تعريف.متوازي الأضلاع هو شكل رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية في أزواج.

ملكية.في متوازي الأضلاع، الأضلاع المتقابلة متساوية والزوايا المتقابلة متساوية.

ملكية.تنقسم أقطار متوازي الأضلاع إلى نصفين حسب نقطة التقاطع.

1 علامة متوازي الأضلاع.إذا كان ضلعان في شكل رباعي متساويين ومتوازيين، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

2 علامة متوازي الأضلاع.إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية في أزواج، فإن هذا الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

3 علامة متوازي الأضلاع.إذا تقاطعت قطرا الشكل الرباعي وتقاطعتا في نقطة التقاطع، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

تعريف.شبه المنحرف هو شكل رباعي فيه ضلعان متوازيان والضلعان الآخران غير متوازيين. تسمى الجوانب المتوازية الأسباب.

شبه منحرف يسمى متساوي الساقين (متساوي الأضلاع)، إذا كانت أضلاعه متساوية. في شبه المنحرف متساوي الساقين، تكون الزوايا عند قاعدتيه متساوية.

يسمى شبه منحرف تكون إحدى زواياه قائمة مستطيلي.

يسمى الجزء الذي يربط بين منتصف الجانبين خط الوسط شبه منحرف. الخط الأوسط يوازي القاعدتين ويساوي نصف مجموعهما.

تعريف.المستطيل هو متوازي الأضلاع وزواياه صحيحة.

ملكية.قطرا المستطيل متساويان.

علامة المستطيل.إذا كانت أقطار متوازي الأضلاع متساوية، فإن متوازي الأضلاع هذا يكون مستطيلًا.

تعريف.المعين هو متوازي أضلاع تكون فيه جميع أضلاعه متساوية.

ملكية.قطرا المعين متعامدان وينصفان زواياه.

تعريف.المربع هو مستطيل جميع أضلاعه متساوية.

المربع هو نوع خاص من المستطيل، وكذلك نوع خاص من المعين. لذلك فهو يتمتع بكل خصائصه.

ملكيات:
1. جميع زوايا المربع قائمة

2. أقطار المربع متساوية ومتعامدة، ونقطة التقاطع تنصف وتنصف زوايا المربع.

بأربعة زوايا وأربعة جوانب. يتكون الشكل الرباعي من خط مغلق متقطع يتكون من أربع وصلات وهذا الجزء من المستوى الموجود داخل الخط المتقطع.

تتكون تسمية الشكل الرباعي من الحروف الموجودة في رؤوسه، مع تسميتها بالترتيب. على سبيل المثال، يقولون أو يكتبون: رباعي ا ب ت ث :

في رباعية ا ب ت ثنقاط أ, ب, جو د- هذا رؤوس الشكل الرباعي، شرائح أ.ب, قبل الميلاد, قرص مضغوطو د.أ. - الجانبين.

تسمى القمم التي تنتمي إلى جانب واحد المجاورة، يتم استدعاء القمم غير المجاورة عكس:

في رباعية ا ب ت ثقمم أو ب, بو ج, جو د, دو أ- المجاورة والقمم أو ج, بو د- عكس. الزوايا الواقعة عند القمم المجاورة تسمى أيضًا مجاورة، وفي القمم المقابلة - المعاكسة.

يمكن أيضًا تقسيم أضلاع الشكل الرباعي إلى أزواج إلى مجاورة ومعاكسة: تسمى الجوانب التي لها قمة مشتركة المجاورة(أو مجاور)، الجوانب التي ليس لها رؤوس مشتركة - عكس:

حفلات أ.بو قبل الميلاد, قبل الميلادو قرص مضغوط, قرص مضغوطو د.أ., د.أ.و أ.ب- المجاورة، والجوانب أ.بو العاصمة, إعلانو قبل الميلاد- عكس.

إذا كانت القمم المقابلة متصلة بقطعة، فسيتم استدعاء هذا الجزء قطري الرباعي. بالنظر إلى أن الشكل الرباعي له زوجان فقط من الرؤوس المتقابلة، فمن الممكن أن يكون هناك قطران فقط:

شرائح مكيف الهواءو دينار بحريني- الأقطار.

دعونا نفكر في الأنواع الرئيسية للأشكال الرباعية المحدبة:

• شبه منحرف- شكل رباعي فيه زوج من الأضلاع المتقابلة متوازية، والزوج الآخر غير متوازي.
  • شبه منحرف متساوي الساقين- شبه منحرف أضلاعه متساوية.
  • شبه منحرف مستطيل - شبه منحرف تكون إحدى زواياه قائمة.
• متوازي الاضلاع- شكل رباعي فيه ضلعان متقابلان متوازيان مع بعضهما البعض.
  • مستطيل- متوازي الأضلاع حيث تكون جميع الزوايا متساوية.
  • المعين- متوازي الأضلاع حيث تكون جميع أضلاعه متساوية.
  • مربع- متوازي الأضلاع الذي تكون أضلاعه وزواياه متساوية. يمكن أن يكون كل من المستطيل والمعين مربعًا.

خواص زوايا الأشكال الرباعية المحدبة

جميع الأشكال الرباعية المحدبة لها الخاصيتين التاليتين عند زواياها:

1. أي زاوية داخلية أقل من 180 درجة.
2. مجموع الزوايا الداخلية هو 360 درجة.

في المنهج المدرسيفي دروس الهندسة، عليك أن تتعامل مع أنواع مختلفة من الأشكال الرباعية: المعين، متوازي الأضلاع، المستطيلات، شبه المنحرف، المربعات. الأشكال الأولى التي يجب دراستها هي المستطيل والمربع.

إذن ما هو المستطيل؟ تعريف للصف الثاني .مدرسة ثانويةسيبدو هكذا: هذا شكل رباعي جميع أركانه الأربعة صحيحة. من السهل أن نتخيل كيف يبدو المستطيل: إنه شكل به 4 زوايا قائمة وجوانب متوازية مع بعضها البعض في أزواج.

في تواصل مع

كيف نفهم عند حل المقبل مشكلة هندسية، ما هو نوع الرباعي الذي نتعامل معه؟ هناك ثلاث علامات رئيسية، والتي من خلالها يمكن للمرء أن يحدد بشكل لا لبس فيه أننا نتحدث عن مستطيل. دعنا نسميهم:

• الشكل هو شكل رباعي زواياه الثلاث تساوي 90 درجة؛
• الشكل الرباعي الممثل هو متوازي أضلاع بأقطار متساوية؛
• متوازي الأضلاع الذي له زاوية قائمة واحدة على الأقل.

ومن المثير للاهتمام أن نعرف: ما هو المحدب، وميزاته وأعراضه.

وبما أن المستطيل هو متوازي الأضلاع (أي شكل رباعي به أزواج من الأضلاع المتقابلة المتوازية)، فإن جميع خصائصه وخصائصه ستتحقق له.

صيغ لحساب أطوال الجوانب

في مستطيلالجانبين المتقابلين متساويان ومتوازيان بشكل متبادل. يُطلق على الجانب الأطول عادة اسم الطول (يُشار إليه بـ a)، ويسمى الجانب الأقصر بالعرض (يُشار إليه بـ b). في المستطيل الموجود في الصورة، الأطوال هي الجوانب AB وCD، والعرض هو AC وBD. كما أنها متعامدة مع القواعد (أي هي الارتفاعات).

للعثور على الجوانب، يمكنك استخدام الصيغ أدناه. قبلوا حرف او رمز: أ - طول المستطيل، ب - عرضه، د - القطر (قطعة تربط بين رؤوس زاويتين متقابلتين)، S - مساحة الشكل، P - المحيط، α - الزاوية بين القطر والطول، β - زاوية حادة تتكون من كلا القطرين. طرق إيجاد أطوال الأضلاع:

• باستخدام القطر والضلع المعلوم: a = √(d² - b²)، b = √(d² - a²).
• بناءً على مساحة الشكل وأحد أضلاعه: أ = س / ب، ب = س / أ.
• باستخدام المحيط والضلع المعلوم: أ = (ف - 2 ب) / 2، ب = (ف - 2 أ) / 2.
• من خلال القطر والزاوية الواقعة بينه وبين الطول: a = d sinα، b = d cosα.
• من خلال القطر والزاوية β: a = d sin 0.5 β، b = d cos 0.5 β.

المحيط والمساحة

محيط الشكل الرباعي يسمىمجموع أطوال جميع أضلاعه. لحساب المحيط، يمكن استخدامها الصيغ التالية:

• من خلال كلا الجانبين: P = 2 (أ + ب).
• من خلال المنطقة وأحد الجوانب: P = (2S + 2a²) / a، P = (2S + 2b²) / b.

المساحة هي المساحة المحاطة بمحيط. ثلاث طرق رئيسية لحساب المساحة:

• من خلال أطوال الجانبين: S = a*b.
• باستخدام المحيط وأي ضلع معروف: S = (Pa - 2 a²) / 2؛ S = (الرصاص - 2 ب²) / 2.
• قطريًا وزاوية β: S = 0.5 d² sinβ.

في المهام دورة المدرسةغالبًا ما تكون الرياضيات مطلوبة لتكون بارعًا خصائص أقطار المستطيل. نحن ندرج أهمها:

1. الأقطار متساوية مع بعضها البعض وتنقسم إلى جزأين متساويين عند نقطة تقاطعهما.
2. يتم تعريف القطر بأنه جذر مجموع كلا الجانبين تربيع (يتبع من نظرية فيثاغورس).
3. القطر يقسم المستطيل إلى مثلثين قائمي الزاوية.
4. تتزامن نقطة التقاطع مع مركز الدائرة المقيدة، وتتزامن الأقطار نفسها مع قطرها.

يتم استخدام الصيغ التالية لحساب طول القطر:

• باستخدام طول الشكل وعرضه: d = √(a² + b²).
• باستخدام نصف قطر الدائرة المحددة حول شكل رباعي: d = 2 R.

تعريف وخصائص المربع

الساحة هي حالة خاصةالمعين، متوازي الأضلاع أو المستطيل. واختلافه عن هذه الأشكال هو أن جميع زواياه قائمة وأن أضلاعه الأربعة متساوية. المربع هو شكل رباعي منتظم.

يسمى الشكل الرباعي مربعا في الحالات التالية:

1. إذا كان مستطيلاً طوله أ وعرضه متساويان.
2. إذا كان المعين مع أطوال متساويةالأقطار ومع أربع زوايا قائمة.

تشمل خصائص المربع جميع الخصائص التي سبق ذكرها والمتعلقة بالمستطيل، بالإضافة إلى ما يلي:

1. الأقطار متعامدة مع بعضها البعض (خاصية المعين).
2. تتزامن نقطة التقاطع مع مركز الدائرة المنقوشة.
3. يقسم كلا القطرين الشكل الرباعي إلى أربعة مثلثات متساوية الزاوية ومتساوية الساقين.

فيما يلي الصيغ المستخدمة بشكل متكرر ل حسابات عناصر المحيط والمساحة والمربع:

• قطري د = أ √2.
• محيط P = 4 أ.
• المنطقة س = أ².
• نصف قطر الدائرة المحددة هو نصف قطرها: R = 0.5 a √2.
• يتم تعريف نصف قطر الدائرة المنقوشة على أنه نصف طول الجانب: r = a / 2.

أمثلة على الأسئلة والمهام

دعونا نلقي نظرة على بعض الأسئلة التي قد تواجهك عند دراسة دورة الرياضيات في المدرسة، وحل بعض المشاكل البسيطة.

المشكلة 1. كيف تتغير مساحة المستطيل إذا تضاعف طول أضلاعه ثلاث مرات؟

حل : دعونا نرمز إلى مساحة الشكل الأصلي بـ S0، ومساحة الشكل الرباعي الذي يبلغ طول أضلاعه ثلاثة أضعاف طول أضلاعه بـ S1. باستخدام الصيغة التي تمت مناقشتها سابقًا، نحصل على: S0 = ab. والآن لنزيد الطول والعرض 3 مرات ونكتب: S1= 3 a 3 b = 9 ab. وبمقارنة S0 وS1، يصبح من الواضح أن المساحة الثانية أكبر 9 مرات من الأولى.

السؤال 1. هل الشكل الرباعي ذو الزوايا القائمة مربع؟

حل : ويترتب على التعريف أن الشكل ذو الزوايا القائمة يكون مربعًا فقط إذا كانت أطوال جميع أضلاعه متساوية. وفي حالات أخرى، يكون الشكل مستطيلًا.

المشكلة 2. أقطار المستطيل تشكل زاوية قياسها 60 درجة. عرض المستطيل هو 8. احسب القطر.

حل:تذكر أن الأقطار مقسمة إلى نصفين عند نقطة التقاطع. وهكذا نحن نتعامل مع مثلث متساوي الساقينمع زاوية قمة قدرها 60 درجة. وبما أن المثلث متساوي الساقين، فإن زوايا القاعدة ستكون نفسها أيضًا. وبحسابات بسيطة نجد أن زاوية كل منهما تساوي 60 درجة. ويترتب على ذلك أن المثلث متساوي الأضلاع. العرض الذي نعرفه هو قاعدة المثلث، وبالتالي فإن نصف القطر أيضًا يساوي 8، وطول القطر بالكامل أكبر بمرتين ويساوي 16.

السؤال 2. هل المستطيل جميع أضلاعه متساوية أم لا؟

حل : ويكفي أن نتذكر أن جميع الأضلاع يجب أن تكون متساوية في المربع، وهي حالة خاصة للمستطيل. وفي جميع الحالات الأخرى شرط كاف- هذا هو وجود 3 زوايا قائمة على الأقل. المساواة بين الأطراف ليست سمة إلزامية.

المشكلة 3. مساحة المربع معروفة وتساوي 289. أوجد نصف قطر الدائرة المحيطية والمحددة.

حل : باستخدام صيغ المربع، سنقوم بإجراء الحسابات التالية:

• دعونا نحدد ما هي العناصر الأساسية للمربع التي تساوي: a = √ S = √289 = 17؛ د = أ √2 =1 7√2.
• لنحسب نصف قطر الدائرة المحيطة بالشكل الرباعي: R = 0.5 d = 8.5√2.
• لنجد نصف قطر الدائرة المنقوشة: r = a / 2 = 17 / 2 = 8.5.

الشكل الرباعي المحدب هو شكل يتكون من أربعة أضلاع متصلة ببعضها البعض عند القمم، وتشكل مع الجوانب أربع زوايا، بينما يكون الشكل الرباعي نفسه دائمًا في نفس المستوى بالنسبة إلى الخط المستقيم الذي يقع عليه أحد أضلاعه. بمعنى آخر، الشكل بأكمله يقع على نفس الجانب من أي جانب من جوانبه.

في تواصل مع

كما ترون، التعريف سهل التذكر.

الخصائص والأنواع الأساسية

يمكن تصنيف جميع الأشكال المعروفة تقريبًا التي تتكون من أربع زوايا وجوانب على أنها رباعيات محدبة. ويمكن تمييز ما يلي:

1. متوازي الاضلاع؛
2. مربع؛
3. مستطيل؛
4. شبه منحرف؛
5. المعين.

كل هذه الأشكال متحدة ليس فقط بحقيقة أنها رباعية الزوايا، ولكن أيضًا بحقيقة أنها محدبة أيضًا. مجرد إلقاء نظرة على الرسم البياني:

يوضح الشكل شبه منحرف محدب. هنا يمكنك أن ترى أن شبه المنحرف يقع على نفس المستوى أو على جانب واحد من القطعة. إذا قمت بإجراءات مماثلة، فيمكنك معرفة أنه في حالة جميع الجوانب الأخرى، يكون شبه المنحرف محدبا.

هل متوازي الأضلاع هو شكل رباعي محدب؟

أعلاه صورة لمتوازي الأضلاع. كما يتبين من الشكل، متوازي الأضلاع هو أيضا محدب. إذا نظرت إلى الشكل المتعلق بالخطوط التي تقع عليها الأجزاء AB وBC وCD وAD، يصبح من الواضح أنه يقع دائمًا على نفس المستوى من هذه الخطوط. الخصائص الرئيسية لمتوازي الأضلاع هي أن أضلاعه متوازية ومتساوية، تمامًا كما تكون الزوايا المتقابلة متساوية مع بعضها البعض.

الآن، تخيل مربعًا أو مستطيلًا. وفقا لخصائصها الأساسية، فهي أيضا متوازيات الأضلاع، أي أن جميع جوانبها تقع في أزواج متوازية. فقط في حالة المستطيل يمكن أن تكون أطوال الأضلاع مختلفة، وتكون الزوايا قائمة (تساوي 90 درجة)، والمربع عبارة عن مستطيل تكون فيه جميع الأضلاع متساوية وتكون الزوايا قائمة أيضًا، وفي حالة المستطيل متوازي الأضلاع، يمكن أن تكون أطوال الجوانب والزوايا مختلفة.

ونتيجة لذلك، مجموع الزوايا الأربع للشكل الرباعي يجب أن تكون مساوية 360 درجة. أسهل طريقة لتحديد ذلك هي النظر إلى المستطيل: جميع أركان المستطيل الأربع قائمة، أي تساوي 90 درجة. مجموع هذه الزوايا 90 درجة يعطي 360 درجة، بمعنى آخر، إذا أضفت 90 درجة 4 مرات، فستحصل على النتيجة المرجوة.

خاصية أقطار الشكل الرباعي المحدب

أقطار الشكل الرباعي المحدب تتقاطع. وبالفعل يمكن ملاحظة هذه الظاهرة بصريا، فقط أنظر إلى الشكل:

يوضح الشكل الموجود على اليسار شكلاً رباعيًا أو رباعيًا غير محدب. كما تتمنا. كما ترون، الأقطار لا تتقاطع، على الأقل ليس كلها. على اليمين شكل رباعي محدب. هنا تمت ملاحظة خاصية تقاطع الأقطار بالفعل. يمكن اعتبار نفس الخاصية علامة على تحدب الشكل الرباعي.

خصائص وعلامات تحدب الشكل الرباعي الأخرى

من الصعب جدًا تسمية أي خصائص وخصائص محددة باستخدام هذا المصطلح. من الأسهل التمييز بين أنواع مختلفة من الرباعيات من هذا النوع. يمكنك البدء بمتوازي الأضلاع. نحن نعلم بالفعل أن هذا شكل رباعي الزوايا، وأضلاعه متوازية ومتساوية في أزواج. في الوقت نفسه، يتضمن هذا أيضًا خاصية أقطار متوازي الأضلاع التي تتقاطع مع بعضها البعض، بالإضافة إلى علامة تحدب الشكل: يكون متوازي الأضلاع دائمًا في نفس المستوى وعلى نفس الجانب بالنسبة لأي من جوانبها.

لذا، الميزات والخصائص الرئيسية معروفة:

1. مجموع زوايا الشكل الرباعي هو 360 درجة؛
2. تتقاطع أقطار الأشكال عند نقطة واحدة.

مستطيل. هذا الشكل له نفس خصائص وخصائص متوازي الأضلاع، ولكن في نفس الوقت جميع زواياه تساوي 90 درجة. ومن هنا الاسم - المستطيل.

مربع، نفس متوازي الأضلاعولكن زواياه قائمة مثل المستطيل. ولهذا السبب، نادرًا ما يُسمى المربع مستطيلًا. لكن السمة المميزة الرئيسية للمربع، بالإضافة إلى تلك المذكورة أعلاه، هي أن جوانبه الأربعة متساوية.

شبه منحرف هو شخصية مثيرة جدا للاهتمام. وهذا أيضًا رباعي الزوايا ومحدب أيضًا. في هذه المقالة، تمت مناقشة شبه المنحرف بالفعل باستخدام مثال الرسم. ومن الواضح أنها محدبة أيضًا. الفرق الرئيسي، وبالتالي علامة شبه المنحرف، هو أن جوانبه قد تكون غير متساوية تمامًا مع بعضها البعض في الطول، وكذلك زواياها في القيمة. في هذه الحالة، يظل الشكل دائمًا على نفس المستوى بالنسبة لأي من الخطوط التي تربط أي اثنين من رؤوسه على طول الأجزاء التي تشكل الشكل.

المعين هو شخصية مثيرة للاهتمام بنفس القدر. جزئيًا، يمكن اعتبار المعين مربعًا. علامة المعين هي حقيقة أن أقطاره لا تتقاطع فحسب، بل تقسم أيضًا زوايا المعين إلى النصف، والأقطار نفسها تتقاطع بزوايا قائمة، أي أنها متعامدة. إذا كانت أطوال أضلاع المعين متساوية، فإن الأقطار تنقسم أيضًا إلى النصف عند التقاطع.

الدالية أو المعينات المحدبة (المعينات)قد يكون لها أطوال جانبية مختلفة. ولكن في الوقت نفسه، لا تزال الخصائص والخصائص الأساسية للمعين نفسه، وكذلك خصائص وخصائص التحدب، محفوظة. أي أنه يمكننا أن نلاحظ أن الأقطار تنصف الزوايا وتتقاطع بزاوية قائمة.

كانت مهمة اليوم هي دراسة وفهم ماهية الأشكال الرباعية المحدبة، وما هي سماتها وخصائصها الرئيسية. انتباه! تجدر الإشارة مرة أخرى إلى أن مجموع زوايا الشكل الرباعي المحدب يساوي 360 درجة. محيط الأشكال، على سبيل المثال، يساوي المبلغأطوال جميع القطاعات التي تشكل الشكل. ستتم مناقشة صيغ حساب محيط ومساحة الرباعيات في المقالات التالية.

أنواع الرباعيات المحدبة

موضوع الدرس

• تعريف الرباعي.

أهداف الدرس

• التعليمية - التكرار والتعميم واختبار المعرفة حول موضوع: "المربع"؛ تنمية المهارات الأساسية.
• التنموية - لتنمية انتباه الطلاب والمثابرة والمثابرة والتفكير المنطقي والكلام الرياضي.
• التعليمية - من خلال الدرس، تنمية موقف يقظ تجاه بعضنا البعض، وغرس القدرة على الاستماع إلى الرفاق، والمساعدة المتبادلة، والاستقلال.

أهداف الدرس

• تطوير مهارات بناء شكل رباعي باستخدام مسطرة القياس ومثلث الرسم.
• اختبار مهارات حل المشكلات لدى الطلاب.

خطة الدرس

1. مرجع تاريخي. الهندسة غير الإقليدية.
2. رباعي الزوايا.
3. أنواع الرباعيات.

الهندسة غير الإقليدية

الهندسة غير الإقليدية، وهي هندسة شبيهة بالهندسة إقليدسمن حيث أنها تحدد حركة الأشكال، ولكنها تختلف عن الهندسة الإقليدية في أنه تم استبدال إحدى مسلماتها الخمس (الثانية أو الخامسة) بنفيها. كان نفي إحدى المسلمات الإقليدية (1825) حدثًا مهمًا في تاريخ الفكر، لأنه كان بمثابة الخطوة الأولى نحو نظرية النسبية.

تنص مسلمة إقليدس الثانية على ذلك يمكن تمديد أي قطعة خط مستقيم إلى أجل غير مسمى. ويبدو أن إقليدس يعتقد أن هذه الفرضية تحتوي أيضًا على عبارة مفادها أن الخط المستقيم له طول لا نهائي. لكن في الهندسة "الإهليلجية"، أي خط مستقيم يكون محدودًا ومغلقًا مثل الدائرة.

تنص المسلمة الخامسة على أنه إذا تقاطع مستقيم مع خطين معلومين بحيث يكون مجموع الزاويتين الداخليتين على أحد جانبيه أقل من زاويتين قائمتين، فإن هذين الخطين، إذا امتدا إلى ما لا نهاية، سيتقاطعان في الجانب الذي فيه مجموع هذه الزوايا أقل من مجموع خطين مستقيمين. ولكن في الهندسة "القطع الزائد" يمكن أن يكون هناك خط CB (انظر الشكل)، عمودي عند النقطة C على خط معين r ويتقاطع مع خط آخر s تحته زاوية حادةعند النقطة B، ولكن، مع ذلك، فإن الخطوط اللانهائية r وs لن تتقاطع أبدًا.

من هذه الافتراضات المنقحة، نتج أن مجموع زوايا المثلث، الذي يساوي 180 درجة في الهندسة الإقليدية، أكبر من 180 درجة في الهندسة الإهليلجية وأقل من 180 درجة في الهندسة الزائدية.

رباعي الزوايا

المواد > الرياضيات > الرياضيات للصف الثامن