Matematika koja mi se sviđa. Grahamov nezamislivi broj Najveći broj Grahama na svijetu

epigraf
Ako dugo gledaš u ponor,
možete se dobro zabaviti.
Inženjer strojarske duše

Čim dijete (a to se događa negdje oko tri ili četiri godine) shvati da su svi brojevi podijeljeni u tri grupe "jedan, dva i mnogo", odmah pokušava saznati: koliko je puno, koliko se razlikuje od puno , a može li ih biti toliko da ih više nema. Sigurno ste igrali zanimljivu (za tu dob) igru s roditeljima, koji će ih najviše prozivati više, a ako predak nije bio gluplji od petog razreda, onda je uvijek pobjeđivao, za svaki "milijun" odgovarao "dva milijuna", a za svaku "milijardu" "dvije milijarde" ili "milijardu plus jedan".

Do prvog razreda škole svi znaju – brojke beskonačan skup, nikad ne prestaju i nema najvećeg broja. Bilo kojem milijunu bilijuna milijardi uvijek možete reći "plus jedan" i pobijediti. A malo kasnije dolazi (trebalo bi doći!) shvaćanje da dugi nizovi brojeva sami po sebi ne znače ništa. Svi ti trilijuni i milijarde imaju smisla samo kada služe kao prikaz određenog broja objekata ili opisuju određeni fenomen. Nema poteškoća u izmišljanju dugog broja, koji nije ništa drugo nego skup dugozvučnih brojeva, već ih postoji beskonačan broj. Znanost se, donekle figurativno, bavi traženjem potpuno specifičnih kombinacija brojeva u ovom bezgraničnom ponoru, dodajući nekima fizički fenomen, kao što je brzina svjetlosti, Avogadrov broj ili Planckova konstanta.

I odmah se postavlja pitanje, koji je najveći broj na svijetu koji nešto znači? U ovom članku pokušat ću govoriti o digitalnom čudovištu zvanom Grahamov broj, iako strogo govoreći, znanost poznaje još više brojeva. Grahamov broj je najšire publicirani, moglo bi se reći da je "čuo" u široj javnosti, jer je prilično jednostavan u objašnjenju, a opet dovoljno velik da se okrene glava. Općenito, ovdje je potrebno izjaviti malo odricanje od odgovornosti (rusko upozorenje). Možda zvuči kao šala, ali ne šalim se. Govorim sasvim ozbiljno – pedantno prebiranje u takvim matematičkim dubinama, u kombinaciji s nesputanim širenjem granica percepcije, može (i hoće) imati ozbiljan utjecaj na svjetonazor, na pozicioniranje pojedinca u društvu i, u konačnici, , na općem psihičko stanje branje, ili, nazovimo stvari pravim imenom - otvara put shizu. Nije potrebno previše pažljivo čitati sljedeći tekst, nije potrebno previše živo i živo zamišljati stvari koje su u njemu opisane. I nemojte kasnije reći da niste bili upozoreni!

prsti:

Prije nego što prijeđemo na čudovišne brojeve, prvo vježbajmo na mačkama. Podsjetim da je za opisivanje velikih brojeva (ne čudovišta, već samo velikih brojeva) zgodno koristiti znanstvene ili tzv. eksponencijalni zapis.

Kada govore, recimo, o broju zvijezda u Svemiru (u Opservable Universe), nijedan se idiot ne trudi izračunati koliko ih ima u doslovnom smislu s točnošću od posljednja zvijezda. Vjeruje se da je otprilike 10 21 kom. A ovo je niža procjena. To znači da se ukupan broj zvijezda može izraziti kao broj koji iza jedan ima 21 nulu, t.j. "1.000.000.000.000.000.000.000".

Ovako izgleda mali dio njih (oko 100.000). kuglasti skup Omega Centauri.

Naravno, kada pričamo o takvim ljestvicama stvarni brojevi ne igraju značajnu ulogu u broju, uostalom, sve je vrlo uvjetno i približno. Možda je stvarni broj zvijezda u svemiru "1,564,861,615,140,168,357,973", ili možda "9,384,684,643,798,468,483,745". Pa čak i "3 333 333 333 333 333 333 333", zašto ne, iako je malo vjerojatno, naravno. U kozmologiji, znanosti o svojstvima svemira kao cjeline, takve se sitnice ne zavaravaju. Glavna stvar je zamisliti da se otprilike ovaj broj sastoji od 22 znamenke, od čega ga je prikladnije smatrati jedinicom s 21 nulom i napisati ga kao 10 21. Pravilo je općenito i vrlo jednostavno. Koji broj ili broj stoji umjesto stupnja (ispisano sitnim slovima iznad 10 ovdje), toliko će nula iza jedan biti u ovom broju, ako ga slikate na jednostavan način, sa znakovima u nizu, a ne na znanstveni način. Neki brojevi imaju "ljudska imena", na primjer 10 3 zovemo "tisuću", 10 6 - "milijun", a 10 9 - "milijarda", a neki ne. Recimo da 1059 nema zajednički naziv. A 10 21, inače, ima - to je "sekstilion".

Sve što ide do milijuna intuitivno je razumljivo gotovo svakome, jer tko ne želi postati milijunaš? Tada počinju neki problemi. Iako je milijarda (10 9) također poznata gotovo svima. Možete brojati čak i do milijardu. Ako tek nakon rođenja, doslovno u trenutku rođenja, počnete brojati jednom u sekundi "jedan, dva, tri, četiri..." i ne spavate, ne pijete, ne jedete, već samo brojite- brojite neumorno dan i noć, onda kada dođu 32 godine, možete izbrojati i do milijardu, jer 32 okreta Zemlje oko Sunca traju oko milijardu sekundi.

7 milijardi je broj ljudi na planeti. Na temelju gore navedenog, apsolutno ih je nemoguće sve pobrojati po redu tijekom ljudskog života, morat ćete živjeti više od dvjesto godina.

100 milijardi (10 11) - koliko je ljudi živjelo na planetu kroz njegovu povijest. McDonald's je do 1998. u svojih 50 godina postojanja prodao 100 milijardi hamburgera. 100 milijardi zvijezda (dobro, malo više) nalazi se u našoj galaksiji mliječna staza a sunce je jedno od njih. Isti broj galaksija sadržan je u svemiru koji se može promatrati. U ljudskom mozgu postoji 100 milijardi neurona. I isti broj anaerobnih bakterija živi u svakom čitaču ovih redaka u cekumu.
Trilijun (1012) je broj koji se rijetko koristi. Nemoguće je izbrojati do trilijuna, trebat će 32 tisuće godina. Prije trilijuna sekundi ljudi su živjeli u špiljama i lovili mamute kopljima. Da, prije trilijuna sekundi na Zemlji su živjeli mamuti. U oceanima planeta ima oko trilijun riba. Naša susjedna galaksija Andromeda sadrži oko trilijun zvijezda. Čovjek se sastoji od 10 trilijuna stanica. Ruski BDP u 2013. iznosio je 66 bilijuna rubalja (2013. godine). Od Zemlje do Saturna, 100 trilijuna centimetara i ukupno isto toliko slova tiskano je u svim ikada objavljenim knjigama.

Kvadrilion (1015, milijun milijardi) ukupan je broj mrava na planeti. Normalni ljudi ovu riječ ne izgovaraju naglas, dobro, priznajte to kad i vi posljednji put jeste li čuli "kvadrilion nešto" u razgovoru?

Quintillion (10 18, milijardi milijardi) - toliko mogućih konfiguracija postoji pri sastavljanju Rubikove kocke 3x3x3. Takav je i broj kubičnih metara vode u svjetskim oceanima.
Sextillion (10 21) - ovaj broj smo već upoznali. Broj zvijezda u promatranom svemiru. Broj zrna pijeska u svim pustinjama Zemlje. Broj tranzistora u svim postojećim elektroničkim uređajima čovječanstva, ako nam Intel nije lagao.

10 sextillion (1022) je broj molekula u gramu vode.

10 24 je masa Zemlje u kilogramima.

10 26 je promjer Opservabilnog svemira u metrima, ali nije baš zgodno brojati u metrima, općeprihvaćene granice Opservabilnog svemira su 93 milijarde svjetlosnih godina.
Znanost ne djeluje s dimenzijama većim od Opservabilnog svemira. Zasigurno znamo da Opservabilni svemir nije cijeli-sve-cijeli svemir. To je dio koji, barem teoretski, možemo vidjeti i promatrati. Ili ste možda vidjeli u prošlosti. Ili ćemo to moći vidjeti negdje u dalekoj budućnosti, ostajući u okvirima moderne znanosti. Iz ostatka Svemira, čak ni brzinom svjetlosti, signali neće moći doprijeti do nas, što čini ova mjesta, s naše točke gledišta, kao da ne postoje. Koliko je to veliko veliki svemir nitko zapravo ne zna. Možda milijun puta više od Predvidivog. Ili možda milijardu. Ili možda čak i beskrajno. Kažem, ovo više nije znanost, nego nagađanje na talogu kave. Znanstvenici imaju neka nagađanja, ali ovo je više fantazija nego stvarnost.

Za vizualizaciju kozmička skala korisno je proučiti ovu sliku proširivanjem na cijeli zaslon.

Međutim, čak i u Opservable svemiru, možete ugurati mnogo više nečega drugog od metara.

1051 atom čini planet Zemlju.

10 80 približan broj elementarne čestice u Opservabilnom svemiru.

10 90 je približan broj fotona u Opservabilnom svemiru. Ima ih gotovo 10 milijardi puta više od elementarnih čestica, elektrona i protona.
10 100 je googol. Ovaj broj fizički ne znači ništa, samo okrugao i lijep. Tvrtka koja si je zadala cilj indeksirati Google linkove (šala, naravno, ovo je više od broja elementarnih čestica u svemiru!) 1998. godine uzela je ime Google.

10.122 protona bit će potrebna da se promatrani svemir ispuni do očnih jabučica, čvrsto tako, proton do protona, leđa uz leđa.

10 185 Planckovih svezaka zauzima Opservabilni svemir. Manje vrijednosti od Planckovog volumena (kocka dimenzija Planckove duljine od 10 -35 metara) naša znanost ne poznaje. Sigurno, kao i sa Svemirom, postoji nešto još manje, ali znanstvenici još nisu smislili zdrave formule za takve sitnice, samo puka nagađanja.

Ispada da je otprilike 10.185 najveći broj koji u principu može nešto značiti moderna znanost. U znanosti koja može osjetiti i mjeriti. To je nešto što postoji, ili bi moglo postojati, kad bi se dogodilo da znamo sve što se o svemiru može znati. Broj se sastoji od 186 znamenki, evo ga:

100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Znanost tu, naravno, ne prestaje, ali onda se nastavljaju slobodne teorije, nagađanja, pa čak i samo pseudoznanstveni šah i kolotečina. Na primjer, vjerojatno ste čuli za inflatornu teoriju, prema kojoj je, možda, naš Svemir samo dio većeg Multiverzuma, u kojem su ti svemiri poput mjehurića u oceanu šampanjca.

Ili čuo za teoriju struna, prema kojoj može postojati oko 10.500 konfiguracija vibracija struna, što znači isti broj potencijalnih svemira, svaki sa svojim zakonima.
Što dalje u šumu, sve je manje teorijske fizike i znanosti općenito u sve većem broju, a iza stupova nula počinje viriti sve čistija, nezamućena kraljica znanosti. Matematika nije fizika, nema ograničenja i nema se čega sramiti, prošetaj, duša, upiši nule u formule i dok ne padneš.
Spomenut ću samo mnogima poznat googolplex. Broj koji ima googol znamenki, deset na stepen gugola (10 googol) ili deset na stepen od stotinu (10 10 100 (urednik vam ne dopušta da napravite još jednu iteraciju stupanj, mora biti slika, ili ću staviti kosu crtu (/)

.
10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Neću to zapisivati u brojkama. Googleplex ne znači apsolutno ništa. Osoba ne može zamisliti googolplex ničega, to je fizički nemoguće. Da biste zapisali takav broj, trebat će vam cijeli svemir koji se može promatrati, ako pišete "nano-olovkom" izravno u vakuumu, zapravo, u Planckovim stanicama kozmosa. Prevedimo svu materiju u tintu i ispunimo svemir jednim čvrstim brojevima, tada ćemo dobiti googolplex. Ali matematičari (strašni ljudi!) se samo zagrijavaju s googolprexom, ovo je najniža letvica s koje im kreću pravi ološi. A ako mislite da je googolplex u mjeri u kojoj je googolplex ono o čemu govorimo, nemate pojma KOLIKO ste u krivu.
Puno je googolpleksa zanimljivi brojevi, imajući ovu ili onu ulogu u matematičkim dokazima, bilo dugim ili kratkim, idemo ravno na Grahamov broj, nazvan po (pa, naravno) matematičaru Ronaldu Grahamu. Prvo ću vam reći što je i čemu služi, nakon čega ću figurativno i na prste™ opisati kolika je veličina, a zatim ću napisati sam broj. Točnije, pokušat ću objasniti što sam napisao.
Grahamov se broj pojavio u djelu posvećenom rješavanju jednog od problema u Ramseyevoj teoriji, a "Ramsey" ovdje nije nesvršeni particip, već prezime drugog matematičara, Franka Ramseya. Zadatak je, naravno, s filistarske točke gledišta prilično nategnut, iako nije jako zbunjen, čak i lako razumljiv.
Zamislite kocku čiji su svi vrhovi povezani segmentima linija dvije boje, crvene ili plave. Povezano i nasumično obojeno. Neki su već pogodili da ćemo govoriti o grani matematike koja se zove kombinatorika.
6

Hoćemo li uspjeti smisliti i odabrati konfiguraciju boja na takav način (a postoje samo dvije - crvena i plava), da pri bojanju ovih segmenata NEĆE ispasti da se svi segmenti iste boje povezuju četiri vrha leže u istoj ravnini? U ovom slučaju, oni NE predstavljaju takvu brojku:
7

Možete sami razmišljati, uvijati kocku u mašti pred očima, to nije tako teško. Postoje dvije boje, kocka ima 8 vrhova (uglova), što znači da ih povezuje 28 segmenata. Možete odabrati konfiguraciju bojanja na način da nigdje nećemo dobiti gornju sliku, bit će višebojna linije u svim mogućim ravninama.
Što ako imamo više dimenzija? Što ako uzmemo ne kocku, već četverodimenzionalnu kocku, t.j. teserakt ? Možemo li izvesti isti trik kao s 3D?
8

Neću ni početi objašnjavati što je četverodimenzionalna kocka, svi znaju? Četverodimenzionalna kocka ima 16 vrhova. I nema potrebe nadimati mozak i pokušavati zamisliti četverodimenzionalnu kocku. Ovo je čista matematika. Pogledao sam broj dimenzija, zamijenio ga u formulu, dobio broj vrhova, bridova, lica i tako dalje. Dakle, četverodimenzionalna kocka ima 16 vrhova i 120 segmenata koji ih povezuju. Broj kombinacija bojanja u četverodimenzionalnom slučaju puno je veći nego u trodimenzionalnom slučaju, ali ni ovdje nije jako teško izračunati, podijeliti, smanjiti i slično. Ukratko, otkrijte da se u četverodimenzionalnom prostoru također može izmisliti bojanje segmenata hiperkocke tako da sve linije iste boje koje povezuju 4 vrha ne leže u istoj ravnini.
U pet dimenzija? I u petodimenzionalnom, gdje se kocka naziva penterakt ili pentakub, također je moguće.
I to u šest dimenzija.
A onda nastaju poteškoće. Graham nije mogao matematički dokazati da bi sedmodimenzionalna hiperkocka mogla izvesti takvu operaciju. I osmodimenzionalni i devetodimenzionalni, i tako dalje. No, zadano "i tako dalje", pokazalo se, ne ide u beskonačnost, već završava nekim vrlo velikim brojem, koji se zvao "Grahamov broj".
Odnosno, postoji neka minimalna dimenzija hiperkocke, pod kojom je uvjet narušen, i više nije moguće izbjeći kombinaciju segmenata bojanja da će četiri točke iste boje ležati u istoj ravnini. A ova minimalna dimenzija je točno veća od šest i točno manja od Grahamovog broja, ovo je matematički dokaz znanstvenika.
A sada definicija onoga što sam gore opisao u nekoliko pasusa, suhoparnim i dosadnim (ali prostranim) jezikom matematike. Nije potrebno razumjeti, ali ne mogu to ne donijeti.
Razmotrite n-dimenzionalnu hiperkocku i povežite sve parove vrhova kako biste dobili potpun graf s 2n vrhova. Obojimo svaki rub ovog grafa ili crvenom ili plava boja. Na što najmanju vrijednost n svako takvo bojanje nužno sadrži jednobojni potpuni podgraf s četiri vrha, koji svi leže u istoj ravnini?
Godine 1971. Graham je dokazao da ovaj problem ima rješenje, te da to rješenje (broj dimenzija) leži između broja 6 i nekog većeg broja, koji je kasnije (ne od samog autora) dobio ime po njemu. U 2008. godini dokaz je poboljšan, donja granica je podignuta, sada se željeni broj dimenzija nalazi već između broja 13 i Grahamovog broja. Matematičari ne spavaju, posao ide, opseg se sužava.
Prošlo je mnogo godina od 70-ih, pronađeni su matematički problemi u kojem se pojavljuju brojevi i više Grahama, ali ovaj prvi čudovišni broj toliko je impresionirao suvremenike koji su shvatili o kojoj se mjeri radi da je 1980. uvršten u Guinnessovu knjigu rekorda kao "najveći broj ikada uključen u rigorozni matematički dokaz" o tome trenutak.
Pokušajmo shvatiti koliko je velik. Najveći broj koji može imati bilo koji fizičko značenje 10 185 , a ako je cijeli Opservabilni svemir ispunjen naizgled beskonačnim skupom sićušnih brojeva, dobivamo nešto srazmjerno googolplex.
9

Možete li zamisliti ovu zajednicu? Naprijed, natrag, gore, dolje, dokle oko seže i dokle seže oko Hubble teleskop, pa čak i koliko mu nedostaje, do najudaljenijih galaksija i gledajući dalje od njih - brojevi, brojevi, brojevi puno manji od protona. Takav svemir, naravno, neće moći postojati još dugo, odmah će se srušiti u crnu rupu. Sjećate li se koliko informacija teoretski može stati u svemir? rekao sam.
Brojka je stvarno golema, lomi mozak. Nije baš jednako googolplexu, a i nema ime, pa ću ga nazvati "dochulion". Upravo sam shvatio zašto ne. Broj Planckovih stanica u Opservable svemiru i broj je napisan u svakoj ćeliji. Broj sadrži 10.185 znamenki i može se predstaviti kao 10 10 185 .
dochulion = 10 10 185
Otvorimo vrata percepcije malo šire. Sjećate li se teorije inflacije? Da je naš Svemir samo jedan od mnogih mjehurića u Multiverzumu. A ako zamislite dochulion takvih mjehurića? Uzmimo broj koliko je sve što postoji i zamislimo Multiverzum sa sličnim brojem svemira, od kojih je svaki ispunjen brojevima do oka - dobivamo dochulion dochuliona. Možete li ovo zamisliti? Kako lebdite u nepostojanju skalarnog polja, a svuda okolo su svemiri-svemiri i brojevi-brojevi-brojevi u njima... Nadam se da takva noćna mora (iako, zašto noćna mora?) neće mučiti (i zašto mučiti?) ?) previše dojmljiv čitatelj noću.
Radi praktičnosti, takvu operaciju nazivamo "flip". Takav neozbiljan domet, kao da su uzeli Svemir i okrenuli ga naopačke, onda je bio unutra u brojevima, a sada, naprotiv, imamo onoliko svemira vani koliko je bilo brojeva, a svaka kutija je puna, puna brojevima. Dok guliš šipak, tako savijaš koru, zrna ispadnu iznutra, a granate su opet u zrnu. Također se pojavio u hodu, zašto ne, jer je radio s dohulionom.
na što ciljam? Isplati li se usporiti? Hajde, hoba, i još jedan okret! A sada imamo onoliko svemira koliko je bilo znamenki u svemirima, čiji je broj bio jednak broju znamenki koje su ispunile naš Svemir. I odmah, bez zaustavljanja, ponovno okrenite. I četvrti i peti. Deseti, tisućiti. Nastavite s misli, još uvijek zamišljate sliku?
Ne gubimo vrijeme na sitnice, raširimo krila mašte, ubrzajmo do maksimuma i flip flip flips. Svaki svemir okrećemo naopačke onoliko puta koliko je bilo svemira prije Huliona u prethodnom preokretu, koji je preokrenut od pretprošlog, koji ... ovaj ... pa, pratite li? Negdje tako. Neka sada naš broj postane, recimo, "dochouliard".
dohouliard = flip flips
Ne prestajemo i ne prebacujemo dohulione dohouliarda sve dok imamo snage. Dok ne padne mrak u očima, dok ne poželiš vrisnuti. Ovdje je svatko hrabri Pinocchio za sebe, zaustavna riječ bit će "brynza".
Tako. o čemu se radi? Ogromni i beskonačni nizovi preokreta i dohouliardi svemira punih znamenki ne odgovaraju Grahamovom broju. Čak ni ne zagrebu površinu. Ako je Grahamov broj predstavljen u obliku štapa, tradicionalno rastegnutog preko cijelog Opservable svemira, onda će se ono što smo ovdje zalijepili zajedno ispostaviti kao usjek debljine ... pa ... kako to da kažem ovako , blago rečeno ... nedostojan spomena. Evo, ublažio sam ga koliko sam mogao.
Ajmo sad malo digresirati, predahnuti. Čitali smo, brojali, oči su nam bile umorne. Zaboravimo na Grahamov broj, još moramo puzati i puzati pred njim, defokusirati oči, opustiti se, meditirati na puno manji, sasvim minijaturni broj, koji ćemo nazvati g 1 , i zapisati ga sa samo šest znakova:
g1 = 33
Broj g 1 jednak je "tri, četiri strelice, tri". Što to znači? Ovo je zapis koji se zove Knuthova oznaka strelice.
Za detalje i detalje možete pročitati članak na Wikipediji, ali postoje formule, ukratko ću to prepričati jednostavnim riječima.
Jedna strelica znači obično eksponencijalnost.
22 = 2 2 = 4
33 = 3 3 = 27
44 = 4 4 = 256
1010 = 10 10 = 10 000 000 000
Dvije strelice znače, razumljivo, eksponencijaciju.
23 = 222 = 2 2/ 2 = 2 4 = 16
33 = 333 = 3 3/ 3 = 3 27 = 7,625,597,484,987 (više od 7 bilijuna)
34 = 3333 = 3 3/ 3/ 3 = 3 7 625 597 484 987 = broj s oko 3 trilijuna znamenki
35 = 33333 = 3 3/ 3/ 3/ 3 = 3 3/ 7 625 597 484 987 = 3 na stepen od 3 trilijuna znamenki - googolplex je već sranje
Ukratko, "broj strelica strelica drugi broj" pokazuje kolika je visina stupnjeva (matematičari kažu "b toranj") se gradi od prvog broja. Na primjer, 58 znači toranj od osam petica i toliko je velik da se ne može izračunati ni na jednom superračunalu, čak ni na svim računalima na planetu u isto vrijeme.
Ukratko, "broj strelica strelica drugi broj" pokazuje koliko su visoki stupnjevi (matematičari kažu "kula") izgrađeni od prvog broja. Na primjer, 58 znači toranj od osam petica i toliko je velik da se ne može izračunati ni na jednom superračunalu, čak ni na svim računalima na planetu u isto vrijeme.

Prijeđimo na tri strelice. Ako bi dvostruka strelica pokazivala visinu tornja od stupnjeva, onda bi trostruka izgledala da označava "visinu tornja visine tornja"? Što-tamo! U slučaju trojke imamo visinu tornja od visine tornja od visine tornja (u matematici ne postoji takav koncept, odlučio sam ga nazvati "bez tornja"). Nešto ovako: 11

To jest, 33 čini trojke bez tornja, visoke 7 trilijuna komada. Što je 7 trilijuna trojki naslaganih jedna na drugu i koja se naziva "bez tornja"? Ako ste pažljivo pročitali ovaj tekst i niste zaspali na samom početku, vjerojatno se sjećate da od Zemlje do Saturna ima 100 trilijuna centimetara. Tri prikazane na ekranu dvanaestim fontom, ovaj - 3 - visok je pet milimetara. Tako će se trojke bez tornja protezati od vašeg ekrana... pa, ne do Saturna, naravno. Ni Sunce neće doseći, samo četvrtinu astronomske jedinice, otprilike isto kao od Zemlje do Marsa za lijepog vremena. Skrećem vam pažnju (ne spavajte!) da toranj nije broj od Zemlje do Marsa, već toranj od tako visokih stupnjeva. Sjećamo se da pet trojki u ovom tornju pokriva googolplex, izračun prvog decimetra trojki spaljuje sve osigurače planetarnih računala, a preostali milijuni kilometara stupnjeva već su beskorisni, jednostavno se otvoreno rugaju čitatelju, brojeći ih je beskorisno i nemoguće.
12

Sada je jasno da je 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3 bez tornja, (ne 3 na stupanj bez tornja, već na "tri strelice bez tornja" (!)), to bez tornja neće stati ni po dužini ni po visini u Opservable Universe , i neće stati ni u navodni multiverzum.
Riječi završavaju na 35 = 33333, a međumeti završavaju na 36 = 333333, ali možete vježbati ako ste zainteresirani.
Prijeđimo na četiri strelice. Kao što ste mogli pretpostaviti, ovdje kupola sjedi na kupoli, vozi bez kupole, a čak i s kupolom koja bez kupole, nije važno. Samo ću šutke dati sliku koja otkriva shemu za izračunavanje četiri strelice, kada svaki sljedeći broj tornja stupnjeva određuje visinu tornja stupnjeva, koji određuje visinu tornja od stupnjeva, određuje visinu tornja stupnjeva. toranj stupnjeva ... i tako sve do samozaborava.

Beskorisno je to izračunati i neće uspjeti. Broj stupnjeva ovdje nije pogodan za smisleno računovodstvo. Taj se broj ne može zamisliti, ne može se opisati. Analogije na prstima™ nisu primjenjive, jednostavno nema s čime usporediti broj. Možemo reći da je ogroman, da je grandiozan, da je monumentalan i gleda izvan horizonta događaja. Odnosno, dati mu neke verbalne epitete. Ali vizualizacija, čak i besplatna i figurativna, je nemoguća. Ako je s tri strelice još bilo moguće reći barem nešto, nacrtati bestornja od Zemlje do Marsa, nekako usporediti s nečim, onda jednostavno ne može biti analogija. Pokušajte zamisliti tanak toranj trojki od Zemlje do Marsa, pored njega još jedan skoro isti, i još jedan, i još jedan... Beskrajno polje tornjeva proteže se u daljinu, u beskonačnost, kule su posvuda, kule su posvuda . I, što je najvrijednije, ti tornjevi nemaju veze ni s brojem, oni samo određuju visinu drugih tornjeva koje je potrebno izgraditi da bi se dobila visina tornjeva, da bi se dobila visina tornjeva ... kako bi nakon nezamislive količine vremena i ponavljanja dobili sam broj.
To je ono što je g 1, to je ono što je 33.
Odmoran? Sada, od g 1, s novom snagom, vraćamo se napadu na Grahamov broj. Jeste li primijetili kako eskalacija raste od strelice do strelice?
33 = 27
33 = 7 625 597 484 987
33 = toranj, od Zemlje do Marsa.
33 = broj koji se ne može ni zamisliti ni opisati.
A zamislite kakva se digitalna noćna mora događa kad strijelac ima pet godina? Kad ih ima šest? Možete li zamisliti broj kada će strijelac biti sto? Ako možete, dopustite mi da vam skrenem pažnju na broj g 2 , u kojem se ispostavlja da je broj ovih strelica jednak g 1 . Zapamtite što je g 1, zar ne?

Sve što je do sada napisano, svi ti izračuni, stupnjevi i tornjevi koji ne staju u multiverzume multiverzuma, bili su potrebni samo jednom. Za prikaz BROJA STRELICA u broju g 2 . Ne treba ništa brojati, možete se samo nasmijati i odmahnuti rukom.
Neću skrivati, postoji i g 3 , koji sadrži g 2 strelice. Usput, je li još uvijek jasno da g 3 nije g 2 "na potenciju" od g 2, već broj tornjeva bez tornjeva koji određuju visinu tornjeva bez tornjeva koji određuju visinu... i tako dalje niz cijeli lanac do toplinske smrti Svemira? Ovdje počinješ plakati.
Zašto plakati? Jer apsolutno istinito. Postoji i broj g 4 , koji sadrži g 3 strelice između trojki. Tu je i g 5 , postoji g 6 i g 7 i g 17 i g 43 ...
Ukratko, ima ih 64 g. Svaka prethodna brojčano je jednaka broju strelica u sljedećoj. Posljednji g 64 je Grahamov broj, od kojeg se činilo da je sve počelo tako nevino. Ovo je broj dimenzija hiperkocke, što će svakako biti dovoljno da se segmenti ispravno obojaju u crvenu i plavu. Možda i manje, ovo je, da tako kažem, gornja granica. Napisano je kako slijedi:

Koji je najveći broj na svijetu koji nešto znači? U ovom članku pokušat ću govoriti o digitalnom čudovištu koje se zove Grahamov broj,

Piše sly2m.livejournal.com

Izvor:

Ako dugo zavirujete u ponor, možete se dobro zabaviti.
Inženjer strojarske duše

Grahamov broj na prstima™

Čim dijete (a to se događa negdje oko tri ili četiri godine) shvati da su svi brojevi podijeljeni u tri grupe "jedan, dva i mnogo", odmah pokušava saznati: koliko je puno, koliko se razlikuje od puno, a može li ih biti toliko da ih više nema. Sigurno ste igrali zanimljivu (za tu dob) igru sa svojim roditeljima, koji će navesti najveći broj, a ako predak nije bio gluplji od učenika petog razreda, onda je uvijek pobijedio, za svaki "milijun" koji je odgovorio na "dva milijuna" , a za "milijardu" - "dvije milijarde" ili "milijardu plus jedan".

Već u prvom razredu škole svi znaju da ima beskonačan broj brojeva, oni nikad ne prestaju, a ne postoji najveći broj. Bilo kojem milijunu bilijuna milijardi uvijek možete reći "plus jedan" i pobijediti. A malo kasnije dolazi (trebalo bi doći!) shvaćanje da dugi nizovi brojeva sami po sebi ne znače ništa. Svi ti bilijuni milijardi imaju smisla samo kada služe kao prikaz određenog broja objekata ili opisuju određeni fenomen. Nema poteškoća u izmišljanju dugog broja koji nije ništa drugo nego skup dugozvučnih brojeva, već ih postoji beskonačan broj. Znanost se, donekle slikovito, bavi traženjem vrlo specifičnih kombinacija brojeva u ovom bezgraničnom ponoru, pridodavanjem nekom fizičkom fenomenu, poput brzine svjetlosti, Avogadrovog broja ili Planckove konstante.

I odmah se postavlja pitanje, koji je najveći broj na svijetu koji nešto znači? U ovom članku pokušat ću govoriti o digitalnom čudovištu zvanom Grahamov broj, iako strogo govoreći, znanost poznaje još više brojeva. Grahamov broj je najšire publicirani, moglo bi se reći da je "čuo" u široj javnosti, jer je prilično jednostavan u objašnjenju, a opet dovoljno velik da se okrene glava. Općenito, ovdje je potrebno izjaviti malo odricanje od odgovornosti (rusko upozorenje). Možda zvuči kao šala, ali ne šalim se. Govorim sasvim ozbiljno – pedantno prebiranje u takvim matematičkim dubinama, u kombinaciji s nesputanim širenjem granica percepcije, može (i hoće) imati ozbiljan utjecaj na svjetonazor, na pozicioniranje pojedinca u društvu i, u konačnici, , na opće psihičko stanje berača, ili, nazvat ćemo stvari pravim imenom - otvara put šizu. Nije potrebno previše pažljivo čitati sljedeći tekst, nije potrebno previše živo i živo zamišljati stvari koje su u njemu opisane. I nemojte kasnije reći da niste bili upozoreni!

Kad kažu, recimo, o broju zvijezda u Svemiru (u Opservable Universe), nijedan se idiot neće potruditi izračunati koliko ih ima u doslovnom smislu, do posljednje zvijezde. Vjeruje se da je otprilike 10²¹ komada. A ovo je niža procjena. To znači da se ukupan broj zvijezda može izraziti kao broj koji iza jedan ima 21 nulu, t.j. "1.000.000.000.000.000.000.000".

Ovako izgleda njihov mali dio (oko 100.000) u kuglastom skupu Omega Centauri.

Naravno, kada je riječ o takvim ljestvicama, stvarni brojevi ne igraju bitnu ulogu u broju, sve je vrlo uvjetno i približno. Možda je stvarni broj zvijezda u svemiru "1,564,861,615,140,168,357,973", ili možda "9,384,684,643,798,468,483,745". Pa čak i "3 333 333 333 333 333 333 333", zašto ne, iako je malo vjerojatno, naravno. U kozmologiji, znanosti o svojstvima svemira kao cjeline, takve se sitnice ne zavaravaju. Glavna stvar je zamisliti da se otprilike ovaj broj sastoji od 22 znamenke, od čega ga je prikladnije smatrati jedinicom s 21 nulom i napisati kao 10²¹. Pravilo je općenito i vrlo jednostavno. Koji broj ili broj stoji umjesto stupnja (otisnut sitnim slovima na vrhu 10), toliko će nula iza jedinice biti u ovom broju, ako ga naslikate na jednostavan način, sa znakovima u nizu, a ne na znanstveni način. Neki brojevi imaju "ljudska imena", na primjer 10³ zovemo "tisuću", 10⁶ - "milijun", a 10⁹ - "milijarda", a neki ne. Recimo da 10⁵⁹ nema zajednički naziv. A 10²¹, inače, ima - to je "sekstilion".

Sve što ide do milijuna intuitivno je razumljivo gotovo svakome, jer tko ne želi postati milijunaš? Tada počinju neki problemi. Iako je milijarda (10⁹) također poznata gotovo svima. Možete brojati čak i do milijardu. Ako tek nakon rođenja, doslovno u trenutku rođenja, počnete brojati jednom u sekundi "jedan, dva, tri, četiri..." i ne spavati, ne piti, ne jesti, već samo brojati-broj-broj neumorno danju i noću, onda kada udare 32 godine, možete nabrojati i do milijardu, jer 32 okreta Zemlje oko Sunca traju oko milijardu sekundi.

7 milijardi je broj ljudi na planeti. Na temelju gore navedenog, apsolutno ih je nemoguće sve pobrojati po redu tijekom ljudskog života, morat ćete živjeti više od dvjesto godina.

100 milijardi (10¹¹) - koliko je ljudi živjelo na planetu tijekom njegove povijesti. McDonald's je do 1998. u svojih 50 godina postojanja prodao 100 milijardi hamburgera. Postoji 100 milijardi zvijezda (dobro, malo više) u našoj galaksiji Mliječni put, a Sunce je jedna od njih. Isti broj galaksija sadržan je u svemiru koji se može promatrati. U ljudskom mozgu postoji 100 milijardi neurona. I isti broj anaerobnih bakterija živi u svakom čitaču ovih redaka u cekumu.

Trilijun (10¹²) je broj koji se rijetko koristi. Nemoguće je izbrojati do trilijuna, trebat će 32 tisuće godina. Prije trilijuna sekundi ljudi su živjeli u špiljama i lovili mamute kopljima. Da, prije trilijuna sekundi na Zemlji su živjeli mamuti. U oceanima planeta ima oko trilijun riba. Naša susjedna galaksija Andromeda sadrži oko trilijun zvijezda. Čovjek se sastoji od 10 trilijuna stanica. Ruski BDP u 2013. iznosio je 66 bilijuna rubalja (2013. godine). Od Zemlje do Saturna, 100 trilijuna centimetara i ukupno isto toliko slova tiskano je u svim ikada objavljenim knjigama.

Kvadrilijun (10¹⁵, milijun milijardi) je broj mrava na planeti. Normalni ljudi ovu riječ ne izgovaraju naglas, pa priznajte, kad ste zadnji put čuli "kvadrilijun nečega" u razgovoru?

Quintillion (10¹⁸, milijarda milijardi) - koliko mogućih konfiguracija postoji pri sastavljanju Rubikove kocke 3x3x3. Takav je i broj kubičnih metara vode u svjetskim oceanima.

Sextillion (10²¹) - već smo upoznali ovaj broj. Broj zvijezda u promatranom svemiru. Broj zrna pijeska u svim pustinjama Zemlje. Broj tranzistora u svim postojećim elektroničkim uređajima čovječanstva, ako nam Intel nije lagao.

10 sekstiliona (10²²) je broj molekula u gramu vode.

10²⁴ je masa Zemlje u kilogramima.

10²⁶ je promjer Opservabilnog svemira u metrima, ali nije baš zgodno brojati u metrima, općeprihvaćene granice Opservabilnog svemira su 93 milijarde svjetlosnih godina.

Znanost ne djeluje s dimenzijama većim od Opservabilnog svemira. Pouzdano znamo da Opservabilni svemir nije cijeli-sve-cijeli Univerzum. To je dio koji, barem teoretski, možemo vidjeti i promatrati. Ili ste možda vidjeli u prošlosti. Ili možemo vidjeti negdje u dalekoj budućnosti, ostajući u okvirima moderne znanosti. Iz ostatka Svemira, čak ni brzinom svjetlosti, signali neće moći doprijeti do nas, što čini ova mjesta, s naše točke gledišta, kao da ne postoje. Koliko je velik taj veliki svemir, nitko zapravo ne zna. Možda milijun puta više od Predvidivog. Ili možda milijardu. Ili možda čak i beskrajno. Kažem, ovo više nije znanost, nego nagađanje na talogu kave. Znanstvenici imaju neka nagađanja, ali ovo je više fantazija nego stvarnost.

Da biste vizualizirali kozmičku ljestvicu, korisno je proučiti ovu sliku, proširivši je na cijeli zaslon.

Međutim, čak i u Opservable svemiru, možete ugurati mnogo više nečega drugog od metara.

10⁵¹ atoma čini planet Zemlju.

10⁸⁰ je približan broj elementarnih čestica u Opservabilnom svemiru.

10⁹⁰ je približan broj fotona u Opservabilnom svemiru. Ima ih gotovo 10 milijardi puta više od elementarnih čestica, elektrona i protona.

10¹⁰⁰ - googol. Ovaj broj fizički ne znači ništa, samo okrugao i lijep. Tvrtka koja si je zadala cilj indeksirati Google linkove (šala, naravno, ovo je više od broja elementarnih čestica u svemiru!) 1998. godine preuzela je ime Google.

Bit će potrebno 10¹²² protona da se Opservable Universe napuni do očnih jabučica, čvrsto tako, proton do protona, leđa uz leđa.

Opservabilni svemir zauzima 10¹⁸⁵ Planckovih svezaka. Manje od Planckovog volumena (kocka Planckove duljine 10⁻³⁵ metara) naša znanost ne poznaje. Sigurno, kao i u Svemiru, tu postoji nešto još manje, ali znanstvenici još nisu smislili zdrave formule za takve sitnice, samo puka nagađanja.

Ispostavilo se da je 10¹⁸⁵ ili tako nešto najveći broj koji bi mogao išta značiti u modernoj znanosti. U znanosti koja može osjetiti i mjeriti. To je nešto što postoji, ili bi moglo postojati, kad bi se dogodilo da znamo sve što se o svemiru može znati. Broj se sastoji od 186 znamenki, evo ga:

Ili čuo za teoriju struna, prema kojoj može postojati oko 10⁵⁰⁰ konfiguracija vibracija struna, što znači isti broj potencijalnih svemira, svaki sa svojim zakonima.

Što dalje u šumu, sve je manje teorijske fizike i znanosti općenito u sve većem broju, a iza stupova nula počinje viriti sve čistija, nezamućena kraljica znanosti. Matematika nije fizika, nema ograničenja i nema se čega sramiti, prošetaj, duša, upiši nule u formule i dok ne padneš.

Spomenut ću samo mnogima poznat googolplex. Broj koji ima googol znamenki, deset na stepen gugola ili deset na stepen deset na stepen od sto

Neću to zapisivati u brojkama. Googleplex ne znači apsolutno ništa. Osoba ne može zamisliti googolplex ničega, to je fizički nemoguće. Da biste zapisali takav broj, trebat će vam cijeli svemir koji se može promatrati, ako pišete "nano-olovkom" izravno u vakuumu, zapravo, u Planckovim stanicama kozmosa. Prevedimo svu materiju u tintu i ispunimo svemir jednim čvrstim brojevima, tada ćemo dobiti googolplex. Ali matematičari (strašni ljudi!) zagrijavaju se samo s googolprexom, ovo je najniža letvica s koje im kreću prave dobrote. A ako mislite da je googolplex u mjeri u kojoj je googolplex ono o čemu govorimo, nemate pojma KOLIKO ste u krivu.

Iza googolplexa ima mnogo zanimljivih brojeva koji imaju jednu ili drugu ulogu u matematičkim dokazima, koliko dugo i kratko, idemo ravno na Grahamov broj, nazvan po (pa, naravno) matematičaru Ronaldu Grahamu. Prvo ću vam reći što je i čemu služi, nakon čega ću figurativno i na prste™ opisati kolika je veličina, a zatim ću napisati sam broj. Točnije, pokušat ću objasniti što sam napisao.

Grahamov se broj pojavio u djelu posvećenom rješavanju jednog od problema u Ramseyevoj teoriji, a "Ramsey" ovdje nije nesvršeni particip, već prezime drugog matematičara, Franka Ramseya. Zadatak je, naravno, s filistarske točke gledišta prilično nategnut, iako nije jako zbunjen, čak i lako razumljiv.

Zamislite kocku čiji su svi vrhovi povezani linijama-segmentima dvije boje, crvene ili plave. Povezano i nasumično obojeno. Neki su već pogodili da je riječ o grani matematike koja se zove kombinatorika.

Što ako imamo više dimenzija? Što ako uzmemo ne kocku, već četverodimenzionalnu kocku, t.j. teserakt? Možemo li izvesti isti trik kao s 3D?

U pet dimenzija? I u petodimenzionalnom, gdje se kocka naziva penterakt ili pentakub, također je moguće.
I to u šest dimenzija.

A onda nastaju poteškoće. Graham nije mogao matematički dokazati da bi sedmodimenzionalna hiperkocka mogla izvesti takvu operaciju. I osmodimenzionalni i devetodimenzionalni, i tako dalje. No pokazalo se da zadano "i tako dalje" ne ide u beskonačnost, već završava s nekim vrlo velikim brojem, koji se zvao "Grahamov broj".

Odnosno, postoji neka minimalna dimenzija hiperkocke, pod kojom je uvjet narušen, i više nije moguće izbjeći kombinaciju segmenata bojanja da će četiri točke iste boje ležati u istoj ravnini. A ova minimalna dimenzija je točno veća od šest i točno manja od Grahamovog broja, ovo je matematički dokaz znanstvenika.

A sada definicija onoga što sam gore opisao u nekoliko pasusa, suhoparnim i dosadnim (ali prostranim) jezikom matematike. Nije potrebno razumjeti, ali ne mogu to ne donijeti.

Razmotrite n-dimenzionalnu hiperkocku i povežite sve parove vrhova kako biste dobili potpun graf s 2n vrhova. Obojite svaki rub ovog grafikona crvenom ili plavom bojom. Koja je najmanja vrijednost n za koju svako takvo bojanje nužno sadrži jednobojni potpuni podgraf s četiri vrha, koji svi leže u istoj ravnini?

Godine 1971. Graham je dokazao da ovaj problem ima rješenje, te da to rješenje (broj dimenzija) leži između broja 6 i nekog većeg broja, koji je kasnije (ne od samog autora) dobio ime po njemu. U 2008. godini dokaz je poboljšan, donja granica je podignuta, sada se željeni broj dimenzija nalazi već između broja 13 i Grahamovog broja. Matematičari ne spavaju, posao ide, opseg se sužava.

Od 70-ih je prošlo mnogo godina, pronađeni su matematički problemi u kojima se pojavljuju brojevi i više Grahama, ali ovaj prvi čudovišni broj toliko je impresionirao suvremenike koji su shvatili o kakvoj se mjeri radi da je 1980. uvršten u Guinnessovu knjigu rekorda kao “ najveći broj koji je ikada sudjelovao u rigoroznom matematičkom dokazu" u to vrijeme.

Pokušajmo shvatiti koliko je velik. Najveći broj koji može imati neko fizičko značenje je 10¹⁸⁵, a ako je cijeli Opservabilni svemir ispunjen naizgled beskonačnim skupom oskudnih brojeva, dobivamo nešto proporcionalno googolplexu.

Možete li zamisliti ovu zajednicu? Naprijed, nazad, gore, dolje, dokle oko seže i koliko može teleskop Hubble, pa čak i dokle nije dovoljno, do najudaljenijih galaksija i gledajući dalje od njih - brojevi, brojevi, brojevi puno manji od protona. Takav svemir, naravno, neće moći postojati još dugo, odmah će se srušiti u crnu rupu. Sjećate li se koliko informacija teoretski može stati u svemir?

Brojka je stvarno golema, lomi mozak. Nije baš jednako googolplexu, a nema ni ime pa ću ga nazvati "dochulion". Upravo sam shvatio zašto ne. Broj Planckovih stanica u Opservable svemiru i broj je napisan u svakoj ćeliji. Broj ima 10¹⁸⁵ znamenki i može se predstaviti kao

Otvorimo vrata percepcije malo šire. Sjećate li se teorije inflacije? Da je naš Svemir samo jedan od mnogih mjehurića u Multiverzumu. A ako zamislite dochulion takvih mjehurića? Uzmimo broj koliko je sve što postoji i zamislimo Multiverzum sa sličnim brojem svemira, od kojih je svaki ispunjen brojevima do oka - dobivamo dochulion dochuliona. Možete li ovo zamisliti? Kako lebdite u nepostojanju skalarnog polja, a svuda okolo su svemiri-svemiri i brojevi-brojevi-brojevi u njima... Nadam se da takva noćna mora (iako, zašto noćna mora?) neće mučiti (i) čemu mučiti?) noću pretjerano dojmljiv čitatelj.

Radi praktičnosti, takvu operaciju nazivamo "flip". Takav neozbiljan domet, kao da su uzeli Svemir i okrenuli ga naopačke, onda je bio unutra u brojevima, a sada, naprotiv, imamo onoliko svemira vani koliko je bilo brojeva, a svaka kutija je puna, puna brojevima. Dok guliš šipak, tako savijaš koru, zrna ispadnu iznutra, a granate su opet u zrnu. Također se pojavio u hodu, zašto ne, jer je radio s dohulionom.

na što ciljam? Isplati li se usporiti? Hajde, hoba, i još jedan okret! A sada imamo onoliko svemira koliko je bilo znamenki u svemirima, čiji je broj bio jednak broju znamenki koje su ispunile naš Svemir. I odmah, bez zaustavljanja, ponovno okrenite. I četvrti i peti. Deseti, tisućiti. Nastavite s misli, još uvijek zamišljate sliku?

Ne gubimo vrijeme na sitnice, raširimo krila mašte, ubrzajmo do maksimuma i flip flip flips. Svaki svemir okrećemo naopačke onoliko puta koliko je bilo svemira prije Huliona u prethodnom preokretu, koji je preokrenut od pretprošlog, koji ... ovaj ... pa, pratite li? Negdje tako. Neka sada naš broj postane, pretpostavimo, "dochouliard".

Dohouliard = flip flips

Ne prestajemo i ne prebacujemo dohulione dohouliarda sve dok imamo snage. Dok ne padne mrak u očima, dok ne poželiš vrisnuti. Ovdje, svaki hrabri Pinocchio za sebe, zaustavna riječ bit će "brynza".

Tako. o čemu se radi? Ogromni i beskonačni nizovi preokreta i dohouliardi svemira punih znamenki ne odgovaraju Grahamovom broju. Čak ni ne zagrebu površinu. Ako je Grahamov broj predstavljen u obliku štapa, tradicionalno rastegnutog preko cijelog Opservable svemira, onda će se ono što smo ovdje zalijepili zajedno ispostaviti kao usjek debljine ... pa ... kako to da kažem ovako , blago rečeno ... nedostojan spomena. Evo, ublažio sam ga koliko sam mogao.

Ajmo sad malo digresirati, predahnuti. Čitali smo, brojali, oči su nam bile umorne. Zaboravimo na Grahamov broj, još uvijek moramo puzati i puzati pred njim, defokusirati pogled, opustiti se, meditirati na puno manji, sasvim minijaturni broj, koji ćemo nazvati g₁, i zapisati ga u samo šest znakova:
g₁ = 33

Broj g₁ je "tri, četiri strelice, tri". Što to znači? Ovo je zapis koji se zove Knuthova oznaka strelice.

Jedna strelica znači obično eksponencijalnost.

44 = 4⁴ = 256

1010 = 10¹⁰ = 10.000.000.000

Dvije strelice znače, razumljivo, eksponencijaciju.

Ukratko, "broj strelica strelica drugi broj" pokazuje koliko su visoki stupnjevi (matematičari kažu "kula") izgrađeni od prvog broja. Na primjer, 58 znači toranj od osam petica i toliko je velik da se ne može izračunati ni na jednom superračunalu, čak ni na svim računalima na planetu u isto vrijeme.

Prijeđimo na tri strelice. Ako bi dvostruka strelica pokazivala visinu tornja od stupnjeva, onda bi trostruka strelica, čini se, označavala "visinu tornja visine tornja"? Što-tamo! U slučaju trojke imamo visinu tornja visinu tornja visinu tornja (u matematici ne postoji takav koncept, odlučio sam ga nazvati “bez tornja”). Nešto kao ovo:

To jest, 33 čini trojke bez tornja, visoke 7 trilijuna komada. Što je 7 trilijuna trojki naslaganih jedna na drugu i koja se naziva "bez tornja"? Ako ste pažljivo pročitali ovaj tekst i niste zaspali na samom početku, vjerojatno se sjećate da od Zemlje do Saturna ima 100 trilijuna centimetara. Trojka prikazana na ekranu u dvanaestom fontu, ova - 3 - visoka je pet milimetara. Tako će se trojke bez tornja protezati od vašeg ekrana... pa, ne do Saturna, naravno. Ni Sunce neće doseći, samo četvrtinu astronomske jedinice, otprilike isto kao od Zemlje do Marsa za lijepog vremena. Skrećem vam pažnju (ne spavajte!) da toranj nije broj od Zemlje do Marsa, to je toranj od stupnjeva takve visine. Sjećamo se da pet trojki u ovom tornju pokriva googolplex, izračun prvog decimetra trojki spaljuje sve osigurače planetarnih računala, a preostali milijuni kilometara stupnjeva već su beskorisni, jednostavno se otvoreno rugaju čitatelju, to je beskorisno ih brojati.

Sada je jasno da je 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3 bez tornja, (ne 3 do stupnja bez tornja, već "tri strelice bez tornja" (!)), ona bez tornja neće stati ni po dužini ni po visini u nju. Opservable Universe , i neće stati ni u navodni multiverzum.

Riječi završavaju na 35 = 33333, a međumeti završavaju na 36 = 333333, ali možete vježbati ako ste zainteresirani.

Prijeđimo na četiri strelice. Kao što ste mogli pretpostaviti, ovdje kupola sjedi na kupoli, vozi bez kupole, a čak i s kupolom koja bez kupole, nije važno. Samo ću šutke dati sliku koja otkriva shemu za izračunavanje četiri strelice, kada svaki sljedeći broj tornja stupnjeva određuje visinu tornja stupnjeva, koji određuje visinu tornja od stupnjeva, određuje visinu tornja stupnjeva. toranj stupnjeva ... i tako sve do samozaborava.

To je ono što je g₁, to je ono što je 33.

Odmoran? Sada se iz g₁ s novim snagama vraćamo na napad na Grahamov broj. Jeste li primijetili kako eskalacija raste od strelice do strelice?

33 = 7 625 597 484 987

33 = toranj, od Zemlje do Marsa.

33 = broj koji se ne može ni zamisliti ni opisati.

A zamislite kakva se digitalna noćna mora događa kad strijelac ima pet godina? Kad ih ima šest? Možete li zamisliti broj kada će strijelac biti sto? Ako možete, dopustite mi da vam skrenem pažnju na broj g₂, u kojem se ispostavlja da je broj ovih strelica jednak g₁. Zapamtite što je g₁, zar ne?

Sve što je do sada napisano, svi ti izračuni, stupnjevi i tornjevi koji ne staju u multiverzume multiverzuma, bili su potrebni samo jednom. Za prikaz BROJA STRELICA u broju g₂. Ne treba ništa brojati, možete se samo nasmijati i odmahnuti rukom.

Neću skrivati, postoji i g₃, koji sadrži g₂ strelice. Usput, je li još uvijek jasno da g₃ nije g₂ "na potenciju" od g₂, već broj tornjeva bez tornjeva koji određuju visinu tornjeva bez tornjeva koji određuju visinu... i tako niz cijeli lanac sve dok toplinska smrt svemira? Ovdje počinješ plakati.

Zašto plakati? Jer apsolutno istinito. Tu je i broj g₄, koji sadrži g₃ strelice između trojki. Tu je i g₅, ima g₆ i g₇ i g₁₇ i g₄₃...

Ukratko, ima ih 64 g. Svaka prethodna brojčano je jednaka broju strelica u sljedećoj. Posljednji g₆₄ je Grahamov broj, od kojeg se činilo da je sve počelo tako nevino. Ovo je broj dimenzija hiperkocke, što će svakako biti dovoljno da se segmenti ispravno obojaju u crvenu i plavu. Možda i manje, ovo je, da tako kažem, gornja granica. Napisano je kako slijedi:

i napiši ovako.

Postoje brojevi koji su tako nevjerojatno, nevjerojatno veliki da bi trebao cijeli svemir čak i da ih zapiše. Ali evo što stvarno izluđuje... neki od ovih neshvatljivo velikih brojeva iznimno su važni za razumijevanje svijeta.

Kad kažem "najveći broj u svemiru", stvarno mislim na najveći značajan broj, najveći mogući broj koji je na neki način koristan. Mnogo je kandidata za ovu titulu, ali odmah vas upozoravam: doista postoji rizik da će vas pokušaj razumijevanja svega ovoga oduševiti. A osim toga, s previše matematike, malo se zabavljaš.

Googol i googolplex

Edward Kasner

Mogli bismo početi s dva, vrlo vjerojatno najvećim brojevima za koje ste ikada čuli, a to su doista dva najveća broja koja imaju opšte prihvaćene definicije u Engleski jezik. (Postoji prilično precizna nomenklatura koja se koristi za brojeve koliko god želite, ali ova dva broja trenutno se ne nalaze u rječnicima.) Google, budući da je postao svjetski poznat (iako s greškama, napominjemo. zapravo je googol) u oblik Googlea, rođen je 1920. kao način da se djeca zainteresiraju za velike brojke.

U tu svrhu, Edward Kasner (na slici) poveo je svoja dva nećaka, Miltona i Edwina Sirotta, na turneju po New Jersey Palisadesu. Pozvao ih je da smisle bilo kakvu ideju, a onda je devetogodišnji Milton predložio "googol". Odakle mu ova riječ, nije poznato, ali Kasner je to odlučio ili će se broj u kojem sto nula iza jedinice od sada nazivati googol.

No, mladi Milton tu nije stao, smislio je još veći broj, googolplex. To je broj, prema Miltonu, koji prvo ima 1, a zatim onoliko nula koliko možete napisati prije nego što se umorite. Iako je ideja fascinantna, Kasner je smatrao da je potrebna formalnija definicija. Kao što je objasnio u svojoj knjizi Matematika i imaginacija iz 1940. godine, Miltonova definicija ostavlja otvorenom opasnu mogućnost da bi povremeni glupan mogao postati superiorniji matematičar od Alberta Einsteina samo zato što ima više izdržljivosti.

Tako je Kasner odlučio da će googolplex biti , ili 1, nakon čega slijedi googol nula. Inače, i u zapisu sličnom onom s kojim ćemo se baviti drugim brojevima, reći ćemo da je googolplex . Kako bi pokazao koliko je to očaravajuće, Carl Sagan je jednom primijetio da je fizički nemoguće zapisati sve nule googolplexa jer jednostavno nije bilo dovoljno mjesta u svemiru. Ako je cijeli volumen vidljivog svemira ispunjen finim česticama prašine veličine otprilike 1,5 mikrona, tada će broj razne načine položaj ovih čestica bit će približno jednak jednom googolplexu.

Lingvistički gledano, googol i googolplex su vjerojatno dva najveća značajna broja (barem na engleskom), ali, kao što ćemo sada utvrditi, postoji beskonačno mnogo načina da se definira "značaj".

Stvarni svijet

Ako govorimo o najvećem značajnom broju, postoji razuman argument da to stvarno znači da trebate pronaći najveći broj s vrijednošću koja stvarno postoji na svijetu. Možemo početi s trenutnom ljudskom populacijom, koja trenutno iznosi oko 6920 milijuna. Svjetski BDP u 2010. procijenjen je na oko 61.960 milijardi dolara, ali obje su brojke male u usporedbi s otprilike 100 bilijuna stanica koje čine ljudsko tijelo. Naravno, nijedan od ovih brojeva ne može se usporediti s puni brojčestica u svemiru, za koje se općenito smatra da je oko , a taj broj je toliko velik da naš jezik nema odgovarajuću riječ.

Možemo se malo poigrati s mjernim sustavima, čineći brojke sve veće i veće. Tako će masa Sunca u tonama biti manja nego u funtama. Sjajan način za to je korištenje Planckovih jedinica, koje su najmanje moguće mjere za koje još uvijek vrijede zakoni fizike. Na primjer, starost svemira u Planckovom vremenu je oko . Ako se vratimo na prvu Planckovu vremensku jedinicu nakon Velikog praska, vidjet ćemo da je gustoća Svemira tada bila . Sve nas je više, ali još nismo ni do googola došli.

Najveći broj s bilo kojom aplikacijom u stvarnom svijetu – ili, u ovom slučaju, primjenom u stvarnom svijetu – vjerojatno je jedna od najnovijih procjena broja svemira u multiverzumu. Taj je broj toliko velik da ljudski mozak doslovno neće moći percipirati sve te različite svemire, budući da je mozak sposoban samo za grube konfiguracije. Zapravo, ovaj broj je vjerojatno najveći broj s bilo kakvim praktičnim značenjem, ako ne uzmete u obzir ideju multiverzuma u cjelini. Međutim, tamo vreba još puno veći broj. Ali da bismo ih pronašli, moramo otići u područje čiste matematike, a nema boljeg mjesta za početak od prostih brojeva.

Mersenneovi prosti brojevi

Dio poteškoća je u pronalaženju dobre definicije što je "značajan" broj. Jedan od načina je razmišljanje u terminima prostih brojeva i kompozita. Prosti broj, kao što se vjerojatno sjećate iz školske matematike, je bilo koji prirodni broj(napomena ne jednako jednom) koji je samo po sebi djeljiv. Dakle, i su prosti brojevi, i i su složeni brojevi. To znači da se bilo koji složeni broj na kraju može predstaviti njegovim prostim djeliteljima. U određenom smislu, broj je važniji od, recimo, jer ga nema načina da se izrazi umnoškom manjih brojeva.

Očito možemo ići malo dalje. , na primjer, zapravo je pravedan , što znači da u hipotetičkom svijetu u kojem je naše znanje o brojevima ograničeno na , matematičar još uvijek može izraziti . Ali sljedeći broj je već prost, što znači da je jedini način da ga izrazimo izravno znati za njegovo postojanje. To znači da najveći poznati prosti brojevi igraju važnu ulogu, ali, recimo, googol - koji je u konačnici samo skup brojeva i , pomnožen zajedno - zapravo nema. A budući da su prosti brojevi uglavnom nasumični, ne postoji poznat način da se predvidi da će nevjerojatno velik broj zapravo biti prost. Do danas je otkrivanje novih prostih brojeva težak zadatak.

matematičari Drevna grčka imao koncept prostih brojeva barem još 500. pr. Kr., a 2000 godina kasnije ljudi su još uvijek znali što su prosti brojevi samo do oko 750. Euklidovi su mislioci vidjeli mogućnost pojednostavljenja, ali sve do renesanse matematičari to nisu mogli stvarno staviti u praksa. Ti su brojevi poznati kao Mersenneovi brojevi i nazvani su po francuskoj znanstvenici Marini Mersenne iz 17. stoljeća. Ideja je prilično jednostavna: Mersenneov broj je bilo koji broj oblika . Tako, na primjer, i ovaj broj je prost, isto vrijedi i za .

Mersenneovi prosti brojevi su mnogo brži i lakše za određivanje od bilo koje druge vrste prostih brojeva, a računala su teško radila na njihovom pronalaženju posljednjih šest desetljeća. Do 1952. najveći poznati prosti broj bio je broj — broj sa znamenkama. Iste godine na računalu je izračunato da je broj prost, a taj se broj sastoji od znamenki, što ga čini već mnogo većim od googola.

Od tada su u potrazi za računalima, a trenutno je . Mersenneov broj najveći prosti broj, poznat čovječanstvu. Otkriven 2008. godine, to je broj s gotovo milijunima znamenki. Ovo je najveći poznati broj koji se ne može izraziti nikakvim manjim brojevima, a ako želite pomoći pronaći još veći Mersenneov broj, vi (i vaše računalo) uvijek se možete pridružiti pretraživanju na http://www.mersenne. org/.

Skewes broj

Stanley Skuse

Vratimo se prostim brojevima. Kao što sam već rekao, ponašaju se u osnovi pogrešno, što znači da ne postoji način da se predvidi koji će biti sljedeći prosti broj. Matematičari su bili prisiljeni okrenuti se nekim prilično fantastičnim mjerenjima kako bi smislili neki način predviđanja budućih prostih brojeva, čak i na neki maglovit način. Najuspješniji od ovih pokušaja vjerojatno je funkcija koja broji proste brojeve, u kojoj je on došao krajem XVIII stoljeća legendarni matematičar Carl Friedrich Gauss.

Poštedjet ću vas kompliciranije matematike - u svakom slučaju, čeka nas još puno toga - ali bit funkcije je sljedeća: za bilo koji cijeli broj moguće je procijeniti koliko prostih brojeva ima manje od . Na primjer, ako , funkcija predviđa da bi trebali postojati prosti brojevi, ako - prosti brojevi manji od , i ako , tada postoje manji brojevi koji su prosti.

Raspored prostih brojeva je doista nepravilan i samo je aproksimacija stvarnog broja prostih brojeva. U stvari, znamo da postoje prosti brojevi manje od , prosti brojevi manje od , i prosti brojevi manji od . Ovaj izvrsna ocjena, da budemo sigurni, ali ovo je uvijek samo procjena ... i, točnije, procjena odozgo.

U svim poznatim slučajevima do , funkcija koja pronalazi broj prostih brojeva malo preuveličava stvarni broj prostih brojeva manji od . Matematičari su nekoć mislili da će to uvijek biti slučaj, ad infinitum, i da se to svakako odnosi na neke nezamislivo ogromne brojeve, ali je 1914. John Edensor Littlewood dokazao da će za neki nepoznati, nezamislivo ogroman broj, ova funkcija početi proizvoditi manje prostih brojeva, a zatim će se prebacivati između precijenjenja i podcjenjivanja beskonačan broj puta.

Lov je bio na početnu točku utrka i tu se pojavio Stanley Skuse (vidi fotografiju). Godine 1933. dokazao je da je gornja granica, kada funkcija koja aproksimira broj prostih brojeva prvi put daje manju vrijednost, broj. Teško je istinski razumjeti, čak i u najapstraktnijem smislu, što je zapravo taj broj, a s ove točke gledišta to je bio najveći broj ikada korišten u ozbiljnom matematičkom dokazu. Od tada su matematičari uspjeli svesti gornju granicu na relativno mali broj, ali je izvorni broj ostao poznat kao Skewesov broj.

Dakle, koliki je broj koji čak i moćnog googolplexa čini patuljkom? U Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells opisuje jedan način na koji je matematičar Hardy uspio shvatiti veličinu Skewesovog broja:

"Hardy je mislio da je to 'najveći broj koji je ikada služio bilo kojoj određenoj svrsi u matematici' i sugerirao je da ako se šah igra sa svim česticama svemira kao figurama, jedan potez bi se sastojao od zamjene dviju čestica, a igra bi prestala kada bi ista pozicija je ponovljena i treći put, tada bi broj svih mogućih partija bio jednak otprilike broju Skuse''.

Još jedna stvar prije nego što krenemo dalje: razgovarali smo o manjem od dva Skewesova broja. Postoji još jedan Skewesov broj, koji je matematičar pronašao 1955. godine. Prvi broj je izveden na temelju činjenice da je takozvana Riemannova hipoteza istinita - posebno teška hipoteza u matematici koja ostaje nedokazana, vrlo korisna kada su prosti brojevi u pitanju. Međutim, ako je Riemannova hipoteza pogrešna, Skewes je otkrio da se početna točka skoka povećava na .

Problem veličine

Prije nego dođemo do broja zbog kojeg čak i Skuseov broj izgleda sićušan, moramo malo popričati o mjerilu jer inače nemamo načina procijeniti kamo idemo. Uzmimo prvo broj - to je sićušan broj, toliko mali da ljudi zapravo mogu intuitivno razumjeti što znači. Vrlo je malo brojeva koji odgovaraju ovom opisu, budući da brojevi veći od šest više nisu odvojeni brojevi i postati "nekoliko", "mnogo" itd.

Sada uzmimo, t.j. . Iako ne možemo baš intuitivno, kao što smo to učinili za broj, shvatiti što, zamisliti što je to, vrlo je jednostavno. Zasad sve ide dobro. Ali što će se dogoditi ako odemo u ? Ovo je jednako , ili . Jako smo daleko od toga da bismo mogli zamisliti ovu vrijednost, kao i svaku drugu vrlo veliku - gubimo sposobnost shvaćanja pojedinih dijelova negdje oko milijun. (Istina, ludo veliki broj Trebalo bi vremena da se zapravo izbroji do milijun bilo čega, ali stvar je u tome da smo još uvijek u stanju percipirati ovaj broj.)

Međutim, iako ne možemo zamisliti, barem smo u stanju općenito razumjeti što je 7600 milijardi, možda usporedbom s nečim poput američkog BDP-a. Prešli smo od intuicije do reprezentacije do pukog razumijevanja, ali barem još uvijek imamo neku prazninu u našem razumijevanju što je broj. Ovo će se uskoro promijeniti dok se pomaknemo još jednu stepenicu na ljestvici.

Da bismo to učinili, moramo se prebaciti na zapis koji je uveo Donald Knuth, poznat kao zapis strelice. Ove oznake se mogu napisati kao . Kada tada odemo do , broj koji ćemo dobiti bit će . To je jednako gdje je zbroj trojki. Sada smo uvelike i uistinu nadmašili sve ostale već spomenute brojke. Uostalom, čak i najveći od njih imao je samo tri ili četiri člana u nizu indeksa. Na primjer, čak je i Super Skewes broj "samo" - čak i s činjenicom da su i baza i eksponenti puno veći od , to je još uvijek apsolutno ništa u usporedbi s veličinom brojčanog tornja s milijardama članova.

Očito, ne postoji način da se razumiju tako veliki brojevi... a opet, proces kojim se oni stvaraju još uvijek se može razumjeti. Nismo mogli razumjeti stvarni broj koji daje toranj moći, a to je milijardu trostrukih, ali u osnovi možemo zamisliti takav toranj s mnogo članova, a stvarno pristojno superračunalo će moći pohraniti takve tornjeve u memoriju, čak i ako ne mogu izračunati njihove stvarne vrijednosti .

Postaje sve apstraktnije, ali će biti samo gore. Možda mislite da je toranj potencija čija je eksponentna duljina (štoviše, u prethodnoj verziji ovog posta napravio sam upravo tu pogrešku), ali to je samo . Drugim riječima, zamislite da ste uspjeli izračunati točnu vrijednost tornja snage od trojki, koji se sastoji od elemenata, a zatim ste uzeli ovu vrijednost i stvorili novi toranj s onoliko koliko ... što daje .

Ponovite ovaj postupak sa svakim uzastopnim brojem ( Bilješka počevši s desne strane) dok to ne učinite jednom, a onda konačno dobijete . Ovo je broj koji je jednostavno nevjerojatno velik, ali barem se čini da su koraci za postizanje toga jasni ako se sve radi vrlo sporo. Više ne možemo razumjeti brojeve niti zamisliti postupak kojim se oni dobivaju, ali barem možemo razumjeti osnovni algoritam, tek za dovoljno dugo vremena.

Sada pripremimo um da ga zapravo raznese.

Grahamov (Grahamov) broj

Ronald Graham

Ovako dobivate Grahamov broj, koji se nalazi u Guinnessovoj knjizi svjetskih rekorda kao najveći broj ikada korišten u matematičkom dokazu. Apsolutno je nemoguće zamisliti koliko je velik, a jednako je teško i objasniti što je točno. U osnovi, Grahamov broj se pojavljuje kada se radi o hiperkockama, koje su teoretske geometrijski oblici s više od tri dimenzije. Matematičar Ronald Graham (vidi fotografiju) želio je saznati koji je najmanji broj dimenzija koje bi određene osobine hiperkocke održavale stabilnima. (Oprostite na ovom nejasnom objašnjenju, ali siguran sam da nam svima trebaju barem dva stupnja matematike da bismo bili precizniji.)

U svakom slučaju, Grahamov broj je gornja procjena ovog minimalnog broja dimenzija. Dakle, koliko je velika ova gornja granica? Vratimo se na broj koji je toliko velik da možemo prilično nejasno razumjeti algoritam za njegovo dobivanje. Sada, umjesto da samo skočimo još jednu razinu do , izbrojit ćemo broj koji ima strelice između prve i posljednje trojke. Sada smo daleko iznad čak i najmanjeg razumijevanja o tome što je taj broj ili čak o tome što treba učiniti da se izračuna.

Sada ponovite ovaj postupak puta ( Bilješka na svakom sljedećem koraku upisujemo broj strelica jednak broju dobivenom u prethodnom koraku).

Ovo, dame i gospodo, je Grahamov broj, koji je otprilike red veličine iznad točke ljudskog razumijevanja. To je broj koji je mnogo više od bilo kojeg broja koji možete zamisliti - daleko je više od bilo koje beskonačnosti koju biste ikada mogli zamisliti - jednostavno prkosi čak i najapstraktnijem opisu.

Ali ovdje je čudna stvar. Budući da je Grahamov broj u osnovi samo trojke pomnožene zajedno, znamo neka njegova svojstva, a da ga zapravo ne izračunamo. Ne možemo predstaviti Grahamov broj u bilo kojoj notaciji koja nam je poznata, čak i ako smo koristili cijeli svemir da ga zapišemo, ali mogu vam dati zadnjih dvanaest znamenki Grahamovog broja upravo sada: . I to nije sve: znamo barem posljednje znamenke Grahamovog broja.

Naravno, vrijedi zapamtiti da je ovaj broj samo gornja granica u Grahamovom izvornom problemu. Moguće je da je stvarni broj mjerenja potrebnih za postizanje željenog svojstva mnogo, puno manji. Zapravo, od 1980-ih, većina stručnjaka na tom području vjeruje da zapravo postoji samo šest dimenzija – broj toliko mali da ga možemo razumjeti na intuitivnoj razini. Donja granica je od tada povećana na , ali još uvijek postoji vrlo dobra šansa da rješenje Grahamovog problema ne leži blizu broja koji je velik kao Grahamov.

Do beskonačnosti

Dakle, postoje brojevi veći od Grahamovog broja? Tu je, naravno, za početak tu je Grahamov broj. Što se tiče značajnog broja... pa, postoje neka đavolski teška područja matematike (posebno područje poznato kao kombinatorika) i informatike, u kojima postoje brojevi čak i veći od Grahamovog broja. Ali skoro smo dosegli granicu onoga što se nadam da će ikada razumno objasniti. Za one koji su dovoljno nepromišljeni da odu i dalje, dodatno čitanje nudi se na vlastitu odgovornost.

Pa, sada nevjerojatan citat koji se pripisuje Douglasu Rayu ( Bilješka Da budem iskren, zvuči prilično smiješno:

“Vidim nakupine nejasnih brojeva kako vrebaju tamo u mraku, iza malene svjetlosne točke koju daje svijeća uma. Šapuću jedan drugome; pričati o tko zna čemu. Možda im se baš i ne sviđamo što smo svojim umom zarobili njihovu malu braću. Ili možda samo vode nedvosmislen numerički način života, vani, izvan našeg razumijevanja.''

Kako bismo nekako zamislili ljestvicu broja, analizirajmo njegov zapis detaljnije.

1 . Dakle, u matematici postoji koncept "hiperoperatora" za određivanje razine aritmetičkih operacija. Dakle, zbrajanje je hiperoperator prve razine, a hiperoperator druge razine je množenje, što je ponovljeno zbrajanje. Odnosno, množitelj je broj koji nam govori koliko puta je potrebno zbrojiti pomnoženu vrijednost. Na primjer: 3 3 = 3 + 3 + 3 = 9. Sljedeći hiperoperator je eksponencijacija, x n = x^n, što je u biti ponovljeno množenje. Primjer: 3 3 \u003d 3 3 3 \u003d 27. Zapisivanje 3 3 u Knuthovom zapisu izgledat će kao 33. Ovdje, radi jasnoće, treba reći da je prva znamenka u izrazu 33 vrijednost s kojom izvodimo radnju , a broj strelica između znamenki je aritmetička operacija; u ovom slučaju, jedna strelica znači eksponencijalnost. Druga znamenka označava stepen na koji treba podignuti prvu znamenku (koliko puta pomnožiti samu sebe). Prema tome, izraz 74 znači sedam na četvrti stepen. Drugim riječima, 7 se mora pomnožiti sa 7 četiri puta.

2 . Hiperoperator četvrte razine je tetracija, ponovljena eksponencijacija. U Knuthovom unosu, između brojeva su dvije strelice. Primjer: 33 \u003d 3 3 \u003d 3 3 3 \u003d 3 27 \u003d 7 625 597 484 987. To jest, druga znamenka u prisutnosti dvije strelice znači da toliko puta trebate podići prvi broj na moć samog sebe. Drugim riječima, pokazuje nam visinu tornja od prve znamenke. Na primjer, unos 58 znači toranj od osam petica naslaganih jedna na drugu kao kocke.

Oni čiji je mozak potpuno natečen od masti ili je zaokupljen samo mislima o tome kako pronaći chana, napumpati svog vilenjaka ili se riješiti akni, treba imati na umu da se izrazi izračunavaju u tetraciji odozgo prema dolje, ili s desna na lijevo. Jednostavno rečeno, 3 3 3 jednako je jebeno ne 27 3 , već isto 3 27 . Sada vidite, moj mali krzneni prijatelju, da je tetracija već prilično moćna notacija, koja vam omogućuje da u kratkom izrazu zapišete brojeve 100500 puta veće od samog 100500. Ali to nije sve, jer nije dovoljno moćan hiperoperator da izračunaj Grahamov broj.

3 . Idemo dalje: hiperoperator pete razine je pentacija (ponovljena tetracija). Tri strelice između brojeva. Tu počinje zajebavanje iz kojeg ljudi koji nisu profesionalni matematičari pljuju na sva ta sranja i više ih ne pokušavaju razumjeti. Ali ti nisi kao oni, zar ne? Ako ste mislili da se pentacija broja 3 rastavlja na 3 na stepen 7 625 597 484 987, varate se. Nemaš pojma koliko si u krivu. Jer 3 na stepen od 7 625 597 484 987 je samo 34. A pentacija je 33 = 3(33) = 3(7 625 597 484 987) = 33...( broj eksponencijacija - 7,625,597,484,987 puta)…3. Odnosno, dobiva se trostruki toranj snage s visinom većom od sedam i pol trilijuna katova! Drugim riječima, druga znamenka u prisutnosti tri strelice znači koliko će biti visok tetracijski toranj prve znamenke. Radi jasnoće: 34 se može napisati kao 3 3 3 3, ili 3 (3 (3 3)). I ovdje je glavna stvar razumjeti da ova kula tetracija nije kula stupnjeva, ovdje je eskalacija mnogo brža. 34 = 3 3 3 3 = 7 625 597 484 987 3 3.
Napokon je dobio, kujo! 34 je jednako 3 u tetraciji broja koji proizlazi iz izračunavanja tornja snage od broja 3 s visinom od 7,625,597,484,987 katova. Prema tome, ako se 34 zapiše kao energetski toranj od trojki, tada će broj katova u ovom tornju biti jednak broju koji će se dobiti pri izračunu tornja s visinom od 7.625.597.484.987 katova. Uvedeno? Nisam iznio, naravno, takve se količine ne mogu shvatiti naletom.

Ako ste još uvijek počeli polako ne shvaćati što se, dovraga, ovdje događa, onda ponovno pročitajte odlomak 2.

4 . I posljednji hiperoperator koji nam treba je heksacija. Kao što ste možda pogodili, četiri strelice između trojki. Riječ je, dakle, o ponovljenoj kazni. Druga znamenka u prisutnosti četiri strelice znači koliko će biti "pentation" toranj. 33 \u003d 3 (33) \u003d 333 ... 33, gdje je broj tetracija rezultat izračunavanja pentacije 33. Ako opet ništa ne razumijete, ponovno pročitajte točke 3 i 2.
Ako prijeđemo na sam kraj ovog nezamislivog lanca tetracija i počnemo ga računati, tada će druga trojka s kraja u tetraciji biti jednaka 7 625 597 484 987. A rezultat tetracije treće trojke iz kraj će biti broj dobiven pentacijom trojke u prethodnom paragrafu. A pred nama je još googolpleksa i googolpleksa ponovljenih tetracija broja 3. Već je beskorisno pokušavati nešto shvatiti, nekako prikriti rezultat... I ovdje se možete pitati: „Je li ovo stvarno Grahamov broj? Vau, kako ogromno!" Ali ne, to nije Grahamov broj. Bio je to samo matematički nagovještaj, i to zanemariv, nemjerljivo mali u usporedbi s Grahamovim brojem.

Dakle, heksacija je samo dodavanje jedne pišaće strijele pentaciji, ali rezultat se ispostavi da je veći za nezamisliv broj naredbi. A sada, zapravo, izračun Grahamovog broja. Broj tri u primjerima korišten je s razlogom, jer je Grahamov broj u biti pomnožene trojke. Dakle, nazovimo rezultat naše heksacije (33) G1. Ovo će biti prvi korak izračuna. Samo prvi. I sljedeći korak ubrzava napredovanje tako da dodavanje jedne, deset, MILIJUNA strelica između brojeva označava vrijeme. Drugi korak je izračun G2. Sada uzimamo rezultat naše heksatizacije trojke i napišemo izraz gdje će broj strelica superstupnjeva biti jednak ovom rezultatu. G2 = 3…(broj strelica supermoći - G1)…3. Pitam se kako se zove hiperoperater TAKVE razine?..

Snimanje ne samo rezultata, već i ovog hiperoperatora više nije moguće bez redukcije. A broj koji proizlazi iz njegovog izračuna (ako bi se, naravno, mogao izračunati) ispunio bi i Svemir i Paralelni svjetovi, i podprostor, i svaki drugi astral. I ne zaboravite da je u G1 broj strelica bio jednak četiri - a to je već broj koji nije dostupan za izračunavanje i pisanje na uobičajeni način! A u G2 ovaj broj je samo broj superstupnjeva. To je to. Napredak je nevjerojatno brz. A ovo je tek početak. Sljedeći korak je izračunavanje broja G3, gdje će broj strelica supermoći biti jednak G2! Na sličan način, nakon ovoga slijede još 62 koraka izračuna, pri čemu će rezultat svakog koraka biti samo broj strelica supermoći sljedećeg koraka, a Grahamov broj je G64!

Vaistenu, ponekad je matan gori od bilo koje droge.

Kako bismo nekako zamislili ljestvicu broja, analizirajmo njegov zapis detaljnije. Ovdje je potrebna neka preambula, ali, općenito, ništa neće biti previše komplicirano, pokušat ćemo sve opisati što je moguće jasnije.

1 . Dakle, u matematici postoji koncept "hiperoperatora" za određivanje razine aritmetičkih operacija. Dakle, zbrajanje je hiperoperator prve razine. Hiper operater druge razine - množenje. Množenje je ponovljeno zbrajanje. Odnosno, množitelj je broj koji nam govori koliko puta trebamo zbrojiti pomnoženu vrijednost. Na primjer: 3 3 = 3 + 3 + 3 = 9. Sljedeći hiperoperator je eksponencijacija, x n = x^n, što je u biti ponovljeno množenje. Primjer: 3 3 \u003d 3 3 3 \u003d 27. Zapisivanje 3 3 u Knuthovom zapisu izgledat će kao 33. Ovdje, radi jasnoće, treba reći da je prva znamenka u izrazu 33 vrijednost s kojom izvodimo radnju , broj strelica između brojeva - ovo je aritmetička operacija, u ovom slučaju jedna strelica znači eksponencijalnost. Druga znamenka označava stepen na koji treba podignuti prvu znamenku (koliko puta pomnožiti samu sebe). Prema tome, ako je izraz bio 74, onda to znači sedam do četvrtog stupnja. Drugim riječima, 7 se mora pomnožiti sa 7 četiri puta.

2 . Hiperoperator četvrte razine je tetracija. Tetracija je ponavljano eksponencijaliranje. U Knuthovom unosu, između brojeva su dvije strelice. Primjer: 33 \u003d 3 3 \u003d 3 3 3 \u003d 3 27 \u003d 7 625 597 484 987. To jest, druga znamenka u prisutnosti dvije strelice znači da toliko puta trebate podići prvi broj na moć samog sebe. Drugim riječima, pokazuje nam visinu tornja od prve znamenke. Na primjer, unos 58 znači toranj od osam petica naslaganih jedna na drugu kao kocke.

Oni čiji je mozak potpuno natečen od masti ili je zaokupljen samo mislima o tome kako pronaći čana, napumpati svog vilenjaka ili se riješiti akni, treba imati na umu da se izrazi izračunavaju u tetraciji odozgo prema dolje ili s desna na lijevo. Jednostavno rečeno, 3 3 3 jednako je jebeno ne 27 3 , već isto 3 27 . Sad vidiš, moj glupi mali prijatelju, da je tetracija već prilično moćna notacija, koja ti omogućuje da u kratkom izrazu zapišeš brojeve 100500 puta veće od samog 100500. Ali to nije sve, jer nije dovoljno moćan hiperoperator da izračunaj Grahamov broj.

3 . Idemo dalje: hiperoperator pete razine je pentacija (ponovljena tetracija). Tri strelice između brojeva. Tu počinje zajebavanje iz kojeg ljudi koji nisu profesionalni matematičari pljuju na sva ta sranja i više ih ne pokušavaju razumjeti. Ali ti nisi kao oni, zar ne? Ako ste mislili da se pentacija broja 3 rastavlja na 3 na stepen 7 625 597 484 987, varate se. Nemaš pojma koliko si u krivu. Jer 3 na stepen od 7 625 597 484 987 je samo 34. A pentacija je 33 = 3(33) = 3(7 625 597 484 987) = 33...( broj eksponencijacija - 7,625,597,484,987 puta)…3. Odnosno, dobiva se trostruki toranj snage s visinom većom od sedam i pol trilijuna katova! Drugim riječima, druga znamenka u prisutnosti tri strelice znači koliko će biti visok tetracijski toranj prve znamenke. Radi jasnoće: 34 se može napisati kao 3 3 3 3, ili 3 (3 (3 3)). I ovdje je glavna stvar razumjeti da ova kula tetracija nije kula stupnjeva, ovdje je eskalacija mnogo brža. 34 = 3 3 3 3 = 7 625 597 484 987 3 3. Napokon? 34 je jednako 3 u tetraciji broja koji proizlazi iz izračunavanja tornja snage od broja 3 s visinom od 7,625,597,484,987 katova. Prema tome, ako se 34 zapiše kao energetski toranj od trojki, tada će broj katova u ovom tornju biti jednak broju koji će se dobiti pri izračunu tornja s visinom od 7.625.597.484.987 katova. Uvedeno? Nisam iznio, naravno, takve se količine ne mogu shvatiti naletom.

Ako ste još uvijek počeli polako ne shvaćati što se, dovraga, ovdje događa, onda ponovno pročitajte odlomak 2.

4 . I posljednji hiperoperator koji nam treba je heksacija. Kao što ste možda pogodili, četiri strelice između trojki. Riječ je, dakle, o ponovljenoj kazni. Druga znamenka u prisutnosti četiri strelice znači koliko će biti "pentation" toranj. 33 \u003d 3 (33) \u003d 333 ... 33, pri čemu je broj tetracija rezultat izračunavanja pentacije 33. Ako opet ništa ne razumijete, onda ponovno pročitajte odlomke 3 i 2. Ako prijeđemo na kraj ovog nezamislivog lanca tetracija i počnite ga računati, tada će već druga trojka s kraja biti u tetraciji jednaka 7 625 597 484 987. A rezultat tetracije treće trojke s kraja bit će broj dobiven pentacijom trojke u prethodnom paragrafu. A pred nama je još googolpleksa i googolpleksa ponovljenih tetracija broja 3. Već je beskorisno pokušavati nešto shvatiti, nekako prikriti rezultat... I ovdje se možete pitati: „Je li ovo stvarno Grahamov broj? Vau, kako ogromno!" Ali ne, to nije Grahamov broj. Bio je to samo matematički nagovještaj, i to zanemariv, nemjerljivo mali u usporedbi s Grahamovim brojem.

Dakle, to je šesterokut. Ovo je samo dodavanje jedne strelice pentaciji, ali rezultat je nezamisliv broj redova veličine veći. A sada, zapravo, izračun Grahamovog broja. Broj tri u primjerima korišten je s razlogom, jer je Grahamov broj u biti pomnožene trojke. Dakle, nazovimo rezultat naše heksacije (33) G1. Ovo će biti prvi korak izračuna. Samo prvi. I sljedeći korak ubrzava napredovanje tako da dodavanje jedne, deset, MILIJUNA strelica između brojeva označava vrijeme. Drugi korak, izračun G2. Sada uzimamo rezultat naše heksatizacije trojke i napišemo izraz u kojem će broj strelica superstupnjeva biti jednak ovom rezultatu. G2 = 3…(broj strelica supermoći - G1)…3. Pitam se kako se zove hiperoperator TAKVE razine?.. Snimanje ne samo rezultata, nego ni ovog hiperoperatora više nije moguće bez redukcije. A broj koji proizlazi iz njegovog izračuna (ako bi ga, naravno, bilo moguće izračunati) ispunio bi svojim brojevima i Svemir, i paralelne svjetove, i podprostor, i bilo koji drugi astral. I ne zaboravite da je u G1 broj strelica bio jednak 4! A to je već broj koji nije dostupan za izračun i snimanje na uobičajen način! A u G2 ovaj broj je samo broj superstupnjeva. To je to. Napredak je nevjerojatno brz. A ovo je tek početak. Sljedeći korak je izračunavanje broja G3, gdje će broj strelica supermoći biti jednak G2! Isto tako, nakon toga slijede još 62 koraka izračuna, pri čemu će rezultat svakog koraka biti samo broj strelica supermoći sljedećeg koraka, a Grahamov broj je G64!

Vaistenu, ponekad je matan gori od bilo koje droge.