Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації будь-коли, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведено деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної пошти тощо.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників, і суворо стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.

ЗАДАЧІ C2 ЄДИНОГО ДЕРЖАВНОГО ІСПИТУ З МАТЕМАТИКИ НА ЗНАХОДЖЕННЯ ВІДСТАНИ ВІД ТОЧКИ ДО ПЛОЩИНИ

Кулікова Анастасія Юріївна

студент 5 курсу, кафедра мат. аналізу, алгебри та геометрії ЄІ КФУ, РФ, Республіка Татарстан, м. Єлабуга

Ганєєва Айгуль Рифівна

науковий керівник, канд. пед. наук, доцент ЄІ КФУ, РФ, Республіка Татарстан, м. Єлабуга

У завданнях ЄДІ з математики останніми роками постають завдання на обчислення відстані від точки до площини. У цій статті на прикладі одного завдання розглянуто різні методи знаходження відстані від точки до площини. Для вирішення різних завдань можна використати найбільш підходящий метод. Розв'язавши завдання одним методом, іншим методом можна перевірити правильність отриманого результату.

Визначення.Відстань від точки до площини, що не містить цієї точки, є довжина відрізка перпендикуляра, опущеного з цієї точки на дану площину.

Завдання.Даний прямокутний паралелепіпед АBЗDA 1 B 1 C 1 D 1 зі сторонами AB=2, BC=4, AA 1 =6. Знайдіть відстань від точки Dдо площини АСD 1 .

1 спосіб. Використовуючи визначення. Знайти відстань r( D, АСD 1) від точки Dдо площини АСD 1 (рис. 1).

Рисунок 1. Перший спосіб

Проведемо DH⊥АС, отже по теремі про три перпендикуляри D 1 H⊥АСі (DD 1 H)⊥АС. Проведемо пряму DTперпендикулярно D 1 H. Пряма DTлежить у площині DD 1 H, отже DT⊥AC. Отже, DT⊥АСD 1.

АDCзнайдемо гіпотенузу АСта висоту DH

З прямокутного трикутника D 1 DH знайдемо гіпотенузу D 1 Hта висоту DT

Відповідь: .

2 спосіб.Метод обсягів (використання допоміжної піраміди). Завдання даного типу можна звести до завдання про обчислення висоти піраміди, де висота піраміди є відстанню від точки до площини. Довести, що ця висота і є відстань, яку шукає; знайти обсяг цієї піраміди двома способами та виразити цю висоту.

Зазначимо, що з даному методі немає потреби у побудові перпендикуляра з цієї точки до даної площині.

Прямокутний паралелепіпед - паралелепіпед, всі грані якого є прямокутниками.

AB=CD=2, BC=AD=4, AA 1 =6.

Шуканою відстанню буде висота hпіраміди ACD 1 D, опущеної з вершини Dна основі ACD 1 (рис. 2).

Обчислимо обсяг піраміди ACD 1 Dдвома способами.

Обчислюючи, першим способом за основу приймемо ∆ ACD 1 , тоді

Обчислюючи, другим способом за основу приймемо ∆ ACDтоді

Прирівняємо праві частини останніх двох рівностей, отримаємо

Рисунок 2. Другий спосіб

З прямокутних трикутників АСD, ADD 1 , CDD 1 знайдемо гіпотенузи, використовуючи теорему Піфагора

ACD

Обчислимо площу трикутника АСD 1 , використовуючи формулу Герона

Відповідь: .

3 спосіб. Координатний метод.

Нехай дана точка M(x 0 ,y 0 ,z 0) та площина α , задана рівнянням ax+by+cz+d=0 у прямокутній декартовій системі координат. Відстань від точки Mдо площини можна обчислити за формулою:

Введемо систему координат (рис. 3). Початок координат у точці В;

Пряма АВ- вісь х, Пряма НД- вісь y, Пряма BB 1 - вісь z.

3. Третій спосіб

B(0,0,0), А(2,0,0), З(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Нехай aх+by+ cz+ d=0 – рівняння площини ACD 1 . Підставляючи в нього координати точок A, C, D 1 отримаємо:

Рівняння площини ACD 1 набуде вигляду

Відповідь: .

4 спосіб. Векторний метод.

Введемо базис (рис. 4), .

4. Четвертий спосіб

, Конкурс «Презентація до уроку»

Клас: 11

Презентація до уроку

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі:

• узагальнення та систематизація знань та умінь учнів;
• розвиток умінь аналізувати, порівнювати, робити висновки.

Обладнання:

• мультимедійний проектор;
• комп'ютер;
• аркуші з текстами завдань

ХІД ЗАНЯТТЯ

I. Організаційний момент

ІІ. Етап актуалізації знань(слайд 2)

Повторюємо як визначається відстань від точки до площини

ІІІ. Лекція(Слайди 3-15)

На занятті ми розглянемо різні методи знаходження відстані від точки до площині.

Перший метод: поетапно-обчислювальний

Відстань від точки М до площини:
– дорівнює відстані до площини від довільної точки Р, що лежить на прямій a, яка проходить через точку М і паралельна площині;
– дорівнює відстані до площини від довільної точки Р, що лежить на площині, яка проходить через точку М і паралельна площині.

Розв'яжемо наступні завдання:

№1. У кубі А…D 1 знайти відстань від точки 1 до площині АВ 1 З.

Залишилося обчислити значення довжини відрізка 1 Н.

№2. У правильній шестикутній призмі А…F 1 всі ребра якої рівні 1 знайдіть відстань від точки А до площини DEA 1 .

Наступний метод: метод обсягів.

Якщо обсяг піраміди АВСМ дорівнює V, то відстань від точки М до площини α, що містить ΔАВС, обчислюється за формулою ρ(М; α) = ρ(М; АВС) =
При розв'язанні задач ми використовуємо рівність обсягів однієї фігури, виражені двома різними способами.

Розв'яжемо наступне завдання:

№3. Ребро AD піраміди DABC перпендикулярно площині основи АВС. Знайдіть відстань від А до площини, що проходить через середини ребер АВ, АС та АD, якщо.

При розв'язанні задач координатним методомвідстань від точки М до площини можна обчислити за формулою ρ(М; α) = , де М(х 0 ; у 0 ; z 0), а площина задана рівнянням ax + by + cz + d = 0

Розв'яжемо наступне завдання:

№4. У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань від точки А 1 до площини ВDC 1 .

Введемо систему координат з початком у точці А, вісь у пройде по ребру АВ, вісь х – по ребру АD, вісь z – по ребру АА 1 . Тоді координати точок В (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Складемо рівняння площини, що проходить через точки, D, C 1 .

Тоді – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Отже, ρ =

Наступний метод, який можна використовувати під час вирішення завдань даного типу – метод опорних задач.

Застосування цього методу полягає у застосуванні відомих опорних задач, які формулюються як теореми.

Розв'яжемо наступне завдання:

№5. У одиничному кубі А…D1 знайдіть відстань від точки D1 ​​до площини АВ1С.

Розглянемо застосування Векторний метод.

№6. У одиничному кубі А…D1 знайдіть відстань від точки А1 до площини ВDС1.

Отже, ми розглянули різні способи, які можна використовувати під час вирішення цього типу завдань. Вибір того чи іншого методу залежить від конкретного завдання та ваших уподобань.

IV. Робота у групах

Спробуйте розв'язати завдання різними способами.

№1. Ребро куба А ... D1 дорівнює . Знайдіть відстань від вершини С до площини BDC 1 .

№2. У правильному тетраедрі АВСD з ребром знайдіть відстань від точки А до площини BDC

№3. У правильній трикутній призмі АВСА 1 В 1 С 1 всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від А до площини ВСА 1 .

№4. У правильній чотирикутній піраміді SABCD, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від А до площини SCD.

V. Підсумок уроку, домашнє завдання, рефлексія

Розглянемо в просторі деяку площину і довільну точку M 0 . Виберемо для площини одиничний нормальний вектор n з початкомв деякій точці М 1 ? Тоді (рис. 5.5)

р(М 0, π) = | пр n M 1 M 0 | = | nM 1 M 0 |, (5.8)

оскільки |n| = 1.

Якщо площина π задана в прямокутної системи координат своїм загальним рівнянням Ax + By + Cz + D = 0, то її нормальним вектором є вектор з координатами (A; B; C) і як одиничний нормальний вектор можна вибрати

Нехай (x 0 ; y 0 ; z 0) і (x 1 ; y 1 ; z 1) координати точок M 0 і M 1 . Тоді виконано рівність Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, так як точка M 1 належить площині, і можна знайти координати вектора M 1 M 0 : M 1 M 0 = (x 0 -x 1; y 0 -y 1;z 0 -z 1). Записуючи скалярний добуток nM 1 M 0 в координатній формі та перетворюючи (5.8), отримуємо

оскільки Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Отже, щоб обчислити відстань від точки до площини, потрібно підставити координати точки в загальне рівняння площини, а потім абсолютну величину результату розділити на нормуючий множник, що дорівнює довжині відповідного нормального вектора.

Ця стаття розповідає про визначення відстані від точки до площини. зробимо розбір методом координат, який дозволить знаходити відстань від заданої точки тривимірного простору. Для закріплення розглянемо приклади кількох завдань.

Відстань від точки до площини знаходиться за допомогою відомої відстані від точки до точки, де одна із них задана, а інша – проекція на задану площину.

Коли в просторі задається точка М 1 з площиною , то через точку можна провести перпендикулярну пряму площині. Н 1 є загальною точкою їхнього перетину. Звідси отримуємо, що відрізок М 1 Н 1 – це перпендикуляр, який провели з точки М 1 до площини χ де точка Н 1 – основа перпендикуляра.

Визначення 1

Називають відстань від заданої точки до основи перпендикуляра, який провели із заданої точки до заданої площини.

Визначення може бути записане різними формулюваннями.

Визначення 2

Відстанню від точки до площининазивають довжину перпендикуляра, який провели із заданої точки до заданої площини.

Відстань від точки М 1 до площини χ визначається так: відстань від точки М 1 до площини буде найменшою від заданої точки до будь-якої точки площини. Якщо точка Н 2 розташовується в площині χ і не дорівнює точці Н 2 тоді отримуємо прямокутний трикутник виду М 2 H 1 H 2 , Що є прямокутним, де є катет М 2 H 1 , М 2 H 2 - Гіпотенуза. Отже, звідси випливає, що M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 вважається похилою, яка проводиться з точки М 1 до площини . Ми маємо, що перпендикуляр, проведений із заданої точки до площини, менше похилої, яку проводять із точки до заданої площини. Розглянемо цей випадок малюнку, наведеному нижче.

Відстань від точки до площини – теорія, приклади, рішення

Існує ряд геометричних завдань, розв'язання яких повинні містити відстань від точки до площини. Способи виявлення цього можуть бути різними. Для вирішення застосовують теорему Піфагора або подібність трикутників. Коли за умовою необхідно розрахувати відстань від точки до площини, задані прямокутної системі координат тривимірного простору, вирішують методом координат. Цей пункт розглядає цей метод.

За умовою завдання маємо, що задана точка тривимірного простору з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) з площиною χ необхідно визначити відстань від М 1 до площини χ . Для вирішення застосовується кілька способів розв'язання.

Перший спосіб

Цей спосіб ґрунтується на знаходженні відстані від точки до площини за допомогою координат точки Н 1 , які є основою перпендикуляра з точки М 1 до площини. Далі необхідно обчислити відстань між М1 і Н1.

Для вирішення завдання другим способом застосовують нормальне рівняння заданої площини.

Другий спосіб

За умовою маємо, що Н 1 є основою перпендикуляра, що опустили з точки М 1 на площину χ . Тоді визначаємо координати (x2, y2, z2) точки Н1. Відстань від М 1 до площини χ знаходиться за формулою M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 , де M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і H 1 (x 2 , y 2 , z 2) . Для вирішення необхідно дізнатись координати точки Н 1 .

Маємо, що Н 1 є точкою перетину площини з прямою a , яка проходить через точку М 1 , розташовану перпендикулярно площині . Звідси випливає, що необхідно складання рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно заданій площині. Саме тоді зможемо визначити координати точки Н1. Необхідно провести обчислення координат точки перетину прямої та площини.

Алгоритм знаходження відстані від точки з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) до площини χ :

Визначення 3

• скласти рівняння прямої а, що проходить через точку М 1 і одночасно
• перпендикулярної до площини;
• знайти і обчислити координати (x 2 , y 2 , z 2) точки Н 1 є точками
• перетину прямої a з площиною ;
• обчислити відстань від М 1 до χ використовуючи формулу M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 .

Третій спосіб

У заданій прямокутній системі координат О х у z є площина , тоді отримуємо нормальне рівняння площини виду cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Звідси отримуємо, що відстань M 1 H 1 з точкою M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , проведеної на площину χ , що обчислюється за формулою M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z-p. Ця формула справедлива, оскільки це встановлено завдяки теоремі.

Теорема

Якщо задана точка M 1 (x 1 , y 1 , z 1) у тривимірному просторі, що має нормальне рівняння площини χ виду cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 тоді обчислення відстані від точки до площині M 1 H 1 виробляється з формули M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, так як x = x 1, y = y 1, z = z 1 .

Доведення

Доказ теореми зводиться знаходження відстані від точки до прямої. Звідси отримуємо, що відстань від M 1 до площини - це і є модуль різниці числової проекції радіус-вектора M 1 з відстанню від початку координат до площини . Тоді отримуємо вираз M 1 H 1 = n p n → O M → - p. Нормальний вектор площини має вигляд n → = cos α , cos β , cos γ , а його довжина дорівнює одиниці, n p n → O M → - числова проекція вектора O M → = (x 1 , y 1 , z 1) у напрямку, що визначається вектором n → .

Застосуємо формулу обчислення векторів скалярних. Тоді отримуємо вираз для знаходження вектора виду n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , тому що n → = cos α, cos β, cos γ · z та O M → = (x 1, y 1, z 1). Координатна форма запису набуде вигляду n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , тоді M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. Теорему доведено.

Звідси отримуємо, що відстань від точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) до площини χ обчислюється за допомогою підстановки в ліву частину нормального рівняння площини cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 замість х, у, z координати x 1 , y 1 z 1, Що стосуються точки М 1 , взявши абсолютну величину отриманого значення.

Розглянемо приклади знаходження відстані від точки із координатами до заданої площини.

Приклад 1

Обчислити відстань від точки з координатами M 1 (5, - 3, 10) до площини 2 x - y + 5 z - 3 = 0.

Рішення

Розв'яжемо задачу двома способами.

Перший спосіб почнеться з обчислення напрямного вектора прямої a. За умовою маємо, що задане рівняння 2 x - y + 5 z - 3 = 0 є рівнянням площини загального виду, а n → = (2 1 5) є нормальним вектором заданої площини. Його застосовують як напрямний вектор прямої a , яка перпендикулярна щодо заданої площини. Слід записати канонічне рівняння прямої в просторі, що проходить через M 1 (5 - 3 10) з напрямним вектором з координатами 2 - 1 5 .

Рівняння набуде вигляду x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 .

Слід визначити точки перетину. Для цього ніжно об'єднати рівняння в систему для переходу від канонічного до рівнянь двох прямих, що перетинаються. Цю точку приймемо за Н1. Отримаємо, що

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Після цього необхідно вирішити систему

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Звернемося до правила вирішення системи за Гаусом:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 · 10 + 2 · z = - 1 , x = - 1 - 2 · y = 1

Отримуємо, що H 1 (1, - 1, 0).

Здійснюємо обчислення відстані від заданої точки до площини. Беремо точки M 1 (5, - 3, 10) і H 1 (1, - 1, 0) і отримуємо

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

Другий спосіб вирішення полягає в тому, щоб спочатку привести задане рівняння 2 x - y + 5 z - 3 = 0 до нормального вигляду. Визначаємо нормуючий множник та отримуємо 1 2 2 + (-1) 2 + 5 2 = 1 30 . Звідси виводимо рівняння площини 230 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 . Обчислення лівої частини рівняння проводиться за допомогою підстановки x = 5, y = - 3, z = 10, причому потрібно взяти відстань від M 1 (5, - 3, 10) до 2 x - y + 5 z - 3 = 0 за модулем. Отримуємо вираз:

M 1 H 1 = 2 30 · 5 - 1 30 · - 3 + 5 30 · 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Відповідь: 2 30 .

Коли площина задається одним із способів розділу способи завдання площини, тоді потрібно для початку отримати рівняння площини і обчислювати відстань, що шукається за допомогою будь-якого методу.

Приклад 2

У тривимірному просторі задаються точки з координатами M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1). Обчислити розтягнення від М 1 до площини АВС.

Рішення

Для початку необхідно записати рівняння площини, що проходить через задані три точки з координатами M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1).

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Звідси випливає, що завдання має аналогічне до попереднього рішення. Отже, відстань від точки М 1 до площини АВС має значення 2 30 .

Відповідь: 2 30 .

Знаходження відстані від заданої точки на площині або площині, яким вони паралельні, зручніше, застосувавши формулу M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Звідси отримаємо, що нормальні рівняння площин одержують кілька дій.

Приклад 3

Знайти відстань від заданої точки з координатами M 1 (-3,2,-7) до координатної площини О х у z і площині, заданої рівнянням 2 y - 5 = 0 .

Рішення

Координатна площина О у z відповідає рівнянню виду х = 0. Для площини О у z воно є нормальним. Тому необхідно підставити в ліву частину виразу значення х = - 3 і взяти модуль значення відстані від точки з координатами M 1 (- 3, 2, - 7) до площини. Отримуємо значення, що дорівнює - 3 = 3 .

Після перетворення нормальне рівняння площини 2 y - 5 = 0 набуде вигляду y - 5 2 = 0 . Тоді можна знайти відстань від точки з координатами M 1 (- 3 , 2 , - 7) до площини 2 y - 5 = 0 . Підставивши та обчисливши, отримуємо 2 - 5 2 = 5 2 - 2 .

Відповідь:Відстань від M 1 (- 3 , 2 , - 7) до О у z має значення 3 , а до 2 y ​​- 5 = 0 має значення 5 2 - 2 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter