Обчислення нескінченно малих та великих

Обчислення нескінченно малих- обчислення, вироблені з нескінченно малими величинами, у яких похідний результат сприймається як нескінченна сума нескінченно малих. Обчислення нескінченно малих величин є загальним поняттям для диференціальних та інтегральних обчислень, що є основою сучасної вищої математики. Поняття нескінченно малої величини тісно пов'язане з поняттям межі.

Нескінченно мала

Послідовність a nназивається нескінченно малоїякщо . Наприклад, послідовність чисел – нескінченно мала.

Функція називається нескінченно малої на околиці точки x 0 , якщо .

Функція називається нескінченно малої на нескінченності, якщо або .

Також нескінченно малою є функція, що є різницею функції та її межі, тобто якщо , то f(x) − a = α( x) , .

Нескінченно велика величина

Послідовність a nназивається нескінченно великий, якщо .

Функція називається нескінченно великий на околиці точки x 0 , якщо .

Функція називається нескінченно великий на нескінченності, якщо або .

У всіх випадках нескінченність праворуч від рівності мається на увазі певний знак (або «плюс», або «мінус»). Тобто, наприклад, функція x sin xне є нескінченно великою при .

Властивості нескінченно малих і нескінченно великих

Порівняння нескінченно малих величин

Як порівнювати нескінченно малі величини?
Ставлення нескінченно малих величин утворює так звану невизначеність.

Визначення

Припустимо, у нас є нескінченно малі за одного і того ж величини α( x) та β( x) (або, що не має значення для визначення, нескінченно малі послідовності).

Для обчислення подібних меж зручно використовувати правило Лопіталя.

Приклади порівняння

З використанням Про-Символіки отримані результати можуть бути записані в наступному вигляді x 5 = o(x 3). В даному випадку справедливі записи 2x 2 + 6x = O(x) і x = O(2x 2 + 6x).

Еквівалентні величини

Визначення

Якщо , то нескінченно малі величини α та β називаються еквівалентними ().
Очевидно, що еквівалентні величини є окремим випадком нескінченно малих величин одного порядку малості.

При справедливі такі співвідношення еквівалентності: , , .

Теорема

Межа приватного (відносини) двох нескінченно малих величин не зміниться, якщо одну з них (або обидві) замінити на еквівалентну величину.

Ця теорема має прикладне значення при знаходженні меж (див. приклад).

Приклад використання

Замінюючи sin 2x еквівалентною величиною 2 x, отримуємо

Історичний нарис

Поняття «нескінченно мале» обговорювалося ще в античні часи у зв'язку з концепцією неподільних атомів, однак у класичну математику не увійшло. Знову воно відродилося з появою в XVI столітті «методу неподільних» - розбиття досліджуваної фігури на малі перерізи.

У XVII столітті відбулася алгебраїзація числення нескінченно малих. Вони стали визначатися як числові величини, які менші за всяку кінцеву (ненульову) величину і все ж таки не рівні нулю. Мистецтво аналізу полягало у складанні співвідношення, що містить нескінченно малі (диференціали), та був - у його інтегруванні .

Математики старої школи піддали концепцію нескінченно малихрізкої критики. Мішель Ролль писав, що нове літочислення є « набір геніальних помилок»; Вольтер отруйно зауважив, що це обчислення є мистецтвом обчислювати і точно вимірювати речі, існування яких не може бути доведено. Навіть Гюйгенс зізнавався, що розуміє сенсу диференціалів вищих порядків.

Суперечки в Паризькій Академії наук з питань обґрунтування аналізу набули настільки скандального характеру, що Академія одного разу взагалі заборонила своїм членам висловлюватися на цю тему (в основному це стосувалося Роля та Варіньйона). У 1706 Роль публічно зняв свої заперечення, проте дискусії тривали.

В 1734 відомий англійський філософ, єпископ Джордж Берклі випустив гучний памфлет, відомий під скороченою назвою « Аналіст». Повна його назва: « Аналіст чи міркування, звернене до невіруючого математика, де досліджується, чи ясно сприймаються чи очевидно виводяться предмет, принципи і умовиводи сучасного аналізу, ніж релігійні таїнства і догмати віри».

«Аналіст» містив дотепну і багато в чому справедливу критику числення нескінченно малих. Метод аналізу Берклі вважав незгодним з логікою і писав, що « хоч би як він був корисний, його можна розглядати тільки як якусь здогад; спритну вправність, мистецтво чи скоріше хитрощі, але не як метод наукового доказу». Цитуючи фразу Ньютона про збільшення поточних величин «на початку їх зародження чи зникнення», Берклі іронізує: « це ні кінцеві величини, ні нескінченно малі, ні навіть ніщо. Чи не могли б ми їх назвати примарами спочилих величин? І як взагалі можна говорити про відношення між речами, що не мають величини? мені здається, чіплятися до чогось у богослов'ї».

Неможливо, пише Берклі, уявити миттєву швидкість, тобто швидкість в цю мить і в даній точці, бо поняття руху включає поняття про (кінцеві ненульові) просторі та час.

Як за допомогою аналізу виходять правильні результати? Берклі прийшов до думки, що це пояснюється наявністю в аналітичних висновках взаємокомпенсації кількох помилок і проілюстрував це на прикладі параболи. Цікаво, деякі великі математики (наприклад, Лагранж) погодилися з ним.

Склалася парадоксальна ситуація, коли суворість та плідність у математиці заважали одна одній. Незважаючи на використання незаконних дій з погано певними поняттями, число прямих помилок було напрочуд малим - рятувала інтуїція. І все ж таки все XVIII століття математичний аналіз бурхливо розвивався, не маючи по суті жодного обґрунтування. Ефективність його була разюча і говорила сама за себе, але сенс диференціала, як і раніше, був неясний. Особливо часто плутали нескінченно мале збільшення функції та його лінійну частину.

Протягом усього XVIII століття робилися грандіозні зусилля для виправлення становища, причому у них брали участь кращі математики століття, проте переконливо побудувати фундамент аналізу вдалося лише Коші на початку ХІХ століття. Він суворо визначив базові поняття - межа, збіжність, безперервність, диференціал та ін, після чого актуальні нескінченно малі зникли з науки. Деякі тонкощі, що залишилися, роз'яснив пізніше

Нескінченно малі функції

Функцію %%f(x)%% називають нескінченно малої(б.м.) при %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, якщо при цьому прагненні аргументу межа функції дорівнює нулю.

Поняття б. Функція нерозривно пов'язана із зазначенням про зміну її аргументу. Можна говорити про б. функції при %%a \to a + 0%% і при %%a \to a - 0%%. Зазвичай б.м. функції позначають першими літерами грецького алфавіту %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

Приклади

1. Функція %%f(x) = x%% є б. при %%x \to 0%%, оскільки її межа в точці %%a = 0%% дорівнює нулю. Відповідно до теореми про зв'язок двосторонньої межі з односторонніми ця функція - б.м. як при %%x \to +0%%, так і при %%x \to -0%%.
2. Функція %%f(x) = 1/(x^2)%% - б.м. при %%x \to \infty%% (а також при %%x \to +\infty%% і при %%x \to -\infty%%).

Відмінне від нуля постійне число, хоч би як воно мало за абсолютним значенням, не є б.м. функцією. Для постійних чисел виняток становить лише нуль, оскільки функція %%f(x) \equiv 0%% має нульову межу.

Теорема

Функція %%f(x)%% має у точці %%a \in \overline(\mathbb(R))%% розширеної числової прямої кінцевий межа, що дорівнює числу %%b%%, тоді і тільки тоді, коли ця функція дорівнює сумі цього числа %%b%% та б.м. функції %%\alpha(x)%% при %%x \to a%%, або $$ \exists~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R ) \Leftrightarrow \left(f(x) = b + \alpha(x)\right) \land \left(\lim\limits_(x \to a)(\alpha(x) = 0)\right). $$

Властивості нескінченно малих функцій

За правилами граничного переходу при %%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%%, слідують затвердження:

1. Сума кінцевого числа б. функцій при %%x\toa%% є б.м. при %%x\to a%%.
2. Добуток будь-якого числа б.м. функцій при %%x\toa%% є б.м. при %%x\to a%%.

Твір Б.М. функцій при %%x \to a%% і функції, обмеженої в деякому проколоті околиці %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% точки а, є б.м. при %%x \to a%% функція.

Зрозуміло, що твір постійної функції та б.м. при %%x\toa%% є б.м. функція при %%x\to a%%.

Еквівалентні нескінченно малі функції

Нескінченно малі функції %%\alpha(x), \beta(x)%% при %%x \to a%% називаються еквівалентнимиі пишуться %%\alpha(x) \sim \beta(x)%%, якщо

$$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\limits_(x \to a)(\frac(\beta(x)) )(\alpha(x))) = 1. $$

Теормема про заміну б.м. функцій еквівалентними

Нехай %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% - б.м. функції при %%x \to a%%, причому %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, тоді $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\ limits_(x \to a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

Еквівалентні б.м. функції.

Нехай %%\alpha(x)%% - б.м. функція при %%x \to a%%, тоді

1. %%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
2. %%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
4. %%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
6. %%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1 \sim \frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alpha(x)) - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%

Приклад

$$ \begin(array)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \end(array) $$

Нескінченно великі функції

Функцію %%f(x)%% називають нескінченно великий(б.б.) при %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, якщо при цьому прагненні аргументу функція має нескінченну межу.

Подібно до б.м. функцій поняття б.б. Функція нерозривно пов'язана із зазначенням про зміну її аргументу. Можна говорити про б.б. функції при %%x \to a + 0%% і %%x \to a - 0%%. Термін "нескінченно велика" говорить не про абсолютне значення функції, а про характер його зміни в околиці цієї точки. Ніяке постійне число, хоч би велике воно було за абсолютним значенням, перестав бути нескінченно великим.

Приклади

1. Функція %%f(x) = 1/x%% - б.б. при %%x 0%%.
2. Функція %%f(x) = x%% - б.б. при %%x\to\infty%%.

Якщо виконані умови визначень $$ \begin(array)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)(f( x)) = -\infty, \end(array) $$

то говорять про позитивноюабо негативноюб.б. при %%a%% функції.

Приклад

Функція %%1/(x^2)%% – позитивна б.б. при %%x 0%%.

Зв'язок між б.б. та б.м. функціями

Якщо %%f(x)%% – б.б. при %%x \to a%% функція, то %%1/f(x)%% - б.м.

при %%x\to a%%. Якщо %%\alpha(x)%% - б.м. при %%x \to a%% функція, відмінна від нуля в деякому проколоті околиці точки %%a%%, то %%1/\alpha(x)%% - б.б. при %%x\to a%%.

Властивості нескінченно великих функцій

Наведемо кілька властивостей б. функцій. Ці властивості безпосередньо випливають із визначення б.б. функції та властивостей функцій, що мають кінцеві межі, а також з теореми про зв'язок між б.б. та б.м. функціями.

1. Добуток кінцевого числа б.б. функцій при %%x\toa%% є б.б. функція при %%x\to a%%. Справді, якщо %%f_k(x), k = \overline(1, n)%% - б.б. функції при %%x \to a%%, то в деякому проколоті околиці точки %%a%% %%f_k(x) \ne 0%%, і за теоремою про зв'язок б.б. та б.м.функцій %%1/f_k(x)%% - б.м. функція при %%x\to a%%. Виходить %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% - б.м функція при %%x \to a%%, а %%\displaystyle\prod^(n )_(k = 1)f_k(x)%% - б.б. функція при %%x\to a%%.
2. Добуток б.б. функції при %%x \to a%% і функції, яка в деякому проколоті околиці точки %%a%% за абсолютним значенням більше позитивної постійної, є б.б. функція при %%x\to a%%. Зокрема, твір б. функції при %%x \to a%% та функції, що має в точці %%a%% кінцевий ненульовий межа, буде б.б. функцією при %%x \to a%%.

Сума обмеженої в деякому проколоті околиці точки %%a%% функції і б.б. функції при %%x\toa%% є б.б. функція при %%x\to a%%.

Наприклад, функції %%x - \sin x%% і %%x + \cosx%% - б.б. при %%x\to\infty%%.

3. Сума двох б.б. функцій при %%x\toa%% є невизначеність. Залежно від знака доданків характер зміни такої суми може бути різним.

   Приклад

   Нехай дані функції %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%% - б.б. функції при %%x\to\infty%%. Тоді:

   • %%f(x) + g(x) = 3x%% - б.б. функція при %%x\to\infty%%;
   • %%f(x) + h(x) = 0%% - б.м. функція при %%x\to\infty%%;
   • %%h(x) + v(x) = \sin x%% не має межі при %%x \to \infty%%.

Матеріал з Вікіпедії – вільної енциклопедії

Нескінченно мала- Чисельна функція або послідовність, яка прагне нуля.

Нескінченно велика- числова функція або послідовність, яка прагне нескінченностіпевного знака.

Обчислення нескінченно малих та великих

Обчислення нескінченно малих- обчислення, вироблені з нескінченно малими величинами, у яких похідний результат сприймається як нескінченна суманескінченно малих. Обчислення нескінченно малих величин є загальним поняттям для диференціальнихі інтегральних обчислень, що становлять основу сучасної вищої математики. Поняття нескінченно малої величини тісно пов'язане з поняттям межі.

Нескінченно мала

Послідовність $a\_n$називається нескінченно малої, якщо $\backslash lim\backslash limits\_(n\backslash to\backslash infty)a\_n=0$. Наприклад, послідовність чисел $a\_n=\backslash dfrac(1)(n)$- нескінченно мала.

Функція називається нескінченно малої на околиці точки $x\_0$, якщо $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; x\_0)f(x)=0$.

Функція називається нескінченно малої на нескінченності, якщо $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to+\backslash infty)f(x)=0$або $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to-\backslash infty)f(x)=0$.

Також нескінченно малою є функція, що є різницею функції та її межі, тобто якщо $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to+\backslash infty)f(x)=a$, то $f(x)-a=\backslash alpha(x)$, $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to+\backslash infty)(f(x)-a)=0$.

Підкреслимо, що нескінченно малу величину слід розуміти як змінну величину(функцію), яка лише у процесі своєї зміни[при прагненні $x$до $a$(з $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)f(x)=0$)] робиться менше довільного числа ( $\backslash varepsilon$). Тому, наприклад, твердження типу «одна мільйонна є нескінченно мала величина» не так: числі[Абсолютне значення] не має сенсу говорити, що воно нескінченно мале.

Нескінченно велика

У всіх наведених нижче формулах нескінченність праворуч від рівності мається на увазі певного знака (або "плюс", або "мінус"). Тобто, наприклад, функція $x\backslash sin\; x$, необмежена з обох сторін, не є нескінченно великий при $x\backslash to+\backslash infty$.

Послідовність $a\_n$називається нескінченно великий, якщо $\backslash lim\backslash limits\_(n\backslash to\backslash infty)a\_n=\backslash infty$.

Функція називається нескінченно великий на околиці точки $x\_0$, якщо $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; x\_0)f(x)=\backslash infty$.

Функція називається нескінченно великий на нескінченності, якщо $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to+\backslash infty)f(x)=\backslash infty$або $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to-\backslash infty)f(x)=\backslash infty$.

Як і у випадку нескінченно малих, необхідно зазначити, що жодне окремо взяте значення нескінченно великої величини не може бути назване як «нескінченно велике» - нескінченно велика величина - це функція, яка лише у процесі своєї зміниможе стати більше довільно взятого числа.

Властивості нескінченно малих

• Алгебраїчна сума кінцевого числа нескінченно малих функцій є нескінченно мала функція.
• Твір нескінченно малих – нескінченно мала.
• Твір нескінченно малої послідовності на обмежену – нескінченно мала. Як наслідок, твір нескінченно малої на константу - нескінченно мала.
• Якщо $a\_n$- нескінченно мала послідовність, що зберігає знак, то $b\_n=\backslash dfrac(1)(a\_n)$- нескінченно велика послідовність.

Порівняння нескінченно малих

Визначення

Допустимо, у нас є нескінченно малі при одному і тому ж $x\backslash to\; a$величини $\backslash alpha(x)$і $\backslash beta(x)$(або, що важливо для визначення, нескінченно малі послідовності).

• Якщо $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)\backslash dfrac(\backslash beta)(\backslash alpha)=0$, то $\backslash beta$- нескінченно мала вищого порядку малостічим $\backslash alpha$. Позначають $\backslash beta=o(\backslash alpha)$або $\backslash beta\backslash prec\backslash alpha$.
• Якщо $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)\backslash dfrac(\backslash beta)(\backslash alpha)=\backslash infty$, то $\backslash beta$- нескінченно мала нижчого порядку малостічим $\backslash alpha$. Відповідно $\backslash alpha=o(\backslash beta)$або $\backslash alpha\backslash prec\backslash beta$.
• Якщо $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)\backslash dfrac(\backslash beta)(\backslash alpha)=c$(межа кінцева і не дорівнює 0), то $\backslash alpha$і $\backslash beta$є нескінченно малими величинами одного порядку малості. Це позначається як $\backslash alpha\backslash asymp\backslash beta$або як одночасне виконання відносин $\backslash beta=O(\backslash alpha)$і $\backslash alpha=O(\backslash beta)$. Слід зазначити, що у деяких джерелах можна зустріти позначення, коли однаковість порядків записують як лише одного відношення «про велике», що є вільним використанням даного символу.
• Якщо $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)\backslash dfrac(\backslash beta)(\backslash alpha^m)=c$(межа кінцева і не дорівнює 0), то нескінченно мала величина $\backslash beta$має $m$-й порядок малостіщодо нескінченно малої $\backslash alpha$.

Для обчислення подібних меж зручно використовувати правило Лопіталя.

Приклади порівняння

• При $(x\backslash to\; 0)$величина $x^5$має вищий порядок дещо відносно $x^3$, так як $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(x^5)(x^3)=0$. З іншого боку, $x^3$має нижчий порядок малості щодо $x^5$, так як $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(x^3)(x^5)=\backslash infty$.

З використанням Про-символікиотримані результати можуть бути записані у такому вигляді $x^5=o(x^3)$.

• $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(2x^2+6x)(x)=\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(2x+6)(1)=\backslash lim\backslash limits\_(x\; \backslash to\; 0)(2x+6)=6,$тобто при $x\backslash to\; 0$функції $f(x)=2x^2+6x$і $g(x)=x$є нескінченно малими величинами одного порядку.

В даному випадку справедливі записи $2x^2+6x\; =\; O(x)$і $x\; =\; O(2x^2+6x).$

• При $(x\backslash to\; 0)$нескінченно мала величина $2x^3$має третій порядок малості щодо $x$, оскільки $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(2x^3)(x^3)=2$, нескінченно мала $0(,)7x^2$- другий порядок, нескінченно мала $\backslash sqrt(x)$- Порядок 0,5.

Еквівалентні величини

Визначення

Якщо $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)\backslash dfrac(\backslash beta)(\backslash alpha)=1$, то нескінченно малі або нескінченно великі величини $\backslash alpha$і $\backslash beta$називаються еквівалентними(позначається як $\backslash alpha\backslash thicksim\backslash beta$).

Очевидно, що еквівалентні величини є окремим випадком нескінченно малих (нескінченно великих) величин одного порядку малості.

При $$справедливі такі співвідношення еквівалентності (як наслідки з так званих чудових меж):

• $\backslash sin\backslash alpha(x)\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $\backslash mathrm(tg)\backslash ,\backslash alpha(x)\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $\backslash arcsin(\backslash alpha(x))\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $\backslash mathrm(arctg)\backslash ,\backslash alpha(x)\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $\backslash log\_a(1+\backslash alpha(x))\backslash thicksim\backslash alpha(x)\backslash cdot\backslash frac(1)(\backslash ln(a))$, де $a>0$;
• $\backslash ln(1+\backslash alpha\; (x))\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $a^(\backslash alpha(x))-1\backslash thicksim\backslash alpha(x)\backslash cdot\backslash ln(a)$, де $a>0$;
• $e^(\backslash alpha(x))-1\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $1-\backslash cos(\backslash alpha(x))\backslash thicksim\backslash frac(\backslash alpha^2(x))(2);$
• $(1+\backslash alpha(x))^\backslash mu-1\backslash thicksim\backslash mu\backslash cdot\backslash alpha(x),\backslash quad\backslash mu\backslash in\backslash R$тому використовують вираз:

$\backslash sqrt[n](1+\backslash alpha(x))\backslash approx\backslash frac(\backslash alpha(x))(n)+1$, де $\backslash alpha(x)\backslash xrightarrow()0$.

Теорема

Межа приватного (відносини) двох нескінченно малих або нескінченно великих величин не зміниться, якщо одну з них (або обидві) замінити на еквівалентну величину.

Ця теорема має прикладне значення при знаходженні меж (див. приклад).

Приклади використання

• Знайти $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(\backslash sin\; 2x)(x).$

Замінюючи $\backslash sin\; 2x$еквівалентною величиною $2x$, отримуємо $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(\backslash sin\; 2x)(x)=\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(2x)(x)=2.$

• Знайти $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\backslash frac(\backslash pi)(2))\backslash dfrac(\backslash sin(4\backslash cos\; x))(\backslash cos\; x).$

Так як $\backslash sin(4\backslash cos\; x)\backslash thicksim(4\backslash cos\; x)$при $x\backslash to\backslash dfrac(\backslash pi)(2)$отримаємо $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; \backslash frac(\backslash pi)(2))\backslash dfrac(\backslash sin(4\backslash cos\; x))(\backslash cos\; x)=\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\backslash frac(\backslash pi)\; (2))\; dfrac\; (4\; cos\; x)\; (cos\; x)\; =\; 4.$

• Обчислити $\backslash sqrt(1(,)2)$.

Використовуючи формулу : $\backslash sqrt(1(,)2)\backslash approx\; 1+\backslash frac(0(,)2)(2)=1(,)1$, тоді як, використовуючи калькулятор(точніші обчислення), отримали: $\backslash sqrt(1(,)2)\backslash approx\; 1(,)095$, таким чином помилка склала 0,005 (менше 1 %), тобто метод корисний завдяки своїй простоті при грубій оцінці арифметичних коренівблизьких до одиниці.

Історія

Математики старої школи піддали концепцію нескінченно малихрізкої критики. Мішель Рольписав, що нове літочислення є « набір геніальних помилок»; Вольтеротруйно зауважив, що це обчислення є мистецтвом обчислювати і точно вимірювати речі, існування яких не може бути доведено. Навіть Гюйгенсзізнавався, що не розуміє сенсу диференціалів вищих порядків.

Як іронію долі можна розглядати появу в середині XX століття нестандартного аналізу, Який довів, що початкова точка зору - актуальні нескінченно малі - також несуперечлива і могла б бути покладена в основу аналізу. З появою нестандартного аналізу зрозуміли, чому математики XVIII століття, виконуючи незаконні з погляду класичної теорії дії, тим щонайменше отримували правильні результати.

Див. також

Напишіть відгук про статтю "Безмежно мала і нескінченно велика"

Примітки

Література

• // Енциклопедичний словник Брокгауза та Єфрона: у 86 т. (82 т. та 4 дод.). - СПб. , 1890-1907.

Уривок, що характеризує нескінченно мала і нескінченно велика

— Ну, мій друже, я боюся, що ви з ченцем даремно витрачаєте свій порох, — глузливо, але лагідно сказав князь Андрій.
- Аh! mon ami. [А! Друг мій.] Я тільки молюся Богові і сподіваюся, що Він почує мене. Andre, - сказала вона несміливо після хвилини мовчання, - у мене до тебе є велике прохання.
- Що, мій друже?
- Ні, обіцяй мені, що ти не відмовиш. Це тобі не буде коштувати жодної праці, і нічого негідного тебе в цьому не буде. Тільки ти мене втішити. Обіцяй, Андрюша, - сказала вона, сунувши руку в рідикюль і в ньому тримаючи щось, але ще не показуючи, начебто те, що вона тримала, і становила предмет прохання і ніби до отримання обіцянки у виконанні прохання вона не могла вийняти з ридикюля це щось.
Вона несміливо, благаючим поглядом дивилася на брата.
– Якби це й коштувало мені величезної праці… – начебто здогадуючись, у чому була справа, відповідав князь Андрій.
- Ти що хочеш, думай! Я знаю, ти такий самий, як і mon pere. Що хочеш, думай, але для мене це зроби. Зроби, будь ласка! Його ще батько мого батька, наш дідусь, носив у всіх війнах... - Вона все ще не діставала того, що тримала, з рідікюля. – То ти обіцяєш мені?
- Звичайно, в чому річ?
– Andre, я тебе благословлю чином, і ти обіцяй мені, що ніколи його не зніматимеш. Обіцяєш?
- Якщо він не в два пуди і шиї не відтягне ... Щоб тобі зробити задоволення ... - сказав князь Андрій, але в ту ж секунду, помітивши засмучений вираз, яке набуло обличчя сестри при цьому жарті, він покаявся. - Дуже радий, право дуже радий, мій друже, - додав він.
- Проти твоєї волі Він врятує і помилує тебе і зверне тебе до Себе, тому що в Ньому одному і істина і заспокоєння, - сказала вона тремтячим від хвилювання голосом, з урочистим жестом тримаючи в обох руках перед братом овальний старовинний образ Спасителя з чорним ликом у срібної ризи на срібному ланцюжку дрібної роботи.
Вона перехрестилася, поцілувала і подала його Андрію.
– Будь ласка, Andre, для мене…
З великих очей її світилося проміння доброго і боязкого світла. Очі ці освітлювали все болюче, худе обличчя і робили його чудовим. Брат хотів узяти образ, але вона зупинила його. Андрій зрозумів, перехрестився та поцілував зразок. Обличчя його в один і той же час було ніжне (він був зворушений) і глузливо.
– Merci, mon ami. [Дякую, мій друже.]
Вона поцілувала його в лоб і знову сіла на диван. Вони мовчали.
- Так я тобі говорила, Andre, будь добрий і великодушний, яким ти завжди був. Не суди строго Lise, - почала вона. - Вона така мила, така добра, і становище її дуже важко тепер.
- Здається, я нічого не казав тобі, Маша, щоб я дорікав у чомусь свою дружину або був незадоволений нею. Навіщо ти все це кажеш мені?
Княжна Мар'я почервоніла плямами і замовкла, ніби вона почувала себе винною.
– Я нічого не казав тобі, а тобі вже казали. І це мені сумно.
Червоні плями ще дужче виступили на лобі, шиї та щоках княжни Марії. Вона хотіла сказати, що щось і не могла вимовити. Брат угадав: маленька княгиня по обіді плакала, казала, що передчує нещасні пологи, боїться їх, і скаржилася на свою долю, на свекра та на чоловіка. Після сліз вона заснула. Князю Андрієві шкода стало сестру.
- Знай одне, Маша, я ні в чому не можу дорікнути, не дорікав і ніколи не дорікну моєї дружини, і сам ні в чому себе не можу дорікнути щодо неї; і це завжди так буде, за будь-яких обставин. Але якщо ти хочеш знати правду… хочеш знати, чи я щасливий? Ні. Чи щаслива вона? Ні. Чому це? Не знаю…
Говорячи це, він підвівся, підійшов до сестри і, нахилившись, поцілував її в чоло. Прекрасні очі його світилися розумним і добрим, незвичним блиском, але він дивився не на сестру, а в темряву відчинених дверей через її голову.
- Ходімо до неї, треба попрощатися. Або йди одна, розбуди її, а я зараз прийду. Петрушка! - крикнув він камердинеру, - іди сюди, забирай. Це в сидінні, це на правий бік.
Княжна Марія встала і попрямувала до дверей. Вона зупинилась.
- Andre, si vous avez. la foi, vous vous seriez adresse a Dieu, pour qu'il vous donne l'amour, що vous ne sentez pas et votre до aurait ete exaucee. [Якби ти мав віру, то звернувся б до Бога з молитвою, щоб Він дарував тобі любов, якої ти не відчуваєш, і твоя молитва була б почута.]
- Так, хіба це! – сказав князь Андрій. - Іди, Маша, я зараз прийду.
По дорозі до кімнати сестри, в галереї, що з'єднувала один будинок з іншим, князь Андрій зустрів мило усміхнену m lle Bourienne, яка вже втретє цього дня з захопленою і наївною усмішкою траплялася йому в відокремлених переходах.
– Ah! je vous croyais chez vous, [Ах, я думала, ви у себе,] - сказала вона, чомусь червоніючи і опускаючи очі.
Князь Андрій суворо подивився на неї. На обличчі князя Андрія раптом виразилося озлоблення. Він нічого не сказав їй, але глянув на її чоло і волосся, не дивлячись у вічі, так зневажливо, що француженка почервоніла і пішла, нічого не сказавши.
Коли він підійшов до кімнати сестри, княгиня вже прокинулася, і її веселий голосок, що поспішав одне слово за іншим, почувся з відчинених дверей. Вона говорила, ніби після довгої помірності їй хотілося винагородити втрачений час.
- Non, mais figurez vous, la vieille comtesse Zouboff avec de fausses boucles et la bouche pleine de fausses dents, comme si elle voulait defier les annees... ніби знущаючись з років…] Xa, xa, xa, Marieie!
Точно таку ж фразу про графину Зубову і той же сміх уже разів п'ять чув при сторонніх князь Андрій від своєї дружини.
Він тихо увійшов до кімнати. Княгиня, товстенька, рум'яна, з роботою в руках, сиділа на кріслі і говорила безперестанку, перебираючи петербурзькі спогади і навіть фрази. Князь Андрій підійшов, погладив її по голові і спитав, чи вона відпочила від дороги. Вона відповіла і продовжувала ту саму розмову.
Коляска шість стояла біля під'їзду. Надворі була темна осіння ніч. Кучер не бачив дишла коляски. На ганку метушилися люди з ліхтарями. Величезна хата горіла вогнями крізь свої великі вікна. У передній юрбилися дворові, що хотіли попрощатися з молодим князем; у залі стояли всі домашні: Михайло Іванович, m lle Bourienne, князівна Марія та княгиня.
Князь Андрій був покликаний у кабінет до батька, який віч-на-віч хотів попрощатися з ним. Усі чекали їхнього виходу.
Коли князь Андрій увійшов до кабінету, старий князь у старих окулярах і в своєму білому халаті, в якому він нікого не приймав, крім сина, сидів за столом і писав. Він озирнувся.
- Їдеш? – І він знову почав писати.
– Прийшов попрощатися.
- Цілуй сюди, - він показав щоку, - дякую, дякую!
– За що ви мені дякуєте?
- За те, що не прострочуєш, за спідницю баби не тримаєшся. Служба насамперед. Спасибі спасибі! - І він продовжував писати, так що бризки летіли з тріскаючого пера. - Якщо треба сказати що, кажи. Ці дві справи можу робити разом, – додав він.
– Про дружину… Мені й так соромно, що я вам її на руки лишаю…
- Що брешеш? Говори, що треба.
– Коли дружині буде час народити, пошліть до Москви за акушером… Щоб він тут був.
Старий князь зупинився і, ніби не розуміючи, дивився строгими очима на сина.
– Я знаю, що ніхто допомогти не може, коли натура не допоможе, – казав князь Андрій, мабуть, збентежений. - Я згоден, що і з мільйона випадків один буває нещасний, але це її моя фантазія. Їй наговорили, вона уві сні бачила, і вона боїться.
– Гм… гм… – промовив старий князь, продовжуючи дописувати. – Зроблю.
Він розкреслив підпис, раптом швидко повернувся до сина і засміявся.
- Погано, а?
– Що погано, батюшку?
- Дружина! - коротко і значно сказав старий князь.
– Я не розумію, – сказав князь Андрій.
- Та нічого робити, друже, - сказав князь, - вони всі такі, не розженешся. Ти не бійся; нікому не скажу; а ти знаєш.
Він схопив його за руку своїм кістлявим маленьким пензлем, потряс її, глянув прямо в обличчя сина своїми швидкими очима, які, здавалося, наскрізь бачили людину, і знову засміявся своїм холодним сміхом.
Син зітхнув, зізнаючись цим зітханням у тому, що батько зрозумів його. Старий, продовжуючи складати та друкувати листи, зі своєю звичною швидкістю, схоплював і кидав сургуч, друк та папір.
- Що робити? Гарна! Я все зроблю. Ти будь спокій, – говорив він уривчасто під час друкування.
Андрій мовчав: йому й приємно, і неприємно було, що батько зрозумів його. Старий підвівся і подав листа синові.
- Слухай, - сказав він, - про дружину не турбуйся: що можна зробити, то буде зроблено. Тепер слухай: листа Михайлу Іларіоновичу віддай. Я пишу, щоб він тебе у добрі місця вживав і довго ад'ютантом не тримав: погана посада! Скажи ти йому, що я його пам'ятаю та люблю. Та напиши, як він тебе прийме. Коли буде добрий, служи. Миколи Андреїча Болконського син із милості служити ні в кого не буде. Ну, тепер іди сюди.
Він говорив такою скоромовкою, що не закінчував половини слів, але син звик розуміти його. Він підвів сина до бюро, відкинув кришку, висунув ящик і вийняв списаний його великим, довгим і стислим почерком зошит.
- Мабуть, мені перш за тебе померти. Знай, тут мої записки, їхньому государю передати після моєї смерті. Тепер тут – ось ломбардний квиток та лист: це премія тому, хто напише історію суворовських воєн. Переслати до академії. Тут мої ремарки, після мене читай собі, знайдеш користь.
Андрій не сказав батькові, що, мабуть, він проживе ще довго. Він розумів, що цього не треба говорити.
- Все виконаю, батюшка, - сказав він.
- Ну, тепер прощай! - Він дав поцілувати синові свою руку і обійняв його. – Пам'ятай одне, князю Андрію: коли тебе вб'ють, мені старому боляче буде… – Він несподівано замовк і раптом крикливим голосом продовжував: – а коли дізнаюся, що ти повівся не як син Миколи Болконського, мені буде… соромно! – скрикнув він.
- Цього ви могли б не говорити мені, батюшка, - посміхаючись, сказав син.
Старий замовк.
- Ще я хотів просити вас, - вів далі князь Андрій, - якщо мене вб'ють і якщо в мене буде син, не відпускайте його від себе, як я вам учора казав, щоб він виріс у вас... будь ласка.
– Дружині не віддавати? – сказав старий і засміявся.
Вони мовчки стояли один проти одного. Швидкі очі старого прямо були спрямовані в синові очі. Щось здригнулося в нижній частині обличчя старого князя.
– Попрощалися… йди! - Раптом сказав він. - Іди! - закричав він сердитим і гучним голосом, відчиняючи двері кабінету.
– Що таке, що? - питали княгиня і княжна, побачивши князя Андрія і на хвилину висунуту фігуру старого, що кричав сердитим голосом, у білому халаті, без перуки і в старих окулярах.
Князь Андрій зітхнув і нічого не відповів.
- Ну, - сказав він, звернувшись до дружини.
І це «ну» звучало холодним глузуванням, ніби він казав: «Тепер робіть ви ваші штуки».
- Andre, deja! [Андрію, вже!] – сказала маленька княгиня, бліднучи і зі страхом дивлячись на чоловіка.
Він обійняв її. Вона скрикнула і впала на його плече.
Він обережно відвів плече, на якому вона лежала, зазирнув у її обличчя та дбайливо посадив її на крісло.
- Adieu, Marieie, - сказав він тихо сестрі, поцілувався з нею рука в руку і швидкими кроками вийшов з кімнати.
Княгиня лежала в кріслі, бо Бур'єн терла їй віскі. Княжна Мар'я, підтримуючи невістку, із заплаканими прекрасними очима, все ще дивилася у двері, в які вийшов князь Андрій, і хрестила його. З кабінету чути були, як постріли, що часто повторювалися сердиті звуки старого сморкання. Щойно князь Андрій вийшов, двері кабінету швидко відчинилися і виглянула строга постать старого в білому халаті.
- Поїхав? Ну і добре! - Сказав він, сердито подивившись на непритомну маленьку княгиню, докірливо похитав головою і зачинив двері.

У жовтні 1805 року російські війська займали села та міста ерцгерцогства Австрійського, і ще нові полки приходили з Росії і, обтяжуючи постом жителів, розташовувалися біля фортеці Браунау. У Браунау була найголовніша квартира головнокомандувача Кутузова.
11 го жовтня 1805 року один з піхотних полків, що тільки-но прийшли до Браунау, чекаючи огляду головнокомандувача, стояв за півмилі від міста. Незважаючи на неросійську місцевість і обстановку (фруктові сади, кам'яні огорожі, черепичні дахи, гори, що виднілися вдалині), на неросійський народ, що з цікавістю дивився на солдатів, полк мав такий самий вигляд, який мав всякий російський полк, що готувався до огляду десь у Росії.

Визначення та властивості нескінченно малих та нескінченно великих функцій у точці. Докази властивостей та теорем. Зв'язок між нескінченно малими та нескінченно великими функціями.

Зміст

Див. також: Нескінченно малі послідовності - визначення та властивості
Властивості нескінченно великих послідовностей

Визначення нескінченно малої та нескінченно великої функції

Нехай x 0 є кінцева чи нескінченно віддалена точка: ∞ , -∞ або +∞ .

Визначення нескінченно малої функції
Функція α (x)називається нескінченно малоїу x прагненні x 0 0 , і він дорівнює нулю:
.

Визначення нескінченно великої функції
Функція f (x)називається нескінченно великийу x прагненні x 0 якщо функція має межу при x → x 0 , і він дорівнює нескінченності:
.

Властивості нескінченно малих функцій

Властивість суми, різниці та твори нескінченно малих функцій

Сума, різницю та твіркінцевого числа нескінченно малих функцій при x → x 0 є нескінченно малою функцією при x → x 0 .

Ця властивість є прямим наслідком арифметичних властивостей меж функції.

Теорема про створення обмеженої функції на нескінченно малу

Добуток функції, обмеженоїна деякому проколоті околиці точки x 0 , на нескінченно малу, при x → x 0 , є нескінченно малою функцією при x → x 0 .

Властивість про представлення функції у вигляді суми постійної та нескінченно малої функції

Для того, щоб функція f (x)мала кінцеву межу, необхідно і достатньо, щоб
,
де - нескінченно мала функція при x → x 0 .

Властивості нескінченно великих функцій

Теорема про суму обмеженої функції та нескінченно великий

Сума або різниця обмеженої функції, на деякому проколоті околиці точки x 0 , і нескінченно великий функції, за x → x 0 , є нескінченно великою функцією при x → x 0 .

Теорема про приватне відділення обмеженої функції на нескінченно велику

Якщо функція f (x)є нескінченно великий при x → x 0 , а функція g (x)- обмежена на деякому проколоті околиці точки x 0 , то
.

Теорема про приватну від поділу обмеженої знизу функції на нескінченно малу

Якщо функція , на деякому проколоті околиці точки , по абсолютній величині обмежена знизу позитивним числом:
,
а функція є нескінченно малою при x → x 0 :
,
і існує проколота околиця точки, на якій, то
.

Властивість нерівностей нескінченно великих функцій

Якщо функція є нескінченно великий при:
,
і функції і , на деякому проколоті околиці точки задовольняють нерівності:
,
то функція також нескінченно велика при:
.

Ця властивість має два окремі випадки.

Нехай, на деякому проколоті околиці точки, функції і задовольняють нерівності:
.
Тоді якщо, то і.
Якщо, то й.

Зв'язок між нескінченно великими та нескінченно малими функціями

З двох попередніх властивостей випливає зв'язок між нескінченно великими та нескінченно малими функціями.

Якщо функція є нескінченно великою при , то функція є нескінченно малою при .

Якщо функція є нескінченно малою при , і , то функція є нескінченно великою при .

Зв'язок між нескінченно малою та нескінченно великою функцією можна виразити символічним чином:
, .

Якщо нескінченно мала функція має певний знак при , тобто позитивна (або негативна) на деякому проколоті околиці точки , то можна записати так:
.
Так само якщо нескінченно велика функція має певний знак при , то пишуть:
, або .

Тоді символічний зв'язок між нескінченно малими та нескінченно великими функціями можна доповнити такими співвідношеннями:
, ,
, .

Додаткові формули, що зв'язують символи нескінченності, можна знайти на сторінці
«Нескінченно віддалені точки та їх властивості».

Доказ властивостей та теорем

Доказ теореми про створення обмеженої функції на нескінченно малу

Для доказу цієї теореми ми скористаємося . А також використовуємо властивість нескінченно малих послідовностей, згідно з якими

Нехай функція є нескінченно малою при , а функція обмежена в деякій проколоті околиці точки :
при .

Оскільки існує межа, існує проколота околиця точки, де визначено функція. Нехай є перетин околиць і . Тоді у ньому визначено функції і .

.
,
a послідовність є нескінченно малою:
.

Скористаємося тим, що добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу є нескінченно мала послідовність:
.
.

Теорему доведено.

Доказ якості представлення функції як суми постійної і нескінченно малої функції

Необхідність. Нехай функція має у точці кінцеву межу
.
Розглянемо функцію:
.
Використовуючи властивість межі різниці функцій, маємо:
.
Тобто нескінченно мала функція при .

Достатність. Нехай і . Застосуємо властивість межі суми функцій:
.

Властивість доведено.

Доказ теореми про суму обмеженої функції та нескінченно великий

Для доказу теореми, ми скористаємося визначенням межі функції за Гейне

при .

Оскільки існує межа , існує проколота околиця точки , де функція визначена. Нехай є перетин околиць і . Тоді у ньому визначено функції і .

Нехай є довільна послідовність, що сходить до елементи якої належать околиці:
.
Тоді визначено послідовності та . Причому послідовність є обмеженою:
,
a послідовність є нескінченно великою:
.

Оскільки сума або різниця обмеженої послідовності та нескінченно великий
.
Тоді, згідно з визначенням межі послідовності за Гейном,
.

Теорему доведено.

Доказ теореми про приватне відділення обмеженої функції на нескінченно велику

Для доказу ми скористаємося визначенням межі функції по Гейні. Також використовуємо властивість нескінченно великих послідовностей, згідно з яким є нескінченно малою послідовністю.

Нехай функція є нескінченно великий при , а функція обмежена в деякій проколоті околиці точки :
при .

Оскільки функція нескінченно велика, то існує проколота околиця точки, на якій вона визначена і не звертається в нуль:
при .
Нехай є перетин околиць і . Тоді у ньому визначено функції і .

Нехай є довільна послідовність, що сходить до елементи якої належать околиці:
.
Тоді визначено послідовності та . Причому послідовність є обмеженою:
,
a послідовність є нескінченно великою з відмінними від нуля членами:
, .

Оскільки приватне від розподілу обмеженої послідовності на нескінченно велику є нескінченно малою послідовністю, то
.
Тоді, згідно з визначенням межі послідовності за Гейном,
.

Теорему доведено.

Доказ теореми про приватне від поділу обмеженої знизу функції на нескінченно малу

Для доказу цієї властивості, ми скористаємося визначенням межі функції за Гейном. Також використовуємо властивість нескінченно великих послідовностей, за яким є нескінченно великою послідовністю.

Нехай функція є нескінченно малою при , а функція обмежена по абсолютній величині знизу позитивним числом, на деякій проколоті околиці точки :
при .

За умовою існує проколота околиця точки, на якій функція визначена і не звертається в нуль:
при .
Нехай є перетин околиць і . Тоді у ньому визначено функції і . Причому та .

Нехай є довільна послідовність, що сходить до елементи якої належать околиці:
.
Тоді визначено послідовності та . Причому послідовність є обмеженою знизу:
,
а послідовність є нескінченно малою з відмінними від нуля членами:
, .

Оскільки приватне від розподілу обмеженої знизу послідовності на нескінченно малу є нескінченно великою послідовністю, то
.
І нехай є проколота околиця точки, на якій
при .

Візьмемо довільну послідовність, що сходить до. Тоді, починаючи з деякого номера N, елементи послідовності будуть належати цій околиці:
при .
Тоді
при .

Відповідно до визначення межі функції за Гейном,
.
Тоді за якістю нерівностей нескінченно великих послідовностей,
.
Оскільки послідовність довільна, що сходить до , то визначення межі функції по Гейне,
.

Властивість доведено.

Використана література:
Л.Д. Кудрявці. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 2003.

Див. також: