Modus und Median– eine besondere Art von Durchschnittswerten, die zur Untersuchung der Struktur der Variationsreihe verwendet werden. Sie werden im Gegensatz zu den zuvor diskutierten Leistungsdurchschnitten manchmal auch als strukturelle Durchschnitte bezeichnet.

Mode– Dies ist der Wert eines Merkmals (Variante), das in einer bestimmten Population am häufigsten vorkommt, d. h. hat die höchste Frequenz.

Mode hat einen großen praktischen Nutzen und in manchen Fällen kann nur Mode soziale Phänomene charakterisieren.

Median- Hierbei handelt es sich um eine Variante, die sich in der Mitte einer geordneten Variationsreihe befindet.

Der Median gibt die quantitative Grenze des Wertes eines variierenden Merkmals an, die von der Hälfte der Einheiten der Grundgesamtheit erreicht wurde. Die Verwendung des Medians zusammen mit dem Durchschnitt oder stattdessen ist ratsam, wenn die Variationsreihe offene Intervalle enthält, weil Zur Berechnung des Medians ist keine bedingte Festlegung der Grenzen offener Intervalle erforderlich, und daher hat der Mangel an Informationen darüber keinen Einfluss auf die Genauigkeit der Berechnung des Medians.

Der Median wird auch verwendet, wenn die als Gewichte zu verwendenden Indikatoren unbekannt sind. Bei statistischen Methoden der Produktqualitätskontrolle wird der Median anstelle des arithmetischen Mittels verwendet. Die Summe der absoluten Abweichungen der Optionen vom Median ist geringer als von jeder anderen Zahl.

Betrachten wir die Berechnung des Modus und des Medians in einer diskreten Variationsreihe :

Bestimmen Sie den Modus und den Median.

Mode Mo = 4 Jahre, da dieser Wert der höchsten Häufigkeit f = 5 entspricht.

Diese. Die meisten Arbeitnehmer verfügen über 4 Jahre Berufserfahrung.

Um den Median zu berechnen, ermitteln wir zunächst die halbe Summe der Häufigkeiten. Wenn die Summe der Häufigkeiten eine ungerade Zahl ist, dann addieren wir zu dieser Summe zunächst eins und teilen sie dann in zwei Hälften:

Der Median ist die achte Option.

Um herauszufinden, welche Option die achte Zahl ist, akkumulieren wir Häufigkeiten, bis wir eine Summe von Häufigkeiten erhalten, die gleich oder größer als die Hälfte der Summe aller Häufigkeiten ist. Die entsprechende Option ist der Median.

Meh = 4 Jahre.

Diese. Die Hälfte der Arbeitnehmer verfügt über weniger als vier Jahre Berufserfahrung, die andere Hälfte über mehr.

Wenn die Summe der akkumulierten Häufigkeiten für eine Option gleich der Hälfte der Summe der Häufigkeiten ist, wird der Median als arithmetisches Mittel dieser Option und der nächsten definiert.

Berechnung von Modus und Median in Intervallvariationsreihen

Der Modus in der Intervallvariationsreihe wird durch die Formel berechnet

Wo X M0- Anfangsgrenze des Modalintervalls,

HM 0 – der Wert des Modalintervalls,

FM 0 , FM 0-1 , FM 0+1 – Häufigkeit des Modalintervalls vor bzw. nach dem Modalintervall.

Modal Das Intervall, dem die höchste Häufigkeit entspricht, wird aufgerufen.

Beispiel 1

Gruppen nach Erfahrung	Anzahl der Arbeiter, Personen	Akkumulierte Frequenzen

Bestimmen Sie den Modus und den Median.

Modales Intervall, weil es entspricht der höchsten Frequenz f = 35. Dann:

Hm 0 =6, fм 0 =35

Zusätzlich zu Leistungsdurchschnitten in der Statistik für die relativen Merkmale des Wertes eines variierenden Merkmals und Interne Struktur Verteilungsreihen verwenden strukturelle Durchschnittswerte, die hauptsächlich durch dargestellt werden Mode und Median.

Mode- Dies ist die häufigste Variante der Serie. Mode wird beispielsweise bei der Bestimmung der Größe von Kleidung und Schuhen verwendet, die von den Kunden am meisten nachgefragt werden. Der Modus für eine diskrete Reihe ist der mit der höchsten Frequenz. Bei der Berechnung des Modus für eine Intervallvariationsreihe müssen Sie zunächst das Modalintervall (basierend auf der maximalen Häufigkeit) und dann den Wert des Modalwerts des Attributs mithilfe der Formel bestimmen:

Median - Dies ist der Wert des Attributs, das der Rangfolge zugrunde liegt und diese Reihe in zwei gleiche Teile teilt.

Um den Median zu bestimmen in einer diskreten Reihe Wenn Frequenzen verfügbar sind, berechnen Sie zunächst die Halbsumme der Häufigkeiten und bestimmen Sie dann, welcher Wert der Variante darauf fällt. (Wenn die sortierte Reihe eine ungerade Anzahl von Features enthält, wird die mittlere Anzahl anhand der Formel berechnet:

M e = (n (Anzahl der Features insgesamt) + 1)/2,

Bei einer geraden Anzahl von Merkmalen entspricht der Median dem Durchschnitt der beiden Merkmale in der Mitte der Zeile.

Bei der Berechnung des Medians für Intervallvariationsreihen Bestimmen Sie zunächst das Medianintervall, in dem der Median liegt, und bestimmen Sie dann den Wert des Medians mithilfe der Formel:

Beispiel. Finden Sie den Modus und den Median.

Lösung:
In diesem Beispiel liegt das Modalintervall in der Altersgruppe von 25–30 Jahren, da dieses Intervall die höchste Häufigkeit aufweist (1054).

Berechnen wir die Größe des Modus:

Das bedeutet, dass das Modalalter der Studierenden 27 Jahre beträgt.

Berechnen wir den Median. Das mittlere Intervall liegt in der Altersgruppe von 25–30 Jahren, da innerhalb dieses Intervalls eine Option besteht, die die Bevölkerung in zwei gleiche Teile teilt (Σf i /2 = 3462/2 = 1731). Als nächstes setzen wir die notwendigen numerischen Daten in die Formel ein und erhalten den Medianwert:

Das bedeutet, dass die Hälfte der Studierenden unter 27,4 Jahre alt ist, die andere Hälfte über 27,4 Jahre.

Zusätzlich zu Modus und Median können Indikatoren wie Quartile verwendet werden, die die Rangreihe in 4 gleiche Teile, Dezile – 10 Teile und Perzentile – in 100 Teile unterteilen.

Grundlegendes Konzept

Für experimentelle Daten, die aus einer Probe gewonnen wurden, kann man die Reihe berechnen numerische Merkmale(mehr).

Der Modus ist der numerische Wert, der in der Stichprobe am häufigsten vorkommt. Mode wird manchmal als bezeichnet Mo.

Beispielsweise ist im Reihenwert (2 6 6 8 9 9 9 10) der Modus 9, da 9 häufiger vorkommt als jede andere Zahl.

Der Modus stellt den am häufigsten auftretenden Wert dar (9 in diesem Beispiel) und nicht die Häufigkeit des Auftretens dieses Werts (3 in diesem Beispiel).

Mode findet man nach den Regeln

1. Für den Fall, dass alle Werte in der Stichprobe gleich häufig vorkommen, wird allgemein angenommen, dass diese Stichprobenreihe keinen Modus hat.

Zum Beispiel 556677 – in diesem Beispiel gibt es keine Mode.

2. Wenn zwei benachbarte (benachbarte) Werte die gleiche Frequenz haben und ihre Frequenz größer ist als die Frequenzen aller anderen Werte, wird der Modus als arithmetisches Mittel dieser beiden Werte berechnet.

Beispielsweise fallen in der Stichprobe 1 2 2 2 5 5 5 6 die Häufigkeiten benachbarter Werte 2 und 5 zusammen und sind gleich 3. Diese Häufigkeit ist größer als die Häufigkeit anderer Werte 1 und 6 (für die sie gilt). ist gleich 1).

Folglich wird der Modus dieser Serie sein.

3) Wenn zwei nicht benachbarte (nicht benachbarte) Werte in der Stichprobe gleiche Häufigkeiten aufweisen, die größer sind als die Häufigkeiten aller anderen Werte, werden zwei Modi unterschieden. Beispielsweise sind in der Serie 10 11 11 11 12 13 14 14 14 17 die Modi die Werte 11 und 14. In diesem Fall wird von der Stichprobe gesprochen bimodal.

Es kann auch sogenannte multimodale Verteilungen geben, die mehr als zwei Knoten (Moden) haben.

4) Wenn der Modus aus einem Satz gruppierter Daten geschätzt wird, muss zum Finden des Modus die Gruppe mit der höchsten Häufigkeit des Merkmals bestimmt werden. Diese Gruppe heißt Modalgruppe.

Median - bezeichnet Meh und ist definiert als ein Wert, bei dem mindestens 50 % der Stichprobenwerte kleiner und mindestens 50 % darüber sind.

Der Median ist der Wert, der einen geordneten Datensatz in zwei Hälften teilt.

Aufgabe 1. Finden Sie den Median der Stichprobe 9 3 5 8 4 11 13

Lösung Sortieren wir zunächst die Stichprobe nach den darin enthaltenen Werten. Wir erhalten 3 4 5 8 9 11 13. Da die Stichprobe sieben Elemente enthält, hat das vierte Element in der Reihenfolge einen Wert, der größer als die ersten drei und kleiner als die letzten drei ist. Somit ist der Median das vierte Element – ​​8

Aufgabe 2. Finden Sie den Stichprobenmedian 20, 9, 13, 1, 4, 11.

Ordnen wir die Stichprobe nach 1, 4, 9, 11, 13, 20. Da es eine gerade Anzahl von Elementen gibt, gibt es zwei „Mittelwerte“ – 9 und 13. In diesem Fall ist der Median als arithmetisches Mittel dieser Werte definiert

Arithmetische Mittel

Das arithmetische Mittel einer Reihe von n Zahlenwerten wird berechnet als

Um die Täuschung dieses Indikators zu verdeutlichen, geben wir ein bekanntes Beispiel: Eine 60-jährige Großmutter mit vier Enkelkindern passt in ein Abteil einer Kutsche: eines – 4 Jahre alt, zwei – 5 Jahre alt und eines – 6 Jahre alt. Das arithmetische Mittelalter aller Passagiere in diesem Abteil beträgt 80/5 = 16. In einem anderen Abteil befand sich eine Gruppe junger Menschen: zwei 15-Jährige, ein 16-Jähriger und zwei 17-Jährige. Das Durchschnittsalter der Passagiere in diesem Abteil beträgt ebenfalls 80/5 = 16 Jahre. Somit unterscheiden sich die Passagiere dieser Abteile nach arithmetischen Mitteln nicht. Aber wenn wir uns den Indikator ansehen Standardabweichung, dann stellt sich heraus, dass die durchschnittliche Spanne relativ zum Durchschnittsalter im ersten Fall 24,6 und im zweiten Fall 1 beträgt.

Darüber hinaus erweist sich der Durchschnitt als recht empfindlich gegenüber sehr kleinen oder sehr großen Werten, die von den Hauptwerten der gemessenen Merkmale abweichen. Angenommen, 9 Personen haben ein Einkommen von 4500 bis 5200 Tausend Dollar pro Monat. Der Wert ihres durchschnittlichen Einkommens beträgt 4.900 US-Dollar. Wenn wir zu dieser Gruppe eine Person mit einem Einkommen von 20.000.000 US-Dollar pro Monat hinzufügen, verschiebt sich der Durchschnitt der gesamten Gruppe und beträgt 6.410 US-Dollar, obwohl niemand aus der gesamten Stichprobe (bis auf eine Person) tatsächlich einen solchen Betrag erhält.

Es ist klar, dass eine ähnliche Verschiebung, jedoch in die entgegengesetzte Richtung, auch erreicht werden kann, wenn man zu dieser Gruppe eine Person mit einem sehr geringen Jahreseinkommen hinzufügt.

Beispielaufstrich

Streuen ( Umfang) Proben– die Differenz zwischen den Maximal- und Minimalwerten dieser bestimmten Variationsreihe. Bezeichnet mit dem Buchstaben R.

Bereich = Maximalwert – Minimalwert

Es ist klar, dass der R-Wert umso größer ist, je stärker das gemessene Merkmal variiert, und umgekehrt.

Es kann jedoch vorkommen, dass bei zwei Stichprobenreihen sowohl der Mittelwert als auch der Bereich gleich sind, die Art der Variation in diesen Reihen jedoch unterschiedlich ist. Beispielsweise werden zwei Stichproben angegeben

Streuung

Varianz ist das am häufigsten verwendete Maß für die Streuung einer Zufallsgröße (Variable).

Unter Dispersion versteht man das arithmetische Mittel der quadrierten Abweichungen der Werte einer Variablen von ihrem Mittelwert

Zusammen mit Durchschnittswerten werden Strukturmittelwerte als statistische Merkmale von Variationsreihen von Verteilungen berechnet – Mode Und Median.
Mode(Mo) stellt den Wert des untersuchten Merkmals dar, der mit der größten Häufigkeit wiederholt wird, d. h. Modus – der Wert eines Merkmals, das am häufigsten auftritt.
Median(Me) ist der Wert des Attributs, das in der Mitte der geordneten Grundgesamtheit liegt, d. h. Der Median ist der Zentralwert einer Variationsreihe.
Die Haupteigenschaft des Medians besteht darin, dass die Summe der absoluten Abweichungen der Attributwerte vom Median kleiner ist als von jedem anderen Wert ∑|x i - Me|=min.

Bestimmung von Modus und Median aus nicht gruppierten Daten

Lassen Sie uns überlegen Bestimmung von Modus und Median aus nicht gruppierten Daten. Angenommen, ein Arbeitsteam bestehend aus 9 Personen hat die folgenden Tarifkategorien: 4 3 4 5 3 3 6 2 6. Da diese Brigade die meisten Arbeiter der 3. Kategorie hat, wird diese Tarifkategorie modal sein. Mo = 3.
Um den Median zu ermitteln, ist eine Rangfolge erforderlich: 2 3 3 3 4 4 5 6 6 . Der zentrale Arbeiter in dieser Reihe ist ein Arbeiter der 4. Kategorie, daher wird diese Kategorie der Median sein. Wenn die Rangreihe eine gerade Anzahl von Einheiten umfasst, wird der Median als Durchschnitt der beiden zentralen Werte definiert.
Wenn der Modus die häufigste Variante des Attributwerts widerspiegelt, erfüllt der Median praktisch die Funktionen des Durchschnitts für eine heterogene Grundgesamtheit, die nicht dem Normalverteilungsgesetz folgt. Lassen Sie uns seine kognitive Bedeutung anhand des folgenden Beispiels veranschaulichen.
Nehmen wir an, wir müssen das durchschnittliche Einkommen einer Gruppe von 100 Personen charakterisieren, von denen 99 ein Einkommen im Bereich von 100 bis 200 Dollar pro Monat haben und das Monatseinkommen der letzteren 50.000 Dollar beträgt (Tabelle 1).
Tabelle 1 – Monatseinkommen der untersuchten Personengruppe. Wenn wir das arithmetische Mittel verwenden, erhalten wir ein Durchschnittseinkommen von etwa 600 bis 700 US-Dollar, was mit dem Einkommen des Hauptteils der Gruppe wenig gemein hat. Der Median, der in diesem Fall Me = 163 Dollar beträgt, ermöglicht uns eine objektive Beschreibung des Einkommensniveaus von 99 % dieser Personengruppe.
Betrachten wir die Bestimmung des Modus und des Medians mithilfe gruppierter Daten (Verteilungsreihen).
Nehmen wir an, dass die Verteilung der Arbeitnehmer des Gesamtunternehmens nach Tarifkategorien wie folgt aussieht (Tabelle 2).
Tabelle 2 – Verteilung der Arbeitnehmer in Unternehmen nach Tarifkategorien

Berechnung von Modus und Median für eine diskrete Reihe

Berechnung von Modus und Median für Intervallreihen

Berechnung von Modus und Median für eine Variationsreihe

Bestimmung des Modus aus einer diskreten Variationsreihe

Es wird eine zuvor erstellte, nach Wert sortierte Reihe von Attributwerten verwendet. Wenn die Stichprobengröße ungerade ist, nehmen wir den zentralen Wert; Wenn die Stichprobengröße gerade ist, bilden wir das arithmetische Mittel der beiden Zentralwerte.
Bestimmung des Modus aus einer diskreten Variationsreihe: Die 5. Tarifkategorie hat die höchste Frequenz (60 Personen), ist also modal. Mo = 5.
Um den Medianwert eines Merkmals zu bestimmen, wird die Anzahl der Medianeinheiten der Reihe (N Me) mithilfe der folgenden Formel ermittelt: , wobei n das Volumen der Grundgesamtheit ist.
In unserem Fall: .
Der resultierende Bruchwert, der immer auftritt, wenn gerade Zahl Bevölkerungseinheiten gibt an, dass der genaue Mittelwert zwischen 95 und 96 Arbeitnehmern liegt. Es muss ermittelt werden, welche Gruppe damit arbeitet Seriennummer. Dies kann durch die Berechnung der akkumulierten Häufigkeiten erfolgen. In der ersten Gruppe, wo es nur 12 Personen gibt, gibt es keine Arbeiter mit diesen Zahlen und in der zweiten Gruppe (12+48=60) gibt es keine. Der 95. und 96. Arbeitnehmer gehören zur dritten Gruppe (12+48+56=116), daher ist der Median die 4. Tarifkategorie.

Berechnung von Modus und Median in Intervallreihen

Im Gegensatz zu diskreten Variationsreihen erfordert die Bestimmung des Modus und des Medians aus Intervallreihen bestimmte Berechnungen auf der Grundlage von folgenden Formeln:
, (5.6)
Wo x 0– die untere Grenze des Modalintervalls (das Intervall mit der höchsten Häufigkeit wird Modalintervall genannt);
ich– der Wert des Modalintervalls;
f Mo– Häufigkeit des Modalintervalls;
f Mo -1– Häufigkeit des Intervalls vor dem modalen Intervall;
f Mo +1– Häufigkeit des Intervalls, das dem modalen folgt.
(5.7)
Wo x 0– die untere Grenze des Medianintervalls (der Median ist das erste Intervall, dessen kumulierte Häufigkeit die Hälfte der Gesamtsumme der Häufigkeiten übersteigt);
ich– der Wert des Medianintervalls;
S Ich -1– akkumuliertes Intervall vor dem Median;
Für mich– Häufigkeit des Medianintervalls.
Lassen Sie uns die Anwendung dieser Formeln anhand der Daten in der Tabelle veranschaulichen. 3.
Das Intervall mit den Grenzen 60 – 80 in dieser Verteilung wird modal sein, weil es hat die höchste Frequenz. Mit Formel (5.6) definieren wir den Modus:

Um das mittlere Intervall zu ermitteln, ist es notwendig, die akkumulierte Häufigkeit jedes nachfolgenden Intervalls zu bestimmen, bis sie die Hälfte der Summe der akkumulierten Häufigkeiten (in unserem Fall 50 %) überschreitet (Tabelle 5.11).
Es wurde festgestellt, dass der Median das Intervall mit Grenzen von 100 bis 120.000 Rubel ist. Bestimmen wir nun den Median:

Tabelle 3 – Verteilung der Bevölkerung der Russischen Föderation nach Höhe des durchschnittlichen nominalen Geldeinkommens pro Kopf im März 1994.

Gruppen nach der Höhe des durchschnittlichen monatlichen Pro-Kopf-Einkommens, Tausend Rubel.	Bevölkerungsanteil, %
Bis zu 20	1,4
20 – 40	7,5
40 – 60	11,9
60 – 80	12,7
80 – 100	11,7
100 – 120	10,0
120 – 140	8,3
140 –160	6,8
160 – 180	5,5
180 – 200	4,4
200 – 220	3,5
220 – 240	2,9
240 – 260	2,3
260 – 280	1,9
280 – 300	1,5
Über 300	7,7
Gesamt	100,0

Tabelle 4 – Bestimmung des Medianintervalls
Somit können das arithmetische Mittel, der Modus und der Median als verallgemeinertes Merkmal der Werte eines bestimmten Attributs für Einheiten einer Rangfolgepopulation verwendet werden.
Das Hauptmerkmal des Verteilzentrums ist das arithmetische Mittel, das dadurch gekennzeichnet ist, dass sich alle Abweichungen davon (positiv und negativ) zu Null addieren. Der Median zeichnet sich dadurch aus, dass die Summe der Modulabweichungen davon minimal ist und der Modus der Wert des am häufigsten vorkommenden Attributs ist.
Das Verhältnis von Modus, Median und arithmetischem Mittel gibt Aufschluss über die Art der Verteilung des Merkmals im Aggregat und ermöglicht die Beurteilung seiner Asymmetrie. Bei symmetrischen Verteilungen fallen alle drei Merkmale zusammen. Je größer die Abweichung zwischen Modus und arithmetischem Mittel ist, desto asymmetrischer ist die Reihe. Bei mäßig asymmetrischen Reihen ist die Differenz zwischen dem Modus und dem arithmetischen Mittel etwa dreimal so groß wie die Differenz zwischen dem Median und dem Mittelwert, d. h.:
|Mo –`x| = 3 |Me –`x|.

Bestimmung von Modus und Median durch grafische Methode

Der Modus und der Median in einer Intervallreihe können grafisch ermittelt werden. Der Modus wird durch das Verteilungshistogramm bestimmt. Wählen Sie dazu das höchste Rechteck aus, das in diesem Fall modal ist. Dann verbinden wir den rechten Scheitelpunkt des modalen Rechtecks ​​mit der oberen rechten Ecke des vorherigen Rechtecks. Und der linke Scheitelpunkt des modalen Rechtecks ​​– mit der oberen linken Ecke des nachfolgenden Rechtecks. Von ihrem Schnittpunkt aus senken wir die Senkrechte zur Abszissenachse. Die Abszisse des Schnittpunkts dieser Linien ist der Verteilungsmodus (Abb. 5.3).


Reis. 5.3. Grafische Bestimmung des Modus anhand eines Histogramms.


Reis. 5.4. Grafische Ermittlung des Medians durch Kumulieren
Um den Median aus einem Punkt auf der Skala der akkumulierten Häufigkeiten (Häufigkeiten) zu ermitteln, der 50 % entspricht, wird eine Gerade parallel zur Abszissenachse gezogen, bis sie die Summe schneidet. Dann wird vom Schnittpunkt aus eine Senkrechte auf die x-Achse abgesenkt. Die Abszisse des Schnittpunkts ist der Median.

Quartile, Dezile, Perzentile

Ebenso können Sie durch die Ermittlung des Medians in der Variationsreihe der Verteilung den Wert des Attributs für jede Einheit der Rangfolge ermitteln. So können Sie beispielsweise den Wert des Attributs für Einheiten ermitteln, die eine Reihe in vier gleiche Teile, in 10 oder 100 Teile, unterteilen. Diese Werte werden „Quartile“, „Dezile“, „Perzentile“ genannt.
Quartile stellen den Wert eines Merkmals dar, das die Rangfolge der Bevölkerung in vier gleiche Teile teilt.
Es gibt ein unteres Quartil (Q 1), von dem ein Viertel der Bevölkerung getrennt ist niedrigsten Werte charakteristisch und das obere Quartil (Q 3), wobei ¼ Teil davon abgeschnitten wird höchste Werte Zeichen. Dies bedeutet, dass 25 % der Einheiten in der Bevölkerung einen kleineren Wert Q 1 haben werden; 25 % der Einheiten werden zwischen Q 1 und Q 2 liegen; 25 % liegen zwischen Q 2 und Q 3 und die restlichen 25 % überschreiten Q 3. Das mittlere Quartil von Q2 ist der Median.
Zur Berechnung von Quartilen mithilfe einer Intervallvariationsreihe werden die folgenden Formeln verwendet:
, ,
Wo x Q 1– die untere Grenze des Intervalls, das das untere Quartil enthält (das Intervall wird durch die akkumulierte Häufigkeit bestimmt, wobei die erste 25 % überschreitet);
x Q 3– die untere Grenze des Intervalls, das das obere Quartil enthält (das Intervall wird durch die akkumulierte Häufigkeit bestimmt, wobei die erste 75 % überschreitet);
ich– Intervallgröße;
S Q 1-1– kumulierte Häufigkeit des Intervalls, das dem Intervall vorausgeht, das das untere Quartil enthält;
S Q 3-1– kumulierte Häufigkeit des Intervalls, das dem Intervall vorausgeht, das das obere Quartil enthält;
f Q 1– Häufigkeit des Intervalls, das das untere Quartil enthält;
f Q 3– Häufigkeit des Intervalls, das das obere Quartil enthält.
Betrachten wir die Berechnung des unteren und oberen Quartils gemäß den Daten in der Tabelle. 5.10. Das untere Quartil liegt im Bereich 60 – 80, dessen kumulative Häufigkeit 33,5 % beträgt. Das obere Quartil liegt im Bereich 160 – 180 mit einer kumulierten Häufigkeit von 75,8 %. Unter Berücksichtigung dessen erhalten wir:
,
.
In den Variationsbereichen der Verteilung können neben Quartilen auch Dezile bestimmt werden – Optionen, die die geordnete Variationsreihe in zehn Teile unterteilen gleiche Teile. Das erste Dezil (d 1) teilt die Bevölkerung im Verhältnis 1/10 zu 9/10, das zweite Dezil (d 1) – im Verhältnis 2/10 zu 8/10 usw.
Sie werden nach den Formeln berechnet:
, .
Die charakteristischen Werte, die die Reihe in hundert Teile unterteilen, werden Perzentile genannt. Die Verhältnisse von Medianen, Quartilen, Dezilen und Perzentilen sind in Abb. dargestellt. 5.5.