U početku su sinus i kosinus nastali zbog potrebe izračunavanja količina u pravokutnim trokutima. Uočeno je da ako vrijednost stupnja mjere kutova u pravokutni trokut ne mijenjaju, tada omjer stranica, ma koliko se ove strane mijenjale po dužini, uvijek ostaje isti.

Tako su uvedeni pojmovi sinusa i kosinusa. Sinus oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer suprotnog kraka i hipotenuze, a kosinus je omjer susjednog kraka i hipotenuze.

Teoremi kosinusa i sinusa

Ali kosinus i sinus se mogu koristiti ne samo u pravokutnim trokutima. Da biste pronašli vrijednost tupog ili oštrog kuta, stranice bilo kojeg trokuta, dovoljno je primijeniti teorem kosinusa i sinusa.

Teorem kosinusa je prilično jednostavan: „Kvadrat stranice trokuta jednak je zbroju kvadrati drugih dviju stranica minus dvostruki umnožak ovih stranica za kosinus kuta između njih.

Postoje dva tumačenja sinusnog teorema: mala i proširena. Prema malom: "U trokutu su kutovi proporcionalni suprotnim stranama." Ovaj se teorem često proširuje zbog svojstva kružnice opisane oko trokuta: "U trokutu su kutovi proporcionalni suprotnim stranama, a njihov je omjer jednak promjeru opisane kružnice."

Derivati

Derivat je matematički alat koji pokazuje koliko se brzo funkcija mijenja u odnosu na promjenu argumenta. Derivati ​​se koriste u geometriji, te u nizu tehničkih disciplina.

Prilikom rješavanja problema morate znati tablične vrijednosti derivacija trigonometrijskih funkcija: sinusa i kosinusa. Izvod sinusa je kosinus, a derivacija kosinusa je sinus, ali sa predznakom minus.

Primjena u matematici

Posebno često se sinusi i kosinusi koriste u rješavanju pravokutnih trokuta i problema povezanih s njima.

Pogodnost sinusa i kosinusa očituje se i u tehnologiji. Kutove i stranice bilo je lako procijeniti pomoću kosinusnih i sinusnih teorema, razbijajući složene oblike i objekte u "jednostavne" trokute. Inženjeri su i, često se baveći izračunima omjera i mjera stupnjeva, utrošili puno vremena i truda na izračunavanje kosinusa i sinusa netablijskih kutova.

Tada su u pomoć priskočile Bradisove tablice koje sadrže tisuće vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa različitih kutova. U sovjetsko vrijeme neki su učitelji tjerali svoje štićenike da napamet pamte stranice Bradysovih tablica.

Radijan - kutna vrijednost luka, duž duljine jednaka polumjeru ili 57,295779513 ° stupnjeva.

Stupanj (u geometriji) - 1/360. dio kruga ili 1/90. dio pravi kut.

π = 3,141592653589793238462… (približna vrijednost pi).

U ovom članku ćemo pokazati kako definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta i broja u trigonometriji. Ovdje ćemo govoriti o notaciji, navesti primjere zapisa, dati grafičke ilustracije. Zaključno, povlačimo paralelu između definicija sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa u trigonometriji i geometriji.

Navigacija po stranici.

Definicija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa

Pratimo kako nastaje pojam sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa školski tečaj matematika. U nastavi geometrije daje se definicija sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa oštrog kuta u pravokutnom trokutu. A kasnije se proučava trigonometrija koja se odnosi na sinus, kosinus, tangent i kotangens kuta rotacije i broja. Dajemo sve ove definicije, dajemo primjere i dajemo potrebne komentare.

Oštar kut u pravokutnom trokutu

Iz kolegija geometrije poznate su definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa oštrog kuta u pravokutnom trokutu. Oni su dati kao omjer stranica pravokutnog trokuta. Predstavljamo njihove formulacije.

Definicija.

Sinus oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer suprotnog kraka i hipotenuze.

Definicija.

Kosinus oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i hipotenuze.

Definicija.

Tangenta oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer suprotne noge i susjedne noge.

Definicija.

Kotangens oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer susjedne noge i suprotne noge.

Tu je također uvedena oznaka sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa - sin, cos, tg i ctg.

Na primjer, ako je ABC pravokutni trokut s pravim kutom C, tada je sinus oštrog kuta A jednak je omjeru suprotni krak BC hipotenuzi AB , odnosno sin∠A=BC/AB .

Ove definicije vam omogućuju da izračunate vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa oštrog kuta iz poznatih duljina stranica pravokutnog trokuta, kao i iz poznatih vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta, kotangens i duljina jedne od stranica, pronađite duljine ostalih stranica. Na primjer, kada bismo znali da je u pravokutnom trokutu krak AC 3, a hipotenuza AB 7, tada bismo mogli izračunati kosinus oštrog kuta A po definiciji: cos∠A=AC/AB=3/7.

Kut rotacije

U trigonometriji počinju šire gledati na kut – uvode pojam kuta rotacije. Kut rotacije, za razliku od oštrog kuta, nije ograničen na okvire od 0 do 90 stupnjeva, kut rotacije u stupnjevima (i u radijanima) može se izraziti bilo kojim realnim brojem od −∞ do +∞.

U tom svjetlu, definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa više nisu akutni kut, već kut proizvoljne veličine – kut rotacije. Zadane su kroz x i y koordinate točke A 1 , u koju prolazi tzv. početna točka A(1, 0) nakon što se zarotira za kut α oko točke O - početka pravokutnog kartezijanskog koordinatnog sustava i središte jedinične kružnice.

Definicija.

Sinus kuta rotacijeα je ordinata točke A 1 , odnosno sinα=y .

Definicija.

kosinus kuta rotacijeα naziva se apscisa točke A 1 , odnosno cosα=x .

Definicija.

Tangent kuta rotacijeα je omjer ordinate točke A 1 i njezine apscise, odnosno tgα=y/x .

Definicija.

Kotangens kuta rotacijeα je omjer apscise točke A 1 i njezine ordinate, odnosno ctgα=x/y .

Sinus i kosinus su definirani za bilo koji kut α, budući da uvijek možemo odrediti apscisu i ordinatu točke koja se dobiva rotacijom početne točke za kut α. A tangenta i kotangens nisu definirani ni za jedan kut. Tangenta nije definirana za takve kutove α u kojima početna točka ide u točku s nultom apscisom (0, 1) ili (0, −1), a to se događa pod kutovima 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Doista, pri takvim kutovima rotacije, izraz tgα=y/x nema smisla, budući da sadrži dijeljenje s nulom. Što se tiče kotangensa, on nije definiran za takve kutove α kod kojih početna točka ide u točku s nultom ordinatom (1, 0) ili (−1, 0) , a to je slučaj za kutove 180° k , k ∈Z (π k rad).

Dakle, sinus i kosinus su definirani za sve kutove rotacije, tangenta je definirana za sve kutove osim 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), a kotangens je za sve kutove osim 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Oznake koje su nam već poznate pojavljuju se u definicijama sin, cos, tg i ctg, također se koriste za označavanje sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta rotacije (ponekad možete pronaći zapis tan i cot koji odgovara tangenti i kotangens). Dakle, sinus kuta rotacije od 30 stupnjeva može se zapisati kao sin30°, zapisi tg(−24°17′) i ctgα odgovaraju tangentu kuta rotacije −24 stupnja 17 minuta i kotangensu kuta rotacije α . Podsjetimo da se prilikom pisanja radijanske mjere kuta često izostavlja oznaka "rad". Na primjer, kosinus kuta rotacije od tri pi rada obično se označava cos3 π .

U zaključku ovog odlomka, vrijedno je napomenuti da se u govoru o sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu kuta rotacije često izostavlja izraz "kut rotacije" ili riječ "rotacija". Odnosno, umjesto izraza "sinus kuta rotacije alfa" obično se koristi izraz "sinus kuta alfa", ili još kraće - "sinus alfa". Isto vrijedi i za kosinus, i tangentu i kotangens.

Recimo i da su definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa oštrog kuta u pravokutnom trokutu u skladu s definicijama upravo danim za sinus, kosinus, tangent i kotangens kuta rotacije u rasponu od 0 do 90 stupnjeva. To ćemo potkrijepiti.

Brojevi

Definicija.

Sinus, kosinus, tangent i kotangens broja t je broj jednak sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu kuta rotacije u t radijanima.

Na primjer, kosinus od 8 π je, po definiciji, broj jednak kosinusu kuta od 8 π rad. A kosinus kuta je 8 π rad jednako jednom, dakle, kosinus broja 8 π jednak je 1 .

Postoji još jedan pristup definiciji sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja. Sastoji se u tome da je svakom realnom broju t dodijeljena točka jedinične kružnice sa središtem na ishodištu pravokutnog koordinatnog sustava, a sinus, kosinus, tangenta i kotangens određuju se kroz koordinate te točke. Zaustavimo se na ovome detaljnije.

Pokažimo kako se uspostavlja korespondencija između realnih brojeva i točaka kružnice:

• broju 0 ​​dodjeljuje se početna točka A(1, 0) ;
• pozitivan broj t pridružuje se točki na jediničnoj kružnici, do koje ćemo doći ako se krećemo oko kružnice od početne točke u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i prođemo put duljine t;
• negativan broj t pridružuje se točki na jediničnoj kružnici, do koje ćemo doći ako se pomičemo po kružnici od početne točke u smjeru kazaljke na satu i prođemo put duljine |t| .

Prijeđimo sada na definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja t. Pretpostavimo da broj t odgovara točki kružnice A 1 (x, y) (na primjer, broj &pi/2; odgovara točki A 1 (0, 1) ).

Definicija.

Sinus broja t je ordinata točke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno sint=y.

Definicija.

Kosinus broja t se naziva apscisa točke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno trošak=x.

Definicija.

Tangent broja t je omjer ordinate i apscise točke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno tgt=y/x. U drugoj ekvivalentnoj formulaciji, tangent broja t je omjer sinusa ovog broja i kosinusa, to jest, tgt=sint/cost .

Definicija.

Kotangens broja t je omjer apscise i ordinate točke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno ctgt=x/y. Druga formulacija je sljedeća: tangent broja t je omjer kosinusa broja t i sinusa broja t : ctgt=cost/sint .

Ovdje napominjemo da se upravo navedene definicije slažu s definicijom danom na početku ovog pododjeljka. Doista, točka jedinične kružnice koja odgovara broju t podudara se s točkom dobivenom rotacijom početne točke kroz kut od t radijana.

Također je vrijedno pojasniti ovu točku. Recimo da imamo sin3 unos. Kako razumjeti je li u pitanju sinus broja 3 ili sinus kuta rotacije od 3 radijana? To je obično jasno iz konteksta, inače vjerojatno nije važno.

Trigonometrijske funkcije kutnog i numeričkog argumenta

Prema definicijama danim u prethodnom paragrafu, svakom kutu rotacije α odgovara dobro definirana vrijednost sinα, kao i vrijednost cosα. Osim toga, svi kutovi rotacije osim 90°+180° k, k∈Z (π/2+π k rad) odgovaraju vrijednostima tgα, a osim 180° k, k∈Z (π k rad) su vrijednosti ctgα . Stoga su sinα, cosα, tgα i ctgα funkcije kuta α. Drugim riječima, to su funkcije kutnog argumenta.

Slično, možemo govoriti o funkcijama sinus, kosinus, tangent i kotangens numeričkog argumenta. Doista, svaki realni broj t odgovara dobro definiranoj vrijednosti sint , kao i trošku . Osim toga, svi brojevi osim π/2+π·k, k∈Z odgovaraju vrijednostima tgt, a brojevi π·k, k∈Z odgovaraju vrijednostima ctgt.

Funkcije sinus, kosinus, tangent i kotangens se nazivaju osnovne trigonometrijske funkcije.

Obično je iz konteksta jasno da imamo posla s trigonometrijskim funkcijama kutnog argumenta ili numeričkog argumenta. Inače, nezavisnu varijablu možemo smatrati i mjerom kuta (argument kuta) i numeričkim argumentom.

Međutim, škola uglavnom uči numeričke funkcije, odnosno funkcije čiji su argumenti, kao i njihove odgovarajuće vrijednosti funkcije, brojevi. Stoga, ako pričamo posebno o funkcijama, svrsishodno je razmotriti trigonometrijske funkcije kao funkcije brojčanih argumenata.

Povezivanje definicija iz geometrije i trigonometrije

Ako uzmemo u obzir kut rotacije α od 0 do 90 stupnjeva, tada su podaci u kontekstu trigonometrije definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta rotacije u potpunosti u skladu s definicijama sinusa, kosinusa , tangenta i kotangens oštrog kuta u pravokutnom trokutu, koji su dati u tečaju geometrije. Potkrijepimo ovo.

Nacrtajte pravokutni kartezijanski koordinatni sustav Oxy jedinični krug. Zabilježite početnu točku A(1, 0) . Zarotirajmo ga za kut α u rasponu od 0 do 90 stupnjeva, dobit ćemo točku A 1 (x, y) . Ispustimo okomicu A 1 H iz točke A 1 na os Ox.

Lako je vidjeti da je u pravokutnom trokutu kut A 1 OH jednak kutu rotacije α, duljina kraka OH koja je susjedna ovom kutu jednaka je apscisi točke A 1, odnosno |OH | |=x, duljina kraka A 1 H nasuprot kuta jednaka je ordinati točke A 1 , odnosno |A 1 H|=y , a duljina hipotenuze OA 1 jednaka je jedan , budući da je to polumjer jedinične kružnice. Tada je, prema definiciji iz geometrije, sinus oštrog kuta α u pravokutnom trokutu A 1 OH jednak omjeru suprotne katete i hipotenuze, odnosno sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . A po definiciji iz trigonometrije, sinus kuta rotacije α jednak je ordinati točke A 1, odnosno sinα=y. To pokazuje da je definicija sinusa oštrog kuta u pravokutnom trokutu ekvivalentna definiciji sinusa kuta rotacije α za α od 0 do 90 stupnjeva.

Slično, može se pokazati da su definicije kosinusa, tangenta i kotangensa oštrog kuta α u skladu s definicijama kosinusa, tangenta i kotangensa kuta rotacije α.

Bibliografija.

1. Geometrija. 7-9 razreda: studije. za opće obrazovanje institucije / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev i drugi]. - 20. izd. M.: Obrazovanje, 2010. - 384 str.: ilustr. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometrija: Proc. za 7-9 ćelija. opće obrazovanje ustanove / A. V. Pogorelov. - 2. izd. - M.: Prosvjeta, 2001. - 224 str.: ilustr. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra i elementarne funkcije : Vodič za učenike 9. razreda Srednja škola/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Uredio doktor fizikalno-matematičkih znanosti O. N. Golovin - 4. izd. Moskva: Prosveta, 1969.
4. Algebra: Proc. za 9 ćelija. prosječno škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Prosvjeta, 1990.- 272 str.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 stanica. opće obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Prosvjeta, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A. G. Algebra i počeci analize. 10. razred. U 2 str. Poglavlje 1: vodič za obrazovne ustanove(profilna razina) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. izd., dodaj. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra i početak matematičke analize. 10. razred: udžbenik. za opće obrazovanje ustanove: osnovne i profilne. razine /[Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunjin]; izd. A. B. Zhizhchenko. - 3. izd. - I .: Prosvjeta, 2010. - 368 str.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bašmakov M.I. Algebra i početak analize: Zbornik. za 10-11 stanica. prosječno škola - 3. izd. - M.: Prosvjeta, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Viša škola, 1984.-351 str., ilustr.

Kako pronaći sinus?

Proučavanje geometrije pomaže u razvoju mišljenja. Ova stavka mora biti uključena u školovanje. U životu, poznavanje ove teme može biti korisno - na primjer, prilikom planiranja stana.

Iz povijesti

U sklopu kolegija geometrije izučava se i trigonometrija koja istražuje trigonometrijske funkcije. U trigonometriji proučavamo sinuse, kosinuse, tangente i kotangense kuta.

No, za sada, krenimo s najjednostavnijim – sinusom. Pogledajmo pobliže prvi koncept - sinus kuta u geometriji. Što je sinus i kako ga pronaći?

Koncept "sinusa kuta" i sinusoida

Sinus kuta je omjer vrijednosti suprotnog kraka i hipotenuze pravokutnog trokuta. Ovo je izravna trigonometrijska funkcija, koja je napisana kao "sin (x)", gdje je (x) kut trokuta.

Na grafikonu je sinus kuta označen sinusoidom s vlastitim karakteristikama. Sinusoida izgleda kao neprekidna valovita linija koja leži unutar određenih granica na koordinatnoj ravnini. Funkcija je neparna, stoga je simetrična u odnosu na 0 na koordinatnoj ravnini (napušta ishodište koordinata).

Područje ove funkcije leži u rasponu od -1 do +1 u kartezijanskom koordinatnom sustavu. Period funkcije sinusnog kuta je 2 Pi. To znači da se svakih 2 Pi uzorak ponavlja i sinusni val prolazi kroz puni ciklus.

Sinusoidna jednadžba

• sin x = a / c
• gdje je a krak suprotan kutu trokuta
• c - hipotenuza pravokutnog trokuta

Svojstva sinusa kuta

1. sin(x) = - sin(x). Ova značajka pokazuje da je funkcija simetrična, a ako se vrijednosti x i (-x) odvoje u koordinatnom sustavu u oba smjera, tada će ordinate ovih točaka biti suprotne. Oni će biti uključeni jednaka udaljenost jedno od drugog.
2. Druga značajka ove funkcije je da graf funkcije raste na segmentu [- P / 2 + 2 Pn]; [P/2 + 2Pn], gdje je n bilo koji cijeli broj. Na segmentu će se primijetiti smanjenje grafa sinusa kuta: [P / 2 + 2 Pn]; [ 3P/2 + 2Pn].
3. sin (x) > 0 kada je x u rasponu (2Pn, P + 2Pn)
4. (x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Vrijednosti sinusa kuta određene su posebnim tablicama. Takve su tablice stvorene kako bi se olakšao proces izračunavanja složenih formula i jednadžbi. Jednostavan je za korištenje i sadrži ne samo vrijednosti funkcije grijeha(x), ali i vrijednosti drugih funkcija.

Štoviše, tablica standardnih vrijednosti ovih funkcija uključena je u obveznu studiju memorije, poput tablice množenja. To se posebno odnosi na nastavu s fizikalnom i matematičkom pristranošću. U tablici možete vidjeti vrijednosti glavnih kutova koji se koriste u trigonometriji: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 i 360 stupnjeva.

Tu je i tablica koja definira vrijednosti trigonometrijskih funkcija nestandardnih kutova. Koristeći različite tablice, možete jednostavno izračunati sinus, kosinus, tangent i kotangens nekih kutova.

Jednadžbe se izrađuju s trigonometrijskim funkcijama. Rješavanje ovih jednadžbi je jednostavno ako znate jednostavne trigonometrijske identitete i redukcije funkcija, na primjer, kao što su sin (P / 2 + x) \u003d cos (x) i drugi. Za takve odljeve također je sastavljena posebna tablica.

Kako pronaći sinus kuta

Kada je zadatak pronaći sinus kuta, a pod uvjetom imamo samo kosinus, tangens ili kotangens kuta, lako možemo izračunati što nam treba pomoću trigonometrijskih identiteta.

• sin 2 x + cos 2 x = 1

Iz ove jednadžbe možemo pronaći i sinus i kosinus, ovisno o tome koja je vrijednost nepoznata. uspjet ćemo trigonometrijska jednadžba s jednom nepoznatom:

• sin 2 x = 1 - cos 2 x
• sin x = ± √ 1 - cos 2 x
• ctg 2 x + 1 = 1 / sin 2 x

Iz ove jednadžbe možete pronaći vrijednost sinusa, znajući vrijednost kotangensa kuta. Da pojednostavimo, zamijenite sin 2 x = y i tada imate jednostavnu jednadžbu. Na primjer, vrijednost kotangensa je 1, tada:

• 1 + 1 = 1/y
• 2 = 1 / god
• 2y = 1
• y = 1/2

Sada izvodimo obrnutu zamjenu igrača:

• sin 2 x = ½
• sin x = 1 / √2

Budući da smo uzeli vrijednost kotangensa za standardni kut (45 0), dobivene vrijednosti možemo provjeriti u tablici.

Ako imate tangentnu vrijednost, ali trebate pronaći sinus, pomoći će vam još jedan trigonometrijski identitet:

• tg x * ctg x = 1

Iz toga slijedi da:

• ctg x = 1 / tg x

Da biste pronašli sinus nestandardnog kuta, na primjer, 240 0, morate koristiti formule za smanjenje kuta. Znamo da π za nas odgovara 180 0. Stoga ćemo našu jednakost izraziti pomoću standardnih kutova proširenjem.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

Moramo pronaći sljedeće: sin (180 0 + 60 0). U trigonometriji postoje formule redukcije koje su korisne u ovom slučaju. Ovo je formula:

• sin (π + x) = - sin (x)

Dakle, sinus kuta od 240 stupnjeva je:

• sin (180 0 + 60 0) = - sin (60 0) = - √3/2

U našem slučaju, x = 60, odnosno P, 180 stupnjeva. Pronašli smo vrijednost (-√3/2) iz tablice vrijednosti funkcija standardnih kutova.

Na taj način se mogu razložiti nestandardni kutovi, na primjer: 210 = 180 + 30.

Kao što možete vidjeti, ovaj krug je izgrađen u kartezijanskom koordinatnom sustavu. Polumjer kružnice jednak je jedan, dok središte kružnice leži u ishodištu, početni položaj radijus vektora je fiksiran duž pozitivnog smjera osi (u našem primjeru to je radijus).

Svakoj točki kružnice odgovaraju dva broja: koordinata duž osi i koordinata duž osi. Koji su to koordinatni brojevi? I općenito, kakve veze oni imaju s predmetnom temom? Da biste to učinili, sjetite se razmatranog pravokutnog trokuta. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trokuta. Razmislite o trokutu. Pravokutna je jer je okomita na os.

Čemu je jednako iz trokuta? Tako je. Osim toga, znamo da je polumjer jedinične kružnice, i stoga, . Zamijenite ovu vrijednost u našu formulu kosinusa. Evo što se događa:

A čemu je jednako iz trokuta? Pa naravno, ! Zamijenite vrijednost radijusa u ovu formulu i dobijete:

Dakle, možete li mi reći koje su koordinate točke koja pripada kružnici? Pa, nema šanse? A ako to shvaćate i samo su brojevi? Kojoj koordinati odgovara? Pa, naravno, koordinata! Kojoj koordinati odgovara? Tako je, koordinira! Dakle, poanta.

I što su onda jednaki i? Tako je, poslužimo se odgovarajućim definicijama tangente i kotangensa i dobijemo to, a.

Što ako je kut veći? Evo, na primjer, kao na ovoj slici:

Što se promijenilo u ovom primjeru? Idemo to shvatiti. Da bismo to učinili, ponovno se okrećemo pravokutnom trokutu. Razmotrimo pravokutni trokut: kut (kao susjedni kut). Kolika je vrijednost sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta? Tako je, pridržavamo se odgovarajućih definicija trigonometrijskih funkcija:

Pa, kao što možete vidjeti, vrijednost sinusa kuta još uvijek odgovara koordinati; vrijednost kosinusa kuta - koordinata; te vrijednosti tangenta i kotangensa na odgovarajuće omjere. Stoga su ovi odnosi primjenjivi na sve rotacije radijus vektora.

Već je spomenuto da je početni položaj radijus vektora duž pozitivnog smjera osi. Do sada smo ovaj vektor rotirali u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali što će se dogoditi ako ga zakrenemo u smjeru kazaljke na satu? Ništa izvanredno, dobit ćete i kut određene veličine, ali samo će on biti negativan. Dakle, pri rotaciji vektora radijusa u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, dobivamo pozitivni kutovi , a pri rotaciji u smjeru kazaljke na satu - negativan.

Dakle, znamo da je cijela revolucija radijus vektora oko kružnice ili. Je li moguće rotirati radijus vektor za ili za? Pa, naravno da možete! U prvom slučaju će, dakle, radijus vektor napraviti jedan potpuni okret i zaustaviti se na poziciji ili.

U drugom slučaju, odnosno radijus vektor će napraviti tri potpuna okretaja i zaustaviti se na poziciji ili.

Dakle, iz gornjih primjera možemo zaključiti da kutovi koji se razlikuju po ili (gdje je bilo koji cijeli broj) odgovaraju istom položaju radijus vektora.

Slika ispod prikazuje kut. Ista slika odgovara kutu i tako dalje. Ovaj popis se može nastaviti u nedogled. Svi ovi kutovi mogu se napisati općom formulom ili (gdje je bilo koji cijeli broj)

Sada, poznavajući definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija i koristeći jedinični krug, pokušajte odgovoriti koliko su vrijednosti jednake:

Ovdje je jedinični krug koji će vam pomoći:

Ima li poteškoća? Onda idemo to shvatiti. Dakle, znamo da:

Odavde određujemo koordinate točaka koje odgovaraju određenim mjerama kuta. Pa, počnimo redom: kut u odgovara točki s koordinatama, dakle:

Ne postoji;

Nadalje, pridržavajući se iste logike, saznajemo da kutovi u odgovaraju točkama s koordinatama. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.

odgovori:

Ne postoji

Ne postoji

Ne postoji

Ne postoji

Dakle, možemo napraviti sljedeću tablicu:

Nema potrebe pamtiti sve te vrijednosti. Dovoljno je zapamtiti korespondenciju između koordinata točaka na jediničnom krugu i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:

Ali vrijednosti trigonometrijskih funkcija kutova u i, dane u donjoj tablici, mora se zapamtiti:

Ne bojte se, sada ćemo pokazati jedan od primjera prilično jednostavno pamćenje odgovarajućih vrijednosti:

Za korištenje ove metode važno je zapamtiti vrijednosti sinusa za sve tri mjere kuta (), kao i vrijednost tangenta kuta u. Poznavajući ove vrijednosti, prilično je lako vratiti cijelu tablicu - vrijednosti kosinusa se prenose u skladu sa strelicama, to jest:

Znajući to, možete vratiti vrijednosti za. Brojnik " " će se podudarati i nazivnik " " će se podudarati. Vrijednosti kotangensa se prenose u skladu sa strelicama prikazanim na slici. Ako to razumijete i zapamtite dijagram sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti cijelu vrijednost iz tablice.

Koordinate točke na kružnici

Je li moguće pronaći točku (njezine koordinate) na kružnici, poznavajući koordinate središta kružnice, njezin polumjer i kut rotacije?

Pa, naravno da možete! Iznesemo van opća formula za pronalaženje koordinata točke.

Evo, na primjer, imamo takav krug:

Dano nam je da je točka središte kružnice. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate točke dobivene rotacijom točke po stupnjevima.

Kao što se može vidjeti na slici, koordinata točke odgovara duljini segmenta. Duljina segmenta odgovara koordinati središta kružnice, odnosno jednaka je. Duljina segmenta može se izraziti pomoću definicije kosinusa:

Tada imamo to za točku koordinatu.

Po istoj logici nalazimo vrijednost y koordinate za točku. Na ovaj način,

Dakle u opći pogled koordinate točke određene su formulama:

Koordinate središta kruga,

polumjer kruga,

Kut rotacije radijus vektora.

Kao što možete vidjeti, za jediničnu kružnicu koju razmatramo, ove su formule značajno smanjene, budući da su koordinate središta nula, a polumjer jednak jedan:

Pa, probajmo ove formule za kušanje, vježbajući pronalaženje točaka na kružnici?

1. Pronađite koordinate točke na jediničnom krugu dobivene okretanjem točke.

2. Pronađite koordinate točke na jediničnom krugu dobivene rotacijom točke na.

3. Pronađite koordinate točke na jediničnom krugu dobivene okretanjem točke.

4. Točka - središte kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate točke dobivene rotacijom početnog radijus vektora za.

5. Točka - središte kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate točke dobivene rotacijom početnog radijus vektora za.

Imate problema s pronalaženjem koordinata točke na kružnici?

Riješite ovih pet primjera (ili dobro razumite rješenje) i naučit ćete kako ih pronaći!

1.

To se vidi. A znamo što odgovara punom okretu početne točke. Tako će željena točka biti u istom položaju kao i pri okretanju. Znajući to, nalazimo željene koordinate točke:

2. Krug je jedinica sa središtem u točki, što znači da možemo koristiti pojednostavljene formule:

To se vidi. Znamo što odgovara dvije potpune rotacije početne točke. Tako će željena točka biti u istom položaju kao i pri okretanju. Znajući to, nalazimo željene koordinate točke:

Sinus i kosinus su tablične vrijednosti. Pamtimo njihove vrijednosti i dobivamo:

Dakle, željena točka ima koordinate.

3. Krug je jedinica sa središtem u točki, što znači da možemo koristiti pojednostavljene formule:

To se vidi. Opišimo razmatrani primjer na slici:

Polumjer čini kutove s osi jednakim i. Znajući da su tablične vrijednosti kosinusa i sinusa jednake, i utvrdivši da kosinus ovdje uzima negativno značenje, a sinus je pozitivan, imamo:

Više slični primjeri razumjeti pri proučavanju formula za redukciju trigonometrijskih funkcija u temi.

Dakle, željena točka ima koordinate.

4.

Kut rotacije vektora radijusa (prema uvjetu)

Da bismo odredili odgovarajuće znakove sinusa i kosinusa, konstruiramo jediničnu kružnicu i kut:

Kao što vidite, vrijednost je, odnosno, pozitivna, a vrijednost, odnosno negativna. Poznavajući tablične vrijednosti odgovarajućih trigonometrijskih funkcija, dobivamo da:

Zamijenimo dobivene vrijednosti u našu formulu i pronađemo koordinate:

Dakle, željena točka ima koordinate.

5. Za rješavanje ovog problema koristimo formule u općem obliku gdje

Koordinate središta kružnice (u našem primjeru,

Polumjer kruga (prema uvjetu)

Kut rotacije radijus vektora (prema uvjetu).

Zamijenite sve vrijednosti u formulu i dobijete:

i - tablične vrijednosti. Pamtimo ih i zamjenjujemo ih u formulu:

Dakle, željena točka ima koordinate.

SAŽETAK I OSNOVNA FORMULA

Sinus kuta je omjer suprotnog (dalekog) kraka i hipotenuze.

Kosinus kuta je omjer susjednog (bliskog) kraka i hipotenuze.

Tangens kuta je omjer suprotne (daleke) noge i susjedne (bliske).

Kotangens kuta je omjer susjednog (bliskog) kraka i suprotnog (dalekog).

Trigonometrija - presjek matematička znanost, koji proučava trigonometrijske funkcije i njihovu upotrebu u geometriji. Razvoj trigonometrije započeo je u danima stare Grčke. Tijekom srednjeg vijeka znanstvenici s Bliskog istoka i Indije dali su važan doprinos razvoju ove znanosti.

Ovaj je članak posvećen osnovnim pojmovima i definicijama trigonometrije. Raspravlja o definicijama glavnih trigonometrijskih funkcija: sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Objašnjeno je i ilustrirano njihovo značenje u kontekstu geometrije.

U početku su definicije trigonometrijskih funkcija, čiji je argument kut, izražene kroz omjer stranica pravokutnog trokuta.

Definicije trigonometrijskih funkcija

Sinus kuta (sin α) je omjer katete nasuprot ovom kutu i hipotenuze.

Kosinus kuta (cos α) je omjer susjednog kraka i hipotenuze.

Tangent kuta (t g α) je omjer suprotnog kraka i susjednog.

Kotangens kuta (c t g α) je omjer susjednog kraka prema suprotnom.

Ove definicije dane su za oštar kut pravokutnog trokuta!

Dajemo ilustraciju.

U trokutu ABC s pravim kutom C, sinus kuta A jednak je omjeru kraka BC i hipotenuze AB.

Definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa omogućuju izračunavanje vrijednosti ovih funkcija iz poznatih duljina stranica trokuta.

Važno je zapamtiti!

Raspon vrijednosti sinusa i kosinusa: od -1 do 1. Drugim riječima, sinus i kosinus imaju vrijednosti od -1 do 1. Raspon vrijednosti tangenta i kotangensa je cijela brojevna prava, tj. funkcije mogu imati bilo koju vrijednost.

Gore navedene definicije odnose se na oštre kutove. U trigonometriji se uvodi pojam kuta rotacije čija vrijednost, za razliku od oštrog kuta, nije ograničena okvirima od 0 do 90 stupnjeva.. Kut rotacije u stupnjevima ili radijanima izražava se bilo kojim realnim brojem od - ∞ do + ∞.

U tom kontekstu, može se definirati sinus, kosinus, tangent i kotangens kuta proizvoljne veličine. Zamislite jediničnu kružnicu sa središtem u ishodištu kartezijanskog koordinatnog sustava.

Početna točka A s koordinatama (1 , 0) rotira oko središta jedinične kružnice za neki kut α i ide u točku A 1 . Definicija je dana kroz koordinate točke A 1 (x, y).

Sinus (sin) kuta rotacije

Sinus kuta rotacije α je ordinata točke A 1 (x, y). sinα = y

Kosinus (cos) kuta rotacije

Kosinus kuta rotacije α je apscisa točke A 1 (x, y). cos α = x

Tangent (tg) kuta rotacije

Tangenta kuta rotacije α je omjer ordinate točke A 1 (x, y) i njezine apscise. t g α = y x

Kotangens (ctg) kuta rotacije

Kotangens kuta rotacije α je omjer apscise točke A 1 (x, y) i njezine ordinate. c t g α = x y

Sinus i kosinus definirani su za bilo koji kut rotacije. To je logično, jer se apscisa i ordinata točke nakon rotacije mogu odrediti pod bilo kojim kutom. Drugačija je situacija s tangentom i kotangensom. Tangenta nije definirana kada točka nakon rotacije ide u točku s nultom apscisom (0 , 1) i (0 , - 1). U takvim slučajevima izraz za tangentu t g α = y x jednostavno nema smisla, jer sadrži dijeljenje s nulom. Slična je situacija i s kotangensom. Razlika je u tome što kotangens nije definiran u slučajevima kada ordinata točke nestaje.

Važno je zapamtiti!

Sinus i kosinus definirani su za sve kutove α.

Tangenta je definirana za sve kutove osim α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Kotangens je definiran za sve kutove osim α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Prilikom rješavanja praktičnih primjera nemojte reći "sinus kuta rotacije α". Riječi "kut rotacije" jednostavno su izostavljene, što implicira da je iz konteksta već jasno o čemu je riječ.

Brojevi

Što je s definicijom sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja, a ne kuta rotacije?

Sinus, kosinus, tangent, kotangens broja

Sinus, kosinus, tangent i kotangens broja t naziva se broj koji je, redom, jednak sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu u t radijan.

Na primjer, sinus od 10 π jednak je sinusu kuta rotacije od 10 π rad.

Postoji još jedan pristup definiciji sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja. Razmotrimo ga detaljnije.

Bilo koji pravi broj t točka na jediničnoj kružnici stavlja se u korespondenciju sa središtem u ishodištu pravokutnog kartezijanskog koordinatnog sustava. Sinus, kosinus, tangent i kotangens definirani su u smislu koordinata ove točke.

Početna točka na kružnici je točka A s koordinatama (1 , 0).

pozitivan broj t

Negativan broj t odgovara točki do koje će se početna točka pomaknuti ako se kreće u smjeru suprotnom od kazaljke na satu oko kružnice i prođe put t .

Sada kada je veza između broja i točke na kružnici uspostavljena, prelazimo na definiciju sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa.

Sinus (sin) broja t

Sinus broja t- ordinata točke jedinične kružnice koja odgovara broju t. sin t = y

Kosinus (cos) od t

Kosinus broja t- apscisa točke jedinične kružnice koja odgovara broju t. cos t = x

Tangenta (tg) od t

Tangent broja t- omjer ordinate i apscise točke jedinične kružnice koja odgovara broju t. t g t = y x = sin t cos t

Potonje definicije su u skladu s definicijom danom na početku ovog odjeljka i ne proturječe. Točka na kružnici koja odgovara broju t, podudara se s točkom do koje prolazi početna točka nakon okretanja kroz kut t radijan.

Trigonometrijske funkcije kutnog i numeričkog argumenta

Svaka vrijednost kuta α odgovara određenoj vrijednosti sinusa i kosinusa tog kuta. Kao i svi kutovi α osim α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) odgovara određenoj vrijednosti tangente. Kotangens, kao što je gore spomenuto, definiran je za sve α, osim za α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Možemo reći da su sin α , cos α , t g α , c t g α funkcije kuta alfa ili funkcije kutnog argumenta.

Slično, može se govoriti o sinusima, kosinusima, tangentima i kotangensima kao funkcijama numeričkog argumenta. Svaki pravi broj t odgovara određenoj vrijednosti sinusa ili kosinusa broja t. Svi brojevi osim π 2 + π · k , k ∈ Z, odgovaraju vrijednosti tangente. Kotangens je slično definiran za sve brojeve osim π · k , k ∈ Z.

Osnovne funkcije trigonometrije

Sinus, kosinus, tangent i kotangens su osnovne trigonometrijske funkcije.

Iz konteksta je obično jasno s kojim argumentom trigonometrijske funkcije ( kutni argument ili brojčani argument) s kojim imamo posla.

Vratimo se podacima na samom početku definicija i kutu alfa koji se nalazi u rasponu od 0 do 90 stupnjeva. Trigonometrijske definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa u potpunosti su u skladu s geometrijske definicije, dano omjerima stranica pravokutnog trokuta. Pokažimo to.

Uzmite jediničnu kružnicu sa središtem na pravokutnom kartezijanskom koordinatnom sustavu. Zarotirajmo početnu točku A (1, 0) za kut do 90 stupnjeva i povucimo iz rezultirajuće točke A 1 (x, y) okomito na os x. U rezultirajućem pravokutnom trokutu kut A 1 O H jednak je kutu rotacije α, duljina kraka O H jednaka je apscisi točke A 1 (x, y) . Duljina kateta nasuprot kutu jednaka je ordinati točke A 1 (x, y), a duljina hipotenuze jednaka je jedan, budući da je to polumjer jedinične kružnice.

U skladu s definicijom iz geometrije, sinus kuta α jednak je omjeru suprotnog kraka i hipotenuze.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

To znači da je definicija sinusa oštrog kuta u pravokutnom trokutu kroz omjer stranica ekvivalentna definiciji sinusa kuta rotacije α, pri čemu alfa leži u rasponu od 0 do 90 stupnjeva.

Slično se može prikazati kosinus, tangens i kotangens, podudarnost definicija.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter