Für direkte Messungen

1. Lassen Sie zwei Spannungen einmal mit einem Voltmeter messen U 1 = 10 V, U 2 = 200 V. Das Voltmeter hat folgende Eigenschaften: Genauigkeitsklasse d, Klasse t = 0,2, U max = 300 V.

Lassen Sie uns die absoluten und relativen Fehler dieser Messungen bestimmen.

Da beide Messungen am selben Gerät durchgeführt wurden, ist D U 1 = D U 2 und werden nach Formel (B.4) berechnet

Laut Definition relative Fehler U 1 und U 2 sind jeweils gleich

ε 1 = 0,6 ∙ V / 10 V = 0,06 = 6 %,

ε 2 = 0,6 ∙ V / 200 V = 0,003 = 0,3 %.

Aus den angegebenen Ergebnissen der Berechnungen ε 1 und ε 2 geht hervor, dass ε 1 deutlich größer als ε 2 ist.

Daraus ergibt sich die Regel: Man sollte ein Gerät mit einer solchen Messgrenze wählen, dass die Messwerte im letzten Drittel der Skala liegen.

2. Eine bestimmte Menge soll viele Male gemessen, also produziert werden N Einzelmessungen dieser Größe Ein x 1 , A x 2 ,...,Ein x 3 .

Um den absoluten Fehler zu berechnen, werden dann die folgenden Operationen durchgeführt:

1) Bestimmen Sie mit der Formel (B.5) den arithmetischen Mittelwert A 0 Messwert;

2) Berechnen Sie die Summe der quadratischen Abweichungen einzelner Messungen vom gefundenen arithmetischen Mittel und ermitteln Sie mit Formel (B.6) den quadratischen Mittelwertfehler, der den absoluten Fehler einer einzelnen Messung bei mehreren direkten Messungen eines bestimmten Werts charakterisiert ;

3) Der relative Fehler ε wird nach Formel (B.2) berechnet.

Berechnung des absoluten und relativen Fehlers

Mit indirekter Messung

Die Berechnung von Fehlern bei indirekten Messungen ist eine schwierigere Aufgabe, da in diesem Fall der gewünschte Wert eine Funktion anderer Hilfsgrößen ist, deren Messung mit dem Auftreten von Fehlern einhergeht. Normalerweise fallen bei Messungen, abgesehen von Fehlern, zufällige Fehler im Vergleich zum Messwert sehr gering aus. Sie sind so klein, dass die zweite oder mehr hohe Abschlüsse Fehler liegen außerhalb der Messgenauigkeit und können vernachlässigt werden. Aufgrund der Kleinheit der Fehler erhält man die Fehlerformel
Zur Messung einer indirekt gemessenen Größe werden Methoden der Differentialrechnung eingesetzt. Bei der indirekten Messung einer Größe, wenn Größen, die mit einer gewünschten mathematischen Beziehung verknüpft sind, direkt gemessen werden, ist es praktischer, zuerst den relativen Fehler zu bestimmen und dann
Berechnen Sie anhand des gefundenen relativen Fehlers den absoluten Messfehler.

Die Differentialrechnung bietet die einfachste Möglichkeit, den relativen Fehler bei der indirekten Messung zu bestimmen.

Geben Sie die benötigte Menge ein A ist durch eine funktionale Abhängigkeit mit mehreren unabhängigen direkt messbaren Größen verbunden X 1 ,
X 2 , ..., x k, d.h.

A= F(X 1 , X 2 , ..., x k).

Zur Bestimmung des relativen Fehlers des Werts A Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus beider Seiten der Gleichheit

ln A= Protokoll F(X 1 , X 2 , ..., x k).

Dann wird die Differenz berechnet natürlicher Logarithmus Funktionen
A= F(X 1 ,X 2 , ..., x k),

dln A=dln F(X 1 , X 2 , ..., x k)

Im resultierenden Ausdruck werden alle möglichen algebraischen Transformationen und Vereinfachungen durchgeführt. Danach werden alle Differentialsymbole d durch Fehlersymbole D ersetzt und die negativen Vorzeichen vor den Differentialen der unabhängigen Variablen durch positive ersetzt, d. h. es wird der ungünstigste Fall angenommen, wenn alle Fehler aufsummiert werden. In diesem Fall wird der maximale Fehler des Ergebnisses berechnet.

Nachdem das gesagt worden ist

aber ε = D A / A

Dieser Ausdruck ist die Formel für den relativen Fehler der Menge A Bei indirekten Messungen bestimmt es den relativen Fehler des gewünschten Werts anhand der relativen Fehler der Messwerte. Nachdem Sie den relativen Fehler mithilfe der Formel (B.11) berechnet haben,
Bestimmen Sie den absoluten Fehler des Wertes A als Produkt aus dem relativen Fehler und dem berechneten Wert A d.h.

D A = ε A, (UM 12)

wobei ε als dimensionslose Zahl ausgedrückt wird.

Daher sollten die relativen und absoluten Fehler der indirekt gemessenen Größe in der folgenden Reihenfolge berechnet werden:

1) Nehmen Sie eine Formel, nach der der gewünschte Wert berechnet wird (Berechnungsformel);

2) Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus beider Seiten der Berechnungsformel;

3) berechnet volles Differenzial natürlicher Logarithmus der gewünschten Menge;

4) alle möglichen algebraischen Transformationen und Vereinfachungen werden im resultierenden Ausdruck durchgeführt;

5) Das Symbol der Differentiale d wird durch das Symbol des Fehlers D ersetzt, während alle negativen Vorzeichen vor den Differentialen unabhängiger Variablen durch positive ersetzt werden (der Wert des relativen Fehlers wird maximal sein) und die Formel für den relativen Fehler lautet erhalten;

6) der relative Fehler des Messwerts wird berechnet;

7) Basierend auf dem berechneten relativen Fehler wird der absolute Fehler der indirekten Messung mithilfe der Formel (B.12) berechnet.

Schauen wir uns einige Beispiele für die Berechnung relativer und absoluter Fehler bei indirekten Messungen an.

1. Benötigte Menge A bezogen auf direkt messbare Größen X, bei, z Verhältnis

Wo A Und B– konstante Werte.

2. Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus des Ausdrucks (B.13)

3. Berechnen Sie das Gesamtdifferential des natürlichen Logarithmus der gewünschten Größe A, das heißt, wir differenzieren (B.13)

4. Wir machen Transformationen. In Anbetracht dessen, dass d A= 0, da A= const,cos bei/Sünde j=ctg j, wir bekommen:

5. Ersetzen Sie die Differentialsymbole durch Fehlersymbole und das Minuszeichen vor dem Differential durch ein Pluszeichen.

6. Wir berechnen den relativen Fehler des Messwerts.

7. Basierend auf dem berechneten relativen Fehler wird der absolute Fehler der indirekten Messung gemäß Formel (B.12) berechnet, d. h.

Die Wellenlänge wird bestimmt gelbe Farbe Spektrallinie von Quecksilber unter Verwendung Beugungsgitter(unter Verwendung der akzeptierten Reihenfolge zur Berechnung der relativen und absoluten Fehler für die gelbe Wellenlänge).

1. Die Wellenlänge der gelben Farbe wird in diesem Fall durch die Formel bestimmt:

Wo MIT– Konstante des Beugungsgitters (indirekt gemessener Wert); φ w – Beugungswinkel der gelben Linie in in dieser Reihenfolge Spektrum (direkt gemessene Größe); K g – Reihenfolge des Spektrums, in dem die Beobachtung gemacht wurde.

Die Beugungsgitterkonstante wird nach der Formel berechnet

Wo K h – Ordnung des Spektrums der grünen Linie; λ з – bekannte Wellenlänge der grünen Farbe (λ з – Konstante); φз – Beugungswinkel der grünen Linie in einer bestimmten Spektralordnung (direkt gemessener Wert).

Dann unter Berücksichtigung des Ausdrucks (B.15)

(B.16)

Wo K H, K g – Observable, die als konstant gelten; φ h, φ w – sind
direkt messbare Größen.

Ausdruck (B.16) ist die Berechnungsformel für die gelbe Wellenlänge, die mit einem Beugungsgitter bestimmt wird.

4. d K z = 0; D K w = 0; dλ з = 0, da K H, K g und λ h – konstante Werte;

Dann

5. (B.17)

wobei Dφ w, Dφ h – absolute Fehler bei der Messung des Beugungswinkels von Gelb
und grüne Linien des Spektrums.

6. Berechnen Sie den relativen Fehler der gelben Wellenlänge.

7. Berechnen Sie den absoluten Fehler der gelben Wellenlänge:

Dλ f = ελ f.

Die gemessene Größe soll einen bekannten Wert haben X. Natürlich werden während des Messvorgangs auch einzelne Werte dieser Größe ermittelt X1 , X2 ,… xn sind offensichtlich nicht ganz korrekt, d.h. nicht übereinstimmen X. Dann der Wert
wird ein absoluter Fehler sein ich Dimension. Aber seit wahre Bedeutung Ergebnis X, ist normalerweise nicht bekannt, dann wird anstelle von X die tatsächliche Schätzung des absoluten Fehlers verwendet arithmetische Mittel
, was nach der Formel berechnet wird:

Allerdings für kleine Stichprobengrößen, statt
bevorzugt zu verwenden Median. Median (Ich) ist ein Wert einer Zufallsvariablen x, sodass die Hälfte der Ergebnisse einen Wert kleiner als und die andere Hälfte einen Wert größer als hat Meh. Berechnen Meh Die Ergebnisse sind in aufsteigender Reihenfolge angeordnet, das heißt, sie bilden die sogenannte Variationsreihe. Für eine ungerade Anzahl von Messungen n ist der Median gleich dem Wert des Mittelterms der Reihe. Zum Beispiel,
für n=3

Für gerades n der Wert Meh gleich der Hälfte der Summe der Werte der beiden Durchschnittsergebnisse. Zum Beispiel,
für n=4

Zur Berechnung S Verwenden Sie ungerundete Analyseergebnisse mit einer ungenauen letzten Dezimalstelle.
Bei sehr große Zahl Proben ( N>
) Zufällige Fehler können mit dem normalen Gaußschen Verteilungsgesetz beschrieben werden. Bei klein N die Verteilung kann vom Normalzustand abweichen. IN mathematische Statistik Diese zusätzliche Unzuverlässigkeit wird durch eine modifizierte Symmetrie beseitigt T-Verteilung. Es gibt einen Koeffizienten T, Student-Koeffizient genannt, der abhängig von der Anzahl der Freiheitsgrade ( F) und Konfidenzwahrscheinlichkeit ( R) ermöglicht Ihnen den Wechsel von einer Stichprobe zu einer Grundgesamtheit.
Standardabweichung des Durchschnittsergebnisses
bestimmt durch die Formel:

Größe

ist das Konfidenzintervall des Mittelwerts
. Bei seriellen Analysen wird üblicherweise davon ausgegangen R= 0,95.

Tabelle 1. Schülerkoeffizientenwerte ( T)

F

Beispiel 1 . Aus zehn Bestimmungen des Mangangehalts in einer Probe ist eine Berechnung erforderlich Standardabweichung Einzelanalyse und Konfidenzintervall des Mittelwerts Mn%: 0,69; 0,68; 0,70; 0,67; 0,67; 0,69; 0,66; 0,68; 0,67; 0,68.
Lösung. Mit Formel (1) wird der Durchschnittswert der Analyse berechnet

Laut Tabelle 1 (Anhang) Finden Sie den Student-Koeffizienten für f=n-1=9 (P=0,95) T=2,26 und berechnen Sie das Konfidenzintervall des Mittelwerts. Somit wird der Durchschnittswert der Analyse durch das Intervall (0,679 ± 0,009) % Mn bestimmt.

Beispiel 2 . Der Durchschnitt aus neun Messungen des Wasserdampfdrucks über einer Harnstofflösung bei 20 °C beträgt 2,02 kPa. Probenstandardabweichung der Messungen s = 0,04 kPa. Bestimmen Sie die Breite des Konfidenzintervalls für den Durchschnitt von neun und einer einzelnen Messung, die der 95-prozentigen Konfidenzwahrscheinlichkeit entspricht.
Lösung. Der t-Koeffizient für ein Konfidenzniveau von 0,95 und f = 8 beträgt 2,31. Bedenkt, dass

Und
, wir finden:

- Die Breite wird als vertrauenswürdig eingestuft. Intervall für den Durchschnittswert

- Die Breite wird als vertrauenswürdig eingestuft. Intervall für eine Einzelwertmessung

Liegen Analyseergebnisse von Proben mit unterschiedlichem Gehalt vor, so aus den Teildurchschnitten S Durch Mittelung können Sie den Gesamtdurchschnittswert berechnen S. Haben M Proben und für jede Probe Durchführung NJ Paralleldefinitionen werden die Ergebnisse in Tabellenform dargestellt:

Nummer Probe	Analysenummer

Der durchschnittliche Fehler wird aus der Gleichung berechnet:

mit Freiheitsgraden F = N – M, wo n – Gesamtzahl Definitionen n=M. NJ.

Beispiel 2. Berechnen Sie den durchschnittlichen Fehler bei der Bestimmung von Mangan in fünf Stahlproben mit unterschiedlichen Gehalten. Analysewerte, % Mn:
1. 0,31; 0,30; 0,29; 0,32.
2. 0,51; 0,57; 0,58; 0,57.
3. 0,71; 0,69; 0,71; 0,71.
4. 0,92; 0,92; 0,95; 0,95.
5. 1,18; 1,17; 1,21; 1,19.
Lösung. Mit Formel (1) werden die Durchschnittswerte in jeder Stichprobe ermittelt, dann werden die quadrierten Differenzen für jede Stichprobe berechnet und der Fehler wird mit Formel (5) berechnet.
1)
= (0,31 + 0,30 + 0,29 + 0,32)/4 = 0,305.
2)
= (0,51 + 0,57 + 0,58 + 0,57)/4 = 0,578.
3)
= (0,71+ 0,69 + 0,71 + 0,71)/4 = 0,705.
4)
= (0,92+0,92+0,95+0,95)/4 =0,935.
5)
= (1,18 + 1,17 + 1, 21 + 1,19)/4 = 1,19.

Werte der quadrierten Differenzen
1) 0,0052 +0,0052 +0,0152 +0,0152 =0,500.10 -3 .
2) 0,0122 +0,0082 +0,0022 +0,0082 =0,276.10 -3 .
3) 0,0052 + 0,0152 + 0,0052 + 0,0052 = 0,300.10 -3 .
4) 0,0152+ 0,0152 + 0,0152 + 0,0152 = 0,900.10 -3 .
5) 0,012 +0,022 +0,022 + 02 = 0,900.10 -3 .
Durchschnittlicher Fehler für f = 4,5 – 5 = 15

S= 0,014 % (absolut bei F=15 Freiheitsgrade).

Wenn für jede Probe zwei parallele Bestimmungen durchgeführt und die Werte ermittelt werden X" Und X", für Stichproben wird die Gleichung in einen Ausdruck umgewandelt.

Absoluter und relativer Zahlenfehler.

Als Merkmale der Genauigkeit von Näherungsgrößen jeglichen Ursprungs werden die Konzepte der absoluten und relativen Fehler dieser Größen eingeführt.

Bezeichnen wir mit a die Annäherung an die genaue Zahl A.

Definieren. Die Menge wird als Fehler der ungefähren Zahla bezeichnet.

Definition. Absoluter Fehler Die ungefähre Zahl a heißt Menge
.

Die praktisch genaue Zahl A ist normalerweise unbekannt, wir können jedoch immer die Grenzen angeben, innerhalb derer der absolute Fehler variiert.

Definition. Maximaler absoluter Fehler Die ungefähre Zahl a wird als kleinste der oberen Grenzen für die Menge bezeichnet , die mit dieser Methode zur Ermittlung der Zahla ermittelt werden kann.

In der Praxis, wie Wählen Sie eine der oberen Grenzen für , ganz nah am Kleinsten.

Weil das
, Das
. Manchmal schreiben sie:
.

Absoluter Fehler ist die Differenz zwischen dem Messergebnis

und wahrer (echter) Wert gemessene Größe.

Der absolute Fehler und der maximale absolute Fehler reichen nicht aus, um die Genauigkeit einer Messung oder Berechnung zu charakterisieren. Qualitativ ist die Größe des relativen Fehlers bedeutsamer.

Definition. Relativer Fehler Wir nennen die ungefähre Zahl a die Menge:

Definition. Maximaler relativer Fehler ungefähre Zahl a nennen wir die Menge

Als
.

Somit bestimmt der relative Fehler tatsächlich die Größe des absoluten Fehlers pro Einheit der gemessenen oder berechneten Näherungszahl a.

Beispiel. Bestimmen Sie, indem Sie die genauen Zahlen A auf drei signifikante Ziffern runden

absolute D- und relative δ-Fehler der erhaltenen Näherungswerte

Gegeben:

Finden:

∆-absoluter Fehler

δ – relativer Fehler

Lösung:

=|-13.327-(-13.3)|=0.027

,A 0

*100%=0.203%

Antwort:=0,027; δ=0,203 %

2. Dezimalschreibweise einer ungefähren Zahl. Signifikante Figur. Korrekte Ziffern von Zahlen (Definition korrekter und signifikanter Ziffern, Beispiele; Theorie des Zusammenhangs zwischen relativem Fehler und der Anzahl korrekter Ziffern).

Richtige Zahlenzeichen.

Definition. Die signifikante Ziffer einer Näherungszahl a ist jede Ziffer außer Null und Null, wenn sie zwischen signifikanten Ziffern liegt oder eine gespeicherte Dezimalstelle darstellt.

Zum Beispiel in der Zahl 0,00507 =
wir haben 3 signifikante Ziffern und in der Zahl 0,005070=
bedeutende Zahlen, d.h. Die Null auf der rechten Seite, wobei die Dezimalstelle erhalten bleibt, ist signifikant.

Von nun an stimmen wir zu, Nullen auf die rechte Seite zu schreiben, wenn sie nur von Bedeutung sind. Dann, mit anderen Worten,

Alle Ziffern von a sind signifikant, mit Ausnahme der Nullen auf der linken Seite.

Im dezimalen Zahlensystem kann jede Zahl a als endliche oder unendliche Summe (Dezimalbruch) dargestellt werden:

Wo
,
- die erste signifikante Ziffer, m - eine ganze Zahl, die als höchstwertige Dezimalstelle der Zahl a bezeichnet wird.

Beispiel: 518,3 =, m=2.

Mithilfe der Notation führen wir das Konzept der korrekten Dezimalstellen (in signifikanten Ziffern) ein, ungefähr –

am 1. Tag.

Definition. Man sagt, dass in einer Näherungszahl a der Form n die ersten signifikanten Ziffern sind ,

wobei i= m, m-1,..., m-n+1 korrekt sind, wenn der absolute Fehler dieser Zahl eine halbe Zifferneinheit, ausgedrückt durch die n-te signifikante Ziffer, nicht überschreitet:

Ansonsten die letzte Ziffer
als zweifelhaft bezeichnet.

Beim Schreiben einer ungefähren Zahl ohne Angabe des Fehlers ist es erforderlich, dass alle geschriebenen Zahlen angegeben werden

waren treu. Diese Anforderung wird in allen mathematischen Tabellen erfüllt.

Der Begriff „n richtige Ziffern“ charakterisiert nur den Grad der Genauigkeit der Näherungszahl und ist nicht so zu verstehen, dass die ersten n signifikanten Ziffern der Näherungszahl a mit den entsprechenden Ziffern der genauen Zahl A übereinstimmen. Beispielsweise z Die Zahlen A = 10, a = 9,997, alle signifikanten Ziffern sind unterschiedlich, aber die Zahl a hat 3 gültige signifikante Ziffern. Tatsächlich ist hier m=0 und n=3 (wir finden es durch Auswahl).

Abschätzung von Fehlern der Messergebnisse

Messfehler und ihre Arten

Alle Messungen werden immer mit einigen Fehlern durchgeführt, die mit der begrenzten Genauigkeit von Messgeräten, der falschen Wahl und dem Fehler der Messmethode, der Physiologie des Experimentators, den Eigenschaften der zu messenden Objekte, Änderungen der Messbedingungen usw. zusammenhängen. Daher gilt: Zur Messaufgabe gehört es, nicht nur den Wert selbst zu ermitteln, sondern auch den Messfehler, also das Intervall, in dem der wahre Wert der Messgröße am wahrscheinlichsten liegt. Wenn wir beispielsweise einen Zeitraum t mit einer Stoppuhr mit einem Teilungswert von 0,2 s messen, können wir sagen, dass sein wahrer Wert im Intervall von https://pandia.ru/text/77/496/images/image002_131 liegt .gif" width="85 " height="23 src=">с..gif" width="16" height="17 src="> und X sind die wahren und gemessenen Werte der untersuchten Größe, jeweils. Die Menge wird aufgerufen Absoluter Fehler(Fehler) der Messung und der Ausdruck , welches die Messgenauigkeit charakterisiert, heißt relativer Fehler.

Es ist ganz natürlich, dass der Experimentator jede Messung mit der größtmöglichen Genauigkeit durchführen möchte, aber ein solcher Ansatz ist nicht immer ratsam. Je genauer wir diese oder jene Größe messen wollen, je komplexer die Instrumente sind, die wir verwenden müssen, desto mehr Zeit werden diese Messungen erfordern. Daher muss die Genauigkeit des Endergebnisses dem Zweck des Experiments entsprechen. Die Fehlertheorie gibt Empfehlungen, wie Messungen durchgeführt und die Ergebnisse so verarbeitet werden sollten, dass der Fehler minimal ist.

Alle bei Messungen auftretenden Fehler werden normalerweise in drei Arten unterteilt: systematische, zufällige und fehlerhafte oder grobe Fehler.

Systematische Fehler werden durch die begrenzte Herstellungsgenauigkeit von Geräten (Gerätefehler), Mängel der gewählten Messmethode, Ungenauigkeit der Berechnungsformel, falsche Installation des Geräts usw. verursacht. Systematische Fehler werden also durch Faktoren verursacht, die bei der Messung gleich wirken Dieselben Messungen werden viele Male wiederholt. Das Ausmaß dieses Fehlers wiederholt sich systematisch oder ändert sich nach einem bestimmten Gesetz. Einige systematische Fehler lassen sich beseitigen (in der Praxis ist dies immer leicht zu erreichen), indem man die Messmethode ändert, Korrekturen an den Instrumentenanzeigen vornimmt und den ständigen Einfluss externer Faktoren berücksichtigt.

Obwohl der systematische (instrumentelle) Fehler bei wiederholten Messungen zu einer Abweichung des Messwerts vom wahren Wert in einer Richtung führt, wissen wir nie, in welche Richtung. Daher wird der Gerätefehler mit einem Doppelzeichen geschrieben

Zufällige Fehler werden durch eine Vielzahl zufälliger Ursachen (Temperatur-, Druckänderungen, Gebäudeerschütterungen usw.) verursacht, deren Auswirkungen auf jede Messung unterschiedlich sind und nicht im Voraus berücksichtigt werden können. Zufällige Fehler treten auch aufgrund der Unvollkommenheit der Sinne des Experimentators auf. Zu den zufälligen Fehlern zählen auch Fehler, die durch die Eigenschaften des Messobjekts verursacht werden.

Zufällige Fehler bei Einzelmessungen lassen sich nicht ausschließen, der Einfluss dieser Fehler auf das Endergebnis lässt sich jedoch durch die Durchführung mehrerer Messungen reduzieren. Wenn sich herausstellt, dass der Zufallsfehler deutlich geringer ist als der instrumentelle (systematische), dann macht es keinen Sinn, den Wert des Zufallsfehlers durch eine Erhöhung der Anzahl der Messungen weiter zu verringern. Wenn der Zufallsfehler größer als der Instrumentenfehler ist, sollte die Anzahl der Messungen erhöht werden, um den Wert des Zufallsfehlers zu verringern und ihn kleiner oder in die gleiche Größenordnung wie den Instrumentenfehler zu bringen.

Fehler oder Fehler- Hierbei handelt es sich um fehlerhafte Messwerte am Gerät, fehlerhafte Messwerterfassung etc. Fehler aus den genannten Gründen sind in der Regel deutlich erkennbar, da die entsprechenden Messwerte stark von anderen Messwerten abweichen. Fehler müssen durch Kontrollmessungen beseitigt werden. Somit wird die Breite des Intervalls, in dem die wahren Werte der gemessenen Größen liegen, nur durch zufällige und systematische Fehler bestimmt.

2. Schätzung des systematischen (Instrumenten-)Fehlers

Für direkte Messungen Der Wert der gemessenen Größe wird direkt auf der Skala gezählt Messinstrument. Der Ablesefehler kann mehrere Zehntel einer Skalenteilung erreichen. Typischerweise wird bei solchen Messungen der systematische Fehler als gleich der halben Skalenteilung des Messgeräts angesehen. Wenn Sie beispielsweise mit einem Messschieber mit einem Teilungswert von 0,05 mm messen, wird der Wert des Instrumentenmessfehlers mit 0,025 mm angenommen.

Digitale Messgeräte geben den Wert der von ihnen gemessenen Größen mit einem Fehler an, gleich dem Wert eine Einheit der letzten Ziffer auf der Instrumentenskala. Wenn ein Digitalvoltmeter also einen Wert von 20,45 mV anzeigt, beträgt der absolute Messfehler mV.

Auch bei der Verwendung konstanter, aus Tabellen ermittelter Werte entstehen systematische Fehler. In solchen Fällen wird angenommen, dass der Fehler der Hälfte der letzten signifikanten Ziffer entspricht. Wenn in der Tabelle beispielsweise der Wert der Stahldichte mit 7,9∙103 kg/m3 angegeben ist, dann ist der absolute Fehler in diesem Fall gleich https://pandia.ru/text/77/496/images/image009_52. gif" width= "123" height="24 src=">Formel wird verwendet

, (1)

wobei https://pandia.ru/text/77/496/images/image012_40.gif" width="16" height="24"> partielle Ableitungen der Funktion in Bezug auf die Variable https://pandia sind. ru/text/77 /496/images/image014_34.gif" width="65 height=44" height="44">.

Partielle Ableitungen nach Variablen D Und H wird gleich sein

https://pandia.ru/text/77/496/images/image017_27.gif" width="71" height="44 src=">.

Somit hat die Formel zur Bestimmung des absoluten systematischen Fehlers bei der Messung des Zylindervolumens gemäß folgender Form

,

wo und sind Instrumentenfehler beim Messen des Durchmessers und der Höhe des Zylinders

3. Schätzung des Zufallsfehlers.

Konfidenzintervall und Konfidenzwahrscheinlichkeit

https://pandia.ru/text/77/496/images/image016_30.gif" width="12 height=23" height="23">.gif" width="45" height="21 src="> - Verteilungsfunktion zufälliger Fehler (Fehler), die die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers charakterisiert, σ – mittlerer quadratischer Fehler.

Die Größe σ ist keine Zufallsgröße und charakterisiert den Messvorgang. Wenn sich die Messbedingungen nicht ändern, bleibt σ bestehen konstanter Wert. Das Quadrat dieser Größe heißt Messstreuung. Je geringer die Streuung, desto geringer ist die Streuung der Einzelwerte und desto höher ist die Messgenauigkeit.

Der genaue Wert des mittleren quadratischen Fehlers σ sowie der wahre Wert des Messwerts sind unbekannt. Es gibt eine sogenannte statistische Schätzung dieses Parameters, nach der der mittlere quadratische Fehler gleich dem mittleren quadratischen Fehler des arithmetischen Mittels ist. Der Wert wird durch die Formel bestimmt

, (3)

wobei https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17"> das arithmetische Mittel der erhaltenen Werte ist; N– Anzahl der Messungen.

Wie größere Zahl Messungen, desto weniger https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17 src="> und der zufällige absolute Fehler, dann wird das Messergebnis sein geschrieben in der Form https ://pandia.ru/text/77/496/images/image029_11.gif" width="45" height="19"> to , die den wahren Wert der gemessenen Größe μ enthält, heißt Konfidenzintervall. Da https://pandia.ru/text/77/496/images/image025_16.gif" width="19 height=24" height="24"> nahe bei σ liegt. Um das Konfidenzintervall und die Konfidenzwahrscheinlichkeit mit a zu ermitteln Es kommt eine kleine Anzahl von Messungen zum Einsatz, die wir im Rahmen der Laborarbeit bearbeiten Wahrscheinlichkeitsverteilung der Schüler. Dies ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen namens Schülerkoeffizient, gibt den Wert des Konfidenzintervalls in Bruchteilen des quadratischen Mittelfehlers des arithmetischen Mittels an.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Größe hängt nicht von σ2, sondern maßgeblich von der Anzahl der Experimente ab N. Mit zunehmender Anzahl von Experimenten N Die Student-Verteilung tendiert zur Gauß-Verteilung.

Die Verteilungsfunktion ist tabellarisch dargestellt (Tabelle 1). Der Wert des Student-Koeffizienten liegt am Schnittpunkt der Linie, die der Anzahl der Messungen entspricht N und die Spalte, die der Konfidenzwahrscheinlichkeit α entspricht

Tabelle 1.

Mithilfe der Tabellendaten können Sie:

1) Bestimmen Sie das Konfidenzintervall bei gegebener Wahrscheinlichkeit;

2) Wählen Sie ein Konfidenzintervall und bestimmen Sie die Konfidenzwahrscheinlichkeit.

Bei indirekten Messungen der mittlere quadratische Fehler des arithmetischen Mittelwerts der Funktion nach der Formel berechnet

. (5)

Die Bestimmung des Konfidenzintervalls und der Konfidenzwahrscheinlichkeit erfolgt auf die gleiche Weise wie bei direkten Messungen.

Schätzung des gesamten Messfehlers. Notieren Sie das Endergebnis.

Der Gesamtfehler des Messergebnisses des Wertes X wird als quadratischer Mittelwert der systematischen und zufälligen Fehler ermittelt

, (6)

Wo δх – Gerätefehler, Δ X- zufälliger Fehler.

X kann entweder eine direkt oder indirekt gemessene Größe sein.

, α=…, E=… (7)

Dabei ist zu berücksichtigen, dass die Formeln der Fehlertheorie selbst für eine Vielzahl von Messungen gültig sind. Daher wird der Wert des Zufalls und damit der Gesamtfehler als klein bestimmt N mit einem großen Fehler. Bei der Berechnung von Δ X Bei der Messung der Anzahl der Messungen wird empfohlen, eine signifikante Zahl zu begrenzen, wenn diese mehr als 3 beträgt, und zwei, wenn die erste Zahl beträgt Signifikante Figur kleiner als 3. Wenn beispielsweise Δ X= 0,042, dann verwerfen wir 2 und schreiben Δ X=0,04 und wenn Δ X=0,123, dann schreiben wir Δ X=0,12.

Die Anzahl der Stellen des Ergebnisses und der Gesamtfehler müssen gleich sein. Daher sollte das arithmetische Mittel des Fehlers gleich sein. Daher wird zunächst das arithmetische Mittel um eine Stelle mehr als der Messwert berechnet und bei der Ergebniserfassung wird sein Wert auf die Stellenzahl des Gesamtfehlers verfeinert.

4. Methodik zur Berechnung von Messfehlern.

Fehler direkter Messungen

Bei der Verarbeitung der Ergebnisse direkter Messungen wird empfohlen, die folgende Reihenfolge einzuhalten.

Maße der angegebenen physikalischer Parameter N Mal unter den gleichen Bedingungen, und die Ergebnisse werden in einer Tabelle festgehalten. Wenn sich die Ergebnisse einiger Messungen stark von denen anderer Messungen unterscheiden, werden sie als Fehler verworfen, wenn sie nach der Überprüfung nicht bestätigt werden. Es wird das arithmetische Mittel aus n identischen Messungen berechnet. Es wird der wahrscheinlichste Wert der gemessenen Größe angenommen

Es werden die absoluten Fehler einzelner Messungen ermittelt. Die Quadrate der absoluten Fehler einzelner Messungen werden berechnet (Δ). X i)2 Es wird der quadratische Mittelfehler des arithmetischen Mittels ermittelt

.

Der Wert der Konfidenzwahrscheinlichkeit α wird festgelegt. In Werkstattlaboren ist es üblich, α=0,95 einzustellen. Der Student-Koeffizient wird für eine gegebene Konfidenzwahrscheinlichkeit α und die Anzahl der durchgeführten Messungen ermittelt (siehe Tabelle). Der Zufallsfehler wird bestimmt

Der Gesamtfehler wird ermittelt

Der relative Fehler des Messergebnisses wird abgeschätzt

.

Das Endergebnis wird in das Formular geschrieben

C α=… E=… %.

5. Genauigkeit indirekte Messungen

Bei der Beurteilung des wahren Werts eines indirekt gemessenen Werts https://pandia.ru/text/77/496/images/image045_6.gif" width="75" height="24"> können zwei Methoden verwendet werden.

Erster Weg Wird verwendet, wenn der Wert j bestimmt bei unterschiedliche Bedingungen Erfahrung. In diesem Fall wird es für jeden der Werte berechnet , und dann wird das arithmetische Mittel aller Werte ermittelt yi

Der systematische (instrumentelle) Fehler wird anhand der bekannten instrumentellen Fehler aller Messungen mithilfe der Formel ermittelt. Der Zufallsfehler wird in diesem Fall als Fehler der direkten Messung definiert.

Zweiter Weg Gilt, wenn diese Funktion j mehrfach mit den gleichen Maßen ermittelt..gif" width="75" height="24">. In unserem Laborwerkstatt Die zweite Methode zur Bestimmung einer indirekt gemessenen Größe wird häufiger verwendet j. Der systematische (instrumentelle) Fehler wird wie bei der ersten Methode auf der Grundlage der bekannten instrumentellen Fehler aller Messungen mithilfe der Formel ermittelt

. (10)

Um den Zufallsfehler einer indirekten Messung zu ermitteln, werden zunächst die quadratischen Fehler des arithmetischen Mittels einzelner Messungen berechnet. Dann wird der mittlere quadratische Fehler des Werts ermittelt j. Festlegen der Konfidenzwahrscheinlichkeit α, Ermitteln des Student-Koeffizienten https://pandia.ru/text/77/496/images/image048_2.gif" width="83" height="23">, mit α=… E=… % .

6. Beispiel für die Gestaltung von Laborarbeiten

Laborarbeit Nr. 1

BESTIMMUNG DES ZYLINDERVOLUMEN

Zubehör: Messschieber mit einer Teilung von 0,05 mm, ein Mikrometer mit einer Teilung von 0,01 mm, ein zylindrischer Körper.

Ziel der Arbeit: Kennenlernen einfachster physikalischer Messungen, Bestimmung des Volumens eines Zylinders, Berechnung von Fehlern bei direkten und indirekten Messungen.

Messen Sie den Durchmesser des Zylinders mindestens fünfmal mit einem Messschieber und seine Höhe mit einem Mikrometer.

Berechnungsformel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders

wobei d der Durchmesser des Zylinders ist; h – Höhe.

Messergebnisse

Tabelle 2.

Messnr.
5.4. Berechnung des Gesamtfehlers Absoluter Fehler ; . 5. Relativer Fehler oder Messgenauigkeit ; E = 0,5 %. 6. Notieren Sie das Endergebnis Das Endergebnis für den untersuchten Wert wird in das Formular eingetragen Notiz. Bei der endgültigen Aufzeichnung müssen die Stellenanzahl des Ergebnisses und der absolute Fehler gleich sein. 6. Grafische Darstellung der Messergebnisse Die Ergebnisse physikalischer Messungen werden sehr häufig in grafischer Form dargestellt. Diagramme haben eine Reihe wichtiger Vorteile und wertvoller Eigenschaften: a) ermöglichen die Bestimmung der Art der funktionalen Abhängigkeit und der Grenzen, innerhalb derer sie gültig ist; b) einen klaren Vergleich der experimentellen Daten mit der theoretischen Kurve ermöglichen; c) beim Aufbau eines Graphen glätten sie Sprünge im Funktionsverlauf, die durch zufällige Fehler entstehen; d) die Bestimmung bestimmter Größen ermöglichen oder eine grafische Differentiation, Integration, Lösung von Gleichungen usw. durchführen. Grafiken werden in der Regel auf Spezialpapier (Millimeter, logarithmisch, halblogarithmisch) erstellt. Es ist üblich, auf der horizontalen Achse die unabhängige Variable, d. h. den Wert, dessen Wert der Experimentator selbst festlegt, und auf der vertikalen Achse den von ihm bestimmten Wert aufzutragen. Dabei ist zu beachten, dass der Schnittpunkt der Koordinatenachsen nicht mit den Nullwerten von x und y zusammenfallen muss. Bei der Wahl des Koordinatenursprungs sollte man sich darauf orientieren, dass die gesamte Fläche der Zeichnung voll ausgenutzt wird (Abb. 2.). Auf den Koordinatenachsen des Diagramms sind nicht nur die Namen oder Symbole von Größen angegeben, sondern auch deren Maßeinheiten. Der Maßstab entlang der Koordinatenachsen sollte so gewählt werden, dass die gemessenen Punkte über die gesamte Blattfläche liegen. In diesem Fall sollte der Maßstab einfach sein, damit Sie beim Zeichnen von Punkten in einem Diagramm keine arithmetischen Berechnungen im Kopf durchführen müssen. Experimentelle Punkte in der Grafik müssen genau und klar dargestellt werden. Es ist nützlich, Punkte, die unter unterschiedlichen Versuchsbedingungen (z. B. Erhitzen und Abkühlen) erhalten wurden, in unterschiedlichen Farben oder mit unterschiedlichen Symbolen darzustellen. Wenn der Fehler des Experiments bekannt ist, ist es besser, anstelle eines Punktes ein Kreuz oder ein Rechteck darzustellen, dessen Abmessungen entlang der Achsen diesem Fehler entsprechen. Es wird nicht empfohlen, Versuchspunkte durch eine gestrichelte Linie miteinander zu verbinden. Die Kurve im Diagramm sollte glatt gezeichnet werden, wobei darauf zu achten ist, dass die Versuchspunkte sowohl oberhalb als auch unterhalb der Kurve liegen, wie in Abb. 3 dargestellt. Bei der Erstellung von Diagrammen werden neben einem Koordinatensystem mit einheitlichem Maßstab auch sogenannte Funktionsskalen verwendet. Durch die Auswahl geeigneter Funktionen x und y können Sie im Diagramm eine einfachere Linie als bei der herkömmlichen Konstruktion erhalten. Dies ist häufig erforderlich, wenn eine Formel für ein bestimmtes Diagramm ausgewählt wird, um dessen Parameter zu bestimmen. Funktionsskalen werden auch dann verwendet, wenn es notwendig ist, einen beliebigen Abschnitt der Kurve im Diagramm zu strecken oder zu verkürzen. Die am häufigsten verwendete Funktionsskala ist die logarithmische Skala (Abb. 4).

Aufgrund der dem Messgerät innewohnenden Fehler, der gewählten Methode und des Messverfahrens, der Unterschiede zwischen den äußeren Bedingungen, unter denen die Messung durchgeführt wird, und anderen Gründen ist das Ergebnis fast jeder Messung mit Fehlern behaftet. Dieser Fehler wird berechnet bzw. geschätzt und dem erhaltenen Ergebnis zugeordnet.

Fehler beim Messergebnis(kurz: Messfehler) – die Abweichung des Messergebnisses vom wahren Wert des Messwertes.

Der wahre Wert der Menge bleibt aufgrund vorhandener Fehler unbekannt. Es wird zur Lösung theoretischer Probleme der Metrologie verwendet. In der Praxis wird der tatsächliche Wert der Menge verwendet, der den wahren Wert ersetzt.

Der Messfehler (Δx) wird durch die Formel ermittelt:

x = x Maß. - x gültig (1.3)

wobei x misst. - der Wert der auf der Grundlage von Messungen ermittelten Menge; x gültig — der Wert der als real angenommenen Menge.

Bei Einzelmessungen wird als tatsächlicher Wert häufig der mit einem Standardmessgerät ermittelte Wert angenommen, bei Mehrfachmessungen das arithmetische Mittel der Werte der Einzelmessungen einer gegebenen Messreihe.

Messfehler können nach folgenden Kriterien klassifiziert werden:

Aufgrund der Art der Manifestationen – systematisch und zufällig;

Je nach Ausdrucksweise - absolut und relativ;

Je nach Änderungsbedingungen des Messwertes – statisch und dynamisch;

Nach der Methode zur Verarbeitung einer Reihe von Messungen - arithmetische Mittelwerte und quadratische Mittelwerte;

Je nach Vollständigkeit der Abdeckung der Messaufgabe – teilweise und vollständig;

Relativ zur Einheit physikalische Größe— Fehler bei der Einheitenwiedergabe, der Einheitenspeicherung und der Einheitengrößenübertragung.

Systematischer Messfehler(kurz: systematischer Fehler) – eine Komponente des Fehlers eines Messergebnisses, die für eine bestimmte Messreihe konstant bleibt oder sich bei wiederholten Messungen derselben physikalischen Größe auf natürliche Weise ändert.

Systematische Fehler werden je nach Art ihrer Erscheinung in permanente, fortschreitende und periodische Fehler unterteilt. Ständige systematische Fehler(kurz: konstante Fehler) – Fehler, die über einen langen Zeitraum (z. B. während der gesamten Messreihe) ihren Wert behalten. Dies ist die häufigste Fehlerart.

Progressive systematische Fehler(kurz: progressive Fehler) – kontinuierlich zunehmende oder abnehmende Fehler (z. B. Fehler durch Verschleiß von Messspitzen, die während des Schleifvorgangs mit dem Teil in Kontakt kommen, wenn es mit einem aktiven Steuergerät überwacht wird).

Periodischer systematischer Fehler(kurz - periodischer Fehler) - ein Fehler, dessen Wert eine Funktion der Zeit oder eine Funktion der Bewegung des Zeigers eines Messgeräts ist (z. B. verursacht das Vorhandensein einer Exzentrizität bei Goniometergeräten mit kreisförmiger Skala eine systematische Fehler, der nach einem periodischen Gesetz variiert).

Basierend auf den Gründen für das Auftreten systematischer Fehler wird zwischen instrumentellen Fehlern, Methodenfehlern, subjektiven Fehlern und Fehlern aufgrund von Abweichungen äußerer Messbedingungen von den durch die Methoden festgelegten Bedingungen unterschieden.

Instrumenteller Messfehler(kurz: Instrumentenfehler) ist eine Folge einer Reihe von Gründen: Verschleiß von Geräteteilen, übermäßige Reibung im Gerätemechanismus, ungenaue Markierung der Striche auf der Skala, Diskrepanz zwischen den tatsächlichen und nominalen Werten des Maßes usw .

Fehler bei der Messmethode(kurz: Methodenfehler) kann aufgrund der Unvollkommenheit der Messmethode oder ihrer durch die Messmethodik festgelegten Vereinfachungen entstehen. Ein solcher Fehler kann beispielsweise auf eine unzureichende Leistung der Messgeräte zurückzuführen sein, die bei der Messung der Parameter schneller Prozesse verwendet werden, oder auf nicht berücksichtigte Verunreinigungen bei der Bestimmung der Dichte eines Stoffes anhand der Ergebnisse der Messung seiner Masse und seines Volumens.

Subjektiver Messfehler(kurz: subjektiver Fehler) ist auf die individuellen Fehler des Bedieners zurückzuführen. Dieser Fehler wird manchmal als persönliche Differenz bezeichnet. Dies wird beispielsweise dadurch verursacht, dass der Bediener ein Signal verzögert oder vorzeitig akzeptiert.

Fehler aufgrund Abweichung(in einer Richtung) der äußeren Messbedingungen von den durch die Messtechnik festgelegten Bedingungen führt zur Entstehung einer systematischen Komponente des Messfehlers.

Systematische Fehler verfälschen das Messergebnis und müssen daher durch Korrekturen oder Anpassungen des Gerätes so weit wie möglich beseitigt werden, um systematische Fehler auf ein akzeptables Minimum zu reduzieren.

Nicht ausgeschlossener systematischer Fehler(kurz: nicht ausgeschlossener Fehler) ist der Fehler des Messergebnisses, der auf einen Fehler bei der Berechnung und Einführung einer Korrektur für die Wirkung eines systematischen Fehlers zurückzuführen ist, oder ein kleiner systematischer Fehler, für den aufgrund der Wirkung keine Korrektur eingeführt wird zu seiner Kleinheit.

Manchmal wird diese Art von Fehler aufgerufen nicht ausgeschlossene Residuen systematischer Fehler(kurz: nicht ausgeschlossene Salden). Bei der Messung der Länge eines Linienmessers in Wellenlängen der Referenzstrahlung wurden beispielsweise mehrere nicht ausgeschlossene systematische Fehler festgestellt (i): aufgrund ungenauer Temperaturmessung - 1; aufgrund ungenauer Bestimmung des Brechungsindex von Luft - 2, aufgrund ungenauer Wellenlänge - 3.

Normalerweise wird die Summe der nicht ausgeschlossenen systematischen Fehler berücksichtigt (ihre Grenzen werden festgelegt). Wenn die Anzahl der Terme N ≤ 3 ist, werden die Grenzen nicht ausgeschlossener systematischer Fehler mithilfe der Formel berechnet

Wenn die Anzahl der Terme N ≥ 4 beträgt, wird die Formel für Berechnungen verwendet

(1.5)

Dabei ist k der Abhängigkeitskoeffizient nicht ausgeschlossener systematischer Fehler von der ausgewählten Konfidenzwahrscheinlichkeit P, wenn sie gleichmäßig verteilt sind. Bei P = 0,99 ist k = 1,4, bei P = 0,95 ist k = 1,1.

Zufälliger Messfehler(kurz: Zufallsfehler) – eine Komponente des Fehlers eines Messergebnisses, die sich in einer Reihe von Messungen gleicher Größe einer physikalischen Größe zufällig (in Vorzeichen und Wert) ändert. Gründe für zufällige Fehler: Rundungsfehler bei der Messwerterfassung, Abweichungen bei den Messwerten, Änderungen der zufälligen Messbedingungen usw.

Zufällige Fehler führen zu einer Streuung der Messergebnisse in einer Reihe.

Die Fehlertheorie basiert auf zwei durch die Praxis bestätigten Prinzipien:

1. Bei einer großen Anzahl von Messungen treten zufällige Fehler derselben auf numerischer Wert, Aber anderes Zeichen, kommen gleich häufig vor;

2. Große (absolut) Fehler kommen seltener vor als kleine.

Aus der ersten Position folgt eine wichtige Schlussfolgerung für die Praxis: Mit zunehmender Anzahl der Messungen nimmt der zufällige Fehler des aus einer Messreihe erhaltenen Ergebnisses ab, da die Summe der Fehler einzelner Messungen einer gegebenen Reihe gegen Null tendiert, d.h.

(1.6)

Als Ergebnis von Messungen wurden beispielsweise eine Reihe von Werten ermittelt elektrischer Wiederstand(korrigiert um systematische Fehler): R 1 = 15,5 Ohm, R 2 = 15,6 Ohm, R 3 = 15,4 Ohm, R 4 = 15,6 Ohm und R 5 = 15,4 Ohm. Daher ist R = 15,5 Ohm. Abweichungen von R (R 1 = 0,0; R 2 = +0,1 Ohm, R 3 = -0,1 Ohm, R 4 = +0,1 Ohm und R 5 = -0,1 Ohm) sind zufällige Fehler einzelner Messungen in dieser Serie. Es ist leicht zu überprüfen, dass die Summe R i = 0,0 ist. Dies weist darauf hin, dass die Fehler in einzelnen Messungen dieser Serie korrekt berechnet wurden.

Trotz der Tatsache, dass mit zunehmender Anzahl der Messungen die Summe der Zufallsfehler gegen Null tendiert (in diesem Beispiel stellte sie sich versehentlich als Null heraus), muss der Zufallsfehler des Messergebnisses beurteilt werden. In der Theorie der Zufallsvariablen dient die Streuung o2 als Merkmal für die Streuung der Werte einer Zufallsvariablen. „|/o2 = a wird als mittlere quadratische Abweichung der Grundgesamtheit oder Standardabweichung bezeichnet.

Sie ist praktischer als die Dispersion, da ihre Dimension mit der Dimension der gemessenen Größe übereinstimmt (der Wert der Größe wird beispielsweise in Volt ermittelt, die Standardabweichung wird ebenfalls in Volt angegeben). Da es sich in der Messpraxis um den Begriff „Fehler“ handelt, sollte zur Charakterisierung einiger Messungen der abgeleitete Begriff „mittlerer quadratischer Fehler“ verwendet werden. Ein Merkmal einer Messreihe kann der arithmetische Mittelfehler oder die Bandbreite der Messergebnisse sein.

Der Bereich der Messergebnisse (kurz Spanne) ist die algebraische Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Ergebnis einzelner Messungen, die eine Reihe (oder Stichprobe) von n Messungen bilden:

R n = X max - X min (1.7)

wobei R n der Bereich ist; X max und X min - das Größte und kleinster Wert Werte in einer bestimmten Messreihe.

Beispielsweise erwiesen sich bei fünf Messungen des Lochdurchmessers d die Werte R 5 = 25,56 mm und R 1 = 25,51 mm als dessen Maximal- und Minimalwerte. In diesem Fall beträgt R n = d 5 – d 1 = 25,56 mm – 25,51 mm = 0,05 mm. Dies bedeutet, dass die verbleibenden Fehler in dieser Serie weniger als 0,05 mm betragen.

Arithmetischer Mittelfehler einer einzelnen Messung in einer Reihe(kurz: arithmetischer mittlerer Fehler) – ein verallgemeinertes Merkmal der Streuung (aus Zufallsgründen) einzelner Messergebnisse (gleicher Größe), die in einer Reihe von n unabhängigen Messungen gleicher Genauigkeit enthalten sind und nach der Formel berechnet werden

(1.8)

wobei X i das Ergebnis der i-ten Messung ist, die in der Reihe enthalten ist; x ist das arithmetische Mittel von n Werten: |Х і - X| — absoluter Wert des Fehlers der i-ten Messung; r ist der arithmetische mittlere Fehler.

Aus der Beziehung wird der wahre Wert des durchschnittlichen Rechenfehlers p ermittelt

p = lim r, (1.9)

Bei der Anzahl der Messungen n > 30 zwischen dem arithmetischen Mittel (r) und dem quadratischen Mittelwert (S) Es gibt Korrelationen zwischen Fehlern

s = 1,25 r; r und= 0,80 s. (1.10)

Der Vorteil des arithmetischen Mittelfehlers liegt in der Einfachheit seiner Berechnung. Dennoch wird der mittlere quadratische Fehler häufiger bestimmt.

Mittlerer quadratischer Fehler Einzelmessung in einer Reihe (kurz: mittlerer quadratischer Fehler) – ein verallgemeinertes Merkmal der Streuung (aus Zufallsgründen) einzelner Messergebnisse (mit demselben Wert), die in einer Reihe enthalten sind P unabhängige Messungen mit gleicher Genauigkeit, berechnet nach der Formel

(1.11)

Der mittlere quadratische Fehler für die allgemeine Stichprobe o, der die statistische Grenze S darstellt, kann bei /i-mx > mithilfe der Formel berechnet werden:

Σ = Lim S (1.12)

In Wirklichkeit ist die Anzahl der Messungen immer begrenzt, also nicht σ , und sein ungefährer Wert (oder seine Schätzung), der s ist. Je mehr P, desto näher liegt s an seinem Grenzwert σ .

Bei einem Normalverteilungsgesetz ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler einer einzelnen Messung in einer Reihe den berechneten mittleren quadratischen Fehler nicht überschreitet, gering: 0,68. Daher kann der tatsächliche Fehler in 32 von 100 oder 3 von 10 Fällen größer sein als der berechnete.

Abbildung 1.2 Abnahme des Wertes des Zufallsfehlers des Ergebnisses mehrerer Messungen mit zunehmender Anzahl von Messungen in einer Reihe

Bei einer Messreihe besteht ein Zusammenhang zwischen dem quadratischen Fehler einer Einzelmessung s und dem quadratischen Fehler des arithmetischen Mittels S x:

die oft als „UN-Regel“ bezeichnet wird. Aus dieser Regel folgt, dass der Messfehler aufgrund zufälliger Ursachen um das N-fache reduziert werden kann, wenn n Messungen gleicher Größe einer beliebigen Größe durchgeführt werden und als Endergebnis das arithmetische Mittel verwendet wird (Abb. 1.2).

Durch die Durchführung von mindestens 5 Messungen in Folge kann der Einfluss zufälliger Fehler um mehr als das Zweifache reduziert werden. Bei 10 Messungen reduziert sich der Einfluss zufälliger Fehler um das Dreifache. Eine weitere Erhöhung der Anzahl der Messungen ist wirtschaftlich nicht immer sinnvoll und wird in der Regel nur bei kritischen Messungen durchgeführt, die eine hohe Genauigkeit erfordern.

Der quadratische Mittelfehler einer Einzelmessung aus mehreren homogenen Doppelmessungen S α wird nach der Formel berechnet

(1.14)

wobei x" i und x" i die i-ten Ergebnisse von Messungen gleich großer Mengen in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung mit einem Messgerät sind.

Bei ungleichen Messungen wird der quadratische Mittelfehler des arithmetischen Mittels in der Reihe durch die Formel bestimmt

(1.15)

Dabei ist p i das Gewicht der i-ten Messung in einer Reihe ungleicher Messungen.

Der quadratische Mittelfehler des Ergebnisses indirekter Messungen des Wertes Y, der eine Funktion von Y = F (X 1, X 2, X n) ist, wird mit der Formel berechnet

(1.16)

wobei S 1, S 2, S n die quadratischen Mittelfehler der Messergebnisse der Größen X 1, X 2, X n sind.

Werden mehrere Messreihen durchgeführt, um mit größerer Sicherheit ein zufriedenstellendes Ergebnis zu erzielen, ergibt sich mit der Formel der quadratische Mittelfehler einer einzelnen Messung aus m Reihen (S m).

(1.17)

Wobei n die Anzahl der Messungen in der Reihe ist; N ist die Gesamtzahl der Messungen in allen Serien; m ist die Anzahl der Serien.

Bei einer begrenzten Anzahl von Messungen ist es häufig erforderlich, den quadratischen Mittelwertfehler zu kennen. Um den Fehler S, berechnet nach Formel (2.7), und den Fehler S m, berechnet nach Formel (2.12), zu bestimmen, können Sie die folgenden Ausdrücke verwenden

(1.18)

(1.19)

wobei S und S m die mittleren quadratischen Fehler von S bzw. S m sind.

Wenn wir beispielsweise die Ergebnisse einer Reihe von Messungen der Länge x verarbeiten, erhalten wir

= 86 mm 2 bei n = 10,

= 3,1 mm

= 0,7 mm oder S = ±0,7 mm

Der Wert S = ±0,7 mm bedeutet, dass s aufgrund des Rechenfehlers im Bereich von 2,4 bis 3,8 mm liegt, Zehntelmillimeter sind hier also unzuverlässig. Im betrachteten Fall müssen wir schreiben: S = ±3 mm.

Um eine größere Sicherheit bei der Beurteilung des Fehlers eines Messergebnisses zu haben, berechnen Sie den Konfidenzfehler oder die Konfidenzgrenzen des Fehlers. Nach dem Normalverteilungsgesetz werden die Vertrauensgrenzen des Fehlers als ±t-s oder ±t-s x berechnet, wobei s und s x die mittleren quadratischen Fehler einer einzelnen Messung in der Reihe bzw. das arithmetische Mittel sind; t ist eine Zahl, die von der Konfidenzwahrscheinlichkeit P und der Anzahl der Messungen n abhängt.

Ein wichtiger Begriff ist die Zuverlässigkeit des Messergebnisses (α), d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass der gewünschte Wert der gemessenen Größe innerhalb eines bestimmten Konfidenzintervalls liegt.

Wenn beispielsweise Teile auf Werkzeugmaschinen in einem stabilen technologischen Modus bearbeitet werden, folgt die Fehlerverteilung dem Normalgesetz. Nehmen wir an, dass die Teilelängentoleranz auf 2a eingestellt ist. In diesem Fall beträgt das Konfidenzintervall, in dem der gewünschte Wert der Länge des Teils a liegt, (a - a, a + a).

Wenn 2a = ±3s, beträgt die Zuverlässigkeit des Ergebnisses a = 0,68, d. h. in 32 von 100 Fällen ist damit zu rechnen, dass die Teilegröße die Toleranz 2a überschreitet. Bei der Beurteilung der Qualität eines Teils nach einer Toleranz von 2a = ±3s beträgt die Zuverlässigkeit des Ergebnisses 0,997. In diesem Fall können wir davon ausgehen, dass nur drei von 1000 Teilen die festgelegte Toleranz überschreiten. Eine Erhöhung der Zuverlässigkeit ist jedoch nur durch die Reduzierung des Fehlers in der Länge des Teils möglich. Um die Zuverlässigkeit von a = 0,68 auf a = 0,997 zu erhöhen, muss der Fehler in der Länge des Teils um das Dreifache reduziert werden.

IN In letzter Zeit Der Begriff „Messzuverlässigkeit“ hat sich weit verbreitet. In einigen Fällen wird es unangemessen anstelle des Begriffs „Messgenauigkeit“ verwendet. In einigen Quellen findet man beispielsweise den Ausdruck „Feststellung der Einheit und Zuverlässigkeit der Messungen im Land“. Richtiger wäre es hingegen zu sagen: „Herstellung der Einheitlichkeit und erforderlichen Genauigkeit der Messungen.“ Wir betrachten Zuverlässigkeit als Qualitätsmerkmal, was die Nähe von Null zufälliger Fehler widerspiegelt. Sie kann aufgrund der Unzuverlässigkeit der Messungen quantitativ bestimmt werden.

Unzuverlässigkeit der Messungen(kurz: Unzuverlässigkeit) – eine Bewertung der Diskrepanz zwischen den Ergebnissen einer Messreihe aufgrund des Einflusses des Gesamteinflusses zufälliger Fehler (bestimmt durch statistische und nichtstatistische Methoden), charakterisiert durch den Wertebereich in dem der wahre Wert des Messwertes liegt.

Gemäß den Empfehlungen des Internationalen Büros für Maß und Gewicht wird die Unzuverlässigkeit in Form eines gesamten mittleren quadratischen Messfehlers – Su ausgedrückt, einschließlich des mittleren quadratischen Fehlers S (bestimmt durch statistische Methoden) und des mittleren quadratischen Fehlers u (bestimmt). durch nichtstatistische Methoden), d.h.

(1.20)

Maximaler Messfehler(kurz - maximaler Fehler) - der maximale Messfehler (plus, minus), dessen Wahrscheinlichkeit den Wert P nicht überschreitet, während die Differenz 1 - P unbedeutend ist.

Beispielsweise beträgt bei einem Normalverteilungsgesetz die Wahrscheinlichkeit eines Zufallsfehlers von ±3 s 0,997 und die Differenz 1-P = 0,003 ist unbedeutend. Daher wird in vielen Fällen der Vertrauensfehler von ±3s als Maximum angenommen, d. h. pr = ±3s. Bei Bedarf kann pr bei einem ausreichend großen P (2s, 2,5s, 4s usw.) andere Beziehungen zu s haben.

Aufgrund der Tatsache, dass in den GSI-Standards anstelle des Begriffs „mittlerer quadratischer Fehler“ der Begriff „mittlere quadratische Abweichung“ verwendet wird, werden wir in der weiteren Diskussion genau an diesem Begriff festhalten.

Absoluter Messfehler(kurz: absoluter Fehler) – Messfehler ausgedrückt in Einheiten des Messwerts. Somit stellt der Fehler X bei der Messung der Länge eines Teils X, ausgedrückt in Mikrometern, einen absoluten Fehler dar.

Nicht zu verwechseln sind die Begriffe „absoluter Fehler“ und „absoluter Fehlerwert“, worunter der Wert des Fehlers ohne Berücksichtigung des Vorzeichens verstanden wird. Wenn also der absolute Messfehler ±2 μV beträgt, beträgt der absolute Wert des Fehlers 0,2 μV.

Relativer Messfehler(kurz: relativer Fehler) – Messfehler, ausgedrückt in Bruchteilen des Messwerts oder als Prozentsatz. Der relative Fehler δ ergibt sich aus den Beziehungen:

(1.21)

Beispielsweise gibt es einen realen Wert der Teillänge x = 10,00 mm und einen absoluten Wert des Fehlers x = 0,01 mm. Der relative Fehler wird sein

Statischer Fehler— Fehler des Messergebnisses aufgrund der Bedingungen der statischen Messung.

Dynamischer Fehler— Fehler des Messergebnisses aufgrund der Bedingungen der dynamischen Messung.

Fehler bei der Gerätewiedergabe— Fehler im Ergebnis der durchgeführten Messungen bei der Reproduktion einer Einheit einer physikalischen Größe. Somit wird der Fehler bei der Reproduktion einer Einheit unter Verwendung eines staatlichen Standards in Form seiner Komponenten angegeben: der nicht ausgeschlossene systematische Fehler, gekennzeichnet durch seine Grenze; Zufallsfehler, gekennzeichnet durch Standardabweichung s und Instabilität über das Jahr ν.

Fehler bei der Übertragung der Einheitsgröße— Fehler im Ergebnis der durchgeführten Messungen bei der Übermittlung der Größe einer Einheit. Der Fehler bei der Übermittlung der Einheitsgröße umfasst nicht ausgeschlossene systematische Fehler und zufällige Fehler der Methode und der Mittel zur Übermittlung der Einheitsgröße (z. B. eines Komparators).