Інструкція

Безпосереднє обчислення меж пов'язано, насамперед, з межами раціональних Qm(x)/Rn(x), де Q та R багаточлени. Якщо обчислюється межа при х →a (a – число), може виникнути невизначеність, наприклад . Для її усунення поділіть чисельник та знаменник на (х-а). Операцію повторюйте, доки невизначеність не пропаде. Розподіл многочленів здійснюється майже як і, як і розподіл чисел. Воно засноване на тому, що розподіл та множення – зворотні операції. Приклад наведено на рис. 1.

Застосування першої чудової межі. Формула для першої чудової межі наведена на рис. 2а. Для його застосування наведіть вираз вашого прикладу до відповідного вигляду. Це завжди можна зробити чисто алгебраїчною або заміною змінною. Головне - не забувайте, що якщо синус від kx, то знаменник теж kx. Приклад розглянуто на рис. 2e. Крім того, якщо врахувати, що tgx = sinx / cosx, cos0 = 1, то, як наслідок, з'являється (див. рис. 2b). arcsin(sinx)=x та arctg(tgx)=x. Тому є ще два наслідки (рис 2с. та 2d). Виник ще досить широкий набір способів.

Застосування другої чудової межі (Гр. 3а) Межі такого типу використовуються для усунення невизначеностей типу. Для вирішення відповідних завдань просто перетворіть умову до структури, що відповідає виду межі. Пам'ятайте, що при зведенні в ступінь виразу, який вже є певною мірою, їх показники перемножуються. Відповідний приклад наведено на рис. 2е. Застосуйте підстановку α=1/х та отримайте слідство з другої чудової межі (рис. 2b). Прологарифмувавши на підставі а обидві частини цього слідства, прийдете до другого слідства, у тому числі і за а=е (див. рис. 2с). Зробите заміну а^x-1=y. Тоді x = log (a) (1 + y). При прагненні х до нуля, у прагне до нуля. Тому виникає третє слідство (див. рис. 2d).

Застосування еквівалентних нескінченно малих. Нескінченно малі функції еквівалентні при х →а, якщо межа їх відношення α(х)/γ(х) дорівнює одиниці. При обчисленні меж за допомогою таких нескінченно малих просто запишіть γ(x)=α(x)+o(α(x)). o(α(x)) – це нескінченно мала вищого порядку малості, ніж α(x). Для неї lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0. Для з'ясування еквівалентності використовуйте самі чудові межі. Метод дозволяє суттєво спростити процес знаходження меж, зробивши його прозорішим.

Правило Лопіталя

Визначення 1

Правило Лопіталя:за деяких умов межа відношення функцій, змінна яких прагне $a$, дорівнює межі відношення їх похідних, при $x$, також прагне $a$ :

$\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"( x))(g"(x)) $

Правило Лопіталя було відкрито шведським математиком Йоганном Бернуллі, який потім розповів у листі про нього Лопіталю. Лопіталь ж опублікував це правило у першому підручнику з диференціального обчислення у 1696 році зі своїм авторством.

Правило Лопіталя застосовується для виразів, що зводяться до невизначеностей такого виду:

$\frac(0)(0) \begin(array)(ccc) () & () & (\frac(\infty )(\infty ) ) \end(array)$

Замість нуля у першому вираженні може бути якась нескінченно мала величина.

У загальному випадку правилом Лопіталя можна скористатися, якщо і в чисельнику, і в знаменнику одночасно нуль чи нескінченність.

Умови, за яких можна застосовувати правило Лопіталю:

• Дотримується умова, за якої межі функцій $f(x)$ і $g(x)$ при $x$ прагне до $a$ рівні між собою і прагнуть нуля або нескінченності: $\mathop(\lim )\limits_(x \to a) f(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=0$ або $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) f(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=\infty $;
• Можливо отримати похідні $f(x)$ і $g(x)$ на околиці $a$;
• Похідна функції $g(x)$ не нульова $g"(x)\ne 0$ на околиці $a$;
• Межа відносини похідних функцій $f(x)$ і $g(x)$, в записі виглядає як $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"(x))(g"( x)) $ існує.

Доказ правила Лопіталя:

1. Нехай дані функції $f(x)$ і $g(x)$, причому спостерігається рівність меж:
2. $\mathop(\lim )\limits_(x\to a+0) f(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to a+0) g(x)=0 $.
3. Довизначимо функції у точці $a$. Для цієї точки буде справедливою умова:
4. $\frac(f(x))(g(x)) =\frac(f(x)-f(a))(g(x)-g(a)) =\frac(f"(c)) (g"(c))$.
5. Величина $c$ залежить від $x$, але якщо $x\to a+0$, то $c\to a$.
6. $\mathop(\lim )\limits_(x\to a+0) \frac(f(x))(g(x)) =\mathop(\lim )\limits_(c\to a+0) \frac (f"(c))(g"(c)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a+0) \frac(f"(c))(g"(c)) $.

Алгоритм обчислення рішення з використанням правила Лопіталю

1. Перевірка виразу на невизначеність.
2. Перевірка всіх умов, викладених вище, перед подальшим використанням правила Лопіталя.
3. Перевірка прагнення похідної функції $0$.
4. Повторна перевірка на невизначеність.

Приклад №1:

Знайти межу:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) +5x)(3x) $

Рішення:

• Межа функції $f(x)$ дорівнює межі $g(x)$ і обидва вони дорівнюють нулю: $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) f(x)=\mathop(\lim )\limits_ (x\to 0) (x^(2) +5x)=0$; $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (3x)=0$
• $g"(x)=3\ne 0$ на околиці $a$
• $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"(x))(g"(x)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(2x +5) (3) $

$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) +5x)(3x) =\left\langle \frac(0)(0) \right\rangle =\mathop( \lim )\limits_(x\to 0) \frac(\left(x^(2) +5x\right)")(\left(3x\right)") =\mathop(\lim )\limits_(x \to 0) \frac(2x+5)(3) =\frac(0+5)(3) =\frac(5)(3) $

Приклад №2:

Знайти межу:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(x^(3) -3x^(2) +2x)(x^(3) -x) $

Рішення:

Перевіримо умови застосування правила Лопіталя:

• $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) f(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (x^(3) -3x^(2) +2x) = \ infty $; $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (x^(3) -x)=\infty $
• $f(x)$ і $g(x)$ диференційовані на околиці $a$
• $g"(x)=6\ne 0$ на околиці $a$
• $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"(x))(g"(x)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac( 3x^(2) -6x+2)(3x^(2) -1) $

Запишемо похідну та знайдемо межу функції:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(x^(3) -3x^(2) +2x)(x^(3) -x) =\left\langle \frac( \infty )(\infty ) \right\rangle =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left(x^(3) -3x^(2) +2x\right)" )(\left(x^(3) -x\right)") =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(3x^(2) -6x+2)(3x^( 2) -1) =\left\langle \frac(\infty )(\infty ) \right\rangle $

Повторюємо обчислення похідної поки що не позбудемося невизначеності:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left(3x^(2) -6x+2\right)")(\left(3x^(2) -1\right) ") =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(6x-6)(6x) =\left\langle \frac(\infty )(\infty ) \right\rangle =\mathop (\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left(6x-6\right)")(\left(6x\right)") =\frac(6)(6) =1$

Приклад №3:

Знайти межу:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(\sin 5x)(x) $

Рішення:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(\sin 5x)(x) =\left\langle \frac(0)(0) \right\rangle =\mathop(\lim )\ limits_(x\to 0) \frac(\left(\sin 5x\right)")(\left(x\right)") =\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(5 \cos 5x)(1) =5\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \cos 5x=5$

Приклад № 4:

Знайти межу:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (1+x^(2))^(1/x) $

Рішення:

Прологарифмуємо функцію:

$\ln y=\frac(1)(x) \ln (1+x^(2))=\frac(\ln (1+x^(2)))(x) $

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\ln (1+x^(2)))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left[\ln (1+x^(2))\right]")(x") =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\frac(2x) (1+x^(2) ) )(1) =0$

Оскільки функція $ln(y)$ - безперервна, отримаємо:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (\ln y)=\ln (\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) y)$

Отже,

$\ln (\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) y)=0$

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) y=1$

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (1+x^(2))^(1/x) =1$

Рішення меж функції онлайн. Визначити граничне значення функції або функціональної послідовності в точці, обчислити граничнезначення функції на нескінченності. визначити збіжність числового ряду і багато іншого можна виконати завдяки нашому онлайн-сервісу. Ми дозволяємо знаходити ліміти функцій онлайн швидко та безпомилково. Ви самі вводите змінну функції та межу, до якої вона прагне, анаш сервіс проводить всі обчислення за вас, надаючи точну та просту відповідь. Причому для знаходження межі онлайнви можете вводити як числові ряди, так і аналітичні функції, що містять константи буквально. У цьому випадку знайдена межа функції міститиме ці константи як постійні аргументи у виразі. Нашим сервісом вирішуються будь-які складні завдання щодо знаходження меж онлайн, достатньо вказати функцію та точку в якій необхідно обчислити граничне значення функції. Вираховуючи межі онлайн, можна користуватися різними методами та правилами їх вирішення, при цьому звіряючи отриманий результат з рішенням меж онлайнна www.сайт, що приведе до успішного виконання завдання - ви уникнете власних помилок та описок. Або ви повністю можете довіритися нам і використати наш результат у своїй роботі, не витрачаючи зайвих зусиль та часу на самостійні обчислення межі функції. Ми допускаємо введення таких граничних значень, як нескінченність. Необхідно ввести загальний член числової послідовності та www.сайтобчислить значення межі онлайнна плюс чи мінус нескінченності.

Одним із основних понять математичного аналізу є ліміт функціїі межа послідовностіу точці та на нескінченності, важливо вміти правильно вирішувати межі. З нашим сервісом це не складе жодних труднощів. Проводиться рішення меж онлайнпротягом декількох секунд, відповідь точна і повна. Вивчення математичного аналізу починається з граничного переходу, межівикористовуються практично у всіх розділах вищої математики, тому корисно мати під рукою сервер рішення лімітів онлайнЯким є matematikam.ru

Застосування правила Лопіталя необхідне обчислення меж при отриманні невизначеностей виду 0 0 і ∞ ∞ .

Є невизначеності виду 0 · ∞ та ∞ - ∞ .

Найважливішою частиною правила Лопіталя є диференціювання функції та знаходження її похідної.

Правило Лопіталя

Визначення 1

Коли lim x → x 0 f (x) g (x) = 0 0 або ∞ ∞ та функції f (x) , g (x) є диференційованими в межах точки х 0 тоді lim x → x 0 f (x) g (x) = lim x → x 0 f "(x) g"(x).

Якщо невизначеність не вирішувана після застосування правила Лопіталя, тоді необхідно його знову застосувати. Для повного поняття розглянемо кілька прикладів.

Приклад 1

Здійснити обчислення, застосувавши правило Лопіталя lim x → 0 sin 2 (3 x) x · cos (x) .

Рішення

Для рішення за правилом Лопіталя для початку необхідно зробити підстановку. Отримуємо, що lim x → 0 sin 2 (3 x) x · cos (x) = sin 2 (3 · 0) 0 · cos (0) = 0 0 .

Тепер можна переходити до обчислення меж, використовуючи правило. Отримуємо, що

lim x → 0 sin 2 (3 x) x · cos (x) = 0 0 = lim x → 0 sin 2 (3 x) " x · cos (x) " = lim x → 0 2 sin (3 x) ( sin (3 x)) " x " · cos (x) + x · (cos (x)) = = lim x → 0 6 sin (3 x) cos (3 x) cos (x) - x · sin ( x) = 6 sin (3 · 0) cos (3 · 0) cos (0) - 0 · sin (0) = 0 1 = 0

Відповідь: lim x → 0 sin 2 (3 x) x · cos (x) = 0 .

Приклад 2

Обчислити межу заданої функції lim x → ∞ ln (x) x .

Рішення

Проводимо постановку нескінченністю. Отримуємо, що

lim x → ∞ ln (x) x = ln (∞) ∞ = ∞ ∞

Отримана невизначеність свідчить про те, що необхідно застосувати правило Лопіталя. Маємо, що

lim x → ∞ ln (x) x = ∞ ∞ = lim x → ∞ ln (x) "x" = lim x → ∞ 1 x 1 = 1 ∞ = 0

Відповідь: lim x → ∞ ln(x) x = 0

Приклад 3

Обчислити межу заданої функції lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x))

Рішення

Виробляємо підстановку значення x. отримуємо, що

lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = (0 + 0) 4 · ln (0 + 0) = 0 · (- ∞)

Рішення призвело до невизначеності виду нуль помножений на негативну нескінченність. Це вказує на те, що необхідно звернутися до таблиці невизначеностей та прийняти рішення для вибору методу знаходження цієї межі. Після перетворення застосовуємо правило Лопіталю. Отримуємо, що

lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = 0 · (- ∞) = lim x → 0 + 0 ln (x) x - 4 = ln (0 + 0) (0 + 0) - 4 = - ∞ + ∞

Прихід до невизначеності свідчить, що необхідно повторне застосування цього правила. Маємо, що

lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = 0 · (- ∞) = lim x → 0 + 0 ln (x) x - 4 = - ∞ + ∞ = = lim x → 0 + 0 (ln (x)) "(x - 4)" = lim x → 0 + 0 1 x - 4 - 5 = - 1 4 lim x → 0 + 0 1 x - 4 = - 1 4 · 1 (0 + 0) - 4 = = - 1 4 · (0 + 0) 4 = 0

Відповідь: lim x → 0 + 0 (x 4 ln(x)) = 0

Приклад 4

Виконати обчислення межі функції lim x → 0 c t g 2 (x) – 1 x 2 .

Рішення

Після підстановки отримуємо

lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 = ∞ - ∞

Наявність невизначеності свідчить про те, що слід використовувати правило Лопіталя. Отримуємо, що

lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 = ∞ - ∞ = lim x → 0 cos 2 (x) sin 2 (x) - 1 x 2 = = lim x → 0 x 2 cos 2 (x) - sin 2 (x) x 2 sin 2 (x) = lim x → 0 x cos x - sin x x cos x + sin x x 2 sin 2 (x) = = lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x ) x cos x + sin x x = lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) cos x + sin x x = = lim x → 0 cos x + sin x x lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) = 2 lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) = = 2 0 · cos (0) - sin (0) 0 · sin 2 (0) = 0 0

Для останнього переходу використовувалася перша чудова межа. Після чого приходимо до рішення Лопіталь. Отримаємо, що

2 lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) = 0 0 = 2 lim x → 0 (x cos x - sin x) "(x sin 2 (x))" = = 2 lim x → 0 cos x - x sin x - cos x sin 2 (x) + 2 x sin x cos x = 2 lim x → 0 - x sin (x) + 2 x cos x = 0 0

Оскільки невизначеність не пішла, потрібне ще одне застосування правила Лопіталя. Отримуємо межу виду

2 lim x → 0 - x sin (x) + 2 x cos x = 0 0 = 2 lim x → 0 - x sin (x) + 2 x cos x " = = 2 lim x → 0 1 cos x + 2 cos x - 2 x sin x = - 2 · 1 3 · cos (0) - 2 · 0 · sin (0) = - 2 3

Відповідь: lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 = - 2 3

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Викладено метод розв'язання меж, використовуючи правило Лопіталя. Наводяться формулювання відповідних теорем. Докладно розібрано приклади розв'язання меж, що містять невизначеності ∞/∞, 0/0, 0 у ступені 0 та ∞ - ∞, за допомогою правила Лопіталя.

Зміст

Див. також: Правила обчислення похідних

Метод вирішення

Одним із найпотужніших методів розкриття невизначеностей та обчислення меж функцій є використання правила Лопіталя. Воно дозволяє розкривати невизначеності виду 0/0 або ∞/∞ у кінцевій або нескінченно віддаленій точці, яку ми позначимо як x 0 . Правило Лопіталя полягає в тому, що ми знаходимо похідні чисельника та знаменника дробу. Якщо є межа , .
Якщо після диференціювання ми знову отримуємо невизначеність, процес можна повторити, тобто застосувати правило Лопіталя вже до межі . І так далі, до розкриття невизначеності.

Для застосування цього правила, має існувати така проколота околиця точки x 0 , на якій функції в чисельнику та знаменнику є диференційованими і функція у знаменнику та її похідна не звертається в нуль.

Застосування правила Лопіталю складається з наступних кроків.
1) Наводимо невизначеність до виду 0/0 або ∞/∞ . Для цього, якщо потрібно, виконуємо перетворення та робимо заміну змінною. В результаті отримуємо межу виду.
2) Переконуємося, що існує така проколота околиця точки x 0 , на якій функції в чисельнику та знаменнику є диференційованими і знаменник та його похідна не звертаються в нуль.
3) Знаходимо похідні чисельника та знаменника.
4) Якщо є кінцева чи нескінченна межа , то завдання вирішено: .
5) Якщо межі немає, це значить, що немає вихідної межі. Це означає, що це завдання вирішити за допомогою правила Лопіталя не можна. Потрібно застосувати інший метод (див. приклад нижче).
6) Якщо межі знову виникає невизначеність, то до нього також можна застосувати правило Лопіталя, починаючи з пункту 2).

Як зазначалося вище, застосування правила Лопіталю може призвести до функції, межі якої немає. Однак це не означає, що немає вихідної межі. Розглянемо наступний приклад.
.
Застосовуємо правило Лопіталю. , .
Проте межі немає. Незважаючи на це, вихідна функція має межу:
.

Правило Лопіталя. Формулювання теорем

Тут ми наводимо формулювання теорем, на яких ґрунтується розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя.

Теорема про розкриття невизначеності 0/0
Нехай функції f і g мають похідні в проколоті (двосторонній або односторонній) околиці кінцевої або нескінченно віддаленої () точки, причому і не дорівнюють нулю в цьому околиці. І нехай
.
,
то існує рівна йому межа
.

Теорема про розкриття невизначеності ∞/∞
Нехай функції f і g мають похідні в проколоті (двосторонній або односторонній) околиці кінцевої або нескінченно віддаленої () точки, причому не дорівнює нулю в цьому околиці. І нехай
.
Тоді, якщо існує кінцева або нескінченна межа
,
то існує рівна йому межа
.
Тут для двостороннього околиці. Для одностороннього околиці, , або .

Приклади

Приклад 1

Показати, що експонента зростає швидше за будь-яку статечну функцію, а логарифм - повільніше. Тобто показати, що
А);
Б) ,
де.

Розглянемо межу А). При . Це невизначеність виду. Для її розкриття застосовуємо правило Лопіталю. Нехай
.
Знаходимо похідні. . Тоді
.
Якщо , то невизначеність зникає, оскільки за . За правилом Лопіталя,
.

Якщо , то застосовуємо правило Лопіталя n разів, де ціла частина числа b .
;

.
Оскільки, то. Хоча ми звикли читати ліворуч, але цю серію рівностей слід читати праворуч ліворуч наступним чином. Оскільки існує межа, то існує рівна йому межа. Оскільки існує межа, то існує рівна йому межа. І так далі, поки не дійдемо до краю.

Тепер розглянемо межу Б):
. Зробимо заміну змінною. Тоді; при; .

Приклад 2

Знайти межу за допомогою правила Лопіталя:
.

Це невизначеність виду 0/0 . Знаходимо за правилом Лопіталя.

.

Тут, після першого застосування правила, ми знову отримали невизначеність. Тому застосували правило Лопіталя вдруге. Цю серію рівностей потрібно читати праворуч наліво в такий спосіб. Оскільки існує межа, то існує рівна йому межа. Оскільки існує межа, то існує рівна йому вихідна межа.

Приклад 3

Обчислити межу, використовуючи правило Лопіталя.
.

Знайдемо значення чисельника та знаменника при:
;

.
Чисельник і знаменник дорівнюють нулю. Ми маємо невизначеність виду 0/0 . Для її розкриття, застосуємо правило Лопіталю.

.

Приклад 4

Вирішити межу за допомогою правила Лопіталю.
.

Тут ми маємо невизначеність виду (+0) +0 . Перетворимо її на вигляд +∞/+∞ . Для цього виконуємо перетворення.
.

Знаходимо межу у показнику ступеня, застосовуючи правило Лопіталя.
.

Оскільки експонента – безперервна функція для всіх значень аргументу, то
.

Приклад 5

Знайти межу використовуючи правило Лопіталя:
.

Тут маємо невизначеність виду ∞ - ∞ . Приводячи дроби до спільного знаменника, наведемо його до невизначеності виду 0/0 :
.

Застосовуємо правило Лопіталю.
;
;
.

Тут у нас знову невизначеність виду 0/0 . Застосовуємо правило Лопіталю ще раз.
;

;
.

Остаточно маємо:

.
Як і всіх межах, обчислюваних з допомогою правила Лопіталя, читати треба з кінця. Оскільки існує межа, то існує рівна йому межа. Оскільки існує межа, то існує рівна йому вихідна межа.

Примітка. Можна спростити обчислення, якщо скористатися теоремою про заміну функцій еквівалентними межі приватного . Відповідно до цієї теореми, якщо функція є дробом або добутком множників, то множники можна замінити на еквівалентні функції. Оскільки при , то

.

Використана література:
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.І. Чехлов, М.І. Шабунін. Збірник задач з математичного аналізу. Том 1. Москва, 2003.

Див. також: