Für einfache Abschnitte statische Momente und Trägheitsmomente werden mit den Formeln (2.1)-(2.4) durch Integration ermittelt. Betrachten Sie beispielsweise die Berechnung des axialen Trägheitsmoments J x für einen beliebigen Abschnitt in Abb. 2.9. Bedenken Sie, dass in einem rechteckigen Koordinatensystem das Flächenelement dF=dxdy, wir bekommen

wobeix^(y) und x in (y) - Koordinaten von Konturpunkten bei einem festen Wert u.

Wenn wir eine Integration über x durchführen, finden wir

Größe von) stellt die Abschnittsbreite auf Ebene dar bei(siehe Abb. 2.9) und das Produkt b(y)dy = dF - Fläche des schattierten Elementarstreifens parallel zur Achse Oh. Unter Berücksichtigung dessen wird die Formel für / in die Form umgewandelt

Ein ähnlicher Ausdruck kann für das Trägheitsmoment erhalten werden Jy.

Rechteck. Ermitteln wir die Trägheitsmomente um die Hauptmittelachsen, die gemäß Eigenschaft 2 (§ 2.5) mit den Symmetrieachsen des Rechtecks ​​​​zusammenfallen (Abb. 2.10). Da die Breite des Abschnitts konstant ist, erhalten wir mit Formel (2.14).

Trägheitsmoment um die Achse Oh x x x Wir bestimmen mit der ersten der Formeln (2.6):

Trägheitsmomente / und J finden sich ähnlich. Schreiben wir die Formeln für die axialen Trägheitsmomente eines Rechtecks ​​auf:

Beliebiges Dreieck. Ermitteln wir zunächst das Trägheitsmoment um die Achse 0 ( x v durch die Basis des Dreiecks verlaufen (Abb. 2.11). Abschnittsbreite von()) auf der Ebene y ( ergibt sich aus der Ähnlichkeit von Dreiecken:

Wenn wir diese Größe in die Formel (2.14) einsetzen und eine Integration durchführen, erhalten wir

Momente um die Achsen Oh Und 0 2 x 2, parallel zur Basis und durch den Schwerpunkt bzw. durch die Spitze des Dreiecks verlaufend, ermitteln wir mit den Formeln (2.6):

In diesen Formeln b ( =h/ 3 und b 2 = -2h/3 - jeweils die Ordinate des Schwerpunkts des Dreiecks UM im Koordinatensystem O x x 1 y 1 Und 0 2 x 2 y t

1 ° 2 r Г* àУ 1

TL P *2

g >4™_ °2 1

D__V_!_*_ / ^ *3

V XV* ;-7^Лт^

U_ У-_XI - UZ__у

UM,| B *, 0 b/b 2 %*1

Reis. 2.11 Reis. 2.12

Schreiben wir die Formeln für die axialen Trägheitsmomente des Dreiecks relativ zu den Achsen parallel zur Basis:

Rechte und gleichschenklige Dreiecke. Für ein rechtwinkliges Dreieck (Abb. 2.12) bestimmen wir das Zentrifugalträgheitsmoment J relativ zu den Mittelachsen Oh Und OU, parallel zu den Beinen. Dies kann mit der Formel (2.3) erfolgen. Die Lösung des Problems kann jedoch durch die Anwendung der folgenden Technik vereinfacht werden. Verwendung des Medians 0 { 0 3 Teilen Sie das gegebene Dreieck in zwei gleichschenklige Dreiecke 0 ( 0 3 A Und Ofi 3 B. Achsen 0 3 x 3 und 0 3 und 3 sind die Symmetrieachsen für diese Dreiecke und werden, basierend auf Eigenschaft 2 (§ 2.5), die Hauptachsen jedes einzelnen von ihnen und damit des gesamten Dreiecks sein O x AB. Daher das Zentrifugalträgheitsmoment J=0. Zentrifuge

Moment des Dreiecks um die Achsen Oh Und OU Mit der letzten Formel (2.6) finden wir:

Schreiben wir die Formeln für die Trägheitsmomente eines rechtwinkligen Dreiecks auf:

Trägheitsmoment gleichschenkligen Dreiecks relativ zur Symmetrieachse OU(Abb. 2.13) definieren wir mit der vierten der Formeln (2.17) als das doppelte Trägheitsmoment eines rechtwinkligen Dreiecks mit Grundfläche H und Höhe B/ 2:

Somit sind die Trägheitsmomente eines gleichschenkligen Dreiecks um die Hauptmittelachsen Oh Und OU durch Formeln bestimmt

Kreis. Zunächst ist es zweckmäßig, das polare Trägheitsmoment eines Kreises mithilfe der Formel (2.4) unter Verwendung des Polarkoordinatensystems zu berechnen (Abb. 2.14).

Bedenkt, dass dF-rdrdQ, wir werden finden

Da das Polarmoment nach (2.4) gleich der Summe zwei Axialmomente erhalten wir

Ring. Die Trägheitsmomente des Rings (Abb. 2.15) ergeben sich als Differenz der Trägheitsmomente zweier Kreise mit Radien Ich 2 Und R ( :

Halbkreis(Reis. 2.16). Wählen wir ein Flächenelement in der Ebene des Halbkreises aus dF mit Polarkoordinaten G, 0 und Kartesischen Koordinaten x v y v wofür gemäß Abb. 2.16 wir haben:

Mit den Formeln (2.1) und (2.5) ermitteln wir jeweils das statische Moment des Halbkreises relativ zur Achse 0 ( x ( und Ordinate bei 0 Schwerpunkt UM im Koordinatensystem 0 ( x ( Uy

Relativ zu den Achsen 0, x und 0 ( y v die die Hauptachsen des Halbkreises sind, sind die axialen Trägheitsmomente gleich der Hälfte der Trägheitsmomente des Kreises:

Das Trägheitsmoment um die Hauptmittelachse wird nach der ersten Formel (2.6) bestimmt:

Ellipse. Berechnung des axialen Trägheitsmoments einer Ellipse mit Halbachsen A Und B relativ zur Achse Oh(Abb. 2.17) gehen wir wie folgt vor. Zeichnen wir einen Kreis um die Ellipse und wählen wir zwei elementare Breitenstreifen aus dx und Höhe 2uk für Kreis und 2 äh für eine Ellipse. Die Trägheitsmomente dieser beiden Streifen können durch die erste der Formeln (2.15) für ein Rechteck bestimmt werden:

Die Integration dieser Ausdrücke reicht von -A Vor A, wir bekommen

Reis. 2.16

Reis. 2.17

Aus den Gleichungen eines Kreises und einer Ellipse ergibt sich

Mit dieser Einstellung

Ein ähnlicher Ausdruck kann für das Trägheitsmoment um die Achse erhalten werden OU. Als Ergebnis erhalten wir für die Ellipse folgenden Formeln für Axialmomente:

Gerollte Stäbe. Die geometrischen Eigenschaften der Abschnitte gewalzter Stäbe (I-Träger, Kanäle, Winkel) sind in den Tabellen des Walzstahlsortiments (siehe Anhang) angegeben.

Betrachtet man in den vorherigen Abschnitten die einfachsten Arten von Verformungen – axiale Spannung und Druck, Quetschung, Abplatzungen – haben wir herausgefunden, dass sie widerstandsfähig sind wirkende Kraft proportional nur zu den Abmessungen der Querschnittsfläche des Elements, auf das die Kraft wirkt. Bei gleicher Querschnittsfläche, gleichem Material und gleicher Kraft wirken also auf jeden der in Abb. gezeigten Stäbe 9.14 ergeben sich in ihnen gleiche Spannungen.
Weiter geht es mit dem Studium anderer Dinge komplexe Arten Verformungen (Torsion, Biegung, exzentrische Kompression usw.) Wir werden sehen, dass in diesen Fällen der Widerstand eines Strukturelements gegenüber äußeren Kräften nicht nur von seiner Querschnittsfläche abhängt, sondern auch von der Verteilung dieser Fläche in der Schnittebene, also von der Form des Querschnitts .
Aus der Alltagserfahrung geht hervor, dass das Biegen von Stab 4 in vertikaler Richtung schwieriger ist als Stab 5 und Stab 6 eine noch größere Steifigkeit aufweist, obwohl die Querschnittsflächen aller dieser Stäbe gleich sind (Abb. 9.14).

Charakterisierende Parameter geometrische Eigenschaften Verschiedene ebene Figuren sind neben der Fläche: statische Momente, Trägheitsmomente, Widerstandsmomente und Trägheitsradien.
Statisches Flächenmoment. Stellen wir uns einen Balken mit einer beliebigen Querschnittsform und einer Fläche vor F, in deren Ebene die Achse eingezeichnet ist X(Abb. 9.15). Wählen Sie das Flächenelement aus dF, in einiger Entfernung gelegen bei von der Achse X.. Das statische Moment einer Elementarplattform relativ zur x-Achse ist das Produkt dieser Plattform und ihres Abstands zur Achse:

Statisches Moment der gesamten Fläche F relativ zur Achse X gleich der Summe der statischen Momente aller Elementarflächen, die auf der betrachteten Fläche identifiziert werden können:

Aus Theoretische Mechanik Es ist bekannt, dass die Koordinaten des Schwerpunkts der Fläche einer Figur durch die Formeln bestimmt werden:

Deshalb

Daher das statische Moment einer Figur mit Fläche F relativ zu einer beliebigen Achse ist gleich dem Produkt aus der Fläche und dem Abstand des Schwerpunkts der Figur zu dieser Achse. Die Dimension des statischen Moments ist die Längeneinheit kubisch (,).
Die durch den Schwerpunkt des Schnitts verlaufenden Achsen nennt man Zentralachsen. Hat eine Figur eine Symmetrieachse, so geht diese immer durch den Schwerpunkt der Figur, d.h. die Symmetrieachsen sind auch Zentralachsen.
Wir werden auch bedenken, dass das statische Moment einer komplexen Figur relativ zu einer Achse gleich der Summe der statischen Momente relativ zu derselben Achse einfacher Figuren ist, in die die ursprüngliche komplexe Figur unterteilt werden kann:
Reis. 9.16. Schema zur Bestimmung der Koordinaten des Schwerpunkts einer komplexen Figur.

Um dieses Problem zu lösen, wählen wir zwei Koordinatenachsen X Und bei, zusammenfallend mit den Seiten der Figur. Teilen wir die Figur, deren Abmessungen alle bekannt sein müssen, in Elementarteile – Rechtecke –, deren Koordinaten der Schwerpunkte offensichtlich sind, da diese Teile symmetrisch sind. Lassen Sie uns nun Ausdrücke zur Berechnung des statischen Moments der gesamten Fläche zusammenstellen, beispielsweise relativ zur Achse bei. Dies kann auf zwei Arten erfolgen:
a) Bilden Sie die Summe der statischen Momente einzelner Flächen
In diesen Ausdrücken F- Fläche der gesamten Figur; - Koordinate seines Schwerpunkts; - die Flächen einzelner Teile der Figur und - die Koordinaten ihrer Schwerpunkte.
Wenn wir die oben geschriebenen Formeln miteinander gleichsetzen, erhalten wir eine Gleichung mit einer Unbekannten:
Ebenso der Abstand des Schwerpunkts der Figur von der Achse X lässt sich so ausdrücken:

Wenn wir ein Integral erstellen, bei dem der Integrand das Produkt des Flächenelements und des Quadrats des Abstands zum Ursprung ist (Abb. 9.17), erhalten wir: polares Trägheitsmoment:
Beachten wir noch ein weiteres Merkmal der Website dF multipliziert mit dem Koordinatenprodukt
Diese Menge heißt Zentrifugalträgheitsmoment. Die angegebenen Trägheitsmomente werden in Längeneinheiten hoch (,) gemessen.
Die axialen und polaren Trägheitsmomente einer Figur sind positive Größen und können nicht gleich Null sein. Das Zentrifugalträgheitsmoment kann je nach Lage der Achsen positiv oder negativ sowie gleich Null sein. Man nennt zwei zueinander senkrechte Achsen, um die das Zentrifugalträgheitsmoment Null ist Hauptträgheitsachsen und werden bezeichnet. Bei einer symmetrischen Figur ist die Symmetrieachse auch die Hauptachse.
Axiale Trägheitsmomente, die relativ zu den Hauptachsen definiert sind, haben Maximal- und Minimalwerte.
Ebenso wie beim statischen Moment ist das Trägheitsmoment einer komplexen Figur gleich der Summe der Trägheitsmomente der sie bildenden Figuren. Wir betonen, dass das oben Gesagte für den Fall gilt, dass alle Trägheitsmomente relativ zu derselben Achse berechnet werden.
Für Trägheitsmomente gibt es eine weitere Regel, die häufig in Berechnungen verwendet wird. Bezogen auf Axialmomente wird es wie folgt formuliert: Trägheitsmoment einer Figur relativ zu einer Achse parallel zur Mittelachse, ist gleich dem Trägheitsmoment relativ zur Mittelachse plus dem Produkt der Fläche der Figur mit dem Quadrat des Abstands zwischen den Achsen (Abb. 9.18):
Für Zentrifugalträgheitsmomente sieht die entsprechende Regel in analytischer Form wie folgt aus:
Um den Wert des Trägheitsmoments einer bestimmten Figur zu erhalten, ist es grundsätzlich notwendig, das entsprechende Integral über die Fläche dieser Figur zu lösen. Um jedoch technische Berechnungen zu erleichtern, wurden solche Integrale für die häufigsten Querschnittsformen von Bauteilen bereits gelöst und die Ergebnisse der Lösungen in Form von Formeln in Tabellen dargestellt, von denen eine in Anhang 3 enthalten ist .
Darüber hinaus geben die GOST-Standards für alle in unserem Land hergestellten Standardwalzprofile (Winkel, I-Träger usw.) Werte für axiale Trägheitsmomente und andere geometrische Eigenschaften für jede Standardgröße von Walzprodukten an (siehe Anhang 4).
Schließlich werden für Abschnitte mit komplexen Formen die Trägheitsmomente mithilfe der beiden oben beschriebenen Regeln bestimmt: der Addition von Trägheitsmomenten und der Umwandlung von Trägheitsmomenten um eine Achse in andere Achsen.
Moment des Widerstands. Axiales Widerstandsmoment flache Figur relativ zu einer in der Figurenebene liegenden Achse heißt der Quotient aus der Division des Trägheitsmoments relativ zu derselben Achse durch den Abstand zum am weitesten entfernten Punkt der Figur (siehe Abb. 9.17):
Widerstandsmomente haben die Dimension der dritten Länge (,).
Formeln zur Berechnung der axialen Widerstandsmomente der am häufigsten vorkommenden Figuren sind in Anhang 3 angegeben, die spezifischen Werte dieser Eigenschaft für Walzstahlprofile sind in GOST (Anhang 4) angegeben. Beachten Sie, dass Widerstandsmomente im Gegensatz zu Trägheitsmomenten nicht addiert werden können.
Trägheitsradius. Der Trägheitsradius ist der durch die Formel ermittelte Wert
und für einen Kreis mit Durchmesser D der Trägheitsradius relativ zur Achse, die durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft, ist gleich
Der Anwendungsbereich der oben diskutierten geometrischen Eigenschaften von Abschnitten wird bei der Untersuchung der Verformungsarten deutlich, die in den folgenden Unterabschnitten dieses Kapitels behandelt werden.

Statisch ist ein Teilgebiet der theoretischen Mechanik, das die allgemeine Kräftelehre darlegt und die Gleichgewichtsbedingungen von Körpern unter dem Einfluss von Kräften untersucht.

Die Statik basiert auf einigen Grundprinzipien ( Axiome), die eine Verallgemeinerung jahrhundertealter industrieller Erfahrungen der Menschheit und theoretischer Forschung darstellen.

Axiom 1. Wirken zwei Kräfte auf einen freien, absolut starren Körper, so kann sich der Körper genau dann im Gleichgewicht befinden, wenn diese Kräfte gleich groß sind und entlang derselben Geraden in entgegengesetzte Richtungen gerichtet sind (Abb. 1.2).

Abb.1.2

Axiom 2. Die Wirkung eines bestimmten Kräftesystems auf einen absolut starren Körper ändert sich nicht, wenn ihm ein ausgeglichenes Kräftesystem hinzugefügt oder von ihm abgezogen wird. Wenn, dann. Folge: Die Wirkung einer Kraft auf einen absolut starren Körper ändert sich nicht, wenn der Angriffspunkt der Kraft entlang ihrer Wirkungslinie zu einem anderen Punkt des Körpers verschoben wird. Auf den Körper soll an einem Punkt eine Kraft einwirken A Gewalt . Wählen wir einen beliebigen Punkt auf der Wirkungslinie dieser Kraft IN, und ausgewogene Kräfte darauf anwenden und darüber hinaus . Da Kräfte ein ausgeglichenes Kräftesystem bilden, können sie nach dem zweiten Axiom der Statik verworfen werden. Dadurch wirkt auf den Körper nur eine Kraft, die zwar gleich ist, aber punktuell wirkt IN(Abb. 1.3).

Abb.1.3

Axiom 3. Zwei Kräfte wirken auf Festkörper an einem Punkt eine Resultierende am selben Punkt ansetzen und durch die Diagonale eines Parallelogramms darstellen, das auf diesen Kräften wie auf den Seiten aufgebaut ist. Vektor gleich der Diagonale eines aus Vektoren aufgebauten Parallelogramms und heißt geometrische Summe der Vektoren und (Abb. 1.4).

Axiom 4. Das Gesetz der Gleichheit von Aktion und Reaktion. Bei jeder Einwirkung eines Körpers auf einen anderen kommt es zu einer Reaktion gleicher Größenordnung, jedoch entgegengesetzter Richtung (Abb. 1.5).

Abb.1.5

Axiom 5. Das Prinzip der Verhärtung. Das Gleichgewicht eines sich verändernden (verformbaren) Körpers unter dem Einfluss eines gegebenen Kräftesystems wird nicht gestört, wenn der Körper als verhärtet betrachtet wird, d.h. absolut solide.

4. Geometrische Eigenschaften von Figuren. Statischer Moment. Zentrifugales Trägheitsmoment, polares Trägheitsmoment (Grundbegriffe).

Das Ergebnis der Berechnungen hängt nicht nur von der Querschnittsfläche ab, daher kann man bei der Lösung von Problemen zur Festigkeit von Materialien nicht auf die Bestimmung verzichten geometrische Eigenschaften von Figuren: statische, axiale, polare und zentrifugale Trägheitsmomente. Es ist zwingend erforderlich, die Lage des Schwerpunkts des Abschnitts bestimmen zu können (die aufgeführten geometrischen Eigenschaften hängen von der Lage des Schwerpunkts ab). Zusätzlich zu den geometrischen Eigenschaften einfacher Figuren: Rechteck, Quadrat, gleichschenklige und rechtwinklige Dreiecke, Kreis, Halbkreis. Der Schwerpunkt und die Lage der Hauptmittelachsen werden angegeben und die geometrischen Eigenschaften relativ dazu bestimmt, sofern das Balkenmaterial homogen ist.

Geometrische Eigenschaften von Rechteck und Quadrat

Axiale Trägheitsmomente eines Rechtecks ​​(Quadrats)

GEOMETRISCHE EIGENSCHAFTEN EINES RECHTECKIGEN DREIECKS

Axiale Trägheitsmomente eines rechtwinkligen Dreiecks

GEOMETRISCHE EIGENSCHAFTEN EINES gleichschenkligen Dreiecks

Axiale Trägheitsmomente eines gleichschenkligen Dreiecks

GEOMETRISCHE EIGENSCHAFTEN DES KREISES

Axiale Trägheitsmomente eines Kreises

GEOMETRISCHE EIGENSCHAFTEN DES HALBKREISES

Axiale Trägheitsmomente eines Halbkreises

Statischer Moment

Betrachten wir den Querschnitt des Stabes mit der Fläche F. Zeichnen wir die Koordinatenachsen x und y durch einen beliebigen Punkt O. Wählen wir ein Flächenelement mit den Koordinaten x und y aus (Abb. 4.1).

Lassen Sie uns das Konzept eines statischen Trägheitsmoments um eine Achse einführen – ein Wert, der dem Produkt des Flächenelements () und des Abstands (angezeigt durch den Buchstaben y) zur x-Achse entspricht:

Ebenso beträgt das statische Trägheitsmoment um die y-Achse:

Nachdem wir solche Produkte über die Fläche F summiert haben, erhalten wir das statische Trägheitsmoment der gesamten Figur relativ zur x- und y-Achse:

.

Statisches Trägheitsmoment Die Zahl relativ zur Achse wird in Kubiklängeneinheiten (cm3) gemessen und kann positiv, negativ und gleich Null sein.

Seien die Koordinaten des Schwerpunkts der Figur. In Fortsetzung der Analogie zum Kraftmoment können wir die folgenden Ausdrücke schreiben:

Somit ist das Moment (statisches Moment) der Fläche einer Figur relativ zu einer Achse das Produkt aus der Fläche und dem Abstand ihres Schwerpunkts zur Achse.

Zentrifugale Momente Trägheit des Körpers relativ zu den rechtwinkligen Achsen Kartesisches Koordinatensystem Folgende Größen heißen:

Wo X, j Und z- Koordinaten eines kleinen Körperelements Volumen dV, Dichte ρ Und Masse dm.

Die OX-Achse wird aufgerufen Hauptträgheitsachse des Körpers, wenn die zentrifugalen Trägheitsmomente J xy Und J xz sind gleichzeitig gleich Null. Durch jeden Punkt des Körpers können drei Hauptträgheitsachsen gezogen werden. Diese Achsen stehen zueinander senkrecht. Trägheitsmomente des Körpers relativ zu den drei Hauptträgheitsachsen, die an einem beliebigen Punkt gezeichnet werden Ö Körper werden aufgerufen Hauptträgheitsmomente des Körpers.

Die Hauptträgheitsachsen verlaufen durch Massezentrum Körper werden aufgerufen Hauptträgheitsachsen des Körpers, und die Trägheitsmomente um diese Achsen sind seine Hauptzentralträgheitsmomente. Symmetrieachse eines homogenen Körpers ist immer eine seiner zentralen Hauptträgheitsachsen.

Polares Trägheitsmoment- die Integralsumme der Produkte der Bereiche elementarer Plattformen dA pro Quadrat ihrer Entfernung vom Pol - ρ 2 (im Polarkoordinatensystem), aufgenommen über die gesamte Querschnittsfläche. Also:

Dieser Wert wird verwendet, um die Fähigkeit eines Objekts vorherzusagen, einer Torsion standzuhalten. Es hat die Dimension von Längeneinheiten in der vierten Potenz ( M 4 , cm 4 ) und kann nur positiv sein.

Für eine Querschnittsfläche in Form eines Kreises mit Radius R Das polare Trägheitsmoment ist:

Wenn wir den Ursprung des kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystems 0 mit dem Pol des Polarsystems kombinieren (siehe Abbildung), dann

weil .

Wie oben erwähnt, umfassen einfache ebene Figuren drei Figuren: ein Rechteck, ein Dreieck und einen Kreis. Diese Figuren gelten als einfach, da die Lage des Schwerpunkts dieser Figuren im Voraus bekannt ist. Alle anderen Figuren können aus diesen einfachen Figuren zusammengesetzt werden und gelten als komplex. Berechnen wir die axialen Trägheitsmomente einfacher Figuren relativ zu ihren Mittelachsen.

1. Rechteck. Betrachten wir den Querschnitt eines rechteckigen Profils mit Abmessungen (Abb. 4.6). Wählen wir ein Abschnittselement mit zwei unendlich nahe beieinander liegenden Abschnitten aus von der Mittelachse
.

Berechnen wir das Trägheitsmoment eines rechteckigen Querschnitts relativ zur Achse:

. (4.10)

Trägheitsmoment eines rechteckigen Abschnitts um die Achse
wir werden es ähnlich finden. Die Schlussfolgerung wird hier nicht gegeben.

. (4.11)

Und
ist gleich Null, da die Achsen
Und
sind Symmetrieachsen und daher Hauptachsen.

2. Gleichschenkligen Dreiecks. Betrachten wir einen Abschnitt eines dreieckigen Profils mit Abmessungen
(Abb.4.7). Wählen wir ein Abschnittselement mit zwei unendlich nahe beieinander liegenden Abschnitten aus von der Mittelachse
. Der Schwerpunkt des Dreiecks liegt in einiger Entfernung
von der Basis. Man geht davon aus, dass das Dreieck gleichschenklig ist, also die Achse
Abschnitt ist die Symmetrieachse.

Berechnen wir das Trägheitsmoment des Abschnitts relativ zur Achse
:

. (4.12)

Größe Wir bestimmen aus der Ähnlichkeit von Dreiecken:

; Wo
.

Ausdrücke ersetzen für in (4.12) und Integration erhalten wir:

. (4.13)

Trägheitsmoment für ein gleichschenkliges Dreieck um die Achse
wird auf ähnliche Weise gefunden und ist gleich:

(4.14)

Zentrifugales Trägheitsmoment um die Achsen
Und
ist gleich Null, da die Achse
ist die Symmetrieachse des Abschnitts.

3. Kreis. Betrachten Sie den Querschnitt eines kreisförmigen Profils mit einem Durchmesser (Abb.4.8). Lassen Sie uns das Abschnittselement mit zwei unendlich nahen konzentrischen Kreisen hervorheben, die in einem Abstand angeordnet sind vom Schwerpunkt des Kreises .

Berechnen wir das polare Trägheitsmoment des Kreises mit dem Ausdruck (4.5):

. (4.15)

Verwendung der Invarianzbedingung für die Summe der axialen Trägheitsmomente um zwei zueinander senkrechte Achsen (4.6) und Berücksichtigung dieser für einen Kreis aufgrund der Symmetrie
, bestimmen wir den Wert der axialen Trägheitsmomente:

. (4.16)

. (4.17)

Zentrifugales Trägheitsmoment um die Achsen Und ist gleich Null, da die Achsen
Und
sind die Symmetrieachsen des Abschnitts.

4.4. Abhängigkeiten zwischen Trägheitsmomenten relativ zu parallelen Achsen

Bei der Berechnung von Trägheitsmomenten für komplexe Figuren ist eine Regel zu beachten: Die Werte für die Trägheitsmomente können addiert werden, wenn sie relativ zur gleichen Achse berechnet werden. Bei komplexen Figuren stimmen die Schwerpunkte einzelner einfacher Figuren und der gesamten Figur meist nicht überein. Dementsprechend fallen die Mittelachsen einzelner einfacher Figuren und der gesamten Figur nicht zusammen. In diesem Zusammenhang gibt es Techniken, um Trägheitsmomente auf eine Achse zu bringen, beispielsweise auf die Mittelachse der gesamten Figur. Dies kann auf die Parallelverschiebung der Trägheitsachsen und zusätzliche Berechnungen zurückzuführen sein.

Betrachten wir die in Abb. 4.9 dargestellte Bestimmung der Trägheitsmomente relativ zu den parallelen Trägheitsachsen.

Es seien die in Abb. 4.9 dargestellten axialen und zentrifugalen Trägheitsmomente. Figuren relativ zu willkürlich gewählten Achsen
Und
mit dem Ursprung im Punkt bekannt. Es ist erforderlich, die axialen und zentrifugalen Trägheitsmomente einer Figur relativ zu beliebigen parallelen Achsen zu berechnen
Und
mit dem Ursprung im Punkt . Achsen
Und
auf Distanz durchgeführt Und bzw. von den Achsen
Und
.

Wir verwenden die Ausdrücke für die axialen Trägheitsmomente (4.4) und für das Zentrifugalträgheitsmoment (4.7). Ersetzen wir diese Ausdrücke anstelle der aktuellen Koordinaten
Und
Element mit unendlich kleiner Koordinatenfläche
Und
im neuen Koordinatensystem. Wir bekommen:

Bei der Analyse der erhaltenen Ausdrücke kommen wir zu dem Schluss, dass bei der Berechnung der Trägheitsmomente relativ zu parallelen Achsen Additive in Form zusätzlicher Terme zu den berechneten Trägheitsmomenten relativ zu den ursprünglichen Trägheitsachsen hinzugefügt werden sollten, die viel größer sein können als die Werte für die Trägheitsmomente relativ zu den ursprünglichen Achsen. Daher sollten diese zusätzlichen Bedingungen keinesfalls vernachlässigt werden.

Der betrachtete Fall ist der am meisten Allgemeiner Fall parallele Übertragung von Achsen, wenn beliebige Trägheitsachsen als Ausgangsachsen verwendet wurden. In den meisten Berechnungen gibt es Sonderfälle zur Bestimmung von Trägheitsmomenten.

Erste besonderer Fall . Die Ursprungsachsen sind die zentralen Trägheitsachsen der Figur. Dann können wir unter Verwendung der Haupteigenschaft für das statische Flächenmoment die Terme der Gleichungen, die das statische Flächenmoment der Figur enthalten, aus den Gleichungen (4.18)–(4.20) ausschließen. Als Ergebnis erhalten wir:

. (4.21)

. (4.22)

. (4.23)

Hier sind die Achsen
Und
-zentrale Trägheitsachsen.

Zweiter Sonderfall. Die Bezugsachsen sind die Hauptträgheitsachsen. Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass das Zentrifugalträgheitsmoment relativ zu den Hauptträgheitsachsen gleich Null ist, erhalten wir:

. (4.24)

. (4.25)

. (4.26)

Hier sind die Achsen
Und
Hauptträgheitsachsen.

Lassen Sie uns die erhaltenen Ausdrücke verwenden und einige Beispiele für die Berechnung von Trägheitsmomenten für ebene Figuren betrachten.

Beispiel 4.2. Bestimmen Sie die axialen Trägheitsmomente der in Abb. gezeigten Figur. 4.10, relativ zu den Mittelachsen Und .

Im vorherigen Beispiel 4.1 wurde für die in Abb. 4.10 gezeigte Figur die Lage des Schwerpunkts C bestimmt. Aus der Achse wurde die Koordinate des Schwerpunkts aufgetragen und zusammengestellt
. Berechnen wir die Entfernungen Und zwischen den Achsen Und und Äxte Und . Diese Abstände betrugen jeweils
Und
. Da die Originalachsen Und sind die Mittelachsen für einfache Figuren in Form von Rechtecken, um das Trägheitsmoment der Figur relativ zur Achse zu bestimmen Nutzen wir die Schlussfolgerungen für den ersten Sonderfall, insbesondere die Formel (4.21).

Trägheitsmoment um die Achse Wir erhalten, indem wir die Trägheitsmomente einfacher Figuren relativ zu derselben Achse addieren, da die Achse ist die gemeinsame Mittelachse für einfache Figuren und für die gesamte Figur.

cm 4.

Zentrifugales Trägheitsmoment um die Achsen Und ist gleich Null, da die Trägheitsachse ist die Hauptachse (Symmetrieachse der Figur).

Beispiel 4.3. Was ist die Größe? B(in cm) die Abbildung in Abb. 4.11, wenn das Trägheitsmoment der Figur relativ zur Achse gleich 1000 cm 4?

Lassen Sie uns das Trägheitsmoment um die Achse ausdrücken durch eine unbekannte Abschnittsgröße , unter Verwendung der Formel (4.21) unter Berücksichtigung des Abstands zwischen den Achsen Und entspricht 7cm:

cm 4. (A)

Lösen Sie den Ausdruck (a) relativ zur Abschnittsgröße , wir bekommen:

cm.

Beispiel 4.4. Welche der in Abb. 4.12 gezeigten Figuren hat ein größeres Trägheitsmoment relativ zur Achse? wenn beide Figuren die gleiche Fläche haben
cm 2?

1. Lassen Sie uns die Flächen der Figuren durch ihre Größe ausdrücken und bestimmen:

a) Abschnittsdurchmesser für einen runden Abschnitt:

cm2; Wo
cm.

b) quadratische Seitengröße:

; Wo
cm.

2. Berechnen Sie das Trägheitsmoment für einen Kreisabschnitt:

cm 4.

3. Berechnen Sie das Trägheitsmoment für einen quadratischen Querschnitt:

cm 4.

Beim Vergleich der erhaltenen Ergebnisse kommen wir zu dem Schluss, dass ein quadratischer Querschnitt im Vergleich zu einem kreisförmigen Querschnitt mit derselben Fläche das höchste Trägheitsmoment aufweist.

Beispiel 4.5. Bestimmen Sie das polare Trägheitsmoment (in cm 4) eines rechteckigen Abschnitts relativ zu seinem Schwerpunkt und der Breite des Abschnitts
cm, Abschnittshöhe
cm.

1. Ermitteln Sie die Trägheitsmomente des Abschnitts relativ zur Horizontalen und vertikal zentrale Trägheitsachsen:

cm 4;
cm 4.

2. Wir bestimmen das polare Trägheitsmoment des Abschnitts als Summe der axialen Trägheitsmomente:

cm 4.

Beispiel 4.6. Bestimmen Sie das Trägheitsmoment der in Abb. 4.13 dargestellten Dreiecksfigur relativ zur Mittelachse , wenn das Trägheitsmoment der Figur relativ zur Achse gleich 2400 cm 4.

Trägheitsmoment eines dreieckigen Abschnitts relativ zur Hauptträgheitsachse wird im Vergleich zum Trägheitsmoment um die Achse geringer sein um den Betrag
. Deshalb wann
cm Trägheitsmoment des Abschnitts relativ zur Achse wir finden es wie folgt.