Mathematisches Pendel namens materieller Punkt an einem schwerelosen und nicht dehnbaren Faden aufgehängt, der an der Aufhängung befestigt ist und sich im Feld der Schwerkraft (oder einer anderen Kraft) befindet.

Schwankungen erforschen mathematisches Pendel in Trägheitssystem Bezug, relativ zu dem der Punkt seiner Aufhängung ruht oder sich gleichmäßig geradlinig bewegt. Wir vernachlässigen die Kraft des Luftwiderstands (ein ideales mathematisches Pendel). Zunächst ruht das Pendel in der Gleichgewichtslage C. In diesem Fall wirken sich die Gewichtskraft \(\vec F\) und die elastische Kraft \(\vec F_(ynp)\) des Fadens gegenseitig aus kompensiert.

Bringen wir das Pendel aus der Gleichgewichtslage (Auslenkung zB in Position A) und lassen es ohne Anfangsgeschwindigkeit los (Abb. 13.11). In diesem Fall gleichen sich die Kräfte \(\vec F\) und \(\vec F_(ynp)\) nicht aus. Die tangentiale Komponente der Schwerkraft \(\vec F_\tau\), die auf das Pendel wirkt, verleiht ihm eine tangentiale Beschleunigung \(\vec a_\tau\) (Komponente der Gesamtbeschleunigung, die entlang der Tangente an die Flugbahn des mathematischen Pendel), und das Pendel beginnt sich mit zunehmendem Geschwindigkeitsmodul in die Gleichgewichtslage zu bewegen. Die Tangentialkomponente der Schwerkraft \(\vec F_\tau\) ist also die Rückstellkraft. Die Normalkomponente \(\vec F_n\) der Schwerkraft richtet sich entlang des Fadens gegen die elastische Kraft \(\vec F_(ynp)\). Die Resultierende der Kräfte \(\vec F_n\) und \(\vec F_(ynp)\) teilt dem Pendel mit normale Beschleunigung\(~a_n\), was die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ändert, und das Pendel bewegt sich auf einem Bogen A B C D.

Je näher sich das Pendel der Gleichgewichtslage C nähert, desto kleiner wird der Wert der Tangentialkomponente \(~F_\tau = F \sin \alpha\). In der Gleichgewichtsposition ist es gleich Null, und die Geschwindigkeit erreicht ihren Maximalwert, und das Pendel bewegt sich durch Trägheit weiter und steigt entlang des Bogens nach oben. In diesem Fall richtet sich die Komponente \(\vec F_\tau\) gegen die Geschwindigkeit. Mit zunehmendem Auslenkwinkel a nimmt der Kraftmodul \(\vec F_\tau\) zu, der Geschwindigkeitsmodul ab und im Punkt D wird die Pendelgeschwindigkeit gleich Null. Das Pendel stoppt für einen Moment und beginnt dann, sich in die entgegengesetzte Richtung zur Gleichgewichtsposition zu bewegen. Nachdem das Pendel es durch Trägheit wieder passiert hat, wird es langsamer und erreicht Punkt A (keine Reibung), d.h. macht Vollgas. Danach wird die Bewegung des Pendels in der bereits beschriebenen Reihenfolge wiederholt.

Wir erhalten eine Gleichung, die die freien Schwingungen eines mathematischen Pendels beschreibt.

Das Pendel befinde sich zu einem gegebenen Zeitpunkt am Punkt B. Seine Verschiebung S von der Gleichgewichtslage zu diesem Zeitpunkt ist gleich der Länge des Bogens CB (d. h. S = |CB|). Geben Sie die Länge des Aufhängungsfadens an l, und die Masse des Pendels - m.

Abbildung 13.11 zeigt, dass \(~F_\tau = F \sin \alpha\), wobei \(\alpha =\frac(S)(l).\) Bei kleinen Winkeln \(~(\alpha<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)

Das Minuszeichen in dieser Formel wird gesetzt, weil die tangentiale Komponente der Schwerkraft in Richtung der Gleichgewichtsposition gerichtet ist und die Verschiebung von der Gleichgewichtsposition aus gezählt wird.

Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) projizieren wir die Vektorgrößen dieser Gleichung auf die Richtung der Tangente an die Bahn des mathematischen Pendels

\(~F_\tau = ma_\tau .\)

Aus diesen Gleichungen erhalten wir

\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - dynamische Bewegungsgleichung eines mathematischen Pendels. Die Tangentialbeschleunigung eines mathematischen Pendels ist proportional zu seiner Auslenkung und auf die Gleichgewichtslage gerichtet. Diese Gleichung kann in der Form \ geschrieben werden. Aus dem Vergleich mit der Gleichung der harmonischen Schwingungen \(~a_x + \omega^2x = 0\) (siehe § 13.3) können wir schließen, dass das mathematische Pendel harmonische Schwingungen ausführt. Und da die betrachteten Schwingungen des Pendels nur unter Einwirkung innerer Kräfte auftraten, handelte es sich um freie Schwingungen des Pendels. Somit, freie Schwingungen eines mathematischen Pendels mit kleinen Abweichungen sind harmonisch.

Sei \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) Daraus folgt, dass \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) die zyklische Frequenz des Pendels ist.

Die Schwingungsdauer des Pendels \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) Daher gilt

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)

Dieser Ausdruck heißt Formel von Huygens. Sie bestimmt die Periode der freien Schwingungen des mathematischen Pendels. Aus der Formel folgt, dass bei kleinen Abweichungswinkeln von der Gleichgewichtsposition die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels: 1) nicht von seiner Masse und Schwingungsamplitude abhängt; 2) ist proportional zur Quadratwurzel der Pendellänge und umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der Freifallbeschleunigung. Dies steht im Einklang mit den experimentellen Gesetzen kleiner Schwingungen eines mathematischen Pendels, die von G. Galileo entdeckt wurden.

Wir betonen, dass diese Formel zur Berechnung der Periode verwendet werden kann, wenn zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind: 1) die Schwingungen des Pendels müssen klein sein; 2) Der Aufhängepunkt des Pendels muss in Ruhe sein oder sich gleichmäßig geradlinig relativ zum Trägheitsbezugssystem bewegen, in dem es sich befindet.

Bewegt sich der Aufhängepunkt eines mathematischen Pendels mit der Beschleunigung \(\vec a\), so ändert sich die Zugkraft des Fadens, was zu einer Änderung der Rückstellkraft und damit der Schwingungsfrequenz und -dauer führt. Wie Berechnungen zeigen, kann die Schwingungsdauer des Pendels in diesem Fall durch die Formel berechnet werden

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)

wobei \(~g"\) die "effektive" Beschleunigung des Pendels in einem nicht-trägen Bezugssystem ist. Sie ist gleich der geometrischen Summe aus der Erdbeschleunigung \(\vec g\) und dem Vektor, der ihr entgegengesetzt ist Vektor \(\vec a\), d.h. er kann mit der Formel berechnet werden

\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)

Literatur

Aksenovich L. A. Physik in der High School: Theorie. Aufgaben. Tests: Proc. Zulage für Einrichtungen, die allgemeine. Umwelt, Bildung / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsia i vykhavanne, 2004. - S. 374-376.

Pendel Foucault- ein Pendel, mit dem die tägliche Rotation der Erde experimentell nachgewiesen werden kann.

Das Foucault-Pendel ist ein massives Gewicht, das an einem Draht oder Faden aufgehängt ist, dessen oberes Ende verstärkt ist (z. B. mit einem Kardangelenk), damit es das Pendel in jeder vertikalen Ebene schwingen lässt. Wenn das Foucault-Pendel aus der Vertikalen ausgelenkt und ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen wird, dann liegen die auf das Pendelgewicht wirkenden Gewichts- und Spannungskräfte des Fadens die ganze Zeit in der Ebene der Pendelausschläge und können diese nicht verursachen Drehung in Bezug auf die Sterne (auf das mit den Sternen verbundene Inertialsystem) . Ein Beobachter, der sich auf der Erde befindet und sich mit ihr dreht (d. h. sich in einem nicht trägen Bezugssystem befindet), wird sehen, dass sich die Schwingebene des Foucault-Pendels relativ zur Erdoberfläche langsam in die entgegengesetzte Richtung zur Erdoberfläche dreht Rotation der Erde. Dies bestätigt die Tatsache der täglichen Rotation der Erde.

Am Nord- oder Südpol dreht sich die Schwingebene des Foucault-Pendels um 360° pro Sterntag (15 ° pro Sternstunde). An einem Punkt auf der Erdoberfläche, dessen geografische Breite φ ist, rotiert die Horizontebene um die Vertikale mit einer Winkelgeschwindigkeit von ω 1 = ω sinφ (ω ist der Winkelgeschwindigkeitsmodul der Erde) und die Pendelschwingebene dreht sich mit der gleiche Winkelgeschwindigkeit. Daher hat die scheinbare Rotationswinkelgeschwindigkeit der Schwingungsebene des Foucault-Pendels am Breitengrad φ, ausgedrückt in Grad pro Sternstunde, den Wert rotiert). Auf der Südhalbkugel wird die Rotation der Schaukelebene in der entgegengesetzten Richtung zu der auf der Nordhalbkugel beobachteten beobachtet. Die verfeinerte Berechnung ergibt den Wert

ω m = 15 o sinφ

wo a- die Amplitude der Schwingungen des Pendelgewichts, l- Gewindelänge. Der Zusatzterm, der die Winkelgeschwindigkeit reduziert, je weniger, desto mehr l. Um die Erfahrung zu demonstrieren, ist es daher ratsam, das Foucault-Pendel mit einer möglichst großen Fadenlänge (mehrere zehn Meter) zu verwenden.

Geschichte

Zum ersten Mal wurde dieses Gerät vom französischen Wissenschaftler Jean Bernard Leon Foucault entworfen.

Dieses Gerät war eine fünf Kilogramm schwere Messingkugel, die an einem zwei Meter langen Stahldraht von der Decke hing.

Foucaults erste Erfahrung machte er im Keller seines eigenen Hauses. 8. Januar 1851. Dies wurde im wissenschaftlichen Tagebuch des Wissenschaftlers festgehalten.

3. Februar 1851 Jean Foucault demonstrierte Akademikern, die Briefe wie diesen erhielten, sein Pendel am Pariser Observatorium: "Ich lade Sie ein, der Rotation der Erde zu folgen."

Die erste öffentliche Demonstration der Erfahrung fand auf Initiative von Louis Bonaparte im Pariser Panthéon im April desselben Jahres statt. Unter der Kuppel des Pantheons wurde eine Metallkugel aufgehängt. mit einem Gewicht von 28 kg und einer an einem Stahldraht befestigten Spitze 1,4 mm Durchmesser u 67 m lang. Pendel ließ ihn in allem frei schwingen Richtungen. Unter Der Befestigungspunkt wurde zu einem kreisförmigen Zaun mit einem Durchmesser von 6 Metern gemacht, entlang der Kante des Zauns wurde ein Sandweg so gegossen, dass das Pendel in seiner Bewegung beim Überqueren Spuren auf den Sand ziehen konnte. Um einen seitlichen Stoß beim Starten des Pendels zu vermeiden, wurde er zur Seite genommen und mit einem Seil gefesselt, danach das Seil ausgebrannt. Die Oszillationsperiode betrug 16 Sekunden.

Das Experiment war ein großer Erfolg und löste ein breites Echo in den wissenschaftlichen und öffentlichen Kreisen Frankreichs und anderer Länder der Welt aus. Erst 1851 wurden andere Pendel nach dem Vorbild des ersten geschaffen, und Foucaults Experimente wurden am Pariser Observatorium, in der Kathedrale von Reims, in der St.-Ignatius-Kirche in Rom, in Liverpool, in Oxford, Dublin, in durchgeführt Rio de Janeiro, in der Stadt Colombo in Ceylon, New York.

Bei all diesen Experimenten waren die Abmessungen der Kugel und die Länge des Pendels unterschiedlich, aber alle bestätigten die SchlussfolgerungenJean-Bernard Leon Foucault.

Elemente des Pendels, das im Pantheon vorgeführt wurde, werden heute im Pariser Museum für Kunst und Gewerbe aufbewahrt. Und Foucaults Pendel stehen heute in vielen Teilen der Welt: in polytechnischen und naturkundlichen Museen, wissenschaftlichen Observatorien, Planetarien, Universitätslabors und Bibliotheken.

In der Ukraine gibt es drei Foucault-Pendel. Einer wird an der Nationalen Technischen Universität der Ukraine „KPI benannt nach I. Igor Sikorsky", der zweite - an der Kharkiv National University. VN Karazin, der dritte - im Charkiw Planetarium.

Ein mathematisches Pendel ist ein Modell eines gewöhnlichen Pendels. Ein mathematisches Pendel ist ein materieller Punkt, der an einem langen, schwerelosen und nicht dehnbaren Faden aufgehängt ist.

Bringen Sie den Ball aus dem Gleichgewicht und lassen Sie ihn los. Auf den Ball wirken zwei Kräfte: Schwerkraft und Spannung in der Saite. Wenn sich das Pendel bewegt, wirkt immer noch die Kraft der Luftreibung auf es. Aber wir werden es als sehr klein betrachten.

Lassen Sie uns die Schwerkraft in zwei Komponenten zerlegen: die entlang des Fadens gerichtete Kraft und die Kraft, die senkrecht zur Tangente an die Flugbahn der Kugel gerichtet ist.

Diese beiden Kräfte addieren sich zur Schwerkraft. Die elastischen Kräfte des Fadens und die Schwerkraftkomponente Fn verleihen der Kugel eine Zentripetalbeschleunigung. Die Arbeit dieser Kräfte ist gleich Null und ändert daher nur die Richtung des Geschwindigkeitsvektors. Zu jedem Zeitpunkt wird es den Bogen des Kreises tangieren.

Unter der Wirkung der Gravitationskomponente Fτ bewegt sich die Kugel entlang eines Kreisbogens mit einer im Absolutwert zunehmenden Geschwindigkeit. Der Betrag dieser Kraft ändert sich immer betragsmäßig, beim Durchlaufen der Gleichgewichtslage ist sie gleich Null.

Dynamik der Schwingungsbewegung

Bewegungsgleichung eines Körpers, der unter Einwirkung einer elastischen Kraft schwingt.

Allgemeine Bewegungsgleichung:

Schwingungen im System treten unter Einwirkung einer elastischen Kraft auf, die nach dem Hookeschen Gesetz direkt proportional zur Verschiebung der Last ist

Dann nimmt die Bewegungsgleichung der Kugel folgende Form an:

Teilen Sie diese Gleichung durch m, erhalten wir die folgende Formel:

Und da die Masse und der Elastizitätskoeffizient konstante Werte sind, ist auch das Verhältnis (-k / m) konstant. Wir haben eine Gleichung erhalten, die die Schwingungen eines Körpers unter Einwirkung einer elastischen Kraft beschreibt.

Die Projektion der Beschleunigung des Körpers ist direkt proportional zu seiner Koordinate, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen.

Die Bewegungsgleichung eines mathematischen Pendels

Die Bewegungsgleichung eines mathematischen Pendels wird durch die folgende Formel beschrieben:

Diese Gleichung hat die gleiche Form wie die Gleichung für die Bewegung einer Last auf einer Feder. Folglich erfolgen die Schwingungen des Pendels und die Bewegung der Kugel auf der Feder in gleicher Weise.

Die Verschiebung der Kugel auf der Feder und die Verschiebung des Pendelkörpers aus der Gleichgewichtslage ändern sich mit der Zeit nach denselben Gesetzmäßigkeiten.

Die Pendel in Abb. 2, sind ausgedehnte Körper verschiedener Formen und Größen, die um einen Aufhängungs- oder Stützpunkt oszillieren. Solche Systeme nennt man physikalische Pendel. In einem Gleichgewichtszustand, wenn der Schwerpunkt senkrecht unter dem Aufhängungs- (oder Stützpunkt) liegt, wird die Schwerkraft (durch die elastischen Kräfte des verformten Pendels) durch die Reaktion der Stütze ausgeglichen. Beim Abweichen von der Gleichgewichtslage bestimmen Gravitation und elastische Kräfte zu jedem Zeitpunkt die Winkelbeschleunigung des Pendels, d.h. die Art seiner Bewegung (Schwingung). Am einfachsten Beispiel des sogenannten mathematischen Pendels, einem kleinen Gewicht, das an einem langen, dünnen Faden aufgehängt ist, betrachten wir nun die Dynamik von Schwingungen näher.

Bei einem mathematischen Pendel können wir die Masse des Fadens und die Deformation des Gewichts vernachlässigen, d.h. wir können annehmen, dass die Masse des Pendels im Gewicht konzentriert ist und die elastischen Kräfte im betrachteten Faden konzentriert sind nicht erweiterbar. Betrachten wir nun unter dem Einfluss welcher Kräfte unser Pendel schwingt, nachdem es auf irgendeine Weise (durch Stoß, Auslenkung) aus dem Gleichgewicht gebracht wurde.

Wenn das Pendel in Ruhe in der Gleichgewichtslage ist, wird die auf sein Gewicht wirkende und senkrecht nach unten gerichtete Schwerkraft durch die Spannung im Faden ausgeglichen. In der ausgelenkten Position (Abb. 15) wirkt die Schwerkraft schräg zur entlang des Fadens gerichteten Spannkraft. Wir zerlegen die Schwerkraft in zwei Komponenten: in Fadenrichtung () und senkrecht dazu (). Wenn das Pendel schwingt, übersteigt die Spannkraft des Fadens die Komponente geringfügig - um den Wert der Zentripetalkraft, wodurch sich die Last in einem Bogen bewegt. Die Komponente ist immer auf die Gleichgewichtslage gerichtet; sie scheint bestrebt zu sein, diese Position wiederherzustellen. Daher wird sie auch oft als Rückstellkraft bezeichnet. Der Modul ist umso größer, je mehr das Pendel ausgelenkt wird.

Reis. 15. Die Rückstellkraft, wenn das Pendel von der Gleichgewichtslage abweicht

Sobald also das Pendel bei seinen Schwingungen von der Gleichgewichtslage abzuweichen beginnt, etwa nach rechts, tritt eine Kraft auf, die seine Bewegung um so mehr verlangsamt, je weiter es ausgelenkt wird. Letztendlich wird diese Kraft ihn stoppen und ihn zurück in die Gleichgewichtsposition ziehen. Wenn wir uns jedoch dieser Position nähern, wird die Kraft immer geringer und geht in der Gleichgewichtsposition selbst gegen Null. Das Pendel durchläuft also die Gleichgewichtslage durch Trägheit. Sobald es nach links abzuweichen beginnt, tritt wieder eine Kraft auf, die mit zunehmender Abweichung wächst, jetzt aber nach rechts gerichtet ist. Die Bewegung nach links wird wieder langsamer, dann stoppt das Pendel für einen Moment, danach beginnt die beschleunigte Bewegung nach rechts usw.

Was passiert mit der Energie eines Pendels, wenn es schwingt?

Zweimal während der Periode – bei den größten Abweichungen nach links und rechts – stoppt das Pendel, das heißt, in diesen Momenten ist die Geschwindigkeit Null, was bedeutet, dass die kinetische Energie auch Null ist. Aber gerade in diesen Momenten wird der Schwerpunkt des Pendels auf die größte Höhe angehoben und folglich ist die potentielle Energie am größten. Im Gegensatz dazu ist in den Momenten des Durchgangs durch die Gleichgewichtsposition die potentielle Energie am kleinsten und die Geschwindigkeit und kinetische Energie erreichen den maximalen Wert.

Wir nehmen an, dass die Reibungskräfte des Pendels an der Luft und die Reibung am Aufhängepunkt vernachlässigt werden können. Diese maximale kinetische Energie ist dann nach dem Energieerhaltungssatz genau gleich dem Überschuss der potentiellen Energie in der Position der größten Abweichung über die potentielle Energie in der Gleichgewichtsposition.

Wenn also das Pendel schwingt, findet ein periodischer Übergang von kinetischer Energie in potentielle Energie und umgekehrt statt, und die Periode dieses Vorgangs ist halb so lang wie die Schwingungsperiode des Pendels selbst. Die Gesamtenergie des Pendels (die Summe aus potentieller und kinetischer Energie) ist jedoch die ganze Zeit konstant. Sie ist gleich der Energie, die dem Pendel beim Start verliehen wurde, egal ob in Form von potentieller Energie (Anfangsauslenkung) oder in Form von kinetischer Energie (Anfangsschub).

Dies gilt für alle Schwingungen ohne Reibung oder andere Vorgänge, die dem schwingenden System Energie entziehen oder ihm Energie zuführen. Deshalb bleibt die Amplitude unverändert und wird durch die anfängliche Abweichung oder die Kraft des Stoßes bestimmt.

Die gleichen Änderungen der Rückstellkraft und den gleichen Energieübergang erhalten wir, wenn wir die Kugel nicht an einem Faden aufhängen, sondern in einer Kugelschale oder in einer am Umfang gekrümmten Rinne in einer senkrechten Ebene rollen lassen. In diesem Fall wird die Rolle der Fadenspannung durch den Druck der Wände des Bechers oder Trogs übernommen (auch hier vernachlässigen wir die Reibung der Kugel an den Wänden und an der Luft).