Розрахунок стрижнів при позацентровому стисканні-розтягуванні
приклад 1.
Чавунний короткийстрижень стискається поздовжньою силою F= 600 кН, доданої у точці В.
Потрібно:
1. Визначити положення нейтральної лінії;
2. Обчислити найбільші розтягувальні та найбільші стискаючі напруги.
Рішення.
1. Зобразимо переріз у масштабі.
2. Визначимо становище основних центральних осей. Перетин має віську симетрії, тому вісь Yможемо показати одразу.
3. Визначимо положення центру ваги фігури (фігура складається з двох квадратів). Виберемо довільну допоміжну систему координат.
х 1 З 1 Y- Допоміжна система координат;
визначимо координати точок З 1 та З 2 у системі х 1 З 1 Y.
А 1 , А 2 – площа першого та другого квадрата відповідно.
А = А 1 - А 2- Площа всієї фігури.
А 1 = b 2 = 2500 см2
З (хз = 0; ус = -5,89) - положення центру тяжіння у допоміжній системі координат х 1 З 1 Y.
Ось Xпроводимо перпендикулярно до осі Yчерез точку З.
Оскільки переріз симетричний, то XС Y- Головна центральна система координат.
4. Визначимо основні центральні моменти інерції та квадрати основних радіусів перерізу.
де а 1 = 5,89см - відстань між осями Хі х 1 ;
а 2 = 5,89 + 17,68 = 23,57 - відстань між осями Хі х 2 .
5. Визначимо координати точки В(точки докладання сили) у головній центральній системі координат х із Су с.
6. Визначимо положення нейтральної лінії.
,
де х N, у N – координати точок нейтральної лінії.
У цій задачі
Нейтральна лінія проходить через точку ( х N=0;у N = 11,36) паралельно осі хс.
7. У даній задачі на стрижень діє стискаюча сила, тому нормальні напруги в будь-якій точці поперечного перерізу визначатимемо за формулою
де х, у- Це координати точки, в якій вважають напруги.
8. Найбільша стискаюча напруга досягається в точці В. Ця точка, найбільш віддалена від нейтральної лінії області стиснення.
Найбільша розтягуюча напруга досягається в точках Доі Ly K = у L = 23,57 див.
Відповідь:
, 
приклад 2.
Побудувати ядро перетину.
Рішення.
1. Визначаємо тип контуру ядра перерізу.
2. Визначаємо число вершин багатокутника, що вийшов усередині контуру (тобто число граничних дотичних до перерізу стрижня). 6 граничних дотичних – 6 вершин.
3. Визначаємо становище основних центральних осей. Перетин має горизонтальну віссю симетрії, тому вісь « Х» можемо показати одразу. ХОY 0 – допоміжна система координат (вісь « Y 0» проводимо довільно).
Перетин складається з двох простих фігур (прямокутника та квадрата). Визначимо координати центрів тяжіння З 1 та З 2 у довільній системі координат ХОY 0 .
Центр тяжкості прямокутника.
Центр важкості квадрата.
Площа прямокутника.
Площа квадрата.
(так як З 1 та З 2 лежать на осі).
Центр тяжкості всього перетину у системі координат ХОY 0 має координати З(0,015; 0). (Покажемо на кресленні).
Ось Yпроводимо перпендикулярно до осі Y 0 через центр тяжіння З.
Оскільки переріз симетричний, то вісь симетрії та вісь їй перпендикулярна, що проходить через центр тяжкості, утворюють головну центральну систему координат.
X, Y- Головні центральні осі перерізу.
4. Визначаємо геометричні характеристики перерізу щодо основних центральних осей.
Обчислюємо головні центральні моменти інерції J x і J y.
Основні центральні моменти інерції прямокутника.
Основні центральні моменти інерції квадрата.
(тут використовували формули визначення моментів інерції щодо паралельних осей.Осьові моменти інерції плоского перерізу щодо довільних осей х 1 та у 1 , паралельних центральним осям хі у, визначають за формулами
;
де а,b– відстані між осями хі х 1 , уі у 1 , А- площа поперечного перерізу. приймається, що х, у- центральні осі, тобто осі, що проходять через центр тяжіння Зплоского перерізу).
Обчислимо квадрати головних радіусів інерції
5. Визначаємо вершини ядра перерізу.
Нехай відоме становище нейтральної лінії. Потрібно визначити координати точки сили.
1. Розглянемо становище нейтральної лінії 1 – 1.
Використовуємо властивість нейтральної лінії. Оскільки нейтральна лінія 1–1 проходить паралельно до осі Y, то точка докладання сили Я 1 знаходиться на осі X, тобто у F=0.
х N – абсцис точки нейтральної лінії 1 – 1 (відстань відточення Здо нейтральної лінії 1 – 1).
2. Розглянемо становище нейтральної лінії 2 – 2.
Візьмемо дві точки нейтральної лінії 2 – 2 (краще вибирати точки, де легко можна підрахувати координати)
В(-0,615; 0,3) і D(-0,015; 0,6)
Підставимо координати точок В і Dрівняння нейтральної лінії.
(1)
(2)
Розв'яжемо систему рівнянь (1) – (2)
З першого рівняння
(3)
Підставимо (3) до (2)
3. Розглянемо становище нейтральної лінії 3 – 3.
Використовуємо властивість нейтральної лінії. Оскільки нейтральна лінія 3 – 3 проходить паралельно до осі X, то точка докладання сили Я 3 знаходиться на осі Y, тобто х F =0.
у N – ордината точки нейтральної лінії 3 – 3 (відстань від точки Здо нейтральної лінії 3 – 3).
4. Розглянемо становище нейтральної лінії 4 – 4.
Використовуємо властивість нейтральної лінії. Оскільки нейтральна лінія 4 – 4 проходить паралельно до осі Y, то точка докладання сили Я 4 знаходиться на осі X, тобто у F=0.
Приклад3 .
Жорсткий стрижень завантажений двома силами - розтягує і стискає (рис. 1). Стрижень виконаний з тендітного матеріалу з характеристиками та . Переріз стрижня симетричний і має форму і розміри, що відповідають рис. 2.
Потрібно:
1) знайти допустиме навантаження на стрижень з умови міцності, якщо відношення стискаючої та розтягуючої сил
2) побудувати ядро перетину.
Рис.1Рис.2
Рішення.
Положення головних центральних осей інерції та моменти інерції щодо цих осей заданого перерізу знайдено раніше (див. розділ «Геометричні характеристики плоских перерізів»). Знайдемо внутрішні зусилля у довільному перерізі стрижня:
Для визначення положення небезпечних точок збудуємо нейтральну лінію. Рівняння нейтральної лінії 
у цій задачі має вигляд
Звідси знайдемо відрізки, що відсікаються нейтральною лінією на осях та . Якщо то
і, якщо , то
Нейтральна лінія показано на рис. 3.
Рис.3
Проведемо дотичні до контуру перерізу, паралельні нейтральній лінії. Небезпечними є точки 1 та 1 ¢
(Див. рис. 3), найбільш віддалені від нейтральної лінії. Для крихкого матеріалу небезпечнішою є точка з максимальними розтягуючими напругами, тобто. точка 1. Знайдемо напругу у цій точці, підставляючи у формулу 
координати точки 1:
Умова міцності в точці 1 І
Звідси можна знайти допустиме значення навантаження (не забувайте правильно підставляти одиниці виміру). Множник перед F pу цьому прикладі має розмірність см -2).
На закінчення необхідно переконатися, що й у точці 1 ¢ , Яка в даному прикладі далі віддалена від нейтральної осі, ніж точка 1, і в якій діють напруги, що стискають, умова міцності теж виконується, тобто.
Тепер збудуємо ядро перетину. Помістимо полюси у зовнішніх кутових точках перерізу. Враховуючи симетрію перерізу, достатньо розташувати полюси у трьох точках: 1, 2 та 3 (див. рис. 3). Підставляючи у формули; координати полюсів, знайдемо відрізки, що відсікаються нейтральними лініями на осях та . Якщо полюс перебуває у точці 1, його координати 
і
Нейтральна лінія 1-1, що відповідає полюсу у точці 1 показана на рис. 3. Аналогічно будуємо нейтральні лінії 2–2 та 3–3, що відповідають полюсам 2 та 3. При побудові нейтральної лінії слідкуйте за тим, щоб вона проходила у квадранті, протилежному тому, в якому знаходиться полюс. Область, заштрихована на мал. 3 є ядром перерізу. Для контролю за рис. 3 показаний еліпс інерції. Ядро перетину має бути всередині еліпса інерції, ніде не перетинаючи його.
Приклад 4.
Стрижень несиметричного перерізу стискається силою, прикладеною у точці А (Рис. 1). Поперечний переріз має форму та розміри, показані на рис. 2. Матеріал стрижня – тендітний.
Потрібно:
1) знайти допустиме навантаження, що задовольняє умові міцності;
2) побудувати ядро перетину.
Рішення.
Насамперед, треба визначити моменти та радіуси інерції поперечного перерізу щодо головних центральних осей. Ця частина розв'язання задачі наведена у розділі «Геометричні характеристики плоских перерізів». На рис. 1 показані головні центральні осі інерції перерізу, положення яких знайдено раніше. У системі центральних осей Y ,Z(рис.2) координати точки докладання сили А , . Обчислимо координати точки Ау системі головних центральних осей за формулами
.
Рис.1Рис.2
Для визначення положення небезпечних точок побудуємо нейтральну лінію, використовуючи формули; . Радіуси інерції, знайдені раніше.
Відкладемо ці відрізки вздовж головних осей та проведемо через отримані точки нейтральну лінію (див. рис. 3).
Рис.3
Небезпечними точками, тобто. точками, найбільш віддаленими від нейтральної осі, будуть точки 1 та 3 (див. рис.3). У точці 1 діє найбільша напруга, що розтягує. Запишемо умову міцності у цій точці, використовуючи формулу 
:
Підставимо за умови міцності координати небезпечної точки 1 в основних осях, обчисливши їх за формулами
або вимірявши на малюнку, виконаному в масштабі, 
Тоді з умови міцності в точці 1 можна знайти допустиме значення навантаження:
.
Для знайденого значення допускається навантаження необхідно переконатися, що умова міцності виконується і в точці 3, яка далі віддалена від нейтральної лінії і в якій діє стискаюча напруга. Для визначення напруги в точці 3 підставимо формулу координати цієї точки
.
Ця напруга не повинна перевищувати. Якщо умова міцності в точці з максимальною стискаючою напругою виконуватися не буде, треба знайти значення навантаження, що допускається, заново з умови міцності в цій точці.
На закінчення побудуємо ядро перерізу. Помістимо полюси до зовнішніх кутових точок перерізу, тобто. у крапках 1, 2, 3, 4, 5 (див. рис. 3). Точка 4, що знаходиться на контурі квадранта кола, отримана в такий спосіб. Відсікаючи внутрішню кутову точку, проводимо лінію, що стосується контуру перерізу (пунктир на рис. 3). Точка 4 є точкою торкання цієї лінії квадранта кола. Послідовно знаходимо положення нейтральних ліній, що відповідають полюсам у зазначених точках, знаходячи відрізки, що відсікаються нейтральними лініями на осях , за формулами ; .Наприклад, якщо полюс знаходиться в точці 1, то підставляючи в ; координати точки 1 (), знайдемо
Оскільки значно більше , це означає, що нейтральна лінія 1–1 практично паралельна осі . Відрізок відкладаємо в масштабі вздовж осі та проводимо пряму 1–1, паралельну до осі (див. рис. 3). Аналогічно будуємо нейтральні лінії, що відповідають полюсам, розташованим в інших точках. Ядро перерізу (заштрихована область) показано на рис. 3. Зазначимо, що контур ядра перерізу між нейтральними лініями 4-4 та 5-5 окреслено по кривій, т.к. перехід полюса з точки 4 до точки 5 відбувається не по прямій лінії. На рис. 3 показаний також еліпс інерції перерізу, побудований раніше.
Приклад 5.
На брус заданого поперечного перерізу в точці Dверхнього торця діє поздовжня стискаюча сила Р=300 кН (див. мал.). Потрібно знайти положення нульової лінії, визначити найбільші (розтягуючі та стискаючі) напруги і побудувати ядро перерізу.
Рішення:
1. Знаходження положення основних центральних осей інерції та визначення площі поперечного перерізу
Так як поперечний переріз бруса (рис.1) має дві осі симетрії, а вони завжди проходять через центр тяжіння перерізу і є головними, головні центральні осі перерізу хз і уз будуть збігатися з цими осями симетрії.
Центр тяжкості перерізу Зу разі визначати зайве, оскільки він збігається з геометричним центром перерізу.
Площа поперечного перерізу бруса дорівнює:
2. Визначення головних центральних моментів інерції та головних радіусів інерції
Моменти інерції визначаємо за формулами:
Обчислюємо квадрати основних радіусів інерції:
3. Визначення положення нульової лінії
Відрізки, що відсікаються нульовою лінією на головних центральних осях інерції, визначаємо за формулами:
де х р=2,3 см та у р=2 см – координати точки докладання сили Р(Точка Р рис.11). Відклавши відрізки та відповідно на осях х сі у зі проводячи їх кінці пряму, отримаємо нульову лінію перерізу, де нормальні напруги рівні нулю (). На рис.1 ця лінія позначена n-n.
4. Визначення найбільших стискаючих і розтягуючих напруг і побудова епюри напруг
Крапка D , координати якої х D =5,25 см та у D=5 см, найбільш віддалена від нульової лінії в стислій зоні перерізу, тому найбільші стискаючі напруги виникають у ній і визначаються за формулою
Найбільші напруги, що розтягують, виникають у точці К , що має координати х до= ‑5,25 см, у до= -5 див.
За отриманими значеннями і будуємо епюр нормальних напруг (див. рис.11).
5. Побудова ядра перерізу
Для побудови ядра перерізу, враховуючи, що переріз симетричний, розглянемо два положення щодо контуру перерізу I -I і II -II (Див. рис.1).
Відрізки, що відсікаються щодо I -I
на осях координат, рівні: 
Координати граничної точки 1 ядра перерізу визначаються за формулами:
Відносна II -II відсікає відрізки =5,25 см, = ¥ .
Координати граничної точки 2 :
Координати граничних точок другої половини ядра перерізу можна не визначати, оскільки переріз симетричний. Враховуючи це для дотичних III-III і IV-IV, координати граничних точок 3 і 4 будуть:
= 0; = 15,2× 10-3 м;
=23,0× 10-3 м = 0.
З'єднавши послідовно точки 1, 2, 3 і 4прямими отримаємо ядро перерізу (рис.1).
Приклад 6.
У перерізі, вказаному на малюнку і що належить позацентрово стиснутій колоні, визначити найбільш небезпечні точки та напруги в них. Стискаюча сила F= 200 кН = 20 т додана у точці A.
Рішення.
Оскільки осі X і Y є осями симетрії, всі основні центральні осі.
Найбільш небезпечними точками будуть точки, у яких виникають максимальні нормальнінапруги, а це точки, найбільш віддалені від нульової лінії. Отже, нам необхідно спочатку визначити положення нульової лінії. Записуємо рівняння нульової лінії.
У нашому випадку координати точки додатка сили такі (див. мал.):
= - 90 мм = - 0,09 м;
= - 60 мм = - 0,06 м.
Квадрати радіусів інерції визначаються так:
тут і - осьові моменти інерції щодо головних центральних осей X та Y.
Визначення осьових моментів інерції. Для нашого перетину матимемо:
М 4;
М4.
Площа всього перерізу дорівнюватиме:
М 2 ,
і тоді квадрати радіусів інерції:
м 2;
м2.
За формулами визначимо відрізки, які нульова лінія відсікає на осях Xі Y:
м;
м.
Відкладемо ці відрізки на координатних осях, отримаємо точки, у яких нульова лінія перетинає координатні осі. Через ці точки проводимо пряму (див. мал.). Бачимо, що найвіддаленіші точки - це точка B у зоні негативних напруг та точка D у зоні позитивної напруги.
Визначимо напруги у цих точках:
;
На підставі креслення (див. мал.) отримаємо:
= - 0,12 м; = - 0,03 м.
= –5,39× 104 кН/м 2 = - 53,9 МПа.
;
0,12 м; = 0,03 м-коду.
1,86× 104 кН/м 2 = 18,6 МПа.
Приклад 7.
Чавуннийкороткийстрижень, поперечний переріз якого зображено малюнку, стискається поздовжньої силою F, доданої у точці А.
Потрібно:
1) обчислити найбільшу розтягуючу та найбільшу стискаючу напруги в поперечному перерізі, виразивши величини цих напруг через Fта розміри перерізу; а= 40 мм, b= 60 мм;
2) знайти допустиме навантаження Fпри заданих розмірах перерізу та допустимих напругах для чавуну на стиск = 100 МПа та на розтяг = 30 МПа.
Рішення.
Вище вказувалося, що геометричні характеристики розрахункових формулах беруться щодо головних центральних осей, тому визначимо центр тяжкості перерізу. Ось X є віссю симетрії, і отже, вона проходить через центр тяжіння, тому нам достатньо знайти його місцезнаходження на цій осі. З 1 та З 2 у цих осях.
Будемо мати З 1 (0,0); З 2 (0,04; 0), тоді:
м;
Отже, в осях xy 1 центр тяжкості всього перерізу має координати З (0,0133; 0). Проводимо через центр тяжкості перерізу вісь Y, перпендикулярну до осі X. Осі X і Y будуть головними центральними осями перерізу.
Визначимо положення нульової лінії.
Координати точки докладання сили (точки А) будуть наступні: = (0,02-0,0133) + 0,04 = 0,0467 м; = 0,06 м;
м 4 ,
м 4 ,
де = 0,0133 м;
м2.
м 2 , 
м 2;
і отримаємо відрізки, що відсікаються нейтральною віссю на головних осях інерції X та Y відповідно:
Відкладаємо на осі X, а на осі Yі проводимо через отримані точки нульову лінію (див. мал.). Бачимо, що найвіддаленіші точки перетину від нульової лінії - це точка Ау стислій зоні та точка Ву розтягнутій зоні. Координати цих точок такі: А(0,0467; 0,06); В(-0,0333; -0,12). Визначимо напруги у цих точках, висловивши їх через F.
Напруга в точці Ане повинно перевищувати допустиму напругу на стиснення , а напруга у точці Вні перевищувати допускається напруга на розтяг , тобто. повинні виконуватись умови:
, ,
або
(а),
(Б).
З(а): 
з (б): 
Щоб одночасно задовольнити умову міцності і в розтягнутій, і в стиснутій зонах колони, ми повинні взяти як навантаження, що допускається, меншу з двох отриманих, тобто. = 103 кн.
Приклад 8.
Чавунний короткийстрижень прямокутного поперечного перерізу, зображений малюнку, стискається поздовжньої силою F, доданої у точці А.
Потрібно:
1) обчислити найбільшу розтягуючу та найбільшу стискаючу напруги в поперечному перерізі, виразивши величини цих напруг через Fта розміри перерізу;
2) знайти допустиме навантаження Fпри заданих розмірах перерізу та допустимих напругах для чавуну на стиск 
і на розтяг 
.
Рішення.
Визначимо положення нульової лінії. Для цього скористаємося формулами
Координати точки докладання сили (точки А) будуть такими:
Квадрати радіусів інерції визначимо за формулами:
Визначаємо відрізки, які нульова лінія відсікає на осях хі у.
Відкладаємо на осі х – х 0 , а на осі у – у 0 і проводимо через отримані точки нульову лінію n – n(Див. мал.). Бачимо, що найвіддаленіші точки перетину - це точка А в стиснутій ділянці і точка У розтягнутій ділянці. Координати цих точок такі: А (0,04; 0,06), В (-0,04; -0,06). Визначимо величину напруги у цих точках, висловивши їх через силу F:
Напруга в точці А не повинна перевищувати допустиму напругу на стиснення, а напруга в точці не повинна перевищувати допустиму напругу на розтяг, тобто. має виконуватися умова
З першого виразу величина F
Приймається навантаження найменша із двох знайдених, тобто. = 567кн.
Приклад 9.
Короткий чавунний стрижень із поперечним перерізом, зображеним на рис. а, стискається поздовжньою силою P, доданої у точці A. Визначити найбільшу розтягуючу та найбільшу стискаючу напругу в поперечному перерізі стрижня, висловивши їх через силу Pі розміри перерізу див, див. Знайти допустиме навантаження при заданих напругах, що допускаються для матеріалу на стиснення кН/см 2 і на розтяг кН/см 2 .
Рішення.
Чинна на стрижень сила Pкрім стиску здійснює вигин стрижня щодо головних центральних осей xі y. Згинальні моменти відповідно рівні:
де см та см – координати точки докладання сили P(координати точки A).
Нормальна напруга в деякій точці з координатами xі yбудь-якогопоперечного перерізу стрижня визначаються за формулою
,
де F- Площа, а і - Радіуси інерції поперечного перерізу.
1. Визначаємо геометричні характеристики поперечного перерізу стрижня.
Площа поперечного перерізу стрижня дорівнює:
Головні центральні моменти інерції визначаємо в такий спосіб.
Обчислюючи момент інерції всьогоперерізу щодо осі x, розіб'ємо всю фігуру на один прямокутник із шириною та висотою та два прямокутники із шириною та висотою , щоб вісь xбула для всіх цих трьох постатей центральною. Тоді
.
Для обчислення моменту інерції всього перетину щодо осі yрозіб'ємо всю фігуру трохи інакше: один прямокутник із шириною та висотою і два прямокутники із шириною та висотою, щоб тепер уже вісь yбула для всіх цих трьох постатей центральною. Отримаємо
.
Квадрати радіусів інерції рівні:
; 
.
2. Визначаємо положення нульової лінії.
Відрізки та , що відсікаються нульовою лінією від осей координат, рівні:
см; 
див.
Показуємо нульову лінію N -Nна рис. б. Нульова лінія ділить поперечний переріз на дві області, одна з яких зазнає розтягу, а інша – стиснення. На малюнку 1, б розтягнутаобласть поперечного перерізу стрижня нами заштрихована.
3. Обчислюємо найбільше розтягуючийнапруга.
Воно виникає у точках 6 і 7 , тобто в точках найбільш віддалених від нульової лінії. Значення цієї напруги, обчислене, наприклад, для точки 6 одно:
4. Обчислюємо найбільше стискаюченапруга.
Воно виникає у точках 2 і 3 , також найбільш віддалені від нульової лінії. Значення цієї напруги, обчислене, наприклад, для точки 2 , Так само:
5. Визначаємо допустиме навантаження з умови міцності на розтягування:
кН/см 2; 
кн.
6. Визначаємо допустиме навантаження з умови міцності на стиск:
кН/см 2; 
кн.
Приклад 10
Коротка колона, поперечний переріз якої зображено на рис.1, стискається поздовжньою силою F = 200 кН, прикладеної в точці До. Розміри перерізу а= 40 см, b = 16 див. Розрахунковий опір матеріалу на розтяг R t = 3 МПа, на стиск R з = 30 МПа .
Потрібно:
1. Знайти положення нульової лінії.
2. Обчислити найбільші стискаючі та розтягувальні напруги та побудувати епюру напруг. Дати висновок про міцність колони.
3. Визначити розрахункову несучу здатність (розрахункове навантаження) F maxпри заданих розмірах перерізу.
4. Побудувати ядро перетину.
Рис.1
Рішення.
1. Визначення координат центру тяжкості перерізу.
Поперечний переріз колони має вісь симетрії. Х з, отже, центр тяжіння лежить на цій осі і для відшукання координати х сщодо допоміжної осі Y o (див. рис.1) складний переріз розбиваємо на три прямокутники
2. Геометричні характеристики перетину.
Для обчислення основних центральних моментів інерції скористаємося залежністю між моментами інерції при паралельному перенесенні осей.
Визначаємо квадрати радіусів інерції
Координати точки докладання сили F
3. Положення нульової лінії
За знайденими відрізкам, що відсікаються на осях координат проводимонульову лінію (див. мал. 2).
4. Визначення найбільших стискаючих і розтягуючих напруг. Епюра .
Найбільш віддалені від нульової лінії точки: В(-60; 16)іD(60; -32). Напруження у цих небезпечних точках з координатами х dan , у dan не повинні перевищувати відповідного розрахункового опору
.
Розтягуюча напруга
Стисне напруження
Міцність колони забезпечена.
За результатами розрахунку напруги і на рис. 2 побудована епюра .
5. Обчислення розрахункової несучої здатності колони F max .
Оскільки при заданому значенні стискаючої сили міцність матеріалу колони суттєво недовикористана, знайдемо максимальне значення зовнішнього навантаження, прирівнюючи найбільшу напругу s tі s cрозрахунковим опорам.
Остаточно вибираємо менше значення F max = 425,8 кН, що забезпечує міцність як розтягнутої, і стиснутої зон перерізу.
Рис.2
6. Побудова ядра перерізу.
Щоб отримати обрис ядра перерізу, необхідно розглянути всі можливі положення до контуру перерізу і, припускаючи, що ці дотичні є нульовими лініями, обчислити координати граничних точок ядра щодо головних центральних осей перерізу. З'єднуючи потім ці точки, отримаємо контур ядра перерізу.
Стосовна 1-1: y o = 32 см,
.
Стосовна 2-2: , 
.
Стосовно 3-3: , 
.
Стосовно 4-4: 
; ;
;
;
;
.
Стосовно 5-5: ; 
.
Стосовно 6-6: ; 
;
Приклад 11 .
У точці Pколони прямокутного перерізу прикладена стискаюча сила P(Див. мал.). Визначити максимальну та мінімальну нормальну напругу.
Рішення.
Нормальну напругу при позацентровому стисканні визначаємо за формулою:
У нашому завданні 
Момент інерції, площа 
,
Отже 
На нейтральній лінії. Тому її рівняння
Найбільш віддаленими точками від нейтральної осі є точки Aі B:
у точці Aі
у точці Bі
Якщо матеріал чинить опір розтягуванню і стисканню по-різному, слід скласти два рівняння міцності:
Приклад 12.
Знайти допустиме навантаження для бруса, показаного на малюнку, якщо розрахункові опори матеріалу бруса на розтяг і стиснення рівні R adm ,t= 20 МПа; R adm= 100 МПа.
Рішення. Запишемо умову міцності для найбільш напружених точок будь-якого перерізу бруса, тому що всі перерізи рівнонебезпечні:
Перепишемо ці умови, враховуючи, що
і тоді
і 
Звідси визначаємо значення допустимих навантажень.
Нецентроване розтягнення (стиснення) викликається силою, паралельною осі бруса, але не збігається з нею (рис. 9.4).
Проекція точки застосування сили на поперечний переріз називається полюсом або силовою точкою, а пряма, що проходить через полюс і центр перерізу, - силовою лінією.
Нецентроване розтягування (стиснення) може бути зведене до осьового розтягування (стиснення) і косого вигину, якщо перенести силу Р в центр тяжкості перерізу. Так, сила Р, зазначена на рис. 9.4 однією рисочкою Г викличе осьове розтягнення бруса, а пара сил, позначених двома рисочками, - косий вигин.
На підставі принципу незалежності дії сил напруги в точках поперечного перерізу при позацентровому розтягуванні (стисненні) визначаються за формулою
У цю формулу осьову силу згинальні моменти і координати точки перерізу, у якій визначається напруга, треба підставляти зі своїми знаками. Для згинальних моментів приймемо таке ж правило знаків, як і при косому згині, а осьову силу вважатимемо позитивною, коли вона викликає розтяг.
Якщо координати полюса позначити через , то момент Формула (9.5) набуває вигляду.
З цього рівняння видно, що кінці векторів напруги в точках перерізу розташовані на площині. Лінія перетину площини напруги з площиною поперечного перерізу є нейтральною лінією, рівняння якої знаходимо, прирівнюючи праву частину рівності (9.6) нулю. Після скорочення на Р отримаємо
Таким чином, нейтральна лінія при позацентровому розтягуванні (стисненні) не проходить через центр тяжкості перерізу і не перпендикулярна до площини дії згинального моменту. Нейтральна лінія відсікає на осях координат відрізки
Представимо моменти інерції як добутку площі перерізу на квадрат відповідного радіусу інерції
Тоді вирази (9.8) можна записати так:
З формул (9.8) видно, що полюс та нейтральна лінія завжди розташовані по різні боки від центру тяжкості перерізу, причому положення нейтральної лінії визначається координатами полюса.
При наближенні полюса по силовій лінії до центру тяжкості перерізу нейтральна лінія буде віддалятися від центру, залишаючись паралельною до свого початкового напрямку. У межі при нейтральна лінія відійде в нескінченність. У цьому випадку матиме місце центральне розтягування (стиснення) бруса.
На силовій лінії завжди можна знайти таке положення полюса, при якому нейтральна лінія стосуватиметься контуру перерізу, ніде не перетинаючи його. Якщо провести всі можливі нейтральні лінії так, щоб вони торкалися контуру перерізу, ніде не перетинаючи його, і знайти відповідні їм полюси, то виявиться, що полюси будуть розташовані на певній для кожного перерізу замкнутої лінії. Область, обмежена цією лінією, називається ядром перетину. У круглому перерізі, наприклад, ядро є коло діаметром у 4 рази меншим діаметра перерізу, а у прямокутних та двотаврових перерізах ядро має форму паралелограма (рис. 9.5).
З самої побудови ядра перерізу випливає, що до того часу, поки полюс знаходиться всередині ядра, нейтральна лінія не перетне контур перерізу і напруги у всьому перетині будуть одного знака. Якщо ж полюс розташований поза ядром, то нейтральна лінія перетне контур перерізу, і тоді в перерізі діятимуть напруги різного знака. Вказану обставину необхідно враховувати при розрахунку на віяцентрене стиснення стійок із крихких матеріалів. Оскільки крихкі матеріали погано сприймають навантаження, що розтягують, то бажано зовнішні сили прикладати до стійки так, щоб у всьому перетині діяли тільки напруги стиснення. Для цього точка застосування рівнодіючої зовнішніх сил, що стискають стійку, повинна знаходитися всередині ядра перерізу.
Розрахунок на міцність при позацентровому розтягуванні і стиску проводиться так само, як і при косому вигині, - по напрузі в небезпечній точці поперечного перерізу. Небезпечною є точка перерізу, найбільш віддалена від його нейтральної лінії. Однак у тих випадках, коли в цій точці діє напруга стиснення, а матеріал стійки тендітний, небезпечною може бути точка, в якій дію найбільшу напругу, що розтягує.
Епюра напруг будується на осі, перпендикулярній до нейтральної лінії перерізу, обмежена прямою лінією (див. рис. 9,4).
Умова міцності запишеться так.
Розглянемо прямий стрижень, навантажений на торці силами, спрямованими паралельно до осі Ох.Рівночинна цих сил Fприкладена у точці З.У локальній правосторонній системі координат yOz, що збігається з головними центральними осями перерізу, координати точки Зрівні аі b(Рис. 5.18).
Замінимо прикладене навантаження статично еквівалентною їй системою сил та моментів. Для цього перенесемо рівнодіючу силу Fу центр тяжкості перерізу Проі довантажимо стрижень двома згинальними моментами, рівними добутку сили Т^на її плечі щодо осей координат: M ff = Faі Mz = Fb.
Зазначимо, що за правилом правосторонньої системи координат для точки С, що лежить в першій чверті, згинальні моменти формально отримають слід.
Рис. 5.18.Прямий стрижень, навантажений на торці силами, спрямованими паралельно до осіОх
дуючі знаки: М у = Faта М 7 = -Fb.При цьому в елементарному майданчику, що лежить у першій чверті, обидва моменти викликають напругу, що розтягує.
Використовуючи принцип незалежності дії сил, визначимо напруги в точці перетину з координатами уі zвід кожного силового фактора окремо. Загальну напругу отримаємо підсумовуванням усіх трьох складових напруг:
Визначимо становище нейтральної осі. Для цього відповідно до формули (5.69) прирівняємо до нуля значення нормальної напруги в поточній точці:
В результаті простих перетворень отримаємо рівняння нейтральної лінії
де i yі i z - головні радіуси інерції, Які визначаються за формулами (3.14).
Таким чином, у разі позацентрового розтягування-стиснення нейтральна лінія не проходить через центр тяжкості перерізу (рис. 5.19), на що вказує наявність у рівнянні (5.70) вільного члена, що відрізняється від нуля.
Максимальні напруження виникають у точках перерізу Аі В,найбільш віддалені від нейтральної лінії. Встановимо співвідношення між координатами точки докладання сили та положенням нейтральної лінії. Для цього визначимо точки перетину цією лінією координатних осей:
Рис. 5.19.
Отримані формули показують, що координата точки докладання сили ата координата точки перетину нейтральною лінією осі координат Oz(Точка г 0) мають протилежні знаки. Те саме можна сказати про величини bі у 0 .Таким чином, точка додатка рівнодіючої сили та нейтральна лінія знаходяться по різні боки щодо початку координат.
Відповідно до отриманих формул при наближенні точки докладання сили до центру тяжкості перерізу нейтральна лінія віддаляється від центральної зони. У граничному випадку (а = b = 0) приходимо до випадку центрального розтягування-стиснення.
Цікавим є визначення зони докладання сили, при якому напруги в перерізі матимуть однаковий знак. Зокрема, для матеріалів, що погано чинять опір розтягуванню, стискаючу силу раціонально прикладати саме в цій зоні, щоб у перерізі діяли тільки напруга, що стискає. Така зона навколо центру тяжкості перерізу називається ядром перерізу.
Якщо сила прикладена в ядрі перерізу, то нейтральна лінія не перетинає перетин. У разі застосування сили по межі ядра перерізу нейтральна лінія стосується контуру перерізу. Для визначення ядра перерізу можна використати формулу (5.71).
Якщо нейтральну лінію подати як дотичні до контуру перерізу і розглянути всі можливі положення дотичної і відповідні цим положенням точки докладання сили, то точки докладання сили окреслять ядро перерізу.
Рис. 5.20.
а -еліпс; 6 - Прямокутник
Багато елементів будівельних конструкцій (колони, стійки, опори) перебувають під впливом стискаючих сил, прикладених над центрі тяжкості перерізу. На рис. 12.9 показана колона, на яку спирається балка перекриття. Як видно, сила діє по відношенню до осі колони з ексцентриситетом е,і таким чином, у довільному перерізі а-аколони поряд із поздовжньою силою N = -Рвиникає згинальний момент, величина якого дорівнює Ре.Нецентроване розтягування (стиснення) стрижня представляє такий вид деформування, при якому рівнодіючі зовнішніх сил діють вздовж прямої, паралельної осі стрижня. Надалі розглядатимемо головним чином завдання позацентрового стиску. При позацентровому розтягуванні у всіх наведених розрахункових формулах слід змінити знак перед силою Рна протилежний.
Нехай стрижень довільного поперечного перерізу (рис. 12.10) навантажений на торці позацентрово доданою стискаючою силою Р,спрямованої паралельно осі Ох.Приймемо позитивні
напрями головних осей інерції перерізу Оуі Ozтаким чином, щоб точка докладання сили Рперебувала у першій чверті осей координат. Позначимо координати точки додатка сили Рчерез у рі z P -
Внутрішні зусилля у довільному перерізі стрижня рівні
Знаки мінус у згинальних моментів обумовлені тим, що у першій чверті осей координат ці моменти викликають стиснення. Величини внутрішніх зусиль у даному прикладі не змінюються по довжині стрижня, і таким чином, розподіл напруг у перерізах, достатньо віддалених від місця застосування навантаження, буде однаковим.
Підставляючи (12.11) (12.1), отримаємо формулу для нормальних напруг при позацентровому стиску:
Цю формулу можна перетворити на вигляд
де i , i-Основні радіуси інерції перерізу. При цьому
Поклавши в (12.12) про = 0, отримаємо рівняння нульової лінії:
Тут у 0 і z 0 -координати точок нульової лінії (рис. 12.11). Рівняння (12.14) є рівнянням прямої, що не проходить через центр тяжкості перерізу. Щоб здійснити нульову лінію, знайдемо точки її перетину з осями координат. Вважаючи (12.14) послідовно у 0 = 0 і z 0= 0, відповідно знайдемо
де a zі а у -відрізки, що відсікаються нульовою лінією на осях координат (рис. 12.11).
Встановимо особливості положення нульової лінії при позацентровому стисканні.
- 1. З формул (12.15) випливає, що а уі a zмають знаки, протилежні знакам відповідно у рі z P -Таким чином, нульова лінія проходить через ті чверті осей координат, які не містять точки застосування сили (рис. 12.12).
- 2. З наближенням точки докладання сили Рпрямою до центру тяжкості перерізу координати цієї точки у рі z Pзменшуються. З (12.15) випливає, що при цьому абсолютні значення довжин відрізків а уі a zзбільшуються, тобто нульова лінія віддаляється від центру тяжіння, залишаючись паралельною до самої себе (рис. 12.13). У межі при Z P = y P = 0 (сила прикладена у центрі тяжкості) нульова лінія видаляється в нескінченність. В цьому випадку в перерізі напруги будуть постійними та рівними про = -P/F.
- 3. Якщо точка застосування сили Рзнаходиться на одній з головних осей, нульова лінія паралельна до іншої осі. Дійсно, поклавши в (12.15), наприклад, у р= 0, отримаємо, що а у= тобто нульова лінія не перетинає вісь Оу(Рис. 12.14).
- 4. Якщо точка програми сили переміщається прямою, що не проходить через центр тяжіння, то нульова лінія повертається навколо деякої точки. Доведемо цю властивість. Точкам застосування сил Р хі Р 2 ,розташованим на осях координат, відповідають нульові лінії 1 - 1 і 2-2, паралельні осям (рис. 12.15), які перетинаються в точці D.Так як ця точка належить двом нульовим лініям, то напруги в цій точці від одночасно прикладених сил Р хі Р 2дорівнюватимуть нулю. Оскільки будь-яку силу Р 3точка програми якої розташована на прямій Р (Р 2,можна, можливо
розкласти на дві паралельні складові, прикладені в точках Pj та Р 2 ,то звідси випливає, що напруги в точці Dвід дії сили Р 3також дорівнюють нулю. Таким чином, нульова лінія 3-3, що відповідає силі Р 3проходить через точку D.
Іншими словами, безлічі точок Р,розташованих на прямий Р (Р 2,відповідає пучок прямих, що проходять через точку D.Справедливе і зворотне твердження: при обертанні нульової лінії навколо деякої точки точка докладання сили переміщається прямою, що не проходить через центр тяжіння.
Якщо нульова лінія перетинає перетин, вона ділить його на зони стиснення і розтягування. Так само як і при косому вигині, з гіпотези плоских перерізів випливає, що напруги досягають найбільших значень у точках, найбільш віддалених від нульової лінії. Характер епюри напруг у разі показаний на рис. 12.16, а.
Якщо нульова лінія розташована поза перерізом, то у всіх точках перерізу напруги буде один знак (рис. 12.16, б).
Приклад 12.3.Побудуємо епюру нормальних напруг у довільному перерізі позацентрово стиснутої колони прямокутного перетину з розмірами bх h(Рис. 12.17). Квадрати радіусів інерції перерізу відповідно (12.22) рівні 
Відрізки, що відсікаються нульовою лінією на осях координат, визначаються за формулами (12.15):
Підставляючи послідовно (12.12) координати найбільш віддалених від нульової лінії точок С і В(Рис. 12.18)
знайдемо 
Епюра показана на рис. 12.18. Найбільші стискаючі напруги по абсолютній величині в чотири рази перевищують значення напруги, які були б у разі центрального докладання сили. Крім того, у перерізі з'явилися значні розтягувальні напруги. Зауважимо, що з (12.12) випливає, що у центрі тяжкості (у = z= 0) напруги рівні про = -P/F.
Приклад 12.4.Смуга з вирізом навантажена силою, що розтягує. Р(Рис. 12.19, а).Порівняємо напруги в перерізі ЛВ,досить віддаленому від торця та місця вирізу, з напругою у перерізі CDу місці вирізу.
У перетині АВ(Рис. 12.19, б)сила Рвикликає центральне розтягнення та напруження рівні а = P/F = P/bh.
У перетині CD(Рис. 12.19, в)лінія дії сили Рне проходить через центр тяжкості перерізу, і тому виникає позацентрове розтягування. Змінивши знак у формулі (12.12) на протилежний та прийнявши у р= 0, отримаємо для цього перерізу
Приймаючи 
Нульова лінія у перерізі CDпаралельна осі Оуі перетинає вісь Ozна відстані а =-i 2 y /z P- Ь/ 12. У найбільш віддалених від нульової лінії точках перерізу C(z - -Ь/ 4) та D(z - Ь/ 4) напруги згідно (12.16) рівні
Епюри нормальних напруг для перерізів ЛВі CDпоказано на рис. 12.19, б, в.
Таким чином, незважаючи на те що перетин CDмає площу вдвічі меншу, ніж перетин АВ,за рахунок позацентрового докладання сили розтягувальні напруги в ослабленому перерізі зростають не в два, а у вісім разів. Крім того, у цьому перерізі з'являються значні за величиною стискаючі напруги.
Слід зазначити, що у наведеному розрахунку не враховуються додаткові місцеві напруги, що виникають поблизу точки З через наявність виточки. Ці напруги залежать від радіусу виточення (зі зменшенням радіусу вони збільшуються) і можуть значно перевищити за величиною знайдене значення а з = 8P/bh.При цьому характер епюри напруг поблизу точки буде істотно відрізнятися від лінійного. Визначення місцевих напруг (концентрація напруг) у главі 18.
Багато будівельних матеріалів (бетон, цегляна кладка та ін) погано пручаються розтягуванню. Їхня міцність на розтяг у багато разів менша, ніж на стиск. Тому в елементах конструкцій з таких матеріалів небажана поява напруг, що розтягують. Щоб ця умова виконувалася, необхідно, щоб нульова лінія була поза перетином. В іншому випадку нульова лінія перетне перетин і в ньому з'являться напруги, що розтягують. Якщо нульова лінія є дотичною до контуру перерізу, відповідне положення точки докладання сили є граничним. Відповідно до властивості 2 нульової лінії, якщо точка докладання сили буде наближатися до центру тяжкості перерізу, нульова лінія віддалятиметься від нього. Геометричне місце граничних точок, що відповідають різним дотичних до контуру перерізу, є межею ядра перерізу.Ядром перерізу називається опукла область навколо центру тяжіння, що має таку властивість: якщо точка докладання сили знаходиться всередині або на межі цієї області, то у всіх точках перерізу напруги мають один знак. Ядро перерізу є опуклою фігурою, оскільки нульові лінії повинні торкатися обгинальної контуру перерізу і не перетинати його.
Через точку А(рис. 12.20) можна провести безліч дотичних (нульових ліній); при цьому лише дотична АСє дотичною до огинаючої, і їй повинна відповідати певна точка контуру ядра перерізу. Водночас, наприклад, не можна провести дотичну ділянку АВконтура перерізу, оскільки вона перетинає перетин.
Побудуємо ядро перетину прямокутника (рис. 12.21). Для дотичної 1 - 1 а 7 - Ь/ 2; а=. З (12.15) знаходимо для точки 1, що відповідає цій дотичній, z P = -i 2 y/а 7 =-Ь/6; у р - 0. Для дотичної 2-2 а у - до/ 2; а 7 = ° °,і координати точки 2 дорівнюватимуть ур- -h/6; z P - 0. Відповідно до властивості 4 нульової лінії точки докладання сили, що відповідають різним дотичним до правої нижньої кутової точки перерізу, розташовані на прямій 1-2. Положення точок 3 та 4 визначається з умов симетрії. Таким чином, ядро перерізу для прямокутника є ромбом з діагоналями. Ь/3 та І/З.
Щоб побудувати ядро перерізу для кола, достатньо провести одну дотичну (рис. 12.22). При цьому а = R; а= °о.
"У У^^
Враховуючи, що для кола i у - J у /F - R / 4, з (12.15) отримаємо 
Таким чином, ядро перерізу для кола є коло з радіусом R/4.
На рис. 12.23, а, 6показані ядра перерізу для двотавра та швелера. Наявність чотирьох кутових точок ядра перерізу в кожному з цих прикладів обумовлено тим, що обгинальна контура і у двотавра і швелера є прямокутником.
Для визначення внутрішніх зусиль у поперечних перерізах бруса при позацентровому розтягуванні (стисненні) замінимо задану систему сил на статично еквівалентну систему інших сил. На підставі принципу Сен-Венана така заміна не викликає змін в умовах навантаження та деформації частин бруса, достатньо віддалених від місця застосування сил.
Спочатку перенесемо точку докладання сили на вісь і докладемо в цій точці силу, що дорівнює силі, але протилежно спрямовану (рис.3.2). Щоб залишити силу на осі, до її дії необхідно додати дію пари сил, позначених двома характеристиками, або момент. Далі перенесемо силу в центр тяжкості перерізу і в цій точці прикладемо силу, що дорівнює силі, але протилежно спрямовану (рис.3.2). Щоб залишити силу в центрі тяжкості, до її дії необхідно додати ще одну пару сил, відзначених хрестиками, або момент.
Таким чином, дія сили, прикладеної до перерізу позацентрово, еквівалентно спільному дії центрально прикладеної сили та двох зовнішніх зосереджених моментів.
Користуючись методом перерізів, неважко встановити, що у всіх поперечних перерізах позацентрово розтягнутого (стисненого) бруса діють такі внутрішні силові фактори: поздовжня сила та два згинальні моменти та (рис.3.3).
Напруги у поперечних перерізах бруса визначимо, використовуючи принцип незалежності дії сил. Від усіх внутрішніх силових факторів у поперечних перерізах виникають нормальні напруження. Знаки напруг встановлюють характером деформацій: плюс - розтяг, мінус - стиск. Розставимо знаки напруги від кожного з внутрішніх силових факторів у точках, перетину осей і з контуром поперечного перерізу (рис.3.3). Від поздовжньої сили у всіх точках перерізу однакові та позитивні; від моменту в точці напруги - плюс, у точці - мінус, у точках і т.к. вісь у цьому випадку нейтральною лінією; від моменту в точці напруги - плюс, у точці - мінус, у точках і т.к. вісь у цьому випадку є нейтральною лінією.
Повна напруга в точці з координатами і дорівнює:
Найнавантаженішою точкою в перерізі довільної форми є точка, найбільш віддалена від нейтральної лінії. У зв'язку з цим, великого значення набувають питання, пов'язані з визначенням положення нейтральної лінії.
Визначення положення нейтральної лінії
Положення нейтральної лінії можна визначити за допомогою формули (3.1), прирівнявши нормальну напругу нулю
тут і - координати точки, що лежить на нейтральній лінії.
Останній вираз можна перетворити, використовуючи формули для радіусів інерції: і. Тоді
З рівняння (3.2) видно, що нейтральна лінія при позацентровому розтягуванні (стисненні) – це пряма, яка не проходить через початок координат (центр тяжкості поперечного перерізу).
Проведемо цю пряму через дві точки, що лежать на координатних осях (рис. 3.4). Нехай точка 1 лежить на осі, тоді її координатами буде й, а точка 2 – на осі, тоді її координатами буде і (на підставі рівняння (3.2)).
Якщо координати точки програми сили (полюса) позитивні, то координати точок 1 і 2 негативні, і навпаки. Таким чином, полюс та нейтральна лінія розташовуються по різні боки від початку координат.
Визначення становища нейтральної лінії дозволяє виявити небезпечні точки перерізу, тобто. точки, в яких нормальні напруги набувають найбільших значень. Для цього слід побудувати дотичні до контуру перетину, паралельні нейтральній лінії. Точки торкання і будуть небезпечними (рис. 3.4).
Умови міцності для небезпечних точок складають залежно від властивостей матеріалу, з якого виготовлений брус. Так як крихкий матеріал має різні властивості в умовах розтягування і стиснення – погано пручається розтягуванню і добре стиску, умови міцності складають для двох точок: де діють максимальні розтягуючі (т.) і максимальні стискаючі (т.) напруги (рис. 3.4)
Для пластичного матеріалу, який однаково чинить опір і розтягуванню і стиску, становлять одну умову міцності для точки поперечного перерізу, де мають місце максимальні за абсолютною величиною нормальні напруги. У нашому випадку такою точкою є точка, в якій діють напруження одного знака
Поняття про ядро перетину
При побудові нейтральної лінії (рис. 3.4) визначалися координати точок 1 та 2, через які вона і проводилася
Координати точок, що лежать на нейтральній лінії, залежать від положення точки застосування сили (полюса) з координатами. Якщо координати полюса зменшуються, тобто. полюс наближається до центру тяжкості перерізу, то зростають, тобто. нейтральна лінія може вийти за межі перерізу або торкатися контуру перерізу. В цьому випадку в перерізі матимуть місце напруги одного знака.
Область додатка поздовжніх сил, які у разі викликають у поперечному перерізі напруги одного знака, називається ядром перерізу.
Питання визначення ядра перерізу є найбільш актуальним для елементів конструкцій з тендітного матеріалу, що працюють на позацентрове стискування, з метою отримання в поперечному перерізі напруг, що тільки стискають, т.к. крихкий матеріал погано чинить опір деформації розтягування. Для цього необхідно встановити ряд положень нейтральної лінії, проводячи її через граничні точки контуру, і обчислити координати відповідних точок докладання сили, за формулами, що випливають з (3.5).
Геометричне місце розрахованих таким чином точок та визначить контур ядра перерізу. На рис. 3.6 показані приклади ядра перерізу поширених форм.
Розглянемо приклад розрахунків на позацентрове розтягування-стискання.
Приклад 3.1.Сталева смуга шириною = 10 см та товщиною = 1 см, центрально розтягнута силами = 70 кН, має проріз шириною = 3 см (рис. 3.6). Визначити найбільшу нормальну напругу в перетині, не враховуючи концентрації напруг. Який ширини міг би бути проріз при тій же величині зусилля, що розтягує, якби вона була розташована посередині ширини смуги?
Рішення.При несиметричному прорізі центр тяжкості ослабленого перерізу зміщується від лінії дії сили вправо та виникає позацентрове розтягування. Для визначення положення центру тяжкості () ослаблений переріз представимо як великий прямокутник розмірами (фігура I), з якого видалений малий прямокутник з розмірами (фігура II). За вихідну вісь приймемо вісь.
У цьому випадку в поперечному перерізі виникає два внутрішні силові фактори: поздовжня сила і згинальний момент.
З метою визначення небезпечної точки розставимо знаки напруги з боків поперечного перерізу (рис. 3.6). Від поздовжньої сили у всіх точках перерізу мають місце позитивні (розтягуючі) напруги. Від згинального моменту зліва від осі мають місце напруги, що розтягують (знак плюс), праворуч – стискаючі (знак мінус).
Таким чином, максимальна нормальна напруга виникає в т.ч.
де - площа ослабленого перерізу, що дорівнює =7 см 2;
Момент інерції ослабленого перерізу щодо головної центральної осі
Відстань від нейтральної лінії () до найвіддаленішої точки (т.)
В результаті максимальна нормальна напруга дорівнюватиме
При симетричному прорізі шириною виникає лише розтягування
