كل ما سبق في الفقرات السابقة يسمح لنا بصياغة القواعد الأساسية لتكامل الكسور النسبية.

1. إذا كان الكسر العقلاني غير صحيح، فسيتم تمثيله كمجموع كثير الحدود وكسر كسري مناسب (انظر الفقرة 2).

يؤدي هذا إلى تقليل تكامل الكسر المنطقي غير الحقيقي إلى تكامل كثير الحدود والكسر المنطقي الصحيح.

2. قم بتحليل مقام الكسر المناسب.

3. يتم تحليل الكسر المنطقي المناسب إلى مجموع الكسور البسيطة. وهذا يقلل من تكامل الكسر الصحيح إلى تكامل الكسور البسيطة.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

مثال 1. ابحث عن .

حل. يوجد أسفل التكامل كسر نسبي غير حقيقي. اختيار الجزء كله، نحصل عليه

لذلك،

مع ملاحظة ذلك، دعونا نوسع الكسر العقلاني المناسب

إلى الكسور البسيطة:

(انظر الصيغة (18)). لهذا

وهكذا، لدينا أخيرا

مثال 2. البحث

حل. يوجد أسفل التكامل كسر منطقي مناسب.

بتوسيعها إلى كسور بسيطة (انظر الصيغة (16)) نحصل عليها

كما أشرت سابقًا، في حساب التفاضل والتكامل لا توجد صيغة مناسبة لتكامل الكسر. وبالتالي، هناك اتجاه محزن: كلما كان الكسر أكثر تعقيدًا، كلما زادت صعوبة العثور على تكامله. وفي هذا الصدد عليك اللجوء إلى الحيل المختلفة التي سأخبرك بها الآن. يمكن للقراء المستعدين الاستفادة منها على الفور جدول المحتويات:

• طريقة تضمين العلامة التفاضلية للكسور البسيطة

طريقة تحويل البسط الاصطناعي

مثال 1

بالمناسبة، يمكن أيضًا حل التكامل المدروس عن طريق تغيير الطريقة المتغيرة، للدلالة على ذلك، لكن كتابة الحل ستكون أطول بكثير.

مثال 2

أوجد التكامل غير المحدد. إجراء فحص.

هذا مثال لك لحله بنفسك. تجدر الإشارة إلى أن طريقة الاستبدال المتغير لن تعمل هنا بعد الآن.

انتبه، مهم! الأمثلة رقم 1، 2 نموذجية وتحدث بشكل متكرر. على وجه الخصوص، غالبا ما تنشأ مثل هذه التكاملات أثناء حل التكاملات الأخرى، على وجه الخصوص، عند دمج الوظائف غير المنطقية (الجذور).

التقنية المدروسة تعمل أيضًا في هذه الحالة إذا كانت أعلى درجة للبسط أكبر من أعلى درجة للمقام.

مثال 3

أوجد التكامل غير المحدد. إجراء فحص.

نبدأ في تحديد البسط.

خوارزمية اختيار البسط هي كالتالي:

1) في البسط أحتاج إلى التنظيم، ولكن هناك. ما يجب القيام به؟ أضعها بين قوسين وأضربها بـ: .

2) الآن أحاول فتح هذه الأقواس، ماذا يحدث؟ . حسنًا... هذا أفضل، لكن لا يوجد اثنان في البسط في البداية. ما يجب القيام به؟ تحتاج إلى الضرب بـ:

3) أفتح الأقواس مرة أخرى : . وهنا النجاح الأول! اتضح الحق تماما! لكن المشكلة تكمن في ظهور فترة إضافية. ما يجب القيام به؟ ولمنع التعبير من التغيير، يجب أن أضيف نفس الشيء إلى بنائي:
. أصبحت الحياة أسهل. هل من الممكن التنظيم مرة أخرى في البسط؟

4) من الممكن. دعونا نحاول: . افتح قوسي الفصل الثاني:
. آسف، ولكن في الخطوة السابقة كان لدي بالفعل، لا . ما يجب القيام به؟ تحتاج إلى ضرب الحد الثاني بـ:

5) مرة أخرى، للتحقق، أفتح الأقواس في الفصل الثاني:
. الآن أصبح الأمر طبيعيًا: مشتق من البناء النهائي للنقطة 3! ولكن مرة أخرى، هناك "لكن" صغيرة، وقد ظهر مصطلح إضافي، مما يعني أنه يجب أن أضيف إلى تعبيري:

إذا تم كل شيء بشكل صحيح، فعندما نفتح جميع الأقواس، يجب أن نحصل على البسط الأصلي للتكامل. نحن نفحص:
كَبُّوت.

هكذا:

مستعد. في الفصل الأخير، استخدمت طريقة إدراج دالة تحت التفاضل.

إذا وجدنا مشتق الجواب واختصرنا التعبير إلى القاسم المشترك، ثم نحصل بالضبط على وظيفة التكامل الأصلية. إن الطريقة المدروسة للتحليل إلى مجموع ليست أكثر من إجراء عكسي لجلب التعبير إلى قاسم مشترك.

خوارزمية لاختيار البسط في أمثلة مماثلةمن الأفضل أن تفعل ذلك في شكل مسودة. مع بعض المهارات سوف تعمل عقليا. أتذكر حالة حطمت الرقم القياسي عندما كنت أقوم باختيار القوة الحادية عشرة، واحتل توسيع البسط سطرين تقريبًا من اللون الأخضر.

مثال 4

أوجد التكامل غير المحدد. إجراء فحص.

هذا مثال لك لحله بنفسك.

طريقة تضمين العلامة التفاضلية للكسور البسيطة

دعنا ننتقل إلى النظر في النوع التالي من الكسور.
، ،، (معاملات ولا تساوي الصفر).

في الواقع، تم بالفعل ذكر حالتين مع arcsine وarctangent في الدرس طريقة التغيير المتغير في التكامل غير المحدد. يتم حل هذه الأمثلة عن طريق إدراج الدالة تحت العلامة التفاضلية ومواصلة التكامل باستخدام الجدول. فيما يلي المزيد من الأمثلة النموذجية ذات اللوغاريتمات الطويلة والعالية:

مثال 5

مثال 6

يُنصح هنا بالتقاط جدول التكاملات ومعرفة الصيغ و كيفيحدث التحول. ملحوظة، كيف ولماذاتم تسليط الضوء على المربعات في هذه الأمثلة. على وجه الخصوص، في المثال 6 نحتاج أولاً إلى تمثيل المقام في النموذج ، ثم ضعه تحت علامة التفاضل. وكل هذا يجب القيام به من أجل استخدام الصيغة الجدولية القياسية .

لماذا تنظر، حاول حل الأمثلة رقم 7، 8 بنفسك، خاصة أنها قصيرة جدًا:

مثال 7

مثال 8

أوجد التكامل غير المحدد:

إذا تمكنت أيضًا من التحقق من هذه الأمثلة، فهذا يعني احترامًا كبيرًا - فمهاراتك التمايزية ممتازة.

طريقة اختيار المربع الكامل

تكاملات النموذج (المعاملات ولا تساوي الصفر) يتم حلها طريقة استخراج المربع الكاملوالتي ظهرت بالفعل في الدرس التحولات الهندسية للرسوم البيانية.

في الواقع، يمكن اختزال هذه التكاملات إلى إحدى التكاملات الجدولية الأربعة التي تناولناها للتو. ويتم تحقيق ذلك باستخدام صيغ الضرب المختصرة المألوفة:

يتم تطبيق الصيغ بدقة في هذا الاتجاه، أي أن فكرة الطريقة هي تنظيم التعبيرات بشكل مصطنع إما في المقام، ثم تحويلها وفقًا لذلك إلى أي منهما.

مثال 9

أوجد التكامل غير المحدد

هذا أبسط مثال، بحيث مع مصطلح - معامل الوحدة(وليس رقمًا ما أو ناقصًا).

دعونا نلقي نظرة على القاسم، فمن الواضح أن الأمر برمته يعود إلى الصدفة. لنبدأ في تحويل المقام:

من الواضح أنك بحاجة إلى إضافة 4. وحتى لا يتغير التعبير، اطرح نفس الأربعة:

الآن يمكنك تطبيق الصيغة:

بعد الانتهاء من التحويل دائماًيُنصح بإجراء الحركة العكسية: كل شيء على ما يرام، ولا توجد أخطاء.

يجب أن يبدو التصميم النهائي للمثال المعني كما يلي:

مستعد. تلخيص "الهدية الترويجية" وظيفة معقدةتحت العلامة التفاضلية: من حيث المبدأ، يمكن إهمالها

مثال 10

أوجد التكامل غير المحدد:

هذا مثال عليك حله بنفسك، الجواب في نهاية الدرس

مثال 11

أوجد التكامل غير المحدد:

ماذا تفعل عندما يكون هناك ناقص في الأمام؟ في هذه الحالة، علينا إخراج الطرح من الأقواس وترتيب الحدود بالترتيب الذي نريده: . ثابت("اثنين" في هذه الحالة) لا تلمس!

والآن نضيف واحدًا بين قوسين. وبتحليل التعبير، توصلنا إلى استنتاج مفاده أننا بحاجة إلى إضافة واحد خارج الأقواس:

هنا نحصل على الصيغة، نطبق:

دائماًنتحقق من المسودة:
، وهو ما يجب التحقق منه.

المثال النظيف يبدو كالتالي:

جعل المهمة أكثر صعوبة

مثال 12

أوجد التكامل غير المحدد:

هنا لم يعد المصطلح معامل وحدة، بل "خمسة".

(١) إذا كان هناك ثابت عند، فإننا نخرجه من القوسين على الفور.

(2) بشكل عام، من الأفضل دائمًا نقل هذا الثابت خارج التكامل حتى لا يعيق الطريق.

(٣) من الواضح أن كل شيء سيأتي إلى الصيغة. نحن بحاجة إلى فهم المصطلح، أي الحصول على "الاثنين"

(٤) نعم. هذا يعني أننا نضيف إلى التعبير ونطرح نفس الكسر.

(5) الآن نختار مربع ممتاز. في الحالة العامةنحتاج أيضًا إلى الحساب، لكن لدينا هنا صيغة اللوغاريتم الطويل ولا فائدة من القيام بهذا الإجراء، لماذا سيتضح أدناه.

(6) في الواقع، يمكننا تطبيق الصيغة ، فقط بدلاً من "X" لدينا، وهو ما لا ينفي صحة تكامل الجدول. بالمعنى الدقيق للكلمة، تم تفويت خطوة واحدة - قبل التكامل، كان ينبغي إدراج الدالة تحت العلامة التفاضلية: ولكن، كما أشرت مراراً وتكراراً، غالباً ما يتم إهمال هذا الأمر.

(7) في الجواب تحت الجذر، ينصح بتوسيع جميع الأقواس إلى الخلف:

صعب؟ هذا ليس الجزء الأكثر صعوبة في حساب التكامل. على الرغم من أن الأمثلة قيد النظر ليست معقدة إلى حد كبير لأنها تتطلب تقنيات حاسوبية جيدة.

مثال 13

أوجد التكامل غير المحدد:

هذا مثال لك لحله بنفسك. الجواب في نهاية الدرس .

هناك تكاملات ذات جذور في المقام، والتي، باستخدام الاستبدال، يتم اختزالها إلى تكاملات من النوع المعني؛ يمكنك أن تقرأ عنها في المقالة التكاملات المعقدة، ولكنه مصمم للطلاب المستعدين للغاية.

إدراج البسط تحت علامة التفاضل

هذا هو الجزء الأخير من الدرس، لكن التكاملات من هذا النوع شائعة جدًا! إذا كنت متعبا، ربما من الأفضل أن تقرأ غدا؟ ;)

التكاملات التي سننظر فيها تشبه تكاملات الفقرة السابقة ولها الشكل: أو (المعاملات، ولا تساوي الصفر).

وهذا يعني أن لدينا في البسط دالة خطية. كيفية حل هذه التكاملات؟

تعتمد المادة المقدمة في هذا الموضوع على المعلومات المقدمة في موضوع "الكسور المنطقية. تحليل الكسور المنطقية إلى كسور أولية (بسيطة)". أوصي بشدة بتصفح هذا الموضوع على الأقل قبل الانتقال إلى القراءة. من هذه المادة. بالإضافة إلى ذلك، سنحتاج إلى جدول التكاملات غير المحددة.

اسمحوا لي أن أذكركم ببعض المصطلحات. لقد تمت مناقشتها في الموضوع المقابل، لذلك سأقتصر هنا على صياغة موجزة.

النسبة بين كثيرتي الحدود $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ تسمى دالة عقلانية أو كسر عقلاني. يسمى الكسر العقلاني صحيح، إذا $ن< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется خطأ.

تسمى الكسور الأولية (الأبسط) بالكسور العقلانية الكسور العقلانيةأربعة أنواع:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

ملاحظة (يُفضل الحصول على فهم أكثر اكتمالاً للنص): إظهار/إخفاء

لماذا هناك حاجة إلى الشرط $p^2-4q؟< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим معادلة من الدرجة الثانية$x^2+px+q=0$. مميز هذه المعادلة هو $D=p^2-4q$. في الأساس، الشرط $p^2-4q< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

على سبيل المثال، بالنسبة للتعبير $x^2+5x+10$ نحصل على: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. منذ $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

بالمناسبة، لإجراء هذا التحقق، ليس من الضروري على الإطلاق أن يكون المعامل قبل $x^2$ مساويًا لـ 1. على سبيل المثال، بالنسبة إلى $5x^2+7x-3=0$ نحصل على: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109 دولارات. بما أن $D > 0$، فإن التعبير $5x^2+7x-3$ قابل للتحليل.

يمكن العثور على أمثلة للكسور المنطقية (الصحيحة وغير الصحيحة)، بالإضافة إلى أمثلة لتحليل الكسر العقلاني إلى أجزاء أولية. هنا سنهتم فقط بمسائل تكاملهم. لنبدأ بتكامل الكسور الأولية. لذلك، من السهل دمج كل نوع من الأنواع الأربعة للكسور الأولية المذكورة أعلاه باستخدام الصيغ أدناه. اسمحوا لي أن أذكرك أنه عند تكامل الكسور من النوعين (2) و (4)، يتم افتراض $n=2,3,4,\ldots$. تتطلب الصيغتان (3) و (4) استيفاء الشرط $p^2-4q< 0$.

\begin(معادلة) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ فارك (2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(معادلة)

بالنسبة إلى $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$، يتم إجراء الاستبدال $t=x+\frac(p)(2)$، وبعد ذلك يكون الفاصل الزمني الناتج هو وتنقسم الى مجموعتين. سيتم حساب الأول عن طريق الإدخال تحت العلامة التفاضلية، والثاني سيكون له النموذج $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. يتم أخذ هذا التكامل باستخدام علاقة التكرار

\begin(المعادلة) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end(معادلة)

تمت مناقشة حساب هذا التكامل في المثال رقم 7 (انظر الجزء الثالث).

مخطط لحساب تكاملات الوظائف العقلانية (الكسور المنطقية):

1. إذا كان التكامل أوليًا، فقم بتطبيق الصيغ (1)-(4).
2. إذا لم يكن التكامل أوليًا، فقم بتمثيله كمجموع كسور أولية، ثم قم بالتكامل باستخدام الصيغ (1)-(4).

تتمتع الخوارزمية المذكورة أعلاه لدمج الكسور المنطقية بميزة لا يمكن إنكارها - فهي عالمية. أولئك. باستخدام هذه الخوارزمية يمكنك التكامل أيجزء عقلاني. هذا هو السبب في أن جميع تغييرات المتغيرات تقريبًا في التكامل غير المحدد (أويلر، تشيبيشيف، الاستبدال المثلثي العالمي) تتم بطريقة نحصل بعد هذا التغيير على جزء عقلاني تحت الفاصل الزمني. ثم قم بتطبيق الخوارزمية عليها. سنقوم بتحليل التطبيق المباشر لهذه الخوارزمية باستخدام الأمثلة، بعد تقديم ملاحظة صغيرة.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

من حيث المبدأ، من السهل الحصول على هذا التكامل دون التطبيق الميكانيكي للصيغة. إذا أخذنا الثابت $7$ من علامة التكامل وأخذنا في الاعتبار $dx=d(x+9)$، فسنحصل على:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

للحصول على معلومات مفصلة، ​​أوصي بالنظر إلى الموضوع. ويشرح بالتفصيل كيفية حل هذه التكاملات. وبالمناسبة، يتم إثبات الصيغة بنفس التحويلات التي تم تطبيقها في هذه الفقرة عند حلها "يدويا".

2) مرة أخرى، هناك طريقتان: استخدام التركيبة الجاهزة أو الاستغناء عنها. إذا قمت بتطبيق الصيغة، فيجب أن تأخذ في الاعتبار أنه يجب إزالة المعامل الموجود أمام $x$ (الرقم 4). للقيام بذلك، دعونا ببساطة نخرج هذه الأربعة من الأقواس:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\يسار (x+\frac(19)(4)\يمين)^8). $$

الآن حان الوقت لتطبيق الصيغة:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \يمين)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \يمين)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \يمين )^7)+ج. $$

يمكنك الاستغناء عن استخدام الصيغة. وحتى بدون إخراج مبلغ 4$ الثابت من بين قوسين. إذا أخذنا في الاعتبار $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$، فسنحصل على:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ فارك(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7) )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

توجد شرح تفصيلي لإيجاد مثل هذه التكاملات في موضوع "التكامل بالتعويض (التعويض تحت العلامة التفاضلية)".

3) نحتاج إلى تكامل الكسر $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. يحتوي هذا الكسر على البنية $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$، حيث $M=4$، $N=7$، $p=10$، $q=34$. ومع ذلك، للتأكد من أن هذا هو بالفعل كسر أولي من النوع الثالث، فأنت بحاجة إلى التحقق من استيفاء الشرط $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot) 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x) +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

دعونا نحل نفس المثال، ولكن دون استخدام صيغة جاهزة. دعونا نحاول عزل مشتقة المقام في البسط. ماذا يعني هذا؟ نحن نعلم أن $(x^2+10x+34)"=2x+10$. إنه التعبير $2x+10$ الذي يتعين علينا عزله في البسط. حتى الآن يحتوي البسط على $4x+7$ فقط، ولكن هذا لن يدوم طويلا، فلنطبق التحويل التالي على البسط:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

الآن يظهر التعبير المطلوب $2x+10$ في البسط. ويمكن إعادة كتابة التكامل الخاص بنا على النحو التالي:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

دعونا نقسم التكامل إلى قسمين. حسنًا ، وبناءً على ذلك ، فإن التكامل نفسه "منقسم" أيضًا:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \يمين)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

دعونا نتحدث أولا عن التكامل الأول، أي. حول $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. بما أن $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$، فإن بسط التكامل يحتوي على تفاضل المقام. باختصار، بدلاً من ذلك من التعبير $( 2x+10)dx$ نكتب $d(x^2+10x+34)$.

الآن دعنا نقول بضع كلمات عن التكامل الثاني. لنختار مربعًا كاملاً في المقام: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. بالإضافة إلى ذلك، نأخذ في الاعتبار $dx=d(x+5)$. الآن يمكن إعادة كتابة مجموع التكاملات التي حصلنا عليها سابقًا بشكل مختلف قليلاً:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

إذا أجرينا الاستبدال $u=x^2+10x+34$ في التكامل الأول، فسيأخذ الشكل $\int\frac(du)(u)$ ويأخذ سهل الاستخدامالصيغة الثانية من . أما التكامل الثاني فمن الممكن أن يتغير $u=x+5$، وبعد ذلك سيأخذ الشكل $\int\frac(du)(u^2+9)$. هذه هي أنقى الصيغة الحادية عشرة من جدول التكاملات غير المحددة. وبالعودة إلى مجموع التكاملات، نجد أن:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

لقد حصلنا على نفس الإجابة التي حصلنا عليها عند تطبيق الصيغة، وهو أمر ليس مفاجئًا بالمعنى الدقيق للكلمة. بشكل عام، يتم إثبات الصيغة بنفس الطرق التي استخدمناها لإيجاد هذا التكامل. وأعتقد أن القارئ اليقظ قد يكون لديه هنا سؤال واحد، لذلك سأصيغه:

السؤال رقم 1

إذا طبقنا الصيغة الثانية من جدول التكاملات غير المحددة على التكامل $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$، فسنحصل على ما يلي:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

لماذا لم تكن هناك وحدة في الحل؟

الإجابة على السؤال رقم 1

السؤال طبيعي تماما. كانت الوحدة مفقودة فقط لأن التعبير $x^2+10x+34$ لأي $x\in R$ أكبر من الصفر. من السهل جدًا إظهار ذلك بعدة طرق. على سبيل المثال، بما أن $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ و$(x+5)^2 ≥ 0$، فإن $(x+5)^2+9 > 0$ . يمكنك التفكير بشكل مختلف، دون استخدام اختيار مربع كامل. منذ $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ لأي $x\in R$ (إذا كانت هذه السلسلة المنطقية مفاجئة، أنصحك بالبحث طريقة الرسمحلول المتباينات التربيعية). على أية حال، بما أن $x^2+10x+34 > 0$، ثم $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$، أي. بدلا من الوحدة النمطية، يمكنك استخدام الأقواس العادية.

تم حل جميع نقاط المثال رقم 1، ولم يتبق سوى كتابة الإجابة.

إجابة:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5)(3)+C$.

المثال رقم 2

أوجد التكامل $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

للوهلة الأولى، يبدو الكسر التكاملي $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ مشابهًا جدًا لكسر أولي من النوع الثالث، أي. بواسطة $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. يبدو أن الاختلاف الوحيد هو المعامل $3$ أمام $x^2$، لكن إزالة المعامل لا تستغرق وقتًا طويلاً (أخرجه من الأقواس). ومع ذلك، فإن هذا التشابه واضح. بالنسبة للكسر $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ الشرط $p^2-4q إلزامي< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

معاملنا قبل $x^2$ ليس كذلك يساوي واحد، لذا تحقق من الشرط $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$، لذلك يمكن تحليل التعبير $3x^2-5x-2$. هذا يعني أن الكسر $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ليس كسرًا عنصريًا من النوع الثالث، وقم بتطبيق $\int\frac(7x+12)(3x^2-) ) إلى صيغة التكامل 5x-2)dx$ غير ممكنة.

حسنًا، إذا لم يكن الكسر النسبي المعطى كسرًا أوليًا، فيجب تمثيله كمجموع كسور أولية ثم تكامله. باختصار، الاستفادة من الدرب. كيفية تحليل الكسر العقلاني إلى أجزاء أولية مكتوبة بالتفصيل. لنبدأ بتحليل المقام:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(محاذاة) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(محاذاة)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

نقدم الكسر الفرعي في هذا النموذج:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

الآن دعونا نحلل الكسر $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ إلى أجزاء أولية:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\يمين)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\صحيح). $$

للعثور على المعاملين $A$ و$B$ هناك طريقتان قياسيتان: طريقة المعاملات غير المحددة وطريقة استبدال القيم الجزئية. دعونا نطبق طريقة استبدال القيمة الجزئية، مع استبدال $x=2$ ثم $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\يمين); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

منذ أن تم العثور على المعاملات، كل ما تبقى هو كتابة التوسع النهائي:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

من حيث المبدأ، يمكنك ترك هذا الإدخال، لكني أحب الخيار الأكثر دقة:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

وبالعودة إلى التكامل الأصلي، نعوض بالمفكوك الناتج فيه. ثم نقسم التكامل إلى قسمين، ونطبق الصيغة على كل منهما. أفضل وضع الثوابت على الفور خارج علامة التكامل:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ فارك(1)(x+\frac(1)(3))\يمين)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2) )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+ج. $$

إجابة: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

المثال رقم 3

أوجد التكامل $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

نحتاج إلى تكامل الكسر $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. يحتوي البسط على كثيرة حدود من الدرجة الثانية، ويحتوي المقام على كثيرة حدود من الدرجة الثالثة. حيث أن درجة كثيرة الحدود في البسط أقل من درجة كثيرة الحدود في المقام، أي. 2 دولار< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

كل ما علينا فعله هو تقسيم التكامل المعطى إلى ثلاثة وتطبيق الصيغة على كل منها. أفضل وضع الثوابت على الفور خارج علامة التكامل:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+ج. $$

إجابة: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

استمرار تحليل أمثلة هذا الموضوع موجود في الجزء الثاني.

مشكلة إيجاد التكامل غير المحدد كسريا وظيفة عقلانيةيقلل من تكامل الكسور البسيطة. لذلك ننصحك بالتعرف أولاً على قسم نظرية تحلل الكسور إلى أبسطها.

مثال.

حل.

بما أن درجة بسط التكامل تساوي درجة المقام، فإننا نختار أولًا الجزء بأكمله عن طريق قسمة كثير الحدود على كثير الحدود بعمود:

لهذا السبب، .

تحليل الكسر العقلاني المناسب الناتج إلى كسور أبسط له الشكل . لذلك،

التكامل الناتج هو تكامل أبسط كسر من النوع الثالث. وبالنظر إلى الأمام قليلاً، نلاحظ أنه يمكنك أخذها عن طريق إدراجها تحت علامة التفاضل.

لأن ، الذي - التي . لهذا

لذلك،

لننتقل الآن إلى وصف طرق تكامل الكسور البسيطة لكل نوع من الأنواع الأربعة.

تكامل الكسور البسيطة من النوع الأول

تعتبر طريقة التكامل المباشر مثالية لحل هذه المشكلة:

مثال.

حل.

دعونا نوجد التكامل غير المحدد باستخدام خصائص المشتقة العكسية وجدول المشتقات العكسية وقاعدة التكامل.

أعلى الصفحة

تكامل الكسور البسيطة من النوع الثاني

طريقة التكامل المباشر مناسبة أيضًا لحل هذه المشكلة:

مثال.

حل.

أعلى الصفحة

تكامل الكسور البسيطة من النوع الثالث

أولا نقدم التكامل غير المحدد كمجموع:

نأخذ التكامل الأول بإدراجه تحت العلامة التفاضلية:

لهذا السبب،

دعونا نحول مقام التكامل الناتج:

لذلك،

صيغة تكامل الكسور البسيطة من النوع الثالث تأخذ الشكل التالي:

مثال.

أوجد التكامل غير المحدد .

حل.

نستخدم الصيغة الناتجة:

لو لم تكن لدينا هذه الصيغة ماذا سنفعل:

9. تكامل الكسور البسيطة من النوع الرابع

الخطوة الأولى هي وضعها تحت علامة التفاضل:

الخطوة الثانية هي العثور على جزء لا يتجزأ من النموذج . تم العثور على التكاملات من هذا النوع باستخدام صيغ التكرار. (انظر التقسيم باستخدام صيغ التكرار). الصيغة المتكررة التالية مناسبة لحالتنا:

مثال.

أوجد التكامل غير المحدد

حل.

لهذا النوع من التكامل نستخدم طريقة الاستبدال. لنقدم متغيرًا جديدًا (راجع القسم الخاص بتكامل الدوال غير المنطقية):

بعد الاستبدال لدينا:

لقد توصلنا إلى إيجاد تكامل الكسر من النوع الرابع. في حالتنا لدينا معاملات م = 0، ع = 0، ف = 1، ن = 1و ن = 3. نحن نطبق الصيغة المتكررة:

بعد الاستبدال العكسي نحصل على النتيجة:

10. تكامل الدوال المثلثية.

تتلخص العديد من المشكلات في العثور على تكاملات الوظائف المتعالية التي تحتوي على الدوال المثلثية. في هذه المقالة، سنجمع الأنواع الأكثر شيوعًا من التكاملات ونستخدم الأمثلة للنظر في طرق تكاملها.

لنبدأ بدمج الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام.

من جدول المشتقات العكسية نلاحظ ذلك على الفور و .

تتيح لك طريقة إدراج العلامة التفاضلية حساب التكاملات غير المحددة لوظائف الظل وظل التمام:

أعلى الصفحة

دعونا ننظر إلى الحالة الأولى، والثانية مشابهة تماما.

لنستخدم طريقة الاستبدال:

لقد وصلنا إلى مشكلة دمج وظيفة غير عقلانية. ستساعدنا طريقة الاستبدال أيضًا هنا:

كل ما تبقى هو إجراء الاستبدال العكسي و ر = سينكس:

أعلى الصفحة

يمكنك معرفة المزيد حول مبادئ العثور عليها في تكامل القسم باستخدام الصيغ المتكررة. إذا قمت بدراسة اشتقاق هذه الصيغ، يمكنك بسهولة الحصول على تكاملات النموذج ، أين مو ن- الأعداد الصحيحة.

أعلى الصفحة

أعلى الصفحة

يأتي أقصى قدر من الإبداع عندما يحتوي التكامل على دوال مثلثية ذات وسائط مختلفة.

هذا هو المكان الذي تأتي فيه الصيغ الأساسية لعلم المثلثات للإنقاذ. لذا اكتبها على قطعة منفصلة من الورق واحتفظ بها أمام عينيك.

مثال.

العثور على مجموعة وظائف المشتقات المضادة .

حل.

صيغ التخفيض تعطي و .

لهذا

المقام هو صيغة جيب المجموع، وبالتالي،

وصلنا إلى مجموع التكاملات الثلاثة.

أعلى الصفحة

يمكن في بعض الأحيان اختزال التكاملات التي تحتوي على دوال مثلثية إلى كسور التعبيرات العقلانيةباستخدام الاستبدال المثلثي القياسي.

لنكتب صيغًا مثلثية تعبر عن الجيب وجيب التمام والظل من خلال ظل وسيطة النصف:

عند التكامل، سنحتاج أيضًا إلى التعبير التفاضلي dxمن خلال مماس نصف الزاوية.

لأن ، الذي - التي

اين هذا.

مثال.

أوجد التكامل غير المحدد .

حل.

دعونا نستخدم الاستبدال المثلثي القياسي:

هكذا، .

يؤدي تحليل التكامل إلى كسور بسيطة إلى مجموع تكاملين:

كل ما تبقى هو إجراء الاستبدال العكسي:

11. صيغ التكرار هي صيغ معبرة نالعضو الرابع في التسلسل من خلال الأعضاء السابقين. يتم استخدامها غالبًا عند البحث عن التكاملات.

نحن لا نهدف إلى إدراج جميع صيغ التكرار، ولكننا نريد إعطاء مبدأ اشتقاقها. يعتمد اشتقاق هذه الصيغ على تحويل التكامل وتطبيق طريقة التكامل بالأجزاء.

على سبيل المثال، التكامل غير المحدد يمكن أن تؤخذ باستخدام صيغة التكرار .

اشتقاق الصيغة:

باستخدام صيغ علم المثلثات يمكننا أن نكتب:

نجد التكامل الناتج باستخدام طريقة التكامل بالأجزاء. كوظيفة ش(خ)لنأخذ com.cosx، لذلك، .

لهذا السبب،

نعود إلى التكامل الأصلي:

إنه،

وهذا ما يجب إظهاره.

يتم اشتقاق صيغ التكرار التالية بالمثل:

مثال.

أوجد التكامل غير المحدد.

حل.

نستخدم الصيغة المتكررة من الفقرة الرابعة (في مثالنا ن = 3):

منذ من جدول المشتقات العكسية لدينا ، الذي - التي

يسمى الكسر صحيح، إذا كانت أعلى درجة للبسط أقل من أعلى درجة للمقام. تكامل الكسر العقلاني المناسب له الشكل:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

تعتمد صيغة تكامل الكسور المنطقية على جذور كثيرة الحدود في المقام. إذا كان متعدد الحدود $ ax^2+bx+c $ يحتوي على:

1. فقط الجذور المعقدة، فمن الضروري استخراج مربع كامل منها: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2\مساءا ^2)$$
2. متنوع جذور حقيقية$ x_1 $ و $ x_2 $، فأنت بحاجة إلى توسيع التكامل والعثور على المعاملات غير المحددة $ A $ و $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \ frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. جذر واحد متعدد $ x_1 $، ثم نقوم بتوسيع التكامل ونجد المعاملات غير المحددة $ A $ و $ B $ للصيغة التالية: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

إذا كان الكسر خطأأي أن أعلى درجة في البسط أكبر من أو تساوي أعلى درجة في المقام، فيجب أولاً اختزالها إلى صحيحشكل عن طريق قسمة كثير الحدود من البسط على كثير الحدود من المقام. في هذه الحالة، صيغة تكامل الكسر العقلاني لها الشكل:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

أمثلة على الحلول

مثال 1

أوجد تكامل الكسر النسبي: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

حل

الكسر صحيح ومتعدد الحدود له جذور معقدة فقط. ولذلك نختار مربعا كاملا: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ نطوي مربعًا كاملاً ونضعه تحت علامة التفاضل $ x-5 $: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ باستخدام جدول التكاملات نحصل على: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +ج$$ إذا لم تتمكن من حل مشكلتك، أرسلها إلينا. سوف نزود حل مفصل. سوف تكون قادرا على عرض التقدم المحرز في الحساب والحصول على المعلومات. سيساعدك هذا في الحصول على درجتك من معلمك في الوقت المناسب!

إجابة

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +ج$$

مثال 2

إجراء تكامل الكسور المنطقية: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

حل

دعونا نحل المعادلة التربيعية: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ نكتب الجذور: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ مع الأخذ في الاعتبار الجذور التي تم الحصول عليها، نقوم بتحويل التكامل: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ نقوم بإجراء توسيع الكسر العقلاني: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ نحن نساوي البسطين ونجد المعاملين $ A $ و $ B $: $$ أ(س+6)+ب(س-1)=س+2 $$ $$ الفأس + 6 أ + بx - ب = س + 2 $$ $$ \begin(cases) A ​​+ B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(cases) $$ $$ \begin(cases) A ​​​​= \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(cases) $$ نعوض المعاملات الموجودة في التكامل ونحلها: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \l |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +ج$$

إجابة

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +ج$$