Im Standardkurs Schulmathematik Eigenschaften von Funktionen werden hauptsächlich zum Erstellen ihrer Graphen verwendet. Die funktionale Methode zur Lösung von Gleichungen wird genau dann verwendet, wenn die Gleichung F(x) = G(x) aufgrund von Transformationen oder Ersetzungen von Variablen nicht auf die eine oder andere Standardgleichung reduziert werden kann, die einen bestimmten Lösungsalgorithmus hat.
Im Gegensatz zur grafischen Methode können Sie durch die Kenntnis der Eigenschaften von Funktionen die genauen Wurzeln der Gleichung finden, ohne Funktionsgraphen erstellen zu müssen. Die Verwendung der Eigenschaften von Funktionen hilft, die Lösung von Gleichungen zu rationalisieren.
Die folgenden Eigenschaften der Funktion werden in der Arbeit berücksichtigt: Definitionsbereich der Funktion; Funktionsumfang; Eigenschaften der Monotonie einer Funktion; Eigenschaften der Konvexität einer Funktion; Eigenschaften gerader und ungerader Funktionen.
Zweck der Arbeit: Durchführung einer Klassifizierung nicht standardmäßiger Gleichungen entsprechend ihrer Verwendung allgemeine Eigenschaften Funktionen, beschreiben das Wesen jeder Eigenschaft, geben Empfehlungen für ihre Verwendung, Gebrauchsanweisungen.
Alle Arbeiten werden von der Lösung spezifischer Probleme begleitet, die in verschiedenen Jahren beim Einheitlichen Staatsexamen vorgeschlagen werden.
Kapitel 1. Verwendung des Konzepts des Definitionsbereichs einer Funktion.
Lassen Sie uns einige wichtige Definitionen vorstellen.
Der Definitionsbereich der Funktion y = f(x) ist die Wertemenge der Variablen x, für die die Funktion sinnvoll ist.
Gegeben sei die Gleichung f(x) = g(x), wobei f(x) und g(x) sind elementare Funktionen, definiert auf den Mengen D1, D2. Dann ist der Bereich D der zulässigen Werte der Gleichung eine Menge, die aus den Werten von x besteht, die zu beiden Mengen gehören, also D = D1∩ D2. Es ist klar, dass die Gleichung keine Lösungen hat, wenn die Menge D leer ist (D= ∅). (Anhang Nr. 1).
1. arcsin (x+2) +2x- x2 = x-2.
ODZ:-1 =0⇔-3
Antwort: Es gibt keine Lösungen.
2. (x2-4x+3 +1)log5x5 + 1x(8x-2x2-6 + 1) = 0.
ODZ: x2-4x+3>=0,x>0,8x-2x2-6>=0⇔x∈(-infinity;1∪ 3;infinity),x>01
Überprüfen Sie: x = 1.
(1-4+3 +1)log515 + (8-2-6 + 1) = 0,
0 = 0 – wahr.
x = 3. (9-12+3+1)log535 +13(24-18-6+1) = 0, log535 +13 = 0 – falsch.
Oft erweist es sich als ausreichend, nicht den gesamten Definitionsbereich einer Funktion zu betrachten, sondern nur deren Teilmenge, auf der die Funktion Werte annimmt, die bestimmte Bedingungen erfüllen (z. B. nur nicht negative Werte).
1. x+27-x(x-9 +1) = 1.
ODZ: x-9>=0, x>=9.
Für x>=9 x+2>0, 7-x 0 ist das Produkt der drei Faktoren auf der linken Seite der Gleichung negativ und auf der rechten Seite der Gleichung positiv, was bedeutet, dass die Gleichung nein hat Lösungen.
Antwort: ∅.
2. 3-x2+ x+2 = x-2.
ODZ: 3-x2>=0,x+2>=0,⇔ 3-x(3+x)>=0,x>=-2,⇔ -3=-2,⇔
Auf der Menge der zulässigen Werte ist die linke Seite der Gleichung positiv und die rechte Seite negativ, was bedeutet, dass die Gleichung keine Lösungen hat.
Antwort: Es gibt keine Lösungen.
Kapitel 2. Verwendung des Konzepts des Funktionsbereichs.
Der Wertebereich der Funktion y = f(x) ist die Wertemenge der Variablen y bei akzeptable Werte Variable x.
Eine Funktion y = f(x) heißt auf der Menge X nach unten (bzw. nach oben) beschränkt, wenn es eine Zahl M gibt, so dass auf
Eine Funktion y = f(x) heißt auf einem gegebenen Intervall (enthalten in ihrem Definitionsbereich) beschränkt, wenn es eine Zahl M >0 gibt, so dass für alle Werte des zu diesem Intervall gehörenden Arguments die Ungleichung f(x) gilt ) gilt
Gegeben sei die Gleichung f(x) = g(x), wobei g(x) Elementarfunktionen sind, die auf den Mengen D1, D2 definiert sind. Bezeichnen wir den Variationsbereich dieser Funktionen als E1 bzw. E2. Wenn x1 eine Lösung der Gleichung ist, gilt die numerische Gleichheit f(x1) = g(x1), wobei f(x1) der Wert der Funktion f(x) bei x = x1 ist und g(x1) ist der Wert der Funktion g(x) bei x = x1. Das heißt, wenn die Gleichung eine Lösung hat, dann haben die Bereiche der Funktionen f(x) und g(x) gemeinsame Elemente (E1∩E2 !=∅). Wenn die Mengen E1 und E2 solche gemeinsamen Elemente nicht enthalten, dann hat die Gleichung keine Lösungen.
Zur Auswertung von Ausdrücken werden grundlegende Ungleichungen verwendet. (Anhang Nr. 2).
Gegeben sei die Gleichung f(x) = g(x). Wenn f(x)>=0 und g(x)
1. x2+2xsinxy+1=0.
Lösung. Auf der linken Seite befindet sich eine Einheit, sodass Sie die Basiseinheit verwenden können trigonometrische Identität: x2+ 2xsinxy+ sin2xy+cos2xy=0.
Die Summe der ersten drei Terme ist ein perfektes Quadrat:
(x+sinxy)2+cos2xy =0.
Folglich steht auf der linken Seite die Summe der Quadrate; sie ist gleich Null, wenn die Ausdrücke in den Quadraten gleichzeitig gleich Null sind. Schreiben wir das System: cosxy=0,x+sinxy=0.
Wenn cosxy=0, dann sinxy= +-1, daher entspricht dieses System einer Kombination aus zwei Systemen: x+1=0,cosxy=0 oder x-1=0,cosxy=0.
Ihre Lösungen sind Zahlenpaare x=1, y = PI 2 + PIm, m∈Z und x=-1, y = PI 2 + PIm, m∈Z.
Antwort: x=1, y = PI 2 + PIm, m∈Z und x=-1, y = PI 2 + PIm, m∈Z.
Wenn im Intervall X Höchster Wert eine der Funktionen y = f(x), y = g(x) ist gleich A und kleinster Wert Ist auch eine andere Funktion gleich A, dann ist die Gleichung f(x) = g(x) auf dem Intervall X äquivalent zum Gleichungssystem fx=A, gx=A.
1. Finden Sie alle Werte von a, für die die Gleichung eine Lösung hat
2cos222x-x2=a+3sin(22x-x2+1).
Nachdem wir t= 22x-x2 ersetzt haben, erhalten wir die Gleichung cos(2t+PI3)=a-12.
Die Funktion t=2m nimmt zu, d. h. sie erreicht ihren größten Wert beim höchsten Wert von m. Aber m=2х - x hat den größten Wert gleich 1. Dann ist tmax = 22·1-1=2. Somit ist die Wertemenge der Funktion t = 22x-x2 das Intervall (0;2, und die Funktion cos(2t+PI3) ist das Intervall -1;0,5). Folglich hat die ursprüngliche Gleichung eine Lösung für diejenigen und nur diejenigen Werte von a, die die Ungleichungen erfüllen -1Antwort: -12. Lösen Sie die Gleichung (log23)x+a+2 = (log94)x2+a2-6a-5.
Verwendung der offensichtlichen Ungleichungen
Antwort: x= - 5+32, wenn a=1+32 und x=-5+32, wenn a= 1-32.
Sie können andere Gleichungen detaillierter betrachten. (Anhang Nr. 3).
Kapitel 3. Verwendung der Eigenschaft der Monotonie einer Funktion.
Eine Funktion y = f(x) heißt auf einer Menge X steigend (bzw. abnehmend), wenn auf dieser Menge mit zunehmendem Argument die Werte der Funktion zunehmen (bzw. abnehmen).
Mit anderen Worten, die Funktion y = f(x) nimmt auf der Menge X zu, wenn aus x1∈X, x2∈X und x1. Sie nimmt auf dieser Menge ab, wenn aus x1∈X, x2∈X und x1 f(x2).
Eine Funktion y = f(x) heißt auf X nicht streng steigend (bzw. nicht streng fallend), wenn x1∈X, x2∈X und x1=f(x2)).
Funktionen, die auf X zunehmen und fallen, heißen monoton auf X, und Funktionen, die auf
Um die Monotonie von Funktionen zu beweisen, werden folgende Aussagen verwendet:
1. Wenn eine Funktion f auf einer Menge X wächst, dann wächst für jede Zahl C auch die Funktion f + C auf X.
2. Wenn die Funktion f auf der Menge X zunimmt und C > 0 ist, dann nimmt auch die Funktion Cf auf X zu.
3. Wenn eine Funktion f auf einer Menge X zunimmt, dann nimmt die Funktion -f auf dieser Menge ab.
4. Wenn eine Funktion f auf der Menge X zunimmt und auf der Menge X das Vorzeichen beibehält, dann nimmt die Funktion 1f auf dieser Menge ab.
5. Wenn die Funktionen f und g auf einer Menge X wachsen, dann nimmt auch ihre Summe f+g auf dieser Menge zu.
6. Wenn die Funktionen f und g auf der Menge X steigend und nicht negativ sind, dann steigt auch ihr Produkt fg auf X.
7. Wenn die Funktion f auf der Menge X und n steigend und nicht negativ ist – natürliche Zahl, dann wächst auch die Funktion fn um X.
8. Wenn beide Funktionen f(x) und g(x) steigend oder beide fallend sind, dann ist die Funktion h(x) = f(g(x)) eine steigende Funktion. Wenn eine der Funktionen zunimmt. Und die andere ist abnehmend, dann ist h(x) = f(g(x)) eine abnehmende Funktion.
Lassen Sie uns Sätze über Gleichungen formulieren.
Satz 1.
Wenn die Funktion f(x) im Intervall X monoton ist, dann hat die Gleichung f(x) = C höchstens eine Wurzel im Intervall X.
Satz 2.
Wenn die Funktion f(x) im Intervall X monoton ist, dann ist die Gleichung f(g(x)) = f(h(x)) im Intervall X äquivalent zur Gleichung g(x) = h(x) .
Satz 3.
Wenn die Funktion f(x) im Intervall X zunimmt und g(x) im Intervall X abnimmt, dann hat die Gleichung g(x) = f(x) höchstens eine Wurzel im Intervall X.
Satz 4.
Wenn die Funktion f(x) auf dem Intervall X zunimmt, dann ist die Gleichung f(f(x)) = x auf dem Intervall X äquivalent zur Gleichung f(x) = x.
1. Finden Sie alle Werte von a, für die die Gleichung genau drei Wurzeln hat
4-x-alog3(x2-2x+3)+2-x2+2xlog13(2x-a+2)=0.
Lösung. Lassen Sie uns diese Gleichung in die Form umwandeln
2x2-2xlog3(x2-2x+3)= 22x-a-1log3(2x-a+2).
Wenn wir u = x2-2x, v=2x-a-1 setzen, dann kommen wir zur Gleichung
2ulog3(u+3)= 2vlog3(v+3).
Die Funktion f (t) = 2tlog3(t+3) wächst monoton für t >-2, sodass wir aus der letzten Gleichung zum Äquivalent u = v, x2-2x = 2x-a-1⇔(x-1) gelangen können )2=2x -a.
Diese Gleichung hat, wie aus der Abbildung hervorgeht, in den folgenden Fällen genau drei Wurzeln:
1. Der Scheitelpunkt des Graphen der Funktion y = 2x-a liegt am Scheitelpunkt der Parabel y = (x-1)2, was a = 1 entspricht;
2. Der linke Strahl des Graphen y = 2x-a berührt die Parabel und der rechte schneidet sie an zwei Punkten; dies ist mit a=12 möglich;
3. Der rechte Strahl berührt und der linke Strahl schneidet die Parabel, was auftritt, wenn a=32.
Lassen Sie uns den zweiten Fall erklären. Die Gleichung des linken Strahls lautet y = 2a-2x, it Neigung gleich -2. Daher ist der Winkelkoeffizient der Tangente an die Parabel gleich
2(x -1) = -2 ⇒ x = 0 und der Tangentenpunkt hat die Koordinaten (0; 1). Unter der Bedingung, dass dieser Punkt zum Strahl gehört, finden wir a=12.
Der dritte Fall kann ähnlich oder unter Verwendung von Symmetrieüberlegungen betrachtet werden.
Antwort: 0,5; 1;1,5.
Wir können andere Gleichungen detaillierter betrachten. (Anhang Nr. 4).
Kapitel 4. Verwendung der Eigenschaften der Konvexität.
Sei eine Funktion f(x) auf einem Intervall X definiert, sie heißt streng konvex nach unten (aufwärts) auf X, wenn für jedes u und v aus
Geometrisch bedeutet dies, dass jeder Punkt der Sehne BC (d. h. ein Segment mit Enden an den Punkten B(u;f(u)) und C(v;f(v)), der sich von den Punkten B und C unterscheidet, darüber liegt (unten) der Punkt und der Graph der Funktion f(x), der demselben Argumentwert entspricht (Anhang Nr. 5).
Funktionen, die nach oben und unten streng konvex sind, heißen streng konvex.
Die folgenden Aussagen sind wahr.
Satz 1.
Die Funktion f(x) sei streng abwärtskonvex auf dem Intervall X, u ,v ∈X, u
Die folgende Aussage folgt aus Satz 1.
Satz 2.
Wenn die Funktion f(x) im Intervall X streng konvex ist, gelten die Funktionen u = u(x), v = v(x), u1=u1(x), v1 = v1(x) für alle x aus den ODZ-Gleichungen f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (1) sind ihre Werte u(x), v(x), u1(x), v1(x). in Gleichungen u (x) = u1(x), u(x) = v1(x) (3).
1. 41-sin4x+41-cos4x=412.
Lösung. Wenn wir fx= 41-x2, u=cos2x, v=sin2x, u1=v1=12 setzen, dann wird diese Gleichung in der Form (1) geschrieben. Da f"x= -x24(1-x2)3, f""x=-2+x244(1-x2)7, dann ist die Funktion fx auf dem Segment -1;1 streng konvex nach oben. Offensichtlich der Rest Bedingungen erfüllt sind Satz 2 und daher ist die Gleichung äquivalent zur Gleichung cos2x = 0,5, x = PI4 +PIk2, wobei k∈Z.
Antwort: x = PI4 +PIk2, wobei k∈Z.
Satz 3.
Die Funktion fx sei streng konvex im Intervall X und u,v, λv+(1-λ)u∈X. Dann ist die Gleichheit f (λv+(1-λ)u) = λf(v)+(1-λ)f(u) (4) genau dann gültig, wenn entweder u=v oder λ=0 oder λ=1 .
Beispiele: sin2xcos3x+cos2xsin3x∙1+sin2xcos3x+cos2xsin3x= sin2xcos3x1+cos3x+cos2xsin3x1+sin3x.
Die Gleichung hat die Form (4), wenn fx=x1+x= x+x2, u=sin3x, v= cos3x, λ=sin2x.
Es ist offensichtlich, dass die Funktion fx auf R streng nach unten konvex ist. Daher ist die ursprüngliche Gleichung nach Satz 3 äquivalent zum Gleichungssatz sinx=0, sin2x=1, cos3x=sin3x.
Von hier aus erhalten wir, dass seine Lösungen PIk2, PI12+PIn3 sein werden, wobei k,n∈Z.
Antwort: PIk2, PI12+PIn3, wobei k,n∈Z.
Die Verwendung von Konvexitätseigenschaften wird beim Lösen und mehr verwendet komplexe Gleichungen. (Anhang Nr. 6).
Kapitel 5. Verwendung der geraden oder ungeraden Eigenschaften von Funktionen.
Eine Funktion fx wird auch dann aufgerufen, wenn für jeden Wert x aus dem Definitionsbereich der Funktion der Wert -x auch zum Definitionsbereich gehört und die Gleichheit f-x = fx gilt. Eine Funktion fx heißt ungerade, wenn für jeden Wert x aus dem Definitionsbereich der Funktion der Wert - x auch zum Definitionsbereich gehört und die Gleichheit f-x = - fx gilt.
Aus der Definition folgt, dass die Bereiche gerader und ungerader Funktionen symmetrisch um Null sind (eine notwendige Bedingung).
Für zwei beliebige symmetrische Werte des Arguments aus dem Definitionsbereich nimmt die gerade Funktion den Wert gleich an numerische Werte, und ungerade - gleich in Absolutwert, aber mit umgekehrtem Vorzeichen.
Satz 1.
Summe, Differenz, Produkt und Quotient zweier gerader Funktionen sind gerade Funktionen.
Satz 2.
Das Produkt und der Quotient zweier ungerader Funktionen sind sogar Funktionen.
Nehmen wir die Gleichung F(x)=0 an, wobei F(x) eine gerade oder ungerade Funktion ist.
Um die Gleichung F(x) = 0 zu lösen, wobei F(x) eine gerade oder ungerade Funktion ist, reicht es aus, positive (oder negative) Wurzeln zu finden, die symmetrisch zu den erhaltenen sind, und für komische Funktion die Wurzel ist x = 0, wenn dieser Wert im Bereich von F(x) liegt. Für eine gerade Funktion wird der Wert x = 0 durch direktes Einsetzen in die Gleichung überprüft.
Wir haben auf beiden Seiten der Gleichung gerade Funktionen. Daher reicht es aus, Lösungen für x>=0 zu finden. Da x=0 keine Wurzel der Gleichung ist, betrachten Sie zwei Intervalle: (0;2, 2;unendlich.
a) Auf dem Intervall (0;2 gilt:
8x= 2x+2-x+2, 23x=24, x= 43.
b) Auf dem Intervall 2;unendlich gilt:
8x= 2x+2+x-2,23x=22x, x=0.
Da aber x = 0 keine Wurzel der Gleichung ist, hat diese Gleichung für x>0 eine Wurzel x = 43. Dann ist x = - 43 auch eine Wurzel der Gleichung.
Antwort: 43; - 43.
Der Autor glaubt, dass das Werk von Lehrern und Schülern allgemeinbildender Bildungsgänge genutzt werden kann außerschulische Aktivitäten, in Vorbereitung für Mathematikolympiaden, Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens, Aufnahmeprüfungen an technische Schulen.
Ziel: Betrachten Sie die Probleme von ZNO mit funktional-grafischen Methoden anhand eines Beispiels Exponentialfunktion y = a x, a>0, a1
Lernziele:
wiederholen Sie die Eigenschaft der Monotonie und Begrenztheit der Exponentialfunktion;
Wiederholen Sie den Algorithmus zum Erstellen von Funktionsgraphen mithilfe von Transformationen.
Finden Sie viele Werte und viele Definitionen einer Funktion anhand der Art der Formel und mithilfe eines Diagramms.
entscheiden Exponentialgleichungen, Ungleichungen und Systeme, die Graphen und Eigenschaften von Funktionen verwenden.
Arbeiten mit Funktionsgraphen, die ein Modul enthalten;
Schauen Sie sich die Grafiken an komplexe Funktion und ihr Wertebereich;
1. Einführungsrede des Lehrers. Motivation für das Studium dieses Themas
Folie 1 Exponentialfunktion. „Funktional-grafische Methoden zur Lösung von Gleichungen und Ungleichungen“
Die funktionalgrafische Methode basiert auf der Verwendung grafischer Darstellungen, der Anwendung der Eigenschaften einer Funktion und ermöglicht die Lösung vieler mathematischer Probleme.
Folie 2 Ziele für den Unterricht
Heute werden wir ZNO-Probleme unterschiedlicher Komplexität mit funktionalgrafischen Methoden am Beispiel der Exponentialfunktion y = a x, a>o, a1 betrachten. Mithilfe eines Grafikprogramms erstellen wir Illustrationen zu den Problemen.
Folie 3 Warum ist es so wichtig, die Eigenschaften der Exponentialfunktion zu kennen?
Nach dem Gesetz der Exponentialfunktion würden sich alle Lebewesen auf der Erde vermehren, wenn hierfür günstige Bedingungen gegeben wären, d. h. Es gab keine natürlichen Feinde und es gab reichlich Nahrung. Ein Beweis dafür ist die Verbreitung von Kaninchen in Australien, die es vorher nicht gab. Es reichte aus, ein paar Individuen freizulassen, und nach einiger Zeit wurde ihr Nachwuchs zu einer nationalen Katastrophe.
In Natur, Technik und Wirtschaft gibt es zahlreiche Prozesse, bei denen sich der Wert einer Größe gleich oft ändert, d. h. nach dem Gesetz der Exponentialfunktion. Diese Prozesse werden Prozesse genannt organisches Wachstum oder organische Dämpfung.
Zum Beispiel, bakterielles Wachstum entspricht unter idealen Bedingungen dem Prozess des organischen Wachstums; radioaktiver Zerfall von Stoffen– der Prozess der organischen Schwächung.
Unterliegt den Gesetzen des organischen Wachstums Wachstum der Einlage bei der Sparkasse, Wiederherstellung des Hämoglobins im Blut eines Spenders oder einer verwundeten Person, die viel Blut verloren hat.
Nennen Sie Beispiele
Bewerbung im wahres Leben(Medikamentendosis).
Jeder weiß, dass die vom Arzt zur Behandlung empfohlenen Pillen mehrmals täglich eingenommen werden müssen, sonst sind sie wirkungslos. Die Notwendigkeit, das Arzneimittel erneut zu verabreichen, um eine konstante Konzentration im Blut aufrechtzuerhalten, wird durch die Zerstörung des Arzneimittels im Körper verursacht. Die Abbildung zeigt, wie sich in den meisten Fällen die Konzentration von Medikamenten im Blut eines Menschen oder Tieres nach einer einmaligen Verabreichung verändert. Folie4.
Die Abnahme der Arzneimittelkonzentration kann durch eine Exponentialfunktion angenähert werden, deren Exponent die Zeit enthält. Offensichtlich muss die Zerstörungsrate des Arzneimittels im Körper proportional zur Intensität der Stoffwechselprozesse sein.
Es gibt einen tragischen Fall, der sich aufgrund der Unkenntnis dieser Sucht ereignete. MIT wissenschaftlicher Punkt Für Psychiater und Neurophysiologen ist die Droge LSD, die bei normalen Menschen eigenartige Halluzinationen hervorruft, sehr interessant. Einige Forscher beschlossen, die Reaktion des Elefanten auf dieses Medikament zu untersuchen. Dazu nahmen sie die Menge an LSD, die Katzen wütend macht, und multiplizierten sie mit der Häufigkeit, mit der die Masse eines Elefanten größer ist als die Masse einer Katze. Dabei gingen sie davon aus, dass die Dosis des verabreichten Medikaments direkt proportional zur Masse sein sollte des Tieres. Die Injektion einer solchen Dosis LSD in einen Elefanten führte zu dessen Tod innerhalb von 5 Minuten, woraus die Autoren schlossen, dass Elefanten überempfindlich auf diese Droge reagieren. Eine Rezension dieser Arbeit, die später in der Presse erschien, nannte es einen „elefantenartigen Fehler“ der Autoren des Experiments.
2. Aktualisierung des Wissens der Studierenden.
Was bedeutet es, eine Funktion zu studieren? (eine Definition formulieren, Eigenschaften beschreiben, ein Diagramm zeichnen)
Welche Funktion heißt Exponentialfunktion? Gib ein Beispiel.
Welche grundlegenden Eigenschaften der Exponentialfunktion kennen Sie?
Bedeutungsumfang (Eingrenzung)
Domain
Monotonie (Zustand des Zunehmens und Abnehmens)
Folie 5 . Geben Sie verschiedene Funktionswerte an (gemäß der fertigen Zeichnung).
Folie 6. Benennen Sie die Bedingung für die zunehmende und abnehmende Funktion und korrelieren Sie die Formel der Funktion mit ihrem Graphen
Folie 7. Beschreiben Sie anhand der fertigen Zeichnung den Algorithmus zum Erstellen von Funktionsgraphen
b) y=3 x-2 – 2
3.Diagnose selbstständige Arbeit(mit PC).
Die Klasse ist in zwei Gruppen aufgeteilt. Der Hauptteil der Klasse führt Testaufgaben durch. Starke Schüler lösen komplexere Aufgaben.
Selbstständige Arbeit im ProgrammLeistung Punkt(für den Hauptteil der Klasse nach Typ Testaufgaben von ZNO mit geschlossenem Antwortformular)
Welche Exponentialfunktion steigt?
Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion.
Finden Sie den Bereich der Funktion.
Der Graph der Funktion wird aus dem Graphen der Exponentialfunktion durch parallele Verschiebung entlang der Achse ... um ... Einheiten ... erhalten.
Bestimmen Sie anhand der fertigen Zeichnung den Definitionsbereich und den Wertebereich der Funktion
Bestimmen Sie, bei welchem Wert a die Exponentialfunktion durch den Punkt verläuft.
Welche Abbildung zeigt den Graphen einer Exponentialfunktion mit einer Basis größer als eins?
Ordnen Sie den Graphen der Funktion der Formel zu.
Die grafische Lösung dieser Ungleichung ist in der Abbildung dargestellt.
Lösen Sie die Ungleichung grafisch (anhand der fertigen Zeichnung)
Selbstständiges Arbeiten (für den starken Teil der Klasse)
Folie 8. Schreiben Sie den Algorithmus zum Erstellen eines Funktionsgraphen auf, benennen Sie den Definitionsbereich, den Wertebereich und die Anstiegs- und Abfallintervalle.
Folie 9. Ordnen Sie die Funktionsformel ihrem Diagramm zu
Die Schüler überprüfen ihre Antworten, ohne Fehler zu korrigieren, die selbstständige Arbeit wird dem Lehrer übergeben
Folie 10. Antworten auf Testaufgaben
5) D 6) C 7) B 8) 1-G 2-A 3-C 4- B
9) A 10)(2;+ 
)
Folie 11 (Überprüfungsaufgabe 8)
4. Studieren neues Thema. Anwendung der funktionalgrafischen Methode zur Lösung von Gleichungen, Ungleichungen, Systemen, Bestimmung des Wertebereichs einer komplexen Funktion
Folie 12. Funktional-grafische Methode zum Lösen von Gleichungen
Eine Gleichung der Form f(x)=g(x) funktional lösen grafische Methode müssen:
Konstruieren Sie Graphen der Funktionen y=f(x) und y=g(x) im selben Koordinatensystem.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen dieser Funktionen.
Schreiben Sie die Antwort auf.
AUFGABE Nr. 1: GLEICHUNGEN LÖSEN
Folie 13.
Hat die Gleichung eine Wurzel und wenn ja, ist sie positiv oder negativ?
6 x =1/6
(4/3) x = 4
FOLIE 14
5. Praktische Arbeit leisten.
Folie 15.
Diese Gleichung kann gelöst werden grafisch. Die Schüler werden gebeten, die Aufgabe zu lösen und dann die Frage zu beantworten: „Ist es notwendig, Funktionsgraphen zu erstellen, um diese Gleichung zu lösen?“ Antwort: „Die Funktion nimmt über den gesamten Definitionsbereich zu und die Funktion ab.“ Folglich haben die Graphen solcher Funktionen höchstens einen Schnittpunkt, was bedeutet, dass die Gleichung höchstens eine Wurzel hat. Durch Auswahl finden wir das „.
Löse die Gleichung:
Folie 16. .Lösung: Wir verwenden die funktionale Methode zur Lösung von Gleichungen:
Weil Dieses System hat eine eindeutige Lösung, dann finden wir mit der Auswahlmethode x = 1
AUFGABE Nr. 2 Ungleichheiten lösen
Grafische Methoden ermöglichen die Lösung von Ungleichungen, die unterschiedliche Funktionen enthalten. Dazu muss nach der Erstellung von Diagrammen der Funktionen auf der linken und rechten Seite der Ungleichung und der Bestimmung der Abszisse des Schnittpunkts der Diagramme das Intervall bestimmt werden, in dem alle Punkte eines der Diagramme liegen oben (unten) 0 Punkte der Sekunde.
Ungleichung lösen:
a) cos x 1 + 3 x
Folie 1 8. Lösung:
Antwort: ( ; )
Lösen Sie die Ungleichung grafisch.
Folie 19.
(Der Graph der Exponentialfunktion liegt über der Funktion auf der rechten Seite der Gleichung.)
Antwort: x>2. UM
.
Antwort: x>0.
AUFGABE Nr. 3 Die Exponentialfunktion enthält das Modulzeichen im Exponenten.
Wiederholen wir die Moduldefinition.
(schreibe an die Tafel)
Folie 20.
Machen Sie sich Notizen in Ihrem Notizbuch:
1). 
2). 
Auf der Folie wird eine grafische Darstellung dargestellt. Erklären Sie, wie die Diagramme aufgebaut sind.
Folie 21.
Um diese Gleichung zu lösen, müssen Sie sich die Beschränktheitseigenschaft der Exponentialfunktion merken. Die Funktion nimmt Werte an >
1, a – 1 >
1, daher ist Gleichheit nur möglich, wenn beide Seiten der Gleichung gleichzeitig gleich 1 sind. Das bedeutet, dass wir beim Lösen dieses Systems Folgendes finden X = 0.
AUFGABE 4. Ermitteln des Wertebereichs einer komplexen Funktion.
Folie 22.
Nutzung der Fähigkeit, ein Diagramm zu erstellen quadratische Funktion, bestimmen Sie nacheinander die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel und ermitteln Sie den Wertebereich.
Folie 23.
, ist der Scheitelpunkt der Parabel.
Frage: Bestimmen Sie die Art der Monotonie der Funktion.
Die Exponentialfunktion y = 16 t steigt, da 16>1.
Die Genauigkeit einer solchen Lösung ist gering, aber mit Hilfe eines Diagramms können Sie intelligent die erste Näherung auswählen, von der aus Sie mit der weiteren Lösung der Gleichung beginnen können. Es gibt zwei Möglichkeiten, Gleichungen grafisch zu lösen.
Erster Weg . Alle Terme der Gleichung werden auf die linke Seite übertragen, d.h. Die Gleichung wird in der Form f(x) = 0 dargestellt. Anschließend wird ein Graph der Funktion y = f(x) erstellt, wobei f(x) die linke Seite der Gleichung ist. Abszissen der Schnittpunkte des Graphen der Funktion y = f(x) mit der Achse Ochse und sind die Wurzeln der Gleichung, weil an diesen Punkten ist y = 0.
Zweiter Weg . Alle Terme der Gleichung werden in zwei Gruppen eingeteilt, einer davon steht auf der linken Seite der Gleichung und der andere auf der rechten Seite, d.h. stellen Sie es in der Form j(x) = g(x) dar. Danach werden Graphen zweier Funktionen y = j(x) und y = g(x) aufgetragen. Als Wurzeln dieser Gleichung dienen die Abszissen der Schnittpunkte der Graphen dieser beiden Funktionen. Der Schnittpunkt der Graphen habe eine Abszisse x o, die Ordinaten beider Graphen an diesem Punkt seien einander gleich, d.h. j(x o) = g(x o). Aus dieser Gleichheit folgt, dass x 0 die Wurzel der Gleichung ist.
Wurzeltrennung
Der Prozess zum Finden von Näherungswerten der Wurzeln der Gleichung ist in zwei Phasen unterteilt:
1) Trennung der Wurzeln;
2) Verfeinerung der Wurzeln auf eine bestimmte Genauigkeit.
Betrachtet wird die x-Wurzel der Gleichung f(x) = 0 getrennt auf dem Intervall, wenn die Gleichung f(x) = 0 keine anderen Wurzeln auf diesem Intervall hat.
Das Trennen von Wurzeln bedeutet, den gesamten Bereich akzeptabler Werte in Segmente zu unterteilen, von denen jedes eine Wurzel enthält.
Grafische Methode der Wurzeltrennung - Gehen Sie in diesem Fall genauso vor wie bei der grafischen Methode zur Lösung von Gleichungen.
Berührt die Kurve die x-Achse, dann hat die Gleichung an dieser Stelle eine Doppelwurzel (zum Beispiel hat die Gleichung x 3 - 3x + 2 = 0 drei Wurzeln: x 1 = -2; x 2 = x 3 = 1 ).
Wenn die Gleichung eine dreizählige reelle Wurzel hat, dann im Berührungspunkt mit der Achse X die Kurve y = f(x) hat einen Wendepunkt (zum Beispiel hat die Gleichung x 3 - 3x 2 + 3x - 1 = 0 eine Wurzel x 1 = x 2 = x 3 = 1).
Analytische Methode zur Wurzeltrennung . Nutzen Sie dazu einige Eigenschaften von Funktionen.
Satz 1 . Wenn die Funktion f(x) auf einem Segment stetig ist und an den Enden dieses Segments Werte unterschiedlichen Vorzeichens annimmt, dann gibt es innerhalb des Segments mindestens eine Wurzel der Gleichung f(x) = 0.
Satz 2. Wenn die Funktion f(x) auf einem Segment stetig und monoton ist und an den Enden des Segments Werte mit unterschiedlichen Vorzeichen annimmt, dann enthält das Segment die Wurzel der Gleichung f(x) = 0, und diese Wurzel ist eindeutig .
Satz 3 . Wenn die Funktion f(x) auf einem Segment stetig ist und an den Enden dieses Segments Werte mit unterschiedlichen Vorzeichen annimmt und die Ableitung f "(x) innerhalb des Segments ein konstantes Vorzeichen behält, dann gibt es innerhalb des Segments a Wurzel der Gleichung f(x) = 0 und darüber hinaus eine eindeutige.
Wenn die Funktion f(x) analytisch gegeben ist, dann Existenzbereich (Definitionsbereich) der Funktion ist die Menge aller reellen Werte des Arguments, für die der die Funktion definierende analytische Ausdruck seine numerische Bedeutung nicht verliert und nur reelle Werte annimmt.
Die Funktion y = f(x) wird aufgerufen zunehmend , wenn mit zunehmendem Argument der Wert der Funktion zunimmt, und abnehmend , wenn mit zunehmendem Argument der Wert der Funktion abnimmt.
Die Funktion wird aufgerufen eintönig , wenn sie in einem bestimmten Intervall entweder nur zunimmt oder nur abnimmt.
Die Funktion f(x) sei auf dem Segment stetig und nehme an den Enden des Segments Werte mit unterschiedlichen Vorzeichen an, und die Ableitung f "(x) behält ein konstantes Vorzeichen auf dem Intervall bei. Wenn dann an allen Punkten des Intervall die erste Ableitung positiv ist, d.h. f "(x) >0, dann ist die Funktion f(x) in diesem Intervall erhöht sich . Wenn an allen Punkten des Intervalls die erste Ableitung negativ ist, d.h. f "(x)<0, то функция в этом интервале nimmt ab .
Die Funktion f(x) in einem Intervall habe eine Ableitung zweiter Ordnung, die über das gesamte Intervall hinweg ein konstantes Vorzeichen beibehält. Wenn dann f ""(x)>0, dann ist der Graph der Funktion konvex nach unten ; wenn f ""(x)<0, то график функции является konvex nach oben .
Es werden Punkte aufgerufen, an denen die erste Ableitung einer Funktion gleich Null ist, sowie solche, an denen sie nicht existiert (z. B. ins Unendliche geht), die Funktion aber Stetigkeit beibehält kritisch .
Vorgehensweise zur Wurzeltrennung mit der analytischen Methode:
1) Finden Sie f "(x) - die erste Ableitung.
2) Erstellen Sie eine Vorzeichentabelle der Funktion f(x) unter der Annahme X gleich:
a) kritische Werte (Wurzeln) der Ableitung oder der ihnen am nächsten liegenden Werte;
b) Grenzwerte (basierend auf dem Bereich zulässiger Werte des Unbekannten).
Beispiel. Trennen Sie die Wurzeln der Gleichung 2 x - 5x - 3 = 0.
Wir haben f(x) = 2 x - 5x - 3 . Der Definitionsbereich der Funktion f(x) ist die gesamte numerische Achse.
Berechnen wir die erste Ableitung f "(x) = 2 x ln(2) - 5.
Wir setzen diese Ableitung mit Null gleich:
2 x log(2) - 5 = 0 ; 2 x log(2) = 5 ; 2 x = 5/ln(2) ; xlg(2) = lg(5) - lg(ln(2)) .
Wir erstellen eine Vorzeichentabelle der Funktion f(x) unter der Annahme X gleich: a) kritischen Werten (Wurzeln der Ableitung) oder ihnen am nächsten; b) Grenzwerte (basierend auf dem Bereich zulässiger Werte der Unbekannten):
Die Wurzeln der Gleichung liegen in den Intervallen (-1,0) und (4,5).
Die Idee einer grafischen Methode zum Lösen einer Gleichung ist einfach. Es ist notwendig, Diagramme der auf beiden Seiten der Gleichung enthaltenen Funktionen zu erstellen und die Abszissen der Schnittpunkte zu ermitteln. Die grafische Darstellung einiger Funktionen ist jedoch schwierig. Es besteht nicht immer die Notwendigkeit, auf die Darstellung von Diagrammen zurückzugreifen. Solche Gleichungen können mit der Wurzelauswahlmethode gelöst werden, wobei die Eigenschaften der Monotonie und Beschränktheit von Funktionen genutzt werden. Dadurch können Sie die beim Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens gestellten Aufgaben recht schnell lösen.
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Vorschau:
Städtische Bildungseinrichtung
„Gymnasium Nr. 24“
Funktional-grafische Methode
Lösungen von Gleichungen.
Vom Lehrer vorbereitet
Danilina Olga Sergeevna.
Magadan 2007
« Funktional – grafische Methode zur Lösung von Gleichungen“
Ziel der Lektion: Entwicklung der Fähigkeit, Gleichungen eines bestimmten Typs mit einer funktionalgrafischen Methode unter Verwendung der Eigenschaften der Beschränktheit und Monotonie von Funktionen zu lösen
Unterrichtsaufbau:
Einführungsrede des Lehrers, Einführung in das Unterrichtsthema, Zielsetzung
Aktualisierung bereits erworbener Kenntnisse, die zur Beherrschung des Unterrichtsthemas erforderlich sind
Präsentation durch Referenten, die eine Präsentation von neuem Material mit Lösungsbeispielen für verschiedene Arten von Gleichungen enthält
Arbeiten Sie in Gruppen zur primären Festigung des Gelernten
Durchführung eines Spiels ähnlich dem Spiel: „Was? Wo? Wann?"
Zusammenfassung der Lektion.
- Im Einführungsvortrag teilt der Lehrer seine Erfahrungen mit der neuen Methode. spricht über die Notwendigkeit, es zu meistern, seine Bedeutung und die Möglichkeit, mehr Fähigkeiten zu erwerben rationale Entscheidung Vergleiche
- Wissen aktualisieren: steigende und fallende Funktionen, Beispiele, Eigenschaften der Monotonie und begrenzte Funktionen.
- Präsentation eines neuen Themas anhand von Folien mit theoretischem Material und Beispielen für Gleichungslösungen (siehe Anhang).
- Arbeiten Sie in Gruppen: Jede Gruppe erhält Karten mit Aufgaben, Lösungsproben und Aufgaben. Studienberater, die den Unterricht leiten, überwachen den Fortschritt der Aufgaben und helfen bei Bedarf. Während ihrer Arbeit können Gruppenarbeiter Computer verwenden, die mit einem speziellen Programm ausgestattet sind, mit dem sie Funktionsgraphen erstellen können. Dadurch kann der Computer in schwierigen Situationen als Hinweis oder als Gelegenheit zur klaren Demonstration genutzt werden die Richtigkeit der Lösung und die Richtigkeit der gewählten Methode.
- Schutz durch einen Vertreter der Gruppe der erledigten Aufgaben mithilfe einer Multimediatafel, die die Lösung von Gleichungen mithilfe einer grafischen Methode demonstriert, um die Richtigkeit der erledigten Aufgabe zu bestätigen. RA
- Durchführung des Spiels. Für jede Gruppe wird auf dem Bildschirm eine Frage gehört, die zuvor von verschiedenen Schullehrern aufgezeichnet wurde, und es wird eine Minute Zeit für die Diskussion gegeben, wonach die Kinder ihre begründete Antwort geben müssen. Danach präsentiert der Lehrer, der zuvor die Frage gestellt hat, auf dem neu eingeschalteten Bildschirm eine Version seiner Antwort. So werden durch wiederholte Wiederholung der Argumentation zu einem neu untersuchten Thema, insbesondere durch kompetente Aussprache verschiedener Personen, die günstigsten Voraussetzungen für die Beherrschung erreicht ein neues Thema. (Siehe Anhang.)
- Zusammenfassend: Die besten „Fünf Experten, der beste Spieler“ identifizieren.
Fragen an die Klasse;
Was haben Sie in der heutigen Lektion gelernt?
Welche Gleichungen können mit der Auswahlmethode gelöst werden?
Welche Eigenschaften von Funktionen werden in diesem Fall verwendet?
Fragen an die Spielteilnehmer:
Liebe Experten, finden Sie in einer Minute die Wurzel dieser Gleichung und beweisen Sie, dass es die einzige ist.
Antwort: Die Summe zweier steigender Funktionen ist eine steigende Funktion. y = - wächst monoton, daher hat die Gleichung eine Wurzel, weil Der Graph dieser Funktion schneidet die Gerade y=3 einmal. Wenn x=1, erhalten wir die richtige Gleichheit. Antwort: x=1
Liebe Experten, benennen Sie in einer Minute die Funktionen, die auf beiden Seiten der Ungleichung enthalten sind, und finden Sie die Wurzel dieser Gleichung.
Antwort: y = - Exponentialfunktion, die auf der Menge der reellen Zahlen ansteigt. y=6 - x ist eine lineare Funktion, sie nimmt auf der Menge der reellen Zahlen monoton ab. Das bedeutet, dass sich die Graphen der Funktionen in einem Punkt schneiden, die Gleichung hat eine Wurzel. Wenn x=2, erhalten wir die richtige Gleichheit. Antwort: x=2
3. Liebe Experten, Sie wissen bereits, dass die Gleichung eine einzige Wurzel x=3 hat. Beantworten Sie in einer Minute, bei welchen Werten von x die Ungleichung gilt.
Antwort: Die Ungleichung gilt für x Є, weil In diesem Intervall liegt der Graph der Funktion y = unterhalb des Graphen der Funktion y =
4. Liebe Experten, vielen Menschen fällt es schwer, die Gleichung zu lösen. Finden Sie in einer Minute die Wurzel dieser Gleichung und beweisen Sie, dass sie eindeutig ist.
Antwort: Die Wurzel der Gleichung x = -3 ist eindeutig, da die linke Seite der Gleichung eine abnehmende Funktion und die rechte Seite eine zunehmende enthält, was bedeutet, dass sich die Graphen der Funktionen in einem Punkt schneiden und die Gleichung hat eine einzelne Wurzel.
5. Liebe Experten, ich habe eine schwierige Frage an Sie. Sie können die Wurzel der Gleichung leicht finden. Beweisen Sie, dass er der Einzige ist. Antwort: x=1 ist die einzige Wurzel.
Funktional - grafische Methode zum Lösen von Gleichungen.
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Ziel der Lektion: Lernen Sie, Gleichungen mit der Substitutionsmethode zu lösen und dabei die Eigenschaften der Monotonie und Beschränktheit von Funktionen zu nutzen.
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Referenzmaterial
- Eine Funktion heißt auf einer Menge X erhöhend (abnehmend), wenn auf dieser Menge der Wert der Funktion zunimmt (abnimmt), wenn das Argument zunimmt (abnimmt).
Beispiel 1:
- sind zunehmende Funktionen
Beispiel 2:
sind abnehmende Funktionen
Referenzmaterial
2. Die Summe zweier steigender Funktionen ist eine steigende Funktion.
Beispiel:
3. Die Summe zweier abnehmender Funktionen ist eine abnehmende Funktion.
