Повний диференціал. Геометричний зміст повного диференціалу. Дотична площина та нормаль до поверхні. Повне збільшення та повний диференціал Приклади вирішення задач

ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ ФУНКЦІЙ КІЛЬКАХ ЗМІННИХ.

Основні поняття та визначення.

Під час розгляду функцій кількох змінних обмежимося докладним описом функцій двох змінних, т.к. усі отримані результати будуть справедливі для функцій довільного числа змінних.

Якщо кожній парі незалежних один від одного чисел (х, у) з деякої множини по якомусь правилу ставиться у відповідність одне або кілька значень змінної z, то змінна z називається функцією двох змінних.

Якщо парі чисел (х, у) відповідає одне значення z, то функція називається однозначною, А якщо більше одного, то - багатозначною.

Областю визначенняфункції z називається сукупність пар (х, у), у яких функція z існує.

Околицею точкиМ 0 (х 0, у 0) радіусу r називається сукупність всіх точок (х, у), які задовольняють умові.

Число А називається межеюфункції f(x, y) при прагненні точки М(х, у) до точки М 0 (х 0 у 0), якщо для кожного числа e > 0 знайдеться таке число r >0, що для будь-якої точки М(х, у), для яких вірна умова

також вірна і умова .

Записують:

Нехай точка М 0 (х 0, 0) належить області визначення функції f(x, y). Тоді функція z = f(x, y) називається безперервнийу точці М 0 (х 0 , у 0), якщо

(1)

причому точка М(х, у) прагне точки М 0 (х 0 , у 0) довільним чином.

Якщо в будь-якій точці умова (1) не виконується, то ця точка називається точкою розривуфункції f(x, y). Це може бути в таких випадках:

1) Функція z = f(x, y) не визначена в точці М 0 (х 0, у 0).

2) Немає межа .

3) Ця межа існує, але вона не дорівнює f(x 0 , y 0).

Властивості функцій кількох змінних, пов'язані зі своїми безперервністю.

Властивість.Якщо функція f(x, y, …) визначена і безперервна в замкнутій та обмеженій ділянці D, то в цій ділянці знайдеться принаймні одна точка

N(x 0 , y 0 , …), така, що для інших точок вірна нерівність

f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …)

а також точка N 1 (x 01 , y 01 , …), така, що для всіх інших точок вірна нерівність

f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …)

тоді f(x 0 , y 0 , …) = M - найбільше значенняфункції, а f(x 01 , y 01 , …) = m - найменше значенняфункції f(x, y, …) у сфері D.

Безперервна функція в замкнутій та обмеженій ділянці D досягає принаймні один раз найбільшого значення та один раз найменшого.

Властивість.Якщо функція f(x, y, …) визначена і безперервна в замкнутій обмеженій ділянці D, а M і m – відповідно найбільше та найменше значення функції у цій галузі, то для будь-якої точки m Î існує точка

N 0 (x 0, y 0, …) така, що f (x 0, y 0, …) = m.

Простіше кажучи, безперервна функція приймає області D всі проміжні значення між M і m. Наслідком цієї властивості може бути висновок, що якщо числа M і m різних знаків, то області D функція принаймні один раз звертається в нуль.

Властивість.Функція f(x, y, …), безперервна в замкнутій обмеженій ділянці D, обмеженау цій галузі, якщо існує таке число К, що для всіх точок області вірна нерівність .

Властивість.Якщо функція f(x, y, …) визначена та безперервна в замкнутій обмеженій ділянці D, то вона рівномірно безперервнау цій галузі, тобто. для будь-якого позитивного числа e існує таке число D > 0, що для будь-яких двох точок (х 1 , y 1) і (х 2 у 2) області, що знаходяться на відстані, меншій D, виконано нерівність

2. Приватні похідні. Приватні похідні найвищих порядків.

Нехай у певній області задана функція z = f(x, y). Візьмемо довільну точку М(х, у) і поставимо збільшення Dх до змінної х. Тоді величина D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) називається приватним збільшенням функції з х.

Можна записати

Тоді називається приватної похідноїфункції z = f(x, y) за х.

Позначення:

Аналогічно визначається приватна похідна функції у.

Геометричним змістомприватною похідною (допустимо) є тангенс кута нахилу дотичної, проведеної в точці N 0 (x 0 , y 0 , z 0) до перерізу поверхні площиною у = у 0 .

Якщо функція f(x, y) визначена в деякій області D, то її приватні похідні теж будуть визначені в тій же області або її частині.

Будемо називати ці похідні приватними похідними першого порядку.

Похідні цих функцій будуть приватними похідними другого порядку.

Продовжуючи диференціювати отримані рівності, матимемо приватні похідні вищих порядків.

Приватні похідні види і т.д. називаються змішаними похідними.

Теорема. Якщо функція f(x, y) та її приватні похідні визначені та безперервні у точці М(х, у) та її околиці, то вірне співвідношення:

Тобто. приватні похідні вищих порядків залежить від порядку диференціювання.

Аналогічно визначаються диференціали вищих порядків.

…………………

Тут n - символічний ступінь похідної, на яку замінюється реальний ступінь після зведення в неї виразу, що стоїть з дужках.

Повний диференціал. Геометричний зміст повного диференціалу. Дотична площина та нормаль до поверхні.

Вираз називається повним збільшеннямфункції f(x, y) у деякій точці (х, у), де a 1 та a 2 – нескінченно малі функції при Dх ® 0 та Dу ® 0 відповідно.

Повним диференціаломфункції z = f(x, y) називається головна лінійна частина щодо Dх і Dу збільшення функції Dz у точці (х, у).

Для функції довільного числа змінних:

Приклад 3.1. Знайти повний диференціал функції.

Геометричним змістом повного диференціала функції двох змінних f(x, y) у точці (х 0 , у 0) є збільшення аплікати (координати z) дотичної площини до поверхні при переході від точки (х 0 , у 0) до точки (х 0 + Dх, у 0+Dу).

Приватні похідні найвищих порядків. :Якщо функція f(x, y) визначена в деякій області D, то її приватні похідні теж будуть визначені в тій же області або її частині. Будемо називати ці похідні приватними похідними першого порядку.

Похідні цих функцій будуть приватними похідними другого порядку.

Продовжуючи диференціювати отримані рівності, матимемо приватні похідні вищих порядків. Визначення.Приватні похідні види і т.д. називаються змішаними похідними. Теорема Шварца:

Якщо приватні похідні найвищих порядків ф.м.п. безперервні, то змішані похідні одного ладу, що відрізняються лише порядком диференціювання = між собою.

14. Рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні!

Нехай N та N 0 – точки даної поверхні. Проведемо пряму NN0. Площина, яка проходить через точку N 0 називається дотичної площиноюдо поверхні, якщо кут між січною NN 0 і цією площиною прагне нуля, коли прагне нуля відстань NN 0 .

Визначення. Нормаллюдо поверхні у точці N 0 називається пряма, що проходить через точку N 0 перпендикулярно дотичної площині до цієї поверхні.

У якій – або точці поверхня має, або лише одну дотичну площину, або її зовсім.

Якщо поверхня задана рівнянням z = f(x, y), де f(x, y) – функція, що диференціюється в точці М 0 (х 0, у 0), дотична площинау точці N 0 (x 0, y 0, (x 0, y 0)) існує і має рівняння:

Рівняння нормалі до поверхні цієї точки:

Геометричним змістомповного диференціала функції двох змінних f(x, y) у точці (х 0 , у 0) є збільшення аплікати (координати z) дотичної площини до поверхні при переході від точки (х 0 , у 0) до точки (х 0 +Dх, у 0 +Dу).

Як видно, геометричний сенс повного диференціалу функції двох змінних є просторовим аналогом геометричного сенсу диференціалу функції однієї змінної.

16. Скалярне поле та його характеристики. Лінії ур-ня, вироблені за напрямком, градієнт скалярного поля.

Якщо кожній точці простору ставиться у відповідність скалярна величина , виникає скалярне поле (наприклад, поле температури, поле електричного потенціалу). Якщо введені декартові координати, то позначають або Поле може бути плоским, якщо центральним (сферичним), якщо циліндричним, якщо

Поверхні та лінії рівня: Властивості скалярних полів можна наочно вивчати за допомогою поверхонь рівня. Це поверхні в просторі, на яких набуває постійного значення. Їхнє рівняння: . У плоскому скалярному полі лініями рівня називають криві, на яких поле набуває постійного значення: В окремих випадках лінії рівня можуть вироджуватися в крапки, а поверхні рівня в крапки та криві.

Похідна за напрямом та градієнт скалярного поля:

Нехай одиничний вектор із координатами - скалярне поле. Похідна за напрямом характеризує зміну поля в даному напрямку і обчислюється за формулою , Який називається градієнтом функції і позначається. , де кут між і , то вектор вказує напрямок якнайшвидшого зростання поля а його модуль дорівнює похідній за цим напрямком. Оскільки компоненти градієнта є приватними похідними, легко отримати такі властивості градієнта:

17. Екстремуми ф.м.п.Локальний екстремум ф.м.п., необхідні та достатні умови його існування. Найбільше та найменше значення ф.м.п. в огран. замкнутої області.

Нехай функція z = ƒ(х;у) визначена в деякій ділянці D, точка N(x0;y0)

Точка (х0; у0) називається точкою максимуму функції z = ƒ (х; у), якщо існує така d-околиця точки (х0; у0), що для кожної точки (х; у), відмінної від (хо; уо), з цієї околиці виконується нерівність ƒ(х;у)<ƒ(хо;уо). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(х0;у0). Значення функції у точці максимуму (мінімуму) називається максимумом (мінімумом) функції. Максимум та мінімум функції називають її екстремумами. Зазначимо, що, з визначення, точка екстремуму функції лежить усередині області визначення функції; максимум і мінімум мають локальний (місцевий) характер: значення функції у точці (х0; у0) порівнюється з її значеннями у точках, досить близьких до (х0; у0). В області D функція може мати кілька екстремумів або не мати жодного.

Необхідні(1) та достатні(2) умови існування:

(1) Якщо точці N(x0;y0) диференційована функція z=ƒ(х;у) має екстремум, її приватні похідні у цій точці рівні нулю: ƒ"x(х0;у0)=0, ƒ"y(х0;у0 ) = 0. Зауваження. Функція може мати екстремум у точках, де хоча б одна із приватних похідних не існує. Точка, у якій приватні похідні першого порядку функції z ≈ ƒ(х; у) дорівнюють нулю, тобто f"x=0, f"y=0, називається стаціонарною точкою функції z.

Стаціонарні точки та точки, в яких хоча б одна приватна похідна не існує, називаються критичними точками

(2) Нехай у стаціонарній точці (хо;уо) та деякому її околиці функція ƒ(х;у) має безперервні приватні похідні до другого порядку включно. Обчислимо в точці (х0; у0) значення A=f""xx(x0;y0), В=ƒ""xy(х0;у0), С=ƒ""уy(х0;у0). Позначимо Тоді:

1. якщо Δ > 0, то функція ƒ(х;у) у точці (х0;у0) має екстремум: максимум, якщо А< 0; минимум, если А > 0;

2. якщо Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

3.У разі Δ = 0 екстремум у точці (х0; у0) може бути, може не бути. Потрібні додаткові дослідження.

Дотична площина та нормаль до поверхні.

дотична площина

Визначення. Нормаллюдо поверхні у точці N 0 називається пряма, що проходить через точку N 0 перпендикулярно дотичної площині до цієї поверхні.

У якій – або точці поверхня має, або лише одну дотичну площину, або її зовсім.

Якщо поверхня задана рівнянням z = f(x, y), де f(x, y) – функція, що диференціюється в точці М 0 (х 0, у 0), дотична площина в точці N 0 (x 0, y 0, ( x 0 ,y 0)) існує і має рівняння:

Рівняння нормалі до поверхні цієї точки:

приклад.Знайти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні

у точці М(1, 1, 1).

Рівняння дотичної площини:

Рівняння нормалі:

20.4. Наближені обчислення за допомогою повного диференціалу.

Нехай функція f(x, y) диференційована у точці (х, у). Знайдемо повне збільшення цієї функції:

Якщо підставити у цю формулу вираз

то отримаємо наближену формулу:

приклад.Обчислити наближено значення , виходячи зі значення функції x = 1, y = 2, z = 1.

Із заданого виразу визначимо x = 1,04 – 1 = 0,04, y = 1,99 – 2 = -0,01,

z = 1,02 – 1 = 0,02.

Знайдемо значення функції u(x, y, z) =

Знаходимо приватні похідні:

Повний диференціал функції u дорівнює:

Точне значення цього виразу: 1,049275225687319176.

20.5. Приватні похідні найвищих порядків.

Якщо функція f(x, y) визначена в деякій області D, то її приватні похідні також будуть визначені в тій же області або її частині.

Будемо називати ці похідні приватними похідними першого порядку.

Похідні цих функцій будуть приватними похідними другого порядку.

Продовжуючи диференціювати отримані рівності, матимемо приватні похідні вищих порядків.

Визначення. Приватні похідні види і т.д. називаються змішаними похідними.

Тобто. приватні похідні вищих порядків залежить від порядку диференціювання.

Аналогічно визначаються диференціали вищих порядків.

…………………

Для функції однієї змінної y = f(x) у точці x 0 геометричний сенс диференціала означає збільшення ординати дотичної, проведеної до графіку функції в точці з абсцисою x 0 при переході до точки x 0 +  x. А диференціал функції двох змінних у цьому плані є збільшенням аплікатидотичної площині, проведеної до поверхні, заданої рівнянням z = f(x, y) , у точці M 0 (x 0 , y 0 ) при переході до точки M(x 0 +  x, y 0 +  y). Дамо визначення дотичної площини до деякої поверхні:

Df . Площина, що проходить через точку Р 0 поверхні S, називається дотичної площиноюу цій точці, якщо кут між цією площиною та січною, що проходить через дві точки Р 0 і Р(будь-яка точка поверхні S) , прагне до нуля, коли точка Рпрагне по цій поверхні до точки Р 0 .

Нехай поверхня Sзадана рівнянням z = f(x, y). Тоді можна показати, що ця поверхня має у точці P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) дотичну площину і тоді, якщо функція z = f(x, y) диференційована у цій точці. У цьому випадку дотична площина визначається рівнянням:

z – z 0 = +
(6).

§5. Похідна у напрямку, градієнт функції.

Приватні похідні функції y= f(x 1 , x 2 .. x n ) за змінними x 1 , x 2 . . . x nвиражають швидкість зміни функції у напрямку координатних осей. Наприклад, є швидкість зміни функції по х 1 – тобто передбачається, що точка, що належить області визначення функції, переміщається лише паралельно до осі ОХ 1 , проте інші координати залишаються незмінними. Однак, можна припустити, що функція може змінюватися і по якомусь іншому напрямку, що не збігається з напрямком якоїсь із осей.

Розглянемо функцію трьох змінних: u= f(x, y, z).

Зафіксуємо точку М 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) і якусь спрямовану пряму (вісь) l, що проходить через цю точку. Нехай М(x, y, z) - довільна точка цієї прямої і М 0 М- відстань від М 0 до М.

u = f (x, y, z) – f(x 0 , y 0 , z 0 ) - Збільшення функції в точці М 0 .

Знайдемо відношення збільшення функції до довжини вектора
:

Df . Похідної функції u = f (x, y, z) у напрямку l у точці М 0 називається межа відношення збільшення функції до довжини вектора М 0 Мпри прагненні останнього до 0 (або, що те саме, при необмеженому наближенні Мдо М 0 ):

(1)

Ця похідна характеризує швидкість зміни функції у точці М 0 в напрямку l.

Нехай вісь l (вектор М 0 М) утворює з осями OX, OY, OZкути
відповідно.

Позначимо x-x 0 =
;

y - y 0 =
;

z - z 0 =
.

Тоді вектор М 0 М = (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 )=
та його напрямні косинуси:

;

(4).

(4) – формула для обчислення похідної за напрямом.

Розглянемо вектор, координатами якого є приватні похідні функції u= f(x, y, z) у точці М 0 :

grad u - градієнт функції u= f(x, y, z) у точці М(x, y, z)

Властивості градієнта:

Висновок: довжина градієнта функції u= f(x, y, z) – є найбільш можливе значення у цій точці М(x, y, z) , а напрям вектора grad uзбігається з напрямком вектора, що виходить із точки М, вздовж якого функція змінюється найшвидше. Тобто, напрям градієнта функції grad u - є напрямок якнайшвидшого зростання функції.

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Говорять, що $f$ має локальний максимуму точці $x_(0) \in E$, якщо існує така околиця $U$ точки $x_(0)$, що для всіх $x \in U$ виконується нерівність $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

Локальний максимум називається строгим , якщо околиця $U$ можна вибрати так, щоб для всіх $x \in U$, відмінних від $x_(0)$, було $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Визначення
Нехай $f$ – дійсна функція на відкритій множині $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Говорять, що $f$ має локальний мінімуму точці $x_(0) \in E$, якщо існує така околиця $U$ точки $x_(0)$, що для всіх $x \in U$ виконується нерівність $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Локальний мінімум називається строгим, якщо околиця $U$ можна вибрати так, щоб для всіх $x \in U$, відмінних від $x_(0)$, було $f\left(x\right) > f\left(x_( 0) \ right) $.

Локальний екстремум поєднує поняття локального мінімуму та локального максимуму.

Теорема (необхідна умова екстремуму функції, що диференціюється)
Нехай $f$ – дійсна функція на відкритій множині $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Якщо в точці $x_(0) \in E$ функція $f$ має локальний екстремум і в цій точці, то $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Рівність нулю диференціала рівносильно з того що всі рівні нулю, тобто. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

У разі це – . Позначимо $ \ phi \ left (t \ right) = f \ left (x_ (0) + th \ right) $, де $ h $ - довільний вектор. Функція $\phi$ визначена за досить малих за модулем значеннях $t$. Крім того, по , вона диференційована, і $(\phi)' \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Нехай $f$ має локальний максимум у точці x$0$. Отже, функція $\phi$ за $t = 0$ має локальний максимум і, за теоремою Ферма, $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Отже, отримали, що $df \left(x_(0)\right) = 0$, тобто. функції $f$ у точці $x_(0)$ дорівнює нулю будь-якому векторі $h$.

Визначення
Крапки, у яких диференціал дорівнює нулю, тобто. такі, у яких всі приватні похідні дорівнюють нулю, називаються стаціонарними . Критичними точкамиФункції $f$ називаються такі точки, в яких $f$ не диференційована, або її дорівнює нулю. Якщо точка стаціонарна, то цього ще не випливає, що в цій точці функція має екстремум.

приклад 1.
Нехай $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Тоді $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, так що $\left(0,0\right)$ - стаціонарна точка, але в цій точці у функції немає екстремуму. Справді, $f \left(0,0\right) = 0$, але легко бачити, що в будь-якій околиці точки $\left(0,0\right)$ функція набуває як позитивних, так і негативних значень.

приклад 2.
Функція $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ початок координат – стаціонарна точка, але ясно, що екстремуму в цій точці немає.

Теорема (достатня умова екстремуму).
Нехай функція $f$ двічі безперервно диференційована на відкритій множині $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Нехай $x_(0) \in E$ – стаціонарна точка і $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$$ Тоді

якщо $Q_(x_(0))$ – , то функція $f$ у точці $x_(0)$ має локальний екстремум, саме, мінімум, якщо форма позитивно визначена, і максимум, якщо форма негативно визначена;
якщо квадратична форма $Q_(x_(0))$ невизначена, то функція $f$ у точці $x_(0)$ немає екстремуму.

Скористаємося розкладанням за формулою Тейлора (12.7 стор 292). Враховуючи, що приватні похідні першого порядку в точці $x_(0)$ дорівнюють нулю, отримаємо $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\right) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ де $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, а $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$, то права частина буде позитивною за будь-якого вектора $h$ досить малої довжини.
Отже, ми дійшли того, що в деякій околиці точки $x_(0)$ виконана нерівність $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$, якщо тільки $x \neq x_ (0)$ (ми поклали $x=x_(0)+h$\right). Це означає, що у точці $x_(0)$ функція має суворий локальний мінімум, і цим доведена перша частина нашої теореми.
Припустимо тепер, що $Q_(x_(0))$ – невизначена форма. Тоді знайдуться вектори $h_(1)$, $h_(2)$, такі, що $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ (x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. Тоді отримаємо $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ При досить малих $t>0$ права частина позитивна. Це означає, що в будь-якій околиці точки $x_(0)$ функція $f$ приймає значення $f \left(x\right)$, більші, ніж $f \left(x_(0)\right)$.
Аналогічно отримаємо, що у будь-якій околиці точки $x_(0)$ функція $f$ приймає значення, менші, ніж $f \left(x_(0)\right)$. Це, разом із попереднім, означає, що у точці $x_(0)$ функція $f$ не має екстремуму.

Розглянемо окремий випадок цієї теореми для функції $f \left(x,y\right)$ двох змінних, визначеної в деякій околиці точки $\left(x_(0),y_(0)\right)$ і має безперервні в цьому околиці приватні похідні першого та другого порядків. Припустимо, що $\left(x_(0),y_(0)\right)$ - стаціонарна точка, і позначимо $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^(2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0), y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ).$$ Тоді попередня теорема набуде наступного вигляду.

Теорема
Нехай $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Тоді:

якщо $\Delta>0$, то функція $f$ має в точці $\left(x_(0),y_(0)\right)$ локальний екстремум, а саме мінімум, якщо $a_(11)>0$ , і максимум, якщо $a_(11)<0$;
якщо $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Приклади розв'язання задач

Алгоритм знаходження екстремуму функції багатьох змінних:

Знаходимо стаціонарні точки;
Знаходимо диференціал другого порядку у всіх стаціонарних точках
Користуючись достатньою умовою екстремуму функції багатьох змінних, розглядаємо диференціал другого порядку в кожній стаціонарній точці

Дослідити функцію на екстремум $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x - 30 \cdot y$.
Рішення
Знайдемо приватні похідні 1-го порядку: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Складемо і вирішимо систему: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ З 2-го рівняння висловимо $x=4 \cdot y^(2)$ - підставимо в 1-е рівняння: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) - 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) - y = 0$$ $$y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ В результаті отримано 2 стаціонарні точки:
1) $ y = 0 \ Rightarrow x = 0, M_ (1) = \ left (0, 0 \ right) $;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
Перевіримо виконання достатньої умови екстремуму:
$$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
1) Для точки $M_(1)= \left(0,0\right)$:
$$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) Для точки $M_(2)$:
$$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, отже, у точці $M_(2)$ існує екстремум, і оскільки $A_(2)>0$, то це мінімум.
Відповідь: Точка $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ є точкою мінімуму функції $f$.
Дослідити функцію на екстремум $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
Рішення
Знайдемо стаціонарні точки: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4; $$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x - 2.$$
Складемо і вирішимо систему: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4 = 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\y + x = 1\end(cases) \Rightarrow x = -1$$
$ M_(0) \ left (-1, 2 \ right) $ - Стаціонарна точка.
Перевіримо виконання достатньої умови екстремуму: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
$A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
Відповідь: екстремуми відсутні.