Теорема про зміну руху матеріальної точки. Теореми про зміну кількості руху точки та системи. Теорема про зміну кінетичного моменту

Аналогічно тому, як однієї матеріальної точки, виведемо теорему про зміну кількості руху для системи у різних формах.

Перетворимо рівняння (теорема про рух центу мас механічної системи)

наступним чином:

;

Отримане рівняння висловлює теорему про зміну кількості руху механічної системи в диференціальній формі: похідна від кількості руху механічної системи за часом дорівнює головному вектору зовнішніх сил, що діють на систему .

У проекціях на декартові осі координат:

; ; .

Беручи інтеграли від обох частин останніх рівнянь за часом, отримаємо теорему про зміну кількості руху механічної системи в інтегральній формі: зміна кількості руху механічної системи та імпульсу головного вектора зовнішніх сил, що діють на систему .

Або в проекціях на декартові осі координат:

; ; .

Наслідки з теореми (закони збереження кількості руху)

Закон збереження кількості руху виходять як окремі випадки теореми про зміну кількості руху для системи залежно від особливостей системи зовнішніх сил. Внутрішні сили можуть бути будь-якими, тому що вони не впливають на зміну кількості руху.

Можливі два випадки:

1. Якщо векторна сума всіх зовнішніх сил, прикладених до системи, дорівнює нулю, то кількість руху системи постійно за величиною та напрямком

2. Якщо дорівнює нулю проекція головного вектора зовнішніх сил будь-яку координатну вісь та/або і/або , то проекція кількості руху на ці ж осі є величиною постійної, тобто. та/або та/або відповідно.

Аналогічні записи можна зробити й у матеріальної точки й у матеріальної точки.

Умова задачі. З гармати, маса якої М, вилітає у горизонтальному напрямку снаряд маси mзі швидкістю v. Знайти швидкість Vзнаряддя після пострілу.

Рішення. Усі зовнішні сили, що діють на механічну систему знаряддя-снаряд, вертикальні. Отже, виходячи з слідства з теореми про зміну кількості руху системи, маємо: .

Кількість руху механічної системи до пострілу:

Кількість руху механічної системи після пострілу:

Прирівнюючи праві частини виразів, отримаємо, що

Знак «-» в отриманій формулі вказує на те, що після пострілу зброя відкотиться у напрямку, протилежному до осі Ox.

ПРИКЛАД 2. Струмінь рідини щільністю витікає зі швидкістю V із труби з площею поперечного перерізу F і вдаряється під кутом вертикальну стінку. Визначити тиск рідини на стіну.

РІШЕННЯ. Застосуємо теорему про зміну кількості руху в інтегральній формі до об'єму рідини масою mтому, хто ударяється об стіну за деякий проміжок часу t.

РІВНЯННЯ МЕЩЕРСЬКОГО

(Основне рівняння динаміки тіла змінної маси)

У сучасній техніці виникають випадки, коли маса точки та системи не залишається постійною у процесі руху, а змінюється. Так, наприклад, при польоті космічних ракет, внаслідок викидання продуктів згоряння та окремих непотрібних частин ракет, зміна маси досягає 90-95% від загальної початкової величини. Але як космічна техніка то, можливо прикладом динаміки руху змінної маси. У текстильній промисловості відбувається значні зміни маси різних веретен, шпуль, рулонів за сучасних швидкостей роботи верстатів і машин.

Розглянемо основні особливості, пов'язані зі зміною маси, з прикладу поступального руху тіла змінної маси. До тіла змінної маси не можна безпосередньо застосувати основний закон динаміки. Тому отримаємо диференціальні рівняння руху точки змінної маси, застосовуючи теорему про зміну кількості руху системи.

Нехай точка масою m+dmрухається зі швидкістю. Потім відбувається відрив від точки деякої частки масою dmщо рухається зі швидкістю.

Кількість руху тіла до відриву частки:

Кількість руху системи, що складається з тіла і частинки, що відірвалася, після її відриву:

Тоді зміна кількості руху:

Виходячи з теореми про зміну кількості руху системи:

Позначимо величину - відносна швидкість частки:

Позначимо

Величину Rназивають реактивною силою. Реактивна сила є тягою двигуна, зумовлена викидом газу із сопла.

Остаточно отримаємо

Ця формула виражає основне рівняння динаміки тіла змінної маси (формула Мещерського). З останньої формули слід, що диференціальні рівняння руху точки змінної маси мають такий самий вигляд, як і для точки постійної маси, крім доданих до точки додатково реактивної сили, обумовленої зміною маси.

Основне рівняння динаміки тіла змінної маси свідчить у тому, що прискорення цього тіла формується як з допомогою зовнішніх сил, а й з допомогою реактивної сили.

Реактивна сила - це сила, споріднена з тією, яку відчуває стріляюча людина - при стрільбі з пістолета вона відчувається пензлем руки; при стрільбі з рушниці сприймається плечем.

Перша формула Ціолковського (для одноступінчастої ракети)

Нехай точка змінної маси чи ракета рухається прямолінійно під дією лише однієї реактивної сили. Тому що для багатьох сучасних реактивних двигунів , де - максимально допустима конструкцією двигуна реактивна сила (тяга двигуна); - Сила тяжіння, що діє на двигун, що знаходиться на земній поверхні. Тобто. викладене дозволяє складової у рівнянні Мещерського знехтувати та до подальшого аналізу прийняти це рівняння у формі:

Позначимо:

Запас палива (при рідинних реактивних двигунах - суха маса ракети (що її маса після вигоряння всього палива);

Маса частинок, що відокремилися від ракети; сприймається як змінна величина, змінюється від до .

Запишемо рівняння прямолінійного руху точки змінної маси у такому вигляді

Оскільки формула визначення змінної маси ракети

Отже, рівняння руху точки Беручи інтеграли від обох частин отримаємо

де - характеристична швидкість- це швидкість, яку набуває ракета під дією тяги після виверження з ракети всіх частинок (при рідинних реактивних двигунах після вигоряння всього палива).

Винесена за знак інтеграла (що можна робити на підставі відомої з вищої математики теореми про середнє) - це середня швидкість частинок, що вивергаються з ракети.

Складається з nматеріальних точок. Виділимо із цієї системи деяку точку M jз масою m j. На цю точку, як відомо, діють зовнішні та внутрішні сили.

Докладемо до точки M jрівнодіючу всіх внутрішніх сил F j iі рівнодіючу всіх зовнішніх сил F j e(Рисунок 2.2). Для виділеної матеріальної точки M j(як для вільної точки) запишемо теорему про зміну кількості руху у диференціальній формі (2.3):

Запишемо аналогічні рівняння для всіх точок механічної системи (j=1,2,3,…,n).

Малюнок 2.2

Складемо почленно все nрівнянь:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)

Тут ∑m j ×V j =Q- Кількість руху механічної системи;
∑F j e = R e- Головний вектор всіх зовнішніх сил, що діють на механічну систему;
∑F j i = R i =0- Головний вектор внутрішніх сил системи (за якістю внутрішніх сил він дорівнює нулю).

Остаточно для механічної системи отримуємо

dQ/dt = R e. (2.11)

Вираз (2.11) є теоремою про зміну кількості руху механічної системи в диференціальній формі (у векторному вираженні): похідна за часом від вектора кількості руху механічної системи дорівнює головному вектору всіх зовнішніх сил, що діють на систему.

Проеціюючи векторну рівність (2.11) на декартові осі координат, отримуємо вирази для теореми про зміну кількості руху механічної системи в координатному (скалярному) вираженні:

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

тобто. похідна за часом від проекції кількості руху механічної системи на будь-яку вісь дорівнює проекції на цю вісь головного вектора всіх зовнішніх сил, що діють на цю механічну систему.

Помножуючи обидві частини рівності (2.12) на dt, Отримаємо теорему в іншій диференціальній формі:

dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)

тобто. диференціал кількості руху механічної системи дорівнює елементарному імпульсу головного вектора (сумі елементарних імпульсів) всіх зовнішніх сил, що діють на систему.

Інтегруючи рівність (2.13) у межах зміни часу від 0 до t, отримуємо теорему про зміну кількості руху механічної системи в кінцевій (інтегральній) формі (у векторному вираженні):

Q - Q 0 = S e,

тобто. зміна кількості руху механічної системи за кінцевий проміжок часу дорівнює повному імпульсу головного вектора (сумі повних імпульсів) всіх зовнішніх сил, що діють на систему за той самий проміжок часу.

Проеціюючи векторну рівність (2.14) на декартові осі координат, отримаємо вирази для теореми в проекціях (у скалярному вираженні):

тобто. зміна проекції кількості руху механічної системи на будь-яку вісь за кінцевий проміжок часу і проекції на цю ж вісь повного імпульсу головного вектора (сумі повних імпульсів) всіх діючих на механічну систему зовнішніх сил за той же проміжок часу.

З розглянутої теореми (2.11) - (2.15) випливають наслідки:

Якщо R e = ∑F j e = 0, то Q = const– маємо закон збереження вектора кількості руху механічної системи: якщо головний вектор R eвсіх зовнішніх сил, що діють на механічну систему, дорівнює нулю, то вектор кількості руху цієї системи залишається постійним за величиною та напрямком і дорівнює своєму початковому значенню Q 0, тобто. Q = Q 0.
Якщо R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), то Q x = const– маємо закон збереження проекції на вісь кількості руху механічної системи: якщо проекція головного вектора всіх чинних на механічну систему сил на якусь вісь дорівнює нулю, то проекція на цю вісь вектора кількості руху цієї системи буде величиною постійної та рівної проекції на цю вісь початкового вектора кількості руху, тобто. Q x = Q 0x.

Диференціальна форма теореми про зміну кількості руху матеріальної системи має важливі та цікаві додатки в механіці суцільного середовища. З (2.11) можна отримати теорему Ейлера.

Кількість руху матеріальної точкиназивається векторна величина mV,рівна добутку маси точки на вектор її швидкості. Вектор mVприкладений до точки, що рухається.

Кількість руху системиназивають векторну величину Q, рівну геометричній сумі (головному вектору) кількостей руху всіх точок системи:

Вектор Qє вільним вектором. У системі одиниць СІ модуль кількості руху вимірюється кг м/с або Н с.

Як правило, швидкості всіх точок системи різні (див., наприклад, розподіл швидкостей точок колеса, що котиться, показане на рис. 6.21), і тому безпосереднє підсумовування векторів у правій частині рівності (17.2) є скрутним. Знайдемо формулу, за допомогою якої величина Qобчислюється значно легше. З рівності (16.4) випливає, що

Взявши від обох частин похідну за часом, отримаємо Звідси з огляду на рівність (17.2) знаходимо, що

т. е. кількість руху системи дорівнює добутку маси всієї системи на швидкість її центру мас.

Зауважимо, що вектор Q,подібно до головного вектора сил у статиці, є деякою узагальненою векторною характеристикою руху всієї механічної системи. У загальному випадку руху системи її кількість руху Qможна як характеристику поступальної частини руху системи разом із її центром мас. Якщо під час руху системи (тіла) центр мас нерухомий, то кількість руху системи дорівнюватиме нулю. Таке, наприклад, кількість руху тіла, що обертається навколо нерухомої осі, що проходить через центр мас.

приклад.Визначити кількість руху механічної системи (рис. 17.1, а),що складається з вантажу Амасою т А - 2 кг, однорідного блоку Вмасою 1 кг та колеса Dмасою m D - 4кг. Вантаж Арухається зі швидкістю V A - 2 м/с, колесо Dкотиться без ковзання, нитка нерозтяжна та невагома. Рішення. Кількість руху системи тіл

Тіло Арухається поступально та Q A = m A V A(чисельно Q A= 4 кг м/с, напрямок вектора Q Aзбігається з напрямком V A).Блок Вздійснює обертальний рух навколо нерухомої осі, що проходить через центр мас; отже, Q B - 0. Колесо Dздійснює плоскопаралельне

рух; його миттєвий центр швидкостей знаходиться у точці Дотому швидкість його центру мас (точки Е)дорівнює V E = V A /2= 1 м/с. Кількість руху колеса Q D - m D V E - 4 кг м/с; вектор Q Dспрямований горизонтально вліво.

Зобразивши вектори Q Aі Q Dна рис. 17.1, б, знаходимо кількість руху Qсистеми за формулою (а). Враховуючи напрямки та числові значення величин, отримаємо Q ~^Q A +Q E=4л/2~ кг м/с, напрямок вектора Qпоказано на рис. 17.1, б.

Враховуючи що a -dV/dt,рівняння (13.4) основного закону динаміки можна у вигляді

Рівняння (17.4) виражає теорему про зміну кількості руху точки в диференціальній формі: у кожний момент часу похідна за часом від кількості руху точки дорівнює чинній на точку силі. (По суті це інше формулювання основного закону динаміки, близьке до того, яке дав Ньютон.) Якщо точку діє кілька сил, то правої частини рівності (17.4) буде рівнодіюча сил, прикладених до матеріальної точки.

Якщо обидві частини рівності помножити на dt,то отримаємо

Векторна величина, що стоїть у правій частині цієї рівності, характеризує дію, що чиниться на тіло силою за елементарний проміжок часу dtцю величину позначають dSі називають елементарним імпульсом сили,тобто.

Імпульс Sсили Fза кінцевий проміжок часу /, - / 0 визначається межа інтегральної суми відповідних елементарних імпульсів, тобто.

В окремому випадку, якщо сила Fпостійна за модулем і за напрямом, то S = F(t| -/ 0) та S-F(t l -/0). У загальному випадку модуль імпульсу сили може бути обчислений за його проекціями на координатні осі:

Тепер, інтегруючи обидві частини рівності (17.5) при т= const, отримаємо

Рівняння (17.9) виражає теорему про зміну кількості руху точки в кінцевій (інтегральній) формі: зміна кількості руху точки за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу чинної на точку сили (або імпульсу рівнодіючої всіх прикладених до неї сил) за той самий проміжок часу.

При розв'язанні задач користуються рівняннями цієї теореми у проекціях на координатні осі

Тепер розглянемо механічну систему, що складається з пматеріальних точок. Тоді для кожної точки можна застосувати теорему про зміну кількості руху у формі (17.4), враховуючи додані до точок зовнішні та внутрішні сили:

Підсумовуючи ці рівності та враховуючи, що сума похідних дорівнює похідній від суми, отримуємо

Оскільки за якістю внутрішніх сил HF k=0 та за визначенням кількості руху ^fn k V/ c = Q, то остаточно знаходимо

Рівняння (17.11) виражає теорему про зміну кількості руху системи у диференційній формі: у кожний момент часу похідна за часом кількості руху системи дорівнює геометричній сумі всіх зовнішніх сил, що діють на систему.

Проеціюючи рівність (17.11) на координатні осі, отримаємо

Помножуючи обидві частини (17.11) на dtта інтегруючи, отримаємо

де 0, Q 0 -кількості руху системи в моменти часу відповідно та / 0 .

Рівняння (17.13) виражає теорему про зміну кількості руху системи в інтегральній формі: зміна кількості руху системи за час рівно сумі імпульсів всіх зовнішніх сил, що діють на систему за той же час.

У проекціях на координатні осі отримаємо

З теореми про зміну кількості руху системи можна отримати такі важливі наслідки, які виражають закон збереження кількості руху системи.

1. Якщо геометрична ^умма всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю (LF k=0), то з рівняння (17.11) слід, що у своїй Q= const, тобто вектор кількості руху системи буде постійний за модулем та напрямом.
2. Якщо зовнішні сили, що діють на систему, такі, що сума їх проекцій на якусь вісь дорівнює нулю (наприклад, I e kx = 0), то із рівнянь (17.12) випливає, що при цьому Q x = const, тобто проекція кількості руху системи на цю вісь залишається постійною.

Зазначимо, що внутрішні сили системи беруть участь у рівнянні теореми про зміну кількості руху системи. Ці сили, хоч і впливають на кількість руху окремих точок системи, не можуть змінити кількість руху системи в цілому. З огляду на цю обставину, під час вирішення завдань розглянуту систему доцільно вибирати те щоб невідомі сили (усі чи його частина) зробити внутрішніми.

Закон збереження кількості руху зручно застосовувати у тих випадках, коли зі зміни швидкості однієї частини системи треба визначити швидкість іншої частини.

Завдання 17.1. Довізку масою т х- 12 кг, що рухається по гладкій горизонтальній площині, у точці Аза допомогою циліндричного шарніра прикріплений невагомий стрижень ADдовжиною /= 0,6 м з вантажем Dмасою т 2 - 6 кг на кінці (рис. 17.2). У момент часу / 0 = 0, коли швидкість візка та () - 0,5 м/с, стрижень ADпочинає обертатися навколо осі А,перпендикулярної площині креслення, згідно із законом ф = (тг/6)(3^ 2 - 1) радий (/-в секундах). Визначити: u=f.

§ 17.3. Теорема про рух центру мас

Теорему про зміну кількості руху механічної системи можна висловити ще в іншій формі, що має назву теореми про рух центру мас.

Підставивши в рівняння (17.11) рівність Q = MV C ,отримаємо

Якщо маса Мсистеми постійна, то отримаємо

де а з -прискорення центру мас системи.

Рівняння (17.15) та виражає теорему про рух центру мас системи: Добуток маси системи на прискорення її центру мас дорівнює геометричній сумі всіх зовнішніх сил, що діють на систему.

Проеціюючи рівність (17.15) на координатні осі, отримаємо

де x c , y c , z c -координати центру мас системи.

Ці рівняння є диференціальними рівняннями руху центру мас у проекціях на осі декартової системи координат.

Обговоримо отримані результати. Попередньо нагадаємо, що центр мас системи є геометричною точкою, розташованою часом поза геометричними межами тіла. Діючі ж на механічну систему сили (зовнішні та внутрішні) прикладені до всіх матеріальних точок системи. Рівняння (17.15) дозволяють визначити рух центру мас системи, не визначаючи руху окремих її точок. Зіставивши рівняння (17.15) теореми про рух центру мас та рівняння (13.5) другого закону Ньютона для матеріальної точки, приходимо до висновку: центр мас механічної системи рухається як матеріальна точка, маса якої дорівнює масі всієї системи, і начебто до цієї точки прикладені всі зовнішні сили, що діють на систему.Таким чином, рішення, які отримуємо, розглядаючи це тіло як матеріальну точку, визначають закон руху центру мас цього тіла.

Зокрема, якщо тіло рухається поступально, то кінематичні характеристики всіх точок тіла та його центру мас однакові. Тому тіло, що поступально рухається, можна завжди розглядати як матеріальну точку з масою, що дорівнює масі всього тіла.

Як видно з (17.15), внутрішні сили, що діють на точки системи, не впливають на рух центру мас системи. Внутрішні сили можуть вплинути на рух центру мас у тих випадках, коли під їх впливом змінюються зовнішні сили. Приклади цього будуть наведені далі.

З теореми про рух центру мас можна отримати такі важливі наслідки, які виражають закон збереження руху центру мас системи.

1. Якщо геометрична сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю (LF k=0), то з рівняння (17.15) випливає,

що при цьому а з = 0 або V c = const, тобто центр мас цієї системи

рухається з постійною по модулю та напрямку швидкістю (інакше, рівномірно та прямолінійно). В окремому випадку, якщо спочатку центр мас був у спокої ( V c=0), то він і залишиться у спокої; звідки

слід е, що його становище у просторі не зміниться, тобто. r c = const.

2. Якщо зовнішні сили, що діють на систему, такі, що сума їх проекцій на якусь вісь (наприклад, вісь х)дорівнює нулю (?F e kx= 0), то з рівняння (17.16) випливає, що при цьому х с=0 або V Cx =х с = const, тобто проекція швидкості центру мас системи на цю вісь є постійною величиною. В окремому випадку, якщо в початковий момент Vex= 0, то й у будь-який наступний момент часу це значення збережеться, а звідси випливає, що координата х сцентру мас системи не зміниться, тобто. х з - const.

Розглянемо приклади, що ілюструють закон руху центру мас.

приклади. 1. Як було зазначено, рух центру мас залежить тільки від зовнішніх сил, внутрішніми силами змінити положення центру мас не можна. Але внутрішні сили системи можуть спричинити зовнішні впливи. Так, рух людини по горизонтальній поверхні відбувається під дією сил тертя між підошвами його взуття та поверхнею дороги. Силою своїх м'язів (внутрішні сили) людина ногами відштовхується від поверхні дороги, через що в точках контакту з дорогою виникає сила тертя (зовнішня для людини), спрямована у бік його руху.

2. Аналогічним чином рухається автомобіль. Внутрішні сили тиску в його двигуні змушують обертатися колеса, але оскільки останні мають зчеплення з дорогою, то сили тертя, що виникають, «штовхають» машину вперед (в результаті колеса не обертаються, а рухаються плоскопаралельно). Якщо ж дорога буде абсолютно гладкою, то центр мас автомобіля буде нерухомий (при нульовій початковій швидкості) і колеса за відсутності тертя пробуксовуватимуть, тобто здійснюватимуть обертальний рух.
3. Рух за допомогою гребного гвинта, пропелера, весел відбувається за рахунок відкидання деякої маси повітря (або води). Якщо розглядати масу, що відкидається, і тіло, що рухається, як одну систему, то сили взаємодії між ними, як внутрішні, не можуть змінити сумарну кількість руху цієї системи. Однак кожна частина цієї системи буде рухатися, наприклад, човен вперед, а вода, яку відкидають весла, - назад.
4. У безповітряному просторі під час руху ракети «масу, що відкидається», слід «брати з собою»: реактивний двигун повідомляє рух ракети за рахунок відкидання назад продуктів горіння палива, яким заправлена ракета.
5. При спуску на парашуті можна управляти рухом центру мас системи людина – парашут. Якщо м'язовими зусиллями людина підтягує стропи парашута отже змінюється форма його купола чи кут атаки повітряного потоку, це викликає зміну і зовнішнього впливу повітряного потоку, а цим впливає на рух всієї системи.

Завдання 17.2. Взадачі 17.1 (див. рис. 17.2) визначити: 1) закон руху візка х (= /)(/), якщо відомо, що у початковий момент часу t 0 =О система перебувала у спокої та координата х 10 = 0; 2) ^акон зміни з часом сумарного значення нормальної реакції N(N = N" + N")горизонтальну площину, тобто. N=f2(t).

Рішення. Тут, як і в задачі 17.1, розглянемо систему, що складається з візка та вантажу D,у довільному положенні під дією прикладених до неї зовнішніх сил (див. рис. 17.2). Координатні осі Охупроведемо так, щоб вісь х була горизонтальна, а вісь упроходила через точку А 0тобто місце розташування точки Ау момент часу t-t 0 - 0.

1. Визначення закону руху візка. Для визначення х, = /,(0 скористаємося теоремою про рух центру мас системи. Складемо диференціальне рівняння його руху в проекції на вісь х:

Оскільки всі зовнішні сили вертикальні, то T,F e kx = 0, і, отже,

Проінтегрувавши це рівняння, знайдемо, що Мх с = В,т. е. проекція швидкості центру мас системи на вісь х є постійна величина. Так як у початковий момент часу

Інтегруючи рівняння Мх з= 0, отримаємо

тобто координата х сцентру мас системи постійна.

Запишемо вираз Мх здля довільного становища системи (див. рис. 17.2), взявши до уваги, що х А - х { , x D - х 2і х 2 - х ( - I sin ф. Відповідно до формули (16.5), що визначає координату центру мас системи, в даному випадку Мх с - т (х ( + т 2 х 2”.

для довільного моменту часу

для моменту часу /() = 0, х (= 0 і

Відповідно до рівності (б) координата х сцентру мас всієї системи залишається незмінною, т. е. хД^,) = x c(t).Отже, прирівнявши вирази (в) та (г), отримаємо залежність координати х від часу.

Відповідь: Х - 0,2 м, де t -за секунди.

2. Визначення реакції N.Для визначення N=f 2 (t) складемо диференціальне рівняння руху центру мас системи у проекції на вертикальну вісь у(див. рис. 17.2):

Звідси, позначивши N = N + N",отримаємо

За формулою, що визначає ординату у зцентру мас системи, Му з = т (у х + т 2 у 2де у = у С1 ,у 2= y D = Уа ~ 1 cos Ф» отримаємо

Продиференціювавши цю рівність двічі за часом (з огляду на те, що у С1і у Авеличини постійні і, отже, їх похідні дорівнюють нулю), знайдемо

Підставивши цей вираз у рівняння (е), визначимо шукану залежність Nвід t.

Відповідь: N- 176,4 + 1,13,

де ф = (я/6) (3/-1), t - у секундах, N- у ньютонах.

Завдання 17.3.Електричний мотор масою т х прикріплено на горизонтальній поверхні фундаменту болтами (рис. 17.3). На валу двигуна під прямим кутом до осі обертання закріплений одним кінцем невагомий стрижень довжиною /, на іншому кінці стрижня насажений точковий вантаж А масою т 2 . Вал обертається поступово з кутовою швидкістю з. Знайти горизонтальний тиск двигуна на болти. Рішення. Розглянемо механічну систему, що складається з мотора та точкового вантажу А, у довільному положенні. Зобразимо зовнішні сили, що діють на систему: сили тяжіння Р х, Р 2 реакцію фундаменту у вигляді вертикальної сили N та горизонтальної сили R. Проведемо координатну вісь х горизонтально.

Щоб визначити горизонтальний тиск мотора на болти (а воно буде чисельно рівно реакції R і спрямовано протилежно до вектора R ), складемо рівняння теореми про зміну кількості руху системи у проекції на горизонтальну вісь х:

Для аналізованої системи в її довільному положенні, враховуючи, що кількість руху корпусу двигуна дорівнює нулю, отримаємо Q x = - т 2 У А сощ. Приймаючи до уваги, що V A = a з/, ф = з/ (обертання мотора рівномірне), отримаємо Q x - - m 2 co/cos з/. Диференціюючи Q x за часом і підставляючи на рівність (а), знайдемо R- m 2 co 2 /sin з/.

Зауважимо, що такі сили є змушуючими (див. § 14.3), за її впливу виникають вимушені коливання конструкцій.

Вправи для самостійної роботи

1. Що називають кількістю руху точки та механічної системи?
2. Як змінюється кількість руху точки, що рівномірно рухається по колу?
3. Що характеризує імпульс сили?
4. Чи впливають внутрішні сили системи на її кількість руху? На рух її центру мас?
5. Як впливають на рух центру мас системи прикладені до неї пари сил?
6. За яких умов центр мас системи перебуває у спокої? рухається рівномірно та прямолінійно?

7. У нерухомому човні за відсутності течії води на кормі сидить доросла людина, але в носі човна - дитина. У якому напрямку переміститься човен, якщо вони поміняються подекуди?

У разі модуль переміщення човна буде великим: 1) якщо дитина перейде до дорослого на корму; 2) якщо дорослий перейде до дитини на ніс човна? Якими будуть при цих рухах переміщення центру мас системи «човен і дві людини»?

Нехай матеріальна точка рухається під дією сили F. Потрібно визначити рух цієї точки стосовно рухомої системи Oxyz(див. складний рух матеріальної точки), яка рухається відомим чином по відношенню до нерухомої системи O 1 x 1 y 1 z 1 .

Основне рівняння динаміки у нерухомій системі

Запишемо абсолютне прискорення точки за теоремою Коріоліса

де a абс- Абсолютне прискорення;

a отн- Відносне прискорення;

a пров– переносне прискорення;

a кор- Коріолісове прискорення.

Перепишемо (25) з урахуванням (26)

Введемо позначення
- переносна сила інерції,
- коріолісова сила інерції. Тоді рівняння (27) набуває вигляду

Основне рівняння динаміки для вивчення відносного руху (28) записується так само як і для абсолютного руху, тільки до діючих на точку сил треба додати переносну і коріолісову сили інерції.

Загальні теореми динаміки матеріальної точки

При вирішенні багатьох завдань можна користуватися заздалегідь виконаними заготовками, отриманими на основі другого закону Ньютона. Такі методи розв'язання задач об'єднані у цьому розділі.

Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки

Введемо такі динамічні характеристики:

1. Кількість руху матеріальної точки- Векторна величина, рівна добутку маси точки на вектор її швидкості

. (29)

2. Імпульс сили

Елементарний імпульс сили- Векторна величина, рівна добутку вектора сили на елементарний проміжок часу

(30).

Тоді повний імпульс

. (31)

При F=const отримаємо S=Ft.

Повний імпульс за кінцевий проміжок часу можна обчислити тільки у двох випадках, коли чинна на точку сила постійна або залежить від часу. В інших випадках необхідно висловити чинність як функцію часу.

Рівність розмірностей імпульсу (29) та кількості руху (30) дозволяє встановити між ними кількісний взаємозв'язок.

Розглянемо рух матеріальної точки M під дією довільної сили Fдовільної траєкторії.

Про УД:
. (32)

Розділяємо на (32) змінні та інтегруємо

. (33)

У результаті, беручи до уваги (31), отримуємо

. (34)

Рівняння (34) виражає таку теорему.

Теорема: Зміна кількості руху матеріальної точки за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу сили, що діє на точку, за той самий інтервал часу.

При розв'язанні задач рівняння (34) необхідно спроектувати на осі координат

Даною теоремою зручно користуватися, коли серед заданих та невідомих величин присутні маса точки, її початкова та кінцева швидкість, сили та час руху.

Теорема про зміну моменту кількості руху матеріальної точки

М
омент кількості руху матеріальної точкищодо центру дорівнює добутку модуля кількості руху крапки на плече, тобто. найкоротша відстань (перпендикуляр) від центру до лінії, що збігається з вектором швидкості

, (36)

. (37)

Взаємозв'язок між моментом сили (причиною) та моментом кількості руху (наслідком) встановлює наступна теорема.

Нехай точка M заданої маси mрухається під дією сили F.

,
,

, (38)

. (39)

Обчислимо похідну від (39)

. (40)

Об'єднуючи (40) та (38), остаточно отримаємо

. (41)

Рівняння (41) виражає таку теорему.

Теорема: Похідна за часом від вектора моменту кількості руху матеріальної точки щодо деякого центру дорівнює моменту чинної точки сили щодо того ж центру.

При розв'язанні задач рівняння (41) необхідно спроектувати на осі координат

В рівняннях (42) моменти кількостей руху та сили обчислюються щодо координатних осей.

З (41) випливає закон збереження моменту кількості руху (закон Кеплера).

Якщо момент сили, що діє на матеріальну точку, щодо якогось центру дорівнює нулю, то момент кількості руху точки щодо цього центру зберігає свою величину та напрямок.

Якщо
, то
.

Теорема і закон збереження застосовують у завданнях на криволінійний рух, особливо при дії центральних сил.

Для матеріальної точки основний закон динаміки можна у вигляді

Помножуючи обидві частини цього співвідношення ліворуч векторно на радіус-вектор (рис. 3.9), отримуємо

(3.32)

У правій частині цієї формули маємо момент сили щодо точки О. Перетворимо ліву частину, застосувавши формулу похідної векторного твору

Але як векторний добуток паралельних векторів. Після цього отримуємо

(3.33)

Перша похідна за часом моменту кількості руху точки щодо якогось центру дорівнює моменту сили щодо того ж центру.

Приклад обчислення кінетичного моменту системи. Обчислити кінетичний момент щодо точки Про системи, що складається з циліндричного валу масою М = 20 кг і радіусом R = 0.5м і вантажу, що спускається масою m = 60 кг (рисунок 3.12). Вал обертається навколо осі Oz із кутовою швидкістю ω = 10 с -1 .

Малюнок 3.12

; ;

При заданих вхідних даних кінетичний момент системи

Теорема про зміну кінетичного моменту системи.До кожної точки системи докладемо рівнодіючі зовнішніх та внутрішніх сил. Для кожної точки системи можна застосувати теорему про зміну моменту кількості руху, наприклад у формі (3.33)

Підсумовуючи по всіх точках системи та враховуючи, що сума похідних дорівнює похідній від суми, отримаємо

За визначенням кінетичного моменту системи та властивості зовнішніх та внутрішніх сил

тому отримане співвідношення можна у вигляді

Перша похідна за часом кінетичного моменту системи щодо будь-якої точки дорівнює головному моменту зовнішніх сил, які діють систему, щодо тієї ж точки.

3.3.5. Робота сили

1) Елементарна робота сили дорівнює скалярному добутку сили на диференціал радіус вектора точки докладання сили (рис. 3.13)