Титов Максим

1. Рассмотреть все маршруты Нижнегорского района.

2. По данным маршрутов составить новые маршруты.

3. Показать являются ли новые маршруты Эйлеровыми графами.

4. Построить матрицу смежности для новых маршрутов.

5. Найти кратчайшие расстояния от пгт.Нижнегорского до населенных пунктов.

Скачать:

Предварительный просмотр:

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………………………….3

РАЗДЕЛ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГРАФОВ …………………………………5

1. Основные понятия теории графов......…………………...……...…………5
2. Характеристика Эйлеровых графов …………………………...…………...7
3. Поиск кратчайшего расстояния в графе (Алгоритм Дейкстри)…………..8

РАЗДЕЛ 2. МАРШРУТЫ НИЖНЕГОРСКОГО РАЙОНА ……………………..……10

1. Маршруты Нижнегорского района …..…..……………………………….10
2. Исследование маршрутов Нижнегорского района ……..………………..11

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………………………….17

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ …………………………………….19

ВВЕДЕНИЕ

Графы - это замечательные математические объекты, с помощью, которых можно решать математические, экономические и логические задачи. Также можно решать различные головоломки и упрощать условия задач по физике, химии, электронике, автоматике. Графы используют при составлении карт и генеалогических древ. Графами являются блок-схемы программ для ЭВМ, сетевые графики строительства, где вершины – события, означающие окончания работ на некотором участке, а ребра, связывающие эти вершины, - работы, которые возможно начать по совершении одного события и необходимо выполнить для совершения следующего. Одними из самых распространённых графов являются схемы линий метрополитена.

В математике даже есть специальный раздел, который так и называется: «Теория графов». Теория графов является частью как топологии, так и комбинаторики. То, что это топологическая теория, следует из независимости свойств графа от расположения вершин и вида соединяющих их линии. А удобство формулировок комбинаторных задач в терминах графов привела к тому, что теория графов стала одним из мощнейших аппаратов комбинаторики. При решении логических задач обычно бывает достаточно трудно держать в памяти многочисленные факты, данные в условии, устанавливать связь между ними, высказывать гипотезы, делать частные выводы и пользоваться ими.

Актуальность темы заключается в том, что теория графов в настоящее время является интенсивно развивающимся разделом дискретной математики. Это объясняется тем, что в виде графовых моделей описываются многие объекты и ситуации: коммуникационные сети, схемы электрических и электронных приборов, химические молекулы, отношения между людьми, всевозможные транспортные схемы и многое-многое другое. Очень важное для нормального функционирования общественной жизни. Именно этот фактор определяет актуальность их более подробного изучения.

Цель работы – исследование транспортных путей Нижнегорского района.

Задачи работы:

1 . Рассмотреть все маршруты Нижнегорского района.

2 . По данным маршрутов составить новые маршруты.

3. Показать являются ли новые маршруты Эйлеровыми графами.

4. Построить матрицу смежности для новых маршрутов.

5. Найти кратчайшие расстояния от пгт.Нижнегорского до населенных пунктов.

Объектом исследования является карта транспортных путей Нижнегорского района.

Практическая значимость данной работы в том, что она может быть использована на уроках при решении разных задач, а также в различных областях науки и в современной жизни.

Применяемые методы: поиск источников информации, наблюдение, сравнение, анализ, математическое моделирование.

С общим замыслом работы связана структура разделов. Основная часть состоит из трех глав. В первой рассмотрены основные понятия графов. Во второй главе исследуются маршруты Нижнегорского района.

При работе использовал ряд литературных источников: специальная литература по теории графов, познавательную литературу, различные научно-популярные, образовательные, специализированные журналы.

РАЗДЕЛ 1

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГРАФОВ

1.1. Основные понятия теории графов

Граф представляет собой непустое множество точек и множество отрезков, оба конца которых принадлежат заданному множеству точек. (Рис.1.1.)

Рис.1.1.

Вершина графа - точка, где могут сходиться/выходить рёбра и/или дуги.

Ребро графа - ребро соединяет две вершины графа.

Степень вершины - количество рёбер, выходящих из вершины графа.

Вершина графа, имеющая нечётную степень, называется нечетной, а чётную степень – чётной.

Если направление связи имеет значение, то линии снабжают стрелками, и в этом случае граф называется ориентированным графом, орграфом. (Рис.1.2.)

Рис.1.2.

Взвешенный граф - граф, каждому ребру которого поставлено в соответствие некое значение (вес ребра). (Рис.1.3.)

Рис. 1.3.

Графы, в которых построены все возможные ребра, называются полными графами. (Рис.1.4.)

Рис. 1.4.

Граф называется связным, если любые две его вершины могут быть соединены путем, т. е. последовательностью ребер, каждое следующее из которых начинается в конце предыдущего.

Матрица смежности – это матрица, элемент M[i] [j] которой равен 1, если существует ребро из вершины i в вершину j, и равен 0, если такого ребра нет (Рис.1.5. для графа на рис.1.1).

1.2. Характеристика Эйлеровых графов

Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, называется эйлеровым. (рис.1.6.)

Такими графы названы в честь учёного Леонарда Эйлера.

Закономерность 1.

Невозможно начертить граф с нечетным числом нечетных вершин.
Закономерность 2.

Если все вершины графа четные, то можно не отрывая карандаш от бумаги («одним росчерком»), проводя по каждому ребру только один раз, начертить этот граф. Движение можно начать с любой вершины и закончить его в той же вершине.
Закономерность 3.

Граф, имеющий всего две нечетные вершины, можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, при этом движение нужно начать с одной из этих нечетных вершин и закончить во второй из них.
Закономерность 4.

Граф, имеющий более двух нечетных вершин, невозможно начертить «одним росчерком».
Фигура (граф), которую можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, называется уникурсальной.

Рис.1.6.

1.3. Поиск кратчайшего расстояния в графе (Алгоритм Дейкстри)

Задача: задана сеть дорог между городами, часть которых могут иметь одностороннее движение. Найти кратчайшие расстояния от заданного города до всех остальных городов (рис.1.7).

Та же задача: дан связный граф с N вершинами, веса ребер заданы матрицей W. Найти кратчайшие расстояния от заданной вершины до всех остальных.

Алгоритм Дейкстры (E.W. Dijkstra, 1959):

1. Присвоить всем вершинам метку ∞.

2. Среди нерассмотренных вершин найти вершину j с наименьшей меткой.

3. Для каждой необработанной вершины i: если путь к вершине i через вершину j меньше существующей метки, заменить метку на новое расстояние.

4. Если остались необработанны вершины, перейти к шагу 2.

5. Метка = минимальное расстояние.

Рис.1.7.

Рис.1.8. Решение задачи

РАЗДЕЛ 2

МАРШРУТЫ НИЖНЕГОРСКОГО РАЙОНА

2.1. Маршруты Нижнегорского района

Нижнегорский район находится в степной части на севере АР Крым. В состав Нижнегорского района входят пгт.Нижнегорский и 59 населенных пунктов.

Через Нижнегорский район проходят две трассы: 2Р58 и 2Р64. Существуют 8 маршрутов, следующие от А/С Нижнегорская до других населенных пунктов. В своей работе я буду рассматривать эти маршруты:

1 маршрут «Нижнегорск – Красногвардейск». Следует через: Нижнегорск – Плодовое – Митофановка – Буревестник – Владиславовка.

2 маршрут «Нижнегорск - Изобильное»: Нижнегорск – Семенное – Кирсановка – Лиственное – Охотское – Цветущее – Емельяновка – Изобильное.

3 маршрут «Нижнегорск - Великоселье»: Нижнегорк – Семенное – Двуречье – Акимовка – Лужки – Заливное – Степановка – Луговое – Чкалово – Великоселье.

4 маршрут «Нижнегорск – Белогорск (трасса 2Р64)»: Нижнегорск – Желябовка – Ивановка – Заречье – Серово – Садовое – Пены.

5 маршрут «Нижнегорск - Уваровка»: Нижнегорск – Семенное – Новоивановка – Уварвка.

6 маршрут «Нижнегорск - Любимовка»: Нижнегорск – Семенное – Двуречье – Акимовка – Лужки – Заливное – Степановка – Луговое – Коворово – Дворовое – Любимовка.

7 маршрут «Нижнегорск - Пшеничное»: Нижнегорск – Семенное – Двуречье – Акимовка – Лужки – Заливное – Степановка – Луговое – Коворово – Дворовое – Сливянка – Пшеничное.

8 маршрут «Нижнегорск – Зоркино (траса 2Р58)»: Нижнегорск – Разливы – Михайловка – Кунцево – Зоркино.

Существует очень много сел, в которые автобусы по маршрутам не заезжают и людям приходится добираться до своих населенных пунктов самостоятельно, в основном пешком. Поэтому передо мною стала задача: А можно составить новые маршруты и включить в них населенные пункты, в которые автобусы не заходят.

Маршруты «Нижнегорск - Уваровка» «Нижнегорск - Любимовка» «Нижнегорск - Пшеничное» изменить нельзя, так как по пути их следования, автобусы заезжают во все населенные пункты, поэтому эти маршруты я рассматривать не буду.

Рассмотрим остальные пять маршрутов. Населенные пункты обозначим цифрами – это вершины графа, а расстояния между ними – ребрами графа и получим пять графов. Рассмотрим каждый граф по отдельности.

2.2. Исследование маршрутов Нижнегорского района

1 маршрут: Нижнегорск – Красногвардейск.

Нижнегорск – 1

Плодовое – 2

Митрофановка – 3

Червоное – 6

Буревестник – 4

Новогригорьевка – 7

Владиславовка – 5

Не заезжает в пункт 6, 7. Добавим в маршрут эти населенные пункты.

Рис.2.1.

Граф не является Эйлеровым. Новый маршрут выглядит так: Нижнегорск – Плодовое – Митрофановка – Буревестник – Новогригорьевка – Владиславовка. Добавилось село Новогригорьевка.

2 маршрут: Нижнегорск – Изобильное.

Нижнегорск – 1

Семенное – 2

Кирсановка – 3

Лиственное – 4

Охотское – 5

Цветущее – 6

Емельяновка – 7

Изобильное – 8

Кулички – 9

Родники - 10

Не заезжает в пункт 9,10. Добавим в маршрут эти населенные пункты.

Рис.2.2.

Граф не является Эйлеровым и связным, поэтому нельзя построить новый маршрут. Маршрут остается тот же.

3 маршрут: Нижнегорск - Великоселье

Нижнегорск – 1

Семенное – 2

Двуречье – 3

Акимовка – 4

Лужки – 5

Заливное – 6

Степановка – 7

Луговое – 8

Чкалово – 9

Великоселье – 10

Широкое - 11

Не заезжает в пункт 11. Добавим в маршрут этот населенный пункт.

Рис.2.3.

Граф не является Эйлеровым. Маршрут остается тот же.

4 маршрут: Нижнегорск - Белогорск (Трасса 2Р64)

Нижнегорск – 1 Косточковка - 12

Желябовка – 2 Фрунзе - 13

Ивановка – 3 Приречное - 14

Заречье – 4 Жемчужина - 15

Серово – 5

Садовое – 6

Пены – 7

Ломоносово – 8

Кукурузное – 9

Тамбовка – 10

Тарасовка - 11

Не заезжает в пункты 8-18. Добавим в маршрут эти населенные пункты.

Рис.2.4.

Граф не является Эйлеровым. Новый маршрут выглядит так: Нижнегорск – Желябовка – Ивановка – Заречье – Тамбовка – Тарсовка – Приречное – Жемчужина – Пены.

5 маршрут: Нижнегорск - Зоркино (Трасса 2Р58)

Нижнегорск – 1

Разливы – 2

Михайловка – 3

Кунцево – 4

Зоркино – 5

Уютное – 6

Нижинское – 7

Не заезжает в пункт 6,7. Добавим в маршрут эти населенные пункты.

Рис.2.5.

Граф не является Эйлеровым и связным, поэтому маршрут остается тот же.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Фрактальная наука очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и ещё подарит нам немало шедевров – тех, которые услаждают глаз, и тех которые доставляют истинное наслаждение разума. В этом заключается новизна работы.

В заключение хочется сказать, что после того как были открыты фракталы, для многих учёных стало очевидно, что старые, добрые формы евклидовой геометрии сильно проигрывают большинству природных объектов из-за отсутствия в них некоторой нерегулярности, беспорядка и непредсказуемости. Возможно, что новые идеи фрактальной геометрии помогут изучить многие загадочные явления окружающей природы. В настоящие время фракталы стремительно вторгаются во многие области физики, биологии, медицины, социологии, экономики. Методы обработки изображений и распознавания образов, использующие новые понятия, дают возможность исследователям применить этот математический аппарат для количественного описания огромного количества природных объектов и структур.

В процессе исследования была проделана следующая работа:

1. Проанализирована и проработана литература по теме исследования.

2. Рассмотрены и изучены различные виды фракталов.

3. Представлена классификация фракталов.

4. Собрана коллекция фрактальных образов для первичного ознакомления с миром фракталов.

5. Составлены программы для построения графического образа фракталов.

Лично для меня изучение темы «Неисчерпаемое богатство фрактальной геометрии» оказалось очень интересной и необычной. В процессе исследования я сам для себя сделал массу новых открытий, связанных не только с темой проекта, но и с окружающим миров в целом. Я испытываю огромный интерес к этой теме, и поэтому данная работа оказала исключительно положительное влияние на мое представление о современной науке.

Закончив свой проект, я могу сказать, что всё из того, что было задумано, удалось. В следующем году я продолжу работу над темой «фракталы», так как это тема очень интересна и многогранна. Думаю, что я решил проблему своего проекта, так как мной были достигнуты все поставленные цели. Работа над проектом показала мне то, что математика – это не только точная, но и красивая наука.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. В.М. Бондарев, В.И. Рублинецкий, Е.Г. Качко. Основы программирования, 1998 г.

2. Н. Кристофидес. Теория графов: алгоритмический подход, Мир, 1978 г.

3. Ф.А. Новиков. Дискретная математика для программистов, Питер, 2001 г.

4. В.А. Носов. Комбинаторика и теория графов, МГТУ, 1999 г.

5. О. Оре. Теория графов, Наука, 1982 г.

Номинация «Отчизны славные сыны»

Тема: «Чулков Алексей Петрович - Герой Советского Союза»

Галиуллин Равиль

МБОУ «Юхмачинская средняя общеобразовательная школа имени Героя Советского Союза Чулкова Алексея Петровича»

ученик 7 класса

Москвина Г.А.

1.Введение.

2. Основная часть

2.1. Жизнь и подвиг А.П. Чулкова

2.2. Память - увековечение имени Героя Советского Союза в мемориальных объектах

3.Заключение

4.Список используемой литературы

1. Введение

Великая Отечественная война - одно из самых ужасных испытаний, выпавших на долю нашего народа. Тяжесть и кровопролитие войны оставили большой отпечаток в сознании людей. Патриотизм во все времена в Российском государстве был чертой национального характера.

В каждом поселке и селе есть свои герои, которые прославили нашу страну. К сожалению, в последнее время говорится о том, что подрастающее поколение стало забывать о подвигах наших дедов и прадедов. И кругом появляются информационные взбросы, стремящиеся в который раз очернить подвиг советского народа. Поэтому данная тема поисково-исследовательской работы актуальна для решения такой проблемы, как воспитание нравственно-патриотической личности. Наша задача помнить о героях, беречь эту память и передавать последующим поколениям.

Память о прошлом … Нет, это не просто свойство человеческого сознания, его способность сохранять следы минувшего.

Память – это связующее звено между прошлым и будущим. Сколько бы лет ни прошло, сколько бы веков ни минуло, мы должны с благодарностью помнить тех, кто избавил мир от коричневой чумы, а наш народ – от погибели. И не дать переписать историю.

Сейчас, когда на Западе в бывших союзных республиках Прибалтики, на Украине подвиги солдат Красной Армии ставят в один ряд со службой на стороне фашистов, возводят памятники эсесовцам, мы снова и снова должны вспоминать тех, кто положил свою жизнь на алтарь Отчизны.

Цель проекта: изучить боевой путь и подвиг Героя Советского Союза, чье имя носит наша школа.

Задачи: - познакомиться с алгоритмом работы над проектом;

Изучить всю имеющуюся литературу и публикации в средствах массовой информации по теме исследования;

Проанализировать полученную информацию и сделать выводы

Работа посвящена исследованию биографии Чулкова Алексея Петровича, героя Советского Союза, родившегося в селе Юхмачи Татарской АССР.

Герой Советского Союза Чулков Алексей Петрович – наш земляк, его имя носит наша школа села Юхмачи. Кто он, как жил, о чем мечтал, за что ему было присвоено звание Героя Советского Союза?

После окончания Великой Отечественной войны прошло более 70 лет. На просторах нашей Родины стоят обелиски павшим, тем, кто не вернулся с полей сражений. Они были молоды. Когда они успели сделать столько, что были представлены к высшей награде Родины? Зачем они пожертвовали собой? Неужели им не хотелось выжить?

Тема моей исследовательской работы: Судьба моего земляка.

Этот вопрос я решил осветить подробнее. Для этого я посетил школьный музей, где Алексею Петровичу, посвящен раздел. Также в своей работе я опирался на воспоминания Героя Советского Союза, Генерала – полковника Решетникова Василия Васильевича, Википедию, а также книгу Ю.Н. Худова «Крылатый комиссар».

Методы: В ходе реализации проекта я познакомился с алгоритмом ведения исследовательской работы, изучал краеведческую литературу, просматривал имеющуюся литературу, материалы интернета, воспоминания сослуживца.

Значимость исследования: этот материал можно использовать на уроках истории, при проведении внеклассных мероприятий, посвященных памятным и юбилейным датам, музейным урокам.

2. Основная часть

2.1. Жизнь и подвиг А.П. Чулкова

Чулков Алексей Петрович родился 30 апреля 1908 года в селе Юхмачи Российской империи, ныне Алькеевского района Татарстана, в семье рабочего. По национальности русский. В 1920 году, после ранения на фронте, умирает отец. Четверо детей остались сиротами. Старший Сергей, ещё раньше уехал в Карабаново, к родным, где устраивается на фабрику. Вместе с десятилетним Алексеем у матери остались две младшие сестры – Оля и Полина. В этот год в Поволжье разразилась страшная засуха. Начался большой голод. Лёша устраивается работать в батраках у кулака, за скудную еду пасёт его стадо. Однажды хозяин избил Лешу. И мальчишка, простившись с матерью и сестрами, решает уехать к брату в Карабаново. Денег на дорогу и еду – ни копейки. С ватагой таких же беспризорников Лёша пробирается в сторону Москвы. На вокзале в Костроме попали в очередную облаву. Так Алексей оказался в Костромском детдоме, где он закончил оставшиеся два класса и со свидетельством об окончании начальной школы приехал 14-летним приехал в Карабаново

C 1925 года - житель посёлка Карабаново (ныне город) Владимирской области. Здесь Алексей работал на ткацкой фабрике 3-го Интернационала с 1927 по 1933 года. Здесь на фабрике он встретил свою будущую жену Веру. С которой у Алексея Петровича было четверо сыновей.

Член ВКП(б) /КПСС с 1931 года. Окончил рабфак и 1 курс Московского педагогического института. Работал в Москве.

Призван в Красную Армию в 1933 году, в 1934 году окончил Луганскую военно-авиационную школу. Свои первые боевые вылеты совершил в период советско-финской войны 1939-1940 годов, успешно участвовал в бомбардировках и штурмовках с воздуха укреплений линии Маннергейма. Боевое мастерство и умелая плодотворная политработа лётчика, старшего политрука Алексея Чулкова были высоко оценены командованием. Он был награждён орденом Красного Знамени, ему было присвоено воинское звание батальонного комиссара.

В боях Великой Отечественной войны с первых дней. К ноябрю 1942 года заместитель командира эскадрильи по политической части 751-го авиаполка майор Алексей Чулков совершил 114 боевых вылетов на бомбардировку военно-промышленных объектов в глубоком тылу противника и его войск на переднем крае.

7 ноября 1942 года при возвращении с боевого задания в районе города Орша его самолёт был подбит зенитным огнём и потерпел катастрофу в районе Калуги.

В 2004 году вышла в свет книга Василия Васильевича Решетникова - Героя Советского Союза, генерал – полковника.

В годы войны летчика 751 полка 17 авиадивизии дальних бомбардировщиков. В 1942 году воевал в эскадрильи, комиссаром которой был Чулков. Неоднократно летал под его руководством на боевые задания. О своем комиссаре Василий Васильевич вспоминает так: В ту ночь, с седьмого на восьмое ноября 1942 года, не вернулся с боевого задание экипаж комиссара Алексея Петровича Чулкова. Хоть и был он по штату комиссаром Урутинской эскадрильи – своим комиссаром почитал его весь полк, вызывая невольную ревность у других, в том числе и полковых, но нелетающих политработников.

Тонкая это штука – авторитет, особенно комиссарский. Критерии служебного положения тут совсем не срабатывают, если даже успешно обеспечивают весь комплекс внешних примет почитания. В твёрдой цене уважения котируется едино только нравственно и интеллектуальной масштаб личности. Именно личности, а не должности. На войне ценился поступок, а уж если слово – то живое, а не мёртво-казённое.

Алексей Петрович был далеко не хрестоматийным комиссаром – и внешне совсем неброский, и уж никак не трибунный. Больше славился как прекрасный боевой летчик, и, помниться, никого не морочил ни докладами, ни назиданиями. Был дан ему крепкий природный ум, добрая душа и твёрдый боевой дух. Прошел он, как верный солдат своей Отчизны, советско-финскую войну и не замешкался в первый день Великой Отечественной. Теперь счет его боевых вылетов шёл по второй сотне. Летал он наравне с нами, как рядовой командир корабля, но взлетать любил первым, а может, и не любил, не видев в том тактический преимуществ, но место впереди эскадрильи считал, видимо, своим.

Чулков после бомбёжки Оршанского аэродрома шёл уже домой и был в получасе от своих, как вдруг попали под обстрел, снаряд попал в правый мотор. Он задымил, забухтел, закашлялся, пришлось выключить. Винт, к несчастью продолжал вращаться, скольжение стало неизбежным, и машина пошла с небольшим снижением. К линии фронта высоты осталось совсем немного, но Алексей Петрович и его неизменный штурман Григорий Чумаш по пути нашли в районе Калуге площадку базирования наших истребителей и с ходу решили садиться.

Ночью такие аэродромы не работают и даже не имеют средств ночной посадки, но плошки дежурного «Т» горели, и вдоль полосы приземления Алексей Петрович зашёл удачно, разве что с некоторым перелётом. Аэродромчик был крохотный, для маскировки обставлен стожками, макетами животных, и, когда самолёт оказался на самом его краю, стрелки - радисты, увидя этот «сельский пейзаж», в один голос заорали: «Ложный аэродром!» Алексей Петрович поддался крику, и хотя в следующее мгновение Чумаш закричал: «Садись!» - было уже поздно. Левый мотор на полном газу тащил машину дальше, но вернуть потерянную скорость и высоту, да ещё при одной не убравшейся стойки шасси, он был не в силах. На развороте, за пределами аэродрома, самолёт задел крылом за сосны, провалился к земле и загорелся. Пламя от баков поползло к пилотной кабине. Чулков был ранен, и сам подняться не мог. Там и сгорел . В огне погиб и радист Дьяков. Превозмогая боль от ушибов и ссадин, через турельное кольцо выбрался стрелок Глазунов, но сквозь огонь пробиться к командиру не смог. Гриша Чумаш был выброшен из своей разбитой штурманской скорлупы и при падении в двух местах сломал в бедре ногу. Он отполз подальше от огня, забинтовал клочками белья кровоточащие раны и стал ждать помощи. Она пришла с аэродрома. После многочисленных операций нога заметно укоротилась, и с лётной работой пришлось распрощаться.

Так погиб наш легендарный комиссар.

За год с небольшим войны совершил 119 боевых вылетов, 111 из них ночью.

Бомбил Берлин и другие города и военные объекты Германии. Нанося бомбовые удары, поддерживал наши наземные войска на передовой. Ценой своей жизни, приближая час Победы.

В декабре на построении полка был зачитан приказ. Там есть такие слова:

За беспредельную преданность Родине, за хорошую организацию боевой работы эскадрильи, за личную отвагу и героизм в бою, презирая смерть, батальонный комиссар Чулков достоин высшей правительственной награды присвоения звания «Героя Советского Союза» с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» - Посмертно

Похоронен в городе Калуге.

Награды

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 31 декабря 1942 года за подвиг и отличное выполнение боевых заданий командования майору Чулкову Алексею Петровичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.

Награждён двумя орденами Ленина и двумя орденами Красного Знамени.

Из наградного листа:

Майор Чулков работает заместителем командира авиаэскадрильи по политической части. Летая на самолёте Ил-4 в составе ночного экипажа, где штурман капитан Чумаш, стрелок-радист старшина Козловский и воздушный стрелок старший сержант Дьяков.

В действующей армии находится с первых дней Отечественной войны. За этот период им произведено 114 боевых самолёто-вылетов, из них ночью 111 и все с отличным выполнением боевого задания. Летал на бомбардировку военно-промышленных объектов и политических центров противника в глубоком тылу: Берлин - 2 раза, Будапешт - 1 раз, Данциг - 1 раз, Кёнигсберг - 1 раз, Варшава - 2 раза.

За отличное выполнение боевых заданий командования по разгрому германского фашизма награждён орденом Ленина и орденом Красного Знамени. После награждения произвёл 55 боевых вылетов. Работая военным комиссаром авиаэскадрильи, отлично зарекомендовал себя как воспитатель личного состава в духе преданности Родине и ненависти к врагу. Его эскадрилья за время боевых действий совершила 951 самолёто-вылет по врагу. Товарищ Чулков своим личным примером воодушевляет подчинённый личный состав на подвиги. Дисциплинирован, требовательный к себе и подчинённым. Среди личного состава пользуется заслуженным авторитетом. Делу партии Ленина и социалистической Родине предан.

За отличное выполнение боевых заданий командования по разгрому германского фашизма и проявленные при этом мужество и героизм майор Чулков достоин правительственной награды ордена Ленина.

Командир 751 АП ДД Герой Советского Союза
подполковник ТИХОНОВ 4 ноября 1942 года.

Заключение Военного Совета.

Достоин правительственной награды звания Героя Советского Союза.

Командующий авиацией Член Военного Совета
авиации дальнего действия
генерал авиации ГОЛОВАНОВ
дивизионный комиссар ГУРЬЯНОВ
30 ноября 1942 г.

2.2. Память - увековечение имени Героя Советского Союза в мемориальных объектах

Мемориал Славы на Поклонной горе в Москве

Мемориальный комплекс г. Калуги

Имя Героя носит улица в городе Карабаново Владимирской области.

В 2004 году вышла книга В. В. Решетникова «Что было - то было», где говорится о Чулкове.

Документальная повесть «Крылатый комиссар» Ю.Н. Худова

В 2000 году нашей школе присвоено имя Героя-земляка.

Директором нашей школы является родственник Чулкова Алексея Петровича Чулков Петр Александрович. Во много, благодаря его деятельности, наша школа носит имя Героя. Петр Александрович и сам является, достойным сыном Отечества. В 1983 году был призван в Вооруженные Силы СССР. Службу проходил в Республике Афганистан, командир отделения взвода охраны отдельного мотострелкового сопровождения. Он со своими боевыми товарищами сопровождал колонны КАМАЗов с грузами. Однажды колонна попала под обстрел, и Пётр Александрович был ранен.

Чулков Пётр Александрович награждён: звездой «Участник Афганской войны», орденским знаком «Воин – интернационалист», медалью «От благодарного афганского народа», Грамотой Президиума Верховного Совета СССР «За мужество и воинскую доблесть».

Его отличает скромность, ответственность, строгость, элегантность. Он талантливый руководитель и организатор педагогического и ученического коллективов. Под его руководством школа является одной из лучших школа района.

Экспозиция в школьном музея села Юхмачи

Парк Победы в г. Казань

Памятник посвященный Чулкову А.П. в селе Юхмачи, на Родине Героя.

В.В. Решетников с внучкой Чулкова А.П. Еленой Шушариной. Москва 2007 год.

3.Заключение

Жизнь и подвиг, мы часто слышим эти слова. Простой человек из глубинки, которому было 34 года, оказался настоящим героем войны, кровопролитных сражений. А. П. Чулков стал Героем не просто так, он был настоящим человеком, воспитанным семьей, Родиной.

Работа над материалами о Герое способствовала определению духовных ориентиров, нравственных ценностей, общечеловеческих приоритетов, формированию патриотического сознания, как одной из важнейших ценностей и основ духовно-нравственного единства.

И становится понятной необходимость участия в делах Российского движения школьников, членом которого я являюсь. Это общественно-государственная детско-юношеская организация, образована решением учредительного собрания от 28 марта 2016года в Московском университете имени М.В. Ломоносова. В соответствии с Указом Президента РФ от 29 октября 2015года. РДШ работает по следующим направлениям: - военно-патриотеское – «Юнармия»

Личностное развитие

Гражданский активизм (волонтерство, поисковая работа, изучение истории, краеведение)

Информационно-медийное.

4. Список литературы:

1.В.В. Решетников «Что было- то было», М., 2004г.

2. Ю.Н. Худов «Крылатый комиссар»

3. Материалы школьного музея села Юхмачи

4. Фото из личного архива Чулкова П.А.

5.http://ru.wikipedia.org

Форма заявки участника

Республиканского конкурса проектов «Истории славные страницы.

Школа Героев» для обучающихся 5-7 классов общеобразовательных

Организаций Республики Татарстан, носящих имя Героя

Территория РТ, Алькеевский район, село Юхмачи

Номинация «Отчизны славные сыны»

Имя, фамилия участника Равиль Галиуллин

Дата рождения 05. 01.2005

Возрастная группа 7 класс

Полное название образовательной организации МБОУ «Юхмачинская средняя общеобразовательная школа имени Героя Советского Союза Чулкова Алексея Петровича» село Юхмачи, ул. Школьная, дом 10 а

Номер телефона 89276781352

Е-mail [email protected]

ФИО педагога (полностью) Москвина Галина Александровна

Контактный телефон педагога 89270389187

Согласие на обработку персональных данных

Я, Шубина Татьяна Николаевна , паспорт 9200097914 , выдан УВД Авиастроительного р-на г. Казани, 01.11.2002________________________________________________________
(когда, кем)

РТ, Алькеевский район, с.Юхмачи, ул. Школьная 4.

____________________________________________________________________________________________________________________

даю согласие на обработку персональных данных моего ребёнка Галиуллина Равиля Рашитовича

РТ, Алькеевский район, с.Юхмачи, ул. Школьная 4.

оператору Министерства образования и науки Республики Татарстан для участия в конкурсе.

Перечень персональных данных, на обработку которых дается согласие: фамилия, имя, отчество, школа, класс, домашний адрес, дата рождения, телефон, адрес электронной почты, результаты участия в заключительном этапе конкурса.

Оператор имеет право на сбор, систематизацию, накопление, хранение, уточнение, использование, передачу персональных данных третьим лицам – образовательным организациям, органам управления образованием районов (городов), Министерству образования и науки РТ, Министерству образования РФ, иным юридическим и физическим лицам, отвечающим за организацию и проведению различных этапов конкурса, обезличивание, блокирование, уничтожение персональных данных.

Данным заявлением разрешаю считать общедоступными, в том числе выставлять в сети Интернет, следующие персональные данные моего ребёнка: фамилия, имя, класс, школа, доу, результат заключительного этапа конкурса, а также публикацию в открытом доступе сканированной копии работы.

Обработка персональных данных осуществляется в соответствии с нормами Федерального закона Российской Федерации от 27 июля 2006 года № 152- ФЗ «О персональных данных».

Данное Согласие вступает в силу со дня его подписания и действует в течении 3-х лет.

______________________ _____________________________(личная подпись, дата)

Кучин Анатолий Николаевич

Руководитель проекта:

Куклина Татьяна Ивановна

Учреждение:

МБОУ "Основная общеобразовательная школа" п. Троицко-Печорск Респ. Коми

В своей исследовательской работе по математике "В мире графов" я постараюсь выяснить особенности применения теории графов при решении задач и в практической деятельности. Результатом моей исследовательской работы по математике о графах станет генеалогическое древо моей семьи.

В исследовательской работе по математике я планирую познакомиться с историей теории графов, изучить основные понятия и виды графов, рассмотреть методы решения задач с помощью графов.

Также, в исследовательском проекте по математике о графах я покажу применение теории графов в различных областях жизнедеятельности человека.

Введение
Глава 1. Знакомимся с графами
1.1. История графов.
1.2. Виды графов
Глава 2. Возможности применения теории графов в различных областях повседневной жизни
2.1. Применение графов в различных областях жизни людей
2.2. Применение графов при решении задач
2.3. Генеалогическое древо – один из способов применения теории графов
2.4. Описание исследования и составление генеалогического древа моей семьи
Заключение
Использованная литература
Приложения

«В математике следует помнить не формулы,
а процесс мышления».
Е.И. Игнатьева

Введение

Графы повсюду! В моей исследовательской работе по математике на тему "В мире графов" речь пойдет о графах, которые, к аристократам былых времен никакого отношения не имеют. «» имеют корень греческого слова «графо », что значит «пишу ». Тот же корень в словах «график », «биография », «голография ».

Впервые с понятием “граф ” я встретился при решении олимпиадных задач по математике. Трудности в решении этих задач объяснялись отсутствием этой темы в обязательном курсе школьной программы. Возникшая проблема стала главной причиной выбора темы данной исследовательской работы. Я решил подробно изучить всё, что связано с графами. Как широко используется метод графов и насколько важен он в жизни людей.

В математике даже есть специальный раздел, который так и называется: «Теория графов ». Теория графов является частью как топологии , так и комбинаторики . То, что это топологическая теория, следует из независимости свойств графа от расположения вершин и вида соединяющих их линии.

А удобство формулировок комбинаторных задач в терминах графов привела к тому, что теория графов стала одним из мощнейших аппаратов комбинаторики. При решении логических задач обычно бывает достаточно трудно держать в памяти многочисленные факты, данные в условии, устанавливать связь между ними, высказывать гипотезы, делать частные выводы и пользоваться ими.

Выяснить особенности применения теории графов при решении задач и в практической деятельности.

Объектом исследования является математические графы.

Предметом исследования являются графы как способ решения целого ряда задач практической направленности.

Гипотеза: если метод графов так важен, то обязательно найдется его широкое применение в различных областях науки и жизнедеятельности человека.

Для реализации поставленной цели, мною были выдвинуты следующие задачи:

1. познакомиться с историей теории графов;
2. изучить основные понятия теории графов и виды графов;
3. рассмотреть способы решения задач с помощью графов;
4. показать применение теории графов в различных областях жизни человека;
5. создать генеалогическое древо моей семьи.

Методы: наблюдение, поиск, отбор, анализ, исследование.

Исследование:
1. были изучены ресурсы сети Интернет и печатные издания;
2. выписаны области науки и жизнедеятельности человека, в которых используется метод графов;
3. рассмотрено решение задач с помощью теории графов;
4. изучена методика составления генеалогического древа моей семьи.

Актуальность и новизна.
Теория графов в настоящее время является интенсивно развивающимся разделом математики. Это объясняется тем, что в виде графовых моделей описываются многие объекты и ситуации. Теория графов находит применение в различных областях современной математики и ее многочисленных приложениях, в особенности это относится к экономике, технике, к управлению. Решение многих математических задач упрощается, если удается использовать графы. Представление данных в виде графа придает им наглядность и простоту. Многие математические доказательства также упрощаются, приобретают убедительность, если пользоваться графами.

Чтобы убедится в этом, мной и руководителем было предложено учащимся 5-9 классов, участникам школьного и муниципального туров Всероссийской олимпиады школьников, 4 задачи, при решении которых можно применить теорию графов (Приложение 1 ).

Результаты решения задач таковы:
Всего 15 учащихся (5 класс – 3 ученика, 6 класс - 2 ученика, 7 класс – 3 ученика, 8 класс - 3 ученика, 9 класс - 4 ученика) применили теорию графов в 1 задаче – 1, во 2 задаче – 0, в 3 задаче – 6, в 4 задаче – 4 учащихся.

Практическая значимость исследования заключается в том, что результаты несомненно вызовут интерес у многих людей. Разве не пытался кто-то из вас построить генеалогическое дерево своей семьи? А как это сделать грамотно?
Оказывается они решаются при помощи графов легко.

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение -

средняя общеобразовательная школа № 51

г. Оренбург.

Проект на тему:

учитель математики

Егорчева Виктория Андреевна

2017

Гипотеза : Если теорию графов сблизить с практикой, то можно получить самые благотворные результаты.

Цель: Ознакомится с понятием графы и научиться применять их при решении различных задач.

Задачи:

1)Расширить знания о способах построения графов.

2)Выделить типы задач, решение которых требует применения теории графов.

3) Исследовать использование графов в математике.

« Эйлер вычислял без всякого видимого усилия, как человек дышит или как орёл парит над землёй ».

Доминик Араго.

I . Введение. стр.

II . Основная часть.

1. Понятие графа. Задача о Кенигсбергских мостах. стр.

2. Свойства графов. стр.

3. Задачи с применением теории графов. стр.

Ш. Заключение.

Значение графов. стр.

IV . Список используемой литературы. стр.

I . ВВЕДЕНИЕ.

Теория графов - наука сравнительно молодая. «Графы» имеют корень греческого слова «графо», что значит «пишу». Тот же корень в словах «график», «биография».

В своей работе я рассматриваю, каким образом используется теория графов в различных областях жизни людей. Каждый учитель математики и практически каждый ученик знает, сколько трудностей доставляет решение геометрических задач, а также текстовых задач по алгебре. Исследовав возможность применения теории графов в школьном курсе математики, я пришла к выводу, что эта теория значительно упрощает понимание и решение задач.

II . ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.

1. Понятие графа.

Первая работа по теории графов принадлежит Леонарду Эйлеру. Она появилась в 1736 году в публикациях Петербургской Академии Наук и начиналась с рассмотрения задачи о кенигсбергских мостах.

Вы наверное, знаете, что есть такой город Калининград, раньше он назывался Кенигсберг. Через город протекает река Преголя. Она делится на два рукава и огибает остров. В 17 веке в городе было семь мостов, расположенных так, как показано на рисунке.

Рассказывают, что однажды житель города спросил у своего знакомого, сможет ли он пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать только один раз и вернуться к тому месту, откуда началась прогулка. Многие горожане заинтересовались этой задачей, однако придумать решение никто не смог. Этот вопрос привлек внимание ученых из многих стран. Разрешить проблему удалось известному математику Леонарду Эйлеру. Леонард Эйлер, уроженец города Базеля родился 15 апреля, 1707 года. Научные заслуги Эйлера огромны. Он оказал влияние на развитие почти всех разделов математики и механики как в области фундаментальных исследований, так и в их приложениях. Леонард Эйлер не только решил эту конкретную задачу, но и придумал общий метод решения этих задач. Эйлер поступил следующим образом: он «сжал» сушу в точки, а мосты «вытянул» в линии. В результате получилась фигура, изображенная на рисунке.

Такую фигуру, состоящую из точек и линий, связывающих эти точки, называют графом . Точки A , B , C , D называют вершинами графа, а линии, которые соединяют вершины - ребра графа. На рисунке из вершин B , C , D выходят по 3 ребра, а из вершины A - 5 ребер. Вершины, из которых выходит нечетное число ребер, называют нечетными вершинами, а вершины, из которых выходит четное количество ребер, - четными.

2.Свойства графа.

Решая задачу про кенигсбергские мосты, Эйлер установил, в частности, свойства графа:

1.Если все вершины графа четные, то можно одним росчерком (т.е. не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной и той же линии) начертить граф. При этом движение можно начать с любой вершины и окончить в той же вершине.

2.Граф с двумя нечетными вершинами тоже можно начертить одним росчерком. Движение нужно начинать от любой нечетной вершины, а заканчивать на другой нечетной вершине.

3.Граф с более чем двумя нечетными вершинами невозможно начертить одним росчерком.

4.Число нечетных вершин графа всегда четное.

5.Если в графе имеются нечетные вершины, то наименьшее число росчерков, которыми можно нарисовать граф будет равно половине числа нечетных вершин этого графа.

Например, если фигура имеет четыре нечетные, то её можно начертить, самое меньшее, двумя росчерками.

В задаче о семи кенигсбергских мостах все четыре вершины соответствующего графа нечетные, т.е. нельзя пройти по всем мостам один раз и закончить путь там, где он был начат.

3.Решение задач с помощью графов.

1. Задачи на вычерчивание фигур одним росчерком.

Попытки нарисовать одним росчерком пера каждую из следующих фигур приводят к неодинаковым результатам.

Если нечетных точек в фигуре нет, то она всегда поддается вырисовыванию одним росчерком пера, безразлично, с какого места ни начинать черчение. Таковы фигуры 1 и 5.

Если в фигуре имеется только одна пара нечетных точек, то такую фигуру можно нарисовать одним росчерком, начав черчение в одной из нечетных точек (безразлично в какой). Легко сообразить, что вычерчивание должно оканчиваться во второй нечетной точке. Таковы фигуры 2, 3, 6. В фигуре 6, например, вычерчивание надо начинать либо из точки А, либо из точки В.

Если фигура имеет более одной пары нечетных точек, то она вовсе не может быть нарисована одним росчерком. Таковы фигуры 4 и 7, содержащие по две пары нечетных точек. Сказанного достаточно, чтобы безошибочно распознавать, какие фигуры нельзя нарисовать одним росчерком и какие можно, а также, с какой точки надо начинать вычерчивание.

Предлагаю начертить одним росчерком следующие фигуры.

2. Решение логических задач.

ЗАДАЧА №1.

В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводят по круговой системе - каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной, Еленой; Борис - с Андреем, Галиной; Виктор - с Галиной, Дмитрием, Еленой; Галина - с Андреем, Виктором и Борисом. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько ещё осталось?

РЕШЕНИЕ:

Построим граф как показано на рисунке.

Сыграно 7 игр.

На этом рисунке граф имеет 8 ребер, следовательно, осталось провести 8 игр.

ЗАДАЧА №2

Во дворе, который окружен высоким забором, находятся три домика: красный, желтый и синий. В заборе есть три калитки: красная, желтая и синяя. От красного домика проведите дорожку к красной калитке, от желтого домика - к желтой калитке, от синего - к синей так, чтобы эти дорожки не пересекались.

РЕШЕНИЕ:

Решение задачи приведено на рисунке.

3. Решение текстовых задач.

Для решения задач методом графов надо знать следующий алгоритм:

1.О каком процессе идет речь в задаче? 2.Какие величины характеризуют этот процесс? 3.Каким соотношением связаны эти величины? 4.Сколько различных процессов описывается в задаче? 5.Есть ли связь между элементами?

Отвечая на эти вопросы, анализируем условие задачи и записываем его схематично.

Например . Автобус шёл 2 ч со скоростью 45 км/ч и 3 ч со скоростью 60 км/ч. Какой путь прошёл автобус за эти 5 часов?

S
¹=90 км V ¹=45 км/ч t ¹=2ч

S = VT

S ²=180 км V ²=60 км/ч t ²=3 ч

S ¹ + S ² = 90 + 180

Решение:

1)45 x 2 = 90 (км) - прошёл автобус за 2 ч.

2)60 x 3 = 180 (км) - прошёл автобус за 3 ч.

3)90 + 180 = 270 (км) -прошёл автобус за 5 ч.

Ответ: 270 км.

III . ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В результате работы над проектом я узнала, что Леонард Эйлер был основоположником теории графов, решил задачи с применением теории графов. Для себя сделала вывод, что теория графов находит применение в различных областях современной математики и её многочисленных приложений. Не приходится сомневаться в полезности ознакомления нас, учащихся, с основными понятиями теории графов. Решение многих математических задач упрощается, если удается использовать графы. Представление данных в виде графа придает им наглядность. Многие доказательства также упрощаются, приобретают убедительность, если воспользоваться графами. В особенности это относится к таким областям математики, как математическая логика, комбинаторика.

Таким образом, изучение этой темы имеет большое общеобразовательное, общекультурное и общематематическое значение. В повседневной жизни все большее применение находят графические иллюстрации, геометрические представления и другие приемы и методы наглядности. С этой целью изучения элементов теории графов полезно ввести в начальном и среднем звене школы, хотя бы во внеклассной работе, так как в программу по математике эта тема не включена.

V . СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

2008г.

Рецензия.

Проект на тему «Графы вокруг нас» выполнил ученик 7 «А» класса МОУ-сош №3г.Красный Кут Зайцев Никита.

Отличительной особенностью работы Зайцева Никиты является её актуальность, практическая направленность, глубина раскрытия темы, возможность использования её в дальнейшем.

Работа является творческой, в виде информационного проекта. Ученик выбрал эту тему, чтобы показать взаимосвязь теории графов с практикой на примере маршрута школьного автобуса, показать, что теория графов находит применение в различных областях современной математики и её многочисленных приложений, в особенности это относится к экономике, математической логике, комбинаторике. Он показал, что решение задач значительно упрощается, если удается использовать графы, представление данных в виде графа придает им наглядность, многие доказательства также упрощаются, приобретают убедительность.

В работе рассматриваются такие вопросы как:

1. Понятие графа. Задача о Кенигсбергских мостах.

2. Свойства графов.

3. Задачи с применением теории графов.

4. Значение графов.

5. Вариант маршрута школьного автобуса.

При выполнении своей работы Зайцев Н. использовал:

1. Альхова З.Н., Макеева А.В. «Внеклассная работа по математике».

2. Журнал «Математика в школе». Приложение «Первое сентября» № 13

2008г.

3. Я.И.Перельман «Занимательные задачи и опыты».- Москва: Просвещение, 2000 г.

Работа выполнена грамотно, материал соответствует требованиям данной темы, соответствующие рисунки прилагаются.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

«В математике следует помнить не формулы, а процесс мышления…»

Е. И. Игнатьев

Теория графов в настоящее время является интенсивно развивающимся разделом математики. Это объясняется тем, что в виде графовых моделей описываются многие объекты и ситуации, что очень важно для нормального функционирования общественной жизни. Именно этот фактор определяет актуальность их более подробного изучения. Поэтому тематика данной работы достаточно актуальна.

Цель исследовательской работы: выяснить особенности применения теории графов в различных областях знаний и при решении логических задач.

Цель определила следующие задачи:

познакомиться с историей теории графов;

изучить основные понятия теории графов и основные характеристики графов;

показать практическое применение теории графов в различных областях знаний;

рассмотреть способы решения задач с помощью графов и составить собственные задачи.

Объект исследования: сфера деятельности человека на предмет применения метода графов.

Предмет исследования: раздел математики «Теория графов».

Гипотеза. Мы предполагаем, что изучение теории графов может помочь учащимся решать логические задачи по математике, что определит их дальнейшие интересы.

Методы исследовательской работы:

В ходе нашего исследования были использованы такие методы, как:

1) Работа с различными источниками информации.

2) Описание, сбор, систематизация материала.

3) Наблюдение, анализ и сравнение.

4) Составление задач.

Теоретическая и практическая значимость данной работы определяется тем, что результаты могут быть использованы на информатике, математике, геометрии, черчении и классных часах, а также для широкого круга читателей, заинтересованных данной темой. Исследовательская работа имеет выраженную практическую направленность, так как в работе автором представлены многочисленные примеры применения графов во многих областях знаний, составлены свои задачи. Данный материал можно использовать на факультативных занятиях по математике.

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ОБЗОР МАТЕРИАЛА ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

1. Теория графов. Основные понятия

В математике «граф» можно изобразить в виде картинки, которая представляет собой некоторое количество точек, соединенных линиями. «Граф» происходит от латинского слова «графио» - пишу, как и известный дворянский титул.

В математике определение графа дается так:

Термин «граф» в математике определяется следующим образом:

Граф - это конечное множество точек - вершин , которые могут быть соединены линиями - ребрами .

В качестве примеров графов могут выступать чертежи многоугольников, электросхемы, схематичное изображение авиалиний, метро, дорог и т.п. Генеалогическое дерево также является графом, где вершинами служат члены рода, а родственные связи выступают в качестве ребер графа.

Рис. 1 Примеры графов

Число ребер, которое принадлежит одной вершине, называется степенью вершины графа . Если степень вершины нечетное число, вершина называется - нечетной . Если степень вершины число четное, то и вершина называется четной .

Рис. 2 Вершина графа

Нуль-граф - это граф, состоящий только из изолированных вершин, не соединенных ребрами.

Полный граф - это граф, каждая пара вершин которого соединена ребром. N-угольник, в котором проведены все диагонали, может служить примеров полного графа.

Если в графе выбрать такой путь, когда начальная и конечная точка совпадают, то такой путь называется циклом графа . Если прохождение через каждую вершину графа происходит не более одного раза, то цикл называется простым .

Если в графе каждые две вершины связаны ребром, то это связанный граф. Граф называется несвязанным , если в нем есть хотя бы одна пара несвязанных вершин.

Если граф связанный, но не содержит циклов, то такой граф называетсядеревом .

1. Характеристики графов

Путь графа - это такая последовательность, в которой каждые два соседних ребра, имеющих одну общую вершину, встречаются только один раз.

Длина кратчайшей цепи из вершин a и b называется расстоянием между вершинами a и b.

Вершина а называется центром графа, если расстояние между вершиной а и любой другой вершиной является наименьшим и из возможных. Такое расстояние есть радиус графа.

Максимально возможное расстояние между двумя любыми вершинами графа называется диаметром графа.

Раскраска графов и применение.

Если внимательно посмотреть на географическую карту, то можно увидеть железные или шоссейные дороги, которые являются графами. Кроме этого на катре есть граф, который состоит из границ между странами (районами, областями).

В 1852 году английскому студенту Френсису Гутри поставили задачу раскрасить карту Великобритани, выделив каждое графство отдельным цветом. Из-за небольшого выбора красок Гутри использовал их повторно. Он подбирал цвета так, чтобы те графства, которые имеют общий участок границы, обязательно окрашивались в разные цвета. Возник вопрос, какое наименьшее количество красок необходимо для раскрашивания различных карт. Френсис Гутри предположил, хотя и не смог доказать, что четырех цветов будет достаточно. Эта проблема бурно обсуждалась в студенческих кругах, но позже была забыта.

«Проблема четырех красок» вызывала все больший интерес, но так и не была решена, даже выдающимися математиками. В 1890 году английским математиком Перси Хивудом было доказано, что для раскрашивания любой карты будет достаточно пяти красок. А только 1968 году смогли доказать, что для раскрашивания карты, на которой изображено меньше сорока стран, будет достаточно 4 цветов.

В 1976 году эта задача была решена при использовании компьютера двумя американскими математиками Кеннетом Аппелем и Вольфгантом Хакеном. Для ее решения все карты были поделены на 2000 типов. Для компьютера была создана программа, которая исследовала все типы с целью выяления таких карт, для раскрашивания которых будет недостаточно четырех красок. Только три типа карт компьютер исследовать не смог, поэтому математики изучали их самостоятельно. В результате было установлено, что для раскрашивания всех 2000 типов карт будет достаточно 4 красок. Им было объявлено о решении проблемы четырех красок. В этот день почтовое отделение при университете, в котором работали Аппель и Хакен на всех марках ставило штемпель со словами: «Четырех красок достаточно».

Можно представить задачу о четырех красках несколько иначе.

Для этого рассмотрим произвольную карту, представив ее виде графа: столицы государств являются вершинами графа, а ребра графа связывают те вершины (столицы), государства которых имеют общую границу. Для получения такого графа формулируется следующая задача - необходимо раскрасить граф с помощью четырех цветов так, чтобы вершины, имеющие общее ребро были раскрашены разными цветами.

Эйлеровы и Гамильтоновы графы

В 1859 году английским математиком Уильямом Гамильтоном была выпущена в продажу головоломка - деревянный додекаэдр (двенадцатигранник), двадцать вершин которого были обозначены гвоздиками. Каждая вершина имела название одного из крупнейших городов мира - Кантон, Дели, Брюссель, и т.д. Задача заключалась в нахождении замкнутого пути, который проходит по ребрам многогранника, побывав в каждой вершине только один раз. Для отмечания пути использовался шнур, который цепляли за гвоздики.

Гамильтоновым циклом называется граф, путь которого является простым циклом, который проходит через все вершины графа по одному разу.

На реке Прегель расположен город Калининград (бывший Кенигсберг). Река омывала два острова, которые между собой и с берегами были соединены мостами. Старых мостов сейчас уже нет. Память о них осталась только на карте города.

Однажды один житель города спросил у своего знакомого, можно ли пройти по всем мостам, побывать на каждом только один раз и вернуться к тому месту откуда началась прогулка. Эта задача заинтересовала многих горожан, но решить ее никто не смог. Этот вопрос вызвал заинтересованность ученных многих стран. Решение проблемы получил математик Леонард Эйлер. Кроме этого он сформулировал общий подход к решению таких задач. Для этого он превратил карту в граф. Вершинами этого графа стала суша, а ребрами - мосты, ее соединяющие.

При решении задачи про мосты Кенигсберга Эйлеру удалось сформулировать свойства графов.

Начертить граф, начав движение с одной вершины и окончив в той же вершине одним росчерком (дважды не проводя по одной и той же линии и не отрывая карандаша от бумаги) возможно в том случае, если все вершины графа четные.

Если есть граф с двумя нечетными вершинами, то его вершины тоже можно соединить одним росчерком. Для этого нужно начать с одной, а закончить на другой любой нечетной вершине.

Если есть граф с числом нечетных вершин больше двух, то граф невозможно начертить одним росчерком.

Если применять эти свойства на задачу о мостах, то можно увидеть, что все вершины исследуемого графа нечетные, значит, этот граф нельзя соединить одним росчерком, т.е. невозможно пройти по всем мостам один раз и закончить путь в том месте, где он был начат.

Если граф имеет цикл (не обязательно простой), содержащий все рѐбра графа по одному разу, то такой цикл называется Эйлеровым циклом . Эйлерова цепь (путь, цикл, контур) — цепь (путь, цикл, контур), содержащая все рѐбра (дуги) графа по одному разу.

ГЛАВА II. ОПИСАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И ЕГО РЕЗУЛЬТАТЫ

2.1. Этапы проведения исследования

Для проверки гипотезы исследование включало три этапа (таблица 1):

Этапы исследования

Таблица 1.

		Используемые методы
Теоретическое исследование проблемы	Изучить и проанализировать познавательную и научную литературу.	 самостоятельное размышление;  изучение информационных источников;  поиск необходимой литературы.
Практическое исследование проблемы	Рассмотреть и проанализировать области практического применения графов;	 наблюдение;  анализ;  сравнение;  анкетирование.
3 этап. Практическое использование результатов	Обобщить изученную информацию;	 систематизация;  отчет (устный, письменный, с демонстрацией материалов)	сентябрь 2017 г.

2.2. Области практического применения графов

Графы и информация

Теория информации широко использует свойства двоичных деревьев.

Например, если нужно закодировать некоторое число сообщений в виде определенных последовательностей нулей и единиц различной длины. Код считается наилучшим, для заданной вероятности кодовых слов, если средняя длина слов наименьшая в сравнении другими распределениями вероятности. Для решения такой задачи Хаффман предложил алгоритм, в котором, код представляется деревом-графом в рамках теории поиска. Для каждой вершины предлагается вопрос, ответом на который может быть либо, «да», либо «нет» - что соответствует двум ребрам, выходящим из вершины. Построение такого дерева завершается после установления того, что требовалось. Это может применяться в интервьюировании нескольких человек, когда заранее неизвестен ответ на предыдущий вопрос, план интервью представляется в виде двоичного дерева.

Графы и химия

Еще А. Кэли рассмотрел задачу о возможных структурах насыщенных (или предельных) углеводородов, молекулы которых задаются формулой:

CnH 2n+2

Все атомы углеводорода 4-хвалентны, все атомы водорода 1-валентны. Структурные формулы простейших углеводородов показаны на рисунке.

Каждую молекулу предельного углеводорода можно представить в виде дерева. При удалении всех атомов водорода, атомы углеводорода, которые остались, образуют дерево с вершинами, степень которых не выше четырех. Значит, количество возможных искомых структур (гомологов данного вещества) равняется числу деревьев, степени вершин которых, не больше 4. Это задача сводится к задаче о перечислении деревьев отдельного вида. Д. Пойа рассмотрел эту задачу и ее обобщения.

Графы и биология

Процесс размножения бактерий - это одна из разновидностей ветвящихся процессов, встречающихся в биологической теории. Пусть каждая бактерия по истечению определенного времени или погибает, или делится на две. Следовательно, для одной бактерии мы получим двоичное дерево размножения ее потомства. Вопрос задачи заключается в следующем, какое количество случаев содержит k потомков в n-м поколение одной бактерии? Данное соотношение в биологии носит название процесс Гальтона-Ватсона, которое обозначает необходимое количество нужных случаев.

Графы и физика

Сложная утомительная задача для любого радиолюбителя - создание печатных схем (пластина диэлектрика - изолирующего материала и вытравленные дорожки в виде металлических полосок). Пересечение дорожек происходит только в определенных точках (местах установления триодов, резисторов, диодов и пр.) по определенным правилам. В результате перед ученым стоит задача вычертить плоский граф, с вершинами в

Итак, все выше сказанное подтверждает практическую ценность графов.

Математика интернета

Интернет - всемирная система объединенных компьютерных сетей для хранения и передачи информации.

Сеть интернет можно представить в виде графа, где вершины графа - это интернет сайты, а ребра - это ссылки (гиперссылки), идущие с одних сайтов на другие.

Веб-граф (Интернет), имеющий миллиарды вершин и ребер, постоянно меняется - спонтанно добавляются и исчезают сайты, пропадают и добавляются ссылки. Однако, Интернет имеет математическую структуру, подчиняется теории графов и имеет несколько «устойчивых» свойств.

Веб-граф разрежен. Он содержит всего лишь в несколько раз больше ребер, чем вершин.

Несмотря на разреженность, интернет очень тесен. От одного сайта до другого по ссылкам, можно перейти за 5 - 6 кликов (знаменитая теория «шести рукопожатий»).

Как мы знаем, степень графа - это число ребер, которым принадлежит вершина. Степени вершин веб-графа распределены по определенному закону: доля сайтов (вершин) с большим количеством ссылок (ребер) мала, а сайтов с малым количеством ссылок - велика. Математически это можно записать так:

где - доля вершин определенной степени, - степень вершины, - постоянная, независящая от числа вершин веб-графа, т.е. не меняется в процессе добавления или удаления сайтов (вершин).

Этот степенной закон является универсальным для сложных сетей - от биологических до межбанковских.

Интернет как целое устойчив к случайным атакам на сайты.

Так как уничтожение и создание сайтов происходит независимо и с одинаковой вероятностью, то и веб-граф, с вероятность близкой к 1, сохраняет свою целостность и не разрушается.

Для изучения интернета необходимо строить модель случайного графа. Эта модель должна обладать свойствами реального интернета и не должна быть слишком сложной.

Эта задача пока полностью не решена! Решение этой задачи - построения качественной модели интернета - позволит разработать новые инструменты для улучшения поиска информации, выявления спама, распространения информации.

Построение биологических и экономических моделей началось значительно раньше, чем возникла задача построения математической модели интернета. Однако достижения в развитии и изучении интернета, позволили ответить на многие вопросы, касающиеся всех этих моделей.

Математика интернета востребована многими специалистами: биологами (предсказание роста популяций бактерий), финансистами (риски возникновения кризисов) и т.п. Изучение подобных систем - один из центральных разделов прикладной математики и информатики.

г. Мурманск с помощью графа.

Когда человек приезжает в новый для него город, как правило, первое желание - это посетить главные достопримечательности. Но при этом запас времени зачастую ограничен, а в случае деловой поездки, совсем мал. Следовательно, необходимо планировать знакомство с достопримечательностями заранее. И в построении маршрута отлично помогут графы!

В качестве примера рассмотрим типичный случай прибытия в Мурманск из аэропорта в первый раз. Планируется посетить следующие достопримечательности:

1. Морской православный храм Спас-на-водах;

2. Свято-Никольский собор;

3. Океанариум;

4. Памятник коту Семену;

5. Атомный ледокол Ленин;

6. Парк Огни Мурманска;

7. Парк Долина Уюта;

8. Кольский мост;

9. Музей истории Мурманского морского пароходства;

10. Площадь Пяти углов;

11. Морской торговый порт

Вначале расположим эти места на карте и получим наглядное представление о местоположении и расстоянии между достопримечательностями. Сеть дорог достаточно развита, и перемещение на автомобиле не будет затруднительным.

Достопримечательности на карте (слева) и полученный граф (справа) показаны на соответствующем рисунке ПРИЛОЖЕНИЯ №1. Таким образом, новоприбывший вначале проедет около Кольского моста(и, при желании может пересечь его туда - обратно); затем отдохнет в Парке Огни Мурманска и Долине Уюта и отправится дальше. В итоге оптимальный маршрут составит:

С помощью графа можно также визуализировать схему проведения соцопросов. Примеры представлены в ПРИЛОЖЕНИИ №2. В зависимости от данных ответов опрашиваемому задают разные вопросы. Например, если в социологическом опросе №1 опрашиваемый считает математику важнейшей из наук, у него спросят, уверенно ли он чувствует себя на уроках физики; если же он считает иначе, второй вопрос будет касаться востребованности гуманитарных наук. Вершинами такого графа являются вопросы, а ребрами - варианты ответов.

2.3. Применение теории графов при решении задач

Теория графов применяется при решении задач из многих предметных областей: математика, биология, информатика. Мы изучили принцип решения задач с помощью теории графов и составили собственные задачи по теме исследования.

Задача №1.

Пятеро одноклассников, на встрече выпускников, обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Решение: Обозначим одноклассников вершинами графа. Соединим каждую вершину линиями, с четырьмя другими вершинам. Получаем 10 линий, это и есть рукопожатиями.

Ответ: 10 рукопожатий (каждая линия означает одно рукопожатие).

Задача №2.

У моей бабушке в деревне, возле дома растут 8 деревьев: тополь, дуб, клен, яблоня, лиственница, береза, рябина и сосна. Рябина выше лиственницы, яблоня выше клена, дуб ниже березы, но выше сосны, сосна выше рябины, береза ниже тополя, а лиственница выше яблони. В какой последовательности расположатся деревья по высоте от самого высокого к самому низкому.

Решение:

Деревья - это вершины графа. Обозначим их первой буквой в кружочке. Проведем стрелки от низкого дерева к более высокому. Сказано, что рябина выше лиственницы, то стрелку ставим от лиственницы к рябине, берёза ниже тополя, то стрелку ставим от тополя к берёзе и т.п. Получаем граф, где видно, что самое низкое дерево - клен, потом яблоня, лиственница, рябина, сосна, дуб, береза и тополь.

Ответ: клен, яблоня, лиственница, рябина, сосна, дуб, береза и тополь.

Задача №3.

У Мамы есть 2 конверта: обычный и авиа, и 3 марки: квадратная, прямоугольная и треугольная. Сколькими способами Мама может выбрать конверт и марку, чтобы отправить письмо Папе?

Ответ: 6 способов

Задача №4.

Между населенными пунктами A, B, C, D, E построены дороги. Нужно определить длину кратчайшего пути между пунктами А и Е. Передвигаться можно только по дорогам, длина которых указана на рисунке.

Задача №5.

Тремя одноклассника - Максим, Кирилл и Вова решили заняться спортом и прошли отбор спортивные секции. Известно, что в баскетбольную секцию претендовал 1 мальчик, а в хоккей хотели играть трое. Максим пробовался только в 1 секцию, Кирилл отбирался во все три секции, а Вова в 2. Кого из мальчиков в какую спортивную секцию отобрали?

Решение: Для решения задачи применим графы

Баскетбол Максим

Футбол Кирилл

Хоккей Вова

Так как к баскетболу идет лишь одна стрелка, то Кирилла отобрали в сецию баскетбола . Тогда Кирилл не будет играть в хоккей , а значит, в хоккейную секцию отобрали Максима, который пробовался только в эту секцию, тогда Вова будет футболистом .

Задача №6.

Из-за болезни некоторых преподавателей, завучу школы, требуется составить фрагмент расписания занятий в школе хотя бы на один день, с учетом следующих обстоятельств:

1. Преподаватель ОБЖ согласен дать только последний урок;

2. Преподаватель географии может дать либо второй, либо третий урок;

3. Математик готов дать либо только первый, либо только второй урок;

4. Преподаватель физики может дать либо первый, либо второй, либо третий уроки, но только в одном классе.

Какое расписание может составить завуч школы, чтобы оно удовлетворяло всем преподавателей?

Решение: Эту задачу можно решить перебирая все возможные варианты, но проще, если начертить граф.

1. 1) физика 2. 1) математика 3. 1) математика

2) математика 2) физика 2) география

3) география 3) география 3) физика

4) ОБЖ 4) ОБЖ 4) ОБЖ

Заключение

В данной исследовательской работе была подробно изучена теория графов, доказана гипотеза, что изучение графов может помочь в решении логических задач, кроме того, рассмотрена теорию графов в разных областях науки и составлены свои 7 задач.

Использование графов при обучении обучающихся поиску решения задач позволяет совершенствовать графические умения учащихся и связывать рассуждения специальным языком конечного множества точек, некоторые из которых соединены линиями. Все это способствует проведению работы по обучению учащихся мышлению.

Эффективность учебной деятельности по развитию мышления во многом зависит от степени творческой активности учащихся при решении математических задач. Следовательно, необходимы математические задачи и упражнения, которые бы активизировали мыслительную деятельность школьников.

Применение задач и использованием элементов теории графов на факультативных занятиях в школе как раз и преследует цель активизации мыслительной деятельности учащихся. Мы считаем, что практический материал по нашему исследованию может быть полезен на факультативных занятиях по математике.

Таким образом, цель исследовательской работы достигнута, задачи решены. В перспективе мы планируем продолжить изучение теории графов и разработать свои маршруты, например, с помощью графа создать экскурсионный маршрут для школьного автобуса ЗАТО Александровск по музеям и памятным местам г. Мурманска.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Березина Л. Ю. «Графы и их применение» - М.: «Просвещение», 1979

Гарднер М. «Математические досуги», М. «Мир», 1972

Гарднер М. «Математические головоломки и развлечения», М. «Мир», 1971

Горбачев А. «Сборник олимпиадных задач» - М. МЦНМО, 2005

Зыков А. А. Основы теории графов. — М.: «Вузовская книга», 2004. — С. 664

Касаткин В. Н. «Необычные задачи математики», Киев, «Радяньска школа», 1987

Математическая составляющая / Редакторы-составители Н.Н. Андреев, С.П. Коновалов, Н.М. Панюшкин. - М.: Фонд «Математические этюды» 2015 г. - 151 с.

Мельников О. И. «Занимательные задачи по теории графов», Мн. «ТетраСистемс»,2001

Мельников О.И. Незнайка в стране графов: Пособие для учащихся. Изд. 3-е, стереотипное. М.: КомКнига, 2007. — 160 с.

Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старинные занимательные задачи», М. «Наука», 1988

Оре О. «Графы и их применения», М. «Мир», 1965

Харари Ф. Теория графов / Пер.с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г. П. Гаврилова. Изд. 2-е. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 296 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ №1

Составление оптимального маршрута посещения главных достопримечательностей

г. Мурманск с помощью графа.

Оптимальный маршрут составит:

8. Кольский мост6. Парк Огни Мурманска7. Парк Долина Уюта2. Свято-Никольский собор10. Площадь Пяти углов5. Атомный ледокол Ленин9. Музей истории Мурманского морского пароходства11. Морской торговый порт1. Морской православный храм Спас-на-водах4. Памятник коту Семену3. Океанариум.

ПУТЕВОДИТЕЛЬ ПО ДОСТОПРИМЕЧАТЕЛЬНОСТЯМ МУРМАНСКА

ПРИЛОЖЕНИЕ №2

Социологические опросы № 1, 2