Lektion Nr. 30 (Algebra und Grundanalyse, 11. Klasse)

Unterrichtsthema: Abschluss c rationaler Indikator.

Unterrichtsziel: 1 . Erweitern Sie den Gradbegriff, geben Sie den Gradbegriff mit einem rationalen Exponenten an; lehren, wie man einen Grad mit einem rationalen Exponenten in eine Wurzel umwandelt und umgekehrt; Berechnen Sie Potenzen mit rationalem Exponenten.

2. Entwicklung von Gedächtnis und Denken.

3. Aktivitätsbildung.

„Lassen Sie jemanden versuchen, es durchzustreichen

vom Mathematikstudium, und er wird sehen,

Dass du ohne sie nicht weit kommst.“ M. V. Lomonossow

Während des Unterrichts.

I. Angabe des Themas und Zwecks der Unterrichtsstunde.

II. Wiederholung und Vertiefung des behandelten Stoffes.

1. Analyse ungelöster Hausbeispiele.

2. Betreuung selbstständiger Arbeit:

Variante 1.

1. Lösen Sie die Gleichung: √(2x – 1) = 3x – 12

2. Lösen Sie die Ungleichung: √(3x – 2) ≥ 4 – x

Option 2.

1. Lösen Sie die Gleichung: 3 – 2x = √(7x + 32)

2. Lösen Sie die Ungleichung: √(3x + 1) ≥ x – 1

III. Neues Material lernen.

1 . Erinnern wir uns an die Erweiterung des Zahlenbegriffs: N є Z є Q є R.

Dies lässt sich am besten durch das folgende Diagramm darstellen:

Natürlich (N)

Null

Nicht negative Zahlen

Negative Zahlen

Bruchzahlen

Ganzzahlen (Z)

Irrational

Rational (Q)

Reale Nummern

2. IN Junior-Klassen Das Konzept einer Potenz einer Zahl mit einem ganzzahligen Exponenten wurde definiert. a) Erinnern Sie sich an die Definition des Exponenten a) mit einer natürlichen Zahl, b) mit einer negativen ganzen Zahl, c) mit einem Exponenten von Null.Betonen Sie, dass der Ausdruck a N ist für alle ganzen Zahlen n und alle Werte von a sinnvoll, außer a=0 und n≤0.

b) Listen Sie die Eigenschaften von Graden mit einem ganzzahligen Exponenten auf.

3. Mündliche Arbeit.

1). Berechnen Sie: 1 -5 ; 4 -3 ; (-100 ; (-5) -2 ; (1/2) -4 ; (3/7) -1 .

2). Schreiben Sie es als Potenz mit negativem Exponenten:

1/4 5 ;1/21 3 ; 1/x 7 ; 1/a 9 .

3).Vergleiche mit Einheit: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 . Jetzt müssen Sie die Bedeutung der Ausdrücke 3 verstehen 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 usw. Dazu müssen wir das Konzept des Grades so verallgemeinern, dass alle aufgeführten Immobilien Grad. Betrachten Sie die Gleichheit (a m/n ) n = a m . Dann per Definition Wurzel nth Es ist vernünftig anzunehmen, dass a m/n wird die Wurzel sein n. Grad ab Nummer a M . Es wird eine Definition des Grades mit einem rationalen Exponenten gegeben.

5. Betrachten Sie die Beispiele 1 und 2 aus dem Lehrbuch.

6. Lassen Sie uns einige Bemerkungen zum Konzept eines Grades mit rationalem Exponenten machen.

Anmerkung 1 : Für jedes a>0 und jede rationale Zahl r ist die Zahl a r >0

Anmerkung 2 : Aufgrund der Grundeigenschaft von Brüchen kann die rationale Zahl m/n für jede natürliche Zahl k als mk/nk geschrieben werden. Dannder Wert des Grades hängt nicht von der Schreibweise der rationalen Zahl ab, da a mk/nk = = nk √a mk = n √a m = a m/n

Notiz 3: Wenn ein Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels erklären. Betrachten Sie (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. Andererseits: 1/3 = 2/6 und dann (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Wir erhalten einen Widerspruch.

Die Videolektion „Exponent mit rationalem Exponenten“ enthält eine visuelle Darstellung Unterrichtsmaterial eine Lektion zu diesem Thema erteilen. Die Videolektion enthält Informationen zum Konzept eines Abschlusses mit rationalem Exponenten, zu den Eigenschaften solcher Abschlüsse sowie Beispiele, die den Einsatz von Lehrmaterial zur Lösung praktischer Probleme beschreiben. Der Zweck dieser Videolektion besteht darin, das Lehrmaterial klar und deutlich zu präsentieren, den Schülern dessen Entwicklung und Auswendiglernen zu erleichtern und die Fähigkeit zu entwickeln, Probleme mithilfe der erlernten Konzepte zu lösen.

Die Hauptvorteile der Videolektion sind die Möglichkeit, Transformationen und Berechnungen visuell durchzuführen sowie Animationseffekte zur Verbesserung der Lerneffizienz zu verwenden. Die Sprachbegleitung hilft bei der Entwicklung einer korrekten mathematischen Sprache und ermöglicht es außerdem, die Erklärungen des Lehrers zu ersetzen und ihm so mehr Zeit für die individuelle Arbeit zu geben.

Die Videolektion beginnt mit der Einführung in das Thema. Studien verknüpfen neues Thema Bei bereits untersuchtem Material wird empfohlen, sich daran zu erinnern, dass n √a ansonsten mit a 1/n für natürliches n und positives a bezeichnet wird. Diese n-Wurzel-Darstellung wird auf dem Bildschirm angezeigt. Als nächstes schlagen wir vor, zu überlegen, was der Ausdruck a m/n bedeutet, wobei a eine positive Zahl und m/n ein Bruch ist. Die Definition eines Grades mit einem rationalen Exponenten als a m/n = n √a m ist im Rahmen hervorgehoben. Es ist zu beachten, dass n eine natürliche Zahl und m eine ganze Zahl sein kann.

Nachdem ein Grad mit einem rationalen Exponenten definiert wurde, wird seine Bedeutung anhand von Beispielen offenbart: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Es wird auch ein Beispiel gezeigt, in dem der Grad dargestellt wird durch Dezimal, wird in einen gemeinsamen Bruch umgewandelt, der als Wurzel dargestellt wird: (1/7) 1,7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 und ein Beispiel mit einem negativen Exponenten: 3 -1/ 8 = 8 √3 -1.

Auf die Besonderheit des Sonderfalls, dass die Basis des Grades Null ist, wird gesondert hingewiesen. Es ist zu beachten, dass dieser Grad nur bei einem positiven gebrochenen Exponenten sinnvoll ist. In diesem Fall ist sein Wert Null: 0 m/n =0.

Ein weiteres Merkmal eines Grades mit einem rationalen Exponenten ist, dass ein Grad mit einem gebrochenen Exponenten nicht mit einem gebrochenen Exponenten betrachtet werden kann. Beispiele für falsche Gradangaben sind: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Als nächstes diskutieren wir in der Videolektion die Eigenschaften eines Grades mit einem rationalen Exponenten. Es ist zu beachten, dass die Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten auch für einen Grad mit einem rationalen Exponenten gelten. Es wird vorgeschlagen, sich an die Liste der Eigenschaften zu erinnern, die auch in diesem Fall gültig sind:

1. Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen addieren sich ihre Exponenten: a p a q =a p+q.
2. Die Division von Graden mit gleichen Basen wird auf einen Grad mit gegebener Basis und der Differenz der Exponenten reduziert: a p:a q =a p-q.
3. Wenn wir den Grad auf eine bestimmte Potenz erhöhen, erhalten wir am Ende einen Grad mit einer gegebenen Basis und dem Produkt der Exponenten: (a p) q =a pq.

Alle diese Eigenschaften gelten für Potenzen mit rationalen Exponenten p, q und positiver Basis a>0. Auch Gradtransformationen beim Öffnen von Klammern bleiben wahr:

1. (ab) p =a p b p – Potenzierung mit einem rationalen Exponenten Das Produkt zweier Zahlen wird auf das Produkt von Zahlen reduziert, von denen jede auf eine bestimmte Potenz erhöht wird.
2. (a/b) p =a p /b p – Potenzierung eines Bruchs mit einem rationalen Exponenten wird auf einen Bruch reduziert, dessen Zähler und Nenner auf eine bestimmte Potenz erhöht werden.

Das Video-Tutorial diskutiert Lösungsbeispiele, die die betrachteten Eigenschaften von Potenzen mit einem rationalen Exponenten verwenden. Im ersten Beispiel werden Sie aufgefordert, den Wert eines Ausdrucks zu finden, der Variablen x in einer gebrochenen Potenz enthält: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Trotz der Komplexität des Ausdrucks kann er mithilfe der Potenzeigenschaften ganz einfach gelöst werden. Die Lösung des Problems beginnt mit der Vereinfachung des Ausdrucks, die die Regel verwendet, eine Potenz mit einem rationalen Exponenten zu potenzieren, sowie Potenzen mit derselben Basis zu multiplizieren. Nach der Auswechslung Wert einstellen x=8 im vereinfachten Ausdruck x 1/3 +48 ist es einfach, den Wert - 50 zu erhalten.

Im zweiten Beispiel müssen Sie einen Bruch reduzieren, dessen Zähler und Nenner Potenzen mit einem rationalen Exponenten enthalten. Unter Verwendung der Eigenschaften des Grades extrahieren wir aus der Differenz den Faktor x 1/3, der dann im Zähler und Nenner reduziert wird, und unter Verwendung der Formel für die Differenz der Quadrate wird der Zähler faktorisiert, was weitere Reduzierungen von Identischen ergibt Faktoren im Zähler und Nenner. Das Ergebnis solcher Transformationen ist der kurze Bruch x 1/4 +3.

Die Videolektion „Exponent mit rationalem Exponenten“ kann anstelle der Erklärung eines neuen Unterrichtsthemas durch den Lehrer verwendet werden. Dieses Handbuch enthält auch ausreichend vollständige Informationen für Selbststudium Student. Das Material kann auch für den Fernunterricht nützlich sein.

Mathematiklehrer: Nashkenova A.N. Maybalyk-Sekundarschule Unterrichtsplan zum Thema „Exponent mit rationalem Exponenten“

(Algebra, 11. Klasse)

Lernziele:

Erweitern und vertiefen Sie das Wissen der Schüler über Potenzen von Zahlen; Kennenlernen der Studierenden mit dem Konzept des Grades mit einem rationalen Exponenten und seinen Eigenschaften;

Entwickeln Sie Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten, um die Werte von Ausdrücken mithilfe von Eigenschaften zu berechnen;

Arbeiten Sie weiter an der Entwicklung der Fähigkeiten zum Analysieren, Vergleichen, Hervorheben des Wesentlichen, Definieren und Erklären von Konzepten;

Form Kommunikationskompetenzen, die Fähigkeit, Gründe für ihr Handeln anzugeben, Unabhängigkeit und harte Arbeit zu fördern.

Ausrüstung: Lehrbuch, Handout-Karten, Laptop,Präsentationsmaterial Steckdose ;

Unterrichtsart: eine Lektion darin, neues Wissen zu studieren und zunächst zu festigen.

Unterrichtsplan:

1.Org. Moment. - 1 Minute.

2.Motivation der Lektion.-2 Minuten

3. Grundkenntnisse aktualisieren. - 5 Minuten.

4. Neues Material lernen. - 15 Minuten.

5. Minute Sportunterricht - 1 Minute.

6. Primäre Konsolidierung des untersuchten Materials - 10 Minuten

7. Selbständiges Arbeiten. - 7 Min.

8. Hausaufgaben. - 2 Minuten.

9. Reflexion – 1 Min.

10. Zusammenfassung der Lektion. - 1 Minute.

Während des Unterrichts

1. Zeit organisieren

Emotionale Stimmung für den Unterricht.

Ich möchte arbeiten, ich möchte

arbeiten,
Ich wünsche Ihnen heute viel Erfolg.
Schließlich ist das alles in Zukunft für Sie

wird sich als nützlich erweisen.
Und es wird Ihnen in Zukunft leichter fallen

Studie(Folie Nr. 1)

2. Unterrichtsmotivation

Die Potenzierungs- und Wurzelziehoperationen sowie die vier arithmetischen Operationen sind aus praktischer Notwendigkeit entstanden. Zusammen mit dem Problem der Berechnung der Fläche eines Quadrats also auch der SeiteA Bekanntlich trat das umgekehrte Problem auf: „Welche Länge muss die Seite eines Quadrats haben, damit seine Fläche gleich ist?“V. Im 14.-15. Jahrhundert entstanden in Westeuropa Banken, die Fürsten und Kaufleuten Zinsgeld gaben und diese zu hohen Zinssätzen finanzierten lange Reisen und Eroberungen. Um Ihnen die Berechnung des Zinseszinses zu erleichtern, haben wir Tabellen zusammengestellt, anhand derer Sie sofort erkennen können, wie viel Sie einzahlen müssenP Jahre, wenn der Betrag geliehen wurdeA VonR % pro Jahr. Der gezahlte Betrag wird durch die Formel ausgedrückt: S = a(1 + ) P Manchmal wurde Geld nicht für eine ganze Reihe von Jahren geliehen, sondern beispielsweise für 2 Jahre und 6 Monate. Wenn nach 2,5 Jahren der BetragA Kontakt aq , dann wird es in den nächsten 2,5 Jahren noch einmal steigenQ mal und wird gleich werdenaq 2 . Nach 5 Jahren:a=(1 + 5 , Deshalb Q 2 = (1 + 5 Und Bedeutet Q =

(Folie 2) .

So entstand die Idee eines Grades mit gebrochenem Exponenten.

3. Grundkenntnisse aktualisieren.

Fragen:

1.Was bedeutet der Eintrag;A P

2. Was ist A ?

3. Was ist P ?

4. A -P =?

5. Notieren Sie die Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten in Ihrem Notizbuch.

6.Welche Zahlen sind natürlich, ganzzahlig, rational? Zeichnen Sie sie mit Eulerkreisen.(Folie 3)

Antworten: 1. Grad mit einem ganzzahligen Exponenten

2. A- Base

3. P- Exponent

4. A -P =

5. Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten:

A M *A N = a (m+n) ;

A M : A N = a (m-n) ( bei A Nicht gleich null );

(A M ) N = a (m*n) ;

(a*b) N = a N *B N ;

(a/b) N = (a N )/(B N ) (bei B ungleich Null);

A 1 = ein;

A 0 = 1 (mit A ungleich Null);

Diese Eigenschaften gelten für alle Zahlen a, b und alle ganzen Zahlen m und n.

6.1,2,3, … - positive Zahlen – Menge der natürlichen Zahlen –N

0,-1,-2,-3,.. Zahl O und negative Zahlen – eine Menge von ganzen Zahlen -Z

Q , – Bruchzahlen(negativ und positiv) – Menge rationaler Zahlen -Q Z

N

Euler-Kreise (Folie 4)

4. Neues Material studieren.

Lassen. A - ist eine nicht negative Zahl und muss auf erhöht werden Teilleistung . Kennen Sie die Gleichheit (A M ) N = a M N (Folie 4) , d.h. Regel für die Erhebung einer Macht zu einer Macht. In der obigen Gleichung gehen wir davon aus m = , dann erhalten wir: (A ) P = a =a (Folie 4)

Daraus können wir schließen, dass es so istA Wurzel P - te Potenz der ZahlA , d.h. A = . es folgt dem (A P ) = P =a (Folie 4).

Somit A =(a ) M =(a M ) = M . ( Folie 4 ).

Somit gilt folgende Gleichheit:A = M (Folie 4)

Definition: Grad einer nicht negativen Zahl A mit einem rationalen Exponenten , Wo - irreduzibler Bruch, der Wert der n-ten Wurzel einer Zahl heißt A T .

Daher per Definition A = M (Folie 5)

Schauen wir uns Beispiel 1 an : Schreiben Sie den Grad mit einem rationalen Exponenten in Form der n-ten Wurzel:

1)5 2)3,7 -0,7 3) ( ) (Folie 6) Lösung: 1) 5 = 2 = 2) 3,7 -0,7 = -7 3) ( ) = ( Folie 7) Mit Potenzen mit rationalem Exponenten können Sie die Operationen Multiplikation, Division, Potenzierung und Wurzelziehen nach den gleichen Regeln durchführen wie mit Potenzen mit ganzzahligen Exponenten und Potenzen mit den gleichen Basen:A = a + A = A - (A ) = a * (a*c) = a *V ) = A / V wo p, Q – Natürliche Zahlen, t, p sind ganze Zahlen. (Folie 8) 5. Minute des Sportunterrichts

Wende deinen Blick nach rechts

Wende deinen Blick nach links

Schaute zur Decke hoch

Alle schauten nach vorne.

Einmal – beugen – aufrichten,

Zwei ─ beugen - strecken,

Drei – drei Klatschen in die Hände,

Drei Kopfnicken.

Fünf und sechs setzen sich ruhig hin.

Und wieder unterwegs! (Folie 9)

6. Primäre Konsolidierung des untersuchten Materials:

Seite 51, Nr. 90, Nr. 91 – machen Sie es selbst in Ihrem Notizbuch,

mit Scheck an der Tafel

7. Selbständiges Arbeiten

Variante 1

(Folie 10)

Variante 1

(Folie 11)

Ausführen unabhängige Arbeit mit gegenseitiger Überprüfung.

Antworten:

Variante 1

(Folie 12)

Heute haben wir in der Lektion das Konzept eines Grades mit einem rationalen Exponenten kennengelernt und gelernt, ihn in Form von Wurzeln zu schreiben und die grundlegenden Eigenschaften von Graden anzuwenden, wenn wir die Werte numerischer Ausdrücke ermitteln.8. Hausaufgaben: Nr. 92, Nr. 93 Information über Hausaufgaben

9. Betrachtung

(Folie 13)

10. Zusammenfassung der Lektion:

Was sind die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen einem Grad mit einem ganzzahligen Exponenten und einem Grad mit einem gebrochenen Exponenten? (Ähnlichkeit: alle Eigenschaften eines Grades mit ganzzahligem Exponenten gelten auch für einen Grad mit rationalem Exponenten;

Differenz: Grad)

Listen Sie die Eigenschaften von Potenzen mit rationalen Exponenten auf

Die heutige Lektion ist vorbei,
Freundlicher kann man nicht sein.
Aber jeder sollte wissen:
Wissen, Ausdauer, Arbeit
Sie werden zu Fortschritten im Leben führen.
Vielen Dank für die Lektion! (Folie 14)

Ein Ausdruck der Form a (m/n), wobei n eine natürliche Zahl ist, m eine ganze Zahl ist und die Basis des Grades a größer als Null ist, wird als Grad mit gebrochenem Exponenten bezeichnet. Darüber hinaus gilt die folgende Gleichheit. n√(am) = a (m/n) .

Wie wir bereits wissen, werden Zahlen der Form m/n, wobei n eine natürliche Zahl und m eine ganze Zahl ist, gebrochene oder rationale Zahlen genannt. Aus all dem erhalten wir, dass der Grad für jeden rationalen Exponenten und jede positive Basis des Grades definiert ist.

Für jeden Rationale Zahlen p,q und alle a>0 und b>0 gelten die folgenden Gleichungen:

• 1. (a p)*(a q) = a (p+q)
• 2. (a p):(b q) = a (p-q)
• 3. (a p) q = a (p*q)
• 4. (a*b) p = (a p)*(b p)
• 5. (a/b) p = (a p)/(b p)

Diese Eigenschaften werden häufig beim Konvertieren verschiedener Ausdrücke verwendet, die Potenzen mit gebrochenen Exponenten enthalten.

Beispiele für Transformationen von Ausdrücken, die Potenzen mit einem gebrochenen Exponenten enthalten

Schauen wir uns einige Beispiele an, die zeigen, wie diese Eigenschaften zum Transformieren von Ausdrücken verwendet werden können.

1. Berechnen Sie 7 (1/4) * 7 (3/4).

• 7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7.

2. Berechnen Sie 9 (2/3) : 9 (1/6) .

• 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. Berechnen Sie (16 (1/3)) (9/4) .

• (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. Berechnen Sie 24 (2/3).

• 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. Berechnen Sie (8/27) (1/3).

• (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. Vereinfachen Sie den Ausdruck ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b)

• ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a (1/3) + b (1/3 )))/(1/3) + b (1/3)) = a*b.

7. Berechnen Sie (25 (1/5))*(125 (1/5)).

• (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. Vereinfachen Sie den Ausdruck

• (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a (2/3) + a (-1/3)).
• (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a (2/3) + a (-1/3)) =
• = ((a (1/3))*(1-a 2))/((a (1/3))*(1-a)) - ((a (-1/3))*(1- a 2))/ ((a (-1/3))*(1+a)) =
• = 1 +a - (1-a) = 2*a.

Wie Sie sehen, können Sie mit diesen Eigenschaften einige Ausdrücke, die Potenzen mit gebrochenen Exponenten enthalten, erheblich vereinfachen.

Ausdrücke, Ausdrucksumwandlung

Machtausdrücke (Ausdrücke mit Kräften) und ihre Transformation

In diesem Artikel werden wir über die Konvertierung von Ausdrücken mit Potenzen sprechen. Zunächst konzentrieren wir uns auf Transformationen, die mit Ausdrücken jeglicher Art durchgeführt werden, einschließlich Machtausdrücke, wie etwa das Öffnen von Klammern und das Einbringen ähnlicher Begriffe. Und dann analysieren wir die Transformationen, die speziell Ausdrücken mit Graden innewohnen: Arbeiten mit Basis und Exponent, Verwendung der Eigenschaften von Graden usw.

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Was sind Machtausdrücke?

Der Begriff „Potenzausdrücke“ kommt in schulischen Mathematiklehrbüchern praktisch nicht vor, kommt aber recht häufig in Aufgabensammlungen vor, insbesondere solchen, die beispielsweise zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen und das Einheitliche Staatsexamen bestimmt sind. Nach der Analyse der Aufgaben, bei denen es notwendig ist, beliebige Aktionen mit Machtausdrücken auszuführen, wird deutlich, dass unter Machtausdrücken Ausdrücke verstanden werden, die in ihren Einträgen Kräfte enthalten. Daher können Sie die folgende Definition für sich akzeptieren:

Definition.

Machtausdrücke sind Ausdrücke, die Grade enthalten.

Geben wir Beispiele für Machtausdrücke. Darüber hinaus werden wir sie danach darstellen, wie die Entwicklung der Ansichten von einem Grad mit natürlichem Exponenten zu einem Grad mit reellem Exponenten erfolgt.

Bekanntlich lernt man zunächst die Potenz einer Zahl mit natürlichem Exponenten kennen; in diesem Stadium entstehen die ersten einfachsten Potenzausdrücke vom Typ 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 erscheinen −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 usw.

Etwas später wird die Potenz einer Zahl mit einem ganzzahligen Exponenten untersucht, was zum Auftreten von Potenzausdrücken mit negativen ganzzahligen Potenzen wie den folgenden führt: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

In der High School kehren sie zu Abschlüssen zurück. Dort wird ein Grad mit rationalem Exponenten eingeführt, was das Auftreten der entsprechenden Potenzausdrücke mit sich bringt: , , usw. Abschließend werden Grade mit irrationalen Exponenten und Ausdrücke, die diese enthalten, betrachtet: , .

Die Sache beschränkt sich nicht auf die aufgeführten Potenzausdrücke: Weiter dringt die Variable in den Exponenten ein, und es entstehen beispielsweise folgende Ausdrücke: 2 x 2 +1 oder . Und nachdem man sich damit vertraut gemacht hat, tauchen Ausdrücke mit Potenzen und Logarithmen auf, zum Beispiel x 2·lgx −5·x lgx.

Wir haben uns also mit der Frage beschäftigt, was Machtausdrücke darstellen. Als nächstes werden wir lernen, sie zu transformieren.

Haupttypen der Transformationen von Machtausdrücken

Mit Power-Ausdrücken können Sie jede der grundlegenden Identitätstransformationen von Ausdrücken durchführen. Beispielsweise können Sie die Klammern erweitern, ersetzen numerische Ausdrücke ihre Werte, geben Sie ähnliche Begriffe an usw. In diesem Fall ist es natürlich notwendig, das akzeptierte Verfahren zur Durchführung von Aktionen zu befolgen. Lassen Sie uns Beispiele nennen.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert des Potenzausdrucks 2 3 ·(4 2 −12) .

Lösung.

Führen Sie entsprechend der Reihenfolge der Aktionsausführung zunächst die Aktionen in Klammern aus. Dort ersetzen wir erstens die Potenz 4 2 durch ihren Wert 16 (ggf. siehe), und zweitens berechnen wir die Differenz 16−12=4. Wir haben 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Im resultierenden Ausdruck ersetzen wir die Potenz 2 3 durch ihren Wert 8 und berechnen anschließend das Produkt 8·4=32. Dies ist der gewünschte Wert.

Also, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Antwort:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Beispiel.

Vereinfachen Sie Ausdrücke mit Potenzen 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Lösung.

Es ist klar, dass dieser Ausdruck enthält ähnliche Terme 3·a 4 ·b −7 und 2·a 4 ·b −7 , und wir können sie wie folgt angeben: .

Antwort:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Beispiel.

Drücken Sie einen Ausdruck mit Kräften als Produkt aus.

Lösung.

Sie können die Aufgabe bewältigen, indem Sie die Zahl 9 als Potenz von 3 2 darstellen und dann die Formel für die abgekürzte Multiplikation - Quadratdifferenz verwenden:

Antwort:

Es gibt auch eine Nummer Identitätstransformationen, speziell in Machtausdrücken inhärent. Wir werden sie weiter analysieren.

Arbeiten mit Basis und Exponent

Es gibt Grade, deren Basis und/oder Exponent nicht nur Zahlen oder Variablen, sondern einige Ausdrücke sind. Als Beispiel geben wir die Einträge (2+0,3·7) 5−3,7 und (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Wenn Sie mit solchen Ausdrücken arbeiten, können Sie sowohl den Ausdruck in der Basis des Grades als auch den Ausdruck im Exponenten durch einen identisch gleichen Ausdruck in der ODZ seiner Variablen ersetzen. Mit anderen Worten: Nach den uns bekannten Regeln können wir die Basis des Grades und den Exponenten getrennt transformieren. Es ist klar, dass als Ergebnis dieser Transformation ein Ausdruck erhalten wird, der dem Original identisch ist.

Solche Transformationen ermöglichen es uns, Ausdrücke mit Potenzen zu vereinfachen oder andere Ziele zu erreichen, die wir brauchen. Beispielsweise können Sie im oben erwähnten Potenzausdruck (2+0,3 7) 5−3,7 Operationen mit den Zahlen in der Basis und im Exponenten durchführen, wodurch Sie zur Potenz 4,1 1,3 gelangen können. Und nachdem wir die Klammern geöffnet und ähnliche Terme zur Basis des Grades (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) gebracht haben, erhalten wir einen Potenzausdruck einer einfacheren Form a 2·(x+ 1) .

Verwenden von Abschlusseigenschaften

Eines der Hauptwerkzeuge zur Transformation von Ausdrücken mit Potenzen sind Gleichheiten, die widerspiegeln. Erinnern wir uns an die wichtigsten. Für alle positiven Zahlen a und b und beliebige reelle Zahlen r und s gelten die folgenden Potenzeigenschaften:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Beachten Sie, dass für natürliche, ganzzahlige und positive Exponenten die Einschränkungen für die Zahlen a und b möglicherweise nicht so streng sind. Zum Beispiel, z natürliche Zahlen m und n gilt die Gleichheit a m ·a n =a m+n nicht nur für positives a, sondern auch für negatives a und für a=0.

In der Schule liegt das Hauptaugenmerk bei der Transformation von Machtausdrücken auf der Fähigkeit, die entsprechende Eigenschaft auszuwählen und richtig anzuwenden. In diesem Fall sind die Gradbasen in der Regel positiv, was eine uneingeschränkte Nutzung der Gradeigenschaften ermöglicht. Gleiches gilt für die Transformation von Ausdrücken, die Variablen im Potenzbasisbereich enthalten akzeptable Werte Variablen sind in der Regel so, dass die darauf basierenden Basen nur positive Werte annehmen, sodass Sie die Eigenschaften von Graden frei verwenden können. Generell muss man sich ständig fragen, ob in diesem Fall eine beliebige Eigenschaft von Abschlüssen genutzt werden kann, denn eine ungenaue Nutzung der Eigenschaften kann zu einer Beeinträchtigung des pädagogischen Wertes und anderen Problemen führen. Diese Punkte werden ausführlich und mit Beispielen im Artikel Transformation von Ausdrücken mithilfe von Gradeigenschaften besprochen. Wir beschränken uns hier auf die Betrachtung einiger einfacher Beispiele.

Beispiel.

Drücken Sie den Ausdruck a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 als Potenz mit der Basis a aus.

Lösung.

Zuerst transformieren wir den zweiten Faktor (a 2) −3 mithilfe der Eigenschaft, eine Potenz zu potenzieren: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Der ursprüngliche Potenzausdruck hat die Form a 2,5 ·a −6:a −5,5. Offensichtlich bleibt es weiterhin, die Eigenschaften der Multiplikation und Potenzteilung mit der gleichen Basis zu nutzen, wie wir sie haben
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Antwort:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Eigenschaften von Potenzen bei der Transformation von Potenzausdrücken werden sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links verwendet.

Beispiel.

Finden Sie den Wert des Potenzausdrucks.

Lösung.

Die von rechts nach links angewendete Gleichheit (a·b) r =a r ·b r ermöglicht es uns, vom ursprünglichen Ausdruck zu einem Produkt der Form und weiter zu gelangen. Und wenn man Potenzen mit gleichen Basen multipliziert, addieren sich die Exponenten: .

Es war möglich, den ursprünglichen Ausdruck auf andere Weise umzuwandeln:

Antwort:

.

Beispiel.

Führen Sie bei gegebenem Potenzausdruck a 1,5 −a 0,5 −6 eine neue Variable t=a 0,5 ein.

Lösung.

Der Grad a 1,5 kann als a 0,5 3 dargestellt werden und dann, basierend auf der Eigenschaft des Grades zum Grad (a r) s =a r s, von rechts nach links angewendet, in die Form (a 0,5) 3 transformiert werden. Auf diese Weise, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Jetzt ist es einfach, eine neue Variable t=a 0,5 einzuführen, wir erhalten t 3 −t−6.

Antwort:

t 3 −t−6 .

Umwandeln von Brüchen, die Potenzen enthalten

Potenzausdrücke können Brüche mit Potenzen enthalten oder darstellen. Alle grundlegenden Transformationen von Brüchen, die Brüchen jeglicher Art innewohnen, sind vollständig auf solche Brüche anwendbar. Das heißt, Brüche, die Potenzen enthalten, können reduziert, auf einen neuen Nenner reduziert, getrennt mit ihrem Zähler und getrennt mit dem Nenner bearbeitet werden usw. Um diese Wörter zu veranschaulichen, betrachten Sie Lösungen für mehrere Beispiele.

Beispiel.

Vereinfachen Sie den Machtausdruck .

Lösung.

Dieser Potenzausdruck ist ein Bruch. Lassen Sie uns mit Zähler und Nenner arbeiten. Im Zähler öffnen wir die Klammern und vereinfachen den resultierenden Ausdruck mithilfe der Eigenschaften von Potenzen, und im Nenner stellen wir ähnliche Begriffe dar:

Und ändern wir auch das Vorzeichen des Nenners, indem wir vor dem Bruch ein Minus setzen: .

Antwort:

.

Die Reduktion von Brüchen, die Potenzen enthalten, auf einen neuen Nenner erfolgt ähnlich wie die Reduktion rationaler Brüche auf einen neuen Nenner. In diesem Fall wird auch ein zusätzlicher Faktor gefunden und Zähler und Nenner des Bruchs damit multipliziert. Bei dieser Aktion ist zu beachten, dass die Reduzierung auf einen neuen Nenner zu einer Verengung der VA führen kann. Um dies zu verhindern, ist es erforderlich, dass der Zusatzfaktor für keinen Wert der Variablen aus den ODZ-Variablen für den Originalausdruck auf Null geht.

Beispiel.

Reduziere die Brüche auf einen neuen Nenner: a) auf Nenner a, b) zum Nenner.

Lösung.

a) In diesem Fall lässt sich ganz einfach herausfinden, welcher zusätzliche Multiplikator zum gewünschten Ergebnis beiträgt. Dies ist ein Multiplikator von a 0,3, da a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Beachten Sie, dass im Bereich der zulässigen Werte der Variablen a (dies ist die Menge aller positiven reellen Zahlen) die Potenz von a 0,3 nicht verschwindet, daher haben wir das Recht, Zähler und Nenner einer gegebenen Zahl zu multiplizieren Bruchteil durch diesen zusätzlichen Faktor:

b) Wenn Sie sich den Nenner genauer ansehen, werden Sie das feststellen

und die Multiplikation dieses Ausdrucks mit ergibt die Summe der Würfel und , das heißt . Und das ist der neue Nenner, auf den wir den ursprünglichen Bruch reduzieren müssen.

So haben wir einen zusätzlichen Faktor gefunden. Im Bereich der zulässigen Werte der Variablen x und y verschwindet der Ausdruck nicht, daher können wir Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren:

Antwort:

A) , B) .

Auch die Reduktion von Brüchen, die Potenzen enthalten, ist nichts Neues: Zähler und Nenner werden durch eine Reihe von Faktoren dargestellt, und die gleichen Faktoren des Zählers und Nenners werden reduziert.

Beispiel.

Reduziere den Bruch: a) , B) .

Lösung.

a) Zunächst können Zähler und Nenner um die Zahlen 30 und 45 reduziert werden, was 15 ergibt. Natürlich ist es auch möglich, eine Reduktion um x 0,5 +1 und um durchzuführen . Das haben wir:

b) In diesem Fall sind identische Faktoren im Zähler und Nenner nicht sofort sichtbar. Um sie zu erhalten, müssen Sie vorläufige Transformationen durchführen. In diesem Fall bestehen sie darin, den Nenner mithilfe der Quadratdifferenzformel zu faktorisieren:

Antwort:

A)

B) .

Das Umwandeln von Brüchen in einen neuen Nenner und das Reduzieren von Brüchen werden hauptsächlich verwendet, um mit Brüchen umzugehen. Aktionen werden nach bekannten Regeln ausgeführt. Beim Addieren (Subtrahieren) von Brüchen werden diese auf reduziert gemeinsamer Nenner, danach werden die Zähler addiert (subtrahiert), aber der Nenner bleibt gleich. Das Ergebnis ist ein Bruch, dessen Zähler das Produkt der Zähler und dessen Nenner das Produkt der Nenner ist. Eine Division durch einen Bruch ist eine Multiplikation mit ihrer Umkehrung.

Beispiel.

Folge den Schritten .

Lösung.

Zuerst subtrahieren wir die Brüche in Klammern. Dazu bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner, nämlich , danach subtrahieren wir die Zähler:

Jetzt multiplizieren wir die Brüche:

Offensichtlich ist es möglich, um eine Potenz von x 1/2 zu reduzieren, woraufhin wir haben .

Sie können den Potenzausdruck im Nenner auch vereinfachen, indem Sie die Quadratdifferenzformel verwenden: .

Antwort:

Beispiel.

Vereinfachen Sie den Potenzausdruck .

Lösung.

Offensichtlich kann dieser Bruch um (x 2,7 +1) 2 reduziert werden, das ergibt den Bruch . Es ist klar, dass mit den Potenzen von X noch etwas anderes gemacht werden muss. Dazu wandeln wir den resultierenden Bruch in ein Produkt um. Dies gibt uns die Möglichkeit, die Eigenschaft der Teilungsgewalten mit den gleichen Grundlagen auszunutzen: . Und am Ende des Prozesses bewegen wir uns davon letzte Arbeit auf einen Bruchteil.

Antwort:

.

Und fügen wir noch hinzu, dass es möglich und in vielen Fällen wünschenswert ist, Faktoren mit negativen Exponenten vom Zähler auf den Nenner oder vom Nenner auf den Zähler zu übertragen und dabei das Vorzeichen des Exponenten zu ändern. Solche Transformationen vereinfachen oft das weitere Vorgehen. Beispielsweise kann ein Potenzausdruck durch ersetzt werden.

Ausdrücke mit Wurzeln und Potenzen umwandeln

In Ausdrücken, in denen einige Transformationen erforderlich sind, sind neben Potenzen häufig auch Wurzeln mit gebrochenen Exponenten vorhanden. Um einen solchen Ausdruck umzuwandeln in der richtige Typ In den meisten Fällen reicht es aus, nur zu Wurzeln oder nur zu Potenzen zu gehen. Da es jedoch bequemer ist, mit Kräften zu arbeiten, bewegen sie sich normalerweise von den Wurzeln zu den Kräften. Es ist jedoch ratsam, einen solchen Übergang durchzuführen, wenn die ODZ der Variablen für den ursprünglichen Ausdruck es Ihnen ermöglicht, die Wurzeln durch Potenzen zu ersetzen, ohne auf das Modul verweisen oder die ODZ in mehrere Intervalle aufteilen zu müssen (wir haben dies ausführlich besprochen in Der Artikel Übergang von Wurzeln zu Potenzen und zurück Nach dem Kennenlernen des Grades mit rationalem Exponenten wird Grad c eingeführt irrationaler Indikator, was uns erlaubt, über einen Grad mit einem beliebigen reellen Exponenten zu sprechen. In dieser Phase beginnt die Schule mit dem Lernen Exponentialfunktion , die analytisch durch eine Potenz gegeben ist, deren Basis eine Zahl und deren Exponent eine Variable ist. Wir haben es also mit Potenzausdrücken zu tun, die Zahlen in der Basis der Potenz und im Exponenten enthalten – Ausdrücke mit Variablen, und natürlich besteht die Notwendigkeit, Transformationen solcher Ausdrücke durchzuführen.

Es sollte gesagt werden, dass die Transformation von Ausdrücken des angegebenen Typs normalerweise beim Lösen durchgeführt werden muss Exponentialgleichungen Und exponentielle Ungleichheiten , und diese Konvertierungen sind recht einfach. In den allermeisten Fällen basieren sie auf den Eigenschaften des Abschlusses und zielen größtenteils auf die Einführung einer neuen Variable in der Zukunft ab. Die Gleichung wird es uns ermöglichen, sie zu demonstrieren 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Erstens werden Potenzen, in deren Exponenten die Summe einer bestimmten Variablen (oder eines Ausdrucks mit Variablen) und einer Zahl steht, durch Produkte ersetzt. Dies gilt für das erste und letzte Glied des Ausdrucks auf der linken Seite:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Als nächstes werden beide Seiten der Gleichheit durch den Ausdruck 7 2 x dividiert, der auf der ODZ der Variablen x für die ursprüngliche Gleichung nur positive Werte annimmt (dies ist eine Standardtechnik zum Lösen von Gleichungen dieser Art, wir sind es nicht). Wenn wir jetzt darüber sprechen, konzentrieren Sie sich auf die nachfolgenden Transformationen von Ausdrücken mit Potenzen.

Jetzt können wir Brüche mit Potenzen aufheben, was ergibt .

Abschließend wird das Verhältnis von Potenzen mit gleichen Exponenten durch Potenzen von Relationen ersetzt, wodurch die Gleichung entsteht , was gleichwertig ist . Die durchgeführten Transformationen ermöglichen es uns, eine neue Variable einzuführen, die die Lösung auf das Original reduziert Exponentialgleichung um eine quadratische Gleichung zu lösen

I. V. Boykov, L. D. Romanova Aufgabensammlung zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen. Teil 1. Pensa 2003.