جمع وطرح الكسور الجبرية. جمع وطرح الكسور الجبرية تقليل الكسور الجبرية إلى مقام مشترك

سيتناول هذا الدرس الجمع والطرح. الكسور الجبريةمع نفس القواسم. نحن نعرف بالفعل كيفية جمع وطرح الكسور المشتركة ذات المقامات المتشابهة. اتضح أن الكسور الجبرية تتبع نفس القواعد. يعد تعلم كيفية التعامل مع الكسور ذات المقامات المتشابهة أحد الركائز الأساسية لتعلم كيفية التعامل مع الكسور الجبرية. على وجه الخصوص، فإن فهم هذا الموضوع سيجعل من السهل إتقانه أكثر موضوع صعب- جمع وطرح الكسور مع قواسم مختلفة. كجزء من الدرس، سوف ندرس قواعد جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المتشابهة، وكذلك تحليل عدد من الأمثلة النموذجية

قاعدة جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المتشابهة

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) الكسور al-geb-ra-i-che-skih من واحد إلى أنت -mi اعرفني-نا-تي-لا-مي (تتوافق مع القاعدة المشابهة لإيقاعات الطلقات العادية): وذلك لجمع أو حساب كسور الجيب-را-آي-تشي-سكيه بواحد لك. تعرفني على-لا-مي من الضروري -ho-di-mo-تجميع مجموع al-geb-ra-i-che-sum المقابل للأرقام، وإجازة Sign-me-na-tel دون أي شيء.

نحن نفهم هذه القاعدة سواء بالنسبة لمثال ven-draws العادي أو لمثال al-geb-ra-i-che-draws.

أمثلة على تطبيق القاعدة على الكسور العادية

مثال 1. إضافة الكسور: .

حل

فلنجمع عدد الكسور، ونترك الإشارة كما هي. بعد ذلك نقوم بتحليل العدد وتسجيله في مضاعفات وتركيبات بسيطة. لنحصل عليه: .

ملاحظة: خطأ قياسي مسموح به عند حل أنواع مماثلة من الأمثلة، لـ -klu-cha-et-sya في الحل المحتمل التالي: . وهذا خطأ فادح، لأن العلامة تبقى كما كانت في الكسور الأصلية.

مثال 2. إضافة الكسور: .

حل

وهذا لا يختلف بأي حال من الأحوال عن السابق: .

أمثلة على تطبيق قاعدة الكسور الجبرية

من الإيقاعات العادية، ننتقل إلى الجيب-را-آي-تشي-سكيم.

مثال 3. إضافة الكسور: .

الحل: كما ذكرنا أعلاه، فإن تكوين كسور الجيب-را-آي-تشي لا يختلف بأي حال من الأحوال عن الكلمة نفسها مثل معارك إطلاق النار المعتادة. وبالتالي فإن طريقة الحل هي نفسها: .

مثال 4. أنت الكسر: .

حل

You-chi-ta-nie من كسور الجيب-ra-i-che-skih من الإضافة فقط من خلال حقيقة أنه في عدد pi-sy-va-et-sya الفرق في عدد الكسور المستخدمة. لهذا .

مثال 5. أنت الكسر: .

حل: .

مثال 6. تبسيط: .

حل: .

أمثلة على تطبيق القاعدة تليها التخفيض

في الكسر الذي له نفس المعنى في نتيجة التركيب أو الحساب، تكون التركيبات ممكنة نيا. بالإضافة إلى ذلك، يجب ألا تنسى كسور ODZ Al-geb-ra-i-che-skih.

مثال 7. تبسيط: .

حل: .

حيث . بشكل عام، إذا تزامن ODZ للكسور الأولية مع ODZ للمجموع، فيمكن حذفه (بعد كل شيء، الكسر الموجود في الإجابة، لن يكون موجودًا أيضًا مع التغييرات المهمة المقابلة). ولكن إذا كانت ODZ للكسور المستخدمة والإجابة غير متطابقة، فيجب الإشارة إلى ODZ.

مثال 8. تبسيط: .

حل: . في الوقت نفسه، y (لا يتطابق ODZ للكسور الأولية مع ODZ للنتيجة).

جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة

لإضافة وقراءة كسور الجيب-را-آي-تشي مع طرق مختلفة لتعرفني على-لا-مي، نقوم بعمل ana-lo -giyu مع كسور فين-ني العادية ونقلها إلى الجيب -ra-i-che-الكسور.

دعونا نلقي نظرة على أبسط مثال للكسور العادية.

مثال 1.إضافة الكسور: .

حل:

دعونا نتذكر قواعد إضافة الكسور. لتبدأ بكسر، من الضروري إحضاره إلى علامة مشتركة. أنت تتصرف كعلامة عامة للكسور العادية أقل مضاعف مشترك(NOK) العلامات الأولية.

تعريف

أصغر رقم مقسم في نفس الوقت إلى أرقام و.

للعثور على شهادة عدم الممانعة (NOC)، تحتاج إلى تقسيم المعرفة إلى مجموعات بسيطة، ثم تحديد كل شيء هناك الكثير، والذي تم تضمينه في قسم كلتا العلامتين.

; . ثم يجب أن يتضمن المضاعف المشترك الأصغر للأرقام رقمين اثنين وثلاثتين: .

بعد العثور على المعرفة العامة، من الضروري أن يجد كل كسر مقيم التعدد الكامل (في الواقع، صب العلامة المشتركة على علامة الكسر المقابل).

ثم يتم ضرب كل كسر بعامل النصف الكامل. لنأخذ بعض الكسور من نفس الكسور التي تعرفها ونجمعها ونقرأها - درستها في الدروس السابقة.

دعونا نأكل: .

إجابة:.

دعونا الآن نلقي نظرة على تكوين كسور الجيب رع بعلامات مختلفة. والآن لنلق نظرة على الكسور ونرى ما إذا كانت هناك أي أرقام.

جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المختلفة

مثال 2.إضافة الكسور: .

حل:

Al-go-إيقاع القرار ab-so-lyut-but ana-lo-gi-chen للمثال السابق. من السهل أخذ الإشارة المشتركة للكسور المعطاة: ومضاعفات إضافية لكل منها.

إجابة:.

لذلك، دعونا نشكل إيقاع الجمع وحساب كسور الجيب-را-تشي-سكيه بعلامات مختلفة:

1. أوجد أصغر علامة مشتركة للكسر.

2. ابحث عن مضاعفات إضافية لكل كسر (في الواقع، يتم إعطاء العلامة المشتركة للعلامة -الكسر).

3. ما يصل إلى أرقام متعددة على التعددية المقابلة حتى الكاملة.

4. قم بإضافة أو حساب الكسور باستخدام قواعد تركيب وحساب الكسور التي لها نفس المعرفة -me-na-te-la-mi.

الآن دعونا نلقي نظرة على مثال للكسور التي توجد في علامتها الحروف -nia.

بصراحة، هذه هي الصيغ التي يجب على أي طالب في الصف السابع أن يتذكرها. دراسة الجبر حتى في مستوى المدرسةومن المستحيل ببساطة عدم معرفة صيغة الفرق بين المربعات، أو مربع المجموع على سبيل المثال. وهي تظهر طوال الوقت عند تبسيط التعبيرات الجبرية، وتبسيط الكسور، ويمكن أن تساعد حتى في العمليات الحسابية. حسنًا، على سبيل المثال، عليك أن تحسب في رأسك: 3.16 2 - 2 3.16 1.16 + 1.16 2. إذا بدأت في حسابها بشكل مباشر، فسوف تصبح طويلة ومملة، ولكن إذا استخدمت صيغة الفرق المربعة، فستحصل على الإجابة في ثانيتين!

إذن، سبع صيغ للجبر "المدرسي" يجب أن يعرفها الجميع:

اسم	معادلة
مربع المبلغ	(أ + ب) 2 = أ 2 + 2 أ ب + ب 2
الفرق التربيعي	(أ - ب) 2 = أ 2 - 2أ ب + ب 2
فرق المربعات	(أ - ب) (أ + ب) = أ 2 - ب 2
مكعب المبلغ	(أ + ب) 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 + ب 3
مكعب الفرق	(أ - ب) 3 = أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 - ب 3
مجموع المكعبات	أ 3 + ب 3 = (أ + ب)(أ 2 - أ ب + ب 2)
اختلاف المكعبات	أ 3 - ب 3 = (أ - ب)(أ 2 + أ ب + ب 2)

يرجى ملاحظة: لا توجد صيغة لمجموع المربعات! لا تدع خيالك يذهب بعيدا جدا.

ما هي أسهل طريقة لتذكر كل هذه الصيغ؟ حسنا، دعنا نقول، انظر بعض القياسات. على سبيل المثال، صيغة المجموع التربيعي مشابهة لصيغة الفرق التربيعي (الفرق موجود فقط في علامة واحدة)، وصيغة مكعب المجموع مشابهة لصيغة مكعب الفرق. علاوة على ذلك، في صيغ الفرق بين المكعبات ومجموع المكعبات، نرى شيئًا مشابهًا لمربع المجموع ومربع الفرق (فقط المعامل 2 مفقود).

ولكن من الأفضل تذكر هذه الصيغ (مثل أي صيغ أخرى!) في الممارسة العملية. قم بحل المزيد من الأمثلة على تبسيط التعبيرات الجبرية، وسيتم تذكر جميع الصيغ من تلقاء نفسها.

من المحتمل أن يهتم الطلاب الفضوليون بتلخيص الحقائق المقدمة. على سبيل المثال، هناك صيغ لمربع ومكعب المجموع. ماذا لو أخذنا في الاعتبار تعبيرات مثل (A + B) 4، (A + B) 5 وحتى (A + B) n، حيث n عدد طبيعي اعتباطي؟ هل من الممكن رؤية أي نمط هنا؟

نعم، مثل هذا النمط موجود. يُسمى التعبير ذو الصيغة (A + B) n ذات الحدين لنيوتن. أوصي بأن يستنتج تلاميذ المدارس الفضوليون الصيغ (أ + ب) 4 و (أ + ب) 5 بأنفسهم، ثم يحاولون رؤية القانون العام: قارنوا، على سبيل المثال، درجة ذات الحدين المقابلة ودرجة كل من المصطلحات التي يتم الحصول عليها عن طريق فتح الأقواس؛ مقارنة درجة ذات الحدين مع عدد المصطلحات؛ حاول العثور على أنماط في المعاملات. لن نتعمق في هذا الموضوع الآن (وهذا يتطلب محادثة منفصلة!)، لكننا سنكتب النتيجة النهائية فقط:

(أ + ب) ن = أ ن + ج ن 1 أ ن-1 ب + ج ن 2 أ ن-2 ب 2 + ... + ج ن ك أ ن-ك ب ك + ... + ب ن .

هنا C n k = n!/(k! (n-k)!).

أذكرك أن ن! - هذا 1 2 ... ن - منتج الكل الأعداد الطبيعيةمن 1 إلى ن. ويسمى هذا التعبير مضروب ن. على سبيل المثال، 4! = 1 2 3 4 = 24. مضروب الصفر يعتبر واحدًا!

ماذا يمكن أن يقال عن الفرق بين المربعات، والفرق بين المكعبات، وما إلى ذلك؟ هل هناك أي نمط هنا؟ هل من الممكن إحضار صيغة عامةل ن - ب ن ؟

نعم يمكنك ذلك. هنا هي الصيغة:

أ ن - ب ن = (أ - ب)(أ ن-1 + أ ن-2 ب + أ ن-3 ب 2 + ... + ب ن-1).

علاوة على ذلك، ل غريبدرجات n هناك صيغة مماثلة للمجموع:

أ ن + ب ن = (أ + ب)(أ ن-1 - أ ن-2 ب + أ ن-3 ب 2 - ... + ب ن-1).

لن نستنتج هذه الصيغ الآن (بالمناسبة، فهي ليست صعبة للغاية)، ولكن معرفة وجودها مفيد بالتأكيد.

الكسور العادية.

إضافة الكسور الجبرية

يتذكر!

يمكنك فقط إضافة الكسور التي لها نفس المقامات!

لا يمكنك إضافة كسور بدون تحويلات

يمكنك إضافة الكسور

عند جمع كسور جبرية ذات مقامات متشابهة:

يضاف بسط الكسر الأول إلى بسط الكسر الثاني؛
يبقى القاسم كما هو.

دعونا نلقي نظرة على مثال لإضافة الكسور الجبرية.

بما أن مقام الكسرين هو "2a"، فهذا يعني أنه يمكن جمع الكسرين.

لنجمع بسط الكسر الأول مع بسط الكسر الثاني، ونترك المقام كما هو. عند إضافة الكسور في البسط الناتج، فإننا نقدم كسورًا مماثلة.

طرح الكسور الجبرية

عند طرح الكسور الجبرية ذات المقامات المتشابهة:

يتم طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول.
يبقى القاسم كما هو.

مهم!

تأكد من تضمين بسط الكسر الذي تطرحه بالكامل بين قوسين.

وإلا فسوف ترتكب خطأً في العلامات عند فتح قوسي الكسر الذي تطرحه.

دعونا نلقي نظرة على مثال لطرح الكسور الجبرية.

بما أن كلا الكسرين الجبرين لهما مقام "2c"، فهذا يعني أنه يمكن طرح هذين الكسرين.

اطرح بسط الكسر الثاني "(a - b)" من بسط الكسر الأول "(a + d)". لا تنس أن تضع بسط الكسر الذي تطرحه بين قوسين. عند فتح القوسين، نستخدم قاعدة فتح القوسين.

اختزال الكسور الجبرية إلى قاسم مشترك

دعونا ننظر إلى مثال آخر. تحتاج إلى إضافة كسور جبرية.

لا يمكن جمع الكسور بهذه الصورة لأن مقاماتها مختلفة.

قبل إضافة الكسور الجبرية، يجب أن تكون كذلك جلب إلى قاسم مشترك.

قواعد اختزال الكسور الجبرية إلى مقام مشترك تشبه إلى حد كبير قواعد اختزال الكسور العادية إلى مقام مشترك. .

ونتيجة لذلك، يجب أن نحصل على كثيرة الحدود التي سيتم تقسيمها دون باقي على كل من المقامات السابقة للكسور.

ل اختزال الكسور الجبرية إلى قاسم مشتركعليك القيام بما يلي.

نحن نعمل مع المعاملات العددية. نحدد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لجميع المعاملات العددية.
نحن نعمل مع كثيرات الحدود. نحن نحدد جميع كثيرات الحدود المختلفة في القوى العظمى.
سيكون ناتج المعامل العددي وجميع كثيرات الحدود المختلفة في القوى الكبرى هو القاسم المشترك.
حدد ما تحتاجه لضرب كل كسر جبري للحصول على مقام مشترك.

دعنا نعود إلى مثالنا.

خذ المقامين "15أ" و"3" لكلا الكسرين وابحث عن قاسم مشترك لهما.

نحن نعمل مع المعاملات العددية. أوجد المضاعف المشترك الأصغر (المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم الذي يقبل القسمة على كل معامل عددي بدون باقي). بالنسبة لـ "15" و"3" يكون "15".
نحن نعمل مع كثيرات الحدود. من الضروري سرد جميع كثيرات الحدود في القوى العظمى. في القواسم "15a" و "5" هناك فقط
أحادي الحد - "أ".
دعونا نضرب المضاعف المشترك الأصغر من الخطوة 1 "15" وأحادية الحد "أ" من الخطوة 2. نحصل على "15 أ". وسيكون هذا هو القاسم المشترك.
لكل كسر، نسأل أنفسنا السؤال: "ما الذي يجب أن نضرب فيه مقام هذا الكسر للحصول على "15a"؟"

دعونا ننظر إلى الكسر الأول. يحتوي هذا الكسر بالفعل على مقام "15a"، مما يعني أنه لا يحتاج إلى ضربه بأي شيء.

دعونا ننظر إلى الكسر الثاني. دعونا نطرح السؤال: "ما الذي تحتاجه لضرب "3" للحصول على "15a"؟" الجواب هو "5أ".

عند اختزال كسر إلى مقام مشترك، اضرب بـ "5a" كل من البسط والمقام.

يمكن كتابة تدوين مختصر لتقليل الكسر الجبري إلى قاسم مشترك باستخدام "المنازل".

للقيام بذلك، ضع القاسم المشترك في الاعتبار. فوق كل كسر في الأعلى "في المنزل" نكتب ما نضرب به كل كسر.

الآن تلك الكسور نفس القواسم، يمكن إضافة الكسور.

دعونا نلقي نظرة على مثال لطرح الكسور ذات المقامات المختلفة.

خذ في الاعتبار المقامين "(x − y)" و"(x + y)" لكلا الكسرين وأوجد القاسم المشترك لهما.

لدينا اثنان كثيرات الحدود المختلفةفي المقامين "(x - y)" و"(x + y)". سيكون منتجهم هو القاسم المشترك، أي. "(x - y)(x + y)" هو القاسم المشترك.

جمع وطرح الكسور الجبرية باستخدام صيغ الضرب المختصرة

في بعض الأمثلة، يجب استخدام صيغ الضرب المختصرة لتقليل الكسور الجبرية إلى مقام مشترك.

دعونا نلقي نظرة على مثال لإضافة كسور جبرية، حيث سنحتاج إلى استخدام صيغة فرق المربعات.

في الكسر الجبري الأول المقام هو "(ع ٢ − ٣٦)". من الواضح أنه يمكن تطبيق صيغة الفرق بين المربعات عليها.

بعد تحلل كثير الحدود "(ص 2 - 36)" إلى حاصل ضرب كثيرات الحدود
"(p + 6)(p − 6)" من الواضح أن كثيرة الحدود "(p + 6)" تتكرر في الكسور. وهذا يعني أن القاسم المشترك للكسور سيكون حاصل ضرب كثيرات الحدود "(p + 6)(p − 6)".

غالبًا ما يتم استخدام صيغ التعبير المختصرة عمليًا، لذا يُنصح بحفظها جميعًا عن ظهر قلب. حتى هذه اللحظة، سوف يخدمنا بأمانة، وهو ما نوصي بطباعته وحفظه أمام أعينكم في جميع الأوقات:

تتيح لك الصيغ الأربع الأولى من الجدول المترجم لصيغ الضرب المختصرة تربيع وتجميع مجموع أو الفرق بين تعبيرين. أما الخامس فهو مخصص لضرب الفرق ومجموع التعبيرين لفترة وجيزة. وتستخدم الصيغتان السادسة والسابعة لضرب مجموع تعبيرين a وb في مربع الفرق غير المكتمل (هذا ما يسمى تعبير بالشكل a 2 −a b+b 2) والفرق بين اثنين التعبيران a و b بالمربع غير المكتمل لمجموعهما (a 2 + a·b+b 2 ) على التوالي.

تجدر الإشارة بشكل منفصل إلى أن كل مساواة في الجدول هي هوية. وهذا ما يفسر سبب تسمية صيغ الضرب المختصرة أيضًا بمعرفات الضرب المختصرة.

عند حل الأمثلة، خاصة التي يتم فيها تحليل كثير الحدود، غالبًا ما يتم استخدام FSU في النموذج مع تبديل الجانبين الأيسر والأيمن:

الهويات الثلاثة الأخيرة في الجدول لها أسماء خاصة بها. تسمى الصيغة a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b). اختلاف صيغة المربعات, أ 3 +ب 3 =(أ+ب)·(أ 2 −أ·ب+ب 2) - صيغة مجموع المكعبات، أ أ 3 −ب 3 =(أ−ب)·(أ 2 +أ·ب+ب 2) - اختلاف صيغة المكعبات. يرجى ملاحظة أننا لم نقم بتسمية الصيغ المقابلة بأجزاء مُعاد ترتيبها من الجدول السابق.

صيغ إضافية

لن يضر إضافة المزيد من الهويات إلى جدول صيغ الضرب المختصرة.

مجالات تطبيق صيغ الضرب المختصرة (FSU) والأمثلة عليها

يتم شرح الغرض الرئيسي من صيغ الضرب المختصرة (fsu) باسمها، أي أنها تتكون من تعبيرات مضاعفة لفترة وجيزة. ومع ذلك، فإن نطاق تطبيق FSU أوسع بكثير، ولا يقتصر على الضرب القصير. دعونا قائمة الاتجاهات الرئيسية.

مما لا شك فيه، تم العثور على التطبيق المركزي لصيغة الضرب المختصرة في إجراء تحويلات متطابقة للتعبيرات. في أغلب الأحيان يتم استخدام هذه الصيغ في هذه العملية تبسيط التعبيرات.

مثال.

بسّط التعبير 9·y−(1+3·y) 2 .

حل.

في هذا التعبيرالتربيع يمكن أن يتم باختصار، لدينا 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). كل ما تبقى هو فتح الأقواس وإحضار مصطلحات مماثلة: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.

في هذه المقالة سوف ننظر العمليات الأساسية مع الكسور الجبرية:

تقليل الكسور
ضرب الكسور
تقسيم الكسور

دعنا نبدء ب تخفيض الكسور الجبرية.

يبدو انه، خوارزميةبديهي.

ل تقليل الكسور الجبرية، بحاجة ل

1. قم بتحليل بسط ومقام الكسر.

2. تقليل العوامل المتساوية.

ومع ذلك، غالبا ما يرتكب تلاميذ المدارس خطأ "الحد" ليس من العوامل، ولكن من حيث المصطلحات. على سبيل المثال، هناك هواة "يقللون" الكسور ويحصلون عليها نتيجة لذلك، وهذا بالطبع غير صحيح.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:

1. تقليل الكسر:

1. دعونا نحلل البسط باستخدام صيغة مربع المجموع، والمقام باستخدام صيغة الفرق بين المربعين

2. قسمة البسط والمقام على

2. تقليل الكسر:

1. دعونا نحلل البسط. بما أن البسط يحتوي على أربعة حدود، فإننا نستخدم التجميع.

2. دعونا نحلل المقام. يمكننا أيضًا استخدام التجميع.

3. دعونا نكتب الكسر الذي حصلنا عليه ونطرح نفس العوامل:

ضرب الكسور الجبرية.

عند ضرب الكسور الجبرية، نضرب البسط في البسط، ونضرب المقام في المقام.

مهم!ليست هناك حاجة للاستعجال في ضرب بسط الكسر ومقامه. بعد أن كتبنا حاصل ضرب بسطي الكسور في البسط، وحاصل ضرب المقامات في المقام، علينا تحليل كل عامل وتقليل الكسر.