Визначення кінцевих та нескінченних меж функції на нескінченності по Коші. Визначення двосторонніх та односторонніх меж (зліва та праворуч). Приклади розв'язування задач, у яких, використовуючи визначення Коші, потрібно показати, що межа на нескінченності дорівнює заданому значенню, .

Зміст

Див. також: Околиця точки
Універсальне визначення межі функції по Гейні та Коші

Кінцева межа функції на нескінченності

Межа функції на нескінченності:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

Визначення межі по Коші
Число a називається межею функції f (x)при x, що прагне до нескінченності (), якщо
1) існує така | >
2) для будь-якого, скільки завгодно малого позитивного числа ε > 0 , існує така кількість N ε > K, залежить від ε , що всім x, |x| > N ε, значення функції належать ε - околиці точки a:
|f (x) - a |< ε .
Межа функції на нескінченності позначається так:
.
Або при .

Також часто використовується таке позначення:
.

Запишемо це визначення, використовуючи логічні символи існування та загальності:
.
Тут мається на увазі, що значення належать області визначення функції.

Односторонні межі

Ліва межа функції на нескінченності:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Часто трапляються випадки, коли функція визначена тільки для позитивних або негативних значень змінної x (точніше, в околиці точки або ). Також межі на нескінченності для позитивних та негативних значень x можуть мати різні значення. Тоді застосовують односторонні межі.

Ліва межа в нескінченно віддаленій точціабо межа при x що прагне мінус нескінченності () визначається так:
.
Права межа в нескінченно віддаленій точціабо межа при x прагне до плюс нескінченності () :
.
Односторонні межі на нескінченності часто позначають так:
; .

Нескінченна межа функції на нескінченності

Нескінченна межа функції на нескінченності:
|f(x)| > M за |x| > N

Визначення нескінченної межі по Коші
Межа функції f (x)при x, що прагне до нескінченності (), дорівнює нескінченності, якщо
1) існує така околиця нескінченно віддаленої точки | > K , де функція визначена (тут K - позитивне число);
2) для будь-якого, скільки завгодно великого числа M > 0 , існує така кількість N M > K, залежить від M , що всім x, |x| > N M , значення функції належать околиці нескінченно віддаленої точки:
|f (x) | > M.
Нескінченна межа при x, що прагне до нескінченності, позначають так:
.
Або при .

За допомогою логічних символів існування та загальності, визначення нескінченної межі функції можна записати так:
.

Аналогічно вводяться визначення нескінченних меж певних знаків, рівних і :
.
.

Визначення односторонніх меж на нескінченності.
Ліві межі.
.
.
.
Праві межі.
.
.
.

Визначення межі функції за Гейном

Число a (кінцеве або нескінченно віддалене) називається межею функції f (x)у точці x 0 :
,
якщо
1) існує така околиця нескінченно віддаленої точки x 0 , на якій функція визначена (тут або );
2) для будь-якої послідовності ( x n ), що сходить до x 0 : ,
елементи якої належать околиці , послідовність ( f(x n ))сходиться до a:
.

Якщо в якості околиці взяти околицю нескінченно віддаленої точки без знака: , то отримаємо визначення межі функції при x нескінченності, що прагне. Якщо взяти лівостороннє або правостороннє околиця нескінченно віддаленої точки x 0 : або , то отримаємо визначення межі при x, що прагне мінус нескінченності і плюс нескінченності, відповідно.

Визначення межі по Гейні та Коші еквівалентні.

Приклади

Приклад 1

Використовуючи визначення Коші показати, що
.

Введемо позначення:
.
Знайдемо область визначення функції. Оскільки чисельник і знаменник дробу є многочленами, то функція визначена всім x крім точок, у яких знаменник перетворюється на нуль. Знайдемо ці точки. Вирішуємо квадратне рівняння. ;
.
Коріння рівняння:
; .
Оскільки, то й.
Тому функція визначена за . Це ми будемо використовувати надалі.

Випишемо визначення кінцевої межі функції на нескінченності по Коші:
.
Перетворюємо різницю:
.
Розділимо чисельник та знаменник на та помножимо на -1 :
.

Нехай.
Тоді
;
;
;
.

Отже, ми знайшли, що при ,
.
.
Звідси слідує що
при , та .

Оскільки завжди можна збільшити, візьмемо . Тоді для будь-кого,
при .
Це означає, що .

Приклад 2

Нехай.
Використовуючи визначення межі по Коші показати, що:
1) ;
2) .

1) Рішення при x, що прагне мінус нескінченності

Оскільки , то функція визначена всім x .
Випишемо визначення межі функції при , рівного мінус нескінченності:
.

Нехай. Тоді
;
.

Отже, ми знайшли, що при ,
.
Вводимо позитивні числа та:
.
Звідси випливає, що для будь-якого позитивного числа M є число , так що при ,
.

Це означає, що .

2) Рішення у x прагне до плюс нескінченності

Перетворимо вихідну функцію. Помножимо чисельник і знаменник дробу і застосуємо формулу різниці квадратів:
.
Маємо:

.
Випишемо визначення правої межі функції при:
.

Введемо позначення: .
Перетворюємо різницю:
.
Помножимо чисельник і знаменник на :
.

Нехай
.
Тоді
;
.

Отже, ми знайшли, що при ,
.
Вводимо позитивні числа та:
.
Звідси слідує що
при і.

Оскільки це виконується для будь-якого позитивного числа, то
.

Використана література:
С.М. Микільський. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 1983.

Див. також:

Для тих, хто хоче навчитися знаходити межі в цій статті, ми розповімо про це. Не заглиблюватимемося в теорію, зазвичай її дають на лекціях викладачі. Так що "нудна теорія" має бути у Вас законспектована у зошитах. Якщо цього немає, то можна почитати підручники взяті в бібліотеці навчального закладу або на інших інтернет-ресурсах.

Отже, поняття межі досить важливо у вивченні курсу вищої математики, особливо коли ви зіткнетеся з інтегральним обчисленням та зрозумієте зв'язок між межею та інтегралом. У цьому матеріалі будуть розглянуті прості приклади, а також способи їх вирішення.

Приклади рішень

Приклад 1

Обчислити а) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; б)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Рішення

а) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ б)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Нам часто надсилають ці межі із проханням допомогти вирішити. Ми вирішили їх виділити окремим прикладом і пояснити, що ці межі необхідно просто запам'ятати, як правило. Якщо не вдається вирішити своє завдання, то надсилайте його до нас. Ми надамо детальне рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення та отримати інформацію. Це допоможе вчасно отримати залік у викладача!

Відповідь

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( б))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Що робити з невизначеністю виду: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Приклад 3

Вирішити $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Рішення

Як завжди починаємо з підстановки значення $ x $ у вираз, що стоїть під знаком межі. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Що тепер далі? Що ж має вийти у результаті? Оскільки це невизначеність, це ще не відповідь і продовжуємо обчислення. Оскільки в чисельники у нас багаточлен, то розкладемо його на множники, за допомогою знайомої всім формули ще зі шкільної лави $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Згадали? Чудово! Тепер вперед і з піснею застосовувати її :) Отримуємо, що чисельник $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Продовжуємо вирішувати враховуючи вищенаведене перетворення: $$ \lim \limits_(x \to-1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Відповідь

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Спрямуємо межу в останніх двох прикладах до нескінченності та розглянемо невизначеність: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Приклад 5

Обчислити $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Рішення

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Що ж робити? Як бути? Не варто панікувати, бо неможливе – можливо. Потрібно винести за дужки й у чисельнику та у знаменнику ікс, а потім його скоротити. Після цього межа спробувати обчислити. Пробуємо... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Використовуючи визначення з прикладу 2 і підставляючи місце х нескінченність отримуємо: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Відповідь

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Алгоритм обчислення лімітів

Отже, давайте коротко підіб'ємо підсумок розібраним прикладам і складемо алгоритм розв'язання меж:

1. Підставити точку х вираз, наступне після знака межі. Якщо виходить певне число, або нескінченність, то межа вирішена повністю. В іншому випадку маємо невизначеність: "нуль ділити на нуль" або "нескінченність ділити на нескінченність" і переходимо до наступних пунктів інструкції.
2. Щоб усунути невизначеність "нуль ділити на нуль", потрібно розкласти чисельник і знаменник на множники. Скоротити такі. Підставити точку х у вираз, що стоїть під знаком межі.
3. Якщо невизначеність "нескінченність ділити на нескінченність", тоді виносимо і в чисельнику, і в знаменнику x найбільшою мірою. Зменшуємо ікси. Підставляємо значення ікса з під межі в вираз, що залишився.

У цій статті Ви ознайомилися з основами вирішення меж, які часто використовуються в курсі Математичного аналізу. Звичайно ж це не всі типи завдань, що пропонуються екзаменаторами, а найпростіші межі. У наступних статтях поговоримо про інші типи завдань, але спочатку необхідно засвоїти цей урок, щоб рухатися далі. Обговоримо, що робити, якщо є коріння, ступеня, вивчимо нескінченно малі еквівалентні функції, чудові межі, правило Лопіталя.

Якщо Вам не вдається самостійно вирішити межі, то не панікуйте. Ми завжди раді допомогти!

При вирішенні завдань на відшукання меж слід пам'ятати деякі межі, щоб щоразу не обчислювати їх наново. Комбінуючи ці відомі межі, знаходимо за допомогою властивостей, зазначених у § 4, нові межі. Для зручності наведемо найчастіші межі: Межі 1 lim х - а х а 2 lim 1 = 0 3 lim х-± з X ± 00 4 lim -L, = оо Х->о\Х\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a), якщо f (x) безперервна x a Якщо відомо, що функція безперервна, то замість знаходження межі обчислюємо значення функції. Приклад 1. Знайти лім (х * -6л: + 8). Оскільки багато- Х->2

член-функція безперервна, то lim (х *-6x4-8) = 2 * -6-2 + 8 = 4. х - +2 х *_2х 4-1 Приклад 2. Знайти lim -г. . Спочатку знаходимо пре- Х-+1 х ~г'х справ знаменника: lim [хг-\-Ъх) = 12 + 5-1 = 6; він не дорівнює Х-У1 нулю, отже, можна застосувати властивість 4 § 4, тоді x™i *" + &* ~~ lim (х2 Ъх) - 12 + 5-1 ""6 1 . Межа знаменника X X дорівнює нулю, тому властивість 4 § 4 не можна застосувати, оскільки чисельник-постійне число, а знаменник [х2х)->-0 при х--1, то весь дріб необмежено зростає за абсолютною величиною, тобто lim " 1 Х-*- - 1 х* + х Приклад 4. Знайти lim \-ll*"!"» « Межа знаменника дорівнює нулю: lim (хг-6лг+ 8) = 2*-6-2 + 8 = 0, тому X властивість 4 § 4 не застосовується. Але межа чисельника теж дорівнює нулю: lim (х2 - 5д; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Отже, межі чисельника та знаменника одночасно дорівнюють нулю. Однак число 2 є коренем і чисельником і знаменником, тому дріб можна скоротити на різницю х-2 (за теоремою Безу). Справді, х*-5х + 6 (х-2) (х-3) х-3 х"-6х + 8~ (х-2) (х-4) ~~ х-4" отже, хг- -f- 6 г х-3 -1 Приклад 5. Знайти lim хп (п ціле, позитивне). X з Маємо хп = X * X. . X, п разо Оскільки кожен множник необмежено зростає, те й твір також необмежено зростає, т. е. lim хп=оо. х оо Приклад 6. Знайти lim хп(п ціле, позитивне). X -> - СО Маємо хп = х х... х. Так як кожен множник зростає по абсолютній величині, залишаючись негативним, то у разі парного ступеня твір буде необмежено зростати, залишаючись позитивним, тобто lim *п = + оо (при четному). *-* -со У разі непарного ступеня абсолютна величина твору зростає, але воно залишається негативним, тобто lim хп = - оо (при п непарному). п – 00 Приклад 7. Знайти lim. х х-*- з * Якщо т>пу то можна написати: m = n + kt де k>0. Тому хт Ь lim - = - = lim - = - = lim x. уП Yn х -х> А х ю Прийшли до прикладу 6. Якщо ж ти уТЛ xm I lim lim lim т. X - О х-* ю Л X ->с Тут чисельник залишається постійним, а знаменник зростає за абсолютною величиною, тому lim -ь = 0. Х-*оо X* Результат цього прикладу рекомендується запам'ятати у такому вигляді: Ступенева функція зростає тим швидше, що більше показник ступеня. $хв_Зхг + 7

Приклади

Приклад 8. Знайти lim g L -г-=.У цьому прикладі х-*® «J* "Г ЬХ -ох-о і чисельник і знаменник необмежено зростають. на хв, тоді 3 7_ Приклад 9. Знайти lira . Здійснюючи перетворення - * г ^ ня, отримаємо lira . . раде-*® Х X-+-CD Х вен нулю, у той час як межа чисельника дорівнює 1. Отже, весь дріб необмежено зростає, тобто t. 7х hm Х-+ ю Приклад 10. знаменника, пам'ятаючи, що cos*-функція безперервна: lira (2 + cos x) = 2 + cosy = 2. Тоді х-> - S lim (l-fsin *) Приклад 15. Знайдемо lim *<*-e>2 та lim е"(Х"а)\ Поло- Х-+ ± з X ± СО жим (л: - a)2 = z; оскільки (л;-а)2 завжди невід'ємно і необмежено росте разом з х, то при х-±оо нове змінне z-*ос. Тому отримуємо цт £<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = оо (див. зауваження §5). г -*■ з Аналогічно lim е~(Х-а)2 = lim e~z=Q, оскільки х ± оо г м - (х- а)г необмежено зменшується при х->±оо (див. зауваження до §

Визначення меж послідовності та функції, властивості меж, перший та другий чудові межі, приклади.

Постійне число аназивається межею послідовності(x n ), якщо для будь-якого скільки завгодно малого позитивного числа ε > 0 існує номер N, що всі значення x n, у яких n>N, задовольняють нерівності

Записують це так: або x n → a.

Нерівність (6.1) рівносильна подвійній нерівності

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, Починаючи з деякого номера n>N, лежать всередині інтервалу (a-ε, a+ε), тобто. потрапляють у будь-яку малу ε-околиця точки а.

Послідовність, що має межу, називається схожій, в іншому випадку - розходиться.

Поняття межа функції є узагальненням поняття межа послідовності, так як межа послідовності можна розглядати як межа функції x n = f(n) цілісного аргументу n.

Нехай дана функція f(x) та нехай a - гранична точкаобласті визначення цієї функції D(f), тобто. така точка, будь-яка околиця якої містить точки множини D(f), відмінні від a. Крапка aможе належати множині D(f), а може і не належати йому.

Визначення 1.Постійне число А називається межа функції f(x) при x→ a якщо для будь-якої послідовності (x n ) значень аргументу, що прагне до а, відповідні їм послідовності (f(x n)) мають одну й ту саму межу А.

Це визначення називають визначенням межі функції за Гейном,або “ мовою послідовностей”.

Визначення 2. Постійне число А називається межа функції f(x) при x→a, якщо, задавши довільне, як завгодно мале позитивне число ε, можна знайти таке δ >0 (що залежить від ε), що для всіх x, що лежать в ε-околиці числа а, тобто. для x, що задовольняють нерівності
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Це визначення називають визначенням межі функції по Коші,або “на мові ε - δ"

Визначення 1 та 2 рівносильні. Якщо функція f(x) за x → a має межа, рівний А, це записується як

У тому випадку, якщо послідовність (f(x n)) необмежено зростає (або зменшується) за будь-якого способу наближення xдо своєї межі а, то говоритимемо, що функція f(x) має нескінченна межа,і записувати це у вигляді:

Змінна величина (тобто послідовність або функція), межа якої дорівнює нулю, називається нескінченно малою величиною.

Змінна величина, межа якої дорівнює нескінченності, називається нескінченно великою величиною.

Щоб знайти межу практично користуються наступними теоремами.

Теорема 1 . Якщо існує кожна межа

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Зауваження. Вирази виду 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ є невизначеними, наприклад, відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих величин, і знайти межу такого виду називається “розкриття невизначеностей”.

Теорема 2.

тобто. можна переходити до межі на підставі ступеня за постійного показника, зокрема,

Теорема 3.

(6.11)

де e» 2.7 - основа натурального логарифму. Формули (6.10) і (6.11) звуться перша чудова межа і друга чудова межа.

Використовуються на практиці та наслідки формули (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

зокрема межа,

Якщо x → a і при цьому x > a, пишуть x →a + 0. Якщо, зокрема, a = 0, то замість символу 0+0 пишуть +0. Аналогічно, якщо x→a і при цьому x і називаються відповідно межа праворучі межа зліва функції f(x) у точці а. Щоб існувала межа функції f(x) при x→ a, необхідно і достатньо, щоб . Функція f(x) називається безперервний у точці x 0 якщо межа

(6.15)

Умову (6.15) можна переписати у вигляді:

тобто можливий граничний перехід під знаком функції, якщо вона безперервна у цій точці.

Якщо рівність (6.15) порушена, то кажуть, що при x = x o функція f(x) має розрив.Розглянемо функцію y = 1/x. Областью визначення цієї функції є безліч R, Крім x = 0. Точка x = 0 є граничною точкою множини D(f), оскільки у будь-якій її околиці, тобто. у будь-якому відкритому інтервалі, що містить точку 0, є точки з D(f), але вона сама не належить цій множині. Значення f(x o)= f(0) не визначено, у точці x o = 0 функція має розрив.

Функція f(x) називається безперервної праворуч у точці x o якщо межа

і безперервної зліва в точці x o, якщо межа

Безперервність функції у точці x oрівносильна її безперервності у цій точці одночасно праворуч і ліворуч.

Для того, щоб функція була безперервною у точці x o, наприклад, справа, необхідно, по-перше, щоб існувала кінцева межа , а по-друге, щоб ця межа дорівнювала f(x o). Отже, якщо хоча б одна з цих двох умов не виконується, то функція матиме розрив.

1. Якщо межа існує і не дорівнює f(x o), то кажуть, що функція f(x) у точці x o має розрив першого роду,або стрибок.

2. Якщо межа дорівнює +∞ або -∞ або не існує, то кажуть, що в точці x o функція має розрив другого роду.

Наприклад, функція y = ctg x при x → +0 має межу, рівну +∞ , отже, у точці x=0 вона має розрив другого роду. Функція y = E(x) (ціла частина від x) У точках з цілими абсцисами має розриви першого роду, або стрибки.

Функція, безперервна в кожній точці проміжку, називається безперервнийв. Безперервна функція є суцільною кривою.

До другого чудовому межі наводять багато завдань, пов'язані з безперервним зростанням будь-якої величини. До таких завдань, наприклад, відносяться зростання вкладу за законом складних відсотків, зростання населення країни, розпад радіоактивної речовини, розмноження бактерій і т.п.

Розглянемо приклад Я. І. Перельмана, що дає інтерпретацію числа eу задачі про складні відсотки. Число eє межа . У ощадбанках відсоткові гроші приєднуються до основного капіталу щорічно. Якщо приєднання відбувається частіше, то капітал зростає швидше, оскільки у освіті відсотків бере участь велика сума. Візьмемо суто теоретичний, дуже спрощений приклад. Нехай у банк покладено 100 ден. од. з розрахунку 100% річних. Якщо відсоткові гроші будуть приєднані до основного капіталу лише після закінчення року, то цього терміну 100 ден. од. перетворяться на 200 ден.од. Подивимося тепер, на що перетворяться 100 ден. од., якщо відсоткові гроші приєднувати до основного капіталу кожні півроку. Через півріччя 100 ден. од. зростуть у 100×1,5 = 150, а ще через півроку – у 150×1,5 = 225 (ден. од.). Якщо приєднання робити кожні 1/3 року, то через рік 100 ден. од. перетворяться на 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (ден. од.). Будемо частішати терміни приєднання відсоткових грошей до 0,1 року, до 0,01 року, до 0,001 року тощо. Тоді зі 100 ден. од. через рік вийде:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (ден. од.),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (ден. од.),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (ден. од.).

При безмежному скороченні термінів приєднання відсотків нарощений капітал не зростає безмежно, а наближається до певної межі, що дорівнює приблизно 271. Більш ніж у 2,71 раз капітал, покладений під 100% річних, збільшитися не може, навіть якби нарослі відсотки приєднувалися до капіталу. секунду, тому що межа

Приклад 3.1. Користуючись визначенням межі числової послідовності, довести, що послідовність x n =(n-1)/n має межу, що дорівнює 1.

Рішення.Нам треба довести, що хоч би яке ε > 0 ми не взяли, для нього знайдеться натуральне число N, таке, що для всіх n > N має місце нерівність |x n -1|< ε

Візьмемо будь-яке ε > 0. Оскільки x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то знайти N достатньо вирішити нерівність 1/n<ε. Отсюда n>1/ε і, отже, N можна прийняти цілу частину від 1/ε N = E(1/ε). Ми тим самим довели, що .

Приклад 3.2.Знайти межу послідовності, заданої спільним членом .

Рішення. Застосуємо теорему межу суми та знайдемо межу кожного доданка. При n → ∞ чисельник і знаменник кожного доданка прагне нескінченності, і ми можемо безпосередньо застосувати теорему межа приватного. Тому спочатку перетворимо x n, розділивши чисельник і знаменник першого доданку на n 2, а другого на n. Потім, застосовуючи теорему межу приватного та межу суми, знайдемо:

Приклад 3.3. . Знайти.

Рішення.

Тут ми скористалися теоремою про межу ступеня: межа ступеня дорівнює ступеня межі підстави.

Приклад 3.4. Знайти ( ).

Рішення. Застосовувати теорему межу різниці не можна, оскільки маємо невизначеність виду ∞-∞. Перетворимо формулу загального члена:

Приклад 3.5. Дана функція f(x)=2 1/x. Довести, що межі немає.

Рішення.Скористаємося визначенням 1 межі функції через послідовність. Візьмемо послідовність ( x n ), що сходить до 0, тобто. Покажемо, що величина f(x n)= для різних послідовностей поводиться по-різному. Нехай xn = 1/n. Очевидно, що тоді межа Виберемо тепер як x nпослідовність із загальним членом x n = -1/n, що також прагне до нуля. Тому межі немає.

Приклад 3.6. Довести, що межі немає.

Рішення.Нехай x 1 , x 2 ,..., x n ,... - послідовність, для якої
. Як поводиться послідовність (f(x n)) = (sin x n ) при різних x n → ∞

Якщо x n = p n то sin x n = sin (p n) = 0 при всіх nі межа Якщо ж
x n =2 p n+ p /2, то sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 всім nі отже межа. Отже, немає.

Межі завдають всім студентам, які вивчають математику, чимало клопоту. Щоб вирішити межу, часом доводиться застосовувати масу хитрощів і вибирати з безлічі способів вирішення саме той, який підійде для конкретного прикладу.

У цій статті ми не допоможемо вам зрозуміти межі своїх можливостей або осягнути межі контролю, але спробуємо відповісти на запитання: як зрозуміти межі у вищій математиці? Розуміння приходить з досвідом, тому зараз наведемо кілька докладних прикладів вирішення меж з поясненнями.

Поняття межі математики

Перше питання: що це взагалі за межу та межу чого? Можна говорити про межі числових послідовностей та функцій. Нас цікавить поняття межі функції, оскільки саме із ними найчастіше стикаються студенти. Але спочатку - загальне визначення межі:

Припустимо, є певна змінна величина. Якщо ця величина у процесі зміни необмежено наближається до певного числа a , то a - Межа цієї величини.

Для певної в певному інтервалі функції f(x)=y межею називається таке число A , якого прагне функція при х , що прагне до певної точки а . Крапка а належить інтервалу, у якому визначено функція.

Звучить громіздко, але записується дуже просто:

Lim- від англійської limit- Межа.

Існує також геометричне пояснення визначення межі, але тут ми не лізтимемо в теорію, тому що нас більше цікавить практична, ніж теоретична сторона питання. Коли ми говоримо, що х прагне якогось значення, це означає, що змінна не приймає значення числа, але нескінченно близько до нього наближається.

Наведемо конкретний приклад. Завдання – знайти межу.

Щоб вирішити такий приклад, підставимо значення x=3 у функцію. Отримаємо:

До речі, якщо Вас цікавлять базові операції над матрицями, читайте окрему статтю з цієї теми.

У прикладах х може прагнути будь-якого значення. Це може бути будь-яке число чи нескінченність. Ось приклад, коли х прагне нескінченності:

Інтуїтивно зрозуміло, що чим більше число в знаменнику, тим менше значення прийматиме функція. Так, за необмеженого зростання х значення 1/х буде зменшуватися та наближатися до нуля.

Як бачимо, щоб вирішити межу, потрібно просто підставити на функцію значення, якого прагнути х . Однак це найпростіший випадок. Часто перебування межі негаразд очевидне. У межах зустрічаються невизначеності типу 0/0 або нескінченність/нескінченність . Що робити у таких випадках? Вдаватися до хитрощів!

Невизначеності в межах

Невизначеність виду нескінченність/нескінченність

Нехай є межа:

Якщо спробуємо у функцію підставити нескінченність, то отримаємо нескінченність як у чисельнику, і у знаменнику. Взагалі варто сказати, що у вирішенні таких невизначеностей є певний елемент мистецтва: слід зазначити, як можна перетворити функцію таким чином, щоб невизначеність пішла. У нашому випадку розділимо чисельник і знаменник на х старшою мірою. Що вийде?

З уже розглянутого вище прикладу ми знаємо, що члени, які містять у знаменнику х, прагнутимуть нуля. Тоді рішення межі:

Для розкриття невизначеностей типу нескінченність/нескінченністьділимо чисельник і знаменник на ху найвищому ступені.

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на будь-який вид роботи

Ще один вид невизначеностей: 0/0

Як завжди, підстановка у функцію значення х=-1 дає 0 у чисельнику та знаменнику. Подивіться трохи уважніше і Ви помітите, що у чисельнику у нас є квадратне рівняння. Знайдемо коріння та запишемо:

Скоротимо та отримаємо:

Отже, якщо ви стикаєтеся з невизначеністю типу 0/0 - Розкладайте чисельник і знаменник на множники.

Щоб Вам було простіше вирішувати приклади, наведемо таблицю за межами деяких функцій:

Правило Лопіталя в межах

Ще один потужний спосіб дозволяє усунути невизначеності обох типів. У чому полягає суть методу?

Якщо межі є невизначеність, беремо похідну від чисельника і знаменника до того часу, поки невизначеність не зникне.

Наочно правило Лопіталя виглядає так:

Важливий момент : межа, в якій замість чисельника та знаменника стоять похідні від чисельника та знаменника, має існувати.

А тепер – реальний приклад:

В наявності типова невизначеність 0/0 . Візьмемо похідні від чисельника та знаменника:

Вуаля, невизначеність усунена швидко та елегантно.

Сподіваємося, що Ви зможете з користю застосувати цю інформацію на практиці та знайти відповідь на питання "як вирішувати межі у вищій математиці". Якщо потрібно обчислити межу послідовності або межу функції в точці, а часу на цю роботу немає від слова «зовсім», зверніться до професійного студентського сервісу за швидким та докладним рішенням.