти відстань від точки 1 до площині АВ 1 З.

Залишилося обчислити значення довжини відрізка 1 Н.

№2. У правильній шестикутній призмі А…F 1 всі ребра якої рівні 1 знайдіть відстань від точки А до площини DEA 1 .

Наступний метод: метод обсягів.

Якщо обсяг піраміди АВСМ дорівнює V, то відстань від точки М до площини α, що містить ΔАВС, обчислюється за формулою ρ(М; α) = ρ(М; АВС) =
При розв'язанні задач ми використовуємо рівність обсягів однієї фігури, виражені двома різними способами.

Розв'яжемо наступне завдання:

№3. Ребро AD піраміди DABC перпендикулярно площині основи АВС. Знайдіть відстань від А до площини, що проходить через середини ребер АВ, АС та АD, якщо.

При розв'язанні задач координатним методомвідстань від точки М до площини можна обчислити за формулою ρ(М; α) = , де М(х 0 ; у 0 ; z 0), а площина задана рівнянням ax + by + cz + d = 0

Розв'яжемо наступне завдання:

№4. У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань від точки А 1 до площини ВDC 1 .

Введемо систему координат з початком у точці А, вісь у пройде по ребру АВ, вісь х – по ребру АD, вісь z – по ребру АА 1 . Тоді координати точок В (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Складемо рівняння площини, що проходить через точки, D, C 1 .

Тоді – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Отже, ρ =

Наступний метод, який можна використовувати під час вирішення завдань даного типу – метод опорних задач.

Застосування цього методу полягає у застосуванні відомих опорних задач, які формулюються як теореми.

Розв'яжемо наступне завдання:

№5. У одиничному кубі А…D1 знайдіть відстань від точки D1 ​​до площини АВ1С.

Розглянемо застосування Векторний метод.

№6. У одиничному кубі А…D1 знайдіть відстань від точки А1 до площини ВDС1.

Отже, ми розглянули різні способи, які можна використовувати під час вирішення цього типу завдань. Вибір того чи іншого методу залежить від конкретного завдання та ваших уподобань.

IV. Робота у групах

Спробуйте розв'язати завдання різними способами.

№1. Ребро куба А ... D1 дорівнює . Знайдіть відстань від вершини С до площини BDC 1 .

№2. У правильному тетраедрі АВСD з ребром знайдіть відстань від точки А до площини BDC

№3. У правильній трикутній призмі АВСА 1 В 1 С 1 всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від А до площини ВСА 1 .

№4. У правильній чотирикутній піраміді SABCD, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від А до площини SCD.

V. Підсумок уроку, домашнє завдання, рефлексія

Нехай існує площина . Проведемо нормаль
через початок координат О. Нехай задані
– кути, утворені нормаллю з осями координат.
. Нехай - Довжина відрізка нормалі
до перетину з площиною. Вважаючи відомими напрямні косинуси нормалі , виведемо рівняння площини .

Нехай
) – довільна точка площини. Вектор окремої нормалі має координати. Знайдемо проекцію вектора
на нормаль.

Оскільки точка Мналежить площині, то

.

Це і є рівняння заданої площини, що називається нормальним .

Відстань від точки до площини

Нехай дана площина ,М*
- точка простору, d - Відстань від площини.

Визначення. Відхиленням точки М*від площини називається число ( + d), якщо M* лежить по той бік від площини, куди вказує позитивний напрямок нормалі , і число (- d), якщо точка розташована з іншого боку площини:

.

Теорема. Нехай площина з одиничною нормаллю задана нормальним рівнянням:

Нехай М*
- Точка простору Відхилення т.д. M* від площини задається виразом

Доведення.Проекцію т.п.
* на нормаль позначимо Q. Відхилення точки М*від площини одно

.

Правило.Щоб знайти відхилення т.е. M* Від площини, необхідно в нормальне рівняння площині підставити координати т.п. M* . Відстань від точки до площини дорівнює .

Приведення загального рівняння площини до нормального вигляду

Нехай та сама площина задана двома рівняннями:

Загальне рівняння,

Нормальне рівняння.

Оскільки обидва рівняння задають одну площину, їх коефіцієнти є пропорційними:

Перші три рівності зведемо в квадрат і складемо:

Звідси знайдемо – нормуючий множник:

. (10)

Помноживши загальне рівняння площини на множник, що нормує, отримаємо нормальне рівняння площини:

Приклади завдань на тему "Площина".

приклад 1.Скласти рівняння площини , що проходить через задану точку
(2,1,-1) та паралельної площині.

Рішення. Нормаль до площини :
. Оскільки площини паралельні, то нормаль є і нормаллю до шуканої площини . Використовуючи рівняння площини, що проходить через задану точку (3), отримаємо для площини рівняння:

Відповідь:

приклад 2.Підставою перпендикуляра, опущеного з початку координат на площину , є точка
. Знайти рівняння площини .

Рішення. Вектор
є нормаллю до площини . Крапка М 0 належить площині. Можна скористатися рівнянням площини, що проходить через задану точку (3):

Відповідь:

приклад 3.Побудувати площину , що проходить через точки

та перпендикулярну площині :.

Отже, щоб деяка точка М (x, y, z) належала площині , необхідно, щоб три вектори
були компланарні:

=0.

Залишилося розкрити визначник і навести отриманий вираз до виду загального рівняння (1).

Приклад 4.Площина задана загальним рівнянням:

Знайти відхилення точки
від заданої поверхні.

Рішення. Наведемо рівняння поверхні до нормального вигляду.

,

.

Підставимо в отримане нормальне рівняння координати точки М*.

.

Відповідь:
.

Приклад 5.Чи перетинає площину відрізок.

Рішення. Щоб відрізок АВперетинав площину, відхилення і від площини повинні мати різні знаки:

.

Приклад 6.Перетин трьох площин в одній точці.

.

Система має єдине рішення, отже три площини мають одну загальну точку.

Приклад 7.Знаходження бісектрис двогранного кута, утвореного двома заданими площинами.

Нехай і - відхилення певної точки
від першої та другої площин.

На одній із біссектральних площин (що відповідає тому кутку, в якому лежить початок координат) ці відхилення рівні за модулем і знаком, а на іншій – рівні за модулем і протилежні за знаком.

Це рівняння першої біссектральної площини.

Це рівняння другої біссектральної площини.

Приклад 8.Визначення розташування двох даних точок і щодо двогранних кутів, утворених даними площинами.

Нехай
. Визначити: в одному, у суміжних або вертикальних кутах знаходяться точки і .

а). Якщо і лежать по один бік від і от , то вони лежать в одному двогранному кутку.

б). Якщо і лежать по один бік від і по різні від , то вони лежать у суміжних кутах.

в). Якщо і лежать по різні боки від і , то вони лежать у вертикальних кутах.

Системи координат 3

Лінії на площині 8

Лінії першого порядку. Прямі на поверхні. 10

Кут між прямими 12

Загальне рівняння прямої 13

Неповне рівняння першого ступеня 14

Рівняння прямої "у відрізках" 14

Спільне дослідження рівнянь двох прямих 15

Нормаль до прямої 15

Кут між двома прямими 16

Канонічне рівняння прямої 16

Параметричні рівняння прямої 17

Нормальне (нормоване) рівняння прямої 18

Відстань від точки до прямої 19

Рівняння пучка прямих 20

Приклади задач на тему «пряма на площині» 22

Векторний твір векторів 24

Властивості векторного твору 24

Геометричні властивості 24

Алгебраїчні властивості 25

Вираз векторного твору через координати співмножників 26

Змішаний твір трьох векторів 28

Геометричний зміст змішаного твору 28

Вираз змішаного твору через координати векторів 29

Приклади розв'язання задач

Ця стаття розповідає про визначення відстані від точки до площини. зробимо розбір методом координат, який дозволить знаходити відстань від заданої точки тривимірного простору. Для закріплення розглянемо приклади кількох завдань.

Відстань від точки до площини знаходиться за допомогою відомої відстані від точки до точки, де одна із них задана, а інша – проекція на задану площину.

Коли в просторі задається точка М 1 з площиною , то через точку можна провести перпендикулярну пряму площині. Н 1 є загальною точкою їхнього перетину. Звідси отримуємо, що відрізок М 1 Н 1 – це перпендикуляр, який провели з точки М 1 до площини χ де точка Н 1 – основа перпендикуляра.

Визначення 1

Називають відстань від заданої точки до основи перпендикуляра, який провели із заданої точки до заданої площини.

Визначення може бути записане різними формулюваннями.

Визначення 2

Відстанню від точки до площининазивають довжину перпендикуляра, який провели із заданої точки до заданої площини.

Відстань від точки М 1 до площини χ визначається так: відстань від точки М 1 до площини буде найменшою від заданої точки до будь-якої точки площини. Якщо точка Н 2 розташовується в площині χ і не дорівнює точці Н 2 тоді отримуємо прямокутний трикутник виду М 2 H 1 H 2 , Що є прямокутним, де є катет М 2 H 1 , М 2 H 2 - Гіпотенуза. Отже, звідси випливає, що M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 вважається похилою, яка проводиться з точки М 1 до площини . Ми маємо, що перпендикуляр, проведений із заданої точки до площини, менше похилої, яку проводять із точки до заданої площини. Розглянемо цей випадок малюнку, наведеному нижче.

Відстань від точки до площини – теорія, приклади, рішення

Існує ряд геометричних завдань, розв'язання яких повинні містити відстань від точки до площини. Способи виявлення цього можуть бути різними. Для вирішення застосовують теорему Піфагора або подібність трикутників. Коли за умовою необхідно розрахувати відстань від точки до площини, задані прямокутної системі координат тривимірного простору, вирішують методом координат. Цей пункт розглядає цей метод.

За умовою завдання маємо, що задана точка тривимірного простору з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) з площиною χ необхідно визначити відстань від М 1 до площини χ . Для вирішення застосовується кілька способів розв'язання.

Перший спосіб

Цей спосіб ґрунтується на знаходженні відстані від точки до площини за допомогою координат точки Н 1 , які є основою перпендикуляра з точки М 1 до площини. Далі необхідно обчислити відстань між М1 і Н1.

Для вирішення завдання другим способом застосовують нормальне рівняння заданої площини.

Другий спосіб

За умовою маємо, що Н 1 є основою перпендикуляра, що опустили з точки М 1 на площину χ . Тоді визначаємо координати (x2, y2, z2) точки Н1. Відстань від М 1 до площини χ знаходиться за формулою M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 , де M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і H 1 (x 2 , y 2 , z 2) . Для вирішення необхідно дізнатись координати точки Н 1 .

Маємо, що Н 1 є точкою перетину площини з прямою a , яка проходить через точку М 1 , розташовану перпендикулярно площині . Звідси випливає, що необхідно складання рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно заданій площині. Саме тоді зможемо визначити координати точки Н1. Необхідно провести обчислення координат точки перетину прямої та площини.

Алгоритм знаходження відстані від точки з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) до площини χ :

Визначення 3

• скласти рівняння прямої а, що проходить через точку М 1 і одночасно
• перпендикулярної до площини;
• знайти і обчислити координати (x 2 , y 2 , z 2) точки Н 1 є точками
• перетину прямої a з площиною ;
• обчислити відстань від М 1 до χ використовуючи формулу M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 .

Третій спосіб

У заданій прямокутній системі координат О х у z є площина , тоді отримуємо нормальне рівняння площини виду cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Звідси отримуємо, що відстань M 1 H 1 з точкою M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , проведеної на площину χ , що обчислюється за формулою M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z-p. Ця формула справедлива, оскільки це встановлено завдяки теоремі.

Теорема

Якщо задана точка M 1 (x 1 , y 1 , z 1) у тривимірному просторі, що має нормальне рівняння площини χ виду cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 тоді обчислення відстані від точки до площині M 1 H 1 виробляється з формули M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, так як x = x 1, y = y 1, z = z 1 .

Доведення

Доказ теореми зводиться знаходження відстані від точки до прямої. Звідси отримуємо, що відстань від M 1 до площини - це і є модуль різниці числової проекції радіус-вектора M 1 з відстанню від початку координат до площини . Тоді отримуємо вираз M 1 H 1 = n p n → O M → - p. Нормальний вектор площини має вигляд n → = cos α , cos β , cos γ , а його довжина дорівнює одиниці, n p n → O M → - числова проекція вектора O M → = (x 1 , y 1 , z 1) у напрямку, що визначається вектором n → .

Застосуємо формулу обчислення векторів скалярних. Тоді отримуємо вираз для знаходження вектора виду n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , тому що n → = cos α, cos β, cos γ · z та O M → = (x 1, y 1, z 1). Координатна форма запису набуде вигляду n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , тоді M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. Теорему доведено.

Звідси отримуємо, що відстань від точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) до площини χ обчислюється за допомогою підстановки в ліву частину нормального рівняння площини cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 замість х, у, z координати x 1 , y 1 z 1, Що стосуються точки М 1 , взявши абсолютну величину отриманого значення.

Розглянемо приклади знаходження відстані від точки із координатами до заданої площини.

Приклад 1

Обчислити відстань від точки з координатами M 1 (5, - 3, 10) до площини 2 x - y + 5 z - 3 = 0.

Рішення

Розв'яжемо задачу двома способами.

Перший спосіб почнеться з обчислення напрямного вектора прямої a. За умовою маємо, що задане рівняння 2 x - y + 5 z - 3 = 0 є рівнянням площини загального виду, а n → = (2 1 5) є нормальним вектором заданої площини. Його застосовують як напрямний вектор прямої a , яка перпендикулярна щодо заданої площини. Слід записати канонічне рівняння прямої в просторі, що проходить через M 1 (5 - 3 10) з напрямним вектором з координатами 2 - 1 5 .

Рівняння набуде вигляду x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 .

Слід визначити точки перетину. Для цього ніжно об'єднати рівняння в систему для переходу від канонічного до рівнянь двох прямих, що перетинаються. Цю точку приймемо за Н1. Отримаємо, що

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Після цього необхідно вирішити систему

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Звернемося до правила вирішення системи за Гаусом:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 · 10 + 2 · z = - 1 , x = - 1 - 2 · y = 1

Отримуємо, що H 1 (1, - 1, 0).

Здійснюємо обчислення відстані від заданої точки до площини. Беремо точки M 1 (5, - 3, 10) і H 1 (1, - 1, 0) і отримуємо

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

Другий спосіб вирішення полягає в тому, щоб спочатку привести задане рівняння 2 x - y + 5 z - 3 = 0 до нормального вигляду. Визначаємо нормуючий множник та отримуємо 1 2 2 + (-1) 2 + 5 2 = 1 30 . Звідси виводимо рівняння площини 230 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 . Обчислення лівої частини рівняння проводиться за допомогою підстановки x = 5, y = - 3, z = 10, причому потрібно взяти відстань від M 1 (5, - 3, 10) до 2 x - y + 5 z - 3 = 0 за модулем. Отримуємо вираз:

M 1 H 1 = 2 30 · 5 - 1 30 · - 3 + 5 30 · 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Відповідь: 2 30 .

Коли площина задається одним із способів розділу способи завдання площини, тоді потрібно для початку отримати рівняння площини і обчислювати відстань, що шукається за допомогою будь-якого методу.

Приклад 2

У тривимірному просторі задаються точки з координатами M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1). Обчислити розтягнення від М 1 до площини АВС.

Рішення

Для початку необхідно записати рівняння площини, що проходить через задані три точки з координатами M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1).

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Звідси випливає, що завдання має аналогічне до попереднього рішення. Отже, відстань від точки М 1 до площини АВС має значення 2 30 .

Відповідь: 2 30 .

Знаходження відстані від заданої точки на площині або площині, яким вони паралельні, зручніше, застосувавши формулу M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Звідси отримаємо, що нормальні рівняння площин одержують кілька дій.

Приклад 3

Знайти відстань від заданої точки з координатами M 1 (-3,2,-7) до координатної площини О х у z і площині, заданої рівнянням 2 y - 5 = 0 .

Рішення

Координатна площина О у z відповідає рівнянню виду х = 0. Для площини О у z воно є нормальним. Тому необхідно підставити в ліву частину виразу значення х = - 3 і взяти модуль значення відстані від точки з координатами M 1 (- 3, 2, - 7) до площини. Отримуємо значення, що дорівнює - 3 = 3 .

Після перетворення нормальне рівняння площини 2 y - 5 = 0 набуде вигляду y - 5 2 = 0 . Тоді можна знайти відстань від точки з координатами M 1 (- 3 , 2 , - 7) до площини 2 y - 5 = 0 . Підставивши та обчисливши, отримуємо 2 - 5 2 = 5 2 - 2 .

Відповідь:Відстань від M 1 (- 3 , 2 , - 7) до О у z має значення 3 , а до 2 y ​​- 5 = 0 має значення 5 2 - 2 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Пошук відстані від точки до площини - часта задача, що виникає при розв'язанні різних задач аналітичної геометрії, наприклад, до цього завдання можна звести знаходження відстані між двома прямими, що схрещуються, або між прямою і паралельною їй площиною.

Розглянемо площину $β$ і точку $M_0$ з координатами $(x_0;y_0; z_0)$, яка не належить площині $β$.

Визначення 1

Найкоротшою відстанню між точкою та площиною буде перпендикуляр, опущений із точки $М_0$ на площину $β$.

Рисунок 1. Відстань від точки до площини. Автор24 - інтернет-біржа студентських робіт

Нижче розглянуто, як знайти відстань від точки до площини координатним методом.

Висновок формули для координатного методу пошуку відстані від точки до площини у просторі

Перпендикуляр з точки $M_0$, що перетинається з площиною $β$ у точці $M_1$ з координатами $(x_1;y_1; z_1)$, лежить на прямій, напрямним вектором якої є нормальний вектор площини $β$. У цьому довжина одиничного вектора $n$ дорівнює одиниці. Відповідно до цього, відстань від $β$ до точки $M_0$ складе:

$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, де $\vec(M_1M_0)$ - нормальний вектор площини $β$, а $\vec(n)$ - одиничний нормальний вектор аналізованої площини.

У разі коли рівняння площини задано в загальному вигляді $Ax+ By + Cz + D=0$, координати нормального вектора площини є коефіцієнтами рівняння $\(A;B;C\)$, а одиничний нормальний вектор у цьому випадку має координати , що обчислюються за наступним рівнянням:

$\vec(n)= \frac(\(A;B;C\))(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\right)$.

Тепер можна знайти координати нормального вектора $\vec(M_1M_0)$:

$\vec(M_0M_1)= \(x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\)\left(3\right)$.

Також виразимо коефіцієнт $D$, використовуючи координати точки, що лежить у площині $β$:

$D= Ax_1+By_1+Cz_1$

Координати одиничного нормального вектора з рівності $(2)$ можна підставити на рівняння площині $β$, тоді ми маємо:

$ρ= \frac(|A(x_0-x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2 +B^2+C^2))\left(4\right)$

Рівність $(4)$ є формулою для знаходження відстані від точки до площини у просторі.

Загальний алгоритм знаходження відстані від точки $M_0$ до площині

1. Якщо рівняння площини встановлено не у загальній формі, спочатку необхідно привести його до загальної.
2. Після цього необхідно виразити із загального рівняння площини нормальний вектор даної площини через точку $M_0$ і точку, що належить заданій площині, для цього потрібно скористатися рівністю $(3)$.
3. Наступний етап - пошук координат одиничного нормального вектора площини за формулою $ (2) $.
4. Нарешті, можна розпочати пошуку відстані від точки до площині, це здійснюється за допомогою обчислення скалярного твору векторів $\vec(n)$ і $\vec(M_1M_0)$.