Nachdem die Potenz einer Zahl bestimmt wurde, ist es logisch, darüber zu sprechen Abschlusseigenschaften. In diesem Artikel geben wir die grundlegenden Eigenschaften der Potenz einer Zahl an und gehen dabei auf alle möglichen Exponenten ein. Hier liefern wir Beweise für alle Eigenschaften von Graden und zeigen auch, wie diese Eigenschaften beim Lösen von Beispielen verwendet werden.
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Eigenschaften von Graden mit natürlichen Exponenten
Nach Definition einer Potenz mit natürlichem Exponenten ist die Potenz a n das Produkt von n Faktoren, von denen jeder gleich a ist. Basierend auf dieser Definition und auch unter Verwendung Eigenschaften der Multiplikation reeller Zahlen können wir Folgendes erhalten und begründen Eigenschaften des Grades mit natürlichem Exponenten:
- die Haupteigenschaft des Grades a m ·a n =a m+n, seine Verallgemeinerung;
- Eigenschaft von Quotientenpotenzen mit identischer Basis a m:a n =a m−n ;
- Produktleistungseigenschaft (a·b) n =a n ·b n , seine Erweiterung;
- Eigenschaft eines Quotienten in natürlicher Grad(a:b) n =a n:b n ;
- Potenzierung eines Grades (a m) n =a m·n, seine Verallgemeinerung (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
- Vergleich des Grades mit Null:
- wenn a>0, dann a n>0 für jede natürliche Zahl n;
- wenn a=0, dann a n =0;
- wenn ein<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 wenn a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- wenn a und b positive Zahlen sind und a
- wenn m und n gleich sind ganze Zahlen, dass m>n, dann bei 0
- wenn m und n gleich sind ganze Zahlen, dass m>n, dann bei 0
Beachten wir sofort, dass alle geschriebenen Gleichheiten gelten identisch Unter den angegebenen Bedingungen können sowohl der rechte als auch der linke Teil ausgetauscht werden. Zum Beispiel die Haupteigenschaft des Bruchs a m ·a n =a m+n mit Ausdrücke vereinfachen wird oft in der Form a m+n =a m ·a n verwendet.
Schauen wir uns nun jeden von ihnen im Detail an.
Beginnen wir mit der Eigenschaft des Produkts zweier Potenzen mit gleichen Basen, die man nennt die Haupteigenschaft des Abschlusses: Für jede reelle Zahl a und alle natürlichen Zahlen m und n gilt die Gleichung a m ·a n =a m+n.
Lassen Sie uns die Haupteigenschaft des Abschlusses beweisen. Durch die Definition einer Potenz mit natürlichem Exponenten kann das Produkt von Potenzen mit gleichen Basen der Form a m ·a n als Produkt geschrieben werden. Aufgrund der Eigenschaften der Multiplikation kann der resultierende Ausdruck wie folgt geschrieben werden: 
, und dieses Produkt ist eine Potenz der Zahl a mit einem natürlichen Exponenten m+n, also a m+n. Damit ist der Beweis abgeschlossen.
Lassen Sie uns ein Beispiel geben, das die Haupteigenschaft des Abschlusses bestätigt. Nehmen wir Grade mit den gleichen Basen 2 und natürlichen Potenzen 2 und 3. Mithilfe der Grundeigenschaft der Grade können wir die Gleichheit 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 schreiben. Überprüfen wir seine Gültigkeit, indem wir die Werte der Ausdrücke 2 2 · 2 3 und 2 5 berechnen. Wir führen eine Potenzierung durch 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 und 2 5 =2·2·2·2·2=32, da gleiche Werte erhalten werden, dann ist die Gleichheit 2 2 ·2 3 =2 5 richtig und bestätigt die Haupteigenschaft des Grades.
Die grundlegende Eigenschaft eines Grades, die auf den Eigenschaften der Multiplikation basiert, kann auf das Produkt von drei oder mehr Potenzen mit denselben Basen und natürlichen Exponenten verallgemeinert werden. Für jede Anzahl k natürlicher Zahlen n 1, n 2, …, n k gilt also die folgende Gleichheit: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.
Zum Beispiel, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Wir können zur nächsten Eigenschaft von Potenzen mit einem natürlichen Exponenten übergehen – Eigenschaft von Quotientenpotenzen mit gleichen Basen: Für jede reelle Zahl a ungleich Null und beliebige natürliche Zahlen m und n, die die Bedingung m>n erfüllen, gilt die Gleichheit a m:a n =a m−n.
Bevor wir den Beweis dieser Eigenschaft vorlegen, wollen wir die Bedeutung der zusätzlichen Bedingungen in der Formulierung diskutieren. Die Bedingung a≠0 ist notwendig, um eine Division durch Null zu vermeiden, da 0 n =0 ist, und als wir uns mit der Division vertraut machten, waren wir uns einig, dass wir nicht durch Null dividieren können. Damit wir nicht über die natürlichen Exponenten hinausgehen, wird die Bedingung m>n eingeführt. Tatsächlich ist der Exponent a m−n für m>n eine natürliche Zahl, andernfalls ist er entweder Null (was für m−n der Fall ist) oder eine negative Zahl (was für m der Fall ist). Nachweisen. Die Haupteigenschaft eines Bruchs ermöglicht es uns, die Gleichheit zu schreiben a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Aus der resultierenden Gleichung a m−n ·a n =am folgt, dass a m−n ein Quotient der Potenzen a m und a n ist. Damit ist die Eigenschaft von Quotientenpotenzen mit identischer Basis bewiesen. Geben wir ein Beispiel. Nehmen wir zwei Grade mit den gleichen Basen π und den natürlichen Exponenten 5 und 2, die Gleichheit π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 entspricht der betrachteten Eigenschaft des Grades. Lassen Sie uns nun überlegen Produktleistungseigenschaft: Die natürliche Potenz n des Produkts zweier beliebiger reeller Zahlen a und b ist gleich dem Produkt der Potenzen a n und b n , d. h. (a·b) n =a n ·b n . Tatsächlich haben wir nach der Definition eines Grades mit einem natürlichen Exponenten Hier ist ein Beispiel: Diese Eigenschaft erstreckt sich auf die Potenz des Produkts von drei oder mehr Faktoren. Das heißt, die Eigenschaft des natürlichen Grades n des Produkts von k Faktoren wird geschrieben als (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n. Der Übersichtlichkeit halber zeigen wir diese Eigenschaft anhand eines Beispiels. Für das Produkt aus drei Faktoren hoch 7 gilt: Die folgende Eigenschaft ist Eigenschaft eines Quotienten in Form von Sachleistungen: Der Quotient der reellen Zahlen a und b, b≠0 zur natürlichen Potenz n ist gleich dem Quotienten der Potenzen a n und b n, also (a:b) n =a n:b n. Der Nachweis kann anhand der bisherigen Eigenschaft erfolgen. Also (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, und aus der Gleichung (a:b) n ·b n =a n folgt, dass (a:b) n der Quotient von a n dividiert durch b n ist. Schreiben wir diese Eigenschaft am Beispiel konkreter Zahlen: Lassen Sie es uns jetzt aussprechen Eigenschaft, eine Macht zu einer Macht zu erheben: Für jede reelle Zahl a und alle natürlichen Zahlen m und n ist die Potenz von a m hoch n gleich der Potenz der Zahl a mit dem Exponenten m·n, d. h. (a m) n =a m·n. Zum Beispiel (5 2) 3 =5 2·3 =5 6. Der Beweis der Power-to-Degree-Eigenschaft ist die folgende Gleichungskette: Die betrachtete Eigenschaft kann von Grad zu Grad usw. erweitert werden. Beispielsweise gilt für alle natürlichen Zahlen p, q, r und s die Gleichheit Es bleibt noch auf die Eigenschaften des Vergleichs von Graden mit einem natürlichen Exponenten einzugehen. Beginnen wir mit dem Beweis der Eigenschaft, Null und Potenz mit einem natürlichen Exponenten zu vergleichen. Beweisen wir zunächst, dass a n > 0 für jedes a > 0 gilt. Das Produkt zweier positiver Zahlen ist eine positive Zahl, wie aus der Definition der Multiplikation hervorgeht. Diese Tatsache und die Eigenschaften der Multiplikation legen nahe, dass das Ergebnis der Multiplikation einer beliebigen Anzahl positiver Zahlen auch eine positive Zahl sein wird. Und die Potenz einer Zahl a mit natürlichem Exponenten n ist per Definition das Produkt von n Faktoren, von denen jeder gleich a ist. Mit diesen Argumenten können wir behaupten, dass für jede positive Basis a der Grad a n eine positive Zahl ist. Aufgrund der nachgewiesenen Eigenschaft 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 und Es ist ziemlich offensichtlich, dass für jede natürliche Zahl n mit a=0 der Grad von a n Null ist. Tatsächlich ist 0 n =0·0·…·0=0 . Beispiel: 0 3 =0 und 0 762 =0. Kommen wir nun zu den negativen Gradzahlen. Beginnen wir mit dem Fall, dass der Exponent eine gerade Zahl ist, bezeichnen wir ihn als 2·m, wobei m eine natürliche Zahl ist. Dann Wenn schließlich die Basis a eine negative Zahl und der Exponent eine ungerade Zahl 2 m−1 ist, dann Kommen wir zur Eigenschaft, Potenzen mit denselben natürlichen Exponenten zu vergleichen, die wie folgt formuliert ist: Von zwei Potenzen mit denselben natürlichen Exponenten ist n kleiner als diejenige, deren Basis kleiner ist, und größer ist diejenige, deren Basis größer ist . Lass es uns beweisen. Ungleichheit a n Eigenschaften von Ungleichungen eine beweisbare Ungleichung der Form a n ist ebenfalls wahr (2.2) 7 und Es bleibt noch die letzte der aufgeführten Eigenschaften von Potenzen mit natürlichen Exponenten zu beweisen. Formulieren wir es. Von zwei Potenzen mit natürlichen Exponenten und identischen positiven Basen kleiner als eins ist diejenige größer, deren Exponent kleiner ist; und von zwei Potenzen mit natürlichen Exponenten und identischen Basen größer als eins ist diejenige größer, deren Exponent größer ist. Fahren wir mit dem Beweis dieser Eigenschaft fort. Beweisen wir das für m>n und 0 Es bleibt der Nachweis des zweiten Teils der Immobilie. Beweisen wir, dass für m>n und a>1 a m >a n gilt. Die Differenz a m −a n nach Entfernen von a n aus Klammern hat die Form a n ·(a m−n −1) . Dieses Produkt ist positiv, da für a>1 der Grad a n eine positive Zahl ist und die Differenz a m−n −1 eine positive Zahl ist, da aufgrund der Anfangsbedingung m−n>0 ist, und für a>1 der Grad a m−n ist größer als eins. Folglich gilt: a m −a n >0 und a m >a n , was bewiesen werden musste. Diese Eigenschaft wird durch die Ungleichung 3 7 >3 2 veranschaulicht.
. Basierend auf den Eigenschaften der Multiplikation kann das letzte Produkt umgeschrieben werden als 
, was gleich a n · b n ist.
.
.
.
. Zur besseren Übersicht hier ein Beispiel mit konkreten Zahlen: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. Denn jedes der Produkte der Form a·a ist gleich dem Produkt der Moduli der Zahlen a und a, also eine positive Zahl. Daher wird das Produkt auch positiv sein 
und Grad a 2·m. Geben wir Beispiele: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 und .
. Alle Produkte a·a sind positive Zahlen, das Produkt dieser positiven Zahlen ist ebenfalls positiv und seine Multiplikation mit der verbleibenden negativen Zahl a ergibt eine negative Zahl. Aufgrund dieser Eigenschaft (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
.
Eigenschaften von Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Da positive ganze Zahlen natürliche Zahlen sind, stimmen alle Eigenschaften von Potenzen mit positiven ganzzahligen Exponenten genau mit den im vorherigen Absatz aufgeführten und bewiesenen Eigenschaften von Potenzen mit natürlichen Exponenten überein.
Wir haben einen Grad mit einem ganzzahligen negativen Exponenten sowie einen Grad mit einem Exponenten von Null so definiert, dass alle Eigenschaften von Graden mit natürlichen Exponenten, ausgedrückt durch Gleichheiten, gültig bleiben. Daher gelten alle diese Eigenschaften sowohl für Nullexponenten als auch für negative Exponenten, wobei natürlich die Basen der Potenzen von Null verschieden sind.
Für alle reellen und ungleich Null Zahlen a und b sowie alle ganzen Zahlen m und n gilt also Folgendes: Eigenschaften von Potenzen mit ganzzahligen Exponenten:
- a m ·a n =a m+n ;
- a m:a n =a m−n ;
- (a·b) n =a n ·b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n =a m·n ;
- Wenn n eine positive ganze Zahl ist, sind a und b positive Zahlen und a b−n ;
- wenn m und n ganze Zahlen sind und m>n , dann bei 0
Wenn a=0, sind die Potenzen a m und a n nur dann sinnvoll, wenn sowohl m als auch n positive ganze Zahlen, also natürliche Zahlen, sind. Somit gelten die gerade geschriebenen Eigenschaften auch für die Fälle, in denen a=0 ist und die Zahlen m und n positive ganze Zahlen sind.
Der Beweis jeder dieser Eigenschaften ist nicht schwierig; dazu genügt es, die Definitionen von Graden mit natürlichen und ganzzahligen Exponenten sowie die Eigenschaften von Operationen mit reellen Zahlen zu verwenden. Lassen Sie uns als Beispiel beweisen, dass die Potenz-zu-Potenz-Eigenschaft sowohl für positive ganze Zahlen als auch für nicht positive ganze Zahlen gilt. Dazu müssen Sie zeigen, dass, wenn p Null oder eine natürliche Zahl ist und q Null oder eine natürliche Zahl ist, die Gleichungen (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) und (a −p) −q =a (−p)·(−q). Lass es uns tun.
Für positive p und q wurde im vorherigen Absatz die Gleichheit (a p) q =a p·q bewiesen. Wenn p=0, dann gilt (a 0) q =1 q =1 und a 0·q =a 0 =1, woraus (a 0) q =a 0·q. Wenn q=0, dann gilt in ähnlicher Weise (a p) 0 =1 und a p·0 =a 0 =1, woraus (a p) 0 =a p·0. Wenn sowohl p=0 als auch q=0, dann (a 0) 0 =1 0 =1 und a 0·0 =a 0 =1, woraus (a 0) 0 =a 0·0.
Nun beweisen wir, dass (a −p) q =a (−p)·q . Per Definition einer Potenz mit einem negativen ganzzahligen Exponenten 
. Durch die Eigenschaft von Quotienten zu Potenzen haben wir 
. Da 1 p =1·1·…·1=1 und , dann . Der letzte Ausdruck ist per Definition eine Potenz der Form a −(p·q), die aufgrund der Multiplikationsregeln als a (−p)·q geschrieben werden kann.
Ebenfalls 
.
UND 
.
Nach dem gleichen Prinzip können Sie alle anderen Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten beweisen, geschrieben in Form von Gleichungen.
In der vorletzten der aufgezeichneten Eigenschaften lohnt es sich, auf den Beweis der Ungleichung a −n > b −n einzugehen, die für jede negative ganze Zahl −n und alle positiven a und b gilt, für die die Bedingung a erfüllt ist . Da nach Bedingung a 0 . Das Produkt a n · b n ist auch positiv als Produkt positiver Zahlen a n und b n . Dann ist der resultierende Bruch positiv als Quotient der positiven Zahlen b n −a n und a n ·b n . Daher ist a −n > b −n , was bewiesen werden musste.
Die letzte Eigenschaft von Potenzen mit ganzzahligen Exponenten wird auf die gleiche Weise bewiesen wie eine ähnliche Eigenschaft von Potenzen mit natürlichen Exponenten.
Eigenschaften von Potenzen mit rationalen Exponenten
Wir haben einen Grad mit einem gebrochenen Exponenten definiert, indem wir die Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten darauf erweitert haben. Mit anderen Worten: Potenzen mit gebrochenen Exponenten haben die gleichen Eigenschaften wie Potenzen mit ganzzahligen Exponenten. Nämlich:
Der Beweis der Eigenschaften von Graden mit gebrochenem Exponenten basiert auf der Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten und auf den Eigenschaften eines Grades mit ganzzahligem Exponenten. Lassen Sie uns Beweise liefern.
Per Definition einer Potenz mit gebrochenem Exponenten und dann 
. Die Eigenschaften der arithmetischen Wurzel ermöglichen es uns, die folgenden Gleichungen zu schreiben. Wenn wir außerdem die Eigenschaft eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten verwenden, erhalten wir , woraus wir durch die Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten haben 
, und der Indikator des erreichten Abschlusses kann wie folgt transformiert werden: . Damit ist der Beweis abgeschlossen.
Die zweite Eigenschaft von Potenzen mit gebrochenen Exponenten wird auf ganz ähnliche Weise bewiesen: 
Die übrigen Gleichheiten werden nach ähnlichen Prinzipien bewiesen: 
Fahren wir mit dem Beweis der nächsten Eigenschaft fort. Beweisen wir, dass für jedes positive a und b a gilt b p . Schreiben wir die rationale Zahl p als m/n, wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist. Bedingungen S<0 и p>0 in diesem Fall die Bedingungen m<0 и m>0 entsprechend. Für m>0 und a
Ebenso gilt für m<0 имеем a m >b m , woher also und a p > b p .
Es bleibt noch die letzte der aufgeführten Eigenschaften zu beweisen. Beweisen wir das für Rationale Zahlen p und q, p>q bei 0 
Und 
. Und die Definition eines Grades mit einem rationalen Exponenten ermöglicht es uns, zu Ungleichungen überzugehen und dementsprechend. Von hier aus ziehen wir die endgültige Schlussfolgerung: für p>q und 0
Eigenschaften von Potenzen mit irrationalen Exponenten
Aus der Art und Weise, wie ein Grad mit irrationalem Exponenten definiert ist, können wir schließen, dass er alle Eigenschaften von Graden mit rationalem Exponenten aufweist. Für alle a>0, b>0 und irrationalen Zahlen p und q gilt also Folgendes Eigenschaften von Potenzen mit irrationalen Exponenten:
- a p ·a q =a p+q ;
- a p:a q =a p−q ;
- (a·b) p =a p ·b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q =a p·q ;
- für alle positiven Zahlen a und b, a 0 die Ungleichung a p b p ;
- für irrationale Zahlen p und q, p>q bei 0
Daraus können wir schließen, dass Potenzen mit beliebigen reellen Exponenten p und q für a>0 die gleichen Eigenschaften haben.
Referenzliste.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematiklehrbuch für die 5. Klasse. Bildungsinstitutionen.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: Lehrbuch für die 7. Klasse. Bildungsinstitutionen.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: Lehrbuch für die 8. Klasse. Bildungsinstitutionen.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: Lehrbuch für die 9. Klasse. Bildungsinstitutionen.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere. Algebra und die Anfänge der Analysis: Lehrbuch für die Klassen 10 - 11 allgemeinbildender Bildungseinrichtungen.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Berufsanfänger).
S. Schestakow,
Moskau
Eine schriftliche Prüfung
Klasse 11
1. Berechnungen. Ausdrücke konvertieren
§ 3. Potenz mit reellem Exponenten
Die Übungen in § 5 des ersten Kapitels der Sammlung beziehen sich hauptsächlich auf die Exponentialfunktion und ihre Eigenschaften. In diesem Abschnitt wird wie in den vorherigen Abschnitten nicht nur die Fähigkeit getestet, Transformationen auf der Grundlage bekannter Eigenschaften durchzuführen, sondern auch die Beherrschung der funktionalen Symbolik durch die Schüler. Unter den Aufgaben der Sammlung lassen sich folgende Gruppen unterscheiden:
- Übungen zum Testen der Beherrschung der Definition einer Exponentialfunktion (1.5.A06, 1.5.B01–B04) und der Fähigkeit, Funktionssymbole zu verwenden (1.5A02, 1.5.B05, 1.5C11);
- Übungen zur Transformation von Ausdrücken, die eine Potenz mit einem reellen Exponenten enthalten, und zur Berechnung der Werte solcher Ausdrücke und der Werte der Exponentialfunktion (1.5B07, 1.5B09, 1.5.C02, 1.5.C04, 1.5.C05, 1.5D03, 1.5D05, 1.5.D10 usw.);
- Übungen zum Vergleichen der Werte von Ausdrücken, die eine Potenz mit einem reellen Exponenten enthalten, wobei die Eigenschaften einer Potenz mit einem reellen Exponenten und einer Exponentialfunktion verwendet werden müssen (1.5.B11, 1.5C01, 1.5C12, 1.5D01, 1.5D11) ;
- andere Übungen (einschließlich derjenigen im Zusammenhang mit der Positionsschreibweise von Zahlen, Progressionen usw.) – 1.5.A03, 1.5.B08, 1.5.C06, 1.5. C09, 1.5.C10, 1.5.D07, 1.5.D09.
Betrachten wir eine Reihe von Problemen im Zusammenhang mit der funktionalen Symbolik.
1.5.A02. e) Funktionen sind gegeben
Finden Sie den Wert des Ausdrucks f 2 (x) – g 2 (x).
Lösung. Verwenden wir die Formel für die Quadratdifferenz:
Antwort: –12.
1.5.C11. b) Funktionen sind gegeben
Finden Sie den Wert des Ausdrucks f(x) f(y) – g(x) g(y), wenn f(x – y) = 9.
Wir präsentieren kurze Lösungen für Übungen zur Transformation von Ausdrücken, die eine Potenz enthalten, mit einem reellen Exponenten und zur Berechnung der Werte solcher Ausdrücke und der Werte der Exponentialfunktion.
1.5.B07. a) Es ist bekannt, dass 6 A – 6 –A= 6. Finden Sie den Wert des Ausdrucks (6 A– 6) 6 A .
Lösung. Aus den Problembedingungen folgt 6 A – 6 = 6 -A. Dann
(6 A– 6) 6a = 6 -A· 6 A = 1.
1.5.C05. b) Finden Sie den Wert von Ausdruck 7 a–b, Wenn 
Lösung. Nach Bedingung 
Teilen Sie Zähler und Nenner der linken Seite dieser Gleichheit durch 7 b. Wir bekommen 
Machen wir einen Ersatz. Sei y = 7 a–b. Die Gleichheit nimmt die Form an
Lösen wir die resultierende Gleichung
Die nächste Gruppe von Übungen sind Aufgaben zum Vergleichen der Werte von Ausdrücken, die eine Potenz mit einem reellen Exponenten enthalten, wobei die Eigenschaften einer Potenz mit einem reellen Exponenten und einer Exponentialfunktion verwendet werden müssen.
1.5.B11. b) Ordnen Sie die Zahlen f(60), g(45) und h(30) in absteigender Reihenfolge an, wenn f(x) = 5 x , g(x) = 7 x und h(x) = 3 x .
Lösung. f(60) = 5 60 , g(45) = 7 45 und h(30) = 3 30 .
Lassen Sie uns diese Grade umwandeln, um die gleichen Indikatoren zu erhalten:
5 60 =625 15 , 7 45 =343 15 , 3 30 =9 15 .
Schreiben wir die Basen in absteigender Reihenfolge: 625 > 343 > 9.
Daher ist die erforderliche Reihenfolge f(60), g(45), h(30).
Antwort: f(60), g(45), h(30).
1.5.C12. a) Vergleichen Sie 
, wobei x und y einige reelle Zahlen sind.
Lösung. 
Deshalb 
Deshalb 
Da 3 2 > 2 3, erhalten wir das 
Antwort: 
1.5.D11. a) Vergleichen Sie die Zahlen 
Da bekommen wir 
Antwort: 
Um unseren Überblick über Potenzprobleme mit reellen Exponenten zu vervollständigen, betrachten wir Übungen zur Positionsschreibweise von Zahlen, Progressionen usw.
1.5.A03. b) Gegeben sei die Funktion f(x) = (0,1) x. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 6f(3) + 9f(2) + 4f(1) + 4f(0).
4f(0) + 4f(1) + 9f(2) + 6f(3) = 4 1 + 4 0,1 + 9 0,01 + 6 0,001 = 4,496.
Somit ist dieser Ausdruck eine Erweiterung in die Summe der Dezimaleinheiten von 4,496.
Antwort: 4.496.
1.5.D07. a) Gegeben sei die Funktion f(x) = 0,1 x. Finden Sie den Wert des Ausdrucks f 3 (1) – f 3 (2) + f 3 (3) + ... + (–1) n–1 f 3 (n) + ...
f 3 (1)–f 3 (2)+f 3 (3)+...+(–1) n–1 f 3 (n)+...= 0,1 3 –0,1 6 +0 ,1 9 + ...+(–1) n–1 · 0,1 3n + ...
Dieser Ausdruck ist die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge mit dem ersten Term 0,001 und dem Nenner –0,001. Der Betrag beträgt 
1.5.D09. a) Finden Sie den Wert des Ausdrucks 5 2x +5 2y +2 5x · 5 y – 25 y · 5 x, wenn 5 x –5 y =3, x + y = 3.
5 2x +5 2y +25 x 5 y –25 y 5 x =(5 x – 5 y) 2 +2 5 x 5 y +5 x 5 y (5 x – 5 y)=3 2 +2 · 5 x +y +5 x+y · 3=3 2 +2 · 5 3 +3 · 5 3 =634.
Antwort: 634.
§ 4. Logarithmische Ausdrücke
Wenn Sie das Thema „Transformation logarithmischer Ausdrücke“ (§ 1.6 der Sammlung) wiederholen, sollten Sie sich eine Reihe grundlegender Formeln im Zusammenhang mit Logarithmen merken:
Hier finden Sie eine Reihe von Formeln, deren Kenntnis zur Lösung von Problemen der Stufen A und B nicht erforderlich ist, die jedoch bei der Lösung komplexerer Probleme nützlich sein können (die Anzahl dieser Formeln kann je nach Ansicht des Lehrers entweder reduziert oder erhöht werden). und der Grad der Vorbereitung der Studierenden):
Die meisten Übungen aus § 1.6 der Sammlung lassen sich in eine der folgenden Gruppen einordnen:
- Übungen zur direkten Verwendung der Definition und Eigenschaften von Logarithmen (1.6.A03, 1.6.A04, 1.6.B01, 1.6.B05, 1.6.B08, 1.6.B10, 1.6.C09, 1.6.D01, 1.6.D08 , 1.6.D10);
- Übungen zur Berechnung des Wertes eines logarithmischen Ausdrucks aus einem gegebenen Wert eines anderen Ausdrucks oder Logarithmus (1.6.C02, 1.6.C09, 1.6.D02);
- Übungen zum Vergleich der Werte zweier Ausdrücke, die Logarithmen enthalten (1.6.C11);
- Übungen mit einer komplexen mehrstufigen Aufgabe (1.6.D11, 1.6.D12).
Wir präsentieren kurze Lösungen zu Übungen zur direkten Verwendung der Definition und Eigenschaften von Logarithmen.
1.6.B05. a) Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks 
Lösung. 
Der Ausdruck nimmt die Form an
1.6.D08. b) Finden Sie den Wert des Ausdrucks (1 – log 4 36)(1 – log 9 36).
Lösung. Nutzen wir die Eigenschaften von Logarithmen:
(1 – log 4 36)(1 – log 9 36) =
= (1 – log 4 4 – log 4 9)(1 – log 9 4 – log 9 9) =
= –log 4 9 · (–log 9 4) = 1.
1.6.D10. a) Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks 
Lösung. Lassen Sie uns den Zähler transformieren:
log 6 42 log 7 42=(1 + log 6 7)(1 + log 7 6)=1 + log 6 7 + log 7 6 + log 6 7 log 7 6.
Aber log 6 7 log 7 6 = 1. Daher ist der Zähler 2 + log 6 7 + log 7 6 und der Bruch ist 1.
Fahren wir mit der Lösung von Übungen zur Berechnung des Werts eines logarithmischen Ausdrucks aus einem gegebenen Wert eines anderen Ausdrucks oder Logarithmus fort.
1.6.D02. a) Finden Sie den Wert des Ausdrucks log 70 320, wenn log 5 7= A, log 7 2= B.
Lösung. Lassen Sie uns den Ausdruck umwandeln. Kommen wir zur Basis 7:
Aus der Bedingung folgt, dass 
. Deshalb 
Das folgende Problem erfordert den Vergleich der Werte zweier Ausdrücke, die Logarithmen enthalten.
1.6.C11. a) Vergleichen Sie die Zahlen 
Lösung. Reduzieren wir beide Logarithmen zur Basis 2.
Daher sind diese Zahlen gleich.
Antwort: Diese Zahlen sind gleich.
Selbstständige Arbeit eines Erstsemesterstudenten zum Thema „Abschlüsse“ mit realem Indikator. Eigenschaften des Grades mit reellem Exponenten (6 Stunden)
Studieren Sie theoretisches Material und machen Sie sich Notizen (2 Stunden)
Lösen Sie ein Kreuzworträtsel (2 Stunden)
Vollständiger Hausaufgabentest (2 Stunden)
Nachfolgend finden Sie Referenz- und didaktisches Material
Zum Begriff eines Grades mit rationalem Exponenten
Einige der meistenhäufig anzutreffen
Arten transzendentaler Funktionen, vorher
Völlig bezeichnend, bieten Sie Zugriff auf
Viel Recherche.
L. Eiler
Aus der Praxis, immer komplexere algebraische Probleme zu lösen und mit Graden zu arbeiten, entstand die Notwendigkeit, das Konzept des Grades zu verallgemeinern und durch die Einführung von Null-, negativen und gebrochenen Zahlen als Indikator zu erweitern.
Die Gleichung a 0 = 1 (für ) wurde in seinen Werken zu Beginn des 15. Jahrhunderts verwendet. Samarkand-Wissenschaftler al-Kashi. Unabhängig davon wurde der Nullindikator im 15. Jahrhundert von N. Shuke eingeführt. Letzteres führte auch negative Exponenten ein. Die Idee gebrochener Exponenten ist in seinem Werk des französischen Mathematikers N. Oresme (XIV. Jahrhundert) enthalten
Arbeit „Algorithmus der Proportionen“. Anstelle unseres Zeichens schrieb er , stattdessen schrieb er 4. Oresme formuliert die Regeln für den Umgang mit Graden verbal, zum Beispiel (in moderner Notation): , 
usw.
Später finden sich sowohl gebrochene als auch negative Exponenten in „Vollständige Arithmetik“ (1544) des deutschen Mathematikers M. Stiefel und bei S. Stevin. Letzterer schreibt, dass die Wurzel des Grades P aus der Nummer A kann als Abschluss betrachtet werden A mit einem Bruchindikator.
Die Zweckmäßigkeit der Einführung von Null-, negativen und gebrochenen Exponenten sowie modernen Symbolen wurde erstmals 1665 vom englischen Mathematiker John Wallis ausführlich beschrieben. Seine Arbeit wurde von I. Newton abgeschlossen, der begann, neue Symbole systematisch anzuwenden, woraufhin sie allgemein verwendet wurden.
Die Einführung einer Potenz mit einem rationalen Exponenten ist eines von vielen Beispielen für die Verallgemeinerung des Konzepts einer mathematischen Aktion. Ein Grad mit Null-, negativem und gebrochenem Exponenten wird so definiert, dass auf ihn die gleichen Handlungsregeln anwendbar sind, die für einen Grad mit natürlichem Exponenten gelten, also die Grundeigenschaften des ursprünglich definierten Gradbegriffs sind erhalten, nämlich:
Die neue Definition eines Grades mit rationalem Exponenten widerspricht nicht der alten Definition eines Grades mit natürlichem Exponenten, d. h. die Bedeutung der neuen Definition eines Grades mit rationalem Exponenten bleibt für den Sonderfall eines Grades mit gleich ein natürlicher Exponent. Dieses bei der Verallgemeinerung mathematischer Konzepte beachtete Prinzip wird als Prinzip der Permanenz (Erhaltung, Konstanz) bezeichnet. Es wurde 1830 vom englischen Mathematiker J. Peacock in unvollkommener Form ausgedrückt und 1867 vom deutschen Mathematiker G. Hankel vollständig und klar begründet. Das Prinzip der Permanenz wird auch bei der Verallgemeinerung und Erweiterung des Zahlbegriffs beachtet zum Konzept einer reellen Zahl und davor - bei der Einführung des Konzepts der Multiplikation mit einem Bruch usw.
Potenzfunktion undGrafikGleichungen lösen undUngleichheiten
Dank der Entdeckung der Koordinatenmethode und der analytischen Geometrie ab dem 17. Jahrhundert. Eine allgemein anwendbare grafische Untersuchung von Funktionen und die grafische Lösung von Gleichungen wurden möglich.
Leistung Eine Funktion wird als Funktion der Form bezeichnet
wobei α eine konstante reelle Zahl ist. Zunächst beschränken wir uns jedoch nur auf rationale Werte von α und schreiben statt Gleichheit (1):
Wo - Rationale Zahl. Für bzw. per Definition gilt:
bei=1, y = x.
Zeitplan Die erste dieser Funktionen in der Ebene ist eine Gerade parallel zur Achse Oh, und der zweite ist die Winkelhalbierende des ersten und dritten Koordinatenwinkels.
Wenn der Graph einer Funktion eine Parabel ist . Descartes, der das erste Unbekannte durch bezeichnete z, der zweite - durch ja, dritter - durch X:, schrieb die Parabelgleichung wie folgt: ( z- Abszisse). Er benutzte oft die Parabel, um Gleichungen zu lösen. Um beispielsweise eine Gleichung 4. Grades zu lösen
Descartes verwendet Substitution
habe eine quadratische Gleichung mit zwei Unbekannten:
Darstellung eines Kreises in einer Ebene (zx) mit Parabel (4). So führt Descartes das zweite Unbekannte ein (X), teilt Gleichung (3) in zwei Gleichungen (4) und (5) auf, von denen jede einen bestimmten Ort von Punkten darstellt. Die Ordinaten ihrer Schnittpunkte ergeben die Wurzeln von Gleichung (3).
„Eines Tages beschloss der König, aus seinen Höflingen einen ersten Assistenten auszuwählen. Er führte alle zu einem riesigen Schloss. „Wer es zuerst öffnet, wird erster Assistent.“ Niemand hat das Schloss überhaupt berührt. Nur ein Wesir kam und drückte auf das Schloss, das sich öffnete. Es war nicht verschlossen.
Dann sagte der König: „Sie erhalten diese Position, weil Sie sich nicht nur auf das verlassen, was Sie sehen und hören, sondern auch auf Ihre eigene Stärke und keine Angst haben, es zu versuchen.“
Und heute werden wir versuchen, die richtige Entscheidung zu treffen.
1. Mit welchem mathematischen Konzept sind die Wörter verbunden:
Base
Indikator (Grad)
Welche Wörter können verwendet werden, um die Wörter zu kombinieren:
Rationale Zahl
Ganze Zahl
Natürliche Zahl
Irrationale Zahl (reelle Zahl)
Formulieren Sie das Thema der Lektion. (Grad mit reellem Exponenten)
– Wiederholen Sie die Eigenschaften des Abschlusses
– Erwägen Sie die Verwendung von Gradeigenschaften in Berechnungen und Vereinfachungen von Ausdrücken
– Entwicklung von Computerkenntnissen.
Also ein p, wobei p eine reelle Zahl ist.
Nennen Sie Beispiele (wählen Sie aus den Ausdrücken 5 –2, , 43, ) Grad
– mit natürlichem Indikator
– mit einem ganzzahligen Indikator
– mit einem rationalen Indikator
– mit einem irrationalen Indikator
Für welche Werte von a ist der Ausdruck sinnvoll?
a n , wobei n (a – beliebig)
a m , wobei m (a ungleich 0) ist. Wie gelangt man von einem Grad mit negativem Exponenten zu einem Grad mit positivem Exponenten?
Wobei p, q (a > 0)
Welche Operationen (mathematische Operationen) können mit Abschlüssen durchgeführt werden?
Übereinstimmen:
|
Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen |
Die Basen werden multipliziert, der Exponent bleibt jedoch gleich |
|
Bei der Potenzteilung mit gleichen Basen |
Die Basen sind geteilt, aber der Indikator bleibt derselbe |
In diesem Artikel werden wir herausfinden, was es ist Grad von. Hier geben wir Definitionen der Potenz einer Zahl und betrachten im Detail alle möglichen Exponenten, beginnend mit dem natürlichen Exponenten und endend mit dem irrationalen Exponenten. Im Material finden Sie viele Beispiele für Abschlüsse, die alle auftretenden Feinheiten abdecken.
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Potenz mit natürlichem Exponenten, Quadrat einer Zahl, Potenz einer Zahl
Lass uns beginnen mit . Nehmen wir für die Zukunft an, dass die Definition der Potenz einer Zahl a mit natürlichem Exponenten n für a gegeben ist, die wir nennen werden Abschlussbasis, und n, die wir nennen werden Exponent. Wir weisen auch darauf hin, dass ein Grad mit einem natürlichen Exponenten durch ein Produkt bestimmt wird. Um das folgende Material zu verstehen, müssen Sie also Kenntnisse über die Multiplikation von Zahlen haben.
Definition.
Potenz einer Zahl mit natürlichem Exponenten n ist ein Ausdruck der Form a n, dessen Wert gleich dem Produkt von n Faktoren ist, von denen jeder gleich a ist, also .
Insbesondere ist die Potenz einer Zahl a mit Exponent 1 die Zahl a selbst, also a 1 =a.
Erwähnenswert sind gleich die Regeln für das Lesen von Abschlüssen. Die universelle Schreibweise a n lautet: „a hoch n“. In manchen Fällen sind auch die folgenden Optionen akzeptabel: „a hoch n-tel“ und „n-te Potenz a“. Nehmen wir zum Beispiel die Potenz 8 12, das ist „acht hoch zwölf“ oder „acht hoch zwölfte Potenz“ oder „zwölfte Potenz von acht“.
Sowohl die zweite Potenz einer Zahl als auch die dritte Potenz einer Zahl haben jeweils eigene Namen. Die zweite Potenz einer Zahl heißt Quadriere die Zahl Beispielsweise wird 7 2 als „Sieben im Quadrat“ oder „das Quadrat der Zahl Sieben“ gelesen. Die dritte Potenz einer Zahl heißt Würfelzahlen Beispielsweise kann 5 3 als „fünf gewürfelt“ gelesen werden, oder man kann „Würfel der Zahl 5“ sagen.
Es ist Zeit zu bringen Beispiele für Grade mit natürlichen Exponenten. Beginnen wir mit dem Grad 5 7, hier ist 5 die Basis des Grades und 7 der Exponent. Geben wir ein weiteres Beispiel: 4,32 ist die Basis und die natürliche Zahl 9 ist der Exponent (4,32) 9 .
Bitte beachten Sie, dass im letzten Beispiel die Basis der Potenz 4,32 in Klammern geschrieben ist: Um Unstimmigkeiten zu vermeiden, werden wir alle Basen der Potenz, die sich von natürlichen Zahlen unterscheiden, in Klammern setzen. Als Beispiel geben wir die folgenden Grade mit natürlichen Exponenten an 
, ihre Basen sind keine natürlichen Zahlen, daher werden sie in Klammern geschrieben. Nun, der vollständigen Klarheit halber zeigen wir an dieser Stelle den Unterschied, der in Datensätzen der Form (−2) 3 und −2 3 enthalten ist. Der Ausdruck (−2) 3 ist eine Potenz von −2 mit einem natürlichen Exponenten von 3, und der Ausdruck −2 3 (er kann als −(2 3) geschrieben werden) entspricht der Zahl, dem Wert der Potenz 2 3 .
Beachten Sie, dass es eine Notation für die Potenz einer Zahl a mit einem Exponenten n der Form a^n gibt. Wenn n außerdem eine mehrwertige natürliche Zahl ist, wird der Exponent in Klammern angegeben. Beispielsweise ist 4^9 eine andere Schreibweise für die Potenz von 4 9 . Und hier sind einige weitere Beispiele für die Schreibweise von Graden mit dem Symbol „^“: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Im Folgenden verwenden wir hauptsächlich die Gradschreibweise der Form a n .
Eines der umgekehrten Probleme zur Potenzierung mit einem natürlichen Exponenten ist das Problem, die Basis einer Potenz aus einem bekannten Wert der Potenz und einem bekannten Exponenten zu ermitteln. Diese Aufgabe führt zu .
Es ist bekannt, dass die Menge der rationalen Zahlen aus ganzen Zahlen und Brüchen besteht und jeder Bruch als positiver oder negativer gewöhnlicher Bruch dargestellt werden kann. Wir haben im vorherigen Absatz einen Grad mit einem ganzzahligen Exponenten definiert. Um die Definition eines Grades mit einem rationalen Exponenten zu vervollständigen, müssen wir daher dem Grad der Zahl a mit einem gebrochenen Exponenten m/n eine Bedeutung geben, wobei m ist eine ganze Zahl und n ist eine natürliche Zahl. Lass es uns tun.
Betrachten wir einen Grad mit einem gebrochenen Exponenten der Form. Damit die Power-to-Power-Eigenschaft gültig bleibt, muss die Gleichheit gelten 
. Wenn wir die resultierende Gleichheit und die Art und Weise, wie wir sie bestimmt haben, berücksichtigen, ist es logisch, sie zu akzeptieren, vorausgesetzt, dass der Ausdruck für gegebenes m, n und a sinnvoll ist.
Es lässt sich leicht überprüfen, dass für alle Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten gültig sind (dies wurde im Abschnitt Eigenschaften eines Grades mit einem rationalen Exponenten durchgeführt).
Die obige Argumentation ermöglicht es uns, Folgendes zu sagen Abschluss: Wenn m, n und a gegeben sind, ergibt der Ausdruck einen Sinn, dann heißt die Potenz von a mit einem gebrochenen Exponenten m/n die n-te Wurzel von a hoch m.
Diese Aussage bringt uns der Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten nahe. Es bleibt nur noch zu beschreiben, bei welchen m, n und a der Ausdruck Sinn macht. Abhängig von den Einschränkungen für m, n und a gibt es zwei Hauptansätze.
Der einfachste Weg besteht darin, a eine Einschränkung aufzuerlegen, indem man a≥0 für positives m und a>0 für negatives m annimmt (da für m≤0 der Grad 0 von m nicht definiert ist). Dann erhalten wir die folgende Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten.
Definition.
Potenz einer positiven Zahl a mit gebrochenem Exponenten m/n, wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist, heißt die n-te Wurzel der Zahl a hoch m, also .
Die gebrochene Potenz von Null wird ebenfalls bestimmt, mit der einzigen Einschränkung, dass der Indikator positiv sein muss.
Definition.
Potenz von Null mit gebrochenem positivem Exponenten m/n, wobei m eine positive ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist, ist definiert als 
.
Wenn der Grad nicht bestimmt ist, also der Grad der Zahl Null mit einem gebrochenen negativen Exponenten, ergibt dies keinen Sinn.
Es ist zu beachten, dass es bei dieser Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten eine Einschränkung gibt: Für einige negative a und einige m und n ist der Ausdruck sinnvoll, und wir haben diese Fälle verworfen, indem wir die Bedingung a≥0 eingeführt haben. Beispielsweise sind die Einträge sinnvoll 
oder , und die oben gegebene Definition zwingt uns zu sagen, dass Potenzen mit einem gebrochenen Exponenten der Form sind 
machen keinen Sinn, da die Basis nicht negativ sein sollte.
Ein anderer Ansatz zur Bestimmung eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten m/n besteht darin, gerade und ungerade Exponenten der Wurzel getrennt zu betrachten. Dieser Ansatz erfordert Zusätzlicher Zustand: Die Potenz der Zahl a, deren Exponent ist, wird als Potenz der Zahl a betrachtet, deren Exponent der entsprechende irreduzible Bruch ist (wir werden die Bedeutung dieser Bedingung weiter unten erklären). Das heißt, wenn m/n ein irreduzibler Bruch ist, dann wird für jede natürliche Zahl k zunächst der Grad durch ersetzt.
Für gerades n und positives m ist der Ausdruck für jedes nicht negative a (Wurzel) sinnvoll sogar Grad aus negative Zahl macht keinen Sinn), für negatives m muss die Zahl a immer noch von Null verschieden sein (sonst kommt es zur Division durch Null). Und für ungerades n und positives m kann die Zahl a beliebig sein (die Wurzel eines ungeraden Grades ist für jede reelle Zahl definiert), und für negatives m muss die Zahl a von Null verschieden sein (damit es keine Division durch gibt). null).
Die obige Überlegung führt uns zu dieser Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten.
Definition.
Sei m/n ein irreduzibler Bruch, m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl. Für jedes Reduzierbare gemeinsamer Bruch Abschluss wird durch ersetzt. Die Potenz einer Zahl mit einem irreduziblen gebrochenen Exponenten m/n ist für
Lassen Sie uns erklären, warum ein Grad mit einem reduzierbaren gebrochenen Exponenten zunächst durch einen Grad mit einem irreduziblen Exponenten ersetzt wird. Wenn wir den Grad einfach als definieren und keinen Vorbehalt hinsichtlich der Irreduzibilität des Bruchs m/n machen würden, dann stünden wir vor ähnlichen Situationen: Da 6/10 = 3/5, muss die Gleichheit gelten 
, Aber 
, A .
Unterrichtsthema: Abschluss mit rationalen und reellen Exponenten.
Ziele:
das Konzept des Abschlusses verallgemeinern;
üben Sie die Fähigkeit, den Wert eines Grades mit einem reellen Exponenten zu ermitteln;
die Fähigkeit festigen, die Eigenschaften von Graden bei der Vereinfachung von Ausdrücken zu verwenden;
die Fähigkeit entwickeln, die Eigenschaften von Graden in Berechnungen zu nutzen.
intellektuell, emotional, persönliche Entwicklung Student;
die Fähigkeit entwickeln, auf der Grundlage von Vergleichen zu verallgemeinern, zu systematisieren und Schlussfolgerungen zu ziehen;
selbstständige Tätigkeit intensivieren;
kognitives Interesse entwickeln.
Ausbildung kommunikativer und Informationskultur Studenten;
Die ästhetische Ausbildung erfolgt durch die Ausbildung der Fähigkeit, eine Aufgabe rational und genau an der Tafel und in einem Notizbuch zu formulieren.
Lehrreich :
Entwicklung :
Lehrreich :
Studierende sollten wissen: Definition und Eigenschaften des Grades mit reellem Exponenten
Studierende sollten in der Lage sein:
feststellen, ob ein Ausdruck mit einem Grad sinnvoll ist;
die Eigenschaften von Graden in Berechnungen und zur Vereinfachung von Ausdrücken verwenden;
Beispiele mit Abschlüssen lösen;
vergleichen, Gemeinsamkeiten und Unterschiede finden.
Unterrichtsformat: Seminar - Workshop, mit Elementen der Forschung. Computer-Support.
Form der Ausbildungsorganisation: Einzelperson, Gruppe.
Bildungstechnologien : problembasiertes Lernen, Lernen in Zusammenarbeit, persönlich - orientiertes Lernen, kommunikativ.
Unterrichtsart: Lektion der Forschung und praktischen Arbeit.
Unterrichtsmaterial und Handouts:
Präsentation
Formeln und Tabellen (Anhang 1.2)
Aufgabenstellung für selbständiges Arbeiten (Anlage 3)
Unterrichtsplan
№Unterrichtsphase
Zweck der Bühne
Zeit, min.
Beginn der Lektion
Unterrichtsthema melden, Unterrichtsziele festlegen.
1-2 Min
Mündliche Arbeit
Wiederholen Sie die Leistungsformeln.
Eigenschaften von Graden.
4-5 Min.
Frontlösung
Tafeln aus Lehrbuch Nr. 57 (1,3,5)
№58(1,3,5) unter detaillierter Einhaltung des Lösungsplans.
Bildung von Fähigkeiten und Fertigkeiten
Studierende wenden Eigenschaften an
Grad beim Finden der Werte eines Ausdrucks.
8-10 Min.
Arbeiten Sie in Mikrogruppen.
Wissenslücken erkennen
Studenten, Schaffung von Bedingungen für
individuelle Entwicklung Student
im Unterricht.
15-20 Min.
Zusammenfassung der Arbeit.
Verfolgen Sie den Erfolg der Arbeit
Studierende finden es heraus, wenn sie selbstständig Probleme zu einem Thema lösen
die Art der Schwierigkeiten, ihre Ursachen,
zeigen gemeinsam Lösungen auf.
5-6 Min.
Machen Sie die Schüler mit den Hausaufgaben vertraut. Geben Sie die notwendigen Erklärungen.
1-2 Min.
WÄHREND DES UNTERRICHTS
Hallo Leute! Notieren Sie Datum und Thema der Lektion in Ihren Notizbüchern.
Man sagt, dass der Erfinder des Schachs den Raja als Belohnung für seine Erfindung um etwas Reis gebeten habe: Auf das erste Feld des Bretts habe er darum gebeten, ein Korn zu legen, auf das zweite - zweimal mehr, also 2 Körner drittens - 2-mal mehr, d. h. 4 Körner usw. bis zu 64 Zellen.
Seine Bitte schien dem Rajah zu bescheiden, aber es wurde bald klar, dass sie unmöglich zu erfüllen war. Durch die Summe wird die Anzahl der Körner ausgedrückt, die dem Erfinder des Schachspiels als Belohnung gegeben werden mussten
1+2+2 2 +2 3 +…+2 63 .
Dieser Betrag entspricht einer riesigen Zahl
18446744073709551615
Und es ist so groß, dass diese Getreidemenge die gesamte Oberfläche unseres Planeten, einschließlich der Weltmeere, mit einer Schicht von 1 cm bedecken könnte.
Beim Schreiben von Zahlen und Ausdrücken werden Potenzen verwendet, was sie kompakter und bequemer für die Ausführung von Aktionen macht.
Beim Messen werden häufig Gradzahlen verwendet physikalische Quantitäten, die „sehr groß“ oder „sehr klein“ sein kann.
Die Masse der Erde 6000000000000000000000t wird als Produkt 6.10 geschrieben 21 T
Als Produkt wird der Durchmesser eines Wassermoleküls 0,0000000003 m angegeben
3.10 -10 M.
1. Mit welchem mathematisches Konzept verwandte Wörter:
Base
Index(Grad)
Welche Wörter können verwendet werden, um die Wörter zu kombinieren:
Rationale Zahl
Ganze Zahl
Natürliche Zahl
Irrationale Zahl(reelle Zahl)
Formulieren Sie das Thema der Lektion.(Grad mit reellem Exponenten)
2. Also a X,Wox ist eine reelle Zahl. Wählen Sie aus Ausdrücken aus
Mit natürlichem Indikator
Mit einem Integer-Indikator
3.
Was ist unser Ziel?(VERWENDEN)
WelcheZiele unseres Unterrichts
?
– Verallgemeinern Sie das Konzept des Abschlusses.
Aufgaben:
– Eigenschaften des Grades wiederholen
– Erwägen Sie die Verwendung von Gradeigenschaften in Berechnungen und Vereinfachungen von Ausdrücken
– Entwicklung von Computerkenntnissen
4 . Potenz mit rationalem Exponenten
BaseGrad
Abschluss mit IndikatorR, Basis a (NN, MN
R= N
R= - N
R= 0
R= 0
r =0
A N= A. A. … . A
A -N=
A 0 =1
A N=a.a. ….A
A -N=
Existiert nicht
Existiert nicht
A 0 =1
a=0
0 N=0
Existiert nicht
Existiert nicht
Existiert nicht
5 . Wählen Sie aus diesen Ausdrücken diejenigen aus, die keinen Sinn ergeben:
6 . Definition
Wenn die NummerR- natürlich, dann a Res gibt eine ArbeitRZahlen, von denen jede gleich ist:
A R= A. A. … . A
Wenn die NummerR- gebrochen und positiv, also woMUndN- natürlich
Zahlen also
Wenn der IndikatorRrational und negativ ist, dann ist der AusdruckA R
ist definiert als der Kehrwert vonA - R
oder
Wenn
7 . Zum Beispiel
8 . Potenzen positiver Zahlen haben die folgenden grundlegenden Eigenschaften:
9 . Berechnung
10. Welche Operationen (mathematische Operationen) können mit Abschlüssen durchgeführt werden?
Übereinstimmen:
A) Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleichermaßen1) Die Basen werden multipliziert, aber der Indikator bleibt gleich
B) Bei der Potenzteilung mit gleichen Basen
2) Die Basen sind geteilt, aber der Indikator bleibt derselbe
B) Beim Erhöhen einer Potenz zu einer Potenz
3) Die Basis bleibt gleich, aber die Indikatoren werden multipliziert
D) Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleichen Exponenten
4) Die Basis bleibt gleich, aber die Indikatoren werden subtrahiert
D) Bei der Division von Graden durch gleiche Exponenten
5) Die Basis bleibt dieselbe, aber die Indikatoren summieren sich
11 . Aus dem Lehrbuch (an der Tafel)
Im Unterricht zu lösen:
№57 (1,3,5)
№58 (1, 3, 5)
№59 (1, 3)
№60 (1,3)
12 . Von Materialien zum Einheitlichen Staatsexamen
(selbstständige Arbeit) auf Zetteln
XIVJahrhundert.
Antwort: Orezma. 13. Zusätzlich (einzeln) für diejenigen, die die Aufgaben schneller erledigen:14. Hausaufgaben
§ 5 (Definitionen, Formeln kennen)
№57 (2, 4, 6)
№58 (2,4)
№59 (2,4)
№60 (2,4) .
Am Ende der Lektion:
„Mathematik muss später unterrichtet werden, weil sie den Geist in Ordnung bringt“
– Das sagte der große russische Mathematiker Michail Lomonossow.
- Danke für die Lektion!
Anhang 1
1.Abschlüsse. Grundeigenschaften
Indikator
a 1 =a
A N=a.a. ….A
ein R n
3 5 =3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3=243,
(-2) 3 =(-2) . (-2) . (-2)= - 8
Grad mit einem ganzzahligen Exponenten
a 0 =1,
wo ein
0 0 - nicht definiert.
Abschluss mit rational
Indikator
WoA
m n
Grad mit irrationalem Exponenten
Antwort: ==25,9...
1. A X. A j=a x+y
2.a X: A j==a x-y
3. .(A X) j=a x.y
4.(a.b) N=a N.B N
5. (=
6. (
Anlage 2
2. Grad mit rationalem Exponenten
BaseGrad
Abschluss mit IndikatorR, Basis a (NN, MN
R= N
R= - N
R= 0
R= 0
r =0
A N= A. A. … . A
A -N=
A 0 =1
A N=a.a. ….A
A -N=
Existiert nicht
Existiert nicht
A 0 =1
a=0
0 N=0
Existiert nicht
Existiert nicht
Existiert nicht
Anhang 3
Potenzoperationen wurden erstmals von einem französischen Mathematiker angewendetXIVJahrhundert.
Entschlüsseln Sie den Namen des französischen Wissenschaftlers.
